VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS TEORINĖ TEORINĖS MECHANIKOS KATEDRA
E. Michnevič Michnevič, L. Syrus, R. Belevič Belevičius
TEORINĖ TEORINĖ MECHANIKA
STATIKA Mokomoji knyga
Vilnius „Technika“ 2003
UDK 531/534 (075.8) Mi 31 E. Michnevič Michnevič, L. Syrus, R. Belevič Belevi čius. Teorinė Teorinė mechanika. Statika. Mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2003. 84 p.
Knygoje išdė išdėstyta klasikinė klasikinės mechanikos teorijos dalis – statika. Suformuluoti statikos svarbiausieji uždaviniai, apibr ėžtos pagrindinė pagrindinės są s ą vokos, vokos, išnagrinė išnagrin ėti visi statikos nagrinė nagrin ė jami objektai – jė jėgos, jė jėgų sistemos ų sistemos bei į vairių vairių jjėgų sistem ų sistemų ų veikiami veikiami k ūnai ir jų jų sistemos. sistemos. Aprašyti jė jėgų sistemų sistemų klasifikavimo principai, išnagrinė išnagrin ėtos ir suformuluotos šių ši ų sistemų sistemų pusiausvyros są lygos. lygos. Vaizdžiai demonstruojamas statikos metod ų taikymas ų taikymas į vairiems vairiems uždaviniams spr ęsti. Knyga parengta remiantis Vilniaus Gedimino technikos universiteto studij ų programa ir rekomenduojama pagrindinių pagrindini ų studijų studijų studentams, siekiantiems savarankiškai susipažinti su statikos metodų metodų teoriniais teoriniais pagrindais.
Leidinį Leidinį rekomendavo rekomendavo Fundamentinių Fundamentini ų moksl mokslų ų fakulteto fakulteto studijų studijų komitetas komitetas
Recenzavo: prof. habil. dr. M. Leonavič Leonavi čius, prof. habil. dr. J. Atkoč Atko čiūnas
VGTU leidyklos „Technika“ 628 mokomosios metodinė metodin ės literatū literatūros knyga. ISBN 9986–05–661–6 9986–05–661–6
© E. Michnevič Michnevi č, L. Syrus, R. Belevič Belevi čius, 2003 © VGTU leidykla „Technika“, 2003 2
UDK 531/534 (075.8) Mi 31 E. Michnevič Michnevič, L. Syrus, R. Belevič Belevi čius. Teorinė Teorinė mechanika. Statika. Mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2003. 84 p.
Knygoje išdė išdėstyta klasikinė klasikinės mechanikos teorijos dalis – statika. Suformuluoti statikos svarbiausieji uždaviniai, apibr ėžtos pagrindinė pagrindinės są s ą vokos, vokos, išnagrinė išnagrin ėti visi statikos nagrinė nagrin ė jami objektai – jė jėgos, jė jėgų sistemos ų sistemos bei į vairių vairių jjėgų sistem ų sistemų ų veikiami veikiami k ūnai ir jų jų sistemos. sistemos. Aprašyti jė jėgų sistemų sistemų klasifikavimo principai, išnagrinė išnagrin ėtos ir suformuluotos šių ši ų sistemų sistemų pusiausvyros są lygos. lygos. Vaizdžiai demonstruojamas statikos metod ų taikymas ų taikymas į vairiems vairiems uždaviniams spr ęsti. Knyga parengta remiantis Vilniaus Gedimino technikos universiteto studij ų programa ir rekomenduojama pagrindinių pagrindini ų studijų studijų studentams, siekiantiems savarankiškai susipažinti su statikos metodų metodų teoriniais teoriniais pagrindais.
Leidinį Leidinį rekomendavo rekomendavo Fundamentinių Fundamentini ų moksl mokslų ų fakulteto fakulteto studijų studijų komitetas komitetas
Recenzavo: prof. habil. dr. M. Leonavič Leonavi čius, prof. habil. dr. J. Atkoč Atko čiūnas
VGTU leidyklos „Technika“ 628 mokomosios metodinė metodin ės literatū literatūros knyga. ISBN 9986–05–661–6 9986–05–661–6
© E. Michnevič Michnevi č, L. Syrus, R. Belevič Belevi čius, 2003 © VGTU leidykla „Technika“, 2003 2
TURINYS PRATARMĖ
5
ĮVADAS
6
1. JĖGOS IR JĖGŲ SISTEMOS 1.1. Jėga 1.2. Jėgos momentas
10 10 13
PLOKŠČIOJI JĖGŲ SISTEMA 1.3. Plokščioji susikertančių jėgų sistema 1.3.1. Susikertanč Susikertan čių j ų jėgų sud ų sudėėtis 1.3.2. Trijų Trijų jjėgų teorema ų teorema 1.3.3. Susikertanč Susikertan čių j ų jėgų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos 1.3.4. Varinjono teorema 1.4. Plokščioji lygiagrečių jų jėgų sistema 1.4.1. Lygiagreč Lygiagre čiai veikianč veikiančių j ų jėgų sud ų sudėėtis 1.4.2. Jė Jėgų poros ų poros 1.4.3. Jė Jėgų por ų por ų sud ų sudėėtis ir pusiausvyros są s ą lyga lyga 1.4.4. Lygiagretusis j ėgos perk ėlimas 1.5. Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema 1.5.1. Plokšč Plokš čiosios jė jėgų sistemos ų sistemos redukavimo bū b ūdai 1.5.2. Plokšč Plokš čiosios bet kaip išdė išd ėstytų stytų jjėgų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos 1.5.3. Plokšč Plokš čiosios lygiagreč lygiagrečių jų jų jjėgų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos
15 15 15 18 19 20 22 22 24 29 30 32 32 34 36
ERDVINĖ JĖGŲ SISTEMA 38 1.6. Jėgos ir jėgų poros erdvė je 1.6.1. Jė Jėgos momentas erdvė erdv ė je 1.6.2. Jė Jėgų pora ų pora erdvė erdvė je 1.6.3. Lygiagretusis j ėgos perk ėlimas erdvė erdvė je 1.6.4. Jė Jėgų por ų por ų sud ų sudėėtis erdvė erdvė je. Erdvinė Erdvinės jė jėgų por ų por ų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos 46 1.7. Erdvinė bet kaip išdėstytų jėgų sistema 48 1.7.1. Erdvinė Erdvinės jė jėgų sistemos ų sistemos redukavimo bū b ūdai 48 1.7.2. Erdvinė Erdvinės bet kaip išdė išd ėstytų stytų jjėgų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos 52 1.7.3. Erdvinė Erdvinės lygiagreč lygiagrečių jų jų jjėgų sistemos ų sistemos pusiausvyros są s ą lygos lygos 53 1.7.4. Varinjono teorema, taikoma erdvinei j ėgų sistemai ų sistemai 54 1.8. Ryšių modeliavimas 55 1.9. Statiškai išsprendžiami ir statiškai neišsprendžiami uždaviniai 58 2. K ŪNŲ SISTEMOS 2.1. K ūnų sistemos pusiausvyra 2.2. Santvaros
60 60 62 3
3. SVORIO CENTRAS 3.1. Lygiagrečių jų jėgų centras 3.2. K ūno svorio centras 3.3. Plokščios figūros svorio centras 3.4. Linijos pavidalo k ūno svorio centras
69 69 71 73 74
4. TRINTIS 4.1. Sausojo slydimo trintis 4.2. Riedė
75 75 jimo trintis
LITERATŪRA
80
PRIEDAI 1 priedas. 2 priedas.
81 81 82
SI sistemos matavimo vienetai, naudojami mechanikoje Trinties koeficientų tipinės reikšmės
4
PRATARMĖ Mechanika – nuolat tobulė jantis fundamentinis mokslas, apimantis klasikinę ir naujausias, dažnai dar iki galo nesuformuluotas, teorijas, kuriame pla čiai taikomi šiuolaikiniai skaičiavimo ir matematinio modeliavimo metodai, pritaikomos naujausios technikos galimybės eksperimentams, tyrimams bei virtualiajam – kompiuteriniam į vairių konstrukcijų ir procesų modeliavimui atlikti. Aukštosiose technikos mokyklose susipažinimas su šiuo mokslu prasideda nuo teorinės mechanikos kurso. Teorinė mechanika – dalykas, kurio studijavimas leidžia būsimiems inžinieriams į sisavinti klasikinės mechanikos teorijos pagrindus, padeda suformuoti inžinerinį mą stymą , į gyti uždavinių sprendimo į gūdžių , būtinų studijuojant tokius inžinerinius dalykus, kaip medžiag ų atsparumas, medžiagų mechanika, mašinų ir mechanizmų teorija ir t. t. Technikos universitetų šiuolaikinių studijų programose numatomos paskaitos ir savarankiškas papildomos literatūros nagrinė jimas. Todėl autoriai nutar ė parengti teorinės mechanikos statikos dalies paskait ų konspektą ir visus kurse nagrinė jamus teorijos klausimus aptarti daug išsamiau negu tai į manoma padaryti per paskaitoms skirtą laik ą . Autoriai bus dėkingi skaitytojams už pastabas ir dalykinius si ūlymus. Autoriai dėkingi recenzentams VGTU Medžiagų atsparumo katedros prof. habil. dr. M. Leonavičiui ir Statybinės mechanikos katedros prof. habil. dr. J. Atko čiūnui už pastabas ir rekomendacijas rengiant šią knygą .
5
ĮVADAS Mechanika – fizinių mokslų šaka, nagrinė janti materialiuosius objektus – k ūnus, k ūnų sistemas, tų sistemų pusiausvyr ą , judė jimo dėsnius bei mechaninę tarpusavio są veik ą. Statika – mokslas apie pavienius materialiuosius k ūnus bei mechanines sistemas veikiančių jėgų pusiausvyr ą.
Statikos uždaviniai Statikoje vyrauja dviejų r ūšių uždaviniai: 1. veikiančios jėgų sistemos pakeitimas kita, jai ekvivalentine, tačiau paprastesne sistema; 2. bendr ų jų są lygų nustatymas, kai jėgų sistema yra pusiausvira. Pagrindinės sąvokos Mechanikoje nagrinė jami šie objektai: materialusis taškas , kietasis k ūnas ir mechanin ė sistema. Materialusis taškas. Be galo mažas fizinis k ūnas mechanikoje vadinamas materialiuoju tašku. Kietasis k ūnas. Statikoje tiriamas absoliuč iai kietas k ūnas – k ūnas, kuriame, veikiant išorinėms jėgoms, atstumai tarp jo tašk ų nesikeičia, ir k ūnas išlaiko savo pirminę geometrinę formą . Realius deformuojamus k ūnus galima laikyti absoliučiai kietais, kai jų deformacijos, lyginant su k ūno matmenimis, yra tokios mažos, kad j ų galima nepaisyti. Mechaninė sistema . Materialių jų tašk ų, arba kietų jų k ūnų , visuma, kurioje kiekvieno taško arba k ūno judė jimas priklauso nuo kitų tašk ų arba k ūnų judė jimo ir ryšių tarp jų , yra vadinama mechanine sistema. J ė ga. Dviejų materialių jų k ūnų mechaninės są veikos matas mechanikoje vadinamas jė ga. Fizinė jėgos prigimtis teorinė je mechanikoje neturi reikšmės, šiuo atveju mus domina tik veikiančios jėgos sukeltas efektas. Kadangi k ūnų tarpusavio mechaninis poveikis yra galimas per tašk ą arba plokštumą , jėgos yra skirstomos į koncentruotą sias ir išskirstytą sias. Gamtoje nėra koncentruotų jų jėgų , tai tik prielaida, leidžianti supaprastinti sprendžiamus uždavinius. Koncentruotoji jėga yra vektorinis dydis, apibr ėžiamas trimis faktoriais: prid ėties tašku , kryptimi ir didumu . Vektoriniams dydžiams žymėti naudosime rodyklę “ → ”, pavyzdžiui: F . • Jėgos prid ėties taškas – tai k ūno taškas, į kur į sutelktas jėgos veiksmas. • Jėgos kryptimi vadinama kryptis, kuria pradėtų judėti jėgos veikiamas k ūnas, iki tol buvęs pusiausviras. Tiesė, išvesta per jėgos pridėties tašk ą jėgos veikimo kryptimi, yra vadinama jėgos veikimo tiese. Jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės (1 pav.). r
r
F
A
B
r
F
1 pav. Jėgos veikimo tiesė
6
• Jėgos didumas pagal tarptautinę matavimo sistemą SI matuojamas niutonais. Vienas niutonas ( N ) yra jėga, kuri vieno kilogramo ( kg ) masei suteikia vieno metro ( m) per sekundę kvadratu ( s 2 ) pagreitį : 1 N =
1kg ⋅ 1m . 1 s 2
(1)
Išskirstytosios apkrovos yra nusakomos prid ėties linija arba pridėties plotu, veikimo intensyvumu bei kryptimi. Akademinio pobūdžio uždaviniuose tokios apkrovos yra pakeičiamos jas atstojančiomis koncentruotomis jėgomis (2 pav.). qmax
q
L
L Q
r
r
Q Q = q ⋅ L
Q=
a
1 3
a = L
1 ⋅ L q 2 max
2 pav. Paprasčiausi išskirstytų jų apkrovų pakeitimo atvejai
J ė g ų sistema. K ūną veikiančių jėgų visuma vadinama jė g ų sistema . Jėgų sistemas patogu klasifikuoti pagal tai, kaip jos yra išsidėsčiusios erdvė je. Todėl mechanikoje nagrinė jamos: plokš či oji jė g ų sistema – kai visos jėgos yra išsidėsčiusios vienoje plokštumoje, ir erdvinė jė g ų sistema – kai visų jėgų veikimo tiesės erdvė je yra išsidėsčiusios bet kaip. Teorinės mechanikos pagrindą sudaro dėsniai, kuriuos suformulavo Galilė jus ir Niutonas. Tai dėsniai, kuriais apibendrinami ilgaamžiai stebė jimai, bandymai ir praktiniai žmonių darbai. Šie pagrindiniai dėsniai teorinė je mechanikoje yra aksiomos, t. y. teiginiai, kurie nereikalauja į rodymo. Statikos aksiomos 1 aksioma. Norint, kad dvi k ūną veikiančios jėgos būtų pusiausviros, būtina ir pakanka, kad tos jėgos būtų lygios ir veiktų viena tiese priešingomis kryptimis (3 pav.). Tai yra paprasčiausias atsisveriančių jėgų sistemos atvejis. r
F r
F 1
A
F = F 1
3 pav. Jėgos, sudarančios paprasčiausią atsisveriančių jėgų sistemą
7
2 aksioma. Jei prie veikiančios k ūną jėgų sistemos pridėsime ar atimsime atsisveriančių jėgų sistemą , pavyzdžiui ( F 1 , F 2 ) (žr. 4a pav.), tai nuo to k ūno būvis nepasikeis. Matome (4b pav.), kad jėgos F ir F 1 sudaro atsisveriančių jėgų sistemą , kurią galima atmesti. r
r
r
r
F = F 1 = F 2
r
r
F 2
F 2
r
r
F 1
F 1 B
B
r
r
F
A
A
F
a)
b)
4 pav. Jėgos perk ėlimas išilgai jos veikimo tiesės
jį k ūną veikiančią jėgą galima perkelti išilgai jos veikimo tiesės (4b pav.). Išvada: kietą 3 aksioma. Dviejų viename k ūno taške pridėtų jėgų atstojamoji yra lygi jėgų vektorių geometrinei sumai, t. y. didumu ir kryptimi lygi sudaryto iš t ų jėgų lygiagretainio į strižainei (5–6 pav.). r
r
F 2
r
r
R
F 2
r
r
F 1
r
F 2
R
F 2
F 1 r
F 2
r
R = F 1 + F 2 r
F 1
r
r
r
F 1
r
F 1
R
r
r
R
R = F 1 − F 2
r
r
5 pav. Vektorių sudėtis
r
r
6 pav. Vektorių skirtumas r
r
r
Dviejų viename taške pridėtų jėgų F 1 ir F 2 atstojamosios jėgos R dydį ir kryptį galima rasti analiziniu būdu taikant kosinusų ir sinusų teoremas. • Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas iš trikampio OAB (7 pav.): r
R
A
= F 12 + F 22 − 2 F 1 F 2 cos(π − α ) , r
arba
R
r
R
= F 12 + F 22 + 2 F 1 F 2 cosα .
(2)
• Atstojamosios jėgos R kryptis nusakoma kampais ϕ 1 ir ϕ 2 (5 pav.): r
F 2 O
α
ϕ2 r
F 1
ϕ1 α
(π − α )
B
7 pav. Atstojamosios jėgos kryptis F 1
sin ϕ 1
=
F 2
sin ϕ 2
=
R
sin (π − α )
=
R
sin α
8
.
(3)
4 aksioma. Jėgos, kuriomis du k ūnai veikia vienas kitą (akcija ir reakcija), yra lygios ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis. Šios j ėgos yra pridėtos prie skirtingų k ūnų ir nesudaro atsisveriančių jėgų sistemos. Ketvirtoji aksioma yra vienas iš pagrindinių mechanikos dėsnių , nes gamtoje vienpusio jėgos veikimo nėra. 5 aksioma. Jei materialių jų tašk ų sistema ar deformuojamas k ūnas, veikiamas tam tikr ų jėgų , yra pusiausviras, tai ši pusiausvyra nebus suardyta, jei k ūnas taps absoliučiai kietu. Tačiau atvirkščia tvarka šio dėsnio taikyti negalima, nes nors jėgų veikiamas absoliučiai kietas k ūnas yra pusiausviras, jam tapus deformuojamuoju pusiausvyra gali b ūti suardyta. 6 aksioma. Bet kur į suvaržytą k ūną galima būtų laikyti laisvuoju, nutraukus ryšius ir vietoj jų pridė jus atitinkamas ryšių reakcijų jėgas (dažniausiai pasitaikančių ryšių analizė atlikta 1.8 skyrelyje).
9
1. JĖGOS IR JĖGŲ SISTEMOS Teorinės mechanikos kursas pradedamas nuo j ėgos są vokos į vedimo. Naudojant jėgą yra į vertinamas vieno materialiojo k ūno mechaninis poveikis kitam materialiajam k ūnui. Skaičiavimo schemose jėga vaizduojama kaip vektorius, kurio ilgis atitinka poveikio didum ą , o kryptis sutampa su poveikio kryptimi. Sprendžiant mechanikos uždavinius, dažnai tenka nagrinėti ne vienos jėgos, bet tam tikros jėgų sistemos, sudarytos iš skirtingo didumo ir krypties jėgų , poveik į . Atsižvelgiant į jėgų išsidėstymą erdvė je, bet kuri jėgų sistema gali būti priskirta plokščiajai arba erdvinei jėgų sistemoms, kurios savo ruožtu yra skirstomos į susikertančių , lygiagrečių jų arba bet kaip išdėstytų jėgų sistemas. Todėl toliau aptarsime bendrus atskir ų jėgų bei jėgų sistemų poveikių k ūnams arba k ūnų sistemoms į vertinimo principus.
1.1. J Ė GA Pagal geometrinius požymius statikos uždaviniai gali b ūti skirstomi į tris grupes: vienmačiai, dvimačiai (plokštieji) ir trimačiai (erdviniai). Atitinkamai tenka parinkti vienos, dviejų arba trijų koordinačių ašių kryptis. Nors daugelis statikos uždavini ų yra formuluojami ir sprendžiami naudojant Dekarto koordina čių sistemą , pasitaiko atvejų , kai koordinačių ašys nėra statmenos viena kitai. Todėl nagrinėsime bendr ą jį atvejį – jė gos projekciją į laisvai pasirinktą ašį . C
r
F
α
A
r
F β
B
F x a
Jėgos projekcijos kryptis
a)
α
F x
x
b
b
8 pav. Jėgos projekcija į ašį
A
Jėgos projekcijos kryptis
a
x
b)
r
Tarkim, kad yra ašis x ir jėga F , pridėta k ūno taške A (8a pav.). Jėga ir ašis yra vienoje plokštumoje. Iš jėgos pradinio ir galinio tašk ų leidžiami statmenys į ašį x. Gautoji atkarpa ab ašyje x vadinama jėgos F projekcija į ašį x ir yra žymima F x : r
F x
= ab .
