,
....
E
l
.. ..
E
Szerkesztette
l
l l
l
Felsőoktatási
tankönyv
Szerzők:
DR. M. CSIZMADIA BÉLA egyetemi tanár: 1.; 2.; 3.1.- 3.5. fejezet DR. FEKETE TIBOR egyetemi docens: 5.3; 6. fejezet DR. GELENCSI~R ENDRE egyetemi adjunktus: 3.6.; 5.1.; 5.2 fejezet DR. KISCELLI LÁSZLÓ főiskolai tanár: 3.4.3.; 4.7.2. fejezet DR. NÁNDORI ERNÖ tanszékvezető egyetemi docens: 4.1.- 4. 7.l. fejezet t DR. TERPLÁN ZÉNÓ akadémikus: A mechanika rövid története Alkotó szerkesztők:
DR. M. CSIZMADIA BÉLA egyetemi tanár DR. NÁNDORI ERNÖ tanszékvezető egyetemi docens
Számítógépes programrendszer:
DR. MüLLER ZOL TÁN egyetemi adjunktus
Bírálók:
DR. MICHELBERGER PÁL akadémikus DR. TÍMÁR IMRE tanszékvezető egyetemi docens
ISBN 963 19 2850 O ISSN 1416-535X
A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos!
©Dr. M. Csizmadia Béla, Dr. Fekete Tibor, Dr. Gelencsér Endre, Dr. Kiscelli László, Dr. Nándori Ernő, Dr. Terplán Zénó jogutódja, Dr. Müller Zoltán, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Gödöllő - Budapest, 1996
ELÖSZÓ .................................................................................................. ll TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS .................................................................... l3 BEVEZETÉS ............................................................................................ 21 l. MODELLALKOTÁS, ALAPFOGALMAK, AXIÓMÁK ...................... 23
1.1. Modellalkotás ............................................................................... 23 l. 1.1. Anyagmodellek. ....................................................................... 24 1.1.2. Geometnm modellek. ............................................................... 27 l. l. 3. Kapcsolatrendszert meghatározó modellek. .............................. 28 1.1. 3. l. A terhelések modellezése ................................................ 29 1.1. 3 .2. A kényszerek modellezése .............................................. 3 O 1.1.4. Szerkezeti modellek ................................................................. 32 1.2. A mechamka néhány alapfogalma ................................................. 33 1.2.1. Mozgás, tér, Idő ....................................................................... 33 1.2.2. Helyzet, szabadságfok .............................................................. 34 1.2.3.Helyzet, sebesség, gyorsulás ..................................................... 35 1.2.4. Tömeg, erő .............................................................................. 37 1.3. A statikában használtaxiómák és módszerek ................................ 38
2. ANYAGI PONT STATIKÁJA. ............................................................. 43 2.1. Erőrendszer eredőjének meghatározási módszerei ........................ 45 2.1.1. Anyagi pontra ható síkbeh erőrendszer eredőjének meghatározása szerkesztéssel ................................................... 46 2.1.2. Az erő megadásának lehetőségei .............................................. 49 2.1.3. Anyagi pontra ható erők eredőjének meghatározása számítással. .............................................................................. 52 2.2. Egyensúlyi erőrendszer és meghatározása ..................................... 58 2.2.1. Két erő egyensúlya .................................................................. 59 2.2.2.Három erő egyensúlya ............................................................. 60 2. 2. 3. N égy térbeli erő egyensúlya ..................................................... 71
6
Tartalom
3. rviEREV TEST STATII<ÁJA ................................................................ 77
3 .l. Alapfogalmak ............................................................................... 77 3. l. l. Erőrendszerek nyomatéka ........................................................ 77 3. 1.2. A statíka alaptétele ................................................................... 8 5 3.2. Síkbeli erőrendszer eredője ........................................................... 88 3.2.1.Egy erő .................................................................................... 88 3.2.2.Két erő eredőjének lehetséges esetei, az erőpár ........................ 89 3.2.3.Az eredő meghatározási módja, az eredő lehetséges esetel ....... 92 3.2 .4. Síkban szétszórt erőrendszer eredője ........................................ 95 3 .2. 5. Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredője ................................. 102 3.2.5.1. Az eredő számítása ....................................................... 102 3.2.5.2. Kötélsokszög szerkesztés .............................................. 104 3.2.6. Vonal mentén megoszló erőrendszer eredője ......................... 110 3. 3 . Síkbeli erőrendszer egyensúlya ................................................... 115 3. 3 .l. Statikailag határozott megtámasztás lehetséges esetei ............. 116 3.3 .2. Kényszererő-rendszer meghatározása ..................................... 118 3.3 .2.1. Kéttámaszú tartó ........................................................... 119 3.3.2.2. Befogotttartó ............................................................... l25 3.3.2.3. Háromrudas megtámasztás ............................................ 128 3.4. Térbeli erőrendszer eredője ........................................................ 137 3 .4.1. Párhuzamos erőrendszer eredője ............................................ 137 3.4.1.1. Koncentrált erőkből álló erőrendszer ............................ 137 3.4.1.2. Térfogaton megoszló párhuzamos erőrendszer.. ............ l40 3. 4 .l. 3. Síkfelület mentén lineánsan megoszló párhuzamos erőrendszer ................................................................... 141 3.4.2.Általános térbeli erőrendszer eredője ...................................... l44 3.4.3.Alkalmazások: a súlyerőrendszer eredője, a súlypont .............. 154 3. 5. T érbeli erőrendszer egyensúlya ................................................... 171 3. 5 .1. Befogott térbeli tartó .............................................................. 172 3 .5. 2. Merev test hatrudas megtámasztása ........................................ l 73 3.6. Merev test belső erőrendszere ..................................................... 181 3. 6 .l. Igénybevétel fogalma, fajtái, számítása ................................... 182 3.6.1.1. Normál (húzó és nyomó) ígénybevétel .......................... l85 3.6.1.2. Hajlító és nyíró ígénybevétel ......................................... 188 3.6.1.3. Csavaró igénybevétel .................................................... 193 3.6.2.Az igénybevétel fogalmának általánosítása ............................. 195
Tartalom
7
3. 6. 3. Igénybevételi függvény ek meghatározása ............................... 202 3.6.3.1. Összefüggés a terhelési függvény és az Igénybevételi függvény ek között ................................... 202 3.6.3.2. Igénybevételi ábrák megraJzolása .................................. 205 3 .6. 3. 3. Igénybevételi ábrák szerkesztése ................................... 212 3.6.4. Síkbeli és térbeli tört tengelyű tartók Igénybevételi ábrái ......... 217 3. 6.4 .l. Síkjában terhelt tört tengelyű tartó ................................ 217 3.6.4.2. Síkjára merőlegesen terhelt tört tengelyű tartó .............. 222 3.6.5. Görbe tengelyű tartók igénybevételi ábrái ............................... 225 3.6.5.1. Síkjában terhelt görbe tengelyű tartó ............................. 226 3.6.5.2. Síkjára merőlegesen terhelt görbe tengelyű tartó ........... 229 4. SZERKEZETEK STATIKÁJA ........................................................... 239 4 .l. 4.2.
Bevezetés ................................................................................... 23 9 A szerkezetek kialakítása. Statikailag határozott és határozatlan szerkezetek ............................................................. 241 4.3. Ef,ryszerű szerkezetek ................................................................. 245 4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek .......................................................... 250 4.4.1. Síkbeli rácsos szerkezetek statikai határozottságának megállapítása ......................................................................... 252 4.4.2. Csomóponti módszer ............................................................. 257 4.4.3.Az átmetsző módszer. ............................................................ 270 4. 5. Térbeli rácsos szerkezetek .......................................................... 282 4. 5. l. Térbeli rácsos szerkezetek felépítése, statikai határozottságuk megállapítása ................................................ 282 4.5.2. Csomóponti módszer ............................................................. 284 4.5.3. Az átmetsző módszer ............................................................. 286 4.5.4.Él menti erők módszere ......................................................... 286 4.6. Csuklós szerkezetek ................................................................... 295 4.6.l.Háromcsuklós szerkezet (Bakállvany) .................................... 297 4.6.2. Gerber-tartó .......................................................................... 305 4.6.3. Összetett csuklós szerkezetek ................................................. 311 4.7. Mozgékony szerkezetek ............................................................. 321 4. 7 .l. Mechanizmusok statikai vizsgálata ......................................... 321 4.7.2.Rúdlánc és kötél .................................................................... 328
8
Tartalom
4. 7.2.1. Csuklókorr koncentrált erőkkel terhelt rúdlánc, koncentrált erőkkel terhelt kötél.. .................................. 330 4.7.2.2. Rudakon, csuklók között terhelt rúdlánc ....................... 341 4. 7.2.3. Vízszintes mentén egyenletesen megoszló terhelésű kötél (parabola alakú kötél) ........................................... 345 4.7.2.4. Önsúlyával terhelt nagy belógású kötél (láncgörbe) ....... 354 5. VALÓSÁGOS SZERKEZETEK MODELLEZÉSE ............................ 369 5.1. Két merev (szllárd) test kölcsönhatása (súrlódás) ........................ 369 5 .1.1. Coulomb-féle súrlódás ........................................................... 370 5.1.1.1. Lejtő ............................................................................. 387 5.1.1.2. Ék ................................................................................ 392 5.1.1.3. Horony ......................................................................... 396 5.1.1.4. Csavar ...................................................................... ,... 400 5.1.1. 5. Csapsúrlódás ................................................................. 403 5.1.1.6. Emelő ........................................................................... 406 5.1.1.7. Cstga ............................................................................ 408 5. 1.2. Gördülési ellenállás ................................................................ 41 O 5.2. Merev test és kötél kölcsönhatása (kötélsúrlódás) ...................... .418 5.3. Keresztmetszetekjellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka .................................................................................. 430 5.3 .l. Alapfogalmak, definíciók ...................................................... .431 5. 3. 2. A másodrendű nyomatékokkal kapcsolatos tételek ................. 4 3 7 5.3 .2.1. Párhuzamos koordinátatranszformáció .......................... 43 7 5.3.2.2. Koordinátatranszformáció a tengelyek elforgatásával. ............................................................... 441 5.3 .2.3. Merőleges tengelyekre számított másodrendű nyomatékok összege ..................................................... 44 7 5.3.2.4. Részekre bontás tétele .................................................. .449 5.3 .2.5. Sztmmetnatétel ............................................................ .450 5.3.3.A másodrendű nyomatékok vektoros tárgyalása ............................................................................... 461 5.3.4.Inerciasugár, centrális ellipszts ................................................ 474 6. MOZGÓ TERHELÉSŰ SZERKEZETEK STATIKÁTA .................... .479
Tartalom
9
6. l. Hatás, hatástényező .................................................................... 4 79 6.2. Hatásfuggvények, hatásábrák ..................................................... 485 6.2.1. Egyik végén befogott rúd hatásábrái ..................................... .490 6.2.2.Kéttámaszú tartó hatásábrái .................................................. .492 6.2.3. Gerber-tartók hatásábrái ........................................................ 500 6.2.4. Átviteles tartók hatásábrái ...................................................... 504 6.2.5. Rácsos tartók rúderő-hatásábrái ............................................. 512 6.3. Maximális hatások ...................................................................... 525 6.3 .l.Mozgó erőcsoport maximális hatásai ...................................... 525 6.3 .2. Tetszőleges hosszúságú megoszló teherszakaszok maximális hatásai ................................................................... 533 FELADATOK EREDMÉNYEI ............................................................... 537 TÁRGYMUTATÓ .................................................................................. 563 IRODALOM ........................................................................................... 565
ELŐSZÓ
A HARMADIK KIADÁSHOZ Mint ismeretes, a mechanika a fizika egy fejezete és az anyagi testek mozgásával, illetve nyugalmával és ezek okaival foglalkozik. A műszaki mechanika a szilárd testek vizsgálatát végzi. Kísérleti alapokra épített axiómákból indul ki, amelyek meghatározott keretek közötti igazságát a gyakorlat igazolta. Ezekre az alapokra matematikai eszközök felhasználásával épül. Ennek a mémöki gyakorlat számára legfontosabb fejezeteivel foglalkozunk e tankönyvben, elsősorban a BME Közlekedésmémöki Kar, a Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar és a Széchenyi István Egyetem hallgatói számára, a két kar és a főiskola mechanikát oktató tanárainak összefogásával. A mechanika tanulásának az egyik célja, hogy olyan módszerek, tételes ismeretek birtokába juthassunk, amelyek segítségével érthetőbbé válik körülöttünk a világ. A másik, hogy ezen ismereteket hasznosítsuk, felhasználjuk, tegyük számunlaa jobbá, szebbé ezt az ismertebb világot. Ezt azonban csak úgy érhetjük el, ha egy szemléletet is elsajátítunk, a műszaki ember szemléletét Azt szeretnénk, hogy Ön, kedves Olvasó, e könyv segítségével a feladatmegoldásokon keresztül birtokába jusson ennek a készségnek, képes legyen a vizsgált jelenség lényegét meglátni, megragadni. Az Ön részére kitűzött feladat megoldása során, logikusan felépített rendszerben jusson el a szükséges pontosságú megoldásig és az eredményeit tudja értékelni. Később pedig- amikor már mémökké vált- ne csak feladatokat oldjon meg, hanem vegye észre hol tud segíteni, hogyan hasznosíthatja ismereteit, maga találja meg a feladatát. A tankönyv felépítése során a legegyszerűbb alapokból kiindulva lépésrőllépésre jutunk előre az összetettebb problémákig. Eközben az előforduló új, fontos fogalmakat külön, kiemelten definiáljuk (A definíciók címszavait külön jegyzékben a tankönyv végén megtalálhatja az olvasó, ami alapján egy-egy elfelejtett, pontosítandó fogalom újra gyorsan előkereshető.) Külön kiemeljük a kiinduló axiómákat (alaptörvényeket) és az ezekbőllevezethető tételeket, melyek bizonyítását a tétel megfogalmazása után közöljük Ezt követően a tételek alkalmazását részletesen kidolgozott példákan mutatjuk be, ahol az alkalmazott módszereket, "fogásokat" is összefoglaljuk. Végül fejezetenként vagy fejezetrészenként feladatok sora ad lehetősé-
12
Előszó
get az elsajátított ismeretek alkalmazásának begyakorlására. A feladatok eredményeit a tankönyv végén közöljük. A tankönyv felépítése, tárgyalásmódja, az alkalmazott matematikai apparátus - esetenként a fokozatos, igényeknek megfelelő elmélyülést is megengedve - lehetővé teszi a tankönyv használatát a műszaki felsőoktatás egész területén, mind a főiskolákon, mind az egyetemi karokon. A tankönyv folytonos együttdolgozásra késztet, mert csak így sajátíthatók el a benne foglaltak. Épp ezért nyomatékosan javasoljuk, hogy az elméleti anyagrész megértése után a példákat együtt, írásban részletesen dolgozza ki a szerzőkkel, és utána addig oldjon meg feladatokat, amíg biztonsággal helyes eredményre nem jut. Néhány fontos rész begyakadásához a tankönyvhöz mellékelt számítógépi prograrnak nyújtanak további segítséget, amelyek nem csak a numerikus és grafikus végeredményt adják meg, hanem még akkor is segítenek, ha a számítás során elakad az olvasó. Itt is köszönetet mondunk a lektorok lelkiismeretes, precíz, segítő munkájáért. Hálásan köszönjük továbbá azon kollégák önzetlen munkáját, akik a tankönyv második és harmadik kiadása előtt javító szándékú észrevételeiket megtették. Külön kiemeljük Hegedűs Attilának, a Temesvári Műszaki Egyetem professzorának részletekbe menő, pl. egyes definíciók precízebb megfogalmazását segítő javaslatait, valamint H I. Kleppnek, a RuhrUniversitat Bochum professzorának észrevételeit és a könyvről alkotott pozitív véleményét. Az olvasónak pedig azt kívánjuk, hogy eredményesen tanulmányozza ezt a tankönyvet és öröme teljen az itt közölt ismeretek megszerzésében, sikeres alkalmazásában. E helyen is őszinte tisztelettel megemlékezünk Terplán Zénó profeszszorról, akadémikusról, aki a könyv sikeréhez "A mechanika rövid története" című rész megírásával járult hozzá. Terplán professzor a könyv harmadik kiadása előtt eltávozott közülünk. Emlékét megőrizzük. 2002. februárjában
a Szerzők
TÖRTÉNETE A mechanika fogalmát a "Magyar értelmező kéziszótár" (1975) egyszerűen így fogalmazza meg: a fizíkának a testek mozgási törvényeivel foglalkozó ága. Errnél teljesebb értelmezést nyújt az "Akadémiai kislexikon" második kötete (1990): a fizíkának a makroszkopikus anyagi testek (fénysebességhez képest kis sebességű) mozgásaival és nyugalmi (egyensúlyi) állapotával foglalkozó ága. Vizsgálati módszere szerint felosztható kinematikára, statikára, kinetikára, szílárdságtanra. A statika és kinetika közös neve: dinamika. A természettudományok közül elsőként fejlődött egységes, átfogó tudományos rendszerré (megalapozói után Galilei-Newton-féle vagy klasszíkus mechanikává). Van olyan felfogás, amely szerirlt a mechanika nemcsak a szílárd testek, hanem a folyékony és légnemű anyagok mozgására és nyugalmi állapotára is kiterjed. Akad olyan technikatörténész. aki a fejlődést sztatikus és dinamikus technikára bontva tárgyalja. A gépészet oldaláról nyilván a dinamikus technikatörténeti szemlélet az uralkodó. Szerencsére e század magyar nyelvű mechanikakönyveinek legtöbbje foglalkozík hosszabb-rövidebb terjedelemmel a történelmi előzményekkel is. Már az 1934-benmegjelentAnder/ik-Feimer-féle "Mechanika" című könyv bevezető fejezetében kimondottan mechanikatörténeti rövid összefoglaló olvasható. A szerzők szerint az ókor épületeinek romjait és feljegyzéseinek maradványait vizsgálva, arra a meggyőződésre kell jutnunk, hogy a mechanika kezdete az általunk ismert emberi kultúra kezdetével esik össze. Az ókor hatalmas építményeit, a ciklopsz-falakat, a piramisokat bizonyos mechanikai tapasztalatok nélkül nemlehetett volna felépíteni. Lehet, hogy ezeknek a régi koroknak tapasztalatai váltották ki az egyszerűbb gépi mechanizmusok megteremtését, és ezekkel függnek össze az első mechanikai tapasztalatok. A mechanikai tapasztalat másik fontos forrása: az égitestek mozgásának, kölcsönhatásának megfigyelése. Akár szükségből, akár vallásos hit okából, az emberiség a ma ismert kultúra kezdetétől figyelemmel kísérte az égitestek járását és bőven gyűjtötték a tapasztalatokat. De a természettudományokban (így a mechanikában is) a tapasztalatok gyűjtése önmagában nem elég, csak egyik szükséges eleme a tudománynak. Az egyre halmozódó tapasztalatok egy bizonyos határon túl áttekinthetetlenné, kezelhetetlenné válnak. Keresni kellett tehát azt, hogy a nagy tapasztalatok nem foglalhatók-e össze rövid és áttekinthető formában, vagyis kezelhetők-e tudományos módszerrel, bírálattal? A tudomány tehát két alkotórészből áll. Az egyik a rajtunk kivüllejátszódó természeti jelenségekre vonatkozó tapasztalat, a másik az emberi értelem vizsgáló, absztraháló, rendszerező, szintetizáló módszereinek alkalmazását jelenti. Az ember által bevezetett fogalmak a tapasztalaton kívül esnek. Ilyen fogalmak elsősorban a tér és az idő, amelyek az élményeinknek és tapasztalatainknak a rendező elvei. Mivel idealizált fogalmakkal építjük fel a mechanikát, meg kell állapodnunk, mely tulajdonságokkal ruházzuk fel ezeket a fogalmakat? Pl. a testek egymásra gyakorolt hatását tekintve jól bevált az erő fogalmának bevezetése, an1elynek a szabatos meghatározása
14
Történeti áttekintés
nehézkes, de jellemző tulajdonságai rnegállapíthatók. Vagyis jól bevált, hogy a mechanikai problémákat az erő fogalmára vezette vissza a tudomány. Az erő-fogalom a mechanikaminden ágán végigvonul. De az erő fogalma nélkül is felépíthető a mechanika. A gyakorlati alkalmazásban viszont a mechanikai jelenségeket a legjellemzőbben és a legrövidebben az erő fogalmávallehet leírni. A .mechanikai problémákat úgy célszerű vizsgálni, hogy először a legegyszerűbb jelenségeket írjuk le, ezek csak a lényeges hatásokra szorítkoznak és a lényegteleneket figyelmen kívül hagyják. Egy ilyen egyszerűsítés, hogy a valóságos testeket (szilárd testeket, folyadékokat, gázokat) ideális testekkel helyettesítjük, amelyek bizonyos körűlmények között úgy viselkednek, mint a valóságos testek. Az Anderlik-Feimer-könyv bevezető gondolatai után, azok folytatásaként tekintsük át Sályi Istvánnak a mechanika történetével foglalkozó gondolatrnenetét, amelyet 1957-ben tett először közzé Muttnyánszky .Ádám "Kinematika és kinetika" círnű könyvében a szerző felkérésére.
Az égitestek mozgásának megfigyelése A mechanika tudományágának fejlődése, mint már említettük, részben abból indult ki, hogy az égitestek rnozgását megfigyelte. A történelem előtti időkből ered már az a felismerés, hogy a nappal és é]el szabályos változása a Nap járásával függ össze, továbbá, hogy különböző évszakokban más-más csillagzatok láthatók éjszaka az égbolton. Az ókori kultúrákban az égitestek rnozgásának leírására szorítkozó csillagászat már megérdemelte a tudomány fogalmának elismerését, mert megfigyeléseit rendszerbe foglalta, belőlük egyes törvényszerűségeket állapított meg úgy, hogy esetenként az égitestek mozgását évekre előre kellő pontossággal ki tudta számítani. Ezután az ókori csillagászati tudomány megállapításainak összefoglalása következik a mérési lehetőségek korlátaival, a megsegítés zsenialitásaival, a földközéppontú égbolttal, az álló- és mozgócsillagokkal stb. Már régen rájöttek, hogy a mozgócsillagok nem mozognak pontosan együtt az állócsillagok szférájával, az utóbbinak egy teljes körülfordulása után a mozgócsillagok a környezetükben levő állócsillagokhoz képest már észrevehetően megváltozta1ják helyzetüket, és hosszabb időszak után az állócsillagok szférájában mindegyikük más-más, bonyolultabbnál bonyolultabb pályát ír le. Az egyszerűbb eseteket - pl. a Napnak és a Holdnak a rnozgását - Eudoxosznak (Kr.e. 408-355) sikerült szemléletesen is és jó közelítéssel is leírnia, mégpedig több forgás egymásra helyezésével (szuperpoziciójával). A bonyolultabb esetek leírását megnehezítette a csillagászati távolságok megbízható mérési módszereinek hiánya. A görög Ptolemaiosz (Kr.u. 87-165) végre kielégítő pontossággaile tudta már írni az akkor ismert valarnennyi bolygó mozgását, továbbfejlesztve a görög Apoltóniosz (Kr.e. 247-190) gondolatát, amely szerint a bolygók olyan körpályákon mozognak, amelyeknek középpontjai nem esnek egybe a Föld középpontjával. A további vizsgálatok azért nem sikerülhettek, rnert a Földet nyugalomban lévőnek gondolták. Ptolemaiosz előtt a szamoszi Arisztarkhasz (Kr.e. 310-230) már kb. 250-ben felvetette a Föld Nap körüli körpályás mozgásának gondolatát, amely azonban nem tudott a gyakorlatban gyökeret verni, mert a Földön végzett megfigyeléseket más rendszerre (pl.
Történeti áttekintés
15
a Naphoz és az állócsillagokhoz kötött rendszerre) távolságmérés nélkül nem tudták átszámítani. Mégis gondosan és pontosan sikerült az ókorban a Földnek, a Napnak és az állócsillagoknak egymáshoz viszonyított mozgásait (amelyek a nappalok és é_üelek változását és az évszakok szabályszerű ismétlődését eredményezik) leírni. Erre támaszkodva ki lehetett dolgozni naptárrendszereket, amelyek száz év időszakában viszonylag kis hibával adták meg az adatokat a csillagászati jelenségeknek erre a csoportjára. A Földhöz kötött rendszerben észlelt rendkívül bonyolult kinematikai viszonyok alapján a helyes szemlélethez, vagyis ahhoz, hogy mindegyik égitest hatással van a többire, és e hatás révén befolyásolja azok mozgását, annál kevésbé juthattak volna el, mert közel kétezer évvel később is csak új matematikai módszer (az infinitezimális szánútás) alkalmazása tette lehetövé a megfigyelés útján nyert adatok biztos, mennyiségi értékelését.
Földi rnozgások A mozgások másik csoportja - amely már az ősi időkben az ember érdeklődésének középpontjába került - azokból a Földön lejátszódó mozgásokból tevődik össze, amelyek szoros kapcsolatba kerültek az ember mindennapi életével, tevékenységével, munkájával. Valószínű, hogy először azt ismerték fel, hogy a testek súlyosak és ha elengedték azokat, leestek, továbbá, hogy a testek (pl. a vadászzsákmány) szállítása esetenként a vízszintes terepen is fáradságos, lejtőn még fáradságosabb munka. Vagyis az ilyen mozgások, mozgatások tudatos vizsgálata az első kezdetleges szállítóeszközök alkalmazásával kezdődhettek. Az is valószínű, hogy az eszközök azért születtek, mert az ember meg akarta könnyíteni fáradságos munkáját, továbbá, hogy képes legyen olyan feladatok megoldására, amelyek puszta kézzel már nem voltak elvégezhetők. Az ilyen, akár mozgásokkal is kapcsolatos kérdésekben az idő jelentéktelennek tűnt. Ha pl. egy hatalmas kőtömböt kellett az építkezés helyére szállítani és ott elhelyezni, akkor fő dolog az volt, hogy az eszköz alkalmas legyen arra, amit kézzel nem lehetett megoldani. A dinamikai probléma ilyenkor kinetikai feladatból - határesetben - statikai feladattá egyszerűsödött. Maga az építészet, amely a megépítés befejezte után nyugalomban maradó építményeket hozott létre, önállóan is felvetett statikai kérdéseket. A görög Arkhimédész (Kr.e. 287-212) műveiben mai szemmel is szabatosan megadta a szilárd testek és folyadékok statikájának olyan alapvető törvényeit, mint az emelőtör vényt, bizonyos egyszerűbb esetekre az eredő meghatározásának szabályát, szilárd testek folyadékban történő úszásának törvényeit. Ezekre a törvényekre támaszkodva, az egyszerű gépeket, az emelőt, a hengerkereket, az emelőcsigát stb. alkalmasan csoportosítva, egymással összekapcsolva, már nagyszerű emelőszerkezeteket, sőt hadigépeket lehetett öszszeállítani. A görög Arisztotelész (Kr.e. 384-322) műveiben összefoglalt ókori dinamikának ismeretanyaga sem az ókorban, sem a középkorban (közel kétezer éven át) lényegesen nem fejlődött. Ennek oka, hogy mai szenunel nézve Arisztotelész dinamikája alapvetően hibás. Arisztotelész pl. kimondta, hogy egy test nyugalomban van, ha erő nem hat rá és hogy sebessége a rá ható erővel arányos. Egy másik téves megállapítása, hogy azonos magasságbólleejtve a súlyosabb test nagyobb sebességgel érkezik a földre.
16
Történeti áttekintés
A szabadesés, az elhajított test mozgása során fellépő sebességek nagyságrendekkel nagyobbak, mint az égitesteknek az égboltozaton mérhető látszólagos sebességeL Az ókorban nem léteztek olyan műszerek, amelyekkel ezek a viszonylag gyors mozgások megbízható kinematikai elemzése megtörténhetett volna. Ezért érthető, hogy a jelenségek észlelései közül nem sikerült a kinematika törvényeit Arisztotelész korában még megközelítően sem felállítani. Az égitestek mechanikájában hiányoztak a kinetikai meggondolások, a Földön lejátszódó mozgásoknál hiányzott ezeknek a mozgásoknak a kinematikai elemzése. A dinamika, a kinetika helyes továbbfejlesztése, tulajdonképpeni megalapozása előtt tehát - Arisztotelész tekintélyével szembeszállva - először ki kellett vezetni a tudományt abból a zsákutcából, ahová az ókorban jutott. De az is az utókorra maradt, hogy az említett két mozgáscsoportot - amelyek között az ókor gondolkodói még nem találtak kapcsolatot - egységesen szemlélje, egységes törvényszerűségeit megtalálja.
heliocentrikus világkép kialakulása A középkor skolasztikus filozófiája Arisztotelész természetfilozófiája és természettudományos tanítása alapján állt, és elfogadta Ptolemaiosz világképét is, mert összhangban voltak az Európában uralkodó egyház egyéb tanításaivaL Így a tudomány fejlődése, a mechanikáé is leállt. Ugyanakkor a középkor csillagászai szorgalmasan végezték adatgyűjtő munkájukat. Újabb módszereket dolgoztak ki az égitestek egymástól való távolságának megbízl1atóbb meghatározására. Lassan eljött az ideje Arisztotelész gondolatainak gyakorlati ellenőrzésére. Sályi István a következőképpen fogalmazta meg az égitestek mozgásának 15. századbeli dilemmáját: "A kérdés a következő. Feltéve, hogy földi halandónak sikerülne a földtől elszakadva, az égitestek mozgását olyan koordináta-rendszerben szemlélnie, amelynek kezdőpontja a Nap középpontjában van, és amely rendszerben az állócsillagok mind nyugalomban vmmak, vajon milyennek látná ez a szemlélő a bolygók mozgását? A kinematika - pusztán földi megfigyelések alapján is - választ tud adni a feltett kérdésre, ha a Napnak és a bolygóknak nemcsak az égbolton, az állócsillagok között elfoglalt helyzetét regisztráljuk, de egyben folyamatosan mérjük pl. a Földtől való távolságaikat is. Ebből az következik, hogy az egyik vagy a másik rendszerben végzett megfigyelések egyenértékűek annyiban, hogy ezek eredményei az egyik rendszerről a másikra átszámíthatók. Más kérdés, hogy nilután a bolygók mozgása a földi rendszerben rendkívül bonyolultnak látszik, nem kapunk-e egyszerűbb, áttekinthetőbb képet a másik rendszerben. A józan ész azt mondja, hogy az egyszerűbb egyben a célszerűbb is." Az első nagy név a lengyel N. Kopernikuszé (1478-1543), akinek heliocentrikus elképzelése szerint a Nap is állócsillag, amely egyben a bolygórendszer középpontja. Ennek a rendszernek elemei, az egyes bolygók kör vagy ehhez hasonló alakú pályákon keringenek a Nap körül. A dán Tycho de Brahe (1546-1601) gondos mérései kimutatták, hogy a bolygók pályái Koperniknsz rendszerében sikgörbék, de nem pontosan kör alakúak. A németJ. Kepler (1571-1630) főként Brahe adataira támaszkodva megállapította, hogy a bolygópályák olyan ellipszisek, amelyeknek egyik gyújtópontjában a Nap áll. Kepler meg-
Történeti áttekintés
]7
határozta a keringés rendkívül egyszerű törvényszerűségeit is. Ezzel bizonyossá vált, hogy a Naphoz és az állócsillagokhoz kötött rendszerben a bolygók mozgásának kinematikája bámulatosan egyszerű, míg a másik, a Földhöz kötött rendszerben felette bonyolult.
klasszikus mechanika kezdetei Kopernikusz legnagyobb érdeme, hogy új kinematikai szemléletet indított el, amely elvezetett az égitestek, sőt általánosan az egész dinamika felépítéséhez. Ebben a folyamatban az olasz G. Galilei (1564-1642) munkássága a következő láncszem. Vizsgálódásait új módszerrel, a Földön lejátszódó mozgások legfontosabb csoportjának, a szabadesésnek kísérleteivel kezdte a pisai ferdetornyot is bevonva kisérleteinek helyeibe. Galilei fogalmazta meg először - Arisztotelész dinamikáját alapjaiban megrendítve - a szabadon eső test egyenletesen gyorsuló mozgásának tényét. Ugyanezt a törvényszerűséget állapította meg a lejtőn legördülő testek mozgására is. Az a megfogalmazása is nagy jelentőségű volt, hogy a szabadon eső test gyorsulása, a nehézségi gyorsulás független a test súlyától. Ezek után Galilei - Arisztotelész felfogásával ellentétben - kimondta, hogy az olyan test, amelyre nem hat erő, nincs feltétlenül nyugalomban, mert tehetetlenségénél fogva, erőhatás hiányában is képes egyenes pályán egyenletesen mozogni. Az anyagi test ettől eltérő mozgása során pedig nem a test sebessége, hanem gyorsulása arányos a testre ható erővel. Kopernikusz világképe lehetövé tette, hogy a dinamika új alapelveit az égi mechanika területén is alkalmazni és ellenőrizni lehessen. Lassan megérlelődött az a gondolat, hogy a kölcsönös vonzás az anyagi testeknek általános tulajdonsága, és ez a hatás - amely a földi nehézséggel azonos természetű - tartja össze ill. mozgásban az egész naprendszer bonyolult mechanizmusát. Galilei - az egyház oldaláról ért megpróbáltatásai ellenére - rendületlenül harcolt Kopernikusz új világképéért, az új tudományért, benne az új mechanikáért. A naprendszer dinamikáját nem tudta ugyan megfejteni, mert az általa vizsgált, főként egyenes vonalú mozgások szabatosan megállapított törvényszerűségeit a maga idejében a görbe vonalú mozgásokon még nem sikerült általánosítani. Ez a holland Ch. Huygens (1629-95) körmozgásra vonatkozó vizsgálatai után vált lehetövé. Galilei azonban a tehetetlenségi elvből mégis le tudott vonni egy, a naprendszerre is érvényes következtetést. Ö mondta ki, hogy ha a kinematikai és dinamikai vizsgálatainkat valamely - pl. a Földhöz vagy a Naphoz kötött- rendszerre vonatkoztatjuk, ez nem jelenti a kiválasztott rendszer nyugalmát. Vagyis minden megfigyelésünk viszonylagos (relatív). Csak arról számol be, hogy egy test a másikhoz, a kiválasztott vonatkoztatási rendszerhez képest hogyan változtatja helyzetét Kopernikusz naprendszere a tőle nagyon nagy távolságú állócsillagokhoz képest állandó mozgásban lehet. A tehetetlenségi elvből ezután Galilei helyesen azt következtette, hogy a dinamikának a Naphoz kötött rendszerben megállapított törvényei senunit sem változnak, ha a jelenségeket egy másik, az előbbihez képest egyenes vonalban egyenletesen mozgó rendszerben figyeljük meg. Ez az elv a klasszikus mechanika relativitáselve.
18
Történeti áttekintés
klasszikus mechanika alaptörvényeinek megfogalmazása Rendelkezésre állt tehát a mozgások két nagy csoportjának, a bolygók mozgásának és a Földön a súlyerő hatására lejátszódó mozgások egy részének szabatos, kinematikai leírása, rendelkezésre álltak minőségileg helyes dinamikai alapelvek, amelyeket azonban mennyiségileg is helyesen, a maguk általánosságában még nem sikerült megszövegezni. Töprengéssei arra lehetett következtetni, hogy az anyagi testek vonzó hatása a távolsággal csökken, valószinűleg a távolság négyzetének fordított arányában. A jelenségek szerteágazó sokaságát áttekinteni tudó, rendszerező elmére és egyben tehetséges matematikusra volt szükség, hogy kikristályosodjék a matematikailag megalapozott klasszikus mechanika. Ennek a feladatnak megoldása az angol J. Newton (1643-1727) tudósnak jutott osztályrészül. Az 1686-ban megjelent "Philosophiae naturalis principia mathematica'· című alapvető munkájában néhány alaptörvényre építve tisztán matematikai módszerekkel kimutatta, hogy a bolygók megfigyelt mozgásukat a Nap felé irányuló, a Nap vonzó hatását jelentő erők hatására végzik vagy megfordítva, ki lehet mutatni matematikailag, hogy a távolság négyzetével fordítva arányos vonzóerők hatása alatt az anyagi testek éppen a Kepler-féle törvények szerinti mozgást végzik. Érdekes, hogy a feladat megoldásához új matematikai módszer (az infinitezimális számítás) bevezetése kellett. Ennek az alapelveit egymástól függetlenül Newton mellett a német G. W Leihniz (1646-1716) is kidolgozta, és a szerencsésebb felépítése következtében az ő módszere lett a további fejlődés alapja. De Newton a saját módszerével is megoldotta a bonyolult feladatot: a bolygók mozgásának matematikailag szabatos bizonyítását, amellyel egyben az általános tömegvonzás törvénye is bizonyított volt. Az is érdekes, hogy mind Kepler, 1nind Galilei törvényeit később a bolygók egymásra gyakorolt hatása miatt kissé módosítani kellett. A legtöbb esetben azonban ez elhanyagolható. Kivételes esetben a bolygók keringésük során közel kerülhetnek egymáshoz és kölcsönös vonzásukkal észrevehetően megzavarhatják egymás mozgását (perturbáció). A klasszikus mechanika egyik szép eredménye volt, a1nikor a francia U.J.J. Leverrier (1811-77) 1846-ban a Uránusz pályáján észlelt perturbáció alapján meg tudta állapítani az akkor még ismeretlen Neptunusz bolygó létezését és ki tudta számítani a pontos helyét is.
Az elméleti mechanika kezdetei "A klasszikus mechanika a természettudományok első ága, amely az "elméleti" jelző re igényt tarthat. Az ilyenfajta tudomány, miután a természet jelenségeinek nagy csopmtját gondosan megfigyelte, a megfigyelt adatokból a természetben uralkodó törvényszerűsége ket helyesen kiszűrte, és azokat mennyiségileg is helyesen megszövegezte, abba a helyzetbe került, hogy megfelelő matematikai eszközök birtokában tisztán elméleti meggondolások segítségével helyesen le tud írni olyan jelenségeket és folyamatokat is, amelyek eddig nem voltak közvetlen megfigyelés tárgyai." (Sályi) Newton és Leibniz után a mechanika tudománya óriási fejlődésnek indult. A dinamika Newton-féle alaptörvényeinek segítségével az erők ismeretében nemcsak az anyagi pont, de az anyagi pontokból álló, bármely bonyolult felépítésű anyagi pontrendszer moz-
Történeti áttekintés
19
gásai is szabatosan leírhatók, akár egymástól külön álló anyagi pontokból álló rendszerről, akár a térben folytonos tömegeloszlású anyagi testekről van szó. Az utóbbiaknak van a műszaki gyakorlatban a legnagyobb jelentőségük. Ilyenek pl. a merev testek vagy a merev testekből felépített rendszerek, a rugalmas testek, a folyadékok, a gázok stb. A kb. másfél évszázados fejlődés kiemelkedő egyéniségei a következők. A svájci L. Euler (1707-83) érdeme a merev testek kinematikájának teljes és részletes kifejtése, és ő fektette le a folyadékok mechanikájánakalapjait is. A Francia J.-B. D'Alambert (1717-83) és J.L. Lagrange (1736-1813), a német K.F. Gauss (1777-1855), az ír W.R. Hamilton (1805-65) nevéhez fűződik az olyan általános mechanikai elvek megállapítása és olyan általános érvényű módszerek kidolgozása, amelyek a legváltozatosabb mechanikai feladatoknak is egységes és jól áttekinthető matematikai tárgyalását teszik lehetővé.
A modern mechanika A mechanika történetének eddig összefoglalt szemelvényeit a mai megváltozott szerepével zárjuk, mégpedig Kozák Imre tanulmánya gondolataival. Szerinte a 20. század második felére vált teljessé az a folyamat, amely az ipari forradalom közepe körül kezdő dött, és a tudomány eredményeinek a gazdasági, ipari és katonai életben történő céltudatos felhasználását jelenti. A mechanika ezentúl Janus-arcúvá vált. Egyrészt más tudományágakkal kapcsolódva részben saját belső törvényei, részben kívülről jelentkező igények alapján fejlődik, másrészt mint mérnöki tudomány a gép- és szerkezettervezés folyamatában nélkülözhetetlen szerepet tölt be. A mechanika a Newton utáni száz évben pl. a vékony lemezek elméletének múlt századra eső kialakulása vagy a képlékenységtan ebben a században történt kiépülése tekintetében lépett előbbre. Külön említést érdemel a mechanika fejlődésében a digitális számítógépek elterjedése. Ezáltal ugyanis lehetővé vált a mechanikai feladatok jó közelítést adó és gyors numerikus megoldása még a nagyon bonyolult esetekben is, és így a korábbiaknál összehasonlíthatatlanul nagyobb hatékonyságú számítási módok állnak rendelkezésre. De ugyanolyan iramban fejlődött az utóbbi évtizedekben a mérésteclmika is. A nagy belső és külső fejlődés ellenére a mechanika továbbra is lényeges eleme maradt a műszaki fejlődésnek és fejlesztésnek. hiszen korunk technológiáinak, energetikájának, építészetének, anyagmozgatásának és közlekedésének a mechanikai elveken működő gépek (szerkezetek, eszközök) az alapjaik Legfeljebb kiegészülnek az irányítás, vezérlés, önszabályozás elemeivel, minőségileg új és jobb szerkezeti anyagból készülnek és sokoldalúbb feladatokat (pl. robotokat) kell ellátniok. Kozák Imre szerint a mechanika ma már képes a saját belső törvényei és a külső igények alapján is a továbbfejlődésre, és biztos, hogy továbbra is hatékony, egyes területeken fokozódó mértékű, biztos alapja és segítője lesz a műszaki fejlődésnek. Dr. Terplán Zénó akadémikus
BEVEZETÉS
mechanika tárgya és felosztása A mechanika az anyag helyzetváltoztatásával - mechanikai mozgásával foglalkozó tudomány. Részfeladata a nyugalom - mint a mozgás speciális esete - feltételeinek tisztázása. Ezzel foglalkozik a statika. A mechanika tárgy keretében csak a szilárd testek mechanikáját tárgyaljuk, a folyadékok és a gázok mechanikájával itt nem foglalkozunk. A következő fejezetekre bontva tárgyaljuk a szilárd testek mechanikáját: Mechanika Kinematika
Dinamika
Nyugvó testek dinamikája Statika (merev anyagmodell)
Szilárdságtan (szilárd anyagmodell)
Mozgó testek dinamikája Kinetika (merev anyagmodell)
Lengéstan (szilárd anyagmodell)
Kinematika: a mozgás leírásával foglalkozik, az azt létrehozó okot nem vizsgálja, a mechanika legrégebbi ága; Dinamika: a testek mozgását és deformációit vizsgálja az ezt előidéző erők alapján; Statika: a nyugalomban lévő merev testekkel, a rájuk ható erőkkel foglalkozik; &ilárdságtan: az erőkkel terhelt, nem merev testeket vizsgálja; Kinetika: a testek mozgását vizsgálja a testre ható erők figyelembevételével; Lengéstan: a periodikus mozgást végző testek ill. szerkezetek viselkedését tárgyalja.
22
Bevezetés
Itt jegyezzük meg, hogy a leírás során felhasználunk olyan fogalmakat, melyek a középiskolából vagy amindennapi életből már ismertek. Ugyanakkor ezeket a későbbiekben pontosabban is meghatározzuk
A mechanika általános
célkitűzése,
vizsgálati módszere
A mechanikának - mmt mmden tudománynak - a célja a valóság pontosabb megismerése, a valóságban lejátszódó jelenségek leírása, azok törvényszerű ségeinek feltárása és alkalmazása a mérnöki gyakorlatban. Minden tudomány tehát a természet megfigyeléséből indul ki és a természetben való alkalmazásban realizálódik. Összefoglalva, a mechanika általános vizsgálati módszere az alábbi lépések sorozatával jellemezhető: Jelenségek megfigyelése a megfigyeltjelenségek ·································· (mérés) osztályozása, a jelenségek leírása
törvény ................ a törvény alkalmazása ........................... ellenőrzés a valóságban (mérés) A mérnök feladata elsősorban a megismert törvények alkalmazása a gyakorlatban. A mechanika tárgy erre készíti fel a mérnökhallgatót.
l. MODELLALKOTÁS, ALAPFOGAL1\t1AK, AXIÓMÁK
A természet jelenségei rendkívül összetettek Ahhoz, hogy az összetett jelenségeket vizsgálni tudjuk, ezeknek - a vizsgált mechanikai szempontból - lényeges tulajdonságait kiemeljük, a kevésbé lényegeseket figyelmen kívül hagyjuk. Így előállítunk egy mechanikai modellt. Az erre érvényes törvényszerűségeket matematikai formában megfogalmazzuk, a feladatot erre a modellre megoldjuk. Az így kapott eredményeket a valóságos jelenségre - az ún. madelitörvények alkalmazásával- VIsszavezetjük. Ez a valóság közelítése- a közelítés mértékét a valósággal való összehasonlítás adja meg. Közelítések a modellalkotásban és a feladat megoldásában mindig ts lesznek és lehetnek. Ennek megfelelően az eredmények csak korlátozott pontossággal adják a feladat megoldását.
1.1. Modellalkotás Az előzőekből kitűnik, hogy amikor egy mechanikai feladatot oldunk meg, sohasem egy valóságos feladattal foglalkozunk, hanem a valóságot valamilyen mértékben megközelítő modellel.
/Definíció: A modell a valóság olyan egyszerűsített mása, mely a vizsgált jelenség szempongából a valósághoz hasonlóan viselkedik. Hogy a kapott eredmények milyen mértékben írják le a valóságot, az elsősor ban a választott modelltől fugg. Ezért a mechanikai feladatmegoldás első lépése a mechanikai modell felvétele. Ugyanakkor a mechanika egyes fejezeteihez meghatározott alapmodellek tartoznak. Ezek alkalmazásakor tudni kell, hogy a vizsgálatok során kapott eredmények milyen mechanikai modell ese-
24
J. lviodellalkotás, alapjogalmak, axiómák
tére rgazak és csak ez alapJán lehet az eredményeket a valóságos viszonyokra alkalmazm. A továbbrakban VIzsgáljuk meg milyen általános modellekkel dolgozik a mechanikának e félévben vizsgált fejezete. A körülöttünk lévő természetes és általunk létrehozott világ
=> különböző anyagokból felépülő, => különböző formájú testek => egymáshoz valamilyen módon kapcsolódó sokasága. Ennek megfelelően a környezetünk viselkedésének leírásához
=> anyag-, => geometnai és => kapcsolatrendszert (terhelést és kényszert) meghatározó madeileket kelllétrehoznunk
1.1.1. ANYAGMODELLEK
Mint a bevezetésben megállapítottuk, a mechanika a valóság megfigyeléséből indul ki, erre építi törvényeit. Induljunk ki itt is ebből! Ha egy rúd két végső keresztmetszetének egymástól való távolságát növeini akarjuk, azaz a rudat húzzuk, csak valamilyen erő kifejtésével tudjuk megtenni. Ezt a folyamatot húzásnak nevezzük. Ha a húzást egészen az anyag szakadásáig folytatjuk, szakításról beszélünk. Az ilyen vizsgálatot szakítávizsgálatnak nevezzük és szakítágépen hajtjuk végre. Ha egy acélrúd szakításánál meghatározzuk a húzóerő változását a rúd pillanatnyi /::,.l megnyúlása fuggvényében, az 1.1. ábrához hasonló diagramokat kapunk, attól fuggően, milyen fajta acélt szakítunk Ugyanakkor azt tapasztaljuk, hogy az Fmax terhelésig az acélrúd minden keresztmetszete azonosan viselkedik, a rúd nyúlik és minden keresztmetszetében egyenlő mértékben vékonyodik. Ez után ún. helyi kontrakció, elvékonyodás jön létre a rúd egy meghatározott keresztmetszete környezetében, miközben a húzóerő csökken (1.1. ábra) a C pontban bekövetkező szakadásáig. A másik tapasztalatunk, hogy ha az Fmax érték előtt a terhelést fokozata-
1.1. Adodellalkotás
F.
25
F.
[N].
[N]:
F,_ FH.
F""" i F' B
c
B
c
, l l
l l
l Oj
M p ' r--1
o !.lllpi
M[mm]
1
"'i
a.
i""
M[mm]
b.
1.1 ábra
san megszüntetjük, a terhelés nagyságától függően különböző jelenséget tapasztalunk. Ha az FA erőnél fokozatosan megszüntetjük a terhelést (tehermentesítünk), az erő és a megnyúlás (/1!) függvénykapcsolata a terhelésnél kapottal közel azonos lesz és jó közelítéssel lineárisnak tekinthető. A terhelés teljes megszüntetése után a rúd visszanyeri eredeti alakját. Az anyag ilyen viselkedését rugalmas tulajdonságnak nevezzük. Lineárisan rugalmas a test akkor, ha a terhelés és a terhelés hatására létrejövő elmozdulás között a kapcsolat lineáris és a terhelés megszűnte után a test visszanyeri eredeti alakját. Ha az FB erőnél szüntetjük meg fokozatosan a terhelést, a csökkenő erő és a 111 (megnyúlásváltozás) kapcsolata a szaggatott vonallal jelzett szerint változik. Ez szintén közelítőleg egyenes és az OA egyenessel párhuzamosnak tekinthető. Ekkor a rúd a terhelés teljes megszüntetését követően Mp értékkel hosszabb marad, mint az eredeti hossza volt. Ezt maradó (plasztikus) deformációnak nevezzük. Az anyag ilyen viselkedését pedig képlékeny tulajdonságnak hívjuk. Képlékeny az anyag viselkedése, ha a terhelés megszűnte után nem nyeri vis~'Za eredeti alakját. , A fenti megfigyelések alapján az alábbiakban meghatározott módon közelítjük a valóságos viszonyokat, azaz különböző anyagmodelleket alakítunk ki. Az egyes modellek különböző pontossággal közelítik a valóságot. Azonban a legpontosabb modell sem képes tökéletesen leírni azt, hiszen két, látszólag azonos tulajdonságú valóságos test szakítása sem eredményezi pontosan ugyanazt a (pl. az l.l.a. ábrán bemutatott) szakítádiagramot Azaz egy
l. lvfodellalkotás, alapjogalmak, axiómák
26
azonos geometríájú és elvben azonos anyagú test sem tökéletes modellje a másiknak. Ezért elsősorban nem arra törekszünk, hogy a valóságot minél pontosabban leíró modelleket készítsünk, hanem arra, hogy a vizsgálati cél szempontjából megfelelő modellt válasszunk. A továbbiakban néhány gyakran használt anyagrnodelit mutatunk be. F
F
a.
F
F
b.
c.
d.
1.2. ábra
-Lineárisan rugalmas anyagmade/l (1.2.a. ábra): ezt az anyagrnodelit akkor használjuk, ha csak egy bizonyos határig, a rugalmassági határig veszszük igénybe a testet, és (l.l.a. ábra A pont) ha a test egyes pontjainak elmozdulásaít is meg akarjuk határozni. -Lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny anyagmade/l (1.2.b. ábra): használata akkor szükséges, ha az anyagot jobban kihasználhatjuk, az l.l.a. ábra szenntí acéltípust alkalmazzuk, és az elmozdulások meghatározása is feladatunk. -Lineárisan rugalmas, keményedő képlékeny anyagmade/l (1.2.c. ábra): alkalmazása az előzőhöz hasonló esetben, de l.l.b. ábra szerintí acéltípus esetén. / Dejinfció: Merevnek tekinijük az anyagot, Ita két tetszó1eges ponija közötti távolság bármekkora eró'hatásra sem változik meg (1.2.d ábra). Ilyen anyag a valóságban nincs, mégis ez az anyagrnodell a statikai számításokhoz - amikor csak a testre ható erőket vizsgáljuk- jól használható. Gon-
1.1. J\c!odellalkotás
27
dolhatnánk, hogy két test mechanikai kölcsönhatása F nem függ a testek anyagáF' tól. A valósághoz viszo- r:-:_r.:::::;::::::;::::=;:::::::::~~~=:::;;;;:::==~'::rB:e.__l nyítva azonban ez ebben az ;l l ,l l l1,l l - - - - --:::::::::::: =•~"__A_+.Yo 1 1 1 1 esetben is közelítést jelent. i l ', l l l l l l --l[ Ennek megértéséhez vizsgáljuk meg a következő példát (1.3. ábra)! Ha pL 1.3 ábra egy műanyag vonalzót az asztallaphoz fogunk (A) és a vonalzó végén, egy meghatározott helyen (B) terheljük, akkor a vonalzó lehajlása következtében a B pont Ll távolsággal közelebb kerül az A ponthoz. Így az erőviszonyok megváltoznak A műszaki gyakorlatban alkalmazott anyagok (acél) többségénél a lehajlások (y 0 ) csekélyek, így a hatásvonal eltolódásának mértéke még kisebb. Ezt elhanyagoljuk az la hossz mellett. Ezért a statikában amerev anyagrnodelit használjuk!
1.1.2. GEOMETRIAI MODELLEK A geometriai modellek megalkotása során nemcsak különböző alakzatokat definiálunk, hanem anyagi tulajdonságokkal rendelkező alakzatokat. A geometriai modell az anyagi test alakját adja meg.
/Definíció: Anyagi test anyagi tulajdonságokkal térbeli alakzat.
rendelkező tetszó1eges
Bármely anyagi test három, egymásra merőleges síksorral véges klteiJedésű anyagi részecskékre bontható. Ha egy részecske mérete1 az anyagi test méreteihez képest elhanyagolhatóan kicsinyek, akkor kiterjedés nélkülinek, pontszerűnek modellezzük
/Definíció: Anyagi pontnak nevezzük az anyagi tulajdonságokkal rendelkező geometriai.pontot. Ilyen pontnak tekintjük mozgó testek vizsgálatánál a testek súlypontját, mely állítást majd a kinetikában bizonyítjuk
28
l. lv!odellalkotás, alapfogalmak, axiómák
Ennek alkalmazhatóságát a vizsgálat célja határozza meg. Például a Föld anyagi pontnak tekinthető a Nap körüli keringésének vizsgálata szempontjából, de nem tekinthető annak a saját tengelye körüli forgásának tanulmányozásakoL A statikában anyagi pontként modellezhetjük a test különböző pontjait is a testre ható erőktől fuggően. Erről később beszélünk. Összességében tehát az anyagi pont vagy anyagi test madeliként való használatát a vizsgálati cél határozza meg.
/Definíció: Rúdnak nevezzük azt a testet, amelynek egyik mérete a másik két kiterjedésénéllényegesen nagyobb. A rudat geometriailag úgy állítjuk elő, hogy egy síkidom súlypontját egy görbe mentén úgy mozdítjuk el, hogy eközben a síkidom a görbére merőleges marad és a tengelyvonal körül nem fordul el. A síkidom által így "súrolt" test a rúddal azonos. A rúd mechanikai modellje az a görbe vonal, mely mentén a síkidom súlypontját mozgattuk. A síkidomot a rúd keresztmetszetének nevezzük. Ha a geometriai tengely mentén elmozdított síkidom alakja és mérete mozgás közben változatlan, akkor állandó keresztmetszetű, ellenkező esetben változó keresztmetszetű rúdról beszélünk. A geometriai tengely alakjától fuggően egyenes és görbe, illetőleg síkbeli vagy térbeli rudakat különböztetünkmeg. Ebben a tankönyvben csak az anyagi pont és a rúd, ill. rúdszerkezet valamint a kötél (lásd később) statikájával foglalkozunk, így más geometriai modellekről most nem beszélünk. Az ideális kötelet később definiáljuk
1.1.3. KAPCSOLATRENDSZERT MEGHATÁROZÓ MODELLEK A körülöttünk lévő világ anyagi testekből épül fel. Ezek az anyagi testek egymással valamilyen kapcsolatban vannak, így alkotnak egységes egészet.
/Definíció: Erőnek nevezzük az egymással kapcsolatban testek mechanikai kölcsönhatásának mértékét.
lévő anyagi
Ez a tapasztalat szerint egy helyhez kötött vektormennyiséggel fejezhető ki, melyet támadáspontja, nagysága, iránya és értelme határoz meg. A vektor
1.1. lvfodellalkotás
29
irányát egy egyenes jelöli ki, mellyel párhuzamos valamennyi egyenest azonos irányúnak tekintünk. A vektor értelmét egy adott Irányhoz rendeljük hozzá, és ez azt határozza meg, hogy az egyenes mentén merre "haladunk", amit egy nyíllal Jelölünk. /
De.flnició: A valamely szempontból kapcsolatban álló (pl. azonos
anyagi pontra, testre ható)
erők
összességét erőrendszernek nevezzük.
Ha egy test mechamkai viselkedését vizsgáljuk, fel kell tárnunk más testekkel való kölcsönhatásait és az ezen kölcsönhatásokat jellemző erőket, erőrend szereket. A kölcsönhatásokat a műszaki gyakorlat számára bizonyos vonatkozásban önkényesen két csoportra bontjuk: a terhekre és a kényszererőkre.
l. l. 3. l. A terhek modellezése A testek kölcsönhatásának egy része a műszaki gyakorlatban úgy jön létre, hogy az egyik testnek el kell viselnie a másik hatását: pl. a test önsúlyát (a Föld és a test kölcsönhatása), a tetőléceknek a ;.;serepek súlyát, a darunak az emelt darab súlyát stb. Ezeket terheknek vagy terhelésnek nevezzük, és hatásukat egy erővel vagy erőkkel jellemezzük /
De.finició: Két test közvetlen érintkezésekor
a Aözöttük ható erő véges felület mentén adódik át. Amennyiben ezen felület elhanyagolhatóan kicsiny a testek felületéhez képest (1.4.a. ábra), az érintkezést pontnak tekinüük és az áttulátlá erőt koncentrált erőnek nevezzük. .lele: F~ mértékegysége: l N. /
a.
De.flníció: Amennyiben a kölcsönhatásban
b.
1.4.a, h. ábra
lévő testek érintkezési felü-
letének egyik mérete a másikhoz viszonyítva elhanyagolhatóan kicsiny,
30
l. Modellalkotás, alapfogalmak, axiómák
vonal menti érintkezésró1 beszélünk, és az átadódó erőt vonal mentén megoszló erőrendszernek nevezzük. Jellemzése intenzitásával történik, amit egységnyi lwsszon ható erő nagyságával határozunk meg. (l. 4. b. ábra). Jele: q, mértékegysége: l N/m. A terhelés intenzitása a hossz mentén lehet állandó vagy változó.
p(x;y)
y
c.
/Definíció: Amennyiben a két test érintkezése egy felületen történik, felületen megoszló erő rendszerró1 vagy másképpen nyomásról beszélünk. Jellemzése az egységnyi felületrejutó erővel határozható meg (1.4.c. ábra). Jele: p, mértékegysége: l N/m2• A felületen a nyomás lehet állandó vagy változó.
y
Végül:
/Definíció: Amikor a testek kölcsönhatása egy közvetítésével jön létre (pl. önsúly: gravitációs erőtér) térfogaton megoszló erőrendszerró1 beszélünk. Egységnyi térfogatra jutó erő nagyságávaljellemezzük (1.4.d. ábra) . .Jele: f, mértékegysége: l N/m3• erőtér
d.
1.4.c,d. ábra
1.1.3.2. A kényszerek modellezése A testek a terhelések hatására el kívánnak mozdulni. Amennyiben az a célunk, hogy a terhelést hordozzák, és a környezetükhöz viszonyítva nyugalomban maradjanak, kényszeríteni kell őket erre. Ezt úgy érhetjük el, hogy más, nyugalomban lévő testekhez kényszerkapcsolattal kötjük őket.
/Definíció: A test és környezete közötti kapcsolatot, mely a test mozgáslehetőségeit korlátozza kényszernek nevezzük. Ezekben a kapcsolatokban eró1wtások is keletkeznek a kényszer típusától függően, melyeket kényszererő-rendszernek nevezünk.
31
1.1. Modellalkotás
A valóságos kényszerek rendkívül sokfélék, bonyolultak és az ott keletis összetettek Az alábbiakban néhány, leggyakrabban elő forduló ideális kényszert mutatunk be, amellyel a valóságot modellezm szoktuk. A kényszerek modellezésének lehetőségeiről a későbbiekben fogunk beszélni. kező erőhatások
/Definíció: A görgős vagy sima támasz (l.S.a. ábra) síkbeli és térbeli esetekben is a test egy adott pon(iának egyetlen - a feltámaszkodást felületre meró1eges - irányú elmozdulását akadályozza meg görgős támasz esetén mindkét értelemben.
~kötél
/Definíció: Az egyrudas támasztás vagy kötéllel való felfüggesztés (l.S.b. ábra) az előzőhöz hasonlóan egyetlen zranyú (rúdirányú, kötélirányú) elmozdulást akadályoz meg.
\
A~ b.
~y
y
Kötél esetében azonban az elmozdulást csak az egyik értelemben akadályozza meg az ideális kényszer.
l l
:;;;;
x
z
XA=:JiA=zA=Q
XA=:JiA=O
/Definíció: A csukló (l. 5. c. ábra) az adott pontban a test minden irányú elnwzdulását (síkban kettő, térben három), megakadályozza, ugyanakkor az adott pontbeli keresztmetszet elfordulásait szabadon megengedi.
K
..
A '
c.
v
Á
fL-x
z
xA=yA=zA=Q
XA=:JiA=O
q>.ú=tpAy=tpAz=O
d
1.5.a.-d. ábra
/Definíció: A befogás (l.S.d. ábra) az adott pontban a test minden irányú elmozdulási és az adott pontbeli keresztmetszet elforduJási lehetőségét megakadályozza. Ez síkban két irányú elmozdulás és a síkra meró1eges tengely körüli (síkbeli) elfordulás, térben
32
l. Modellalkotás, alapfogalmak, axiómák
három irányú elmozdulás és a három tengely (x, y, z) körüli elfordulás megakadályozásátjelenti.
A
tll
/Definíció: A csuklós vezeték (J. 5. e. ábra) az adott pontban csak a vezetékre meró1eges irányú elmozdulást akadályozza meg, mely sikban egy, térben két szabadságfok lekötését jelenti. /Definíció: A vezeték (1.5.f ábra) mind síkban, mind térben a vezeték irányú elmozdulás kivételével az összes mozgáslehetőséget megakadályozza.
Valamennyi kényszernél - mivel testek kölll YA=z=O epAx=epAy=epAr=Q csönhatása útján jön létre - különböző erő ).5.f ábra
hatások keletkeznek. Ezekkel kozunk.
később
foglal-
1.1.4. SZERKEZETI MODELLEK A műszaki gyakorlatban általában nem egy, az álló környezethez kötött test viseli a terheléseket, hanem testekből álló szerkezetek.
/Definíció: A kényszerekkel alkalmas módon egymáshoz és az álló környezethez kapcsolt olyan testek összességét, melyek er{(felvételre vagy továbbadásra alkalmasak, együttesen szerkezetnek nevezzük. A valóságos szerkezetek nem merev anyagú testekből állnak és valóságos kényszerek kapcsolják őket össze. Ennek megfelelően modellezésük esetenként igen bonyolult és többféle módon is történhet. Gondoljunk itt csak egy sokszor látott villamos távvezeték oszlop rúdjait összekötő kapcsolatokra. A modellezés módja fugg ==? ==? ==?
a vizsgálat céljától, a rendelkezésre álló számítási lehetőségektől, a terhelések ismeretétől,
1.1. Modellalkotás
33
=> az anyabrtulajdonságok ismeretétől, => a szerkezet rendeltetésétől, => a szerkezet felépítésétől (szimmetria stb.). Ennek részletezésével később, az 5. fejezetben foglalkozunk. A mechanika egyes területein alkalmazott absztrakciók, közelítések eredményeként létrejövő, a statikában használt néhány alapfogalmat a továbbiakban foglaljuk össze.
1.2. A mechanika néhány alapfogalma 1.2.1. MOZGÁS, TÉR (KOORDINÁTA-RENDSZEREK), IDÖ
Az anyagi testek mechanikai mozgását (nyugalmát) csak egy másik anyagi testhez - vonatkoztatási rendszerhez - viszonyítva tudjuk leírni. A műszaki mechanika az anyagra épülő tér leegyszerűsített, de matematikai eszközökkel könnyen leírható modelljét, az euklideszi teret használja. A tér leírására - anyagi testhez kötött - koordináta-rendszer szolgál. A testek mozgását (nyugalmát) leggyakrabban Descartes-féle, derékszögű xyz koordináta-rendszerben vizsgáljuk. A valóságban a jelenségek objektív sorrendben, időben zajlanak le, amelyet a műszaki mechanikában - a térbeli vonatkoztatási rendszertől fuggetlennek tekintünk. Egyidejű jelenségek azonos "Időpontban" következnek be. Az időpon tok és a valós számok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hozunk létre, korábbi időpontnak kisebb, későbbi időpontnak nagyobb szám felel meg. Ezt egy időbeli vonatkoztatási rendszernek tekintjük. Valamennyi időin tervallumhoz a kezdeti és végső időpontnak megfelelő valós számok különbsége- mint mérőszám- rendelhető. Tehát összefoglalva: az anyagi testek mechanikai mozgását (nyugalmát) egy egymástól független térbeli és egy időbeli vonatkoztatási rendszerben határozzuk meg.
J. Modellalkotás, alapfogalmak, axiómák
34
1.2.2. HELYZET, SZABADSÁGFOK Egy anyagi pont helyzetét a térben három koordinátájával, azaz egy helyvektorral adhatjuk meg (1. 6. a. ábra): r
= xi + yj + zk .
Egy anyagi test helyzetének meghatározásához már több skalár adatra van szükségünk (1. 6. b. ábra). Az anyagi test egyik (tetszőleges) A pontját az előzőekhez hasonlóan három adattal, az r A helyvektorral határozhatjuk meg. Ennek rögzítése után, e körül a test tetszőleges B pontja egy gömbfelületen mozoghat el. Helyzetét ezen a gömbfelületen újabb két adattal (lásd Föld hosszúsági és szélességi körei) állapíthatjuk meg. Az A és B pont rögzítése után a test tetszőleges, (nem A és B egyenesébe eső) C pontja már csak egy körpályán mozdulhat el, ahol helyzetét egyetlen szöggel határozhatjuk meg. Azaz összességében a merev test helyzetét 3 + 2 + l = 6 skaláris adattal ad-, hatjuk meg a térben. Ezt a helyzetmeghatározást másképpen is megfogalmazhatjuk. Egy testet egy meghatározott helyzetéből egy tetszőleges másik helyzetébe úgy is eljuttathatunk, hogy x, y, z tengelyek mentén elmozdítjuk (transzláció) és az x, y, z tengelyek körül elfordítjuk (rotáció) (1. 6. c ábra). Ez külön-külön három adatot jelent, azaz így is hat skalár adattal határozhatjuk meg a test új helyzetét
/Definíció: Azonfüggetlen skalár adatok számát, amelyek egy test vagy szerkezet helyzetét egyértelműen meghatározzák szabadságfoknak nevezzük. Az alábbi táblázat foglalja össze az Sík Anyagi pont
2
3
Anyagi test
3
6
egyszerű
alakzatok szabadságfokát.
Ha az anyagi test csak egy síkkal párhuzamosan mozdulhat el, helyzetét egy pontjának két (x, y) koordinátájával és a test z tengely körüli szögelfordulásával határozhatjuk meg (1. 6. d ábra).
35
1.2. A mechanika néhány alapjogalma
---. i
x
a.
z
x
b.
z d.
c.
x
1.6. ábra
1.2.3. HELYZET, SEBESSÉG, GYORSULÁS
A test helyzetének meghatározása után helyzetének megváltozását IS defimálni kell. Erre találta ki a gondolkodó ember a sebesség és a gyorsulás fogaimát. Ezeket egyetlen pont mozgására határozzuk meg. Sebesség az egységnyi időhöz tartozó helyzetmegváltozas (1. 7.a. ábra). Az anyagi pont helyzetét az r(to) adta meg egy to időpillanatban, akkor a helyzetmegváltozás
L1r = r(t) - r(to).
l. Modellalkotás, alapfogalmak, axiómák
36
~~
~v v(t)
x
z
b.
a. 1.7. ábra
A sebesség tehát (átlagsebesség): v(t):::: r(t) -r(t 0 ) = .6.r. t- t0 .6.t Ez akkor is igaz kell legyen, ha .6.t bármilyen kis mennyiség: v(ta)
lim .6.r =dr Llf dt '
M->O
ahol lim (limesz) azt a határértéket jelenti, amikor .6.t minden határon túl M->0
tart a nullához. Ez a differenciálhányados definíciója. Tehát a sebesség a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa. A definícióból következő en a v iránya a P 0 pontban a pályához húzott érintő, mivel ha t -7 t0-hoz P tart a P 0-hoz és a húr a görbe P 0-beli érintőjébe megy át. A gyorsulás az egységnyi időhöz tartozó sebességváltozás. Az előzőhöz hasonló gondolatmenet alapján (J. 7. b. ábra): .
.6.v
dv
a(t0 ) =Inn-=-. M->0 Llf dt
Tehát a sebesség és a gyorsulás is vektormennyiség.
1.2. A mechanika néhány alapjogalma
37
1.2.4. TÖMEG, ERŐ Ezt a két fogalmat együtt kell definiálnunk, ugyanis szoros összefuggésben vannak egymással. Az előzőekben mondottak szerint az erő testek mechanikai kölcsönhatásának mértéke. Ezt a mértéket számszerűen Newton II. axiómája adja meg.
/Definíció: Egységnyi (l N) az az erő, mely az l kg (anyagi pontot) l m/s2 gyorsulással mozgatja:
tömegű testet
F=m·a. A Newton-axióma másképpen azt állapítja meg, hogy a test súlypontjának (anyagi pont) gyorsulása és a testre ható erő egymással arányos mennyiségek. Ebből következően az erő is - mivel a gyorsulás ponthoz kötött vektormennyiség - helyhez kötött, vektormennyiség, melyet támadáspontJa és vektora (nagysága, iránya, értelme) határoz meg. A koncentrált erő támadá~pontja és iránya együtt az erő hatásvonalát határozza meg.
/Definíció: A testre ható erő és az általa a testen létrehozott gyorsulás közötti arányossági tényező a test anyagától függő mennyiség, melyet tömegnek vagy másképpen a tehetetlenség mértékének nevezünk. Egységnyi ez az arányossági tényező 106 mm3 (l liter) 4 oc hőmérsékletű víz esetén. Mindebből következően
már a középiskolából megismert Newton II. axiómája nem csak törvény, hanem a benne szereplő mennyiségek (erő, tömeg) definíciója is.
* A továbbiakban még számos alapfogalommal kell megismerkednünk, amit az anyag tárgyalása során fogunk definiálni. Az egyes fogalmakat, azok jelölését és alapdimenzióját a űiggelékben foglaltuk össze.
38
l. Modellalkotás, alapjogalmak, axiómák
1.3. A statikában használt axiómák és módszerek Az előzőekben felsorolt néhány alapmodell és alapfogalom meghatározása után ismételjük meg a középiskolából ismert azon axiómákat, melyekre minden további eredményünket építeni fogjuk. Axióma alapigazságot jelent, olyan törvényt, melyet bizonyítani nem tudunk. Igazsága a mindennapi tapasztalatból, a természet megfigyeléséből adódik. Ezekre a középiskolában már megismert Newton-axiómákra építjük a statika minden további tételét. Newton (1642-1727) a "Principia" című munkájában írta le zseniális eredményeit korának stílusában és annak ismeretei szerint. Truesdell azt mondta, hogy a "Principia" nem Biblia: csodálni kell, de nem esküdni rá. Ezért mi sem a newtoni megfogalmazásban, hanem a későbbi korok átfogalmazásában és elsősorban az eredményeit figyelembe vevően adjuk közre az axiómákat. Az utódok feladata volt ugyanis "olyan formába önteni a newtoni egyenleteket, pontosabban olyan' egyenletekbe önteni a newtoni gondolatokat, hogy az analízis megtanulható módszereivel bárki által kezelhetők legyenek" (Simonyi). Euler (1707-1783) volt az, aki többé-kevésbé a ma is használatos formában fogalmazta meg az axiómákat. Newton testről beszél, Euler anyagi pontról. Ö már tudja, hogy az axiómák bármely anyagi részecskére, vagy az anyagi test súlypontjára igazak. I. Axióma (Newton I. axiómája, a tehetetlenség elve): Az anyagi pont természetes állapota az egyenes vonalú egyenletes mozgás. Amíg rá erő nem hat megtar~ja ezt a mozgásállapotát. Erlf tehát a mozgásállapot megváltoztatásához, nem pedig annak fenntartásához kell.
Mint ahogy azonban az 1.2.1. pontban megállapítottuk, a mozgást csak valamilyen testekhez kötött vonatkoztatási rendszerben tudjuk értelmezni. Éppen ezért az első axióma pontos megfogalmazásához meg kell adnunk azokat a vonatkoztatási rendszereket, melyekben ez az elv igaz. A tapasztalat szerint vannak ilyen rendszerek. Például a Naphoz és az állócsillagokhoz kötött koordináta-rendszerek ilyenek, mivel távol vannak minden más testtől, így erő nem hat rájuk.
1.3. A statikában használtaxiómák és módszerek
39
/Definíció: Inerciarendszernek never.zük azt, amelyben én,ényesek az axiómák. A Naphoz és az állócsillagokhoz kötött vonatkoztatási rendszereket mérések alapján inerciarendszereknek tekinthe~jük. Ezekben érvényesek az axiómák. A műszaki gyakorlat számára bizonyos közelítéssel a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszereket is inerciarendszereknek tekinthetjük. Ez utóbbi állítás magyarázatára azonban a kinetika tárgyalásánál térünk ki. Az első axióma pontos megfogalmazása így hangzik: Vannak olyan vonatkoztatási rendszerek, melyekben az anyagi pontok mindaddig megtartják nyugalmi, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgási állapotukat, míg külső erő nem hat rájuk. A mechanika alapfeladata annak megállapítása, hogyan változik meg a testek mozgásállapota külső erő hatására. Ezt fogalmazza meg Newton II. axiómája. II Axióma (Newton II. axwmája, a mozgástörvény): Minden anyagi rész gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel, ahol az arányossági tényező a test tömege: F=m·a.
(l. l)
Ez az axióma olyan anyagi pontnak modellezhető testre igaz, melynek gyorsulása egyetlen adattal megadható. Ez az axióma csak olyan mozgásoknál áll fenn, melyek sebessége a fénysebességhez képest kicsiny. A műszaki gyakorlat számára ezért ez az axióma valóban alapigazságot jelent. III. Axióma (Newton III. axiómája, a hatás és ellenhatás törvénye): A kölcsönhatásba került testek erőt gyakorolnak egymásreL Ezen testek bármely kölcsönhatásba került pon~ján fellépő eró'k egyenlő nagyok, hatásvonaluk egy egyenesbe esik, értelmük ellentétes (1.8.a. b. ábra): (1.2)
40
l. lvfodellalkotás, alapjogalmak, axiómák
IV. Axióma: (Newton IV. axiómáJa, az erők függetlenségének elve): A merev ill. rugalmas anyagú testek kölcsönitatása során fellépő eró'k ItatásuL 3. kat egymástól függetlenül fejtik ki. 2.
a.
Másképpen megfogalmazva: valamely erőrendszerből származó hatások számíthatók úgy, mint az erőrend szert alkotó erőkből származó hatások összege. Ezt a szuperpozíció elvének is szokták nevezni. V. Axióma (az általános tömegvonzás elve): Minden tömeg minden tömegre Itatással van, vonzóerőt fejt ki. Ez az erő a két tömegközéppontot összekötő egyenes irányába mutat, nagysága egyenesen arányos a tömegek nagyságával és fordítottan a tömegek távolságának négyzetével
A műszaki gyakorlatban előforduló testek tömegei kicsik. Ezért az egymásra kifejtett tömegvonzásuk nagysága elhanyagolható a testek között fellépő egyéb erőhatások, a Föld hatása mellett. A Föld közel gömb alakú, ezért a testekre gyakorolt tömegvonzása közel állandó. A Föld tömegvonzása által létrehozott gyorsulást, a gravitációs gyorsulást g = 9,81 m/s2 nagyságúnak vesszük és irányát a Föld középpontja felé mutatónak. Ezt méréssel határozták meg. A Nap és a Hold hatását a nagy távolságuk miatt a berendezéseinkben lévő anyagi testekre szintén elhanyagoljuk. Az általános tömegvonzás létezésének felismerése szmtén Newton nevéhez fűződik. Bár ezt nem szokták az írodalomban úgy emlegetm, mint Newton ötödik axiómáját vagy törvényét. A továbbiakban egy módszert említünk még meg, melyet a mechanikában gyakran alkalmazunk. Átmetszés módszere: A III. axióma, a kölcsönhatás törvénye értelmében az erők két test között párosávallépnek fel (1.8.b. ábra). Az (1.2.) összefüggést átrendezve:
1.3. A statikában hasznalt axiómák és módszerek
41
Figyelembe véve a IV. axiómát, az erők filggetlenségének elvét, ez a két erő a két testre együtt nem fejt ki hatást. Azaz, ha a két testet együtt vizsgáljuk ezen erőkről nem veszünk tudomást, hatásukat nem tapasztaljuk. Ezt a két erőt a két test szempontjából vizsgálva ún. belső erőknek nevezzük. Ezért csak akkor tudunk meg valamit egy testre, vagy egy szerkezetre ható erőkről, ha a testet (szerkezetet) a környezetükből kivesszük, mégpedig oly módon, hogy ezt a párosával fellépő erőt szétválasztjuk (1.8.a. és c. ábra). Más szóval ez azt jelenti, hogy a környezet testre (szerkezetre) gyakorolt hatását erőkkel helyettesítjük, melyet a vizsgált testre (szerkezetre) ható külső erők nek nevezzük. Ezt az eljárást az átmetszés módszerének nevezzük és voltaképpen ez a mechanika egyik legfontosabb vizsgálati eljárása.
* A dinamika teljes tárgyalása során a továbbiakban mindig úgy építjük fel az anyagot, hogy először - az anyagi pont, majd - az anyagi test és végül -a szerkezet (elsősorban rudakból felépített szerkezet) viselkedését vizsgáljuk. Végső célunk a szerkezetek modellezése és mechanikai számítása. Amíg azonban addig eljutunk, a szerkezeteket felépítő elemek mechanikáját kell megismernünk. Ezért a következőkben először az anyagi pont statikájával foglalkozunk.
2. ANYAGI PONT STATIKÁJA
Az anyagi pontra ható erők mindegyikének a támadáspontja természetesen megegyezik, azonos az anyagi pont helyét meghatározó geometriai ponttal. Így az anyagi pont statikája - matematikai megfogalmazásban - közös támadáspontú erőrendszerek vizsgálatával foglalkozik. Ennek megfelelően tágabb értelemben akkor is anyagi pontra ható erő rendszerről beszélhetünk, a feladatokat az anyagi pont statikájában tanultak szerint oldhatjuk meg, ha a vizsgált erőrendszer minden eleme egy test egyetlen (valóságos vagy fiktív) pontjában hat. Egy anyagi pontra végtelen sokféle erőrendszer hathat. Ezek hatása sokféle lehet. Valamennyi hatás azonban az anyagi pont elmozdítási szándékával jellemezhető. Ezt pedig az erővektorokkal írhatjuk le.
/Definíció: Az erőrendszerek egyenértékűek, ha hatásaik azonosak.
/{j}j Tétel: Anyagi pontra ható erőrendszerek egyenértékűsége Az anyagi pontra ható erőrendszerek hatásai akkor azonosak, ha az anyagi pontra ható erőrendszerek erővektorainak összege megegyezik. Álljon az anyagi pontra ható egyik erőrendszer F 1i (i = l, ... , n) erővekto rokból, a másik F2j G= l, ... , m) erővektorokbóL (2.1. ábra) E két erőrend szer egyenértékű, ha (2.1)
Bizonyítás: A második axióma értelmében egy erőnek az anyagi pontra elmozdító hatása van, mely arányos az erővel. A negyedik axióma alapján ezek a hatások öszszegződnek ugyanarra az anyagi pontra, melyek az eró'k vektoros összegével fejezhetó'k ki. Az egyik erifrendszer hatása:
W"
44
2. Anyagi pont statikája n
(2.2)
m·ai = LFii. i=!
x
z
z
a.
b.
2.1. ábra A másik erőrendszer hatása: m
m·a?- = L..! ~F?·. -J j= l
Ha a hatások megegyeznek, az erók összegei is meg kell egyezzenek:
Ezzel az állítást bizonyítottuk (Quod erat demonstrandum: Ami volt bizonyíttatott: Q. e. d.)
/Definíció: Az erőrendszerrel egyenértékű erőrendszerek közül a legegyszerűbbet az erőrendszer eredőjének nevezzük. Az előbbiek szerint ez az (2.l.b. ábra)
erők
összege által meghatározott egyetlen
erő
(2 .3) Az anyagi pontra ható
lehet.
erőrendszer eredője
egy
erő,
aminek értéke zérus
IS
2.1.
Erőrendszer eredőjének
45
meghatározási módszerei
/Definíció: Azt az erőrendszert, melynek hatására az anyagi pont nyugalomban van, egyensúlyi erőrendszemek nevezzük. Feladatunk annak meghatározása, hogy az egyensúlyi lyen tulajdonságokkal rendelkezik.
erőrendszer
mi-
1/[J}J Tétel: Statika alaptörvénye anyagi pontra Egy egyensúlyi erőrendszerre fennáll a (2 .4)
egyenlet, melyet egyensúlyi egyenletnek nevezünk.
6b/' Bizonyítás: Egy erő egy anyagi pontra elmozdító hatást fejt ki. Amennyiben az anyagi pont nyugalomban van az elmozdító hatások összege zérus. (Q.e.d.) Ezen logikai bizonyítás után matematikailag is egyszerűen belátható a (2.4) egyenlet helyessége. Ha az anyagi pont egy adott inerciarendszerben nyugalomban van, a gyorsulása zérus. Ebbó1 a (2.2) (második és negyedik axiómából származó) egyenlet alapján következik a fenti állításunk. Q. e. d.
* Összefoglalva tehát látható, hogy az anyagi pontra ható erőrendszer eredője vagy egy erő vagy egyensúlyi erőrendszer. A második az elsőnek speciális esete, mégis külön foglalkozunk vele, hiszen a statika a nyugalom feltételeit és okait vizsgálja. A továbbiakban ezért az eredő meghatározásával, majd az egyensúly feltételével foglalkozunk.
2.1.
Erőrendszer eredőjének
meghatározási módszerei
Vizsgálataink során - nem csak itt, hanem a későbbiekben is - a megoldást szerkesztéssel, számítással vagy ún. grafoanalítikus módszerrel kereshetjük. A szerkesztés előnye a szemléletesség, a gyorsaság, hátránya viszont a pontatlan eredmény. A számítás előnyei és hátrányai fordítottak. A grafoanaliti-
46
2. Anyagi pont statikája
kus eljárásnál vázlatosan végrehajtjuk a szerkesztést és a szerkesztett ábra alapján számolunk. Ezáltal a szemléletesség megtartható és a pontosság sem szenved csorbát. Mégis nem mindig csak ezek a szempontok határozzák meg, hogy melyik eljárást alkalmazzuk a megoldás során. A megoldandó műszaki feladat célja és a rendelkezésre álló eszközök alapvetően meghatározzák a kiválasztandó módszert. Ez már csak azért is igaz, mert nem mindig ugyanaz a módszer vezet a leggyorsabb és legbiztonságosabb eredményre. Ezért a továbbiakban többféle módszert ismertetünk a feladatok megoldására, aminek az is célja, hogy ha az ember nem biztos a megoldása helyességében, másik módszerrel megoldva ellenőrizheti azt. Mint az előbbiekben megfogalmaztuk, az anyagi ponton támadó erő rendszer eredője (2.l.b. ábra):
Vizsgáljuk most ennek meghatározási módjait ! 2.1.1. ANYAGI PONTRA HATÓ SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA SZERKESZTÉSSEL
Két erő összegét a középiskolában tanultak szennt az ún. parallelogrammaszabály felhasználásával kapjuk meg (2.2.a. ábra). (Egy-egy erővektort megfelelő lépték felvétele után -egy szakasszal célszerű jellemezni, mely annak irányát és nagyságát adja, és a szakasz közepére helyezett nyíllal határozhatjuk meg annak értelmét.) Három erő összegzésénél is ezt az eljárást követhetjük lépésenként kétkét erőt összeadva.
ahol
2.1.
Erőrendszer eredőjének
47
meghatározási módszerei
Először
tehát az F 1 és F 2 erővektorok összegét képezzük (helyettesítjük azokat a velük egyenértékű F 12 erővel), majd ehhez hozzáadjuk az F 3 erőY
c
y
c
x a.
l
b.
i
i
:
x
.l f if l 2<.
3;
2.2. ábra
vektort (2.2.b. ábra). Minél több vektort kell összegezni, annál bonyolultabb így ez az eljárás. Ezzel a szerkesztéssel megegyező eredményt kapunk - és ezt a 2. 2. b. ábrából könnyen beláthatjuk -, ha azt úgy végezzük el, hogy az első erő végpontjába (A) felmérjük a második erőt irány, nagyság és értelem szerint (AB), majd ennek végpontjába (B) a harmadik erőt (BC), és az első erő kezdőpont ját és a harmadik erő végpontját összekötő, a kezdőponttól a végpont irányába mutató vektor adja az erők összegét. Természetesen két vektor esetében is eljárhatunk így (2.2.a. ábra), de tetszőleges számú vektor esetében is. Ez egyben az erők eredője is, hiszen a támadáspontja az anyagi pontban van. A gyakorlatban - a jobb áttekinthetőség kedvéért - ezt és a hasonló egyéb szerkesztéseket külön szoktuk elvégezni. Az eredeti anyagi pontot vagy testet és a rá ható erőket bemutató ún. szerkezeti ábra mellett a vektorábrán végezzük el a szerkesztéseket (2.3. ábra). Térbeli erőrendszer esetén is meg lehet oldani a feladatot szerkesztéssel, de ekkor a szerkesztés előnye, a szemléletesség már nem dominál. Ezért térbeli szerkesztéseket nem végzünk. 2.1. Példa (eredő szerkesztése): Adott egy anyagi pontra ható (2.3.a. ábra).
erőrendszer
48
2. Anyagi pont statikája
Jel Fi [Nl
22
1
o
C:Xi [
0
l
Határozzuk meg az
"_, 20 135
2 16 25
5
4 42 230
6 17 330
13
270
erőrendszer eredőjét!
szerkezeti ábra
F, a.
o l
i
20 N
l
erőlépték
vektorábra
b. 2.3. ábra
Megoldás: A szerkesztéshez először egy léptéketveszünk fel úgy, hogy a legnagyobb erő és a teljes szerkesztés is még a rajzlapra ráférjen, és elegendő nagy legyen az erők szükséges pontosságú berajzolásához. Ezután az egyes erőnagyságoknak megfelelő vektorhosszúságokat határozzuk meg, majd az előzőekben leírtak szerint egymás után felmérjük az erővektorokat A szerkesztést az F 1, ... , F 6 sorrendben végezve a vektorábrában az egyes vektorok metsződnek (2.3.b. ábra). Ennek elkerülésére az erők felrajzolásának sorrendjét megváltoztathatjuk annak megfelelően, hogy a vektorok öszszeadása kommutatív művelet. Ábránk ezt is feltünteti (2.3.c. ábra). Mindkét
2.1.
Erőrendszer eredőjének
meghatározási módszerei
49
esetben a vektorokon végigmenve a nyílfolyam folytonos. Szerkesztésünk eredményeképpen a vektorábráról leolvasva a lépték figyelembevételével az eredő nagysága:
F =35 N, szöge ~ 1 =-73°, vagy ~ 1 = 287°,
vagy~=
73°.
A vektor irányát célszerű a pozitív vonatkoztatási Irányhoz (esetünkben: x) viszonyítva megadni a két pozitív irány által bezárt szöggel. Ezt azonban a pozitív forgásirányban W1 = 287°) és a negatív irányban is megadhatjuk (~ 1 = -73°), hiszen a szög is előjeles mennyiség. Szakták azonban a szög értékét az ábrán bejelölt szög nagyságával is megadni(~= 73°). Ezen megoldások közül mindig a legszemléletesebb módszert kell következetesen alkalmazm. Végül itt az első szerkesztési példánál jegyezzük meg, hogy egy szerkesztés eredménye csak akkor adott, ha az egyértelműen meghatározott numerikus végeredményt is közöljük FELADAT 2.1. Adottak az anyagi pontra ható rint: Jel
l
Fi !Nl ai[ol
4600
o
Határozzuk meg az
2 600 0 30
erőrendszer
'> .)
1200 90
erőrendszer eredőjét
elemei az alábbi táblázat sze-
4 3000 -120
5 500 0 130
!
2.1.2. AZ ERÖ MEGADÁSÁNAK LEHETŐSÉGEl
Az előzőekben a vektort Irányával, értelmével és nagyságával adtuk meg. Ehhez egy vonatkoztatási rendszert használtunk. Vizsgáljuk most általános térbeli esetben a vektor megadását. Vonatkoztatási rendszerként leggyakrabban a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert használjuk. Ebben az 1rány megadása egy egységvektorral lehetséges, mely irányt a koordinátatengelyekkel bezárt szöggel értelmezzük. Az egységvektor nagysága egységnyi, és mértékegysége nincs. Az egységvektor kijelöli az adott irányhoz tartozó
50
2. Anyagi pont statikája
pozitív értelmet (2.4.a. ábra). Az ezzel ellentétes értelmet a negatív (vektor -1-gyel való szorzása) adja. Ezzel a vektor megadása
F=Fe
előjel
(2.5)
formában történik, ahol e az irányt, F a nagyságot és értelmet adja meg (F előjeles mennyiség). Egy erőt (vektort) az ún. koordinátáival vagy vetületeivel is megadhatjuk (2.4.b. ábra). Legyen az F erő támadáspontja az O, az erő nagyságát az OP szakasz határozza meg és irányát az e egységvektor (2.4.b. ábra). Az F erő koordinátái megegyeznek a P pont koordinátáival, azaz az erővektor tengelyekre vonatkozó merőleges vetületeiveL Az Fx. Fy, Fz koordináták skalár jellemzők. Ezeket vektorokként a (2.5) összefüggéssei értelmezhetjük:
A 2. 4. b ábrából látható, hogy a vektorok
előző
értelmezése szennt
Az Fx. Fy, Fz vektorokat az F vektor összetevőinek vagy komponenseinek nevezzük. Ezek alapján tehát egy vektor megadható koordinátáival is. (2.6)
A vektor koordinátái itt is előjeles mennyiségek. A vektor nagyságát térbeli Pitagorasz-tétel segítségével határozhatjuk meg: (2.7)
Az egyes tengelyekkel bezárt szöge1, azaz a vektor Irányát meghatározó öszszefüggések pedig a 2. 4. b. ábra alapján
Erőrendszer eredőjének
2.1.
cosax =
Fx TFf'
meghatározási módszerei
Fy
cosaY =
51
F.
TFf'
=IFI.
cosaz
(2.8)
y
e
i
z z
b.
a. 2.4. ábra
A 2.4.a. ábrán az ax, ay, az szögeket adott forgásiránnyal akkor értelmezzük pozitívnak ha a vizsgált vektor a koordináta-rendszer első térnegyedébe esik. Köztudott és közvetlenül belátható, hogy az ax, ay, az szögek között összefüggés van. Ez a (2.8) három kifejezését négyzetre emelve és összeadva adódik: 2 2 2 (2.9) cos a x + cos a y + cos a z =l .
Az erő (vektor) kétféle megadása tehát egyenértékű és egymásba átírható. Az előzőekben bemutattuk, hogy ha a vektor koordinátáival adott, hogyan lehet Irányát és nagyságát meghatározni. Nézzük most fordítva! Ehhez az egységl N), a vektor megadását vizsgáljuk! Ha a vektor nagysága egységnyi C
IFI=
(2.8) alapján az egységvektor koordinátái: ex
=cosa x'
ey
=cosa y'
ez
=cosa
z'
azaz az egységvektor felírható: e= icosax +j cosaY + kcosaz
(2.10)
52
2. Anyagi pont statikája
alakban. Ekkor pedig ezt a (2.4)-be téve ugyanahhoz a kifejezéshez jutunk, mint a (2.8) és (2.6) alapján. A továbbiakban ezért a példáknál és feladatoknál az erővektorokat hatásvonal és értelem szerint helyesen adjuk meg az ábrákban. Az erők skalárjellemzőinek megadása (F, Fx, .. ) mmdig előjeles mennyiséget jelent, ahol a pozitív értelmet a kijelölt globális illetve lokális koordináta-rendszer adja. Amennyiben az erők koordinátáiról van szó, a felvett globális koordináta-rendszer egyértelművé teszi az előjeleket Ha VIszont egy erőt (pl. F) irány és értelem szerínt akarunk meghatározni, az e lokális koordináta pozitív értelmét (lásd (2.5) megadás) az ábrába berajzolt erővektor pozitív értelme határozza meg. Az e egységvektort ilyenkor általában külön nem jelöljük. Az erővektor nagyságát mindig az erővektor abszolút értékével adjuk meg, kivéve a súlyerő nagyságát, mivel az negatív nem lehet. 2.1.3. ANYAGI PONTRA HATÓ ERŐK EREDŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA SZÁNdTÁSSAL Az anyagi pontra ható meg:
erők eredőjét
a (2.3) összefuggés szerint határozzuk
Figyelembe véve a (2.6)-ot felírható:
Az összegzést tagonként elvégezve és az egységvektorokat mint konstansokat kiemelve:
Fe= (1:-F:x +jiF;y +kiF;z · Ezek alapján az
eredő
koordinátái: (2.11.)
2.1.
Erőrendszer eredőjének
meghatározási módszerei
53
Osszefoglalva szavakban: az eredő koordinátáit az erőrendszer elemei koordinátáinak összegeként kapjuk. Az eredő nagyságát és irányát a (2.7) és a (2.8) összefuggések alapján számíthatjuk.
megfelelő
2.2. Példa: Határozzuk meg a 2.1. példában megadott most számítással!
Jel l 2 3 4 5 6
Adatok IFil [Nl ai
l cos ai
o
22 16 20 42 13 17
25 135 230 270 330
l 0,9063 .....(),7071 .....(),6428
o 0,8660
Eredmény:
erőrendszer eredőjét
Részeredmények Fi, [N] smai
o 0,4226 0,7071 .....(),7660 -1 .....(),5000
22 14,50 -14,14 -27,00
o 14,72 10,08
FÍ)' [N]
o 6, 76 14,14 -32 17 -13 --8,50 -32,77
Megoldás: A megoldás során először az erőrendszert felépítő valamenynyi erő koordinátáit kell számítanunk, majd ezek összegzésével kapjuk az eredő koordinátáit. Ez azt jelenti, hogy ugyanazt a számítást többször ismételni kell. Ilyen esetben a műszaki gyakorlatban gyakran alkalmazzuk az ún. táblázatos számítási eljárást. Ennek során az adatokat és részeredményeket táblázatba foglaljuk. A táblázatban közöltek értelmezése érdekében ekkor külön meg kell adni azokat az összefuggéseket, melyeket a számítás során felhasználunk Több általános számítógépes program is van, mely az ilyenfajta számítást lehetővéteszi (Lotus, Quatro, Excel). Mivel a feladat síkbeli södnek (2.5. ábra):
erőket
Ezzel a számítás minden
tartalmaz, így a (2.8) összefuggések egyszerü-
erőre elvégezhető.
54
2. Anyagi pont statikája
A két utolsó oszlop összeadása a (2.11) szerint szelgáltatja az eredő komponenseit: Fex = 10,08 N, F.y = -32,77 N.
~y
Az erő nagysága: x
lFe l= ~ F.x +F'./ 2
l
"
=
2.5. ábra
~lO,f + (-32,85) 2
= 34,29 N.
Az irány meghatározásánál a (2.8) öszszefüggésből indulunk ki:
F
10 08 34,29
a x= arccos-l exl = arccos-'-,
Fe
Matematikailag tehát két megoldás van, de melyik a helyes eredmény? Ha az eredőt koordinátáival ábrázoljuk (2.5. ábra) választ kapunk a kérdésre. A helyes eredmény tehát ax = 287,1° vagy ax = -72,9°. Mindig szükséges értelmezni is az eredményt és nem csak képletekbe helyettesíteni. Ezt pedig az eredmények ábrázolásával érhetjük el. Törekedjünk mindig erre! 2.3. Példa: Adott egy Descartes-féle koordináta-rendszerben egy anyagi pont helyzete a rá ható erőkkel. Az erők irányát egy hasáb élei, oldal- és testátlói határozzák meg (2. 6. ábra). a= 3 m; b = 5 m; c = 4 m. Az erők nagysága: 1 1 =628 N, 2 1 =520 N, 3 1 =814 N, 4 1 = 1000 N.
IF
IF
IF
IF
Határozzuk meg az anyagi pontra ható erőrendszer eredőjét! Megoldás: Az eredő támadáspontját természetesen az anyagi pont helye adja. Ezért a feladat szempontjából ez közömbös. A koordináta-rendszer kezdőpontját e miatt önmagával párhuzamosan az anyagi pontba tolhatjuk az előzőeknek megfelelően, és ehhez viszonyítva határozhatjuk meg az eredő irányát és nagyságát. Mivel az egyes erők nem vektorosan, hanem geometriailag adottak (ilyen sokszor előfordul), határozzuk először meg az egyes
2.1.
Erőrendszer eredőjének
55
meghatározási módszereí
G
i
cl
B
!
~
.
l
~ b·
a;
'
2.6. ábra
erők
irányát egységvektoraikkal ! Az ábrából nyilvánvaló, hogy az l-es indexű erő iránya -i, a 2-es indexűé -j. Az F 3 erő az yz síkban van, azaz az e3 egységvektornak csak j és k irányú vetülete van. Ezeknek a vetületeknek a nagysága a (2.1 O) szerint a megfelelő szögek cosinusával fejezhető ki. Ugyanakkor az ábrábólláthatóan az F 3 y koordinátája pozitív, z koordinátája pedig negatív lesz:
A negatív előjelet itt külön figyelembe kell venm, mivel az a3z szöget a pozitív e3 és a negatív z irány között határoztuk meg az egyszerűbb kifejezés érdekében. Az ABC és ACD háromszögekből c
cosa3z =
b
.Jb-+c 7
7
Azaz
Az F 4 iránya a testátlóval gek értelmezése miatt
egyező
irányú. Az
előzőeknek megfelelően
a szö-
56
2. Anyagi pont statikája
e4 = -icosa 4 x - jcosa 4Y + kcosa 4 z.
Az AGE háromszögből
a
hiszen az egyik befogó négyzete
Ugyanúgy az A.t.-13 illetve az ADE háromszögekből
Azaz
az
erők
pedig az xyz koordináta-rendszerben:
ahol F1, F2 értelmét az xyz globális, az F3, F4 értelmét az e3, e4 lokális koordináta-rendszerben adjuk meg:
~x Ezek után az Ján:
=-IFI!;
eredő
F2y
=-IFzl;
koordinátáit már
F3
=IF31;
egyszerűen
Fex =-1052,3N,
F4
=IFJ
számíthatjuk a (2.11) alap-
2.1.
Erőrendszer eredőjének
F="'\."F=F+ ey LJ iy 2y =-520+~
F = "'\." F =ez
Az
eredő
LJ
zz
c ~
?
?
b- +c-
4 52+42
meghatározási módszerei
F3
814-~
b ~b?-+c 2
F3
c ~ 2
0
32+52+42
1000=-577,18N,
b F = 2 4 2 b" ~a+-+c
nagysága pedig:
eredő
irányát most a 2. 7. ábra szerint a -x, a -y és a z tengellyel bezárt szögek nagyságával adjuk meg, : melyek az ábrázolás szerint hegyesszögek, azaz az arccos csak ezen értékeit vesszük tekintetbe és azt a ko ordináták nagyságával határozzuk meg: Az
F= 4
a +b-1 +c-
4
57
Fex i IFel
i a = arccos-= arccos x
z 2.7. ábra
l 052,3 = 28 93 1202,3 ' ' 0
a = arccos IFeyl = arccos 577 ' 18 = 6131° y
IFe l
1202,3
'
'
IFe-1 71,48 o a = arccos-~---~ = arccos =86, 59 z F 1202,3 e
Ezzel a példát megoldottnak tekinthetjük, az a 2. 7. ábra jelöléseit is figyelembe véve.
eredő
nagysága és iránya adott
2. Anyagi pont statikája
58
FELADATOK 2.2. Adott az xyz koordináta-rendszerben a P-ben lévő anyagi pont, vagy egy anyagi test, melynek P-ben lévő pontjára Fi (i = l, 2, 3, 4) erőrendszer hat. Az erők irányát az a,b,c oldalú hasáb test-, illetve lapátlói határozzák meg, értelmük az ábráról leolvasható, nagyságukat külön megadjuk. Határozza meg az erőrendszer eredőjét! Számítsa ld az eredő koordinátáit, irányszögeit, nagyságát a következő feladatban: !y Adatok:
IFII=3430N; IF21=8890N; IFJ l= 1930 N; IF41 = 1550N; a = 15 m; b = 28m; c = 40 m. L.2. A tankönyvhöz mellékelt lemez menüjének 2. pontja szerinti, "Anyagi pontra ható térbeli erőrendszer" című programcsomag segítségével további gyakorlási lehetősége van az eredő számítására vagy az eredő ismeretében az egyik összetevő meghatározására.
F.2.2. ábra
2.2. Egyensúlyi erőrendszer és meghatározása Ezen fejezet bevezetőjében bizonyítottak szerint a nyugalomban pontra ható egyensúlyi erőrendszene fennáll (2.4) szerint a
lévő
anyagi
vektoregyenlet, mely a matematika tanítása szerint három skaláregyenlettel egyenétiékű. Az x, y, z Descartes-féle koordináta-rendszerben: (2.11)
2.2. l<_gyensúlyi
erőrendszer
és meghatározása
59
melyeket a (2.4) egyenlet i, j, k egységvektorokkal való skalár szorzásával kaptunk és vetületi egyensúlyi egyenleteknek hívunk. Ez a három egyenlet magában foglalja az anyagi pont statikájával kapcsolatos ismereteket, mégis ezek alkalmazása érdekében néhány speciális esetet a továbbiakban külön is megvizsgálunk
2.2.1. KÉT ERÖ EGYENSÚLYA A 2.8.a. ábrán bemutatott két
erőre
a (2.4) szerint fennáll
Fl +F2 =0, amiből
(2.12)
F2 =-F. l
!l1J Tétel:
Két
erő akkor
lehet egyen-
súlyban, ha => hatásvonaluk közös => nagyságuk megegyező => értelmük ellentétes. a.
Ez a (2.12) összefiiggés megfogalmazása 2.8. ábra szavakban is, anyagi ponton ható erőkre. Túllépve az anyagi pont statikáján ez a tétel általánosságban is érvényes. A közös hatásvonal szükségességének bizonyítását a 3. fejezetben a merev testnél adjuk, de addig is igazsága szemtélettel könnyen belátható. A két erő egyensúlyánál a közös hatásvonal mellett azonban nem szükséges az azonos ponton támadás, gondoljunk csak az 1.8. ábrán bemutatott kötélhúzásra. A kötél hosszától (súlytalan kötél esetén) fiiggetlen, hogy létrejön-e az egyensúlyi erőrendszer, azaz az erő - merev testek esetén - a hatásvonalán eltolható. Ezt a tételt külön szintén a harmadik fejezetben matematikailag bizonyítjuk, addig a tapasztalatra építve elfogadhatjuk Ezek alapján a fentiek egyben azt is jelentik, hogy ha egy bármilyen nyugalomban lévő testre összesen két erő hat, akkor azok hatásvonala szükségképpen a két támadáspontot összekötő egyenessel egybe kell essen. Ezt a két erő egyensúlyából származó következtetést a továbbiakban sokszor fel fogjuk használni.
60
2. Anyagi pont statikája
2.2.2. HAROM ERŐ EGYENSÚLYA (2.4) egyensúlyi egyeletből (2.9.a. ábra): F+F+F=O. 1 2 3
a. 2.9. ábra
Az egyensúly feltételének analitikus vizsgálatánál ez az egyenlet mindent kifejez. Ha azonban a viszonyokat c. geometriailag is vizsgálni akarjuk, több következtetést is levonhatunk ebből az egyenletbőL
Három erő csak akkor lehet egyensúlyban, ha az eró'k síkbeli erőrendszert alkotnak, => hatásvonalaik közös pontban metsződnek, => az erővektoraikból alkotott vektorháromszög zárt és ebben => a nyílfolyamfolytonos (2.9.a.,c. ábra).
![l}j Tétel:
~Bizonyítás: Vezessük vissza a feladatot két erő egyensúlyárai Helyettesítsük ezért az F 2 és F3 eró'ket azok F23 eredőjével (2. 9. b. ábra). Azaz most F 1 és F 23 eró'k egyensúlyát keressük. Az F23 és az F 1 erő az előzőek szerint csak akkor lelzet egyensúlyban, Iza hatásvonaluk közös. Az F 23 mint az F 2 és F 3 eró'k eredője benne kelllegyen az F 2 és F 3 vektorok által meghatározott síkban, amihó1 következően F 1, F 2, F 3 eró'k közös síkhan kell legyenek. Ehhó1 következik a tétel második állítása is. Ha ugyanis F23 - mint eredő átmegy az F2 és F3 eró'k hatásvonalainak metszéspontján és F 23 F 1 erővel közös hatásvonalú, akkor F 1, F2 és F 3 közös ponthan kell metsződjön. A tétel utolsó két állítása az erőösszegzés szerkesztésébó1 (2.1.1. pont) közvetlenül adódik, hiszen a három erő eredője nullvektor kelllegyen (2. 9. c. ábra). A három erő síkheli voltát matematikai úton is könnyen beláthatjuk. (2. 4) alapján fenn kell álljon:
Szorozzuk végig az egyenletet vektoriálisan jobbról F2-vel:
61
2.2. Egyensúlyi edirendszer és meghatározása ezután pedig skalárisan F3-mal:
Ez csak akkor állhat fenn, ha a három vektor egy síkba esik. (Q.e.d.)
A gyakorlatban sokszor előforduló eset, amikor egy F erőt (mely egy erő rendszer eredőjeként IS értelmezhető) két- az erő hatásvonalán egy pontban metsződő- ismert hatásvonalú erővel kell kiegyensúlyozni. (2.10. ábra) Jelöljék ki az ismert hatásvonalakat az e 1 és e2 egységvektorok A keresett ismeretlenek: az F 1 illetve F 2 erővektorok nagysága. A feladat megoldása szerkesztéssel a három erő egyensúlyát meghatározó tétel alapján egyszerűen lehetséges (2.10.b. ábra). Az irány, nagyság, értelem szerint felrajzolt erővektor kezdő- és végpontjából az ismert irányokkal párhuzamost húzva azok metszéspontja kijelöli az F 1 és F 2 vektorok nagyságát. Ezek értelmét a nyílfolyam folytonassága adja. A feladat számítással történő megoldásához egy koordináta-rendszert szükséges felvenni (2.10.c. ábra). Ebben a koordináta-rendszerben értelmezhetők
F
Ft:?
x
Ft
b.
a.
c.
2.10. ábra
az adott
erő
és az egységvektorok
F =F)+Fyj, ei =e;)+e;yj
(i= l, 2).
Ekkor a (2.4) és (2.5.) szerint fenn kell álljon: (2.13)
62
2. Anyagi pont statikája
ahol F 1 és F], azaz az Ismert Irányú erők nagysága és értelme a keresett menny1ség. A (2.13) vektoregyenlet síkbeli, így két skaláregyenlettel egyenértékű:
Ennek a kétismeretlenes egyenletrendszernek a megoldása szalgáltatja az eredményt. A megoldásban F 1 és F 2 előjeles mennyiségek lesznek, azaz a nagyságon kívül az erő értelmét is megadják az e1 illetve e2 egységvektorokkal kijelölt lokális koordináta-rendszerhez viszonyítva. Mindebből az is következik, hogy egy anyagi pontra ható erőrendszer F eredőjét két és csakis két ismert hatásvonalú erővellehet egyértelmű módon kiegyensúlyozni. Ezek nagysága az előzőek szerint egyértelműen meghatározható. 2. 4. Példa: Adott egy kötélen felfu ggesztett G súlyú lámpatest Ismertek a geometriai adatok (2.11. ábra): G= 300 N, l= 30 m, 11 = lOm, h= 2 m. Határozza meg a kötélben keletkező erőket!
l
~ ~
l
'l l
·f~l---------,+~---Ji ,:te
II.
F.
-
-F~FCII
b.
!G
2.11. ábra
Megoldás: először meg kell alkotni a feladat mechanikai modelljét A kötelet ideálisnak tekintve (hajlékony és súlytalan), annak AC illetve CB szakaszára szakaszonként csak két-két erő hat, mivel az máshol mncs testekkel kölcsönhatásban. A kötél nyugalomban van, ezért a rá ható erők egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Két erő pedig akkor lehet egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös. Az AC kötélszakaszon tehát az erők (2.11.b. ábra) csak kötélirányúak lehetnek. Ugyanez igaz a CB szakaszra. A kölcsönhatás törvénye
2.2. Egyensúlyi erőrendszer és meghatározása
63
(harmadik axióma) szerint pedig a C pontban szétválasztott lámpatestre - Fe1 =FA, illetve -Fen = Fs erők hatnak. A G súlyerő hatásvonalán eltolható az FA és FB erők hatásvonalának metszéspontjába, azaz a feladat modelljét a 2.11.c. ábra mutatja. Tehát három erő egyensúlyát kell vizsgálni, egy erőt két adott hatásvonalú erővel kell kiegyensúlyozni. Az ismert hatásvonalakat meghatározó szögek: h 2 a= arctg- = arctg- = 11,3° , ll 10 h 2 f3 = arctg-= arctg = 5,7°. l-ll 30-10
A feladatot kétféleképpen is megoldhatjuk Szerkesztéssel megrajzolható a zárt vektorháromszög, kiindulva a G erő irány és nagyság szerinti felrajzolásából (2.ll.d. ábra). A megrajzolt vektorábra alapján esetünkben ún. grafoanalitikus módszerrel is megkaphatjuk a keresett erők nagyságát. Az ismert szögeket a vektorábrába berajzolva két szinusztétel felírható: IFA l
sin(~- f3)
o= sin(a+ /3)
és
IFsl
sin(%-a)
G= sin(a+ /3)·
Ezekből
IF I=G cos/3 =300 cos(5,7o) A sin(a+ /3) sin(ll,3°+5,7°) IF l= G B
1020N '
cosa =300 cos(11,3o) = 1005 N. sin(a+ /3) sin(11,3°+5,7°)
A feladatot az előzőekben bemutatott analitikus módszerrel is megoldhatjuk, mely általánosan használható. A 2.12. ábrán felvett koordináta-rendszerben:
64
2. Anyagi pont statikája
és utána a vetületi egyensúlyi egyenleteket felírva:
A kétismeretlenes egyenletet megoldva természetesen az előzőekkel megegyező eredményt kapunk.
Yf l
l
JFAJ =1020 N, JFBJ =1005 N.