(4)
Jėgos projekcijos F x kryptį nusako atkarpos ab atskaitos kryptis – nuo taško a link taško b (8a,b pav.). Jėgos projekcijos F x didumas randamas iš ∆ ABC : cos α = F x
AB AC
=
F x F
= F cos α , 10
, (5)
čia F – jėgos modulis (didumas); kampas α matuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo teigiamos x ašies krypties jėgos link. (5) išraiška tinka bet kokiai kampo α reikšmei. Kai jėgos projekcijos kryptis nesutampa su teigiama ašies kryptimi (8b pav.), j ėgos projekcija turi minuso ženkl ą , nes: F x
= F cos α = F cos(180 − β ) = − F cos β .
(6)
Jėgos projekcija į ašį yra skaliarinis dydis, lygus jėgos modulio ir kosinuso smailaus kampo tarp ašies ir jėgos sandaugai. Jėgos projekcijos ženklą nusako jėgos su teigiama ašies kryptimi kampo kosinusas, pavyzdžiui:
= F cos 0 = F 0 F x = F cos 90 = 0 0 F x = F cos180 = − F
α =0 α = 90 0 α = 180 0
F x
Skirtingos jėgos gali tur ėti vienodo didumo ir ženklo projekcijas (9 pav.), tod ėl jėgai nustatyti nepakanka žinoti jėgos projekciją į vieną ašį . r
F 4
r
F 1 r
F 2
r
F 5
r
F 3
r
F 6
F i x a
Jėgų projekcijų kryptys
F i x
x
b
b
Jėgų projekcijų kryptys
a
x
9 pav. Jėgų projekcijos į ašį
Norint nustatyti jėgą plokštumoje, reikia tur ėti jos projekcijas į dvi viena kitai statmenas koordinačių ašis bei jėgos pridėties tašk ą (10–11 pav.). y r
C
c
F
r
F y F y a
β
A
r
α F x jėgos dedamoji
B
F x a
jėgos projekcija
b
x
10 pav. Jėgos projekcijos plokštumoje
11
F = F x + F y . r
r
r
(7)
Jėgos didumas (modulis) randamas taip: F = F x2
+ F y2 ,
(8)
kur F x = F cos α ; F y = F cos β = F sin α . Todėl: cos α =
F x F
cos β =
,
F y F
.
(9)
y
r
F
r
F
y r
F
β
β
x
y
r
α
F
β y
x
β x
x
= F sin β F y = F cos β F x
= − F cos β F y = − F sin β
= F sin (π − β ) F y = − F cos(π − β )
F x
= F cos(β − α ) F y = F sin (β − α )
F x
F x
11 pav. Jėgų projekcijos į ašis
Norint nustatyti jėgą erdvė je, reikia žinoti jėgos pridėties tašk ą ir jėgos dedamą sias pagal tris viena kitai statmenas koordinačių ašis (12 pav.).
r
F z r
F
γ
r
k j
r
r
β
F y
r
r
i x
F x
α
y
12 pav. Jėgos dedamosios erdvė je F = F x + F y + F z , r
r
r
r
r
r
r
čia F x , F y ir F z – jėgos F dedamosios. 12
r
(10)
F = F x i r
r
r
+ F y j + F z k , r
(11)
r
kur i , j , k – koordinačių ašių vienetiniai vektoriai; F x , F y , F z – jėgos vektoriaus projekcijos į r
r
x, y, z koordinačių ašis.
Jėgos didumas randamas taip: F = F x2
+ F y2 + F z 2 ,
(12)
kur F x = F cos α ; F y = F cos β ; F z = F cos γ . Jėgos kryptis nusakoma kampais: cos α =
F x F
cos β =
;
F y F
;
cos γ =
F z F
.
(13)
1.2. J Ė GOS MOMENTAS Atvejų , kai jėga stengiamasi vienaip arba kitaip pasukti k ūną , dažnai pasitaiko praktikoje (13 pav.). Jėgos sukimo veikimui nusakyti į vesime jėgos momento apie tašk ą są vok ą. Nagrinėsime jėgos F sukimą apie tašk ą O, kuriame vamzdžio (toliau – k ūno) ašis kerta plokštumą , kurią sudaro raktas ir jėgos F veikimo tiesė (13–14 pav.).
d
F
O
A
r
r
13 pav. Jėgos momentas Iš taško O leidžiamas statmuo (d ) į jėgos F veikimo tiesę.
B
r
O r
F
d
Atkarpa d vadinama jėgos F petimi taško O atžvilgiu. r
A
14 pav. Jėgos momentas apie tašk ą r
r
Jėgos F sukimo efektas pasireiškia plokštumoje, einančioje per jėgą F ir tašk ą O (13 pav.), ir priklauso nuo jėgos F didumo (modulio), peties d dydžio ir sukimo krypties. • Jėgos momentas taško atžvilgiu žymimas M O ( F ) , kur indeksas O rodo tašk ą , apie r
r
kur į skaičiuojamas momentas. 13
• Jėgos momentu taško atžvilgiu vadinama j ėgos modulio ir peties sandauga:
( )
M O F = F ⋅ d . r
(14)
Jėgos krypčiai taško atžvilgiu nurodyti prieš sandaugą rašomas (+) arba (–) ženklas. Pagal susitarimą momentas yra teigiamas, kai jėga pasuka k ūną apie tašk ą prieš laikrodžio rodyklę (15a pav.), ir neigiamas, – kai k ūnas yra pasukamas pagal laikrodžio rodykl ę (15b pav.). r
F A
d
A
d
O
r
F
O
( ) = + F ⋅ d
( ) = − F ⋅ d
r
r
M O F
M O F
a)
b) 15 pav. Jėgos momento apie tašk ą teigiama ir neigiama kryptys
Jėgos momento taško atžvilgiu skaitin ė reikšmė lygi trikampio, kurio pagrindas yra jėga, o viršūnė – taškas, apie kur į skaičiuojamas momentas, dvigubam plotui. Pavyzdžiui, j ėgos F (14 pav.) momentas taško O atžvilgiu lygus trikampio OAB dvigubam plotui: r
( ) = 2 ⋅ A∆ r
M O F
OAB
,
(15)
r
čia A∆OAB – trikampio OAB plotas; F – trikampio pagrindas; taškas O – trikampio viršūnė. Jėgos momentas taško atžvilgiu pasižymi šiomis savyb ėmis: • jėgos momentas taško atžvilgiu lygus nuliui, jei j ėgos veikimo tiesė eina per tašk ą ; • jėgos momentas taško atžvilgiu nepasikei čia, kai jėga perkeliama į kitą tašk ą jos veikimo tiesė je, nes nepasikeičia jėgos ir peties didumai bei sukimo kryptis. Jėgos momento dimensija – [ N ⋅ m] .
14
PLOKŠČIOJI JĖGŲ SISTEMA Plokščią ją jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje. Ų J Ė GŲ 1.3. PLOKŠ Č IOJI SUSIKERTAN Č I SISTEMA Plokščią ją susikertančių jėgų sistemą sudaro jėgos, veikiančios vienoje plokštumoje ir susikertančios viename taške (16 pav.). r
F 2
r
y
F 1
r
F 1
r
F 2
α
T
β
r
γ
α
x
16 pav. Plokščiosios susikertančių jėgų sistemos
Ų J Ė GŲ 1.3.1. SUSIKERTAN Č I SUD Ė TIS Žinome, kad jėgos vektoriaus kryptis sutampa su j ėgos veikimo kryptimi, o vektoriaus ilgis atitinka jėgos didumą . Todėl jėgas galima sudėti dviem būdais: geometriškai – grafiškai sudedant jėgų vektorius ir analiziškai – sudedant jėgų vektorių projekcijas į atitinkamas koordinačių ašis. Susikertanč i ų j ė g ų geometrin ė sud ėtis Sakykime, kad absoliučiai kietą k ūną veikia jėgos F 1, F 2 , F 3 ir F 4 , pridėtos atitinkamai taškuose A1 , A2 , A3 ir A4 (17 pav.). r
r
r
r
r
F 2
r
F 1
A2
A1
r
F 3
r
r
R
R2
A3
r
R1 r
F 2
r
F 3
r
F 1
r r
A4
F 4
F 4
O
17 pav. Susikertančių jėgų geometrinė sudėtis
Į jėgų veikimo tiesių susikirtimo tašk ą 0 perkeliamos visos jėgos. Pritaikius trečią ją aksiomą ir lygiagretainio taisyklę, sudė jus jėgas F 1 ir F 2 , gaunama šių jėgų atstojamoji jėga R1 : (16) R1 = F 1 + F 2 . r
r
r
r
r
15
r
r
r
r
r
Toliau jėgų F 1 ir F 2 atstojamoji R1 sudedama su jėga F 3 . Taip paeiliui galima sudėti r
visas jėgas ir gauti visos sistemos atstojamą ją jėgą R : R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 . r
r
r
r
r
(17)
Matome, kad, sudedant dvi jėgas, nebūtina sudaryti jėgų lygiagretainį . Tą patį rezultatą galima gauti prie pirmosios jėgos F 1 galo pridė jus vektorių , kurio didumas ir kryptis atitinka antrosios jėgos F 2 didumą ir kryptį . Sujungus pirmosios jėgos pradžią ir pridėtosios jėgos F 2 galą , taip pat gaunama jų atstojamoji R1 . Taigi galima nuosekliai sudėti visas jėgas (18 pav.). r
r
r
r
r
F 2
r
F 1
r
F 3
r
C F 4
D
r
F 3
B
r
R
r
r
F 2 R1 R2 r
A
r
F 4
r
F 1 O
18 pav. Susikertančių jėgų geometrinė sudėtis
Gautasis daugiakampis OABCD vadinamas jėgų daugiakampiu, o aprašytas jėgų sudėties būdas vadinamas jėgų daugiakampio taisykle. Šio daugiakampio uždaromoji OD pagal didumą ir kryptį yra lygi jėgų sistemos atstojamajai jėgai R . Iš br ėžinio (18 pav.) matyti, kad: r
R1 = F 1 + F 2 , r
r
R 2
r
(18)
= R1 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3 , r
R = R2 r
r
r
r
r
r
r
(19)
+ F 4 = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 . r
r
r
r
r
(20)
Bendruoju atveju, kai sistemą sudarančių jėgų skaičius yra lygus n, galima užrašyti: R = F 1 + F 2 r
r
r
n
+ ... + F n = ∑ F i , r
r
(21)
i =1
kur i = 1, 2, …, n. Taigi susikertančių jėgų sistema pakeičiama viena jai ekvivalentine jėga R , pridėta jėgų veikimo tiesių susikirtimo taške, ir lygia sistemą sudarančių jėgų geometrinei sumai. r
16
Susikertanč i ų j ė g ų analizin ė sud ėtis Atstojamosios projekcijos teorema:
plokščiosios, viename taške susikertan čių jėgų sistemos atstojamosios projekcija į ašį yra lygi sistemą sudarančių jėgų projekcijų į tą pačią ašį algebrinei sumai. K ūno taške A (19 pav.) pridėta plokščioji susikertančių jėgų sistema ( F 1 , F 2 , F 3 ). r
r
r
r
F 1 r
F 2 A
r
F 3
19 pav. Susikertančių jėgų sistema r
Šios jėgų sistemos atstojamoji R randama taikant jėgų daugiakampio taisyklę: R = F 1 + F 2 r
r
r
3
+ F 3 = ∑ F i . r
r
(22)
i =1
r
Analiziškai rasti jėgų atstojamosios R dydį galima visas jėgas suprojektavus į x ir y koordinačių ašis (20 pav.).
r
F 2 y
F 3 y
F 3
r
F 2 r
R y
F 1
F 1 y
r
α A
R x
F 1 x F 2 x F 3 x
R x
20 pav. Jėgų ir jėgų sistemos atstojamosios projekcijos 3
R x
= F 1 x + F 2 x + F 3 x = ∑ F i x , i =1
(23) 3
R y
= F 1 y + F 2 y + (− F 3 y ) = ∑ F i y . i =1
Ši teorema analogiškai į rodoma esant bet kuriam jėgų skaičiui n, todėl galima užrašyti:
17
n
R x
= F 1 x + F 2 x + ... + F n x = ∑ F i x , i =1
(24) n
= F 1 y + F 2 y + ... + F n y = ∑ F i y .
R y
i =1
r
Atstojamosios jėgos R didumas (modulis) randamas taip: R = R x2
+ R y2 .
(25)
Atstojamosios jėgos R kryptis nusakoma kampu α : r
tan α =
R y
arba
R x
cos α =
R x R
, sin α =
R y R
.
(26)
1.3.2. TRIJ Ų J Ė GŲ TEOREMA Teorema:
trijų nelygiagrečių , esančių vienoje plokštumoje, jėgų veikimo linijos susikerta viename taške, jėgų sistemai esant pusiausvirai. Sakykime, kietą jį k ūną veikia trys nelygiagrečios tarpusavyje atsisveriančios jėgos F 1 , F 2 , F 3 , pridėtos atitinkamai taškuose A1 , A2 , A3 (21 pav.). r
r
r
r
F 1 A1 r
R A3
r
F 3
O r
A2
F 2
21 pav. Trijų jėgų teorema r
r
Jėgos F 1 ir F 2 veikia vienoje plokštumoje, todėl galima jas perkelti į šių dviejų jėgų veikimo linijų susikirtimo tašk ą O ir rasti jų atstojamą ją jėgą R , kuri bus pridėta tame pačiame taške. Pagal są lygą jėgos F 1 , F 2 ir F 3 yra pusiausviros, todėl jėgos F 3 ir R turi būti lygių r
r
r
r
r
r
r
didumų ir veikti viena tiese priešingomis kryptimis. Tai reiškia, kad j ėgos F 3 veikimo tiesė taip pat kerta tašk ą O.
18
Ų J Ė GŲ 1.3.3. SUSIKERTAN Č I SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS
Susikertanč i ų j ė g ų sistemos grafinė pusiausvyros s ąlyga C r
F 3
N
B r
F 2
r
F n
A r
F 1 O
22 pav. Grafinė pusiausvyros są lyga
Sakykime, kad k ūnas yra veikiamas susikertančių jėgų sistemos, sudarytos iš n jėgų . Visas jėgas sudedame pagal jėgų daugiakampio taisyklę (22 pav.). Jeigu gautojo jėgų daugiakampio OABC…N paskutiniosios jėgos F n galas remiasi į tašk ą O, t. y. pirmosios r
jėgos pridėties tašk ą , tai toks jėgų daugiakampis yra uždaras, o jo uždaromoji yra lygi nuliui. Kadangi jėgų daugiakampio uždaromoji pagal dydį ir kryptį yra lygi susikertančių jėgų sistemos atstojamajai jėgai R , tai reiškia, kad: r
R = r
n
∑
F i = 0. r
(27)
i =1
Taigi susikertančių jėgų sistemos atstojamoji yra lygi nuliui arba, kitaip tariant, j ėgų sistema yra ekvivalentinė nuliui ir tokios sistemos veikiamas k ūnas niekada nepakeis savo kinematinės būklės. Iš čia gaunama grafinė pusiausvyros są lyga: veikiamas susikertančių jėgų sistemos kietasis k ūnas yra pusiausviras, jei šių jėgų daugiakampis yra uždaras. Susikertanč i ų j ė g ų sistemos analizin ės pusiausvyros s ąlygos Jėgų sistemai esant pusiausvirai, jėgų daugiakampis yra uždaras, vadinasi, j ėgų sistemos atstojamoji jėga R yra lygi nuliui. Analiziškai jėgų sistemos atstojamosios modulis išreiškiamas taip: 2 2 (28) R = R x + R y , r
r
kur R x ir R y – jėgų atstojamosios R projekcijos į x ir y koordinačių ašis. Jėgų atstojamoji R bus lygi nuliui, kai R x2 + R y2 bus lygus nuliui, todėl abi projekcijos r
R x
ir R y turi būti lygios nuliui: R x
= 0 ir R y = 0 .
19
(29)
n
n
i =1
i =1
Žinant, kad R x = ∑ F i x ir R y = ∑ F i y , plokščiosios, viename taške susikertančių jėgų sistemos pusiausvyros są lygas galima užrašyti taip: n R x = ∑ F i x = 0, i =1 n R = ∑ F = 0. y i =1 i y
Išvada:
(30)
plokščioji viename taške susikertančių jėgų sistema yra pusiausvira, jei jėgų projekcijų algebrinės sumos į dvi viena kitai statmenas ašis yra lygios nuliui.
1.3.4. VARINJONO TEOREMA Teorema:
plokščiosios susikertančių jėgų sistemos atstojamosios jėgos momentas bet kurio plokštumos taško atžvilgiu lygus sudedam ų jų jėgų momentų to paties taško atžvilgiu algebrinei sumai. Į rodymas. Plokščioji jėgų sistema ( F 1 , F 2 , …, F n ) yra pridėta k ūno taške A (23 pav.). r
r
n
r
Šios jėgų sistemos atstojamoji jėga R = ∑ F i taip pat pridėta taške A. Reikia rasti visų jėgų r
r
i =1
momentus laisvai pasirinkto taško O atžvilgiu. x C
B
r
F 1 x
r
F 1 x
O
r
F 1
R
r
A
F 2
r
F n r
r
23 pav. Jėgų F 1 ir F 1 x momentai taško O atžvilgiu
Priminsime, kad jėgos momentas apie tašk ą yra lygus trikampio, kurio pagrindas yra pati jėga, o viršūnė – taškas, apie kur į skaičiuojamas momentas, dvigubam plotui (žr. 1.2 skyri ų ). Per tašk ą O (23 pav.) jėgų veikimo plokštumoje nubr ėšime ašį x, statmeną atkarpai OA, ir rasime jėgos F 1 dedamą ją jėgą pagal šią ašį F 1 x . Iš 23 pav. matyti, kad trikampių OAB ir r
r
OAC plotai yra lygūs, nes jie turi bendr ą pagrindą OA ir vienodas aukštines – AC . Todėl jėgos r
F 1
momentą taško O atžvilgiu galima išreikšti taip:
( ) = M ( F 1 ) = OA ⋅ F 1 r
M O F 1
r
O
r
čia F 1 x – jėgos F 1 projekcija į ašį x. 20
x
x
,
(31)
Analogiškai galima užrašyti, kad:
( ) = OA ⋅ F 2 r
M O F 2
,
x
(32)
……………. M O ( F n ) = OA ⋅ F n x , r
ir
( ) = OA ⋅ R r
M O R
.
x
Pagal atstojamosios projekcijos teoremą : n
R x
= ∑ F i x .
(33)
i =1
Padauginę abi lygybės (33) puses iš atkarpos OA gauname: OA ⋅ R x
n
= OA ⋅ ∑ F i x ,
(34)
i =1
ir n
( ) = ∑ ( F =1 r
M O R
i x
⋅ OA).
(35)
i
Tačiau, bet kurios jėgos projekcija, padauginta iš atkartos OA yra lygi tos jėgos momentui taško O atžvilgiu, todėl: n
( ) = ∑ M ( F ) . r
r
M O R
O
i
(36)
i =1
Užrašytoji formulė yra Varinjono teoremos matematinė išraiška. Sprendžiant uždavinius, reikia, kad jėgos momentas taško atžvilgiu būtų išreikštas jėgos projekcijomis arba dedamosiomis (24 pav.). y r
F y r
F x
r
F x
A( x, y) y
x
O r
r
r
24 pav. Jėgos F dedamų jų jėgų F x ir F y momentai taško O atžvilgiu
21
r
r
r
Jėgos F dedamosios F x ir F y pridėtos k ūno taške A, kurio koordinatės yra x ir y (24 pav.). Taikant Varinjono teorem ą , galima užrašyti:
( ) = M ( F ) + M ( F ) ,
(37)
( ) = − y ⋅ F , x
(38)
( ) = x ⋅ F ,
(39)
( )
(40)
r
r
M O F
kur
O
r
x
O
y
r
M O F x r
M O F y
todėl
y
M O F = x ⋅ F y − y ⋅ F x , r
kur x ir y – taško A koordinatės. Ų J Ų J Ė GŲ 1.4. PLOKŠ Č IOJI LYGIAGRE Č I SISTEMA Lygiagrečią sias jėgas galima vertinti kaip atskir ą susikertančių jėgų atvejį , kai tų jėgų susikirtimo taškas yra begalybė je. VEIKIAN Č I Ų J Ė GŲ 1.4.1. LYGIAGRE Č IAI SUD Ė TIS r
r
Sakykime, kad dvi lygiagrečios jėgos F 1 ir F 2 veikia k ūną taškuose A ir B ir yra nukreiptos viena linkme (25 pav.). F ′ r
r
F
A
C r
r
R2
R1
r
F 1
F ′ r
F = F ′
B
O
r
F 2 r
F r
R1
r
R2
r
R
25 pav. Lygiagrečiai veikiančių jėgų sudėties schema r
Šių dviejų jėgų atstojamoji jėga R nustatoma taip: a) Taškuose A ir B pridedamos dvi lygios, bet priešingai nukreiptos j ėgos F ir F ′ , todėl gautoji keturių jėgų sistema ( F 1 , F 2 , F ; F ′ ) yra ekvivalentiška jėgų sistemai ( F1 , F 2 ). b) Sud ė jus jėgas F 1 su F ir F2 su F ′ gaunamos dvi nelygiagrečios jėgos R1 ir R2 . Šios jėgos perkeliamos į jų veikimo tiesių susikirtimo tašk ą O ir sudedamos. Jėgų R1 ir R2 atstojamoji jėga R bus nukreipta ta pačia linkme kaip ir sudedamosios jėgos F 1 ir F 2 ir lygi: r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
22
r
r
R = R1 + R2 r
r
= F 1 + F 2 ,
r
r
R = F 1 + F 2
r
(41)
.
Pagal trikampių panašumą galima užrašyti: AC F
=
CO
BC F ′
ir
F 1
CO
=
F 2
.
(42)
Pertvark ę gauname: AC BC AC + BC AB
=
F 2
=
=
F 1 + F 2
R
,
(43)
F 1 ⋅ AC = F 2 ⋅ BC .
todėl Išvada:
F 1
(44)
Dviejų lygiagrečių , nukreiptų viena linkme, jėgų atstojamoji yra lygiagreti su šiomis jėgomis ir yra nukreipta ta pačia linkme. Atstojamosios modulis lygus šių jėgų modulių sumai, o jos veikimo tiesė dalija atstumą tarp jėgų į dvi dalis atvirkščiai proporcingai šių jėgų dydžiams (moduliams). Be to, atstojamosios j ėgos R veikimo tiesės bet kurio taško atžvilgiu dedamų jų jėgų F 1 ir F 2 momentai yra lygūs. r
r
r
Dviej ų lygiagre č i ų priešingai nukreipt ų j ė g ų sud ėtis K ūno taškuose A ir B pridėtos dvi lygiagrečiosios priešingų krypčių jėgos F 1 ir F 2 , be to, F 1 > F 2 (26 pav.). r
r
r
r
r
F 2 B
A
F 2′
C
r
r
R
r
F 1
26 pav. Lygiagrečių , priešingai nukreiptų jėgų , sudėtis r
Kad rastume šių jėgų atstojamą ją , jėga F 1 yra išskaidoma į dvi jai lygiagrečias ir nukreiptas ta pačia linkme sudaromą sias: F 2′ ( F 2′ = F 2 ) ir R . Jėga F 2′ pridedama taške B, o sudaromosios R didumas nustatomas taikant lygiagrečių jėgų sudėties taisyklę: r
r
r
F 1 = F 2′ + R ,
todėl 23
r
R = F 1 − F 2′ ,
kur F 2′ = F 2 , todėl R = F 1 − F 2
.
(45)
r
Dedamosios R pridėties taškas C nustatomas iš santykio: AC AC AB F 2′
=
=
F 2
R
=
AC + AB F 2 + R
=
BC F 1
.
(46)
1.4.2. J Ė GŲ POROS r
r
Kai lygiagrečios priešingai nukreiptos jėgos F 1 ir F 2 (26–27 pav.) yra lygios, t. y. F 1 = F 2 , turime dviejų jėgų sistemą ( F 1 , F 2 ) , kuri yra vadinama jėgų pora. r
r
r
F 1
α
d r
F 2
27 pav. Jėgų pora
Kadangi F 1 = F 2 , tai jų atstojamoji lygi nuliui: R = F 1 − F 2
= 0.
(47)
Atstumas iki atstojamosios pridėties taško C apskaičiuojamas iš anksčiau pateikto (46) santykio: AC = F 2
AB R
= F 2
AB
0
= ∞;
BC = F 1
AB R
= F 1
AB
0
=∞.
Išvados: r
a) jėgų poros atstojamoji R lygi nuliui, o jos pridėties taškas yra begalybė je; b) jėgos, sudarančios jėgų por ą , nėra pusiausviros, nes jos veikia ne viena tiese; c) jėgų pora yra tokia jėgų sistema, kuri nėra pusiausvira ir neturi atstojamosios.
24
(48)
F 1′ r
h B
A r
F 1
28 pav. Jėgų pora
Jėgų por ą (28 pav.) žymime ( F 1 ; F 1′) , čia F 1 = F 1′ . Pagrindinės są vokos: • plokštuma, einanti per jėgų poros veikimo tieses, vadinama j ėgų poros veikimo plokštuma; • atstumas h tarp jėgų poros jėgų veikimo tiesių vadinamas jėgų poros petimi; • negalima sutapatinti jėgų poros peties su atstumu tarp jėgų poros jėgų pridėties tašk ų AB. Jėgų poros sukamasis poveikis kitam k ūnui priklauso nuo: • jėgų por ą sudarančių jėgų modulio ir peties ilgio h; • jėgų poros veikimo plokštumos padėties erdvė je; • poros sukimo krypties šitoje plokštumoje. r
r
vadinama vienos iš sudarančių jėgų por ą jėgos modulio ir poros peties sandauga. Pagal susitarimą jėgų poros momentas laikomas teigiamu, kai j ėgų pora pasuka k ūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį , ir neigiamu, kai k ūnas pasukamas pagal laikrodžio rodyklę. Jėgų poros momentas (29 pav.) yra žymimas M ( F i , F i′) arba tiesiog M i , kur i – jėgų por ą J ė g ų poros momentu
r
r
sudarančių jėgų indeksas. F 2′ r
A
M 2
r
F 1
C
F 1′ r
M 1
h D
h B r
F 2
= M ( F 1 , F 1′) = F 1 ⋅ h = F 1′ ⋅ h r
M 1
r
= M ( F 2 , F 2′ ) = − F 2 ⋅ h = − F 2′ ⋅ h r
M 2
a) teigiama jėgų poros kryptis
r
b) neigiama jėgų poros kryptis
29 pav. Jėgų poros momento kryptys
25
Jėgų poros momentas yra lygus vienos iš sudaran čių jėgų por ą jėgos momentui apie tašk ą , kuriame pridėta antroji tos jėgų poros jėga: M 1
= M ( F 1 , F 1′) = M B ( F 1 ) = M A ( F 1′),
(žr. 29a pav.);
(49)
M 2
= M ( F 2 , F 2′ ) = M C ( F 2 ) = M D ( F 2′ ) , (žr. 29b pav.).
(50)
r
r
r
r
r
r
r
r
Skaitinė jėgų poros reikšmė yra lygi lygiagretainio plotui (29b pav.), kur į sudaro poros jėgos, arba dvigubam trikampio plotui (29a pav.), kurio pagrindas yra viena iš j ėgų , o aukštinė – jėgų poros petys. Jėgų poros momento M dimensija: [ N ⋅ m] . J ė g ų poros savyb ės 1. Jėgų poros jėgų momentų suma bet kurio taško, esančio poros veikimo plokštumoje, atžvilgiu nepriklauso nuo jo parinkimo vietos ir yra lygi j ėgų poros momentui. Sakykime, kad absoliučiai kietą jį k ūną veikia jėgų pora ( F 1 ; F 1′) (30 pav.). Apskaičiuosime jėgų poros jėgų momentų sumą jėgų poros veikimo plokštumoje laisvai parinkto taško O atžvilgiu: r
r
F 1′ r
h B
A
M
H
r
O
F 1
30 pav. Jėgų poros momentas taško O atžvilgiu
( ) + M ( F 1′) = F 1 ⋅ H − F 1′ ⋅ ( H − h) = F 1 ⋅ ( H − H + h) = F 1 ⋅ h , r
M O F 1
r
O
(51)
nes jėgų poros jėgos yra lygios F 1 = F 1′ . Kita vertus, jėgų poros momentas M lygus:
(
) = F 1 ⋅ h ,
M = M F 1 , F 1′ r
r
(52)
todėl
(
) = M ( F 1 ) + M ( F 1′),
M F 1 , F 1′ r
r
r
O
r
O
(53)
t. y. jėgų poros momentas bet kurio taško, esan čio poros veikimo plokštumoje, atžvilgiu yra lygus jėgų poros jėgų momentų apie tą patį tašk ą algebrinei sumai. Išvada: kadangi taškas O buvo pasirinktas laisvai, tai jėgų por ą galima perkelti į bet kurią kitą vietą jos veikimo plokštumoje ir nuo to k ūno būvis nepasikeis. 26
2. Jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui. α
1800 + α r
F 1
α
A
B
F 1′ r
F 1 x′
F 1 x
x
31 pav. Jėgų poros jėgų projekcijos į ašį
Jėgų poros jėgų projekcijų (31 pav.) didumai: F 1 x F 1′ x
= F 1 cosα , (54)
= F 1′ cos(180 + α ). 0
Jėgų poros jėgų projekcijų suma: F 1 x + F 1′ x
= F 1 cosα + F 1′ cos(180 0 + α ) .
(55)
Kadangi F 1 = F 1′ , tai F 1 x + F 1 x′
= F 1 cosα + F 1′ cos(1800 + α ) = F 1 cosα − F 1′cosα = 0 .
Išvada:
(56)
kadangi jėgų poros jėgų projekcijų į bet kurią ašį suma yra lygi nuliui, tai jėgų poros poveikis k ūnui yra į vertinamas tik pagal momentų pusiausvyros lygtis. 3. J ė g ų por ų ekvivalentiškumo teorema . Jėgų poros poveikis k ūnui nepasikeis, jeigu ši jėgų pora bus pakeista kita jėgų pora, veikiančia toje pat plokštumoje ir turinčia tokio pat didumo ir ženklo momentą . jį k ūną veikia jėgų pora ( F 1 ; F 1′) , kurios momentas yra lygus M 1 (32 Į rodymas: Kietą pav.). r
r
F 1′ r
h1
r
F 1
M 1 F 2′
F 1′
r
r
r
B
F 3
F 3′ r
F 2′ r
A r
r
F 1
F 2
M 2
h2
O1
32 pav. Ekvivalentiškos jėgų poros
27
O2 r
F 2
Per laisvai parinktus k ūno taškus O1 ir O2 , esanč esančius toje pač pačioje plokštumoje kaip ir jė j ėgų pora ( F 1 ; F 1′) , išvedamos dvi lygiagreč lygiagre čios tiesė tiesės. Atstumas h2 tarp šių šių tiesių tiesių taip pat parenkamas laisvai. Jė Jėgos F 1 ir F 1′ perkeliamos jų veikimo linkme į šių šių tiesių tiesių susikirtimo taškus A ir B. Kiekviena jė j ėga yra išskaidoma į dvi jė jėgas: jė jėga F 1 tiesė tiesėmis B O1 ir AB išskaidoma į F 2 ir F 3 , o jėga F 1′ – atitinkamai į F 2′ ir F 3′ . Kada Kadang ngii F 1 = F 1′ , tai tai ir gaut gautii komp kompon onen enta taii yra yra lyg lyg ūs: r
r
r
r
r
r
r
r
r
F 2
r
= F 2′ , F 3 = F 3′ .
Jėgos F 3 ir F 3′ sudaro atsisverianč atsisveriančių jėgų sistemą sistemą , todė todėl jas pašalinus, k ūno būklė klė nepasikeis. Jė J ėgas F 2 ir F 2′ perk ėlus į taškus į taškus O1 ir O2 , gaunama nauja jė j ėgų pora ų pora ( F 2 ; F 2′ ), kuri yra ekvivalentiška jė j ėgų porai ų porai ( F 1 ; F 1′) . Jėgų poros ų poros ( F 1 ; F 1′) momento didumas lygus trikampio AB F 1 dvigubam plotui: r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
( ) = 2 ⋅ A∆ M ( F 2 , F 2′ ) = 2 ⋅ A∆ M F 1 , F 1′ r
r
r
ABF 1
;
r
ABF 2
(57.1) ,
(57.2)
kur A∆ ABF 2 – trikampio AB F 2 plotas. Trikampiai AB F 1 ir AB F 2 yra lygū lygūs, nes turi bendr ą ą pagrindą pagrindą AB ir lygias aukštines ( AB // F 1 F 2 ). Todė Todėl ir jė jėgų por ų por ų momentai ų momentai yra lygū lygūs:
(
) = M ( F 2 , F 2′ ),
M F 1 , F 1′ r
r
M 1
r
r
(58)
= M 2 .
Išvados:
1. Vienu metu pakeitus jė j ėgų poros ų poros jė jėgų didumus ų didumus ir petį pet į taip, taip, kad jė j ėgų poros ų poros momentas ir jos sukimo kryptis nepakistų nepakist ų , jė jėgų poros ų poros poveikis kietajam k ūnui nepakis; 2. Jei h1 = h2 , mat matyt yti, i, jog jog por poros os pove poveik ikis is k ūnui nekinta, kai jė j ėgų pora ų pora perkeliama į kit į kitą ą viet vietą ą toje pač pačioje plokštumoje; 3. Dvi jė jėgų poros, veikianč veikiančios vienoje plokštumoje ir turinč turin čios vienodo didumo ir ženklo momentus, yra ekvivalentiškos; 4. Ekvivalentiškos jė j ėgų poros gali skirtis viena nuo kitos pagal pad ėtį plokštumoje, sudaranč sudarančių jėgų modulius ir šių šių jėgų kryptis bei peties ilgius, tač ta čiau jė jėgų por ų ų momentų momentų didumai ir ženklai turi bū b ūti vienodi.
28
Ų 1.4.3. J Ė G GŲ PORŲ SUD Ė TIS TIS IR PUSIAUSVYROS S Ą LYGA Kai vienoje plokštumoje veikia kelios jė j ėgų poros, ų poros, jos sudaro jė j ėgų por ų por ų sistem ų sistemą ą . Bet kuri jė jėgų por ų ų sistema gali bū būti pakeista viena atstojamą atstojam ą ja jėgų pora, kurios momentas lygus sistemą sistemą sudaran sudaranččių j ų jėgų por ų por ų moment ų momentų ų algebrinei algebrinei sumai. Pavyzdžiui, vienoje plokštumoje veikia trys j ėgų poros (33 pav.): ( F 1 ; F 1′) , ( F 2 ; F 2′ ) ir ( F 3 ; F 3′). r
r
r
r
r
r
F 1′
r
r
F 3′ r
F 2 h3
h1
h2
M 1
M 3
r
F 3
M 2
r
F 1
F 2′ r
33 pav. Jėgų por ų por ų sistema ų sistema
Jėgų por ų por ų momentai: ų momentai:
(
) = F 1 ⋅ h1 = M 1 ;
M F 1 , F 1′ r
r
(
M F 2 , F 2′ r
r
) = − F 2 ⋅ h2 = M 2 ;
(
M F 3 , F 3′ r
r
) = F 3 ⋅ h3 = M 3 .
(59)
Taikome jė jėgų por ų ų ekvivalentiškumo teoremą teorem ą ir visas jė jėgų poras pakeič pakei čiame naujomis jė jėgų poromis, ų poromis, turinč turinčiomis vienodą vienodą pet petį į h, taip, kad jė j ėgų por ų por ų momentai ų momentai liktų liktų nepakit nepakitęę:
(
) ⇒ M ( F 4 , F 4′ ) = F 4 ⋅ h = M 1 ;
M F 1 , F 1′
(
r
r
M F 2 , F 2′
(
r
r
r
) ⇒ M ( F 5 , F 5′) = − F 5 ⋅ h = M 2 ;
M F 3 , F 3′ r
r
r
r
r
(60)
) ⇒ M ( F 6 , F 6′) = F 6 ⋅ h = M 3 . r
r
Perkeliame jė jėgų por ų por ų j ų jėgas į taškus į taškus A ir B B (34a pav.). F 4′ r
F 5 A F 6
R′ r
F 6′ r
r
h
h
A
B
B
r
M 2 F 5′ r
M 3 M 1
r
r
R
F 4
a)
M
R = R′
b)
34 pav. Jėgų por ų por ų sud ų sudėėtis
29
Sudė Sudė jus jė jėgų por ų por ų j ų jėgas gaunama atstojamoji jė j ėgų pora ų pora ( R; R ′) (34 a,b pav.): r
6
R = F 4 + F 5 + F 6 = ∑ F i ; r
r
r
r
r
6
R ′ = F 4′ + F 5′ + F 6′ = ∑ F i′ ;
r
r
i=4
r
r
r
r
i =4
(61) R = F 4 − F 5 + F 6
6
6
R ′ = F 4′ − F 5′ + F 6′ = ∑ F i′ .
= ∑ F i ; i =4
i=4
Atstojamosios jė j ėgų poros ų poros momentas M ( R, R ′ ) skaič skaičiuojamas taip: r
(
M R, R ′ r
r
r
) = R ⋅ h = = ( F 4 − F 5 + F 6 ) ⋅ h = = F 4 ⋅ h − F 5 ⋅ h + F 6 ⋅ h =
(62) 6
= M ( F 4 , F 4′ ) + M ( F 5 , F 5′) + M ( F 6 , F 6′ ) = ∑ M ( F i , F i′) , r
r
r
r
r
r
r
r
i =4
todė todėl galima užrašyti:
M = M 1
3
+ M 2 + M 3 = ∑ M i . i =1
Kai jė jėgų por ų por ų skai ų skaiččius yra n, atitinkamai turime: M =
n
∑ M . i
(63)
i =1
Remiantis jė jėgų por ų ų sudė sudėties principu galima suformuluoti jė j ėgų por ų ų sistemos pusiausvyros s ą lygą lygą . Vienoje plokštumoje veikianč veikian čių jėgų por ų ų sistema bus pusiausvira, kai visų vis ų jėgų por ų ų momentų momentų algebrin algebrinėė suma bus lygi nuliui. M =
n
∑ M = 0 . i
(64)
i =1
1.4.4. LYGIAGRETUSIS J Ė GOS GOS PERK Ė LIMAS Puanso teorema :
norint perkelti jė jėgą lygiagre ą lygiagreččiai į bet į bet kur į į kitą kitą tašk tašk ą ą, reikia papildomai pridė pridėti jė j ėgų por ų por ą ą, kurios momentas lygus perkeliamosios j ėgos momentui taško, į kur į kur į ši į ši jė j ėga yra perkeliama, atžvilgiu. Jėga F yra pridė pridėta k ūno taške A (35a pav.). Jeigu laisvai pasirinktame taške O rodymas: Jė Į rodymas pridė pridėsime atsisverianč atsisveriančių j ų jėgų sistem ų sistemą ą ( F 1 , F 2 ) , tai k ūno bū būvis nuo to nepasikeis. r
r
r
30
r
F 2 r
A
h
A
F 2
O
O
r
F
r
F 1
r
F
r
F 1
a)
b)
35 pav. Lygiagretusis jė jėgos perk ėlimas
Jeigu taške O bus pridė pridėta atsisverianč atsisveriančių j ų jėgų sistema ų sistema ( F 1 , F 2 ) , kurios jė jėgos bus nukreiptos lygiagreč lygiagrečiai su jė jėga F (35b pav.), ir j ų didumas ų didumas bus toks pat kaip jė j ėgos F , tai jėgos F ir F 2 sudarys jė jėgų por ų por ą ą ( F ; F 2 ) , kurios momentas bus lygus M : r
r
r
r
r
r
r
r
M = F 2 ⋅ h = F ⋅ h = M ( F ) . r
(65)
O
r
Taigi gauname, kad taške O bus pridė pridėta jėga F 1 , kurios didumas ir kryptis sutampa su jė jėgos F didumu ir kryptimi, ir jėgų pora, ų pora, kurios momentas M yra lygus jė jėgos F momentui taško O atžvilgiu (36 pav.). r
r
( )
M = M O F r
A
M
F 1 = F
O
r
F r
F 1 r
į centr ą ą O 36 pav. Jėgos F redukavimas į centr r
Jėgos F lygiagretus perk ėlimas iš taško A į laisvai pasirinktą pasirinkt ą tašk ą ą O, pridedant papildomą papildomą jėgų por ą ą ( F ; F 2 ) , kurios momentas M = M O ( F ) yra vadinamas jė j ėgos F r
r
r
redukavimu į centr į centr ą ą O.