2.12. ábra első
pillanatban már egy érdekes eredményt láthatunk. A két kötélágban közel azonos annak ellenére, hogy esetünkben az egyik kötélág a vízszintessel csaknem kétszer akkora szöget zár be, mint a másik. Vizsgáljuk meg egy kicsit részletesebben ezt az esetet! Legyen az l1=l/2, azaz a = fl Ekkor az eddigi eredményeink szerint a grafoanalitikus módszerrel kapott összefüggésekből: Az
keletkező kötélerő
JF J=JF J=G sin2a' cosa A
B
vagy másképpen +
JFAJ_
i
5
t:
G
T
4-tl
3
cosa sin2a
t
2+ l + 5
10
15
20
2.13. ábra
25
Ezt ábrázolva a 2.13. ábrán láthatjuk, hogy szimmetrikus elrendezés esetén a kötélerő teherhez való viszonya az irányszög függvényében igen erőtel jesen változik. Hozzávetőlege sen 5° körül a teher ötszörös
65
2.2. l:gyensúlyi erarendszer és meghatározása
értékét is meghaladja és pontosan 30° esetén lesz a teherrel azonos nagyságú. 2.5. Példa: Adott egy hasáb alakú anyagi test a 2.14.a. ábrán bemutatott modellje: a = l 00 mm, b = 250 mm. Az A pontban egy sima támasszal, a B pontban egy csuklóval kapcsolódik a test a környezetéhez. A test tömege m = 4 kg. Határozzuk meg a kényszereknél keletkező erőket, azaz a kényszererőket!
b
>
A
!b
12
_,..%A
FA
x
b.
a.
~Fa
GD
L---~--------~~
c.
2.14. ábra
Megoldás: Vegyünk fel először egy xy koordináta-rendszert az S pontban. A testre ható teher a G súlyerő, mely az S pontban hat, ahogyan ezt a középiskolában is már megtanulták. Az A és B pontban van a test kölcsönhatásban a környezetével, azaz itt hat még egy-egy erő. A sima támasz a test A pontjának x irányú elmozdulását akadályozza meg az xy síkban. Ezen kölcsönhatást egy A támadáspontú x Irányú FA erővel fejezhetjük ki, amit beraJzoltunk a 2.14. b. ábrába (a kényszererő a kényszer hatását helyettesíti, mégis a megkülönböztetés érdekében a továbbiakban a kényszererőt a kényszerrel együtt jelöljük be az ábrába). Az erők hatásvonalaik mentén eltolhatók, azaz az FA erőt az S pontba "tolhatjuk". A testre három erő hat. Mint ismert ezek akkor alkotnak egyensúlyi erőrendszert, ha hatásvonalaik közös pontban metsződnek. A B pontban keletkező kényszererő hatásvonala ezért át kell menjen a G és az FA hatásvonalának metszéspontján. Így irányát meghatároztuk: a 100 a= arctg- = arctg-- = 21,8°. b 250
2. Anyagi pont statikája
66
Ezzel visszavezettük a feladatot közös támadáspontú három erő egyensúlyára. A 2.14. c. ábra vektorháromszöge alapján a feladatot grafoanalitikusan megoldva: a a 100 F =G-=mg-=4·981-=157N A b b ' 250 ' '
l l
Az S pontra vonatkozó egyensúlyi egyenleteket felírva a 2.14. b ábra alapján az analitikus megoldás:
4 9 81
' ' IFB l=_!}_= cosa cos 21 ,8°
természetesen az
előzőekkel egyező
=42 26 N ' '
eredményeket kapunk.
2. 6. Példa: Egy AB rúd A pontja egy egyrudas megtámasztással, B pontja pedig egy csuklóval kapcsolódik a környezethez, terhelése pedig egyetlen erő. Adottak a 2.15.a. ábrán megjelölt geometriai adatok: l= 3m, l 1 =2m, a = l m és az erő nagysága: =10 kN. Határozzuk meg az A és B pont-
F
IFI
ban keletkező kényszererőket! Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan az egyik, A pontbeli kényszererő irányát ismerjük. Az átmetszés módszere (1.3. pont) alapján az AC kényszert külön vizsgálva, erre csupán két erő hat az A és C pontban. Ezek pedig csak akkor lehetnek egyensúlyban, ha közös a hatásvonaluk Így az A pontban az AB rúdra is csak - a kölcsönhatás törvénye értelmében -A C irányú FA erő hathat. Ugyanakkor az AB rúdra csupán három erő hat. Egyensúlyuk feltétele alapján a B pontban keletkező kényszererő hatásvonala is át kell
2.2. Egyensúlyi erőrendszer és meghatározása
67
F A
a
a a.
F
b.
~"
~
F~" F.,
~
a
c. 2.15. ábra
menjen az F és FA adott:
erők
D metszéspontján. (2.15.b. ábra) Ezzel FB iránya is l]
2
- .= arctg - - = 63,4°. f3 = arctg l-l] 3-2
68
2. Anyagi pont statikája
Itt is visszavezettük a feladatot az AB rúd fiktív D pontjában ható erők egyensúlyának vizsgálatára (2.15. c. ábra). A vektorháromszögből grafoanalitikus úton szinusztétellel:
IF I=IFI B
. (1( )
sm --a 2 =10 sin(9oo- 45 o) =745kN. sin(a+.B) sin(45°+63,4°) '
A feladatot a D pontra felírt vetületi egyensúlyi hatjuk ismertnek tekintve a .B szöget:
egyenletekből
is megold-
előbbi
numerikus
A kétismeretlenes egyenlet megoldása természetesen az eredményt adja.
2. 7. Példa: Adott egy sima körív alakú, R sugarú pálya, amelyben egy súlyos 4R > l > 2R hosszúságú 1úd helyezkedik el. Határozzuk meg, hogy önsúlya hatására milyen helyzetet vesz fel a rúd! Más szóval határozzuk meg a értékét! (2.16. ábra) Megoldás: A 1úd az A és B pontokban támaszkodik a sima környezetre, így ezeken a helyeken a felületekre merőleges irányú FA és FB erők hatnak (2.16.b. ábra). Ezen két erőn kívül még a G súlyerő terheli a rudat, azaz összesen három erő. Ezek egyensúlyának feltétele szerint hatásvonalaik közös, esetünkben a C pontban kell metsződjenek. Ennek megfelelőerr a rúd S súlypontja, ahol a súlyerő eredője hat, a C pont "alatt" y irányban kell legyen. Innen már a középiskolás geometriai ismeretek felhasználásával az a szög meghatározható és vele együtt a kényszererők nagysága is.
2.2. Egyensúlyi
erőrendszer
69
és meghatározása
Az előző három példában merev testre ható három erő egyensúlyát vizsgáltuk. A feladatokat visszavezettük anyagi ponton támadó erők számítására úgy, hogy az ismeretlen irányú erő irányszögét a hatásvonalak metsződé séből geometriai úton határoztuk meg. A feladatok ilyen módszerrel történő meghatározása akkor célszerű, ha egyszerű a geometriai összefuggések felírása. Ellenkező esetben a merev testre érvényes, később sorra kerülő módszereket javasoljuk alkalmazni.
x
b.
FELADATOK 2.3. Kötélen fuggő G = 80 N súlyú r = 0,25 m sugarú 2.16. ábra gömb sima falhoz támaszkodik (F.2.3. ábra). A kötél hossza l= 0,5 m. Határozza meg a falra ható nyomóerőt konkrétan és az a fuggvényében! 2.4. Az F.2.4. ábra szennt az l hosszúságú rúd az A és B pontban sima felületre
támaszkodva vízszintesen helyezkedik el. Határozza meg az F erő A-tól mért távolságát úgy, hogy a rúd nyugalomban legyen! Számítsa ki a támasztóerőket is!
kötélerőt
l
x
r--=----<"1
F2.3. ábra
F
F.2.4. ábra
és a
70
2. Anyagi ponr statikája
F
a
F.2.5. ábra
A\
2.5. Elhanyagolható önsúlyú keretszerkezetre (F.2.5. ábra) vízszintes F erő működik. Határozza meg a támasztóerőket! 2.6. Az azonos magasságú A és B pontokhoz erősített két egyenlő hosszúságú kötélen G súlyú teher fugg. (F.2.6. ábra) Határozza meg a kötelek legkisebb l hosszát, hogy a kötélerő adott Fx értékű legyen! 2. 7. A C végén csuklósan megfogott G súlyú rúd falnak támaszkodik. A rúdnak a vízszintes síkkal bezárt szöge a. (F.2. 7. ábra) Határozza meg a támasztóerőket!
\
fuggőleges
\ \
\ \
c
G
2.8. Az F.2.8. ábra szerinti keretszerkezetre F működik: a= 45°; l kN.
IFI=
erő
F.2.6. ábra
aj
a
F.2.8. ábra
F.2.7. ábra
a., Határozza meg a támasztóerőket! b., Határozza meg a támasztóerőket, ha a felcseréljük!
F2.9. ábra
a
görgős
és a csuklós támaszt
2.9. A sima, a = 30° hajlásszögű lejtőn nyugvó G = l 00 N súlyú hengert az F. 2. 9. ábra szennti, a lejtő irányával rp szöget bezáró hatásvonalú F erő tart nyugalmi helyzetben.
2.2. Egyensúlyi
a., Határozza meg az F
erőrendszer
erő
71
és meghatározása
nagyságát, ha
b., Mekkora
erő
nagysága
2.10. Az R sugarú vályúba helyezett, r sugarú és G súlyú henger tengelyére vízszintes F erő működik. (F.2.10. ábra) Határozza meg milyen h magasságban lehet a henger nyugalomban! Ábrázolja h vál-
tozását az
IFIG
F.2.10. ábra
viszonyszám fuggvényében!
2.11. Egy l hosszúságú, G súlyú rúd A végpontját a padlóhoz csuklóval rögzítjük (F. 2.11. ábra). B végpontjához csigán átvetett kötelet kötünk, melyet a másik végén F erő terhel. Feltesszük, hogy a csiga átmérője elhanyagolhatóan kicsi és h > l. Határozza meg milyen
J!1G
különböző)
arány esetén lehet a rúd (a
fuggőlegestől
nyugalmi helyzetben!
F.2.11. ábra
2.2.3. NÉGY TÉRBELI ERÖ EGYENSÚLYA A
L Fi = O vektoregyenlet síkbeli erőknél két vetületi egyenlettel egyenérté-
kű,
ezért csak két Ismeretlent tudunk meghatározm. Négy síkbeh erőnél tehát legfeljebb két erő irányát vagy egy erőt- mint ismeretlent- tudunk meghatározm. Más a helyzet, ha a négy erő nem komplanáns. Ekkor az előző egyensúlyi vektoregyenlet a (2.11) szerint három skalár egyenlettel egyenértékű. Így három ismeretlen meghatározására van lehetőség. A leggyakoribb eset, amikor egy erőt három ismert hatásvonalú erővel akarunk kíegyensúlyozni. Ez a 2.2.2. pontban leírt síkbeli eset általánosítása, azaz a (2.13) összefuggés szerint a négy erőre felírható: (2.14)
72
2. Anyagi pont statikája
ahol e 1, e2, e3 egységvektorok a három ismert Irányt Jelölik ki, F az adott és a (2.14) vektoregyenletből az }j, F 2, F 3 ismeretlenek számíthatók.
erő
2.8. Példa: Egy G= 10 kN súlyú lámpa három oszlopra kötelekkel van felfuggesztve a 2.17. a. ábra szerint. Adottak a geometriai adatok: a = l O m, b = 5 m, c = l m, d= 2 m. Határozzuk meg a kötélerőket! Az
h.
2.17. ábra
Megoldás: A lámpa felfuggesztési pontjában vegyünk fel egy xyz koordmáta-rendszert (2.17. b. ábra)! Ebben meghatározhatók a kötélirányokat kijelölő egységvektorok
Az összefuggésekben r 0 A,, r0 A 2 és r0 A 3 az O pontból A1, A2 és A3 pontokba
mutató helyvektorok A súlyerő az adott koordináta-rendszerben:
2.2. l!gyensúlyi
erőrendszer
G = -Gj
= -l Oj
73
és meghatározása
[kN]
Az egységvektorok a számadatokkaL e 1 = 0,981· i+ 0,196· j, e2 =
0,891· i+ 0,089 ·j -0,535· k,
e3 =
0,891· i +0,089· j+ 0,535· k.
Ezeket a (2.14) egyensúlyi egyenletbe helyettesítve és az xyz Irányú vetületi egyenleteket felírva a 0,981F1 - 0,891F2
-
0,891F3 =O,
-l O+ 0,196~ + 0,089F2 + 0,089-F, =O,
-0,535F2 +0,535F3 =O, háromismeretlenes egyenletrendszert kapjuk. A harmadik egyenletből rögtön következik az F 2 = F 3, amit a szimmetria miatt várhattunk is. Az egyenletrendszert megoldva: A2
IF] l= 33,99 kN'
+;
IF21 = IF3 1= 18,71 kN .
bi
o
-t-l
A bemutatott módszer tetszőleges esetben is bt ...Ll alkalmazható azonos ponton ható négy térbeli A 31 erő egyensúlyának vizsgálatára. Esetünkben azonban a geometriai és erőtani viszonyok szímmetrikusak. A szimmetriasík az xy sík. Ezért a feladatmint két síkbeli feladat szuperpozíciója is megoldható. Az F 2 és F 3 erőt helyettesítsük azok eredőjével! Mivel ezek az xy síkra szimmetrikusan helyezkednek el, eredő jük a szimmetriasíkba esik. Ezt az A 2A 30 síkban megrajzolhatjuk és nagyságát számíthatjuk (2.18.a. ábra):
2
2
Va +c a.
YAl
At d x
G b.
2.18. ábra
74
2. Anyagi pont statikája
ahol
Ezzel az F 1, F 23 és G egyensúlyának vizsgálata .xy síkbeli feladattá södik (2.18.b. ábra). Felírva az egyensúlyi egyenleteket:
I
Fix = o=
IF] l
COS"(
egyszerű
-IF231 cos~ '
a
ahol
Az utóbbi két egyenletből az F 1 és F 23 nagysága, míg az előző egyenletből az F 2 nagysága számítható. A feladatot így megoldva nem biztos, hogy egyszerűbben jutunk eredményre. Ezzel csak arra kívántunk rámutatni, hogy sok esetben a térbeli feladatok visszavezethetők síkbeli feladatokra. Így amikor síkbeli viszonyokat vizsgálunk, akkor ís azokat valóságos sz1mmetríkus térbeli szerkezetek modelljeínek tekinthetjük.
FELADATOK 2.12. Egy torony csuklósan kapcsolódik a talajhoz és kötelek biztosítják stabil helyzetét az F 2.12. ábra vázlata szerínt. A kötelek előfeszítése olyan, hogy terheletlen állapotban f~v = 400 0 kN erő hat az O pontban. A P pontban ható erők egyensúlyából határozza meg az 5000 kN
IFI
erő
hatására
keletkező kötélerőket!
F.2.12. ábra
2. 2. Egyensúlyi
erőrendszer
és meghatározása
Adottak a geometriai adatok: r =20 m, h = 15 m. Határozza meg a kötélerő ket!
75
F'
i 2b i i
A'
2.13. Az F.2.13. ábrán látható két nézetében megrajzolt, úgynevezett térbeli bakállványt F erő terheli. Adatok: 8 kN; a=3 m; b=2 m.
IFI=
Határozza meg a
rúderőket!
F
a F.2.13. ábra
3. MEREV TEST STATIKÁJA
Az eddigiekben az anyagi pont mechanikai kölcsönhatásaival, az anyagi pontra ható erőrendszerekkel foglalkoztunk. Az így szerzett ismereteket nem csak az anyagi pontnak modellezhető testek esetében alkalmazhattuk, hanem minden olyan kiterjedéssei rendelkező test esetében is, amikor a rá ható erők hatásvonalai közös pontban metsződtek. Az ilyen erőrendszer eredőjének hatása az anyagi pontra elmozdító hatás, aminek nagyságát, irányát, értelmét az erővektorral jellemeztük
3.1. Alapfogalmak 3 .1.1. ERÖRENDSZEREK NYOMATÉKA
A merevnek modellezett testre ható erőrendszer (erők összessége) általában nem közös ponton támad. Ilyenkor - mint azt a tapasztalatból tudjuk az erőknek nem csak elmozdító, hanem elfordító hatása is van a testre. Vizsgáljuk meg hogyan jellemezhetjük az erőrendszer elfordító hatását! Egy test elfordulása, vagy elfordulási "szándéka" egy adott pillanatban valamilyen képzeletbeli tengely körül történik, ezért az elfordító hatást is valamilyen iránnyal rendelkező mennyiséggel, a nyomatékkal jellemezhetjük. Ezért a nyomaték is vektormennyiség (3.1. ábra).
/ Definíció: A P ponton támadó F erő O pontra vonatkoztatott nyomatékát az (3.1) M 0 =rxF vektorszorzattal határozzuk meg. Itt az Mo nyomatékvektor indexe a vonatkoztatási pontra utal, r pedig a vonatkoztatási ponttól az erő támadás-
78
3. Merev test statikája
pontjáig mutató helyvektor.
y
Az M 0 nyomatékvektor-a matematikában tanultak szerint - az F erővektor és az O vonatkoztatási pont által meghatározott síkra -~~~--1-----x
merőleges.
Ezt az általános definíciót most vessük össze a középiskolában megtanult, nyomatékról szóló ismereteinkkell Hasson amerev test z P pontjában F erő (3.1. ábra). Ennek O pontra számított nyomatékát kívánjuk meghatá3.1. ábra rozni. Az O ponton át az F erő hatásvonalára fektessünk egy xy síkot, mely általában a testet is átmetszi. Ekkor a nyomatékvektor a definíció szerint az xy síkra merőleges, z irányú lesz. A vektorszorzásban alkalmazott jobbkézszabály szerint értelmét a pozitív z tengely határozza meg (3.I.b.ábra). Így a nyomatékvektor iránya és értelme egyértelműen adott. Nagyságát, másképpen a vektor abszolút értékét a középiskolában is tanultak szerint az a.
adja, ahol ep a vektorok pozitív értelmét meghatározó irányok közötti szöget jelenti (3.1.a. ábra). A PCO háromszögből viszont az JrJ sin ep = k az erő hatásvonala és az O pont közötti merőleges távolság. Tehát az erő O pontra számított nyomatékának nagysága az erő nagyságának és az erő k karjának (vonatkoztatási pont és az erő hatásvonalának távolsága) szorzata. Ez a középiskolából ismert megfogalmazás csak síkbeli esetben használható egyszerűen (ilyen esetben sok~zor használjuk is), de sem a nyomaték irányát, sem annak értelmét nem határozza meg. Az előzőekben meghatározott nyomatékvektor nagyságát és értelmét egyben az erő z tengelyre számított nyomatékának is tekintjük. Ilyen esetben nincs értelme irányt megadni, hiszen az irányt a tengely, amire a nyomatékot számítjuk megadja.
79
3. J. Alapfogalmak
/ Definíció: Az erő egy adott tengelyre vonatkoztatott nyomatékát az erőnek a tengely egy O pon~jára számított nyomatéka tengelyre eső vetületeként értelmezzük. (3.l.a. ábra):
y
(3.2) Ez az erő tengely körüli elfordító hatása. Egy tetszőleges erőrendszer A pontra vonatkoztatott MA nyomatékvektora felírható
z 3.2. ábra
(3.3) formában a koordinátáival is (3.2. ábra). Ebben a jelölésben - az előző definíciók szerint - az MAx = Mx; MAy = My; MAz = Mz az erőrendszer x, y, z tengelyre vonatkoztatott nyomatékai. Ezért egy pontra számított nyomatékvektor jelírható a ponton átmenő három egymásra kölcsönösen merőleges tengelyre számított nyomatékok vektorainak összegeként is. Ezt a lehetőséget a későbbiekben fel z fogjuk használni a példamegoldásoknáL A definíciók és a 3. 3 ábra alapján még a következő megállapításokat tehetjük: Az F
y
3.3. ábra
erő
=::} =::} =::}
nyomatéka zérus a hatásvonalán lévő A pontra (r párhuzamos F-.fel), a hatásvonalán átmenő tengelyre (pl: M 0 = O), a hatásvonalával párhuzamos tengelyre (MB meró1eges n-re).
Végül határozzuk meg az erő nyomatékát egy másik B pontra, ha ismerjük az A pontra az erő nyomatékát!
80
3. lvferev test statikája
![J}j Tétel: Egy erő B pontra vonatkoztatott nyomatéka számítható az erő A számított nyomatékának és az A pontba helyezett vonatkoztatott nyomatékának összegébó1: M
B
erő
B pontra
=M A +rBA xF
vagy másképpen MB
M
A
-rAB xF.
~ Bizonyítás: Természetesen hasonlóképpen járitatunk el itt is, mint az A pontra számított nyomatéknál (3.J.a. ábra):
Mivel azonban már ismerjük az A pontra számított nyomatékot a számítást síthetjük. Vegyük figyelembe, hogy rB =ré rBA (lásd 3.J.a. ábra). Ekkor
M B == r A x F +rM x F == M A +rM x F .
leegyszerű
Q. e. d.
Egy erőnek a tér valamennyi pontjára számított nyomatékai összességét nyomatéki vektortérnek is szaktuk nevezni. A tétel tehát a nyomatéki vektortér egyes tagjai közötti kapcsolatot határozza meg.
3.1. Példa: Az m tömegű merev test B , F3 erőkből álló térpontjában F 1 , beli erőrendszer hat. Az erők irányát a z 3. 4. ábra szerinti hasáb élei és lapátlói adják meg. Adatok: a = 5 m; b = 6 m; c = 4 m; 3.4. ábra h= 3m; F1 = l kN; r]= 2 kN; F3 =3 kN. Határozzuk meg az erőrendszer nyomatékát az O pontra, az n iránnyal adott tengelyre, valamint a P pontra!
3.1. Alapfogalmak
81
Megoldás: Mivel a feladatot számítással oldjuk meg először a felvett koordináta-rendszerben adjuk meg az erőket a szokott módon:
F3
Fe =F[.Ja a+b 3 3
2
3
Az azonos ponton támadó
i+ 2
.Ja b+b 2
j]=1920i+2305j[N]. 2
erőrendszer eredője:
3
Fe= ~Fi= (1562 + 1920)i + (2305 -1000)j + 1249k [N], i=!
Fe= 3482i + 1305j + 1249k (N]. Az O pontból az
erő
támadáspontj ába, a B pontba mutató helyvektor: r 0 B =ai+bj+ck=5i+6j+4k [m].
Az O pontra vonatkoztatott nyomatékvektor a definíció szerint:
j
k
a b c= F:x Fey }~z =i (bF:z- cr:y)- j (ar:::- cr:x )+ k (aF:.v- bF:x) =
Mo = foB x Fe=
=i (6·1249 -4·1305)- j (5·1249 -4.3482 )+ k (5·1305-6· 3482), M 0 =2274i+7683j-14367k [Nm].
82
3. Merev test statikája
A nyomatékvektor nagysága:
irányszögei pedig: ~
a = arccos____Q2!_ = arccos ~~ol
x
~Oy
a Y= arccos-l-l = arccos ~o
·
~
a = arccos~ = arccos ~~ol
z Ellenőrzésképpen
2247 =82 15° 16447 ' ' 7683 o = 62,15 , 16447
-14367 16447
=150 87o . '
pedig:
2
cos a x +cos 2 aY +cos 2 az= 0,0187 +0,2182+0,7631"'" l. Az n egységvektorral kijelölt tengelyre vonatkoztatott Mn nyomaték megha-
tározásához
először
az n egységvektort írjuk fel:
A definíció szerint pedig:
Mn =~o ·n= [2274; 7683; -14367][0; 0,8321; 0,5547] = -1576 Nm
3.1. Alapfogalmak
83
az adott tengelyre számított nyomaték. Itt a negatív előjel azt Jelenti, hogy a kijelölt n egységvektorral meghatározott értelemmel ellentétes az erőrendszer tengely körüli elfordító hatása. Végül határozzuk meg az erőrendszer nyomatékát a P pontra! Természetesen hasonlóképpen járhatunk el itt is, mint az O pontra számított nyomatéknál:
Mivel azonban már ismerjük az O pontra számított nyomatékot, a számítást leegyszerűsíthetjük Vegyük figyelembe, hogy rPB =hi+ roB (lásd 3.J.a. ábra). Ekkor
erő(rendsze1~
P pontra számított nyomatéka számítható az O pontra számított nyomatékának és az O pontba helyezett erő P pontra vonatkoztatott nyomatékának összegéből. Ennek megfelelöen azaz egy
erő(rendszer)
J
k
Mp- h
o
o
Fex
Fey
F:=
+Mo,
Mp = -jhFez + khFey + M 0 ) + Nf0 Yj + M 02 k = =227 4 i+ (7 683-3 ·1249 )j+ (-14367 +3 ·l305)k, Mr = 2274i +393 6 j -10452k (Nm].
* Mmden műszaki feladat általában többféle módszerrel IS megoldható. Célszerű az adott esetben legegyszerűbb megoldást választam, de esetenként szükséges másfajta megoldással ellenőrizm a kapott eredményern helyességét, azt, hogy nem hibáztam-e. Nézzünk ezért egy másik megoldási módszert is! Az előzőekben bemutatott módszer általános és egyszerűen mechanikusan alkalmazva elvégezhető. A következökben bemutatottnál minden lépésben a feladathoz alkalmazkodva kell meghatározni az elöjeleket, értékeket. Ez több hibalehetőséget rejt magában, de egyszerű esetekben gyorsabb.
84
3. lv!erev test statikája
Másik megoldás: Alkalmazzuk a (3.3) összefuggést és a szuperpozíció elvét! Más szóval határozzuk meg az erőrendszer nyomatékát az O ponton átmenő koordinátatengelyekre az egyes erők nyomatékainak összegeként. Az F1 , F2 , F3 erőket felbontottuk már összetevőikre az előző megoldás első lépéseként, ennek megfelelően az erők x, y, z összetevőinek x, y, z tengelyekre vonatkoztatott előjeles nyomatékait határozzuk meg:
Mx =
ciF I+bF 1
2z
-cF3y = 4·1000+6·1249 -4·2305 =227 4 Nm,
mivel F 2x és F 3x összetevők párhuzamosak az x tengellyel, ezért arra nincs nyomatékuk. Ugyanúgy, mivel F1 és F3y párhuzamos y tengellyel F2 pedig átmegy raJta, ezért csak F 3x -nek van nyomatéka az y tengelyre: M y =eF.n =4·1920=7680Nm '
Mz =
-aiF
11
bF2 x = -5·1000-6·1562 = -14372 Nm.
Azaz az O pontra számított nyomaték: M 0 =2274 i+ 7680 j -14372k [Nm], ami kerekítési hibáktól eltekintve egyezik az
előző
eredményekkeL
FELADATOK 3.1. Adott a 2.2. feladatban megismert erőrendszer. Tételezzük fel most, hogy ez az erőrendszer egy anyagi testre hat. Határozzuk meg az erőrendszer nyomatékát egy meghatározott A pontra és az AO pontokon átmenő tengelyre! A tengely pozitív irányát az ongóból az A pont felé mutató vektor jelöli ki. Adatok: A pont koordinátái: XA =56 m; YA =65 m; ZA= 40 m; (F2.2. ábra) L.2. A tankönyvhöz mellékelt lemezen lévő 2. menüpont szerinti, "Anyagi pontra ható térbeli erőrendszer" című program a nyomatékszámítás gyakorlását is lehetővé tesz1.
3.1. Alapfogalmak
85
3.1.2. A STATIKAALAPTÉTELE A nyomaték fogalmának meghatározása és számítási módszerének begyakorlása után az erőrendszerek egyenértékűségét definiáljuk Mint az anyagi pont vizsgálatánál leírtuk itt is elmondhatjuk, hogy a merev testre végtelen sokféle erőrendszer hathat. Ezeket hatásaik alapján hasonlíthatjuk össze. V al amennyi hatás két hatás összegeként, az elmozdító és elfordító hatással írható le. Ezeket pedig az erővektorokkal illetve a nyomatékvektorokkal jellemezhetjük.
{]J Tétel: Erőrendszerek egyenértékűsége. A merev testre ható erőrendszerek hatásai akkor azonosak, azaz az erő rendszerek akkor egyenértékűek, ha a merev testre ható erőrendszerek erővektorainak összege és egy tetszó1eges pontra vonatkoztatott nyomatékvektorainak összege megegyezik:
n
I,rli xF1i i=!
m
= I,r2j j=!
xF2 j ,
(3.5)
ahol F1i (i = l, 2, ... n) amerev testre 3.5. ábra ható egyik, az F 2j G = l, 2, ... m) a másik erőrendszer elemeit jelöli (3.5. ábra). Az r 1i illetve r 2j a tetszőleges pontból az egyik illetve a másik erőrendszer elemeinek támadáspontjaihoz húzott helyvektorokat jelentik. A tétel helyessége az előző gondolatmenet alapján logikailag könnyen belátható. Korrekt matematikai bizonyítását a newtoni axiómák merev testre való kiterjesztése után a kinetika alaptételei segítségével végezhetjük el. Ezzel a harmadik kötetben foglalkozunk.
3. Merev test statikája
86
/Definíció: Azt az erőrendszert, melynek hatásáraamerev test nyugalomban van, egyensúlyi erőrendszernek nevezzük. Feladatunk annak meghatározása, hogy az egyensúlyi tul aj donságokkal rendelkezik.
erőrendszer
rnilyen
liJ Tétel: Statika alaptétele. Egy merev testre (szerkezetre) ható egyensúlyi erőrendszerre fennállnak a (3.6) ll
(3.7)
"M =0 L.._. Ai i=l
vektoregyenletek, amelyeket egyensúlyi egyenleteknek nevezünk. ~ Bizonyítás: Egy erő egy merev testre (szerkezetre) elmozdító és elfordító hatást fejt ki. Az elmozdító hatást az erővektorral, az elfordító hatást a nyomatékvektorral jellemeztük. Ha amerev test (szerkezet) nyugalomban van, az elmozdító és elfordító hatások összege zérus. Matematikailag megközefüve tekintsük a merev testet úgy, mint végtelen sok anyagi pont összességét! (3.6. ábra) Ekkor valamennyi anyagi pontra felírhatjuk a II. axiómát, figyelembe véve a IV.-et is: m;a; = F;
+ IFbik'
(3.8)
k=!
3.6. ábra ahol F; , Fk a testre ható külső erők, Fbik pedig az i. anyagi pontra ható k. anyagi ponttal való kölcsönhatást kifejező belső erő. A IlL axióma miatt (3.9)
Minden egyes anyagi pontra végtelen sok ilyen belső erő hat. Az i. pontra vonatkozó (3.8) egyenletet írjuk fel a merev test valamennyi pontjára és összegezzük ezeket:
3.1. Alapfogalmak
87
Ha a test tartósan nyugalomban van az a; veh:tor zérus, ha a test merev, a pontok egymáshoz viszonyítva is nyugalomban vannak bármely erőrendszer hatására, így az egyenlet bal oldala zérus. A jobb oldali második tag szintén zérus, hiszen ez tartalmazza az összes belső erőt, melyek párossával jelentkeznek (3.9). Így fennáll a
egyenlet. Szorozzuk végig a (3.8)-at balról anyagi ponthoz húzott helyvektor:
ri
-vel, ahol
ri
egy
tetszőleges
O pontból az
li xm,a, =r, x F, + •i x LFbik k
Megint végezzük el az összes anyagi pontra így felírható egyenletek összeadását: (3.10)
Tartós nyugalom esetén ismét csak zérus lehet a bal oldal. A jobb oldal első tagja a merev testre ható külső erőrendszer O pontra számított nyomatéka: M
..i...J r1 x F.1 = '\:' ..i...J M.1A
= '\:' A
A második tag ismét zérus, hiszen itt is szerepel minden natkozóan felírva az összejii.ggést:
belső erő.
Az Fbikés 1<\ki-re vo-
r·xF +rxF =rxl<' -rxF =(r-r)xF =0 i bik k bki i bik k bik i k bik
,
mivel a 3.6. ábra szerint ri-rk veh:tor párhuzamos Fbik veh:torral. Ilyen veh:torokból áll a teljes összeg, így annak értéke zérus. Végül tellát a (3.1 O):
Ezek szükséges feltételei a merev test nyugalmának. Kimutatható azonban az is, hogy ez elégségesfeltétele is a nyugalomnak. Q.e.d.
*
88
3. A1erev test statikája
Tétel: Egy erőrendszer eredője nem változik meg, ha ahhoz egy egyensúlyi erőrendszert hozzáadunk.
![]J
6b/' Bizonyítás: Mivel az egyensúlyi erőrendszer vektorkettőse zérusvektor, nyilvánvalóan zérus hozzáadásával az eredeti erőrendszer eredője nem változik. A továbbiakban külön vizsgáljuk az erőrendszer eredőjének meghatározási módját, és külön azt az esetet, amikor az erőrendszer egyensúlyi.
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
Amerev testre ható általános, más szóval"térben szétszórt" erőrendszer eredőjére is igaz az anyagi pontnál megfogalmazott definíció, miszerint az erő rendszer eredője a vizsgált erőrendszerrel egyenértékű legegyszerűbb erő rendszer. Ennek meghatározása azonban lényegesen összetettebb az anyagi pontra ható erőrendszer eredőjének számításához képest. Mielőtt azonban az eredő meghatározásának általános módszerét megvizsgálnánk, foglalkozzunk a síkbeli erőrendszerrel, ezen belül is néhány egyszerű erőrendszer eredőjének számításávaL
/Definíció: Síkbelinek nevezzük azt az eleme egyazon síkba esik.
erőrendszert, melynek minden
3.2.1. EGY ERŐ Már az anyagi pont statikájánál axiómaszerű megállapítást tettünk az erő hatásvonalán való eltolhatóságára, de állításunkat nem bizonyítottuk A merev testre ható erőrendszerek egyenértékűségének tétele már lehetőséget teremt a bizonyításra is.
![];} Tétel: Az erő hatásvonalán a merev testre gyakorolt hatásának megváltozása nélkül eltolható. Más szóval egy adott támadáspontú
erővel
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
egyenértékű, egy azonos nagyságú, irányú, lán tetszó1eges pontban támadó másik erő.
értelmű,
89
de az
erő
hatásvona-
~ Bizonyítás: Legyen adott a 3. 7. ábra szerinti F erő adott O támadásponttaL Ezzel egyenértékű a P pontban támadó F erő, mivel az egyenértékűségi tételben szereplő (3.4) összefüggés automatikusan teljesül, igy csak (3.5) helyességét kell igazolni, azaz az (3.8)
3. 7. ábra egyenlőséget.
Bontsukfel az r AP helyvektort:
Ezt helyettesitve (3.8)-ba:
Ez pedig azonosság, mivel rop párhuzamos F-fel, igy veÁ"torszorzatuk zérus. Q. e. d.
3 .2.2. KÉT ERÖ EREDŐJÉNEK LEHETSÉGES ESE TEl, AZ ERÖP ÁR
Merev testre ható síkbeli két erő egymáshoz való viszonya kétféle lehet: => egymással metsződő hatásvonalú (3.8.a. ábra) => párhuzamos hatásvonalú (3.8.b. és c. ábra) Az első esetben a két erőt hatásvonalán a hatásvonalak P metszéspon~ ába toljuk Így viszszavezettük a feladatot anyagi ponton támadó erőrendszerre, az eredőt az ott tanultak szerint határozhatjuk meg. c. a. b. A második eset3.8. ábra ben (3.8.b. ábra)
90
az
3. Merev test statikája eredő
meghatározását majd a 3.2.5. pontban leírtak szerint végezzük. A párhuzamos hatásvonalú két erőből álló speciális erőrend szer eredőjét vizsgáljuk meg.
következőkben
/Definíció: Az azonos nagyságú, de ellentétes értelmíi és párhuzamos hatásvonalú két erőbó1 álló erőrendszert erőpárnak nevezzük.
/[]}j Tétel: Az erőpár nyomatéka a tér minden pontjára azonos. Nagysága a hatásvonalak távolságának és az erő nagyságának szorzatával egyenlő, iránya az erők hatásvonalai által meghatározott síkra meró1eges, értelmét az erők jobb csavar szerinti forgató hatása adja.
W" Bizonyítás: Vegyiink fel egy tetszó7eges erő párt a térben a 3.9. ábra szerint! Az erők összege: F 1 +F, =0, azaz az erőpár elmozdító Itatása zérus. Számítsuk ki az erőpár nyomatékát egy tetszó7eges O pontra!
l' z 3.9. ábra
Figyelembe véve F 2 =
-
F 1 értéket:
azaz az erőpár tetszőleges O pontra számított M 0 nyomatéka nem függ az O pont helyéazaz a tér minden pontjára azonos. Nagysága:
től,
(3.9)
Iránya és értelme a vektorszorzásból következően megegyezik a tételben leírtakkaL
megállapítható az is, hogy egy erőpár egyenétiékű az pontra számított nyomatékvektorávaL Ezéti esetenként egy nyomatékvektort erőpárként is értelmezhetünk és fordítva. Így az erőAz
előzőekből
erőpár tetszőleges
3. 2. Síkbeli
erőrendszer eredője
91
rendszer fogalma is kiterjeszthető, hiszen az erők összessége felbontható erőpárokra és erőkre, azaz nyomaték- és erővektorokra. Megjegyzés: Az erőpár értelmezése után bizonyítottnak tekintjük az anyagi pont statikájánál tett azon állításunkat, miszerint két erő egyensúlyának egyik feltétele, hogy a két erő hatásvonala közös legyen. Ha ugyanis nem közös, az eredő egy nyomaték, nincs egyensúly! Definíció: Erőrendszernek a valamilyen szempontból kapcsolatban lévő (testre, szerkezetre ható) eró'k és erőpárok (nyomatékok) összességét nevezzük. /
/{]}j Tétel: Míg az erővektort nagysága,
iránya, értelme és támadáspontja, addig a nyomatékvektort csak nagysága, iránya és értelme határozza meg. Egyszerűbben az erő kötött, a nyomaték szabad vektor.
W"'
Bizonyítás: Egy merev testre hat az F 1; erőpár (3.10. ábra). Ennek nyomatéka legyen az A pontra MA. Az F1, F2 erőpár és az MA egyenértékűek. Az erőpár nyomatéka a B pontra MB = MA az előző tétel szerint. Az MB nyomatékvektor is egyenértékű az F1 , F2 erőpárral, azaz hatásaik megegyezJtek. Ebből következően MA és MB is egyenértékűek egymással. Q. e. d. li'2 = - F 1
3.10. ábra
FELADATOK
3.2. Egy korongra három különböző, egyetlen erőpárból álló működik (F.3.2. ábra). Határozza meg mindhárom esetben az nyomatékát azaz a korongra gyakorolt hatását!
F3.2. ábra
erőrendszer erőrendszer
92
3. Merev test statikája
Adatok: r= 0,2 m, a= 50 mm; b= 150 mm; IF1 1 = 100 N; jF2j =50 N; IF31=100N.
d
0
.c
M,
O-JL-+---'-
1a
__l_
3.3. Egy merev lemezre négy erőpár hat (F.3.3. ábra). Valamennyi nyomatékvektor a lemez síkjára merőleges. Határozza meg az F 1; - F 1 erőpár d karját úgy, hogy az erőpárok egyensúlyi erőrendszert alkossanak! Adatok:
l
'Fl =500 N; IF21 =800 N; F.3.3. ábra
jM 1 j=45Nm; jM 2j=335Nm; a
3.2.3.
200mm; b=400mm; c=300mm.
AZ EREDŐ MEGHATÁROZÁSI LEHETSÉGES ESETEl
3.11. ábra
MÓDJA,
AZ
EREDŐ
A merev testre ható általános erőrend szer eredőjét két lépésben határozzuk meg. Egy erőrendszer tetszőleges számú erőből és erőpárból állhat (3.11. ábra). Először keressünk egy az erede""'....",.. tivel egyenértékű, egy tetszőleges pontF. ban ható, egyetlen erőből és egy erő párból álló erőrendszert, majd ezt kíséreljük meg tovább egyszerűsíteni, hogy a legegyszerűbb egyenértékű erőrend szert, az eredőt megkapjuk
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
93
/ Definíció: A vizsgált erőrendszerrel egyenértékű, egy meghatározott ponton támadó vektorkettőst (erővektorl és nyomatékvektort) az adott pontba redukált erőremiszemek nevezzük.
1/[[}j Tétel: Az adott pontba redukált erőrendszer vektorkettőse az erőrend szert alkotó erők vektorösszegébó1 és az erőrendszer - adott pontra vonatkozó- nyomatékainak összegébó1 számítható (3.11. ábra): ll
(3.10)
FA= IFi' i=l
m
n
MA= IMi+ IrixFi. i=l
(3.11)
i=l
~ Bizonyítás: Azt kell bizonyítanunk, hogy az F 1 ... Fn, M 1 ... Mm erőrendszer és az FA , MA vektorkettősbó1 álló erőrendszer egyenértékíiek. Az egyenértékű erőrendsze rek tétele kimondja, hogy két erőrendszer egyenértékű - egyrészt - Ita az erőrendszert alkotó erők összege megegyezik. Ez a (3.10) szerintfennáll. Másrészt viszont egy tetsző leges - akár az A -pontra vonatkozó nyomatékuk is megegyezik. Mivel az FA átmegy az A ponton a redukált erőrendszer nyomatéka MA , ami (3.11) szerint az eredeti erőrend szer A pontra számított nyomatékával egyenlő. Q. e. d.
Az eredő meghatározásához most már csak azt kell megvizsgálnunk van-e a redukált erőrendszernél egyszerűbb, az eredetivel egyenértékű erőrendszer! Mivel a redukált erőrendszer csak egy erőből (FA) és egy erőpárból (MA) áll, ezek létezésének és egymáshoz való viszonyának elemzésével az összes lehetséges eset tisztázható. Vizsgálatamkat azonban első lépésben csak síkbeli erőrendszerre terjesztjük ki (az eddigiek általánosan, térbeli erőrendszerre is igazak). Ekkor megállapíthatjuk, hogy a redukált erőrendszerben az erővek tor és a nyomatékvektor egymáshoz viszonyított iránya speciális helyzetű.
1/[[}j Tétel: Síkbeli erőrendszer esetén a redukált erőrendszerben a nyomatékvektor mindig meró1eges az kált erőre:
erőrendszer
síkjára és ezzel együtt a redu-
94
3. Aferev test statikája Bizonyítás: Legyen az erőrendszer síkja az .xy koordinátasík! Ekkor valamennyi igaz: F, = F) + F,Yj . Mivel az erőrendszer redukálását is az .xy síkhan lévő A pont-
W" erőre
ra végezzük, a ponthól az erő támadáspontjához húzott helyvektorok is az .xy síkhan vannak: r. = x.i + y.j. Az erőrendszer A pontra vonatkoztatott nyomatékának, az l
l
l
veA:tomak, valamennyi eleme az .xy síkra és ezzel a redukált
veA:torra is merőleges. Q. e. d.
Vizsgáljuk meg a redukált erőrendszer elemeinek értékét Egymáshoz való viszonyukban az alábbi négy eset lehetséges. Az első három esetben az eredő egyértelmű, az utolsó esetben állításunkat bizonyítani kell. Redukált erőrendszer elemeinek értéke ~4.
U1
o o
o
:t: O
egyensúlyi
erőrendszer
erőpár
:t: O
o
erő
:t:O
:t:O
erő
Tétel: Síkbeli erőrendszer egy erőpár, vagy egy erő lehet.
liJ
Eredő
eredője csak egyensúlyi erőrendszer,
vagy
W" Bizonyítás: Az első két eset szerint, Iza a vizsgált erőrendszert alkotó erők összege zérus, az eredő egyensúlyi erőrendszer (MA= O), vagy egy erőpár (MA :t= O). Ez- bármely pontra hajtjuk végre a redukálá!!>t - közvetlenül adódik. Az FA zérus volta ugyanis (3. 8.) szerint független az A pont helyétó1, az MA értéke pedig változatlan egy B pontra is, mivel FA= O és MA szabad veA:tor: 1\1 8 =MA +r8 AXO.
Ha az erők összege nem zérus, az eredő biztosan egy erő. Ha ugyanis a redukálást véletlenül éppen az eredő hatásvonalának egy pontjába végezzük (harmadik eset), közvetle-
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
95
nül megkapjuk az eredó' erőt. Ha egy tetszó1eges másik pontba redukáljuk az erőrend szert, megkapjuk az eredő erő nagyságát, irányát és értelmét, de a hatásvonalát vagy annak egy pon~ját még meg kell határozni. Ennek módját mutaijuk be az alábbiakban. Legyen az erőrendszer síkja az xy sík (3.12. ábra). Az A pontba redukált erőrendszer az FA és rámerőleges MA vektorkettősbó1 álljon. Helyettesítsük most az MA nyomatékvektort a vele egyenértékű olyan erőpárral, melynek egyik eleme éppen FA (szaggatott vonal). Ekkor az erőpár h karja (3. 7) szerint: y
h
Így a redukált erőrendszer helyett az A pontban támadó FA és- FA vektorokat és a B pontban támadó FA vektort kapjuk. Az előzőek összege zérus, így az eredő erőrend szer egyetlen FA eróöó1 áll, melynek támadásponija B(x0 ; O): h
IMAI
x
l A l
l
l-FA
x---o- sinrp -~FAisinrp.
3.12. ábra
Ezzel igazo/tuk, hogy ha a redukált erőrendszer egy az eredő akkor így is egy erő. Q.e.d.
erő és
egy rá meró1eges nyomaték,
*
Síkbeli erőrendszer lehetséges eredőinek feltárása és az eredő meghatározási módszerének bemutatása után a következő két pontban példákan mutatjuk be a fentiek alkalmazását. 3.2.4. SÍKBAN SZÉTSZÓRT ERŐRENDSZER EREDŐJE
/ Definíció: Ha egy síkbeli erőrendszer több mint két elembó1 áll, és az eró1( hatásvonalai nem metsződnek egy pontban, síkban szétszórt erőrend szerró1 beszélünk. A síkban szétszórt erőrendszer eredőjét számítással vagy szerkesztéssel szaktuk meghatározni. Szerkesztéssel a megoldás elve az, hogy lépésről lépésre az n erőből és m erőpárból álló erőrendszer elemeinek számát csökkentjük Ezt úgy érhetjük el, hogy célszelŰen választott két erőt helyettesítünk annak eredőjével, melynek támadáspontja természetesen hatásvonalaik metszéspontjában van. Ezt az eljárást részeredő sokszög szerkesztésnek ne-
96
3. lvferev test statikája
vezzük. Ezt rendre addig ismételjük, míg már csak egy erőt kapunk. Ezen erő hatásvonalának egy pontjába helyezzük az erőpárok összegéből meghatározott nyomatékvektort, hiszen ezek szabad vektorok, és ez után az előző bizonyításban megadottak szerint meghatározzuk az eredő erőt. Természetesen az erők összeadásának sorrendje és az erőpár figyelembevétele bármilyen sorrendben történhet, hiszen a vektorok összeadása kommutatív művelet. Amennyiben az erők összege zérus, az eredő egyensúlyi erőrendszer vagy egy erőpár. Az eredőt számítással az előzőek szerint két lépésben határozzuk meg:
=> redukáljuk az erőrendszert egy célszerűen választott pontba; => a redukált erőrendszer alapján meghatározzuk az eredőt. 3.2. Példa: Adott az a, b oldalhosszúságú téglatest (3.13. ábra), melyet Fi síkbeli erőrendszer terhel. Határozzuk meg az eredőt! Adatok: a 6 m, b = 3 m; JF1j = JF3 J=2 kN; JF2 J= JF4 J=3 kN; a1 = 60°; a2
100°; a3 =45°; JM 1 J=5 kNm.
a/4 b
a/2
J
a/2
o
l b/2 x
3.13. ábra Megoldás számítással: Redukáljuk az erőrendszert a felvett .xy koordinátarendszer kezdőpontjába. Először az erők összegét számítjuk ki: }: =
.IFix = -JF Jcosa 1
1
+JF2 Jcosa 2 +JF3 J+JF4 Jcosa 3 =
=-2 cos60° + 3cos100° +2+ 3cos45° = 2,600 kN,
3.2. Síkbeli erarendszer eredoje
97
FY = }2F;Y = -IF1Isina 1 +IF2 Isina 2 -IF4 Isina 3 = = -2sín60° + 3sin100° -3sm45° =- 0,899 kN. Az
erők
összege nem zérus, így az
eredő
egy erő lesz. Ennek nagysága:
2
f = 2,751kN,
2
F = ~Fx + F/ = ~2,6 + (-0,899
-
irányszöge az x tengelyhez:
F, -O 899 ' = -19° . Fx 2,600 Még a hatásvonalának a helyét, például az x tengellyel való metszéspontját kell meghatározni. Az erőrendszer O pontra vonatkozó nyomatékának nagysága és értelme:
a = arctan-> = arctan
M 0 = M 1 - : IF1 Isina 1 +biF11cosa 1 -biF2 1cosa 2
+aiF2 Isina 2
~ IF 1 ~ IF 1sma 3
4
3
=
6 sm . 600 +_,·2 " cos 60o 3·3cos100° + = - 5 --2 4 3 +6· 3sin100°- 2 -~3sin45° = 5,327 kNm. 2 2
Fex
Tehát az O pontba redukált erőrendszer (3.14. ábra):
x
F=2,6i-0,899j (kN], M 0 = 5,327k [kNm].
3.14. ábra
Az eredő az eredeti illetve a redukált erőrendszerrel egyenértékű egyetlen Fe=Fo erő. Ennek tehát az O pontra a nyomatéka az eredeti erőrendszer O pontra vonatkoztatott M 0 nyomatékával kell egyezzen. A 3.14. ábra szerint:
amiből:
x0
_ M0 Fey
-
_ -
M0 Fy
_ -
5,327 __ ? 5, 9~ 5 m. -0,899
Ellenőrzés
szerkesztéssel: Célszerűségi okokból először az M 1 nyomatékvektort helyettesítsük egy F 3• = F 3, -F3* erő párral, a -F3• hatásvonalát az F 3 erő hatásvonalába helyezve. Ekkor az erőpár k karja (3.15. ábra):
Ay
b. 3.15. ábra
Az F 3, -F3 • erők egyensúlyi erőrendszert alkotnak, így a további számításból kiesnek. Ezzel az öt elemből álló erőrendszer négy eleművé (F 1, F 2, F 3*, F 4) csökkent. Most helyettesítsük az F 2 és F 3* erőket azok eredőjéveL A 3.15.b. ábra szennt ennek nagyságát, irányát értelmét az F 23 adja, hatásvonala pedig átmegy az F 2 és F 3* erők hatásvonalának A metszéspontján. Az erőrend szer most már csak az F 1, F 23 és F 4 erőkből áll. Az F23 és F4 erők eredőjét szerkesszük most meg. Az F 234 részeredő vektort a vektorábra megadja, hatásvonala pedig átmegy a szerkezeti ábra B pontján. Végül az F234 és F1 erők
3.2. Síkbeli
99
erőrendszer eredője
eredője
az egész erőrendszer eredőjét szolgáltatja. Ennek nagyságát, irányát és értelmét a vektorábrából olvashatjuk le:
Az eredő hatásvonalának és az x tengelynek az xo metszéspontját pedig a szerkezeti ábra adja: x 0 5,8 m.
3.3. Példa: Adott egy négy erőből álló erőrendszer (3.16. ábra). Adatok: a = 2 m, IF1 1 = 3 kN;
IF21 = 3 kN ; IF31 = 4 kN ; IF41 = 7 kN; a1 = 60 ° ; a 2 = 60 ° . Határozzuk meg az
...
x
erőrendszer eredőjét!
Megoldás számítással: Az O pontba redukáljuk az erőrendszert:
3.16. ábra
Mivel az erők összege zérus, az eredő vagy egy erőpár vagy egyensúlyi rendszer. Az erőrendszer O pontra vonatkozó nyomatéka:
M0
= -aiF1 icosa 1 -aiF2icosa 2
aiF2Isina 2 + ~ IF41=
2 =-2· 3 cos60° -2· 3cos60°- 2· 3sin60° + 7= -4,196 kNm. 2
Az erőrendszer eredője tehát egy erőpár: M 0 = -4,196 k [kNm].
erő
3. lvferev test statikája
100 Ellenőrzés
szerkesztéssel: A 3.17. b. ábra szerint
először
az F 2 és F 3 vektor
--
Fl23
k
4
A b. 3.17. ábra eredőjét
határozzuk meg, melynek hatásvonala átmegy az F2 és F3 hatásvonalainak A metszéspontján (3.17.a. ábra). Az F 23 részeredő és az F2 és F1 erő eredőjét szerkeszthetjük meg ez után. Az F123 részeredő erő azonos nagyságúra, megegyező irányúra és ellenkező értelműre adódott, mint az F 4 erő, így ezek egy erőpárt alkotnak, mely hatásvonalainak k távolsága a 3.17.a. szerkezeti ábrából: k= 0,6 m.
Így az eredő erőpár a szerkesztésből:
FELADATOK: 3.4. Egy G = 185 N súlyú hajtóműre két nyomaték hat: 11=10Nm, 2 1=5Nm.
IM
IM
Határozza meg a három elemből álló rendszer eredőjét! (d1 = 180 mm, d2 = 150 mm) x
d,
F3.4. ábra
erő
3.5. Egy lemezre síkbeli erőrendszer hat az F.3.5. ábra szerint: IF1 1=250N; IF2 1=120N; IF3 1=150N;
3.2. S'íkbeli
IM
1
1
101
erőrendszer eredője
= 12 Nm; a= 50 mm; b = l 00 mm; c = 8 mm; d= 25 mm; l= 136 mm;
35°; a 2 = 65°. Határozza meg az erőrendszer az xy koordináta-rendszerhez viszonyítva!
a1
eredőjét,
és adja azt meg
aí
x
F.3.5. ábra
3.6. Egy oszlopra (F.3.6. ábra) síkbeh erőrend szer hat·. a = 3 m ' d = 5 m·' IFl l= 3' 75 kN '· IF2 1= IF3 1= 4,25 kN;
F4x =
-3,70 kN;
F4y
d
..
1
F.3.6. ábra
= -2,38 kN. Határozza meg az
erőrendszer eredőjét!
3. 7. Egy trapéz alakú lemezre síkbeh rendszer hat az F. 3. 7. ábra szerint:
erő
IF[ l = 400 N ; IF21 = 500 N ; IF31 =700 N; IF41 =300 N; IFsl =200 N; a1
30°; a 2
b
45°;
a3 60° ; a = 450 mm; b = 350 mm; c = 250 mm. Határozza meg az erőrend szer eredőjét, és adja azt meg az xy koordináta-rendszerben!
x r-----=a----.F4 F.3. 7. ábra
L.3. További gyakorláshoz rendelkezésre áll a mellékelt lemezen lévő két programcsomag is. A harmadik menüpont szerinti, "Síkban szétszórt erőrendszer eredője" című programban különböző síkbeli testekre ható, különböző számú erők eredőjének meghatározását gya-
102
korolhatja. A program kívánságra bemutatja a megoldást szerkesztéssel és a numerikus eredményeket is megadja. Negyven különböző ábra mindegyikén ezer különböző számadattal lehetséges feladatokat kérni. L.5. Az ötödik menüpont szerinti "Síkban terhelt törtvonalú tartók támasztóerői" című program ugyancsak meghatározza a tartóra ható erőrendszer eredőjét is. Ezekben az erőrendszerekben erőpárok is szerepelnek, egyébként a harmadik menüpont szerinti eredmények ellenőrizhetők itt is. 3.2.5. SÍKBELI PÁRHUZAMOS ERÖRENDSZEREREDŐJE 3.2.5.1. Az
eredő
számítása
A síkban szétszórt erőrendszernél meghatározott módszert itt is igen egyszerűen alkalmazhatjuk. Sőt még egyszerűbben, mivel az eredő iránya párhuzamos az erőrendszert alkotó erők hatásvonalávaL Így az erőrendszer eredőjét nagyságával és hatásvonalának helyét kijelölő egyetlen koordinátával megadhatjuk y~ Legyen adott a 3.18.a. ábra szerinti n elemből álló pár.. huzamos erőrendx x szer. A célszerűen felvett koordináta3.18.a. ábra 3.18.b. ábra rendszerben az erők
alakban adhatók meg, ahol Fó,-ok előjeles mennyiségek, az erők nagyságát és értelmét adják meg. Az eredő számításához először az erők összegét határozzuk meg: n
Fe
F"j =
Fi i=!
= J~: F;y . i=!
(3.12)
3.2. Síkbeli
erőrends·zer eredője
103
Amennyiben ez zérus vektort ad, az eredő vagy egy erőpár, vagy egy egyensúlyi erőrendszer. Ezután bármely pontra kiszámítva az erőrendszer nyomatékát: 11
Mo
(3.13)
kLx;F;y' i=2
ha nulla vektort kapunk egyensúlyi erőrendszer az eredő, egyébként az így kapott Mo erőpár. Ha a (3.12) összefüggéssei zérustól különböző vektort kapunk, az eredő - az előzőekben bizonyítottak szerint - biztosan egy erő a 3.18. b. ábra szennt. Nagyságát és értelmét a (3 .12) összefüggéssei meghatározott Fe adja, iránya természetesen j irányú. A hatásvonal x0 koordinátával meghatározott helyét az erőrendszerek egyenértékűségét meghatározó másik, (3.13) összefüggésből határozhatjuk meg. Akkor egyenértékű az eredeti erőrendszer és az eredő, ha még egy tetszőleges, pl. O pontra számított nyomatékuk megegyezik, azaz
Ebből,
figyelembe véve (3.12)-t az
eredő
helye: (3.14)
3.4. Példa: Adott a 3.19. ábra szerinti erőrend szer. a = 2 m·' b = 3 m·' c = l m·' F ly = -400 N·' F2y = - 800 N; F 3y = 600 N; F4y = - 1000 N; Fsy =400 N. Határozza meg az erőrendszer eredőjét! Megoldás: A számítást táblázatos formában célszerű elvégezni.
r r rrr 1l 1
a
'l
l
l"" "'l"'"
b
l
;
i
'/
l
,c ic l "'10!111 "'l
3.19. ábra
3. lvferev test statikája
104
A táblázat alapján
F =-l 200j [N] és
:Lx;F; -1800 -===--:LF: = -12oo = l ,5 m ·
i
Fiv
[N]
xi [m]
xl'iv [Nml
l
2 ,.,
.)
4 5 22
-400 -800 600 -1000 400 -1200
o
o
2
-1600 3000 -600 0 280 0 -1800
5
6 7
3 .2. 5 .2. Kötélsokszög-szerkesztés Mint láttuk, a párhuzamos erőrendszer eredőjének számítása a síkban szétszórt erőrendszernél alkalmazottak egy speciális esete. A szerkesztésnél azonban nem lehet közvetlenül alkalmazni az ott leírt módszereket, hiszen részeredőket nem tudunk meghatározni, mivel a hatásvonalaknak a végesben nincs metszéspontjuk. Ahhoz, hogy a feladatot visszavezessük a részeredő sokszög szerkesztésre egy egyensúlyi erőrendszert adunk a vizsgált párhuzamos erőrendszerhez. Ekkor az egyenértékű erőrendszereknél kimondott tétel szerint, az erőrendszer az eredetivel egyenértékű marad. Evvel a speciális esetet általános esetté alakítjuk. (3.20. ábra). A konkrét megoldási módszert egy példa keretében mutatjuk be, majd ebbőllevonjuk az általánosítható következtetéseket. 3.5. Példa: Vizsgáljuk a 3.4. példában megadott erőrendszert! Határozzuk meg az eredőt szerkesztéssel! Megoldás: A 3.20. ábrán bemutatottak szennt kiegészítettük az eredeti erőrendszert egy Ko, -Ko erőkből álló egyensúlyi erőrendszerret Ezzel az eredő nem változik, de az erőrendszer általánossá válik. Így már képezhető a Ko és F1 erők K 1 részeredője, amit a vektorábrán megszerkesztünk és a szerkezeti ábrán a két erő hatásvonalának metszéspontjába felrajzolunk Ezek után rendre megszerkeszthetjük a K 1 és F 2 részeredőjét (K2), majd a többi részeredőt A szerkesztésnél a vektorábrát az "e" egyenes hatásvonalába rajzoltuk, tehát a részeredők végpontjai is ide mutatnak. A vektorok nagyságának és egymásutániságának a szemléltetése érdekében azonban néhány egybeeső vektort az egyenes mellé rajzoltunk be. A szerkesztést lépésről lépésre
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
105
követve láthatjuk, hogy a K 0, F 1, F2, F 3, F 4, F 5 erők összege a K 5 részeredőt szolgáltatja. A teljes erőrendszerből már csaka-K0-t nem vettük figyelembe.
e\
yt
\c ol
a m=;:Q
b
i
e
3.20. ábra
A Ks erőhöz a -Ko-t hozzáadva megkapjuk az Fe ered őt. Ez geometriailag a vektorábrán a közvetlenül megraJzolt erők összegének -Ko irányába önmagával párhuzamosan eltolt vektoraként adódik. A szerkezeti ábrán pedig a Ks és a -K0 (illetve a vele azonos hatásvonalú Ko) hatásvonalainak metszéspontjába rajzolható be az Fe eredő. Ezzel az eredő vektorát és hatásvonalát is megszerkesztettük.
* Foglaljuk össze a példamegoldás tanulságait! Először is néhány elnevezést rögzítsünk! Az egész szerkesztési eljárást kötélsokszög-szerkesztésnek nevezzük. Ez onnan ered, hogy a koncentrált erőkkel terhelt kötél egy lehetséges alakját a részeredők hatásvonalainak sokszöge adja. Ezt majd a kötél tárgyalásánál a 4. fejezetben bizonyítjuk Éppen ezért ezeket az erő hatásvonalakat kötéloldalaknak, a vektorábra Ko, K 1, ... , erőit pedig
106
3. lvferev test statikája
kötélerőknek
nevezzük. A hatásvonala az első, az utolsó erőt követő hatásvonala (esetünkben K 5) az utolsó kötéloldaL A kötélsokszögszerkesztés lépései - az előző logika alapján - a következőkben foglalhatók össze: =:). a vektorsokszög megrajzolásával megszerkesztjük az Fe eredő vektort; =:). a vektorábra mellé felveszünk egy tetszőleges C póluspontot (ezzel jelöljük ki a Ko vektort); =:). rendre az erők végpontjaihoz a pólusból megrajzoljuk a kötélerőket és jellellátjuk el azokat (Ki), de a későbbiekben K el is hagyható és csak egy számmal jelöljük a megfelelő kötélerőket és kötéloldalakat); =:). a kötélerőkkel párhuzamosan a szerkezeti ábrába megrajzoljuk a kötéloldalakat úgy, hogy a vektorábrán két erő közötti kötélerőhöz tartozó kötéloldal a szerkezeti ábrában ugyanazon két erő között helyezkedjen el, és a kötéloldalak egy szakadásmentes sokszöget alkossanak; =:). az első és utolsó kötéloldal metszéspontja kijelöli az eredő hatásvonalának egy pontját, azaz ezen át az eredő vektora megrajzolható. Amennyiben a vektorábra az első lépésben zárt vektorsokszöget alkot (tehát az erőrendszer eredője erőpár vagy egyensúlyi erőrendszer), az első és utolsó kötélerő egybeesik, így az első és utolsó kötéloldal párhuzamos vagy az is egybeesik. Vizsgáljuk meg ezt a két esetet a következő két példán! részeredő
3.6. Példa: A 3.2l.a. ábrán bemutatott erőrendszer adatai: a = l m; b= 4,1 m; F1y =5 kN; F2y =-4 kN; F3y =-6 kN; F4y =-2 kN; Fsy =7 kN. Szerkesszük meg az eredőt! Megoldás: A szerkezeti ábrába megfelelően megválasztott hosszlépték alkalmazásával megrajzoljuk az erőrendszert. Egy célszerűen megválasztott erőlépték felhasználásával megraJzoljuk a vektorábrát (3. 21. b. ábra). A vektorábra megrajzolásánál most járjunk úgy el, hogy egymást követően először egyik értelemben mutató erőket, majd az ezzel ellentétes értelmű erőket összegezzük (F2+F3+F4+F 5+F 1). A vektorok összeadásának kommutativitása miatt ez megtehető és így a vektorábra és a szerkezeti ábra is áttekinthetőbb lesz. Természetesen a vektorokat más sorrendben is összegezhetjük. A pólusból felvett kötélerők közül most az első, az F2 előtti (Ko) és az
3.2. Sikbeli
1-
a
o
Fttt! :·l \•
=i
1
8
\q
e
1 4
F,
erőrendszer eredője
. l" a•i• a• l • F,
F,
107
b
F.
•1
3.21. ábra
utolsó, az F 1 utáni (K5) egybeesik. Az előzőeknek megfelelő módon megrajzolt kötéloldalak közül a K 4 az F 5 és az F 1 erők között van, ezért az erőösz szegzés sorrendjében jobbról balra kell megrajzolni, és ezután az F 1 utáni utolsó kötéloldalt Ez természetesen párhuzamos a részeredő számításában még figyelembe nem vett -K0 hatásvonalával, azzal azonos nagyságú, de ellentétes értelmű. Ennek megfelelően az eredő a K 5 és -K0-ból álló erőpár. Ennek nagyságát az erőléptékben leolvasott Ko erő nagyságából és a szerkezeti ábrában hosszléptékben leolvasott k erőkar szorzatából számítjuk: k = 5,8 m; Ko= 4,8 kN; Me= 27,8 kNm. Az eredő nyomatékvektor iránya a rajz síkjára merőleges és kifelé mutató. 3. 7. Példa: A 3.22. ábrán bemutatott erőrendszer adatai: a= 2m; b= 3 m; c= l m·, F ly = -5 kN·, F 2y = 9 kN-, p,JY = -6 kN·, F 4y =2 kN · S7erkess-ük meg ;,:, az eredőt! Megoldás: Itt is hasonlóképpen járunk el, mint az előző példában. A kötéloldalak megrajzolásánál vigyázni kell arra, hogy például a K1-es kötéloldal az F 1 és F 3 erő hatásvonalaközött van. Az utolsó, ~ kötéloldal az F2 erő után van és egybeesik Ko kötéloldallaL Az ilyen kötélsokszöget zártnak nevezzük, mivel az első és utolsó kötéloldal egybeesik. Ez azt jelenti, hogy az utolsó, ~ részeredő, és a -Ko vektor eredője adja. Ezek pedig azonos nagyságú, ellentétes értelmű, azonos hatásvonalú erők, azaz egyensúlyi erőrendszert alkotnak. T ehát az erőrendszer egyensúlyi.
108
3. lvferev test statikája
ej
3.22. ábra
* Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy az erősokszög és a kötélsokszög egyérmeghatározza az eredőt az alábbiak szerint:
telműen
Erősokszög
nyitott zárt zárt
Kötélsokszög nyitott nyitott zárt
Eredő erő
erőpár
egyensúly
Megjegyezzük még, hogy ha egy feladatot szerkesztéssel kívánunk megoldani, a kötélsokszög-szerkesztés médszerét célszerű minden olyan esetben alkalmazni, amikor az erőrendszer hatásvonalai a raJzon nem vagy csak kis szögben metsződnek.
FELADATOK 3.8. Határozza meg számítással és szerkesztéssel az ábrán látható erőrendszer eregő_iét! Adja meg az eredőt az xy koórdináta-rendszerben!
x F.3.8. ábra
3.2. Síkbeli
erőrendszer eredője
Adatok: F 1y =-70 N; F 2y = 10 N; F 3y 3.9. Mi lesz az ábrán megadott
Yl
Adatok:
Ft\
erőrendszer eredője? F 1y = -90 N;
~~;i;~fR6~~:~t~::
109
-30 N; a= l m.
\
a
F2
+
F,
1 t •t b
F4
b
c
x
F.3.9. ábra
3.10. Határozza meg az ábrán megadott síkbeli párhuzamos erőrendszer eredőjét! Adatok: F1y = 4 kN; F2y = -4 kN; F3y = 6 kN; F 4y = -2 kN; F Sy = 8 kN-' a = l m·, b = 4 m·' c= 2,5 m.
Y!
rr r r c l
l x
c
b
r
dőjét!
-1200 N; F1y=F5y= 600 N; F3y = 1200 N; a= 2m; b=4m. F4y =
b
F,l b
""i"""
F,L
l
""l""' a.,.
lx
F.3.1J. ábra
lY l
3.12. Adott az F 3.12. ábrán megadott merev testre ható síkbeli párhuzamos erő rendszer. Határozza meg az F erő nagyságát, értelmét és helyét, hogy az erőrendszer egyensúlyban legyen! Ft Adatok: F 1y = F 4y = 3 kN; F2y = F3y = -8 kN; a= 3 m; b = 2 m.
""'l
F.3.10. ábra
3.11. Az F.3.11. ábrán az ismert Fb F2, F3, F4, Fs erőkből álló síkbeli párhuzamos erő rendszert tüntettünk fel. Határozza meg az erőrendszer ereAdatok: F2y =
l
a
b
F2
b
F3
x
x
F F. 3.12. ábra
F,
110
3. Nierev test statikája
3.2.6. VONAL MENTÉN MEGOSZLÓ ERŐRENDSZER EREDÖJE A síkbeli párhuzamos erőrendszerek másik esete a vonal mentén megoszló erőrendszer (3.23. ábra). Itt a vonal mentén az erő q [N/m] intenzitása változhat, de iránya nem. Ugyanakkor az irány az x tengellyel tetszőleges szöget is bezárhat (3. 23. b. ábra). A dx szakaszon ható erőrendszer eredője: dFq
=q( x)dx.
Úgy képzelhető el ez a párhuzax mos erőrendszer, mint a dFq koncentrált erők rendszere. Az elő zőek szerint az eredő vektora az erők összegéből határozható meg:
a.
l
Fq
=J q(x)dx,
(3.15)
o
x ahol
q(x)= iq(x )cosa + jq(x )sina. Az eredő hatásvonalának helye pedig az O pontra számított nyomatékok azonosságából adódik. A megoszló erőrendszer dFq = id.Fqx + jd.Fqy 3.23. a'b ra
elemének nyomatéka az O pontra:
dM 0
= kxd.Fqy .
Az erőrendszer nyomatéka a nyomatékok összegzésébőL l
J
M 0 = k xq(x )sina dx. o
Az
eredő
F q erő nyomatéka pedig
lll
Az azonosságból az
eredő
hatásvonalának helye: l
x
Jxq(x )sina dx =....::.ú_ _ _ __
o
Fqy
(3.16)
Néhány speciális esetre elvégezve az integrálást az eredményeket a túloldali táblázatban foglaltuk össze. Megjegyezzük, hogy sokszor célszerű a terhelési :fuggvényt részekre bontani és ezek eredőjét meghatározni. Ezt tettük a harmadik (nem origón átmenő egyenes) és a hatodik (nem x tengellyel párhuzamos érintőjű parabola) esetben. ~~ 3.8. Példa: A 3.24. ábra szerinti rúdo nak modellezett b szélességű zsilipka\J pura két oldalról más-más vízmagas~ ságból adódó terhelés működik. Adap \J tok: l= 1,5 m; h 1 = l m; h 2 = 0,8 m; l b= 1,5 m, p= 103 kg/m3 . Határozzuk p hl meg a zsilipkapura ható víznyomásból h, adódó erők eredőjét! A p.,.. Megoldás: A hidrosztatikus nyo:0 más 3.24. ábra
3. lvferev test statikája
112 1
Fq
terhelési függvény
.. .
y'
F,il q.t l
l !
!
x
-r
x.
lom l
-qol
xo l -
2
i
l
'!~
qo_l __ x
x.
2! -
2
3
ql
l x=l
l
!
l
F,~
YA
~ F~i ~!~ tq, ~l
~x,
!
Y
!:i l
l
i
l
r "'l
! ll
_ _l_
x _
J
--*'
l
x.
2 q l _L
3
2!
x2 = -
2
qo_l __ x
3
3
3! 4
l
l
l
y
l
J
l~tq.:F ~
_2q _o_l
q
x
~
3
3! 8
l l
l
F~~
q,t
\t~?! q.! F,,
x,
l t
qo_. l __ 2 ' 2q/ 3
x, l
2! x2 = -
3 '
l x=l 2
3.2. Síkbeli
erőrendszer
113
ahol Y i a vízfelszíntől mért fuggőleges koordináta (3. 25. ábra). Ezen koordináta menti, egységnyi hosszra vonatkozó, vonal mentén megoszló terhelést a "b" kapuszélességgel való szorzással kapjuk:
Az egyes megoszló terhelések ábra):
hatásvonaluk távolsága az x
Ys2
Az
h?
0,8 3
--=-m
3
eredőjének
tengelytől
nagysága (lásd táblázat és 3.25.
pedig:
.
erőrendszer eredőj ének
nagysága:
Fe= Fql- Fq 2 = 2648,7 N. Támadáspontjának Ye távolsága az x tengelytől a nyomatékok azonosságábóL
x 3.25. ábra
114
3. Merev test statikája
Ye
= 0,334 ·7 357,5-0,267 · 4708,8 = 0 452 m. 2648 ,7
'
3.9. Példa: A 3.26. ábrán bemutatott OA prizmatik:us tartóhoz egy téglalap alapú, homogén anyagú, p sűrűségű gúlát rögzítettek a h hossz mentén. A gúla önsúlyát (pl. vízzel telt edény) mint terhelést az OA tartó hordozza. y
x
b.
3.26. ábra
Határozzuk meg a tartóra ható vonal menti terhelés függvényét és eredőjét! Megoldás: A 3.26.b. ábrán bemutatott test dx hosszúságú elemi darabja önsúlyának nagysága:
dG = pg(rydx . A ?; és 1] hasonló háromszögekből könnyen felírható
h-x
(=a-h-;
h-x
ry=b--. h
Ezeket a dG-be helyettesítve: ab (h-x )2 dx. dG= pgh2
(3.17)
3. 3. Síkbeli
erőrendszer
egyensúlya
115
Az x tengely mentén értelmezett, vonal mentén megoszló terhelés intenzitása
az egységnyi hosszra jutó
erő:
dF (h-x) q(x)=-G =pgab dx h2 Ezzel az
első
2
(3 .18)
kérdésre választ kaptunk. Ez egy parabola egyenlete, melynek
x=h helyen van szélső értéke (3.27.). Ezzel a teljes súly a parabola alatti te-
rület vagy másképpen a (3.17) integrálja, azaz az elemi h-ig. Elvégezve az integrálást
erők
összege nullától
q
l G=- pgabh. = mg,
3
Az eredő hatásvonalának helye pedig az előzőekben leírtak szerint határozható meg, vagy a táblázati adatot figyelembe véve (3.27. ábra):
3.3. Síkbeli
x
h/4
h 3.27. ábra
erőrendszer
egyensúlya
A statika elsődleges célja - mint tudjuk - a nyugalomban lévő testek vizsgálata. A statika alaptétele szerint a nyugalomban lévő testekre ható erőrend szerek kielégítik a (3. 6) (3. 7) egyensúlyi egyenleteket. Síkbeli erőrendszer esetén ezek összesen három skalár egyenletnek felelnek meg:
"
IFix =O, i= l
n
'\:"'p =0 .,L.; i= l
iy
(3.19)
' i=l
miután a síkbeli erőrendszer nyomatéka mindig a síkra merőleges, ezért a nyomatéki egyenlet egy A ponton átmenő, síkra merőleges tengelyre vonat-
3. Nierev test
116
kozó nyomatdei skaláregyenletté egyszerűsödik. Ezek felhasználásával tudjuk vtzsgálm a testekre ható erőrendszer egyensúlyát. Mielőtt azonban erre rátérnénk azt elemezzük, hogy egy merev test nyugalmát hogyan tudjuk biztosítaní. Természetesen itt a test nyugalmát valamiféle - a műszaki gyakorlatban a Földhöz kötött- koordináta-rendszerhez viszonyítva értelmezzük Nyugvó környezetnek pedig a Földet nevezzük.
3.3.1. STATIKAILAG HATÁROZOTT MEGTÁMASZTÁS LEHETSÉGES ESETEl Az 1.1.3.2. pontban megismertük az ideális kényszereket Az 1.2.2. pontban
pedig a testek szabadságfokát definiáltuk. Később az 1.2.4. pontban az erőt, majd az erőpárt (3 .l. és 3.2 .2.) is meghatároztuk. A következőkben ezeket együtt vizsgáljuk, és határozzuk meg, hogy az egyes ideális kényszerek hány szabadságfcket kötnek le és milyen erőhatások jönnek létre hatásukra! A görgős vagy stma támasz és az egyrudas vagy kötéllel való megtámasztás egyetlen irányú elmozdulást akadályoz meg, azaz egy szabadságfoket köt le. Ennek megfelelően abban az irányban, melyben az elmozdulást a kényszer akadályozza kölcsönhatás jön létre a test és a környezet között, azaz ilyen irányú erő hat a testre (3.28.a. ábra). A csukló síkban két-, térben háromirányú elmozdulást akadályoz, azaz két illetve három szabadságfcket köt le. A csukló minden irányú elmozdulást megakadályoz, azaz itt egy a csuklóponton átmenő, tetszőleges irányú erő keletkezik. Ezt síkban két, térben három koordinátájával adhatjuk meg (3.28.b. ábra). A befogás minden irányú elmozdulást és minden irányú elfordulást megakadályoz, azaz síkban
y~
~ ~
4 '
/t1Y
FTAr \A
x
F..,_" MAr
F,~y
x
F,~y
l ~F" 'L_ A
y&
~x
--
z
x
Ay
a.
b. 3.28. ábra
c.
F,~y
3.3. Síkbeli
erőrendszer
117
egyensúlya
három, térben hat szabadságfokot köt le. Ennek megfelelően egy, az elmozdulást akadályozó erő és egy, az elfordulást akadályozó erőpár hat a testre (3.28.c. ábra). Összefoglalva a különböző ideális kényszerekkel leköthető szabadságfokok száma: Görgős
támasz
Kényszer Lekötött szabadságfok Ismeretlen erőkomponens száma
Síkban Térben Síkban Térben
Egyrudas l l l l
Csukló
Befogás
2 .) '"' 2
3 6
,..,
.)
,..,
.)
6
Értelmezzük tehát a test szabadságfokát és a kényszerekkellekötött szabadságfokok számát.
/Definíció: Statikailag határozott megtámasztású az a test, mely kényszerekkel úgy van a környezetéhez kötve, hogy a kényszerekkel lekötött "nk'' szabadságfokok száma megegyezik a test "s" szabadságfokainak számával: és a test tetszó1eges erőrendszer hatására nyugalomban marad. A nyugalom feltétele: Az nk
= s fennállta esetén is csak akkor statikailag határozott megtámasztású a test, ha a kényszerek a test különböző elmozdulási lehetőségeit kötik le. Például ugyanazon írányú elmozdulást, elfordulást csak egyetlen kényszer köt le. Ekkor egyértelműen meghatározott a merev test helyzete, az "elmozdulás szabadsága zérus". Amennyiben s > nk labilis megtámasztású, ha pedig nk > s statikailag határozatlan megtámasztású merev testről beszélünk. A megtámasztás statikm határozatlansági foka: n = nk - s. A következőkben csak statikailag határozott támasztású testekkel foglalkozunk. Vizsgáljuk meg, hogy egy síkbeli merev test esetén hogy lehet statikailag határozott megtámasztást bíztosítani. A merev test szabadságfokainak száma síkban három, tehát a kényszerekkel három szabadságfokot kell lekötni. Erre három lehetőség van (3.29. ábra):
3. i\!Jerev test statikája
118
=> Befogott tartó (egy három szabadságfokot lekötő befogás).
=> Kéttároaszú tartó (egy csukló + egy
görgős, sima vagy egyrudas támasz). Feltétel: Az egyrudas támasz iránya nem mehet át a csuklón, m1vel a támasz a test csuklóval már meghatározott pontjának elmozdulását akadályozná meg. => Háromrudas támasztású tartó (három, egy szabadságfokot lekötő kényszer). Feltétel: Az egyrudas támaszok hatásvonalai nem metsződhetnek egy pontban sem a végesben, sem a végtelenben. Magyarázata hasonló az előzőhöz. Az ábrákon mindenhol egyetlen rudat rajzoltunk merev testként, de természetesen bármilyen alakú merevnek madeilezhető test vagy szerkezet is lehet a rúd helyett, ez a további módszerek alkalmazhatóságát nem módosítja.
FELADAT 3.13. Állapítsa meg a felrajzolt tartókról, hogy statikailag határozottak, határozatianak vagy labilisak! Mely tartók támasztóerő-rendszere határozható meg egyértelműen statikai módszerekkel? a.
b.
c.
d.
e.
F.3.13. ábra
3.3.2. KÉNYSZERERŐ-RENDSZER MEGHATÁROZÁSA
A kényszereknél keletkező erőrendszert támasztó- vagy kényszererő-rend szernek nevezzük. Hogy ezeket egy-egy test esetén megkülönböztessük a
3.3. Síkbeli
erőrendszer
119
terhelő erőrendszertől
a kényszert is meghagyva raJzoljuk be a kényszererő rendszert (3.29. ábra), bár a kényszererő a kényszer hatását helyettesítő erő. Ezek meghatározásának módszereivel foglalkozunk a továbbiakban.
c
3.29. ábra
Az előző pontban közölt táblázatból látszik, hogy az ismeretlen erő komponensek száma megegyezik a lekötött szabadságfokok számávaL Statikailag határozott megtámasztás esetén pedig a test szabadságfokainak számával egyező ismeretlen kényszererő-komponens keletkezik. Ezek az ismeretlenek a 3.29. ábrán berajzolt, adott irányú erők és nyomaték. A statikailag határozott támasztású merev test nyugalomban van, tehát a rá ható erőrendszer egyensúlyi. Így az erőrendszerre fennállnak az egyensúlyi egyenletek. Síkbeli erőrendszerre a (3.19) szerint három egymástól fuggetlen skalár egyensúlyi egyenlet írható fel. Ebből a három ismeretlen meghatározható. A továbbiakban példákon és gyakorlófeladatokon keresztül mutatjuk be a három esetben alkalmazható módszereket. 3. 3. 2. l. Kétlámaszú tartó Számítás esetén az egyensúlyi egyenleteket úgy célszerű felírm, hogy lehető séghez viszonyítva ne egy háromismeretlenes egyenletrendszert, hanem három egyismeretlenes egyenletet oldhassunk meg. Ennek megfelelően sokszor vezet jó eredményre, ha először két ismeretlen erő vagy erőkoordináta metszéspontján átmenő, síkra merőleges tengelyre írjuk fel a nyomatéki egyenletet Utána pedig két vetületi egyenletből külön-külön a másik két ismeretlen is meghatározható.
120
3.10.
·Határozzuk meg a 3.30.a. ábrán látható kétlámaszú tartó táAdatok: l = 3 m; a = 1,2 m; b = 1,5 m; c = 2 m; /1 = l m; h = 1,2 m; F1 kN; qly = -1 kN/m; qzy = -1,5 kN/m; f2 = 3,5 kN; a2~ = 60°; Mo =2 k.Nm. Megoldás: Minden dinamikai feladatot úgy kell kezdeni, hogy felraJzolJUk a szerkezetre ható összes erőt. Esetünkben (3.30.b. ábra) az A csuklóba masztóerő-rendszerét!
! :Ji'
M.
o
F,
q,
l
. i:
/l
l
a
ll
.. l
b
l
"l
c
Fx~
.l
t !
l
[2
x
FBy ~~~
b.
.
h,l
:IG
3.30. ábra
pozitív x és y irányba a támasztóerő két ismeretlen koordínátáját és a B görgős támasznál az y írányú FB támasztóerő t. Ezután a megoszló erőrendszerek részeredőjét számítjuk ki: Fq 1 =a·q1 =1,2·1=1,2 kN, l 2 - -
Fq, =-l, q, -
= 2l 1,2 ·1,5 = 0,9 kN,
a 2
h=-=06m
"l
l 3
'
'
h,=-l=04m
-
'
.
Most már a két ismeretlen erőkoordináta metszéspontján az A ponton átmenő, a sikra merőleges tengelyre felírhatunk egy nyomatéki egyen/etet:
3.3. Síkbeli
erőrendszer
Az Mo nyomatékvektor szabad vektor, így közvetlenül számításba nyomatéki egyenletben, melyből az Fs kifejezhető:
= +[0,6·1,2 -1· 3-2
121 vehető
a
2· 3,5sin60° +(3+ 0,4)o,9] = -2,43 kN .
.)
Itt az eredményben a negatív előjel azt jelenti, hogy a B pontban keletkező támasztóerő, melynek a megtámasztás milyensége miatt csak y irányú koordinátája van, -y értelmű. Most felírva az y 1rányú vetületi egyenletet
az FA támasztóerő y irányú koordinátája számítható:
=3+ 1,2- 3,5sin60°
(-2, 43)+ 0,9 = 4,5 kN.
Az Fs-t mint erőkoordinátát - mely előjeles mennyiség -pozitív előjellel szerepeltettük, így a számszerű helyettesítéskor nagyság és értelem szerinti értékét vettük figyelembe. Figyelem!: az előjeleket csak egyszer vegyük tekintetbe! Végül az x irányú vetületi egyenletbőL
FAx= -3,5cos60° = -1,75 kN.
* Amennyiben a tartó támasztóerő-rendszerét szerkesztéssel akarjuk meghatározni, kétféle módszert alkalmazhatunk. Ha viszonylag kevés erőből ·álló, síkban szétszórt erőrendszer alkotja a tartó terhelését először meghatározzuk ennek az eredőjét, majd három erő egyensúlyának feltételéből a támasztóerő rendszert. Nézzünk erre egy konkrét példát!
3. Alerev test statikája
122
3.11. Példa: Határozzuk meg a 3.3l.a. ábrán bernutatott tartó kényszererő rendszerét szerkesztéssel! Adatok: l= 3,6 rn; 11 = 1,7 rn; h= 2m; F 1 =500 N; F 2 = 170 N; a= 65°; fJ= 40°. p
a. 3.31. ábra
Megoldás: az F 1 és F 2 hatásvonalának P metszéspontjába megrajzoljuk a két erő 3.3l.b. ábrán megszerkesztett vektorösszegét (Fe). Ez lesz a tartót terhelő erőrendszer eredője. Most már csak ez, és a két támasznál keletkező két erő hat a tartóra, mely egyensúlyi erőrendszert alkot. Ez a három erő akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik egy pontban metsződnek. Ezért az ismert hatásvonalú Fe és a görgős támasztásnál ismét csak ismert hatásvonalú FA erők hatásvonalainak metszéspontján kell átmenjen a harmadik, B pontban keletkező FB támasztóerő hatásvonala (CB egyenes). Az Fe ismert erőt (3.3l.b. ábra) kell kíegyensúlyozní a két ismert hatásvonalú (AC és BC írányú) erővel, megrajzolva a zárt vektorháromszöget a támasztóerők iránya és nagysága a szerkesztésbőlleolvasható: FA= 250 N, FB =350 N, 5= 15°.
* Ha szerkesztéssel akarunk eredményt elérni és a terhelő erőrendszer közel párhuzamos erőkből áll, akkor a kötélsokszög-szerkesztés visz eredményre. A terhelő- és a kényszererő-rendszer együtt egyensúlyi erőrendszert alkot. Ilyen erőrendszerre viszont a 3.2.5. pont alapján tudjuk, hogy az erősokszög és a kötélsokszög is zárt kell legyen. Ezt használjuk ki a szerkesztésnél. 3.12. Példa: Szerkesszük meg a 3.30.a. ábrán bemutatott tartó a 3.10. példában már kiszámított támasztóerő-rendszerét!
3.3. Síkbeli
erőrendszer
egyensúlya
123
lvfegoldás: Itt is először az erőrendszert kell az eredetivel egyenértékű erőrendszerré átalakítani úgy, hogy a kötélsokszög-szerkesztés alkalmazható legyen. A megoszló eről
i
Fq2
l F,
a. b. 3.32 ábra rendszerek eredőjét már meghatároztuk, induljunk ki ezért ebből az állapotból (3.32.a. ábra). Másodík lépésben a koncentrált nyomatékot célszerű egy erőpárral helyettesíteni. Az erőpárt - a már korábban is alkalmazott módon - egy már szereplő erővel azonos nagyságú és irányú erőkből képezzük. Esetünkben pl. Mo = hFq2· Az Fq2 terhelés hatásvonalában vesszük fel a -Fq2 -t (szaggatott vonal), és a nyomatékvektor forgatási értelmének megfelelően (most pozitív) tőle h távolságra a Fq2 vektort. Így az l\10 nyomatékvektort szaggatottan rajzolt erőpárral helyettesítettük A -Fq2 és az eredeti terhelés Fq2 erővekto rának eredője null vektor (egyensúlyi erőrendszer). Az erőrendszerünk most már csak az F1, F2, Fql és az eltolt hatásvonalú (szaggatottal rajzolt) Fq2 erőkből áll. Ezt kell az A ponton átmenő és a B pontban ismert hatásvonalú támasztóerő-rendszerrel kiegyensúlyozni. Az erőösszegzés sorrendjét úgy választjuk meg, hogy az utolsó kettő legyen a két ismeretlen erő. Esetünkben:
összegzés alapján képezzük a vektorsokszöget. Első lépésben ennek első négy tagját összegezhetjük és megrajzolhatjuk hozzá a kötélsokszöget (Ko, K1, K2, K3, ~). A Ko, :F1 előtti kötéloldalt úgy kezdjük megrajzolni, hogy ennek hatásvonala átmenjen az A ponton, mert az ismeretlen FA támasztóerő is átmegy ezen a ponton. Így megrajzolva a 3.2.5.-ben tanultak szerint a kötéloldalakat, az utolsó (F2) erő utáni kötéloldalt meghosszabbítjuk az FB erő ismert hatásvonaláig. Ez lesz az F2 és l?B erők közötti kötéloldal. Ezt követi valahol az l?A és FB erők közötti majd az FA utáni kötéloldaL Azt tudjuk, hogy az FA utáni, azaz az utolsó kötéloldal egybe kell essen az elsővel, a Ko-lal, azaz át kell menjen az A ponton és Ko irányú kelllegyen (AC1 egyenese, azaz K7). Az FA és FB közötti kötéloldal nem lehet más, mü1t az A Cs egyenese, hiszen az FB előtti kötéloldal Cs-ben metszi az FB
124
hatásvonalát (Ezért vezettük át az első kötéloldalt az A ponton). A most már ismertté vált kötéloldalt kötélerőként berajzoljuk a vektorábrába, ez kimetszi az FB hatásvonalából az FB végpontját. Ezt összekötve az Fr kezdőpontjával a vektorábrát záró FA erővektort kapjuk. Nagyságuk és irányuk leolvasható: Fsy = -2,3 kN; FAy = 4,45 kN, FAx= -1,8 kN. Összevetve a számított értékekkel jó egyezés mutatkozik.
* A kéttámaszú tartók kényszererő-rendszerének számításával kapcsolatban meg kívánjuk jegyezni, hogy a bemutatott módszerek nem csak egyenes középvonalú tartók esetén, hanem tetszőleges alakú, egy csuklóval és egy egy szabadságfokot lekötő másik kényszerrel meghatározott tartókra is igazak. FELADATOK 3.14. Határozza meg az ábrán látható tartó támasztóerő-rendszerét!
Adatok: F = 20 N; M = 100 Nm; a b= 0,5 m. F b
A F.3.14. ábra
=
1,5 m;
L4. A tankönyvhöz mellékelt lemez negyedik programcsomagja kéttámaszú egyenes tartók támasztóerő-rendszerének számításához is ad gyakorlási lehetőséget száznyolcvan kiválasztható alakú és terhelésű tartón. A számadatok minden feladathoz ezer választási lehetőséget adnak.
LS. A tankönyvhöz mellékelt lemez ötödik programcsomagja, mely a menüből kiválasztható, százötven különböző, tört középvonalú kéttámaszú tartó ezerféle számvariációval megadott feladatát tartalmazza. Ez gyakorlási lehetőséget ad a támasztóerő-rendszer számítással és szerkesztéssel történő megoldásához is'. A számított eredményeket, de a terhelő erőrendszer eredőjének szerkesztését és a támasztóerő-rendszer szerkesztését is tartalmazza a megoldási rész valamennyi feladathoz. L9. A tankönyvhöz mellékelt lemez kilencedikprogramcsomagjaa támasztóerő-rendszer kötélsokszöggel történő szerkesztéséhez ad gyakorlási lehetőséget.
3.3. Síkbeli
erőrendszer
egyensúlya
125
3.15. Szerkessze meg az F.3.15. ábrán látható kéttámaszú tartó kényszererő-rendszerét!
Adatok: q = 100 N/m; F = 150 N; a=2 m; b= lm.
a
l
i""
3.16. Határozza meg az ábrán láthaF3.15. ábra tó tartó támasztóerőit! Adatok: F =200 N; q= 100 N/m; a= 1,5 m; b= 2m. ~y
x
\"'
a
1
l""
F3.16. ábra
a l a i a ! a .. i'"' "'l"' .. i .. F3.17. ábra
3.17. Határozza meg a vázolt törtvonalú tartó kényszererő-rendszerét kötélsokszög-szerkesztéssel! Adatok: a= l m; F 1 = l kN; F 2 = 1,2 kN; a= 60°. 3.3 .2.2. Befogott tartó A kényszererő-rendszer számítása az előzőekben követett elvek alapján lehetséges. Szerkesztéssel való megoldásnál a kötélsokszög-szerkesztés módszerét szaktuk alkalmazni. Ilyenkor a terheléssei és a támasztóerővel a befogásnál lévő nyomaték tart egyensúlyt. Ennek megfelelően a támasztóerőből és a terhelésből álló erőrendszer eredője egy erőpár, azaz a vektorsokszög zárt, a kötélsokszög nyitott kell legyen. Ezen meggondolás alapján végezhető el a szerkesztés, melyet egy példán mutatunk be.
3.13. Példa: Határozzuk meg a 3.33.a. ábrán vázolt befogott tartó támasztóerő-rendszerét számítással és szerkesztéssel! Adatok: F 1 = 150 N; Fz =250 N; a= 60°; q= 100 N/m; a= l,4 m; b= 3,8 m; c= 2m. Megoldás: Először a tartóra felraJzoljuk az összes erőt, mely egyensúlyi erőrendszert alkot (3.33.b. ábra): Fq = cq =2· 100 =200 N, és bejelöljük az FA és MA komponenseit. Az A ponton átmenő, az erőrendszer síkjára merő leges tengelyre felírt nyomatéki egyenlet:
126
3. Merev test statikája
Erőmérték: 1--1
a.
Hosszmérték:
1--1
3.33. ábra
~ M = O= M LJ ia Ebből
A
!:_)p .
-aFl - 2aF2 sin 60° -(b+ 2
q
a támasztónyomaték
MA = aF; + 2aF2 sin 60° + (b+ ; )Fq =
= 1,4 ·150+ 2·1,4 ·250· sin60° + (3,8+ 1)200 = 1776 Nm. Az y irányú vetületi
egyenletből:
~ LJ Fiy = O = FAy - Fl - F2 sin 60° - Fq ,
FAy = Fl + F2 sin60o + Fq = 150+ 250sin60° +200= 566,5 N.
3.3. Síkbeli
erőrendszer
egyensúlya
127
Az x irányú vetületi egyenletbőL
Ezzel a támasztóerő-rendszert kiszámítottuk Most szerkesszük 1s meg (3.33.b.c. ábrák)! A
egyensúlyi egyenlet teljesül az erővektorok összegzésével (3.33.c. ábra), amiből az FA támasztóerő közvetlenül adódik. A vektorsokszögbőL FA= 580 N; aA = 78°. Ezt közvetlenül visszaraJzolhatjuk a befogáshoz. Az erősokszöghöz a kötélerők is megrajzolhaták A Ko első kötélerőt célszerű adott nagyságúra (esetünkben Ko= 500 N) és tetszőleges irányúra választani. Az F 1, első erő előtti kötéloldalt megmt az A ponton vezetjük át. Így a kötélsokszög megrajzolható. Az utolsó, K4 kötéloldal -a zárt vektorsokszög miatt - párhuzamos lesz az előzőveL Így az eredő a -Ko és a ~ erőpár lesz (lásd 3.1.5. pont). Ezzel kell egyensúlyt tartson a támasztónyomaték a
egyensúlyi egyenlet alapján. A k a hosszlépték alapJán a vasható: k = 3,6 m. Így a támasztónyomaték
szerkesztésből
leol-
MA= 3,6·500= 1800 Nm, ami jó egyezést mutat a számított eredménnyel.
FELADATOK L4. A mellékelt lemez negyedik programcsamagja befogott tartók támasztóerő-rendszerét is megadja. A feladatot gyakorlásképpen számítással és szerkesztéssel is meg lehet oldam és a kapott eredményeket ellenőrizni.
128
3. Aiferev test
3.18. befogott törtvonalú tartót az F. 3.18. ábra szerint három erő terheli.
' i
1-
a
• ""
b
.. ""'
b
1
HO=!
x
Adatok: F 1 = 2 kN; F2 = 4 kN; F3 = 2,5 kN; a = 75°; a = l m; b= 1,5 m; c= 1,2 m. Határozza meg szerkesztéssel a támasztóerő rendszert!
F.3.18. ábra
3.3.2.3. Háromrudas megtámasztás Ez a síkbeli erőrendszerrel terhelt merev test harmadik statikailag határozott megtámasztási módja (3.29.c. ábra). Ilyenkor a terhelő erőrendszert három, adott hatásvonalú erővel kell kiegyensúlyozni. Azaz a támasztóerők iránya ismert, nagyságukat kell meghatározni. Ez három ismeretlent jelent, amit a síkbeli erőrendszerre vonatkozó három egymástól fuggetlen egyensúlyi egyenletből meghatározhatunk Ez általánosságban egy háromismeretlenes egyenlethez vezet. Az egyszerűbb munka érdekében a számítás és szerkesztés néhány fogásával ismerkedünk meg a továbbiakban példák keretében. a., Számítási módszerek (Ritter-számítás, általános eset) Már a korábbiakban olyan ponton átmenő tengelyre írtunk fel elsőként nyomatéki egyenletet, mely ponton átment két ismeretlen erő vagy erőkompo nens hatásvonala. Ez kéttámaszú tartó esetén a csuklópont volt. Most is így járunk el. Az ismeretlen támasztóerők hatásvonalm Ismertek. Kettő metszéspontJán átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyenletből a harmadik erő nagysága és értelme számítható. A két hatásvonal metszéspontját főpontnak nevezzük. A lehetséges három főpontra felírt nyomatéki egyenletből a három ismeretlen számítható. (Ritter-módszer). A háromrudas megtámasztás a támasztóerő szempontjából tulajdonképpen kéttámaszú tartóként is modellezhető, hiszen két rúd metszéspontját egy fiktív csuklónak tekinthetjük. Így a háromrudas támasztású tartó modellezhető egy fiktív csuklóval és egy egyrudas kényszerrel megtámasztott tartóként fordítva IS igaz. Egy kéttámaszú tartó csuklópontját helyettesíteni lehet két, a csuklóponton átmenő egyrudas tárnasszaL Ez a megállapítás a megtámasztások modellezése szempontjából lehet fontos. Néhány példát a 3. 34.
3.3. Síkbeli
erőrendszer
egyensúlya
129
ábra mutat be. Megjegyezzük, hogy ezt a módszert akkor célszerű alkalmazni, ha a főpontok koordinátáit egyszerűen lehet számítani. Ha nem, akkor lehet, hogy egy három- vagy kétismeretlenes egyenletből való számítás gyor-
~:
sabban vezet eredményre. Mindkét esetre mutatunk példát a továbbiakban.
z
·
~ /
,
3.14. Példa: A nyugalomban lévő G = 120 N súlyú lemezt az A és a B pontjaiban a lemez síkjá3.34. ábra ra merőleges síkok, a D pontjában pedig a lemez síkjára merőleges sima hengerfelszín támasztja (3.35.a. ábra). Adatok: a 400 mm; b= 250 mm; a= 30°. Határozzuk meg számítással a támasztóerőket!
p y
B
h,
h2
a.
b. 3.35. ábra
\
Megoldás: A sima felületeken történő feltámaszkodás Iniatt az A pontban x, a B pontban y és a D pontban 11 ismert irányú támasztóerők keletkeznek (3. 35. b. ábra). Az G súlyerőt tehát a három, ismert hatásvonalú FA, FB, Fn erőkkel kell kiegyensúlyozni. A súlyerő hatásvonalának Xs távolsága az y tengelytőL
xs
=__!_(~ +~) 2
_!_(bsina+acosa)
2
130
3. Aferev test statikája
--------------------------------~---------------------
Az FD számításához a főpont az FA és FB erők hatásvonalainak cl IDetszéspontjában van. Ennek koordinátája a !;rt lokális koordináta-rendszerben: ~c= h1 cosa =b sina cosa = 250sin30° cos30° = 108,25 mm.
A C1
főponton átmenő
tengelyre felírt nyomatéki egyenlet:
Ebből
FD=Xs-h,G= 235,7-125120=455N a -~c
400-108,25
'
·
c2
A továbbiakban meg lehetne keresni a főpontot az FD és FA erők hatásvonalainak metszéspontjában, és a felírt nyomatéki egyenletből számítani FB-t, és így tovább. Egyszerűbb azonban vetületi egyenletekből számítani a további két erőt. F;y = O= FB -G+ FD cos a ,
L
FB =G -FD cosa = 120-45,5cos30° = 80,6 N, I.,Fix =O= FA -FDsma, FA= FD sina= 45,5sin30o = 22,8 N. 3.15. Példa: Egy hidraulikus emelőszerkezet vázlatát mutatja a 3.36. ábra. A 4 jelű hidraulika hosszának változtatásávallehet a terhet hordó 3 jelű lemez H magasságát beállítani. Határozzuk meg a lábak a szöghelyzetének fuggvényében a lábakban és a hidraulikában keletkező erőket! Adottak: G, l, d, d 1, a. Megoldás: l. Modellalkotás: Ez a feladat már egy valóságos szerkezet vizsgálata. Mégis Itt - a merev test statíkájánál - tárgyalható, hiszen egyetlen merev test háromrudas megtámasztásaként modellezhető. Az l és 2 jelű l hosszúságú lábakból darabonként kettő van (b. ábra), de mivel a szerkezet és a terhelés is sz1mmetrikus, síkbeli modellt alkothatunk Ezt a c. ábra mutatja.
erőrendszer
3.3. Síkbeli
131
egy háromrudas támasztású tartó, ahol az F & FB, Fc meghatározni. Az erők iránya rúdirányú.
erők
nagyságát kell
G
b.
a.
c.
3.36. ábra
2. Geometriai vizsgálat: A rudak adott H helyzethez tartozó szögét az x Irányhoz a szerkezetre jellemző adatokból határozhatjuk meg:
.
sma=
Az AOD háromszögre vonatkozó
H l
szinusztételből
a hidraulika h hossza:
h= 1sina
sin~·
Az a változtatásával a szerkezetre jellemző d távolság nem változik, ez az AOD
háromszögbőL
d =h cos~ +l cos a . Helyettesítve a h-ra kapott kifejezést és bevezetve a szerkezetre jellemző /L= d l l viszonyszámot, a j3 szög értéke az a fuggvényében kifejezhető: R
ctgf-l
=
'A-cosa . sma
.
A tngonometrikus fuggvények közötti kapcsolat Ismeretében a séges sin/3 és cos/3 értéke is felírható az a fuggvényében:
később
szük-
132
R COStJ =
'A -cosa 2
.JI+ /..
-
.
sina
. R
Slnp =
2/..cosa '
.JI+ /..
2
-
.
2/..cosa
3. Erők számítása: Itt is eljárhatunk az előző példához hasonló módon és megkereshetjük a főpontokat. Ezek koordinátáinak meghatározásához azonban további geometriai számítások szükségesek. Lehet, hogy most egyszerűbb úgy eljárni, hogy közvetlenül felhjuk a három egyensúlyi egyenletet:
I
Fix = O= - Fs cos a +FA cos~ -Fc cos a ,
FA, FB, Fc-re kapott háromismeretlenes egyenletrendszert megoldva, részletezés nélkül:
!!_J
FB_-
G (A- cosa + ' 2sina A d1
Fc=
G ('A-cosa 2sina A
a
d1
J ·
Ezzel a feladatot megoldottuk 4. Eredmények elemzése: a kapott összefüggések lehetőséget adnak egyrészt arra, hogy egy konkrét szögértékhez, vagy H magassághoz és terheléshez meghatározzuk a támasztóerők számszerű értékét Ennél azonban sokkal többet is mondanak az eredmények! => A teher helyzetének hatása: A hidraulikában keletkező FA erő független a teher emelőlapon való elhelyezésétől (a-tól). A lábak pedig akkor vannak egyenlően terhelve, ha a= O, azaz a teher szimmetrikus elhelyezése esetén.
3.3. S'íkbeli
erőrendszer
133
=>
lábak és a hidraulika terhelése: A terhet nem lehet sz1mmetrikusan elhelyezm. Tételezzük fel, hogy a hiba 5 a;d1 O, l, azaz a d 1 távolság tizedrésze pontossággal helyezhető el a teher. Egy szokásos konstrukciói vízsgáljunk, amikor }c= 1,2. Ezen adatok mellet a támasztóerők és a terhelő erő nagyságának a hányadosát (FA/G; f"Bil·"G; Fc/G) ábrázoljuk az a :fuggvényében (3.37. ábra). Ebből több következtetés IS levonható. Ezek közül a leglényegesebbek: Az a ~ 20° értéknél egyezik meg a hidraulikában keletkező erő az emelőszerkezet terhelésével (FA~ G). Megítélhető a szimmetrikus terhelés hibájának a hatása a lábak terhelésének különbségére. A lábak legkisebb terhelése a = 20° ~ 40° 1•4 ...,.-."-----.,--,-~-..----,--.,..--,----, közötti tartományban van 1,2 H--i\---t--t--+-+--+--t--+-----1 (pontosan számítható). 1,0 => A konstrukció: A lábak 08 terhelésének mmimumát ' · l~--',1---1-\:---r---+--+r--+"""""'+--r--ic-----1 0,6 vizsgálhatjuk a /l, azaz a konstrukció :fuggvényében a támasztóerőkre kapott 0,2 --i""'---'~'-~-+-+--+----'~-i össze:fuggésekből. Ez a i arJ vizsgálat meghaladja a o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 tárgy kereteit. Ezzel a példával is rá szeret3.37. ábra nénk mutatni arra, hogy megfelelő módszerek alkalmazásával sokkal több eredményhez juthatunk, mmt a számszerű értékek. A mérnöknek pedig épp az a feladata, hogy a számszerű értékeken túl lásson, elemezze az eredményeit, következtetéseket vonJon le belőle. 1-:
b., S'zerkesztési módszerek (Culmann-szerkesztés) A szerkesztési eljárás alkalmazásánál először amerev testet terhelő erőrend szer eredőjét kell megszerkesztem. Amennyiben az eredő egy erő am1 a leggyakoribb eset -, akkor egy erőt kell három ismert hatásvonalú erővel kiegyensúlyozni. A módszer bemutatásához egy vázlatot készítünk (3.38. ábra). Itt az F erőt kell az e 1, e 2, e3 egyenesekbe eső hatásvonalú erőkkel kiegyensúlyozm. négy erő egyensúlyát három erő egyensúlyára vezetjük vissza. Helyettesítsük az e 1 és e2 egyenesekbe eső F 1 és F 2 erőt az F 12 eredő jével. biztosan átmegy az e 1, e 2 egyenesek P metszéspontján. Ekkor már csak három erő egyensúlyát keressük. Ezek az Ismert F erő, az e3 egyenesbe
134
3. lvferev test statikája
eső F 3 erő és a P ponton átmenő F r2 erő. Három erő akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik közös pontban metsződnek, tehát a P ponton átmenő F r2 erő nek át kell mennie az F és F 3 erő ismert C metszéspontján is. Ezzel ismerté vált az F r2 erő hatásvonala. Ezt "c" Cuimann egyenesnek nevezzük. A három erő egyensúlyának már ismert további feltételei alapján megrajzolható a vektorháromszög és 3.38. ábra ezzel ismertté vált az F3 erő és az F 12 Culmann-erő. Ez utóbbit azonban az Fr és F 2 erő eredőjeként értelmeztük, azaz felbonthatjuk az e 1 és e 2 egyenesekbe eső összetevőkre. Ezzel mindhárom erőt megszerkesztettük. Természetesen az er, e2 hatásvonalakat ötletszerűen választottuk ki két erő helyettesítésére az eredőjéveL Ugyanígy kezdhetjük az er és e3 vagy az e2 és e3 egyenesbe eső erők helyettesítéséveL Ennek megfelelően három Cuimann-egyenest kapunk. Az eredmény azonban természetesen mindhárom esetben ugyanaz lesz. Az eljárás pontossága attól függ, milyen a metsződő egyenesek egymáshoz viszonyított hajlásszöge (esetünkben például az er, e2 jó, az e3, er metszéspontjának felhasználása kisebb pontosságat eredményez). Ha a merev testre ható erőrendszer eredője erőpár, azaz egy Mo nyomatékvektor, ezt csak egy erőpárral tudjuk kiegyensúlyozni. Tehát a három támasztóerő eredője egy erőpár kell legyen, azaz pl. az F 1 és F 2 erők F r2 részeredője (3.39. ábra) az F3 erővel erőpárt alkot. Az egyensúly feltételéből F 3 = F 12 . Azaz a P ponton át az F r2 erő az e 3 egyenessel párhuzamos lesz, nagysága pedig
3.39. ábra
M
0 F 12 =F3 =h-
3.3. Síkbeli erórendszer
135
Innen már az F 12 felbontható az F 1 és F 2 összegére.
3.16. Példa: Határozzuk meg a 3.15. példában VIzsgált és a 3.36.c. ábrán vázolt tartó támasztóerő-rendszerét szerkesztéssel! Adatok: G= 3 kN; G a, a= 60°; d 1 = 0,2 m; d= 0,6 m; l= 0,5 m; a=20mm. F Megoldás: Az FA és Fc ismeretlen erőket helyettesítsük az FAc eredő jükkel. Ekkor a c Cuimann-egyenest az FA és d Fc hatásvonalainak illetve a G teher é~ FB erő 3.40. ábra hatásvonalainak metszéspontja határozza meg (3.40. ábra). Ezzel a G, FB hatásvonalai és a c Cuimann-egyenes segítségével a vektorháromszög megrajzolható. Az FAC erőt ugyanebben a vektorábrában felbonthatjuk az ismert hatásvonalú FA és Fc erők összegére. Figyelem! Az F & FB, Fc, G erők záródó vektorsokszöget alkotnak, az FAC és az FA illetve Fc vektorok nyílfolyama pedig ütköző. A szerkesztésbőlleolvashatók az erők nagyságai:
FA
1,6 kN; FB = 1,15 kN; Fc
0,8 kN.
A támasztóerők terheléshez viszonyított értékei pedig:
G
=o' 53·'
F G
_L=
o' 38·'
G
=0,27.
Ha ezeket a számeredményeket összehasonlítjuk a 3. 3 7. ábrán kapott diagramok a= 60°-hoz tartozó értékeivel, jó egyezés mutatkozik. Megjegyzés: Látható, hogy a szerkesztés gyorsan JÓ eredményt ad, de csak diszkrét esetekre. A számítás sokkal általánosabb következtetéseket enged meg. Ezért a szerkesztési módszerek esetenként ellenőrzésre (az ember mindig tévedhet!), vagy annak megítélésére használhatók, hogy érdemes-e a hosszadalmasabb számításokat elvégezm.
136
FELADATOK Az F. 3.19. ábrán vázolt rúd az A és C síma felületen támaszkodik, D pontjában kötélhez kapcsolódik. Határozza meg az F erő hatására keletkező támasztóerőket számítással és szerkesztéssel is! Adatok: a= 0,5 m; b l m; F = l k:N; a= 30°; j]= 60°. •y
F
A
a
b
c
a
x F3.20. ábra
F.3.19. ábra
3.20.: Egy G= l kN súlyú hasáb az F.3.20. ábránlátható módon három éle mentén támaszkodik síma falfelületekhez. Határozza meg a támasztóerőket számítással és szerkesztéssel! Adatok: a= 0,3 m; b= 2m; c= l m. 3.21. Az F.3.21. ábrán megadott merev test nyugalmi helyzetét az A, B, C pontban hozzá kapcsolódó rudak biztosítják. Határozza meg a kényszererő rendszert számítással és szerkesztéssel! Adatok: a = 2 m; b = 3 m; q = 800 N/m.