31
r
1.5. PLOKŠ Č IOJI BET KAIP IŠD Ė STYT Ų J Ė GŲ SISTEMA Jeigu jėgų sistemos jėgos veikia vienoje plokštumoje, bet n ėra viena su kita lygiagrečios ir nesusikerta viename taške, tai tokia j ėgų sistema yra vadinama plokščią ja bet kaip išdėstytų jėgų sistema. Plokščiosioms bet kaip išdėstytų jėgų sistemoms, sudarytoms iš didelio jėgų skaičiaus, supaprastinti taikomi toliau pateikti redukavimo (pertvarkymo) būdai. 1.5.1. PLOKŠ Č IOSIOS J Ė GŲ SISTEMOS REDUKAVIMO BŪ DAI
Plokš či osios j ė g ų sistemos redukavimas į tam tikr ą centr ą Sakykime, jog kietą jį k ūną veikia plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema ( F 1 , F 2 ,..., F n ) (37 pav.): r
r
r
r
F n
r
F 2
A2 An
A1
r
F 1
37 pav. Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema
Jėgų veikimo plokštumoje (38 pav.) laisvai parenkamas taškas O – redukavimo centras ir visos jėgos perkeliamos lygiagrečiai į šį tašk ą . Perkeliant jėgas, kiekvienai iš jų reikia pridėti papildomą jėgų por ą , kurios momentas bus lygus perkeliamos j ėgos momentui taško O atžvilgiu. r
F n
r
F 2
r
h2
M 1
F 2
M n
M 2
r
R O
A2
M O
An
A1
r
F 1
F n
r
h1 r
F 1
hn
38 pav. Plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos redukavimas į centr ą O
32
Papildomų jėgų por ų momentai lygūs sudedamų jėgų momentams redukavimo centro atžvilgiu:
= M O ( F 1 ) = − F 1 ⋅ h1 ; r
M 1
= M O ( F 2 ) = F 2 ⋅ h2 ; r
M 2 r
r
= M O ( F n ) = F n ⋅ hn . r
M n
(66)
r
Perkeltas į tašk ą O jėgas F 1 , F 2 ,..., F n galima sudėti kaip jėgas, susikertančias viename r
taške. Jų atstojamoji R bus lygi sudedamų jėgų geometrinei sumai: R = r
n
∑
r
F i ,
(67)
i =1
r
čia R – plokščiosios jėgų sistemos svarbiausias vektorius. Visas papildomas jėgų poras galima sudėti pagal vienoje plokštumoje veikian čių jėgų por ų sudėties taisyklę, t. y. pakeisti jas viena jėgų pora. Atstojamosios jėgų poros momentas jų jėgų por ų momentų algebrinei sumai: M O bus lygus sudedamų n
M O
n
= ∑ M O ( F i ) = ∑ M i , r
i =1
(68)
i =1
čia M O – plokščiosios jėgų sistemos svarbiausias momentas redukavimo centro O atžvilgiu. Teorema:
veikiančią k ūną plokščią ją bet kaip išdėstytų jėgų sistemą galima pakeisti viena, pridėta laisvai pasirinktame redukavimo centre O, jėga, lygia sistemos svarbiausiam vektoriui R , ir viena jėgų pora, kurios momentas lygus sistemos svarbiausiam momentui M O r
redukavimo centro O atžvilgiu. Pastabos: • svarbiausio vektoriaus R didumas ir kryptis nepriklauso nuo redukavimo centro parinkimo; • pakeitus redukavimo centro padėtį , svarbiausiojo momento didumas ir ženklas keisis, nes keisis sudarančių jėgų momentai ir jų ženklai. r
Plokš či osios j ė g ų sistemos redukavimas į j ė g ų por ą Jeigu redukavus plokščią ją jėgų sistemą (38 pav.) į tam tikr ą centr ą O paaišk ės, kad svarbiausias vektorius R yra lygus nuliui ( R = 0 ), o svarbiausias momentas M O nelygus nuliui ( M O ≠ 0 ), tai ši jėgų sistema yra redukuojama tik į vieną jėgų por ą, kurios momentas r
r
lygus sudedamų jų jėgų por ų momentų algebrinei sumai: n
M O
n
= ∑ M O ( F i ) = ∑ M i . r
i =1
(69)
i =1
Šiuo atveju svarbiausiojo momento M O didumas ir ženklas nepriklauso nuo redukavimo centro padėties. 33
Plokš či osios j ė g ų sistemos redukavimas į atstojam ą j ą Sakykime, kad plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema yra redukuota (39a pav.) į sistemos svarbiausią jį vektorių R ≠ 0 , pridėtą taške O, ir jėgų por ą , kurios momentas ją jėgą , kurios M O ≠ 0 . Tokia jėgų sistema savo ruožtu gali būti redukuota į atstojamą r
veikimo tiesė eis per tašk ą A. r
R1
r
R O
r
O
M O
h
r
A
a)
O
R
r
A
R2
b)
R2
c)
39 pav. Jėgų sistemos redukavimas į atstojamą ją jėgą r
r
Jėgų pora, kurios momentas yra M O , pakeičiama taip, kad jėgos R1 ir R2 , sudarančios r
šią por ą (39b pav.), būtų lygios vektoriaus R moduliui ir nukreiptos lygiagrečiai su juo: R1
= R2 = R .
Poros petys h parenkamas taip, kad momentas išliktų nepakitęs: M O
= R1 ⋅ h = R ⋅ h ,
(70)
r
todėl jėgos R2 veikimo tiesės padėtis randama taip: h=
r
M O R
.
(71)
r
Matyti, kad jėgos R ir R1 sudaro atsisveriančių jėgų sistemą , todėl jas galima atmesti. Tokiu būdu nagrinė jama jėgų sistema yra pakeičiama viena jėga R2 – visos jėgų sistemos atstojamą ja jėga. Taškas A yra ypatingas tuo, kad atstojamoji R2 , pridėta šiame taške, tur ės momentą apie tašk ą O, lygų sistemos svarbiausiam momentui. r
r
1.5.2. PLOKŠ Č IOSIOS BET KAIP IŠD Ė STYT Ų J Ė GŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS
Pirmoji pusiausvyros s ąlyg ų forma Jeigu redukavus plokščią ją bet kaip išdėstytų jėgų sistemą į laisvai pasirinktą redukavimo centr ą O (38 pav.) sistemos svarbiausias vektorius R ir svarbiausias momentas M O yra lygūs r
nuliui, tai ir visa jėgų sistema yra ekvivalentiška nuliui: 34
n ∑ F i = 0 , R = 0 , arba i =n1 M O = 0 . ∑ M ( F ) = 0 , i =1 O i r
r
(72)
r
čia O – bet kuris plokštumos taškas. Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira, kai sistemos svarbiausias vektorius R ir svarbiausias momentas M O bus lygūs nuliui. Kadangi r
2
2
n n = + = R R x R y ∑ F ix + ∑ F iy , i−1 i −1 2
2
(73)
ir n
M O
= ∑ M O ( F i ), r
(74)
i =1
gauname, kad plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų projekcijų į bet kurias dvi laisvai pasirinktas ašis algebrin ė suma bus lygi nuliui ir kai visų jėgų momentų laisvai pasirinkto taško atžvilgiu algebrinė suma bus lygi nuliui:
n ∑ F ix = 0 , i =1 n ∑ F iy = 0 , i =1 n ∑ M O ( F i ) = 0 . i =1 r
(75)
Antroji pusiausvyros s ąlyg ų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira, kai visų jėgų momentų suma dviejų kurių nors tašk ų A ir B atžvilgiu (40 pav.) ir visų jėgų projekcijų į nestatmeną tiesei AB ašį x suma bus lygi nuliui. r
R
n ∑ M A ( F i ) = 0 , i =1 n ∑ M B ( F i ) = 0 , i =1 n ∑ F ix = R x = 0 . i =1 r
B
r
A
x
R x
40 pav. Antroji pusiausvyros są lygų forma
35
(76)
Paaiškinimas.
Kai
n
∑
n
( ) = 0 ir ∑ M ( F ) = 0 , tai jėgų sistemos atstojamosios jėgos R =1 r
M A F i
i =1
r
r
B
i
i
r
veikimo tiesė eina per taškus A ir B, todėl apie R didumą galima spr ęsti tik pagal projekciją į nestatmeną atkarpai AB ašį . Treč ioji pusiausvyros s ąlyg ų forma Plokščioji bet kaip išdėstytų jėgų sistema bus pusiausvira (41 pav.), kai vis ų sistemos jėgų momentų trijų laisvai pasirinktų ir nesančių vienoje tiesė je tašk ų A, B ir C atžvilgiu algebrinės sumos bus lygios nuliui. r
F 2
n ∑ M A ( F i ) = 0 , i =1 n ∑ M B ( F i ) = 0 , i =1 n ∑ M C ( F i ) = 0 . i =1 r
r r
F i
B
F 1 A
r
C
r
r
F n
(77)
41 pav. Trečioji pusiausvyros są lygų forma
Ų J Ų J Ė GŲ 1.5.3. PLOKŠ Č IOSIOS LYGIAGRE Č I SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS Jeigu vienoje plokštumoje veikiančių jėgų veikimo tiesės yra lygiagrečios, tai jėgų sistema vadinama plokščią ja lygiagrečių jų jėgų sistema (42 pav.). y
y′
r
F 1
r
F 2
α A1
α α An A2 r
F n
x
O
42 pav. Lygiagrečių jų jėgų sistema
Taikome pirmą ją plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos pusiausvyros są lygų formą : n ∑ F ix = 0 , i =1 F cos α + F cos α + ... − F cosα = 0 , 2 n n 1 (78) ∑ F iy = 0 , F 1 sin α + F 2 sin α + ... − F n sin α = 0 , i =1 n n ∑ M O ( F i ) = 0 . i =1 = 0 . ( ) M F ∑ O i i =1 r
r
36
Pertvark ę gauname pirmą ją pusiausvyros są lygų formą , taikomą lygiagrečių jų jėgų sistemai:
F + F + ... − F = 0 , n 1 2 F 1 + F 2 + ... − F n = 0 , n ∑ M O ( F i ) = 0 . i =1
F 1 + F 2 + ... − F n = 0 , n ∑ M O ( F i ) = 0 . i =1 r
r
Matome, kad pakanka tur ėti jėgų projekcijų sumą į kurią nors vieną ašį . Atliekant skaičiavimus patogu nubr ėžti šią ašį , pavyzdžiui y ′ , (42 pav.) taip, kad ji būtu lygiagreti su jėgomis. Todėl gauname:
n ∑ F i = 0 , i =1 n ∑ M ( F ) = 0 . i =1 O i
(79)
r
Antroji pusiausvyros są lygų forma lygiagrečių jų jėgų sistemai (42 pav.) užrašoma taip:
n ∑ M A1 ( F i ) = 0 , i =1 n ∑ M ( F ) = 0 , i =1 A2 i r
r
(80)
kur taškai A1 ir A2 parenkami taip, kad tiesė, nubr ėžta per šiuos du taškus, neb ūtų lygiagreti su jėgomis.
37
ERDVINĖ JĖGŲ SISTEMA Erdvinę jėgų sistemą sudaro erdvė je išsidėsčiusios jėgos. Tokia jėgų sistema nagrinė jama laisvai pasirinktos erdvinės koordinačių sistemos atžvilgiu.
1.6. J Ė GOS IR J Ė GŲ POROS ERDV Ė JE Paprasčiausią erdvinę jėgų sistemą sudaro jėgos, kurių veikimo linijos susikerta viename taške. Tokia jėgų sistema yra vadinama erdvine susikertančių jėgų sistema. Erdvinės susikertančių jėgų sistemos visas jėgas galima geometriškai sudėti, taikant plokščiosios susikertančių jėgų sistemos metodus (43 pav.).
r
F 1 r
F 1 A1
F 3
R
F 2
O r
r
r
O
A2
A3
r
F 2
r
F 3
r
R23
43 pav. Erdvinės susikertančių jėgų sistemos jėgų sudėtis r
r
r
Jėgų F 2 ir F 3 atstojamoji R23 randama taip:
= F 2 + F 3 .
r
r
R23
r
Visos jėgų sistemos ( F 1 , F 2 , F 3 ) atstojamą ją jėgą R galima rasti sudė jus jėgas F 1 ir R23 : r
r
r
r
r
R = F 1 + R23 = F 1 + F 2 r
r
r
r
r
r
+ F 3 . r
Analogiškai randame susikertančių jėgų sistemos, sudarytos iš n jėgų ( F 1 , F 2 ,..., F n ) , r
r
r
atstojamą ją : F 1 + F 2 r
r
n
+ ... + F n = ∑ F i = R . r
r
r
i =1
Kai per jėgų susikirtimo tašk ą O yra išvestos koordinačių sistemos ašys, tai taikant jėgų atstojamosios projekcijos į ašį teoremą galima rasti atstojamosios projekcijas R x , R y ir R z (44 pav.).
38
R z r
R
R y
O
y
R x
44 pav. Jėgų sistemos atstojamosios projekcijos r
Atstojamosios jėgos R projekcijos skaičiuojamos taip: F 1 x + F 2 x
n
+ ... + F nx = ∑ F ix = R x , i =1
F 1 y + F 2 y
n
+ ... + F ny = ∑ F iy = R y ,
(81)
i =1
F 1 z + F 2 z + ... + F nz =
n
∑ F = R . iz
z
i =1
r
Atstojamosios jėgos R dydis randamas taip: R = R x2
+ R y2 + R z 2 .
(82)
Matome, kad erdvinė susikertančių jėgų sistema bus pusiausvira, kai jos atstojamoji j ėga R bus lygi nuliui, arba kai visų sistemos jėgų projekcijų į koordinačių ašis sumos bus lygios nuliui. Todėl pusiausvyros są lygos erdvinei susikertančių jėgų sistemai užrašomos taip: r
n ∑ F ix = 0, i=1 n ∑ F iy = 0, i=1 n ∑ F iz = 0. i=1
(83)
1.6.1. J Ė GOS MOMENTAS ERDV Ė JE Nagrinė jant erdvin ę jėgų sistemą , jėgos momento taško atžvilgiu apibr ėžimas, suformuluotas plokščiajai jėgų sistemai, pasidaro nebepakankamas. Plokš čiojoje jėgų 39
sistemoje visos jėgos veik ė vienoje plokštumoje, todėl pakakdavo žinoti jėgos momento didumą ir kryptį . Erdvinė je jėgų sistemoje tenka atsižvelgti į tai, kad jėgos ir jų momentai gali veikti skirtingose plokštumose. Kai k ūną veikia bet kaip pridėta jėga F (45 pav.), jos momentas laisvai pasirinkto erdvės arba k ūno taško O atžvilgiu bus visiškai nusakomas trimis charakteristikomis: 1. jėgos veikimo plokštuma OAB, einančia per jėgos vektorių F ir tašk ą O; 2. jėgos momento dydžiu, kuris lygus j ėgos F modulio ir peties h sandaugai; 3. kryptimi, kuria jėga F suks k ūną plokštumoje OAB. r
r
r
r
r
( )
r
N
r
M O F
B
( ) r
M O F
r
F r h r
O
α C
A
45 pav. Jėgos momento apie tašk ą vektorius r
Jėgos F pridėties taško C (45 pav.) padėtį erdvė je galima apibr ėžti spinduliu-vektoriumi r . Vektorių r ir F sandauga yra vektorius N , kuris yra lygus: r
r
r
r
N = r × F = r ⋅ F ⋅ sin α r
r
r
= F ⋅ h = M O ( F ), r
(84)
r
r
r
t. y. vektoriaus N modulis lygus jėgos F momentui taško O atžvilgiu. Todėl jėgos F momentas taško O atžvilgiu erdvinė je jėgų sistemoje yra vaizduojamas vektoriumi M O ( F ) , r
r
r
lygiu vektoriui N , bet pridėtu taške O: r
( ) = N , r
r
(85)
M O F
ir r
( ) = M ( F ) = F ⋅ h . r
M O F
r
(86)
O
Schemose vaizduojamas momentas-vektorius M O ( F ) turi būti statmenas plokštumai r
r
r
(45 pav.) ir nukreiptas į tą pusę, iš kurios matyti, kad jėga F suka šią plokštumą prieš laikrodžio rodyklės kryptį . OAB
40
r
F
r
M z
F z
y
r
F y
A
M y
r
r
r x
r
k
j O r
r z
r
F x
r y
r
i
M x
x
46 pav. Jėgos momentas apie tašk ą
Jeigu per laisvai pasirinktą tašk ą O (46 pav.) išvesime koordinačių ašis x, y ir z , jėgą F bus galima išskaidyti į dedamą sias F x , F y ir F z . Taip pat bus galima užrašyti, kad: r
r
r
r
F = F x + F y + F z , r
r
r
r
(87) r
F = F x ⋅ i
+ F y ⋅ j + F z ⋅ k
r = r x ⋅ i
+ r y ⋅ j + r z ⋅ k ,
r
r
r
ir
(88) r
r
r
r
r
kur i , j ir k – koordinačių ašių vienetiniai vektoriai. Atsižvelgiant į anksčiau pateiktą jėgos momento apie tašk ą išraišk ą: r
r
( ) = r × F ,
r
r
r
M O F
r
gaunama jėgos F apie tašk ą O momento išraiška xyz koordinačių sistemai (46 pav.): r
r
( )= r
M O F
r x ⋅ i
r
+ r y ⋅ j + r z ⋅ k )× F x ⋅ i + F y ⋅ j + F z ⋅ k ) , r
r
r
r
r
(89)
kur bendruoju atveju r x = x , r y = y , r z = z . Todėl r
( ) = ( x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k )× ( F ⋅ i + F ⋅ j + F ⋅ k ) = r
r
r
r
M O F
r
x
r
r
y
z
= ( y ⋅ F z + (− z ⋅ F y )) ⋅ i + ( z ⋅ F x + (− x ⋅ F z )) ⋅ j + ( x ⋅ F y + (− y ⋅ F x )) ⋅ k , r
r
r
(90)
nes F x // x, F y // y, F z // z , o tokių narių sandauga lygi nuliui. Matome, kad jėgos F apie tašk ą O momento išraiška (90) yra sudaryta iš trijų dalių – jėgos F momentų apie x, y ir z ašis (46 pav.): r
r
y ⋅ F z − z ⋅ F y
= M x ,
z ⋅ F x − x ⋅ F z = M y , x ⋅ F y
todėl 41
− y ⋅ F x = M z ,
( ) = M
r
r
x ⋅ i + M y ⋅ j + M z ⋅ k ,
r
M O F
r
r
(91)
kur M x ⋅ i = M OX ( F ), M y ⋅ j = M OY ( F ), M z ⋅ k = M OZ ( F ) – jėgos momento-vektoriaus r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
( ) dedamosios pagal x, y ir z ašis (47 pav.). r
M O F
M z
r
( ) r
M O F
y
( )
r
r
M OZ F
r
M y
( ) r
M OY F
O r
M x x
( ) r
M OX F
47 pav. Jėgos momento apie tašk ą vektorius
Jėgos F momento apie tašk ą O vektoriaus didumą galima rasti geometriškai sudė jus jėgos F momentus-vektorius apie x, y ir z ašis: r
r
( )+ M F ( ), M ( F ) = M ( F ) + M F r
r
r
O
r
r
OX
r
OY
r
r
(92)
OZ
kur momentų -vektorių didumai atitinkamai lygūs: r
( ) = M , r
M OX F
r
( ) = M , r
M OY F
x
y
r
( ) = M . r
M OZ F
z
(93)
Išnagrinė jus gautą sias jėgos F momentų apie x, y ir z ašis išraiškas r
y ⋅ F z − z ⋅ F y
= M x ,
z ⋅ F x − x ⋅ F z = M y , x ⋅ F y
− y ⋅ F x = M z
(94)
matome, kad momentą apie ašį tur ės tik tos jėgos F dedamosios, kurios veikia statmenoje nagrinė jamai ašiai plokštumoje: r
y ⋅ F z − z ⋅ F y
= M x = M x ( F yz ) ,
z ⋅ F x − x ⋅ F z
= M y = M y ( F xz ) ,
x ⋅ F y
− y ⋅ F x = M z = M z ( F xy ) .
42
(95)
F
z r
F z r
F x y
M
r
F xy
A
r
F y
x
O
y x
a)
b) 48 pav. Jėgos momentas apie ašį z
Kaip pavyzdį panagrinėsime jėgos F momentą apie ašį z (48a pav.). Jėgos F dedamoji F z yra lygiagreti su ašimi z ir jėgos momento apie ją netur ės. Momentus apie ašį z tur ės tik statmenoje tai ašiai plokštumoje veikiančios dedamosios F x ir F y . Tačiau jas galima pakeisti r
r
r
r
r
r
viena atstojamą ja F xy . Vadinasi, norint rasti ėj gos F momentą apie ašį , reikia suprojektuoti r
jėgą į plokštumą , statmeną tai ašiai, ir apskaičiuoti jėgos projekcijos momentą apie tašk ą, kuriame ašis susikerta su plokštuma. • Pagal susitarimą momentas laikomas teigiamu, kai, ži ūrint iš ašies galo, matoma, kad j ėga suka k ūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį (48a,b pav.).
1.6.2. J Ė GŲ PORA ERDV Ė JE F ′ r
a b
d
y
x r
F
49 pav. Jėgų pora erdvė je
Jėgų poros są voka, pateikta 1.4.2 skyrelyje, lengvai gali b ūti pritaikyta ir erdvinei jėgų sistemai. Erdvė je k ūną veikianti jėgų pora ( F ; F ′) pavaizduota 49 pav. r
r
43
r
M d
r
F A
α
F ′ r
α r r
B r
r 1
r 2
r
O
50 pav. Jėgų poros momentas
Jėgų poros jėgų F ir F ′ (50 pav.) momentus laisvai parinkto erdvės arba k ūno taško O atžvilgiu galima išreikšti vektoriais: r
r
r
( ) = r 1 × F , r
M O F
( ) = r 2 × F ′ .
M O F ′
r
r
r
r
(96)
r
r
Todėl jėgų poros momentas-vektorius M yra lygus jėgų poros jėgų momentų -vektorių geometrinei sumai: r
( ) + M ( F ′) = r 1 × F + r 2 × F ′ ,
M = M O F r
kur F ′ = − F , todėl: r
r
r
r
r
(97)
r
r
O
r
r
r
r
M = r 1 × F + r 2 r
r
r
× (− F ) = r 1 × F − r 2 × F = (r 1 − r 2 ) × F = r × F ; r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
M = r × F , r
r
r
kur r × F = r ⋅ F ⋅ sin α = F ⋅ d = M ( F , F ′). r
r
r
r
r
M
= M ( F , F ′) = F ⋅ d . r
r
(98)
Išvados:
1. Jėgų poros momentas apibr ėžiamas vektoriumi, statmenu jėgų poros veikimo plokštumai, ir nukreiptu į tą pusę, iš kurios žiūrint matyti, kad jėgų pora suka k ūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį ; 2. Kadangi taškas O buvo parinktas laisvai, tai jėgų poros momentas-vektorius gali būti pridėtas bet kuriame k ūno arba erdvės taške; 3. Sandaugos r × F rezultatas bus toks pat visoms plokštumoms, lygiagre čioms su jėgų poros veikimo plokštuma. Todėl jėgų por ą galima perkelti į bet kurią su jos veikimo plokštuma lygiagrečią plokštumą . r
r
44
1.6.3. LYGIAGRETUSIS J Ė GOS PERK Ė LIMAS ERDV Ė JE Perkeliant jėgą lygiagrečiai erdvė je, yra taikoma lygiagretaus jėgos perk ėlimo teorema (žr. 1.4.4 sk.), kuri skamba taip: norint lygiagre č iai perkelti j ė g ą į bet kur į kit ą plokštumos tašk ą , reikia papildomai prid j gos ėti jė g ų por ą , kurios momentas lygus perkeliamos ė momentui taško atžvilgiu, į kur į ši jė ga yra perkeliama.
Čia reikia atkreipti dėmesį į tai, kad ir jėga, ir taškas yra erdvė je, todėl plokštuma, išvesta per jėgos veikimo tiesę ir tašk ą taip pat bus erdvė je. Pavyzdys. Jėga F = 400 N yra pridėta mechanizmo taške A (51a pav.). Ją reikia perkelti lygiagrečiai į tašk ą O ir nustatyti papildomos jėgų poros momento dydį bei padėtį erdvė je.
r
r
200 mm
A
75 mm
F
r
F
M
50 mm
θ
O
y
F
A
d
θ
125 mm
200 mm
x
x
r
y
a)
b) 51 pav. Lygiagretusis jėgos perk ėlimas erdvė je
Papildomos jėgų poros momentas gali būti rastas vektorine forma: M = r × F , r
r
r
r
čia spindulys-vektorius r = OA = 0,2 j + 0,125k (m ) , o jėgos didumas F = −400i ( N ) . Tada: M = (0,2 j + 0,125k ) × (− 400i ) = −50 j + 80k ( N ⋅ m ) . r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Šio vektoriaus dydis skaičiuojamas taip: M =
− 50 2 + 80 2 = 94,3 ( N ⋅ m ) .
r
Momentas-vektorius M (51b pav.) bus statmenas atkarpai AO, veiks plokštumoje zy:
θ = arctan
125 = arctan 0,625 = 32,0 0 200 r
ir bus nukreiptas taip, kad ži ūrint nuo jo galo jėga F suktų mechanizmą prieš laikrodžio rodyklės kryptį .
45
r
Tačiau per tašk ą O ir jėgos F veikimo tiesę išvedus plokštumą (51b pav.) matyti, kad trumpiausias atstumas tarp jėgos F veikimo tiesės ir taško O yra lygus: r
d =
0,125 2 + 0,2 2 = 0,236 (m) .
r
Todėl jėgos F apie tašk ą O ir taip pat papildomos jėgų poros momentas randamas taip: M = F ⋅ d = 400 ⋅ 0,236 = 94,3 ( N ⋅ m ) , r
jėgų pora veiks plokštumoje, einančioje per tašk ą O ir jėgos F veikimo tiesę, ir bus nukreipta jėgos F apie tašk ą O sukimo kryptimi. r
1.6.4. J Ė GŲ PORŲ SUD Ė TIS ERDV Ė JE. ERDVIN Ė S J Ė GŲ PORŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS Erdvinė jėgų por ų sistema gali būti pakeista viena jėgų pora, kurios momentas lygus dedamų jų jėgų por ų momentų geometrinei sumai. Nagrinė jamos dvi jėgų poros ( F 1 ; F 1′) ir ( F 2 ; F 2′ ), veikiančios skirtingose plokštumose (52 pav.). r
r
r
r
r
M 1 r
F 1
r
F 1′
M 2 F 2′
r
r
r
F 2
52 pav. Jėgų por ų sistema
Atsižvelgiant į jėgų por ų savybes (žr. 1.4.2–1.4.3 sk.) abi poros pakei čiamos kitomis poromis, turinčiomis vienodą petį d (53a pav.). r
Q
M
Q r
R
r
r
M 1
r
F 1 F 2′
M 2 r
R
r
d
r
R′ r
F 2 F 1′ r
R′ r
a)
b)
53 pav. Jėgų por ų sudėtis erdvė je
46
Geometriškai sudė jus jėgų por ų ( F 1 ; F 1′) ir ( F 2 ; F 2′ ) jėgas randame atstojamosios jėgų poros ( R; R′) jėgas bei jų veikimo plokštumą Q: r
r
r
r
r
r
R ′ = F 1′ + F 2′ .
R = F 1 + F 2 , r
v
r
v
v
(99)
v
Atstojamosios jėgų poros ( R; R′) momentas lygus: r
r
r
(
r
) = d × F 1 + d × F 2 = M 1 + M 2 . r
M = d × R = d × F 1 + F 2 r
r
r
r
r
r
r
r
r
(100)
Vadinasi, atstojamosios jėgų poros momentas-vektorius lygus dedamų jų jėgų por ų momentų -vektorių geometrinei sumai ir yra statmenas atstojamosios j ėgų poros veikimo plokštumai (53b pav.). Kai jėgų por ų sistemą sudaro n jėgų por ų, galima užrašyti: M = M 1 r
r
n
+ M 2 + ... + M n = ∑ M i . r
r
r
(101)
i =1
r
Atstojamosios jėgų poros momentą -vektorių M galima išreikšti projekcijomis: M =
M x2
+ M y2 + M z 2 ,
n
n
n
i =1
i =1
i =1
(102)
kur M x = ∑ M xi , M y = ∑ M yi , M z = ∑ M zi . Kadangi jėgų por ų sistema pakeičiama viena atstojamą ja ėgų j pora, tai sistemos pusiausvyrai pakanka, kad atstojamosios j ėgų poros momentas būtų lygus nuliui: n
∑ M = 0 .
M = 0 , r
r
(103)
i
i =1
Išreiškus atstojamosios jėgų poros momentą projekcijomis, gaunamos analizinės pusiausvyros są lygos: n
∑ M
xi
n
∑ M
= 0,
yi
i =1
= 0,
i =1
n
∑ M
zi
=0.
(104)
i =1
Kai jėgų poros veikia vienoje plokštumoje arba lygiagre čiose plokštumose, pusiausvyrai nusakyti pakanka vienos lygties: n
∑
r
M i
= 0.
i =1
47
(105)
1.7. ERDVIN Ė BET KAIP IŠD Ė STYT Ų J Ė GŲ SISTEMA Erdvinė sistema jėgų , kurių veikimo tiesės nesusikerta viename taške ir n ėra lygiagrečios, yra vadinama erdvine bet kaip išd ėstytų jėgų sistema. Sprendžiant uždavinius tokios j ėgų sistemos, kaip ir plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos, gali būti pertvarkomos, taikant toliau aprašytus redukavimo būdus.
1.7.1. ERDVIN Ė S J Ė GŲ SISTEMOS REDUKAVIMO BŪ DAI
Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į tam tikrą centrą Erdvinę jėgų sistemą galima pakeisti viena jėga, lygia sistemos svarbiausiam vektoriui, pridėta pasirinktame redukavimo centre, ir viena j ėgų pora, kurios momentas lygus sistemos svarbiausiam momentui to paties redukavimo centro atžvilgiu. Tarkim, kad kietojo k ūno taškuose A1 , A2 ,..., An yra pridėtos jėgos F 1 , F 2 ,..., F n . Laisvai pasirenkamas redukcijos centras – k ūno taškas O (54a pav.). r
r
F n
r
F 2
r
( )
r
r
r
r
M O F 1
r
R
r
F n
M O
( )
r
r
M O F 2
r
F 2
A2
An
A1
O
O r
r
F 1
( ) r
M O F n
r
F 1
a)
b)
c)
54 pav. Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į centr ą O
Nustatyta, kad jėgos poveikis k ūnui nepasikeis, jei perkeliant jėgą lygiagrečiai į bet kur į kitą k ūno tašk ą bus pridėta jėgų pora, kurios momentas lygus perkeliamos j ėgos momentui to taško atžvilgiu. Todėl per jėgų veikimo tieses ir tašk ą O yra išvedamos plokštumos, ir kiekviena jėga atitinkamoje plokštumoje lygiagrečiai perkeliama į tašk ą O (54b pav.). Papildomi kiekvienos jėgos momentai apie tašk ą O yra vaizduojami momentais-vektoriais, statmenais atitinkamoms jėgų veikimo plokštumoms, ir nukreiptais taip, kad ži ūrint nuo vektoriaus galo jėga suktų k ūną prieš laikrodžio rodyklės kryptį . Tokiu būdu taške O gaunamos visos jėgos F 1 , F 2 ,..., F n ir pridėtinių jėgų por ų momentai-vektoriai r
( ) r
( ) r
r
r
( ) r
M O F 1 , M O F 2 ,…, M O F n . v
v
v
r
r
r
Geometriškai sudė jus jėgas F 1 , F 2 ,..., F n randamas sistemos svarbiausias vektorius R r
(54c pav.): R = F 1 + F 2 r
r
r
n
+ ... + F n = ∑ F i . r
i =1
48
r
Geometriškai sudė jus visus momentus-vektorius M O ( F 1 ) , M O ( F 2 ),…, M O ( F n ) randamas sistemos svarbiausias momentas-vektorius M O (54c pav.): r
v
v
r
v
r
v
v
M O
n
= M O ( F 1 ) + M O ( F 2 ) + ... + M O ( F n ) = ∑ M O ( F i ) . v
r
r
v
v
r
v
r
(106)
i =1
Matome, kad svarbiausio vektoriaus R kryptis ir didumas nepriklauso nuo redukavimo centro padėties, o svarbiausias momentas-vektorius M O , kintant redukavimo centro padėčiai, r
v
kinta, nes kinta atskir ų jėgų momentai to centro atžvilgiu. Erdvinės jėgų sistemos charakteristikos, kurios nekinta kei čiant redukavimo centr ą, yra vadinamos erdvinės jėgų sistemos redukavimo invariantais. Bet kaip išdėstytų jėgų erdvinė sistema turi du invariantus: 1. Pirmasis invariantas yra vektorinis, tai sistemos svarbiausias vektorius R : r
R = const . r
2. Antrasis invariantas yra skaliarinis, tai svarbiausio vektoriaus ir svarbiausio momento-vektoriaus skaliarinė sandauga, lygi svarbiausio momento-vektoriaus projekcijai į svarbiausiojo vektoriaus kryptį : R ⋅ M O r
= const .
r
Erdvinės jėgų sistemos redukavimo į tam tikr ą centr ą galimi atvejai pateikti 1 lentelė je. 1 lentelė. Erdvinės jėgų sistemos redukavimo galimi atvejai
Galimas redukavimo į centrą rezultatas
Redukavimo būdo pavadinimas
1. R ≠ 0 ir R ⋅ M O ≠ 0 R ≠ 0, R ⋅ M O = 0. 2. Taip gali būti, kai M O = 0 arba R ⊥ M O
Redukavimas į dinamą
3. R = 0 ir R ⋅ M O = 0, bet M O ≠ 0 4. R = 0 ir M O = 0
Redukavimas į jėgų por ą
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Redukavimas į atstojamą ją jėgą
r
r
Jėgų sistema yra pusiausvira
Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į atstojamą ją jėgą Jeigu redukuojant jėgų sistemą svarbiausias vektorius (54c pav.) R nelygus nuliui R ≠ 0 , o svarbiausias momentas-vektorius M O pasirinkto redukavimo centro atžvilgiu lygus nuliui M O = 0 arba statmenas svarbiausiam vektoriui M O ⊥ R , tai jėgų sistema yra redukuojama į atstojamą ją jėgą . Kai M O = 0 , tai svarbiausias vektorius R bus visos jėgų sistemos atstojamoji jėga, nes r
r
r
r
r
r
r
jis vienas atstos visą jėgų sistemą .
49
r
R′
r
r
R
h O
A
r
M O
R′′ r
55 pav. Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į atstojamą ją jėgą
Kai M O ⊥ R (55 pav.), svarbiausią jį momentą -vektorių M O galima pakeisti jėgų pora r
r
r
( R′; R′′), kurios jėgos lygios svarbiausio vektorius R r
r
r
moduliui, yra su juo lygiagre čios ir veikia toje pat plokštumoje. Poros petys h parenkamas taip, kad momentas išliktų nepakitęs:
= M ( R′, R′′) = h ⋅ R , r
M O
h=
r
M O R
(107)
.
(108)
Jėgos R ir R ′′ sudaro atsisveriančių jėgų sistemą , todėl jas atmetę gauname, kad jėgų sistema yra pakeista viena jėga R ′ , kuri yra visos jėgų sistemos atstojamoji jėga. Taškas A yra ypatingas tuo, kad atstojamoji R ′ , pridėta šiame taške, tur ės momentą apie tašk ą O, lygų sistemos svarbiausiam momentui M O . r
r
r
r
Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į jėgų porą Kai jėgų sistemos (54c pav.) svarbiausias vektorius R lygus nuliui R = 0, o svarbiausias momentas M O bet kurio laisvai pasirinkto redukavimo centro atžvilgiu nelygus nuliui M O ≠ 0 (56 pav.), tai jėgų sistema redukuojama į jėgų por ą , kurios momentas lygus jėgų sistemos svarbiausiam momentui. Tokia jėgų sistema gali tik sukti k ūną . r
r
r
r
= M ( F ′, F ′′). r
M O
r
r
M O F ′ r
O F ′′ r
56 pav. Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į jėgų por ą
50
Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į dinamą Dinama arba dinaminiu sraigtu vadinama jėgų sistema, susidedanti iš jėgos ir jėgų poros, kurios veikimo plokštuma yra statmena j ėgai (57 pav.). Dinama, veikdama k ūną , ver čia jį slinkti ir suktis apie dinamos ašį . r
F
F ′ r
O F ′′ r
57 pav. Dinama r
r
Jeigu redukavę jėgų sistemą į tam tikr ą centr ą (54c pav.) gavome, kad vektoriai R ir M O yra lygiagretūs, tai redukuotoji jėgų sistema sudaro dinamą (58 pav.). r
M O r
R
O
58 pav. Erdvinė jėgų sistema, redukuota į dinamą
Jei redukuojant jėgų sistemą kampas α tarp svarbiausių vektorių R ir M O (59 pav.) yra α ≠ 0 ir α ≠ 90 , tai pagal jėgų por ų sudėties ir skaidymo teoremą momentą -vektorių M O galima išskaidyti į dedamą sias M O′ ir M O′′ . r
r
r
r
r
R′
r
M O′
M O′
r
r
M O
α M O′′
R′ = R
r
R
r
h O
A
M O′
= M O ⋅ cosα
M O′′
= M O ⋅ sin α
r
h=
M O′′
59 pav. Erdvinės jėgų sistemos redukavimas į dinamą
51
R
=
M O ⋅ sin α R
Svarbiausiojo momento-vektoriaus dedamoji M O′′ yra statmena svarbiausiam vektoriui R , todėl sistemą M O′′ ir R galima pakeisti viena atstojamą ja jėga R′ , pridėta taške A (žr. redukavimas į atstojamą ją ). Dedamoji M O′ yra svarbiausio momento-vektoriaus projekcija į r
r
r
r
r
r
svarbiausiojo vektoriaus R′ kryptį ir nepriklauso nuo redukavimo centro, tod ėl ją galima perkelti į tašk ą A. Dėl šių pakeitimų taške A gavome sistemą , sudarytą iš jėgos R′ ir jėgų poros, kurios momentas-vektorius M O′ sutampa su vektoriaus R′ veikimo tiese. Vektorių R′ ir M O′ veikimo tiesė yra vadinama dinamos ašimi. r
r
r
r
r
r
1.7.2. ERDVIN Ė S BET KAIP IŠD Ė STYT Ų J Ė GŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS Erdvinės jėgų sistemos (54c pav.) svarbiausi ą jį vektorių R ir svarbiausią jį momentą vektorių M O galima išreikšti projekcijomis: r
v
2
+ R y2 + R z 2 ,
R = R x n
n
n
i =1
i =1
i =1
kur R x = ∑ F ix , R y = ∑ F iy , R z = ∑ F iz . M O
= M x2 + M y2 + M z 2 .