T
b
a
+A
AT«~ a·
c
---
b
l
3
l
!
x
w;;k F3.21. ábra
F3.22. ábra
3.4. Térheli
erőrendszer
137
Határozza meg a lineárisan megoszló erőrendszerrel terhelt merev test kényszererő rendszerét számítással! (F.3.22. ábra) Adatok: a = 3 m; b 6 m; q0= 2 kN/m. 3.23. Erőpárral terhelt merev testet rudak rögzítik a környezetéhez. (F.3.23. ábra) a Adat: a = 45°. Határozza meg a támasztóerőket!
F.3.23. ábra
3.4. Térbeli erőrendszer eredője Az általános térbeli erőrendszer eredőjének meghatározása is ugyanazokban a lépésekben lehetséges, mint amit a korábblakban megismertünk: először redukáljuk az erőrendszert egy pontba, azután keressük az eredőt. 3.4.1. PÁRHUZAMOS ERŐRENDSZER
x
EREDŐ JE
z 3.41. ábra
3.4.1.1. Koncentrált Legyen az ra):
erők
erőkből
álló
erőrendszer
iránya e. Ekkor az A pontba redukált
erőrendszer (3.41.
áb-
11
FA
=e I}~ = eFA ,
(3.20)
í=!
(3 .21) Könnyen belátható, hogy
3. A1erev test statikája
138
mivel a (3.20)-at és (3.21)-et helyettesítve ez egy olyan vegyesszorzat, melynek két vektora azonos, e irányú. Más szóval a párhuzamos erőrendszer A pontba redukált vetorkettőse merőleges egymásra. Ebből következőerr - a 3 .2.3. pontban, a síkbeli erőrendszernél bizonyítottakhoz hasonlóan - a párhuzamos térbeli erőrendszer eredő_je vagy egy erő, vagy egy erőpár, vagy egyensúlyi erőrendszer lehet. Az előzőek szerint, az erők összegzésével kezdve, ha az zérusra adódik, akkor az eredő - az MA értékétől fuggően - vagy egyensúlyi erőrendszer, vagy erőpár. Ha FA :t:. O, akkor az eredő egy erő, melynek rK támadáspontját, az erőrendszer ún. K erőközéppontját kell még meghatároznunk
!liJ Tétel: Ha a párhuzamos erőrendszer eredlf.je egy erő,
annak támadáspon~ja, azaz az erőrendszer eró1,özéppon~ja független az eró1' irányától, csak azok nagyságától és támadáspon~játólfügg: (3.22)
~
Bizonyítás: A K pontba redukált erőrendszer nyomatékvektora MK = O kell legyen. A redukálást a 3.1. pontban bizonyított, a nyomatéld vektortérre vonatkozó tételfelhasználásával végezhetjük el: MK=O=MA-l'KXFA.
Felhasználva a (3.20) és (3.21)-et:
Átrendezés után:
'1ntibó1
3.4. Térbeli
r
erőrendszer
139
Q. e. d.
K
FELADATOK
3.24. Határozza meg az F.3.24. ábrán látható térbeli párhuzamos
z
erőrendszer eredőjét!
Adatok: F 1z
= -2 kN; F2z 4 kN; 1"3z = - 3 kN; F4z = 3 kN; Fsz = - 3,5 kN; a= l m.
3.25. Határozza meg az erőrend szer eredőjét! (F.3.25. ábra) Adatok: a= lm; F1z =-200 N; F2z = -500 N; F3z = 400 N; F4z = -500 N; Fsz = 800 N.
3.26. Határozza meg a térbeli keretre ható erők eredőjét! (F.3.26. ábra) Adatok: F 1y =-400 N; F2y= -200 N; F3y= -100 N; a= 2m; b= lm.
3.27. Az F.3.27. ábrán bemutatott vízszmtes helyzetű körlapot fuggő leges erők terhelik. Adatok: F 1 =500 N; 1~=200N; F3=150N; F4 = 226,5 N;
F.3.24. ábra d
l !
F.3.25. ábra
F.3.26. ábra
l-IO
F 5 = 325,5
F6 = 298
r
= 3 m; a = l m. Határozza meg az erőrendszer
eredőjét t
F3.27. ábra
3.4.1.2. Térfogaton megoszló párhuzamos
erőrendszer
megoszló erőrendszerek vonal, felület és térfogat menti eloszlásúak lehetnek. Ebben a pontban - elsősorban az alkalmazások miatt - a térfogat mentén megoszló erőrendszerek eredőjét vizsgáljuk. Az erőrendszer lehetséges eredőjére vonatkozóan természetesen itt is érvényesek az előző pontban a konY A centrált párhuzamos erőkre elmondottak. Legyen itt is az erők iránya az e vektorral meghatározott. Egy dV térfogaton megoszló elemi erő ekkor (3.42. ábra) dF=efdV,
x
ahol j az erőrendszer intenzitása. A dF elemi erőkből álló erőrendszer A pontba redukált értéke:
z 3.42. ábra
FA
J
= r x dF
=J dF =J Jed V =e JJdV,
=J r x efd V =(J r j d V) x e .
redukált vektorkettőst a (3.20), (3.21) összefuggésekÖsszevetve az FA, kel és a koncentrált erőrendszer erőközéppontjára vonatkozó (3 .22) eredménnyel, itt IS hasonló eredményre jutunk:
3.4 Térbeli
erőrendszer
141
frJdV = -"-:---
r K
(3 .23)
f fdV
Megállapítható tehát, hogy a térfogaton megoszló erőrendszer erőközép pontja is az erő e irányától fuggetlen. Térfogaton megoszló erőrendszerek eredőjének meghatározására a 3.4.3. pontban, az alkalmazásoknál mutatunk be példákat.
3. 4. l. 3. Síkfelület mentén lineárisan megoszló párhuzamos
erőrendszer
A következőkben tetszőleges alakú síkfelületen, a síkra merőleges irányban ható, lineáris eloszlású megoszló erőrendszer eredőjét keressük (3.43. ábra). Az erőrend szert - mivel lineáris eloszlású - három pontban megadott intenzitásértékkel határozhatjuk meg. A lineáris megoszlás miatt a síkfelület egy egyenese mentén lesz az erőrend szer intenzitása zérus. Ezért a három pont közül kettő lehet a zérus intenzitású hely két pontja, ami a nulla intenzitású egyenest jelöli ki. Jelöljük ezt az egyenest u-val és nevezzük semleges tengelynek Az erre merőleges síkbeli irányt a v koordináta határozza meg. Ekkor egy tetszőleges v koordinátájú helyhez tartozó p intenzitásérték egy aránypárral felírható a v 0 koordinátájú P0 pontban lévő p 0 intenzitás nagyságának ismeretében: v (vo)· p(v)=-po Vo
Ha ezt vektorosan akarjuk kifejezni, azaz az r helyvektorhoz tartozó intenzitásvektort akarjuk megadni, felírható:
142
3. lvferev test statikája
p(r)
=leueu x ror llPo l· X
Itt az eu x r iránya a síkra merőleges, p irányát előjelhelyesen adja. Ennek a vektornak a nagysága az r helyvektor v koordinátáját, a nevezőben lévő vektorszorzat nagysága pedig az r 0 helyvektor v 0 koordinátáját eredményezi. Így a felület tetszőleges pontjához tartozó p erőintenzitás a p=
Aeu X r
(3 .24)
vektorszorzattal megadható, ahol
a megoszló erőrendszer intenzitásának változására jellemző szám. Az erőrendszer meghatározása után az eredő számításához itt is végrehajtjuk a redukciót (pl. az O pontba). Az erőrendszer összege:
F0
= JpdA = JAeu X rdA . A
A d.A
felületelemtől
fiiggetlen
tényezőket
F0
kiemelve:
= A-e" x JrdA .
(3 .25)
A
/Definíció: Az s ívdarab, az A felület, a V térfogat illetve az m tömeg O pontra vonatkoztatott elsőrendű vagy statikai nyomatékvektorát az S 0 (s)
=J rds; s
k~f~jezésekkel
S0 (A)
=J rdA; A
S0 (V)
=J rdV;
S0 (m)
=J rdm
(3 .26)
m
V
határozzuk meg. Ezek skalár koordinátáit, pl. (3.27) A
A
3.4 Térbeli
erőrendszer eredője
143
tengelyre számított statikai nyomatékoknak nevezzük. A statikai nyomatékvektor bevezetése után a (3 .25) így is írható:
A síkfelületen lineárisan megoszló párhuzamos pontra:
erőrendszer
nyomatéka az O
M 0 = Jr X p dA =J r X (Ae u X r )dA . A
A d.A
felületelemtől
fuggetlen változót kiemelve: (3.28)
/Definíció: Az A területű sikidom O ponthoz és eu irányhoz hozzárendelt másodrendű nyomatékvektorát az (3.29)
összefüggéssei határozzuk meg. Ez a síkidomnak egy ún. vektor-vektor fuggvénye, ugyanis az O ponthoz hozzárendelt másodrendű nyomatékvektor az eu irány fuggvénye. A (3 .29) definiált másodrendű nyomatékvektor eu irányhoz tartozó vektorát pontosabban is határozzuk meg. Ha az r = ueu + vev , akkor
eu
e
ew
o o =ve o v
e u xr= l u
w'
és
eu
e
rx(euxr)= u
v
o o
ew
o =ev u
v
2
-e v uv.
144
3. lvlerev test statikája
Ezt a (3 .29) be helyettesítve és rendezve:
ahol az eu együtthatóját az u tengelyre az ev együtthatóját az u és v tengelypárra számított másodrendű nyomatékának nevezzük. Ezek tulajdonságaival, adott síkidom különböző pontokra vonatkozó nyomatékvektorm, a különböző tengelyekre, tengelypárokra vonatkozó nyomatékai közötti kapcsolatokkal részletesen az 5. fejezetben foglalkozunk, mivel ennek eredményeit elsősorban a szilárdságtanban fogJuk felhasználni. Az előzőekből megállapíthatjuk, hogy a síkfelületen lineárisan megoszló párhuzamos erőrendszer egy pontba redukált vektorkettősében a redukált erő a síkfelület elsőrendű (statikai) nyomatékvektorától, a redukált nyomaték pedig a felület másodrendű nyomatékvektorától fugg. A redukált erőrend szerből az eredőt az előzőekhez hasonló módon számíthatjuk. 3.4.2. ÁLTALÁNOS TÉRBELI ERŐRENDSZER EREDÖJE
Az előzőekhez hasonlóan itt is elő ször az erőrendszert egy tetszőleges A pontba redukáljuk Ez a redukált erőrendszer legáltalánosabb esetben egy erő és egy vele valamilyen szöget bezáró nyomatékvektor (3.44. x ábra). Vizsgáljuk először meg szemléletesen, hogy található-e egy ennél egyszerűbb egyenértékű erő rendszer! Vegyük fel a koordinátarendszert úgy, hogy kezdőpontJa az 3.44. ábra A pont legyen, az x tengely az FA irányába mutasson, az vektor pedig az xy síkba essen (3.44. ábra). felbontható MA= MAx+MAy=MAxi + MAyj összetevőkre. Az MAy merőle ges az FA-ra, ezért a korábbiak szerint -helyettesíthető a -FA; FA erőpárral (szaggatott vonal). Itt az erőpár karja természetesen:
---
3.4. Térbeli
erőrendszer
145
az MAx; MAy; FA-ból álló erőrendszer egyenértékű az MAx és P támadáspontú vektorkettösseL Az MAx szabad vektor, ezért P pontba helyezhető. Így a redukált erőrendszerrel egyenértékű legegyszerűbb erörendszer, azaz az eredő a P pontban támadó, x irányú eröböl és nyomatékból álló vektorkettös.
/Definíció: Az azonos pontban támadó egy eró'ből és ugyanilyen hatásvonalú nyomatékból álló vektorkettőst erőcsavarnak nevezzük. Hatásvonalának neve: centrális egyenes. Az elnevezés magyarázata az lehet, hogy egy ilyen test csavarmozgást végezne.
vektorkettős
hatására egy
/ill Tétel: Egy térbeli erőremlszer eredője általános esetben erőcsavar, !)peciális esetekben pedig egy lehet.
erő,
egy
erőpár,
vagy egyensúlyi
erőrendszer
Az előzőekben szemléletesen bizonyított tételt általánosságban is igazoljuk.
W" Bizonyítás: Legyen a térbeli erőrendszer nek az xyz koordináta-rendszer kezdőpontjába redukált vektorkettőse Me;, F 0 (3.45. ábra). Az erő hatásvonalát meghatározó eF egységveJ.."tort a szokásos módon felírhatjuk (3.33)
Az eredif hatásvonala, azaz a centrális egyenes M,.=M. iránya eF irányú kell legyen az egyenértékű erő3.45. ábra remlszerek tétele alapján. Keressük az eretiif Itatásvonalának egy P pon~ját. Célszerűségi okokból az O ponton átmenő, Fo-ra merőleges sikkal való metszéspontját (3.45. ábra). Itt a redukált erőrendszerrel egyenértékű erő rendszer erő és nyomatékvektora is eF irányú lesz:
146
3. Merev test statikája (3.34) (3 .35)
Egyrészt a nyomatékvektor nagysága meg kellegyezzen az M 0 vektor Fo irányába vetületével, azaz az eredő nyomatékvektora a (3.33) figyelembevételével:
eső
(3 .36)
másrészt az Mp nyomatékot - az erőrendszerek egyenértékűsége miatt - az O pontban ható M 0 , F 0 vek-torkettős P pontba redukálásával számíthatjuk, azaz a nyomatéki vektortérre vonatkozó tétel szerint:
ebből-
némi átrendezés után - rp, azaz a centrális egyenes egy pontja meghatározható:
(3 .37)
A kétszeres vektorszorzás eredményeként kapott vek-tor a kifejtési tétel szerint -rp irányú, mivel rpmerőleges F 0 -ra.
Ezt (3.3 7)-be Jzelyettesítve és figyelembe véve, hogy
(3 .38)
A centrális egyenes (3. 45. ábra) egyenlele pedig (3 .39)
3.4. Térbeli edirendszer eredője
147
Tehát amennyiben létezik a nullvektortól különböző t·p veA:tor és Mp *o, létezik olyan pont, amelybe redukált erőrendszer erőcsavar, melynek vektorkettősét (3.34) és (3.36) adja. Q.e.d.
* Meg kívánjuk jegyezni, hogy az erőcsa vart vele egyenértékű ún. erőkereszttel is szokták helyettesíteni. Az erőkeresztet két egymásra merőleges irányú, kitérő hatásvonalú erő alkotja. Legyen a vizsgált erőrendszer O pontba redukált vektorkettőse Fo, M 0 (3.46.a. ábra). Bontsuk föl az Fo erővek tort egy M 0 és rá merőleges két összetevőre az előzőek szerint:
a.
3.46. ábra
Helyettesítsük most az M 0 vektortegy -F~ , F-; erőpárral (3.46.b. ábra). ekkor as hatásvonalú erők egyensúlyi erőrendszert alkotnak, és az erőkeresztet alkotó két erő az F 11 és az ro helyvektorral meghatározott s irányú l<'s erő (3. 46. c. ábra). Az ro helyvektor az előzőek szerint határozható meg:
ahol ro a kitérő egyenesek távolsága.
* Ha a térbeli erőrendszert alkotó erők összege zérus (Fo= O), akkor az eredő vagy egy erőpár, vagy egyensúlyi erőrendszer. Ezt az Mo számításávallehet eldönteni. Ha F0 =f:. O és M 0 =f:. O, de a (3 .36) szerint meghatározott Mp =O ez azt jelenti, hogy az M 0 merőleges F 0 -ra, azaz az eredő egyetlen erő, mely
148
hatásvonalának egy pontját szintén a (3.38) összefuggés adja. Ha MP ;;t; O az eredő erőcsavar.
3.29. Példa: Határozzuk meg a 3.47.a. ábrán bemutatott "a" élűkockaalakú testélein ható egyenlő nagyságú erőkből álló erőrendszer eredőjét! y& y Megoldás: először redukálM,. juk az erőrendszert az O pontba!
z
a.
z
b.
M 0 =aFi+aFk.
3.47. ábra
Az Az
erővektor
nem zérus, ezért az eredő vagy egy erővektor Irányába mutató egységvektor:
erőcsavar,
vagy egy
erő.
Az Mo nyomatékvektor eF irányú összetevője:
Mivel a nyomatékvektornak van erő irányú csavar lesz. Az erőcsavar nyomatékvektora:
összetevője,
az
eredő
egy
erő
2aF . 2aF . 2aF M e =--I+--J+ p F 3 3 3 A centrális egyenes egy pontjának helyvektora (3.38) szerint meghatározható. Ehhez:
erőrendszer
3.4. Térbeli
j
149
k
F = aF 2 i-aF 2 k, O aF
F
F0 xM 0 = F
aF
Ezeket (3. 3 8)-ba helyettesítve
a.
ak .
r =-I-p
Végül is az
eredő
3
3
egy erőcsavar, melynek vektorkettőse:
FP =Fi+Fj+Fk,
2 p·•+-a 2 p·J+-a 2 Fk M =-a p 3 3 3 '
centrális egyenesének egyenlete pedig
3.30. Példa: Adott egy térbeli, általános helyzetű párhuzamos erő rendszer (3.48.a. ábra). Az erők irányszögei ax = 60° ay = 60° p F. az = 135° . Az erők z nagysága: F 1 = 3 kN; b. a. F2 = 4 kN; F3 = 5 kN; 3.48. ábra F4 = 6 kN; a = 2 m; b= l m; c= 1,5 m. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét! Megoldás: Térbeli párhuzamos erőrendszerről van szó, mégis a most megismert módszert célszerű alkalmazni, mivel az erők megadása általános és hosszadalmas geometriai számítást igényelne a 3.4.1. pontban megismert módszer alkalmazása esetén.
]50
3. Merev test statikája
Először ellenőrizzük,
cos
2
hogy az
erő
irányszögeinek megadása helyes-e:
a x+ cos 2 a Y+ cos 2 a z = 0,25 + 0,25 + 0,5 =l,
azaz a megadás helyes. Az egységvektor: eF = 0,5i + 0,5j
Az
erők
összege, mivel az
erők
J2
2 k.
azonos irányúak, könnyen számítható:
F0 =5i+5j-5.J2k
[kN].
y
Az erők O pontra számított nyomatékvektorát az x, y, z tengelyekre számított nyomatékokból határozzuk meg. Ezt táblázatos formába rendezve célszerű számítani. A tengelyekre számított nyomaték meghatározásának általános összefuggését úgy kaptuk meg, hogy felírjuk a nyomatékokat egy z 3. pozitív térnegyedben lévő támadás-pontú és pozi49. ábra tív előjelű koordinátákkal rendelkező erőre (3.49. ábra). Ha valamennyi erőt és támadáspontjuk koordinátáit előjeles mennyiségként értelmezzük, a kapott összefuggés valamennyi esetben helyes eredményt szolgáltat. Az Fi erő tengelyre számított nyomatékai a 3. 49. ábra alapján
M x =-zFy +)'Fz' Az
erőrendszer
M y =-xFz +zF, x
(3 .40)
O pontra vonatkoztatott nyomatéka tehát
M 0 = M)+ Myj+ Mzk =-3,80i+8,74j+3,5k [kNm]. Mivel egy párhuzamos erőrendszer nyomatékát határoztuk meg ez biztosan merőleges kelllegyen az erők ep irányára. Ellenőrizzük ezt:
Xi
1 2 3 4
rml 2
o o o
3.4. Térbeli
erőrendszer eredője
Yi
Zi
Fix
Fiv
Fiz
rmJ 1 1
[m]
[kN] 1,5 -2 2,5 3
[kN] 1,5 -2 2,5 3
[kN] -2,12 2, 82 -3,54 -4,24
o o
o o o 1,5
L:
151
Mix
Miv
[kNm] [kNm] 4,24 -2,12 2, 82 o
o
o
-4,5 -3,80
4,5 8,74
Miz rkNml 1,5 2
o o 3,5
J2
Mp =M 0 eF =-3,80·0,5+8,74·0,5-3,5·-=0, 2
azaz az eredő egy erő. Most már a (3 .38) alapJán az nek támadáspontját is számíthatjuk. Ehhez:
j l rp=-
100
5
5
-3,80
8,74
erőrendszer
Fo
k
-5J2 =0,793i-0,09j+0,627k
[m],
3,50
amit a 3. 48. b. á brába beraJzoltunk. 3.31. Példa: Határozzuk meg a 3.50. ábrán látható azonos nagyságú négy erőből álló erőrendszer eredőjét!
Megoldás: A szokásos módon az erő rendszert redukáljuk például a koordinátarendszer kezdőpontjába. A számítást itt is táblázatosan végezzük, de most nem numerikusan:
z
3.50. ábra
A táblázat szerint a redukált erőrendszer: M 0 = -JlaFi + JlaFj
eredőjé
152
l 2
3
4
3. lvferev test statikája
o
a
o o o
a
o o
2
o
o
o
--
a
FJ2 -
o
-F/2 -
aF/2 ---
aF/2 --
aF/2 ---
a
FJ2 -
-FJ2
o
aF/2 ---
aF/2 --
o
o
-
FJ2
o
FJ2
2
2
o
o
I:
FJ2
FJ2
o
-aF/2
aFJi
o o
o
--
-
2
2
2
2
2
-
2 2
2
2
2
2
Látható, hogy a vektorok egymásra merőlegesek, hiszen
eredő
tehát az Ehhez
egy
erő,
melynek támadáspontja (3.50) szerint számítható.
F0 =2F; F~ =4F 2 , Az
eredő rp
támadáspontja:
1 rP = -- 2
4F
azaz az
eredő
i
J
-JiF
-JiF
-FaF
k O= k(2aF 2 +2aF 2 ),
r =ak p
'
-fiaF o
az F3 támadáspontjában és irányában ható, Fe= 2F nagyságú
erő.
Látható ebből a példábó!, hogy egy térben szétszórt Is lehet egyetlen erő.
erőrendszer eredője
FELADATOK 3.29. - 3.34. Határozza meg az F3.29-F3.34. ábrákon látható eredőjét!
erőrendszer
153
3.29. Adatok: F 1 =8 kN; Fz = 12 kN; a =1,3 m. y
y
F,
l
Fl
l
a
(z:7-x-
x
x
'a l
F, z
z
z
F.3.29. ábra
F.3.30. ábra
F.3.31. ábra
3.30. Adatok: F 1 =5 kN; F 2 = 6 kN; F3 = 2 kN; F4 = 5 kN; F5 = 6 kN; a=l m. 3.31. Adatok: Ft= F 2 = F 3 = 100 N; a =lm. 3.32. Adatok: F1 = Fz = F3 = Fs = F =5 kN; F4 = F6
=.fi F; a =lm.
3.33. Adatole Ft = 100 N; Fz = 200 N; M1 = 50 Nm; M2 = 80 Nm; M 3 = l 00 Nm; a =2 m; b = 3 m; c = l ,5 m. 3.34. Adato/c: F 1=5 kN; F2 = 8 kN; F 3 = 2 kN; F4 = 10 kN; F 5 = 3 kN; F 6 =6 kN; a= 400 mm; b= 300 mm; c= 200 mm.
Yt
ÁY
!
!y
l -'Jk'í
F~~
.:>1' /J',:~ i F lo F, (a '
.r
x
l
x
{
F.3.32. ábra
F.3.33. ábra
~~~ [ ..
c1
I_L
2
b
v
F.3.34. ábra
x
3. Merev test statikája
154
3.4.3. ALKALMAZÁSOK: A SÚL YERÖRENDSZER EREDŐJE, A SÚLYPONT A súlyerőrendszer térfogaton megoszló erőrendszer, tehát a 3.4.1.2. pontban leírtak itt is érvényesek. A tetszőleges test végtelen sok kicsi d V térfogati részre bontható, melynek tömege pdV, ahol a p(x,y,z) sűrűség a hely fuggvénye lehet. A második axióma, azaz Newton II. törvénye és az ötödik axióma, azaz az általános tömegvonzás törvénye értelmében a test minden kicsiny részére (3 .41)
dG=-jpgdV
hat. A megoszló erőrendszer intenzitásának nagysága: .f = p g. Ez egy térfogaton megoszló párhuzamos erőrendszer, melynek eredőjét, a test súlyát keressük. A test teljes súlya az elemi erők összege: erő
G
Itt is kérdés a helye.
súlyerő
(3 .42)
-jgJpdV. v
vektorának ismeretén kívül a
súlyerő
/ Definíció: A test súlypontja a térfogatán megoszló eredl(jének támadáspontja.
hatásvonalának a
súlyerőrendszer
A 3 .4.1.2. pontban leírtak (3 .23) szérint a súlypont vagy az előző ek szerint erőközéppont r.1. helyvektora, figyelembe véve az erőrendszer intenzitásának értékét: r =JrpgdV
Jp g dV
s
A g gravitációs gyorsulással
egyszerűsítve
a súlypont helyvektora:
r=JrpdV s
J pdV
(3 .43)
3.4. Térbeli edirendszer eredője
Ezzel egy
155
tetszőleges
test súlypontjának koordinátái meghatározhatók. Az összefüggésből látszik, hogy a súlypont koordinátái csak a test geometriájától és a tömegeloszlástól, azaz a p(x,y,z) függvénytől függnek. A (3.43) kifeJezés számlálójában szereplő
S0
=I r p dV =I rdm
mennyiség a test tömegének az O pontra vonatkoztatott statikai nyomatékvektora. Amennyiben a koordináta-rendszert a test súlypontjában vesszük fel rs =O értékre adódik, azaz a (3 .43) összefüggés számlálója is zérus kell legyen. Más szóval a statikai nyomaték a súlyponti tengelyre zérus. A továbbiakban vizsgáljunk meg néhány speciális esetet, hiszen a mű szaki gyakorlatban nem teljesen általános testek szerepelnek. a., H omogén test A test minden pontjában azonos tulajdonságokkal rendelkezik, tehát a p sű rűségfüggvény állandó, ekkor a (3.43) összefüggés integráljaiból kiemelhető és ezzel egyszerűsíteni lehet. Így a súlypont helyvektora homogén test esetén csak a test geometriájától függ: r s
=I rvdV
(3 .44)
Ezt a vektorösszefüggést i, j, k vektorokkal végigszorozva a súlypont helyvektorának koordinátái: x s
=I xvdV.,
_ IydV.
Ys-
V
'
__ I zdV -
,:.,
s
v
(3.45)
Ha a test részenként homogénnek tekinthető, a testet felbonthatjuk részekre és a részek súlypontját határozhatjuk meg először. Így a részek súlypontjába helyezett részeredők koncentrált erőkből álló párhuzamos erőrend szert alkotnak. Ezek eredőjének támadáspontja szalgáltatja az egész test súlypontját. Ez a műszaki gyakorlatban szokásos talán legáltalánosabb eset.
156
3. jVJerev test statikája
A további számításokhoz néhány jellemző test súlypontját megadjuk a következő táblázatban. Alakzat
Félgömb
Paraboloid
Kúp
h
x
3
h
4
Gúla
h
4
abh -3-
b., Szimmetrikus test Amennyiben a vizsgált test vagy testrész sztmmetnasíkkal rendelkezik, a súlypont a szimmetriasíkban helyezkedik el. Magyarázatára visszatérünk a következő pontban. (3.51. ábra)
3.4. Térbeli erörendszer eredője
157
c., Allandó vastagságú homogén test (lemez, h~j) Ha a vizsgált test állandó vastagságú és középfelülete egy sík, akkor ez szimmetriasík, azaz biztosan ebben a síkban van a súlypontja. (Ha állandó h vastagságú és térbeli felülettel határolt -pl. lemezből kialakított térbeli alakzat -, akkor a súlypontjának mindhárom koordinátáját keressük). Az elemi térfogat mindkét esetben
dV=hdA formában kifeJezhető. Ezt helyettesítve a (3.44) összefuggésbe és figyelembe véve, hogy a térfogat V =hA , a súlypont helyvektora: (3 .46) vagy skaláris koordinátáival:
x =J x dA. y =J y dA. s A , s A ,
vagy xs
=
(3 .47)
Ugy ams Itt Is Igaz az, hogy a felületek esetleg szabályos részekre bonthaték és külön-külön mindegyik súlypontja meghatározható. Ezt követően a párhuzamos, síkbeli erőrendszer eredőjének támadáspontja megadja az egész test súlypontját l. (3.22)-t. Ilyen feladatokra példákat a későbbiekben adunk. Ehhez azonban néhány jellemző szabályos síkidom (homogén, állandó vastagságú test) súlypontját táblázatosan közöljük (a túloldalon). Az integrálok elvégzésével az eredmények helyessége ellenőrizhető. A síkidomok esetében is fel kell hívni a figyelmet a szimmetriára. A 3.51. ábrán látható síkidom szimmetriatengelye az y tengely. Ugyanis e tengely átmegy a súlyponton, és az y tengely egyik oldalán lévő minden felületelernx nek megtalálható a párja az azonos nagyságú x értéknél, a tengely másik oldalán. A felületelemek elsőrendű vagy statikai nyomatéka~ e tengelyre zérust adnak az x és a -x értékek m1att.
3. lvferev test statikája
158
Érdekes lehet még a 3.52. ábrán vázolt síkidom és az ehhez hasonlók szlmmetnáJa. Ys
h
3
. b/2 . ... b/2 "'i
x
l
Y4
R 4R
3n:
3n:
x
l Xs , r--1
Y
4R
t l
2Rsina 3a
x
o
Xs
y. y-ex2
la
4
Xs
i""
a
x i
.. l
3 lOb
159
3.4. Térbeli erórendszer eredóje
Ez esetben a síkidom az S pontra sz1mmetnkus, így az x és az y tengelyre az egyes felületelempárok statikai nyomatékai IS nullát adnak. d., Prizmatikus homogén rúd A V térfogat ebben az esetben előállít ható az alapterület és a hossz szorzataként. Egy l hosszúságú rúd térfogata: V = lA . Ha a rúd keresztirányú mérete1 elhanyagolhaták a hosszméret mellett, akkor a súlypont helye az x tengelyen mérve:
= I x A dl = I x dl
x s
I A dl I dl
.
(3 .48) 3.52. ábra
Ha a rúd felbontható olyan részekre, amelyek súlypontjainak a helyét ismerjük, akkor: xs
=
xiAli _
IxJi _ xJ +xi + ...+x"ln
A/i -
1
2
1
(3 .49)
L( - / +/ +...+/n 2
Ys
o
160
3. Aierev test statikája
tekintve hogy a rúd prizmatikus, azaz A állandó. Az y és a z koordináták értelemszerűen a fentiek mintájára felírhatók. fenti összefuggésekben a számlálók ezúttal is az egyes vonalrészek elsőrendű vagy statikai nyomatékainak összegei. A nevező pedig a rúdbosszak összege. Az előző táblázatban szintén megadjuk a két leggyakrabban előforduló alakzat súlypontjainak értékeit.
3.32. Példa: Határozzuk meg a 3.53. ábrán rajzolt forgástest súlypontjának koordinátáit! Megoldás: Ez a forgástest úgy állt elő, hogy az y tengely körül (szimmetriatengely) egy olyan síkidomot forgattunk, amelynek határoló vonala az y = cx 2 görbe. A forgástengelyen helyezkedik el a súlypont, így x,. és zs zérus, tehát csak az Ys értékét z x kell kiszámítani. 3.53. ábra Az egyes elemi térfogatok a zx síkkal párhuzamosan helyezkednek el, és nagyságuk: r2 rc dy . Ezzel a (3 .45) alapján számolva:
mivel r 2
=
y Jc .
3.54. ábra
3.33. Példa: Számítsukki a 3.54. ábrán vázolt félkúptérfogat súlypontjának a helyét! Most a szimmetriasík az xy sík, ezért zs zérus. Az ábrán sötétítve rajzoltunk meg egy elemi térfogatot Ezeknek a statikai nyomatéka az yz síkra:
3.4. Térbeli 11
Io mert
erőrendszer eredője
Rz
"
h
2
o 2h
161
Rz h"
3 dx= x~=I~x 2
1t
-
8
'
R r=-x. h
A térfogat: h
"
R"
Rz h
o 2h
6
h
V= I~= I -~xzdx=-n-. o 2
Ezekkel a súlypont távolsága az x tengelyen mérve: R 2 nh2
x = s
~
R-nh
=!_h. 4
6
Az y s értékét a zx síkra számított statikai nyomatékkal kapjuk.
y s-
S
R 3h
zx -
V-
R3h
R 6 6 2 2 R nh- R nh - -;· ---6 6 k
A statikai nyomatékot a
zx
síkra az Szx
=I Ys dV
összefiiggés alapján
o
számítottuk. Ebben a
4
r a félkör felület súlypontjának kiszámítására szolgál. 31t
3.34. Példa: Számítsukki a 3.55. ábrán vázolt idom súlypontjának koordinátáit! Megoldás: Első lépéseként felosztjuk az adott testet olyan részidomokra, melyeknek ismerjük a súlypontját. A részidomokat számokkal jelöltük és külön-külön megrajzoltuk, feltüntetve a súlypontjaik helyzetét
162
A korábban ismertetett összefüggésekbe való helyettesítésnél 12 az előjelekre szigorúx an ügyelni kell. A hiányzó rész negatív y 10 térfogatot jelent, a statikai nyomatékok karjainak előjeiét pex x dig a koordinátatengelyek irányítottsága Y szerint kell meghatározm. Másodikként egy x x alkalmasan választott 4 koordináta-rendszert kell felvenni. Az al3.55. ábra kalmasság azt jelenti, arra kell törekedni, hogy minél kevesebb tagot, minél egyszerűbb méretmegadással szerepeltessünk az egyenleteinkben. Pl.: valamelyik rész súlypontjával essen egybe a koordináta-rendszer kezdőpontja vagy valamelyik súlyvonal legyen azonos az egyik koordinátatengellyel. (Példáinkban a részletesebb magyarázat kedvéért nem mindig a legpraktikusabb megoldást választottuk.) Mindezek alapján az idomct olyan részekre bontottuk, amelyek súlypontjának adatai ismertek. Ezeket a részidomokat és a felvett koordinátarendszer x tengelyén mért súlypontjaik távolságait a 3.55. ábrán szintén bejelöltük. Ezek szerint az idom áll: l. a 30 mm sugarú hengerből, 2. csonka kúpból, amelyet teljes kúppá egészítettünk ki, 3. a valóságban nem létező kúpból, amelynek a térfogatát majd negatív előjellel veszünk figyelembe, 4. és az ugyancsak hiányzó hengerbőL Ennek előjele szintén negatív lesz. Most a számítást táblázatosan végezzük el, nemcsak azért, mert így áttekinthetőbb annál, mintha hosszú törtet írnánk, hanem azért is, mert ez alapazza meg a számítógépes módszert az esetleg még több részből álló idom súlypontjának meghatározásánáL
erőrendszer eredője
3.4. Térbeli
Jel
Xs;
l
163
V; (mm3)
(mm)
lO
Xsi
30 n20=56520
2
66 7 ' 6 +20 = 36 67 4 '
3
66,67- 40 +60= 66 67 4 '
4
30
30
•
66,67n = 62803,14 3
)
2302991
12 2 (66,67 -40) n
-4019,7 3 -10 2 n60 = -18840
r v,
4
565200
2
2
V; (mm
-267993
r
= 96463,44
-565200
xsiv, = 203499 8
A súlypont helye a fentiekkel:
x = rxsY = 2034998 =211 mm.
, r.v:
96463,44
,
3.35. Példa: Határozzuk meg a 3.56. ábrán y megrajzolt síkidom súlypontjának a helyét! Megoldás: Az elemi síkidomok statikai nyomatékösszege az y tengelyre: x a
a
4
Jx dA =Jxydx =Jx dx =~.
3.56. ábra
3
o
o
4
A felület:
a4 A súlypont x-értéke a (3 .47) alapján:
4
3
x s =a3 - = -4a .
3
3. Merev test statikája
164
A statikai nyomaték az x tengelyre: y
i"Rcosa
as
_ 10 _ 3a 3b Ys _7_W_10. 2
A súlypont y értéke:
_
3
x
3.36. Példa: Számítsuk ki a 3.57. ábrán rajzolt körcikk súlypontjának helyét! 3.57. ábra Megoldás: A szimmetriatengely az x, így csak a súlypont x értékét kell meghatároznunk. Az idomot felbontjuk nagyszámú, háromszögnek tekinthető körcikkre, s ezeknek vesszük a statikai nyomatékösszegét az y tengelyre:
Rds +a2 RRd -R cos ep-- = -R cos ep ({J 2 2 -a 3 -a 3 +a2
J
f
A felület:
2
.
=-R 3 sm a . 3
7R~s =7 R2~({J =
R2a.
-a
-a
A súlypont helye:
Ha félkör felület súlypontját számítjuk, akkor a= re , amivel 2 2 R . re - sm- 4R x= 3 2=s
1C
31C
2
3.37. Példa: Számítsukki a 3.58. ábrán megadott síkidom súlypontjának a koordinátáit! A méretek mm-ben szerepelnek.
3.4. Térbeli
erőrendszer eredője
165
y
Megoldás: A számítás módszere megegyezik a 3.34. példa megoldása során leírtakkaL Most is felosztottuk az alakzatot a megfelelő részekre (3.59. ábra) és alkalmasan felvettük a koordináta-rendszert. (3.58. ábra) Így meghatározhattuk a felületet és a statikai nyomatékokat:
x 3.58. ábra
A felület:
A statikai nyomaték az y tengelyre: 3.59. ábra
"'xA= L..!
l
l
24 · 4 5 4 · 24 24 2 n 3 (-15)+--·---0=-3492mm. 2 3n 4
3492 ' erte ' 'ke: xs = ~x;A; A su'lypont x tengelyen mert ""\:' ==-4 ,56 mm. L..! A; 766,1 A statikai nyomaték az x tengelyre:
A súlypont ordinátája: = Ys
~YtA ~A;
= 7776 = 1015 mm. 766,1 '
3.38. Példa: Határozzuk meg a 3.60. ábrán vázolt síkidom súlypontjának a helyét! A koordináta-rendszert úgy választottuk meg, hogy minél kevesebb tagot kelljen a számítás során figyelembe venni.
3.60. ábra
3. lvferev test statikája
166
3.39. Példa: Határozzuk meg a 3. 61. ábrán vázolt félkúp felület súlypontjának koordinátáit! Megoldás: A dx szélességű és rrc kerületű felületelem statikai nyomatéka a z tengelyre és ezek integrálja: m
R
o
h
Jrre xdx, de r = -x R
R
3.61. ábra
11
2
Rh re Jx re dx =-re J x dx = - . oh h o 3 h
2
2
Ezekkel
R
h
h
o
oh
Rh
-:f-.
A = Jrre dx = J-re xdx =
A teljes felület:
xdA
Rh 2re -
2
JdA
Rhre
3
-
x =J- - = -3- = - h s
·
2
Hasonlóképpen számíthatjuk a súlypont y tengelyen mért értékét is: h
2 r
2R 2h
-J ydA- Jo -;-rre dx =_3_ Ys-
JdA
-
Rhre
Rhre
2
2
3.40. Példa: Határozzuk meg a 3. 62. ábrán pontJának a helyét!
4R 3re
szereplő
felület (doboz) súly-
3.4. Térbeli
Megoldás: A számítást táblázatosan végezzük el, tekintve, hogy meglehetősen sok felületrésszellesz dolgunk. A koordináta-rendszert a rajzon látható módon vettük fel. Az x,y sík szimmetriasík, így a súlypont koordinátái közül csak x-et és y-t kell kiszámolnunk. (A félkörív súlypontját meghatározó összefuggést l. a vonalak súlypontjánál.)
= I.,x;A; = 12120,4 = 163 cm
x s
I.,A;
_I, Y;A; Ys - I, A;
2
' 3.62. ábra
félkör sík félhenger, R l O négyszög félhenger, R20 félkör sík
I.
'
y
_ -207459,6 _ 7 424 - -27 '94 cm.
Jel Megnevezés l 2 3 4 5
7424
167
erőrendszer eredője
42
[cm ] 628 1256 240 0 2512 628 7424
x, [cm]
-20,0 -10,0 0,0 12,7 8,5
y, [cm] -8,5 6,4 -30,0 -40,0 -{50,0
x,A, [cm3 ]
-12560,0 -12560,0 0,0 31902,4 5338,0 12120,4
3.41. Példa: Határozzuk meg a 3. 63. ábrán vázolt körív súlypontjának koordinátáit! Megoldás: A vonal az x tengelyre szimmetrikus, így csak xs értékét kell meghatároznunk HelyettesítsüTik a (3 .48) egyenletbei
y, A, [cm3 ] -5338,0 8038,4 -72000,0 -100480,0 -37680,0 -207459,6
x
3.63. ábra
3. Merev test statikája
168 a
x __ I_xd_lsdl -
I
a
L
Rcoscpds-
L
RcoscpRdcp =R sina
a
a
-a
-a
I ds
I Rdcp
Ha a=
y
re , akkor xs 2
=
Rsina a
=
2R re
3.42. Példa: A 3. 64. ábrán vázolt térbeli drótkeret súlypontját határozzuk meg! A lekerekítéseket hanyagoljuk el. A rajzon a méretek cm-ben értendők. _J__~c:Zi:zza:z:li:ZX~~~,----::- Megoldás: a módszer az előzőekhez hasonló. x Mivel most négy elemre kellett bontani az alakz zatot, ezért a számítást ezúttal is érdemes táb3.64. ábra lázatosan elvégezni. A megadott értékekkel a súlypont koordinátái a (3 .49) figyelembev ételével:
x = 10466,7 = 319 cm . = 6873,7 = 21 cm . 6075 s 327,5 ' 'Ys 327,5 'zs=327,5=lS,5 cm. l; [cm] l 2 3 4
75,0 50,0 94,2 108,3
l:
327,5
X;
[cm]
Y; [cm]
o
37,5
25,0 69,1 25,0
o o 37,5
Z;
X;
[cm]
o o 30,0 30
f;
[cm2]
o
Y; i; [cm2] 2812,5
o o
z;
l;
[cm2]
o o
1250,0 6509,2 2707,5
4061,2
2826,0 3249,0
10466,7
6873,7
6075,0
FELADATOK 3.35. Számítsa ki az F.3.35. ábrán megadott görbék alatti területek x tengely körüli forgatásávallétrehozott forgástest súlypontjának a helyét!
3.4. Térbeli
erőrendszer eredője
169
3.36. Allapítsa meg az F.3.36. ábrán megrajzolt idom súlypontjának a helyét! y
8 x
8
x
h
h
40
b.
a. F.3.35. ábra /""
y
a/2
... /
x
a/2 50
a
x z
z
F.3.37. ábra
F.3.36. ábra
3.37. Határozza meg az F.3.37. ábrán két képével megadott idom súlypontjának koordinátáit! 3.38. Határozza meg az F.3.38. ábrán vázolt síkidomok súlypontjainak helyét! y
y
y
R
l,Scm
1,8cm 1,5cm
1,5cm
a.
x
1,5cm
b.
x
4 cm
x
c.
F.3.38. ábra
3.39. Számítsa ki az F.3.39. ábrán megrajzolt síkidomok súlypontjának helyét! A méretek mm-ben adottak!
3. Merev test statikája
170
y y 70
x
x
60
a
b.
y 60
L
_l
l
l
I<"X"X'XY'
IX
~
10
10 50
x
l
l
30
5
l
l
y
d.
e.
F.3.39. ábra
3. 40. Határozza meg az R sugarú félgömbfelület súlypontjának helyét! 3.41. Határozza meg az y
F.3.41. ábrán látható összetett felület súlypontjának koordinátáit!
o o
x
x 3. 42. Határozza meg az F.3.41. ábra
F.3.42. ábra
3. 43. Számítsa ki az F. 3. 43. ábrán vázolt, térben pontját!
F.3.42. ábrán vázolt síkbeli keret súlypontját! elhelyezkedő
vonal súly-
3. 44. Milyen nagyságú legyen L értéke, hogy az ábrán szereplő rúd, amely az A pont körül elfordulhat, a rajzolt helyzetet foglalja el?
17 j
3. 5. Térbeli erdrendszer egyensúlya
,.,
L
"'!"'
10
.
.. ,
A
x
F.3.43. ábra
3.5. Térbeli
F.3.44. ábra
erőrendszer
egyensúlya
A (3. 6) és (3. 7) egyensúlyi egyenletek most hat skaláregyenletnek felelnek meg:
(3.50)
Ezek felhasználásával lehet a nyugalomban lévő test kényszererő-rendszerét meghatározni. Már a 3. 3 . l. pontban térbeli esetre vonatkozóan is megvizsgáltuk a különböző kényszerekkellekötött szabadságfokok számát, valamint definiáltuk a statikailag határozott megtámasztást is. A merev test hat szabadságfokkal rendelkezik, ezért a statikailag határozott megtámasztáshoz ezt a hat szabadságfokot kell lekötni. Ennek lehetséges legfontosabb módjait - a test alakját és funkcióját IS figyelembe véve - a továbbiakban összefoglaljuk.
172
3. Nierev test statikája
3.5.1. BEFOGOTT TÉRBELI TARTÓ
A befogás a test valamennyi szabadságfokát leköti. A hat egyensúlyi egyenlettel a kényszererő-rendszer meghatározható. 3.43. Példa: A 3. 65. a. ábrán látható G = 4 kN súlyú fát a tőn alkalmazott bemetszés után kötél segítségével akarunk ledönteni. A kötélerő F = 2 kN. Adatok: a = l ,5 m; b = 4 m; c = 5 m. Határozzuk meg a bemetszésnél (befogásnál) keletkező kényszererő-rendszert! (Vegyük úgy, hogy a G hatásvonala átmegy a súlyponton.) Megoldás: A 3. 65. b. ábrán a fa modelljén feltüntettük a terhelő erő rendszert. Mindig ez az első feladat: a testre ható összes erő bejelölése. A felvett koordinátarendszerben adjuk is meg a terhelő z b. a. 3.65. ábra erő rendszert!
ahol a 3. 65. a. ábra alapján:
Számszerűen:
F = -0,456i -1,216j + 1,52lk (kN],
G=-4j [kN].
3.5. Térheli
erőrendszer
egyensúlya
173
Ezután az egyensúlyi egyenletek a 3.65.b. ábra alapján:
~ F;y = O= Fv -G+ FA y ::::} FA y = G- FY = 4- (-1,216) = 5,216 kN;
A 3.49. ábra szerint a (3.40) összefuggések megadják egy erő tengelyekre számított nyomatékait az erők és az erők támadáspontjainak koordinátáival. Esetünkben az erő támadáspontjának koordinátái P(a,b,O), ezért a nyomatéki egyenletek:
~MAix =O= MAx +bFz::::} MAx= -bFz = -4·1,521 = -6,08 kNm; ~ M Aiy = O= MAy - aFz ::::} MA y = aFz = 1,5 · 1,521 = 2,28 kNm ;
=4· (-0,456)-1,5(-1,216) =o. A z tengely irányú támasztónyomaték természetesen zérusra adódik, hiszen mind a G, mind az F terhelőerő hatásvonala átmegy a z tengelyen.
3.5.2. IvffiREV TEST HATRUDAS IvffiGTÁMASZTÁSA Egy tetszőleges alakú merev test másik lehetséges statikailag határozott megtámasztási módja az, hogy a hat szabadságfokát hat egyrudas tárnasszal kötjük le. A 3.3 .l. pontban leírtak szerint a statikailag határozott megtámasztás elégséges feltétele, hogy a különböző kényszerek a merev test különböző szabadságfokait kössék le. Ezért itt is néhány feltételnek kell teljesülnie. Feltételek: l. maximum három rúd eshet közös síkba;
174
3. Nierev test statikája
2. a közös síkban lévő rudak tengelyei közül maximum kettő metsződhet közös pontban; 3. maximum három rúd tengelye metsződhet közös pontban, ill. lehet párhuzamos; 4. a hat rúdnak nem lehet közös transzverzálisa (egy képzelt egyenes legfeljebb öt rúd tengelyét metszheti), ill. a hatodik rúd nem lehet párhuzamos az öt rúd transzverzálisávaL Magyarázat: ad l. Három adat már meghatározza a test síkbeli helyzetét ad 2. Ezen közös ponton átmenő, síkra merőleges tengely körüli elfordulást a kényszerek nem akadályozzák meg. ad 3. Három adat már meghatározza egy pont térbeli helyzetét ad 4. Ezen közös transzverzális körül a test térbeli elfordulását a kényszerek nem akadályozzák meg. Amennyiben három nem közös síkban lévő rúd egy pontban találkozik, ennek a pontnak a térbeli helyzetét ezek a rudak egyértelműen meghatározzák. Ekkor ez egy valóságos vagy fiktív gömbcsuklónak is modellezhető, amikor is nem a három rúderőt, hanem az ebben a pontban keletkező kényszererő három koordinátáját lehet meghatározni. Ilyen esetre mutat megoldást a 3. 46. feladat, mely a következőkben bemutatotthoz hasonló módszerekkel oldható meg. Statikailag határozott megtámasztású térbeli test támasztóerő rendszerét itt is a hat egymástól független egyensúlyi skalár egyenlettel számíthatjuk. Ez lehet három, de nem több, nem egy síkba eső irányban felírt vetületi egyenlet (erőegyensúly) és három tengelyre felírt nyomatéki egyenlet. A vetületi egyenletek helyett - szükség esetén - nyomatéki egyenletek is írhaták. Itt azonban mindig az adott feladat határozza meg, hogy milyen egyenletek felírása vezet a legegyszerűbben az eredményre. 3.44. Példa: Egy hasáb alakú, F 1, F 2 erőkkel terhelt merev testet hat pontjában egyrudas kényszer kapcsol a környezetéhez. (3. 66. ábra) Adatok: a= 3 m; b= 4 m; F 1 = l kN; F2 =2 kN. Határozzuk meg a kényszerekben keletkező erőket! Megoldás: Először a megtámasztást vizsgáljuk! A statikailag határozott megtámasztás szükséges feltételét a hat egyrudas támasz biztosítja. Az elégséges feltételek is biztosítottak, hiszen egy-egy síkban maximum két rúd helyezkedik el, és három rúdtengely sem találkozik egy pontban. A 3. 66. b. ábrán felrajzoltuk a testre ható összes erőt, a terhelő és kényszererőket Kijelöltünk egy globális x, y, z koordináta-rendszert és a rúderők pozitív értelmét
3. 5. Térbeli
erőrendszer
175
egyensúlya
meghatározó F A···FE erővektorokat, melyek a rendszereket jelölik ki. Ezekben az erőket rendre az
alakban értelmezzük, de továbbiakban az e egységvektorokat nem jelöljük. Így az FA, FB, ... mennyiségek előjeles értékek. A nem x, y, z Irányú erők vízszintessel bezárt szögei: a=~=
lokális
koordináta-
z b.
3.66. ábra
b 4 arctg- = arctg- = 53,13°. a 3
A erők és azok értelmezése után a kerülhet sor.
célszerű
egyensúlyi egyenletek felírására
amiből
(3.51)
Az x tengelyre felírt nyomatéki
egyenletből:
InnenFA-t (3 .51) figyelembevételével kifejezve:
F = F = _ 2aF2 +bF; = _ 2·3·2+4·1 = _ 166 kN A B . . ' 4asma 4·3 sm53,13° . ' azaz az eA és e8 egységvektorokkal, illetve a felvett ellentétes értelműek
FA
és
FB erővektorokkal
176
3. lvferev test statikája
Egy y tengelyre vonatkozó nyomatéki
egyenletből
FE számítható:
mivel F G, F 2, FA + F B az y tengellyel párhuzamos vektorok, F 1, Fc, F D pedig metszik az y tengelyt, illetve egybeesnek azzal. Ebből
Negyedik egyensúlyi egyenletként a z irányú vetületi egyenletet írjuk fel:
Ebből,
mivel FE= O
F
l
Fc = -1-= = 1,66 kN. cos 13 cos53,13o A z tengelyre felírt nyomatéki
egyenletből:
L Miz = O= -aF -bFA cos a -aFE sin 13 -aFa . 2
Figyelembe véve az eddigi eredményeket:
Fa=
aF2 +bFA cosa = -2-i(-1,66)cos53,13°= -0,66 kN. a 3
Végül az y irányú vetületi
egyenletből:
_LF;Y =O= -FD- Fa- Fc sin 13- FE sin 13- F2-(FA+ Fs)sina,
= -(-0,66)-1,66·sín53,13°-2 -2(-1,66)sin53,13°= O kN.
*
erők
3.5. Térbeli
erőrendszer
egyensúlya
177
Egy egyenes rúd térbeli helyzetét csupán öt szabadságfok határozza meg, hiszen a rúd saját tengelye körüli elfordulása nem értelmezett. Ennek megfelelőerr itt csak öt szabadságfok lekötése szükséges, egyébként a feltételek és módszerek az előzőekben bemutatottakkal egyezőek. 3.45. Példa: Az l1 = l m hosszú, középen F függőleges irányú erővel terhelt AD rúd A pontja a vízszintes síkon lévő csuklóhoz kapcsolódik, D pontját pedig a DB rúd és a vízszintes helyzetű DC rúd rögzíti. A B pont a vízszintes síkon van (3.67. ábra). Határozzuk meg a támasztóerő-rend szert! Az erő nagysága F = 2 kN. Megoldás: Az öt szabadságfokkal rendelkező 3.67 . a'b ra rúd három szabadságfokát az A csukló, további kettőt a DC és DB egyrudas kényszerek kötik le. A rudak egymáshoz való viszonyára vonatkozó feltételek teljesülnek. Ennek megfelelőerr öt ismeretlent, az FAx, FAy, FAz és az Fs és Fc mennyiségeket kell számítani (3.68. ábra), ahol:
Egy térbeli merev testre hat egyensúlyi egyenlet írható fel, de esetünkben ezek közül kettő nem független egymástól. Írjuk ezért fel a 3. 68. ábra jelöléseivel az egyensúlyi egyenleteket a célszerűen felvett koordinátarendszerben:
_'LF;y
=O=FAy+Fcsin~ +F8 cosf3sin~, _'LF;z =o= FAz -FE sin/3-F'
178
3. lvferev test statikája
_I M;y = O= -(l sin 13 )FAx ,
.I Miz = O= (l
COS
13 )FAx .
Közvetlenül látható, hogy az utolsó két egyenlet nem fuggetlen egymástól. Ezekből egyben az
...
y
eredmény is adódik az egyik ismeretlenre. A további számításokhoz az egyenletekben szereplő geometnm mennyiségeket a megadott adatokkal kell kiszámítanunk A 3. 68 ábrából ezek meghatározhatók: 3.68. ábra
a=
a = 60° , mivel egy tetraéder élszöge. l
a 2 cos-
l =---
2cos30°
0,578 m,
2
b o 816 54 67°. R.= arcta-= arcta-'--= 0 0 f-l a 0,578 '
Ezeket a fuggetlen egyensúlyi egyenletekbe helyettesítve és figyelembe véve, hogy FAx= O: -0,866Fc + 0,578 · 0,866F3 =O,
179
3. 5. Térheli edirendszer egyensúlya r~Y
+ 0,500Fc + 0,578 · 0,500FB =O, FAz - 0,816FB - F
= O,
0,816FAy- 0,578FAz + 0,5 · 0,578F =0.
Az egyenletrendszert megoldva: fAy=355N; FAz=1500N; FB=---615N; Fc=-355N.
Az eredményekből megállapítható, hogy az A csuklópontban nagysága:
keletkező
kény-
szererő
hatásvonala az yz síkban helyezkedik el és az y iránnyal
F
1500 355
,
FAy
A BD és CD egyrudas támaszokban a 3. 68. ábrán felvett erők értelmével ellentétes értelmű erők keletkeznek, azaz a rudak nyomottak
FELADATOK 3.45. A vízszmtes, egyik végén befogott törttengelyű ru dat mutat az F. 3. 45. ábra. Adatok: a= 0,8 m; b= 1,1 m; c= 0,3 m; F1 = 120 N; F 2 = 40 N; a = 60°. Határozza meg a támasztóerő-rendszert!
---x
F.3.45. ábra
180
3. Merev test statikája
F.3.46. ábra
3.46. Egy tört tengelyű, térbeli tartót a D csuklóval, valamint az AE, BE és CG egyrudas támaszokkal kapcsoljuk a nyugvó környezetéhez (F.3.46. ábra). Adatok: h 1 = l m; h 2 = 0,5 m; h3 = 0,2 m; b1 = l m; b2 = 0,5 m; qy = 10 N/m; F1 = 500 N; F2 = 200 N, h= lm; /2= 1,2 m. Határozza meg a támasztóerő-rendszert!
- 3.47. Egy hasábot hat darab egyrudas támasz köt a környezetéhez az F.3.47. ábra szerint. Határozza meg a támasztóerő rendszert!
F.3.47. ábra
3.48. Egy szabályos háromszög alakú lemezt függőleges és ferde rudak rögzítenek A lemez síkjában M 0 nyomatékú erőpár működik. Határozza meg a támasztóerő ket! Adat: a= 60°. 3.49. Határozza meg az ábrán bemutatott rúd támasztóerő-rendszerét! Adatole a= 30°; f3 = 20°; F = l kN; G= SOON. D
F.3.48. ábra
F.3.49. ábra
3.6. Jvferev test belső
erőrendszere
3.50. Határozza meg az F.3.50. ábrán bemutatott rúd támasztóerő-rendszerét! Adatok: a = 8 m; b = 6 m; c = 8 m.
3.6. Merev test belső
181
F.3.50. ábra
erőrendszere
Mint az előzőekben már többször megfogalmaztuk, az erő az anyagi testek mechanikai kölcsönhatásának mértéke. Minden ilyen kölcsönhatást erőkkel jellemzünk Ennek ellenére a műszaki gyakorlatban a különböző kölcsönhatások között különbséget teszünk és ennek megfelelően csoportosítjuk az erőket, melyek meghatározása a statika feladata. Erők
külső erők
terhelések
támasztóerők
belső erők
testek közötti erők (szerkezet belső erői)
testen belüli erők (igénybevételek)
Ha egy szerkezet elemét, egy merev testet tekintünk a vizsgálat tárgyának, akkor a szerkezet részét képező merev test és a környező valóság közötti mechanikai kapcsolatokat nevezzük külső erőknek. Ezeket akkor értelmezhetjük, ha a szerkezet és környezete közötti kapcsolatot gondolatban megszüntetjük (1.3. pont: átmetszés módszere) és a az elhagyott részek hatását erőkkel helyettesítjük. Ezeket a külső erőket- a mechanikai kapcsolatok céljának megfelelően a 3.2. pont szerinti értelmezéssel terhelésekre és támasztó erőrendszerre osztjuk fel. Egy szerkezet vizsgálatakor a szerkezetet felépítő testek közötti és a testeken belüli erőket belső erőknek nevezzük.
182
3. A'ierev test statikája
A szerkezet belső erőit akkor tudjuk értelmezni, ha a kívánt helyen a szerkezetet gondolatban két önálló részre vágjuk szét, az egyik részt eltávolítJUk és ennek hatását a másik részre - a kényszerkapcsolat jellegéből adódóan -erőkkel helyettesítjük. A belső erők (a harmadik axióma szennt) páro.'>ával lépnekfel, ezeket az átmetszés során szétválasztjuk. Ezzel részletesen a 4. fejezetben foglalkozunk. 3.6.1. IGÉNYBEVÉTEL FOGALMA, FAJTÁI, SZÁMÍTÁSA
Mn=-M.
b.
Fn-F• II. c.
d
3.69. ábra
Vizsgáljunk meg egy rudat, melynek terhelése egyensúlyi erőrendszer. Válasszuk ketté a rudataK keresztmetszetben (a ru dat tengelyére merőlegesen kettévágJUk) és az elhagyott részek hatását helyettesítsük a belső erőkkel a 3. 69. b. ábra szerint. Mivel a két rúdrész egy felület mentén találkozik, kölcsönhatásuk eredményeként az elhagyott rész hatását egy felületen megoszló térbeli erőrend szerrel helyettesítjük. A szétválasztott rúdrészek nyugalomban kell legyenek, tehát a részekre ható erőrendszer egyensúlyát külön-külön a külső erők és belső erők együttesen biztosítják. A jobb oldali részre (II) ennek megfelelően a bal oldali rész hatása működik (3.69.c. ábra). A bal oldali részre (I) a kölcsönhatás törvénye értelmében ugyanilyen nagyságú, de ellentett értelmű belső erőrendszer hat. (3.69.b. ábra). Ezt az erőrendszert redukáljuk a keresztmetszet súlypontjába, aminek eredményeként általános esetben egy vektorkettőst kapunk (Fb; Mb).
/ Definíció: Egy rúd tetszó1eges keresztmetszetében a rúd igénybevételén az itt keletkező belső erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjába redukált vektorkettőséf értjük.
A további feladat, hogy ezt meghatározzuk, ami a rúdrészekre ható szer egyensúlya alapján lehetséges.
erőrend
183
3.6. lv!erev test belsö erdrendszere
!lllJ Tétel: Egy rúd tetszőleges keresztmetszetének igénybevételét a keresztmetszettó1 balra, a koordináta-rendszer kezdőpontja felé eső rúdszakaszra ható erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjába redukált értéke adja. A rúd keresztmetszetének igénybevétele a tőle jobbra levő külső erőkből is meghatározható, ekkor azonban minden eredményünket ellentett előjellel kell figyelembe venni - tehát bármely keresztmetszet igénybevétele bármely oldalról vizsgálva azonos kell legyen. ~Bizonyítás: A 3. 69. b. ábrán levő rúdrészre írjuk fel az egyensúlyi egyenleteket! k
n
I,F =O= I,F, + (- Fb), i-=1 Il
(3.51)
i=l j
k
I,M=O= I,r, xF, + I,M, + (-Mb).
(3.52)
i=l
i= l
Innen kifejezve az Fb és Mb belső eró'ket, melyek a II. részen ábrázolt igénybevétellel megegyeznek: (3 .53) i=l k
j
Mb= I, r, xF, + I,M,. i=l
(3 .54)
i=l
Fenti összefüggések éppen a K keresztmetszettó'l a koordináta-rendszer kezdőpontja irányában (,,balra") levő erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjába redukált vektorkettőse a 3.2.3. pont szerint [lásd a (3.10-3.11) összefüggéseket]. Q. e. d.
AK keresztmetszet súlypontjában most már Ismerjük az Fb és Mb Igénybevételeket. Ezek a vektorok lényegesen könnyebben kezelhetők, ha felbontjuk őket a keresztmetszet síkjára merőleges és a keresztmetszet síkjába eső összetevökre (3. 69. d. ábra), ahol a keresztmetszetet a rúd tengelyére merő leges síkban jelöljük ki. Ennek megfelelően jelöljük az Fb erő keresztmetszetre merőleges komponensét N-nel, míg a keresztmetszet síkjába eső összetevő legyen T. Az N-et normálerőnek nevezzük, míg a keresztmetszet síkjába eső T -t nyíróerőnek Ezek az elnevezések közvetlenül a szemléletből erednek. Az Mb nyomatékvektort hasonlóan felbonthatjuk a keresztmetszetre merőleges Me és a keresztmetszet síkjába eső Mh összetevőkre. Az Me a ke-
3. Merev test statikája
184
resztmetszet síkjába eső erőpár hatására jöhet létre és a rudat csavarásra veszi igénybe, míg Mh a keresztmetszet síkjára merőleges erőkből álló erőpár ból keletkezik és hajlítást eredményez. normálerő
A felsorolt igénybevételek tehát az N normálerő-, a T nyíróerő-, az Me csavarónyomatéki-, és az Mh hajlítónyomatéki nyírás vektorok az egyszerű igénybevételek (3. 70. ábra). csavaróerőpár A vizsgált keresztmetszecsavarás tekben a fenti igénybevételek egyidejűleg, együttesen vagy M" külön-külön is előfordulhatnak. Ha a rúd valamennyi kereszthajlitás metszetében ugyanaz az egysze~ . , , " , rű igénybevétel, akkor a rúd haj lztoeropar igénybevétele tiszta normálerő, 3. 70. ábra nyíróerő, csavarás, hajlítás másként kifejezve a rúd igénybevétele homogén. Az igénybevételek meghatározása előtt egy alapvető kikötést kell tennünk. Lényeges eltérés van a vizsgált rúd vagy tartó ábrázolásához és a támasztó erőrendszer meghatározásához alkalmazott koordináta-rendszer és az igénybevételek értelmezéséhez használt koordináta-rendszerek között. A rúd vagy tartó ábrázolása a terhelő illetve a támasztó erőrendszer értelmezése helyhez kötött, másképpen globális jobbsodrású koordináta-rendszerben történik. Az igénybevételeket mindig a vizsgált keresztmetszet súlypontjában elhelyezett helyi, vagyis lokális koordináta-rendszerben értelmezzük Ez utóbbi koordináta-rendszert is szükségszerűen jobbsodrásúnak vesszük. húzás (nyomás)
~1- - -
+ JqP
l-----+~
/Definíció: Az igénybevételek változását a rúd tengelyvonala mentén leíró függvényt igénybevételi függvénynek nevezzük. Az igénybevételi függvényeket ábrázolva pedig az igénybevételi ábrákat kapjuk.
185
3.6. 1vlerev tes·t belsö erörendszere
3. 6 .1.1. N orrnál (húzó és nyomó) Igénybevétel. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a prizmatikus egyenes rudat a rúd tengelyvonalába eső rúdirányú erők terhelik (3. 71. ábra). A rúdra egyensúlyi erő rendszer, azaz a két végén egyenlő nagyságú és ellentétes értelmű két erő hat (3. 7l.a. ábra). A rudat a hétköznapi szóhasz- a. AY lll K K' nálat szerint így az F erő húzza, <~~!dlt:F-Ei::::::±E::=::=:::Jft=3-~-~~ ~ húzásra terheli, a rúd igénybevétele húzás. Az F erő értelmének meg- b. ._.!__ ~:.....E:::::::II::.ll:=:3--~t fordításával a rúd nyomó igénybeF L N=F vételét hozhatjuk létre. ~ Válasszuk ketté a rudat a rúd tengelyére merőleges K jelű ke- c. N ~1------T----1 N=F resztmetszetben (3. 71. b. ábra I-II x jelű rúdrészek). Ha a rúd nyugalomban van, akkor a rá ható erő3. 71. ábra rendszer egyensúlyi. Ekkor minden része k:ülön-külön is nyugalomban lesz, ha a megfelelő erőhatásokat működtetjük. A bal oldali I. jelű rúddarabot külön kirajzolva (b. ábra) azt látjuk, hogy ez csak úgy lehet nyugalomban, ha jobb oldali végén a rúdtengelybeeső N F erő működik, amely a bal oldali rúdvégen támadó F erővel egyenlő nagyságú és ellentétes értelmű. A hatás-ellenhatás törvénye értelmében ugyanilyen nagyságú, de ellentétes értelmű N erő terheli a II. jelű rúdrész bal oldali végét. A keresztmetszetet terhelő N erőt a keresztmetszet igénybevételének nevezzük. Ha az N erő értelme megegyezik a vizsgált keresztmetszet n normálvektorával, azaz a rúddarabból kifelé mutat, akkor a keresztmetszet igénybevétele húzás, ellenkező esetben nyomás. A vizsgált rúd bármely keresztmetszetében végrehajtva az ismertetett műveletet minden keresztmetszetre meghatározhatjuk az igénybevételt Mivel az erő a rúd hossza mentén nem változik, az igénybevétel is minden keresztmetszetben azonos, N= F nagyságú húzás lesz. A rúd egyes keresztmetszeteinek helye, valamint a hozzájuk tartozó igénybevételek között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot teremthetünk és ezt a kapcsolatot függvény alakjában is felírhatjuk, illetve ábrában is feltüntethetjük Esetünkben erre a 3. 7J.c. ábrán vázolt (x, N) derékszögű koordi-
..
l
3. Merev test statikája
186
náta-rendszer alkalmas. A vízszintes x tengely pontjai rendre az egyes rúdkeresztmetszeteket jelölik, a fiiggőleges tengelyre pedig felmérjük a keresztmetszet igénybevételét Az ábra alapján az igénybevétel a keresztmetszet helyétől nem fiigg, a terhelő erő és az igénybevétel közötti kapcsolatot az N =F
=
állandó
(3.55)
összefiiggés fejezi ki. Ennek alapján megállapítható, hogy a rúd igénybevétele homogén. Ha kijelöltünk a rúdon egy másik K' keresztmetszetet (3. 7 J.a. ábra), akkor azt a 3. 71. c. ábrára levetítve, a kapott N= F nagyságú metszék adja a K' keresztmetszet igénybevételét Az így kapott ábrát az előző definíció szerint igénybevételi ábrának nevezzük. Mivel az ábra a keresztmetszetet merő legesen terhelő erőket, a normális N erőket mutatja, azért röviden "N" ábránakis nevezzük. Másszokásos elnevezés: normálerőábra. y
112
a.
l
l Fl
ll
c
B
b.
F1
4
FA ~
F
~=+
E
-x
A
K"
F2
Kl
l
2
l~~~~
A
c
c.~F 1 rr.F2
F,-N,. ll
l
l•
~
F
A
II'
d I'
F,
F2
~
• l e.
Nt N=F 1
l•
N,
1
x
3.72. ábra
3.46. Példa: A 3. 72. ábrán vázolt befogott rúd B keresztmetszetét F 1 erő, C keresztmetszetét pedig F2 erő terheli. A terhelő erők támadáspontja a B illetve C jelű keresztmetszetek súlypontja, az erők nagyságaközött az F2= 3 F1 kapcsolat áll fenn. Határozzuk meg a rúd igénybevételeit és rajzoljuk fel az igénybevételi ábrát! Megoldás: Első lépésként a rúd támasztóerő-rendszerét kell meghatározni.
A rúdirányú erők egyensúlya alapján könnyű belátni, hogy a 2 F1 lesz a befogásban FAx támasztóerő.
187
3. 6. !vierev test belsii erdrendszere
A rudat egyensúlyi erőrendszerrel terhelve újból megraJzoltuk (3. 72. b. ábra). A terhelő erők a rudat két "terhelési szakasz"-ra bontják (l és 2). Ezután második lépésként foglalkozhatunk az igénybevételek meghatározásával. Vizsgáljuk a B-től C-ig terJedő l. jelű rúdszakasz K 1 keresztmetszetének igénybevételét A keresztmetszetben a rudat kettéválasztva (l., II.) képzeljük (3. 72. c. ábra). Az I. jelű rúddarab bal oldali végét az F 1 erő terheli. Ez a rúddarab csak akkor lehet egyensúlyban, ha az átmetszés helyén működtetjük a tengelybe eső N 1 = - F 1 erőt. A 2 jelű rúddarabra viszont működtetnünk kell az N1 = F1 erőt. A K 1 keresztmetszet igénybevétele tehát az N 1 F 1 nagyságú húzás. Mindaddig, míg a K 1 keresztmetszet a CB szakaszba esik (O~
l x<-). 2
(3.56)
A megválasztott koordináta-rendszerben tehát az igénybevételt kifejező függvény ábrája az x tengellyel párhuzamos egyenes (3. 72. e. ábra). Vizsgáljuk meg a rúd CA szakaszának K2 keresztmetszetét. A Kz keresztmetszetben I' és II' részekre osztott rudat a 3. 72.d. ábra mutatja. A bal oldali I' jelű rúddarabot az F 1 és F 2 erők eredője terheli. Ennek nagysága 2F1 és értelme a pozitív x tengellyel megegyező, jobb felé mutató erő. Az egyensúly biztosításához működtetnünk kell a K 2 keresztmetszet súlypontjában támadó és a rúd tengelyébe eső N 2 belső erőt. Eszerint az N 2 erő a bal oldali I' jelű rúddarabra nyomást gyakorol. A II' jelű jobb oldali rúdrészt a K 2 keresztmetszetben ugyancsak N2 nagyságú nyomóerő terheli. A vizsgálatot a 2. rúdszakasz valamennyi keresztmetszetére kiterjesztve azt látjuk, hogy mindegyik keresztmetszetét N2 = 2F1 nagyságú erő nyomásra veszi igénybe. A második terhelési szakaszon tehát az igénybevételt kifejező összefüggés
l
(-
2
(3.57)
A negatív előjel azt jelenti, hogy az igénybevétel nyomás. Fentiek alapján megállapítható, hogy a rúd igénybevétele inhomogén.
3. Merev test statikája
188
Az igénybevételi ábra ebben a példában szakadásos fuggvénnyel jelleAz igénybevételi ábrát most két, az x tengellyel párhuzamos egyenes szemlélteti, melynek x tengelytől való távolsága az I. szakaszon F1, a II. szakaszon -2F1. A fuggvény az x=l/2 helyen nincs értelmezve. Az ábra minmezhető.
den fuggőleges metszéke, azaz ordinátája megadja a fölötte levő keresztmetszet igénybevételét, illetve azzal arányos. Az ábra pontos megrajzolásához megfelelő erőmértéket kell felvenni (3. 72. e. ábra).
3.6.1.2. Hajlító és nyíró igénybevétel y
a.
j
F ..-----';...___ __.,
x
d. T
lt,_~__._____,JF,=;
Az eddigiekben a rúd tengelyébe eső, rúdirányú erők hatását vizsgáltuk a rúd egyes keresztmetszeteiben. Értelmezzük most a rúd keresztmetszeteinek igénybevételét abban az esetben, ha a rudat a rúd tengelyére merőleges erők terhelik! Ezt egy egyszerű példa keretében vizsgáljuk. A jobb oldalt befogott vízszintes rúd bal oldali végét a rúdtengelyre merőleges F koncentrált erő terheli (3. 73. ábra). Az F erő és a rúdtengely közös síkban vannak. A befogás mint kényszer hatását most is célszerű külön meghatározni.
x
T(x)
3.73. ábra
L Mia = O= MAz +Fl,
MAz= -Fl. Az egyes keresztmetszetek igénybevételének megállapítására jellemez-
zük a keresztmetszetek helyét a rúd tengelyével azonos x tengelyen a rúd bal oldalának végén levő kezdőponttól számított x értékekkel.
3. 6. Me rev test helsö erörendszere
189
A rudat aK keresztmetszetben válasszuk ketté. Rajzoljuk meg külön-külön is a két rúddarabot (3. 73. b. ábra). Ezeknek külön-külön is egyensúlyban kell lenniük. Az I. jelű rúddarab bal oldali végén működik az eredeti F terhelő erő. Az egyensúly helyreállításához aK keresztmetszet síkjában működtetjük a felfelé mutató T= F nagyságú erőt. Ezzel azonban a bal oldali rúdrész még nincs egyensúlyban, mert a rá ható F és T erők erőpárt alkotnak, amelynek M=f
E fuggvény értelmezési tartománya az egész rúdra kiterjed, és a fuggvény képe az (x, M) koordináta-rendszerben megadja az igénybevételi ábrát, amit
3. lvferev test statikája
190
nyomatéki ábrának nevezünk (3. 73. c. ábra). Legcélszerűbb a befogás keresztmetszetében a balról számított Fl értéket előjelhelyesen véve megfelelő mértékben felmérni. A koordináta-rendszer pozitív M tengelyét felfelé irányítjuk A példában a keresztmetszetek igénybevétele nemcsak hajlítás, hanem nyírás is, a keresztmetszeteket nyíróerő is terheli. A nyíróerő is változhat a rúd hossza mentén, tehát a nyíróerőt is felírhatjuk fuggvény alakjában. Ennek grafikus leképzése, megjelenítése a nyíróerő-ábra. A nyíróerőt akkor nevezzük pozitívnak, ha az - vízszintes rudat feltételezve - felfelé mutat. Mivel a nyíróerőt jobbról is lehet értelmezni, azért hangsúlyozzuk, hogy a balról számított nyíróerőn mindig a bal oldali, ~hagyva képzelt rúdrésznek a jobb oldali megmaradó rúdrészre gyakorolt csúsztató (nyíró) hatását értjük. Esetünkben a nyíróerő a vizsgált rúd minden keresztmetszetében azonos, így a nyíróerőfuggvény
T(x) = -F, y
x'
a.
b.
c.
d
l IF F
T=2
3.74. ábra
(O< x
.
Ennek ábrája az x, T koordináta-rendszerben az x tengellyd párhuzamos egyenes. A nyíróerőábra koordináta-rendszerében a pozitív T tengelyt mindig felfelé irányítj uk.
3. 47. Példa: A vízszintes súlytalan rúd egyik vége görgővel, másik vége csuklóval van megtámasztva, és a közepén egyetlen fuggőlegesen lefelé mutató F koncentrált erő terheli (3. 74. ábra). Határozzuk meg az igénybevételeket Megoldás: Az A és B alátámasztásokban a szimmetrikus terhelés következtében egy-egy F/2 nagyságú és felfelé mutató kényszererő ébred, azaz
FAy = Fey
=
F/2 .
3. 6. lv!erev test belső erdrendszere
191
A K keresztmetszet igénybevételének meghatározásához válasszuk ketté a rudat a K keresztmetszet mentén. A két rúdrészt külön is megrajzoljuk (3. 74. b. ábra). Az igénybevétel meghatározására vonatkozó tétel értelmében az adott K keresztmetszettől balra levő erőrendszert kell redukálnunk a keresztmetszet súlypontj ába. Ez az ábra jelölései szerint. T(x) =FA= F/2 ,
(O< x< //2)
Az A C rúdszakasz bármely keresztmetszetében a balról számított nyíróerő értéke T= F/2, felfelé mutató értelmű, értéke pozitív. Ábrázolása egy az x tengellyel párhuzamos egyenessellehetséges (3. 74.d. ábra). Az CB rúdszakaszon viszont, ahol bármely keresztmetszetben l/2
T= FA -F= -F/2. A hajlítónyomaték-fiiggvény- mint láttuk- lineáns, ábrázolásához ezért elegendő egyetlen értéket kiszámítani az x = l/2 helyen
M11 (l/2) =
-
Fl 4
F l 2 2
A nyomatéki igénybevételi függvényt az F erő támadáspontjától jobbra eső rúdszakaszon az előzőekhez hasonlóan számíthatjuk:
M(x) =-x FA + (x- //2) F Jobbról
egyszerűbb
(csupán az
=
F/2 (x -l) ,
előjelre
(l/2 :::;; x : :; l).
kell ügyelni)
M(x) =- [(l- x') }iJ ]
- F/2 (l- x').
192
3. Nierev test statikája
Ábrázolásához szükséges helyettesítésí értékek rendre: x=l/2 helyen M = -Fl/4, míg x l értéknél M =O. A keresztmetszet igénybevétele most is összetett (3. 74.c. ábra). Ez általában így van, ha a rudat tengelyére merőleges erők terhelik. A tiszta nyíró igénybevétel, olyan értelemben - mint ahogyan a tiszta húzó vagy nyomó igénybevétel - sohasem fordul elő. Az úgynevezett tiszta hajlítás azonban nyírás nélkül önmagában is lehetséges. 3. 48. Példa: A súlytalannak tekintett prizmatíkus egyenes rudat a két végén egy-egy F erő terheli (3. 75. ábra). Határozzuk meg a rúd K keresztmetszeY j tében az igénybevételt és rajzoljuk x fel az igénybevételi ábrákat! F K F Megoldás: Most is először a K' A a. B x támasztóerő-rendszert számítjuk. Az A és B alátámasztásokban a szimmetrikus terhelés következtében egyegy F nagyságú és felfelé mutató b. kényszererő ébred, azaz
t
FL_ - -
c.·~,
JF
;-·t·
Az egyensúlyi erőrendszerrel terhelt
T!i d
.
e.
---.----T-=O-__F..;s.o ____.__,~-x -jCJ F
F
MklaF
~
.. x
3.75. ábra resztmetszettől balra lévő erőrendszer igénybevétele tiszta hajlítás:
MhK
rudat a 3. 75. b. ábrán tüntettük fel. A K keresztmetszet igénybevételének megállapítására a rudat e keresztmetszetben két részre vágva (I-II) képzeljük (3. 75.c. ábra). Az I. jelű rúdrész bal oldali végén az adott F erő és az A helyen pedig FA = F erő működik. Ezek egy M=aF nyomatékú erőpárt alkotnak. A K keez az erőpár, így a K keresztmetszet
=aF.
3. 6. lvferev test belsö erörendszere
]93
Ha a rúd valamennyi keresztmetszetét meg akarjuk vizsgálm, akkor célbalról jobbra haladni. Elsőként a bal konzol K' keresztmetszetében határozzuk meg az Igénybevételeket A nyíróerő értéke Itt T = - F és a hajlítónyomaték M = F x . Az igénybevételi függvények a tartományban: szerű
T(x) = - F, (O' x < a), M(x) =Fx, (Os x sa). Ha viszont a K keresztmetszetet az A és B pontok között bárhol, tehát a _/ támaszközben választjuk ki, akkor bármely x értéknél igazak az előzőekben a konkrét K keresztmetszetre leírtak, azaz
T(x) = O , (a < x < l+a), M(x) =Fa, (a s x s l+ a).
A rúd ilyen igénybevételét a támaszközben tiszta hajlításnak nevezzük. A jobb konzol K" keresztmetszetében az igénybevételek: a nyíróerő értéke itt jobbról számítva T = - [ -F] = F és a hajlítónyomaték ugyancsak jobbról számítva M = - [ -F(l+ 2a-x)] = F xK". Az Igénybevételi függvények: T(x) F, (l+a <-- x l+2a), M(x) = FxK", (l+ as x s l+2a). Ezeket az összefüggéseket az Igénybevételi ábrában is megraJzoltuk (3. 75.d. és e. ábrák). 3.6.1.3. Csavaró Igénybevétel Az eddigiekben a prizmatikus egyenes rúd keresztmetszeteinek normál (húzó vagy nyomó), hajlító és nyíró igénybevételeivel ismerkedtünk meg. Az igénybevétel fajtáinak további megismerésére vizsgáljuk meg a még hiányzó esetet (3. 76. ábra). Az egyik végén befogott kör keresztmetszetű rúd szabad véglapját annak síkjában működő lvl0 F k nyomatékú erőpár terheli. Az erőpárnak az x tengely (a rúd tengelye) körül forgató hatása van. A kényszerben fellépő nyomaték az egyensúlyi egyenlet alapján meghatározható:
194
3. Merev test statikája
A rúd nyugalmát a befogás keresztmetszetében működő MA =Ma nagyságú, de M 0 -val ellentétes értelmű nyomaték biztosítja, azaz MA= - Mo. Igénybevételek szempontjából az a lényeges, hogy a rúdra ható összes erő egyensúlyi erőrendszert alkosson. A ru dat a szokásos ábrázolásban a 3. 76. b. ábrán újból megrajzoltuk, és az Ma a. nyomatékú erőpár vektorát a végső keresztmetszetek súlypontjából kiindulva a rúd tengelyvonalában feltüntettük. A tetszőleges K keresztmetszet igénybevételének megállapítására az elő b. y zőekhez hasonlóan a rudat a keresztmetx J szetben elvágottnak képzeljük és a két I. [K II. M.., ·-t -:- rúddarabot külön-külön is megrajzoljuk A 1--------'------,v (3. 76. c. ábra). Az I. jelű rúddarab bal oldali végső keresztmetszetében műkö c. dik az eredetileg adott Ma nyomatékú erőpár, melyet Mo vektorával tüntetünk fel. Az egyensúlyt most egy M 0 -val azonos nagyságú, de vele ellentett értelmű l M.(x) vektorral tudjuk helyreállítani, melynek ~ vektora az I. jelű rúddarab jobb oldali 3. 76. ábra végén az x tengelyen helyezkedik el. Ez utóbbival egyenlő nagyságú és ellentétes értelmű vektort a II. jelű rúdvég bal oldali végén is működtetve, mindkét rúddarab egyensúlyát helyreállítottuk Ezt az x tengely körül forgató nyomatékot csavarónyomatéknak nevezzük, és az általa okozott igénybevétel a csavarónyomatéki igénybevétel. Ha a rúd minden keresztmetszetében - mint esetünkben -ugyanakkora a csavaró-nyomatéki igénybevétel, akkor a rúd tiszta csavarásra van igénybevéve. A rúd igénybevétele ekkor homogén. Az egyes keresztmetszetekhez tartozó csavarónyomatékokat most is fel tudjuk írni fuggvény alakjában és ábrázolni is lehet (3. 76. d ábra). A csavarónyomatéki igénybevétel akkor pozitív, ha a vizsgált keresztmetszettől balra eső erőrendszer csavarónyomaték-vektora az adott koordináta-
3. 6. lvferev test he/sd erdrendszere
195
rendszerben -i irányú, a vizsgált keresztmetszettől jobbra eső erőrendszer nyomatéka pedig irányú. Más szóval, ha a vizsgált keresztmetszetből kifelé mutat a nyomatékvektor (3. 76.a. ábra). A csavarónyomaték fuggvénye:
(O< x< l). Az igénybevételi ábra esetünkben az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ilyen módon a csavarónyomatékot és a csavarónyomatéki ábrát is értelmeztük. A rúdnak bármely keresztmetszetét kijelölve, a hozzá tartozó csavarónyomaték nagyságát a keresztmetszet helyén levő ordináta adja. Természetesen a csavarónyomaték a rúd hossza mentén változó is lehet. Az eddigiekben egyszerű terhelési esetek kapcsán megismerkedtünk az Igénybevételek fajtáival és az igénybevételeket feltüntető igénybevételi ábrákkal. Bonyolultabb terhelési esetekben az igénybevételt az eddig megismert egyszerű esetekre, illetve azok kombinációjára vezetjük vissza. Az egyszerű igénybevételek összefoglalva: normáligénybevétel (húzás, nyomá~). nyírás, haj!ítás és csavarás.
3.6.2. AZ IGÉNYBEVÉTEL FOGALMÁNAK ÁLTALÁNOSÍTÁSA
Eddig csak egyenes vízszintes helyzetű tartókról beszéltünk. Foglaljuk össze és általánosítsuk eddigi eredményeinket úgy, hogy azok minden rúdra, rúdszerkezetre (elágazó tartó is) igazak legyenek! Az egyszerű igénybevételek meghatározása kapcsán már említést tettünk egy alapvető kikötésrőL Nevezetesen arról, hogy lényeges eltérés van a vizsgált rúd vagy tartó ábrázolásához valamint a támasztóerő-rendszer meghatározásához alkalmazott koordináta-rendszer és az igénybevételek értelmezéséhez használt koordináta-rendszerek között. A rúd vagy tartó ábrázolása, a terhelő- illetve a támasztóerő-rendszer értelmezése helyhez, többnyire a vizsgált rúdhoz kötött jobbsodrású (x,y,z) koordináta-rendszerben történik, melynek egységvektorai rendre i, j, k. Az igénybevételeket mindig a vizsgált keresztmetszet súlypontjában elhelyezett helyi, vagyis lokális ( (;, TJ, ~ koordináta-rendszerben értelmezzük,
3. Merev test statikája
196
et;
~
és n egységvektorokkaL Ez utóbbi koordináta-rendszert is szükségszevesszük. A 3. 77. ábrán ennek megfelelőerr helyeztük el az i, j, k,valamint az et; ~ és n egységvektorokkal jellemzett koordináta-rendszereket, amelyek kezdőpontja most kivételesen azonos. Ha módszeresen és következetesen így járunk el, akkor balról jobbra haladva mindig korrekt, előjelhelyes eredményekhez jutunk. Ennek megfelelőerr N akkor pozitív, ha értelme n-el megegyezik, tehát az N= N n > O feltétel teljesül, ekkor a normálerő húzást jelent. Ha viszont N= N n < O akkor a normálerő nyomó-igénybevételt okoz. rűen jobbsodrásúnak
j
y
e~
'll
_,......,-1-_..,__ k _er; z
s 3.77.
ábra
Ugyanígy pozitív az Me csavarónyomaték vektor, ha n-hez viszonyítva azonos értelmű, azaz az n tengellyel szembenézve Me az óramutató járásával ellentett értelemben forgat. Ilyenkor Me= Me n > O . Egyértelműen látszik, hogy a rúd tengelyébe eső igénybevételek számítása kapcsán használt lokális koordináta-rendszerben értelmezett n egységvektor és a globális koordináta-rendszer i egységvektoraközött az n =- i kapcsolat áll fenn. A T nyíróerő a keresztmetszet síkjában helyezkedik el és mint ilyen bármely síknegyedben bármilyen állásszögű lehet. Célszerű azonban T összetevőit a lokális koordináta-rendszerben meghatározní. Elnevezésük viszont kötődik a globális koordináta-rendszer tengelyeihez, azaz Ty és Tz vektorokat a Ty= Ty~ illetveTz = Tz es formában határozhatjuk meg. Mivel az egységvektorokra fennáll, hogy jli~ és kiles a nyíróerők előjele mind a globális, mind pedig a lokális koordináta-rendszerben megegyezik, így az indexként használt betűjelek sem zavaróak. Hasonlóan járhatunk el az Mh hajlítónyomatéki vektornál is, hiszen M 11y és MtlZ nem egyebek mint Mh összetevői, tehát a Mhy = Mhy ~ illetve MtlZ = Mhz et; formában írhatók fel.
197
3. 6. Merev test belső erőrendszere
Ha tehát a választott koordináta-rendszerben balról számítjuk az igénybevételeket, úgy N akkor pozitív, ha az elhagyott rész felé mutató értelmű (a vizsgált részből kifelé), Mh viszont akkor pozitív, ha az óramutató járásával ellentett értelemben forgat; a T nyíróerő akkor pozitív, ha "fölfelé" mutató értelmű. Ilyen előjel és ábrázolási szabály mellett az M 17 ábra a rúd húzott oldalára kerül. Az igénybevételek F b és Mb ismeretében lényegében rendelkezésünkre állnak. Ehhez azonban a vizsgált keresztmetszettől balra levő erőket és nyomatékokat redukálni kell a keresztmetszet súlypontjába. A 3. 78. ábrán egyetlen Fi erő esetén ez az eljárás jól követhető. A keresztmetszet súlypontjában felvett +Fi -Fi = O egyensúlyi erőrendszeiTel Fi erőt, valamint -Fi és + Fi erőpárt kapjuk eredményül, melynek nyomatékvektora Mi = ri x Fi. Az Fi és Mi alkotta vektorkettős lokális koordináta-rendszer egységvektoraival értelmezett összetevői vezetnek N, Ty és Tz, valamint az Me, Mhy és Mhz Y Aj koordinátákhoz, azaz az igénybevételek1 hez. Ha több erő van, akkor a vázolt a. ~ műveletet szükség szerint meg kell isl F, mételni, itt n a keresztmetszettől balra
rT\ ------------
iJ::i_______ _( )
e,ö «ök "ánm. n
L
Fb=
):
""""'-------'
Fi,
b.
n
Mb=
L
rixFi.
i=l
Ha a tartó terhelő erőrendszere nem csak n erőt hanem k számú nyomatékvektort is c. tartalmaz, akkor Mb meghatározásánál ezeket is figyelembe kell venni: k
Mb=
L
n
Mi+
L
x
z
rixFi,
3.78. ábra
azaz a nyomatékvektorok összetevőit is rendre megfelelő helyen kell értelmezni. Felhasználva, hogy valamint
Az egyes
összetevők
részletesen:
198
3. lvferev test statikája k
F=
Fix,
·'
Mx
k
í:
i'iy,
My=
Í:
i=l
Í:
í:
lv~y +
H
Í:
Mz=
ll
Í:
i=l
(z; Fix- x; Fiz),
i=l
k
F;z,
(y;Fiz- z; F;y),
i=I
j=l
H
F= z
M}x +
j=l ll
F= y
ll
Í:
=
lv/p+
j=l
Í:
(x;F;y- y; Fix).
i=l
Az igénybevételek:
í:
i'ix n,
L
Me=
i=l
k
i'iy e,l,
Mhy=
i=l
L
+L
L
n
L
lv~y ell+
Mhz=
i=l
L
ell (z; Fix- x; Fiz),
i=l n
k
Fiz ee;,
n (y;Fiz- z; F;y),
i=l
j=l
n
T= z
lv.&n
j= l
n
L
n
k
H
N=
L
lvfp ee;+
ee; (x; F ;y -Y; Fix) .
i=l
j= l
Az igénybevételek értékei viszont n
N=
L
Me=
i=l
L
L
Mjn+
L n
k
F;ell,
M~ry=
i=I
L
MjelJ+
j=l
(z;Fix -x;Fiz),
n
k
L
L i=l
j= l
M,-c=
(y;Fiz -z;F;y),
i=l
j= l
n
Ty=
n
k
I•'; n,
Mjec;+
L
(x;F;y- y; Fix).
i=l
A gyakorlatban előforduló feladatok jelentős része térbeli erőrendszer hatására kialakuló igénybevételek meghatározását jelenti. Sok esetben a terhelő erőrendszer valamely síkban helyezkedík el vagy síkba foglalható. A térbeli erőrendszer általános esetben hatféle igénybevételt okozhat. Ha a hatjellemző közül csupán Fx:;t:. O, a többi öt komponens zérus, akkor a keresztmetszet igénybevétele normálerő, tehát húzás vagy nyomás aszerint, hogy N> O vagy N
3.6. Nierev test belső erőrendszere
199
3.49. Példa: A 3. 79. ábrán vázolt pnzmatikus rudat egyensúlyi erőrendszer terheli. Határozzuk meg a kijelölt K 1 és K 2 keresztmetszetekben az igénybevétel eket! F = 10 kN.
F
--
------~-----
x
l
O,Sm
O,Sm
'"l
l iJ.l~l
3. 79. ábra
Megoldás: Az egyes igénybevételek értékei a K 1 keresztmetszetben rendre:
N = F n = F cos 120° = l O· (- 0,5) = -5 kN , Ty =Fell =Fcos210° =10·(-0,866)=-8,66kN, 1'z = F e~; = F cos 90° = l O· O = O kN , Me =Mxn =(yFz-ZFy) =0,15·0-0,05·(-8,66) =0,433kNm, Mhy = My ell = (z Fx- X Fz) = O, 05 · (-5) - 0,50 · O = - 0,25 kNm , MIZ= Mz e~;= (xFy- yFx) = (-0,5)· (-8,66) -0,15 ·5= 3,580 kNm. A K2 keresztmetszetben hasonlóan járunk el: N = Fn
=Fcos 120° = 10· (--0,5) =-5 kN, Ty =Fell = F cos 210° = 10 · ( --0,866) =- 8,66 kN, 1'z = F e~; = F cos 90° = l O· O= O kN , Me =Mxn =(yFz-zFy)=O,l5·0 -0,05·(-8,66)=0,433 kNm, Mhy= My e,1 = (zFx- x Fz) = 0,05 · (-5) -0,50 ·O=- 0,25 kNm, M,IZ= Mz e~;= (xF_v- y Fx) = ( -1,0) · ( -8,66)- O, 15 ·5= 7,910 kNm. 3.50. Példa: A baloldalt csuklóval, jobboldalt görgővel megtámasztott tartót síkbeli erőrendszer terheli (3.80. ábra). Határozzuk meg az Igénybevételek értékeit a kijelölt Ki (i = 1,2,3) keresztmetszetekben! F 1 = 16 kN, F2 =24 kN.
200
Megoldás: Síkbeli erőrendszer esetén számításamk egyszerűbbek Első lépésként meg kell határozni a támasztóerő-rendszert Az ismeretlen támasztóerő-rendszer összetevőit az általunk választott x, y, z koordinátarendszerben mindig pozitívnak tételezzük fel, így azok értékei előjelhelyesen adódnak. Az AB rúdra síkbeli erőrendszer hat, így a támasztóerő-rendszer a (3 .19) egyensúlyi egyenletekből a korábbiak szerint számítható. p F1 A függőleges K1 K2 erők egyensúlyát kiA x fejező összefüggés i l 1 lm i l : l lm : két ismeretlen meny~~1 nyiséget tartalmaz, ' 2m l 3m ~ID !.. '""l'"' "l"' nevezetesen az A és ( +P(l;l) !F1 B helyen a támasztó... erők függőleges ösz_!. x szetevőit. Egy1kük alkalmasan választott FAy nyomatéki egyensúlyi 3.80. ábra egyenletből adódik, ti. az A ponton átmenő és az xy síkra merőleges a tengelyre FAy -nak nincs nyomatéka. 22 Mia = O = -2 F1 - 5 Fzy + 7 FBy ,
F:tz:
-
t
FBy =(2. 16 +5. 24. 0,7071)/7' FBy = 16,693 kN. Az y irányú vetületi egyenlet:
ebből
f<~4.y
= F1- Fzsin 225°- FBy,
FAy = 16 + 16,97 -16,693 ' FAy = 16,277 kN . Végül 22 }/x = O = f<"Ax +Fa ,
FAx=- Fa= - Fz cos 225° = 16,970 kN.
3.6. Allerev test helsli er/Jrendszere
201
• Fontos! Az igénybevételek meghatározása akkor és csak akkor lehet hibátlan, ha a támasztóerő-rendszer számítása helyes. Erről minden esetben győződjünk meg egy újabb független egyenlet felírásával és annak számszerű megoldásával Az eddigiek során csupán egyetlen nyomatéki egyensúlyi egyenletet használtunk fel, így az ellenőrzés lehetősége fennáll. Mint ismeretes, egyensúlyban levő síkbeli erőrendszer esetén az erőrendszer nyomatéka a sík bármely pontjára zérus. Tételezzük fel, hogy a támasztóerők értéke helyes és így az ismert külső terhelő erőkkel együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Bizonyítsuk be! A kiválasztott pont legyen az .xy sík P(l,l) koordinátájú pontja, ugyanis így valamennyi erő szerepeini fog a felírt ellenőrző egyenletben és egy lépésben ellenőrizhető, hogy a IPix = O valamint a L: F iy = Ofeltételek teljesülnek-e.
L:Mip= O= -l FAy -l F 1 -4 Fzy +6 FBy+ l FAx -l F2x
o= -16,277 -16 -4. 16,97 +6. 16,693 + 16,97-16,97 o::::; 0,001 Most már sor kerülhet a tényleges feladat, az igénybevételek meghatározására. A síkbeli erőrendszer miatt csupán N, Ty és M 11z igénybevételekkel kell számolnunk, Tz, valamint Mn és M 11y értéke zérus. Az egyes Igénybevételek értékel a K 1 (x l m) keresztmetszetben rendre: N =FAn =FAxcos 180°=-16,970kN,
Ty = FA ell= FAy cos 0° = 16,277 kN, Mhz= Mz e~;,= x FAy= -16,277 kNm. A K 2 (x
Kz: N
3 m) valamint K3 (x
6 m) keresztmetszetek 1génybevételei:
=(FA+ F 1) n =FAx cos 180° = -16,970 kN,
'F;· =(FA+ FI) ell= FAy- F] = 0,277 kN, lvfhz = Mz e~;,= x FAy K3: N
l F] =-3· 16,277 + 16 =- 32,831 kNm.
=(FA+ F1+ Fz) n= FAx cos l 80o- F2x= O kN,
T_v =(FA+ F1+ Fz) e11 =FAy -F1-F2y= -16,693 kN, Mhz = Mz e~;,=- [(7-x) F!;y] =-[l· 16,693] = -16,693 kNm.
3. Merev test statikája
202
K3 -ban a hajlítónyomatéki igénybevétel értékét a jobbra levő erőrendszerből határoztuk meg, az előjeleket is ennek megfelelően vettük figyelembe.
3.6.3. IGÉNYBEVÉTELI FÜGGVÉNYEK MEGHATÁROZÁSA A következőkben vizsgáljuk a terhelési fuggvények és igénybevételi fuggvények közötti összefuggéseket. Az általunk vizsgált szerkezeti elemek, a rudak terhelései: koncentrált erő, vonal mentén megoszló erőrendszer, koncentrált nyomaték. Mint tudjuk, gyakorlatilag valamennyi terheléstípus valamilyen módon megoszló erőrendszert jelent, ha ez végesen kicsiny hosszúságú szakaszon oszlik meg, akkor az eredővel helyettesítjük és koncentrált erőhöz jutunk, koncentrált erők eredője erőpárra, azaz nyomatékra is vezethet. Ezért elegendő a megoszló terhelő erőrendszer és az igénybevételi fuggvények kapcsolatának elemzése.
3. 6. 3 .l. Összefuggés a terhelési fuggvény és az igénybevételi fuggvények között. Legyen a vázolt kéttároaszú tartó (3.81. ábra) terhelésének változása a rúd tengelye mentén q = q(x) intenzitású, a rúd tengelyére merőleges, fuggőleges irányú megoszló erőrendszer. Ekkor a q(x) terhelési és a T(x) nyíróerő-, valamint az Mh(x) hajlítónyomatéki fuggvények között matematikai kapcsolat határozható meg.
b· '
y
x
N
x K
r--llX---<-1
K'
3.81. ábra
!liJ Tétel: Egy rúd nyíróerőfüggvényének a rúdtengely két pon~ja közötti megváltozása megegyezik a terhelési függvény ugyanezen két pontja közötti integráljával:
3. 6. Merev test helsiJ
erőrendszere
203
x
T(x) vagy másképpen, a
T(x0 ) =
Jq(x)dx
(3.58)
nyíróerőfüggvény
terhelő megoszló erőrendszer
differenciálhányadosa megegyezik a adott pontbeli intenzitásával: dT -=q(x). dx
(3.59)
/{]J
Tétel: Egy rúd hajlítónyomatéki függvényének a rúdtengely két pon(ja közötti megváltozása megegyezik a nyíróerőfüggvény ugyanezen két pontja közötti integráljának negatív értékével: x
f
Mh(x) -Mh(xo) = - T(x)dx,
(3.60)
vagy másképpen, a hajlítónyomatéki függvény differenciálhányadosa megegyezik a nyíróerőfüggvény adott pontbeli negatív értékével: dM =-T(x). dx
__ h
(3.61)
6V" Bizonyítás: Válasszuk ki az AB támaszközben egy tetszó1eges helyen a K keresztmetszetet. Vágjunk ki a rúdból az x koordinátájú helyet követifen egy AX hosszúságú elemi részt. A AX hosszúságú elemi rész nyugalmát biztosító egyensúlyi erőrendszert a 3. 81. b. ábrán külön feltüntettük. A K keresztmetszet igénybevételei nyírás (I) és hajlítás (M1J. A LlX távolságban lévő K' keresztmetszet igénybevételei: T+ LJT és Nlh +LJ!vlh. Legyen qkd:: a AX hosszúságú elemi szakasZNI jutó közepes megoszló terhelés értéke. A L1X szakaszra ható terhelő erőrendszer eredőjének nagysága ekkor hatásvonala pedig legyen az x+ AX koordinát4iú helyhez viszonyítva ismeretlen c; távolságban (3.81.b. ábra). Ennek alapján az elemi részre felírhatók az egyensúlyi egyenletek. Mivel a ru dat csak y irányú erőrendszer terheli, így
Ebbó1 CJközAX-
LJT =O.
204
3. lvferev test statikája
Határátmenettel, átrendezés után, Iza
AX -:~-
O:
Az egyenlet bal oldala a differenciálhányados matematikából ismert dejiníciója, a jobb oldala pedig, ha AX -:~- O akkor a q az x helyen felvett értékéhez tart
dT -=q. dx ritrendezve és mindkét oldalt integrálva
x
T(x) - T(x0 )
=J q dx. x,
Az elemi rúdrész K' keresztmetszetének súlypontján írt nyomatéki egyensúlyi egyenlet viszont
átmenő z
irányú tengelyre fel-
A fenti egyenletet egyszerűsítés után Lix-szel végigosztva:
o. Határátmenettel, ha L1x tart a nullához, ,; és ezzel,; qkőz is tart a nullálwz: Mf -T= /im--1-' !rt->0
~
,
azaz dlvfh T=--. dx
ritrendezve és mindkét oldalt az előzőekhez hasonlóan integrálva x
Mh(x) -Mh(xaJ
Q. e. d.
=-J
T(x)dx.
3.6. Nierev test belső
erőrendszere
205
A levezetést olyan esetre mutattuk be, amikor a terhelés megoszló erő rendszer. További megszorítás, hogy összefuggéseink csak folytonos és differenciálható Igénybevételi fuggvényekre érvényesek, de eredményesen alkalmazhatók szakaszosan folytonos fuggvényeknél is. A koncentrált erő pedig igen kicsiny, véges szakaszon megoszló erő rendszer eredőjeként kezelhető, így eredményeink koncentrált erővel terhelt rúdszakaszokon is érvényesek. Külön ki kell térm az erőpárból származó koncentrált nyomaték esetére. Amennyiben a terhelés kizárólag koncentrált nyomaték vagy más terheléstípusok mellet a koncentrált nyomaték is előfordul, akkor a hajlítónyomatékfiiggvény VIzsgálata szalgáltat támpontot: a hajlítónyomaték helyén ugyanis a nyomatéki fuggvényben ugrás lesz, ez azt jelenti, hogy ezen az x XM helyen a fuggvény folytonassága megszakad, emiatt nem differenciálható. Viszont minden x ;z!: XM helyen használhaták eredményeink. 3.6.3.2. Igénybevételi ábrák megrajzolása A terhelési és az igénybevételi fuggvények közötti kapcsolat ismeretében könnyű és pontos lehetőség van az igénybevételi ábrák megrajzolására. Ehhez vizsgáljunk meg néhány egyszerű esetet és néhány fogást. A koncentrált erőkből álló erő- y • rendszer (3.82. ábra) esetén célszerű l kiindulni a 1rx) fuggvényből. Ilyenkor a nyíróerőfuggvény T(x) =F =konstans,
mivel a vizsgált szakaszon a keresztmetszettől balra csak az F erő hat. Így tehát 3.B2. ábra az igénybevételi fuggvényt az igénybevétel számítására vonatkozó tétel alapján határozzuk meg. Második lépésként anyíróerő-és nyomatékfuggvény közötti kapcsolat alapJán határozzuk meg a hajlítónyomatéki fuggvényt (3.60) szennt: x
Mh (x)
Mho-
JT(x)dx o
,
3. Merev test statikája
206
ha az x= O helyen Mho =O (3. 83. ábra), így
T! i
J~ l
l
T(x)=F
___)
x
-
P
'
l/2
l
:-~----r-
M,,! l ,-------~----
M(x)= -Fx
3.83. ábra
=
-F fcix
x
-Fl
=
-Fx.
o
x
l/2
- 2l Fz
Mh(x)
Allandó intenzitású megoszló erőrendszer (3.84. ábra). Az erőrendszer kezdőpontjától x távolságra a K keresztmetszetben az igénybevételek számíthatók. A terhelési függvény: q(x)
=
q = állandó.
A nyíróerő függvény a (3.58) szerint: x
T(x)=T0
+ fq(x)ix, o
3.84. ábra
ha x = O helyen To= O, akkor: x
T(x)=q Jcix =qx. o
A nyomatéki függvény: x
Mh (x)
=
Mho- J T(x)dx, o
3.85. ábra
ha az x= O helyen M 110 =O (3. 85. ábra), akkor
207
3.6. Nierev test helsó edirendszere x
Mh(x)= -qfxdx= o
l 2
)
-OX" 1
'
Ami egy parabola egyenlete. A 3. 85 ábra alapján bemutatjuk azt is, hogy a parabola érintőjét hogyan rajzolhatjuk meg. Helyettesítsük a lineáris nyíróerőfuggvényt egy olyan "lépcsős" szakaszosan állandó fuggvénnyel, amely fuggvény alatti terület megegyezik az eredeti fuggvény alatti területtel. Ezt úgy érhetjük el, hogy a lineáris nyíróerőfuggvény felénél képezzük az ugrást. Ha az így kialakult konstans nyíróerőfuggvényekhez mindkét szakaszon megrajzoljuk a nyomatéki fuggvényt, akkor a parabola érintőit kapjuk. Ezt a módszert nem csupán a vízszintes érintőjű parabola esetén alkalmazhatjuk.
Lineárisan változó intenzitású megoszló erőrendszer (3.86. ábra) esetén az igénybevételi fuggvényeket ismét a terhelési fuggvényből kiindulva határozzuk meg. A terhelési fuggvény: x q(x)=qo-· l
Y
3.86. ábra
A nyíróerőfuggvény: x
T(x)
=
To+
Jq(x)dx, o
ha az x= O helyen T0
=
O, akkor T(x)
=
q o ] xdx l o
qo :(!. 2 l
= ]_
A nyomatéki fuggvény x
Mh(x)
=
Mho-
JT(x)dx, o
208
r&l
ha az x = O helyen Mho = O (3.87. ábra), akkor
l
T(x)= l_ q. x 2
·~2! Iz ·. l l . 2 q·
l qo fx 2 Mh(x)= - - x dx 2 l o
~
l ~.
..
l qo
3
=---x. 6 l
Konkrét tartók terhelése a legtöbb esetben több koncentrált erőből, nyomatékból és x megoszló erőrendszerből állhat. Ennek megfelelően a ter_l_q f 6 o helési és az igénybevételi fuggvényeket is szakaszonként kell vizsgálni, hiszen a 3.87. ábra (3.58) és (3.60) integrálok csak folytonos fuggvényekre végezhetők el. Ezért mindig a fuggvény megváltozását és nem a fuggvény értékét vizsgáljuk, és így érvényesek maradnak eddigi megállapításaink. Tovább egyszerűsödik az igénybevételi ábra rajzolása, ha tudjuk hogy a határozott integrál geometriai jelentése a fuggvény alatti terület. Így a nyíróerőábra megváltozásait (3.58) szerint a terhelési fuggvény alatti területből, a nyomatéki ábra megváltozásait pedig a (3.60) szerint a nyíróerőfuggvény alatti területből számíthatjuk, természetesen az előjeleket is figyelembe kell venni. A szakaszonként meghatározott (akár területszámításbó l, akár az igénybevétel számítására vonatkozó tételből) fuggvények jellegére vonatkozó eredményeinket a gyakorlat számára könnyen kezelhető táblázatban foglaljuk össze. q(x)
o o
T(x) állandó= O állandó ::f:. O
állandó
elsőfokú
elsőfokú
Mu
másodfokú ugrás nem változik, bejelölni
-
o
F~
Mh(x)
o elsőfokú
másodfokú harmadfokú törés ugrás helyi szélsőérték
3. 6. Merev test belső
erőrendszere
209
Végül összefoglaljuk az igénybevételi ábrák megrajzolásának lépéseit: =? támasztóerő-rendszer meghatározása, =? normál igénybevételi ábra megrajzolása (ha szükséges), =? nyíró igénybevételi ábra megrajzolása az igénybevétel számítására vonatkozó tétel, illetve (3.58) szerint, =? hajlítónyomatéki igénybevételi ábra rajzolása: ../ a hajlítónyomatéki fuggvény zérushelyeinek bejelölése, ../ helyi szélsőérték helyek kijelölése (ahol T= O), ../ jellemző helyeken a nyomatéki fuggvények értékeinek számítása a nyíróerőábra-területek, vagy az igénybevételek számítására vonatkozó tétel alapján, ../ a jellemző pontok közötti fuggvények jellegének meghatározása, ../ másodfokú fuggvény esetén érintök berajzolása, ../ harmadfokú fuggvények esetén a fuggvény konkáv vagy konvex jellegének meghatározása, ../ az igénybevételi ábraszakaszok megrajzolása. y
3.51. Példa: A 3.88. ábrán vázolt kéttámaszú tartót a támaszközben koncentrált erő és egyenletesen megoszló terhelés, a konzolon pedig koncentrált nyomaték terheli. H atárazzuk meg a terhelések intenzitásának ismeretében a támasztóerő rendszert, rajzoljuk meg és a a ny1roerő-, hajlítónyomatéki fuggvényeket a jellemző értékek feltüntetésével!
F
x
l T
M,, x
M
// 17,5 k:Nm
-,_,.___ . . ,_,__,_",,.________ . - ::1fJ' kNm M"""'=-54 kNm 3.88. ábra
x
3. Merev test statikája
210
A maximális hajlítónyomaték értékének meghatározására külön ügyeljünk! F = 10 kN, q= 20 kN/m, Mo 5 kNm, Ir= lm, l2= 4 m, l3= 1,5 m. Megoldás: Első lépésként a szokásos módon meg kell határozni a támasztóerő-rendszert. A megoszló erőrendszer eredőjének nagysága Fq = =q 5,5 = 110 kN.
FBy = (1·10 + 3,75· 110 -5)/5 = 83,50 kN' Az y irányú vetületi egyenlet alapján:
LFiy = o FAy - F- Fq +FBy, FAy =F + Fq
FBy= 10 + 110-83,50 =36, 50 kN.
Az x irányú vetületi egyenlet:
A támasztóerők ismeretében a normálerő- és a nyírerőábra megrajzolható. Mivel a tartónak csak rúdra merőleges terhelése van, a normálerőábra zérus. A nyíróerőábra megrajzolását az igénybevétel számítására vonatkozó tétel alapján kezdjük, azaz a vizsgált keresztmetszettől balra levő erőrend szert redukáljuk a keresztmetszet súlypontjába. Az AC rúdszakasz minden keresztmetszetétől balra csak az FAy pozitív erő van, tehát ezen a szakaszon végéig állandó a nyíró igénybevétel. A C ponton megy át az F erő hatásvonala, valamint itt kezdődik a q intenzitású megoszló terhelés. Így a C pontban ugrás van, és a CB rúdszakaszon a nyíró igénybevétellineárisan változik. A B támasztásnál FBy kényszererő hatását figyelembe kell venni. A B ponttól a tartó jobb oldali szabad végéig a nyíró igénybevétel szintén lineárisan változik. A hajlítónyomatéki igénybevétel az A pontban zérus értékű, mivel a rúd vége rögzített, és tőle balra nincs terhelés. A nyíróerő az X 0 helyen zérus, a B pontban viszont előjelet vált, ezért a nyomatéki ábrának itt helyi szélsőértéke van. Az Xo értékét abból a feltételbőllehet meghatározni, hogy a vizsgált keresztmetszetben a nyíró igénybevétel zérus.
3. 6. lvferev test helsli erdrendszere
X0
=(FAy
211
F) l q= (36,5-10) l 20= 1,325 m.
A nyomatéki ábra jellemző értékeit például a nyíróerőábra-területek alapján a (3.60) összefüggésből határozhatjuk meg. A C pontig a nyíróerőfüggvény területe pozitív és nagysága FAy 11 , tehát a C keresztmetszetben a nyomatéki függvény értéke:
A
nyíróerőfüggvény
elsőfokú
eddig pozitív konstans volt, a nyomatéki függvény és iránytangense negatív. A nyomatéki függvény további változása a
nyíróerőábra területéből:
M h (l 1+ X 0 ) -Mh ( l 1) =
így a keresett helyi
2
(FAy- F ) -- 1,325 (".J6,5-10 ) -- 17 ,56 kNm, 2
szélsőérték
A vizsgált szakaszon a nyíróerőfüggvény elsőfokú, ezért a nyomatéki függvény másodfokú lesz. Ennek érintőjét is megszerkeszthetjük a nyírerőábra kiegyenlítő függvénye alatti területek kiszámításávaL Hasonlóképpen folytathatjuk a nyomatéki ábra megraJzolását a szélsőérték hely után is, csak itt a nyíróerőábra területe negatív, így a nyomatéki függvény megváltozása pozitív lesz. Mivel a CB szakaszon a nyíróerőfüggvény negatív 1ránytangensű egyenes, a hajlítónyomatéki függvény folytonos másodfokú parabola lesz, melynek érintőit az előzőeknek megfelelően megrajzolhatjuk A parabola pontosabb megraJzolásához felhasználhatjuk matematikai Ismereteinket. Így még további érintőket határozhatunk meg, ha ez szükséges. A parabola tetszőleges két pontja között meghúzhatunk egy húrt. A parabolának ezzel a húrral párhuzamos érintőjéhez tartozó érintési pont a kiválasztott két pont közötti szakasz felében lesz. AB pontban a hajlítónyomatéki igénybevétel a (3.60) szerint:
212
3. Nierev test
Mh (xB)
=
J
-54,06- [ 4-1,325 (83,5-1,5·20) = 17,5 kNm. 2
Végül az utolsó szakaszon a hajlítónyomatéki fuggvény megváltozásából
l
17,5- -(1,5·1,5·20) =-5 kNm. 2 Erről
a -5 kNm értékről az M 0 koncentrált nyomaték viszi vissza a nyomatéki ábrát egy "ugrással" nullába.
3.6.3.3. Igénybevételi ábrák szerkesztése Az eddigiek szeriilt eljárhatunk úgy, hogy jellemző keresztmetszetekben kiszámítjuk az igénybevételekeL majd ezeket léptékhelyesen ábrában felmérve felrajzoljuk az egész ábrát, figyelembe véve a terhelés, a nyíróerő és a hajlítónyomaték közötti összefüggéseket is. Egy másik lehetséges megoldást és módszert jelent a szerkesztés vagy grafikus meg oldás, anilkor kizárólag szerkesztéssel oldjuk meg a feladatot. Legtöbbször elegendő egy-egy keresztmetszetben az igénybevételek meghatározása. Ilyenkor célszerű szánútással megoldmú a feladatot. Sokszor azonban az egész rúd mentén szükséges ismerni az igénybevételeket, azaz az igénybevételi ábra megrajzolása elengedhetetlen. A normálerők általában mint koncentrált erők jelentkeznek, ezért a nonnálerők núnt igénybevételek meghatározása szerkesztéssel felesleges. Egyszerű számítással meghatározott értékek alapján csupán fel kell rajzolni az ábrát, amely általában lépcsős, azaz egyenes szakaszok határolják. A nyíróerőknél is legtöbbször egyszerűen lehet a számítást végrehajtani, ezért itt is inkább a számított értékek alapján való rajzolást részesítjük előnyben. Nyomatéki ábráknál lényegesen nehezebb a számítás. ott indokolt a szerkesztést is esetenként végrehajtani. A következőkben bemutatjuk a nyomatéki ábrák szerkesztését, egyúttal a szerkesztésből kapott adatok segítségével megrajzoljuk a többi igénybevételi ábrát is.
3. 6. 1\ferev test helsö erörendszere
213
EriJk nyomatékának szerkesztése
Feladatunk az F erő a. adott ponton átmenő (a rajz síkjára merőleges) tengelyre kifejtett nyomatékának megszerkesztése (a továbbiakban pontra kifejtett nyomatékról beszélünk, de nundig a ponton átmenő tengelyre kifejtett nyomatékot értjük alatta). Legyen az adott pont a 3.89. ábra Q pontja. Hosszlépték válasz- b. tásával ábrázoljuk az erő hatásvonalának helyét, illetve a Q pontot, majd erőlépték választásával erő ábrában F vektorát. Válasszunk tetszőleges O pólust, és rajzoljuk meg a vektorábrában a Ko és K 1 sugarakat, valamint a nekik megfelelő, velük párQ l c huzamos kötéloldalakat a ~=i kötélábrában. Húzzunk F hatásvonalával párhuzamost a Q ponton át. Ebből az egyenesből a két kötéloldal kimetszi a bejelölt y 0 távolságot. Mivel a két áb: rában kirajzolt háromszö3.89. ábra gek megfelelő oldalai párhuzamosak, a két háromszög hasonló. Felírható tehát oldalaile és magasságuk között az alábbi összefüggés YQ: k= F: C,
ahollllan viszont kF=yQ C=M
értékeket kapjuk, amely éppen az F erő keresett nyomatéka a Q pontra. Az YQ távolságot nyomatéki metszéknek, a C-t pólustávolságnak nevezzük. Fentiek szerii1t tehát az F erő keresett nyomatékát a Q ponton átmenő tengelyre megadja a nyomatéki metszéknek és a pólustávolságnak a szorzata. Az előbbit a hosszléptéknek megfelelően kell leolvasni, míg az utóbbit erőléptékben kapjuk meg.
21-/
·3. lvferev test
A nyomaték értelmét az ábrából közvetlenül le lehet olvasni, esetünkben pozitív. belátni, hogy I<' erő nyomatékának értelme a Q pontra megegyezik a j3 pontban elképzelt C erő nyomatékának értelmével az a pontra. Ábránk szerint K 1 = F + Ko, ulivel azonban Ko átmegy a ponton, K 1 nyomatéka az a pontra megegyezik F nyomatékával ugyanide. De K1 előállítható C és j3a irányba mutató összetevők eredőjeként Ennek hatásvonala átmegy a ponton, ide tehát nyomatéka nincs. Végül is tehát F nyomatéka a pontra megegyezik C nyomatékával ugyanide. Ezzel állításunkat igazoltuk A szabály alkalmazásakor vigyázni kell arra, hogy jJ az erőt követő oldalon, míg a az erőt megelőző oldalon van. Ha tetszőleges számú erőről van szó, akkor az eredő megszerkesztésével visszavezethetjük a feladatot az előbbire (3.89.b. ábra). Természetesen most az eredő F erő hatásvonalán metsződő oldalak metszik ki azyQnyomatéki metszéket a Q ponton át húzott és F-fel párhuzamos egyenesből, másrészt C merőleges F-re. Ha például csupán F 1 és F 2 eredőjé nek nyomatékát kellene meghatározni, akkor ezek F 12 eredőjével lesz párhuzamos a nyomatéki metszék, azaz az előbbivel szöget zár be. A C 12 különbözik az előzőtől, hiszen az F 12 eredőre merőleges távolságot kell számításba vemli. Ha az erők párhuzamosak lennének, akkor bármely részéről is legyen szó az erőrendszemek, a megfelelő nyomatéki metszékek míndig párhuzamosak, a pólustávolság mídig ugyanaz. Könny.ű
Hajlítónyomatéki ábra szerkesztése. Mivel a hajlítónyomatékon valantilyen erőrendszer (pontosabban a kérdéses keresztmetszettől balra eső erők) nyomatékát értjük, a szerkesztést az előző pont alapján végre tudjuk hajtani bármely keresztmetszetre nézve. Így tehát a nyomatéki ábrát elő tudjuk állítaní. Megoszló erők esetén ugyancsak a kötélsokszög adja a hajlítónyomatéki ábrát. Mivel azonban a megoszló terhelés nlint igen sok sűrűn egymás mellett lévő koncentrált erő fogható fel, a kötélsokszög oldalainak száma is igen sok. Határátrnentben a törtvonalból görbe lesz. Ilyenkor tehát a kötélgörbe adja a nyomatékábrát Egyenletesen megoszló terhelésnél a nyomatéki ábrát másodfokú parabola határolja, egyenletesen változó megoszló erőrend szernél a határoló görbe harmadfokú parabola. Nézzük a szerkesztést közelebbről a rúd tengelyére merőleges erőrendszer esetén konkrét példákan keresztül.
3.52. Példa: Az ábrán vázolt befogott tartót koncentrált erő és egyenletesen megoszló terhelés terheli (3. 90. ábra). Határozzuk meg szerkesztéssel a befogott tartó igénybevételi ábráit. Megoldás: A támasztóerő-rendszer részét képező támasztóerőt a vektorábra, míg a támasztónyomatékot a kötélábra metszéke és a pólustávolság szorzata adja. A nyíróerő ábrát F 1 Fq és FA ismeretében közvetlenül meghatározhatjuk. A hajlítónyomatéki ábra szerkesztésénél az első erőt, jelen esetben F 1-et megelőző kötéloldalt vízszintesre választottuk. A pólustávolság értékét célszerű egész értéknek választani, másrészt fontos az is, hogy jól mérhetők legyenek az így adódó nyomatéki metszékek. Esetünkben C = 10 kN, amelyet az erőléptéknek megfelelően mértünk fel.
215
3.6. Nierev test heh·ö erdrendszere
A megoszló erőrendszerrel terhelt rúdszakaszon a másodfokú parabola szerkesztése történhet úgy, hogy először a megoszló terhelés Fq eredője (núnt koncentrált erő) számára rajzoljuk meg a kötélsokszög megfelelő oldalait, ezek metszéspontja o. Ezt összekötve a megoszló terhelés határán levő függőlege sekkel kapjuk a kötélsokszög afJ pontjait, az így nyert s(i távolság y felezője lesz a parabola egy további pontja, ahol az érintő párhuzamos a~ -val. A két kötélsokszögoldal pedig a parabola két
a=O,Sm b =1,5 ro F 1=5 k:N q=2 k:N/m
C=lO k:N
végérintője.
A hajlítónyomaték szélső értéke általában ott adódik, ahol a legnagyobb a nyomatéki metszék, ez jelen esetben a 3.90. ábra befogási keresztmetszet. A rajzról lemért hosszúságot a hosszléptékkel szorozva nyerjük a nyomatéki mctszékeket
illetve Mlnnax. = YA C =1,225 · 10 = 12,25 kNm. Az egyensúlyi feltételt jelentő vektor- és kötélsokszög záródása magyarázatra szarul. AzA keresztmetszettől balra végesen kicsiny távolságban az erőrendszer még 1úncs egyensúlyban. A-tól jobbra viszont a bal oldali erőrendszerhez tartozik a támasztóerő-rendszer, tehát a támasztóerő és a támasztónyomaték is, amelyek az egyensúlyt biztosítják. Valóban ennek megfelelően a vektorsokszöget zárja FA támasztóerő. Másrészt a bal oldali erőrend szer A pontra számított A11zA nyomatékához AiA nyomatékot hozzáadva zérust kapunk. Ez az ábrán úgy jelentkezik, hogy az Mh4-nak megfelelő K~ = YA-val ellentétesen felmérjük a ~K
mctszéket Így a kezdődő és a záró kötéloldalak valóban egy egyenesbe esnek, a kötélsokszög is záródik. = - YA
3.53. Példa: A 3.91. ábrán vázolt kéttámaszú tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá, és a támaszközben F 1, 1?2 , F 3 koncentrált erők terhelik. Határozzuk meg szerkesztéssel a támasztóerőket és az igénybevételi ábrákat! 1'-'fego/dás: A támasztóerő-rendszert képező FA és FB támasztóerőket a párhuzamos erőrendszer egyensúlyi feltételeinek alapján lehet megszerkeszte1ú, ez itt külön magyarázatra nem szarul. Ha a támasztóerőket előzőleg szánútással vagy szerkesztéssel meghatároztuk, ezek ismeretében a nyíróerőábrát felrajzolhatjuk
216
3. Merev test statikája
A hajlítónyomatéld ábra szerkesztésénél az erőket balról jobbra haladva léptékhelyesen ábrázolj uk. Ha FA hatásvonalából indulunk ki és az első kötéloldalt vízszintesre rajzoljuk, akkor ez a vektorábrában követhető is, ugyanis FA> F 1, F 2 , 1<'3, FB a sorrend. Az egyensúly feltétele a zárt vektorábra és . a . b . c d a=0,4m a zárt kötélábra, így FB és FA b=0,6m ellenőrizhető. A C pólustávolc=1,2 m d=0,8m ság értékét 10 kN-ra választjuk, és ezután megszerkesztjük az erőket megelőző és követő kötélerőket és a kötélsokszöget. Az FA=;ZkN egyensúly miatt záródnia kell, mégpedig az elsőnek tekintett ko T l ! jelű, mint az FA-t megelőző oldal egybe esik az utolsónak tekintett FB utáni ko-val. Az egyes ke'----'-t---'--t----+---1..--'<:-.---i--i=-Fzf resztmetszetekre jellemző nyomatéld metszékek léptékhelyesen lemérhetők. Ha a K kereszty ~ F,~ l l metszettől balra eső FA és F 1 l z k. l erők eredőjét a Ko, K 2 sugarak fogják közre, ezekkel párhuzamosak a k 0, k 2 kötéloldalak, C=lOkN y_=2,24m amelyek a kötélábrában a kereF,=16kN l sett nyomatéki metszéket fogják F,=24kN l F,= 8kN közre. Így a zárt kötélábra egyúttal nyomatéld ábra is. Mivel csak koncentrált erők adják a terhelő és támasztóerőket, a közbülső szakaszok nyíróerőábrái a 3.91. ábra vízszintessel párhuzamos szakaszok lesznek, a nyomatéld ábrát pedig egyenesek határolják. Az ábrába berajzoltuk a jellemző értékeket is. Az A helyen a hajlítónyomaték zérus, mivel tőle balra nincs erő. A B helyen hasonlóan zérus a nyomaték, ulivel tőle jobbra nincs erő, a balra levő erők viszont egyensúlyi erőrendszert alkotrJak. Ahol a nyíróerőábra metszi a vízszintes tengelyt, ott lesz a hajlítónyomatéld igénybevételnek szélső értéke. Esetünkben ezt lemérve és átszámítva a hosszléptékkel
t
~~~~r-----
Ymax
= 2,24 lll ,
a maximális hajlítónyomaték értéke így 1'v~nav..
= Ymax. C= 2,24 · 10 =22, 4 kNm.
3.6. ivlerev te.i-t helsó erörendszere
217
3.6.4. SÍKBELI ÉS TÉRBELI TÖRTTENGELYŰ TARTÓK IGÉNYBEVÉTELIÁBRÁJ A törttengelyű tartó megJelölés természetesen a tartót alkotó, egymáshoz kapcsolódó rúdrészek tengelyemek kölcsönös helyzetét Jelölt A egyenes szakaszokból álló, de egymáshoz tetszőleges szög alatt mereven csatlakozó tartót törttengelyű tartónak nevezzük. A törttengelyű tartó elhelyezkedhet egy síkban, terhelése lehet ugyanebben a síkban, de lehet ettől eltérő is. Az igénybevételek meghatározása szempontjából legbonyolultabb a térbeli törttengelyű tartó.
3 .6.4.1. Síkjában terhelt törttengelyű tartó A feladat célja mmdig az 1génybevételek, Igénybevételi ábrák, illetve a legnagyobb igénybevételek és azok helyének, a veszélyes keresztmetszetnek a meghatározása. Ennek alapján lehet maJd a szerkezet méretezését a szilárdságtan módszereível elvégezni. A megoldást, annak módszerét célszerű konkrét feladat kapcsán bemutatni, így könnyebb elsajátítant Legyen a több egyenes rúdszakaszból sarok-merev kapcsolattal, pl. hegesztéssel kialakított síkbeli törtvonalú tartó terhelése szintén síkbeli (3.92. ábra). Terhelje a D pontban F erő, aBC szakaszon q egyenletesen megoszló erőrendszer, míg a B pontban Mo nyomaték. F = 2qa ésM0 = 2qcl. Míelőtt a megoldáshoz hozzákezdenénk el kell döntenünk, hogy a teljes erőrendszerrel dolgozunk-e, vagy más eljárást pl. a szuperpozíc1ó módszerét alkalmazzuk. Most válasszuk elsőként a teljes erőrendszert. Míndenekelőtt a támasztóerő-rendszert határozzuk meg a vetületi egyenletekbőL
2: Mia =
O MA - 2qcl + a 2qa -a 2qa ,
218
3. Merev test statikája
3a
A kényszererők ismeretében raJzoljuk fel ismét a tartót, de most már egyensúlyi erőrendszerrel terhelve (3.92. ábra). A jellegzetes keresztmetszetek c igénybevételeit mindhárom rúdszakaszon 4a meg kell határozni. Mivel a szerkezet felépítése és terhelése egyaránt síkbeli így csupán normálerő, ny1roerő és q hajlítónyomatéki igénybevételek keletkeznek. n '----------'1!--'Kezdjük a normáligénybevételek te" meghatározásával. Vál asszuk kiindulási 3. 92. ábra pontnakabefogási A keresztmetszetet és itt helyezzük el az igénybevételek vizsgálatához használt " TJ, ~ koordinátarendszerünket az e~; e11 és n egységvektorokkal (3.92. ábra). Az AB rúdszakasz normáligénybevételét a befogásban fellépő FAx = 2qa okozza, az n egységvektorral ellentétes irányú, azaz N = - 2qa adódik, tehát ezen rúdszakasz nyomott. ABC rúdszakaszon a normál-igénybevétel viszont FAy = 2qa-bó1 származik. Itt a koordinátarendszerünket úgy kell 90° -kal elfordítva használm, hogy a tartót az óramutató járásával megegyező értelemben járjuk körbe, tehát N= 2qa. A CD rúdszakaszon normáligénybevétel nincs, mert minden keresztmetszetétől "balra" a ClJ tengelyével párhuzamos erők eredője zérus. (FAx - 2qa = 2qa - 2qa=O).
A normálerők változását kiterített ábrában foglaltuk össze, melyben az egyes rúdszakaszok hossztengelyeire jellemző általános koordináta a független változó, jeles (3.93.a. ábra). Az AB rúdszakasz nyíróigénybevételét a befogásban fellépő FAy = 2qa okozza, ez e11 egységvektor irányába mutat, így Ty = 2qa adódik. A BC rúdszakaszon a nyíróigénybevétel viszont FAx = 2qa-bó1, valamint az egyenletesen megoszló erőrendszerből származik. Koordináta-rendszerünket itt is 90°-kal elfordítvakell használni, és tetszőleges helyen a nyíróigénybevételt a BC rúdszakaszra merőleges erők valamint az e11 egységvektor skalár-szorzata adja. Ennek megfelelően a B pontban a nyíróigénybevétel
3. 6. Nierev test helsli erörendszere
219
értéke 2qa, míg a C keresztmetszetben }A,;- 2qa =O, változása pedig a kérdéses keresztmetszetek közötti szakaszon a nyíróerő és a terhelés kapcsolatát kifejező
T- To=
tétel értelmében lineáris.
:l
Jq(s)ds a. j2qa
l ... Bl2qa A CD rúdszakaszon D s c a nyíróigénybevételt FAy b. okozza. A C keresztmet- r., szetben FAy az e 11 egy- 2qaj D I~C ségvektorral ellentett irás 2qal A B nyú, azaz a nyíró igénybevétel itt Ty -2qa. A D keresztmetszetben vi- 2qa + F szont Ty - 2qa + 2qa, tehát a nyíróigénybevétel értéke zérus lesz. A két ke3.93. ábra resztmetszet között egy konstans függvénnyel ábrázolható a nyíróigénybevétel változása. A nyíróigénybevételi függvényeket a 3. 9 3. b. ábra tartalmazza. Bármely rúdszakasz hajlítónyomatéki igénybevétele az
l ..
Mh -Mho
=-J T(s)ds
tétel felhasználásával határozható meg. Az AB rúdszakasz hajlítónyomatékiigénybevételét a befogásban fellépő MA = 2qct állandó érték és FAy együttesen okozzák. Tetszőleges helyen ezt ee; egységvektorhoz viszonyítva Mhz előjelhelyesen adódik. Ennek értéke a befogásban természetesen Mhz MA= = 2qct , míg a B keresztmetszetben M 11Z = MA - 2qa 3a = 2qct - 6qct = - 4 qct. Most M 0 -t nem vettük figyelembe, viszont a B keresztmetszetben Mo miatt M 11Z -re két érték adódik. M 0-t is beszámítva a második érték M,lZ = - 6qct. A BC rúdszakaszon a hajlítónyomatéki igénybevétel a tőle balra levő erőrendszerből határozható meg. Esetünkben ez gyakorlatilag a C kereszt-
220
3. lvferev test statikája
metszetben lvh1Z MA - Fily 3a- FAx 2a - M 0 + 2qcl. Értéke B helyen természetesen már ismert, míg a C keresztmetszetben M 11Z = 2qcl - 2qa3a - 2qa2a - 2qcl+ 2qcl - 8qcl. Ennek egyezme kell az F erőnek ugyamde számított nyomatékávaL M,1Z -[F 4a], ugyams ezen a szakaszon Fa vizsgált keresztmetszettől ,,Jobbra" van, így Mi1Z = - [2qa 4a] = - 8qcl. A CD rúdszakaszon a hajlítónyomatéki igénybevételi függvényt igen egyszerű megrajzolni. A C keresztmetszetben ismert- 8qcl, a D keresztmetszetben viszont értéke zérus, ugyanis az F erőn túl már nincs terhelés, viszont az erővel együtt egyensúlyi erőrendszer terheli a tartót. A két keresztmetszet között az igénybevételi függvény egy pozitív iránytangensű lineáris függvénynyel ábrázolható. A hajlítónyomatéki igénybevétel változását a 3.93.c. ábrán követhetjük. Oldjuk meg az előző feladatot szuperpozíció felhasználásával is! A tartót terhelő erőrendszer, nevezetesen az M 0 nyomaték, az F koncentrált erő és a q egyenletesen megoszló vonal menti erőrendszer együttesen, de egymástól függetlenül idézik elő az igénybevételt amely, az alábbi formában írható fel:
Mh (s)
=
MhivJ(s) + MhF(s) + M~tq(s).
Elsőként csupán az M 0 nyomatékot vegyük figyelembe, a többi terhelés hatásától tekintsünk el. A befogásban MAM M 0 = 2qcl nyomaték képezi a támasztóerő-rendszert, illetve MAM és M 0 egyensúlyi erőrendszer hatására a tartó nyugalomban van. Ebből adódóan sem normálerő sem pedig nyíróerő nem lép fel, sőt M 0 is mindössze az AB rúdszakaszon okoz hajlítónyomatéki igénybevételt Az igénybevételi függvények ábrázolásánál is alkalmazzunk más módszert, nevezetesen raJzoljuk rá azokat a szerkezetre 3.94. ábra.
N=O
A
B Nu{s)
2a2q UJ..W..u.J..!.J..U..l.J..U.W.J..U..l.J. .
T=O
A
B
A
B
Tu(s)
C D C D c ------------------------------------------A
D
3.94. ábra Következő
lépésben legyen a szerkezet terhelése kizárólag q megoszló
erőrendszer. Ennek hatására a befogásban most vízszintes befogási nyomaték keletkezik: FAxq = 2qa és M.Aq a 2qa .
kényszererő
és
3. 6. Jvferev test belsö erörendszere
221
Az igénybevételi ábrák az AB rúdszakaszon könnyedén megraJzolhatók, ugyams a normáligénybevétel Nq - 2aq és 1;, O azaz nyíróigénybevétel nincsen. Utóbbi megállapításból VIszont az következik, hogy ezen a rúdszakaszon a hajlítónyomatéki igénybevétel állandó, értéke pedig Mhq MAq )
2q«. . ABC rúdszakasz terhelése megoszló erőrendszer. Igénybevételei tetsző legess helyen: Nq(s) = O, Tq(s) = FAxq- qs illetve Mhq (s) = MAq- FAxq s + + 0,5 q:/= 2qcl - 2qa s + 0,5 q.l. Egyértelműen látható, hogy a nyíróerő egyenes, míg a hajlítónyomatéki igénybevétel parabola szerint változik. A konkrét, ábrázoláshoz szükséges értékek pedig Tq = 2qa és Mhq = 2qcl a B kereszt-metszetben, míg Tq = O és M 12 q = O a C keresztmetszetben. A CD rúdszakasz terheletlen, így valamennyi Igénybevétele zérus. A szerkezetre rajzolt igénybevételi fuggvényeket tartalmazza a 3.95. ábra. A
B
T=O A
M..,(s)
T.(s) D
C
c
c
D 3.95. ábra
Végül csak a koncentrált erd hatását kell vizsgálni. A befogásban most és befogás1 nyomaték keletkezik: FAyF = 2qa és
fuggőleges kényszererő
MAF
=
a2qa.
Az Igénybevételek az AB szakaszon: NF O és TF = 2aq, azaz normálerő nmcsen. A nyíróerő állandó, pozitív konstans, amiből viszont az következik, hogy ezen a rúdszakaszon a hajlítónyomatéki igénybevétel negatív 1ránytangensű egyenes szennt változik, állandóan csökken. Értéke pedig az A MAF helyen M 12F = MAF = - 2qcl, a B keresztmetszetben viszont MhF
-FAyF 3a = - 2qcl - 2qa 3a - 8qcl . ABC rúdszakaszon NF FAyF= 2aq és TF= O, em~attMhq(s) = - 8qcl. A CD rúdszakaszon NF O és TF =-FAyF = - 2aq. Utóbb1 m1att a N=O A
Arrn-ITIT~..,.,.,=-tr-.
2qa
~·
n_F_~_J B_c_~• i~.~~mm~T~F('TI~~~~
D _________
A
B
-2azq
__
C
D 3.96. ábra
D
222
3. lv!erev test statikája
hajlítónyomatéki Igénybevétel pozitív iránytangensü egyenes szerint változik, értéke a D keresztmetszetben zérus. A szerkezetre rajzolt Igénybevételi iliggvényeket a 3.96. ábra foglalja össze. A két közölt megoldás nagyon egyszerűen összevethető, ha a nevezetes pontok, a sarokpontok keresztmetszeteiben az eredményeket összehasonlítjuk. Magától értetődően az igénybevételek értékei nem térnek el, hiszen az eredmény nem attól fugg, hogy milyen eljárást használtunk Bármely számítási, ábrázolási módszer alkalmas lehet, ha azt a mechanikai elvek következetes betartásával helyesen alkalmazzuk. 3.54. Példa: A 3.97. ábrán vázolt törttengelyű kéttároaszú tartót q egyenletesen megoszló erőrendszer terheli. Rajzoljuk meg a tartó igénybevételi ábráit számított értékek alapján. Megoldás: A támasztóerő-rendszer:
"L-Fix =O =FAx+ Fq+ O
-j-
FAx= -qa,
"L. Mia = O = - l ,Sa qa + a FB
-j-
FB = l ,5 qa ,
-j-
FAy =
y~
ten
--·
-
l, 5 qa .
A tartót terhelő egyenD-----"B súlyi erőrendszert a 3.97. b. c c q ábra tünteti fel. laq a q a 2 a A jellegzetes keresztmetszetek igénybevételeit Q kezdjük a normáligénybevételek meghatározásával. a1 Válasszuk kiindulási pontnak az A keresztmetszetet, az A aq Igénybevételek vizsgálatához x en laq alkalmazzuk a S, 7], ~ ko ora. b. dínáta-rendszert az e1; e11 és n egységvektorokkaL 3.97. ábra Az AC rúdszakasz normáligénybevétele FAy-ból származik, és az n egységvektorral N= 1,5 qa adódik, tehát ez a rúdszakasz húzott, az AC szakaszon értéke állandó.
-
n
B
'
--
t~
223
CB rúdszakaszon a normáligénybevételt VIszont F.:Jx és q együttes haO, a CB rúdszakaszon a normáhgénybevétel tása okozza. Mivel FAx + Fq értéke zérus. A normáligénybevételek változását a 3.98.a. ábrán követhetjük. Az A C rúdszakasz nyíN i róigénybevételét Fax és q a. l idézik elő. A vizsgált rúdA ~::-a-q--------.1 c szakaszon legalább három l · s keresztmetszetben kell Ty 1'y • Q értékét meghatároznunk b. A a-q---.,..!----- C AzA és Q keresztmetszetek · 1-~ .,B ~s között bárhol Ty = qa = M~u ~ Q .....~._a_q___.. =állandó adódik, viszont a c. Q és C közötti szakaszon értéke q miatt lineárisan csökken, a C keresztmet3.98. ábra szetben Ty = qa - qa = O adódik. A CB rúdszakasz nyíróigénybevétele FAy-ból származik, és értéke Ty= - 1,5 qa. A nyíróigénybevételeket a 3. 98. b. ábra tartalmazza. Az AC rúdszakasz hajlítónyomatéki igénybevételét az FAx és q okozzák. Értéke az A csuklóban természetesen N/172 = O. Másik nevezetes keresztmetszetet (Q ) a q megoszló erőrendszer kezdete jelöli la, Itt Mhz = - aFAx = = -q«. A keresztmetszetben Mhz = - 2a FAx + 0,5 q« = - 1,5 q«. Az Mhz Mhz (s) fuggvény AQ szakasza lineáris, míg a QC szakaszon másodfokú parabola határolja. Az CB rúdszakasz C keresztmetszetében M 172 már rendelkezésünkre áll, a B alátámasztásban viszont M 112 = O. Miután e szakaszon a nyíróerő negatív konstans, a hajlítónyomatéki fuggvény pozitív iránytangensű egyenes lesz. A hajlítónyomatéla ábrákat a 3.98.c. ábra foglalja össze. 1'"'.
Ir-·
) c
)
)
3.6.4.2. Síkjára merőlegesen terhelt törttengelyű tartó A 3.99. ábrán vázolt befogott törttengelyű tartót a saját súlyából származó q egyenletesen megoszló erőrendszer terheli. Rajzoljuk meg a tartó Igénybevételi ábráit! A támasztóerő-rendszer:
224
q
b.
2: F iy =o= FAy- q(L + L/2)-+ FAy = 1,5 qL'
Most célszerűen használhatjuk a tengelyre számított nyomatékot a befogási nyomaték meghatározásához
2: Mix = O = MJL~ -q L/2 L/4 -+MAx = O, 125qL2 ,
Mivel a tartót kizárólag a rúdszakaszok hossztengelyére merőleges, azaz terheli normáligénybevételek nem keletkeznek. Az AH rúdszakasz nyíróigénybevéte/ét FAy és q Idézik elő. Az A és B keresztmetszetek között bárhol Ty (s) = FAy- qs = 1,5 qL- qs = q(1,5 L-s), növekvő s értékekkel Ty lineánsan csökken. Ennek alapján az A illetve B keresztmetszetben Ty meghatározható. Értékei Ty(A) = 1,5 qL, valammt Ty, (B) = 0,5 qL. A HC rúdszakaszon is hasonlóan járunk el. A B és C keresztmetszetek között bárhol Ty (s) = FAy - qL - qs = 1,5 qL - qL - qs = q(0,5L - s), növekvő s értékekkel Ty. lineánsan csökken. A H keresztmetszetben Ty ismert, mig a C keresztmetszetbens L/2 helyen a Tv(s) = q(0,5L- s) értéke zérus. V áhozása a vizsgált szakaszon ismét lineáns. A nyíróigénybevételeket a 3.1 00. b. ábra tartalmazza. fuggőleges erőrendszer
3. 6. Me rev test belsli
erőrendszere
225
Az AB rúdszakasz hajlítónyomatéld igénybevételét az M.11z, fA.y és q okozzák. A és B keresztmetszetek között bárhol Mhz (s) = M.11z - s FA.y + 2 2 -r 0,5 qSZ = qL - s 1,5 qL + 0,5 qi = q(L - 1,5 Ls+ 0,5l). Ábrázolásához Ti három pont elegendő, nevezetesen s = O s = L/2 és r~ s= L helyeken. Ennek alapján ~ 3 L M hz q:L2' M hz -- .)'"'/8 qL 2 es • a. 2q l . Mhz =O. ABC rúdszakaszon l. 2qL ' célszerűbb a szabad rúdvégM. 'A B C s ből kiindulva meghatározni a hz ~ M~rx i 1 hajlítónyomatéki igénybevé- b. ~l ·~ 2 0 125 Ll telt. A kérdéses rúdszakaszt i!!___ ~ q 1 q megoszló erőrendszer terA B C ~ heli. ~i =M. 2 c. T l O.l25qL A C keresztmetszetben magá+j-----------------fj--------+1.-~A~------------~B C s tól értetődően nem lesz 3.100. ábra hajlítónyomaték, viszont a B 2 2 helyen lv111 = 0,5 q(L/2) =O, 125 qL adódik. A hajlítónyomatéki igénybevétel változását a 3.1 00. c. ábra foglalja össze. A befogásban rúdtengellyel párhuzamos nyomatékvektor is adódott, am1 az AB rúdszakaszon a nyíró- és hajlítónyomatéki igénybevételen túl csavarást fog okozni. Ennek mértéke Me = MA n = -MAx = - O, 125 qL2 , tehát a vizsgált rúdszakaszt a megadott értékű, állandó csavarónyomaték terheli. ~
3.6.5. GÖRBE TENGELYŰ TARTÓK IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI A görbe tengelyű tartó elnevezés a tartó tengelyvonalának alakjára utal. A körív alakú, egymáshoz mereven csatlakozó szakaszokból álló tartót szintén görbe vonalú tartóként kezeljük fuggetlenül attól, hogy a csatlakozó ívek görbülete azonos-e egymással vagy sem. A megoldás során célszerű a görbe vonalú tartót n/2 nyílású, azaz 90° -os elemekre fel osztani, és az igénybevétell fuggvényeket, majd a kérdéses helyeken az igénybevételek értékeit így meghatározni.
226
3. lvlerev test statikája
3.6.5.1. Síkjában terhelt görbe tengelyű tartó A megoldás módszerét most is célszerűen konkrét feladaton mutatjuk be. A 3.101. ábrán vázolt R sugarú, negyedköralakú síkgörbe középvonalú rúd egyik vége befogott, míg szabad végét F erő terheli. A támasztóerő-rendszert kell elsőként meghatározni. LFix=O=FAx,
L F iy = o = FAy - F --;} FAy = F, "LMia =O =MA -RF -7-MA =RF. A rúd felépítése és terhelése egyaránt síkbeli, így csupán norB málerő, nyíróerő és hajlítónyomaB téki igénybevételekkel kell számolnunk. R R a. b. Válasszunk ki az A és B pontok között egy tetszőleges rp szögx höz tartozó K keresztmetszetet. Helyezzük el az igénybevételek vizsgálatához használt S, 7], ; lokális koordináta-rendszerünket az ee;, e,1 és n egységvektorokkal aK keresztmetszet súlypontjába (3.101.b. ábra). Az igénybevételt megfogalmazó tétel értelmében járunk el és redukáljuk a vizsgált keresztmetszettől balra levő erő rendszert a K keresztmetszet súlypontjába. Ennek megfelelően eredményként aK keresztmetszetben FAy=F koncentrált erőt és MK =MA -FR(l-cosrp) erő párt kapunk. Utóbbit egyszerűbb alakban célszerű felírni, azaz MK = FR -FR( l- cosrp) =FR cosrp. A keresztmetszet normálerő igénybevétele FAy-ból származik, n egységvektorral ellentétes irányú, tehát N( rp)= - Fcosrp adódik. A vizsgált keresztmetszet normáligénybevétele tehát nyomás, melynek szélsőértékei rp = O esetén N - F és rp re/2-nél N= O, azaz növekvő rp értékekkel a rúd keresztmetszetelben a normáligénybevétel csökken. y
F
3. 6. Me rev test helsú erdrendszere
227
normálerő
Igénybevétel változását a rúdra raJzolt ábrában foglaltuk F össze (3.102.a. ábra). nyíróigénybevéte/ét szintén A K keresztmetszet FAy okozza. Most viszont az
FAy{;_
T
.': MA{;jh:~.
ell egységvektorral megszo+ + - a. +- b. c. rozva T(
L' = FBy
1:-''j_? .
l'
Két részre bontva vizsgáljuk a feladatot. Először a K keresztmetszetet az A és C pontok között egy tetszőleges
228
3. Aferev test statikája
Az Igénybevételek vizsgálatához használt (, ry, ~ lokális koordinátarendszerünket az e<; e11 és n egységvektorokkal aK keresztmetszet súlypontjában helyezzük el. (3.103.b. ábra). A keresztmetszet normáligénybevétele FA = F/2-ből származik, N( q;)=( -F/2) cosrp. A vizsgált keresztmetszet normáligénybevétele nyomás, melynek értékei az A helyen, tehát rp =O esetén N= -F/2, a C keresztmetszetben rp = n/2-nél viszont N=O. Növekvő rp értékekkel a rúd keresztmetszeteiben a normálerő csökken. A K keresztmetszet nyíróigénybevéte/ét szintén FA okozza és T(rp) = (F/2) smrp formában írható fel. A nyíróigénybevétel szélsőértékel az AC szakaszon rp = O esetén T= O és rp = n/2-nél F/2, azaz növekvő rp értékekkel a rúd keresztmetszeteiben a nyíróigénybevétel is nő. A hajlítónyomatéki igénybevétel az A csuklóban fellépő FA = F/2 függő leges támasztóerő hatásából származik. A K keresztmetszetben tehát MK = Mh ( rp) = -FA R(l-cosrp) = (-F/2) R(l-cosrp) . Az M 11 ( rp) függvény szélsőértékei rp =O helyen M 11 =O, illetve rp = n/2-nél M 11 = (-F/2) R. Ha rp értéke nő akkor a hajlítónyomatéki igénybevétel is nő. Az AB síkgörbe rúd hiányzó CB szakaszának igénybevételi függvényeit is meg kell határozni. Ehhez aK keresztmetszetet a függőlegestől bejelölt If/ szöggel jelöljük ki. Az eljárás ezután természetesen az előzővel megegyezik. A normáligénybevételt FA = F/2 és F együttesen okozzák, tehát N( v)= [(F/2) - F] sin If/ = - F/2 sin If/. A normáligénybevétel itt is nyomás, melynek értékei a C helyen, tehát If/= O esetén N = O és a B keresztmetszetben v= n/2-nél viszont N=-F/2. Természetesen felírható ugyanitt a normáligénybevétel a vizsgált K keresztmetszettől jobbra levő erőrendszer felhasználásával is, nevezetesen N( If/) = - [FB cos(90°-lf/)] = - [(F/2) cos(90°-lf/)]. Az ismert tngonometriai azonosság felhasználásával viszont N( v)= ( -F/2)sin If/ adódik, ami előző eredményünkkel megegyezik és egyben annak helyességét 1s igazolja. A nyíróigénybevétel szintén FA = F/2 és F együttes hatásának következménye. T( v)= [(f/2) -FJ cosv= (-F/2) cosv. Szélsőértékei a CB szakaszon v= O esetén T=-F/2 és rp =n/2-nél T=O. Itt növekvő If/ értékekkel a rúd keresztmetszeteiben a nyíróigénybevétel csökken. Ellenőrizzük összefüggésünket a K keresztmetszettől jobbra levő erőrendszer felhasználásával is: v) - [FB sin( 90°-If/)] = [(F/2) sin( 90°-If/)] = ( -F/2) cos v . A két eredmény most is egyezik.
1r
3. 6. lvierev test belső
erőrendszere
229
A hajlítónyomatéki igénybevétel az FA = F/2 fuggőleges támasztóerőből és az F erőből számítható MK = M~t(lfl) = -FA R(l+sinljl) + FR sinljl = =(-F/2) R (l+sinljl) +FR sinljl= (-F/2)R(l-sinljl) = (-F/2) R cosljl. A hajlítónyomatéki igénybevételi függvény szélsőértékei lfi-Ü helyen Mh=(-F/2)R, valamint ljl=n/2-nél M11=0. Növekvő lj! értékekkel a hajlítónyomatéki igénybevétel csökken. A hajlítónyomatéki igénybevétel a jobbra levő erőrendszer hatására: MK = Mh(lfl) =-[FER sin(90°-ljl)] = = - [(F/2) R sin(90°-lfl)]
(-F/2)R
COSlfl.
Az egyezés most is nyilvánvaló és az összefuggések korrektsége nemkülönben. Az igénybevételeket az ívhossz fuggvényében a 3.1 04. ábrán láthatjuk. 3.6.5.2. Síkjára merőlegesen terhelt görbe
tengelyű
tartó
A síkjára merőlegesen terhelt görbe vonalú tartó igénybevételi fuggvényeit ugyanolyan módszerrel határozzuk meg, mint a síkjában terhelt görbe vonalú tartóét. Legyen az R sugarú, negyedkör alakú síkgörbe középvonalú rúd egyik vége befogott, míg szabad végét a görbe rúd síkjára merőleges terhelése F erő (3.105. ábra). Írjuk fel a tartó igénybevételi fuggvényeit. Az igénybevételi fuggvények felírása a támasztóerő-rendszer segítségével lehetséges. Az egyetlen F terhelő erő fuggőleges, tehát hatásvonala az y tengellyel párhuzamos, így a befogásban is csak fuggőleges kényszererő léphet fel:
230
a.
3. lvlerev test statikája
b.
MA;
YH l
lF
tF~
...x x
fZ
F
3.105. ábra
A fuggőleges F erőnek az y tengelyre nem lesz nyomatéka, így a kényszerben csak a másik két tengelyre számított nyomatékkal kell dolgoznunk.
L..Mix =O =MAx+ RF-> MAx= -RF, L..Miz =O =MAz -RF->MAz=RF.
Az íven válasszunk ki egy
tetszőleges
rp szöghöz tartozóK keresztmetszetet. Redukáljuk a vizsgált keresztmetszettől balra levő erőrendszert K súlypontjába. Ennek megfelelően a K keresztmetszetben FAy = F, valamint FAy R smrp és FAy R ( 1-cosrp), illetve MAx és MAz lesz a redukálás eredménye. A rúd felépítése ugyan síkbeli, de terhelése m1att valamennyi igénybevétellétezését meg kell v1zsgálni. Helyezzük el az Igénybevételek vizsgálatához használt t;, 17, q lokális koordináta-rendszerünket az es e11 és n egységvektorokkal aK keresztmetszet súlypontjába (3.105.c. ábra). A keresztmetszet normálerőigénybevétele N( rp)=O mivel FAy fuggőle ges és FA n = O. A K keresztmetszet nyíróigénybevéte/ét a fuggőleges kényszererő FAy FA okozza, így Ty( rp) = FA e11 FAy = állandó formában írható fel. Nyíróigénybevételt a keresztmetszetben a q tengellyel párhuzamos erő is okozhat. Mivel FA e,;: = O, r.-:e rp) = O. A hajlítónyomatéki igénybevételtaK keresztmetszet súlypontjába redukált }A_y erő, lvfAx és lv!Az megfelelő összetevői adják, az e; egységvektorhoz
231
3. 6. 1vferev test belsö erdrendszere
viszonyítva előjelhelyesen: Mh (
Az igénybevételi függvények összefoglalva
N(1p) O, Mhy(ifJ) =O,
Ty( IP) = F állandó, Me(IP) =FR (1-smlfJ).
Tx(ip) =O, Mhz( ip) =FR COSip,
FELADATOK 3.51. Az F.3.51. ábrán vázolt pnzmatikus rudat egyensúlyi erőrendszer terheli. Határozzuk meg a kijelölt K 1 és K 2 keresztmetszetekben az igénybevéF 2 = 1,5 kN. teleket l F 1 =l kN, y
_::__ _li't""*t_y_----
-~---
- - - -+--
K,
K,
0,7m
j
--~----xo~z ~J:~ i
O,Sm
t !
'
O,lm
F.3.51. ábra
3.52. Az F. 3. 5 2. ábrán vázolt egyik oldalán befogott tartót síkbeh erőrend szer terheli. Határozzuk meg a kijelölt Ki keresztmetszetekben az tgénybevételeket! F= 10 kN.
232
3. Alerev rest s-tatikája
n
---1-----15+--
-~-------+-
K2
' K,
l•
K,
l
0,5m ,.,
l
0,5 m ,., l '"'
• 1
x
K,
(A : 0,5 m "" i
F.3.52. ábra
3.53. Az F3.53. ábrán vázolt egyik oldalán befogott tartót a megadott erő rendszer terheli. Határozzuk meg a kijelölt Ki keresztmetszetekben az Igénybevételeket! F = 20 kN.
Ytj
ytj F
F
V1
~ - n- r------1------1-----v[---!!1K.,.
K,
l
K, ~
K.,.
S!
x
z
/A
l
O,Sm
k
O,Sm
O,Sm
-l
F.3.53. ábra
3.54. Az F3.54. ábrán vázolt egyik oldalán befogott tartót az F 1 és F2 koncentrált erők terhelik. Határozzuk meg a kijelölt Ki keresztmetszetekben az igénybevételeket! F 1 =20 kN, F2 = 10 kN.
F,
F2 k
z 0,6m
0,6m
i
""l
;
l""'
0,2m
F.3.54. ábra
3.55. Az F3.55. ábrán vázolt pnzmatikus rudat egyensúlyi erőrendszer terheli. Határoz:::uk meg a kijelölt Ki keresztmetszetekben az igénybevételeket! F 1 =200 N, f2 = 500 N.
3.6. Merev test
belső erőrendszere
233
F,
-
n
-'---1-K,
i
-+-K,
--1------K,
x
F.3.55. ábra.
L6. A mellékelt lemezen található hatodik - "Egyenes vonalú tartók igénybevételi ábrái" című - programcsomag lehetőséget biztosít egyenes vonalú kéttámaszú és befogott tartók igénybevételi ábráinak megrajzolására különböző terhelések esetén. Koncentrált erőtől bonyolult, összetett terhelésig az olvasó választhatja ki a kívánt feladatot. Az eredmények a támasztóerő rendszert és az igénybevételi ábrákat is megadják. L9. A kilencedik programcsomaggal egyszerű szerkezetek igénybevételi ábráinak megrajzelását gyakorolhatja.
F.3.56. ábra.
3.56. Rajzoljuk meg az F.3.56. ábrán látható tartó igénybevételi ábráit és határozzuk meg a legnagyobb hajlítónyomatéki igénybevétel nagyságát és helyét. F 1 = F, F 2 = 2F és a ismertek. 3.57. Határozzuk meg számítással és szerF, F kesztéssel az F. 3. 5 7. ~ K K K K ~ ábrán vázolt tartó igénybevételi ábráit ~F=='=====+='========~='=========='~~~--F, ~A x ~~0,~3_m_•+- _ _ .5m____~ és a legnagyobb hajlí1 0~,4_m____~----~0,,__ tónyomatéki igénybeF.3.57. ábra. vétel nagyságát, helyét! F1 = 800 N, F 2 1200 N, F 3 = 1800 N. l
1
l
234
3. Merev rest statikája
3.58. Határozza meg számítással és szerkesztéssel az F.3.58. ábrán vázolt Y
tj
!_K~j',--:f:-q______K_2_ _ _ _ _ _K_3~ , __!_ ~A
0,6 m
0,6 m
tartó Igénybevételi ábráit, a legnagyobb hajlítónyornatéki igény-
x bevétel
nagyságát helyét! q = 3 kN/rn.
/
és
F3.58. ábra
3.59. Határozza meg számítással az F.3.59. ábrán vázolt tartó tárnasztóerő-rendszerét,
igénybevételi ábráit, a legnagyobb hajlítónyornatéki igénybevétel nagyságát és helyét! qo =6 kN/rn.
A helyen görgősen van alátárnasztva. Határozzuk meg számítással a tartó tárnasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az Igénybevétell ábrákat, valarnmt adjuk meg a legnagyobb hajlítónyornatéki y +j igénybevétel nagy. Fl ságát és helyét! i F 1 =2 kN, F-===========;;::.=======tr======:'l: --- }) = l kN F.3.59. ábra
A
a
a
..
l i l
x
-
'
F3 =l kN, a= l rn.
:
F. 3. 60. ábra
3.61. Határozzuk meg számítással az y~ j
~i:f=Q============~====~·~-4S'i A,~ }\ F --=Jr . x B~ n
F3.61. ábra
F. 3. 61. ábrán vázolt tartó támasztó erőrendszerét, raJzoljuk fel az igénybevételi ábrákat valarnint adjuk meg a legnagyobb hajlítónyornatéki Igénybevétel nagyságát és helyét! Adott: F = 5 kN, q = 30 kN/rn, a= O, l rn.
3. 6. Merev test belső erőrendszere
235
3.62. Határozzuk meg az F.3.62. ábrán vázolt jobboldalt konzolos tartó igénybevételi ábráit számítással, valamint adjuk meg a legnagyobb hajlítónyomatéld igény- A a bevétel nagyságát és helyét, ha F.3.62. ábra. l. a tartó saját tömegét elhanyagoljuk, 2. a tartó saját tömegét is figyelembe vesszük! F l kN, a lm, b= 0,03 m, h 0,06 m, p= 7,8 10 3 kg/m3 . 3.63. Határozzuk meg számítással az F.3.63. ábrán vázolt tartó támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat és adjuk meg a legnagyobb hajlítónyomatélei igénybevétel nagyságát és helyét! F= 7 kN, M= 10 kNm.
F.3.63. ábra.
3.64. Az F.3.64. ábrán vázolt befogott, tört tengelyű tartó terhelése egyenletesen megoszló erőrendszer és koncentrált erő. Határozzuk meg számítással a tmió támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! Milyen c érték mellett lesz az A és B pontokban a hajlítónyomatéld igénybevételminimális, ha F =q l; q és l ismertek? y
-
n
x
F.3.64. ábra.
3.65. Az F.3.65. ábrán vázolt befogott, tört tengelyü tartó terhelése egyenletesen megoszló erőrend szer és koncentrált erő. Határozzuk meg számítással a tmió támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! F = q a, a, q ismertek.
1
//1~/- : F. 3. 65. ábra.
236
3. 1ilerev test statikája A
c
q
. ,... l
'-e----=a---r-1.,__-=a_ ,-F. 3. 66. ábra
t
D
l-.. _,_...,l -· Fl
3.66. Az F 3. 66. ábrán vázolt befogott, törttengelyű tartó terhelése egyenletesen megoszló erőrendszer és koncentrált erő. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! a, F1, F2 = F3 =2Fl, qa=4F1 ismertek.
3.67. Az F 3. 67. ábrán vázolt befogott, tört tengelyű tartó terhelése egyenletesen megoszló erőrendszer és koncentrált erő. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! Adott: F 1 = qa, F 2 = 2qa, a, q. y
t
z
F.3.68. ábra
3.68. Az F 3. 68. ábrán vázolt befogott, törttengelyű tartót koncentrált erők terhelik. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! F 1= 200 N, F2 = l 00 N, F3 = 80 N, F 4 = l 00 N, a = O, l m. 3.69. Az F 3. 69. ábrán vázolt egyenes és síkgörbe tengelyű szakaszokból álló tartót megoszló erőrendszer terheli. A tartó és a terhelő erőrendszer azonos síkban helyezkednek el. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igenybevételi ábrákat! q, a, b és R ismertek.
b
F.3.69. ábra
3.70. Az F3. 70. ábrán vázolt síkgörbe tengelyű tartót koncentrált erők terhelik. A tartó és a terhelő erőrendszer F 1 valammt f2 erői azonos síkban he-
237
3. 6. iVJerev test belsö edirendszere
lyezkednek el, míg az F 3 erö a tartóra meröleges síkban van. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerö-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi fuggvényeket! R, F1, F 2 ,F3 ismertek. 3.71. Az F.3. 71. ábrán vázolt síkgörbe tengelyű tartót szabad végén koncentrált erö terheli. Az F erö a tartóra meröleges síkban van. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerö-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi fuggvényeket! R és F ismert.
y
p
Ri
fz F. 3. 71. ábra
F.3. 70. ábra
3. 72. Az F. 3. 72. ábrán vázolt síkgörbe
tengelyű
tartót szabad végén koncentrált F erö terheli. Határozzuk meg számítással a tartó támasztó erörendszerét, írjuk fel az igénybevételi fuggvényeket! R, F ismertek. B
--~'~
l l
F. 3. 72. ábra.
3.73. Az F.3. 73. ábrán vázolt síkgörbe tartót síkjában F és 2F koncentrált erök terhelik. Határozzuk meg számitással a tartó támasztóerö-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi fuggvényeket ha R és F ismert! tengelyű
3. 74. Az F. 3. 74. ábrán vázolt síkgörbe tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá. Az egyenes és a körív alakú szakasz csatla-
F.3. 73. ábra.
~------~~~----~~
tengelyű
F.3.74. ábra.
_._
x
238
3. Merev test statikája
kozási pontjában egyetlen F koncentrált erő terheli. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, rajzoljuk fel az igénybevételi ábrákat! F= 500 N, R 0,2 m. 3.75. Az F.3. 75. ábrán vázolt síkgörbe tengelyű tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá és egyetlen F koncentrált erő terheli. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi függvényeket! F= 400 N, R= 0,2 m.
F.3.75. ábra.
3.76. Az F.3. 76. ábrán vázolt tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá. Terhelése az egyenes szakaszon egyenletesen megoszló terhelés. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi függvényeket! q, a és R ismertek.
F.3.76. ábra.
3.77. Az F.3. 77. ábrán vázolt síkgörbe tengelyű tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá. Terhelése egyetlen M koncentrált nyomaték. Határozzuk meg számítással a tartó támasztóerő-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi függvényeket! M= 500 Nm, R= 0,5 m.
F.3.77. ábra.
,c
3.78. Az F.3. 78. ábrán vázolt síkgörbe tengelyű tartót az A helyen csuklóval, a B helyen görgővel támasztottuk alá. Terheléi "'a, se egyenletesen megoszló erőrendszer. R , R r-~-~~~-,----~~-, Határozzuk meg számítással a tartó táF.3. 78. ábra masztóerő-rendszerét, írjuk fel az igénybevételi függvényeket, ha q és R ismertek! 1
1
SZERKEZETEK
4.1. Bevezetés fejezetben valamilyen erőrendszerrel terhelt merev testet különböző kényszerek segítségével kapcsoltunk a Földhöz, vagy más nyugalomban lévő állványhoz és vizsgáltukamerev test nyugalmának feltételeit. Előfordulhat azonban, hogy több merev testet kapcsolunk egymáshoz alkalmas módon és ezután az így kialakult rendszert kapcsoljuk különböző kényszerek segítségével valamely helyt álló testhez, esetleg egy másik ugyanúgy kialakított rendszerhez. Célkitűzésünk ebben a fejezetben az alkalmas módon összekapcsolt több merev testből álló szerkezetek nyugalmának vizsgálata. Tekinthetjük a merev test nyugalmát biztosító különböző kényszereket (rudakat, köteleket) külön szerkezeti elemeknek, így ez felfogható a legegyszerűbb szerkezetnek IS. Általában azonban szerkezeten több merev testből álló rendszert értünk, ahol a rudak, kötelek csak mint kapcsoló- és kényszerelemek szerepeinek A merev testek közötti kapcsolat kialakulhat a kényszereknél megismert támaszkodás által; kapcsolatot létesíthetünk rúd- vagy kötélelem segítségéve!, illetőleg (sík- vagy gömb-) csukló beépítéséveL Az egymással kapcsolatban lévő merev testek a kapcsolati helyeken - az ún. belső kényszereknél- erőt fejtenek ki egymásra. Ezeket az erőket a szerkezet belső kényszererőinek vagy egyszerűen belső erőknek (l. 3. 5.) nevezzük. A belső erők éppúgy helyettesítik a testek közötti kapcsolatot, mint ahogyan a kényszereket is a kényszererőkkel helyettesítettük Ha tehát ezt a helyettesítést gondolatban a szerkezetet alkotó minden egyes merev testnél elvégezzük, akkor e testek már teljesen különállóknak tekinthetők, amelyekre azonban az adott terhelő erőkön kívül a külső kényszereket helyettesítő
Az
előző
240
4. Szerkezetek
kényszererők
és a belső kényszereket helyettesítő belső erők is működnek. Ezzel a szerkezet VIzsgálatát merev testek vizsgálatára vezethetjük vissza. Ha valamely szerkezetre ható terhelő erők, továbbá a kényszereket helyettesítő kényszererők, végül a merev testek egymáshoz kapcsolásából származó belső erők mind ugyanabban a síkban működnek, akkor síkbeli szerkezetről beszélünk.
-
F.
-t
F.. B
H
-Fex C E H Fc"-~ C -Fex FE G
GJ
D
D
G
FD
l
~-F, E
!.:._A a.
t F~
b.
tF~
l
D
-Fo
c.
4.l.ábra
Az eddig elmondottakat a 4.1. ábrán szemléltetjük. A 4.l.a. ábrán egy eléggé sematizált rajza látható. A szerkezet síkbeli és három merev testből (rúdból) épül fel (AB, CH, DE), egymáshoz kapcsalásuk csuklókkal (C, D, E) történik. A szerkezet állványhoz kötése az A talp-, illetve a B csúszócsapággyal van megoldva. A CH rudat a H pontban a függőle ges G súlyerő terheli. A szerkezet mechanikai számítási modelljét a 4.J.b. ábrán rajzoltuk meg. Az ábrában bejelöltük a terhelő erőt és a kényszerekben ébredő erőket is. A 4.l.c. ábrán megrajzoltuk a szerkezetet alkotó merev testeket különkülön is a rájuk ható erőkkel, figyelembe véve a III. axiómát: a hatásellenhatás törvényét. Ebben a fejezetben ezen erők (belső erőrendszer és kényszererők) meghatározását tűzzük ki célul magunk elé, mely - mmt egyetlen merev testnél - a szerkezeteknél is történhet számítással és/vagy szerkesztéssel. emelőszerkezet
4.2. A szerkezetek kialakítása. Statikailag határozott és határozatlan szerkezetek 241
ltialakítása. Statikailag határozott és határozatlan Mint láttuk, a szerkezetek egymással és a környezetükkel alkalmas módon kapcsolatba hozott merev testekből állnak. A különálló (egymással kapcsolatban nem lévő) merev testek síkban három, térben hat mozgási lehetőséggel (szabadságfokkal) rendelkeznek. Amikor-kialakítandó valamilyen szerkezetet - kapcsolatba hozzuk a merev testeket egymással (belső kényszerek révén) illetve környezetükkel (külső kényszerek), akkor ezekkel a kényszerekkel mozgásukban korlátozzuk, azaz szabadságfokukat csökkentjük, legtöbbször teljesen megszüntetjük.
/Definíció: Azt a merev testekbó1 felépitett szerkezetet, amelynél a belső és külső kényszerrellekötött szabadságfokok száma (nb+nk) megegyezik a szerkezetet alkotó merev testek összes szabadságfokának számával (s) úgy, hogy a szerkezetet alkotó merev testek mindegyike tetszó1eges erő hatására nyugalomban van, statikailag határozott szerkezetnek nevezzük. A kényszerek által lekötött szabadságfokszám és a szerkezetet alkotó merev testek összes szabadságfokszáma közötti (4.1) egyenlőség
teljesülése a szerkezet statikai határozottságának szükséges, de nem elégséges feltétele. A szerkezet statikai határozottságának kimondásához vizsgálnunk kell a szerkezet felépítését. Ez annak vizsgálatát jelenti, hogy a szerkezet kialakítása során - az alkalmazott belső és külső kényszerekkel teljesítettük-e a már egyetlen merev testnél (l. 3.3. és 3.5.) ismertetett statikailag határozott megtámasztás feltételét. N evezetesen a szerkezetet alkotó minden merev testnél - az alkalmazott belső és külső kényszerekkel - különböző elmozdulási lehetőségeket lekötve biztosítottuk-e a szerkezet minden részének nyugalomban maradását. A statikailag határozott szerkezeteknél, a nyugalmukat biztosító egyensúlyi erőrendszer meghatározásához pontosan annyi lineárisan fuggetlen statikai egyensúlyi egyenlet írható fel, amennyi az ismeretlenek (a belső és külső kényszererők és nyomatékok) száma.
4. Szerkezetek statikája
2-12
/ Dejlnició: Azokat a szerkezeteket, amelyeknél a belső és külső kényszerekkellekötött szabadságfokok száma (nb+nk) kevesebb, mint a szerkezetet alkotó merev testek összes szabadságfoka (s), mozgékony (labilis) szerkezeteknek nevezzük. Ilyen szerkezetek például az előírt mozgások végzésére tervezett különböző mechanizmusok, melyek csak speciális erőrendszer hatására maradnak nyugalomban (ezzel még ebben a fejezetben foglalkozunk). A mechanizmusok részletesebb vizsgálatára a későbbi félévek mechanikai tanulmányai során nyílik lehetőség.
/Definíció: Azokat a szerkezeteket, amelyeknél a belső és külső kényszerekkellekötött szabadságfokok száma (nb+nk) több, mint a szerkezetet alkotó merev testek összes szabadságfoka (s), statikailag határozatlan szerkezeteknek nevezzük; amennyivel több, annyiszorosan határozatlan. A szerkezet statikai határozatlanságának fokszáma: n= nb+ nk- s. Statikailag határozatlan szerkezeteknél az ismeretlenek (belső és külső kényés nyomatékok) száma pontosan annyival több a fölírható lineárisan fuggetlen statikai egyensúlyi egyenletek számánál, ahányszorosan statikailag határozatlan a szerkezet. Ilyen szerkezetek vizsgálatára majd csak a szilárd anyagrnodell bevezetésekor, a szilárdságtan tárgyban lesz lehetőségünk. szererők
c
j
\2 1/\2
c
..
c.
c
2 ~ n~ ~:s 3
11 ..
b.
c
BJ~\A
\/\A
a.
c
BF\
..
d.
..
e.
f
4.2. ábra
Statikailag határozott szerkezet kialakítását (a határozottság megállapítását) a 4.2. ábrán kialakított szerkezeteken mutatjuk be. Induljunk ki két rúdból (4.2.a. ábra). Ezek szabadságfoka (síkban) s = 2·3 =6. Egymáshoz kapcsolásuk történJen egy síkbeli csuklóval (4.2.b. ábra). A csuklóval mint belső kényszerrel lekötött szabadságfokok száma: nb= 2<3, tehát az egymáshoz csuklóval kapcsolt két rúd nem viselkedik merev testként. Statikailag határozott szerkezethez kétféleképpen juthatunk. Először: a külső kényszerekkel
4.2. A szerkezetek kialakítása. Statikailag határozott és határozatlan szerkezetek 243
s - nb= 6 - 2 = 4 szabadságfoko t szüntetünk meg (4. 2. c. ábra). Másodszor: előbb összekötjük a két rudat egy harmadikkal, amely két végén kialakított csuklókkal kapcsolódik az előbbi kettőhöz (4.2.d. ábra). Az így kialakított rúdcsoport merev testként viselkedik: s = 3·3 = 9; nb= 3·2 = 6; S-'llb = 3. A külső kényszerekkel a három szabadságfokot megszüntetve juthatunk statikailag határozott szerkezethez. (4.2.e. ésf ábra). Vizsgáljuk a 4. 3. a. ábrán látható, két rúdból álló szerkezetet: n = nb+ nk- s = = 4 + 3 - 6 = l. Egyszeresen határozatlan. Külső megtámasztását tekintve ugyan határozott (nk =3), belsőleg azonban egyszeresen határozatlan, mert a kelleténél több belső kényszert alkalmazva, a meghagyott szabadságfokszám eggyel kevesebb a síkbeli mozgás szabadságfokánáL s - nb = 2 · 3 - 2 · 2 = = 2 < 3. A 4.3.b. ábra szerint kialakított szerkezetnél: s = 2·3 =nb+ nk= = 2·2 + 2·1 teljesül a statikai határozottság s = nb+ nk feltétele. Azonban a szerkezet felépítésének előbbiek szerint a. végrehajtott vizsgálata nyilvánvalóvá teb. szi, hogy ez csak azért teljesülhetett, mert bár a belső kényszerekkel eggyel több szabadságfokot kötöttünk le, a külsőkkel viszont eggyel kevesebbet, ily módon a szerkezet belsőleg határozatlan, külsőleg 4.3. ábra labilis. Felépítésüket tekmtve az alábbiak szerint csoportosíthatjuk a szerkezeteket: (A csoportosításnál -emlékezve pl. a 4.3.b. ábra szerkezetére -az s és az nb+nk közötti összefüggés felírásán túl, vizsgálnunk kell a szerkezet mmden részét, mert előfordulhat, hogy s :::;; nb+nk és a szerkezet mégis a labilis szerkezetek közé sorolandó.) A fejezet további részében az alábbi szerkezettípusokkal foglalkozunk részletesebben: => egyszerű szerkezetek, => rácsos szerkezetek, => csuklós szerkezetek, => mozgékony szerkezetek.
244
4. Szerkezetek statikája SZERKEZETEKj Mozgékony
Állékony
(labilis)
(stabilis)
s>nb +ll•
ssnb+ll
A terhelésre mozgást végez
Speciális
Statikailag határozott
Statikailag határozatlan
terhelésre
s =nb +ll•
s
(Mechanizmus
állékony
előírt
Belsőleg
labilis, kényszerrel állékonnyá tett
külső
nk> 3 ill. 6
Belsőleg külsőleg
és is
stabilis
nk= 3 ill. 6
A statika nyugalomban lévő merev testeket ill. az ezekből felépített nyugalomban lévő szerkezeteket vizsgálja. A vizsgálandó szerkezetnek - hogy statikai ismereteink alapján a vizsgálatot maradéktalanul végrehajthassuk állékonynak és ezen belül statikailag határozottnak kell lennie. A mozgékony szerkezetek közül azokat vonhatjuk a vizsgálat körébe, amelyek egy adott terheléscsoport hatására statikailag határozott módon viselkednek vagy (pl. mechanizmusnál) azt a speciális egyensúlyi erőrendszert keressük, amely a mechanizmus tartós nyugalmát biztosítja annak egy adott helyzetében. A szerkezetek fentiek szerinti csoportosítása irányíthatja megoldásukat is. Ugyanis a belsőleg és külsőleg is stabil szerkezeteknél a megoldást kezdhetjük a külső kényszererőrendszer meghatározásával és a belső erőrendszer meghatározásához bontjuk csak részeire a szerkezetet. Belsőleg labilis, de külső kényszerekkel állékonnyá tett szerkezeteknél már a külső kényszererő rendszer meghatározásához részeire kell bontanunk a szerkezetet.
245
4.3.
4.3.
Egyszerű
szerkezetek
szerkezetek közül azokat soroljuk - önkényesen - az egyszerű szerkezetek közé, amelyek összeállítása az esetek többségében 1gen egyszerű: a rnerev testek (azok legalább egyike henger, gömb vagy tárcsa) közötti kapcsolatot leggyakrabban támaszkodás vagy kötélelern által hozzuk létre. Mint látni fogjuk, ezek a szerkezetek - felépítésükből következően - labilis szerkezetek, de terhelésük olyan, hogy azt statikailag határozott rnódon viselik. Vizsgálatukat néhány példán rnutatjuk be. r 1=1.2rn y
a. r 2=0.8m G1=G2=1200N
l l l
l
Fer'l l
l l
l
H
l l
/FA
A B !=3m
x
Hosszlépték:
o1---+----+___,~ 50 100150 [cm] Erőlépték:
o1----+--+-200 400 [NJ 4.4. ábra
4.1. Példa: A 4.4.a. ábra vízszintes aljzattal és fuggőleges oldalfalakkal rendelkező üreget rnutat, amelybe két hengert helyezünk. Adott a terhelés (G1, G2), továbbá a geometriai rnéretek (l, r1. r 2). Határozzuk meg az egyensúlyi erőrendszert!
Megoldás: Először nézzük meg, hogy a szerkezet statikailag határozott-e! s = 2·3 =6; nk= 3·1 =3; nb= l. A szerkezet labilis: s- (nb+ nk)= 2; rnozgási szabadságfoka kettő. (Egyik henger forgása sincs rnegakadályozva.) A terhe-
246
4. Szerkezetek statikája
lő erőrendszert és a kényszererőket vizsgálva azonban megállapítható, hogy ezek egyike sem tudja a hengereket forgatni, azaz a szerkezet az adott terhelésre statikailag határozottan viselkedik, a VIzsgálat végrehajtható. Esetünkben a külső kényszererőket a szerkezet mint egész nyugalmának vizsgálatából meghatározhatjuk, mivel nk = 3. A 4. 4. b. ábrán rajzoltuk meg a szerkezetet az összes erővel. A kényszererőket számítással (Ritter-módszer) és szerkesztéssel (Culmann-módszer) határozzuk meg. A számításhoz a terhelő erők eredőjére nem volt feltétlenül szükség, ezt a Culmann-szerkesztésre gondolva határoztuk meg (nem nagy gond, mert az erők párhuzamosak és egyenlők, így az eredő hatásvonala felezi az 0 1E szakaszt). A b"l O,E = l-Jí -ro- = 0,5, O1O2E" Llo : cosa =
0 ,0 2
tj+r2
Ezek figyelembevételével az egész szerkezet nyugalmából: L:M.10 1 =O= G 0 21E -FH.Q,E - ' A továbbiakban
egyszerűbb
ebből
FH= 692,8 N.
a vetületi egyenletekkel dolgozni:
LFiy = o = Fs- G
--+ Fs = 2400 N.
A Culmann-szerkesztés a 4.4.b. ábrán látható. A Cuimann-egyenest az 0 1 és a H' pontok határozzák meg. Az erőléptéket az ábrán feltüntettük. A szerkesztésbőlleolvasható eredmény megegyezik a számítottaL A belső kényszererő meghatározásához részeire kell bontanunk a szerkezetet A részek nyugalmának vizsgálatából a belső erő(k) és persze a külső kényszererők is meghatározhatók. Oldjuk meg így is a feladatot!
4.3. Egyszerú szerkezetek
247
A 4. 4. c. ábrán tüntettük fel a szerkezetet alkotó testeket külön-külön a rájuk ható összes erővel. A 2. test egyensúlyi erőrendszere a vetületi egyenletek alapJán:
L F iJ =O= Fz1 sina -
Gz
2:: Fix = O = Fz1 cosa -FH
~
Fz1 = G" = 1386 N, sma
~
FH= Fz1 cosa = 693 :.T.
Az l. test egyensúlyi erőrendszere: ~
LFiJ = O= FB - G 1 - F 12 sina ~
FA=693 N, FB = 2400 N.
A számítások során az egyszerűség kedvéért (síkbeli erőrendszer) skalárisan számoltunk, így csak az erők nagyságát kaptuk meg. Az erők iránya az ábrán látható, az erővektorok könnyűszerrel felírhatók.
4.2. Példa: A G= 600 N súlyú tárcsa a 4.5. ábrán látható módon támaszkodik a függőleges falfelülethez és aBC rúdhoz (a rúd tömege elhanyagolható). A támasztási felületek teljesen sirnák Számoljuk ki és szerkesszük meg a kényszererőket és a belső erőt! Megoldás: ABC rúd B pontjának kényszere síkbeli csuklóként, a szerkezet síkbeli szerkezetként modellezhető. Könnyű ellenőrizni, hogy adott terhelésre a szerkezet statikailag határozott módon viselkedik. Az egész szerkezetre felírt statikar egyensúlyi egyenletekből a kényszererők nem számíthaták ki (természetesen nem is szerkeszthetők meg), mert nk = 4 > 3, a szerkezet belsőleg labilis, de külső kényszerekkel állékonnyá tett. Ezért a szerkezetet része1re bontjuk és így határozzuk meg az ismeretleneket A 4.5. ábrán megrajzoltuk a hengert illetve a rudat a rájuk ható erők kel. Ugyanott a szerkesztéseket is végrehajtottuk
248
4. Szerkezetek statikája
c
A
B 120cm Hosszlépték:
o
so
100
200
400
ISO [cm]
Erö/épték:
o
[Nl
Megoldás számítással: A henger nyugalmának vizsgálatából: G =693 N, cos30°
L F iy =o = F 12 cos 30° -G
--+
F 12 =
L Ftx =O= FA- F 12 sin 30°
--+
FA= 346,5 N.
--+
Fc=F21 = 693,4 N,
A rúd nyugalmából:
LMib =O =F21·x -Fc y mert OBD
il-ből a=~ tg 30°
=40 .J3 és b= 120 tg 30° =40
--+
.J3 =a.
FBy=G =600 N,
4.3.
249
FELADATOK 4.1. Három korong (G 1 = 120 N, G2 = G3 =40 N, r 1 =50 cm, r2 = r 3 =30 cm) az F.4.1. ábrán vázolt helyzetet elfoglalva egyensúlyban van. A korongakat és a támasztó felületeket teljesen simának tételezzük fel. Határozza meg a külső és belső erőket szerkesztéssel és számítással! 4.2. Az F.4.2. ábrán látható F = 60 N nagyságú függőleges erővel terhelt rúd R = 60 cm sugarú, G = 20 N súlyú táresán támaszkodik, továbbá az A síkbeli csuklóhoz kapcsolódik. A K kötél segítségével a tárcsát szintén az A csuklóhoz kötöttük. Allapítsa meg, hogy a szerkezet az adott terhelésre statikailag határozott-e, és szerkessze meg az FA csuklóerőt, továbbá aK kötélben keletkező K kötélerőt!
F.4.1. ábra
4.3. Határozza meg szerkesztéssel és számítással az F.4.3. ábrán vázolt szerkezet külső és belső erőit, ha AB= 1,866 m!
F.4.2. ábra
2.5 m
4.4. Súrlódásmentes csigákon átvetett kötelekhez (ideális kötelek) az F. 4. 4. ábra szerinti elrendezésben G 1 és G 2 A~~f==~~~==~ súlyú testek kapcsolódnak. A korong a D pontban támaszkodik a F.4.3. ábra hasábra. Határozza meg a kötélágakban keA D letkező húzóerőt, valamint a D pontban fellé- ='~;;;;;;;;:;;;;;--/l pő kapcsolati erőt! (Milyen feltételek mellett l ~l -~---~~~~~ -'L j ön létre érintkezés a D pontban?)
sr
l
4.5. Számítással és szerkesztéssel határozza meg az F.4.5. ábrán vázolt szerkezet belső és külső erőit!
l
,t.-- 4,0 m
/-
G=20N
/: 2,0 m..j
F.4.5. ábra
250
4. Szerkezetek statikája
Síkbeli rácsos szerkezetek Tömör tartó helyett - különösen nagy szerkezeti méretek esetén anyagtakarékossági megfontolásból vagy mert könnyű, ugyanakkor nagy teherbírású tartószerkezetek kialakítása a cél, gyakran alkalmaznak a 4. 6. ábrán láthatóhoz 4.6. ábra hasonló rács alakú szerkezetet. Az ábrán egy önhordó felépítményű hűtőgépkocsi oldalfalának modelljét vázoltuk Ezekkel a szerkezeti megoldásokkal a műszaki gyakorlat legkülönbözőbb területein találkozhatunk: nagyobb nyílások áthidalásánál (híd, fedélszék), repülőgépeknél, daruszerkezeteknél, elektromos távvezetékek oszlopainál stb .
./Definíció: Az egyenes tengelyű rudakból csuklók alkalmazásával felépített és csak csuklóin terhelt szerkezeteket rácsos szerkezeteknek nevezzük. Síkbeli a rácsos szerkezet, ha minden rúd tengelye egy síkban helyezkedik el és terhelése is ugyanebben a síkban van. A rácsos szerkezetnél a csuklókat csomópontoknak szokás nevezni. Rácsos szerkezetek statikai vizsgálatának végrehajtása a terhelő egyensúlyi erőrendszer és az ennek hatására a rudakban keletkező igénybevételek meghatározását jelenti. Utóbbiak - miután az egyenes tengelyű rudak csak a csuklóikon vannak terhelve - nyilvánvalóan csak normálerő igénybevételek lehetnek (1. 2.2.1. pont). A rácsos szerkezet rúdjainak egymáshoz kapcsolása - a rácsos szerkezet csomópontjainak kialakítása - legtöbbször csomólemez közbeiktatásával szegecseléssei vagy hegesztéssei történik (4. 7. a. ábra) Vizsgálatainkban ennek ellenére a rudak kapcsolatát csuklós a. kapcsolatnak modellezzük (4. 7. b. ábra). A csuklós rúdkapcsolati modell nyilvánvalóan ~ ~ lényegesen eltér a valóságos szerkezeti kapcsolattól. _".E-::::::;::::::-::::~:::-~~~p~_ :::::-::::::::-s:Azonban azoknál a szerkezeteknél, melyek konst3 rukciója úgy van kialakítva, hogy az egy csomób. pontba befutó rudak tengelyei (a rúdkereszt4. 7. ábra illetszetek súlypontjait összekötő egyenesek) egy
4...f..•S'íkbeli rácsos szerkezelek
251
pontban (Itt vesszük fel az ideális súrlódásmentes csuklót) metsződnek, megtehetjük a csuklós rúdkapcsolati modell felvételét. Annál is mkább, mert ez a modell számításamkat lényegesen leegyszerűsíti és megengedett, mert a mérnöki tapasztalat és az elvégzett mérések igazolták, hogy elhanyagolható · hibát okoz csak csuklóin terhelt rácsos szerkezeteknél. Az eddigieket összefoglalva, vizsgálatainkhoz a síkbeli rácsos szerkezetek szerkezeti modelljét az alábbi egyszerűsítő feltevések alapján alkotjuk meg: l. A csomópontokban a rudak súrlódásmentes csukló segítségével kapcsolódnak egymáshoz. 2. Valamennyi rúd tengelye közös síkban fekszik. 3. A szerkezet nyugalomban van. 4. A szerkezetre ható valamennyi erő (terhelés, kényszer) a csomópontokban működik és hatásvonaluk a szerkezet síkjába esik. 5. A szerkezet önsúlyát figyelmen kívül hagyjuk. 6. A rudak merevek, azaz a terhelés hatására bekövetkezett alakváltozástól eltekintünk
4.8. ábra
Rácsos szerkezetek szerkezeti modelljei láthatók a 4.8. ábrán. A 4.8.a. ábrán például egy párhuzamos övű hídszerkezet modellje látható. A felső vízszintes rudakat felső övrudaknak, az alsókat alsó övrudaknak nevezzük. Az övrudakat összekötő fuggőleges rudak az oszlopok, a ferdék a rácsrudak A rácsos szerkezet felrajzolásakor a csomópontokat általában kis körökkel ábrázoljuk (a csuklós rúdkapcsolati modell feltűntetése végett). Így tettünk a 4.8.c. ábrán látható fedélszék modelljének felrajzolásakor, de ettől
252
4. S'zerkezetek statikája
el IS tekmthetünk, mmt ahogyan a 4. 8. ábra többi modelljénél csak a rúdtengelyek metszödése jelzi a csomópontok, a csuklók helyét. Előfordul olyan rácsos szerkezet modell is, melynél az egymást metsző rúdtengelyek nem csomópontot jelölnek (a rudak egymás mellett haladnak el). Ebben az esetben az ábrán feltétlenül be kell rajzolnunk a csomópontokat jelölő kis köröket. Jelenlegi tanulmányamk során vizsgálatainkat csak statikailag határozott állékony vagy adott terhelésre ily módon viselkedő mozgékony szerkezeteken tudjuk végrehajtani. Éppen ezért a továbbiakban először a rácsos szerkezetek statikai határozottságának feltételével, megállapításával foglalkozunk.
4.4.1. SÍKBELI RÁCSOS SZERKEZETEK STATIKAI HATÁROZOTTSÁGÁNAK MEGÁLLAPÍTÁSA
A (4 .l) összefuggés: s = nb + nk telj esülése minden szerkezet, így rácsos szerkezet statikai határozottságának is szükséges feltétele. Alkalmazzuk pl. a 4.8.b. ábrán látható hídszerkezetre: a hídszerkezet 13 db merev testből (rúdból) épül fel, ezek együttes szabadságfoka: s = 13 · 3 =39. A merev testeket (rudakat) szabad mozgásukban belső kényszerekkel (csuklók) akadályozzuk A belső csuklók számának összeszámlálásakor ügyelni kell arra, hogy egy-egy csomópontban a csuklók száma a csomópontba bekapcsolt rudak számánál eggyel kevesebb. A 4.8.b. ábra hídszerkezeténél a belső csuklók száma: 18. Ezzel ll&= 18 · 2 =36. A külső kényszerekkel nk= 3 mozgási lehetőséget szüntettünk meg. Ezzel s =nb +nk-+ 39 = 36 + 3, tehát a statikai határozottság szükséges feltétele teljesül; hogy ez elégséges 1s, azt az alkalmazott külső, belső kényszerek vizsgálatából állapíthatjuk meg. Egyszerűbb módszert kapunk a rácsos szerkezetek statikai határozottságának megállapítására, ha figyelembe vesszük szerkezeti modelljük specialitásalt. Nevezetesen azt, hogy a csomópontokban a rudak kapcsolata csuklós és terhelést csak itt kaphatnak, tehát a rudakban csak rúdirányú erők ébredhetnek. Emiatt a rúd olyan belső kényszerként fogható fel, mely rúdirányú elmozdulást akadályoz meg (egy elmozdulási lehetőséget szüntet meg). A síkbeli rácsos szerkezet nyugalmát úgy tudjuk biztosítani, hogy a belső kényszerekkel (rudak) és a külső kényszerekkel meggátoljuk minden egyes csomópont elmozdulását.
4.4. Síkbeli
szerkezetek
253
Tegyük fel, hogy r számú rúddal és c számú csomóponttal rendelkezik a síkbeli rácsos szerkezet. Ekkor a csomópontok mmt anyagi pontok szabadságfoka: s = 2c; a belső kényszerekkel lekötött szabadságfokszám: nb= r; a külső kényszerekkel lekötött: nk . Ezekkel (4. l) alapján külön bizonyítás nélkül felírható:
/[JJj Tétel: Sikbeli rácsos szerkezet statikai határozottságának szükséges feltétele a (4.2) 2c =r +nk egyenlőség
teljesülése.
Szükséges, de nem elégséges feltétele. A (4.2) teljesülésén túl vizsgálnunk kell a rácsos szerkezet belső és külső határozottságát. Elsőként vizsgáljuk meg külön a rácsos szerkezet belső felépítését! VaJOn mi a feltétele annak, hogy a rácsos szerkezet belsőleg statikailag határozott legyen? A 4.8. ábrán vázolt rácsos szerkezeteknél szembeötlő, hogy hálózatuk tisztán háromszögekből áll. Ennek oka nyilvánvalóan az, hogy a három rúdból álló szerkezet, maJd az ebből két-két rúd és egy-egy csukló segítségével kialakított elemek tetszőleges számú hozzákapcsolásával - nyert újabb szerkezet is a síkjában ható tetszőleges erőrendszer hatására merev alakzat (4.9. ábra). Azt az esetet azonban kizárjuk, amikor a hozzákapcsolt két rúd egy egyenesbe esik, mert az így kialakított csomópont (pl. a 4.10. ábra H jelű csomópontja) a rudakkal nem egy egyenesbe eső bármilyen kis 4.9. ábra erő hatására elmozdul. Nézzük meg, hogy az előzőek szennt rúdháromszögekből felépített, ezért szerkezeti felépítését tekmtve (belsőleg) statikailag határozott rácsos szerkezet rúdjainak és csomópontjainak száma között milyen összefüggés van: E Egyetlen rúdháromszögből álló rácsos szerkeA zetnél: r 1 =ci= 3 (4.9. ábra). Ha a kialakított rácsos 4.10. ábra szerkezet csomópontjainak számát c-vel Jelöljük, ak-
4. Szerkezetek statikája
254
kor az eredeti rúdháromszöghöz még c - 3 csomópontot alakítottunk ki kétkét rúd hozzákapcsolásával, tehát végül a rudak számára kapjuk: r=3 +2(c-3)=2c-3. Ezzel bizonyítottuk azt a tételt, miszerint: /[[} Tétel: Belső felépítését, kialakítását tekintve statikailag határozott rácsos szerkezet rúdjainak száma (r) és csomópon~jainak száma (c) között te?jesülnie kell az r =2c -3
(4.3)
egyenlőségnek.
(4.3) teljesülése csak rúdháromszö~ gekből felépített rácsos szerkezet esetén ~ elégséges a belső statikai határozottság a. b. c. d. megállapításához. Más felépítésre néhány 4.11. ábra példát a 4.11. ábrán mutatunk be. Tekinthetjük legegyszerűbb rácsos szerkezetnek a két rúdból állát (4.11.a. ábra). Ez belsőleg labilis, ugyanis r< 2c - 3 -7 2 < 6 - 3 = 3. Ha e két rúdhoz újabb kettőt kapcsolunk, természetesen újabb labilis szerkezetet kapunk: r < 2c - 3 -7 4 < 8 - 3 = 5 (4.11. b. ábra). Statikailag határozottá egy átlós rúd bekötésével tehetjük (4.1l.c. ábra). Újabb rúd beépítésével (4.11. d. ábra) statikailag határozatlan belső felépítésű rácsos szerkezethez jutunk: r>2c-3: 6>2·4-3=5. Vizsgáljuk a 4.12.a. ábrán látható rácsos szerkezetet, melynél r = 27, c = 15, ezekkel: r = 27 = 2c - 3 = 27. Felépítését tanulmányozva megállapítható, hogy a rúdháromszögekből felépített oszlopot ill. konzolt három, nem egy pontban metsződő rúddal kötöttük össze, ily módon statikailag a. b. határozott felépítésű. 4.12. ábra A 4.12.b. ábra szerkezetére (r = 17; c= 10) teljesül (4.3): r= 17 = 2c- 3= 20 - 3 = 17. Belső felépítését tekintve ez a szerkezet mégis labilis, mert bár az
L D lZl
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
255
alsó mező statikailag egyszeresen határozatlan (l. 4.11.d ábra), a legfelső viszont labilis (l. 4.11.b. ábra). Belső felépítésüket tekintve a rácsos szerkezetek tehát lehetnek statikailag határozottak, labilisak, illetve határozatlanok. Statikailag határozott rácsos szerkezeteket határozott felépítésű, illetve labilis belső felépítésű rácsos szerkezetekből is nyerhetünk a külső kényszerek segítségéveL Miután tehát a belső felépítés vizsgálatát végrehajtottuk, vtzsgálnunk kell a külső kényszereket is, hogy az egész szerkezet statikai határozottsága megállapítható legyen. A külső kényszerek vizsgálatát a 3.3. pontban megfogalmazottak szerint hajthatjuk végre. A rácsos szerkezetek statikai határozottságának megállapítását a 4.13. a. ábrán szemléltetjük. A 4.13.a. ábrán látható rácsos szerkezet belsőleg statikailag határozott, mert (4.3) teljesül, továbbá rúdháromszögekből épül fel. Teljesül (4.2) is: 2c = r + nk, ugyanis 2 · 6 = 9 + 3. Az alkalmazott külső kényszerekről könynyerr megállapítható, hogy alkalmazásuk megfelel a 3.3.-ban leírtaknak. Ez a szerkezet mmd belső felépítését, mind megtámasztását tekintve statikailag határozott.
a.
h.
c.
4.13. ábra
A 4.13. b. ábra szerkezete belső felépítését tekintve labilis: r = 8 < 2c - 3 = = 12 3 =9, azonban külső kényszerekkel statikailag határozottátettük úgy, hogy (4.2) teljesül: 2c =r+ nk= 12 =8+ 4, és elhelyezésük a 3.3.-ban leírtaknak megfelelő. A 4.13. c. ábrán látható rácsos szerkezetre (4 .2): 2c =r+ nk= 12 =9+ 3 és (4.3) is teljesül. Láttuk azonban már, hogy a baloldali rész statikailag határozatlan, míg a JObb oldali labilis, következésképp a szerkezet labilis. Statikailag határozatlan résszel rendelkező rácsos szerkezetet külső kényszerekkel nem tudnak statikailag határozottá tenni.
4. Szerkezetek statikája
256
A rácsos szerkezetek között, melyek statikai vizsgálatát célul
tűzhetjük,
előfordulhat:
terhelésre állékony, mind belső felépítését, mind megtámasztását tekintve statikailag határozott, => belső felépítését tekintve labilis, de külső kényszerekkel statikailag határozottá tett, végül => mozgékony rácsos szerkezet. A rácsos szerkezetek rúderőinek meghatározására két alapvető módszer alakult ki: l. A csomóponti módszer 2. Az átmetsző módszer.
=>
tetszőleges
* Mielőtt a két módszert ismertetnénk, állapodjunk meg néhány jelölési módban, illetve előjelszabályban. A 4.14. ábrán a legegyszerűbb három rúdból álló - statikailag határozott rácsos szerkezet látható. Az ábrán megrajzoltuk külön-külön a csomópontokat a rájuk ható erőkkel, sőt a teljesség kedvéért megrajzoltuk külön a rudakat is egyensúlyi erőrendszerükkeL Azt, hogy az erők milyen értelemben támadják a csomópontokat, illetve a rudakat (húzzák vagy nyomják) természetesen általában nem tudhatjuk előre. Számításaink végrehajtásához azonban szükséges tudnunk, hogy az erők merre "mutatnak", azaz fel kell tételeznünk az erők értelmét. Számításaink majd visszaigazolják feltételezésünk helyességét (ha a számítás eredménye pozitív előjelű), vagy megdöntik (negatív eredmény esetén).
4.14. ábra
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
257
Állapodjunk meg a következőkben: a rúderőt N betűvel jelöljük (utalva ezzel is a rúd igénybevételének jellegére), és mdexben tüntetjük fel, hogy melyik rúdban keletkező erőről van szó. A normálerő igénybevételnél alkalmazott előjelszabálynak megfelelően a húzott rudat pozitív előjellel, a nyomottat negatívval jelöljük. Ezen előjelszabály mmtt - amikor számításainkhoz feltételezzük a rúderők értelmét - célszerű a rudakat húzottnak feltételezni, mert így a számítás végén a rúderőre kapott előjel rögtön jelzi a rúd húzott vagy nyomott voltát. (Nem kötelező ezt a szabályt betartani: amikor nyilvánvaló, hogy a rúd nyomott (4.14. ábra 2. rúd), lehet a rúderőt így felvenni, de ekkor nem szabad elfelejteni, hogy a későbbi eredmény pozitív előjele ezt Igazolja vissza.) Az Irodalomban a rudak illetve a csomópontok jelölésére alapvetően két eljárást találunk. Először: a csomópontokat nagybetűkkel, ekkor a rudakat tetszőleges sorrendben számokkal jelöljük. Másodszor: a csomópontokat tetszőleges sorrendben számozzuk, ekkor a rudakat a rúd két végén lévő csomópont számának indexbe írásával jelöljük (elsőként a kisebbik számot írva, a számok között kötőjel). Számítógéppel történő számításkor a második jelölésmód előnyösebb. Mi mindkét jelölésmódot alkalmazni fogjuk. Az elsőt, amikor kisebb rácsos szerkezetet (néhány csomópont) vizsgálunk, vagy csak néhány rúderőt kell kiszámítani. A másodikat, amikor sok csomóponttal rendelkező rácsos szerkezeteket vizsgálunk, illetve minden rúderőt ki kell számolni.
4.4.2. CSOMÓPONTI MÓDSZER A csomóponti módszer a ruderők meghatározásának az a módja, amikor kiindulva abból az alapelvből, hogy ha a rácsos szerkezet nyugalomban van, akkor annak mmden része (esetünkben csomópontJa) nyugalomban kell legyen, külön-külön vizsgáljuk a csomópontokra ható egyensúlyi erőrendsze reket. A csomópontra ható erőrendszer egyensúlyát a
vektoregyenlet egyedül biztosítja, mert közös metszéspontú egyensúlyáról van szó minden csomópont esetében.
erőrendszer
258
4. Szerkezetek statikája
A rácsos szerkezet csomóponti módszerrel történő vizsgálatát is végrehajthatjuk számítással és/vagy szerkesztéssel. Szerkesztés esetén az egyensúlyi erőrendszer meghatározásához a vektorsokszög folytonos nyíllal történő zárását használjuk fel (l. 2.2. fejezet). Tudjuk, hogy a vektorábra megraJzolása csak akkor lehetséges, ha legfeljebb két adatot nem Ismerünk (két erő nagysága, vagy egy erő hatásvonala és nagysága). Ezért szerkesztéssel csak olyan csomópont vizsgálatát tudjuk elvégezni, melynél legfeljebb két rúderőt nem ismerünk. A vektorábrából (folytonos nyílfolyam) megkapott rúderők értelmét a szerkezetbe berajzolva, könnyen megkapjuk azt is, hogy a rúd húzott-e vagy nyomott. Számítással történő megoldás esetén csomópontonként két vetületi egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésünkre (síkbeli rácsos szerkezet), azaz most is csak két ismeretlen adat kiszámítására nyílik lehetőségünk minden csomópontnáL Célszerű ezért számítással történő megoldás esetén is a vizsgálatot olyan csomópontnál elkezdeni (maJd folytatni), ahol az ismeretlenek száma legfeljebb kettő. Természetesen csak statikailag határozott rácsos szerkezetek rúderőinek kiszámítása lehetséges, melyeknél (4.2) szerint: 2c =r+ nk, azaz felírható az ismeretlenek számával (r + nk) megegyező számú (2c) lineárisan fu.ggetlen egyenlet. Elsőként a rácsos szerkezetek néhány speciális csomópontJainak vizsgálatát végezzük el. Vakrúd
Vizsgáljuk a .4.15. ábrán látható csomópontot, mely egy nyugalomban lévő rácsos szerkezet egyik csomópontja. A csomópontot három rúd alkotja, közülük kettőnek a tengelye egy egyenesbe esik. Terhelés a csomópontra nem 4.15. ábra hat. Nyilvánvaló, hogy ekkor a harmadik rúdban erő nem keletkezhet A közös tengelyű rudakra merőleges vetületek összegéből ugyams:
A rácsos szerkezetek azon rúdjait, melyekben az adott terhelés hatására rúderők nem keletkeznek, vakrudaknak nevezzük. A vakrúd jelölése általában a rúd tengelyét metsző kis körberajzolásával történik. (4.15. ábra)
259
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
csomópont másik két rúdjában keletkező rúderőkről csak az líllapítható meg ennek a csomópontnak a vizsgálatából, hogy azonos nagyságúak és mmdkettő húzott, vagy mmdkettő nyomott:
Abban az esetben, amikor az előbbi csomópontra terhelés (a 7= kn ), természetesen a harmadik rúdban is lesz rúderő (4.16. ábra): működik
4.16. ábra
Miután a csomópontnál három Ismeretlen volt (N1, N2, N3 ), a másik kettő a csomópontra még felírható egyetlen vetületi nem határozható meg (ehhez további csomópontok vizsgálata szükséges): "' , sma .L.F~;;= O=N, + F --cos R "' sin~ fJ
-
egyenletből
F cosa - N 1. l
Egy másik spec1ális csomópont, melynél a zérus rúderejű 4· 17· ábra rudak könnyűszerrel megállapíthatók, a ..f..17. ábrán látható. A csomópontot két, nem egy egyenesbe eső tengelyű (a 7= O) rúd határozza meg, és a csomópontra terhelés nem működik. Nyilvánvalóan a csomópont csak akkor lehet nyugalomban, ha egyik rúdban sem keletkezik rúderő (l. két erő egyensúlya). Az előzőekhez hasonlóan, ha a csomópontot terheljük, akkor lesznek rúderők, melyeket a 4.18. ábrán szerkesztéssel határoztunk meg. Ha a szerkesztésből kapott rúderő vektorokat berajzoljuk a csomópontba, az is egyértelműen megállapítható, hogy mind4.18. ábra két rúd nyomott.
4. Szerkezetek statikája
260
Foglaljuk össze a végrehajtott csomópontvizsgálatok eredményeit: Abban az esetben, amikor egy rácsos szerkezet terheletlen csomópontjába ::::> három rúd fut be, és ezek közül kettő tengelye egybeesik, a harmadik rúdvakrúd ::::> két, egymással a :r= O szöget bezáró tengelyű rúd fut be, mindkettő vakrúd A rácsos szerkezetekben előforduló speciális csomópontok közül még kettővel foglalkozunk elöljáróban részletesebben.
X rácsozatú tartó
N3 4.19. ábra
A 4.19. ábrán olyan csomópontot láthatunk, melyet külső erő nem terhel, négy - páronként egy egyenesbe eső tengelyű - rúd alkotja. A vetületi egyenletekből egyértelműen látható, hogy a csomópont csak akkor lehet nyugalomban, ha az egy egyenesbe eső tengelyű rudak azonos igénybevételűek
Az ilyen csomópont esetében akár azt is megtehetjük, hogy elhagyjuk a csomópontot, azaz az egy egyenesbe eső tengelyű rudakat egy rúdként kezeljük.
K rácsozatú tartó A 4.20. ábrán az ún. K rácsozatú tartó egy csomópontját rajzoltuk meg, melyet külső erő nem terhel. A csomópont nyugalma esetén: 4.20. ábra
L Fi ebből
= O =N 1 + N z + N 3 + N 4, N1+Nz =-(N3 +N4),
261
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
tehát a "ferde" rudakban keletkezett rúderők eredője (N3+ N 4) csak előjelben különbözik a függőleges rudakban keletkező rúderők eredőjétől (N 1 + N 2), nagyságuk és helyük (hatásvonaluk) meg kell hogy egyezzék. Miután N 1 és N2 eredője nyilvánvalóan függőleges és keresztülmegy a C ponton, ugyanezt kell tennie N 3 + N 4-nek 1s, azaz a "ferde" rudak rúderőinek eredője függőle ges és átmegy C-n. A csomópont vizsgálatából még azt tudjuk megállapítam, hogy a 3 és 4 jelű rudak közül az egyik húzott, a másik nyomott:
L: Fu;= O= N3 cosa + N4 cos~
-+
N3
cos~ = - N4 -.
cos a Fentiek előrebocsátása után a csomóponti módszer alkalmazását példákan keresztül mutatjuk be. A példákban két rácsos szerkezettlpust vizsgálunk belső felépítésüket tekintve statikailag határozottakat, illetve belső felépítésüket tekintve labilis, de külső kényszerekkel statikailag határozottá tett rácsos szerkezeteket. Mozgékony szerkezetek vizsgálatát később, külön pontban ismertetjük. 4.3. Példa: Szerkesztéssel határozzuk meg a 4.2l.a. ábrán vázolt rácsos szerkezet rúderőit (Mint ismert, a szerkezetet valamilyen hosszléptéket választva kell megrajzolnunk a szerkesztéses megoldás miatt.) Megoldás: A szerkezet belső felépítését tekintve statikailag határozott, mert (4.3) szerint: r= 2c- 3 -+5= 2· 4- 3 teljesül, és rúdháromszögekből épül fel. A külső kényszerekkel nk = 3 elmozdulási lehetőséget szüntettünk meg statikailag határozott módon (1. 2.2.), tehát a szerkezet statikailag határozott. Belsőleg határozott szerkezetek rúderőinek meghatározását nem kötelező, de célszerű a kényszererők meghatározásával kezdeni. Az egész szerkezet - mint merev test - nyugalmát vizsgálva, három erő egyensúlyáról van szó: F és FA hatásvonalaM-ben metszi egymást, így FB -nek ezen a ponton is (meg a B ponton természetesen) keresztül kell mennie. A vektorábrákat (4.2l.b. ábra) valamilyen erőléptéket választva raJzoljuk meg. A reakcióerő ket az M jelű vektorháromszögből kapjuk meg. A rúderők meghatározását ezek után akár a D, akár a B Jelű csomópontnál elkezdhetjük (miután már a reakcióerők ismertek, a B jelű csomópontnál is csak két rúderő ismeretlen). Az N 1- és N 4-es rúderők meghatározásával folytatjuk munkánkat. A D csomópont nyugalmát kifejező D jelű vektorháromszög (4.2J.b. ábra) megadja a két rúderő vektorát. A rúderők nyilai (egyensúly mmtt folytonos nyílfo-
4. Szerkezetek statikája
262
lyarn) önmagukban azonban sajnos azt a fontos kérdést, hogy a rudak húzottak-e vagy nyomottak, nem döntik el. Ezt annak figyelembevételével állapíthatjuk meg, hogy a D jelű vektorháromszög a D csomópont nyugalmát fejezi ki, az N 1 és N4 rúderők nyila tehát a rudak D jelű csomópontra kifejtett hatását értelmezi. Rajzoljuk be a rácsos szerkezetet feltüntető vonalas ábrába (4.2J.c. ábra) a D csomópontra ható (annak nyugalmát biztosító) erőket és azonnal látjuk, hogy az l-es rúd húzott, mert N 1 a csomóponttól elfelé mutat, azaz húzza, rníg a 4-es rúd nyomott, mert N4 a csomópont felé mutat, tehát nyomja. Természetesen az l-es rúd a rúd másik végén lévő C csomópontot is húzza, míg a 4-es rúd másik vége nyomja A -t. )j(M
N,
A további rúderő ///i '',,, ket a C, majd a B cso/1 c 2', ~mópont nyugalmának vizsgálatából határozD/ ', • F, .. N, tuk meg. Az A jelű csomópontra megraj~ ~ zolt vektorsokszög már kifejezetten csak az ellenőrzést szolgálja. rúderő Minden megfelelő csomópontc. d okra kifejtett hatását a 4.21. ábra 4.2l.c. ábrán bejelöltük, megállapítván így minden rúd húzott vagy nyomott voltát. Az ábrán ennek megfelelő en jelöltük a húzott rudakat (+), a nyomott rudakat (-) előjel lel.
~
F~ 8N,
~N~b ~'
Az egyes csomópontokra megrajzolt vektorábrákat (4.2l.b. ábra) figyelve megállapítható, hogy minden erővektor kétszer szerepel. Az ábrák megrajzolásánál az erők sorrendje tetszőleges (pl. hogy a D csomópontnál az F erő melyik végpontjából húzunk párhuzamosat az l-es, illetve a 4-es rúd tengelyével). Mi azonban minden vektorsokszög megrajzolásánál tartottuk magunkat ahhoz az (egyébként önkényesen választott) szabályhoz, hogy az erők az adott (esetünkben az óramutató járásával megegyező) sorrendben kövessék egymást. Így például a külső erőknél: felmérve F-et, F végpontjában FB irányával húztl'í.lk. párhuzamosat; vagy eljutván a B csomóponthoz, azt körbejárva a választott körüljárási értelemben, az első ismert erő az N2 , ennek felmérésével kezdtük a vektorháromszög megrajzolását, majd ezt az FB követte és kaptuk meg a végén N3 -at.
263
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
A vektorsokszögek erőinek adott sorrendben történő felmérése esetén a vektorsokszögek egy ábrába rajzolhatók (4.2l.d. ábra) és nyerjük az ún. Cremona-erőtervet, mellyel részletesebben nem foglalkozunk.
4.4. Példa: Számítsukki a 4.22. ábrán látható rácsos szerkezet rúderőlt! Megoldás: Megállapítjuk először a szerkezet statikai határozottságát. Az A kényszert felfoghatjuk egyrudas megtámasztásnak (tehát az AG rúd most E D F kényszer), ekkor (4.2) szerint: 2c = r + nk-+ 2 · 5 == =7+ 3 és (4.3) szerint: r== 2c -3-+ 7 ==10- 3. A szer- . kezet mind belsőleg, mmd külsőleg statikailag határo- a l zott. (Ennek kimondása előtt természetesen megállapít- f-cif<;..._--+ va a rúdháromszögekből való felépítést és a kényszerek a : i
határozottságát is.) A rácsos szerkezet felépítését felfoghatjuk úgy is, hogy l ·i<~ a l>[l az AG rúd a rácsos szerkezet része, és kényszere kettő darab csukló. Ekkor (4.2) szerint: 2c =r+ nk-+ 2· 6= =8+ 4, továbbá, r== 2c -3 -+8< 12- 3 ==9. A rácsos 4.22. ábra szerkezet belső felépítését tekintve labilis, melyet külső kényszerekkel tettünk határozottá. A belsőleg határozott, ill. labilis, de külső kénysze- ~ D F rekkel határozottá tett szerkezetek megoldási módszerei 9--~~- közötti különbség ennél a feladatnál nem érzékeltethető 2 eléggé, ezért ezt belsőleg határozottként oldjuk meg, és a következő példában mutatjuk be a belsőleg labilis megoldását. A 4.23. ábrába berajzoltuk a kényszererők komponenseinek feltételezett értelmét, a csomópontok x F By B jeleit és a rudak számozását. Belsőleg statikailag határozott szerkezetek megol4.23. ábra dását kezdhetjük (célszerű is) a kényszererők kíszámításával:
f
L.:Mib
= O = P. 2a - F.4.a
'f.Fix. =O=- F + F&
-+
F.4. = 2 F,
264
4. Szerkezetek statikája
FBx=F
4.24. ábra
A következő lépésben lapítani:
célszerű
a vakrudakat megál-
A kényszererők és a vakrudak ismeretében a rúderők meghatározását bármelyik csomópontnál (C-t kivéve) elkezdhetjük. Legyen ez a B csomópont: A B csomópontra ható erők egyensúlyából (4. 24. ábra): (Az 5. és 6. rudakat húzottnak tételeztük fel.)
L Fix =O= -N6 cosa+ Fsx
N 5 = 2F- F -Ji -Ji = F. 2
LFiy =O= Fsy + N 6 sina+ Ns
A pozitív eredmények visszaigazolták, hogy a sen vettük fel, mindkettő húzott.
rúderők
értelmét helye-
C A C csomópont (4. 25. ábra) 5
4.25. ábra
LFiy = O= -Ns + N4
-7
N4 = Ns = F (húzott)
adódik tennészetesen. A D csomópont (4.26. ábra) 4.26. ábra
A 8-as rudat húzottnak tételezzük fel.
LFix =O= -Ns cosa-F
-7
Ns =- _!!__ = -F-Ji (nyomott), cos a
LFiy = -N8 sin a-N4 = F -Ji -Ji - F =O valóban. 2
265
4. 4. Síkbeli rácsos szerkezetek
A G csomópont (4. 27. ábra)
A csomópontra ható összes erőt ismerjük már, melyeket az ábrán feltüntettünk A vetületi egyenletek felírása így csak az ellenőrzést szolgálja: 4.27. ábra
+ Nscos a= F -fi ,fi - F -fi J2 = O, 2 2
D'ix = O = N6 cos a
U1y = O=FA - N 6 sin a + Ns sina = 2F
2F -fi
J2 = O.
2 A csomópont nyugalomban van, a rá ható erőrendszer egyensúlyi. 7 4. 5. Példa: Számítsuk ki a 4.28. ábrán látható rácsos szerkezet rúderőit Megoldás: A rácsos szerkezet külső kényszerei: az A csukló, a B támasz és a C csukló ba futó rúd (ez a rúd tehát a külső kényszer 4a és nem a rácsos szerkezet része). 4.28. ábra A rácsos szerkezetre a statikai határozottság szükséges (4.2) feltétele teljesül:
2c = r + nk~ 2 · 9 = 14 + 4. Belső
felépítését tekintve labilis (4.3) szerint: r
2c - 3
~
14 < 18 - 3 = 15.
Láthatóan egy rúd hiányzik a belső statikai határozottsághoz, melyet a megfelelő helyen külső kényszerrel pótoltunk Jól követhető a rúdháromszögekből való felépítés a 7-es csomópontig: 1-2-9-hez a 8-as, majd a 3-as, végül a 7-es csomópont. Ennek a résznek a statikailag határozott megtámasztását az A és C kényszerek biztosítják. Ehhez a részhez képest a 4-5-6 rúdháromszög egy mozgási lehetőséggel bír, melyet külső kényszerrel (B) szüntettünk meg.
266
Miután nk = 4 > 3, ezért a csomópontok nyugalmának vizsgálatából tudjuk csak a kényszererőket és a rúderőket kiszámítani. A kényszererők feltételezett értelmét a 4.28 ábrán feltüntettük. A rudak mindegyikét húzottnak tételezzük fel. A csomópontokat - az előbbiek szerint felvett értelmű erőkkel - a 4. 29. ábrán külön kirajzoltuk A rúderők meghatározása az alábbi lépésekben történt: Kezdtük a vakrudakkaL A 7. csomópont nyugalmából (4.28. ábra) N 3. 7 =O, ezután a 3ból N3.7= O. A vakrudakat a 4.28. ábrába bejelöltük. N,_. N•.7
Nz..; 4
6
5
N._,
N•., N,..
F
a.
b.
d
c.
N, .•
Nz""
N, .•
f
e.
g.
4.29. ábra
További lépések: 4.-ből
(4.29.a. ábra): Úiy = O = N4-6 - F
N4-6 = F (húzott),
6.-ból (4. 29. b. ábra):
Úiy Úix
Ns-G =- F
O = - N4-6 - Ns-6 sina
= O = - NG-7 + Ns-6 = -NG-7
-fi (nyomott),
cosa =
-F-fi cosa
~
NG-7 =- F (nyomott),
267
4. 4. Síkheli rcicsos szerkezetek 5.-ből
(4.29.c. ábra):
l:.Fix
= O = -N4-5 - Ns-<> cosa N4-5 = F (húzott),
=-N4-5+ F .fi cosa l:.Fiy
= FB + Ns-G sina = .F[; F .fi sina
Az FB kényszererő ismeretében a többit IS azonnal kiszámolhatjuk. Az egész szerkezet nyugalmábóL ~
2. Mia= O =FB 4a -F'Ja -Fc2a
Fc= 0,5F,
Folytassuk a rúderőkkeL A 7., majd a 3. (és 4.) csomópont nyugalmából (két erő egyensúlya) nyilvánvalóan következik:
N1-s
= NG-7 = - F (nyomott),
Nz-3
= N3-4 =N4-5 = F (húzott).