Atsižvelgiant į tai, kad jėgos momento-vektoriaus projekcija į bet kurią ašį yra lygi jėgos momentui tos ašies atžvilgiu, gauname: n
M x
n
= ∑ M x ( F i ) = ∑ ( y i ⋅ F iz − z i ⋅ F iy ) , r
i =1
n
M y
i =1
n
= ∑ M y ( F i ) = ∑ ( z i ⋅ F ix − xi ⋅ F iz ) , r
i =1
M z =
n
∑ i =1
(109)
i =1
n
( ) = ∑ ( x =1 r
M z F i
i
⋅ F iy − y i ⋅ F ix ) .
i
Vadinasi, kad erdvinė bet kaip išdėstytų jėgų sistema būtų pusiausvira, būtina, kad sistemos svarbiausias vektorius ir svarbiausias momentas-vektorius abu kartu b ūtų lygūs nuliui: r
R
= 0 ir M O = 0. v
Todėl pusiausvyros lygčių sistema erdvinei bet kaip išdėstytų jėgų sistemai užrašoma taip: 52
n R x = ∑ F ix = 0 , i =1 n R y = ∑ F iy = 0 , i =1 n R z = ∑ F iz = 0 , i =1 n M = ∑ M ( F ) = 0 , x i =1 x i n M = M ( F ) = 0 , y i y ∑ i =1 n M = M ( F ) = 0 . z i z ∑ i =1
(110)
r
r
r
Ų J Ų J Ė GŲ 1.7.3. ERDVIN Ė S LYGIAGRE Č I SISTEMOS PUSIAUSVYROS S Ą LYGOS Kai erdvinės jėgų sistemos visos jėgos yra lygiagrečios, jos sudaro erdvinę lygiagrečių jų jėgų sistemą (60 pav.). Koordinačių sistemos ašis nukreipiame taip, kad viena ašis, pavyzdžiui z , būtų lygiagreti su jėgų veikimo tiesėmis. r r
F n
F i
x
An
A3
Ai O
A1
A2
r
F 3
r
r
F 1
F 2
y
60 pav. Erdvinė lygiagrečių jų jėgų sistema
Matyti, kad jėgų projekcijos į x ir y ašis bei jėgų momentai apie z ašį yra lygūs nuliui, nepriklausomai nuo to, ar sistema yra pusiausvira, ar ne, tod ėl są lygos: n
R x
= ∑ F ix = 0, i =1
n
R y
= ∑ F iy = 0, i =1
n
M z
= ∑ M z ( F i ) = 0 r
(111)
i =1
bus tenkinamos visada. Vadinasi, erdvinei lygiagrečių jų jėgų sistemai galima parašyti tik tris nepriklausomas pusiausvyros lygtis:
53
n R z = ∑ F iz = 0 , i =1 n M x = ∑ M x ( F i ) = 0 , i =1 n M y = ∑ M y ( F i ) = 0 . i =1 r
(112)
r
1.7.4. VARINJONO TEOREMA, TAIKOMA ERDVINEI J Ė GŲ SISTEMAI Varinjono teoremą , į rodytą plokščiajai jėgų sistemai (žr. 1.3.4 sk.), galima taikyti ir erdvinei jėgų sistemai (61 pav.). Ji skamba taip: erdvinė s bet kaip išd ė styt ų jė g ų sistemos atstojamosios momentas bet kurio taško atžvilgiu lygus vis ų sistemos jė g ų moment ų to taško atžvilgiu vektorinei sumai . r
F n
r
R r
r n r r
r
r
r 1
F 1
r
r 2
O
r
F 2
61 pav. Erdvinė jėgų sistema
Todėl erdvinei jėgų sistemai Varinjono teoremos matematinė išraiška užrašoma taip: r × R = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 r
r
r
r
r
r
n
+ ... + r n × F n = ∑ r i × F i r
r
r
(113)
r
i =1
ir r
n
( ) = M ( F 1 ) + M ( F 2 ) + ... + M ( F ) = ∑ M ( F ). r
M O R
r
r
O
r
r
O
r
r
O
n
r
O
i =1
54
r
i
(114)
1.8. RYŠI Ų MODELIAVIMAS K ūnų judė jimo laisvumo suvaržymai mechanikoje vadinami ryšiais. Ryšiai gali būti sudaryti iš kietų arba lanksčių k ūnų , gali būti sujungti su šiuo k ūnu arba gali jį tik liesti. Jei k ūnas gali judėti erdvė je laisvai, niekieno nevaržomas, tai jis vadinamas laisvuoju arba nesuvaržytu k ūnu. 2 lentelė. Pagrindiniai ryšių tipai ir jų reakcijos
PLOKŠČIOJI MECHANINĖ SISTEMA Kontakto tipas Atramos reakcija Lietimasis Lygūs paviršiai
Reakcija yra statmena atramos paviršiui
r
N
r
Reakcijos R kryptis ir dydis randami sudė jus tangentinę komponentę F (trinties jėga) ir normalinę komponentę N
r
F
Nelygūs paviršiai
r
R
r
r
N
Lankstus ryšys (virvė, trosas, lynas )
α
r
T
svoris neį vertinamas svoris į vertinamas
α
Reakcija nukreipta nuo k ūno išilgai ryšio
α
α
r
r
T
Paslank ūs šarnyrai Šarnyrai su ratuku
r
N
Reakcija visada yra statmena atramos paviršiui, net kai šis paviršius yra pasvir ęs
r
N
Slankikliai
r
N
r
N
Nepaslank ūs šarnyrai
Atramos reakcija gali būti nukreipta bet kaip R R x x M plokštumoje, todėl dažnai yra naudojamos dvi šios R y R y reakcijos komponentės R x ir R y . Kai sukimasis apie ašį yra nors kiek suvaržomas, atsiranda dar viena reakcija – momentas M . r
r
r
r
55
r
r
2 lentelės tęsinys
Standus į tvirtinimas Toks į tvirtinimas Gembe vadinamas strypas, vienu galu standžiai į tvirtintas į atramą – sieną arba kitą M A masyvią konstrukcijos dalį A R x A A r
arba
neleidžia strypui nei pasislinkti, nei pasisukti bet kuria kryptimi. Todėl yra pridedamos dvi dedamosios R x ir R y ir jėgų pora su nežinomu momentu M A . r
r
r
suvirintasis sujungimas
R y
r
F r
F r
A
B
A x
a) nepaslankus A ir paslankus B šarnyrai
r
F 1
r
r
B y
laisvojo k ūno diagrama
r
r
F 2
r
A y
R y
F 3
r
r
r
F 2
F 1
F 3
r
R x
A
M
r
G
b) vienas kraštas strypo yra standžiai į tvirtintas
laisvojo k ūno diagrama
M
M
Strypo masė m
r
A
r
F
N A
r
F
B
r
r
B y
c) lietimasis A ir nepaslankus šarnyras B
B x
r
G
laisvojo k ūno diagrama
62 pav. Ryšiai ir reakcijos
56
3 lentelė. Pagrindiniai ryšių tipai ir jų reakcijos
ERDVINĖ MECHANINĖ SISTEMA Kontakto tipas Atramos reakcija Lietimasis
z z
z
Reakcija yra statmena atramos paviršiui
Lygūs paviršius x
y
y x
r
N y
x
r
Reakcija R randama z sudė jus tangentinę komponentę F (trinties F jėga) ir normalinę N y komponentę N
z
r
Nelygūs paviršius
r
r
r
x
y
x
Paslankus šarnyras
r
Atramos reakcija N nukreipta statmenai atramos paviršiui, net kai ratuk ą veikia šoninė jėga F
z
z
r
Nepaslankus šarnyras
r
r
x
y
x
F N y
z
z r
r
R y R y
R x
y
x
r
x
z
Standus į tvirtinimas
z
z
r
R y
r
R x
M y y
r
x
y
x
R z M x
Atraminis guolis
M z z
z r
R y
r
R x r
x x
y
57
M x
R z M z
y
1.9. STATIŠKAI IŠSPRENDŽIAMI IR STATIŠKAI NEIŠSPRENDŽIAMI UŽDAVINIAI K ūnas yra pusiausviras, kai visų k ūną veikiančių jėgų atstojamoji jėga yra lygi nuliui. Taigi, kai atstojamoji jėga R ir atstojamosios jėgų poros momentas M kartu yra lygūs nuliui, bendroji pusiausvyros s ą lyga užrašoma taip: r
r
R = r
n
∑
k
ir M = ∑ M i = 0 ,
F i = 0 r
r
i =1
r
i =1
kur i = 1, 2, …, n; n – veikiančių jėgų skaičius; k – veikiančių jėgų por ų skaičius. Pusiausvyros lygtys galimoms plokščiosioms ir erdvinėms jėgų sistemoms pateiktos 4 ir 5 lentelėse. 4 lentelė. Plokščiosios jėgų sistemos
PLOKŠČIOSIOS JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄ LYGOS Jėgų išdėstymas Laisvojo k ūno diagrama Pusiausvyros lygtys r
F n
r
1. Veikia vienoje tiesė je
F 2
r
F 1
n
x
∑ F i =1
i x
= 0.
r
F 2
r
F 1
2. Susikerta viename taške
n
∑ F
y
O
i =1
x r
F 3
n
∑ F i =1
r
i x
i y
= 0, = 0.
F n n
r
F 1
3. Lygiagrečios
O
∑ F
ix
y
r
F 2
i =1
x
r
F n
n
∑
( )= 0. r
M O F i
i =1
r
n
F 2
∑ F
ix
4. Bet kaip išdėstytos
O
M r
F n
58
= 0,
i =1
r
F 1
= 0,
n
y x
∑ F
iy
= 0,
i =1 n
∑ i =1
( )= 0. r
M O F i
Matome (4 lent.), kad plokščiajai bet kaip išdėstytų jėgų sistemai galima parašyti ne daugiau kaip tris viena nuo kitos nepriklausomas pusiausvyros lygtis. Iš ši ų trijų lygčių galima rasti tik tris nežinomus dydžius, o plokš čiajai lygiagrečių jėgų sistemai – tik du nežinomus dydžius. Vadinasi, bet kuris plokščiasis uždavinys yra statiškai išsprendžiamas, kai yra ne daugiau kaip trys nežinomi dydžiai. Erdvinei bet kaip išdėstytų jėgų sistemai (5 lent.) galima parašyti ne daugiau kaip šešias nepriklausomas pusiausvyros lygtis. Iš šeši ų lygčių galima rasti tik šešis nežinomus dydžius, todėl erdvinis uždavinys bus statiškai išsprendžiamas, kai yra ne daugiau kaip šeši nežinomi dydžiai. 5 lentelė. Erdvinės jėgų sistemos
ERDVINĖS JĖGŲ SISTEMOS PUSIAUSVYROS SĄ LYGOS Jėgų išdėstymas Laisvojo k ūno diagrama Pusiausvyros lygtys n
∑ F
r
F 2
r
F 1
1. Susikerta viename taške
ix
= 0,
i =1
y
O
n
∑ F
x
r
F 3
n
z
r
F n
=0,
iy
i =1
∑ F = 0 . iz
i =1 n
F 5
r
2. Lygiagrečios
F 1
F 4
= 0,
n
∑ M ( F ) = 0 , r
y
F n
i
i =1
z
r
F 2
ix
i =1
x
r
r
∑ F
y
r
n
∑ M ( F ) = 0 .
r
F 3
r
z
i
i =1
r
F 1
n
∑
F ix
r
F 3
i =1
r
3. Bet kaip išdėstytos
F 2
y
n
x r
F n
r
M Išvada: bet kuris
= 0,
z
∑
F iy
i =1 n
∑ i =1
n
∑
( )= 0 , r
M x F i
i =1 n
= 0 , ∑ M y ( F i ) = 0 ,
F iz = 0 ,
r
i =1 n
∑
( )= 0. r
M z F i
i =1
statikos uždavinys yra statiškai išsprendžiamas, kai nežinom ų jėgų skaičius neviršija nepriklausomų pusiausvyros lygčių skaičiaus.
59
2. K ŪNŲ SISTEMOS Iki šiol buvo nagrinė jami atskiri jėgų veikiami kietieji k ūnai ir jų pusiausvyra. Šiame skyrelyje dėmesį skirsime tarpusavyje sujungtų kietų jų k ūnų , kurių kiekvieną atskirai arba visus kartu gali veikti tam tikros j ėgos, pusiausvyrai nagrinėti. Nejudanti mechaninė sistema, sudaryta iš kelių tarpusavyje sujungtų kietų jų k ūnų , yra vadinama k ūnų sistema. Nagrinė jant vieno sistemos k ūno poveik į kitam sistemos k ūnui yra taikomos 4-oji – akcijos ir reakcijos bei 6-oji – ryšio atlaisvinimo statikos aksiomos, kurios skamba taip: • jė gos, kuriomis du k ūnai veikia vienas kit ą (akcija ir reakcija), yra lygios ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis ; • bet kur į suvaržyt ą k ūną galima būt ų laikyti laisvuoju, nutraukus ryšius ir vietoj j ų prid ė jus atitinkamas ryši ų reakcij ų jė gas.
Jėgos, kuriomis sistemą sudarantys k ūnai veikia vienas kitą sujungimo arba kontakto vietose, yra vadinamos vidinėmis jėgomis arba vidinių ryšių reakcijomis. Pagal akcijos ir reakcijos aksiomą šios jėgos yra lygių modulių ir priešingų krypčių . Visos kitos k ūnų sistemą veikiančios jėgos vadinamos išorinėmis jėgomis. Atraminių ryšių reakcijos vadinamos išorinių ryšių reakcijomis. Ų SISTEMOS PUSIAUSVYRA 2.1. K Ū N
r
e
f
A d
1
A y
3 2
r
A x
r
c b
y
x
B
E
C
a
F
4 D
r
G 400 kg
r
D
k ūnų sistema
laisvojo k ūno diagrama
63 pav. K ūnų sistema
Nagrinė jant k ūnų sistemą (63 pav.) svarbu žinoti, kiek k ūnų sudaro tą sistemą , kiek yra sujungimo (arba kontakto) vietų (64a pav.) ir kokius ryšio tipus (žr. 1.8 sk., 2–3 lent.) atitinka tos sujungimo vietos. Sistemos k ūnai veikia vienas kitą tik per sujungimo arba kontakto vietas, todėl nustačius, kok į ryšio tipą atitinka konkretus sujungimas, jame galima prid ėti atitinkamas ryšio reakcijas. Reikia atkreipti d ėmesį į tai, kad vienodo didumo ir priešing ų krypčių reakcijų jėgos turi būti pridėtos prie visų toje vietoje (64a, b pav.) sujungtų k ūnų , nes k ūnai veikia vienas kitą .
60
A
r r
− A y
r
r
A x
A x
A
A y
r
A z
r
r
− A x
r
r
A y
A y
A z
a)
r
A x
b)
64 pav. K ūnų reakcijos sujungimo vietoje
Jeigu k ūnų sistema yra pusiausvira, tai pusiausviri yra ir atskirai paimti sistemos k ūnai. Pritaik ę ryšio atlaisvinimo aksiomą galime išskirti k ūnus (65 pav.) ir kiekvienam iš jų užrašyti pusiausvyros lygtis taip, kaip tai yra daroma esant vienam k ūnui. y
r
3
r
T
A y
r
F x
r
A x
F
x
r
F y
A
1
r
G
T
r
B y B
r
r
B x B x
r
C y
r
C x
C
r
F y
r
r
E x B
E
r
r
2
B y
a b
E y
F
r
E y
E
r
F
r
E x
r
D
D
r
C x
C r
4
C y
65 pav. Išskaidytos k ūnų sistemos jėgų diagrama
Uždavinių sprendimo eiga yra tokia: a) k ūnų sistema skirstoma į atskirus k ūnus, išorinius ir vidinius ryšius pakeičiant ryšių reakcijomis; b) kiekvienam sistemos k ūnui sudaroma atskira pusiausvyros lygčių sistema; c) išsprendus lygčių sistemas randamos nežinomos ryšių reakcijos. Kai plokščią ją k ūnų sistemą sudaro n k ūnų , galima sudaryti tik (3 ⋅ n ) nepriklausomų pusiausvyros lygčių . Todėl plokščioji k ūnų sistema bus statiškai išsprendžiama tada, kai bendras nežinomų išorinių ir vidinių reakcijų skaičius nebus didesnis kaip (3 ⋅ n ) . Erdvinės k ūnų sistemos nežinomų jų skaičius negali viršyti atitinkamai (6 ⋅ n ) . Pavyzdys.
Dviejų taške C susiliečiančių kietų jų k ūnų pusiausvirai sistemai (66a pav.) reikia rasti išorinių ryšių reakcijų jėgas (atramų reakcijas ). Kad į vertintume k ūnų tarpusavio poveik į , prie kiekvieno iš jų taške C yra pridedamos vienodo didumo bet priešing ų krypčių reakcijos RC ′ ir RC ′′ (66b pav.) (pastaba: lietimosi atveju reakcija yra statmena paviršiui , žr. r
r
1.8 sk., 2 lent.). 61
A y 1
2
1
A x
B A
A
B 2
r
M A
G1
r
G1
B x B y
C
′ RC C ′′ RC r
C
y
r
G2
r
x
r
F
a)
r
G2 r
F
b) 66 pav. Dviejų k ūnų sistema
Dabar galima atsisakyti ryšio, atskirti k ūnus ir kiekvienam iš jų užrašyti pusiausvyros lygčių sistemą : pirmam k ūnui
antram k ūnui
n ∑ F ix = 0 i =1 n ∑ F iy = 0 i =1 n ∑ M A ( F i ) = 0 i =1
n ∑ F ix = 0 i =1 n ∑ F iy = 0 i =1 n ∑ M B ( F i ) = 0 i =1
r
r
Sujungę užrašytą sias pusiausvyros lygtis į vieną lygčių sistemą , nagrinė jamai k ūnų sistemai gauname šešių nepriklausomų pusiausvyros lygčių sistemą . K ūnus (66b pav.) veikia šešios nežinomos jėgos A x , A y , M A , RC ′ = RC ′′ , B x , B y , todėl taikant žinomus matematikos metodus jos yra nesunkiai randamos. Matyti, kad moment ų lygtys k ūnams yra užrašytos tašk ų , kuriuose pridėta daugiausia nežinomų jėgų , atžvilgiu. Tai leidžia sumažinti nežinomų jėgų skaičių momentų lygtyse ir taip pat gauti paprastesnes išraiškas.
2.2. SANTVAROS Standi konstrukcija , sudaryta iš tiesių elementų , sujungtų galuose yra vadinama santvara.
Tiltai, kranai, stogai, elektros stulpai ir kitos panašaus pob ūdžio struktūros yra santvaros. Struktūriniams santvar ų elementams – strypams, kampuočiams, juostoms bei specialiems profiliams sujungti galuose naudojami į vair ūs varžtai, kniedės, smeigtukai arba suvirinimas. Santvaros elementų sujungimo vietos yra vadinamos santvaros mazgais. Kadangi lenkimo deformacijos santvaros mazguose yra palyginti mažos, sprendžiant akademinio pob ūdžio uždavinius, mazgai yra modeliuojami kaip šarnyrai (žr. 1.8 sk.). Santvara vadinama plokščią ja, kai visi jos elementai yra vienoje plokštumoje. Keletas dažniausiai naudojamų plokščiosios struktūros santvar ų yra pavaizduotos 67 pav. 62
Tiltų santvaros
Stogų santvaros
67 pav. Plokščiosios santvaros
Matyti, kad bazinis plokščiosios santvaros elementas yra trikampis, nes trys ties ūs elementai, sujungti galuose šarnyrais, sudaro standži ą ją struktūr ą (68a pav.). Kita vertus, sujungus į daugiakampį keturis arba daugiau strypų (68b pav.), yra gaunama nestandžioji (nestabili) struktūra. Tokia struktūra taps standi tik taškus A ir D arba C ir B sujungus papildomu strypu (68c pav.). Toliau gautoji standžioji strukt ūra gali būti išplečiama, pridedant papildomus blokus iš dviejų tarpusavyje sujungtų strypų AF - FD arba DE - EC (68c pav.) ir liks standi.
a)
b)
c)
68 pav. Strypų sistemos
Standžiosios struktūros, sudarytos trikampio pagrindu taip, kaip buvo aprašyta anks čiau, yra paprastos santvaros. Tačiau, kai elementų struktūroje bus daugiau, negu reikia formai išlaikyti, santvara bus statiškai neišsprendžiama. Papildomi elementai arba atramos, skirti pusiausvyrai palaikyti, vadinami pertekliniais (redundanciniais ). Statiškai neišsprendžiamos santvaros negali būti išanalizuotos taikant vien tik statikos metodus. 63
Statiškai išsprendžiamoms santvaroms santvaros mazg ų ir priklausomybė užrašoma taip:
strypų skaičiaus
S = 2 ⋅ m − 3 ,
kur S – strypų skaičius santvaroje; m – mazgų skaičius santvaroje. S = 2 ⋅ m − 3
santvara statiškai išsprendžiama (68a,c pav.) santvara statiškai neišsprendžiama sistema neišlaiko savo formos (68b pav.)
S > 2 ⋅ m − 3 S < 2 ⋅ m − 3
Santvar ų projektavimo pagrindą sudaro veikiančių jėgų pasiskirstymo į vairiose santvaros dalyse į vertinimas ir atitinkamai tokio santvaros matmenų , geometrinės struktūros bei struktūrinių elementų formos derinio parinkimas, kad santvara gal ėtų efektyviai priešintis veikiančioms apkrovoms. Prielaidos, taikomos analizuojant santvaros elementus veikian čias jėgas, visų pirma remiasi tuo, kad bet kuris (69 pav.) dviejų jėgų veikiamas kietasis k ūnas bus pusiausviras, kai pridėtosios jėgos bus vienodo dydžio ir veiks viena tiese priešingomis kryptimis. r
F
− F r
r
F
− F r
69 pav. Pusiausvyros są lygos
Atsižvelgiant į tai, kad santvar ų elementai (strypai, kampuočiai ir kt.) yra tiesūs ir tarpusavyje sujungti galuose, o j ėgų , pridėtų viename santvaros mazge, poveikis kitiems santvaros mazgams gali būti perduodamas tik per santvaros elementus, laikoma, kad esant pusiausvyrai kiekvieną santvaros elementą veiks tik dvi vienodo dydžio ir priešingų krypčių jėgos, pridėtos elemento galuose (70 pav.). r
T r
G r
T r
G
r
r
T
G
r
r
G
T
tempimas
gniuždymas
70 pav. Santvaros elementą veikiančios jėgos
64
70 pav. matome, kad santvaros elementas gali b ūti tempiamas arba gniuždomas. Bet kuri ą pusiausviro santvaros elemento dalį veikia tos pačios tempimo T arba gniuždymo G jėgos (70 pav.). Laikoma, kad kai elementas yra tempiamas, jo į rą ž a – vidinė jėga, atsirandanti dėl išorinės apkrovos poveikio, yra teigiama, kai gniuždomas – neigiama. Skaičiuojant santvaras atramų reakcijų jėgos ir visos išorinės apkrovos yra pridedamos tik santvaros mazguose. Santvaros elemento nuosavo svorio galima nepaisyti, kai jis yra daug mažesnis palyginti su elementą veikiančios jėgos dydžiu. Kai svorio efekto atsisakyti negalima, elemento svoris yra pakei čiamas dviem jėgomis, pridėtomis elemento galuose. Pavyzdžiui, kai elementas yra vientisas, kiekviename jo gale yra pridedama sunkio j ėgos pusė. Toks elemento svorio į vertinimo būdas leidžia gauti teisingus rezultatus, kai yra vidutinis tempimas ir gniuždymas, tačiau elemento lenkimo efektas liks nepaaiškintas. Santvaros elementų į rą ž oms skaičiuoti dažniausiai taikomi mazgų ir pjūvio metodai. r
r
Mazgų metodas Šis santvaros į rą žoms skaičiuoti taikomas metodas yra paremtas kiekvieną santvaros mazgą veikiančių išorinių ir vidinių jėgų pusiausvyros są lygų analize. Metodo esminius bruožus ir uždavinių sprendimo principą iliustruosime nagrinėdami plokščią ją santvar ą (71a pav.).
r
R A x D
B
A r
r
R A y
F
r
r
F
a)
R D
b)
71 pav. Plokščioji santvara
Pusiausviros santvaros atskiri strypai ir mazgai bei visos veikian čios jėgos bus pusiausviros. Visų pirma reikia rasti šarnyrinių atramų A ir D reakcijas (71b pav.), todėl santvara yra nagrinė jama kaip standusis pusiausviras k ūnas, kur į veikia išorinė jėga F ir nežinomos ryšių reakcijos R A , R A ir R D . Šios jėgos kartu paimtos sudaro plokš čią ją bet r
r
r
x
r
y
kaip išdėstytų jėgų sistemą , kuriai galima užrašyti tris nepriklausomas pusiausvyros lygtis (žr. 1.9 sk.):
∑ F ix = 0, ∑ F iy = 0, M ( F ) = 0. ∑ A i r
r
r
r
Išsprendus šią lygčių sistemą rasime reakcijų R A , R A ir R D reikšmes. Iš pirmos lygties x
r
y
matyti, kad šiame uždavinyje reakcija R A bus lygi nuliui, todėl schemose jos nevaizduosime. x
65
Toliau yra sudaroma santvar ą veikiančių išorinių ir vidinių jėgų diagrama (72 pav.). Dažnai iš karto teisingai pasirinkti vidinių jėgų kryptis yra neį manoma. Todėl sutarta, kad visos vidinės jėgos iš pradžių yra nukreipiamos nuo mazgo. Jeigu skai čiavimo metu bus gauta neigiama kurios nors vidinės jėgos reikšmė, tai reikš, kad tikroji šios jėgos kryptis yra priešinga pasirinktajai. y
r
R FA
F
R FE R FB r
x r
R AF
E
r
α r
A
D
C
R AB B r r
R A y
r
F
R D
72 pav. Išorinių ir vidinių jėgų diagrama
Kiekvieną santvaros mazgą veikiančios jėgos sudaro susikertančių jėgų sistemą . Tokiai jėgų sistemai galima užrašyti tik dvi nepriklausomas pusiausvyros lygtis (žr. 1.9 sk.):
∑ F ix = 0, F = 0. ∑ iy Užrašius dviejų pusiausvyros lygčių sistemą kiekvienam plokščiosios santvaros mazgui galima rasti visų santvaros elementų į rą ž as. Tačiau svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad sprendimą reikia pradėti nuo mazgo, kuriame yra pridėta bent viena žinoma jėga ir yra sujungti ne daugiau kaip du elementai su nežinomomis vidinėmis jėgomis. Iš 72 pav. matome, kad šias są lygas tenkina du nagrinė jamos santvaros mazgai A ir D, todėl pradėti sprendimą galima nuo bet kurio iš jų . Užrašysime pusiausvyros są lygas ir pusiausvyros lygtis mazgui A (72 pav.): R A + R AB + R AF r
r
r
= 0,
R AB + R AF ⋅ cos(α ) = 0, R A + R AF ⋅ sin (α ) = 0, r
r
r
kur R A – atramos A reakcija; R AB ir R AF – santvaros elementų AB ir AF į rą žos. Išsprendus mazgo A pusiausvyros lygčių sistemą , randame santvaros elementų AB ir AF į rą žų R AB ir R AF reikšmes. Kadangi R AF = − R FA , tai galima pereiti prie mazgo F , užrašyti dviejų pusiausvyros lygčių sistemą šiam mazgui ir rasti santvaros elementų FB ir FE į r ąž as. Taip nuosekliai analizuojant mazgus galima rasti vis ų santvaros elementų į rą žas. Jeigu visų į rą ž ų reikšmės bus apskaičiuotos teisingai, tai CD ir ED elementų į rą ž os bus ekvivalentiškos atramos reakcijai R D . r
r
r
r
r
66
Pjūvio metodas ( Ritterio metodas) Palyginti su mazg ų metodu, pjūvio metodas leidžia rasti beveik bet kur į santvaros elementą veikiančią vidinę jėgą (įr ą ž ą ), neatliekant nuoseklaus skai čiavimo nuo mazgo prie mazgo. Metodas paremtas tuo, kad iš pusiausviros santvaros išpjauti fragmentai (dalys) (73b pav.) liks pusiausviri, jeigu pjūvio vietoje bus pridėtos atitinkamos jėgos. y
r
F EF x r
F BE r
r
r
R A
R A
r
r
F
R D
a)
r
F BC
F
r
R D
b)
73 pav. Pjūvio metodo taikymas plokščiajai santvarai apskaičiuoti
Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad pridėtosios fragmentų pusiausvyrai palaikyti jėgos nėra žinomos. Yra žinoma tik jų kryptis – būtinai išilgai perpjautų elementų , nes visos vidinės jėgos santvaroje gali veikti tik išilgai jos element ų . Veikiančios išilgai santvaros elementų jėgos yra tų elementų į rą žos. Pjūvio metodui iliustruoti pasirinksime pusiausvir ą plokščią ją santvar ą (73a pav.), anksčiau išanalizuotą pagal mazgų metodą . Išorinių atramų A ir D reakcijų skaičiavimas šiai santvarai pateiktas anksčiau, todėl laikysime, kad išorinės reakcijos mums yra žinomos. Tarkime, reikia rasti santvaros element ų BC , BE ir FE į r ąž as (73a pav.). Atsižvelgdami į tai, kad pjūvio linija gali būti vedama tik per santvaros elementus ( ne per mazgus), perpjauname santvar ą į dvi dalis per mus dominančius BC , BE ir FE elementus (73b pav.). Skaičiavimams galima imti bet kurią iš dviejų dalių , tačiau paprastesnis sprendimas bus gautas tai daliai, kurią veikia mažiau jėgų . Taikant pjūvio metodą atskirai paimta santvaros dalis yra nagrinė jama kaip vientisas pusiausviras k ūnas. Todėl į pusiausvyros lygtis reikia į traukti tik nežinomas jėgas, veikiančias perpjautus elementus ir nagrinė jamą santvaros dalį veikiančias išorines jėgas. Vidinės jėgos, veikiančios fragmento (dalies) elementuose, nėra nagrinė jamos ir į skaičiavimus neį traukiamos. Plokščiajai jėgų sistemai galima užrašyti daugiausia tris nepriklausomas pusiausvyros lygtis (žr. 1.5.2 sk.), iš kuri ų galima rasti tik tris nežinomus dydžius. Todėl darant plokščiosios santvaros pjūvį galima perpjauti daugiausia tris santvaros elementus, kuriems vidinės jėgos nėra žinomos. Sprendžiant galima taikyti bet kuri ą plokščiosios jėgų sistemos pusiausvyros są lygų formą (žr. 1.5.2 sk.). Sprendimas: sprendimui pasirenkame dešinią ją (73b pav.) santvaros dalį . Laisvai pasirenkame perpjautus elementus veikiančių nežinomų jėgų kryptis ir pradedame nagrinėti kiekvieno perpjauto elemento pusiausvyr ą: a) jėgą F EF galima rasti iš momentų pusiausvyros lygties. Rašant moment ų lygtį reikia stengtis pasirinkti tok į tašk ą, per kur į eina daugiausia nežinomų jėgų . Matyti, kad jėgų r
67
r
F BE
r
ir F BC veikimo tiesės eina per tašk ą B, todėl užrašius momentų lygtį apie B, šių jėgų
galėsime atsikratyti: 2
∑
( )= 0 ;
( ) + M ( R ) = 0 .
r
r
M B F i
r
M B F EF
B
D
i =1
r
r
r
b) ėgą j F BE galima rasti suprojektavus visas jėgas į y ašį , nes šiuo atveju jėgų F EF ir F BC projekcijos bus lygios nuliui: 2
∑
r
F iy
=0;
F BE + R D r
r
= 0.
i =1
r
c) jėgą F BC galima rasti iš momentų pusiausvyros lygties, užrašytos apie tašk ą E : 2
∑
( )= 0;
( ) + M ( R ) = 0 .
r
r
M E F i
M E F BC
r
E
D
i =1
Taškai B ir E , per kuriuos eina nežinomų jėgų veikimo tiesės, yra vadinami Ritterio taškais. Ne visada galima iš karto parinkti teisingą nežinomos jėgos kryptį , tačiau neigiamas atsakymas reikš, kad tikroji jėgos kryptis yra priešinga negu pasirinktoji. Šiuo atveju reikia gr į žti prie schemos, pakeisti jėgos kryptį , perrašyti lygtį ir gauti teigiamą atsakymą . Laikantis šios tvarkos bus išvengta atsakymų dviprasmiškumo, o apie jėgos poveik į santvaros elementui – tempimą ar gniuždymą – bus galima spr ęsti iš sudarytos schemos. Pjūvių metodas negali būti taikomas plokščioms santvaroms skaičiuoti, kai darant pjūvį tenka perpjauti daugiau negu tris elementus, kuri ų vidinės jėgos (į rą žos) nėra žinomos. Todėl kai kuriais atvejais, siekiant gauti efektyvesnį sprendimą , mazgų ir pjūvio metodai yra taikomi kartu. Pavyzdžiui, reikia rasti sudėtingos santvaros centre esančio elemento į rą žą , tačiau, darant santvaros pjūvį tenka perpjauti mažiausiai keturis elementus ( gaunami keturi nežinomieji). Šiuo atveju vieną arba kelias nežinomas jėgas galima rasti pagal mazgų metodą , paskui padaryti pjūvį ir rasti kitas jėgas. Tokia metodų kombinacija gali būti racionalesnė negu atskir ų metodų taikymas.
68
3. SVORIO CENTRAS Panagrinėkime masės m trimatį k ūną (74a pav.), kabantį ant siūlo, pririšto taške A. Matome, kad k ūnas bus pusiausviras, kai siūlo į tempimo jėga bus lygi visas k ūno daleles veikiančių sunkio jėgų atstojamajai jėgai G . Taip pat matome, kad atstojamosios j ėgos G ir siūlo tempimo jėgos veikimo linijos sutampa. Pakartosime eksperiment ą , pririšdami tą patį k ūną kituose taškuose, pavyzdžiui, B arba C (74b,c pav.), kaskart punktyru pažymėdami atstojamosios jėgos G veikimo liniją . Visais stebimais atvejais (74a,b,c pav.) šios linijos bus tarpusavyje lygiagrečios (nes yra vertikalios) ir kirsis tame pačiame taške (74c pav.). Šis taškas yra vadinamas k ūno svorio centru. r
r
r
r
r
r
G
G
G
a)
b)
c)
74 pav. K ūno svorio centras
Norint tikslesnės analizės visgi tektų į vertinti tai, kad skirtingų k ūno dalelių gravitacijos jėgų kryptys šiek tiek skiriasi ir nėra lygiagrečios, nes gravitacijos jėgos eina į žemės centr ą. Be to, tektų į vertinti tai, kad k ūno dalelės nuo žemės yra nutolusios į vairiais atstumais, todėl gravitacijos jėgų poveikis joms taip pat bus skirtingas. Tai leidžia daryti išvad ą , kad unikalaus k ūno svorio centro nėra. Ši išvada neturi praktinės naudos tol, kol nagrinė jamų k ūnų matmenys yra daug mažesni, palyginti su žemės matmenimis. Todėl toliau k ūnus nagrinėsime atsižvelgdami į unikalaus svorio centro egzistavimo koncepcij ą , paremtą prielaida, kad žemės gravitacijos jėgų laukas yra lygiagretus ir vientisas. Ų J Ų J Ė GŲ 3.1. LYGIAGRE Č I CENTRAS r r
z r
F 4
C
F 3
r
F n
r
C
F 2
r
F 1 F 2
r
R
r
r i
r
F 1
r
F n
F i z i xi
yi
R
r
r C
r r
O x
F 3
z
r r
F 4
z C
O
y x
yC
a)
r
F i
b)
75 pav. Lygiagrečių jų jėgų sistemos
69
xC
y
Nagrinėti pasirinksime lygiagrečių jų jėgų sistemas, pavaizduotas (75 pav.). Laisvai pasirinktą tašk ą O (75a pav.) spinduliu-vektoriumi r i sujungus su kurios nors j ėgos F i r
r
r
pridėties tašku, galima užrašyti tokią jėgos F i momento apie tašk ą O išraišk ą :
( ) = r × F .
r
r
r
(115)
r
M O F i
i
i
Tačiau erdvinės jėgų sistemos atstojamosios momentas laisvai pasirinkto taško O atžvilgiu yra lygus sistemą sudarančių jėgų momentų apie tą patį tašk ą vektorinei sumai – Varinjono teorema (žr. 1.7.4 sk.). Todėl galima užrašyti, kad: n
( ) = ∑ M ( F ) ,
r
r
r
M O R
r
O
(116)
i
i =1
arba (žr. 75b pav.) n
∑ r × F ,
r c × R = r
r
r
(117)
r
i
i
i =1
n
kur R = ∑ F i (algebrin ė suma), nes visos jėgos yra lygiagrečios; i = 1, 2, …, n; n – sistemą i =1
sudarančių jėgų skaičius. Išvedę papildomą vienetinį krypties vektorių i (76 pav.), lygiagretų su jėgų sistemos jėgomis, šią išraišk ą būtų galima užrašyti taip: r
n
n
r c × ∑ F i ⋅ i = ∑ r i × F i ⋅ i r
(118)
r
r
r
i =1
i =1
arba r c ⋅ r
n
n
∑ F × i = ∑ r ⋅ F × i , r
(119)
r
r
i
i
i =1
i
i =1
todėl r c ⋅ r
n
n
∑ F = ∑ r ⋅ F .
(120)
r
i
i
i =1
i
i =1
Gauname: n
∑ r ⋅ F r
i
r c r
=
i
i =1
.
n
∑ F
(121)
i
i =1
r
F n
r
F i O x
r
i r
F 1
r
r C
C
r
F 3
r
r
F 2
R
y
76 pav. Lygiagrečių jų jėgų centras
70
r
Jėgų sistemos atstojamosios R pridėties taško C padėtį galima apibr ėžti pagal į prastas Dekarto sistemos koordinates, pavyzdžiui, xC , y C , z C . Todėl abi gautosios lygybės pusės yra projektuojamos į koordinačių ašis x, y ir z . Atsižvelgdami į tai, kad jėgų F i pridėties tašk ų padėtis gali būti aprašyta koordinatėmis xi , y i , z i , gauname: r
n
x c
=
n
∑
∑
xi ⋅ F i
i =1
∑ F
i =1
yc =
,
n
n
y i ⋅ F i
∑ F
i
i
zc =
,
n
∑ z ⋅ F
i
i =1
i
i =1
n
∑ F
.
(122)
i
i =1
i =1
SVORIO CENTRAS 3.2. K Ū NO
dmi Gi C dm1 r
r i r C r
r
dm2
G1
r
z C
O
r
G2 y
r
G
xC
x
yC
77 pav. K ūno svorio centras
Norint matematiškai nustatyti masės m materialiojo k ūno (77 pav.) svorio centro padėtį reikia suskaidyti jį į n masės dm1 , dm2 ,…, dmn dalelių . Kadangi k ūno sunkio jėga G yra lygi G = g ⋅ m , tai atskir ų dalelių sunkio jėgoms galima užrašyti tokias išraiškas: r
r
r
G1
r
= g ⋅ dm1 , G2 = g ⋅ dm2 , Gi = g ⋅ dmi . r
r
r
r
(123)
Todėl r
G
n
n
= ∑ g ⋅ dmi = ∑ Gi , r
(124)
r
i =1
i =1
čia i = 1, 2, …, n – k ūno dalelės; n – dalelių skaičius; g – k ūno laisvojo kritimo pagreitis. Iš 77 pav. matyti, jog k ūno dalelių sunkio jėgos G1 , G2 ,…, Gn sudaro lygiagrečių jų jėgų r
r
r
r
sistemą , kurios atstojamoji jėga, lygi k ūno sunkio jėgai G , yra pridėta taške C . Taikome ankstesnę lygiagrečių jų jėgų sistemos vektorinę išraišk ą (121) ir gauname: n
n
∑ r ⋅ G ∑ r ⋅ G r
r
i
r c r
=
i
i =1
=
n
∑G
i
i =1
G
i
i =1
71
i
.
(125)
Suprojektavus abi (125) lygybės puses į Dekarto koordinačių sistemos ašis x, y ir z gaunamos tokios išraiškos: n
∑ x ⋅ G i
xc
=
n
∑ y ⋅ G
i
i
i =1
yc =
,
G
n
i
i =1
G
∑ z ⋅ G i
zc =
,
i
i =1
G
(126)
.
Jeigu didinsime materialių jų dalelių skaičių iki begalybės, tai kiekvienos dalelės masė artės prie nulio. Nykstamai mažų dydžių suma yra integralas, todėl k ūno svorio centro koordinačių bendrosios išraiškos yra užrašomos taip:
∫
∫ xdG
r dG r
r c r
= V
G
,
= V
x c
G
∫ ydG
y c = V
,
∫ zdG
z c = V
,
G
G
,
(127)
čia V – k ūno tūris. kg Atsižvelgdami į tai, kad tankis yra masė k ūno tūrio vienete ρ = 3 , gauname, kad 1m elementariosios dalelės masė dmi yra lygi dalelės tankio ρ i ir dalelės tūrio V i sandaugai:
dmi
= ρ i ⋅ V i .
(128)
Atitinkamai gauname, kad: r
= g ⋅ dmi = g ⋅ ρ i ⋅ V i .
Gi
r
(129)
r
Bendruoju atveju, kai k ūno dalelių tankis nėra vienodas, (125) išraiška užrašoma taip: n
n
∑ r ⋅ G ∑ r ⋅ g ⋅ ρ r
r
i
r
r c
=
i
i
i =1
=
n
∑G
r
n
i
∑ g ⋅ ρ
∑ r ⋅ ρ
⋅ V i
i =1
r
i
i
i
⋅ V i
i =1
=
n
∑ρ
⋅ V i
r
i =1
i
n
i =1
i
,
(130)
⋅ V i
i =1
arba x c
=
∫ xρdV , ∫ ρdV
∫ yρdV , ∫ ρdV
yc =
zc =
∫ z ρdV . ∫ ρdV
(131)
Kai yra kietasis homogeninis k ūnas, kurio visų elementarių jų dalelių tankiai ρ i yra vienodi, gauname: n
n
n
∑ r ⋅ ρ ⋅ V ∑ r ⋅ V ∑ r ⋅ V r
r
i
r c r
=
i
i =1
n
∑ ρ ⋅ V i
i =1
r
i
=
i
i =1
n
∑V
i
=
i =1
V
i
.