8.-ból (4.29.d. ábra):
l:.Fi" = O = Fc+ N1-s - Ns-9 co sa = = 0,5F- F- Ns- 9 cosa ~ l:.Fiy
9.-ből
N8_9 =- O,SF.fi (nyomott),
= O=
Ns-9 sma - Nz-s = = 0,5F N2_s
~
Nz-s
= 0,5F (húzott).
(4.29.e. ábra)
LFi\'
= Ns-9 cosa + Nz-9
=
o,sF.fi cosa + Nz-9 ~
Nz-9 = 0,5F (húzott),
268
4. Szerkezetek statikája
Í.:.Fiy = O = N8-9 sma -Nl-9= =- 0,5F .fi sina -Nl-9 1.-ből
-+
Nl-9=- 0,5F (nyomott).
-+
N1-2
(4. 29f ábra)
Í.:.Fix =O =FAx+ N1-2 cosa = = - 0,5F + N 1_2 cosa A 2. csomópont vizsgálata az
ellenőrzést
= 0,5F .fi
(húzott).
szolgálhatJa.
FELADATOK 4.6. - 4.26. Állapítsa meg az F. 4. 6. -F. 4. 2 6. ábrákon vázolt síkbeli rácsos szerkezetekről, hogy statikailag határozottak vagy statikailag határozatlanok! Utóbbtakról, hogy hányszorosan határozatlanok? A statikailag határozottak belső felépítésüket tekintve is azok-e? A labilis (mozgékony) szerkezetekről döntse el, hogy az adott terhelés esetén statikailag határozott módon viselkednek vagy sem!
F
F 4.6. ábra
F
F 4.8. ábra
F 4.7. ábra
~ .
F 4.9. ábra
F 4.10. ábra
3
'
6
F4.11. ábra
•
-1.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
F 4.12. ábra
F 4.15. ábra
269
F 4.13. ábra
F4.14. ábra
F 4.16. ábra
F 4.17. ábra
2
4
6
F F 4.18. ábra
F 4.19. ábra
F 4.22. ábra
F 4.21. ábra 2
F F 4.24. ábra
4
F4.20. ábra
F 4.23. ábra
6
F F 4.25. ábra
F F.4.26. ábra
4.27.- 4.34. Határozza meg azF 4.11., 15., 16., 18., 19., 22., 25 és 26. ábrán látható rácsos szerkezet rúderőit! Az alsó övrudak és az oszlopok hossza minden rácsos szerkezetnél: a, a rácsrudak hossza : a .Ji!
4. Szerkezetek statikája
270
F=6kN F 4.36. ábra F' 4.35. áhrn
4.35. - 4.37. Számítással hatá2.__ _..",3.__ __,4~--..,;i5~_F.~:-=4,kN rozza meg az F 4.35.- 37. ábrákon látható rácsos szerkezetek rúderőiti
sára keletkező
L.8.: A tankönyvhöz mellékelt lemez nyolcadik - "Egyszerű rácsos szerkezetek rúderői" című - programrendszere le3x4m hetőséget ad 15 féle kialakítású rácsos szerkezet, szerkezetenF 4. 37. ábra ként ezer terhelésvariáció határúderőinek kiszámítására illetve ellenőrzésére.
4.4.3. AZ ÁTMETSZÓ MÓDSZER A feladat - ugyanúgy, mint az előző pontban - rácsos szerkezetek rúderőinek meghatározása, most azonban nem az összes, csupán néhány kijelölt rúd rúderejét kívánjuk meghatározni. Feladatunkat úgy kívánjuk elvégezni, hogy lehetőleg csak a kijelölt rudak rúderőit kelljen meghatározni, ehhez a többi rúderő ismeretére ne legyen szükség. Ennek "energiatakarékossági" és "biztonsági" okokból van jelentő sége: kevesebb a munkánk, illetve az előzőleg esetleg elkövetett hibát nem visszük tovább. Célkitűzésünket a 3. fejezetben már megismert átmetsző módszer alkalmazásával érhetjük el. A rácsos szerkezetet két vagy több rúd gondolatbeli átmetszésével két önálló részre osztjuk, és vizsgáljuk a valamelyik különálló részre ható erőrendszer egyensúlyát.
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
271
Azaz gondolatmenetünk a következő. Edd1g (mig két részre nem vágtuk) a rácsos szerkezet nyugalomban volt, nyilvánvalóan azért, mert mmden rúdjában a nyugalom megkövetelte erő (rúderő) keletkezett. Ha a rudak átmetszésével kialakított két rácsos szerkezetrészre -az átmetszett rudak helyén- azokat az erőket működtetjük, melyek az átmetszett rudakban az átmetszés előtt ébredtek (ezen erők meghatározása a feladatunk), akkor a részek külön-külön továbbra 1s nyugalomban kell legyenek. Bármelyik rész nyugalmának vizsgálata, a rá ható egyensúlyi erőrendszer meghatározása tehát elvezet bennünket az átmetszett rudak rúderőinek meghatározásához. A két rácsos szerkezetrész közül annak nyugalmát célszerű vizsgálni, melynél megítélésünk szerint könnyebb dolgunk lesz (ez általában a kísebb rész, mert kevesebb erő "fér" rá). A rúderőket most is szerkesztéssel és számítással is meghatározhatjuk. A számítás során az elmetszett rudakat húzottnak tételezzük fel, hogy az eredményül kapott rúderő előjele rögtön Jelezze a rúd húzott (+) vagy nyomott ( -) voltát. A rácsos szerkezet két részre vágásánál három esetet különböztetünk meg attól fuggően, hogy hány rúd átmetszésével vágtuk ketté a rácsos szerkezetet. A három esetet a 4.30. ábrán látható rácsos szerkezeten mutatjuk be. l. Két rúd átmetszése
A rácsos szerkezetet két rúd átmetszésével vágjuk két részre. A 4.30. ábrem látható szerkezetet például az l. és 12. rúd átmetszéséveL Természetesen a bal oldali "rész" (ez csupán az A csomópont) nyugalmát vizsgáljuk az egyszerűség okán. Látható, ez csomópontvizsgálathoz vezet. Labilis belső felépítésű, de külső kényszerekkel határozottá tett rácsos szerkezeteknél a szerkezet két rúd átmetszésével történt kettévágása nem feltétlenül csomópontvizsgálatot jelent. Így például a 4. 28. ábra szerkezetét a 4.-5. és 7.-8. rúd átmetszésével két részre osztva és VIzsgálva például a jobb oldali részre ható erők egyensúlyát, ez a feladat már átvezet bennünket a most következő hármas átmetszés vizsgálatába. 2. Három rúd átmetszése: a hármas átmetszés módszere
A rácsos szerkezetek felépítéséből következően ez a leggyakrabban előfordu ló, legfontosabb eset. Tehát, amikor a rácsos szerkezetet három rúd átmetszésével vágjuk két részre: a 4.30.a. ábrán látható szerkezetet például a 2.,
272
4. Szerkezetek statikája
15. és a 10. rúd átmetszéséveL Egyszerűbb a továbbiakban a bal oldali rész nyugalmával foglalkozni (4.30.b. ábra). Mint látható a hármas átmetszés arra a feladatra vezet, hogy a vizsgált rácsos szerkezetrészre, mint merev testre ható ismert erők eredőjét egyensúlyozzuk három ismert hatásvonalú erővel. Legegyszerűbb megoldására a Ritter-módszert (ha számoljuk), illetve a Culmann-módszert (ha szerkesztjük) már megtanultuk (3.2.2.3.). A Ritter-módszer alkalmazásánál a pontokat, melyekre a nyomatéki egyenleteket felírjuk, főpontoknak hívjuk. A 4.30. ábrán ezeket is feltüntettük, például a 15-ös rúd főpontja: P 1s (ott van, ahol az átmetszésben szereplő másik két rúd tengelye metsződik) (4.30.b. ábra).
4.30. ábra
A három adott hatásvonalú erővel való egyensúlyozási feladatot - mint láttuk a 3. fejezetben csak akkor tudjuk egyértelműen megoldani, ha az egyensúlyozó erők hatásvonalai nem metsződnek egy pontban. Nyilvánvaló most is, hogy úgy kell három rúd átmetszésével kettévágnunk a rácsos szerkezetet, hogy a három rúd tengelye ne metsződjék egy pontban, ha azt akarjuk, hogy a rúderők ebből az átmetszésből meghatározhatók legyenek. A hármas átmetszést a 3., 4. és a 17. rudakan végrehajtva, a rúderők egyik rész vizsgálatából sem határozhatók meg: az elmetszett három rúd ten-
..J.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
273
gelye egy pontban metszöd1k. közös metszéspont, mmt csomópont nyugalmának vizsgálatából csak akkor határozhatók meg a ruderők (két vetületi egyenlet, három ismeretlen), ha előbb valamelyiket más átmetszésből (például a 3-ast a 3.,16. és a 10. átmetszésből) meghatározzuk 3. Háromnál több rúd átmetszése
Gyakran előfordul, hogy a rúderőt sem kettes, sem hármas átmetszésből nem tudjuk meghatározni. ahhoz, hogy az adott rúd is szerepeljen az átmetszésben, háromnál több rudat kell átmetszeni. különösen K rácsozatú tartóknál fordul elő, de felfogható ilyennek a 4.30.a. ábrán látható szerkezet 17. rúdja 1s. A 17. rúdban ébredő rúderőt a rácsos szerkezet 4., 17., 16. és 10. rúdja átmetszésével nyert jObb oldali rész nyugalmának vizsgálatából próbáljuk meghatározm (4.30.c. ábra). A rúderők meghatározása persze csak ebből az átmetszésből nem lehetséges, hiszen a négy Ismeretlenhez három egyenletünk van. Egy Ismeretlent valamely csomópont VIzsgálatából, vagy egy másik átmetszés segítségével kell meghatároznunk Adott esetben az átmetszésben szereplő négy rúderő közül például a 2., 15. és a 10. hármas átmetszésből már rendelkezésünkre állhat N 10 és így a 17. rúd rúdereje például a P 17-re (felfogható a 17-es rúd főpontjaként) felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből meghatározható. Osszefoglalva: a fentiekben leírtakból látható, hogy az átmetsző módszer alkalmazása különösen akkor célszerű, ha sok rúdból álló szerkezet néhány rúderejének meghatározása a feladat. Ismételt alkalmazásával persze a rácsos szerkezet összes rúderejét 1s meghatározhatjuk. Elő 2( 4 3 nyösen alkalmazható csomóponti módszerrel számolt rúdt:$1 erők ellenőrző számítására is. Számítással és szerkesztéssel határozzuk meg a -1.31. ábrán látható rácsos 4.31. ábra szerkezet 2., 7. és 10. rúdjaiban keletkező rúderőket Megoldás számítással (Ritter-móds::er) rácsos szerkezet statikailag határozott, mert (4 .2): 2c = r + nk -7 2 · 8 = 13 + 3 teljesül, rúdháromszögekből épül fel és a külső kényszerekkel kü4. 6.
·
4. Szerkezetek statikája
274 lönböző
elmozdulásokat gátoltunk meg. Természetesen most ( 4.3): belső felépítését tekintve is határozott. Emiatt a megoldást kezdhetjük a kényszererők meghatározásával. Az egész rácsos szerkezet nyugalmát vizsgálva: 2c = r -3 -t 2 · 8 = 13 -3 is teljesül, így a szerkezet
Fe
= 2,5 kN,
Hármas átmetszéssei úgy tudjuk kettévágni a rácsos szerkezetet, hogy abban pontosan az a három rúd szerepel, melyekben keletkező rúderőket meg kell határoznunk. Foglalkozzunk a bal oldali tartórésszeL A bal oldali tartó részt, az összes rá ható külső erővel (a tartórészt tekintve N2 , N7 , Nw rúderők is külső erők) a 4.32. ábrán láthatjuk. Ezen erőknek egyensúlyi erő rendszert kell alkotniuk Ritter-módszerrel (nyomatéki egyensúlyi egyenleteket az ismeretlen erők hatásvonalainak metszéspontján átmenő tengelyekre: most főpont, felírva):
N2 =-5 kN (nyomott), =O= FA· a-NTa -t N7 = 3,5 kN (húzott). A 10. rúd főpontja - miután az átmetszésben szereplő másik két rúd párhuzamos - a végtelenben van, ily módon Nw-et a főpontra felírt nyomatéki egyenlet segítségével nem tudjuk meghatározni. A tartórészt terhelő erőrendszer egyensúlyi erőrendszer, melynél nyilvánvalóan a vetületi egyensúlyi 2 p egyenletnek is teljesülnie kell. Célszerű olyan tengelyre számolni a vetületeket, mely a két övrúdra 4.32. ábra merőleges, mert így a rácsrúd rúdereje a másik két rúderő ismerete nélkül is kiszámítható:
LMip7
N 10 =2, 12 kN (húzott).
4. 4. Síkbeli rácsos szerkezetek
275
Megoldás szerkesztéssel (Culmann-módszer) A 4.33. ábrán vastagon rajzolva kiemeltük a vizsgálni kívánt bal oldali tartórészt, de vékony vonallal kiegészítettük és megrajzoltuk az egész rácsos sz erkezetet Ugyanis először most is - az egész rácsos szerkezetet vizsgálva meg kell szerkesztenünk a kényszererőket Az ábrán látható módon ezt megtettük vektor- és kötélsokszög segítségéveL Szükségünk van a vizsgálill kívánt bal oldali tartórészre ható ismert külső erők (FA és Fr) eredőjére (Fb), F1 F2 2 melynek vektorát a vektorábrát F. A:---~--+N.,z-?---~r---""1\ ból, helyét a kötélábrából könyl nyen meghatározhatjuk. · ~--~-~~~~~~ Ezután az ábrán látható módon felvettük a Cuimann-egyenest (c) és megszerkesztettük az egyensúlyi erőrendszert. A rúderők nagysága az erőmér ték segítségével leolvasható: N2 = 5 kN; N7 = 3,5 kN; N7 k N10 =2, 12 kN, a rudak húzott Hosszmérté: F8 1 1 1 1 1 1 l~~> [m] vagy nyomott volta ha rárajO l 2 3 zoljuk a vizsgált tartórészre a Erőmérték: szerkesztésből kapott rúderőol 1l 2l 3l l> [kN] vektorokat - könnyűszerrel 4.33. ábra megállapítható: N2 a vizsgált tartórész felé mutat, tehát a 2-es rúd nyomott, míg az N 10 és N 7 a tartórésztől elfelé mutat (húzza), tehát mindkét rúd húzott.
~--~:~/}~'
4. 7. Példa: Számítással határozzuk meg a 4. 34. ábrán vázolt rácsos szerkezet bejelölt rúdjaiban keletkező rúderőértékeket. (Adatok: Fr = F 2 = 20 kN, F3 = l O kN, a = 3 m, b = 2 m, h = l, 5 m. Megoldás: A bejelölt rudak közül az 1., 2. és 3. egy hármas átmetszésben elhelyezhető. Vizsgáljuk a jobb oldali tartórészt (egyszerűbb, mert kevesebb erő hat rá, mint a bal oldali tartórészre, másrészt a kényszererőket sem szükséges így kiszámolni).
276
4.35. ábra
4.34. ábra
LMipi
A tartórészt a külső erőkkel és a fő pontok bejelölésével a 4. 35. ábrán láthatjuk. Ritter-módszerrel a rúderők:
=o=+ NI. 2h- F3. 3b
NI= 20 kN (húzott),
N2 =-5 kN (nyomott), N3 =-20, 6 kN (nyomott). Utóbbi egyenlethez m3 meghatározása legegyszerűbben úgy történhet, hogy felírjuk a PIP3P háromszög területének kétszeresét kétféleképpen (először a 2., majd a 3. rúd hosszát tekintve a háromszög alapjának)
ebből
A 4. rúderő meghatározásához egy újabb hármas átmetszést kell végrehajtanunk Vizsgáljuk megint a jobb oldali rész nyugalmát (4. 36. ábra) 4.36 ábra
Az 5. rúderőt vagy négyes átmetszésből, vagy a C csomópont vizsgálatából tudjuk meghatározni. Utóbbiból azért vált lehetővé, mert az oda befutó három rúdból egynek (NI) a rúderejét már előzőleg kiszámítottuk
277
4.4. Síkheli nicsos szerkezetek
2 A 4. 37. ábra alapJán (a= arc tg h =45°): a
2-Fix= O= F 1 +
N1
Ns cosa.
Ns
= -56,6 kN (nyomott).
4.37. ábra
4. 8. Példa: Meghatározandó a 4. 6. ábrán már vázlatosan bemutatott önhordó felépítményű hűtőgépkocsi rácsos szerkezetű oldalfalának néhány rúdereje. A hűtőgépkocsi analíziséből rendelkezésünkre áll az oldalfal mechanikai számítási modellje és az oldalfal - mint egy rúdból álló merev test - nyomaték1 igénybevételi ábrája. (Szilárdságtanban több módszert meg- M"' ~~.,~~r--r--r--r----~ ismerünk, melyek segítségével [kNm] i elsőként a tartók nyomatéki igénybeli fuggvényét határozzuk meg és további vizsgálatainkat ennek Ismeretében hajthatjuk végre.) A számítási modellt, a nyomatéki ábrát a 4. 38. ábrán rajzoltuk meg, ugyanott bejelöl- [kN] tük a rudakat, melyek rúderőit meg kell határoznunk. A nyomatéki és nyíróerő 4.38. ábra fuggvény közötti ismert összefuguést ( clL\.1/Jz(xJ o d.x =-Ty(x) ) felhasználva
előállíthatJ-Uk
az oldalfal (mint egy ~
rúd) nyíróerőábráját pl. tga 1 = M 1/a = 7'1 (miután a fuggvény valamely pontbeli első deriváltja, a fuggvény adott pontjához húzott érintőjének iránytényezőjével egyenlő) stb. A tartó ily módon meghatározott nyíróerőábráját is a 4. 38. ábrán rajzoltuk meg.
278
4. Szerkezetek statikája
A
nyíróerőábra
erőrendszer könnyűszerrel
Ismeretében az egyensúlyi
előállítható:
F1 = (T1) = 3,9 kN;
Fz = (T1 + Tz) = 10,9 kN;
y p2
s
00~
..... ll
..s; N
Fl
Fz a= lm
F4 = (T3 + T4) = 5,26 kN; Fs = (T4) = 4,26 kN.
Nl
r')
N4 l
4.39. ábra
F3 = (T2- T3) =6 kN;
A rúderőket átmetsző módszerrel határozzuk meg. A hármas átmetszést nem tudjuk alkalmazni, ezért négy rúd átmetszésével vágjuk ketté a szerkezetet és a bal oldali rész (4.39. ábra) vizsgálatából fogjuk meghatározni a rúderőket Miután négyrudas átmetszéskor a rúderők közvetlenül nem x határozhatók meg, ezért segítségül hívjuk a K csomópont vizsgálatánál kapott eredményt Nevezetesen azt, hogy a 4.39. ábrán N2 N 3 eredője átmegy a C ponton és y irányú. Ennek ismeretében a bal oldali rész nyugalmábóL
LMp 1 =0 =F 1· a+ N1 · 2h
--+ N1 = -
:~
=-2, 13 kN
(nyomott),
--+ N 4 =
' 39 ' 183 '
=2
(húzott).
'
13 kN
A C csomópont nyugalmából pedig ( 4.40. ábra)
LFix =O= N2 cosa + N 3 cosa --+ N3 = -Nz, ezzel a bal oldali részre (4. 39. ábra) felírt vetületi
egyenletből:
279
4.4. Síkbeli rácsos szerkezetek
N 2
= F2 -F; = 10,9-3,9 = 547leN 2sina
2·0,6395
'
(húzott), ahol
sma =
0,915 2 1 -v0,915 + 1,1 2
Végül: N 3 =- N 2 = -5,47 kN
! l
Y i
= 0,6395.
x
(nyomott).
Megjegyezzük, hogy ennél a feladatnál az l. rúderő meghatározásához alkalmazhattunk volna egy másik 4.40. ábra átmetszést (a 4.38. ábrán pontvonallal jelölve), azért, mert az F 1 támadáspontjánál lévő csomópont vizsgálatából adódik, hogy a vizszmtes rúd vakrúd. Így lényegét tekintve ez hármas átmetszés és N 1 a rúd főpontjára (P 1) felírt nyomatéki egyenletből meghatározható. Alkalmazhattuk volna a szaggatott vonallal jelölt átmetszést is, mely ugyan négyes átmetszés, de a P1 pontban három ismeretlen rúderő hatásvonala metsződvén, az erre felírt nyomatéki egyenletből N 1 kiszámítható. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy párhuzamos övű rácsos szerkezetnél előnyösen felhasználható a rácsos szerkezetre mint gerendatartóra megrajzolt nyomatéki ábra az övrúderők, a nyíróerőábra pedig a rácsrúderők meghatározására. Az övrúderőket megkapjuk, ha a főpontjuk fuggőlegesébe eső nyomatékimetszéket elosztjuk az övek távolságával (tartó magassága). A rácsrúderőket megkapjuk, ha a léptékhelyesen szerkesztett nyíróerőábra megfelelő metszékeinek végpontjából a rácsrudak irányával párhuzamost húzunk (a 4.38. ábrán 2. és 3. rúderőket berajzoltuk). 4.9. Példa: Számoljuk ki a 4.41. ábrán vázolt rácsos szerkezet bejelölt rúdjában keletkező rúderőtl Megoldás: Könnyen megállapítható, hogy a szerkezet belső felépítését tekintve labilis, de külső kényszerekkel statikailag határozottá tett rácsos szerkezet. Ennek a szerkezetnek tehát a külső kényszererőit nem tudjuk az egész szerkezet nyugalmának vizsgálatából meghatározni. Ezért - bár három rúd átmetszésével (I. átmetszés) ketté tudjuk vágm a szerkezetet - nem ismervén a kényszererőket a rúderőket sem tudjuk kiszámítani. Két rúd átmet-
4. Szerkezetek
280
szésével kettévágva a szerkezetet (II. átmetszés) és vizsgálva a bal oldali rész nyugalmát (4. 42. ábra) kiszámolhatjuk viszont az N 2 rúderőt: 2II.D
L
--+----. a
N2
A F
y
A'
N2
A
l'
a
'l'
a
'l'
a
4.42. ábra
4.41. ábra
Wia =O= Fa+ N2a
F
FA
.j -7
N2=
4.43. ábra
F (nyomott)
és N 2 ismeretében egyszerűbb N 1-et a D csomópont (4. 43. ábra) nyugalmának vizsgálatából meghatározni: N1=- F .fi (nyomott).
FELADATOK 4.38. - 4.43. Határozza meg az F 4. 38. - F 4.43. ábrákon vázolt rácsos szerkezetek bejelölt rúdjaiban keletkező rúderőket! F
~ 4
8x2=16m
1
F 4.38 ábra
J
F
A
B
4
c F 4.39. ábra
"'x
N
..f. 4. Síkbeli rácsos szerkezerek
281
F 1=10kN:l""
4,Sm F 4.40. ábra
3m
.
"'i"' .
4xa F 4.42. ábra
F 2=8kN
F 1=12kN
8x2=16 m
F4.43. ábra
""l
---t----.-
""l""
4,5m
F 4.41. ábra
F
3m
-
""i
2H2
4. S'zerkezetek statikája
4.5. Térbeli rácsos szerkezetek
Térbeh rácsos szerkezetek számítási modelljének kialakításakor ugyanúgy egyszerűsítő feltevésekkel élünk, mint tettük síkbelieknéL l. A rudak egymáshoz és környezetükhöz súrlódásmentes gömbcsuklókkal kapcsolódnak. 2. A szerkezetet terhelő valamennyi erő a csomópontokban működik. 3. A szerkezet önsúlyát figyelmen kívül hagyjuk. 4. A rudak merevek, azaz a terhelés hatására bekövetkező alakváltozástól eltekintünk. A rúderők meghatározását- eddigi ismereteink alapján - térbeli rácsos szerkezetek esetében is csak statikailag határozott rácsos szerkezetnél tudjuk elvégezni.
4.5.1. TÉRBELI RÁCSOS SZERKEZETEK FELÉPÍTÉSE, STATIKAI HAT ÁROZOTTSÁGUK MEGÁLLAPÍTÁSA A legegyszerűbb térbeli rácsos szerkezetet úgy építhetjük fel, hogy kiindulva egy rúdháromszögből (három rúd három csuklóval összekapcsolva), ehhez egy újabb csomópontot kapcsolunk három - nem egy síkba eső - rúd segítségéveL Ilyen szerkezetet láthatunk a 4.44. ábrán, ahol a térbeli szerkezet jobb láthatósága érdekében egyrészt felvettünk egy térbeli koordinátarendszert, másrészt a rúdtengelyeket úgy rajzoltuk meg, mintha a háromszögek oldalait átlátszatlan lapok kötnék össze. Ezt a hat rúdból álló szerkezetet - tetmédert - tekinthetjük a térbeli rácsos szerkezet alapelemének, melyből az egyszerű térbeli rácsos szerkezetek úgy építhetők fel, hogy a tetraéderhez három-három (nem egy síkba eső) rúd segítségével újabb és újabb csuklót kapcsolunk Az így felépített szerkezetek a rájuk ható egyensúlyi erőrendszer hatására alakjukat tartani képesek, belső felépítés szempontjából stabil szerkezetek.
283
4.5. Térbeli rácsos szerkezetek Egyszerű
térbeli rácsos szerkezetet mutat a 4. 45. ábra, mely szerkezet három övből és ezeket összekötő rácsozatból áll. Felépítése - a csomópontok számozását figyelve - jól követhető.
Állapítsuk meg, hogy a fentiek szerint kialakított - belső felépítésüket tekintve statikai- x lag határozott - szerkezetek rúdszáma (r) és 4.44. ábra csomópontszáma (c) között milyen összefuggés 1 4 7 van. A kiindulásui szolgáló rúdháromszög há- ----."..~----:::~ rom rúdból és három csomópontból áll. Az egyszerű térbeli rácsos szerkezet minden további csomópontját három-három újabb rúddal kapcsoljuk hozzá, azaz az új rudak száma (r - 3) éppen háromszorosa a hozzákapcsolt új csomópontok számának (c - 3), így r - 3 = 4.45. ábra = 3(c - 3) és ebből r= 3c - 6. Ezzel megfogalmazhatjuk a tételt, mely szerint: Statikailag határozott belső felépítésű térbeli rácsos szerkezet rúdjainak (r) és csomópongainak (c) számaközött teljesülnie kell az
/[]}JJ Tétel:
r= 3c- 6
(4.4)
egyenlőségnek.
A statikailag határozott belső felépítésnek (4.4) szükséges, de nem elégséges feltétele. Egyszerű térbeli rácsos szerkezeteknél - tehát amikor tetraéderekből épül fel a szerkezet- (4.4) teljesülése elégséges is. Minden más esetben végig kell vizsgálnunk a szerkezetet, hogy minden részében a szükséges, de minimális számú belső kényszerrel szüntettük-e meg az elmozdulási lehetőségeket. A 4.46.a. ábra egy statikailag határozott belső felépítésű négyöves térbeli rácsos szerkezetet mutat. Az 1.-5. övrudat a többi övrúddal egyenlő hosszúra választva az 1-2-3-4 tetraéder síklappá válik és egy rúddal több szerepelne benne, mint amennyi a statikai határozottsághoz szükséges. A többi, össze nem kötött csomópont viszont elmozdulhatna egymáshoz
284
4. S'zerkezetek
képest, 1mközben (4.4) telJesüL statikailag határozott belső felépítést úgy valósíthatjuk hogy pl. a 2.-4. rácsrudat elhagyjuk és a 13.-15. 13 5 l rácsrudat építjük be helyette 46. b. ábra). Ezzel egy térátló nélküli hasáb alakú rácsos szerkezetet nyertünk. A 4.46.c. ábrán nyílások létesítésére látunk példát: a 6.-9. és a 10.-13. rácsrudak helyett a mozgékonyság elkerülése érdekében beépítettük az 5.-7. 15 ll 7 3 és a 9.-11. rudakat 1
15
ll
7
3
15
ll
7
3
Statikailag határozott térbeli rászerkezethez legegyszerűbben b. csos statikailag határozott belső felépítésű rácsos szerkezetek révén juthatunk, mert csak statikailag határozott megtámasztásukról kell gondoskodnunk. l Belsőleg labilis szerkezetek esetében annyival több elmozdulási lehetőséget kell a külső kényszerekkel megszünc. tetnünk, ahányszorosan belsőleg labilis, ha statikailag határozott szerkezethez akarunk jutni.
A térbeli rácsos szerkezetek vizsgálata a síkbeli rácsos szerkezetekhez képest elvileg nem ütközik újabb nehézségekbe. Gyakorlatilag - a statikai egyenletek nagyobb számára való tekintettel - még inkább törekednünk kell az egyenletek felírásának egyszerűsítésére, megoldásuk könnyítésére. 4.46. ábra
4.5.2. CSOMÓPONTI MÓDSZER A csomópontok nyugalmát (közös metszéspontú térbeli súlyát) kifejező (2.4)
erőrendszer
egyen-
4.5. Térheli rácsos szerkezetek
vektoregyenletet, illetve az
ebből
285
nyert (2.11 ):
vetületi egyenleteket a vizsgált térbeh rácsos szerkezet minden csomópontjára felírva, az összes ismeretlent: külső erőket (kényszererők), belső erőket (rúderők) meghatározhatjuk. Statikailag határozott térbeli rácsos szerkezet esetében 1s pontosan annyi lineárisan független egyenlet írható fel, amennyi az ismeretlenek száma: 3c= r+ nk. Természetesen, amikor csak tehetjük (belső határozottság esetén), célszerű az egész szerkezet nyugalmának vizsgálatából előbb a kényszererőket meghatározni, majd a csomópontvizsgálatot olyan csomópontnál elkezdern és olyan csomópontnál folytatni, melynél legfeljebb három ismeretlen van. Azaz három rudas csomópontnál kezdeni és olyan csomópontnál folytatni a vizsgálatot, ahollegfeljebb három ismeretlen rúderő van. A térbeli rácsos szerkezetek vizsgálatát is megkönnyíti, ha megállapítJUk a vakrudakat Néhány speciális esetben a csomóponti módszer alkalmazásával könnyűszerrel meghatározhatjuk a vakrudakat l. térbeh rácsos szerkezet csomópontjában három rúd találkozik (ezek tengelyei természetesen nem lehetnek térbeli szerkezetnél egy síkban), és a csomópontot nem terheli külső erő. (Ilyen csomópont lehet pl. a 4.46. ábrán látható 16-os csomópont.) Könnyen belátható (gondolatban felírva a csomópontra a vetületi egyenleteket), hogy egyensúly csak úgy lehetséges, ha egyik rúdban sem keletkezik erő, tehát mindhárom rúd vakrúd. Természetesen abban az esetben, amikor a fentl csomópontot terheh ugyan külső erő, de annak hatásvonala valamelyik rúd tengelyével egybeesik, akkor csak ebben lesz rúderő, a másik kettő vakrúd. A csomópontba több rúd fut be, de ezek egy síkban vannak egy kivételével (pl. A 4.46.c. ábra 2-es csomópontja), akkor ez utóbbi rúd vakrúd, ha a csomópontban nem működik külső erő. Vakrúd akkor is, ha van külső erő, de annak hatásvonala benne van a többi rúd által meghatározott síkban.
286
4. &erkezetek statikaja
4.5.3. AZ ÁTMETSZÖ MÓDSZER Az átmetsző módszert akkor célszerű alkalmazni, amikor csak néhány kiválasztott rúderő meghatározásáról van szó, és a rácsos szerkezet gondolatban úgy bontható két részre, hogy maximálisan hat rudat kell átmetszeni, melyek között szerepeinek a kiválasztott rudak. Az egész szerkezet nyugalmából következik, hogy bármelyik résznek nyugalomban kell lennie, ha az arra ható külső erőkön kívül működtetjük az elmetszett rudak hatását pótló erő ket (azokat az erőket, melyek e rudakban az elmetszés előtt ébredtek). A rúderők tehát a bármelyik részre felírt egyensúlyi egyenletekből számolhatók. Az egyensúlyi egyenletek felírásakor kiindulhatunk a tetszőleges erő rendszer egyensúlyának alábbi megfogalmazásából:
mely térbeli erőrendszer esetén hat skaláregyenletet (három vetületi és három nyomatéki) foglal magába. Segítségükkel tehát a hat rúderő kiszámolható. Előnye az egyensúly ilyen megfogalmazásának az egyenletek viszonylag könnyű felírása; hátránya, hogy egy-egy egyenletben több ismeretlen szerepelhet. Kiindulhatunk tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyának ""i.Mi(k)
=o
(k = l, 2, ... ,6)
megfogalmazásából is (hat - lineánsan fuggetlen - tengelyre az erőrendszer nyomatéka nulla). A hat egyenlet a hat ismeretlenhez most is rendelkezésünkre áll. Előnye ennek a módszernek, hogy - a tengelyeket szerencsésen megválasztva (csak egy ismeretlen rúderőnek legyen nyomatéka a tengelyre) egyismeretlenes egyenleteket megoldva juthatunk a rúderőkhöz. Hátránya, hogy ezeket a tengelyeket néha nehéz megtalálni.
4.5.4. ÉL MENTI ERÖK MÓDSZERE A módszer mint látni fogjuk - felfogható az átmetsző módszer speciális eseteként is, mely igen előnyösen alkalmazható sík falakkal határolt testátló nélküli térbeli rácsos
4.5. Térheli rácsos szerkezetek
287
szerkczetel:re és lényege az, hogy térbeli feladatot síkbeli rácsos tartók rúderő meghatározására vezeti vissza. Az élmenti erők módszere különösen olyan térbeli rácsos tartók rúderő-meghatározására előnyös, mely térbeli rácsos tartók sarokpontjaibóllegfeljebb három él indul ki. Ebben a pontban mi csak ezt az esetet tárgyaljuk. Terhelési modell. A vizsgálandó térbeli rácsos szerkezet sík lapokkal határolt test. A terhelő erők csak a csomópontokban működhetnek, melyek iránya (ha a csomópont az éleken kívül van) nem lehet tetszőleges: miutún a szerkezet oldalfalai síkbeli rácsos szerkezetek, ezek csak síkbeli terhelést képesek felvemri. Tetszőleges irányú erők tehát csak az élek mentén támadhatják a szerkezetet melyeket (egyébként tetszőlegesen) fel kell bontanunk az él mentén lévő két oldalfal síkjába eső komponensekre. Az élbe eső hatásvonalú külső erőket - teljesen tetszőlegesen - az él mentén lévő egyik vagy másík lapra működőnek vehetjük. Fentiekkel elértük, hogy a sík lapokkal határolt tesre ható erők mind a lapok síkjában működnek. A következőkben a testet - az élek mentén gondolatban felhasítva - részekre szedjük, mely részek ilyen módon a test lapjai, saját síkjukban terhelve. Az egész szerkezet nyugalmából következik az egyes részek nyugalma, így tehát az egyes lapokra az élek mentén működtetve azokat az erőket, melyeket a lapok egymásra a felhasítás előtt kifejtettek, ezek az erők a lapokra ható külső erőkkel együtt egyensúlyi erőrendszert kell alkossanak. Az az erő, melyet valamely él mentén két lap egymásra kifejt, csakis a két síklap metszésvonalának, a közös élnek az irányában működhet, mert 1nindkét lap csak saját síkjába eső erő felvételére képes. Ezen erők eloszlását nem ismerjük, de eredőjüket az egyes lapokra felírt egyensúlyi egyenletekből meghatározl1atjuk. Egy-egy él mentén átadódó erők eredőjét élmenti erőnek nevezzük (innen a módszer neve). A megoldás menete. A megoldás megkezdése előtt célszerű megnézni, hogy az adott statikailag határozott rácsos szerkezet számítható-e az él menti erők módszerével. Felírható-e annyi lineárisan független egyenlet, amennyi az ismeretlenek (most az él menti erők és a kényszererők) meghatározáshoz szükséges? Jelölje a vizsgálandó rácsos szerkezet (test) lapjainak számát l, az élek számát e, és a sarokpontok számát c•. Laponként három, összesen 3/ egyensúlyi egyenes írható fel, míg az ismeretlenek számát az él menti erők (e) és a kényszerek (határozott megtámasztásnál, mint esetünkben: 6) határozzák meg. Élmenti erők módszerének alkalmazásához szükséges a 31 =e+ 6 egyenlőség
(4 .5)
teljesülése.
Az általunk vizsgálandó szerkezeteknél ez teljesül. Ugyanis, ha az Euler általleírt a sík lapokkal határolt testekre vonatkozó - összefüggésben: c. + l = e + 2 beírjuk c, helyébe a c,= 2e/3 értéket akkor pontosan (4.5) összefüggéshez jutunk, azaz szerkeze-
tünknek pontosan mmyi éle és lapja van, ame1myi szükséges az él menti erők meghatározásához. (A c. 2e/3 értéket a 3c,= 2e egyenlőségből kaptuk, amely azt fejezi ki, hogy ha núnden sarokpontból kiinduló 3 élt összeszámoljuk, akkor az élek számának kétszeresét kapjuk, miután minden él két sarokpontba fut be.)
288 Az ismeretlen él menti erők meghatározásának elvi akadálya most már nincs, gyakorlatilag azonban az egyenletrendszer megoldása hosszú munkát igényelhet és eléggé nehézkes lehet. Ezt úgy tudjuk elkerülni, hogy egy ismeretlen él menti erőt tetszőlegesen kiválasztva, ennek függvényében fejezzük ki az összes többit, rendre felírva az összes lapra az e~:,>yensúlyi egyenleteket. Így végül az eredményt nem egyenletrendszerből, hanem egy egyismeretlenes egyenletből kapjuk. Az él menti erők ismeretében következhet az egyes oldalakon belül (síkbeli rácsos szerkezetek) a rúderők meghatározása. Ennek érdekében már csak azt kell tennünk, hogy az egyes oldalfalakra működtetjük a rájuk ható külső erőket és az imént meghatározott él menti erőket. Ez utóbbiaknál gondot jelent, hogy hol, az él mely pontjában vegyük fel támadáspontjukat Gondot azért jelent, mert az él menti erők mindegyikénél csupán eredőjüket ismerjük, megoszlásukat nem. Köm1yű azonban belátlú, hogy a megoszlás ismeretére nincs is szükségünk, ti. a rúderők nem függenek attól, hogy az él menti erők támadáspontját az él mely csomópontjában vesszük fel. Ez nyilvánvaló az oldalfalak rácsrúdjainál (4.47. ábra), lúszen a főpontra (P) a nyomatékösszeg ugyanaz marad (a párhu-zamos övű oldalfalnál az övekre merőleges 1~ tengelyrevett vetületösszeg nem változik). ~~ Az egyes oldalfalaknál az élek mentén --=---- -..---fekvő rudak rúderőértékei már változni fog_? - - ·---' nak aszerint, hogy az átmetszéstől balra vagy i ~ jobbra eső tartórészen lévő csomópontra támadának vesszük-e fel az él menti erőt. A változás nagysága pontosan megegyezik az él menti erő nagyságával. Az áthelyezés következtében az él mentén lévő rúdban az egyik -1.47. ábra falhoz tartozóan ugyanannyival nő a rúderő értéke, mint amennyivel csökken, ha a másik falhoz tartónak vesszük a rodat. Miután az él menti rúd mindkét fal teherviselő eleme, ezért a benne ébredő rúderő értékét szuperpozicióval az él menti rodat egyik, illetve másik falhoz tartozónak tekintve számolt rúderők algebrai összegzésével - nyerjük. Ebből következik, hogy az él menti erőt az élmentén működtetve, támadáspontját a szomszédos oldalfalak bármelyik - de núndkét oldalfalnál azonos - csomópontjában felvéve, a számolt rúderők azonosak a térbeli rácsos szerkezet rúderőivel mindaddig, anúg az egyes falak statikailag határozott rácsozásúak. A térbeli rácsos szerkezetek rúderőinek élmenti erők módszerével történő meghatározására bemutatunk egy példát.
~1
4.10. Példa: A4.48. ábrán egy helikopter rácsszerkezetű törzsét rajzoltuk meg. Határozzuk meg az él menti erők módszerével az adott terhelés hatására a térbeli rácsos szerkezet
rúdjaiban fellépő
rúderőket
ivlegoldás: Első lépésként a szerkezetet rácsrudak nélkül készitett homogén hasábnak tekintve, lapjaira szedve, síkba terítjük (4.49. ábra).
4.5. Térbeli rácsos szerkezetek
289
Az egyes lapokra működtetjük a terhelő erőket: IF1 1 = IF2 1 = F és az egységesen kifelé mutató (húzó) erőnek felvett kényszererőket Nagyon lényeges, hogy az erőket tényleges támadáspontjukban és irányukban működtessük és csak az élt meghatározó két lap egyikére (hogy melyikre működtetjük, az tetszőle ges). Az él menti erőket - tetszőle ges él menti erőt kiválasztva - egy F2 ismeretlen függvényeként írjuk fel. Mi az I. Lap 1-2 élén működő E12 = 4.48. ábra X él menti erő függvényeként hjuk fel az összes többit, felhasználva ehhez az egyes larok nyugalmát biztosító egyensúlyi erőrendszerekre felírható statikai egyenleteket.
b.
'}_F 3
..L..
E,.=4X 2
6
2
E,.=~FJ ~ ~ Eu=X 11! 4 E-;;x ll Fa
I.
l
E,.=X
X=E,.
E.,=4X
H
F,
si ~
114
~
IV.
81
~
X=E..
E41=4X
4.49. ábra
A tényleges munka megkezdése előtt ellenőrizzük, hogy (4.5) teljesül-e: az ismeretlenek száma: e + 6= 12 +6= 18, megegyezik a felírható egyenletek számával: 3/= 18. Itt jegyezzük meg, hogy a feladat megoldását a kényszererők meghatározásával is kezdhettük volna, az egész szerkezetre felírt egyensúlyi egyenletek segítségéveL Mi most ezeket ellenőrzésre fogjuk felhasználni.
4. Szerkezetek statikája
290
Az I. lap nvugalma: A lap 1-2 élén ható él menti erőt jelöltük E 12 =X-nek és feltételeztük, hogy az L lapra a 4.49. ábrán felvett értelemben működik. (Rögtön berajzoltuk ezen él menti erőt az V. lapra, melyre Newton III. törvénye értelmében pontosan ellentétes értelemben működik.) Az I. lapra felírható egyensúlyi egyenletekből
LF;y =O =X -Es6
Es6 =X,
LM; 1 = O = E26 · a -X· 4a 2:-Fix =O= E1s- 4X
E1s = 4X,
adódnak az I. lapra ható él menti erők (X függvényében), melyeket a csatlakozó lapok éleire azonnal berajzolunk (ellenkező értelemben). Az egyensúlyi vizsgálatot nem a II-es lapon (túl sok az ismeretlen), hanem a IV-es lapon célszerű folytatni.
A IV. lap nvugalma:
LM;4 = O = 4X.a- Ess 4a
Ess =X, E48
= 4X,
Az él menti erőket a szomszédos lapokra Ess =X-et a VI. lapra, az E 14 =X-et az V. lapra, és az E 48 = 4X-et a III. lapra ellenkező értelemben azonnal berajzoltuk. A VI. lap nyugalmát biztosító egyensúlyi erőrendszer vizsgálatával célszerű munkánkat folytatlú, mert itt az ismeretlenek száma- Ilárom (Es 6 =Ess =X; E6i; E 78 ) - megegyezik a felírható egyensúlyi egyenletek számával, azaz X értéke rögtön kiszámítható. A VI. lap nvugalma:
2:-Fiz
=o
Llvf;s =O X értékét a 8. ponton átmenő c;; tengelyre felírt nyomatéki egyenletből, vagy a
F 2
X=-
-1.5. Térbeli rácsos szerkezetek
vetületi
egyenletből
291
számolhatjuk ki.
A ll. lap nvugalma:
F
E 37 • a - F · 4a - -
4a
2
'i.Fu
E37
F = o = -Fc- 6F + 4·-
= 6F,
Fc =-4,
2
E~3 =
-
3 2
F +X= - F.
Az V. lap nvugalma:
l.Mil
=o
E34
3 2
= - F,
A lll. lap nvugalma: LJvfi3 =
F
F
2
2
O = F G · a + 4·- ·a + -
4a
F L Fu = O = - F G - J<]J- 4 · - + 6F 2
F
3 2
'i.Fiy = 0 = - - - F - h
2
~
FG=-4F,
~
FD= SF,
~
FE =-F.
Mint jeleztük, a kényszererők meghatározásával is kezdhettük volna a feladat megoldását. Vizsgálva az egész szerkezet nyugalmát, ellenőrzésül számoljunk ki néhány kényszererőt
Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 3, 4 pontokon átmenő tengelyre:
'i.Mi3-4 = O = F · 4a + Fc a
Fc=-4F,
292
4. Szerkezetek statikája
továbbá: 'LA:!;z-3 = O = F · 4a + FG a
-7
Fa =-4F,
W;LJ.<~, =O= Fa + Fa+ FA a.
-7
FA =-2F
stb.
A kényszererők megegyeznek a fentebb számoltakkal A rúderők meghatározása Az egyes lapokat terhelő egyensúlyi erőrendszerek ismeretében hozzákezdhetünk a rúderők kiszámításához. A lapokra működtetjük - tényleges támadáspontjaikban - a külső erőket, valamínt az él menti erőket. Az él menti erők támadáspontjaként az él tetszőleges csomópontját felvehetjük, de célszerű - amennyiben az él valamely csomópontjában külső erő működik - a külső erő támadáspontjával egybeesően felvenni. Az egyes lapokat (megrajzolva most már rácsrúdjaikat is) és egyensúlyi erőrendszereiket a 4.50. ábrán tüntettük fel. Az egyes lapok, mínt síkbeli rácsos szerkezetek rúderőit bármelyik módszerrel egyszerűen meghatározhatjuk. Az egyes lapok rúdjaiban keletkező rúderőket a 4.50. ábrán feltüntettük. A térbeli rácsos szerkezetek rácsrúderői innen közvetlenül leolvashaták Valamely él mentén fekvő rúd rúdereje pedig az éllel határos két falra kapott rúderő értékek algebrai összegzésével nyerhető. (4.1. táblázat)
RÁCSRUDAK ÉS OSZLOPOK
ÉLEK MENTÉN LÉVŐ RUDAK
A rúdiele
Rúderő
A rúdiele
Rúderő
A rúdiele
2-4 2-9 9-10 10-13 13-14 14-17 17-18 5-18 2-ll 10-11 10-15 14-15 14-19 18-19 7-18
3FI/i
6-8 4-ll ll-12 12-15 15-16 16-19 19-20 7-20 1-12 9-12 9-16 13-16 13-20 17-20 8-17
-Fl ..fi
1-2 1-4 2-3 3-4 5-6 5-8 6-7 7-8 1-9 9-13 13-17 5-17
Fl/i -F/2 Fl/i -Fl/i Fl/i -FI2 Fl ..fi -3F ..fi 3FI2 -3F ..fi 3FI2 -3F ..fi 3FI2 -3F ..fi
-Fl ..fi Fl 2 -Fl ..fi F/2 -Fl ..fi Fl 2 -Fl ..fi Fl ..fi -FI2 Fl ..fi -FI2 Fl ..fi -FI2 Fl ..fi
4.1. táblázat
Rúderő
A rúdiele
Rúderő
-2F
2-10 10-14 14-18 6-18 3-ll ll-15 15-19 7-19 4-12 12-16 16-20 8-20
-3F
-3FI2
o -F F/2
o Fl2 Fl2 -FI2 -FI2 -FI2 -FI2
-2F
-F
o
8F 6F 4F 2F -7FI2 -5FI2 -3FI2 -FI2
293
4.5. Térbeli rácsos szerkezetek
6F
6F
3FI2 -3FI2
F/2 F/2
2
3F/2 -3FI2 F/2
3FI2
4 -3FI2
l 3FI2
8
l -2F F/2
F/2 l 3FI2
9
F
13
F/2
11
-F
20
F/2
5
2F
2F
4
-2F
12 -3F/2 16
-F/2
8
4.50. ábra
FELADATOK 4.44.-4.46. Csomóponti módszer alkalmazásával határozza meg az F.4.44.-
F=10 k:N
y
F4.44. ábra
2 Y4
4. Szerkezetek statikája
F 4. 46. ábrákon vázolt térbeli rácsos szerkezet rúderőit l
F.-1.45. ábra
4.47. Az átmetszés módszerének F.4.46. ábra alkalmazásával számolja ki az F4.47. ábni11látható térbeli rácsos szerkezet bejelölt rúderőértékelt! 4.48. és 4.49. Az él ment1 erők módszerének alkalmazásával határozza meg az F4.48 és az F4.4Y. ábrákon vázolt térbeli rácsos szerkezetek rúderő értékeiti
F.-1.47. ábra
F.-1.48. ábra
4.6. Csuklós szerkezetek
295
F.4.49. ábra
4.6. Csuklós szerkezetek A műszaki életben gyakran alkalmazunk olyan szerkezeteket, melyeknél az egyes elemeket egymáshoz csuklókkal, környezetükhöz tetszőleges kényszerrel kapcsoljuk. Részben ilyen szerkezetek voltak tulajdonképpen az előző pontban tárgyalt rácsos szerkezetek IS, melyek- jól emlékszünkrá-terhelést csak csuklókan kaphatnak. Az ebben a pontban tárgyalandó szerkezeteket bárhol terhelhetjük
~Definíció: Az olyan !>'Zerkezetet, melynek elemei egymáshoz csuklókkal, az álló környezethez tetszőleges kényszerrel kapcsolódnak és bárhol terhelhetők, csuklós szerkezetnek never.zük. A szerkezetek önsúlyát a külső terhelés mellett általában elhanyagoljuk. A továbbiakban sikbeli csuklós rúdszerkezetekkel foglalkozunk, melyeknél az alábbi feltevésekkel élünk: l. A szerkezetet alkotó rudak tengelyei egy síkban vannak. 2. A terhelő erők mind a rudakkal közös síkban működnek. 3. A rudak súrlódásmentes csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz és a csuklók tengelyei merőlegesek a szerkezet síkjára. 4. rudakat mereveknek tekintjük.
296
4. Szerkezetek statikája
A 4.5l.a. ábrán három rnerev testből álló síkbeli csuklós szerkezetet vázoltunk. A 4. 5 J.h. ábrán lényegében ugyanez a szerkezet látható, rnelynél a merev testek egyenes tengelyű rudak. Mindkét ábrán jól látható, hogy rnely rudak folytonosak, amit láttatnunk kell akkor is, arnikor a rudakat csak tengea. b. c. lyükkel ábrázoljuk Az előbbi szerkezetek 4. 51. c. ábrán bernutatott rnodelljén a rúd folytonosságát azzal domborítjuk ki, hogy a rudat helyettesítő vonallal megkerüljük a csuklót A csuklós szerkezetek 4.51. ábra statikai vizsgálatának célja a szerkezet rúdjaira ható egyensúlyi erőrendszerek, majd ezek ismeretében a rudak Igénybevételi függvényének meghatározása. A statikai vizsgálatokban általában a csuklós szerkezet rnint egész (rnint egy rnerev test) nyugalmából indulunk ki, és vizsgáljuk azt követően, külön-külön a szerkezetet alkotó rudak nyugalmát. Mint eddig rnmden vizsgálandó szerkezet esetében, rnost is célszerű elő ször a csuklós szerkezet statikai határozottságát vizsgálni. Ez a (4 .l) összefüggés segítségével végrehajtható; kiegészítve a szerkezet felépítésének, azaz annak vizsgálatával, hogy azonos szabadságfokot csak egyféle kényszerrel kötöttünk-e le. A továbbiakban a síkbeli csuklós szerkezetek vizsgálatához használt szerkesztő és számító eljárásokat a leggyakrabban előforduló síkbeli csuklós szerkezet típusokra rnutatjuk be. Számítással történő megoldáskor a felírandó vetületi egyensúlyi egyenletekkel kapcsolatban rnegisrnételjük, hogy az ismeretlen erők komponensei értelmének feltételezésekor nem ragaszkodunk a felvett koordinátatengelyek 1rányításához, hanern tetszőlegesen felvesszük és rajzoljuk be a rnodellbe. Természetesen az eredményül kapott előjel rnost is azt jelenti, hogy a felvett erőértelern helyes volt-e vagy pontosan az ellenkezőjére változik. U gyanú gy a nyornatéki egyensúlyi egyenletek felírásakor sem kell ragaszkodnunk ahhoz, hogy csak az óramutató járásával ellentétes forgásértelmű nyomaték lehet pozitív. Fontos azonban, hogy azonos forgásértelmű nyornatékok azonos előjelűek legyenek.
297
4.6. Csuklós szerkezetek
4.6.1. HÁROMCSUKLÓS SZERKEZET (BAKÁLLVÁNY)
/Definíció: A két tetszó1eges alakú rúdból álló szerkezetet- mely két rúd egymáshoz és az állványhoz is csuklókkal kapcsolódik- háromcsuklós szerkezetnek vagy más néven bakállványnak nevezzük Ilyen szerkezetet vázoltunk fel a 4.52. ábrán, melynek mindkét rúdját a csuklókan kívül is terheljük. A terhelés tetszőleges lehet. A megoldás módszerét nem befolyásolja a felvett F 1 és F 2 iránya, melyeket mi most fuggőle gesen vettünk fel a könnyebb kezelhetőség érdekében.
F,v
F" A
F,.. F.."
a
b
Fey
>
F.,.
c
a,
a
a.
b
b.
4.52. ábra
Látható módon, a bakállvány belső felépítését tekintve labilis. Kényszerezért csak akkor tudjuk meghatározni, ha vizsgáljuk egyes részeinek nyugalmát is. A 4.52.a. ábrán feltüntettük a kényszererők vetületeit, feltételezett értelmükkel. Megrajzoltuk a 4.52.b. ábrán a szerkezetet alkotó két rudat is, külön-külön a rájuk ható erőkkel (Fc vetületeinek értelme ugyancsak feltételezett), melyek hatására azoknak külön-külön is nyugalomban kell lenniük, ha az egész nyugalomban van. Kiindulhatunk az egész szerkezet nyugalmából: erőit
LMia =O= F1(a-aJ
+ F2(a+bJ- Fsy(a+b)
---7
Fsy számítható,
298
4. Szerkezetek statikája
--+
FAy
számítható,
LFix=O=FAx -Fsx Az FA, illetve F Bx értékének meghatározása két gondolatmenettel is lehetséges. Egyik: vizsgálhatjuk valamelyik rúd- pl. az AC rúd- nyugalmát:
--+
FAx számítható.
Másik: felírjuk a C "keresztmetszet" nyomatéki igénybevételét, mely nyomatéki igénybevétel nulla kell legyen, miután a C keresztmetszet súrlódásmentes csukló, tehát nyomatéki igénybevétel felvételére képtelen. A nyomatéki igénybevételt balról írva pontosan a fenti egyenletet kapjuk és az FAx -et számíthatjuk ki; míg jobbról felírva Fs.x-et. Az FA illetve FB kényszererők ismeretében valamelyik rúdra a vetületi egyenleteket felírva Fex, Fcy, azaz az Fc csuklóerő is számítható. A csuklóerök meghatározása szerke.sztéssel:
A feladat megoldása szerkesztéssel akkor lenne nagyon egyszeru, ha valamelyik rúd csak csuklóin lenne terhelve (FI vagy F 2 nem működne), ekkor ugyanis a csak csuklóin terhelt rúdban rúdirányú erő ébredvén, ismernénk az egyik kényszererő hatásvonalát, így a csuklóerőket - a három erő egyensúlya alapján - nagyon egyszeruen megszerkeszthetnénk. Nos, a szerkesztéssel történő megoldáshoz a feladatot - a szuperpozíció elvének alkalmazásával erre vezetjük vissza. A 4.53. ábrán látható módon a szerkezetre előbb az FI erőt működtetjük és megszerkesztjük az ezt kiegyensúlyozó kényszererőket (FAI és FB 1), majd F 2-t működtetve, F A2-t és FB2-t szerkesztjük meg. Amikor mindkét erő (F 1 és F 2) egyszerre működik a bakállványra, nyilván a kényszererők 1s egyszerre ébrednek, így az FA = FAI + F A2 és FB = FBI + FB2 kényszererők egyszeru összegzéssei nyerhetők
-1. 6. Csuklós szerkezetek
299
Az Fc csuklóerőt a bakállvány valamelyik rúdjának külön történő egyensúlyi vizsgálatával határozhatjuk meg. Az A C rúd például az FA., F 1 és az Fc csuklóerő hatására nyugalomban kell legyen, így e három erővektor egyensúlyi erőrendszer lévén, vektoraik folytonos nyíllal zárt vektorháromszöget kell alkossanak. A 4.53: ábrán raJzolt vektorábrában
4.53. abra
megtalálható FA= FAl + FAI, utána F 1, akkor az előbbiek szerint a harmadik oldala a háromszögnek csak a C csuklóban ébredő csuklóerő vektora lehet. (FCI erőt fejti kl a C pontban az AC rúdra aBC rúd). Ugyanígy aBC rúd nyugalmának (F2 + FB + Fe2 =O) vizsgálatából adódik Fc2 . Fe2 = - Fc1 természetesen. 4.11. Példa: Határozzuk meg szerkesztéssel a 4. 54. ábrán rajzolt háromcsuklós szerkezet csuklóerőit A szerkesztésből kapott értékeket ellenőrizzük számítással! (Adatok: F = l kN; q= 300 N/m; a= 4 m; b= 2m; c= l m) Megoldás szerkesztéssel: A háromcsuklós szerkezetet - mmtán szerkesztéssel kell megoldanunk a feladatot - a választott hosszlépték szerint pontosan megrajzoltuk Mmt láttuk, a szuperpozíció elvét alkalmazva tudjuk a szerkesztést végrehajtam. Először a megoszló erőrendszer eredőjét működtetjük, F-et nem. Ebben az esetben a CB rúdban rúdirányú erő ébred, a közös metszéspont (M1) meghatározható (három erő egyensúlya). A vektorháromszöget (Fq +FBI+ FAI= O) a 4.54. ábrán raJzoltuk meg. A következő lépésben F-et működtetjük: a közös metszéspont (M2 ) és az (F + FB2 + FAl= O) vektorháromszög szmtén a 4.54. ábrán látható. Végezetül a reakcióerők vektorait az ugyanezen vektorábrában elvégzett vekton összegzéssei nyerjük:
300
4. S'zerkezetek statikája
Az Fc
Hosszmérték:
---,.-+-~-+--+--+- [m] 0123456 ~---+-----+·- [kNJ 2
Eromérték:
o
4.54. ábra
csuklóerő
értékét az erőléptékben leolvasott OP szakasz szolgáltatja, hatásvonalát a C ponton átmenő - az OP szakasszal párhuzamos - egyenes határozza meg. A szerkesztésből az erők nagyságára kaptuk:
FA= 1,1 kN; FB= 1,25 kN; Fc= 0,45 kN.
Megoldás számítással: Az egész szerkezet nyugalmának vizsgálatából (4. 55. ábra) y~
F
4.55. ábra
4.56. ábra
·(a-b-re)- F ·(a-r b)- F q · ::!.. 2
~
FBy = 1,2 kN,
F'.4y
O =l~
-r!Jx
= 1,0 kN,
301
./.6. Csuklós szerkezetek
A
kényszererők x
csuklóerőt
irányú komponenseit, továbbá a C belső csuklóban ébredő határozzuk meg pl. BC rúd nyugalmának vizsgálatából (4. 56.
ábra) LMic=O=FBy·(b+c)-F&·a-F·b
ugyanúgy: FB = 1,265 kN; Fc
-+
F&=0,4kN=FJJx,
-+
Fex
= 0,4 kN,
-+
Fcy
= 0,2 kN,
= 0,447 kN.
4.12. Példa: Rajzoljuk meg a 4.57. ábrán látható háromcsuklós szerkezet nyomatéki ábráját! (Adatok: M = 1,2 kNm; a= 0,3 m; b= 0,8 m) Megoldás: Az egész szerkezet nyugalmából C (4.57. ábra): r----o----, a
LMia =O =M -Fw2a
-+
FBy =2 kN,
LFiy = 0 = -FAy+FBy
-+
FAy =2 kN,
LFix =o= -Fk+F&
-+
F& =F&.
a
A C keresztmetszet nyomatéki igénybevétele (balról számolva): 4.57. ábra
F&
= 0,75 kN =F&.
Az Fc csuklóerőt nem határoztuk meg, mert a nyomatéki ábra megrajzolásához nem szükséges ismernünk.
302
A háromcsuklós szerkezet rúdjainak nyornatéki ábráját a rudak tengelyeivel egybeesően felvett zérusvonaira rajzoltuk (4. 58. ábra).
4.13. Példa: Rc[jzo(juk meg a 4.59. ábrán vázolt hárorncsuklós szerkezet BC törttengelyű rúdjának nyornatéki igénybevételi ábráját. (Adatok: F 1 = 4 kN, F2 2 kN, F 3 = 5 kN, M = 8 kNrn, a = 2 rn, .M=l,2 k.Nm b= 3 rn) Megoldás: Először szárnítsuk ki a kényszererő 4.58. ábra ket SaJnos nem tudunk olyan statikai egyensúlyi egyenletet felírni, amelyben csak egy ismeretlen szerepelne. (Helyesebben tudnánk, ha koordináFA, · ta-rendszerünket nem úgy vennénk fel, rnint Tll>--+'r-....., a 4.59. ábrán, hanern az x tengely az A és B 2 -I--r-----~>-c---.--F~ pontokon rnenne keresztül. Ebben a koordináta-rendszerben is számolhatnánk a vetületeket, ez azonban sokkal több rnunkát Jelentene, rnint egy kétisrneretlenes egyenletrenda a b a szer megoldása.) Az egész rendszer nyugalmát vizsgálva: 4.59. ábra
LMi&
= O = FAx(a+b) + FAy · a - M- bF1 + F2(2a+b) + aF3, l.
SFAx + 2FAy + 4 = O.
Második egyenletként a C keresztmetszet (csukló) nyornatéki Igénybevételét ÍfJuk fel (balról számolva):
Me= O =M- aFAx- 2aFAy, 2.
Az l.
egyenletből
FA• + 2FAy - 4 = O.
kivonva a 2.-at:
303
-/.6. Csuklós szerkezetek
Visszahelyettesítve valamelyik egyenletbe:
FAy =3 kN. Visszatérve az egész szerkezet vizsgálatára:
FBx =6 kN, FBy =4 kN. A C belső csuklóban ébredő Fc csuklóerő ismeretére nincs szükségünk az igénybevételi ábrák megrajzolásához, de a teljesség kedvéért, illetve mert ismeretében egyszerűbb lesz a dolgunk, határozzuk meg. Vegyük, hogy az F 1 erő a C pontban, de az AC rúdra hat és vizsgáljuk aBC rudat (4. 60. ábra):
4.60. ábra
Fex=-6 kN, Fcy =3 kN. Amennyiben az F 1 ábra):
erőt
a C pontbanaBC rúdra
működőnek
vesszük (4.61.
F'ex = -2 kN, F'cy =3 kN. F'Cy értéke most más lesz. Ennek egyértelmű meghatározásához tehát pontosan kell megadnunk a terhelést. A kényszererők értékét, illetve az F Igénybevételi fuggvényeket természetesen nem be- _..,___......___ ____, folyásolja, hogy a belső csuklóban működtetett aktív terhelést melyik rúdra működőnek gondoljuk. 4.61. ábra
A
csuklóerő
lb;
304
4. Szerkezetek statikája
A BC rúd nyomatéki ábráját a 4.62. ábrán rajzoltuk meg. Az ábrán feltüntettük a rudat terhelő egyensúlyi erőrendszert is (az erővektorok mellé írtuk nagyságukat), továbbá a nyomatéki ábra megrajzolásához szükséges nyomatéki metszékek értékeit. FELADATOK
4.62. ábra
L.a. A mellékelt lemez tizedik (a. jelű) programcsamagja háromcsuklós szerkezetek igénybevételi ábráira ad gyakorlási lehetőséget. 4.50. Az F.4.50. ábrán látható bakállvány rúdjainak felezőpontjához köteleket erősítünk Mindkét rúd l = 2 m hosszú. A kötelek segítségével F = 4 kN súlyú terhet függesztünk fel. Szerkessze meg a csuklóerőket!
F. 4.50. ábra
F 4.51. ábra
4.51., 4.52. Rajzolja meg az F.4.51., F.4.52. ábrán látható háromcsuklós szerkezet igénybevételi ábráit! q=800 Nlm
M
M=700Nm
30= ; 30om
J
l
C\
r
F,=400N
~----------------4-----~
--c-~~~
A F.4.52. ábra
F.4.53. ábra
4.6. Csuklós szerkezerek
4.53., 4.54. RaJzOlJa meg az F4.53., F4.54. ábrákon látható háromcsuklós szerkezet AC rúdjának igénybevételi ábráit! Határozza meg Mma.v.. értékét!
305
F = 4 kN 1
q=3 kN/m
Ic -1--t-'-----tsr ,......,
4.6.2. GERBER-TARTÓ
F 2=8kN
si A mérnöki gyakorlatban többször előforduló, ll szívesen alkalmazott tartószerkezet-típus. i A Gerber-tartó kettő vagy több - egy__l B i máshoz csukló vagy támasz, mint belső kényl 4m .. l l~ szer segítségével kapcsolt - egyenestengelyű rúdból épül fel. Belső kialakítását tekintve laF.4.54. ábra bilis szerkezet, melyet statikailag határozottá a külső kényszerekkel teszünk. ~ A külső kényszerek ugyan- a. ~r-- ;A; csak csuklók és támaszok, 1\ illetveb a szé~ső ke rehsztmetszet b. ~~:1----L~ ;A; eseté en be1ogás 1e et. o o A "Gkierb erkí-~~rt? né hány c. egyszeru a a tasat a 4· . 63. 1\ ábrán szemléltetjük. Két sta~ 1\ tikailag határozott me,brtá- d. ff'---;~..4.1\...ol masztású rúd (4.63.a. ábra) ~ o közé "befugg:esztünk" egy ~. o harmadikat c4.63.b. ábr;;). e. JJ; ~ ~ Belső kényszerként két 1\ o csuklót is alkalmazhatunk, de ekkor a külső kényszerek köo o zött csak egy csukló vagy g.~Jlc csak egy befogás lehet (4.63.c. ábra). 4.63. ábra A Gerber-tartó kialakítását kezdhetjük egy statikailag határozott tartóval IS, melyhez csukló és támasz segítségével újabbakat kapcsolunk (4. 63.d. ábra). ("t)
Jl?,
4
1
l
Jl?,
Jl Jl A Jl Jl
Jl
f.JJ;
Q
Jl
Jl Jl
l l
306
Ugyanezt a tartót szokásos egyszerűbb Jelöléssei a 4. 63. e. ábrán vázoltuk Vegyes felépítésre látunk példát, a 4.63.f,g. ábrán, ahol a befogott tartót előbb egy rúddal bővítettük, majd az így nyert Gerber-tartó és a kéttároaszú tartó közé függesztettünk be egy újabb rudat.
~
Fi
~~
C
D
l ~B 2 l, 1,5ml1,5m l' 2m ll 2m ll 2m 0
A~ •l~ -~
l
"i"
"l"
•ID
~
~
3 3 i
.
-Lz,
y,l -
( l
.
i (2'}
2' :
!
10,
1
(l')
.(OJ
:
:
z
-
FB
F,
Fz
02
T
3
:Fc
l l
""
[m]
o l
l l 110 i 100 200 300
[NJ
Hosszmérték: l Erőmérték:
4. 64. ábra
o
l 2
l 3
4. 6. ( 'suklós szerkezetek
307
A Gerber-tartó vizsgálatát- mmtán belső felépítését tekmtve labilis - nem az egész szerkezet, hanem valamelyik részének: rendszerint az utolsóként hozzákapcsolt rúd, vagy a "befuggesztett" rúd vizsgálatával célszerű kezdem, mely vizsgálatot példákon mutatjuk be. 4.14. Példa: Szerkesszük meg a 4.64. ábrán látható Gerber-tartó kényszererőit és a belső csuklóban keletkező erő értékét Szerkesztésből kapott adatok segítségével határozzuk meg a két rudat terhelő legnagyobb nyomatéki Igénybevételeket és raJzoljuk meg a nyíróerőábrát! F 1 = 300 N, F2 = 400 N. Nfegoldás: A tartó statikailag határozott. A Gerber-tartót a C belső csuklónál felbontva, kapjuk az I. és II. kétlámaszú tartót Megrajzoltuk mindkét tartóra külön-külön a vektor- és kötélsokszöget (a C pólustávolság azonos). (4. 64. ábra.) Természetesen az I.-vel kezdjük. Innen Fc-t meghatározva, folytathatjuk II.-kal. A II. tartó konzoljára ható terhelésre (Fc) új pólust (o;) felvéve, átrajzoljuk a vektor- és kötélsokszöget o; pólust úgy vettük fel, hogy az l' vektorsugár Z1-gyel, a 2' a 2*-gallegyen párhuzamos. A kapott ábrákat egyberajzolva a Gerber-tartó vektor- és kötélsokszögének mechanikus szerkesztési módja könnyen leolvasható.
A szerkesztésből kapott eredmények:
FA= 150 N, F]J =425 N, Fc= 150 N, FD = 125 N. A nyíróerőábra is a 4. 64. ábrán látható. Az egyes rudakat nyomatéki igénybevételek
terhelő
maximális
M 1 = Cy1 =250( -D, 9) = -225 Nm,
MB = C.yB = 250·1 ,2 = 300 Nm
(M2 = C.y2 = -250 Nm).
4.15. Példa: Számítással határozzuk meg a 4. 65. ábrán vázolt Gerber-tartó kényszererőit Rajzo!Juk meg az Igénybevételi ábrákat! Terhelési adatok: F1 150 N, Fi = 200 N, q1 = 40 N/m, q2 = 80 N/m, a = l m, b = 2 m, c=4 m. Megoldás: A Gerber-tartót része1re bontottuk és a rájuk ható egyensúlyi erőrendszerekkel a -1. 65. ábrán külön-külön IS megraJzoltuk
308
4. Szerkezetek statikája
(Gondolatban mindegyikre felírva a L.Fix = O vetületi egyenleteket, megálla-
4.65. ábra
píthatjuk, hogy minden erő fuggőleges. Az ábrán már ennek zoltuk be a csuklóerőket (FA, FE, FG). Az I. tartó nyugalmábóL
megfelelőerr
FA= 100 N.
raj-
309
4.6. Csuklós szerkezetek
(Ugy an ezt az egyenletet kapjuk, ha az E keresztmetszet nyomatéld Igénybevételét ÍrJuk fel balról.)
FE= 50 N. A III. tartó nyugalmából:
FD= 100N. FG= 100N. A II. tartó nyugalmából:
~Fc=240N.
Az igénybevételi ábrákat a 4. 65. ábrán raJzoltuk meg. A nyomatéld ábra megrajzolásához szükséges értékek:
b
MB= -FA·(a + 2b) + F1·2b+ FQ1'2 b
(vagyMB=FE"b+Fol"- 2
= 180 Nm,
= 180Nm).
Me= FG·a = 100 Nm (jobbról számolva), M2 = -FD·a = -100 Nm (jobbról).
4. Szerkezetek statikája
310
4.16.Példa: Számítsuk ki a 4. 66. ábrán látható Gerber-tartó belső
Fz
és
külső kényszererőit.
x Adatok: F 1
l~
'
a Fl>
FA
p
t
l
e
-
Fl x
l.
b
Fey Fex
.. l..
'
a
a= 2m, b =4 m. Megoldás: A 4. 66.
~l~
Fcy Fex
l
Fz
F""
--+---9------9.....-....,.. 2.
Fn
= 12 kN, F 2 = 6 kN,
Fl)J
ábrán
megrajzoltuk a Gerber-tartó két rúdját külön-külön a rájuk ható erőkkel.
Az l. rúd nyugalmát biztosító egyensúlyi erőrendszer:
4.66. ábra
Fcy= 2 kN, FA =4kN, Fcx = 9,39 kN. A 2. rúd nyugalmát vizsgálva:
Fvy =3 kN, FB =5 kN, Fvx
=
Fcx = 9,39 kN.
Tehát a belső csuklóban keletkező csuklóerő nagysága: Fc= 9,6 kN, a külső nagysága: FA =4 kN, FB = 5 kN, Fv = 9,86 kN.
kényszererők
FELADATOK
L. 7. A tankönyvhöz mellékelt hetedik-" Gerber-tartók igénybevételi ábrái" című
-programrendszer lehetőséget ad 120 féle kialakítású illetve terhelés-
4. 6. Csuklós szerkezetek
311
variációjú Gerber-tartó igénybevételeinek meghatározására és az eredmények ellenőrzésére. 4.55.-4.58. Határozza meg az F.4.55.-F.4.58. ábrákon látható Gerber-tartók kényszererőit és belső csuklóerőit! Rajzolja meg a tartók igénybevételi ábráit!
A~ l lr-
M(50Nm
lm
lm
t i l
l!Bq=l50Nim
lm
l l
~ l
2m
l
-,
F.4.56. ábra
F.4.55. ábra
F,=12 kN F,=6 kN /:45' J lf-q=--:-.1-:::-,2c-::-kN=/m-,--,~
~-t fl ~1.)] m~J} l'
l
i'
m, _4 m_-l- 3m -1
F. 4. 5 7. ábra
F.4.58. ábra
4.6.3. ÖSSZETETT CSUKLÓS SZERKEZETEK Az előző, 4.6.1. és 4.6.2. pontokba nem besorolható, általában kettőnél több, gyakran tört tengelyű rudakból felépített síkbeli (vagy erre visszavezethető térbeli) szerkezetek vizsgálatával foglalkozunk. Statikailag határozott vagy labilis, de az adott terhelésre statikailag határozott módon viselkedő szerkezetek vizsgálatát végezzük el. Vizsgálatukat (belső, külső kényszererők, igénybevételi ábrák meghatározása) példákan keresztül mutatjuk be. 4.17. Példa: A 4.67. ábrán látható többcsuklós szerkezet az A pontban helyt-álló csuklóhoz kapcsolódik. Függőleges erők terhelik: F 1 = ll kN; F 2 =9 kN. Határozza meg az 5-ös rúdban keletkező rúderő értékét! Igazolja, hogy ennek a rúderőnek az értéke nem fiigg a terhelő erők helyzetétől!
312
4. Szerkezetek statikája
Megoldás: először nézzük meg, hogy a szerkezet statikailag határozott-e! (4.1) alapján: s =5· 3= 18 (öt rúdból áll a síkbeli szerkezet); nb = 7·2 = 14 (belső kényszer: 7 db csukló, mert C-ben két csukló van) és nk= 3. Ebből: s = 18 >nb+ nk= 17. Tekinthettük volna a 4., 5., 6. rudat belső kényszernek is, mellettük még egy belső kényszer van: C-ben egy csukló. Ezzel a gondolatmenetteL s =3· 3= 9> nb+ nk= 3· l +2+ 3= 8. a. x A szerkezet tehát egy mozgási szabadságfokkal bír. Valóban, a hármas rúd vízF, F F 3· 2 szintes irányban elmozdulhat Azonban, ha 4. s. 6. meggondoljuk, hogy esetünkben nincsen D l. E erő, amelyik vízszintes irányban hatna a rúdra (F1, F2, függőleges, de F4, Fs, F6 is, mert a a utóbbiakban rúdirányú erők keletkezhetnek csak és a rudak függőlegesek); mondhatjuk, b. hogy a szerkezet az adott terhelésre statikailag határozott módon viselkedik. (Minden síkbeli terhelésre határozott lesz, ha pl. a c. kettes és a hatos rúdból az E csukló elhagyásával egy rudat alakítunk ki. Ekkor: s = 15 = =nb+nk=6 · 2+3 = 15). Következő lépésben igazoljuk, hogy a 4.67. ábra kérdéses rúderő értéke (FNS) független a terhelő erők helyzetétőL Ehhez felveszünk egy tetszőleges helyzetű erőt (4. 67. a. ábrán F) és az egész szerkezet nyugalmából kiindulva meghatározzuk FA-t és Fs-t:
x FA=F2a'
'LJvfib =O= F ·x- FA·2a
2a-x Fs=F-FA=F-2a Az l. rúd nyugalmából (4.67.c. ábra):
"'f.Jvtc
= O =FN4 · 2a- FA · a
-7
4. 6. Csuklós szerkezetek
313
A 2. rúd nyugalmából (4. 67. c. ábra) : F;,vG =
=F 2a-x. 2 4a
A 3. rúd nyugalmából (4.67.b. ábra):
F Ns
=F ~ + F 4a
2a- x - F 4a
=F
.
2
FN5 értéke látható módon nem fu gg x-től, azaz F helyzetétőL Ennek ismeretében igen könnyű az adott terhelés hatására az 5. rúdban ébredő rúderő értékének meghatározása:
FNs
=
F; +F2 = 10 kN. 2
4.18. Példa: Határozzuk meg a 4.68. ábrán látható csuklós szerkezet kényszererőit, valamint a belső csuklóban ébredő E erőket! RaJzoljuk meg a szerkezet nyomatéki .----*---r-~ ábráját is! Adatok: F= 600N, a =2m, b=3 m. D a Megoldás: A szerkezet statikailag határo- A " - - = - - zott, mert: s =5· 3= 15, nb+ nk= 5· 2+ 3+ G +2= 15, továbbá a szerkezet felépítése olyan, b b hogy minden részének mozgását a szükséges c és elégséges számú kapcsolat, kényszer alkalmazásával szüntettük meg.
A csuklóerők és kényszererők meghatá- A rozását nem ajánlatos az egész szerkezet nyugalmának VIzsgálatával kezdeni, mert az így 4.68. ábra felírható egyenletekben túl sok ismeretlen szerepel. Célszerű a részek nyugalmát vizsgálni: adott feladatnál a következő lépésekkel nyerjük a "legolcsóbb" megoldást.
314
4. Szerkezetek statikája
F=600N
b
a
4.69. ábra
""''"
.t..JVlih= O= aF- aFEx - bFEy
DE rúd nyugalma: Csak az Fn és FE csuklóerők iránya határozható meg. A rúd csak csuklóin kap terhelést, ezért a csuklóerők hatásvonala átmegy mindkét csukló középpontján. EH rúd nyugalma (4. 69. ábra) : Miután már ismerjük az FE csuklóerő hatásvonalát, a csuklóerők megszerkeszthetők vagy kiszámíthatók: FEy a és t g a = -=FEx b
F FEx=-
2
=300 N
-7
és
FEy
FHy
200 N,
F
=300 N.
Hx
200 N,
Az FE csuklóerő ismeretében a DE rúdra visszatérve azonnal adódik Fn is (4. 70. ábra): F,..=300N
E
A továbbiakban sem a CGD, sem a BGH rúd nyugalmának külön-külön történő vizsgálatával nem jutunk eredményre. A kettő együtt azonban bakállványt alkot, így az ott tanultak szerint a bakállvány nyugalmából (4. 71. ábra): Felírjuk a nyomatéki egyensúlyi egyenletet B-re, majd a G keresztmetszet (csukló) nyomatéki igénybevételét (balról): 4. 70. ábra
315
4.6. Csuklós szerkezetek
D
H
Fnx=300N
Fu,=300N G
b
a
Fex
c
D
Fr;y=200 N
F!Jy=200N
Fey
l
Fnx=300N a
a
Fax
G
b
b
l
a
b a/2
F!Jy=200N
c
Fay
Fc.=360N
R
Fax
Fey=640N
FBy 4.71. ábra
4. 72. ábra
Az l. egyenletet kettővelszorozva és hozzáadva a 2.-hoz:
A 2.
egyenletből:
Fcx =360 N. ~
Fsx=240N,
~
FBy
=640N.
Az FG csuklóerő a bakállványt alkotó bármelyik rúd nyugalmának vizsgálatából könnyen meghatározható. Pl. A CGD rúd nyugalmából (4. 72. ábra): ~
FGx=60N,
~
FGy=440N.
316
4 ..)'zerkezetek statikája
Végül az AC rúd nyugalmából (4. 73. ábra):
c
Fex=360 N
ail
A ~
FAy=640N.
Az erők ismeretében a csuklós szerkezet nyomatéla ábráját könnyen megrajzolhatjuk (4. 74. ábra)
Flp $ fl!!
4
4. 74. ábra
FA=2X F,.=X/4 F8=2X p
4.19. Példa: Határozzuk meg a vízszintes (xy) síkban elhelyezkedő csuklós szerkezet (4. 75. ábra) csuklóerőit A 4. 75. ábra terhelőerő (F) fuggőleges (a z tengellyel párhuzamos)! Mego!dás: A legegyszerűbb megoldáshoz akkor jutunk, ha az egyes rudak nyugalmát külön-külön vizsgáljuk és megpróbáljuk a csuklóerőket ugyanazon ismeretlen fuggvényében kifejezni. A 4. rúd vizsgálatával indulunk. (A szerkezetet alkotó rudakat külön-külön a rájuk ható erőkkel a 4. 75. b. ábrán rajzoltuk meg.) Felvettük, hogy Fv =X, ezzel a 4. rúd nyugalmából: FR= X (kaptuk az S ponton átmenő y-nal párhuzamos tengelyen felírt nyomatéla egyensúlyi egyenletbőL L-Misr; =O) és Fs= 2X (LFiz = O). Folytattuk a 3. rúd nyugalmának vizsgálatával, miután ellenkező értelemben
317
4.6. Csuklós szerkezetek
működtettük rá ..FR.-t:
Fc= X (2:Mii1; =O) és Fu= X (i.Mirc;" =O), maJd a 2
2. rúd következett (F!J
x :l:Ft =O-ból Fp = - . 4
.,
ellenkező
értelemben):
-
2
FB = X (:l:M1J.>t; = O) és 4
Végül működtetjük az l. rúdra Fs~t, Fp-t és ezen rúd
nyugalmának vizsgálatából
először:
:l:M~p;;= o
FA = 2X, majd: 4
X=-F
15 '
ezzel a kényszererök nagysága:
FA= 2X= .!_p
15 '
a
belső csuklóerők
nagysága: 8
Fs=2X= -F. 15
FELADATOK a=;
4.59.-4.62. Az F-1.59.-F4. 62. ábrákon látható csuklós szerkezetek mind belső felépítésüket, mind külsö megtámasztásukat tekintve statikailag határozottak Számítsa ki a külsö kényszererőket (FA, FB), a kötélerőket (K, K 1, K 2), továbbá a rudak által a csuklók tengelyére kifejtett erőket (F 1A, F1c, F3o stb)'
l/4 .ll&. F=&OO N il ,..,
!=3m
F.4.59. ábra
31 H
4. S'zerkezetek statikája
F2=2kN C
A_------;:;s"+
A
- . .·. - r-• _, -K - - :
l
'
l
! l l!qi\tqt\!~ .
l
3m
F4.61. ábra
F4.60. ábra
4.63. Az F. 4. 63. ábrán egy kerékfelfüggesztés vázlatos raJza látható. RaJzolja meg a kerékfelfüggesztés mechamkai számítási modelljét és szerkessze meg a csuklóerőket l 35 cm
F4.62. ábra
4.64.-4.66. Szerkesztéssel hatarozza meg az
F. -1. 64. -F 4. 66. ábrákon látható csuklós szerkezetek kényszererőit és
belső csuklóerőit!
F=600N
B
l"' F4.64. ábra
3a
"'i F4.65. ábra
319
4. 6. Csuklós szerkezetek a
a
a
a
F=SON\
c F.4.67. ábra
.F.4.66. ábra
4.67.-4.70. Számítsa ki azF4.67.-F4. 70. ábrákon vázolt csuklós szerkezetek kényszererőit és belső csuklóerőit! q
1
2,5 m
=!
Dq------,---1 i
F=400N A
B
c
l.
2.
D l
lm F.4.68. ábra
lm
i
lm
lm
F.4.69. ábra
4.71. Határozza meg az F4. 71. ábran látható csuklós szerkezet bejelölt rudjamak 1génybevétele1t! Adott: F 30 kN, a= 0,5 m, b= l m, c= 1,5 m.
F.4. 70. ábra
F4.71. ábra
320
4. Szerkezetek c\·tatikája
4.72. Rajzolja meg az F.4. 72. ábrán vázolt csuklós szerkezet nyomatélei ábráját! Adatok: F 1 = 300 N, F 2 = l 00 N, a= l m. l"'
aj~B _L~
a p
l"'""
a
l
a
""i"
2a
ar..~
l
GlA
li
c
l
·r
a
Fl
a
l.
D
Fl
F.4. 72. ábra
F.4. 73. ábra
4.73.-4.74. SZámítsa ki az F.4. 73. és F4. 74. ábrákon vázolt csuklós szerkezetek kényszererőit és belső csuklóerőit, valammt a bejelölt keresztmetszet igénybevételelt Igazolja, hogy a 4. rúdban ébredő erő független a terhelőerők helyzetétől! Adatok: F 1 =3 kN, F 2 =6 kN, F 3 =4 kN . a/2. Fz .r----1 l l
D
K
5.
4. A
~====~====*=====~==2·==~ B c l.
a-= lm
a
a
a
F.4. 74. ábra
4.75.-4.76. Rajzo(ja meg az F.4. 75., F.4. 76. ábrákon látható csuklós keretszerkezet nyomatélei ábráit! Adott: F = 4 kN, a = l m. F F 4a ÍF
~l 6a F.4. 75. ábra
F.4. 76. ábra
4. 7. }vfozgélwny szerkezerek
321
4. 77. Az F. 4. 77. ábrán látható P, R, S csuklókkal egymáshoz kapcsolt, három rúdból álló szerkezet a vízszmtes síkban van és az A, B, C vízszmtes, teljesen sima felületeken támaszkodik. Az AS rúd D felezőpontjában
fiiggőlegesen
lefelé mutató F =700 N erő hat a szerkezetre. Számítsa ki a kény- "' szererőket és a belső csuklóerő ket!
F.4. 77. ábra
4. 7. Mozgékony szerkezetek A vizsgálandó szerkezetek külső és belső kényszerekkel lekötött szabadságfokszáma kisebb a szerkezetet alkotó merev testek összes szabadságfokszámánáL Tehát a szerkezetet alkotó merev testek egymáshoz képest elmozdulhatnak Azt fogJuk vtzsgálm, hogy ezek a mozgékony szerkezetek - adott helyzetükben - milyen spectálls egyensúlyt erőrendszer hatására maradnak tartósan nyugalomban.
4.7.1. :MECHANIZMUSOK STATIKAI VIZSGÁLATA
A gépekben a külső erőforrás mozgását és energiáját mozgásátalakító és egyben energiatovábbító szerkezetek JUttatják el a munkavégző szervekhez. Mind az energiaátszármaztatás, mmd a munkavégzés szerve1 kényszermozgású szerkezetek, mechanizmusok. A mechamzmus et,rymáshoz képest mozogni képes merev testek rendszeréből áll. A továbbiakban néhány olyan egyszerűbb szerkezet VIzsgálatát végezzük el, melyeket erőátvttelre, átalakításra, illetve előírt mozgások végrehajtására terveztek. Eddig megszerzett tudásunk alapJán természetesen csak statikai vizsgálatok végrehajtásáróllehet szó, azaz arról, hogy az egy vagy több sza-
322
4. Szerkezetek
badságfokkal biró szerkezet - adott helyzetében - milyen egyensúlyi erő rendszer hatására marad nyugalomban. A vizsgálatok elvégzéséhez most IS részeire kell szednünk a szerkezetet, és az egész szerkezet, valammt egyes részei nyugalmának vizsgálatával tudjuk az a=3 cm b=7 cm F1 r - - - - - - J - - - - - - - - . . . """1 egyensúlyi erőrendszert alkotó külső és belső erőket meghatározni. Az eljárást - néhány c egyszerű mechanizmus, gép vizsgálatának végrehajtásával - példákon keresztül mutatjuk be. 4.20. Példa: A 4. 76. ábrán vázolt diótörővel IF1 l = IF2I = 60 N erő kifejtése mellett sikerült a diót összetörni. Mekkora volt a dióra kifejtett erő illetve a csuklóerő? Megoldás: Az ábrán megrajzoltuk külön a diótörő egyik szárát a rá ható erőkkel: F 1 4. 76. ábra fuggőleges, FN fuggőleges (mert a szár VIzszmtes), így az Fc csuklóerő is fuggőleges.
F,
A szár nyugalmábóL
""LMic =O
= F1(a + b)- FNla
~Fiy =O =-Fc+ FNI -F1
FNl-
60 10 = 200 N, 3.
Fc =FNI -F1 =200 -60= 140 N.
4.21. Példa: Készítsünk tizedes mérleget: határozzuk meg a 4. 77. ábrán vázolt mérlegszerkezet méreteit úgy, hogy a mérleg serpenyőjébe rakott és a szerkezet nyugalmát biztosító mérősúly tízszerese adja meg a mérleglapra helyezett test keresett súlyerejét A mérleg használhatósága érdekében azt is biztosítanunk kell, hogy mérlegünk a test súlyerejét - fuggetlenül a test helyzetétől - mindig helyesen állapítsa meg. Megoldás: s >nk+ nb, mert 5 ·3= 15 >2· 2+ 5 ·2= 14 (Ugyams öt merev testből, két csuklóból (A,B) mmt külső és ötből (Cr, Dr, D2, E1 és E2) mint belső kényszerből épül fel a szerkezet. Megállapíthatjuk, hogy a szerkezet mozgékony, szabadságfoka egy. A megmérendő G súlyú terhet a médeglapra helyezve az mozgásnak indulna, melyet próbálgatással a serpenyőbe
4. 7. Mozgékony szerkezetek
323
rakott megfelelő F mérősúly akadályoz meg. Ekkor az egész szerkezet és annak minden része nyugalomban van: A mérleglap (1.) nyugalmából:
N,
G
l.
x
F.s
2. /2
4.77. ábra
x·G Ns=--
4 '
LFiy = O=Fc -
G + Ns
4-x Fc =G-Ns =G--. 4
A 2. test nyugalmából:
A 3. kétkarú
emelő
nyugalmából:
~a = O=a · F- c · N4 - b · N5 =a · F- G cd 11 -x b xlG , !2 4 l
A mérősúly értéke nem :fugghet a teher helyzetétől
(x-től),
-c· d· x +!2· b ·x= O ~c· d= !2 · b,
ezért:
tN.
.i
324
4. ,)'zerkezetek statikája
ekkor:
és miután tizedes médeget SJ-karunk készíteni: b F=Ga
=
-. (J
10
a
b
= 10.
A példának megfelelő mérlegszerkezet méreteit tehát úgy kell megválasztanunk, hogy a b1c = d!h és az alb = 10 arányok teljesüljenek. 4.22. Példa: Forgattyús hajtómű rajza látható a 4. 78. ábrán. A hajtórúd hossza l, a forgattyús tengely középpontja O, a forgattyúkar hossza r. A forgattyús hajtómű vázolt helyzetében a dugattyúra ható gázerő nagysága F. Mekkora forgatónyomaték (Mo=?) hat ebben a helyzetben (a is adott) a forgattyús tengelyre? (MekkoF ra nyomatékkal tudnánk nyugalomban tartani?) Határozzuk meg, hogy mely szögállásnál (a=?) lesz a forgattyús 4. 78. ábra tengelyre ható fajlagos nyomaték (MolrF) maximális! A forgattyúkar és a hajtórúd hosszának viszonya legyen: r/1 = 0,25. Megoldás: A forgattyús hajtómű számítási modelljét a 4. 79. ábrán raJzoltuk meg. A szerkezet három merev testből áll, így s = 3 · 3 = 9. Külső kényszereL az O csukló és az állványhoz rögzített rúd mint vezeték, mellyel a C ponban énntkezik a dugattyú (kulisszakő ), az ezekkel lekötött szabadságfokszám: nk= 2· 2= 4. Belső kényszere!: az A és B csukló, így: nb= 2· 2= 4. Az s = 9 > nk+ nb= 8, tehát a forgattyús hajtómű egy szabadságfokú mechanizmus: s - (lik+ nb) = l. A hajtárudat terhelő erő a dugattyú nyugalmából (4. 79. c. ábra):
325
4. 7. A1ozgékony szerkezetek
--+
F
FB= - - . cos~
A
a.
~ L p~
a+j3
3.
~;r-
b.
F
c. 4. 79. ábra
A
f3 szög meghatározása (4. 79. a. AA 1 = r sin a
= l sin f3
ábra):
--+
sin f3 = !__ sin a, l
tehát
fJ= arc sin( ]sina). A hajtórúd (FA+ FB
= O),
maJd a forgattyúkar nyugalmának vizsgálatából
(4. ..,9.h. ábra):
'f.M1o Ebből
= O = f~~~ · r -
Mv
--+
Nfv= r· FA sm(a+/3)
= rF
a forgattyús tengelyre ható fajlagos nyomaték fuggvénye: Nl
~ = ~
sin(a+~) , melyben ~~
~=
(r
)
arcsm -sma . l
sin(a+~) A cos!-'
.
326
4. Szerkezetek statikája
M"
rF l,SI
!
'
20
40
·
1
1
!
160
180
'·'~~:ft~ ·:===·~~arJ
0
60
80
100
120
140
4.80. ábra
Az r/1=0,25 értéket felvéve, a fuggvényt a 4.80. ábrán raJzoltuk meg. A fuggvény szélsőértéke ott van, ahol:
~( Mo) =~(sin(a +~)l= da rF
da
cos~
1 1 cos(a+~)[l+ vl-(r l .!:..cosa]cos~+sin~ l .!:..cosa·sin(a+~) /F)sin a l vl-(r /J2)sin a l 2
2
2
2
------~~--------------~------~--------------------=0
cos2 ~
figyelembe véve, hogy sin,B=-jsina-ból: ~l-(: 2 /l 2 )sin 2 a =cos~, továbbá elvégezve a szorzásokat, kapjuk: cos(a+~ )cos~ +cos(a+ ~).Ccosa +sin~~·.Ccosa ·sin(a +~) =O, l cos 1-' l cos(a+~ )cos 2~+ [cos(a+~ )cos~ +sin(a+~ )sin~ ]-jcosa =O, ebben: [cos(a+~ )cos~+ sin(a+~ )sin~]= cos(a+~-~)= cos a= cos a, és ezzel: cos(a+~ )cos 2~ +.Ccos2a= o, l
melyből
a forgattyútengelyre ható fajlagos nyomaték maximuma
a=77 o-nál
Jvfa = 1,031-re ad'd'k ___ o 1 .
rF
FELADATOK 4.78., 4.79. Az F.4. 78. és F.4. 79. ábrákon kulisszás hajtómű kialakításokat vázoltunk A kulisszakő és vezetéke között a kapcsolat súrlódásmentes.
4. 7. lv!ozgékony szerkezetek
327
MA =400 Nm. Mekkora Me nyomatékkal biztositható a szerkezet nyugalma? Mekkora kényszererő ébred ekkor a C csuklóban? (A geometriai adatokat mm-ben adtuk meg.)
~l
ti i
i ooolÍ
Nl
l l
' F4. 78. ábra
F4.79. ábra
4.80., 4.81. Hidraulikus emelőasztallal 1G 1 = l O OOO N súlyú terhet emelhetünk Az F.4.80. és F.4.81. ábrákon látható kialakítású szerkezetek szimmetrikusak a hossztengelyre, a teher is x a szimmetriatengelyen van elhelyezve. A két emelőkar egyenlő hoszszú. Adatok: a = 60°, a= 0,7 m, b= 1,6 m. Az emelőasztal adott helyzetében mekkora erőt fejt ki a hidraulikus henger? Bizonyítsa be, hoE:,ry az eredmény nem fugg a teher helyzetétőL b (A súrlódást és az önsúlyt elhanyagoljuk.) F4.80. ábra
l~
328
4. Szerkezetek statikája
b
a
F 4.81. ábra
F4.82. ábra
4.82. Az ACD teleszkópos kar emeh a D kosárban elhelyezkedő szerelőt (F.4.82. ábra). A kar súlypontja E, súlya G 1 = 7000 N. A kosár és a szerelő együttes súlya G2 = 2000 N, és súlypontja D. Határozza meg a BC hidraulikus henger által a kar adott helyzetében kifejtett erőt!
4.7.2. RÚDLÁNC ÉS KÖTÉL Ezek a teherhordó szerkezetek elhelyezkedhetnek síkban vagy térben. A következőkben azokkal a feladatokkal foglalkozunk, amelyekben a szerkezet és a terhelő erők közös síkban helyezkednek el.
/ De.finició: A rúdlánc olyan teherhordásra alkalmas mozgékony (labili!i) szerkezet, amely csuklókkal folytatólagosan összekapcsolt rudakból áll. A rudiánc megterhelése a rudakat összekapcsoló csuklókan (4.8J.a. ábra) vagy a rudakon, a csuklók között lehetséges (4.8J.b. ábra). A rudiánc mmden rúdjában, ha azok csuklókan terheltek, rúdirányú erő lép fel, amely húzó vagy nyomó lehet. A csuklók között terhelt szerkezet rúdjaiban normál igénybevétel (húzás, nyomás), nyírás és hajlítás is keletkezhet
329
4. 7. Jvfozgékony szerkezetek
Az a. és a b. ábrán raJzolt szerkezetet függesztő münek, a c. ábrán látható rúdláncot feszítő münek szokás nevezni. Az ábrák alapján Is érzékelhető, hogy a rúdlánc csak adott erőrendszerhez létrejött alakban lesz nyugalomban. Az erőrendszer bármilyen kis változása, szemben a statikailag határozott csuklós szerkezetekkel, újabb alakzatot eredményez. Ennek bemutatására nézzük a következőket! A rácsos szerkezeteknél láthattuk, hogy a rudak szempontjából a szerkezet határozottságának szükséges feltétele: r= 2c-nk,
a.
b.
ahol r a rudak, c a csuklók, nk pedig a kényszerekkellekötött szabadságfokok száma. Ha a 4.82.a. ábrán vázolt szerkezet adatait helyettesítjük a fenti egyenletbe, kiadódik, hogy 3<2-4-4. Egy rúd tehát hiányzik ahhoz, hogy a rúdlánc ne mozogJon, azaz statikailag határozott szerkezet le4.81. ábra gyen. A b. részleten egy rudat berajzoltunk, ezzel a szerkezetet statikailag határozottá tettük. Így könnyen belátható, hogy az a. részleten ábrázolt szerkezet b. pl. csak a raJta műkö 4.82. ábra dő erők hatására tartja meg a raJzolt alakját, míg, ha bármilyen kis változás következik be az erők jellemzőiben, a rudak helyzete megváltozik A b. részleten bemutatott megfordított bakállvány (háromcsuklós szerkezet) viszont tetszőleges erőrendszer (pl. az ábrán látható) hatására is megmarad a raJzolt alakjában.
330
.J.•\':::erke:::etek statikiya
T eh át ez utóbbi szerkezet statikadag határozott, m1g az lab1hs szerkezet.
eléí7ő,
a rúdlánc,
/ Definiciú: Az ideális kötél olyan teherhordásra (a saját súly is teher) alkalmas !J'Zerkezet, amelyet csuklókkal összekapcsolt végtelen számú és végtelen rövid merev rudacskából álló rúdlánc!tak modellezhetünk. A kötél csak húzóerő átvitelére alkalmas. Az ideáli!J· kötél tökéletesen hajlékony, és nem nyúlik meg. A kötélszerkezetekkel a műszaki gyakorlatban számos helyen találkozhatunk. Gondoljunk csak a kábelhidakra (pl. a budapesti Erzsébet híd), a vasúti felső vezeték rendszerekre, különböző feszítő művekre, kötélpályákra stb Mindaddig azonban, míg a feladat megoldását nem a kötél alakváltozása határozza meg, élhetünk az idealizálás nyújtotta egyszerűsítésekkeL Mindenesetre, mint a gyakorlatban általában, ezúttal is nekünk kell eldöntenünk, hogy alkalmazhatjuk-e az említett közelítést, a választott modellt. A kötéllel, mint a kényszerek egyik fajtájával már korábban találkoztunk. Láttuk, az eddigi tapasztalatainkkal egyezően, hogy a kötél mindig a terhelő erő irányát veszi fel. A kötél - mint a rúdlánc - szmtén mozgékony (labilis) -szerkezet. A fenti általános megállapítások után következhet a számításokra alkalmas összefüggések meghatározása.
4.7.2.1. Csuklókan koncentrált erőkkel terhelt rúdlánc, koncentrált erőkkel
terhelt kötél Mint a definíctókból látható, a szóban forgó terhelés esetén azonos módon kezelhető a rúdlánc és az ideálisnak tekintett kötél, természetesen azzal, hog) a kötél csak húzó, míg a rúd húzó és nyomó erő felvételére, átadásárá IS d.lkalmas. Valójában csak a tényleges szerkezett kialakítás a különböző, a modellel kapcsolatos számítás vagy a szerkesztés tartalmában és módszerében teljesen azonos. Ezért tárgyalható mmdkét típus együtt, egy feJezetben, miután a különbözőségekre már rávilágítottunk Ezúttal a rudakat és a kötelet is súlytalannak tekintjük.
4. 7. Mozgékony szerkezetek
331
Grafikus feltételek
A 4. 83. ábrán az adott három erőre a tetszés szerint felvett O pólusból, a már megismert módon, kötélsokszöget szerkesztettünk. Látható, hogy az Fe eredőt egyensúlyban tartják a Kl' - K 4 erők. Ha az Fe erő alá kötelet helyeznénk úgy, hogy az első erő előtti és az utolsó erő utáni kötélág egybeessen az a. részleten megszerkesztett kötéloldalakkal, akkor az így kialakított, az erők eredőjével terhelt kötélszerkezet nyugalomban lenne. Ha bármelyik erő támadáspontját, pl. D-t nézzük, akkor megállapítható, hogy ez is egyensúlyban van, mert a kötélerők és F2 köz~_,.; metszéspontúak és a vektorábrán zárt vektorháromszöget adnak. a. Így tehát az adott erőrendszerhez szerc. kesztett kötélsokszög azonos a kötél nyugalomban lévő geometriai b. D alakjával. (b. ábrarész4.83. ábra let) Másképpen: az adott erőrendszer a kötélsokszög szerinti alakban feszíti ki a kötelet. Megjegyezzük, hogy innen származik a kötélsokszög elnevezés is. Ez a megállapítás azonban nemcsak kötél esetében igaz, hanem akkor is, ha az egyes kötélszakaszokat rudakkal helyettesítjük, a támadáspontokban pedig csuklókat helyezünk el. Megállapítható tehát: nyugalom esetén a terhelő eró'kre szerkesztett kötélsokszög azonos a rudak vagy a kötél alakzatával. Analitikusfeltételek
Mint az eddigiekben, itt is teljesülniük kell az egyensúlyi egyenleteknek az egész szerkezetre és bármely csuklónál kettéosztott részre. Ezek az összefuggések elegendőek is az ismeretlenek kiszámítására.
332
4. Szerkezetek statikája
A feladatok megoldásának módszere
A fentiek alapján a rúdláncnak vagy a koncentrált erőkkel terhelt kötélnek a vizsgálatával kapcsolatban a következő kérdéseket tehetjük fel: l. ha a terheket Ismerjük, milyen alakot vesz fel a rúdlánc nyugalom esetén? 2. ha Ismerjük az alakzatot, m1lyen terhelő erőket kell működtetm, hogy a rúdlánc nyugalomban legyen? 3. ha ismerjük a rúdlánc alakját és a rá ható terhelő erőket, vajon nyugalomban marad-e a szerkezet? A grafikus megoldás esetén, ammt azt bemutattuk, a feltehető kérdések bármelyikére a választ a kötélsokszög szerkesztése adja meg. Az első kérdés esetén az erőrendszerre olyan kötélsokszöget kell szerkeszteni, amelyik három adott ponton: általában a két kényszererő csuklópontján és még egy csuklóponton keresztül fektethető. Ezt a szerkesztést az ún. Cuimann-egyenes alkalmazásávallehet elvégezni. A második kérdésre a válasz egyszerűbb, mivel itt csak a szerkezet alakjával egyező kötélsokszögnek megfelelő vektorábrát kell megszerkeszteni. Mínt már említettük, az erőknek a hatásvonalát, egy erőnek pedig a nagyságát és az értelmét is meg kell adni. A harmadik kérdésre a választ szintén a kötélsokszög megrajzolása adJa. Ha ugyanis a terhelő erőrendszerre szerkesztett kötélábra nem esik egybe a rúdlánc vagy a kötél alakjával, a rajzolt helyzetben nincs egyensúly. Egybeesés esetén viszont biztosak lehetünk az egyensúlyban. S'zámitás esetén: az elsá kérdésre, azaz arra, hogy az adott erőrendszer a szerkezet C csuklópontjainak milyen y értékeit hozza létre (4.84.a. ábra), a következő: Már a csuklós szerkezetek vizsgálatánál IS alkalmaztuk azt, hogy a kényszererőket összetevőikkel helyettesítve, felírunk egy nyomaték! egyensúlyi egyenletet valamelyik Ismeretlen kényszererő támadáspontján átmenő tengelyre. CiM;a =O) Ebben az egyenletben két Ismeretlen: F8 x ésF8Y szerepel.
c2
helyen kettévágott szerkezet Újabb egyenletet a koordinátáival adott jobb oldali részére (4.84.b. ábra) felírt nyomatéki egyensúlyt feltételből nyerünk.( L Mic2 =O)
333
4. 7. Mozgékony szerkezetek
Ez az egyenlet szintén tartalmazza FBx és FBy értékeit, melyek a most már rendelkezésre álló két egyenletből, (L M,a =O és
Y FAy
L
~--------~----------~
x
L M;c 2 =O) meghatározhatók. Ezek után a LF'zx =O és a L, F;y = O egyenletek megadják az A helyen
b
c
ébredő
kényszererő-komponenseket is. Érdemes megfigyelni azt, hogy mindegyik kötélág vízszintes összetevője - fuggőleges irányú terhelésnél - azonos nagyságú és megegyezik FAx nagyságával. Az első C pont y ordinátája az FAy
a. h
=ll arányból vagy a
4.84. ábra
a nyomatéki egyensúlyi egyenletből meghatározható. Az első kötélszakaszban fellépő erő pedig azonos az A helyen működő erő ellentettjéveL Ha több csukló van egy szerkezetben, akkor az egyes y ordinátákat és a kötélerők értékeit az újabb csuklókban ketté vágott rúdlánc vagy kötél további C pontjaira felírt nyomatéki és vetületi egyenletek adják meg. A rúd vagy a kötél igénybevételének meghatározása érdekében fontos megállapítás az, hogy fuggőleges terhelés esetén a legnagyobb rúderőt vagy kötélszakaszerőt a FAx
K
FAx
max-(cosa ) . nun
összefuggés adja. Ugyanis bármely kötélszakaszra felírható, hogy:
KKx- --- -FAx ----,
cosa
cosa
4. Szerkezetek statikája
334
filVel F~x
=áll. = Kx .
Eszennt a legnagyobb kötélszakaszerő a legmeredekebb ágban ébred. (Az a szöget a 4.84. ábrán tüntettük fel.) L Végül a számított értékek alapján megrajzolhatjuk az egyensúlyban lévő alakzatot (4.85. ábra). A második és a harmadik kérdésre a választ szintén a fenti egyenletek adják meg, értelemszerűen más ismeretlen kiszámításávaL F,
4.23. Példa: A 4.86.a. ábrán látható szerkezet az adott, IFI = l 00 N terhe4.85. ábra lésre megtartja-e a vastag vonallal vázolt alakját? Adatok: a =3 m, b = 4 m, c= lm. A válasz: természeteF sen nem. Hiszen a külső terhelés nélküli D csukló felfelé elmozb. a. 4.86. ábra dulhat, s így a jobb oldali két rúd egy egyenesben helyezkedik el. (Itt is egy rúd hiányzik a statikai határozottsághoz.) Ez esetben, ha az aF erőnek és az AC rúdnak az a. ábra szennti helyzetét tartani kívánjuk, akkor a rudakban és a csuklókban a b. vektorábrán megszerkesztett erők ébrednek. Nyilvánvaló, hogy a két jobb oldali rúd hosszának meg kell változni. Ha tartani kívánjuk a vastag vonallal rajzolt alakot, akkor ezt elérhetjük azzal, hogy a D csuklóban egy erőt működtetünk. Milyen nagyságú, fuggőleges irányú erő legyen ez? c
Megoldás: A feladatot szerkesztéssel a 4.87.b. vektorábrán oldottuk meg. A megadott l 00 N nagyságú erőre szerkesztettünk egy kötélsokszöget, amelynek k 1 és k 2 kötéloldalai megegyeznek az AC és a CD rúdirányokkaL
335
4. 7. Mozgékony szerkezetek
Ezek a vektorábrán, mint kötélerők meghatározzák az O póluspontot, amelyből DB irányával párhuzamost húzva, a :fuggőlegesen (a keresett erő egyenesén) kimetszi F1 nagyságát. Ezen erő értelmét pedig az egyensúly esetén szükséges folytonos nyílfolyam adja. A megoldás számítással:
A F
c F
a.
b.
4.87. ábra
Ehhez bontsuk ketté a szerkezetet a 4. 88. ábrán vázoltak szerint. Írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenletet az A ponton átmenő tengelyrel Ebből az egyenletből Fen nagysága meghatározható.
rsJF~ C F
4.88. ábra.
Ennek ismeretében már a B ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből az F1 erő nagysága kiszámítható. Ez esetben a 4.89. ábra szerinti szerkezeti rész egyensúlyát vizsgáljuk:
a 4. 24. Példa: Az A és B pontok között elhelyezkedő kötelet három adott, jF1 j =4 N,
jF2 j= 12
N,
jF3 j=6
a-c
N :fuggőleges irányú erő
terheli. Az A, a B és a D pont helyzete adott. (4.90.a. ábra.) a= 1,5 m, b= l m, c= 2m, 4.89. ábra yD= 2,5 m. Határozzuk meg számítással a C és az E pont helyzetét, valamint a kényszererőket!
336
4. S'zerkezetek statikája
Állapítsuk meg számítással a legnagyobb kötélszakaszerő nagyságát is! Megoldás: A 4.90. ábra alapján az egész szerkezetre írjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a B ponton átmenő tengelyre.
=
(4.6)
2FAx- 6FAy +66.