(132)
i
i =1
Suprojektavę šią išraišk ą į Dekarto koordinačių sistemos ašis gauname išraiškas, pagal kurias randamas tūrio svorio centras: 72
n
∑
n
x i ⋅ V i
i =1
x c
=
x c
xdV ∫ = ,
yc =
,
V
∑
n
y i ⋅ V i
i =1
i
zc =
,
V
∑ z ⋅ V i
i =1
V
(133)
,
arba yc
V
ydV ∫ = ,
zc
V
zdV ∫ = .
(134)
V
čia V – k ūno tūris. FIG Ū ROS 3.3. PLOKŠ Č IOS SVORIO CENTRAS Nagrinėsime ploną homogeninę plokštelę, kurios plotas yra A, o storis – h (78 pav.). Išskyrus elementar ų plokštelės tūr į V i , pagal anksčiau pateiktas išraiškas galima rasti visos plokštelės tūrio centro koordinates. Jeigu elementarusis t ūris: V i
= h ⋅ Ai ,
(135)
tai plokštelės tūris bus: V = h ⋅ A .
(136) Ai
z
V i A
y h
x
78 pav. Plokščios figūros svorio centras
Įrašius į anksčiau tūrio svorio centrui rasti taikytas (133) išraiškas V ir V i reikšmes gaunamos plokščios figūros svorio centro koordinatės: n
n
∑ x ⋅ h ⋅ A ∑ x ⋅ A i
x c
=
i
i =1
h ⋅ A
i
=
i =1
A
n
i
yc =
,
∑ y
i
i =1
A
n
⋅ Ai
∑ z ⋅ A i
,
zc =
i =1
A
i
= 0. (137)
Integralinė forma:
x c
xdA ∫ = , A
yc
ydA ∫ = ,
zc
A
čia A – plokštelės plotas. 73
zdA ∫ = = 0, A
(138)
SVORIO CENTRAS 3.4. LINIJOS PAVIDALO K Ū NO Nagrinė jamas homogeninis pailgas, ilgio L ir pastovaus skerspjūvio S k ūnas, pavyzdžiui, vielos gabalas (79 pav.). z Li L
O
yi yC
x
C
z i
y xi z C x
C
79 pav. Plono strypo svorio centras
Tokio k ūno elementarusis tūris V i : V i = Li ⋅ S ,
(139)
kur Li – elemento ilgis; S – k ūno skerspjūvio plotas. Viso k ūno tūr į V galima apskaičiuoti taip: V =
∑ V
i
= L ⋅ S = S ⋅ ∑ Li .
(140)
Įrašius į anksčiau tūrio svorio centrui rasti taikytas (133) išraiškas V ir V i reikšmes gaunamos išraiškos, taikomos plono strypo svorio centro koordinat ėms rasti: n
n
∑ x ⋅ S ⋅ L ∑ x ⋅ L i
x c
=
i
i =1
i
=
S ⋅ L
i =1
L
n
i
∑ y ⋅ L i
yc =
,
i =1
L
n
i
∑ z ⋅ L i
zc =
,
i =1
L
i
. (141)
Integralinė forma:
x c
xdL ∫ = , L
yc
ydL ∫ = , L
zc
zdL ∫ = . L
(142)
Pastabos: • Paprastų simetrišk ų k ūnų , figūr ų ir linijų svorio centrai. Jei homogeninis k ūnas turi simetrijos centr ą , simetrijos plokštumą arba simetrijos ašį , tai jo svorio centras yra jo simetrijos centre, plokštumoje arba ašyje. • Sudėtingų k ūnų svorio centras. Ieškant sudėtingo k ūno svorio centro, k ūnas suskaidomas į dalis, kurių svorio centr ų padėtys žinomos arba lengvai apskaičiuojamos. Paskui pasirenkama patogi koordinačių ašių sistema, apskaičiuojami visų dalių svoriai, nustatomi šių dalių svorio centrai ir tik tada apskaičiuojamas viso sudėtingo k ūno svorio centras. 74
4. TRINTIS Iki šiol aktyvios ir reakcijų jėgos paviršių kontakto vietose dažniausiai buvo nukreipiamos statmenai lietimosi paviršiams. Ši prielaida palyginti tiksliai nusako lygi ų paviršių tarpusavio są veik ą ir skaičiuojant leidžia gauti santykinai mažą paklaidą . Tačiau praktikoje pasitaiko nemažai uždavinių , kai nagrinė jant paviršių kontakto vietą tenka atsižvelgti ne tik į normalinių , bet ir į atsirandančių tangentinių jėgų poveik į . Paviršių kontakto vietose atsirandančios tangentinės jėgos yra trinties jėgos. Trinties jėgos egzistuoja veikiant visiems realiems paviršiams, ypa č mašinų mechanizmuose, nepriklausomai nuo to, kaip tiksliai jie yra surinkti bei sutepti. Kaskart esant tendencijai vienam paviršiui judėti kitu paviršiumi matome, kad trinties jėgų kryptis bus priešinga galimai judė jimo krypčiai. Kai kuriais atvejais mes stengiamės sumažinti trinties jėgų poveik į , kitais, atvirkščiai, efektyviau panaudoti trintį , pavyzdžiui, stabdžiuose arba diržinėse pavarose. Mechanizmai arba procesai, kuriuose trintis yra tokia maža, kad jos galima nepaisyti, yra vadinami idealiaisiais . Kai trinties nepaisyti negalima, procesas arba mechanizmas yra vadinamas realiuoju. Visais realiaisiais atvejais trinties jėgų poveikio rezultatas yra energijos praradimas šilumai išsiskiriant bei kontakto pavirši ų nusidėvė jimas.
4.1. SAUSOJO SLYDIMO TRINTIS Sausojo slydimo trintis bus tada, kai du vienas kito atžvilgiu slystantys arba turintys tendenciją slysti paviršiai kontakto vietoje nėra sutepti. Trinties jėga sutampa su kontakto vietos liestine ir visada yra nukreipta priešinga judė jimo arba galimo judė jimo krypčiai. Sausojo slydimo trintis dar yra vadinama Kulono trintimi (esminius principus remdamasis eksperimentais 1781 m. suformulavo Kulonas, v ėliau 1831–1834 m. – Morin’as ). Nors sausosios trinties teorija iki šiol nėra galutinai suformuluota, toliau aprašytas sausojo slydimo analizinis modelis yra taikomas daugeliui praktikos uždavini ų spr ęsti. Slydimo trinties mechanizmas Nagrinėsime masės m kietą jį k ūną , esantį horizontaliame paviršiuje (80a pav.). Prie k ūno pridedame horizontalią jėgą F , kurios dydis tolygiai kinta nuo nulio iki reikšmės, pakankamos kad k ūnas pradėtų judėti. Jėgos F kitimo diagrama pateikta 81 pav. r
r
r
G r
r
F
m
F r
F tr N α R r
a)
r
b)
80 pav. Slydimo trinties mechanizmas
75
F tr
Kritinis taškas Statinė trintis
Dinaminė trintis
(judė jimo nėra)
(k ūnas juda)
F trMAX
F Dtr = µ D N
= µ N S
F tr = F F
r
81 pav. Jėgos F kitimo diagrama
Jeigu pridė jus pradinę jėgą F ≠ 0 k ūnas nepajudė jo, vadinasi, susilietimo paviršiuje veikia tokio pat didumo, bet priešingos krypties atsverianti j ėga (80b pav.), kuri yra vadinama trinties jėga: r
= − F . r
F tr r
r
Tolygiai didinant pridėtą jėgą F , didės ir trinties jėga F tr (80b pav. ir 81 pav.). Taip r
gaunama tokia jėgos F reikšmė, kai dar truputį ją padidinus, k ūnas pradės judėti, t. y. trinties jėga F tr pasieks savo maksimalią reikšmę FtrMAX ir daugiau nebegalės atsverti jėgos F r
r
r
r
poveikio. Tol, kol veikiamas jėgos F k ūnas yra ramybės būsenos, slydimo trinties jėga F tr yra vadinama statine slydimo trinties jėga. Veikiant sunkio jėgai G (80b pav.), k ūno paviršiaus susilietimo su plokštuma vietoje veiks normalinė reakcija N . Kai trinties jėga tur ės maksimalią reikšmę FtrMAX , jėgų N ir r
r
r
F trMAX
r
atstojamoji bus lygi: R = N + F trMAX . r
r
r
(143)
Eksperimentais nustatyta, kad statinė slydimo trinties jėga veikia k ūnų lietimosi plokštumoje ir yra nukreipta priešingai k ūno slydimo krypčiai. Jos reikšmė nepriklauso nuo k ūnų lietimosi paviršiaus ploto ir yra proporcinga normalinei reakcijai. Tod ėl galima rašyti, kad: F trMAX
= µ S N ,
(144)
kur µ S – statinės trinties koeficientas, kurio dydis priklauso nuo besitrinan čių k ūnų medžiagos ir jų fizinės būklės. Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad ši lygtis nusako tik kritinę arba maksimalią statinės slydimo trinties jėgos reikšmę F trMAX (81 pav.) ir netinka nors kiek mažesnėms statinės slydimo trinties jėgos reikšmėms, nes šiais atvejais: F tr < µ S N .
Iš (80b pav.) matyti, kad 76
tg α
=
F trMAX N
=
µ S N N
= µ S ,
(145)
kur α – statinės trinties kampas, nusakantis atstojamosios R kryptį . r
Judė jimo kryptis
normalė liestinė
r
R3
r
R2
r
R1
82 pav. Reakcijos realių jų paviršių kontakto vietose r
Nagrinėdami realių jų paviršių (82 pav.) są veik ą matome, kad reakcijų Ri kryptys ir atitinkamai kampo α (80 pav.) dydis priklauso nuo kontakto pavirši ų šiurkštumo bei geometrinių savybių . Atsižvelgiant į tai, kad tg α
= µ S ,
(146)
galima daryti išvadą , jog trinties koeficientas į vertina kontaktuojančių paviršių poros šiurkštumą bei geometrines abiejų kontūr ų savybes. Kai k ūnas pradeda judėti yra kalbama apie dinaminę trintį , o slydimo trinties jėga yra vadinama dinamine slydimo trinties jėga (81 pav.). Dinaminė slydimo trinties jėga F Dtr yra mažesnė už maksimalią statinės trinties jėgą . Yra nustatyta, kad F Dtr veikia besitrinančių r
r
k ūnų lietimosi plokštumoje priešinga slydimui kryptimi ir yra proporcinga normalinei reakcijai: F Dtr = µ D N ,
(147)
kur µ D – dinaminės trinties koeficientas. Šis koeficientas priklauso nuo jud ė jimo greičio, kontakto paviršių apdirbimo tikslumo ir yra mažesnis už statinį trinties koeficientą .
Galimi sausojo slydimo trinties atvejai (žr. 81 pav.): 1. F < ( F trMAX = µ S N ) – veikiančios jėgos F reikšmė yra mažesnė negu trinties jėgos maksimali reikšmė F trMAX . Šiuo atveju laikoma, kad k ūnas yra ramybės būsenos, dėl trinties jėgos į takos; 2. F = ( F trMAX = µ S N ) – veikiančios jėgos F reikšmė yra lygi trinties jėgos maksimaliai reikšmei F trMAX . K ūnas yra ribinės pusiausvyros būsenos, nežymiai padidė jus jėgai F , k ūnas pradės judėti; r
r
r
77
3. F > ( F trMAX = µ S N ) – veikiančios jėgos F reikšmė yra didesnė negu trinties jėgos maksimali reikšmė F trMAX (81 pav.). Kontakto paviršiai negali priešintis didesnei kaip F trMAX jėgai, todėl k ūnas juda. Šiuo atveju trinties jėga turi būti apskaičiuojama taip: r
F Dtr = µ D N .
Išnagrinėtasis analizinis slydimo trinties modelis gali būti taikomas visais sausojo slydimo atvejais. Tipinės trinties koeficientų reikšmės, pateiktos priede B, gali būti naudojamos akademiniams trinties uždaviniams spr ęsti. Realiems uždaviniams, norint kuo tiksliau į vertinti trinties į tak ą ir rasti atitinkamą trinties koeficiento reikšmę, tenka atlikti natūrinius bandymus. Tam, kad būtų sumažinta slydimo trinties į taka, kontaktuojantys paviršiai (žr. 82 pav.) yra mechaniškai apdorojami – šlifuojami bei, kad b ūtų padidintas tarpelis tarp besitrinančių paviršių ir užpildyti nelygumai – į vairiais būdais sutepami.
4.2. RIED Ė JIMO TRINTIS Pasipriešinimas, kuris atsiranda vienam k ūnui riedant kito k ūno paviršiumi, yra vadinamas riedė jimo trintimi. Nagrinėsime dviejų realių paviršių kontakto vietą (83–84 pav.).
r
N
83 pav. Pagrindo reakcijos k ūnui esant pusiausviram y x r
G O
r
T r
r
r
R N
N
r
r
Rn
r
R1 F A F B k r
r
84 pav. Pagrindo reakcijos k ūnui riedant
Iš 83 ir 84 pav. matyti, kad pusiausviro ir riedan čio k ūnų reakcijos kontakto vietoje yra skirtingos. Kai k ūnas yra pusiausviras (83 pav.), pagrindo reakcij ų atstojamosios N veikimo r
78
r
r
r
tiesė sutaps su sunkio jėgos G veikimo tiese, o jėgos N ir G bus vienodo dydžio. Kai k ūnas rieda (84 pav.), pagrindo reakcijų atstojamosios jėgos R kryptis bei pridėties taškas bus kitokie. 84 pav. pavaizduota, kad veikiant traukos j ėgai T , riedančio k ūno ir pagrindo deformuotų paviršių susilietimo plotelyje atsiranda reakcijos R1 , R2 ,..., Rn , kurių atstojamoji ją jėgą R į dvi dedamą sias – R = R1 + R2 + .., + Rn bus pridėta taške B. Išskaidome atstojamą r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
vertikalią ją N ir horizontalią ją F . Matome, kad normalinės reakcijos N veikimo tiesė nesutampa su sunkio jėgos G veikimo tiese. Nor ėdami dedamą ją N perkelti į tašk ą A, pagal Puanso teoremą turime pridėti papildomą jėgų por ą ( N , N ′) su petimi k . Ši papildoma jėgų pora yra vadinama riedė jimo trinties jėgų pora, jos momento reikšmė lygi: r
r
r
r
(
M N , N ′ r
r
) = k ⋅ N .
(148)
( F , F ′) petys bus daug
r
r
r
Perkeliant jėgą F į tašk ą A matyti, kad papildomos jėgų poros mažesnis už jėgų poros ( N , N ′) petį k . Vadinasi, daug mažesnis bus ir šios j ėgų poros momentas, todėl jo galima nepaisyti. Jėga F yra statinė slydimo trinties jėga F tr (žr. 80b r
r
r
r
pav.): F = F tr . r
r
Riedančio k ūno pusiausvyros są lygų analizė Didinant traukos jėgą T didės ir slydimo trinties jėga F (84 pav.). K ūnas liks pusiausviras tol, kol jėga F atsvers traukos jėgos T poveik į: r
r
r
r
T ≤ F ,
čia F = F trMAX = µ S N .
(149) r
Kartu k ūną veikia du momentai (84 pav.): traukos j ėgos T momentas apie tašk ą A M A (T ) = r ⋅ T ir riedė jimo trinties jėgų poros ( N , N ′) momentas M ( N , N ′) = k ⋅ N . K ūnas bus pusiausviras tol, kol traukos jėgos T momentas apie tašk ą A neviršys riedė jimo trinties jėgų poros ( N , N ′) momento maksimalios reikšmės: r
r
r
r
r
r
r
r
( ) ≤ M ( N , N ′) . r
r
r
M A T
(150)
Remiantis eksperimentais nustatyti tokie riedė jimo trinties dėsniai: 1. Maksimalus riedė jimo trinties jėgų poros ( N , N ′) momentas nepriklauso nuo riedančio cilindro spindulio ilgio ir yra proporcingas normalinei reakcijai: r
(
M N , N ′ r
r
r
) = k ⋅ N ,
(151)
čia k – riedė jimo trinties koeficientas ir kartu riedė jimo trinties jėgų poros petys. 2. Riedė jimo trinties koeficientas k priklauso nuo riedančio cilindro ir riedė jimo paviršiaus medžiagų fizikinių charakteristik ų . 79
LITERATŪRA 1. Paliūnas, V. Teorinė mechanika. Vilnius: Žuvėdra, 1997. 482 p. 2. Targas, S. Trumpas teorinės mechanikos kursas. Vilnius: Mintis, 1970. 476 p. 3. Hibbler, R. C. Engineering Mechanics: Statics and Dynamics. 6 th ed. Macmillan Publishing Co. New York, 1992. 588 p. 4. Meriam, J. L.; Kraige, L. G. Engineering Mechanics, Statics. 4 th ed. John Wiley& Sons, Inc. Canada, 1998. 526 p. 5. Яблонский, А. А.; Никифорова, В. М. Курс теоретической механики. Часть 1. Москва: Высшая школа, 1966. 438 c. 6. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики. Москва: Наука, 1968. 480 c. 7. Budrys, A. ir kt. Teorinė mechanika. Statika. Paskaitų konspektas. Vilnius, 1973. 212 p.
80
PRIEDAI 1 PRIEDAS. SI SISTEMOS MATAVIMO VIENETAI, NAUDOJAMI MECHANIKOJE Dydis
vienetas
SI simboliai
Ilgis Plotas Tūris Kampas Kampas Masė
metras
m
metras 2
m2
3
3
Tankis
kilogramas / metras
Jėga Jėgos momentas
niutonas
N
F
niutonas ּmetras
N ּm
M O F
Laikas
sekund ė
s m
t
L, l, R, r, h, d
metras laipsniai
m
radianai
–
kilogramas
kg kg
A, S V α , β ,γ α , β ,γ
0
3
žymė jimas
m
ρ
m3
r
( ) r
Linijinis greitis
metras / sekund ė
Kampinis greitis
radianas / sekund ė
Linijinis pagreitis
metras
Kampinis pagreitis
radianas / sekund ė 2
/ sekundė 2
r
s rad s m
V
= s −1
r
a
2
s rad s
2
ω
= s − 2
ε r
Linijinis impulsas Kampinis impulsas Masės inercijos momentas Darbas, energija
niutonas ּ sekund ė
N ּ s
niutonas ּmetras ּsekundė kilogramas ּmetras 2
N ּmּ s kg ּ m 2
s I
džaulis
J (= N ּm)
A
Dažnis
hercas
Hz (=
81
S
1 s
)
ν
2 PRIEDAS. TRINTIES KOEFICIENT Ų TIPIN Ė S REIKŠM Ė S Lentelė je pateiktos trinties koeficientų būdingos reikšmės esant į prastoms paviršių darbo są lygoms. Tikslios trinties koeficientų reikšmės yra nustatomos natūrinių bandymų būdu. Todėl, priklausomai nuo kontaktuojančių paviršių mechaninio apdirbimo kokybės, švarumo, tepimo, prispaudimo bei judė jimo greičio, galimas 25–100 % ir didesnis išmatuot ų ir lentelė je pateiktų trinties koeficientų reikšmių skirtumas. statinis, µ S
dinaminis, µ D
Plienas ir plienas (sausi)
0,6
0,4
Plienas ir plienas (sutepti)
0,1
0,05
Teflonas ir plienas
0,04
0,04
Plienas ir babitas (sausi)
0,4
0,3
Plienas ir babitas (sutepti)
0,1
0,07
Varis ir plienas (sausi)
0,5
0,4
Stabdžių kaladėlės ir geležis
0,4
0,3
Guma ir glotnus metalo paviršius
0,9
0,8
Varinis lynas ir geležinis skriemulys (sausi)
0,2
0,15
Kanapių lynas ir metalas
0,3
0,2
Metalas ir ledas
-
0,02
Kontakto paviršiai
82