Az
egész
egyenletekből
lyen
szerkezetre felírt vetületi meghatározhatjuk a B he-
keletkező kényszererőket
4.90. ábra
A C pont helyét számíthatjuk az A pontbeli nyaiból is:
F.4y Yc -=-
-7
kényszererő-komponensek
17 Yc =-1,5= 1,417 m 18
ará-
337
4. 7. Mozgékony szerkezetek
vagy a C pontra felírt nyomatéki
egyenletbőL
Ez természetesen a fentivel azonos eredményt ad. Az E pont helyének meghatározása az előbbieknek megfelelően történik a 4.92. ábra alapján: ~
5 YE=-2+2=2,55m. 18
4.91. ábra
A legnagyobb kötélerő a legmeredekebb szakaszon lesz, ez pedig az AC szakasz. Ennek hajlásszöge: c
tga= Yc a A legnagyobb =
K max
(
FAx )
cosa
~ a= 43,4°.
kötélerő
max
nagysága:
18 =24,8N. cos43,4° 4.92. ábra
4.25. Példa: Az m =20 t tömeg 5 fuggesztő rúdon keresztül kapcsolódik a 4.93. ábrán megrajzolt, adott alakú rúdlánchoz. Határozzuk meg a vázolt szerkezet rúdjaiban keletkező erők nagyságát, valamint a fuggesztő rudakat terhelő erőket! E rudakat tekintsük merevnek, adott hosszúságúnak és párhuzamosnak Ezt a fuggesztőmű konstrukciós kialakításával biztosítjuk Adatok: a =b = 2 m, c = l m, d = 0,5 m. Megoldás: A feladatot szerkesztéssel és számítással oldjuk meg! Ha a feladatot szerkesztéssel kívánjuk megoldani, teljesülni kell annak, hogy az erőkre rajzolt kötélsokszög egyezzen meg a rúdlánc alakjával. Ezért a vektorábrába az erőlépték szerint felmértük a 20 t tömegnek megfelelő G erőt, amelyet megelőző és követő kötélerő meghatározza az O pólust. E kötélerő-
4. Szerkezetek statikája
338
ket (vektorsugarakat) az AC és a BG egyenesekkel párhuzamosan húztuk meg, miután a követelmény az, hogy a rúdlánc legyen a kötélsokszög. a
a
a
a
a
a FA-C
c G
d
3
G=20·9 81·10 N
'
4.93. ábra
Ezután már csak az O pólusból kell meghúzni a rúdlánc megfelelő elemeivel a párhuzamosokat a vektorábrán, s megkapjuk a keresett erőket. A kötélerők a rúdlánc elemeiben, a fuggőlegesen kiadódó erők pedig a fuggesztő rudakban lévő erőket adják meg. A számításnál a szimmetriát kihasználva írhatjuk a vektorábra alapján, hogy:
G-Ji
FA =FB =FAC =FGB =---:::: 138 ' 73 kN ' 2 mivel a1 = 45°. A többi elemben a terhelő FeD= FFG
, FDE
=
erő
az egyes csuklópontok egyensúlya alapján:
FAx
cosa 2
FAx
= 138,73·0,707 =109,66 kN'
= FEF =-= cosa 3
2
.J2
2
+f
138,73' 0,707 2
= l ol' l o kN .
4. 7. Mozgékony szerkezetek
339
A fuggesztőrudakban ébredő erőket nyomatéki egyensúlyi egyenletekből határozzuk meg, D-ben átvágva a rúdláncot és a bal oldali részt vizsgálva: -7
F; =49,04kN(t)=Fs
E-ben elvágva a rúdláncot, a bal oldali részre:
F3
erő
nagyságát a 20 t tömeg nyugalmából is számíthatjuk:
F; =G-2F;
2Fs =49,08kN.
Természetesen minden rúd húzott.
FELADATOK 4.83. Az ábrán vázolt kötélszerkezeten működő két fuggőleges hatásvonalú erőt a rajzolt helyzetben az m tömeggel kívánjuk egyensúlyban tartani. Határozza meg: a. a B csukló bejelölt a távolságát; b. m értékét; c. az A pontban keletkező kényszererő vízszintes és fuggőleges összetevőit; d. az egyes kötélszakaszokban létrejövő erők nagyságát! Adatok: 1 1 =65 N, 2 1 =75 N,
IF
IF
b = 6 m, c = 4 m, d = 3m.
F.4.83. ábra
340
4. Szerkezetek statikája
y
F,
4.84. Az ábrán látható rúdláncot az adott erők terhelik. A feltámaszkodási pon-tok (A, B) és a D pont helye adott. Határozza meg a rúdlánc alakj át, azaz a C és az E csuklók helyzetét! A feladatot számítással oldjuk meg. 100 N. (A méretek m-ben adottak.)
F,
F.4.84. ábra
d
4.85. Az ábra szerint az A CDB kötélre a C és D pontokon felfüggesztett, súlytalannak modellezett merev testen m nagyságú tömeg helyezkedik el. Határozza meg számítással a bejelölt a távolságot abból a feltételből, hogy a kötélszerkezet a rajzolt helyzetet foglalja el! Számítsa ki az A és B pontokban keletkező egyensúlyozó erőket, valamint a kötélszakaszokban keletkező erő ket! Adatok: b = 2 m, c = 2,5m, d = l m. c
b
F.4.85. ábra
a
B b
a
~---+--------~
F.4.86. ábra
F
4.86. Határozza meg számítással és szerkesztéssel a D csuklónál működő F erő nagyságát úgy, hogy a rúdszerkezet a rajzolt helyzetben legyen nyugalomban! Milyen nagyságú erők keletkeznek az egyes rudakban.? Adatok: 1 1 = 2 kN, a = 2 m, b = l m.
IF
-1. 7. Alozgékony szerkezetek
341
4.87. Az A és B csuklék között kifeszített kötélen, a ( ~ helyzetben lévő csigán m = l 00 kg nagyságú tömeg függ. E CSIgán működő vízszmtes Irányú F erővel kívánjuk az m tömeget a rajzolt helyzetben tartani. a b Határozza meg az F erő nagyságát, valammt az A és a B helyeken ébredő F.4.87. ábra egyensúlyozó erőket. A csiga átmérőjét tekmtse zérusnak Adatok: a 6 m, b = 3 m, c = 4 m.
4.7.2.2. Rudakon, csuklék között terhelt rúdlánc
Most csak a rúdlánc viselkedését vizsgálhatjuk, mivel a kötélnél nem éra csuklék közötti terhelés.
telmezhető
Grafikusfeltételek A csuklék közötti terhelés esetén az a követelmény nem állhat fenn, ami a csuklókan ható terhelésnél, hoh'Y a rúdlánc alakja egyezzen meg az erőkre rajzolható kötélsokszöggel, mert a rudakban fellépő erőknek a rúdirányú összetevőn kívül még erre merőleges komponense is lehet.
Tétel: A rutlakon terhelt rúdlánc nyugalomban van, Ita a terhelő erőkre rajzolt kötélsokszög megfelelő kötéloldalai a szerkezet csuklóin haladnak keresztül.
/[]}j
Bizonyítás:: A szerkezet bármelyik rúdján három erő tart egyensúlyt: a rálzató erif vagy az erők eredője és a rúdvégeken Lévi/ két csuklóban fellépő egyensúlyozó erő. Ezeknek az eró1mek közös metszéspontúaknak kell Lenni, azaz a csuklóeróknek keresztül kell menni e közös metszésponton, valamint a csuklók középpontján. A fentieket muta(ja a 4.94. ábra. Az A CDB csuklókat összekötő rúdlánc rúdjain hatnak a bejelölt erók. Mint látitató a vektorábrán, FA, F1, F2, F3, FB erók egyensúlyban vannak, mert az eredőjük révén kö-
W"'
zös metszéspontúak (M}, zárt nyílfolyamban lévő vektoridomot adnak és az erók eredőjét közrefogó kötéloldalak: FA az A, FB pedig a B ponton megy keresztül.
342
4. S'zerkezetek statikája
b.
A részek is nyugalomban vannak. PL a CD rúd nyugalmát ellenőriz hetjük a vektorábrán (sötétített háromszög) és a c. részleten. H a az erók, vagy a szerkezet jellemzőiben bármilyen kis változást hozunk lét-
4.94. ábra re, a rúdlánc új nyugalmi helyzetet veszfeL Ennek alapján, a feladatok megoldásakor a csuklókon terhelt rúdláncnál megismertek szerint járhatunk eL A példánkban a rajzolt rúdlánc alakjához határoztuk meg az ismert irányú és hatásvonalú terhelő eró'k nagyságait, kiindulva az adott FA egyensúlyozó eróöó1. Q.e.d.
Ha a szerkezet vizsgálatát számítással kívánjuk elvégezni, akkor ugyanazon elvek szerint kell eljárjunk, mint a csuklóken terhelt rúdlánc esetében. Azaz az egész szerkezetre felírható két vetületi és egy nyomatéki egyensúlyi egyenlet. Vizsgálm kell a szerkezet egyes részeinek, egy-egy csuklónak, a kettéosztott rúdlánc egyik részének az egyensúlyát is, úgyszintén vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenletekkel. 4.26. Példa: A 4.95.a. ábrán látható feszítőmű E csuklóját terhelő erő Iránya és nabrysága CIF3 1 = 15 ON) Ismert. A szerkezet geometriru kialakítása adott: a = 2 m, b = 3 m . Határozzuk meg F1 és F2 nagyságát úgy, hogy a szerkezet a
raJzolt helyzetben nyugalomban legyen! Határozzuk meg a kényszererőket is! lvfegoldás: A rúdlánc statikai határozottságához két, csak csuklón terhelt rúd hiányzik. Ugyams a (4.1) alapján 12 >6+ 4, ahol nb= 6 és nk= 4. Miután most nem építhetjük be a hiányzó két rudat, ezért pótlásukat a két Ismert irányú, de ismeretlen nagyságú erővel oldjuk meg, így biztosítva a szerkezet nyugalmát. A szerkesztést a 4.95.b. és c. ábra mutatja. Az E csomópont nyugalmából indulunk ki. Mivel a 3-as és a 4-es rudakban csak rúdirányú erők keletkezhetnek, megraJzolhattuk a vektorábra F 3-hoz tartozó háromszögét. Ezzel a 3-as és a 4-es metszéspontjában ktadódott az O pólus.
343
4. 7. /vfozgékony szerkezetek
A következő lépésben az O pólusból a CD rúddal (2-vel) húzunk párhuzamost, amely kimetszi a fuggőleges irányon F2 nagyságát. Ennek végpontjából megraJzOljuk F1 vízszmtes irányát, amelyből a c. ábrán kiadódó l-es kötéloldallal húzott párhuzamos meghatározza F1 nagyságát. A kötélerők az alábbi ismeretleneket adják az erőléptéknek
F,
F2
x
a.
megfelelően:
F,
l-es: 2-es: 3-as: 4-es:
F2
az FA jelű kényszererőt; az FeD rúderőt; az FDE rúderőt; az FEB rúderőt, FB kényszererőt
b. F2
F,
Megoldás számítással: Az elv ezúttal is az, hogy egy szerkezet nyugalma esetén az egyes részek is nyugalomban vannak. Ennek alapján vizsgálJuk az E csukló nyugalmát (4.96. a. ábra) I,F~.v =O= -F3
-
FEB sm45°,
ahonnan
FEB= -212,16 N= f""'s, és 4.95. ábra
344
4 . .'úerkezetek statilwja
ebből
F~D
= -150N (nyomott). A D csukló nyugalmát a 4. 96. b. ábrán vázoltak rnutatják. Mivel D és terhelése E-nek tükörképe, megállapítható, hogy:
;t-~ Fnc/
JI'
FIX= -212,6 N. (nyomott) c.
b.
Az F1 erő nagyságát és az A csuklóban ébredő erőkornponensek nagyságát az AC rúd nyugalmábóllehet számítani (4. 96. c. ábra): 4.Y6. ábra
F; =250N --+
FAx
=-l 00 N
FELADATOK
f
q=l,S kN/m
iD
~-------------Q
c
x
F.4.88. ábra
4. 88.: Számítsa ki, hogy rnilyen nagysagu F erővel lehet az F. 4. 88. ábrán látható rúdszerkezetet a rajzolt alakban nyugalomban tartani! Határozza meg számítással az A és B csuklókban ébredő kényszererőket!
Adatok: a= lm, b= 2m, c= 4rn.
4. 7. Mozgékony szerkezetek
4. 89. Határozza meg, hogy az ábrán vázolt rúdlánc csuklópontjai milyen y értékeket vesznek fel az adott F; = F2 = F3 = F4 = 100 N erők hatására! (A méretek cm-ben adottak.)
4.7.2.3.
345
F. 4. 89. ábra
Vízszintes mentén egyenletesen megoszló alakú kötél)
terhelésű
kötél (parabola
E fejezetben az olyan kötelekkel foglalkozunk, amelyeknek a terhelése egyenletesen megoszló és fuggőleges irányú. Ennek elhelyezése a kötélen végtelen sok elemmel történő felfuggesztés révén képzelhető el (4. 98. ábra). Ilyen terhelésnek tekinthető a kis belógású kötél saját súlya, rnivel a kötél valós hossza alig c c nagyobb, rnint a felfugb• a; gesztési pontok közötti ' távolság. Mint majd látható, e terhelés hatására a kötél parabola alakot vesz fel. c; Valójában a saját sú4.97. ábra lyával terhelt kötél alakja nem parabola, a kötél valós alakját leíró egyenletet, valamint az ezzel összefuggő számítást a következő fejezetben mutatjuk be. Első lépésként vizsgáljuk meg az A és B pontok között elhelyezkedő, tetszés szerint változó, fuggőleges irányú, megoszló terheléssei terhelt kötelet (4. 97. ábra).
346
4. Szerkezetek statikája
Az előző fejezetben láttuk, hogy a kötélben mindig kötélirányú erő lép fel. Most, hogy a terhelés megoszló, ugyanez a helyzet, vagyis a létrejött kötélalak bármely pontjában fellépő kötélerő a görbéhez húzott érintő irányába esik. A vizsgálat céljából vágjunk ki a kötélből egy darabot úgy, hogy annak kezdőpontja a kötél legmélyebb pontja C, a másik pontja pedig tetszőleges helyen lévő pont, a D legyen (b. részlet). E kötéldarab egyensúlyát a bejelölt vízszintes irányú KH, az ugyancsak érintő irányú Kés a CD szakaszra jutó terhelésnek az eredője: Fq adja.
E három erőre megszerkesztettük a d részleten a vektorháromszöget. Ebből felírható, hogy:
Kcosq> = KH,
Ksinq> =Fq,
(4. 8)
F tgq> =-q . KH
(4. 9)
és
K=JK~ +Fq2
,
Az ilyen terhelésnél is megállapítható, hogy a kötélerő x irányú összetevője, a KH értéke a kötél teljes hosszában azonos. Igazolásul nézzük a c. ábra részletet, s erre írjuk fel a vízszintes vetületi egyenleteti
Megállapítható továbbá az, hogy a legkisebb kötélerő a mélyponton, a legnagyobb pedig a maximális q> értékénél adódik (4.8). A fentiek tetszés szerinti eloszlású, fuggőleges irányú megoszló terhelés esetén érvényesek. A következőkben nézzük azt az esetet, amikor a terhelés egyenletesen oszlik el (4.98. ábra).
!llJJ Tétel: A függó1eges síkban elhelyezkedő, két pontban rögzített, vízszintes mentén egyenletesen megoszló parabola:
terhefésű
kötél alakja másodfokú
4. 7.
A:lozgéko1~y
347
szerkezetek
y~
q(N/m)
c'
x
x x/2
x/2
F,=qx a.
b. 4.98. áhra
/') /1 t:ft:7
Bizonyítás: A vi;.sgálathoz - mint eddig is - vágjunk ki egy szakaszt (CD) a kötélből. Ennek egyensúlya esetén a következi! összefüggések állapíthaták meg: A megoszló terhelés eredi[je a kivágott CD szakaszon:
F'. = qx' amely x felében hat. A D pontban a kötélerii a (4. 9) alapján: K =
Az y értékét a D ponton meg:
átmenő
~K~ +q 1 x 1
(4.10)
•
tengelyre felírt nyomatéki egyenletbó1 határozhatjuk
~ M ltJ =0=-KH •V+ljX.::., L..J 2
qx1 y= 2K .
(4.11)
H
Látható, hogy ez az összefüggés másodfokú paraholát ír le. Q. e. d.
Ne feledjük el, hot,ry a koordináta-rendszer kezdőpontját a kötéllegmélyebb pontjában vettük fel. Ezzel, ha a kötél felfuggesztésének pontjalt összekötő l egyenes vízszmtes (4. 99. ábra) és q Ismert, valammt x =-, akkor az y =h 2 helyettesítésével a
348
4. Szerkezetek statikája y
l
4.99. ábra
m
a
b
összefüggést nyerjük a kötél belógására. Ebből is látható, hogy nulla értékű belógást x csak végtelen nagy feszítő erő hozhat létre. Ez nem lehetséges, s így belógás min-dig lesz. Ha a felfuggesztési pontok nem esnek egy vízh, szintes egyenesbe (4.1 00. ábra), akkor a következő x képpen számolhatunk: Mivel A és B is a parabola pontja, írhatjuk, hogy
4.100. ábra
qa 2 h=1 2KH '
qb 2 h=2 2KH '
l=a+b.
(4.12)
A parabolaív hosszát is meghatározhatjuk. A 4.1 Ol. ábra alapján felírhatjuk, hogy:
dx 4.101. ábra
2
ds=dx~1+(~) .
349
4. 7. Jvfozgékony szerkezetek
Ezzel az ívhossz pl. az origó és a B felfuggesztési pont között:
Az y-ra kapott összefuggés (4.11) deriváltjának abehelyettesítése után:
Ezt a binomiális sorral felírva:
(4.13)
De sígy
(4.14) Hasonlóképpen kapjuk az ívhosszat az AC szakaszra: . SA-
~
2
(hl ) J 5 -;; +...... 4
2 ( -;; ) - 2 a [ 1+3
(4.15)
Az a és b értékei a (4. 12) szerint számíthaták
Meg kell jegyezni, hogy a gyakorlatban általában a h vagy a h arány a b 0,25-nél nem nagyobb, s így elegendő e sorok első két tagjával számolni. A teljes hossz:
(4.16)
350
4. S'zerkezetek statikája
Természetesen a szimmetrikus elhelyezkedésű kötél hosszát IS a fentiek szennt számíthatjuk. Az eddigi összefüggések tehát arra az esetre érvényesek, amikor a kötélre a vízszintes mentén egyenletesen megoszló, függőleges irányú terhelés hat. Fontos kérdés azonban az, hogy a fentiek mennyiben különböznek attól, ha a kötél belógása kicsi és a terhelését az önsúlya jelenti? Erre a következőkben kapjuk meg a választ. Nézzük ez esetben is a kötél alakjának egyenletét! Legyen a kötél egységnyi hosszára jutó önsúly q0 , amelyik állandó, tekintve, hogy a hossza mentén azonos vastagságú, sűrűségű kötelet tételezünk fel (4.102.ábra).
y.
y.
. KH Illi
x
!
i
Ci 1...
x
b.
t
.
a.
D(x~y~
s
l
i
....1
yt --
x
F,.=q.,s
4.102. ábra
Milyen nagyságú most a kivágott kötélrész (CD szakasz) terhelése?
(4.17)
Ez:
A 4.1 03. ábra alapján a kötél alakja és az erőkomponensek közötti arányosK ságok alapján írhatjuk, hogy: r'---:=
d1; F tg
-·
dx -1.103. ábra
Ha a vizsgált kötéldarab súlyerejének nagyságát meghatározó egyenletet, (4.17)-et helyettesítjük az arányosságat kifejező egyenletbe, kapjuk, hogy:
351
4. 7. lvlozgékony szerkezetek
dy dx
Ez az egyenlet tartalmazza y deriváltját és integrálját is. A gyök alatti kifejezésben
szereplő
dy -et, y' -t, még inkább annak négyzetét dx az l mellett elhanyagolhatónak tekinthetjük akkor, ha a kötél belógása nem nagy. Valóban kis belógás esetén a kötélhez húzott legmeredekebb érintő is nagyon kis
hajlásszögű. Így az egyenlet a y=
Cfofxdx
dy = CfoX alakot veszi fel. dx KH
= CfoX2 +C.
KH
2KH
Az x = O helyen az y = O határfeltételből C zérus CfoX
értékűre
adódik, am1vel
2
y= ?K . -
Ebből
(4.18)
H
Ez ugyanaz a parabolaegyenlet, mmt ami a vízszmtes mentén egyenletesen megoszló terhelés esetén érvényes. Tehát a feltett kérdésre a válasz: ha a maximális belógás kicsi, akkor az önsúly terhelés a vízszintes mentén, egyenletesen megoszlónak tekinthető. Ezen összefiiggés használhatóságáról mindig a konkrét feladat ismeretében kell döntenünk A következőkben azt vizsgáljuk, hogy milyen az önsúllyal terhelt kötél alakját leíró pontos egyenlet. Ezt megismerve lehet maJd elvégezm a nagy belógású kötelekkel kapcsolatos számításokat is. Így majd a példák során összehasonlítást is tudunk tenni a közelítő és a pontosan számított értékek között. Most azonban az előbbiekhez nézzünk példákat és feladatokati 4.27. Példa: A CA gerendát, amelynek tömege, mg =300 kg, a C és a B pontok között kiteszülő kábel tartJa vizszmtes helyzetben (4.1 04. ábra). A kábel össztömege mk =20 kg. További adatok: l= 6 m, H= 2m.
352
4. Szerkezetek statikája
Határozzuk meg a bejelölt helyen a kötélen létrejövő h belógás értékét!
H
F""'
A
l/2 Key .....-~---.,
b.
G"
d.
4.104. ábra
Megoldás: A kötél belógását kismértékűnek feltételezve, a számításnál az előzőekben meghatározott parabolaegyenletek alkalmazhatók. Ehhez ismernünk kell a kötél végein működő erők bejelölt vízszintes komponenseit. Ezek közül Fsx -et az egész szerkezetre vonatkozóan az A ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből lehet számítani (b. ábrarészle t): FBx =480 g N (-7).
Mint tudjuk, ugyanez az erőkomponens lép fel a kötél minden pontjában, tehát Ke vízszintes összetevője is ugyanilyen nagyságú, de ellentétes értelmű.
Ahhoz, hogy a parabola (4.18) egyenletét alkalmazhassuk, ismernünk kell a koordináta-rendszer kezdőpontjának helyét (c. részlet). A C parabolapont koordinátái közötti függvénykapcsolat
353
4. 7. lvfozgékony szerkezetek o
CJoXé Yc=--. 2Kcx
A B parabolapont koordínátáí:
A fenti két
egyenletbőL
CJoXéo CJo ( Xe+ 1)2 --+H= 2Kcx 2Kcx
~
xe
= 47,59644 m
~
Ye
= 7,46238 m.
Most már számítható aD pont magassága (c. ábrarészlet): 2
Yv = CJoXD = 2FBx
)" -20g ( 47,5964+3-
.J4o
= 8,43274 m.
2·480g
20 (A ,-;-;:;g a CB pontokat összekötő egyenes hosszából számított q0 .) -v 40 Az h értékét a 4.1 05. ábra alapján számíthatjuk: h= Y vo- Yv = (7,46238+ 1)-8,43274 = 0,0296 m.
Valóban a belógás értéke kicsi, tehát a feltételezésünk helyes volt. Így a számítás a parabolaegyenlettel elfogadható. A legnagyobb kötélerő r-o-••_3_m___,__3_m ___ a görbe legmeredekebb Xc=41,5964 m Yc-7,4623 m pontján, a B ponton van. Ehhez már csak a B 4.105. ábra
Cl
l
___,~: y"~B,4327
m
Yn.Jic+l
354
pontbeli erő
4. S'zerkezetek statikája fuggőleges összetevőjét
kell kiszámítani (4.104.d. ábrarészlet):
FELADATOK
5m
4.90. Az ábrán rajzoltak szerint l O kg tömegű kötéllel történik a gépkocsi vontatása. A vontatott jármű l OOO N nagyságú vízszintes irányú erő hatására mozdul ki álló helyzetébőL Határozza meg a kötélen ekkor kialakuló, bejelölt h értéket!
F4.90. ábra
4.91. Az AC kötelet a BC !Om 4m F szögemelőn ható, rajzolt F erő ~----------------~~~=-~~ i tartja a vízszintes helyzetben. 'A Milyen nagyságú F erőt kell működtetni a szögemelőn ahl 14m hoz, hogy a kötél belógása l középen l cm legyen? A kötél t tömege: l O kg. i Határozza meg még az A, a B ·l és a C pontokban keletkező kényszererőket is! F4.91. ábra
4.7.2.4. Önsúlyával terhelt, nagy belógású kötél (Láncgörbe) Az előző fejezetben az önsúlyt olyan megoszló terhelésnek tekintettük, amely a vízszmtes mentén egyenletesen oszlik meg. Ezúttal az A és a B pontok között felfuggesztett kötélnek a terhelése szmtén a saját súlya, q0 (N/m), amely az s ívhossz fuggvényében egyenletesen oszlik
355
4. 7. /vlozgékonJ· szerkezetek
meg, de a nagy belógás m1att x függvényében nem (4.106. ábra).
tekmthető
állandónak
,dx ,....
~;
c b.
d.
4.106. ábra
Milyen függvény ÍrJa le az ilyen terhelésü kötél alakját? Vizsgáljuk meg a CD szakasz egyensúlyát! A 4.1 06. ábra b. részietén megrajzoltuk ezt a szakaszt, feltüntettük raJta az egyensúlyt tartó erőket. A terhelő erő nagysága: Fqo = q 0 s. A D pontban keletkező erő
nagysága a (4.9) összefüggés szennt: (4.19)
A legmélyebb ponton keletkező erőt: K H-t, a c. részletnek megfelelően feJezzük ki a "c" hosszúságú kötél súlyereJével: (A c hosszúságú kötél súlyereJe tartJa a raJzolt helyzetben a C'B kötelet.) (4.20)
Ezzel a (4.19) egyenlet: (4.21)
356
4. S'zerkezetek statikája
Ezúttal ts Írjuk tet a D pontban a kötél alakja és a kötélerő összetevŐI közötti arányosságot, majd fejezzük ki ebből dx -et! (b és d. részlet)
K
qc
0 dx=_lLds= K q o c2
.J
+ s2
ds=
c
.Jc z + sz
ds.
Ezek után az x és az s közötti kapcsolatot az alábbi összefuggés adja:
ebből:
x s=c sh-. c
(4 .22)
Milyen kapcsolat van az s és az y között? Erre a választ szintén a 4.106.b. és 4.106.d. ábrák alapján kapjuk. Ugyams dy (Js s s tg
x x x y = Jsh- dx = c ch- = c ch-, x
o
c
l cl
o
c
x y=cch-. c
(4 .23)
Ez az egyenlet az ún. láncgörbét határozza meg. Az ív hosszát számíthatjuk a következőképpen is: Emeljük négyzetre a (4.22)-t! ? ?x =c-?( ch2 -x - l ) =y-?-c2 , ::r? = c-sh-c c
(4.24)
357
4. 7. Mozgékony szerkezetek
Ha ebből az y 2 -et kifejezzük, a (4.21) alapján még a D pontban ébredő kötélerő is meghatározható: (4 .25) A (4 .23) összefuggés alapján felírhatjuk a
közelítő
számításra alkalmas
z2
egyenletet Mint a matematikából ismeretes, kis x értékeknél chz = l+-, 2
mivel esetünkben z = .:_, így c (4 .26)
amely szintén másodfokú parabolának az egyenlete, amely az x = O helyen y =c értékű.
50 2 1-\--t----t----~--t------t 40 ~ ~
K_
A közelítő és a láncgörbe szerinti számítás közötti eltéréseket mutatja a 4.107. ábra. Itt a vízszintes tengelyen
qJ
--------+------------- ------------ ----------- 6,48 lo l l
o
0,2 0,337 0,4
0,6
0,8
h/l
l
4.107. ábra
az h értékei (4.99. áhl
ra), a
fuggőleges
tengelyen, bal oldalon a
jobb oldalon pedig a kétqo l fajta számítási módszer közötti hibaszázalék változása olvasható le. Ez: ~[%]
=
Kmax ,
(Kmaxfqol)táncgörbe- (Kmaxfqol)parabola (Kmax/qol) táncgörbe
358
4. Szerkezetek statikája
E görbék alapján könnyebben dönthetünk arról, hogy melyik számítási módszert választjuk 4. 28. Példa: Az A és B pontok között a 4.1 08. ábrán vázoltak szerint köte-
A~~1=100 ~
,
c
~:;~~s~;ttek A kötél méterenkénti tö-
7h=s;:f Határozzuk meg: a. a kötélerő nagyságának legnagyobb
4.108. ábra
és legkisebb értékét, b. a kötél hosszát.
A számítást végezzük el pontosan és megközelítően! Megoldás: ad a. Mint tudjuk, a legnagyobb kötélerő ep maximális értékénél, a fel:fuggesztési pontoknál adódik. Mivel e pontok egy vízszintes egyenesen helyezkednek el, a szerkezet szimmetrikus. Így az A és B pontokban ébredő erők azonos nagyságúak. y A 4.1 09. ábrán rajzoltuk meg azt a x =200m vázlatot, amely megfelel az előzőekben elvégzett levezetések ábrájának, a 4.1 06. b.nek. Yn A számításokhoz mindenekelőtt szükségünk c van a "c" paraméterre. (Ennek jelentéséről c 0 ._____ _ _ _ __,__---'-l_.x már szóltunk) Ez a (4.23) egyenlet alapján: 11
4.109. ábra
Ebből
200 80+c=cch-. c
a c értéke próbálgatással meghatározható. Ehhez x
célszerű
alkalmazni a
-x
ch x = e +e összefüggést, vagy valamelyik számítógépes programot. 2 Esetünkben a c paraméter: c= 262,345 m. A legnagyobb kötélerő: Kmax
= q0 y 8 =4· 9,81· (262,345 +80)= 13433,62 N.
4. 7. Mozgékony szerkezétek
A legkisebb
359
kötélerő:
KH =q0 c=4·9,81·262,345=10294,42N.
ad b. A CB pontok közötti kötélszakasz hossza:
s8
=~y~- c 2
=
~(262,345 +80Y- 262,345 2
=219, 94 m.
A kötélhossz az AB pontok között:
l= 2s8 =2· 219,94 = 439,88 m. Ha a kötél súlyerejét a vízszintesen egyenletesen megoszló terhelésként ke2
zeljük, akkor a (4.11) szerint az y= qox képlettel számolunk. Az ismeret2KH len most KH, amely q0 x 2 4· 9 81· 200 2 K =-- = ' = 9810N H 2y * 2·80 értéket ad. A legnagyobb kötélerő: Kmax
=~K~ +q0 x~ =~9810 2 +(4·9,81·200?
=12562,93N.
A kötélhossz:
s8
=
200[1
+~(;~0 )']= 221,34 m,
l= 2· 221,34 =442, 67 m. Ha a ch fuggvény közelítésével oldjuk meg a feladatot (4.26) szerint, akkor az alábbiakat nyerjük: x2
YB =c+2c'
2002 80+ c = c+-2c
-7
200 2 c= --=250 m . 160
4. Szerkezetek statikája
360
A legkisebb kötélerő pedig: KH = q0 c =4·9,81· 250= 9810 N.
A legnagyobb
kötélerő:
KA =KB =q0 yB
4·9,81·(80+250)=12949,20N.
A következő táblázatban összefoglaltuk a különböző módszerrel nyert eredményeket. A hiba százalékát a legnagyobb kötélerőkre számítottuk. Módszer
KH [N]
I II III
10294,42 9810 9810
KA= KB
[N]
13433,62 12562,93 12949,20
L\[%]
6,5 3,6
A táblázatban az I-es a pontos számítás, a II-es a vízszintesen megoszló terheléskénti megoldás, a III -as pedig a ch fuggvény közelítése szerinti értékeket jelöli. Megállapítható, hogy a III-as közelítés a kedvezőbb, tekintve, hogy a L\ hibaszázalék ebben az esetben a kisebb. (Az I-es és a II-es közötti eltérést adja a 4.107. ábra is.) 4.29. Példa: A 4. IlO. ábrán vázolt q0 =20 N/m fajlagos saját súlyerejű kábelt a rajzolt oszlop A pontjában elmozdulhatóan, a B csuklóban fixen felfuggesztjük. Az AD feszítőszerkezetet a kötélhez erősítjük azért, hogy az oszlop vízszintes irányú terhelésnek ne legyen kitéve. A feszítéssei a kötél A pontjában vízszintes irányban 6000 N nagyságú erő lép fel. Adatok: l= 200m, b= 30m. Határozzuk meg: a. a kábel belógásának h értékét, b. a legmélyebb pont, a C pont helyzetét a vízszintesen (a), c. a kábel felfuggesztési pontjaiban fellépő erőket! Megoldás: A b. részleten rajzoltuk meg az A pontban az oszlopra ható erőket. Ha A -ban vízszintesen az eredő zérus értékű, akkor a kábelben is a vízszintes komponens értéke: KH = 6000 N. Ebből a c paraméter meghatározható:
4. 7. lvfozgékony szerkezetek
361
c= KH = 6000 =300m. q0 20
6000N
Ka
b. x
a. 4.110. áhra
ad a.
Az A pont helyzetére felírt kötélgörbe egyenletből az a: x -a YA =cch-=cch-=c+h, c c
c+h a=carch-c
(4 .27)
[rnint tudjuk, ch(-x)=chx] A B pontra ugyanez: Ys
l-a c ch--= h+ c+ b , c
a=l-c arch
Az (4.27) és a (4.28)
h+c+b . c
egyenlőségéből:
c arch
h+c+b c+h +carch-- =l, c c
(4 .28)
362
4. ,)'zerkezetek
arc h
h+330 h300+h 2 +arc = -, 300 300 3
amelyből h próbálgatással meghatározható. Az teljesül, mert:
egyenlőség
a h= 5,23 m-nél
23+330 h 300+5,23 2 =-. arch -'----+arc 300 300 3 Tehát
YA = c+h = 300+5,23 = 305,23 m.
ad b. Így
a y A= echc b
A fentieket
~
a =carch
c
= 300arch
305 23 ' =55 94 m. 300 '
l a=200-55,94=144,06m. ellenőrizhetjük:
y B -- c ch l - a -- 300 ch 144' 06 -- _,"3 5,-? 5 m . c 300 Másrészről:
yB =c+h+b=300+5,23+30=335,23m.
Az eltérés 2 cm, ami alig több, mmt fél százalék. ad c. A kötélerők:
KA =q0 yA =20·305,23=6104,6N, KB
q0yB
20· 335,23 = 6704,6 N.
Érdemes megfigyelm a c paraméter jelentését e példában is. Ammt azt már az összefuggések meghatározásánál leszögeztük, a c azt a kötélhosszat jelenti, amelyet a kötél legnagyobb belógásának a függőlegesében - a koor-
4. 7. lVlozgékony szerkezelek
363
--------------------------~--~--------------------------
dmáta-rendszer ordmátáJán -képzeletben a kötélhez csatlakoztatva, az adott kötélgörbe jobb vagy bal oldalát egyensúlyban tartja. A 4.111. ábrán rajzoltuk meg a példánkban szereplő kábel bal oldali részét. A mélyponton a kötélerő: KH =q0 c=20·300=6000N(~), amely a kisméretű
cs1gán átvetett kötél függőleges 1rányán is hat. A kötél A pontjában elhelyezett kis csigán fekvő kötélerő pedig: KA =CfoYA =q0 (h+c)=20·(5,23+300)=6104,6N.
A A Tehát, ha az A és a C pontokon működtetjük e két erőt, azaz az ezeknek x megfelelő hosszúságú köteleket csatolunk a kötélvégekhez, a kábel bal ola dali darabja a példában b. a. megszabott feltételek sze4.111. ábra rintí helyzetben lesz nyugalomban. Természetesen ugyanezek érvényesek a jobb oldali részre 1s. A 4.111.a. ábrán az is látható, hogy a képzeletben a kötélvégekhez függesztett kötéldarabok az x tengelyig érnek le. Ha a közelítő megoldást alkalmazzuk, akkor a (4.26) szerintjárunk el:
a-7
YA =c+-,
2c
De y B -y A
(l-a) y B = C + _,___ 2c
..<___
= b . Tehát: b = _,_(l_-__,a)'-2 2c
es
2
l- a = 200- 55 = 145 m .
ebből
a= 55 m
364
4. ,)'zerkezetek statikája
A kötélerők 552 20·(300+
2·300
J=6101N,
)"] [
l-a ?00-55 K =q y =q y =q c+ ( =20 300+(B O B O B O 2C 2. 300
[
)2] =6701N
A pontos és a közelítő megoldás közötti eltérés alig 5 század százalék, tehát most nem volt érdemes a körülményesebb módszerrel bajlódni.
4.30. Példa: Az A és B pontok között kifeszítjük a 40 N/m fajlagos súlyereJŰ kötelet (4.112. ábra). Határozzuk meg a kötél belógásának két értékét, ha a kötélerő maXImális nagysága mindegyik esetben 500 N! Miért lehetséges két megoldás? Ha a c paraméter jelentésére gondolunk, a választ is megfogalmazhatjuk. A kis belógás nagy feszítést, tehát nagy KH -t Igényel. A kötél azonos fajlagos tömege esetén ekkor a felfuggesztés1 pontokhoz nagy y tartozik, ami a kis belógáshoz viszonyítva nagy értékű c-t, képzeletbeli, az x tengelyig lelógó kötelet jelent. Tehát a fix pontok között kifeszülő kötél rövidebb, mint ha nagy lenne a belógás. Ekkor az A és B helyen ébredő kötélerő fuggőleges összetevői ( Kqo) is kisebbek, mint a nagy belógásnáL Tehát nagy KH és kis Kqo a Jellemző.
b. 4.112. ábra
x
A nagy belógásnál fordított
a helyzet. Mindenesetre létezik a kötélnek két olyan helyzete, amikor a felfuggesztési csuklókban keletkező kötélerők (maximális értékek) azonos nagyságúak, az erők vektorainak végpontjai mindkét esetben egyazon körön helyezkednek el. Ekkor ezen erők komponenseinek négyzetöszszege mindkét helyzetben ugyanak-
365
4. 7. Mozgékony szerkezetek
kora értékű. (4.112. b. ábrarészle t.) Ismert a chx fuggvény közelítő összefuggése (4.26), amivel
Az A pontban
ébredő erő:
Behelyettesítve:
ebből
c értékei: 2C
z
-
_25±.J25 2 -4·2·9 _ . 25C+ 9 - 0, -7 C1,2 4
c1 = 12,13 m;
c2 = 0,37 m
Ezekkel a belógások: YA=~+c1
-7
500 40
~=yA-c1 =--12,13=0,37m
Ellenőrzésképpen helyettesítsünk a ( 4.23)-ba! Ehhezszámítsukki a kötél félhosszait! l. (4.22)
L/2
3
s =c sh-=1213sh--=3 027 m Al l ' l?-, 13 ' ' cl' 3 2 sA?= C sh L/ = 0,37sh-- = 0,37sh8,1. C 0,37 2 7
366
4. ,'J'zerkezetek statikája
Tekintve, hogy sh8, l már több százas értéket adna, látszik, hogy az alkalmazott közelítő megoldás ez esetben nem alkalmazható. Számoljunk tehát pontosan!
előbbiekben
L/2
YA =c2ch--; c2
500 40
innen c, találgatássaL 0,9040 m. Így
L/2 sA2 =c2 sh-c2
0,9040sh
3
0,9040
= 12,468 m.
Ellenönzzük, hogy a kötélhosszak fenti értékeivel számolva kiadódik-e a Kmax =500 N?
A nagyon kis eltérést a számításoknál alkalmazott kerekitések adják, így az eredmény megfelelő. FELADATOK
4.92. Az azonos vízszmtes egyenesen fekvő A és B pontok között 160 m hosszúságú vezetéket feszítenek ki. A legnagyobb belógás értéke 40 m, a vezeték méterenkénti súlyereje: q0 =40 N/m. Határozza meg pontos számítással az A és B pontok közötti vízszintes távolságot, valamint a vezetékben fellépő legnagyobb erőt! A feladatot oldják meg közelítő számítással is!
367
4. 7. lviozgékony szerkezetek
4.93. Az F. 4. 9 3. ábrán rajzolt alakban és méretek szerint helyezkedik el a q0 súlyerejű kötél. Ennek jobb oldali részét egy elhanyagolható sugarú csigake15 m -~ réken fektetik át, amelyen a G = 400 N súlyerejű tömeg B fu gg. Határozza meg pontos számítással a kötél hosszát. Számítsa ki a fenti értéket F.4.93. ábra közelítő módszerrel is! A BD kötélszakasz tömege zérus. 4.94. A 80 m hosszú kötelet az ábrán rajzolt módon helyezzük az B súrlódásmentes csigára. A kötél másik végét az A pontban rögzítjük. Határozza meg a h belógás két értéke közül a kisebbet!
r-
25m
F.4.94. ábra
4.95. Az ábrán megrajzolt kötél A végén az érintő vízszintes irányú. Az ezen működő KA = 3 O N nagyságú erő és a kötél B végén lévő, szintén vízszintes irányú KB erő tartják egyensúlyban a kötelet a vázlat szerinti alakban. A B helyen alkalmazott csiga súrlódás nélküli és az átmérője nagyon kicsi. A kötél fajlagos tömege 0,59 kg/m. Határozza meg az a értékét, a kötél AB hosszát, valamint a KB nagyságát! F.4.95. ábra
:1
5. VALÓSÁGOS SZERKEZETEK MODELLEZÉSE
A tudomány - mint a tankönyv elején hangsúlyoztuk - mindig kiragadja a valóságnak a vizsgálat szempontjából lényegesnek tűnő részeit és a valóságot leegyszerűsítve modellt alkot. Ezt a modellt vizsgálja, elemzi és az így kapott eredményeket illeszti vissza a valóságba. Bármilyen pontos a vizsgálat -az eddigiekben ezt már láthattuk-, az mindig csak valamilyen közelítése a valóságnak. A továbbiakban a valóságos szerkezeteknek az eddig megfogalmazott modelljeinél pontosabb közelítését kívánjuk elérni. Ez nem azt jelenti, hogy az eddigi vizsgálataink nem használhatók, de bizonyos esetekben nem megengedhető pontatlanságot eredményeznek. Egyrészt a test énntkezésénél az eddigiekben mmdig sima felületeket tételeztünk fel. Korábbi tanulmányamkból tudjuk, hogy a súrlódás nélkül nem "működne" a világ, így ezt is meg kell vizsgálni. Másrészt a rudakat csak középvonalukkal jellemeztük, keresztmetszetük 1s létezik, sőt egyéb jellemzőiket is figyelembe kell venm a továbbiakban. Végül a szerkezeteinket általában csak néhány rúddal modelleztük, de nem vizsgáltuk, hogy milyen céllal és hogyan lehet a valóságos, kiterjedéssei rendelkező, sokszor egyáltalán nem rúd alakú testeket modellezni úgy, hogy az eddig bemutatott vizsgálatokat végrehajthassuk raJtuk. Ezekkel foglalkozunk ebben a fejezetben.
5.1. Két merev (szilárd) test kölcsönhatása (súrlódás) A támasztásnak nevezett kényszerek esetén 1deáhs, azaz tökéletesen felületeket tételeztünk fel és megállapítottuk, hogy a kényszererő az énntkező felületek közös énntősíkjára merőlegesen a támasztás1 pontban lép fel. A valóságban azonban a támasztás sohasem pontszerű, hanem véges és általában görbült felületen JÖn létre. Talajra helyezett test esetén ezt közvetlenül érzékelhetjük (5.1. ábra). Ugyanez a helyzet alaplemezre helyezett gépnél IS, vagy a csapágyban nyugvó tengelynéL Hasonlóan érvés1ma
énntkező
5. Valóságos szerkezetek modellezése
370
nyesek megállapításaink merev pálya (sín) és kerék vagy hengergörgő és csapágygyűrű között, bár ebben az esetben az érintkezési felület sokkal kisebb az érintkező testek kiterjedéséhez képest. Az érintősík, az eredő helye és az érintkezési felület kijelölése igen gyakran becsléssel történik. A becslés mértéke annál jobb, minél kisebb a felfekvési felület talaj talaj és a felület alakjaminél jobban megközelíti n , e l y a síkot. Sokszor a k ényszererő b~elyét ~ak'r 1 \......_/ 1 a tervezés és kivite ezés során Iztosítjá . csapágy Így például a görgők - mint igen keményre alaplemez hőkezelt, edzett hengerek - az ugyancsak görgőscsapágy gyűrűjén többékemény hengergörgő kevésbé jól meghatározott felfekvést való~ ~ sítanak meg. sín csapágygyűrű A felsorolt példákban arra mutattunk rá, hogy nem mindig lehet egyértelműen 5.1. ábra meghatározni a valóságos támasztásoknál -még sima érintkezési felületet feltételezve sem -a fellépő erők jellemzőit, nagyságát, irányát, értelmét, támadáspontját Meg kell gondolni, hogy az érintkezési felületek mentén fellépő megoszló erőrendszer eredőjének hol lehet a támadáspontja és milyen az erő iránya.
1
5.1.1. COULOMB-FÉLE SÚRLÓDÁS Tűzzük
ki célul, hogy a támasztások jobb modelljét hozzuk létre, amely a valósághoz közelebb esik. Ezt arra a tapasztalatra építjük, hogy a támasztó felületek nemcsak a normális irányában képesek támasztó hatást kifejteni, hanem az érintő irányában is, vagyis a két hatás eredőjeként a támasztás valamilyen a normálistól eltérő irányú kényszererőt tud megvalósítani. Az érintő síkjába eső támasztó hatást azzal lehet magyarázni, hogy a testek felülete többé-kevésbé érdes, még a legjobb megmunkálás sem tudja azt tökéletesen eltüntetni. Ezért az érintő irányába való elmozdulásnak ellene szegülnek az érintkező felületek egymásba kapcsolódó egyenetlenségei. Röviden azt lehet mondani, hogy a két test között csúszó súrlódás lép fel. Vizsgálataink csak a szilárd testekre vonatkoznak, így csupán szilárd testek között fellépő súrlódással foglalkozunk a továbbiakban.
5. J. Két merev test kölcsönhatása
371
Első
lépésben az erő irányával foglalkozunk és tegyük fel, hogy az érintkezés igen kis felületen történik, emiatt jó közelítéssel a test többi méretéhez képest pontszerűnek tekinthetjük. Ekkor az itt fellépő kényszererőt koncentrált erőként kezelhetjük n Az 5. 2. ábrán feltüntettük az érintkező testeket FK támasztott test és az érintkezési sík normálisát. A fentiek szerint - a tapasztalattal egyezően - az érintkezési pontban a e támasztott testre nézve a normálistól eltérő irányú FK kényszererő ébredhet. A hatás-ellenhatás törvénye alapján ezzel ellentett értelmű lesz viszont a megtámasztott test hatása a támasztott felületre. A kényszererő tehát az alábbi formában írható: 5.2. ábra (5.1) mely összefüggés szerint Fw a kényszererő normális irányú összetevője, Fs pedig az érintőirányú összetevő, az úgynevezett súrlódó erő. Ki kell hangsúlyoznunk, hogy a kényszererő mindig a megtámasztott test felé mutat, azaz nyomó jellegű hatást fejt ki. Ellentétes értelmű, azaz húzó hatást nem tud kifejteni a támasztás, ha tehát az a. egyensúly biztosítására ilyen értelmű erőre volna F szükség, akkor a test elválna a felülettől, azaz nem beszélhetünk egyáltalán megtámasztásról, köl- F 1 csönhatásról. További vizsgálatainknál arra a kérdésre kell választ adni, hogy hol van az FK kényszererő hatásvonala és mekkora a nagysága. Ha az 5. 3. ábrán feltüntetett anyagi pont a rá ható Fi külső erő hatására nyugalomban van a berajzolt érdes felületen, akkor FK irányát egyértelműen meghatározza a l:Fi = F eredő erő hatásvonala. Az egyensúly feltétele értelmében ugyanis az b. FK kényszererő vele ellentett értelmű kell legyen. Ezután már az FN és Fs összetevők is egyszerűen meghatározhatók. Ha az anyagi pont a vízszintes síkban helyezkedik el és rá csupán függőleges erő működik, akkor az egyensúlyi feltételből függőle5.3. ábra ges kényszererőre lehet következtetni. Ilyen eset-
372
5. Valóságos szerkezetek modellezése
ben nmcs szükség a súrlódásra, tehát a kényszererő súrlódási komponense nem 1s lép fel. A bemutatott példákon keresztül érzékelm lehet, hogy az érdes megtámasztás a kényszererőre nézve csak bizonyos meggondolásokkal ad útbaigazítást. Éppen ezért mindig különös gonddal kell a kényszererőt vizsgálni. A csúszó súrlódásra vonatkozó alapvető tudnivalókat a Coulomb-féle törvény foglalja össze, amely kísérleti vizsgálatokra épül. Az érintkező testek között1 kölcsönhatás igen bonyolult (pl. a kenőanyagtól is fugg), ezzel a problémával külön tudományág, a tribológia foglalkozik. Statikai VIzsgálatoknál azonban elegendő a Coulomb-féle egyszerűsített összefuggések használata. Két test pontszerű érintkezésénél fellépő kényszererő támadáspontja az érintkezési pont. A kényszererő felbontható két összetevőre, a felület normálisába eső F N normálerő komponensre és az érintkezési síkba eső F s súrlódási erőkomponensre. Ezek kapcsolatára nyugalom esetén fennáll az Fs :::; f.1ü F N egyenlőtlenség. Itt p 0 csak a két test anyagától és felületmmőségétől fuggő állandó. Törvény: A kényszererő érintősíkba eső Fsés normálirányú FN összetevifi között Coulomb törvénye teremt kapcsolatot: Fs :::;f.lüFN ,::y·
n
A súrlódási erőösszetevő tehát a. nem lehet nagyobb, mint az érintkező felületekre vonatkozó f.lü nyugvásbeli súrlódási tényező és a két felületen fellépő normális erőösszetevő szorzata. A p 0 tényező O mdexe arra utal, hogy a vizsgált test nyugalomban van. b. Fs :::; f.1ü F~v.
(5.2)
Végezzünk el egy gondolati kísérletet! Rajzoljuk fel az egyensúlyi esetben az erőket, ha a külső erő F. (5.4. ábra). Példánkban az egyensúly biztosítására az F erővel közös ha-
1
határeset
5.4. ábra
5.1. Két merev test kölcsönhatása
373
tásvonalú erő szükséges. A kényszererő hatásvonala így ismert, nagysága pedig F. Ábránk is ezt mutatja; mégpedig úgy, hogy az egyensúlyt biztosító FK kényszererő FN és Fs komponenseit is berajzoltuk. Ez utóbbiak között az ábra szerint fennáll az (5.3) Fs =FN tgp összefuggés. Egyúttal a Coulomb-törvény értelmében teljesülnie kell az (5 .4) kifejezésnek is. Növeljük fokozatosan az F erő p hajlásszögét. Egy bizonyos p0 érték elérése után az egyensúly megbomlik. Ezen a p =p0 határon tehát még éppen egyensúly van, ezt meghaladó p > p0 esetén viszont egyensúly nem lehetséges. Az egyensúlyi határhelyzetre is felrajzoltuk a kényszererőt komponenseiveL Az ábra alapján felírható: (5.5) (5.6) Az (5.5) és (5.6)
kifejezésekből
j1{) = tg
Po.
(5.7)
/
Definíció: Azt a Po félnyílású kúp alakú tartományt, amelyben a kényszererő hatásvonala elhelyezkedhet, súrlódási kúpnak nevezzük. A nyugvásbeli súrlódási tényező tehát az úgynevezett súrlódási félkúpszög tangensével egyenlő. Az anyagi pontra működhet F erő az n-hez képest p0 szöggel bármilyen térbeli helyzetben, a megfelelő kényszererő az egyensúlyt biztosítja. Határhelyzetben tehát a kényszererő a normálishoz képest p0 szöggel jellemzett kúp palástjába esik. Ha az összes lehetséges eseteket figyelembe vesszük, akkor azt mondhatjuk, hogy érdes támasztás esetén a kényszererő a p0 félnyílásszögű kúp belsejében, határesetben a kúp palástján helyezkedik el. A sima támasztásnak megfelelő határesethez a kúp tengelye tartozik.
374
5.
szerkezetek modellezése
Altalában az énntkezés két test között nem pontszerü, hanem véges felület mentén törtémk. Éppen ezért ott megoszló erőrendszer lép fel, melyet az 5.5. ábrán érzékeltettünk, beraJzolva néhány helyen a súrlódási kúpot. Minden egyes pontban csak annyit tudunk, hogy a kényszererő a kúpon belül van, de sem nagyságát, sem pedig irányát statikai eszközökkel meghatározni nem tudjuk. Mivel azonban nincs okunk feltenni az irányok különbözőségét, feltételez5.5. ábra zük a továbbiakban, hogy ez a megoszló erőrendszer párhuzamos. Még további egyszerűsítéssel egyetlen erővel, az Imént említett megoszló erőrendszer eredőjével helyettesítjük, amelyet
alakban írunk fel, támadáspontját pedig az énntkező felület valamely pontJában vesszük fel. A tapasztalat fenti meggondolásunkat támasztja alá, ti. az Fs súrlódó erő nem függ a felület kiterJedésétőL Mint már említettük, a súrlódási tényező az érintkező testektől és felületi minőségüktől függ, értékét számítani nem tudjuk, meghatározása kísérleti úton történik. Mivel azonban általában nem állnak rendelkezésre az adott problémának tökéletesen megfelelő mért adatok, a szakirodalomban lévő súrlódási tényezők csak tájékoztatásra szolgálnak. Kényesebb esetben feltétlen helye van mérések elvégzésének Különösen vigyázni kell arra, hogy ha a felületek közé valamely kenőanyag -zsír, olaj -kerül, akkor lényegesen lecsökken a súrlódás a száraz érintkezéshez képest. Sok kenőanyag esetén peacél acélon acél öntött vason, bronzon acél kövön acéljégen öntött vas öntött vason öntött vas műanyagon öntött vas keményfán fém fán fa fán fa kövön bőr fémen bőr fán kő kövön
szárazon 0,14-0 15 o 19 o 45 0,027 0,25-0,15 o 10-0 15 0,30-0,35 0,60 04-0,6 o60 0,3-0,5 0,47 0,5-0,7
ola.iial vízzel 011 010
-
-
o 10-0 05
-
o 1-0 2
vízzel
-
-
0,11 o 16
o 65
-
-
0,16
0,5
-
-
-
0,5
5.1. Két merev test kölcsönhatása
375
d1g teljesen megszűnik a szilárd felületek érintkezése, Ilyenkor a csúszó súrlódás helyébe ún. folyadéksúrlódás lép, amivel itt nem foglalkozunk. Táblázatban összefoglaltuk néhány legfontosabb súrlódási tényező tájékoztató értékét Az első oszlop a száraz felülettel érintkező testekre vonatkozik, a második olajjal és vízzel nedvesített felületekre, a harmadik pedig vizes felületű testekre. Súrlódással kapcsolatos egyensúlyi feladatok az egyensúlyi egyenletek segítségével oldhatók meg. Az érdes támasztást a fentiek alapján tudjuk figyelembe venni. Mivel itt ferde erő is felléphet, hasonló a csuklóhoz. A különbség azonban az, hogy a normálishoz képest csak bizonyos - Po -nál kisebb - ferdeségű erőt tud biztosítani, szemben a csuklóval, amely bármilyen irányú kényszererőt át tud vinni. Éppen ezért mindig fel kell tenni azt a kérdést, hogy biztosítja-e egyáltalán a lehetséges egyensúlyt. Ha igen, akkor az egyensúlyi egyenletek felhasználásával, illetve ezek alapján szerkesztéssel a hiányzó ismeretleneket, kényszererőket meg tudjuk határozni. Különösen fontosak lesznek az egyensúlyi határesetek, amelyeken belül lehet egyensúly, kívül viszont nem. A továbbiakban példákon keresztül mutatjuk be a súrlódásos támasztások vizsgálatának módszerét. 5.1. Példa: Határozzuk meg a vízszintes síkon nyugvó G súlyú testre működő F erőt úgy, hogy a test ne mozduljon el (5.6. ábra). A G és az F erő is a rajz síkjában működik.
Megoldás: Célszerű azonnal az egyensúlyi határhelyzetet vizsgálni. Ez esetben-mint ismeretes- az FK kényszererő a felület normálisához képest Po szöggel hajlik. Mivel a testre G, F és FK, azaz három erő rriűködik, ezek csak úgy lehetnek egyensúlyban, ha közös síkban vannak 5.6. ábra és hatásvonalaik közös pontban metsződ nek, másrészt a vektorháromszög zárt és a vektorok folytonos nyílfolyamot alkotnak, azaz F + FK + G= O. Az előbbi feltételekből azonnal kitűzhetjük, Illetve megraJzolhatjuk az FK erő támadáspontját, ti. G és F hatásvonalamak metszéspontján kell átmennie. Ez egyben azt is jelenti, hogy a két test érint-
5. Valóságos szerkezetek modellezése
376 kező
felületén keletkező megoszló erőrendszer erdőjének támadáspontja az A pontban van (5. 6. ábra). A vektorháromszög záródása viszont megadja F értékét, amely a határhelyzethez tartozó Fmax maximális erőt jelenti. Közbülső F értékek és a hozzá tartozó kényszererő is leolvasható az ábrából. Számítással az alábbiak szerint követhetjük a viszonyokat. Ismét a határhelyzetet tekintve felírjuk az egyensúlyi egyenleteket közös ponton metsződő síkbeli erőkre vonatkozóan. A fuggőleges erők egyensúlyát kifejező vetületi összefuggés
FN =G -Fmax sina.
(5.8)
Majd a vízszintesre nézve
I, F;x =0= Fmax cosa- Fs
Fs
Fmax cos a .
(5.9)
összefuggés megadja a ténylegesen fellépő kényszererő normálirányú összetevőjét, a második pedig az érintősíkba eső összetevőt, azaz azt a szükséges súrlódó erőt, amely az egyensúlyt biztosítja. Mivel határesetről van szó, éppen a maximális súrlódó erővel kell számolni, amely
Az
első
A kérdéses Fmax kiszámítására helyettesítsük be ide az (5.8), (5.9) kifejezéseket Fmax cos a =flo (G- Fmax sin a),
(5.10)
flo Fmax= _ _...;__;'------G. cos a+ flo sina
(5.11)
amiből
5. 2. Példa: Sima falnak támasztott létra a G fuggőleges erő milyen helyzetében lehet nyugalomban, feltéve, hogy a vízszintes támasztás érdes? Az erőket síkbelinek tekintjük vizsgálatainknál (5. 7. ábra). Megoldás: A falon csak normálirányú erő léphet fel, hiszen simának tekintjük, ezzel FA hatásvonalát ki lehet jelölni. Ahol ez metszi a G fuggőleges erő hatásvonalát, ott kell átmennie az FB támasztóerőnek is. Az egyensúlyi
5.1. Két merev test kölcsönhatása
377
határhelyzetben FB hajlásszöge a függőlegeshez képest po. Tegyük fel, hogy ábránk éppen ezt az esetet tünteti fel. Ennek megfelelőerr a B pont, azaz az alsó pont vízszintesen jobbra mozdulna el, ti. azzal ellentétes Fs súrlódó erő hatása az FB támasztóerő hatásvonala ennek megfelelőerr helyezkedik el. A szerkezeti ábrából y tg po = (a -Xo ) l h ,
(5.12)
2
l
azaz 1::-:::::,
xo=a-htgpo=a-hj.lo.
G
(5.13) l
Vagyis az egyensúly x 2 xo értékeknél lehetséges. A kényszererők ebben a határhelyzetben az egyensúlyi összefuggésekből vagy közvetlenül a vektorábrából is számíthatók. A vektorábra alapján
FA = G tgpo = G f-lo,
(5.14)
Fs = G l cospo.
(5.15)
5.3. Példa: Hol helyezkedhet el az 5. 8. ábrán vázolt rúdra ható F erő, amely lejtős érdes felületen támaszkodik meg? Megoldás: A gerendára három erő hat, F, valamint FA és FB - ha az önsúlyt elhanyagoljuk. Ha a támaszkodási felületek tökéletesen sirnák lennének, akkor a kényszererők a támaszkodó felületekre merőlegesek lennének és hatásvonalaik a P pontban
l
x
/'// f///,
FR
2
Fa 2
G
x
5.7. ábra
F
elmozdulási szándék
F
5.8. ábra
378
5.
szerkezetek modellezése
metszödnének. A terhelő erő hatásvonalának tehát ezen a ponton kell átmennie. Érdes támasztási felületek esetén v1szont a kényszererök a Po félnyílású kúpon belül bárhol lehetnek. Az ábránkan bevonalkázott terület pontJal azok, amelyekben a lehetséges kényszererök hatásvonalai metsződhetnek, és ezeken a metszéspontokon kell átmennie az F erő hatásvonalának is. Az F erőt tehát el lehet helyezm a kijelölt x szakaszon bárhol. Ezen kívül a rúd nem lesz egyensúlyban. A két határhelyzetben a terheléshez tartozó támasztóerők egyértelműen meghatározhatók, mint ezt vektorábránk is mutatja az egyik esetben. Ha a teher közbülső helyzetben van, akkor azonban a támasztóerők határozatlanok, hiszen a bevonalkázott területen belül sokféleképpen elképzelhető FA és FB iránya úgy, hogy egy pontban metszödjék az F hatásvonalán. Általában súrlódási feladatoknál ezzel a határozatlansággal kell számolni, csupán a határhelyzetek vizsgálata egyszerűbb, ott ugyanis a súrlódó erőt nem ef:,ryenlötlenség fejezi ki, hanem határozott értéke van. (Vö. a 2. 7. Példával) 5.4. Példa: Hengeres test az 5. 9. ábrán vázolt módon azonos mmőségű és anyagú érdes felületeken támaszkodik meg. Mekkora lehet az M nyomaték legnagyobb értéke, hogy a henger ne mozFB duljon meg? '777~~~.,...,0-Megoldás: A megcsúszás határhelyFAS x zetében a vízszintes érintkezési pont balra, lFAN a fuggőleges érintkezési pont lefelé "szándékozik" elmozdulni, tehát az A és B 5.9. ábra helyen fellépő kényszererők pályairányú összetevői ezzel ellentétes értelműek lesznek. Elmozdulás határhelyzetében ezekre nézve érvényesek
(5.16)
összefüggések. Most egyszerűbb a megoldás számítással. A nyugalom feltétea vetületi egyenletek:
léből
(5.17)
379
5.1. Két merev test kölcsönhatása
(5.18) Ezekbe (5.16) -ot helyettesítve, majd rendezve
E két et:,ryenletből számíthaték a kényszererő normálirányú vetületei és
F!JN=
,uo G
(5.19)
l+,u~
Nyomatéki egyensúlyi egyenletet felírva az O ponton
átmenő
tengelyre:
L,Mio =O =R FAJ,·_,_ RFBs -M = (5 .20) Ebből
a keresett nyomaték:
FBN) =,uo R G l+ fl~
.
(5 .21)
l+ #Ö
Határozzuk megmost már számszerűen is Mm.'>X értékét a következő adatokkal: G= 5000 N, R= 0,8 m és j.lo = 0,2.
MtruL.v.. = 0,2 · 0,8 · 5000
1+0,2 = 923,08 Nm. l +0,2 2
Vö. a 4.1. Példával. 5. 5. Példa: Helyezkedjék el a vízszmtes érdes síkon a G súlyú test. Vizsgáljuk meg stabilitását F erő hatására (5.10. ábra). Megoldás: Biztonság elmozdulással szemben. Az elmozdulás határhelyzetében ábránk feltünteti az egyensúlyt kifejező vektorábrát (5.10.a. ábra). Innen leolvasható Fmax értéke. Biztonságnak nevezzük ennek és az alkalmazott Ferőnek a hányadosát, amelynek értéke tehát:
5. Valóságos szerkezetek modellezése
380
FN =G, Fsmax =flo G b= Fmax
Fmax,
l F =flo GIF.
(5 .22)
Biztonság felbillenéssei szemben: A felbillenés jobbra mutató erő hatására az A pont körül történne (5.JO.b. ábra). A felbillenés határán a hasáb csak itt érintkezik a támasztó felülettel, tehát az FK kényszererő hatásvonala ezen a ponton megy át. Az ide felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből számíthatjuk ki a felbillenést okozó P;ax erőt: "\."' M.za = O = -h p"max + G k ~ a. az elmozdulás határa k
melyből
p* =G
max
F"
A felbillenéssei szembeni biztonságot hasonlóan értelmezzük, rnint az elmozdulássa! szembeni biztonságot: G k
*
Po
!5_ h
J3 =Fmax I F =p- -h .
Po
(5 .23)
G
Ha Pmax> Pn:ax akkor viszont a test felbillen, mielőtt megcsúszna. A fentieket összevetve b < J3 esetén elmozdul a test, ha viszont a b > J3 feltétel teljesül, akkor felbillen. Geometriai adatokkal (5.23) és
· b. a billenés határa
(5 .24)-ből ha f.1o h lenkező F'K
5.10. ábra
esetben felbillen.
5. 6. Példa: Mekkora sugárirányú erővel kell nyomni a féktuskót, hogy az 5.1 J. ábrán vázolt tengely elfordutását megakadályozza?
381
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Megoldás: Határhelyzetben a féktuskó és a fékdob között fellépő FB kényszererő érintőirányú összetevője az Fs = fJ.o F]v súrlódó erő biztosítja a fékezést. A dob forgástengelyére felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet szennt: ~M=O=Gr-FsR ~ lQ '
(5 .24)
azaz
Fs
=
G r R
=
fJ.o FN,
(5 .25)
ebből
l
r
flo
R
FN= - G - . A csapon fellépő tók meg:
(5 .26) 5.11. ábra
kényszererő összetevői
a két vetületi
egyenletből
határozha-
(5 .27) (5 .28)
Fs viszont a fékkar egyensúlyából határozható meg
IMic =O =RF:v- h Fs- F(R+b), - F a- floh F s-
,tt0(R+b).
(5.29) (5.30)
5. 7. Példa: Tengelyen elhelyezkedő szíjtárcsát vízszmtesen eltolunk Vizsgáljuk meg az erőviszonyokat ha a tárcsa önsúlyát elhanyagoljuk (5.12. ábra).
Megoldás: Legyen az F eltoló erő a tárcsa szimmetnasíkjában, amely egyúttal a rajz síkja is. A laza, mozgó illesztésű felületeknél lévő hézag miatt az agy az átlósan elhelyezkedő A és B pontokban felfekszik a tengelyen, míg a másik átló pontjain nem lesz énntkezés, így erő sem lép fel. Ez az agy szempontjából az A és B helyen való megtámasztást jelent. Az FA FB kény-
382
szerkezetek modellezése
5.
szererők,
valammt az F erő síkbeh erő rendszert alkotnak, melynek egyensúlyát a folytonos nyílfolyamú zárt vektorábra bizonyítja. A jobbra való elmozdulási szándékkal ellentétes értelműek az FAS illetve FBs súrlódási erőösszetevők, ennek megfelelően balra fog eltérni az FA és FB kényszererők hatásvonala a normálishoz viszonyítva. Határhelyzetet vizsgálva a kényszererök rendre Po félnyílású forgáskúp alkotójának a rajz síkjába eső metszetén helyezkednek el. A kényszererő hatásvonala tehát csak a bevonalkázott tartományban metsződhet, azaz az egyensúly szükséges feltétele szerint F erő hatásvonalának a P ponton kell átmennie. Ha tehát a vízszintes F erő a P pontban vagy efölött van, akkor a tár5.12. ábra csát nem tudja eltolni, mivel egyensúlyt tart vele a két kényszererő, FA és FB vízszmtes összetevője. Ezt a jelenséget önzárásnak nevezzük. Amennyiben az F erő hatásvonala a P pont alatt helyezkedik el, akkor nem lehet egyensúlyi állapotot elérni, azaz akármilyen kis F erővel is eltolható az agy a tengelyen. A P pont kritikus ko helyzetét az ábra alapján meghatározhatjuk:
M w =0=-DFBs
L FBIV - ( k o - D) F' ' 2
(5 .31)
(5 .32)
"""F ~ zy =0
-riJN +
}Bs = rAs = F/2
FAJv
(5 .33)
5.1. Két merev test kölcsönhatása
383
és l
ko=2
L
(5.34)
flo
5.8. Példa: Mekkora erő szükséges ahhoz, hogy az érdes vízszintes síkon elhelyezett testet elindítsuk (5.13. ábra)? Megoldás: A testre működő ismeit G és a keresett F erőn kívül az A csuklóban fellép FA és a támasztó felületen az FK kényszererő. FK az elmozdulás határhelyzetében p0 szöggel tér el a normálistól úgy, hogy érintőirányú yA B összetevője, Fs az elmozdulási szándékkal ellentétes ! - hatást fejt ki. Feltételezzük h r· F egyébként, hogy az összes ~12 erő azonos síkban, a rajz J_.,....,."..,p,7-r.,...,.... síkjában működik. Most az / egész szerkezetet egyetlen merev testként kezelve nem tudjuk meghatározni a kényszererőket Válasszuk 5.13. ábra ezért el a hasábot, az összekötő rudat és a mozgató kart. A terheletlen rúd csak rúdirányú erőt képes átvinni, az egyensúlyt egyelőre ismeretlen F 8 , -F8 erők biztosítják. A hatás - ellenhatás törvénye alapján ezzel ellentett értelmű erők terhelik a hasábot illetve a kart, melyeket az ábrába be is rajzoltunk A mozgató karra működő összes erő ismeretlen, így az erre vonatkozó egyensúlyi egyenletekből nem tudjuk a keresett erőket kiszámítani. Tehát a hasáb egyensúlyának vizsgálatából kell kiindulni. A hasáb egyensúlyát biztosító erők rendre G, FK és -F8 . A kényszererő hatásvonalának egyensúlyesetén át kell mennie a G és -F8 hatásvonalainak metszéspontján. Ennek megfelelően adódik FK támadáspontja az érintkezési felületen, ha az erők közös metszéspontjából p 0 szög alatt hajló egyenest rajzolunk A koordinátatengelyeknek megfelelő két vetületi egyenletet írhatunk fel: I~x=O=-Fs+Fs cosa,
(5 .35) (5.36)
384
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az elmozdulás határhelyzetére való tekintettel azonban (5 .37) A fenti egyenletekből kifejezhetjük az F N normálerőt, majd ezt behelyettesítve Fs kifejezésébe, végül az (5.35) egyenleibe helyettesítve a
- Jlo (G + FB sina)+ FB cosa
=
O
(5 .38)
összefüggést kapjuk. Innen (5 .39) A rúderő így már rendelkezésünkre áll, a mozgató kar egyensúlya is vizsgálható. Felírva az A ponton átmenő tengelyre a nyomatéki egyenletet L M;a = O= - Fh + a F B sina + 2 h F B cos a,
a keresett F
(5 .40)
erő
F = F asina+ 2hcosa B
h
(5 .41)
A két vetületi egyenlet pedig
L~x =O =FAx + F -FB cosa,
(5 .42)
FAx= FB cosa-F
(5 .43)
mnen és (5 .44)
tehát FAy = -FB sina.
(5 .45)
5.9. Példa: Az ábrán vázolt emelő szerkezet milyenft szögű láncállásnál képes emelni a G súlyú, 2a szélességű testet? Az egyes részekre műkö dő erőket is határozzuk meg (5.14.a. ábra)!
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Megoldás: Az egyensúlyi helyzetben a horgon keresztül a szerkezetre működő erő csak fuggőleges lehet, éspedig az egész szerkezet egyensúlya alapján FA = G. Az ábra szerinti elrendezésben feltételezhetjük, hogy mind a láncok, mmd a tartórudak középsíkja a raJz síkjában van, azaz a szerkezetet a középvonalaival helyettesített síkban működő erőkkel terhelve képzelhetjük el. A fogókkal az emelést a súrlódás biztosítja. Ennek megfelelően a teher egyensúlyát vizsgáljuk meg először (5.14.b. ábra). Tegyük fel, hogy a teher az elmozdulás határán van, azaz a fogókon átadódó FB és Fc belső kényszererők az érintkezési felület normálisához képest Po szöggel térnek el, úgy hogy érintőirányú összetevőik, vagyis a súrlódó erők a teher lefelé való elmozdulását megakadályozzák. A G, FB és Fc erők egyensúlyát a vektorábra foglalja magában, melyből a fogó
385
a.
c
b.
c. c
d.
5.14. ábra erőkre
FB =
fennáll:
G
. =Fc. 2smJ.t
(5 .46)
Az emelőkarok szimmetrikusak, elég tehát az egyik egyensúlyát elemezni a rá ható -FB, KB és FD erőknek megfelelően (5.14.c. ábra). Az is-
386
5. Valóságos szerkezetek modellezése
mert -FB erőn kívül egyelőre annyit tudunk, hogy Fo átmegy a D csuklón, KB pedig kötélirányú ugyan, de nem ismert a J3 szög. Így három erő egyensúlyát nem tudjuk közvetlenül érvényesíteni a megoldásban, ui. nem ismerjük két erő hatásvonalának a metszéspontját. Szerencsére azonban a két fogókar szimmetrikus, azaz a D-ben a B karra működő csuklóerő ugyanolyan helyzetű kell legyen, mint a C karra működő ellentett -F0 erő. Ez pedig azt jelenti, hogy az Fo erő hatásvonala csak vízszintes lehet, különben az említett szimmetria nem teljesedne. Így ismerve Fo irányát, ahol ez metszi -FB hatásvonalát, ott kell átmennie KB erő hatásvonalának is. Ezzel a kötél állását meghatároztak, a szerkezetábrából b (5 .47) tg Po =flo = - - , a+L illetve b L = - -a, (5 .48)
Jlo így c c tgj3 ~--=flo---L-d b- fl 0 (a +d)
(5 .49)
Végül a láncokat tartó gyűrű egyensúlyát is feltüntettük (5.14.d. ábra). Ha a J3 szög a meghatározott értéknél nagyobb volna, a teher nem emelhető. Ekkor ugyanis a KB erő metszéspontja az F 0 hatásvonalán balra tolódna el. Ahhoz, hogy itt menjen át FB erő hatásvonala is, az FB erőnek p0 szögnél nagyobb szöggel kellene felfelé eltérni az érintkezési normálistóL Ez azonban lehetetlen, mert ilyen kényszererő nem ébredhet. Ha viszont a J3 szög kisebb, akkor az FB iránya a p0 kúpon belül van, tehát lehetséges az egyensúly. Egyedül az a hátrány, hogy ilyenkor a KB, Ke kötélerők megnőnek, azaz a láncokjobban igénybe vannak véve. A műszaki gyakorlatban használt bonyolult erőátviteli eszközök, gépek felépítésében sok helyen megtaláljuk azokat az egyszerű elemeket, mint a lejtő, ék, csavar, emelő, csiga, és sokszor ezek hozzák létre a kényszerkapcsolatot a szerkezetet felépítő különböző testek között. Ezeknél is érdes felülettel kell számolnunk a valóságban, azaz figyelembe kell venni a súrlódás szerepét. Vizsgálatinkban a statikán belül csupán az egyensúlyi állapotot tanulmányozzuk, éspedig a gép szempontjából igen fontos határhelyzetben, az
5.1. Két merev tesi kölcsönhatása
387
egyensúly határán. Így lehet ugyanis arra válaszolm, hogy meddig van a szerkezet nyugalomban, llletve míkor kezdődhet a mozgás.
5. l. l. l.
Lejtő
/Definíció: Egy vízszintes és egy vele metsződő ferde síkot, melyek egyik kite~jedése végtelen és az általuk bezárt szög állandó hegyesszög, röviden lejtőnek nevezzük. Kényszererő csak a lejtő ferde felületén jöhet létre. A vízszinteshez képest a szög alatt G hajló érdes síklapon helyezkedjék el súlyos test (5.15. ábra). Egyensúly esetén a rá ható G és FK kényszererő hatásvonala meg kell egyezzen és ellentett értelműeknek kelllenniük Ez azt jelenti, hogy az FK kényszererő beleesik G 5.15. ábra függőlegesébe, vektoraik pedig zárt vektorábrát alkotnak. Így megállapítottuk azt, hogy mi kell az egyensúly teljesítéséhez. Második lépésben vizsgáljuk meg, hogy lehetségesek-e az előbbi ek, azaz valóban lehetséges-e az egyensúly. Mível az elmozdulási szándék lefelé irányul, az FK kényszererő lejtőirányú összetevője ezzel ellentett értelmű, tehát a kényszererő valóban a normálishoz képest jobbra hajlik. Szélső helyzetben a hajlásszög {Jo, a súrlódási szög. Ha ez akkora, hogy a Po mezőn átmegy G hatásvonala, akkor az egyensúly lehetséges, ti. ébredhet G hatásvonalába eső kényszererő. Határhelyzetben a kúpalkotó esik egybe G függő legeséveL Ábránk szerint ez esetben (5.50) a={Jo, azaz az egyensúlyi határhelyzetben a lejtő szöge megegyezik a súrlódás szögével. Ilyenkor viszont a kényszererő két vetülete a vektorábra alapján (5.51) Ha a lejtő hajlásszögére teljesül az a :::;; Po feltétel, tehát ilyen esetekben a fentiek értelmében bármely G súlyú test nyugalomban marad, akkor a lejtőt önzárának nevezzük.
388
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az elmondottak alapján egyszerű eszköz áll rendelkezésünkre a súrlódási tényező meghatározására. A vizsgált két anyagból az egyiket lejtőnek képezzük ki, a másikból alkalmas hasábot készítünk és a lejtőre helyezzük. Óvatosan addig növeljük a lejtő hajlásszögét, amíg a hasáb meg nem csúszik. Ehhez tartozó a szög lesz a p0 súrlódási félkúpszög. Ha a testre önsúlyán kívül még egy vízszintes erő is hat, akkor részletesebb vizsgálattal lehet csak eldönteni az egyensúlyi határhelyzeteket. Ekkor ugyanis elképzelhető mind a felfelé, mind a lefelé való elmozdulás határhelyzete (5.16. a. ábra). Tegyük fel, hogy a felfelé mozgás határán van a test. Ekkor az FK 1 kényszererő az elmozdulási szándékkal ellentétesen lefelé hajlik a normálishoz képest po szöggel. Mivel FKI hatásvonalának egyensúly esetén F és G metszéspontján kell átmennie, célszerű ebben a pontban felrajzolni a súrlódási kúpot. Vektorábránk G, FK1 és Fmax egyensúlyát fejezi ki (5.16.b. ábra). Fmax, azaz a vízszintesen alkalmazható erő legnagyobb értéke léptékhelyes ábrából visszamérhető, vagy számítható: Fmax
=G tg (a+ Po),
ha
a + Po < re/2.
A lefelé mozgás határese- a. tében FK2 kényszererő a kúp másik alkotójába esik. Fmin a vektorábrából: Fmin
=G tg (a- Po) (5.52)
az a minimális erő, amelyet alkalmazni kell, hogy a test c. le ne csússzon az érdes lejtőn.
Ha a lejtő hajlásszögére fennáll az a = p0, akkor a lefelé mozgás határán Fmin = = O, azaz nem szükséges tartani a testet (5.16. c. ábra). Ez teljes mértékben összevág előző eredmé-
d. n
a.
5.16. ábra
5.1. J.:ét merev test kölcsönhatása
389
nyünkkel, ti. Ilyen esetben a lejtő önzáró. Ha végül a Po, akkor Frr:Un O, arm azt a. jelenti, hogy a lefelé mozgás határán ellenkező előjelű lefelé mutató erőt kell alkalmazm a testre (5.16.d. ábra). Az eddigiek alapján bemutatjuk lejtőre helyezett test egyensúlyának vizsgálatát tetszőleges Irányú erő hatására is .(5.17. ábra). A megoldást számítással mutatjuk be - szemben az eddigi szerkesztéssel vagy a szerkesztési vázlat alapján b. készített számítássaL a Mint korábban, itt IS vegyük fel az xy ko ordínáta-rendszert és vizsgáljuk a felfelé mozgás határhelyzetét Az ennek megfelelő FKI kényszererőt összetevőivel helyettesítjük, az F s1 és FN1 erőkkeL Először felírjuk a lejtő normálisában az egyensúlyi egyenletet:
5.17. ábra ebből
a normális
FN Majd felírva
=
lejtő
erő
G cos a+ F sin (a - rp) . irányában az összefuggést tetszőleges F-re:
IF;x =O =F cos(a- rp) -G sma+ Fs1 amiből
(5.54)
(5.55)
VISZOnt
Ji'sl = G sma - F cos (a - rp) .
(5.56)
Végül az egyensúlyi határhelyzetre való tekmtettel
(5.57)
390
5. Valóságos szerkezetek modellezése
amiből
a keresett F erőt számíthatjuk. Lefelé mozdulás határesetére hasonlóan meghatározható F erő, VIszont F S2 most a lejtőn felfelé mutató értelmű lesz. Ha F < O, akkor a lejtő önzáLefelé mozgás határa: a. ró, különben nem. x 5.1 O. Példa: Érdes lejtőn F erő tartja nyugalomban a lejtőre csúszótalpakkal támaszkodó G súlyú testet. Vizsgáljuk meg a nyugalmi helyzet biztonságát, feltéve, hogy a lejtŐ nem önzáró. b. Megoldás: Mivel a PJ, a test lefelé mozdulna el, ha nem működne az F erő. Ha viszont az erő egy bizonyos határt elér, felfelé mozdulhat el. E két határállapotot m külön tisztázni kell. Lefelé mozgás: Jelentse Fmin azt a legkisebb erőt, amely a lecsú5.18. ábra szást megakadályozza (5.18.a. ábra). Ebben a határhelyzetben az ábrán feltüntetett xy koordináta-rendszerben az egyensúlyi egyenletek:
(5.58) ahonnan (5.59) így
FAso-r- f!Jso = JloFAN -r- flo FBN =flo (G cosa + Fmin sina),
(5.60)
másrészt F~nin
cosa -G sma +flo G cosa +floFmin sma =O,
(5.61)
mnen
Fmin =G sma- Jlo cos a cosa+ jt0 sina
(5.62)
5. J. Két merev test kölcsönhatása
391
A biztonság lefelé csúszással szemben b1e =
F ---p-
(5.63)
mm Ha nem működne F erő, akkor ábránk szennt a test esetleg felbillenne az A ponton átmenő tengely körül. Ezért egy bizonyos F;in kell ahhoz, hogy ez éppen ne következzen be. Erre a határállapotra jellemző az A ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet (5.64) azaz
F* =G!__
(5.65)
h'
mm
vagyis a felbillenéssei szembeni biztonság
FIF*
mm
=
F !!_
(5.66)
G k'
(5.67) Ha
}<-.min
F;in
akkor a test
előbb
felbillen,
ha
Fmin
F;in
akkor a test
előbb
lecsúszik.
Felfelé mozgás: Frna.'é jelentse a felfelé mozgás határhelyzetéhez tartozó erőt (5.18.b. ábra). Az előző gondolatmenetet követve határozható meg Fma.v.. értéke
F
max
=G sma+ flo cosa . cosa- ft 0 sma
(5.71)
A biztonság a felfelé való elmozdulással szemben
F
brd= - - .
r-:nax
r::m<.
(5.72)
értékénél VISZOnt a test felbillenhet a B ponton átmenő tengely körül. Ebben a határállapotban felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből v1szont
392
5. VaLósagas szerkezetek modellezése
p*mnx
(5.73)
azaz
Fm G l
Ha ha
F~ax Fmax > F~,rx
Fmax
(5.74)
akkor a test előbb felcsúszik, akkor a test
előbb
felbillen.
5.1.1.2. Ék
/Definíció: A mindkét irányban véges kiterjedésii, két egymással párhuzamos, valamint két egymást metsző sik által körülhatárolt testet röviden éknek nevezzük. Az ék lejtős felületeinek hajlásszöge állandó, kényszererő a párhuzamos felületeken nem jöhet létre.
Az 5.19. ábrán nem sz1mmetrikus kialakítású éket tüntettünk fel, a rá ható erők a raJz síkjával megegyező szimmetriasíkban működnek, VIzsgálatamknál is ezzel a feltételezéssel élünk. A külső F erő és a két ferde felületen megoszló kényszererők, FK1és FK2 eredője tehát a rajz síkjában van. Keressük az egyensúlyt a lefelé mozgás határán, azzal az Fmax erővel terhelve az éket, amelynél nagyobbat működtetve már lefelé mozdul el az ék, miközben a két ferde felületet oldalirányban szétfeszíti. Az ékre ható Fmax, F'K1 és Fb erők egyensúlyát a közös metszéspont és a folytonos nyílfolyamú zárt vektorábra fejezi ki. Ábránkon ennek megfelelőerr rajzoltuk meg a kényszererőket Mível a lefelé mozgási szándékot vizsgáljuk, a kényszererők a normálishoz képest a súrlódási kúp alkotójában helyezkednek el, tehát határesetrőlléven szó hajlásszögük p 01 illetve />v2· Ismertnek tételezzük fel Frnax erőt, így a vektorábra megrajzolható (5.19.a. ábra). Az ábrából azonnal felírhatjuk: (5.75) ahol FH az F~ 1 , illetve F~ 2 vízszintes összetevője, azaz a két ferde felület hatása az ékre, mmt összeszorító erő. Ennek ellentettje VIszont az az erő, amellyel az ék a ferde felületeket szétfeszítí.
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Így egyszerű kapcsolatot nyertünk az alkalmazott F= és az oldalIrányú FH erőhatás között. Egyidejű leg az ékre a két ferde felület fuggő legesen F~ 1 és F~ 2 erőt fejt ki, amellyel ellentétes erővel hat az ék a ferde felületekre. Az (5. 7 5) kifejezés szerínt az ék lefelé mozgási határhelyzetének eléréséhez azonos FH összeszorító erőt feltételezve az ékre nézve annál kisebb erő kell, minél kisebb a súrlódási tényező és az ék a nyílásszöge. Például vágószerszámnál ezért igen kis a szöget alkalmazunk, illetve a súrlódás csökkentésére kerrést használunk (főleg forgácsoló szerszámoknál). A felfelé mozgás határán az elő zőhöz hasonlóan nyerjük az egyensúlyt kifejező erőket és vektorábrát, amelyet külön is felrajzoltunk (5.19. b. ábra). Feltételezzük, hogy a két oldalfelületen átadódó vízszintes erő ugyanakkora FH, mint előbb volt. Így az 5.19. c. ábrából
393
a.
-F
b.
c.
5.19. ábra
(5.76)
Ha az ék sz1mmetrikus, és a két felületen azonosak a súrlódási kor az összefuggések egyszerűsödnek:
tényezők,
ak-
r~na.v..
2 F/i tg( a+ PJ),
(5.77)
r~niD.
2 F/i tg( a-PJ) .
(5.78)
illetve
394
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az Fmill.létezése azt jelenti, hogy FH oldalirányú erő hatására legalább ekkora, abefeszítő erővel megegyező értelmű erőre van szükség. Tehát az ék adott helyzetben tartása Fmin erővel érhető el. Ha ha a Pv , az Fmill. O. E kifejezés tartalma az, hogy a felfelé mozgás határhelyzetében nincs szükség lefelé működő, tehát mozgást gátló erőre, vagyis az ék önzáró. Ilyenkor bármilyen FH összeszorító erőt is alkalmazunk, az ék nem kezd felfelé mozogni. Az ék kihúzásához ellenkező értelmű erő szükséges. Ezért gépalkatrészek ékkel való kötésénél a ~ Pv lejtésű éket használunk. 5.11. Példa: Tengely és tárcsa agya közé kell elhelyezni éket azzal a céllal, hogy az agyat a tengelyen rögzítse (5.20.a. ábra). Mekkora sugárirányú feszítő erőt fejt ki az alkalmazott F erő az elmozdulás határán? Az éklejtés 1:100, jl{)= 0,15. Megoldás: A külső F erőt és az ékre ható FK1 FK2 kényszererőket a rajz síkjában működő erőknek tekintjük. Az elmozdulási szándékkal ellentétesen fellépő súrlódási erőösszetevők m1att a kényszererők az érintkezési normálishoz képest balra hajlanak (5.20.a. ábra), éspedig Pv szöggel. A súrlódási tényezőt a két felületen Po azonosnak vesszük v1zsgálatunkban. Egyensúly esetén a három erő közös pontban metsződik és a vektorábra zárt. Ezt az 5.20.b. ábránk tünteti F fel. Innen számíthatjuk az FK1 és FK2 kényszer5.20. ábra erőket, illetve ezek Fs 1 és Fs2; FN1 és FN2 összetevőit IS. A feladatban szereplő sugárirányú erő viszont a bejelölt FH az (5. 75) szerint
F
=
FH[tg (a+ Pv)+ tg Pv],
(5.79)
mnen FH számltható. A megadott számszerű adatokat felhasználva
Pv
arctuO 15 =8 53° b
'
'
'
tg (a+ Pv)= O, 16.
395
5.1. Két merev test kölcsönhatása
(5.80)
az éket beszorító erő több mmt háromszorosa feszíti az agyat a tengelyhez.
5.12. Példa: Mekkora erő kell ahhoz, ho!:,ry a tengely és agy között FH erővel befeszített éket kihúzzuk? Megoldás: Az 5.2l.a. ábra szerint az ék terhelése F, FK1 és FK2 síkbeli erőrendszer. A kifelé húzás irányával ellentétesen működnek a súrlódási erőkomponensek, így FK1 és FK2 hatásvonala a normálistól ellenkező irányba hajlik, az egyensúly határán éppen Po szöggel. Az egyensúlyt a vektorábra záródása kifejezi, amelynek alapján felírhatjuk az
Fki
FH [tg (AJ- a)+ tg Po],
(5.81)
F 5.21. ábra
összefuggést,
amelyből
Fki = 3,23 F [tg (8,53 - 0,57) + tg 8,83] ,
(5.82)
Fki = 0,936 F.
(5.83)
Ha a = 2 Po volna, akkor F = O lenne. Ez azt az esetet Jelentené, melynél a két kényszererő közös hatásvonalú lenne és egymással egyensúlyt tartanának. Ilyenkor tehát már 1gen kis vízszintes erő biztosítaná az ék kihúzását. Egyébként ebben a határhelyzetben az ék önzáró, amely fennáll a < 2 Po esetén 1s. Ezért kell az ék lejtését kicsire választani, hogy önzáró legyen, még rázkódások hatásra se lazuljon ki. A gyakorlatban alkalmazott lejtés értéke az előzőeknek megfelelően l: l 00.
396
5. Valóságos szerkezetek modellezése
5 .l. l. 3. Horony
/Definíció: A forgástestekből vagy riúlszerii testekbó1 kimunkált ék vezetékeket horonynak nevezzük. Egymással szöget bezáró felületek között ún. horonyban helyezkedik el az ék alakú test, amelyet F 0 külső erő terhel. Vizsgáljuk meg, mekkora F erő szükséges Itt a horonyban való vízszintes elmozdulás határán, feltéve hogy a ferde felületek érdesek (5.22. ábra). Az elmozdulási szándék most F Yl értelmével megegyező irányú, a kényFo szererő vízszintes összetevője ennek megfelelően F-fel ellentett értelmű lesz. i FJS Az FK1 és FK2 kényszererők FNI illetve F z x FN2 összetevőinek hatásvonalm az xy FlN síkra merőleges síkban helyezkednek el és a normálistól Pv szöggel hajlanak. Az éket terhelő erőrendszer Fo, F, FK1 és F K2, amelyek egyensúlyát elmozdulás határhelyzetében az yz síkban Fo, FNl illetve FN2 erők záródó vektorábrája fejez ki, ugyanezt a feltételt x irányban F, Fs1 és F 82 biztosítják. Az yz síkban levő erők egyensúlyi feltételéből 5.22. ábra (5.84) az x Irányú
erők
egyensúlyából viszont
F
=
f
(5.85)
Mivel pedig (5.86)
397
5.1. Két merev res! kölcsönhatása
(5.87) A horony tehát olyan, hogy a súrlódási tényező
//'=~> // . sm a
~o
(5.88)
~o
értékűre
növekszik meg. Ily módon ha a súrlódás növelése a cél - mmt például fékezésnél - akkor az a szöget Imnél kisebbre kell választani. Ha viszont a súrlódás nem kívánatos, mint pl. egyszerű gépek vezetékeinél, akkor a értéke lehetőleg nagy legyen. 5.13. Példa: Emelőszerkezet fékdobján ékpofás fékszerkezet segítségével fejtenek ki fékező hatást. Mekkora Fmin erő kell ahhoz, hogy az Fo súlyú terhet álló helyzetben tartsa a fék? (5.23.a. ábra.) Megoldás: A szerkezetre ható külső erőket felrajzoltuk, ezek rendre Fmin, Fo, G (G a kötéldob, féktárcsa és tengely együttes súlya), valamint a kényszererők FA, FB, Fc. A térbeli erőrendszerből FB, Fc, G közös síkban helyezkednek el, erre merőleges síkban működik viszont FA és Fmin. Válasszuk szét a szerkezetet a fékpofánál, ott működtetve a fékdobra megfelelő FK belső erőt, melynek összetevői FN és Fs . Ábránkban a tárcsára nézve rajzoltuk be a belső erőt. Határesetben, azaz amikor már éppen fékezni lehet, a súrlódó erő
Itt ugyams a 2a szögű ékpofára való tekintettel a J..lo súrlódási értékével kell számolni a
tényező
növelt
~
sma összefuggés szerint. ÍIJuk fel a VIzsgált rendszer z tengelyére a nyomatéki egyensúlyi egyenletet
398
5. Valóságos szerkezetek rnodellezése
y A R 1-.a r
a.
~==i
kötéldob
B
l
x
l
féktuskó •
-l b.
5.23. ábra
(5.89) Ebből
kíadódik a határhelyzetnek súrlódó erő:
megfelelő,
azaz a fékezéshez szükséges
r
Fs =Fo-. R
(5.90)
Összevetve a felírt összefüggéssel, a szükséges FN normálerő értéke (5.91)
399
5.1. Két merev test kölcsönhatása
A fékkarra működő erők egyensúlyából az A ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet az 5. 23. b. ábra alapján:
"'M · +aFN· +hFs, ."-' za =0=-bFmm ebből
r Fli1111 =F0 -bl R
(5.92)
(a )
(5.93)
-+h . '
flo
A fékkar ismeretlen támasztóerői a vetületi egyenletek segítségével adódnak Dr F,Ax = }'"s=ro R,
(5.94)
b)
r ( -l + -a+ - . FA =F · +FN =Foy lil11l R flo' b~o ' h
(5.95)
A tengely csapágyán fellépő támasztó erőkre a B ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből kapunk összefuggést.
l::M;b =O= d FN -e G -.f Fo+ l Fc.
(5.96)
Innen
Fc Vetületi
egyenletből
=
~
(e G + f Fo- d FN ).
(5.97)
pedig
fs
=G+ Fo -FN-Fc.
(5.98)
Ezzel az erőviszonyokat t1sztáztuk. Természetesen F > Frnin fékező erőnél a fékezés bekövetkezik, az erők értéke azonban nagyobb lesz.
5. Valóságos szerkezetek modellezése
400
5.1.1.4. Csavar
/Definíció: Az egyenes körhenger palás~ján elhelyezkedő folyamatos ·lejtőt csavarnak nevezzük. Felülete adja az ún. csavarfelületet. Laposmenetű
csavar esetén a csavarfelületet a henger tengelyére merő leges egyenes írja le. Legyen a csavarorsó megtámasztása egy csavaranyában, terhelése pedig egy tengelyirányú Fo külső erő. A csavarorsó és csavaranya
z a.
b.
--...,
l l l l l ! l
r
c.
d
F"""
r2 F,/2
ct
Fmin
e.
F,/2
Po
5.24. ábra
5.1. Két merev test kölcsönhatása
401
egyensúlyát az anyameneteken fellépő megoszló erőrendszer és a z tengelybe eső M nyomaték biztosítja (5.24.a. ábra). A fJ.M nyomatékot az ábrán feltüntetett /:)fl nagyságú két erő által alkotott erőpár szolgáltatja, melynek nagysága: f.",M
(5.99)
=2 r M.
A csavarfelületek érintkezésénél támaszkodik meg a csavarorsó a csavaranyán, tehát ott, ahol a megoszló erőrendszer kialakul. Egy részletet kiragadva az 5.24.b. ábra mutatja az erőket. A csavaranya felületét itt érintősík jával helyettesítjük, amely a hajlásszögű lejtő. A vele érintkező arsómenetet jelképezi a derékszögű hasáb. A hasábra jutó terhelés az egész Fo erőből AF 0. Ezt kell a lejtőn felfelé mozgatni AF erővel. A felfelé való elmozdulás határhelyzetének megfelelőerr rajzoltuk be a kényszererő AFN és AFs összetevőit is. Mivel a csavaranya körszimmetrikus, és az érintkezésnél a viszonyok megegyeznek, ideális esetben a megoszló erőrendszert minden szakaszon azonosnak vehetjük. Így az egész csavarorsót az anyán egy átmérő mentén két helyen megtámasztva lehet elképzelni úgy, hogy a terhelés e két oldalon egyenlő mértében oszlik meg, azaz feleződik. A megfelelő ábrát az 5.24.c. ábrarészlet tünteti fel. Az egyensúlyi viszonyokat kifejező vektorábrát az 5.24.d. ábra mutatja. A felfelé elmozdulás határán az egyensúlyt biztosító erő
Fmax = Fo tg (a+ Po). 2
(5.100)
Illetve a megfelelő nyomaték
Mmax= 2 r Fmax
r Fo tg (a +po),
ha a+ po
(5.101)
Ennél nagyobb nyomaték a csavarorsót felfelé elmozdítaná, azaz az Fo terhet emelné. Lefelé mozgás határán a kényszererő hatásvonala ellenkező irányban tér el a normálishoz viszonyítva. Ezt az esetet az 5.24.e. ábra mutatja. Most a nyomaték
Mmax= 2 r Fmax =r Fo tg (a -po).
(5.102)
402
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Ennél kisebb nyomaték esetén a csavar lefelé mozdulna el, vagyis az Fo teher süllyedne. Nyugalom esetén tehát az alkalmazott nyomatékra teljesülnie kell az
(5.103) fel tételnek. Ha az énntkező felületeket ideálisnak lehet tekintem, tehát a súrlódást el lehet hanyagolm, akkor a felfelé és a lefelé való elmozdulás határesetére egyetlen összefüggés adódik a nyomatékra
M =r Fo tga.
(5.104)
N em érdektelen eddigi eredményemket néhány különleges esetre megVIzsgálni. Ha a csavar menetemelkedése, a nő, akkor M= értéke is nő, sőt a = w2 esetén végtelen nagy lesz. Ez azt jelenti, hogy meredek emelkedésű csavarnál a teher emelésére nagyobb nyomaték szükséges, sőt a w2 - Po esetén már nem lehet emelést megvalósítam. Adott nyomatékkal akkor tudunk a lehető legnagyobb erőt kifejteni, ha a és Po értékét egyaránt csökkentjük. Ha VIszont a =Po akkor a legkisebb nyomaték Mmin = O, ami azt Jelenti, hogy nmcs szükség nyomatékra teher megtartásához, a csavar nem mozdul el lefelé az Fo teher hatására. A csavar tehát a =Po esetén önzáró. Ha azonban a Po akkor ellentett értelmű nyomatékra van szükség a csavar lefelé történő elindításához. Állításunk a közölt összefüggésből is egyértelműen következik, hiszen ilyen esetben tg( a - Po) < O, azaz a nyomaték előjele negatív lesz, ami a számításainkban feltételezettel ellentett értelmű vektort jelent. Éles menetű csavarnál a csavarfelületet nem a hengeres palástra merőle ges egyenes határozza meg (5.25. ábra). Ilyen esetekben a csavarorsót úgy w2 - .fl félszöggel jellemzett hokezelhetjük mmt egy éket, amely az a ronyban mozoghat. Emiatt a horony vizsgálatánál levezetett l''0 = -..f!..sL = l'o sina cos;J''
(5.105)
növelt súrlódási tényezővel kell számolm, egyébként a lapos menetre levezetett valamennyi összefüggés érvényes.
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Mivel a súrlódási tényező nagyobb, mint a lapos menetű csavaroknál, ezért éles menetű csavarokat ott alkalmazunk, ahol az önzárás előnyét akarjuk kihasználni, tehát kötőelemként használt csavaroknáL
5. l. l. 5. Csapsúrlódás
403
G ---, l l l l l l l l
A csuklós kapcsolatokat eddigi vizsgálataink során simának tekintettük, holott a valóságban ott is érdesek az érintkező felületek, azaz súrlódással kell számolni. Feltételezve, hogy az érintkezés igen kis felület mentén, jó közelítéssel alkotó 5.25. ábra mentén történik, sima csuklónál a támasztóerő a forgástengelyen megy át. Mivel tökéletesen merev test nincs, azaz terhelés következtében az érintkező felületek deformálódnak, bizonyos mértékű véges érintkezési felület alakul ki. A valóságban tehát az érintkezés is bizonyos felület mentén történik. 5. 2 6. áh ránk így tünteti fel a csap és furat kapcsolatát. A CD felfekvési íven megoszló terhelő erőrendszer lép fel, melynek eredője az általunk keresett kényszererő. Ha a külső terhelés a csapon olyan, hogy hatásvonala átmegy a csap forgástengelyén, akkor a megoszló kényszererő eredőjének is itt kell átmennie (két erő egyensúlyának ez ugyanis alapfeltétele), tehát nincs 5.26. ábra szükség a súrlódásra az egyensúly biztosításához, a kényszererőnek nem lesz érintőirányú összetevője, valamennyi összetevő normálirányú, azaz sugárirányú lesz. Ha a külső terhelés hatásvonala nem megy át az O ponton, akkor tapasztalat szerint bizonyos határig lehet egyensúly. Ez csak úgy képzelhető el, hogy a CD íven a kényszererő érintőirányú összetevője, azaz a súrlódó erő is fellép és értelme az elfordulás szándékával ellentétes. Ennek megfelelőerr ui. a megoszló erőrendszer eredője nem esik egybe a normáliránnyal, hanem
404
szerkezetek modellezése
5.
azzal bízonyos szöget alkothat. kényszererő hatásvonala ilyenkor nem megy át a csap forgástengelyén. Tapasztalat szennt a súrlódó erő olyan, hogy az FK kényszererő egy bizonyos határhelyzetet foglalhat el, amely határ az O ponthoz képest r 0 távolsággal jellemezhető: a kényszererő a furat bármely pontján felléphet és hatásvonala az r 0 sugarú körön -beleértve annak kerületét is - bárhol elhelyezkedhet Tehát a csap képes kiegyensúlyozni a forgástengelyéhez képest ro távolságban támadó külső F erőt is. A támasztóerő-rendszer FK eredőjemost F-fel ellentett értelmű, de azzal közös hatásvonalú lesz. Ábránk szerint hajlása az érintkezési normálishoz képest a súrlódási félkúpszög: Po, amelyre felírható:
ro= R sin{Jo
(5.105)
kifeJezés. Értékét kísérlettel lehet meghatározm. Mérési adatok szennt sm Po= 0,05 ~ 0,20 között változik anyagmmőségtől és felületi érdességtől fuggően. Mivel a csap helyzete a furatban tetszőleges lehet a feltámaszkodás tekintetében, a terhelés is tetszőleges irányú lehet. Ilyen értelemben azt mondhatjuk, hogy a csap r0 sugarú körön érintkező vagy belül eső külső erő ket képes egyensúlyozni, itt r 0 a csapsúrlódás körének sugara.
/ Definíció: Az érdes felületű csapok nyomaték átvitelére is képesek, melynek legnagyobb értéke a csapsúrlódás nyomatéka Mco . Az Mw nyomatékot kiegyensúlyozó kényszererő Itatásvonala az r0 sugarú kört érinti, melyet a csapsúrlódás körének nevezünk. a.
h.
Helyezzük át az FK kényszererőt önmagával párhuzamosan úgy, hogy hatásvonala átmenjen az O ponton. Ebből a célból az A pontban helyezzünk el egy FK, -FK egyensúlyi erőrend szert (5.27.a. ábra). Az ábrán feltüntetett +FK a B pont5. 27. ábra ban és -FK az A pontban erőpárt alkotnak, helyettük Mco nyomatékot figyelembe véve (5. 2 7. b. ábra) a B
5.1. Két merev lest kölcsönhatasa
405
pontban működő FK kényszererő egyenertékű az A-ban ható és az O-náthaladó kényszererővel és Mco nyomatékkal. Az utóbbit szokás csapsúrlódási nyomatéknak is nevezni. A csapsúrlódás nyomatékának vektora az énntkezési normálisra merőleges síkba, az érintősíkba esik, értelme pedig mindig az elfordulási szándékkal ellentétes, nagysága viszont eleget tesz az (5.106) egyenlőtlenségnek Ábránk ti. a szélső helyzetet tünteti fel, amelynél természetesen kisebb nyomaték ébred, ha az FK erő hatásvonala az r 0 sugarú körön belül megy át. Feladataink megoldásánál tehát két utat követhetünk Vagy feltételezzük, és azt mondjuk, hogy az FK kényszererő az r0 sugarú körön megy át, azt határesetben érinti, vagy pedig FKkényszererővel számolunk az O pontban és figyelembe vesszük az Me :::;; Mco nyomatékot is. Mint látható, a csap sugarával nő a csapsúrlódás maximális nyomatékának értéke. Ha például éppen az a cél, hogy a csapsúrlódást csökkentsük, akkor kézenfekvő, hogy a csap méretét kell a lehető legkisebbre választani. A csapsúrlódást figyelembe véve módosítani kell a csuklókkal Iv. kapcsolódó rudakra tett . i ro ro i i 011111 ... 11 megjegyzéseket is. Mivel ."! 00111 a rúd végein fellépő erők 5.28. abra hatásvonalai az O középponthoz képest ro értékkel eltérhetnek, másrészt a két erő egyensúlyban kell legyen, terheletlen rúd esetén ezekből az következik, hogy a rúderő az ábrán berajzolt I és II jelű helyzetek között bárhollehet (5.28. ábra). Annál jobban megközelíti tehát a rúdtengelyt, minél kisebb a csap sugara, illetve a súrlódás, másrészt minél hosszabb a rúd. Elég hosszú rúd esetén el is lehet tekinteni ettől az eltéréstől és mint sima csapnál, a rúd középvonalában képzelhetjük el a rúderőt Megjegyezzük, hogy gömbcsukló esetén hasonlóak a viszonyok. Most azonban ro sugarú gömbön, illetve belsejében megy át a kényszererő hatásvonala. 5.14. Példa: Az 5.29. ábrán vázolt vízszintes helyzetű lemez két, R sugarú görgőn támaszkodik. Milyen ferdeségű lehet legfeljebb a terhelő F erő, ha a lemez nem mozdulhat el (a lemez megcsúszását a görgőkön kizárjuk)?
~:foR% 1.~ 1
±tt@:;r
-106
5.
szerk.ezetek modellezése
Megoldás: A kényszerF erők az A és B pontokban a FA F 8 súrlódás miatt eltérhetnek a függőlegestőL Szélső helyzetben az r 0 csapsúrlódás körét érintik. J o bbra mozgás határán, amely a felvett F erőhöz tartozik, a kényszer, r "'ll.,. ro '" ll"" " erők balfelé hajlanak a függő5. 29. ábra legeshez képest. Nyilvánvalóan egyensúly csak olyan a szög alatt hajló erők esetén lehet, amelynél e három erő párhuzamos. Így az ábra alapján felírható a
sm a=
r. R
(5.107)
_g_
A kényszererőkre nézve egyébként az A illetve B pontokon felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletekből
a
FBK=F-a+b 5.1.1.6.
átmenő
tengelyre
(5.108)
Emelő
Az egykarú
emelő
helyhez kötött vége csuklósan van csapágyazva erőVIszonyokat, ha az emelővel G terhet
(5.30. ábra). Vizsgáljuk meg az akarunk emelni. Mindenekelőtt azt
a legkisebb F erőt határozzuk meg, amelynél a nyugalom biztosítható. Ennél kisebb erő hatására az emelőkar lebillenne. A csap egyensúlyát határállapotban ezzel ellentett értelmű, - az óramutató járásával ütköző- csapsúrlódási nyomaték biztosíthatja. Ilyen esetben a kényszererő a csapsúrlódás körének kerületén helyezkedik el, mégpedig a forgástengelytől r 0 távolságra jobbra. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a kényszererő nyomatéka a forgástengelyre az elfordulási szándékkal ellentétes értelmű lesz. A karra ható G és F erők függőlegesek, így értelemszerűen a kényszererő is függőle ges kell legyen. ÍrJuk fel a csapsúrlódás körének a kényszererővel való érintkezési pontjára a nyomatéki egyensúlyi egyenletet
5.1. Két merev test kölcsönhatása
L Mio = O =
( k - ro ) Fnún
-
(
l - ro) G,
407
(5.109)
ahonnan
Fmm =G
t-10 k-r0
(5.110)
A legnagyobb erő viszont a felfelé történő elmozdulás határhelyzetéhez tarF tozik, mivel a csapa súrlódás nyomatéka éppen ellentétes lesz mínt az előző esetben, emiatt a kényk:-lefelé mozgás határa szererő hatásvonala F'A~ a csapsúrlódás ro felfelé mozgás határa sugarú körét éppen a vízszintes átmérő 5.30. ábra másik végpontján érinti. A nyomatékí egyensúlyi egyenletet erre a kerületi pontra felírva Frna.v.. számítható lesz:
1-
k
-i
t
I, M;z =O= ( k +
ro) Fmax - (l+ ro) G,
(5.111)
így (5.112)
A két
erő
közötti különbség (5.113)
maJd végleges formában
-108
(5.114)
A kényszererő mmdkét esetben az y írányú számítható
erők
vetületi
egyenletéből
(5.115)
FKy =G -Fso. Eredményeink kétkarú eltekintünk.
emelőre
is
(5.116) átvihetők,
ezek külön
részletezésétől
5.1.1.7. Csiga Vizsgáljunk meg egy különleges kétlámaszú tartót, a csigát. A D = 2 R átmérőjű csiga csapágyazott tengelyének átméD rője d. Az egyik oldalon G , a másik oldalon F erő terheli. Feltételezzük, hogy a kötél nem csúszik meg a csiga palástfelületén. Mekkora lehet F max és F min értéke a csiga elmozdulási határhelyzeteiben? (5. 31. ábra.) 5.31. ábra A két szélső érték az elmozdulás határhelyzetéhez tartozik a lefelé illetve felfelé történő elmozdulást feltételezve.}'= fizikai értelme az az erő, amelynél a valamivel nagyobb erő a csigát F irányában elmozdítaná. F min viszont a csiga ellenkező értelmű elfordulási szándéka esetén az elfordulást még éppen megakadályozza. A lefelé mozgás határán a csapsúrlódás nyomatéka az óramutató járásával ellentett értelmű, tehát a kényszererő is ennek megfelelően a csapsúrlódás körét jobbról fogja érinteni. Az érintkezési pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet (5.117)
5.1. Kér merev tesr kölcsönhatasa
409
Innen (5.118) felfelé mozgás határán viszont
Frnin =G R R+r0 A csiga nyugalomban van, tehát az alábbi feltételt kell kielégítenie:
erő
(5.119)
legnagyobb és legkisebb értékének az
(5.120)
5.15. Példa: Az 5.32. YA ábrán vázolt hengerkerekes emelőszerkezet egyes kötélágaira G illetve F 0 súlyú terhet fuggesztettünk. Legalább mekkora nyomaték kell ahhoz, hogy a G teher felfelé, az F 0 teher lefelé mozduljon el? Megoldás: Az elmozdulás határhelyzetében az 5.32. ábra emelőhenger csapján a fellépő csapsúrlódás nyomatékával és a kényszererővel kell számolni. Az y irányú erők egyensúlyát kifejező egyenlettel a keresett kényszererők felírhatók. (5.121) (5.122) illetve az x tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi nyomaték adódik: ~
~
egyenletből
M ~ =O= RG-rF,0 -M+Mw,
a keresett M (5.123)
410
5. Valóságos szerkezetek nwdellezése
elmozdulás határhelyzetében VISzont (5.124)
Fentiek alapján
M =(R + ro) G - (r - ro) Fo .
(5.125)
5.1.2. GÖRDüLÉS! ELLENÁLLÁS
Testek énntkezésekor két test között fellépő erő hatására mindig kell bizonyos deformációval számolni. Ezért az énntkezés mindig véges felület mentén jön létre, nem pedig pont- vagy vonalszerűen, mmt ahogy azt a merev testeknél feltételeztük (5.33. ábra). A vízszintes síkon elhelyezett korong alakú test terhelése legyen egyetlen fuggő5·33· ábra leges G erő. Érdes felületen az érintkezésnél fellépő erőrendszer eredője FN, ugyanis a külső G erővel közös hatásvonalú, azonos nagyságú de ellentett értelmű vektor kell legyen. Az egyensúly feltétele csak így teljesíthető. Működjön a korong középpontjában még egy vízszmtes F erő is. (5.34.a. ábra). Sima támasztó felület esetén a korong azonnal elcsúszik bármilyen kis F erő hatására. Ha a a. b. támasztó felület érdes, de a testet merevnek tekintjük, az énntkezés1 pontban egy F s súrlódási erő komponens keletkezik, mely az F erővel azonos nagyságú, így elcsúszás nem Ms jön létre, viszont az F; Fs erőpár elfordítja a korongot. Azaz érdes felületen bármilyen kis erő hatására a fo ~~m=l ~~ merev korong elfordul. A tapasztalat azt mutatja, hogy valóságos anyagú 5.34. ábra.
5.1. Két merev test kölcsönhatása
411
korong kis vízszintes erő mellett még nyugalomban maradhat. Ez ped1g csak úgy jöhet létre, ha a támasztóerő-rendszer FK eredőjének támadáspontja (5.34.b. ábra) bizonyos távolságra van a ílktív érintkezési ponttóL Ennek feltétele, hogy az érintkezési felületet bizonyos mértékig deformációképesnek tekintjük. Ilyen esetben tehát az F, G és FK egyensúlyi erőrendszert alkothatnak a három erő egyensúlyának feltételei szerint. § Törvény: Hengeres felület más testtel való érintkezésénél fellépő megoszló erőrendszer fiktív érintkezési pontba redukált vektorkettőse: FK = = Fse + FNn és Mg. Az Mg gördülési ellenállásra nyugalom eseténfennáll az Mg :::; fo FN egyenlőtlenség. Itt fo csak a két test anyagától és a felület minőségétó1 függő állandó.
A Coulomb-súrlódáshoz hasonlóan csak akkor lép fel Mg, ha az egyensúly biztosításához szükség van rá. Fenti összefuggésünkbenfo a gördülő ellenállás karja, amelyet kisérleti úton lehet meghatározni. Merev kerék és pálya- vasúti sín és kerekek - esetén/o = 0,5 mm, golyóscsapágy futófelülete és a golyók esetén.f0~ 0,01 mm. Egyébként/o az érintkező anyagok és a felületük minőségétől fugg. Számításainkban tehát a hengeres testek énntkezésének vizsgálatánál az érintkező felületeket merevnek, az énntkezést pontszemnek vagy vonal mentmek tekinthetjük. Az egyensúlyt p Po hajlásszögű FK kényszererő és Mg :::; fo FN nyomaték biztosítja. Az érdes felület igen sok hasonlóságot mutat a befogáshoz mint kényszerhez, hiszen az erőrendszer itt is egy kényszererőből és egy nyomatékból áll. Lényeges eltérés van azonban abban, hogy az említett erőrendszer elemeinek nagysága és rránya korlátozott, a felület tulajdonságai határolják, nevezetesen FK irányát a J1o súrlódási együttható, illetveMg értékét/o a gördülési ellenállás karja.
5.16. Példa: A G súlyú, R sugarú korong vízszmtes érdes síkon F erő hatására gördülés határhelyzetében van. Mekkora lehet az F erő maXImális értéke? R= 250 mm,f0 = 0,5 mm és f.lD 0,15 (5.35. ábra). Megoldás: Alapfeltétel, hogy G és F a korong szimmetriasíkjában legyenek. Az FKkényszererő is itt fog fellépni, melynek fuggőleges összetevŐJe FN a korong G súlyával tart egyensúlyt, vízszintes összetevője, Fs pedig Ffel. Az elfordulást határállapotban Mg akadályozza meg.
-112
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az egyensúlyi egyenletek:
FIX =0=-Fs+F "LF'Y =O=Fv-G ' "LM =O=M-RF g la
(5.126)
----?>
Fs
F
----?>
FN
G,
(5.127)
----?>
Mg
RF.
(5.128)
'
Az egyensúlyi helyzetet kétféle
y
F --+-.r+-
G
módon bonthatja meg az F erő. Egyrészt megcsúszhat a korong a talajon, másrészt viszont elfordulhat a bejelölt A pont körül, azaz gördüini kezd. Ezt a két megismert törvény juttatja kifejezésre (5.129) Ide (5.127) és (5.128) összefuggéseket behelyettesítve majd rendezve
F ~ fo G. R
(5.130)
Látható, hogy a gördülés megmdításához szükséges erő fo-val egyenesen, míg R-rel fordítottan arányos. Vizsgáljuk meg a Coulomb-féle törvény érvényesülését is. (5.131) Most (5.126)-ot és (5.127)-et használjuk fel, Illetve rendezés után
Fs A nyugalomhoz az
erőre
~flo
G.
(5.132)
vonatkozó mindkét feltételnek teljesülnie kell. Az
erőt növelve előbb érJük el az
fo G határértéket, azaz
R
5.1. Két merev test kölcsönhatása
413
(5.133) ebből
viszont (5.134)
a test gördüini kezd és nem csúszik meg. Az előre kitűzött konkrét adatokkal is ellenőrizzük állításaink helytállóságát.
fo =O 002 R
,
'
0,002 < 0,15. Ahhoz, hogy a korong megcsússzon, az (5.135) feltételnek kell teljesülnie. Ez csak akkor képzelhető el, ha R igen kis érték. Ha fenti összefüggésből R-et kiszámítjuk, akkor R = 3 mm adódik, amely érték viszont nem lehet egy gördülést végző korongjellemzője. 5.17. Példa: A G súlyú hengeres test két csappal acélpályán támaszkodik (5.36. ábra). Milyen nagyságú és támadáspontú vízszintesFerővel terhelhető a henger, hogy nyugalomban maradjon? Megoldás: A henger kialakítása és támasztása egyaránt szimmetrikus, így G is a szimmetriasíkban működik. A két kényszererő is azonos lesz, nevezetesen FAk = F Bk, illetve ezek összetevői szintén megegyeznek: FAN = = F BN = G/2, valamint F AS= F BS· A gördülési ellenállás nyomatéka ugyancsak szimmetrikusan osztható el az A és B támasztások között. A feladat megoldása korong középsíkjában mű ködő síkbeli erőrendszer egyensúlyának vizsgálatára vezethető vissza ( 5.16. Példa). Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az F erő a henger kerületén van, és az R elegendően nagy. A korong az F kerületi erő hatására vele azonos értelemben, tehát jobbra csúszna el, az elfordulás viszont az óramutató járásával ellentétes lenne, a gördülési ellenállás nyomatékát ennek megfelelően kell figyelembe venni. Az egyensúlyi egyenletek:
5. Valóságos szerkezetek modellezése
414
---7
(5.136)
F S = F max ,
(5.137)
LMia
=Ü= -Mgo
+(R -r) Fmax
---7
- Mgo Fmax- - - · R-r
(5.138)
. bb ra F max= r-ll j, oG go.. r,dU"l ]O
megcsúszik F.nax=ll"G gördül balra Fmax- ::~;G 5.36. ábra.
A gördülés határán azonban
Mgo= fo FN =}o G, az (5 .13 7) figyelembevételével, illetve az (5 .13 8) nyomatéki
Fmax
=
J.SL R-r
G.
(5.139) egyenletből
(5.140)
F értékét F max eléréséig növelhetjük, a nyugalom addig biztosított, ha az (5.136) vetületi egyenlet is teljesül.
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Fs=F max =1LG R -r
415
(5.141)
A legnagyobb súrlódó erő, ami kialakulhat Fso = Jlo F N = Jlo G. Ennél kisebbnek kell lennie az elmozdulás határhelyzetéhez tartozó Fs súrlódó erő értékének, azaz esetünkben (5.142) a csúszásmentes gördülés feltétele. Helyezzük el az F erő hatásvonalát a korong szimmetriatengelye alatt y távolságra az 5.36. ábra szerint. Fenti összefüggésünk tartalmazza a határesetet is elmozdulás és elfordulás tekintetében, tehát a súrlódás és a gördülés határához tartozó yo értéket (5.143) Ilyenkor mind a gördülés, mind pedig a csúszás bekövetkezhet Ha az y távolságot tovább csökkentjük, akkor az F erő hatására mindinkább csúszás következhet be, nem pedig gördülés. Ha F hatásvonalára teljesül az y=r feltétel, akkor határesettel állunk szemben, ugyanis az F erő nyomatéka a korong A pontján átmenő tengelyére előjelet vált, ami természetesen az Mgo -ra is hatással lesz. Ha az erő helyzetét az x tengely alatt TJ -val jelöljük, akkor ezen érték növelésével előbb csúszás, majd gördülés következhet be TJo értéknél az
~
=Jlo
(5.144)
r-IJo
összefüggés szerint. Az F
erő
nagyságának szélső értékét az Fmax
határozza meg.
= Jlo
G
(5.145)
416
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az összefiiggések alapJán F erő helyzetétől fiiggően három eset lehetséges: O .:::;, y.::;, l]o -)-a korong jobbra gördül TJo.::;, y.::;,yo -)- a korong megcsúszik Yo .::;,y.::;,R -)- a korong balra gördül
5.18. Példa: Az R sugarú hengeres test érdes görbült felületre támaszkodik (5.37. ábra). VizsgálFmin JUk meg a test egyensúlyának feltételeit, ha síkbeli erőrendszerről van szó. Megoldás: Míndenekelőtt azt FN kell megVIzsgálni, hogy milyen legkisebb erő tartJa meg a hengert lefelé történő elmozdulás határ5.37. ábra helyzetében. Az ilyen irányú elmozdulást vele ellentett értelmű súrlódó erő, az elfordulást pedig a gördülési ellenállás nyomatéka akadályozza meg. Válasszuk a koordináta-rendszer x tengelyét érintőirányúnak, míg az y tengely legyen erre merőleges, tehát normálirányú. Az egyensúlyi egyenletek
"F ,i_, 'Y
=
O = FN- G cosa-Filllll· sma
(5.146)
ebből
FN =G cosa + Frr:Un sina. A támasztási ponton
átmenő
(5.147)
tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet
"M L za =O =R G sina-Mgo -RFilllll· cosa ·
(5.148)
Ha a test a gördülés határán van, akkor
Mgo =.fó Fú =fo (G cosa + Frr:Un sma). Összevetve előző összefiiggésünkkel
(5.149
417
5.1. Két merev test kölcsönhatása
Fmin =G Rsina- f 0 cosa Rcosa +fo sina
(5.150)
Az x irányú vetületi egyenlet ~ F = ~1x ebből
0 = Fs· - G sma + Fnun· cos a '
(5.151)
viszont
Fs
G sina- Fmin cosa,
illetve
Fs
=
G ----=--"---R cos a + fo sin a
Elmozdulás határhelyzetében a lehetséges legnagyobb súrlódó
(5.152)
erő
értéke
Fsmax =flo FN = Jlo (G cosa + Fmin sina),
(5.153)
Fs=x. =flo G
(5.154)
R
.
Rcosa +fo sma
Arnennyiben a szükséges súrlódó erő nem nagyobb, mint a lehetséges maXImális érték, akkor a csúszásmentes gördülés feltétele biztosított az alábbi öszszefüggés szerint: (5.155) ahonnan (5.156) Most pedig határozzuk meg az erő értékét a henger felfelé történő elmozdulásnak határhelyzetében. Az Fs és Mgo az előzőhöz viszonyítva elője let váltanak, így eredményeink
G Rsma+ j~cosa. Rcosa- fo sina
(5.157)
418
5. Valóságos szerkezetek modellezése
A súrlódó
erő
szükséges értéke az elmozdulás határhelyzetében
Fs
A maximális súrlódó
=
G ---"--"---Rcosa- fo sina
erő
(5.158)
viszont
Fsmax.= ftoFN Fso= ft 0 G
flo (G cosa + Fmax. sina), fo Rcosa- fo sina
A csúszásmentes gördülés statikai feltétele az
előzővel egyezően
(5.159) (5.160)
alakul: (5.161)
5.2. Merev test és kötél kölcsönhatása (kötélsúrlódás) Érdes hengerfelületre tökéletesen hajlékony, azaz ideális kötelet csévélünk úgy, hogy a kötél a henger alkotójára merőleges síkban helyezkedjen el (5.38. ábra). Tapasztalat szerint a kötél felveszi a henger alakját, ha annak görbületi sugara a kötél átmérőjénéllényegesen nagyobb. A két lefutó kötélág érintő legesen helyezkedik el a henger palástjához képest. Ennek oka roppant egyszerű, ugyams a kötélben csak kötélirányú húzóerő léphet fel, másrészt viszont a kötél feltételezésünk szerint tökéletesen hajlékony. Legyen az egyik kötélág terhelése Ko, akkor tapasztalat szennt a másik kötélágban olyan K 1 erővellehet az egyensúlyt biztosítani, amely K 0-tól eltérő nagyságú. E két érték között matematikai kapcsolat állapítható meg.
Nyugalomban levő hengerfelület alkotójára meró1egesen felfekvif kötél egyik ágát Ko erő terheli. A másik kötélágban ekkor a kötél nyugalmi helyzetében Ko e -~oa 5,K1 5,K0 e~oa nagyságú erő lehet, ahol JLo a
. A vektorábra alapján a következő összefiiggés írható fel K ugyanis kis szögek esetén viszont
sin~tp ő.S
sin~tp=
419
5.38. ábra
K
~tp ,
(5.162)
határátmenetben magával
= K + /:),](- K
COS~ tp
=/:),](,
~tp
-vel
egyenlő.
Másrészt (5.163)
itt ugyanis azt használtuk fel, hogy cos~ tp határátmenettel 1-et ad eredményüL Mivel vizsgálataink az elmozdulás Itatárállapotára vonatkoznak, a súrlódó erő legnagyobb értékével kell számolni, azaz ~s =
14.) I1N .
(5.164)
420
5. Valóságos szerkezetek modellezése
H elyettesítsük be elffző két kifejezésünket (5.165)
adódik, amely a kötélsúrlódás dijferenciaegyenlete. Határátmenettel
(5.166)
formában viszont a kötélsúrlódás differenciálegyenletéhez jutunk. Mindkét oldalt a megfelelő határok között integrálva
.
(5.167)
Innen
K Ko
1 ln= Jloa
(5.168)
illetve (5.169)
Ezzel az állítást bizonyítottuk. Q. e. d.
A kötél l-es Irányba történő elmozdulásának határhelyzetében tehát az egyensúlyt tartó legnagyobb K 1 kötélerőt a másik ág Ko kötélerejéből a JLo súrlódási tényező és a kötél a körulfogási szögéből számíthatjuk. A JlD és az a jellemzőket egyetlen (5.170) tényezőbe
foglalhatjuk, amelyet a kötélsúrlódás tényezőjének nevezünk. Az ebryensúly összes lehetséges eseteiben tehát a határhelyzeteken belül érvényes a
K:::; K1 = KoKo.
(5.171)
Most pedig határozzuk meg a legkisebb K 2 kötélerőt abból a feltételből, hogy 2-es Irányba se mozduljon el a kötél. Az előző összefüggésünk értelemszerűen felhasználható, csak az adott Ko lesz a nagyobb kötélerő, eszerint
5.2. Merev test és kölél kölcsönhatása
421
(5.172) Ebből
a keresett legkisebb
kötélerő
az egyensúly biztosítására (5.173)
Ha a két határhelyzetet tekintjük, végül ts a kötél egyensúlyban lehet adott Ko feszítőerő hatására, ha a másik kötélágban a K erő nagysága (5.174) Vektorábránkban feltüntettük a Ko és K masztóerőket is (5.38.c. ábra). Néhány gyakon esetekre megadjuk a Ko ságrendi tájékoztatás céljából: JID a= n/2 a= n a=3n/2 a=2Jr
0,10 l, 17 1,37 1,60 1,87
0,15 1,27 1,60 2,12 2, 57
erőket,
valamint a
tényező
0,20 1,37 1,87 2, 58 3,51
megfelelő FA tá-
értékett táblázatban nagy-
0,25 1,48 2,19 3,26 4,81
0,30 1,60 2, 57 4,10 6,59
5.19. Példa: Környezetéhez rögzített, álló hengeren átvetett kötélre G súlyú terhet fuggesztettünk. Mekkora erővel lehet megtartam a terhet lefelé való elmozdulás határhelyzetében? Mekkora erő szükséges a teher emeléséhez az elmozdulás határállapotában? G= 1000 N, a= 180° =n rad, J.ID = 0,15. Megoldás: A teher megtartására a mmimális erő szükséges, azaz /
K
A felfelé mozgás határesetében pedig
5.39. ábra
422
5. Valóságas szerkezetek mudellezése
KmllX =
G e110a
=
1000 eO, ]j ;r = 1602 N.
5.20. Példa: Szalagféket ábrázol az 5.40. ábra. Ezt a kivitelt elsősorban alkalmazzák, de előfordul lánctalpas járművek kormányszerkezeténél Is. A G teher az r sugarú kötéldobról fuggesztett kötélen helyezkedik el. A dobbal összeerősített R sugarú féktárcsa kerületére feszül a fékszalag, melynek körülfogási szöge a . A fékszalag csuklókkal kapcsolódik mind a helytálló B kényszerhez, mind pedig a fékkarhoz. A szalaget számításainkban tökéletesen hajlékonynak tekintjük, gyakorlatilag 11 11 z ugyanúgy dolgozunk vele, mintha kötél lenne. Meggondolásainkat is ennek megfelelőerr vezettük le, feltételezve még azt is hogy az egész berendezést az xy síkban vizsgálhatjuk Határozzuk meg a fékezéshez szükséges F erő legkisebb értékét! Megoldás: A tárcsát válasszuk külön a szerkezet többi részétől, ek5.40. ábra. kor működtetni kell a szalagágakban fellépő erőket, melyek kapcsolata elmozdulás határhelyzetében az alábbi: emelőgépeknél
(5.175)
Mivel a G teher a szerkezetet jobbra forgatná el, ebben az irányban vmné magával a szalaget is, azaz a bal oldali szalagágat feszíti meg. Így valóban ott lép fel a nagyobb kötélerő. A dob forgástengelyére, a z tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet viszont I"Miz =O =-rG-RKo + RK1
(5.176)
ahonnan a (5.177)
423
5. 2. lvlerev test és kötél kölcsönhatása
összefiiggés alapján a fékezéshez szükséges kötélerő adódik. A fékkarra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenletből viszont F rrún számítható.
a F:·=K.,omm b
(5.178)
5.21. Példa: Szíjhajtást tüntet fel az 5.41. ábra. A hajtótárcsa szíjágai segítségével tudja átvinni a forgómozgást a hajtott tárcsára, amely csapágyakkal van megtámasztva, tengelyén pedig még egy kötéidobon keresztül teher is kapcsolódik. Ahhoz, hogy a szíj valóban át tudja vinni a szükséges nyomatékot, meg kell feszítem. Ezt a feszítést a hajtótárcsa elcsúsztatható csapágyazásán F szíjfeszítő erővel lehet megvalósítani. A szerkezetre ható erőket a rajz síkjában működőnek vesszük. Határozzuk meg a G teher egyensúlyban tartásához szükséges legkisebb szíjfeszítő erőt. Ennél kisebb erőnél a teher süllyedni kezd, ennél nagyobbnál viszont emelkedni fog.
~~ l
i
i
hajtott tárcsa hajtó tárcsa
5.41. ábra
Megoldás: Határhelyzetben a kötélágakban fellépő
erőkre
felírható (5.179)
Az A ponton átmenő tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet szerint, Mo = G r helyettesítéssei 'LM;a =0 =Mo +R Ko -RK1,
(5.180)
424
5.
szerkezetek modellezése
amiből
(5.181)
a szükséges szíjhúzó
erő
az egyensúly határán. A szíjfeszítő
cos~) . Fmin.=Kr +Ko cos rp = Kr [ l+~
erő
pedig (5.182)
FELADATOK 5.1. A változtatható hajlásszögű lejtőre helyezett G súlyú test a hajlásszög esetén kerül a lefelé való elmozdulás határhelyzetébe. Határozza meg a f..Lo súrlódási tényezőt!
F5.1. ábra
F5.2. ábra
F
}<"".5.3. ábra
5.2. A vázolt merev test egyensúlyát az l és 2 irányú elmozdulás határhelyzeteiben F erő biztosítja. Mekkora a lejtő a hajlásszöge és a flD nyugvásbeli súrlódási tényező? G =500 N, F 1 = 336,602 N, F 2 = 163,397 N. 5.3. A homogén tömegeloszlású rúd egyik vége csuklóval van rögzítve, másik szabad végére F erő hat. A csuklótól a távolságban a rudat egy érdes lejtőn elhelyezett testtel kapcsoltuk össze. Milyen határértékek között lehet a vízszintes F erő értéke, ha a G súlyú testnek az a hajlásszögű lejtőn nyugalomban kell maradnia? G = l OOO N, a = 30°, f..Lo = 0,2.
5.4. Az a hosszúságú homogén tömegeloszlású vízszmtes rúd egyik vége a fuggőleges érdes falnak támaszkodik, ezenkívül a rudat egy kötéllel is rögzítettük az ábra szerint. Hol, milyen x távolságokban lehet a rúdra a kötelet csatlakoztatm, hogy a rúd ne csússzon meg? a= 1000 mm, f..Lo = 0,5 .
425
5.2.Nferev test és kötél kölcsönhatása /
x=?
F.5.5. ábra
a
5.5. F. 5. 4. ábra
Az ábrán vázolt H hosszúságú és L
szélességű hüvely F erő hatására meghatáro-
zott x értéken túl önzáróvá válik. Határozzuk meg x azon legkisebb értékét amikor ismert lio súrlódási tényező esetén az önzárás már bekövetkezik! H= 50 mm, L= 30 mm, lio= 0,15. 5.6. Az ábrán vázolt létra alsó vége érdes talajra, a felső vége érdes falnak támaszkodik. A nyugvásbeli súrlódási tényezők értékei J-Lol és lio2· A létra saját súlyának és a létrán tartózkodó személy súlyának eredője G. Határozzuk meg, hogy mekkora F vízszintes erőt kell a létra alsó végén működtetní a bejelölt l és 2 irányú elmozdulás határhelyzeteiben l G= 950 N, Ji 01 = O, 15, J-Lo2 =0,10, a=2,6m, b=4,3m, c=l,3m.
F.5.6. ábra
F.5. 7. ábra
5. 7. Az L hosszúságú homogén rúd az a és jJ hajlásszögű érdes felületekre támaszkodik. Határozzuk meg szerkesztéssel az F erő x 1 és x 2 határhelyzeteit amikor a rúd még az elmozdulás határhelyzetében van! a = 2500 mm, L= 5000 mm, h= 1500 mm, F= 10 kN, a= 60°, jJ =45°, J-Lo = 0,5.
426
5. Valóságos szerkezetek modellezése
5.8. A vázolt betontömb érdes síkon nyugszik, melynek B pontját a függőleges AC rúd C csuklójához kötöttük. A C csuklópontra F vízszintes erő hat. Mekkora lehet az F erő legnagyobb értéke a betontömb elmozdulási határhelyzetében? G = 2,6 kN, j.lo = 0,25, H = 3000 mm, L = 4500 rnrn .
F
H
G / 5.9. A Q terhet öntecsfogóval emeljük fel. Határozzuk meg a súrlódási tényező szükséges értékét! a = 420 mm, b = 80 mm, c = 40 mm, d = 60 mm, a = 30° .
L F.5.8. ábra
5.10. Egy csúcseszterga szánszerkezetét az ábrán vázolt módon F erővel mozgatjuk a gép ágyvezetékén. Mekkora erő szükséges ahhoz, hogy a mozgás létrejöjjön? G = 2,4 kN, a= 900 mm, b= 300 rnrn, a= 45°, f.lo = 0,075.
c
c
Q F.5.9. ábra
5.11. Az ábrán vázolt éket Q erő terheli. Az ék oldalfelületein egyrészt a bal oldali rögzített ék felületén, másrészt a jobb oldali érdes felületen elmozduló G súlyú éken súrlódik. Mekkora F állandó erő szükséges a Q teher felfelé való elmozdulási határhelyzetében? Mekkora legyen az F' erő a Q teher lefelé való elmozdítási határhelyzetében? Q = 200 N, G = 20 N, a= 60° ' {3= 45° ' ,.....o 11 =o 2 ' .
G
F,F' /
F.5.10. ábra
F.5.11. ábra
427
5. 2.Merev test és kötél kölcsönhatása
5.12.
Az ábrán vázolt kétpofás féket F terheli. Határozzuk meg a fékező nyomaték értékéti F = 150 N, a= 320 mm, b= 170 mm, c = 390 mm, d= 300 mm, e = 320 mm, f= 160 mm, g= 80 mm, f-lo= 0,3 . erő
5.13. A lejtőre helyezett korong gördülését az ábrán vázolt módon a palástjára erősített kötéllel megakadályozzuk Határozzuk meg a kötélerőt az ábrán bejelölt l illetve 2 elmozdulási határhelyzetben! G = 200 N, R= 0,5 m, fo = 0,005 m, a =30°.
/
F
c F. 5.12. ábra
F=?
y//-<)=? // \
R\
~ F. 5.14. ábra
F.5.13. ábra
5.14. A talajon lévő két, G1, G2 súlyú hengeren G súlyú tömb nyugszik. A hengerek és a talaj közötti gördülési ellenállás karja fo 1 a hengerek és a tömb között pedigfo 2 . Mekkora vízszintes F erőt kell kifejteni a tömb elmozdításának határ- l helyzetében? G 1 = G2 = 500 N, G= 6000 N, 2~ R= 100 mm, /o1 =2 mm, /o2 = 1,5 mm.
t F. 5.15. ábra
5.15. A vázolt korong kerületére csévélt kötél egyik végét F erő, míg másik végét G erő terheli. Határozzuk meg az F erő nagyságát az elmozdulás határhelyzeteiben, ha a kötél a korongon nem csúszik meg! G = l OOO N, d= 200 mm, D = 500 mm, p'0 = 0,5 .
5. Valóságos szerkezetek modellezése
428
F.5.17. ábra
F.5.16. ábra
F. 5.18. ábra
5.16. Az ábrán vázolt emelőszerkezet mozgó esigájának csapján G teher fiigg. A csigakerék külső átmérője, csapjának átmérője és a csapsúrlódási tényező ismert. Határozzuk meg az F erő értékét az l és 2 elmozdulási határhelyzetekben! A kötelet tökéletesen hajlékonynak tekintjük és nem csúszik meg akorong kerületén. G= 2000 N, d= 30 mm, D= 300 mm, Jl'o =O, l. 5.17. A csigán átvetett kötél egyik végén Q teher fiigg, másik vége pedig az érdes lejtőn elhelyezett testhez kapcsolódik. Határozzuk meg az F erő értékét az l és 2 elmozdulási határhelyzetekben, a csapsúrlódást is vegyük figyelembe! A kötelet tökéletesen hajlékonynak tekintjük és nem csúszik meg a korong kerületén. G = 1000 N, d= 100 mm, D = 300 mm, Jl'o = 0,3, Jlo = 0,2.
l ~--------------~ l l l l l
~G
lF F. 5.19. ábra
5.18. A rögzített korongra kötelet fektettünk, melynek körülfogási szöge a. A korong és a kötél közötti súrlódási tényező értéke J1 . Milyen határok között változhat az F erő értéke, hogy a felfiiggesztett test egyensúlyban maradjon? a= n/2, p 0 = 0,5. 5.19. Az ábrán vázolt félköríven kötél van átvetve. Elmozdulás határhelyzetében ismert az F erő nagysága. Mekkora a kötél és a korong közötti súrlódási tényező? G= 1000 N, F= 1602 N.
5.2.Merev test és kötél kölcsönhatása
429
5.20. A két rögzített táresán átvetett kötél egyik végén G erő hat. A tárcsák és a kötél közötti súrlódási tényező értékei ismertek. Határozzuk meg elmozdulás határhelyzetében a kötél másik végén szükséges F erőt! G= 2000 N, jlo1 = 0,12, jlo2= 0,181.
e
iU l
F~
llo1
/
/
/
//$-+-!lm l
j
wt~ l G
l l l l l l
G~
f2 F.5.21. ábra
F. 5. 20. ábra
5.21. A rögzített táresán átvetett kötél a vízszintes talajon lévő Q súlyú testhez kapcsolódik. A Q súlyú test és a talaj közötti, valamint a korong és a kötél közötti súrlódási tényező értéke ismert. Határozzuk meg elmozdulás határhelyzetében a kötél másik végén szükséges F erőt! Q= 1000 N, jlo1
=
0,2, jlo2= 0,1.
$o -------oF1.2 111 1
5.22. A lejtőre helyezett G súlyú testhez az álló korongon átvetett hajlékony kötél csatlakozik. Mekkora vízszintes F erőre van szükség az elmozdulási határhelyzetekben? G= 600 N, J1o1 =O, 15, J1o2 = 0,24. 5.23. Egy hajót a vázolt módon rögzítünk · a kikötőben, úgy hogy a kötelet többször az oszlopra csévéljük A hajó az áramlás következtében a kötelet F s erővel feszíti meg, míg a kötél másik végére FH erő működik. Az oszlop és kötél közötti súrlódási tényező értéke Jlo. Hány menetet kell a kötélből az oszlopra rácsévélni? FH= 500 N, Fs = 500 kN, jlo = 0,2.
-
f.._ ' ' ...........
F.5.22. ábra
------F.5.23. ábra
430
5. Valóságos szerkezetek modellezése
5.24. Az ábrán vázolt szalagfék F erő hatására működik. Határozzuk meg a nyomaték értékét a bejelölt l és 2 forgásirány esetén! F= 1500 N, p 0 = 0,2. r fékező
E E
-
N"
o
F
ll)
F
o"
a 0 35m
L
F.5.24. ábra
5.25. A G súlyú szállítókas kötélre van felF.5.25. ábra függesztve, mely emelődobra van rögzítve. Mekkora terhet lehet elmozdulás határhelyzetében tartani a kézifék karra működő F erővel? F, a, rP r, Jlo, a, L ismertek.
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka Az első négy fejezetben olyan rudakból felépített szerkezeteket tárgyaltunk, ahol a rudat annak középvonalával modelleztük. Az igénybevételek tárgyalásánál a rúd keresztmetszetéről szót ejtettünk már, azt nem részletezve, hogy a keresztmetszet mentén milyen eloszlású erőrendszer keletkezik, csupán a súlypontba redukált vektorkettősét tanulmányoztuk A térfogaton megoszló erőrendszer eredőjének számításakor - állandó vastagságú síklemeznél - a keresztmetszet statikai nyomatékának fogalmát vezettük be. A keresztmetszet mentén lineárisan megoszló erőrendszereknél még egy keresztmetszettől fuggő új fogalmat vezettünk be: a másodrendű nyomatékot. Ezek szerint a keresztmetszetek j ellemzői: Nulladrendű nyomaték (terület):
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka Elsőrendű
431
(statikai) nyomaték:
S~= JxdA (A)
Másodrendű
nyomaték:
Láthatjuk tehát, hogy ha a valóságos rúdszerkezeteket sokrétűbben kívánjuk modellezni, akkor a rúd középvonalán kívül annak keresztmetszeti jellemzőit is értelmezni kell, melyek közül a továbbiakban a másodrendű nyomatékkal foglalkozunk. 5.3.1. ALAPFOGALMAK, DEFINÍCIÓK Síkfelületen lineárisan megoszló párhuzamos erőrendszer pontra redukálásakor a síkidom elsőrendű (statikai) nyomatékai mellett az ún. másodrendű nyomatékok is megjelennek a levezetéy • v seinkben (3.3.1.3. pont). v ! Ilyen erőrendszer pl. a folyadéktartályok falára ható hidrosztatikus nyomás; a támfalakat terhelő talajnyomás, vagy - amivel leginkább foglalkozunk majd - a hajlított rudak keresztmetszeteiben működő belső megoszló erők rendszere.
Az 5.42. ábrán vázolt általános alakú
x
síkidomon, a síkra merőlegesen, lineáris törvényszerűség szerint megoszló erőrendszer működik. Az erőrendszer 5.42. ábra semleges tengelyét (ahol az intenzitás zérus) jelöljük u-val. A felület tetszőle ges P pontjában az mtenzltás a semleges tengelytől mért v távolsággal arányos: p= AV.
5. Valóságos szerkezetek modellezése
432
Redukáljuk az ilyen módon megadott erőrendszert a semleges tengelyen lévő valamely O pontra, amely legyen egyúttal az u, v, w koordinátarendszer kezdőpontja is! Az eredő erő nagysága:
F
= f dF = f pdA = fA vdA =Af vdA =A Su, (A)
(A)
(A)
(5.183)
(A)
Su a síkidom u tengelyre számított statikai nyomatéka. Az erőrendszer O pontra vonatkozó nyomatékvektorának vetületei (vagyis a koordináta-tengelyekre számított nyomatékok): ahol
Mu
= J vdF = J (A)
vpdA
(A)
= J VAVdA =A J v 2 dA, (A)
(A)
M v =-J udF =-J updA =-J uAvdA =-A J uvdA. (A)
Mw = O (az uv síkra
(A)
(A)
merőleges erőknek
(A)
a w tengelyre nincs nyomaté-
kuk). Az erőrendszer O ponthoz tartozó nyomatékvektora tehát: 2
M 0 =euMu +evMv =A [eu J v dA -ev J uvdA] =A lu. (A)
(5.184)
(A)
A kapott (5.184) eredmény zárójelben lévő része kizárólag a síkidom geometriai adataitól (és természetesen az u, v koordináta-rendszer viszonylagos helyzetétől) fuggő vektormennyiség. Az integrálok hasonlítanak az első rendű (statikai) nyomaték (5.183) formulájához, azonban most a felületelem mellett álló tényezők a koordinátáknak nem első-, hanem másodrendű kifejezései (négyzetei és szorzatai), ezért ezeket másodrendű nyomatékoknak nevezzük. Széles körben használt elnevezésük ezenkívül még az inercianyomaték (tehetetlenségi nyomaték) is, annak ellenére, hogy ez a fogalom a fizikai értelemben vett tehetetlenséggel nem áll kapcsolatban. Ebből a téves elneve-
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
síkidomok másodrendű nyomaféke
433
ből ered egyébként az, hogy a másodrendű nyomatékok Jelölésére az I betűt használjuk. Síkidomokkal kapcsolatban az alábbi típusú másodrendű nyomatékokat deíiniálhatjuk: Tengelyre számított másodrendű nyomaték:
(5.185)
/ Definíció: Síkidom tengelyre számított másodrendíJ nyomatéka az adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a tengelytől mért távolságuk négyzetével ~·zorozzuk meg. Az I betíi indexe jelöli azt a tengelyt, amelyre a másodrendíJ nyomaték vonatkozik. Ezt a nyomatékot szokás még idegen (latm) szóval ekvatoriális (equatoriali~) másodrendű nyomatéknak is nevezni. Az mtegrál eredménye egy skaláris mennyiség, amelynek számértéke csak pozitív lehet. Tengelypárra számított másodrendű nyomaték:
I = JuvdA ll V
(5.186)
(A)
/ Definíció: Síkidom merőleges tengelypárra számított másodrendíJ nyomatéka az adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a tengelyektól mért elfljeles távolságaikkal szorozzuk meg. Az I betíi két indexe jelöli azt a tengelypárt, amelyre a másodrendü nyomaték vonatkozik. A tengelypárra számított (bilineáris) másodrendű nyomaték egy másik szokásos elnevezése: centrifugális másodrendű nyomaték és ebből következően a jelölésére igen gyakran I helyett C betűt használnak. A "centrifugális" elnevezés onnan ered, hogy forgó tömegek esetén az ún. centrifugális erő nyomatékának számítási képletében szereplő integrál formailag hasonló az Iuv -hez. Ez a másodrendű nyomaték is skaláris menny1ség, amelynek számértéke egyaránt lehet pozitív és negatív, sőt kivételes esetben zérus is.
434
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Pontra számított (poláris) másodrendű nyomaték. Az előbbiekben megismert két másodrendű nyomaték-típus (l u, J uv) mellé sorolható még - csupán formai hasonlósága miatt - a poláns másodrendű nyomaték is, amelyet a következő módon számíthatunk, ill. definiálhatunk: (5.187)
/ Definíció: Síkidom pontra számított (poláris) másodrendű nyomatéka az adott tartományon vett felületi integrál, amelyben a felületelemeket a ponttól mért távolságuk négyzetével szorozzuk meg. Az J betű indexe jelöli azt a pontot, amelyre a másodrendű nyomaték vonatkozik.
A poláris másodrendű nyomaték számértéke csak pozitív lehet. Ez a másodrendű nyomaték a p=.íLv összefüggéssei definiált párhuzamos megoszló erő rendszerrel nem hozl1ató ugyan közvetlen kapcsolatba, de mint segédmennyiség igen jól felhasználható körszimmetrikus síkidomok tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékainak számításához is. A poláris másodrendű nyomaték ugyanis felírható az alábbi formában: (5.188) (A)
(A)
(A)
(A)
Csavart rudak keresztmetszeteiben működő belső megoszló poláris másodrendű nyomatéknak lesz igen fontos szerepe.
a
5.43. ábra
erőrendszer
vizsgálatánál a
A másodrendű nyomatékok szokásos mértékegységei: m 4 , cm 4 , mm 4 . A képletekben szereplő felületi mtegrálok általában kettős integrálással számíthaták ki, de a felületelemek célszerű megválasztásával a műveletek legtöbbször egyszerű integráira redukálhatók. Az alábbiakban néhány egyszerű síkidom másodrendű nyomatékainak számításmódját mutatjuk be. Derékszögű négyszögnél (5.43. ábra) a felületen:
d.A= dx dy.
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
Az x tengelyre vonatkozó
síkidomok másodrendű nyomatéka
másodrendű
435
nyomaték: (5.189)
Az y tengelyre számított másodrendű nyomatékot az I x -ből az a és b szerepének felcserélésével kapjuk: ba 3 3
I=Y
(5.190)
x
másodrendű
Az xy tengelypárra vonatkozó nyomaték:
5.44. ábra
b2
a b
a
b
2
OO
O
O
4
Ixy= J xydA= JJxydxdy=JxctxJydy=~. (A)
(5.191)
Körcikk esetén (5. 44. ábra) az integrálokat polárkoordinátákkal célszerű meghatározni. A felületelem kifejezése:
dA= rd
másodrendű
nyomaték: 4
( a l . ) lx= J ydA= JfCr·sm
'
(A)
.
R
2
(A)
O
3
a
.
?
O
R4 lx= -(2a -sin2a). 16
Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték:
R
4
-
4
(5.192)
5. Valóságos szerkezetek modellezése
436
= I x 2dA = fJ (r· cos
Iy
(
(A)
(A)
O
4
O
-
4
Az x,y tengelypárra vonatkozó (centrifugális) másodrendű nyomaték:
I xy
R
a
O
O
= I xydA = JI r cos
(A) 4
4
R l . , R =--sma= -sm- a. 4 2
.
?
(5.193)
8
Az O pontra számított poláns másodrendű nyomaték:
(5.194)
Derékszögű dű
háromszögnél (5.45. ábra)
kettős
integrál adJa a másodren-
nyomatékokat
Y
t
a
1 ..
Az x tengelyre számított másodrendű nyomaték:
x
, a ab =Iyx dy= I y-ydy=-. b
3
b
?
1
5.45. ábra
o
o
b
(5.195)
4
Az y tengelyre számított másodrendű nyomaték:
(5.196)
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
Az xy tengelypárra vonatkozó
l xy
síkidomok másodrendű nyomatéka
másodrendű
nyomaték:
= J xydA = Jy [x'Jx dx Jdy = Jy ~y = Jy?1 ( ~y ) b
b
2
(A)
O
O
O
437
?
~
b
O
-
b
2
dy
b? = ~. ?
8
(5.197) A bemutatott példáknál alkalmazott módszert követve integrálszámítással elvileg bármilyen alakú síkidom tetszőleges egyenesekre vonatkozó másodrendű nyomatékait meg tudnánk határozni, ami azonban - mint láthattuk -még a legegyszerűbb esetekben sem bizonyult túl könnyű feladatnak.
5.3.2. A MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOKKAL KAPCSOLATOS TÉTELEK Bármilyen síkidom másodrendű nyomatéka~ között - amelyeket különböző tengelyekre vagy tengelypárokra számítottunk - meghatározott összefüggések állnak fenn. Ez azt jelenti, hogy ha Ismerjük egy síkidom lx, ly és lxy másodrendű nyomatékait, amelyek egy tetszőlegesen felvett x,y koordinátarendszer tengelyeire vonatkoznak, akkor bármely más tengelyhez, vagy tengelypárhoz tartozó másodrendű nyomaték ezen összefüggésekkel - integrálszámítás nélkül is -meghatározható. Egy koordináta-rendszert általában a tengelyek párhuzamos eltolásával és az origó körüli elforgatással vihetünk át egy másikba, ezért ezt a két transzformáeiét az alábbiakban részletesen elemezzük. 5. 3. 2 .l. Párhuzamos koordinátatranszformáció
Tétel: Egy síkidom tetszó1eges egyenesre vonatkozó másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha az egyenessel párhuzamos és az idom súlypontján átmenő tengelyre számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk a tengelyek közötti távolság négyzetének és a síkidom területének szorzatát. Pl.: (5.198)
!lllJ
5. Valóságos szerkezetek modellezése
438 ~"Bizonyítás:
Az x,y tengelyekkel párhuzamos ban metsződnek (5.46. ábra). A koordináták közötti összefüggések:
s,ll
tengelyek a síkidom S súlypontjá-
A síkidom másodrendű nyomatéka az x tengelyre:
I,= Iy dA =I (ll+ yyciA =I ll dA +2y, IlldA+ y: IdA= 2
(AJ
2
(A)
(A)
(A)
Mivel a ~ koordinátatengely a síkidom súlyponti tengelye, ezért az S;; statikai nyomaték zérus. Az összefüggés teltát a ~ súlyponti tengelyre, valamint a vele párhuzamos x tengelyre számított másodrendű nyomatékok között:
Az (5.198) összefiiggést egyébként Steiner-tételnek nevezzük, amelyben az y~ A az ún. Stemer-féle tag. 5.46. ábra A tételből az a következtetés vonható le, hogy az egymással párhuzamos tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékok közüla súlypontt tengelyre számított érték a legkisebb. A Stemer-tétel alapján levezetés nélkül is felírhatjuk az y tengelyre számított másodrendű nyomatékot:
(5.199)
!liJ Tétel: Egy síkidom tetszó1eges helyzetű meró1eges tengelypárra vonatkozó (centr~fugális) másodrendíi nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáalfjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát. Pl.:
5.3. Keresztmetszetekjellemziii: síkidomok masodrendű nyomatéka
439
(5.200) "'v' Bizonyítás: Az
előzifekhez
másodrendű nyomatékot
hasonló módon felírhatjuk az x,y tengelypárra számított
is:
I,y =I xy dA= I (S +xJ(ll + y,)dA = (A)
=
(A)
jS11 dA+ys SS dA+Xs IT] dA+XsYsi dA= (A)
(A)
(A)
A ~ és'll súlyponti tengelyekre a statikai nyomatékok zérus értékűek, ezért a két középső tag is zérus. Az eredmény tehát:
Ez az összefiiggés a centrifugális másodrendű nyomatékokra vonatkozó Stemer-téteL A Steiner-féle tag itt egyaránt lehet pozitív vagy negatív előjelű, sőt zérus is, attól fiiggően, hogy a súlypont az x,y koordináta-rendszerben hol helyezkedik el. A tételből következtik, hogy minden olyan esety ben, amikor az x vagy az y tengely átmegy a súlyponton: a Steiner-féle tag zérus lesz, ezért a centrifugális másodrendű nyomaték nagysága ilyenkor fiiggetlen a másik tengely helyzetétőL Alkalmazzuk a Steiner-tételt az 5.47. ábrán látható a, b méretű téglalapra és számítsuk k1 a súlypontján átmenő ~' 11 tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékokat! A számításnál felhasználjuk a derékszögű négy5.47. ábra szög oldalaival egybeeső tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékok integrálással nyert (5.189)-(5.191) képleteit
ahol:
-/40
5. Valóságos szerkezetek modellezése
(5.201)
Hasonló lépésekkel:
I =l -x2A=a3b-(a)2ab=a3b_a3b=a3b. 11 y s 3 2 3 4 12 A centrifugális
másodrendű
(5 .202)
nyomaték:
A következőkben a Steiner-tétel alkalmazásával számítsuk ki az 5. 48. ábrán látható derékszögű háromszögnek a súlypontján átmenő ~' 11 tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékait! Ezzel a háromszöggel kapcsolatban már integx rálássallevezettük az lx, ly és fxy képleteit, ezért most ezeket tekintjük kiindulási alapnak.
.;
5.48. ábra
(5 .203)
(5.204)
A
q,
77 tengelypárra vonatkozó (centrifugális) 2
2
(a)(2 )1
másodrendű 2
nyomaték:
2
a b a b J.91 =l -xyA=----b -ab=--. -'.Y s s 8 3 3 2 72
(5.205)
5. 3. Keresztmetszetek jellemző i: síkidomok nuisodrendű nyomatéka
441
Végül egy R sugarú, negyedkör alakú síladom (5.49. ábra) súlyponti ~' 11 tengelyeire határozzuk meg a másodrendű nyomatékokat! Kiindulásként a körcikkre már levezetett képle- y teket vesszük alapul a = ~ behelyettesítéséveL 2 4 R R 4 rc lx =16(2a-sin2a)=l6. (5.206)
R16rc -(4R) 3rc 4
J =J _ <;
2
x Ys
= R4rc 16
A=
2
11
2
•
R rc = 4
o
x
(1-~). 9rc 2
5.49. ábra
A fennálló szimmetria következtében
A tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomaték:
R4
2
R4
J =-sm a = xy 8 8 '
(5.208)
(5.209)
5.3.2.2. Koordinátatranszformáció a tengelyek elforgatásával A következőkben azt vizsgáljuk, hogy hogyan változnak a koordinátarendszer tengelyeire, ill. tengelypárjára vonatkozó másodrendű nyomatékok, ha a tengelyeket a kezdőpontjuk körül valamely más helyzetbe elforgatJuk Az 5.50. ábrán lévő vázlaton az x,y koordináta-rendszer a síkidomhoz rögzített, míg az u, v koordinátatengelyek változó irányúak lehetnek.
-142
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Ugyanannak a felületelernnek a két rendszerbeli koordinátái között az alábbi öszszefuggés áll fenn:
v
u = x cos
x
y
COS
Írjuk fel az u tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot a transzformációs képletek behelyettesítésével:
5.50. ábra
lu
= Jv 2 dA = J(y cos
(A)
2
(5.210)
=lx cos
}'2sin
Hasonló módon fejezzük ki a v tengelyre számított
másodrendű
nyomatékot
lS:
Iv =
Ju 2 dA = J(x cos
(A)
(A)
2
2
=lY cos
}'2 sin
Iuv =
másodrendű
(5.211)
nyomaték:
Juv dA= J(x cos
(A)
=I,_Y (cos 2
o
cos
(5.212
A kapott eredményeket szokásos még a szögfuggvények négyzetet és szorzatai helyett a kétszeres szögek fuggvényeivel is kifejezni, a következő trigonometriai összefuggések felhasználásával: 2 sm
=sm 2
cos 2
sin 2
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
?
l
síkidomok másodrendű nyomatéka
l
cos-
műveletek
443
. ? l l 2
elvégzése után az alábbi képletekhez
(5.213)
Az elforgatott u, v koordinátatengelyekhez tartozó másodrendű nyomatékok változása az ún. Mohr-jéle kördiagramon ábrázolható.
/[[J Tétel:
Az I u és I uv összetartozó értékei egy rendszerben kört határoznak meg. ch" Bizonyítás:
derékszögű koordináta-
Az (5.213) összefüggéseket írjuk fel kissé átrendezett formában:
Ezek egy kör paraméteres egyenletei az 111, luv koordináta-rendszerben. A két egyenletet emeljük négyzetre és adjuk össze: 2 2 lx+ly] [Iu - -2 - +l uv
2 2 = [I"-IY] - - +l . 2 -"Y
Hasonlítsuk ezt össze a kör "szokásos" egyenletével:
(5.214)
444
5. Valóságos szerkezetek modellezése
látható, hogy olyan körről van szó, amelynek középpontja a vízszintes koordinátatengelyen van, a kezdőponttól
távolságra, a sugara pedig
Az (5.214) egyenletnek megfelelő kördiagramot az 5.51. ábrán rajzoltuk meg. A kör bármely P pontja a síkidom A pontja körül forgó u tengely egy meghatározott helyzetéhez tartozik. Ha az u tengelyt (/J szöggel elforgatjuk, akkor a P 11 ponthoz tartozó sugár 2rp szöggel a rp.vel azonos értelemben fordul el a kör K középpontja körül. fuv4
fu
l
ol-~~r---1-~~~ ~·-~ i
'r,-=========================~-·~---"l ~-
l
5.51. ábra
Ennek igazolásához mérjiik fel az x tengelyhez tartozó I x -et a vízszintes tengelyen, az I xy -t pedig fiiggó1eges ordinátaként: eredményül a P, pontot kapjuk. A kör középpontja az O-tól (I,+ ly)/ 2 távolságban van. A KPx sugár vízszintes vetiilete
A KPx távolság fiiggó1eges vetülete:
5.3.
Keresztmerszetekjellemzői:
síkidomok masodrendű nyomatéka
445
R sin2
Írjuk fel most a KP,, sugár vetületeit: A vízszintes vetület:
I~-
-----''-CIOS 2
Ha ezt a vetületet hozzáadjuk az OK távolságlwz, akkor a P" pont vízszintes koordinátáját kapjuk meg: +
J x -ly 2
coslep-J x:v sin2
Ez megegyezik az J u analitikus úton levezetett képletével. Hasonló módon igazolható, hogy a KP,,
fiiggőleges
vetülete az J uv -vel azonos:
R· sin 2(
Q. e. d.
=l,Y ·cos2
/Definíció: Az elforgatott koordinátatengelyekre számított ekvatoriális másodrendű nyomatékok szélsőértékeit főmásodrendű nyomatékoknak nevezzük. Szokásos jelölésük:
J max =]l A főrnásodrendű nyomatékokat a kördiagram alapJán könnyen meghatározhatjuk:
J1-2 = JK ± R =
1~
+ly 2
± [
IX ly ] 2
2
+
]2 xy·
(5.215)
446
5. Valóságos szerkezetek modellezése
~Definíció: Az elforgatott koordinátatengelyeket főtengelyeknek nevezzük, ha az azokra számított ekvatoriális sőértékük van.
másodrendű
nyomatékoknak szél-
A kördiagram alapján az x tengely és a főtengelyek által bezárt szögre vonatkozóan közvetlenül felírható az alábbi összefuggés:
Ixy tg2
(5.216)
y
2 A főirányokhoz tartozó ~ és P2 képpontok az I u tengelyen vannak, ami azt jelenti, hogy a főtengelyekre számított centrifugális másodrendű nyomaték zérus. A Mohr-féle kördiagramot felhasználhatjuk arra Is, hogy a főtengelyek Irányát a kétszeres szögek felezése nélkül közvetlenül is meghatározhassuk Ezt a kör ún. pólusa ( P0 ) teszi lehetővé.
/Definíció: A Mohr-diagram pólusa az a kerületi pont ( P0 ), amelyet valamely P,. képponttal összekötve a képpontnak megfelelő tengely irányával párhuzamos egyenest kapunk. A pólus használatát az 5.52. ábrán vázolt síkidommal kapcsolatban mutatjuk be. Először a kiszámított I x ,IY és I xy adatai alapján megszerkesztjük a Mohr-kört. Ezt
követően
megkeressük a P0 pólust. Ez úgy történik, hogy a
Px képponton keresztül párhuzamos egyenest húzunk az x tengely IrányávaL ez kimetszi a körön a P0 pólust. Ha az így meghatározott pólusból kiindulva a ~ és P2 pontokon át egyeneseket raJzolunk: közvetlenül megkapjuk az l. ill. 2. jelű főtengelyek irányait.
5.3. Keresztilletszetek jellemzöi: síkidomok wa.,úarendű nyomatéka
447
5.52. ábra
5.3.2.3.
Merőleges
tengelyekre számított másodrendű nyomatékok összege
Az előző alfeJezetben már Igazoltuk azt, hogy az elforgatott tengelyekre felírt !" és /" ekvatonális másodrendű nyomatékok összege az elforgatás szögétől fuggetlen állandó, ami a poláns és ekvatonális másodrendű nyomatékok között fennálló kapcsolatból is levezethető.
!lJ1 Tétel: Két egymásra meró1eges tengelyre számított ekvatoriális másodrendű
láris
nyomatékok összege a tengelyek metszéspon(jára vonatkozó ponyomatékkal egyenlő.
másodrendű
(5.217) .ftr·
Bizonyítás: A
másodrendű nyomatékok
l, =Jy"dA,
definíciós képletei:
l y = Jx"dA ,
A derékszögíí és a poláris koordináták közötti kapcsolat (5. 53. ábra):
Az x és y tengelyekre számított másodrendű nyomatékok összege:
448
5. Valóságos szerkezetekmodellezése
Mivel az r távolság független az x,y tengelyek irányától, ezért a levezetett összefüggés bármilyen más irányú meró1eges tengelyek esetén is érvényes:
Ennek a tételnek az alapJán a teljes körterület valamely átmérőjére vonatkozó másodrendű nyomatéka igen egyszerű O " - - - - - - ' - - - - - - - x módon meghatározható. 5.53. ábra Az 5.54. ábrán alkalmazott jelölésekkel először az O pontra vett poláris másodrendű nyomatékot számítjuk ki. A felületelem itt egy dr vastagságú körgyűrű, amelynek minden része az O y ponttól r távolságra van, ezért R
2
2
IP= Jr d.A= Jr r2n·dr= (A)
O
x
=2n
RJ ,
R4n
r~dr=-?-. o -
(5.218)
A műszaki gyakorlatban a sugár helyett inkább a D átmérővel számolnak:
5.54. ábra
=R4~=(D)4 ~= D4n.
I p
2
2
2
32
Alkalmazzúk most az (5 .217) összefuggést:
Mivel kör esetén bármely átmérőre számított ekvatoriális nyomaték azonos nagyságú, azaz I x I Y , ezért
másodrendű
5.3.
Keresztmerszerekjellemzői:
síkidomok másodrendű nyomatéka
449
ahonnan l R4n D4n ...J:....=----2
4
64
(5.219)
5.3.2.4. Részekre bontás tétele Több részből összetett síkidom másodrendű nyomatékát (legyen az akár tengelyre, tengelypárra, vagy pontra számított nyomaték) elvileg olyan módon határozzuk meg, hogy az integrálást az egyes részekre külön-külön elvégezy ~ zük, maJd az integrálokat összegezzük (5.55. ábra). 1
/[J)/
Tétel: Az egész síkidom másodrendíi nyomatéka a rész-idomok ugyanazon tengelyre (tengelypárra, vagy pontra) számított másodrendű nyomatékainak összegével egyenlő. O
-+--._ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ , , . . . .
x
5.55. ábra
2
,;.b/" Bizonyítás: A tétel helyessége az integrálás fogalmából következik:
2
2
2
I,= Jy dA = Jy dA+ Jy dA+ Jy dA =1,1 +1x2 +1,3. \AJ
(Aj)
(A2)
(5.250)
(A3)
Q. e. lL
A tétel gyakorlati alkalmazása úgy történik, hogy a síkidomot olyan egyrészidomokra bontjuk fel, amelyek másodrendű nyomatékaira vonatkozóan már kész képletek állnak rendelkezésünkre. Speciális kézikönyvekben a gyakrabban előforduló összetett alakzatokra is találhatunk jól használható számítási formulákat. szerű
450
5. Valóságos szerkezetekmodellezése
Az összegezés1 tétel értelemszerűen érvényes hiányos síkidomok esetére IS (5.56. ábra), amikor az "összetett" idom két egyszerű alakzat különbségeként állítható elő: y. y r------t---,
x 5.56. ábra
Ilyenkor a lönbsége lesz:
másodrendű
nyomaték is a részidomok nyomatékainak a küIx =I
x! -
I xz ·
A hiányzó részt negatív területként értelmezve az (5.220) összefuggést változatlan formában használhatjuk.
5.3 .2. 5. Szimmetriatétel
!llJJ Tétel:
Síkidom tengelypárra számított (centrifugális) másodrendű nyomatéka zérus, ha az idom legalább az egyik tengelyre szimmetrikus. •y w·· Bizonyítás: Ha az x,y koordinátatengelyek közül az egyik
(pl. y) szimmetriatengely, akkor a tengelypárra vonatkozó (centrifugális) másodrendű nyomatékot a következő módon számíthatjuk ki (5.57. ábra): A szimmetria miatt bármely x,y koordinátájú dA felületelemhez tartozik egy vele azonos nagyságú dA ' "tükörkép", amelynek azonban -x és y a koordinátája, ezért a keresett másodrendű nyomaték elemi része:
o 5.57. ábra
dlxy = xydA +(-xydA)= O. Mivel a teljes síkidom szimmetrikus elempárokból össze, ezért a két fél-részre vonatkozó integrál is
tevődik
5. 3. Keresztmetszetek jellemziii: síkidomok másodrendű nyomatéka
451
zérussal egyenlő:
l =fdl "Y
"Y =0
Q. e. d.
(A)
Ha ezt a tételt egybevetjük a Mohr-kördiagrammal kapcsolatban tett megállapítással, amely szerint a főtengelyekre számított centrifugális másodrendű nyomaték zérus; akkor kimondhatjuk az alábbiakat Is:
!l1J Tétel: A síkidom bármely szimmetriatengelye főtengely. 5.22. Példa: Határozzuk meg az 5.58. ábrán méreteivel megadott síkidom másodrendű nyomatékát a súlypontján átmenő ~ tengelyre! Megoldás: A számításhoz a derékszögű négyszög ekvatoriális másodrendű nyomatékára levezetett (5.190) vagy (5.201) képletek valamelyikét kell felhasználnunk. A T-alakú síkidomot először egyszerű alakú idomokra, azaz két téglalapra bontjuk fel. A területek:
A = A1 +.Az = 3· 9+ 3· 9 = 27+ 27 = 54 cm2 .
1-4--_,..,'---~__,...,___,
5.58. ábra
Az x tengelyre számított statikai nyomaték:
A síkidom súlypontjának magassága:
s
ys = ~ =
405
S4 = 7,5 cm.
A keresett I:; másodrendű nyomatékot többféle módon is számíthatjuk. (A célunk éppen az, hogy ennek az egyszerű példának a megoldásán keresztül a lehetséges számítási módokat bemutassuk.)
5. Valóságos szerkezetekmodellezése
452
a.) Először az x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot határozzuk meg. A síkidomot befoglaló négyszög 9 cm széles, 12 cm magas, amelyből mmdkét oldalon "hiányzik" egy-egy álló 3x9 cm-es .x' téglalap. ~+--..---<+---r--+-"'..__....._. Mindhárom négyszög alsó oldaléle az x tengely ~ (5.59. ábra), ezért az x-re vonatkozó másodrendű nyomatékok mindegyikét az ab 3
Ix =3x 5.59. ábra
képlettel kell számolnunk, az a és b méretek értelemszerű behelyettesítésével: I = 9·123- 3·93- 3·93 =3726cm4. x 3 3 3
Alkalmazzuk most a párhuzamos tengelyekre vonatkozó Steiner-tételt:
Is =Ix-y;· A= 3726-7,5 2 ·54= 688,5 cm4. b.) Az x ' tengelyt választva kiindulásként és az eredeti részekre osztást megtartva végezhetjük a számítást:
Az x', y' koordináta-rendszerben a súlypont koordinátája:
y:= -1,5 cm, Is= Ix- Ys- ·A= 810- -1,5 )2 ·54= 688,5 cm 4. •
'?
(
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
c.) Végezetül az egyes részidomok számítjuk ki a ~ tengelyre.
másodrendű
453
nyomatékait egyenként
Az l. jelű síkidom saját (~;) súlyponti tengelyére a másodrendű nyomaték 4 , - albl3 - 9. 33 -20 25 I 1;1cm 12 12 '
A részidomnak a ~ tengely nem súlyponti tengelye, ezért a Steiner-tag pozitív előjelű:
ahol L1y1 az l. részidom súlypontján -valamint az egész idom súlypontján átmenő tengelyek távolsága. Hasonló módon elvégezve a 2. rész1domra vonatkozó számítást: 3
3
aobo 2 3. 9 2 4 !," =-=--=- + L1"2 ·A" =--+3 ·27= 425,25 cm . ~12 :.T 12
A két részmennyiség összege: le, = /s 1 + /s 2 = 263,25 + 425,25 = 688,5 cm4 .
Mint látjuk: a különböző módokon elvégzett számításokkal mmdig azonos végeredményre jutottunk. Lehetőségünk van tehát arra, hogy egy adott feladat megoldásakor a számunkra legkedvezőbb számítási lépésekkel határozzuk meg a keresett végeredményt.
5.60. ábra
5.23. Példa: Határozzuk meg az 5.60. ábrán látható síkidom másodrendű nyomatékatt az x,y tengelyekre, és az xy tengelypárral Számítsuk ki x az x,y koordináta-rendszer O kezdőpontjához tartozó főmásodrendű nyomatékokat és a főten gelyek irányait!
454
5. Valóságos szerkezetekmodellezése
Megoldás: Ennél a példánál a méretek számértékeit nem adtuk meg, ezért a végeredményeket IS csak az R segítségével tudjuk kifeJezni. A teljes síkidoroot egy négyzetre x,x' (l) és egy negyedkörre (2) lehet felbon5.61. ábra taní (5.61. ábra). A részidomok másodrendű nyomatékaira vonatkozó legfontosabb képleteket az előzőekben már levezettük Az x tengelyrevett másodrendű nyomatékot az (5.189) és (5.206) képletekkel számíthatjuk: 3
I =R. R x
3
+R16n = R 4 (_!_+~) =R 3 16 4
Az y tengelyre vonatkozó
4
·O 52968. '
másodrendű
nyomaték a négyzet esetében az (5. 18 9) alapképlettel közvetlenül számítható:
R4
I y,! =3-
A negyedkör esetében az (5.206) alapképletből indulhatunk ki, az y ' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték adódik:
amelyből
A 2. részidom y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát a Steinertétel alkalmazásával határozzuk meg. Ez azonban közvetlenül (egyetlen lépésben) nem lehetséges, mivel az általunk levezetett Steiner-formulában az egyik tengely mmdig a súlyponti tengely! Ezért a művelet két lépésben történik: előbb az y '-ről áttérünk a részidom 11 súlyponti tengelyére, majd innen egy ÚJab b lépéssei a feladat szennti y tengelyre: 2
4
=R n
I yl
16
-(4R) 31C
2 •
R n 4
+(R+ 4R) 31C
2
2 •
R n 4
= R(5rc +2). 4
16
3
5. 3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
455
A részmenny1ségek összege:
Az J xy centrifugális másodrendű nyomatékot szintén "kész" képletek
alapján számíthatjuk (5.191):
A negyedkör esetén ügyelnünk kell arra, hogy a saját súlyponti tengelypárra (~11) vett másodrendű nyomaték nem zérus, hanem az (5.209) képlet alapján számítható érték: 4
2
R) R
4 - -=R 4 4 ll fxy? =]Fn? +A?x?y, =R- ( 1 -32- ) +R-rt-(R + -. ..,.,_ - - 8 9rt 4 3rt 3rt 24
A teljes síkidomra vonatkozó összeg:
A főirányok hajlásszögét meghatározó összefüggés:
tg2
-2·R4·0,70833 =+0,97561, R 4 (0,52968 -1,98175)
')-(j) o-44 ,-?9?- 8°+ ~t-J~' ,_ .
456
5.
szerkezetekmodellezése
A főmásodrendű nyomatékok:
~ R'[ 0,52968; 1,98175 ±
( 0,52968 ~ 1,98175) +O, 70833 , 2
J~
2 27005 = R 4 (1,25572 ± 1,01433) { 11 = • R:. 12 = 0,24139R . A Mohr-féle kördiagram segítségével könnyen tisztázhatjuk, hogy a kiszámított főmásodrendű nyomatéx kok közül melyik tartozik a
2
lu r?~-r----~~----+-~~--
lx= l 0,529R4 1'1111
...
~='!
ly=l,981R4
.. j
1
5.62. ábra
A főirányok és főmásodrendű nyomatékok összetartozó értékeit az (5.213) képletekkel IS meghatározhatjuk. Helyettesítsük be pl. a
I" (
fx+ 2
+
Jx-Jy 2 cos2m 't' 0, 1
I" =R 4 (1,25572 0,72603·cos44,29o
I~, -7
. sm2
0,70833·sin44,29o)=R 4 0,241389.
Számítással is azt az eredményt kaptuk, hogy a 22, 14 o -os szöghöz a legkisebb ekvatoriális másodrendű nyomaték (I 2 ) tartozik.
5. 3. Keresztme/szetek jellemz6i: síkidomok másodrendű nyomatéka
457
5.24. Példa: Határozzuk meg az 5.63. ábrán látható síkidomnak a súlypontján átmenő xy tengelypárra vonatkozó l x.v másodrendű nyomatékátl A síkidom egy szabványos (MSZ 4348-73) "hidegen hajlított egyenlőtlenszárú L-szelvény" (80.40.3 ), amelynek jellemző adatait a szabványhoz ...s:: tartozó táblázat tartalmazza. A számításhoz szükséges adatok: l x-- .:..J, ')"' 4 cm 4 ,'
5.63. ábra
Nfegoldás: A szabványos szelvények adatait tartalmazó táblázatokban nem szerepeinek a centrifugális másodrendű nyomatékok, ezért - ha arra valamilyen okból mégis szükségünk van - azt nekünk kell meghatároznunk A keresett l x.v számításához felhasználhatjuk az (5.213) képletcsoport-
ból az
első
formulát, amelyben 1" helyére az Ismert Ir; = 11 értéket helyet-
tesitjük és kifejezzük belőle I x.v -t.
tg
1.= X)
r
0,53656
sin2
cos2
( 23 ·4 + 4 ·31 + 23 ,4- 4,3 1 084386-251)=-5946cm 4 2
2
'
'
'
A keresett l "Y értékét a síkidom geometnm méretemek Ismeretében (ezek a szelvénytáblázatban megtalálhatók) természetesen az összetett alakzatokra vonatkozó számítási méctszerekkel IS meg tudnánk határozni. A számítási
458
5.
munka mennyisége azonban ez utóbbi esetben (ha a lekerekítések hatásalt itt pontosan figyelembe akarnánk venm) aránytalanul nagyobb lenne!
IS
40
3
o
00
5. 25. Példa: Határozzuk meg az 5. 64. ábrán lévő öszszetett síkidom súlyponti főmásodrendű nyomatékait és a hozzájuk tartozó főtengelyek irányait! Az L-alakú rész-idom az előbbi feladatban szereplő egyenlőtlenszárú L szelvény, amelynek a mostani számításhoz szükséges további adatai:
h= 80 mm ; b = 40 mm ; v = 3 mm, ex = 9 mm ; ey = 28,6 mm,
A= 342 mm 2 . Megoldás: A számítás első lépése a súlypont helyének meghatározása (5. 65. ábra). AJ =342 mm 2 , 5. 64. ábra
Az = 60· 4 = 240 mm 2 , A= A1 + A2 =582 mm 2 ,
Sx = AJ ·Y1 +Az ·Yz = = 342·28,6-240·2 = 9301,2 mm 3 ,
Ys = A
=
9301 2 ' = 15 98 mm 582 ' '
Sy =A1 ·x1 +A2 x 2
=
= 342·9+240·10 = 5478 mm 3 , 5.65. ábra
s
xs = ~ =
5478 582
= 9,41 mm.
A tovább1 számitást olyan módon végezzük, hogy az egyes részidomok másodrendű nyomatékait külön-külön határozzuk meg a súlyponti ~' 11 koordinátatengelyekre:
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
459
l. részidom: 2
1~ 1 = lx1 + A1ily; = 234000 +342· (28,6 -15,98 ) = 288468 mm 4 ,
ISTI l= I xyl + A]Ax:]ilyl =
= -59460+ 342(9 -9,41)(28,6-15,98) = -61229 mm 4 . 2. részidom: 3
( 2 60.4 )2 4 I." =lx?+ ~- Aoilv" - ~- = 12 +240 -15,98-2 = 77907 mm , 2
4 ITI 2 = Iy 2 +A2 Ax:22 = 4. 60 +240( 10-9,41)2 = 72083 mm,
12 4 Ir,TI 2 = lxy 2 + AzAx:1ily1 =0+ 240(10- 9,41)( -15,98- 2)= -2546 mm . Összegezett értékek: I~ = 288468 + 77907 = 366375 mm
4
,
ITI = 43157 + 72083 = 115240 mm 4 , Ir,TI = -61229-2546 = -63775 mm 4 . A
főmásodrendű
nyomatékok:
11 = 240807 + 140834 = 381641 mm 4 , 12 = 240807-140834 = 99973 mm 4 ,
-160
5. Valóságos szerkezetek modellezése
tg 2 m
Számítsuk ki a
első
-2J?c
---' -
ro -
I. -I <
-2(-63775) 251134 -
Ü _
'
)
078
'
'7
értékéhez (13, 46 o) tartozó
fő másodrendű
nyomaté-
I 1 = 240807 + 125567 · 0,8916- (-63775) · 0,4527,
A
FELADATOK 5.26.-5.34. Határozza meg az F5.26-F5.34. ábrákon látható síkidomok másod-
rendű nyomatékait a megadott x,y koordínáta-rendszerben (I x' I Y' I xy), az x,ynal súlyponti főmásodrendű nyomatékokat (I1, I 2), valamínt a fótengelyek 1rányszögelt (
x x
F5.26. ábra
F5.27. ábra
F.5.28. ábra
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
síkidomok másodrendű nyomatéka
461
!y
tY
l
l
l
F.5.29. ábra
F.5.30. ábra
F.5.30. ábra y •
10
l
~J
• y
Si SI N' -l l
x
-
x
18mm F.5.32. ábra
F.5.34. ábra
F.5.33. ábra
L.b. A mellékelt lemez ll. progamcsomagja (b. jelű) összetett szelvények másodrendű nyomatékainak a meghatározásához ad gyakorlási lehetőséget. 5.3.3. A MÁSODRENDŰ NYOMATÉK VEKTOROS TÁRGYALÁSA
Az eddig megismert skaláris összefüggésekkel tulajdonképpen bármilyen síkidom másodrendű nyomatékait l y v meg tudjuk határozni. Mégis fontosnak tartjuk azt, hogy a másodrendű nyomatékokat a vektorszámítás módszereivel is tárgyaljuk, mivel a követl kező félévekben az ilyen jellegű ismeretekre is szükségünk tesz. A korábbi levezetéshez hasonló~~~~~~---- x an most is egy síkfelületen lineárisan megoszló párhuzamos erőrendszer O pontra történő redukálásából indulunk 5.66. ábra ki.
t
462
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Az erőrendszer semleges tengelye az u tengely (5. 66. ábra). A tetszőle ges P pontban a síkra merőleges teherintenzitás nagysága:
p='A·v.
(5.221)
Ha nem csupán az intenzitás nagyságát, de annak vektor jellegét is ki akarjuk fejezni, akkor ezt így írhatjuk (5.222)
P ='A·e u xr ' ahol eu a semleges tengely irányával párhuzamos egységvektor. Könnyen belátható, hogy a p abszolút értéke p-vel egyenlő:
IPI =
A-le u l·lrlsma = #sina= A-·v,
iránya pedig merőleges mind az eu, mind az r vektorra, azaz az xy síkra. Írjuk fel a megoszló erőrendszer O pontra vonatkozó statikai nyomatékvektorát:
Jr x dF = Jr x p d.A= Jr x ('A eu x r )dA= ='A Jrx(eu xr)dA='A lu.
M0 =
(A)
(A)
(A)
(A)
A skaláns A mellett álló integrál lényegében az erőrendszertől elvonatkoztatott, pusztán geometriai jellegű vektormennyiség: Iu
=
Jr
X
(eu
X
r )dA.
(5 .223)
(A)
/ Definíció: Az (5.223) összefüggéssei megadott határozott integrált a síkidom másodrendű nyomatékvektorának nevezzük, amely az O pont helyétó1 és a ponton átmenő u tengely irányától függő mennyiség.
5. 3. Keresztmetszete/( jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
463
A továbbiakban olyan esetet v1zsgálunk, amelynél az O pont helye változatlan és csupán az u tengely Irányát tekmtjük változónak. Azt, hogy adott esetben melyik tengelyről van szó, azt az I vektor mdexében fogJuk Jelölni. Legyen például a kiválasztott irány az x koordinátatengely, amelynek 1rányvektora az i egységvektor, akkor az x tengelyhez tartozó másodrendű nyomatékvektor:
Ix= Jrx(ixr)dA.
(5.224)
Ebből az integrálból még nem érzékelhető pontosan az, hogy valójában milyen vektorról van szó. Ha valamivel többet szeretnénk megtudni róla, állítsuk elő a vektor koordinátás alakját! A dA felületelemhez tartozó helyvektor
r=xi+yj. Amint az az integrandusban 1s látható: az r vektort előbb i-vel, maJd ennek eredményét r-rel kell balról vektoriálisan megszoroznunk: i x r = i x {xi +yj) = x{ i x i)+ y(i x j) = yk,
r x(ixr) =r xyk = {xi + yj) xyk = xy(ixk) + y 2 {j xk) =- xyj + y 2 i. Az (5 .44) mtegrál tehát ebben a formában 1s felírható: (5.225) \A)
(A)
(Al
Ha pedig semleges tengelyként az y koordinátatengelyt választj uk, akkor a fentihez hasonló levezetéssei kapjuk meg a síkidom I .v másodrendű nyomatékvektorát:
l.v
=
Jr x {j x r)dA =-i J xydA +j Jx (A)
(A)
(A)
2
dA = -1,) + I.vj.
(5.226)
464
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Mindkét vektorról megállapíthatjuk azt, hogy azok a vizsgált 1dom síkjába esnek, de általában nem párhuzamosak azzal a tengellyel, amelyhez tartoznak. A két vektornak közös jellemzője az, hogy a "másik" tengellyel párhuzamos komponenseik nagysága azonos, azaz
Most térjünk vissza a tetszőleges írányú u tengelyhez tartozó másodrendű nyomatékvektor (5.224) definícíós képletéhez és helyettesítsük be az eu egységvektor x és y irányú komponenseível felírt formáját:
eu= icos<.p + jsín<.p, lu =
Jr x (i cos <.p+ j sin <.p )x rd.A = (A)
=cos<.p
J rx(ixr)d.A+sin<.p Jrx(jxr)d.A (A)
(A)
(5 .227) Az u tengely iránykoszinuszaít az egységvektorok skaláris szorzataíként írhatjuk fel:
cos <.p = i. eu'
sm<.p =j. eu.
Ezeket az (5.44)-be írva kapjuk: (5.228) A kéttagú kifejezésben az eu irányvektor közös tényező, amelyet azonban a megszokott módon nem tudunk kiemelni. A matematikában erre a mű veletre vezették be az ún. diadikus szorzás fogalmát, amelyet három vektor kétszeres skaláris szorzatából kiindulva a következő módon értelmezhetünk
5.3. Kereszimetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
465
a(bc) =(a o b)c =Tc= d.
Ezeket a müveleteket a vektorok mátrixaival az alábbi formában írhatjuk fel:
Itt csupán egyetlen szorzási módot: a mátrixszorzást kell alkalmazni. Ugyanez a müveletsor tömörebb formában, a mátrixok betüjeleivel: a(b *c)= (ab*)c =Tc= d,
ahol b* a b mátrix transzponáltját Jelenti (oszlopmátnx helyett sormátrix). Mint látjuk: a mátrixok körében a b*c müvelet a skaláris szorzásnak felel meg, míg az ab* művelet a diadikus szorzás megfelelője, amelynek eredménye egy négyzetes mátrix: a T tenzor mátnxa. Vezessük be a diadikus szorzás műveletét az lu vektor (5.228) kifejezésénél is és emeljük ki az eu közös tényezőt: (5.229) A szögletes záróJelben lévő diadikus szorzatok összege a síkidom O ponthoz tartozó másodrendű nyomaték tenzm-a. A vektorokkal kapcsolatos konkrét számítási müveleteket azok mátnxmnak segítségével végezhetjük el. Az (5.:229) összefüggésben szereplő vektorok mátrixai: cos
eu = [ sin
Ix -Jxy
J(l
0]= [ -JI x O J.I . = [ -1J xy J[0 l]= [OO O ' Yoj xy
y
J
-Jxy Jy .
5.
466
szerkezetek modellezése
A másodrendű nyomaték tenzorának mátnxa a két szorzat összege: J0
=[ -IIxxy 0O J+ [0O -Ixy]=[ Ix Iy -Ixy
-Ixy] I .
(5.230)
y
Végül pedig a kunduló (5.229) összefuggés mátnxos alakja:
(5.231)
Az u tengelyhez tartozó másodrendű nyomatékvektor az uv koordinátarendszerben is általában két összetevőre bontható:
Szorozzuk meg az egyenletet skalárisan
Határozzuk megazIv két
összetevőjét
előbb eu
-val, majd e v -vel
is hasonló módon:
A fenti műveletekből az ún. reciprocitási tétel származtatható, a következő összefuggés alapján: (5.232)
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
síkidomok másodrendű nyomatéka
467
Tétel: Meró1eges tengelyekhez tartozó másodrendű nyomatékvektorok egymás tengelyére képzett vetületei egyenlőek.
/[]}j
(Ez a tétel egyébként nem merőleges tengelyek esetén is érvényes.) A síkidom főmásodrendű nyomatékait az (5.229) tenzoregyenletből lS meg lehet határozni. A korábbi skaláris levezetéseinkből már tudjuk azt, hogy a főtengelyek koordináta-rendszerében a centrifugális másodrendű nyomaték zérus értékű. Ez azt Jelenti, hogy egy1k főtengelyhez tartozó másodrendű nyomatékvektornak sincs a másikkal párhuzamos komponense, vagyis ezek a vektorok a főtengelyekkel párhuzamosak Ezt vektorművelettel a következő módon tudjuk kifejezni: Jelöljük a kitüntetett irányt (főirányt) meghatározó egységvektort en-nel, akkor a párhuzamosság feltétele szerint In vektor csak egy skaláris szorzóban tér el az en-től:
A zérusra redukált egyenlet:
Az egyenletben szerelő en közös tényező kiemelése után megmaradt két tag: az / 0 tenzor és az In skaláris mennyiség csak akkor vonható össze, ha az utóbbiból is tenzort "csinálunk", ami olyan módon történik, hogy azt megszorozzuk az egységtenzorraL E-vel:
(5 .233) Ugyanez az egyenlet mátnxokkal felírva:
468
5. Valóságos szerkezetek modellezése
Ez a mátnxegyenlet a következő skalár egyenletrendszerrel
egyenértékű:
(5.234)
Ebben a homogén lineáns egyenletrendszerben a szögfuggvények az ismeretlenek. A sin
A műveleteket elvégezve I" -re nézve egy másodfokú algebrai egyenletet kapunk: ! xy2 )= o. Ennek gyöke1:
Ez a képlet azonos a főmásodrendű nyomatékokra már más úton levezetett (5.215Yformulával. Ha az így kiszámított főmásodrendű nyomatékok egyikét visszahelyettesítjük az (5.234) egyenletekbe, akkor ezekből a megfelelő főtengely iránytangensét egyértelműen meg tudjuk határozni:
5.3.
Keresztmetszetekjellemzői:
síkidomok másodrendű nyomatéka
Jxy sm
--7
tg
J -J xJ J xy
-lxycos
--7
tg
469
1y
_
(5.236)
12
Az (5.233) tenzoregyenletet kielégítő e 1 és e 2 irányvektorok az J 0 tenzor sajátvektorai, 11 és / 2 pedig a tenzor sajátértékei. sikidom bármely (külső vagy belsó) pontjához tartozik legalább egy olyan egymásra meró1eges tengelypár, amelyekhez tartozó másodrendű nyomatékvektorok a saját tengelyükkel párhuzamosak.
1/[jJ Tétel: A
&!/"Bizonyítás: Az (5. 236) összefüggésben szereplő
A tört értékére azért adódik -l, mert a poláris és az ekvatoriális
másodrendű
nyo-
matékok összefüggéseszerint
Mivel két egyenes merőlegességének feltétele az, hogy az iránytangenseik szorzata -l legyen, ezzel egyúttal a tételünket is bizonyítottuk. Q.e.d.
Az eddigieknél egyszerűbb forrnában írhatjuk fel az elforgatott tengelyekhez tartozó másodrendű nyornatékok kifejezését abban az esetben, ha a kezdett koordinátatengelyek a síkidom főirányaival egybeesnek (5. 67. ábra). Ebben a koordinátarendszerben ugyanis Jxy = O, ezért a másodrendű nyomaték tenzorának mátrixa diagonális (csak a
v
u
5.67. ábra
470
5. Valósilgos szerkezetek modellezése
toátlóban vannak zérustól különböző elemek): Írjuk fel az uv koordmáta-rendszerhez tartozó I u, I v és I uv másodrendű nyomatékok kifeJezéseit mátnxműveletekkel:
I =e* I u
u
Oeu
= [cos
J
sm
o]
_1uv =e*v I oeu =[-sin
I2
[cos
Itt ís bevezethetjük a kétszeres szögek szögfuggvényeit:
Iu =
JI
+fo 11 -fo -+ - cos2m
2 I v-- Il + I 2
2
I uv =
2
't'>
Il - I 2 2
.
7
(5.238)
Slll-
f 1 -fo . 2 - sm2
y
u
A koordináta-rendszer párhuzamos transzformációjára vonatkozó Steinertételt is felírhatjuk vektorműveletekkel. Az 5.68. ábrán alkalmazott jelölések szerint a síkidom S súlypontjából kiinduló !;17 koordináta-rendszerben a felületelem helyvektorát p-val jelölve: r= rs +p
o 5.68. ábra
dű
Az u tengelyhez tartozó másodrennyomatékvektor:
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
Iu =
471
Jr X (eu X r )dA= J(rs +p) X [eu X (r, X p )]dA= (A)
(A)
= j[r, x(eu xr,)+rs x(eu xp)+px(eu xrs)+px(eu xp)]dA= (A)
=r,
X
(eu
X
J
r,) dA+ r,
X
(eu
X
(A)
Jp dA)+ (A)
+J p dA x(eu x r,)+ Jp x(eu xp)dA. (A)
(A)
A két középső tagban szereplő f pdA integrál a síkidom súlypontjára számított statikai nyomatékvektor, amely - mint tudjuk - zérusvektor, ezért ez a két tag az összegezésből kiesik. Az utolsó tag a síkidom súlypontján átmenő u-val párhuzamos tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékvektor, ezért az összefüggés a műveletek elvégzése után így írható: (5.239) Hasoilló levezetéssei kapjuk a v tengelyhez tartozó Iv vektort is:
Az Iv és lu vektorok skalár rendezőiből már könnyen felírhatjuk az O és S pontokhoz tartozó másodrendű nyomatéki tenzorok közötti összefüggést mátrixos formában is: lo
=[
I x -I xy -rry lY
J=[
I ~ -I ~1J
-!~11
!1)
J+[
yzs -x,ys
(5 .240)
5.26. Példa: Egy síkidom P pontján átmenő x,y koordinátatengelyekhez a következő másodrendű nyomatékok tartoznak:
5. Valóságos szerkezetek modellezése
472
Írjuk fel a P ponthoz tartozó másodrendű nyomaték tenzorának mátrixát abban az u, v koordináta-rendszerben, amelynek tengelyeit az x,y rendszerhez képest q; szöggel elforgattuk!
tgq;
=0,75.
Megoldás: sin q;=
0 75 tg q; = ' =O 6· ~l+ tg 2 ({J ,Jl,5625 ' '
COS ({J=~
l
l+ tg 2 ({J
= 0,8.
Az elforgatott tengelyek irányvektorainak mátrixai:
e =[cos ep]= [0,8 J e =[- sincp] =[ -0,8 0,6] 0,6 ' ' _ . _[o,8 o,6] [625 -180 J[o,8J _ I" - eJPe" _ 0, - 536,8 cm , "
SillqJ
COS([J
v
4
180
860
6
• _[-0,6 0,8][625 Iv -- eJpev_ 180 -180][-0,6]0, -948,2 cm4 , 860 8
J
• peu_[- o,6 o,8] [625 _ - Iuv -_ eJ _ 180 -180 [o,8J 0, -62,4 cm 4 . 860 6
Az I
P
tenzor mátrixa az u, v koordináta-rendszerben: I
p(u,v)
=
[536,8 62,4] ( 4 ] 62,4 948,2 cm .
FELADATOK 5.35. Írja fel a síkidom O pontjához tartozó másodrendű nyomaték tenzorának mátrixát az x,y koordináta-rendszerben! (F.5.35. ábra)
5.3. Keresztmetszetekjellemzöi: síkidomok másodrendű nyomatéka
473
Y+
A számításnál vegye figyelembe azt, hogy a síkIdomnak 3 sztmmetnatengelye van! 5.36. Egy síkidom súlypontjában metsződő, egymásra merőleges egyenesekre számított ekvatoriális másodrendű nyomatékok egyenlő nagyságúak. Milyen helyzetűek ilyen esetben a főtengelyek? 5.37. Milyen helyzetil és irányú az az egyenes, amelyre az F 5. 3 7. ábrán látható síkidom ekvatoriális másodrendű nyomatéka a legkisebb? S'zámitsa ki ezt a mimmális értéket!
F5.35. ábra
y
F5.37. ábra
e
F5.39. ábra
F5.38. ábra
5.38. Határozza meg az F5.38. ábrán megadott, másodfokú parabolával ill. egyenessel határolt síkidom S súlypontjához tartozó Is másodrendű nyomatéki tenzorának mátrixát az x,y koordináta-rendszerben! y
5.39. A negyedkör A pontjához tartozó énntő egyenesére számított másodrendű nyomatéka: Ie = 1500 cm 4 Határozza meg a kör sugarát! (F.5.39. ábra) 5.40. Egy síkidom O ponthoz tartozó I 0 másodrendű nyomatéki tenzorának mátrixa az x,y koordinátarendszerben:
t
Scm
r-===;hs: . x F5.40. ábra
474
5. Valóságos szerkezetek modelfezése
l0
[ 528 -416][ = -416 1040 cm
4]
A súlypont koordinátát adottak. (F.5.40. ábra) A síkidom területe: A=9 cm2 Határozza meg az adott helyzetű "t" tengelyre vonatkozó maték nagyságát!
másodrendű
nyo-
5.3.4. INERCIASUGÁR, CENTRÁLIS ELLIPSZIS A síkidomok elsőrendű (statikai) nyomatékamak tárgyalásakor már találkoztunk azzal az összefuggéssel, amely szerint a területelemek és egy tengelytől mért távolságaik szorzatainak integrálja felírható úgy ts, mmt az egész terület és egyetlen hosszúság szorzata: sx =
JydA = y SA . (A)
Ez azt jelenti, hogy ha az egész síkidom területét egy egyenes vonalba tömörítenénk, akkor azt az x tengelytől y s távolságra kellene elhelyezm ahhoz, hogy ugyanakkora legyen a statikat nyomatéka, mint az eredeti "szétterített" síkidomé (5. 69. ábra).
tY i' i_;
l Ys
X!
5. 70. ábra
Ha az O ponton átmenő, különböző 5. 69. ábra Irányú ( x 1 , x 2, x) tengelyekhez tartozó Ilyen egyeneseket megraJzOljuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy azok mmdegytke egy nevezetes ponton: a síkidom súlypontján megy keresztül (5. 70. ábra). !
O
x
5.3. Keresztmetszetek jellemzői: síkidomok másodrendű nyomatéka
475
Ezzel analóg módon a tengelyre számított másodrendű nyomaték esetén is meghatározhatjuk azt a távolságot, amelyre elhelyezve a vonaHá tömörített síkidomot, annak éppen akkora lesz az ekvatoriális másodrendű nyomatéka, mínt az eredeti síkidomé:
IX =
JldA = i;A. (A)
ebből
(5.241)
Az így kiadódott távolság a vonaHá tömörített terület két lehetséges helyzetét adja meg: egyik az x tengely fölött, a másik pedig a tengely átellenes oldalán van i x távolságban (5. 71. ábra). y
x
5. 71. ábra
Xt
5. 72. ábra
/ Definíció: Azt a hosszúságot, amelyneknégyzetéta síkidom területével megszorozva az idom valamely tengelyére számított másodrendű nyomatékát kapjuk meg: a tengelyhez tartozó inreciasugárnak nevezzük. Egy adott ponton átmenő tengelyek közül a főtengelyekhez tartozik a legkisebb, ill. legnagyobb inerciasugár (fő-inerciasugarak):
Ha az egy ponton átmenő, különböző irányú tengelyekhez tartozó - az merciasugarak távolságában lévő - párhuzamos egyenespárokat az 5. 72. ábra szerint megrajzoljuk, akkor láthatjuk, hogy ezek már nem egy pontban met-
476
5. Valóságos szerkezetek modellezése
szödnek, hanem valamilyen síkldomot zárnak közre. Az átellenes oldalon egyenespárok szimmetrikus helyzete miatt a közrezárt síkidom csak pontszimmetrikus lehet. Az Idom legnagyobb ill. legkisebb átméröi a fömerciasugarak kétszereset lévő
!l1lJ Tétel: Az ugyanazon ponton átmenő tengelyek bármelyikéhez tartozó egyenespárok egy ellipszist érintenek. Az érintó'k távolsága az ellipszis középpontjától a megfelelő tengelyhez tartozó inerciasugárral egyenlő. Bizonyítás: A bizonyítást a főirányok koordináta-rendszerében végezzük eL Az (5. 237) képletcsoport szerint az L jőiránnyal rp szöget bezáró u tengelyre számított másodrendll nyomaték: &V'
J u = Jl
COS
2
. 2
Osszuk el az egyenletet a síkidom A területével:
J
J!
A
A
?
_u =-cos-
J? .
2
J Az (5. 58) összefüggésszerint - = i 2 . A H elyettesítsük ezt az egyenletünkbe: (5.242)
Az 5. 73. ábrán megrajzoltuk azt az ellipszist, amelynek tengelyei az x,y koordinátatengelyek, továbbá kis- és nagyl tengelyének hossza r.~;_-~~-~,_
Az ellipszis egyenlete ebben a koordináta-rendszerben:
5. 73. áhra Az x tengellyel rp szöget bezáró (u-val párhuzamos) tól:
érintő
egyenes távolsága az O-
5.3. Keresztmetszetek jellemziii: síkidomok másodrendű nyomatéka
477
(Ez az összefüggés az analitikus geometriával foglalkozó tankönyvekben megtalálható.) Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát és helyettesítsük be a = i2, b = i 1 értékeit:
adódik, amit az (5.59) egyenlettel összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az ellipszis érintőjének O-tól mért távolsága valóban az i" -val egyenlő. Q. e. d. Az ellipszisre vonatkozó geometriai összejilggésekkel igazolható az is, hogy az OPQ háromszög területének (T) kétszerese arányos az uv tengelypárra vonatkozó centrifugális másodrendű nyomatékkal: J uv =2 TA.
A fő-inerciasugarakkal, mint féltengelyekkel megrajzolt ellipsz1st a gyakorlatban tehetetlenségi ellipszisnek nevezik, bár - mint azt a bevezetőben már említettük - a síkidomok esetében fizikai értelemben vett tehetetlenségről (inerciáról) nem beszélhetünk. Ezek az elnevezések azonban a szakirodalomban szinte kizárólagosak, ezért m1 sem próbátkozunk azzal, hogy helyettük új műszavakat alkossunk. A tehetetlenségi ellipszist legmkább a síkidom súlypontjához tartozó Inerciasugarakkal szaktuk megszerkeszteni. Ebben az esetben centrális tehetetlenségi ellipszisről beszélünk. A centrális ellipszis bizonyos mértékig idomul a síkidom alakjához: pl. valamely irányban elnyúló idom esetén a tehetetlenségi ellipszis nagytengelye is ebbe az irányba esik; mindkét irányban hasonló kiterjedésű idomoknál pedig az ellipszis közel áll a körhöz. 5.27. Példa: Határozzuk meg az a, b oldalméretű téglalap centrális tehetetlenségi ellipszisének kis- és nagytengelyeit és rajzoljuk meg az ellipszist! (5. 74. ábra) Megoldá~·:
A=ab,
478
5. Valóságas szerkezetek mudellezése
Lv=2
. x= l
12
=
{!; fba3 a VA = \jl2c;b = .Jl2 = 0,2887 a.
Az Inerciasugarakat a főtengelyekre merőlege sen (felcserélve) mérjük fel! (Az i 1 -et a 2-es tengelyre, i, -t az l-es tengelyre.) 5. 74. ábra
FELADATOK 5.41-5.43.: Határozza meg az r sugarú kör, az r sugarú körbe berajzolt szabályos háromszög és hatszög centrális tehetetlenségi köreinek sugarait! 5.44. Határozza meg az F.5.44. ábrán látható ellipszis alakú síkidom centrális tehetetlenségi ellipszisének kis- és nagytengelyét! y
F.5.44. ábra
6 cm
F.5.45. ábra
5.45. Mekkora a méret esetén lesz a síkidom (F.5.45. ábra) centrális tehetetlenségi ellipsZise kör?
6. MOZGÓ TERHELÉSŰ SZERKEZETEK STATIKÁJA
6.1. Hatás,
hatástényező
Statikai tanulmányaink elején már definiáltuk, hogy az erő két test egymásra gyakorolt kölcsönhatásának mértéke. Az erők közvetlenül nem érzékelhetők; jelenlétükre csak hatásaikból tudunk következtetni. Erők hatására egy test alakja és mérete megváltozik (deformálódik) és a testek mozgásállapotát is csak erők képesek megváltoztatni. Az erők hatása (következménye) az is, hogy egy mozgásában gátolt test kényszereinél erők keletkeznek. A terhelő erők a szerkezeteken is számos hasonló jellegű hatást hoznak létre, amelyek elemzése a műszaki mechanika egyik igen fontos területe.
/ Definíció: Hatásnak nevezünk általában minden olyan mérhető, vagy számítható mechanikai mennyiséget, amely a szerkezeten a terhelő eró'k működésének következtében keletkezik. Ebbe a definícióba sokminden "belefér" ugyan, de azért mégsem minden! Pl. amikor egy túlterhelt szerkezet leszakad (eltörik), az is a terhelő erők hatására történik, azonban ez az esemény mégsem sorolható az általános hatások közé, mivel a törés nem mechanikai mennyiség, hanem egy idő ben lezajló mechanikai folyamat! A merev testek statikájában - mint tudjuk - kizárólag olyan modellekkel foglalkozunk, amelyek nem mozognak és merevek. Itt tehát az erő legismertebb két hatása: a testek alakjának és mozgásállapotának megváltozása eleve kimarad a vizsgálatainkbóL A hatás fentebbi általános definícióját tehát le kell szűkítenünk azokra a külső és belső erőkre ( erőrendszerekre), amelyek a ter-
4HU
6. Mozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
helő erők hatására keletkeznek és együttesen biztosítják a változatlan alakú testek egészének és részemek tartós nyugalmát. A tankönyvnek ebben a fejezetében ezért csak az alábbi néhány hatástípus vizsgálatára kerülhet sor: felépítésű merev testek, vagy szerkezetek kényszeremél keletkező kényszererő-rendszerek elemei: támasztóerők ill. befogási nyomatékok vetületei; => rúdszerű testek keresztmetszeteiben fellépő belső erőrendszerek jellemzőr az igénybevételek (normál- és nyíróerők; csavaró- és hajlítónyomatékok).
=> a statikailag határozott támasztású, ill.
A felsorolt hatások - mmt tudjuk - skaláris mennyiségek. A statika keretében ez ideig csak rögzített helyzetű, azaz álló terhek hatásaival foglalkoztunk. A feladatok megoldásamak végcélja rendszermt az volt, hogy a szerkezet rúdjainak minden keresztmetszetére meghatározzuk az ott működő igénybevételek jellegét és nagyságát. Ezek rúdtengely menti fuggvényábrá1 a már JÓl ismert Mh, N, T ábrák. A későbbiekben (a Szilárdságtan c. tantárgyban) sorra kerülő méretezés szempontjából különös jelentősé ge lesz annak, hogy ismerjük az egyes igénybevételek szélső értékeit, valammt a keresztmetszetek helyét, ahol az extrém igénybevételek keletkeznek. Például a 6.1. ábrán vázolt kéttámaszú tartón, amelyet az adott helyzetben rajta álló gépkocsi két tengelynyomása terhel, a legnagyobb abszolút értékű hajlítónyomaték a hátsó tengely alatti K 2 keresztmetszetben, a maXImális --W-~..l..L....L.-!t::::c:::c:J;:r:::::k-r~~~..:!: T nyíróerő pedig a K 2 - B szakaszon keletkezik. Ez az egyszerű feladat azonban mindjárt bonyolultabbá válik, ha meggondoljuk azt, hogy a gépkocsinak ez a helyzete nyilvánvai Mhmax=150 kNm lóan nem állandó, hiszen ezt meg6.1. ábra előzően oda kellett jutnia valahogyan és várhatóan majd tovább is fog gördüint Az ilyen típusú terhekre tehát nem az a jellemző, hogy a szer-
6.1. Hatás, hatástényezd
481
kezetek valamely rögzített helyén állnak, hanem az, hogy helyzetük változik, vagyis mozognak. Ha a példában szereplő gépkocsi nem a megadott helyzetben áll, hanem a kétlámaszú tartón lassan végighalad, akkor mozgása közben az igénybevételek már nem csupán a keresztmetszetek helyétől, de a teher pillanatnyi helyzetétől fuggően is változnak. Ilyen esetben valamely igénybevétel nem egy-, hanem kétváltozós fuggvénnyellenne leírható, és ábrázolásához síkbeli diagram (igénybevételi ábra) helyett térbeli felületet kellene használnunk. Ha az ilyen kétváltozós igénybevétel-fuggvényeket sikerül felírnunk, akkor - úgy gondolhatnánk - a matematika módszerei révén már könnyen kaphatnánk választ a következő igen fontos kérdésekre is: a)
b)
A mozgó tehernek melyik az a helyzete, amikor a tartó egy meghatározott keresztmetszetében maximális igénybevétel keletkezik és mekkora ez? A különböző keresztmetszetek maXImális igénybevételei közül melyik a legnagyobb, ez melyik keresztmetszetben ébred és milyen teherállás tartozik hozzá?
A kérdések megválaszolása azonban csak látszólag egyszerű. Az igénybevételek változása ugyanis az erők számától fuggően egyre több résziliggvény felírásával fejezhető ki, amelyek ráadásul csak bizonyos intervallumokon belül érvényesek. A példaként választott egyszerű feladatnál is látható, hogy a teher egy rögzített helyzetéhez tartozó hajlítónyomatékok változását három különböző lineáris fliggvény írja le (a nyomatéki ábra három egyenesből áll), amelyek csak szakaszonként "érvényesek". Hasonló problémák adódnak akkor is, ha valamely kiválasztott, egyetlen keresztmetszetben ébredő nyomaték változását kísérjük figyelemmel, miközben a gépkocsi végighalad a tartón. Könnyen belátható, hogy ez a változás sem fejezhető ki egyetlen fuggvénnyel, hiszen bizonyos teherhelyzetekben a gépkocsi mindkét tengelynyomását; más helyzetekben pedig csak az egyiket (vagy egyiket sem) kell figyelembe vennünk a számításnál (ti. akkor, ha azok már lekerültek a tartóról). De módosul az igénybevételi fuggvény attól fuggően is, hogy az erők balra vagy JObbra vannak-e a vizsgált keresztmetszettőL
6. Mozgó
482
terhefésű
szerkezetek statikája
A terhelő erők számának növekedésével a feladat egyre nehezebbé válik és tovább bonyolódik a helyzet akkor, ha a teheregyütteshez még megoszló erők is tartoznak. Szerencsére bármilyen összetett tehercsoport esetén alkalmazhatjuk a szuperpozíció-elvet, vagyis negyedik axiómánkat, amely szerint egy teheregyüttes hatása megegyezik az egyes összetevő erők egyedi hatásainak az összegével. Ezen elv alapján minden mozgó erőcsoport hatásának elemzése visszavezethető a szerkezeten végighaladó egyetlen koncentrált erő hatásvizsgálatára. Szeretnénk hangsúlyozni azt, hogy a továbbiakban a Statika c. tárgy keretében nem a teher tényleges mozgásjellemzőiből (sebességéből, gyorsulásából) eredő un. dinamikus hatásokat vizsgáljuk, hanem csupán azt a körülményt vesszük számításba, hogy a teher helyzete a tartón tetszőleges lehet. A statikus hatásokat valójában mindig ezen tetszőleges helyen álló teherből származtatjuk A teher mozgásának fogalmát itt csupán azért vezetjük be, hogy a különböző lehetséges teherhelyzetek egymásutániságát folyamatos változásként tudjuk elképzelni. Ez a fiktív mozgás azonban a fizikai értelemben vett időtől független folyamat, ami abból is kitűnik, hogy a változó helyFl F2 F3 zetű terhek hatásait leíró összey függésekben az idő egyáltalán pl nem szerepel. x A B Mielőtt azonban belefogpl p2 K p3 -a4.~ lll :u bl=3,2m nánk a változó helyzetű erők Fo hatásainak a2=1,4m b2=2,6m tanulmányozásába, b3=l,2m ismerkedjünk meg egy új foga/=4m lommal: a hatástényezőveli + A 6. 2. ábrán egy kéttámaszú MhK tartót láthatunk, amelyet három különböző helyzetű koncentrált erő: F 1 , F 2 és F 3 terhel. 6.2. ábra Határozzuk meg a bal oldali támaszerőt és a középső erő alatti K keresztmetszetben működő hajlító igénybevételt! A B csuklóponton átmenő tengelyre felírt nyon:atéki egyensúlyi egyenlet:
~
v-
483
6.1. Hatás, hatástényezii Ebből
a bal oldali
támaszerő:
(6.1)
Az
eredményből
erők eltérő
azt olvashatjuk kl, hogy a "hatásfokkal" vesznek részt az FAy
különböző
támaszerő
helyekre állított létrehozásában.
Ebben a vonatkozásban a három erő közül az F 1 a leghatásosabb, m1vel ez helyzeténél fogva -saját nagyságának 80%-át kitevő hatást produkál, míg a másik két erőnél a hatásfok csak 65% ill. 30%. Fejezzük ki aK keresztmetszetben keletkező hajlítónyomatékot is:
A hajlítónyomaték kifejezésében az erők mellett álló tényezők most nem egyszerű arányszámok, hanem olyan fiktív hosszúságok, amelyekkel az erő ket megszorozva közvetlenül megkapjuk az általuk létrehozott egyedi hatást, azaz a K-ban keletkező hajlítóigénybevételt (Látható, hogy ezek a hasszak itt nem azonosak az erőknek a K-tól mért tényleges távolságaival, hiszen pl. az F 2 erő pontosan a keresztmetszet fölött áll, a fiktív erőkar viszont éppen itt a leghosszabb!) A (6.1) és (6.2) kifejezéseket összehasonlítva láthatjuk, hogy az M 11K hajlítónyomaték esetében az ugyanazon helyen álló erők "hatásosságának" nem csak a mértéke, de azok sorrendje is megváltozott az előzőekhez képest. A fentiek alapján a következőket állapíthatjuk meg: a tartót (szerkezetet) terhelő bármely erő konkrét hatása (pl. az erő általlétrehozott FAy támaszerő, MhK hajlítónyomaték stb.) az erő és egy tényező szorzataként írható fel. Az erő szorzóját aszóban forgó hatás adott erőhelyzethez tartozó hatástényező jének nevezzük és jelölésére a görög 17 (éta) betűt fogJuk használni. A különböző jellegű hatások tényezőit indexekkel különböztetjük meg egymástól. Így pl. az FAy támaszerő, ill. az MhK hajlítónyomaték P1 ponthoz tartozó előbb már kiszámított - hatástényezői: llFAy• l = 0,8,
11MhK• 1 = -0,52m.
484
6. Mozgó terhelésíi szerkezetek statikája
Gyakran előfordul az, hogy olyan összefüggéseket írunk fel, amelyek nem csupán egyetlen konkrét hatásra, hanem a definiált hatások mindegyikére egyaránt érvényesek. Ilyenkor általános hatásról beszélünk, amelynek jelölésére az Ybetűt vezetjük be. Az általános hatás is kifejezhető a hatástényező segítségéve!:
Y=F·ry.
(6.3)
/Definíció: Hatástényező az a skaláris mennyiség, amellyel a P pontban működő koncentrált erő nagyságát megszorozva az adott erőnek a szerkezet valamely kijelölt helyén létesített hatását kapjuk. A hatástényezőt mindig a szerkezet egy P pontjához rendeljük. A (6.3)-ból következik a hatástényező meghatározásának módja: (6.4)
amelyet szavakban is megfogalmazhatunk:
Valamely kijelölt helyen keletkező hatásnak a szerkezet P pontjához tartozó hatástényezőjét úgy számítjuk ki, hogy a P pontban működtetett koncentrált erőből származó hatást elosztjuk az erő nagyságával. A 6.2. ábrával kapcsolatos feladatnál ez a művelet a következőképpen történik. A K keresztmetszetben pl. az F 3 erőből keletkező nyomaték a (6.2) képlet szerint: MhK3 = -0,421';. Az Y= M 11K hatás P3 ponthoz tartozó hatástényezője tehát:
11
'1MhK,3
M = ____!:!S2 F =-ü'42 3
[m]
6.2. Harásfüggvények, hatásábrák
485
A hatástényező meghatározásának egy másik lehetséges módJa az, amikor az F erővel való osztást nem a hatás kiszámítása után, hanem még a számítási folyamatot megelőzően, magára a működtetett erőre vonatkozóan végezzük el:
F -=e. F
Az így létrejött egységvektor annyiban tér el a matemattkában használatos "közönséges" eé,rységvektortól, hogy ennek az 1rányán, nagyságán (=l) és értelmén kívül még támadá~ponlja is van; vagyis az erő mmden lényeges tulajdonságával rendelkezik. (Az osztás révén csupán az erő-dimenzióját veszítette el.) Ezt az erő jellegű egységvektort ezért egységerőnek nevezzük. Az egységerő bármilyen hatását ugyanúgy számoljuk, mmt a valódi erőét, azonban itt a végeredmények már eleve olyan formában jelennek meg, mintha egy erő hatását osztottuk volna el magával az erővel. Az egységerő ből számított hatás ezért közvetlenül a hatástényezőt szolgáltatja. Ezt tömören így fogalmazhatjuk meg: Egységerő hatása = hatástényező.
(Az egységerőt ne tévesszük össze az egységnyi erővel! Ez utóbbi ugyams erő-dimenzióval rendelkező egységnyi nagyságú valódi erő. Tényleges nagysága nem egyértelmű! Ezt ugyanis az határozza meg, hogy mílyen méctékrendszer szerint számolunk, de egy rendszeren belül is többféle mértékegységyt írhatunk az l mellé, pl.: l N, l kN stb.)
6.2. Hatásfüggvények, hatásábrák Az előzőekben megismerkedtünk a hatástényező fogalmával és láthattuk azt, hogy egy tartó különböző pontjaihoz különböző nagyságú hatástényezők tartoznak. Megismertük annak a módját is, hogy ezeket a tényezőket hogyan kell kiszámítani. Innen már csak egy lépés az, hogy a szerkezetet terhelő koncentrált F erő helyét nem kötjük egyetlen fix ponthoz, hanem azt képzeletben folyama-
6. Mozgó
486
terhefésű
szerkezetek statikája
tosan végigmozgatjuk a tartón. Ilyen módon mind a hatás, mind a hatástényező szintén folyamatosan változó mennyiségek lesznek. A 6. 3. ábrán vázolt tartórészleten az erő változó helyzetét az x ko ordinátával adtuk meg. A teher mozgó jellegét egy gördíthető súlyos hengerrel akartuk érzékeltetni. Az erő általlétesített hatást (l) egy kijelölt K helyen vizsgáljuk. A kiszámított hatás formulájában a változó teherhelyzet (x) is szerepel, ezért eredményként x-től :fuggő mennyiséget, azazfüggvényt kapunk: x (változó) A hatástényezőt - mint definiáltuk k(állandó) (6.4) az Ferővel való osztással kapjuk meg: K
11 =
Tl(x)
o
x 6.3. ábra
Y~) = ry(x),
(6.6)
amely szintén az x :fuggvénye lesz. Ezt a :fuggvényt a gyakorlatban röviden hatásfüggvénynek nevezik. (Tulajdonképpen nem szerenesés elnevezés, mivel ez valójában nem a hatás fiiggvénye, hanem a hatástényezőé!)
/ Definíció: A hatásfüggvény a szerkezet különböző pontjaihoz tartozó hatástényezóK,nek a pontok koordinátáitól függő algebrai kifejezése. A hatás:fuggvény a tartón végighaladó koncentrált erő minden lehetséges helyzetéhez hozzárendel valamekkora hatástényezőt Ezek a szerkezet "tartozékai" és elvileg a terhelő erőktől :fuggetlenül is léteznek. Értelmezésük azonban szigorúan erők jelenlétéhez kötődik! A hatás:fugvények tulajdonságait leginkább azok diagramjai alapján ismerhetjük meg. Az ilyen diagramokat hatásábráknak nevezzük. /Definíció: A hatásábra a hatásfüggvény grafikus ábrázolása. Az egyes szerkezettípusokon előállítható hatásábrák részletes tárgyalása előtt ismerkedjünk meg azokkal az általános elvekkel és alkalmazási lehető-
487
6.2. Hatásfüggvények, hatásábrák
ségekkel, amelyek a hatásábrák mmdegytkére - azok jellegétől függetlenül egyaránt érvényesek. Első lépésként vizsgáljuk meg azt, hogy amennyiben már rendelkezésünkre áll valamely konkrét hatás hatásfüggvénye, vagy az azt szemiéitető hatásábra; hogyan tudjuk egy adott helyzetű F nagyságú erő hatását ezek segítségével kiszámítani? A hatásfüggvény (6.6) kifejezése úgy jött létre, hogy az ismert hatást elosztottuk az F erővel. Az összefüggés "visszafelé" is alkalmazható: ha a hatásfüggvény adott, akkor a keresett hatás: (6.7)
Y(x) =11(x)F.
Ugyanez a művelet szavakkal kifejezve: Egyetlen koncentrált erő hatását úgy kapjuk meg, hogy azt meg~'Zorozzuk az erő helyzetéhez tartozó hatástényezővel, ill. (ami ugyanaz): az erő alatti hatásábra-ordinátával. Ha a szerkezetre egytdejűleg több erő is működik (6. 4. ábra), akkor az erők egyedi hatásai összegeződnek
Xn
1~1
l
l1J
l
' r--J
:l
'
. ..
qi~,· ~ ~.
Tétel: Több koncentrált eróöó1 tll(x) álló tehercsoport hatásának számítása l l úgy történik, hogy mindegyik erőt megl szorozzuk a hatásábra erő alatti ordinálll tájával, és a rész-szorzatokat összegezOl zük. J
ll
zi
'Ilii x 6.4. ábra
.;v• Bizonyítás: A különhöző helyeken egyidejűleg működő erók egyedi hatásai a szerkezet ugyanazon helyére vonatkoznak, ezért a hatások - a negyedik axióma szerint - összegeződnek:
Y= J; +f;+... +.Y;, =l"J,
·fl.. +Ttt ·F2+ ...+l"Jn ·F,,
=:!ll; i= l
Q. e. d.
·fl..
(6. 8)
488
6. Mozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
A merev testek statlkájában olyan hatásábrákkal foglalkozunk, amelyek egy vagy több egyenes szakaszból állnak. A szakaszonként lineárisan változó hatásfuggvény a (6. 8) számítási képlet egyszerűsítését teszi lehetövé: A 6.5. ábrán olyan esetet vázoltunk, amelynél az n erőből álló erőcso port a hatásábra egyetlen egyenes szakasza fölött helyezkedik el. Ebben az esetben igaz a következő állítás:
""l
l
[l}
Tétel: A hatásábra valamely egyenes szakasza fölött álló erőcso port hatását úgy számíthatjuk ki, hogy az eró'k eredő jét megszorozzuk ezen eredő alatti hatástényezővel
o
x 6.5. ábra
(6.9)
wo Bizonyítás: A lineás hatásfüggvény az alábbiformában írható fel:
ll ='Ilo +m·x, ahol m az egyenes meredeksége (iránytangense). Az általános (i) indexű erónöz tartozó ordináta:
Írjukfel az erőrendszer hatását a (6.8) képlet szerint:
Az 170 mellett álló összeg az erőrendszer Fe eredője, az m utáni szummáció pedig a koordináta-rendszer kezdőpontjára (O) számított nyomatékösszeg: i\:10 . Ismeretes, hogy egy erőrendszer bármely pontra vonatkozó nyomatéka megegyezik az eredőjének ugyanazon pontra számított nyomatékával:
Helyettesítsük be ezeket a hatás elóöbi képletébe:
489
6.2. Hatásfüggvények, hatásábrák
Az
F.
előtti
zárójelben álló kifejezés csak a11nyiban tér el a hatásábra általános
indexű
ordinátájától, hogy itt x1 helyett az eredőerő távolságát jelölő x, szerepel. Ez a kifejezés így nyilvánvalóan az eredő helyzetéhez tartozó ordinátát jelenti:
T\o +mxe =T\e A végeredmény tehát:
Q. e. d.
Megoszló terhek hatásának számítása:
lll/ Tétel: Általános esetben a megoszló teher hatását úgy kapjuk meg, hogy a változó telterintenzitás és a integráljuk.
Itatástényező függvényeinek
szorzatát
x,
J
(6.10)
Y= q(x)11(x)dx. &V' Bizonyítás:A tetszó1eges intenzitású teher dx hosszra jutó része az előbb levezetett összefüggés szerint itt is helyettesíthető annak elemi eredőjével (6. 6. ábra):
q
dx
dF = q(x)dx.
Az elemi dF erő általlétrehozott Itatás: dY = dFT\(x) = q(x)T\(x)dx.
x
A megoszló teherszakasz össz/tatása pedig: 6. 6. ábra x.,
x..,
Y= JdY =J q(x)T\(x)dx. Q. e. d.
(6.10)
4
6. Alozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
Abban a különleges - egyébként leggyakonbb - esetben, ha a megoszló teher intenz1tása állandó, a (6.10) formula is egyszerűsödik.
q= q0 =const, x.,
Y=
x')
J%ll(X)dx =q Jll(x)dx =q0~. 0
(6.11)
~q , .. X1 , ..
... j
qolll! l!! ! l! l! ll! l 1
l
l!
l
-t-0----Ll...J...J...J...!..~...........J.....LI~-'-'-~------x
6. 7. ábra
Az állandó q0 ugyanis az mtegráljel elé kiemelhető, és a megmaradó határozott mtegrál nem más, mint a megoszló teherszakasz alatti hatásábra A rt területe (6. 7. ábra). Egyenletesen megoszló teher hatását tehát úgy számíijuk ki, hogy a teherszakasz alatti hatásábra Art területét megszorozzuk a teherintenzitássaL Változó mtenzitású teher és lineáns hatásfüggvény esetén (6.8. ábra) a (6.9) számítási formula használható, azaz
Az egyenes hatásábraszakasz fölött lévő megoszló teher hatását tehát ugy számíthaijuk ki, hogy az eredő erőt -+-,0---'------"-------'---x megszorozzuk az alatta lévő hatásábraordinátával. 6.8. ábra
6.2.1. EGYIK VÉGÉN BEFOGOTT RÚD HAT ÁSÁBRÁI A befogott tartón vég1gmozgó F erő hatásalt a szabad végtől a távolságban lévőK keresztmetszetben vizsgáljuk (6.9. ábra). Az erő pillanatnyi helyzetét a bejelölt változó x távolsággal jelöljük.
491
6.2. Hatásjl1ggvények, hatásáhrák
a
FeJezzük ki elöszőr a keresztmetszetben keletkező nyíróerő értékét! A raJzolt erőhelyzetben a K-tól balra csak az F erö működik, ezért a nyíróerö:
'K
l
a.
Előjelszabályunk
értelmében ez a nyí••T'!'l'l'l'llnl'l...,.l...,.l'l'j'j'l'l'1,...11_ _ _-~.--___.. róerö negatív, nagysága pedig függetly : ! ; ! : 1 1 ! ) l : ! ! 1 len az erö helyzetétőL Ez a függetlenség azonban csak látszólagos, ugyams nyilvánvaló az, hogy ha az erö mozgása során a keresztmetszettől jobbra esö b. rúdszakaszra kerül, akkor a bal oldalon már semmi nem marad és így nyíLt'-............._._..._............__,____..___.....i...J:"t---_J__-+_ róerö sem ébred aK helyen. A kapott eredményből a hatásfüggvényt tehát a 6.9. ábra következő feltételek mellett kapjuk meg: •
l
J
+
;
ha
-o
11 'ITK-
o::;; x
'
A fenti függvény diagramját az érvényességi határok figyelembevételével az a. ábrarészen rajzoltuk meg. Ezt az ábrát nevezzük a tartó K keresztmetszetéhez tartozó nyíróerő-hatásábrának. Az előbbi vizsgálatból kihagytuk azt a lehetséges teherhelyzetet, amikor az erö pontosan a K keresztmetszet fölött áll. Az igénybevételek tárgyalásakor már tisztáztuk azt, hogy a koncentrált erö alatti keresztmetszetben a nyíróerő nem értelmezhető, ezért ugyanilyen "együttállásnál" a hatásfüggvényt sem értelmezzük Ez azt jelenti, hogy a nyíróerö-hatásábrának aK függölegesében szakadása van és ott sem a bal, sem a jobb oldali ordináta nem érvényes.
492
6. Alozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
A kiválasztott keresztmetszetben keletkező hajlítónyomatékot szmtén az erő helyzetére vonatkozó előbbi feltételek szennt számíthatjuk. Bal oldali erőhelyzetnél, vagyis M 11K = F(a
x),
NfhK
lj MI!K =--=a-x F ,
A keresztmetszet és a befogás közötll
ha
O:::;; x :::;; a .
erőhelyzeteknél:
Ennek fuggvényábrája a zérusvonallal egybeeső egyenes. A teljes nyomatéki hatásábrát a b. ábrarészen láthatjuk. x Olyan esetben, amikor a rúdnak "" ~F nem a jobb, hanem a bal oldali vége befogott (6.10. ábra), akkor az az ===K==I=!========~ előbbi tartó tükörképének Is felfogl ~:...,.__.....:a::::___ __,,.....,! ható.
< ~ l
l
1j [! [ [ l [[l l ! [ : l+ ~~~~:~~y ~~~:~::r: i~:d~~z~: '1T.
1-
6.10. ábra
mint tudjuk -ellentétes
előjellel
ek tükörképei lesznek. Ez azonban mint látjuk - csak a nyomatéki haa tásábrára igaz, de a nyíróerőére nem. Ez utóbbinál ugyanis a tükörkép helyett annak ellentétes előjelű képe Jelenik meg. Az előjelváltás onnan ered, hogy itt a K-tól jobbra müködő erőből keletkezik a hatás és ezt kell számításba vennünk.
6.2.2. KÉTTAMASZÚ TARTÓ HATÁSÁBRÁI A hatásábrákat a 6. J J. ábrán látható, mmdkét végén túlnyúló konzolokkal rendelkező kéttámaszú tartóra vonatkozóan állítjuk elő. (Az eredmények természetesen a konzolok nélküh "egyszerű" kéttámaszú tartóra IS érvényesek, aholl 1 =h=O.)
4Y3
6.2. Hatá.sfüggvények, hatásábrák
A tartó bármely helyén működ F erő helyzetét valamely fix helytől, pl. az A támaszponttól mért x távolsággal adjuk meg, amely így -11 és l+ 12 között bármely értéket felveheti. (Az erő pillanatnyí helyzetét természetesen más kezdőpont felvételével 1s megadhattuk volna; pl. a rúd bal végétől mért távolsággaL) Az igénybevételek számítását megelő zően határozzuk meg a támaszerőket (helyesebben azok fuggvényeit): Az FAy támaszerőt a B ponton átmetethető
nő
tengelyre felírt nyomatékí egyensúlyi
ebből
a
támaszerő,
illetve a
'IFA
A FAy
megfelelő
egyenletből
számíthatjuk:
hatástényező:
TI
a~
6.11. ábra
Fcl
l-x
-y--,-, -
-
helyeken felmért ordínáták végpontJait
összekötő
egyenes
támasztóerő hatásábrája.
A JObb oldali kel állítjuk elő:
I,Mia
támasztóerő
hatásábráját az
előbbiekhez
= FBy ·/-F ·X= Ü, x
FBy =IF, Az F 3Y hatásábráját a b. ábrarészleten láthatjuk.
ha
hasonló lépések-
494
6. Mozgó
F
x
6. ]2 . a'b ra
balra két erő hat,
amelyből
terhefésű
szerkezetek statikája
A támaszerők ismeretében már nem Jelent különösebb nehézséget a tartó valamely keresztmetszetében keletkező Igénybevételek meghatározása sem. Először állítsuk elő a 6.12. ábrán bejelölt K keresztmetszetben keletkező nyíróerő fuggvényét. A TK nyíróerő számításakor - mint tudjuk - csak a keresztmetszettől balra lévő erőket kell figyelembe vennünk. Mivel azonban az F erő a tartón való végighaladása során annak bármely helyén tartózkodhat, ezért az igénybevétel meghatározásakor két alapvetően eltérő esetet kell megkülönböztetnünk: a. az F erő a keresztmetszettől balra van, azaz x < a b. mozgása közben a Jobb oldali tartószakaszra kerül, vagyis x >a. Az a. esetben a keresztmetszettől a nyíróerő és annak hatástényezője:
l-x x T" =F -F=F--F=--F K A l l '
A függvény diagramJa az a. ábrán lévő egyenes, amelynek azonban csak a vastagon kihúzott szakasza "érvényes", hiszen x < a feltételéből indultunk ki! A b. feltétel szerint a keresztmetszettől balra egyedül csak az FA támasztóerő van, ezért:
l-x 1
'llrK = --,
ha x >a.
495
6.2. HatásjUggvények, hatásábrák
A kapott eredmény pontosan megegyezik az 11FA kifeJezésével, ezért az ábrázoláskor is azonos helyzetű egyenes adódik. Az eltérés csupán annyi, hogy a nyíróerő hatásábráJának ez az egyenese itt csak x < a szakaszon érvényes (b. ábra vastagon kihúzott része). A teljes nyíróerő-hatásábrát a két rész-diagram egyberaJzolásaként kaptuk (c. ábra). Az igénybevételi ábrák tárgyalásakor a K keresztmetszetben ébredő nyíróerőt a keresztmetszet fölött álló koncentrált terhelő erőre nem értelmeztük Ennek megfelelően a nyíróerő-hatásábra x = a helyhez tartozó ordinátája szmtén nem értelmezhető. A hatásáhrának ezen a helyen szakadása van! A K keresztmetszetben keletkező hajlítónyomaték fuggvényének felírásakor szintén két esetet kell megkülön~z• böztetnünk, attól fuggően, hogy az F erő a tartó melyik részén helyezkedik a. el. a. A keresztmetszettől balra lévő bármely erőhelyzetnél (6.13. ábra) aF b. erő és az FA támaszerőK-ra számított nyomatékainak előjelhelyes összege adja a hajlítóigénybevételt
..
c.
M 11K =F(a-x)-FAa l-x =F(a-x)-F-a. l
Az összevonások elvégzése után a hajlítóigénybevétel és a hatástényező fuggvényet: 6.13. ábra
b M 11K =-x-F, l
11
-
'IMhx -
M"K __ !?_x F
-
l '
ha x::;, a.
Az a. ábrán az egyenesnek ezt a szakaszát rajzoltuk vastag vonallal.
496
6. Mozgó terhelésú szerkezetek statikája
b. A keresztmetszettől jobbra lévő erőhelyzeteknél (x >a) csak a bal oldalon maradó egyetlen FA erőből számítjuk a hajlító igénybevételt, illetve a hatásfuggvényt:
M 11K
l-x 1
= -F~a =- F --a,
MK
llMhK
l-x
=F = --1-a,
ha
x2a
Az x 2 a szakaszra érvényes hatásábrarészt a b. ábrán jelöltük vastag vonallal. A teljes tartószakaszra vonatkozó hatásábrát a c. ábra mutatJa. A kéttároaszú tartó támaszok között lévő keresztmetszeteinek nyomatéki hatásábrái egyébként - mint az a c. ábrán is látható - a levezetések mellőzésével "gépiesen" is megraJzolhaták a következő módon: forgassuk (körzőzzük) le a keresztmetszet helyét megadó a és b távolságokat a megfelelő támaszok fuggőlegesére, majd az így kapott pontokat kössük össze az átellenes támaszfuggőlegeseknél lévő zérus-pontokkal! Ilyen úton közvetlenül is megkapjuk a hatásábra jobb és bal oldali egyeneseit. Hangsúlyozm szeretnénk azt, hogy a kéttároaszú tartó nyíróerő- és nyomatéki hatásábráinak ismertetett előállítási módja csak a támaszok között lévő keresztmetszetekre alkalmazható. Ha a vizsgált keresztmetszetet a tartó valamelyik konzolján vesszük fel, akkor úgy kell eljárnunk, mint ahogyan azt az egyik végén befogott konzol esetében már megismertük. 6. J. Példa: Hatásábrák segítségével számítsuk ki a 6.14. ábrán vázolt tartó K keresztmetszetében működő nyíróerőt és hajlítónyomatékot, amelyeket a szerkezet önsúlya és a rajz szerinti 4m 5m hasznos teher együttesen hoznak létre. A hasz6.14. ábra nos teher adatai: q11 = 4 k:N/m, F = 26 k:N. A gerenda önsúlya Fö = 28 k:N, amely egyenletesen oszlik meg a tartó hossza mentén, azaz qö= 2 k:N/m. Megoldás: A számítást hatásábrák segítségével kell elvégeznünk, ezért a megoldást ezek megszerkesztésével kezdjük. A 6.15. ábrán a hatásábrákat a hatásfuggvények felírását mellőzve - a tanult egyszerű szerkesztés1 szabályok alapján raJzoltuk meg: Az1lrx esetében a támaszok fuggőlegeseinél fel-
mért egységnyi hasszak révén a hatásábra két egyenesét közvetlenül meg-
497
6.2. Hatásjilggvények, hatásábrák
raJzolásánál a "leforgatott" a és b hosszúságok adták
szerkesztettük. Az T]M
/ú(
meg a jobb és bal oldali egyenesek megraJzolásához szükséges pontokat. A hatásábrák ordinátáit egyszerű arányossággal számítottuk ki, amelyek abszolút értékeit az ábrákra is beírtuk 25 kN 1 4 kN!m
A további számításhoz szükséges hatásábra-
~,2
területek:
~'
NyíróerőknéL
i l
l A1 =-0,5·4,0 =lm 2
kN;,; f_
[
1
•
1
l ~IfJ
:
A:
.
1
•
010
A? = _..!._0,375 · 3,0 = -0,5625 m, 2 l
A,= -0,625·5,0 = 1,5625 m, -' 2
l A4 =--0,25·2,0=-0,25m. 2
6.15. ábra
Hajlítónyomatékoknál: 2 A1l_..!._')5·40-50 -, , , m, 2
A? 1 = _..!._ 1,875 · 8,0 = -7,5 m 2 , -
2
A 1 =..!..o, 75· 2,0 =0, 75m 2 . o
2
Az Igénybevételeket a korábban már levezetett (6. 7) és (6 .ll) képletek alapJán számítjuk, vagyis a koncentrált erőt megszorozzuk az erőhöz tartozó ordinátával, az egyenletesen megoszló terhek intenzitását pedig a teher alatti hatásábra-területek összegével és az így kapott szorzatokat összeadjuk TK= F
·T]F
+qö(Al +Al+ A3 + A4) +qh(A2 + A3 + A4),
TK= 26·0,5+2(1 0,5625+ 1,5625 0,25)+4(-0,5625+ 1,5625-0,25) = 19,5 kN,
6. Mozgó terhelésú szerkezetek statikája
49 H
MhK
= F ·11'F+qö(A\+A'z+A'3 )+(fh(A'z+A'3)
M 11K = 26·2,5+2(5,0-7,5+0,75)+4(-7,5+0,75) = 34,5 kNm.
6. 2. Példa: A 6.16. ábrán vázolt konzolos kétlámaszú tartót 10 erőből álló erőcsoport terheli a rajzon megadott helyzetben. Mindegyik erő azonos nagyságú: F=F=4kN. 3m 4,5 m i 5,5 m 3m ' ! ' 6.16. ábra Az erők között1 d; távolság mmdenütt 1,5 m. Hatásábra segítségével számítsukki a bejelölt K keresztmetszetben keletkező nyíróerőt és hajlítónyomatékot! Megoldás: A nyíróerőt a keresztmetszet fölött álló erő esetén nem értelmeztük, ezért most az F 5 erő helyzetét előbb a K-tól végtelen kicsit balra, majd jobbra lévőnek tételezzük fel. Ilyen módon két különböző nagyságú nyíróerőt kapunk. A számításnál az egyenes hatásábraszakaszok fölött elhelyezkedő terhek hatásszámítást képletét (6. 9) alkalmazzuk mind a jobb, mind a bal oldali részeredő re:
llttiu~l'
~~
!!!!!l !!l l l
l
A 6.17. a. ábrán az F5 erőt a bal oldali --'--=........_:r+--;---7>'-+...,...__::c---,--+ egyenes fölött lévő erőcsoporthoz társítjuk, rh. ezért a két részeredő: F"'
1 F.;
Az ordináták:
6.r. ábra
eredőkhöz
tartozó
lleb
= -0,15,
llej
= +0,1.
A nyíróerő tehát:
hatásábra-
Hatá,~jiiggvények,
6.2.
499
hatásáhrák
1:J:. -F eb'nleb +Fn ej' leJ -=20· (-0,15)+ 20· 0,1 = -1 kN
A b. ábrán az F5 erőt a keresztmetszet JObb oldalán állónak tekintjük, ezért most a bal oldalon csak négy erő marad, míg a JObb oldali egyenes fölött hat erő áll: F' eb = 4· F = 16 kN ; F' ej = 6· F = 24 kN, T)' eb=
T'K
1
-0,075; Tj eJ = +0,175,
= r:bTl~b + F~.T)~f = 16 · (-0,075) +24· 0,175 =+3 kN.
A nyomaték számításakor három különböző módon az erőket, amint azt a 6.18. ábrán láthatjuk. a. Az F5 erőt a bal oldali erőkhöz soroljuk Ekkor Feb =
5· F = 20 kN, Tleb=
l
-0,825 m,
IS
csoportosíthatjuk
F;,1 =5·F=20kN. Tlef
= -0,45 m.
AK keresztmetszet hajlítóigénybevétele tehát: M,K. =Fbn 1 e'leb +Fn. ej'leJ =
=20· (-0,825) +20· ( -0,45) = = -25,5 kNm. b. Az F5 erőt a jobb oldali tekintjük. Ez esetben: F' eb= Tl'eb
4F
= 16 kN ,
F' eJ
erőcsoport
= 6F
tagjának
24 kN,·
= -0,4125 m, Tl'ej = -0,7875 m,
M hJ: -F' eb T) 'eb+ F' ef T) ' ef = = 16(-0,4124)+24(-0,7875) = =-25,5 kNm.
6.18. ábra
500
6. lvfozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
c. Az Fs erőt nem társítjuk sem a bal, sem a Jobb oldali erőcsoporthoz, hanem külön erőként vesszük számításba:
F" eb =4·F = 16 kN,
Fs =F =4 kN,
--041?5 ll ll eb' - m. 'Ils= -2,475m.
F" ~.=5·F =20 kN '
'll"ej
= -0,45m.
M hK-F" eb''ll " eb+ F.5 ''Ils+ F' ej ll "ej = 16· (-0,4125)+ 4· (-2,475)+ 20(-0,45) = -25,5 kNm.
Az erőket - mmt láttuk - különböző módon csoportosítottuk; a számításból azonban mmdhárom esetben ugyanazt az eredményt kaptuk. Sok erőből álló tehercsoport hatásának ilyen módon történő számítása akkor előnyös 1gazán, ha az eredő erők helyét már eleve ismerjük, vagy azok helyzetét egyszerű "ránézéssel" ís meg lehet határozni. A bemutatott példában a részeredők mmdig az erőcsoportok közepén voltak, ezért ezek helyének kiszámításával külön nem ís foglalkoztunk.
6.2.3. GERBER-TARTÓK HATÁSÁBRÁI
A Gerber-tartók 1gen sokféle változatban készülhetnek A 6.19. ábrán a lehető legegyszerűbb típusra, az egycsuklós változatra mutatunk be egy példát. A szerkezet fő tartóeleme az l. jelű alaptartó, amely önmagában lS fix és merev. Ehhez kapcsolódik a C csukló révén a 2. jelű un. támaszkodó (beftlggesztett) tartó, amely csak az alaptartóval együtt képes a terhek felvételére. A két tartórésznek a teherviselésben mutatkozó eltérő szerepére legJellemzőbb az, hogy az alaptartón mozgó F erő semmilyen hatást nem fejt ki a támaszkodó tartóra, ellenben ha az a másik tartórészen működik, akkor a C csukló közvetítésével az alaptartót is terheli. Ennél a szerkezettípusnál is először a még 1smeretlen külső erők meghatározásával kezdjük a feladatot, vagyis előállítjuk a támasztóerők hatásábráit. Az alaptartón mozgó erő helyzetét az A támaszponttól mért változó x távolsággal adjuk meg. (Ebben az esetben a másik tartórész még terheletlen!)
6. 2.
Az
FAy
támasztóerő
Hatit.~jiiggvények,
501
hatasitbritk
ill. a hatásfuggvény:
TlFAy
l-x =-l-,
Az F erő a C csuklót "átlépve" a támaszkodó tartóra kerül. A felírásra kerülő összefüggés most addig érvényes, amíg az erő a támaszkodó tartón van:
ha o-::;,x-::;,l+a. x>l+a
c
l+ a'$:. x'$:. l+ a+ b+ c. Előbb
működő
a C csuklóban csuklóerőt fejez-
zük ki:
F Fc =(l+a+b-x)-. b
Az alaptartót terhelő pozitív csuklóerő nyílértelme lefelé mutató. Az ebből származó
6.19. ábra FAy
támasztóerő,
ill. hatásfuggvény:
a Fa F =-F -=-(l+a+b-x)--· Ay
C
l
b l '
a 11 FAy =-(l +a+b-x)-. bl Ezen egyenes a C alatt töréssel kapcsolódik a hatásábra
előbbi
szakaszá-
hoz. A fentiekhez hasonló módon állítsuk ábráját is!
elő
a másik két
támasztóerő
hatás-
502
6. 1\dozgó rernelésú szerkezerek statikája
x
FB =!_F l ,
ha
YlFB =f'
O$x$ l+a.
A hatásfuggvényt ábrázoló egyenes ordinátája a C csuklónál:
l+a a YlF (C)=-= 1+-. B l l Az YlFB hatásábra C-től JObbra lévő egyenese C-nél töréssel kapcsolódik
az
előbbi
szakaszhoz és D-nél zérus az ordinátája. Az FD támaszerő fuggvényének vizsgálatakor vegyük figyelembe azt, amit már az előzőekben említettünk: az alaptartó önmaga viseli a saját terhét és a C csuklón keresztül nem ad át erőt a rátámaszkodó tartórésznek Ebből következik az, hogy mindaddig, amíg az F erő az A-C szakaszon mozog, az FD reakcióerő zérus értékű.
A C csuklótól jobbra lévő
ha
O$ x$ l+a
ha
x"?:.l+a.
erőhelyzeteknél:
F FD =(x-l-a)b'
n
x-l-a
----
'IFD-
b
Az 'IlFD hatásábra egyene-
6.20. ábra
se a 6.19. ábra legalsó diagramján látható. A támasztóerők meghatározása (pontosabban: ezek hatásfuggvényeinek felírása) után hozzákezdhetünk az igénybevételek változásának vizsgálatához. A 6.20. ábrán bejelölt K 1 keresztmetszetben a
6.2.
Hati1.~"júggvények,
503
hatásáhrák
nyíróerő
nagyságát és a hatásfüggvényt külön kell számítam, attól függően, hogy az F erő még a K 1 -től balra van, avagy már túljutott azon. Az első esetben: T:.1:.1
= FAy - F = --xf F
A K 1 -től jobbra marad, ezért a
o~
ha
eső erőhelyzeteknél
x
a bal oldalon már csak az FAy
erő
nyíróerő:
ha x >k. A nyíróerő változását kifejező függvény részletes felírására Itt nem volt szükség, mivel a levezetés végeredménye azt mutatJa, hogy a K 1 -től jobbra lévő erőhelyzeteknél a TJ:. 1 nyíróerő azonos az FAy támaszerővel, ami egyúttal azt Jelenti, hogy az TlFAy és az TlrKl hatásábrák is azonosak ezen a szakaszon. (A K 1 -től jobbra értendő,
eső
tartórészen itt nem csupán a C csukló1g
terjedő
szakasz
hanem ide tartozik a támaszkodó tartó teljes hossza is! Az FAy tá-
maszerő számításakor ugyanis már figyelembe vettük az Itt mozgó F erő hatását 1s.) A megadottKkeresztmetszetben keletkező hajlítónyomaték számításakor Ismét ügyelnünk kell arra, hogy az F erő a K 1 -től balra vagy jobbra működik-e. Bal oldali erőhelyzetnél
MhJ:.l
= F(k- x)- F~yk =
n1
-
• MhK1 -
MhJ:.l F --
A K 1 -től jobbra eső
-(1-!)x l
-(1- ~)x, '
erőhelyzeteknél
ha
O~x~k .
pedig:
M)'"l FA)' n• l MhKl =-'"-=-k=-n F F . l FAy k '
ha
x?:. k.
504
6. 1\Jozgó terhelésú szerkezelek statikája
A kapott eredmény szennt a keresztmetszettől jobbra eső tartószakaszra érvényes nyomatéki hatásábra az YIFAy hatásábra -k-szorosa. Ak-val
történő
szorzás hatására az YIFAy diagram alakja nem változik, csak
az ordmáták módosulnak, aszorzó negatív előjele míatt ped1g a diagramot a zérus-tengely ellentétes oldalára kell átforgatni. A végeredmény a 6.20. ábra alsó diagramján látható. A C-től jobbra lévő A B C D támaszkodó tartó erőjáté +F=======lT=====~=d~,K~2~l~l ka pontosan olyan, mínt az egyik végén túlnyúló l l !b c konzollal rendelkező "közönséges" kétlámaszú tartó é. Ezért a K 2 kel resztmetszethez tartozó . . l ! +i nyíróerő- és hajlítónyomal téki hatásábrákat a 6.12. d: 'b-d és 6.13. ábrákon bemuta6. 21. ábra tott egyszerű szerkesztés1 szabályok alkalmazásával raJzolhatjuk meg (6.21. ábra). l
~~~
6.2.4. ÁTVITELES TARTÓK HATÁSÁBRÁI
A szerkezetek egyik gyakran alkalmazott típusa az átvite/es tartó, amelyre a terhek nem közvetlenül, hanem valamilyen közvetítő elemeken keresztül adódnak át. A 6.22. ábrán egy átvíteles tartó egyik közbenső átviteli közét raJzoltuk meg. Az alaptartó egy kiválasztott helyén ébredő bízonyos hatás (pl. egyik keresztmetszetében keletkező hajlítónyomaték) hatásábráját már ismertnek tételezzük fel és ezt a raJzon folytonos vonallal jelöltük. Az ehhez tartozó ordínáták akkor érvényesek, ha az erők közvetlenül az alaptartóra működnek.
505
6.2. Harásjüggvények, hatásáhrák
a
Most azt fogJuk megv1zsgálm, hogy hogyan médosul a hatás, ha az erők nem közvetlenül, hanem az átviteli rendszeren keresztül terhelik az alaptartót
x
llJ Tétel: Az átviteles tartó hatásábráját úgy szerkeszijük meg, hogy az átviteli helyeket levetíijük az alaptartó hatásábravonalára és az így kapott szomszédos metszéspontokat egyenesekkel összeköijük.
6.22. ábra
Bizonyítás: A közvetítő tartó a változó helyzetű egyetlen erő (F) helyett annak két komponensét (FI és F 2) viszi át a szerkezetre. Ezek az erók rögzített helyeken (az átviteli függó1egesekben) működnek, nagyságuk viszont az x-től függően változik: ,.,v'
x F 2 =F-.
F =Fa-x. l
a
'
a
Az átvitt erőkomponensek közvetleniil az alaptartóra működnek, ezért az általuk Létrehozott Itatás számításálwzfelhasználhatjuk az alaptartó hatásábráját:
Y'=TlJFj +T] 2 F 2
=T] 1 F~+T] F(T] 1 ~+11 2 ~). 2 F~= a a a a
Az átviteles erőjátékhoz tartozó módosult hatásfüggvény tehát:
Y'
a- x
x
x
T]'=-=T]l--+T]2 -=T]] +(112 -T]])-. F a a a
A végeredményként kapott lineáris függvény egyenessel ábrázolható. Az átviteli szakasz végeihez tartozó ordináták:
x=O
-7
x=a
-7
YJ'=TJ 1, YJ'=TJ 2 .
Az adott szakaszra érvényes módosult hatásábra tehát a szakasz végeihez tartozó eredeti hatásábrapontokat összekötő egyenes (eredményvonal). Ez az egyszerű szerkeszQ.e.d. tési szabály a többi átviteli szakaszra is ugyanígy érvényes.
506
6. Alozgó
rerhelé.s·ű
szerkezetek sratíkája
A tétel alkalmazását egy átv1teles kéttámaszu tartó példáján mutatjuk be. l
F
2
3
B
A FA
t
4
K ai
ll
pi-
b
i
!
6.23. ábra
A 6.23. ábrán vázolt szerkezeten
először
megraJzoltuk a bal oldah támasz-
6.2. Hmas.Juggvenyek, hatfisabrak
507
erő, valamint a K keresztmetszetben működő nyíróerő és hajlítónyomaték hatásábráit az átviteles erőjáték figyelembevétele nélkül. Ezeket vastag vonallal ábrázoltuk Ezt követően mindegyik átviteli helyet levetítettük a hatásábrák vonalaira, s az ott kapott szomszédos metszéspontokat egyenesekkel kötöttük össze. A végeredményt - vagyis az átviteleken keresztül történő terhelés hatásábráit - szaggatott vonalakkal és vonalkázással tüntettük fel. Az átviteles tartó hatásábrái bizonyos szakaszokon megegyezhetnek az alaptartó hatásábravonalaival. A bemutatott példában ez az llFA hatásábráján
tapasztalható a 2-3. jelű átviteli közben. A módosult hatásábra szerkesztési szabályának gépies alkalmazása esetenként dilemma elé állíthat bennünket. Nem tudjuk ugyanis, hogy mi a teendő akkor, ha az átviteli hely alatt az alaptartónak már nincs hatásábrája és ezért a levetítéskor nem kapunk metszéspontot. (Esetünkben ez a helyzet az l. és 4. jelű átviteli helyeknél áll fenn.) Némi gondolkodás után azonban magunk is rájöhetünk a megoldásra: Ahol már nincs hatásábra (mert pl. az alaptartó nem ér el odáig), akkor az ott működő erő már nem terheli az alaptartót, következésképpen azon semmiféle hatást nem hozhat létre! Ez a "semmiféle hatás" szabatosabb kifejezéssel élve zérus nagyságú hatást jelent, ezért ezeken a helyeken a hatástényező is zérus. Hatásábra tehát valójában ott is létezik, ahol a "szokásos hatásábra" már véget ért: ez pedig maga a zérus-tengely. Jegyezzük meg tehát a következő egyszerű szabályt: Az átviteles tartó hatásábrájának szerkesztésekor az alaptartó hatásábráján kívül eső átviteli helyeket mindig a zérus-tengelyre kelllevetítem. A kétféle (egyszerű és átvitel es) hatásábra együttes használatára IS sor kerülhet olyan esetben, ha a terhek egy része közvetlenül, más részük pedig átvitelek útján működik a szerkezetre. Ilyenkor a közvetett terhek hatását az átviteles hatásábra révén, a közvetlen terhekét viszont az alaptartó-hatásábra ordinátáival számíthatjuk ki.
6.3. Példa: A 6.24. ábrán látható konzolos kéttámaszú tartót az aktív erők a vázolt átviteli rendszer közvetítésével terhelik. Rajzoljuk meg a támaszerők, valammt a bejelölt K keresztmetszet nyíróerő és hajlítónyomatéki hatásábráit! Ezek segítségével számítsuk ki a meg-
5 0H
6. Alozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
adott teherből származó támaszerőket és a keresztmetszetben ébredő Igénybeveteleket! Adatok: q 1 = 3 kN/m, q 2 = 2 kN/m, F = 40 kN. Megoldás: Első lépésként megszerkesztettük az átvitelek nélküli alaptartó hatásábráit (6. 2 5. ábra). Az ábrák szerkesztés1 szabályait a korábbiakban már részletesen ismertettük. Az TlrK hatásábránál a támaszfüggölegesekben felmért egységnyi hasszak segítségével megrajzoltuk a két jellemző egyenest. Ezek érvényességi határait aK függölegese jelöli ki. Az TlMhK ábra szerkesztésé-nél a
l
keresztmetszet a és b távolságait (3 m és 5 m) "forgattuk le" a támaszvonalakra és az így kapott pontokon át húztuk meg a K alatt metszödö két egyenest.
3
1 ..
l
2
2
2
2
6.24. ábra
l
Á
l
K 3m l
i :
1
l ~~-
61~-
l
l
Á
.J
l l l
~BI
~
.1.
2m lim! ~
l
l
~~-+
-~TTTTTTm-rrnt'-L.W..J.ll..L""""'i"""",ri'i- - TITK
·,
l
IN !Ö+
-t'-'-'..w...~..L..U...u.w._c...w.p-L.W...!.ll..l-.=..,....:::;-rrt-
6.25. ábra
-
11 FA
6.26. ábra
509
6.2. Hatásjuggvények, hatásábrák támaszerők
hatásábrámál az aktuális támasz vonalában felmért egységnyi ordináta vég-pontja jelölte kl az egyetlen egyenesből álló diagram Irányát. Az átVIteli helyekhez tartozó ordinátákat arányosság alapján számítottuk h
Az alaptartó hatásábráit olyan módon alakitottuk át az átviteles erőjá téknak megfelelően, hogy az átviteli függőlegesek levetítésekor kapott szomszédos pontokat egyenes szakaszokkal kötöttük össze (6.26. ábra). Számos helyen (különösen a támaszerő-hatásábráknál) ezek az összekötő szakaszok egybeesnek az alaptartó hatásábráinak eredeti vonalaivaL Az eredményként nyert hatásábrákon beírtuk azoknak az ordinátáknak az értékeit, amelyeket a további számításhoz fel akarunk használni. Megjelöltük továbbá azokat a hatásábra-területeket is, amelyek a megoszló terhekből származó igénybevételek és támaszerők számításához szükségesek. A "területek" számítása: (a hatásábra-területek mértékegysége a reak2 CIÓerőknél és a nyíróerőnél m, és csak a hajlítónyomatéknál m !)
A1-
1 ·2·04-1· 0, 4 +0,l =-065 m
2
'
2
'
'
~ = _2_· 3· 0,2 = -0,3 m 2
l o A =-·3·06=09m4 2 ' ' '
.., 1+0,4 2
.)•
2,1 m,
A6 = _ _!_,3· O?= -O 3 m 2 ,' '
2. .') .
A " -- l . l + l ,2 + - l ,-') -- ')-,.)') m. o 2 2
A hatásokat (igénybevételeket és támasztóerőket) a szuperpozíc1ó-elv alapján számítjuk, az alábbi képlet szennt:
A
nyíróerő:
51 U
6. lvlozgú terhefésű szerkezerek statikája
A nyíróerő: TK = q1A1 + Cf2A2 + .FT)T,F =3( -0,65) +2( -0,3) +40( -0,1) = -6,55 kN.
A hajlítónyomaték:
MhK = q1A3 + q2 A4 +F11A-fh,F = 3(-1,55)+ 20,9+ 40( -0,7) = -30,85 kNm.
Az FA
támaszerő:
~
= CfJAs + q24, + F11A,F =3· 2,1 +2· (-0,3)+ 40·0,4 =21, 7 kN.
6. 4. Példa: A 6. 2 7. ábrán látható kétlámaszú tartó "fordítottan" k átviteles szerkezet: a JObb oldali támaszerő közvetett módon x adódik át a vízszintes rúdra. K Rajzoljuk meg a bejelölt K keresztmetszet igénybevételi hatásB Adatok: l = 4 m, ábráit! 11 = l m, h = 3 m, a = 2 m, k=3 m. Megoldás: A bejelölt keresztmetszetben fuggőleges tel herből normálerő nem keletkezik, ezért csak a nyíró és hajlító 6.27. ábra igénybevételek hatásábráival foglalkozunk. Írjuk fel a támaszerők változását kifejező fuggvényeket!
F =Fl-x A l ,
K-tól balra lévő helyzeteiben a nyíró igénybevételt három ből számítjuk (6.28. ábra):
Az F
erő
erő
511
6. 2. Hatásjüp,gvények, hatasáhrak
x
~=FA -F+J_}~ =
l-x
2
F
l-x l x x -F+-F-=-F1 2 l 21'
Ha az F
erő
aK-tól jobbra van:
+
n
• l TK
l-x l x ( 1-x)F =F-+-F-= l 2 l 21 ' x x -I---1-2/ 8 ' ha k
A fuggvények alapJán megraJzolt két egyenes párhuzamos. A hajlítónyomaték fuggvényét az előbbiekhez hasonló módon írjuk fel. A K-tól balra lévő erőhelyze teknéL
6.28. ábra
~ l k-1-a Mhx=-FAk+F(k-x)--FB(k+a-l)=F x, 2 l
K-tól Jobbra eső
erőhelyzeteknél
MhK
= -FAk
pedig:
-J...}~ (k +a -l) = ( 1+ k 2
21
a x- k )F,
512
6. 1\dozgó
11 lvihx --
terhefésű szerkezelek
l+k-a k 2/ x -
statikája
5
-x-3 8 '
A K keresztmetszetnél mmdkét ábrázolt egyeneshez azonos ordináta tartozik, tehát az egyenesek ezen a helyen metsződnek.
6.2.5. RÁCSOS TARTÓK RÚDERÖ-HATÁSÁBRÁI Az ideális rácsos tartókról a korábbiakban azt tanultuk, hogy a külső erők kizárólag a csomópontokban terhelik a szerkezetet. Ha továbbra ts ragaszkodunk ehhez a terhelési módhoz, akkor a helyzetüket folyamatosan változtató, mozgó terhek alkalmazásáról itt sajnos le kell mondanunk, hiszen nem írhatjuk elő pl. egy jármű számára azt, hogy csak a csomópontokra szabad "lépnie"! Megoldás persze ilyenkor is adódik. Nézzük meg pl. azt az egyszerű esetet, amikor egy sártengeren száraz lábbal akarunk átkelm, de csak néhány méterenként akad olyan kiemelkedő szilárd pont, ahová lépni lehetne. Hogyan segítünk magunkon? Nyilvánvalóan úgy, hogy a kiemelkedő fix pontokon át pallókat fektetünk, amelyekre azután már a közbenső helyeken is bárhová léphetünk, sőt akár kerékpárral is végiggördülhetünk rajtuk. A rácsos szerkezeteknél hasonló feladatot látnak el a különböző erőátvi teli rendszerek, ill. a közvetítő tartók, amelyek minden esetben a rácsos tartók terhelhető csomópontjaihoz kapcsolódnak. Közvetítő tartókat akkor is alkalmazunk, ha a terhek nem kifeJezetten mozgó Jellegűek. Pl. egy rácsos tartóként kialakított tetőszerkezetnél a fő terhet Jelentő cserepekből összefüggő felületet kelllétrehoznunk és nem rakhatjuk azokat kizárólag csak a csomópontok fölé! Ilyenkor is gondoskodnunk kell arról, hogy a máshová kerülő cserepek súlyát valamilyen eszközzel (lécezés) átvigyük a terhelhető csomópontokra. A valóban mozgó jellegű (gördülő) terhek esetén a közvetítő tartó egyúttal a pálya szerepét is betölti, ezért a továbbiakban rendszerint ezt az elnevezést fogjuk használni. A pálya helyzete esetenként a rúderők nagyságát is erősen befolyásolhatA 6.29. ábrán látható rácsos tartónál szaggatott vonallal jelöltük a lll. alsó csomópontokhoz kapcsolódó közvetítő tartót, azaz a pályát.
felső
6.2.
Attól
fuggően,
Hatá.~jilggvenyek,
hatásábrák
513
hogy k/2 k i k/2 k k .. , .. .. ,... "'! az erőátviteli rendszer ,.. "'i"' · · felső pálya melyik csomópontokhoz kapcsolódik: alsópályás, ill. felsőpályás rácsos szerkezetről beszélünk. A bemutatott példán a két megoldás közötti különbség abban mutatk kozik meg, hogy az átviteli helyek (fuggőleges 6.29. ábra vetületben) fél keretosztással eltolódnak. Ez az eltolódás a hatásábrák alakjában okozhat lényeges eltérést. A rácsos tartók rúderő-hatásábráinak előállítási módját a következő néhány példa kapcsán ismertetjük, majd az eredmények alapján összefoglaljuk az általánosítható szabályokat. A mozgó erőből keletkező rúderők számítási módja elvileg alig különbözik az eddig tanult statikus rúderő-meghatározási módszerektől, csupán arra kell ügyelnünk, hogy az erő helyzetét megadó x távolság itt nem kötött, hanem változó érték. A tankönyv korábbi részében a rudakban ébredő belső erő meghatározására => az átmetsző módszert, valammt => a csomóponti módszert ismertettük. A 6.30. ábrán látható rácsos tartó megJelölt három rúdjában keletkező rúderők változását az átmetsző módszer segítségével VIzsgáljuk. A rúderőket a felső öv csomópontJaira támaszkodó közvetítő tartók sorozatán végighaladó F erő létesítí. A megjelölt rudak képzeletbeli átmetszésével a rácsos tartó két különálló merev alakzattá válik. A két részre ható erők egyensúlya szempontjából a részek belső szerkezete teljesen közömbös, ezért a b. vázlaton csak a számításhoz szükséges részleteket tüntettük fel. Az elvágott rudak helyén működtetett - egyelőre Ismeretlen nagyságú erőket mindhárom helyen húzóerőként jelöltük meg. Az egyensúlyi egyenleteket a bal oldali I. jelű merev test erőire ÍrJuk fel. Ennek során három esetet kell megkülönböztetnünk:
514
6. Mozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
6.30. ábra erő teljes egészében az I. jelű testet terheli, vagyis az átviteli rendszerről a rácsos tartóra átadódó erőnek mindkét komponense erre a testre működik. Ez O:::;; x :::;; k erőhelyzeteknél áll fenn.
l. A mozgó F
6.2. Hatásjuggvények, hatásáhrák
515
2. Az F erő, ill. annak mmdkét komponense a II. Jelü merev alakzatra müködik. Ez 2k :::;; x :::;; 6k mtervallumon teljesül. 3. Az erő a két merev testet áthidaló közvetítő-tartón mozog, azaz k :::;; x:::;; 2k . Ekkor egyik komponense az I., másik pedig a II. Jelü testet terheli.
Az egyensúlyi egyenletek legcélszerübb formája a keresett rúderő főpontjára felírt nyomatéki egyenlet (Ritter-módszer). Az l. erőhelyzetben a bal oldali alakzatra az F aktív erő és az FA támasztóerő müködik. A támasztóerőt a szokásos módon, a B csuklóponton átmenő tengelyre felírt- a teljes rácsos tartó nyugalmát jelentő - nyomatéki egyensúlyi egyenletből fejezhetjük ki: l-x 1
"LM;b =O=F(l-x)-FAl; FA =--F. Ha az N 1 rúderőt keressük, akkor az I. jelü test egyensúlyi egyenletét a P1 főpontra írjuk fel.
Az N 1
rúderő
erőinek
nyomatéki
hatásfuggvénye tehát: ha
O:::;; x:::;; k.
A hatásábra egyenese egyszeruen megraJzolható. Ez az egyenes azonban csak az első keretosztásnak (k) megfelelő szakaszon érvényes! A 2. erőhelyzetben, azaz ha 2k :::;; x :::;; 6k, akkor az F erő már nem müködik az I. jelü testre, ezért a nyomatéki egyensúlyi egyenletben sem szerepelhet
516
6. lvlozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
a l-x a N 1 =FA · - = F · - - ' q] l ql l-x a
"Nt =-l-ql'
ha
2k ~ x~6k.
A pontok alapján megrajzolt egyenes csak az átmetszett köztől JObbra érvényes. Az x = O helyzethez tartozó ordináta az egyenes érvényességi határán kívüllévő pontját adja meg. A 3. erőhelyzetben, vagyis amikor a képzeletben átmetszett k szélességű köz felett mozog az erő, az átviteles tartók hatásábra szerkesztési szabályát kell alkalmazni, azaz a szakasz két széléhez tartozó hatásábra ordináták végpontjait az ábrán látható módon egy egyenessel összekötjük. Már ezen az egy hatásábrán is számos olyan összefuggést fedezhetünk fel, amelyeket a további hatásábrák szerkesztési szabályaként fogalmazhatunk meg. Ezek az alábbiak: => A hármas átmetszés módszerével számítható rúderő hatásábrájának megrajzolásához három hosszúság: az a, b és q hosszak ismerete elegendő. => Az a ill. b az aktuális főpontnak a.L A ill. B támaszfuggőlegesektől mért távolságait jelentik. Ezek előjeles bosszúságok, és akkor pozitívek, ha a főpont a támaszközön belül van. Minden esetben érvényes a következő összefuggés: a+b=l. Ha a főpont a támaszközön kívül esik (pl. a B oldalon), akkor a> l és így b = a -l < O , azaz negatív előjelű. => A q hosszúság a főpontnak a rúderő hatásvonalától mért merőle ges távolsága (a rúderő "karja"). Ez is előjeles menny1ség! Akkor pozitív, ha a bal oldali merev testre működtetett, húzottnak feltételezett rúderő a főpontra vonatkozóan pozitív (az óramutató járásával ellentétes) értelemben forgat. => A hatásábrának a két merev rész alatti ún. fő-egyenesei a főpont fuggőlegesében metszik egymást. (Erről könnyen meggyőződhe-
6.2. Harásfüggvények, hatásáhrák
517
tünk, ha mmdkét egyenes hatá~fiiggvényébe x = a értéket helyettesítünk.) => A harmadik egyenest az előző kettő belső végpontJainak összekötése révén kapjuk. Használjuk fel mindjárt ezeket a szerkesztési szabályokat az átmetszésben szereplő másik két rúderő hatásábrájának előállításához! Az alsó, 2. jelű rúd rúderő hatásábrájához tartozó jellemző hosszúságok: Az aktuális fópont itt a P2 pont (a másik két rúd tengelyvonalának a metszéspontJa), ezért: a 2 = k és b2 = Sk és mmdkettő előjele pozitív. q2 a P2 pontból a 2. jelű rúd tengelyvonalára merőlegesen megraJzolt egyenes hossza. Mivel pedig az N 2 erő a P 2-re nézve pozitív értelmű forgató hatást fejt ki, ezért a q2 előjele is pozitív. A pozitív hasszak hányadosai pozitívek;
ezért mindkét hányadost a pozitív oldalon mérjük fel a megfelelő támaszvonalaknáL A megrajzolt két egyenes a P2 pont alatt metszi egymást. Az átmetszett köz alatti harmadik egyenes Itt (nem véletlenül) a jobb oldali fő-egyenessel egybeesik. A felső övhöz tartozó 3. JelŰ rúd esetében a fő pont a P3 csomópont és így a 3 = +2k; b3 = +4k. A 6. 30. ábrán bejelölt q3 kar előjele most negatív, mert az N 3 erő a P 3 körül az óramutatóval megegyezően forgat. A felmérendő hányadosok előjele ezért most mindkét oldalon negatív
a3 = 2k (-) q3 q3
és
b3 = 4k (-).
q3
q3
A végeredmény Itt IS két egyenesből álló hatásábra, amely azonban a negatív oldalra kerül és az egyenesek metszéspontJa, a P3 pont főpont alatt van. A következő szerkezeten (6.31. ábra) a csomóponti módszert fogJuk alkalmazm a hatásábrák előállításához.
518
6. Mozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
A rácsos tartók hatásábráit - az átvlteles erőjátékból eredően úgy is elő lehet állítani, 3 hogy nem írjuk fel a folyamatos hatásfuggvényt, hanem annak csak a csomópontokhoz tartozó értékeit számítjuk ki; ezeket a csomópontoknál ordinátákként felmérjük, majd az így kapott szomszédos pontokat egyenesekkel összekötjük. Az ábrán bejelölt rudak rúderő-hatásábrái lényeges eltérést mutatnak attól fuggően, hogy a pálya alul, vagy felül kapcsolódik a szerkezethez. Vizsgáljuk meg elő_ +-J-..,=-rrmmTTTmrmrrmTTTTTTTTITTTrnmrrrmmTTTmmrrrmTTTrTim;m."mTTTfTTTI'Íl N 4 sz ör a P., helyen lévő csukló nyugalmának feltételeit! A 6.32. ábrán beje6.31. ábra löltük a csuklóra ható összes lehetséges erőt. Ezek egyensúlyából következik, hogy az N 1 rúderő nagysága megegyezik a csomópontot terhelő F külső erővel. Ez az erőhely zet azonban csak akkor következik be, ha az erő az alsó pályán éppen a csomópont fölött áll. Ha ettől a helyzettől akár balra, akár jobbra eltávolódik, a pályatartóról 1de átadódó erő fokozatosan csökken, mígnem a szomszédos csomópontokhoz érve zérus nagyságú lesz. Ha az F erő bármely más csomópontnál működik, akkor az l. jelű rúdban nem keletkezik rúderő.
519
6.2. Hatásjiiggvények, hatásábrák
A rúderőnek a teher helyzetétől fuggő llyen változását szemléltetl az l(N hatásábra, ahol természetesen l
a P 1 pontnál nem az F nagyságú rúderőt, hanem annak F-fel osztott értékét a hatástényezőt Jelöltük be. Ebben a rúdban egyébként felsőpályás kmlakítás esetén a pályára kerülő teherből egyáltalán nem keletkezik rúderő, ezért ennek hatásábrája zérus. Az előbbihez teljesen hasonló gondolatmenettel állíthatjuk elő a 2. jelű rúd rúderő-hatásábráját is. EnF nél azonban a felső övön lévő ~ jelű csomópont nyugalmának feltételeiből kell kiindulnunk Ha a felső pálya mentén csomópontról csomópontra "lépünk", azt 6.32. ábra tapasztaljuk, hogy csak akkor jön létre N2 rúderő, ha az F erő a P2 pontnál működik. Ez az erő azonban nem húzást, hanem F nagyságú nyomást hoz létre, ezért a hatástényező:
+
A hatásábra az előbbihez hasonló alakú, negatív ordinátákkal. Ennek a rúderőnek v1szont alsópályás kialakítás esetén lesz zérus a hatásábrája! A 3. jelű rúdban mmd alsó-, mind felsőpályás konstrukciónál keletkezik rúderő .. Ha a pálya felül van, akkor a B helyen lévő csomópontra fuggőleges irányban csak az F];y támasztóerő és az N 3 rúderő működik (6.33. ábra), ezért: n
N F
-F
6.33. ábra
-3_ By_ n 'IN_;-F--'IFBy
Ilyenkor tehát az N 3 egyezik az F8 Y
támasztóerő
rúderő
hatásábráJa -
hatásábrájával.
ellenkező előjellel
- meg-
520
6. Mozgó terhefésű szerkezetek s'tatikája
Alsópályás szerkezetnél Is hasonlóan alakul az N 3 rúderő nagysága mmdaddig, amíg az F erő a B csomóponttól eléggé távol van. Még akkor IS -F3Y -nal azonos a rúderő, ha F a szomszédos csomópont fölött áll. Ha azonban átkerül az utolsó közvetítő tartószakaszr.a, akkor annak a B oldali végéről átadódó fuggőleges, lefelé ható erőkomponens (F2 ) csökkenti a reakcióerő hatását, míg végül a B fölötti erőhelyzetnél
következik be, és az egyensúlyi egyenlet így alakul:
vagyis a rúderő ekkor zérussá válik. Ezt a hatásábrában úgy vesszük figyelembe, hogy a -Th:By hatásdiagram "sarkát" az utolsó átviteli közben egy ferde egyenessel "levágjuk".
6. 5. Példa: &erkesszük meg a 6. 34. ábrán hálózati rajzával megadott felsőpályás rácsos tartó alábbi rúderőinek hatásábráit: N 3_ 5 , N 4-6 , N 10_ 11 és N 7_ 8 ! Megoldás: A rácsos tarrúderő-hatásábráinak elő tók l=6k= 12m állítása igen időigényes műve 6.34. ábra let akkor, ha a feladatok megoldását minden alkalommal a hatásfuggvények felírásával kezdjük, majd a kapott fuggvényeket ábrázoljuk A legtöbb esetben lényegesen egyszerűb ben juthatunk eredményre, ha alkalmazzuk azokat a szerkesztési szabályokat, amelyeket ezt megelőzően már részletesen leírtunk (Olyan bonyolultabb feladatoknál azonban, ahol sem a csomóponti módszer, sem az átmetsző eljárás nem alkalmazható rutinszerűen, ott sajnos nem mellőzhetjük a probléma elmélyültebb elemzését!)
521
6.2. Hatásjiiggvények, hatásábrák
A mostani példánkban
a megJelölt rudak közül 7-8 jelű nem "kezelhető" az átmetsző módszerrel. A többinél elegendő az, ha az előjel helyes a, b és q hosszúságokat megállapítjuk, mert a belőlük képzett csak
a
a q
és
+
+
+
b
q
hányadosok felhasználásával a hatásábrák már igen egyszerűen megrajzolhaták (6.35. ábra). A 3-5 rúdnál a fő pont a 6. csomópont, ezért itt a = 4 m, b = 8 m, a q3-5 pedig az 5-6 rúd hossza, azaz 2 m, amelynek előjele most negatív, 6.35. ábra mert a bal oldali rúdrésze berajzolt - húzottnak feltételezett - rúderő a főpontra vonatkozóan negatív forgatóhatást fejt ki. A hosszak hányadosai:
a
4 -2
-=-=-2,
q
b 8 -=-=-4
q
-2
.
A zérustengely negatív oldalán a támaszfüggőlegesekben felmért értékek alapJán a két fő-egyenest egyszerűen megrajzolhatjuk. Az átmetszett közre érvényes harmadik összekötő egyenes (szaggatott vonallal raJzolva) itt egybeesik a bal oldali fő-egyenessel. A 4-6 jelű rúdnál a főpont a 3. csomópont, a= 2m, b= 10m. A főpontnak a rúderőtől mért távolsága a 3, 4, 6 háromszög kétszeres területének két különböző módon történő felírásával számítható: először a 3,
522
6. lvfozgó terhefésű szerkezetek statikája
4 pontok távolságát tekintjük alapnak és a 6 lesz a csúcspont, maJd pedig a 4-6 távolság (s 4 _ 6 ) az alap és a 3 pont ettől mért távolsága a magasság (a keresett q4 _ 6 ) :
q4 _ 6 = A q4 _ 6
előjele
3·2
.JS = 2,683 m.
most pozitív, ezért a hányadosok is pozitívek
a
2
!!_=___!_Q_= 3 7267
- = - - = o 7453· q 2,683 ' '
q
2,683
,
.
A felmért hányadosok alapján megraJzolt llN4-6 hatásábra két egyenes, amelyek metszéspontJa a főpont (3. csomópont) alatt van. A megraJzoláshoz tulajdonképpen a bal oldali hányados felmérése is elegendő! A 10-11. jelű rúd főpontja az 5. csomópont, ezért itt a= 4 m és b= 8 m.
a 9, 10, ll háromszög kétszeres területe:
2A =2 ·2= SIO-ll. q!0-11 a 4 r;:: -=--v 8= 2,828;
q
4
q!0-11
'
=
4
.J8
(+),
!!_=!.JS= 5,656 .
q
4
Az átmetszett köz két szélét levetítve a fő-egyenesekre: megkapjuk az áthidaló harmadik egyenes két pontját. Aszimmetriatengelybeeső 7-8. jelű rúdban csak a 7. csomópontra közvetlenül átadódó külső erő hoz létre igénybevételt, mégpedig F nagyságú nyomóerőt, ezért Itt a hatásábra ordinátája -1. Az ábra alakja a szomszédos két átviteli helyig (5. és 9. jelű csomópontoklg) terJedő háromszög.
523
6.2. Hatásfüggvények, hatásábrák
FELADATOK 6.1. Rajzo(ja meg az F.6.1. ábrán vázolt szerkezet FA, F8 és FD támaszerőmek hatásábráit! Az ábrákon tüntesse fel a számítással meghatározott jellemző ordinátákat is!
B 1
6.2. Rajzo(ja meg az F. 4. 74. ábrán látható szerkezet 1., 4. és 5. jelű függőleges rúdjaiban keletkező normál igénybevételek hatásábráit! 6.3. Rajzolja meg az F.6.3. ábrán tengelyvonal-rajzával megadott felhasított keret K keresztmetszetében keletkező igénybevételek hatásábráit! Az F erő lehetséges helyzeteit a szaggatott vonal jelöli. A hézag mérete elhanyagolható (jj.h =O). 6.4. Rajzo(ja meg az F. 6. 4. ábrán látható tartó megJelölt K keresztmetszetéhez tartozó nyíróerő- és hajlítónyomaték! hatásábrákat! A hasíték M mérete elhanyagolhatóan kicsi.
l·
a
·
•l.
a
. 'a
•[• a
•i•
l
·l
F6.1. ábra
b
Jl.?,a .i l
!
F6.3. ábra
törttengelyű
K
F6.4. ábra
6.5. ÍT.Jafel az F.4. 74. ábrán látható szerkezet bejelölt K keresztmetszetéhez tartozó igénybevételi hatásfüggvényeket és ábrázolja azokat! Az F erő helyzetét a függvényekben a bal oldali támaszvonaltól mért x távolsággal jelölj e. 6.6. Az F. 4. 73. ábrán látható szerkezetet a felső vízszmtes rudakon terhelhetjük. A mozgó koncentrált F erő a 6a hosszúságú szakasz bármely pontján működhet.
Határozza meg a bejelölt K keresztmetszetben keletkező nyíróerők, valammt a hajlítónyomatékok hatásábráit! Az ábrákon jelöljön be mmden olyan ordinátát, amely a diagramokat egyértelművé teszi!
524
6. lvfozgó terhelésü szerkezetek statikája
F.6.11. ábra
i~67ábra
~~ ~ 5 1 2 ·l· l•' 2 .. 1
2 •j• 1 2 •j• ' 2 •i• ' 2m•
l
F.6.12. ábra
45'-~
'2F4k
F.6.8. ábra
~l-l i
~~li
F.6.9. ábra
+~ll!l!!•lliill :
'
t 1
+'~.4.
~~~~
i
21c
31c
-
F.6.10. ábra
i
'~~·
+~! l
l
i
~~--·6'··.· [~ul !
'
.
6.7.-6.12. Rajzofja meg a síkbeli rácsos tartók (F.6. 7-F.6.12. ábrák) számozásF.6.13. ábra sal megjelölt rúdjaiban keletkező rúderők (normál tgénybevételek) hatásábráit! A diagramokon tüntesse fel az előjeleket és a jellemző ordináták nagyságát!
6.3. Alaximális hatások
525
6.13. Az F. 6.13. ábrán egy alsópályás rácsos tartó hálózati raJzát, valammt hat rúderő-hatásábrát láthatunk. A hatásábrák alak- és előjelhelyesek, de az ordínáták értékeit nem adtuk meg. A hatásábrák formája és az egyes részek előjele alapján döntse el, hogy azok a szerkezet melyik rúdjához tartoznak és írja a diagramok számát a megfelelő rudak mellé! (Ha valamelyik megoldás nem egyértelmű, akkor ugyanaz a szám több rúd mellé IS kerülhet.)
6.3. Maximális hatások A mozgó terhek a szerkezet valamely vizsgált helyén (pl. egy kiválasztott keresztmetszetében, vagy egyik megtámasztási pontjánál) változó nagyságú hatásokat létesítenek. A szerkezettel szemben támasztott alapvető igény az, hogy ezen változó hatások legnagyobb értékeit is még kellő biztonsággal elviselje. Igen fontos tehát az, hogy a hatások számításmédján túlmenően azok szélső értékeinek meghatározási módszereivel is megismerkedjünk
/ Definíció: A szerkezet adott helyén a mozgó teherbó1 keletkező változó hatás legnagyobb pozitív és negatív értékeit ezen hely maximális hatásainak nevezzük. A hatások előjeiét tulajdonképpen önkényesen megválasztott előjelszabályok határozzák meg, ezért pl. ugyanaz a hajlítónyomaték amely a mi könyvünkben pozitív előjelű, egy másik jegyzetben esetleg negatív igénybevételnek minősül, és így ami nálunk maxiumm, az ott minimum lesz. A szerkezet azonban "nem vesz tudomást" az alkalmazott elő jelszabályról, hmwm egyszerűen eltörik, ha az igénybevétel abszolút értéke egy bizonyos veszélyes határnálnagyobb lesz, függetlenül attól, hogy számításaink szerint maximumról, vagy minimumról van-e szó. Erre való tekintettel a változó hatások pozitív, vagy negatív szélső értékeit - a matematikai terminológiától eltérően - egyaránt maximális hatásnak nevezzük.
6.3.1. MOZGÓ ERŐCSOPORT MAXIMÁLIS HATÁSAI A mozgó teher általában különböző nagyságú koncentrált erőket és esetenként megoszló teherszakaszokat 1s tartalmaz. Az alábbiakban olyan erőcsoport hatásait vizsgáljuk, amelynél a teherelemek nagysága állandó, és
526
6. Nfozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
mozgásuk közben az erők közöttí távolságok változatlanok. (Pl. egy vasúti szerelvény tengelysúlyaí.) A 6.36. ábrán egy koncentrált erőkből álló erőcsoportot láthatunk. A pillanatnyí teherhelyzethez tartozó hatást a korábban F, már megismert (6.8) képlettel számíthatjuk:
rt! l l 1F;
n
Y= L'lll;. i= l
A hatásnak akkor lehet
o
szélső
értéke,
x ha a differenciálhányados zérussá válik. Ke-
6.36. ábra ressük ezért az Y hatásnak a tartón lévő teher helyzete szerinti differenciálhányadosát Ehhez változtassuk meg az erő csoport helyzetét olyan módon, hogy az x; értékeit Ax-szel növelj ük. Ennek következtében az erők alatti ordínáták is megváltoznak, amelyek közelítően pontos értékeit a hatásábra érintő meredekségeiből számíthatjuk:
Az
erőcsoport
hatásának megváltozása tehát közelítően:
~y=
n
n
n
i=!
i= l
i= l
L ~'ll;~= L tgaiAx~ = AxL~ tga
i.
A hatás differenciálhányadosa ebből:
dY
.
~Y
n
- = L\x->0 hm-="""' ,\,_ L-i Rl tga.l =O. dx L.U •=l
(6.12)
A merev testek statikájában csak olyan hatásokkal foglalkoztunk, amelyek hatásábrái több-kevesebb egyenes szakaszból állnak. Ilyen esetekben a szélső érték (6.12) általános feltétele a következők szerint alkalmazható.
527
6.3. Maximális hatások
A 6. 3 7. ábrán az n számú koncentrált erőt tartalmazó kapcsolt erő csoport a hatásábra két egyenes szakasza fölött helyezkedik el, amelyek törésponttal kapcsolódnak egymáshoz és meredekségeik ellentett előjelűek A vázolt körülmények között a maximális hatás csak poz1tív szélső érték le~ ~ het. Ennek feltétele: n
L F; tga
i
= tga
i=l
k
n
i=l
i=k+l
L F; -tg~ L F;
n
LF: tga;= tga ·F"'+tg~ ·Fe''= O, i=l
vagy1s: tga · F"' = -tg~ ·Fe" .
6.37. ábra
A kapott összefuggés az ábra jelöléseivel más formában is felírható:
taa o
tg~=- ~t'
= :!1.. ' a
-tg~_ a=
tga
b
F"' Fe i l '
továbbá: n
L F; = F: = F.'+F.". i=l
A
fentiekből
kapjuk: F' =-a-F e
a+b
e
és F"=-b-F e a+b e.
(6.13)
Az F;' és Fe" bal és jobb oldali részeredőket viszonyító erőknek nevezzük. (A szakirodalomban a viszonyított súly elnevezést is használják.) A viszonyító erők aránya megegyezik a hatásábrán bejelölt a, b hosszak arányával.
/Definíció: Az erőcsoportnak azt a helyzetét, amelynél a vizsgált helyen maximális hatás keletkezik, mértékatló telterállásnak nevezzük.
528
6. .Mozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
A mértékadó teherállást legegyszerűbben a viszonyító erők segitségével határozhatjuk meg: Mértékadó az a teherállás, amelynél a hatásábra töréspontjától balra Oobbra) lévő erők eredője egyenlő az F,,' (F,;") viszonyító erővel.
Ezt az összefüggést olyan módon kell alkalmaznunk, hogy először kiszámítjuk a viszonyító erőket, majd az erőcsoportot addig mozgatjuk a megfelelő irányba, mígnem a két oldalon lévő erők összegei pontosan azonosak lesznek az Fe' ill. Fe'' értékeiveL Itt csupán az okozhat problémát, hogy a kiszámított viszonyító erők nagyságai általában eltérnek az erőcsoport elemeinek összeadogatása révén kapott részeredők lehetséges értékeitől. Ha pl. a 6.37. ábrán lévő erőrendszerben míndegyik erő F; = 10 kN, n= 7, továbbá a = 4 m és b = 6 m, akkor a viszonyító erők: F'= _i_. 70= 28 kN ' 10 ,
F"=~·70=42 kN. '
10
Ez azt jelenti, hogy az erőcsoport mértékadó teherállásakor a törésponttól balra az elkét erőnek, valamint a harmadik erő 0,8 részének, jobbra pedig az utolsó négy erőnek és a harmadik erő 0,2 részének kell állnia. Ennek a kettős feltételnek kizárólag egyetlen teherhelyzet felel meg: antikor is a harmadik erő éppen a töréspont fölött áll. Ez a pont ugyanis a két metsződő egyenes közös része és az itt álló erő (vagy annak egy tört része) egyaránt társítható a bal, vagy a jobb oldali egyenes szakasz fölött lévő erők eredőjéhez. ső
A fenti gondolatmenetből következik az, hogy mértékadó teherállásnál valamelyik koncentrált erő a hatásábra csúcspontja fölött áll. Jelöljük ezt az erőt Fm -mel, a tőle balra lévők eredőjét pedig Feb -vel (6.38. ábra), akkor ezekre fennáll a következő egyenlőtlen ség: (6.14) 6.38. ábra
Szavakban 1s megfogalmazhatjuk a mértékadó teherhelyzet feltételét: A hatásábra töré.)pontja fölött álló koncentrált Fm erő akkor mértékadó helyzetű, ha a tőle balra lévő erők Feb eredője még kisebb (vagy egyenlő), mint az F; viszonyító erő, de az Feb +Fm összeg már nagyobb annál. A mértékadó teherhelyzetnek a VISzonyító erővel történő meghatározási módja természetesen csak a 6.37. ábrán vázolt hatásábratípusok esetén al-
529
6.3. lvlaximális hatások
kalmazható. Ettől eltérő alakú hatásábráknál a feltételéből kell kíinduln1.
szélső
érték általános (6.12)
6. 6. Példa: Határozzuk meg a 6.39. ábrán vázolt konzolos kétlámaszú S·l,Sm tartó bejelölt K keresztmetszetében az adott mozgó teherből keletkező maximáF, F1 F, F, lis hajlítónyomatékot, valamint az erő csoport mértékadó teherállását! Adatok: K F; =6 kN, F2 =4 kN; Sm F3 =F4 =F5 =F6 =2 kN. 6.39. ábra
Megoldás: Első lépésként megrajzoljuk a K keresztmetszet nyomatéld hatásábráját (6. 40. ábra). Erről leolvashatjuk: a= 5 m, b= 3 m. Az erőrend szer eredője: 6
F. =I .t;= 1s kN. i= l
A bal oldali viszonyító
erő:
F'= _a_F =2_· 18 = ll 25 kN . e a+b e 8 '
Balról elindulva adogassuk össze az
erőket:
F; =6kN
F; +F2 +F, = 10+2 = 12 kN > F;. Itt meg is állhatunk, mert az összeg a harmadik erő hozzáadásakor már a viszonyító erőnél nagyobbra adódott. Ezek szennt tehát az F3 erő határozza meg a mértékadó teherhelyzetet: ezt kell a hatásábra töréspontja, azaz a K keresztmetszet fölé állítanunk. (A 6.40. ábrán ezt a teherállást rajzoltuk meg.) A mértékadó teherállás ismeretében a legnagyobb negatív hajlítónyomatékot a hatásszámítás (6. 8) és (6. 9) képleteivel számíthatjuk:
530
6. Nfozgó 2m.
terhefésű
s·zerkezetek statikája
5-15m 6
4
2
2
2
2kN
Az első három erő hatását egyenként számítjuk, mert ezek eredőjének helyét nem ismerjük. Az utolsó három erő eredője pontosan a B támaszvonalban van, ahol a hatástényező éppen zérus.
K
lvf;;;~ =-{0,75·6+ 1,3125·4+ 1,875·2)_j_
-(2+2+2)· 0=-13,5 kNm
6.40. ábra
Ennél nagyobb negatív hajlítónyomatékot erre a keresztmetszetre semmilyen más teherállásból nem kaphatunk! (Ez a kijelentés természetesen csak a példában szereplő tehercsoport esetében helytálló.) 6. 7. Példa: Határozzuk meg a 6.41. ábrán megadott átviteles kétlámaszú tartó bejelölt K keresztmetszetében keletkező legnac=4ml ! lm gyobb pozitív nyíróerőt, amelyet az ábrán iátható F = 6 kN nagyságú koncentrált erő l ből és q = 2 kN/m mtenzttású megoszló K · teherből összetett mozgó tehercsoport lél tesít! 8m 6m l Megoldás: Először itt is a hatásábrát 6m •: 4m i• ;,_ raJzoljuk meg (6.42. ábra). Az alaptartóK 6.-11. ábra keresztmetszetének nyíróerő-hatásábráját pontozott vonallal jelöltük, amelyre rendre levetítettük az egyes átviteli helyeket, maJd a kapott szomszédos metszéspontokat vastag folytonos vonalakkal összekötöttük Az átviteles erőjátékhoz tartozó hatásábra pozitív részénél a = 3 m és b = 4 m. Az erőrendszer eredője:
rnmirn lF
l
I
I
l
Fe = q· c+ F = 2 · 4+ 6 = 14 kN .
531
6.3. Maximális hatások
A bal oldah viszonyító 3
7
erő:
14=6kN.
Ez kisebb, mmt a megoszló teher eredőjének nagysága (8 kN), ezért ennek csak x 1 hosszúságú részét kell a hatásábra töréspontjától balra elhelyezm.
F'= x 11' cr e
X1
~ ,3m ,4m l 1 ~- ~t ~ ~"'" l~ 1
1
~l
l
A~~~.,-
---~
F' 6
=----"-= =3m q 2
6.42. ábra
A teher tehát akkor kerül mértékadó helyzetbe, ha a megoszló teherszakasz eleje a hatásábra töréspontjától balra 3 m távolságban lesz. A hatásábrán bejelölt adatok számítása:
l 2 ---4-'lt-14 -7,
l 3 ---3-'ll-14 -14'
'T1
'T1
l
l .
19
2
2
28
A= -yt 1 • 3,0+-(11 1 +yt 1)1,0 = - m. AK keresztmetszetben keletkező legnagyobb pozítív nyíróerő: r(+)
19 ') 28
. l 7
31 14
TJ:ma.'<. =A ·q+F ·ytF =-·.;..+6·-=-= 2,214 6.8. Példa: A 6.43. ábrán látható konzolos kétlámaszú tartón a megadott hosszúságú megoszló teher, valammt a hozzá kapcsolt koncentrált erő mozgását a tartó két végénél ütközőkkel korlátozzuk Ez azt jelenti, hogy a lehetséges szélső teherhelyzetekben 1s a teljes erőrendszer a tartón marad. q = 2 kN/m, F = 12 kN. Határozzuk meg a bejelölt K keresztmetszetben keletkező nyíróerő legnagyobb pozitív és negatív szélső értékét!
kN
.
c=4m.
8m
6.43. ábra
3m
532
6. lvlozgó
terhefésű
szerkezetek statikája
Megoldás: AK keresztmetszet nyíróerő-hatásábráját a 6. 44. ábra mutatJa. A mértékadó teherállás meghatározására a viszonyító erő most nem alkalmas, mivel a hatásábraszakaszok itt eltolt helyzetű párhuzamos egyenesek, s ezért a korábbi levezetéskor alkalmazott jelölések ez esetben nem értelmezhetők. A maximális II. nyíróerőt adó teherhelyzetet itt más meggondolás alapján kell meghatároznunk Általában azt az elvet kell követnünk, hogy a teher akkor kerül mértékadó helyzetbe, ha az erőket a lehető legnagyobb azonos előjelű ordináták fölé helyezzük. Pozitív szélső érték keresése esetén 6.44. ábra ezen elv szerint a I. teherállás látszik mértékadónak, hiszen az erőcsoport bal végét a legnagyobb pozitív ordinátáig toltuk el. Számítsuk ki az így keletkező nyíróerőt l
Tu = -(0,75 + 0,25)4 · q+0,25F =7 kN. 2
Ezen túlmenően meg kell vizsgálnunk azt IS, hogy mi történik akkor, ha a teheregyüttes tovább mozog bal felé, egészen az ütközésig (II. teherállás). Ekkor ugyan a megoszló teher egy része negatív hatásábra-terület fölé kerül és ebből eredően a hatás csökken, a koncentrált erő hatása azonban növekszik. A két teherhelyzet közül végül is az a mértékadó, amelyhez nagyobb hatás tartozik. Tw = _ _.!_0,25 ·2· q+ _!_(O, 75+ 0,5)2 ·q+ 0,5 · F = 7,5 kN. 2
2
A számítási eredmények szennt tehát a pozitív nyíróerő maXImumát a II. teherállás eredményezi. A negatív szélső érték nyilvánvalóan a konzolon lévő erőkből keletkezhet (III. teherállás): r(-)
KmB
= -0,375F- _!_0,375 ·3· a+.!... 0,125 ·l· a= -5,5 kN. 1 1 2 2
533
6.3. Maximális hatások
6.3.2. TETSZŐLEGES HOSSZÚSÁGÚ .MEGOSZLÓ TEHERSZAKASZOK MAXIMÁLIS HATÁSAI Erre az egyenletesen megoszló tehertípusra az a jellemző, hogy az íntenzítása adott, de a tartóra jutó a teherszakaszok hossza és azok 1 helyzete tetszőleges lehet. Ilyen esetben nekünk kell a szakaszok hosszát és helyzetét úgy meghatározni, hogy az általuk létrehozott Dq ll !! l !ll !!IIIIMfl[llllllllll n. hatás a lehető legnagyobb legyen. l!llllllt!l!!!!!l m. A 6. 45. ábrán lévő kétlámaszú tartó K keresztmetszetében pl. legnagyobb hajlítónyomaték akkor adódik, ha a végig azonos előjelű 6.45. ábra hatásábra teljes hossza fölött az I. Jelű megoszló terhet helyezünk el (,.totális" terhelés). Ugyanebben a keC B D resztmetszetben a legnagyobb pozitív A~----~c-~---+1---~---nyíróerőt a II. jelű részleges teherből, ~ ~~ K~ l míg a negatív előjelű szélső értéket a l 4m 3m III. jelű teherszakaszból nyerjük. Az 2m t· utóbbi két terhelési módot egyébként 6.46. ábra "parciális" tehernek nevezzük.
~
.;lr
~a ~
II!IIIIIIII!IIIII!IID~IIIIIIIIIII!tlll!!ltll ~
l~+
n
•i· ·l
6.9. Példa: A háromtároaszú csuklós Gerber-tartóra (6.46. ábra) tetszőleges hosszúságú egyenletesen megoszló teher működtethető. Határozzuk meg a bejelölt K keresztmetszetben keletkező nyíróerő és hajlítónyomaték szélső értékeit, valamint a D jelű alátámasztásnál fellépő legnagyobb negatív (lefelé mutató) reakcióerő nagyságát. A megoszló teher intenzitása: q = 800 N/m. Megoldás: A feladat megoldását a hatásábrák megszerkesztésével kezdjük. Az alaptartó a C-B-D kétlámaszú gerenda, amelyre az A-C szakasz támaszkodik. AK keresztmetszet Igénybevételi hatásábráit, valamint az FD támaszerő hatásábráját a tanult ef,ryszerű szerkesztési szabályok segítségével raJzoltuk meg.
534
6. A;Jozgó terhelésü szerkezetek statikája
A
C
B
D
Az A -C támaszkodó szakasz az
~lf"""'_--o-Jl/,,P......,""""'1=-K-~---3
2m
erőjáték
l
i jll,!!ll,l!illiillll,lil
fiDTI9
szempontjából közvetítő tartónak is felfogható, és erre az átviteles szerkezeteknél tanult szerkesztési lépéseket alkalmaztuk. A 6.47. ábrán az egyes hatásábrák fölé berajzoltuk a megfelelő parciális terhek szakaszait. Ezek alapján a maximális hatások a hatásábra-területek és a teherintenzitás szorzataiként számíthatók:
TS+) = (!. o,-? 5. 4 +_!_o' 5. ?- )soo = Kmax 2
2
=800 N,
1r(-) Kmax
=-(!.o ' 5·?+_!_· o 5. ?)soo = ~ 2 2 ' =-SOON, ";.J
(l
l )
(+) M, = -·05·4+-·1·? ' - 800= hK.max
2
6.47. ábra
= 1600Nm,
F~-;/,ax = -( ~ · 0,25 ·4 )soo =-400 N.
2
6.3.
~Maximális
535
hatások
FELADATOK 6.14. Határozza meg az 6.1. feladatban szereplő szerkezet FA támasztóerejének legnagyobb pozitív és negatív értékét, amelyet az F. 6.14. ábrán megadott mozgó tehercsoport létesít! a = 2 m.
f6kN/m
!
1m
3m
i
F. 6.14. ábra
6.15. Számítsa ki az F.6.3. ábrán vázolt tartó bejelölt keresztmetszetében keletkező maximális pozitív nyíróerőt, mmt l az F. 6.15. ábrán megadott mozgó teher i i 1 l hatását! A szerkezet méretei: a = 4 m, l· ' l b=6m. 6.16. Az F. 6. 4. ábrán vázolt tartóra az F6.16. ábrán megadott mozgó teher működik. Határozza meg a bejelölt keresztmetszetben keletkező legnagyobb pozitív és negatív hajlítónyomatékot!
!!i!!:!IW!!lillllll!lll
l
l
l
l
l
!.
,1.1.1.[,1.[.
3m
.. 1
F. 6.15. ábra
311 ~
2 kN/m
!II!!IIIIIIITIIIIII!IIII!IIIII 1
i3 1
1
1m::;.., _l,l"""m""'.l ll--•------'5:..;:m=----·+i•.=
F. 6.16. ábra
6.17. Allapítsa meg az F. 6.17. ábrán megadott tehercsoport mértékadó helyzetét, ha azt az F.4. 74. ábrán vázolt szerkezetre működtetjük és ott a bejelölt K keresztmet- j. lm ,,q,s ~· l,s m • 1• lm .j szetben keletkező legnagyobb negatív F. 6.17. ábra hajlítónyomatékot keressük! A megoldásnál azt kell megjelölni, hogy melyik erő kerül a keresztmetszet fölé (a= 2 m). 6.18. Határozza meg azF.6. 7. ábrán megadott rácsos tartó bejelölt rúdjaiban keletkező rúderők maximális értékeit! A szerkezetre egyenletesen megoszló, tetszőleges hosszúságú teher működik, amelynek intenzitása: q=1,2 kN/m. 6.19.: Az F.6.11. ábrán látható rácsos szerkezet önsúlya: qö = 900 N/m. A tartóra ezen felül még q11 = 1500 N/m mtenzitású, tetszőleges helyzetű megoszló teher is működik. Számítsa ki a 3. és 4. jelű rudakban keletkező rúderők maximális értékeit!
FELADATOK EREDMÉNYEI
2.1. 2.2. 2.3.
2.4.
Fe= 7438,9 N; a"= 46,9° Fe= 483 6 i+ 5890 j+ 430 k [N]; l Fe l= 7632 N a.,= 86,77° l Fol= 84,85 N; IFNI=28,28N; IFni=G/cosa; IFNI=Gtga !tga . 1FA l F sin f3 . lF B l = F sin a x tga+tgf3' sin( a + f3) ' sin( a + f3)
~a 2
+b 2
b IFsl =-F
2.5.
IFA l
2.6.
A kötélerők egyenlősége esetén a vektorábrából: FA=Fs =FK és FKsina=G/2.
F;
a
a
..J_-_
c la dat a'braJa ,. 'b o'l sma= - ,--_l2=-=a=2 A 1e l 2 aF Innen pedig l :2: K •
~4F; -G 2
E.2.6. ábra.
2.7.
b
l
tga =-=-tg/3 2a 2 F = _!!_ = _5i_ v tg/3 2tga F
2.8. 2.9.
c
b
2 =2_~4+ctg a 2
a.: IFci=F= l kN, IFni=O; E. 2. 7. ábra. b.: 1Fci=354N, 1Fni=792N a.: Az F, a G és a lejtőre merőleges FN kényszererő zárt vektorháromszöget alkotnak. Ebből F = G tg 30°= 57,7 N. b.: A tetszőleges (/) irányszöghöz megrajzolt vektorháromszögből Fakkor minimális, ha ((J= O, azaz az erő lejtőirányú. Innen: F min = G sina.
Feladatok eredményei
538 h
2.10.
R
ne~i,~n
l
of,
l l
h= R(l- cosq:>); G cosq:>= r====
~Gz +Fz
l
oc 1/
v
v--
l
i-- l -
!:._= G
'
·o
o
2.11.
E.2.10. ábra.
2.12. 2.13. E.2.11. ábra.
Hasonlóság alapján:
a
F
h G Az ABC háromszögből: h-l< 2a < h+l. Ezt az a/h aránnyal egybevetve
l 2F , lel1et a ru'd a +-l eseten l - -<-
G
3.3. 3.4. 3.5.
l
v +a
IFI
1/
3.1. 3.2.
1-
Rr,F 1
IFAI=IF 8 l= 139 kN; IFAI=4339N; JFel= 2500 N
!Fel= 6389 kN. IFBI=3204N;
MA= -15925 i+ 17646 j- 62552 k, JMA J= 66916 Nm; M 11 =-237 40 Nm Mindhárom esetben azonos a nyomaték nagysága: 20 Nm, és iránya a korong síkjára merőleges. Értelme azonban az első két esetben befelé, a hannaclik esetben a rajz síkjából kifelé mutató. d= 0,9 lll Fe=-185j; xo=26llllill Fe= 405,5 i+ 34,64 j [N]; !Fel= 407 N; ae= 4,9°; xo=- 736lllill 3.6.Fe=-6,315i-3,458j [kN]; JFeJ= 7,2 kN; ~=208, 7 °; x 0 = + 1,88 lll 3.7.Fe=-557,14i-352,66j [N]; x 0 = 134,7 1run 3.8. Fe= -90 j [N]; Xo= 0,55 m 3.9. M 0 = 90 k [Nm]. F, Az erők sorrendjének célszerű megválasztásával egyszerűbb lehet a 5m szerkesztés: a = O,5 m; K 0 = 17 5 N; JOON M 0 = 0,5· 175 k [Nm]. E.3.9. ábra.
'"'. Feladatok eredményei
539
3.10. Fe= 12 kN; X 0 = 7,58 Ill 3.11. Az erőrendszer egyensúlyi 3.12. F= 10 kN; x= 4,3 m
rt
q
if
F,t
E.3.12. ábra.
F" Fu
l
--i-- .
E.3.15. ábtf!.
Ft
:Pf,! . F
a.: nk= 3; s = 3, és a támasztó- A .AH. erők hatásvonalai nem metsződnek egy pontban, tehát statikailag határozott l b.: nk= 3+1; s =3, statikailag ! határozatlan, határozatlansági fok: n= nk -s = l; c.: nk= 3+3; s =3, háromszorosan statikailag határozatlan. E.3.16. ábra. d.: nk = 2 (két egyrudas tám.asz); Y4 · s =3: labilis. ----e., f.: nk= 3, s = 3, F/N de a támasztóerők "--.1-.--'----"-----xegy pontban metsződnek, tehát tabilis.
t
FA
3.14.
'
!
l
~
i
3.13.
~
!
i
3.15. 3.16. 3.17.
FB=73,3j [N]: FA=-20i-73,3j [N]; IFAI=75,3N; FA= 186 N; FB= 164 N FA= 38 N; FB= 362 N FA= 1,7 kN; aA 65° FB= 2,1 kN
3.18.
l FAl= 8,4 kN;
aA
FA
F4
l
' Fu
', l
' z'..., 2
" o
F.
E.3.17. ábra. aA = 254,1°
86°; a = 3,05 m; Ko= 7 kN; l MAl= 21,35 kNm
o
540
Feladatok eredményei
F~ E.3.19. ábra.
K,
a
E.3.18. ábra.
3.19.
FAx=l,3kN; !FBI= 1,15 kN
Fcx=-0,7kN;
3.20.
FDy= l kN; Fcx= 2,125 kN; FEx = -2,125 kN
E.3.21. ábra. 3.21.
3.22.
3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 3.29.
3.30.
3.31. 3 .32.
FAx= 3400 N; F 8 y= -800 N; IFtl=5kN; IF31=4kN; 2M FAy=- 3-;-;
Fex= -3400 N
JiM
JiM
!FBI=--· !Fel=--· 3 a ' 3 a ' Fe=- 1,5 k [kN]; Xe= om; Ye = 10 lll Az eredő erőpár: M = 2200 i+ 1400 j [Nm] Fe=- 700 j [NJ; Xe= 0,429 m; Ze= 0,429 lll Az erőrendszer egyensúlyi Az eredő egy erőcsavar. A centrális egyenes irányvektora: eF= 0,8321 i+ 0,5547 j, irányszöge: aF= 33,69°, egyenlete: r= 0,9 k +A eF. A vektorkettős elemeinek nagysága: l Mp l= 8,65 kNm; lF P l= 14,4 kN Az eredő egy erőcsavar. Az eredő vektorkettős: Fp= 1,54i + 4,97 j- 0,479 k [kN], l Fpl= 5,22 kN Mp= -7,8 i+ 10 j+ 1,04 k [kNm], l Mp l= 12,72 kNm Az eredő egy erőpár: M 0 = 70,7 i+ 70,7 j+ 70,7 k [Nm]. Az eredő egy erőpár: Mo =5 i- 10 j +5 k [kNm]
7. Feladatok eredményei
541
3 .33.
Az eredő egy erőcsavar: Fp= 100 i - 200 k [N] Mr = 24,21 i - 48,42 k [Nm]. A centrális egyenes egyenletét megadó vektor: rp= 2,14 i - 0,23 j+ 1,07 k [m]
3 .34.
Az
eredő erőpár:
3.35.
a.: Xs
3.36.
Xs
3.37. 3.38. 3.39.
3 .40. 3 .41. 3 .42.
5 =-h;
6
=0,5a;
Mo= 1800 i+ 2800 j - 2400 k [Nmm] 5 Ys =o; zs =o; b.: Xs =-h; Ys =o; zs =o
8
Ys
=0,58a;
zs
=0,45a
= 15,83 mm; Ys = 15,5 mm; Zs= -3,2 mm a.: x s =2,41 cm; y s =0,6 cm, b.: x s =0,33 cm;
Xs
ys
=0,33 cm,
C.: Xs = 1,2 cm;ys = 1,8 Cm a.: Xs = 27,3 mm; Ys = 41,8 mm; b.: Xs =27,06 mm; Ys = 36,55 mm, c.: Xs =O; Ys = 23,56 mm, d.: Xs =O, Ys = 41,1 mm, e.: X 8 =21,16 mm, Ys = 32,97 mm, xs=R/2; Ys= O; zs= O Xs =3,84 mm, Ys = 7,14 mm, Zs= 9,9 mm x s =100mm; y s =30mm =o; Ys = 10,6 mm; Zs= o
3 .43.
xs
3 .44.
L= 35,24 mm
3 .45.
FA= -60i + 103,9 j - 40 k [N]; MA= 44 j+ 83,1 k [Nm] FA= -3,11 N; Fs= 402,2 N; Fc= 365,4 N; FDx= 1158,4 N; FDy= -224,2 N; FDz= -200 N;
3 .46.
3 .47.
3 .48.
3 .49. 3.50.
F 1=Fl sina; F 2 = -F ctg a; F 3 =F 5 = O; F4 = !!_ F ; F6 =- !!_ F . a a A támasztóerő pozitív értelmét a rúd húzása adja. Az eredményeket egyszerűen kapjuk az F erő 1,2,3 jelű rudak metszéspontjába redukálásával, ha az így keletkező nyomatékvektort a 4 és 6 rudak irányába mutató erőpárral helyettesítjük. 4 M 2 M ' ' "k poz1t1v . ' er' F1 = F 2 = F 3 = 3-;-; F 4 = F 5 = F 6 =-3-;-; ah o l a tamasztoem
telmét a rudak húzása adja. FE= 355,7 N; FF=- 644,2 N, ahol a lenti. 5 FF=FG= -G 8
rúderők
pozitív
előjele
a rúd húzását je-
Feladatok eredményei
542
N [kN] -1 -1
K;
3.51.
[-] l
2
3.53.
li l 3.54.
3.55.
Mhv [kNm] 0,05 0,05
Mhz [kNm] 1,05
o 5 10 15
l ~~ l
l l {~ l l
-10 -10 -10
-17,3 -17,3 -17,3
-10 -10 -10
o
o
6 12
10,93 20,78
K;
N [N] -100 -100 -100
Tv [N] -173,2 259,81 259,81
Tz [N]
Mhv [Nm]
o
o o
Mhz [Nm] -10 24,64 -53,30
2 3
Mn [kNm]
o
l 2 3
[-] l
3.57.
Tz [kN]
-10 -10 -10 -10
l 2 3 4
3.52.
3.56.
Tv [kN] -1,5 -1,5
250 250
75
2 2 2
M,, [Nm]
o 89 89
FAx 1,41F, FAy = 2,41F, MA 5,83 Fa Mhmax = 5,83 Fa Xmax =3 a
K;
X;
[ -] l 2 3 4
[m]
FAy
o 0,3 0,7 1,2
Tv [N] -800 400 -1400 -1400
1400 N, MA
Mhz [Nm]
o 240 80 780 -780 Nm,
E.3.56. ábra M,mrx
780 Nm,
Xmax
1,2 m
"'- feladatok eredményei
!
F,! M.,,
F,
543
~Á
t
F,
l
4
Y-
x
q
F,f
: C=l,Sk:N llllill
ll'
l F
M;_=y_;G=0,52·1,5=o,78 k:Nm
!F,
T_=F,.=1,4kN
F,
E.3.57. ábra 3.58.
FAy
3600 N,
AlA
=-
2160 Nm,
J'vfmav.. = 2160 Nm,
1,2 m
Xmax =
3 -.---.-----3---;1
o
1,2q
2
rx
C=4kN
Af,_= y_.C=0,54-4=2,16 k:Nm
r_=F,.=3,60 kN
E.3.58. ábra 3.59.
F.:J.y
4500 N, i\dA
-4500 Nm,
Almax
4 500 Nm,
-1' -·
Xmax =
1,5 m
544
Feladatok eredményei 3 ~>r----------~
o
2l q"1,5
x
x
C=6kN
~= Ynux·C=0,75·6=4,5
Tma=F.-~=4,5 kN
E.3.59. ábra
t.___~--t-----'-. __j 1+5,90
N .
~
-sooL=:J
t---.
756
.----.
-1244
M.t
x
866 x 3.60.
866
-<;V~
x
E.3.60. ábra
3.61. ~~~354
E.3.61. ábra
;
FAy= 756 N, Fsx = 1000 N, Fsy = 1244 N, Mmax = 866 Nm, Xmax 3m
FAy= 3322 N, Fsx= 3535 N, Fsy = 9213 N, ~nax =354 Nm, Xmax = 0,3 m
-l kNm
~.
3.62.
l. A tartó sapir tömeget elhanyagolva: FAx= 1116 N. fe= 354 N. fey =-75o N. }vf.ua." = - 500 Nm. Xmax. =3 lll.
Feladatok eredmenyei
545
i
~x
Ni i
F
-11161L___r-------~'-866; Ty;
~~25~0~·=========+----~~ .___..JI-soo ~
~
...
x
E.3.62.a. ábra 2. A tartó saját tömeget is figyelembe veszszük: FAx=
1393 N,
FB=745 N, FBy= -475 N. lvf111a." = -430 Nm. Xmax.
=3
-1396
ffi
~-..I_---Jr---------~~-866 ;
~l
389~)13
.-,.:;:::'69
~
r430
r ::::;:;"'"
x
E.3.62.b. ábra T,~
3.63.
FA.>= 4000 N. FBy = 3000 N. Ain= = 9000 Nm. X111ax
= 5 lll
F,f M.~
IF
~M
kB~ x
E.3.63. ábra
546
Feladatok eredményei
3.64.
N
FAx=+F, FA y=+ ql, MA = ql(c-D,5 l), Ms = qlc, c = 1!4 Mmax = 0,250 qz2 Xmax = O és Xmax = /-nél, azaz az A és B helyen
E.3.64. ábra
c 3.65.
_ _i===:==! A
~.
N
I,Sqa'
E.3.65. ábra
3.66.
FAx =-3 Fh FAy=2Fb MA =aF1 Mmax = 4a F1 Xmax = a (a BCD szakasz C keresztmetszetében) -3F1
A
'
4F
2F,
~lll:llllllii!TI B
N
C T,.
E.3.66. ábra
3.67.
FAx =O, MAx = qa2, 2 Mnmax =l qa 2 Mhymáx = 4 qa
FAy=3qa, FAz=-2qa MAy =-4qa 2 MAz =4qa 2 Xmax = O - 2a (az AB szakaszon végig) Xmax = O (az AB szakaszon)
FA x = -qa, FA y= qa, MA = 1,5 qa 2 , 2 Mmax =1,5 qa , Xmax = O
7. Feladatok eredményei Xmax
547
O (az AB szakaszon)
=
N ! A
NA [A
t "1----_
T
B -2qa
' - 1_ _
~
i 80
C
_jr;
~~---/qa T i A
B
1300
Cs
' i-2qa
17
L_
IOOj B
T, al A
s
c
-1001 B
!
cs
l 100 B
l;
1-80
c
AZA
160
L--------------L----~1
M,"~
E.3.67. ábra
3.68.
,_ s
-80 N, FA y= 300 N, 100 N, MAx= -60 Nm, MAy= -118 Nm, MA z= 130 Nm, Mnmax =60 Nm, Xmax = O- 7a (az AB szakaszon végig) NA Mhymax= -118 Nm Xmax = O (az AB szakaszon) A Mhzmax= 130Nm Xmax = O (az AB szakaszon) l qa FAx=
FA z=
~ s
E.3.68. ábra
~l----------~·~~
T,+
B C
D
D
---------~t
E
H s
E
H
c_i
A
3.69.
B
C
FAy = qa q a (b - a12) Mmax =-qa(a/2+R) Smax = b + Rrt/4, a D keresztmetszetben FA x
=O,
MA =
E.3.69. ábra
s
548
FeladalOk eredményei
3.70.
FAy = -F:. MAy = - R f<2
FAx -Fl AJAx=- 2RF1
AB ív: O $; ep $; tr/2 N N(s) F 1cos ep+ f2 sin ep Ty (~>~ = - F 1sinep + f2 cosep T::=T:: (S~ = F3 =konstans
F Az=- F3 R F2
1\ifAz =
Mn = Mn (s) = F3R (l- cos ep) lvfhy = M~;y (s) = F3R +F3R cos ep M,"' = M,"' (s) =- F1 R- F3R cos ep
BC szakasz: N= N(s) = F2 =konstans Ty =Tr (s) = - F 1 = konstans T:: =7~ (s) = F3 konstans
Mn=Mn (s) =O Mhy = M~;y (s) = F3x Mhz Mhz (s) = -F1 x Fp.,z =O Mp.,z= -FR
3.71.
N= N(s) =O kin= Mn (s) = -FR (l - cos ep) Mhy = M~;y (s) = O Ty =Tv M = - F =állandó M~r.; M~r.; (s) = FR sin ep T::=T:: (s) =O 1\ifnmax. = -FR sma" = Rw4, azA keresztmetszetben smax = Rn/4, azA keresztmetszetben lvf~r.;ma.'FR 3.72.
3.73.
FAx=0,7071F FAy=0,7071F Mp.,z=0,7071FR N= N(s) - 0,7071 F(sinep + cosep Ty =Ty (s) - 0,7071 F(sinep- cosep) M~r.; = M~r.; (s) O, 7071 FR (l +sin ep+ cos ep) FAx DC ív
CB ív
BA ív
3. 74.
-F
FAy - 2F Mp.,z = 3FR N= N(s) F cos ep Ty =Ty (s) = - F sin ep Mh:: = lvf,rz (sJ FR (l - cos ep) N=N(s) -Fsinlj/-2FcOSif/ Ty =Ty (s) - F cos If/ + 2F sin If/ M~r.; = M~r.; (s) FR (l+ sin lj/)- 2FR(l - cos If/) N=N(s) =-Fcosv+2Fsinv Ty=Ty (s) Fsin v+ 2Fcosv Mhz = M,r: (s} FR (2 sin v+ cos v - l)
FA~ = 353,6 N Mlnuax. = 35,36 Nm
FAy = 176,8 N sata" = a,
F!3 =
176,8 N az F keresztmetszetben
7
J. 75. fAx = -400 N FAy = -200 N Fl3 = 200 N lvllnnax. = 40 Nm Smax Rn/2, az F keresztmetszetben AF ív N= N(:,~=- FA, sintp - FAy costp Ty =Ty (sJ=- FA< costp +FAy sintp J'vl~r;=jvf~r; {s)=F&R sintp- FAyR( l - COStp) FBív N= NM =-(fA,; T F) COSij/ T FA y Silllj/ 'f;. =Ty (:,~=(F&+F)sinlj/ +FAy COS If/ lvl,r: Mhz (:,) = F&R - FP.yR -(FA< +F) R (l- COSij/)-FAyR sin lj/
3.76.
549
Feladatok eredményei
Ni ;A
F
~--------~1 : .._-_35_3,_6_ _- l -176,8 1
3.77.
l~-------.,~----..,,176~8 F
E. 3. 74. ábra
CD ív:
= N(s) = 0,5 qa sintp Ty =Ty M = 0,5 qa cos tp M,r: = M,r: (:,) = - 0,5 qa R sin tp
DB ív:
N= N(s) Ty =Ty M
N
AM ív:
MB ív:
3. 78.
0,5 qa sintp 0,5 qa costp (s) - 0,5 qa R COS lj/
= =
FAy = -500 N
fA.-,=ON
B
s
...s
FAx = 0 fAy = 0,5 qa FB 0,5 qa a D keresztmetszetben = 0,5 qaR Smax = RJT/2, AC szakasz: N= NM =O Ty=Ty M = FAy- qx M~r; M~r: (s) -x FAy- 0,5 q:l
,'vflm= = 250 Nm
..s
T,J
lvflnnax.
M~r; = 1'Vfhz
B
.l'ma.'
FB = 500 N R, az 1vf keresztmetszetben
N= N(s) = - FP.y costp Ty =Ty (sj = f~A.J· Silltp M~r; = M~r; (s) = - FAyR (l- costp) N= N(s) FAy sin lj/ Ty =Ty (s) = FAy cos lj/ M~r; = M~r; (s} M- FAyR (l +sinlj/)
FA:, - qR l
550
Feladatok eredményei M"z CB ív:
4.1.
4.2. 4.3. 4.4.
=
M"z (s)
= -
c;o,5 qR cos 45°+ 0,5 qc; 2
N= N(s) = 0,5 q R sin~- qR cos~ Ty =Ty (s) =0,5 qR cos~- qR sin~ M"z = M"z (s) = -1,5 qR2 + qR2 (1-cos~)-0,5 qR2 sin~= 2 = - qR (0,5 -sin~- cos~)
FA= FD =34, 7 N; F8 =Fc = 100 N; FI 2 = F 13 = 69,3 N. FA=-25 j [N]; Fn= 105 j [N]; FK=49,1 N. FA= 1380 N; a.= -13,43°; F8 = 2320 N; Fc=2680 N; FD =1340 N. _ G - G sin a _ G1 + G 2 • F D- - -1 ' - - -2 " - - F K2(l+sina)' l+sina
4.5. 4.6.,7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12.,13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. 4.18.,19. 4.20. 4.21. 4.22. 4.23. 4.24. 4.25.,26.
FA=-50 i+ 20 j [N]; F 8 =50 i [N]; Fc= 60 N; FD= 22,36 N Határozott Határozatlan (n= l) Határozott Határozatlan (n= l) Határozott Labilis Határozott Labilis (adott terhelésre határozott) Határozott Határozatlan (n= l) Határozott Határozatlan (n= l) Határozatlan (n=2) Határozott Labilis Határozatlan (n=3) Határozott
4.27.
NI-2= Fl -J2; NI_ 3 = N3_4 =Fl -J2; N2_4 = -Fl -J2 ; a többi vakrúd.
4.28.,29.
NI-2= NI-3=Nz-4= N4-s= 0; N3-4 = -F-J2 l 3; N3-4 = Ns-1= Fl3; N4-6 = -2FI3; N4-7 = F -J2 13; N6-7 = 2FI3; N6-s =-2 -J2 Fl3; N1-s = 2FI3.
4 .30.
NI-2 = -F-J2; NI-3 = N2-3 = F;
N2-4 = -F; N3-5 = Ns-7 = F; N4-5 = Fl2;
N4-6 =- F/2; N4-7 = -Fl -J2; N6-7 = Fl2; N6-s =-Fl -J2; N1-s = Fl2. 4 .31.
N4-5 = N4-6 = -F12; N4-7 = Fl -J2; N6-7 = N1-s = Fl2; N6-s = -Fl -J2, a többi vakrúd.
4.32.
N1-2 = -F-J2 14; N1_ 3 = N3-s = Fl4; Nz-4 = -FI2; Nz-s = F-J2 14; N3_4 = O; N4-5 = -F; N4-6 = -3F/2; N4_ 7 = -F-J2; Ns-6 = 3F-J2 14; N5_7 = -FI4; N6-8 = -3F-J2 l 4; N1-s = 3FI4.
7. Feladatok
551
=N6_8 = -Fl .fi; Ns-7 = N7_s = Fl2; N6_7 = F, a többi vakrúd.
4 .33.
Ns-6
4 .34.
N 1_2 = F .fi l 4; N 1_3 =-Fl4; N 2_3 = Fl 4; N2-4 = 3Fl4; N2-s = Ns-6 = -Fl .fi; N3_4 = -F.fi l 4; N4-6 = Fl4; N4-7 = F.fi l 4; N6-s = -F.fi l 4; N6-7 = 3FI4; N7-s =FI4.
4.35.
N 1_2 = 3F; Nt-6 = F .fi ; N2-3 = 3F; N2-6 = O; N3-4 = N3-s = 2F; N3-6 = -F .fi ;
4 .36.
N4_5 = -2F .fi; N5_6 = -2F; N6_7 = -4F. N 1_2 = N 1_7 = N 1_8 = O; N2-3 = 2F; N2-6 = -F .fi ; N2-s = F .fi ; N3-4 =2F;
4.37.
4.38. 4.39. 4.40. 4.41. 4.42. 4.43. 4.44.
4.45.
N 3_5 = N3_7 =O; N4-6 = F .fi; Ns-6 == -3F; N6-7 == N7-s == -F. N 1_s == -4 kN; Nt-9 == -8 kN; N2-3 = N2-9 = O; N3-4 = -5,33 kN; N3_9 == -6,67 kN; N3-l0 == 4 kN; N4-s = -4,67 kN; N4-w == 0,83 kN; N4_11 == N5_6 == -0,5 kN; Ns-tt == 0,83 kN; N6-7 = 0,67 kN; N6-tt = -0,83 kN; N7_8 = 1,33 kN; N7_10 = -0,83 kN; N7_11 == 0,5 kN; N8_9 == 6,67 kN; Ns-w= 5 kN. N 1=6 kN; N 2 = -8,49 kN; N3 =O; N4 =8 kN; N5 =-11,31 kN; N6 =20 kN. Nt-2== F; N2-s ==O; N4-5 == F .fi; N1-s = O. N 1==80 kN; N 2 =-90 kN; N3 == -180 kN; N4 == 100 kN. N 1= 7,81 kN; N 2 = -7,81 kN; N3 = -13 kN; N4 = -15,71 kN; N5= -13,55 kN. N 1 = 0,25 F; N 2 = -0,25 F. N 1=6 kN; N 2 = N3 = -16 kN; N4 = 16,97 kN; N5 =-30 kN; N6 =O. Az E csomópont nyugalmából: N4=-20 j [N]; N5=-3,75 i+ 10 j+ 5 k [N]; N 6 = 3,75 i+ 10 j+ 5 k (N4 =20 kN; N5 = N6 = 11,79 kN). Az A csomópont nyugalmából: N 1 =-20 j - 26,67 k; N 2 = -10 i+ 13,33 k; N 3= 10 i+ 13,33 k (N1= 33,33 kN; N 2= N3 = 16,67 kN). N1-2
=Nt-4= Nt-s = O; N2-3 = F; N2-4 = -F .fi ; N2-s = F .fi ; N2-6 = -F; N3-4 = F;
.J3;
4.46.
4.47. 4.48.
N3_5= -F N3_6= O; N3_7 = F; N3_8 = N4-s = Ns-6 = 0; N5_7 = F .fi ; N 5 _8 = N5_9 = =O; Ns-t3 = F; N6-7 = -F; N6-to = N6-t4 = N1-s = -F; N7-tt = F; Ns-t2 = -F. A rúderőket a megoldás sorrendjében adjuk meg. A 10. csomópont nyugalmából: N6-to = N9-to = Nw-tt =O; 12. csp.: Ns-12 = N2-12 = N11-12 = O; ll. csp.: N6_11 = N7_11 = N8_11 = O; 9. csp.: N5_9 = -6093 N; N6_ 9 = Ns-9 = -2250 N; (N 5_9= -750 i+ 750 j+ 6000 k; N 6_9= -250i- 1000j + 2000 k; N 8_9= 1000 i+ +250 j+ 2000 k); 6. vagy 8. csp.: N 2_6 = N4-s = -2031 N; Ns-6 = N5_s =750 N; N6_ 7 = N7_8 =O; 7. csp.: N 2_7 = N3_7 = N4_ 7 =O; 5. csp.: Nt-s = -4352 N; N2_5 = = N4-s = -1077 N. N 1=O; N2 = -1,12 F; N3 =O; N4 = 1,22 F; N5= -0,5 F; N6 = 1,22 F. Nt-2= O; Nt-3 = 0,707 F; Nt-4= O; Nt-9= -2 F; Nt-w= Nt-12 = -0,707 F; N2-3 =O; N2-10 =3 F; N3-4 = -F; N3-w = -0,707 F; N3-tt =O; N3-t2 = 0,707 F; N4-t2 = Ns-6 = N 5_8 = N5_13 = N6-7 = O; N6-s = O, 707 F; N6-t 3 =-O, 707 F; N6-t4 = F; N6-ts = -0,707 F; N1-s=- F; N7-ts = O; Ns-13 = -0,707 F; Ns-ts = 0,707 F; Ns-t6 = N9_10 = N9-12 =O; N9-t3 =-2 F; Nw-t t =O; N 10 _13 = 0,707 F; Nw-t4 = F;
552
Peladatok eredményei = 0,707 F; 1V11-12 = Nw15 = O; N12-13 = 0,707 F; Nl2-15 = -D,707 F; = N13-14 = N13-16 = N14-15 = N15-16= 0. = 1\/1-6 = -F; N1-7 = N1-12 =O; N 2-3=- F; N2-1 =N2-9= N 3-4= O; N 3-6= -F ..fi;
Nw-15
i\"12-16
4. 49.
JV1-2
N 3-9=- F: N 3-10= Ns-12
=
-F..fi:
= - F.J5 l 2;
N8-14
= O;
N9-10
F/2;
N11-1s
N 6-12
= F;
N 4-5
= 2F;
N 9-14
=
N 4-10
Nl-8 = N 7-12
= O;
N9-15 = -
=
=O;
N 7-13
F ..fi;
= F .J5 l 2; Nu-16 = -F.J5 l 2; Nu-15 = F; Nu-16 =O; N1s-16 =- F 12. 4.50. fA = 1,35 kN; FB Fc= 2,65 kN. 4.51.-4.58. lásd E.4.51.-E.4.58. ábrák Nu-12=
N
=
N12-16
E.4.51. ábra.
M[Nm]
T,N[N]
T
1000 N
1111111111111!11111111111
E.4.52. ábra
N1-16
N9-ll
lllllllllllllllllllll!llllllllll!!o,&
T
= F;
Ns-6
N 5-10 =
=
N8-9
= - F 12;
= F;
N13-14
=
F .J5 l 2; = N8-13
=
N1o-1s =
O;
N13-16 =
0;
553
7. feladatok
T
N
N
M;"."=625 Nm li l i i i i i i i i: i i i i i i i i l i: i i ll i i i i 100
E.4.53. ábra
M[kNm]
M".,.=8, 17 kNm 6
x=7/3 m
..,
i l
T
T
T,N[N] N
611lll i lllllllilii !lill !ll! 111111116 E.4.54. ábra.
N
554
Feladatok eredményei
M
/751 l
T
~1,25 .l!! i 187,5
E.4.56. ábra
7. Feladatok eredményei
555
E.4.58. ábra FA= 500 N; F8 =300 N; Fc= 458,3 N; FK =346, 4 N. FA= 165,5 N; F8 = 227,4 N; FKt =565, 7 N; FK2 = 281,8 N FA= 2,926 kN; F8 = 1,25 kN; Fc= 1,458 kN; h= 1,75 kN. FA= 240 N; F8 = 160 N; Fc= 244,4 N; FK = 92,4 N. FA= 2,8 kN; F8 =Fc= 1,3 kN; FD = 3,3 kN; Fe= 5,5 kN. FA= 510 N; F8 =707 N; Nt= 707 N; N2 =-l000 N. FA= 800 N; F8 =800 N; Fc= 1600 N; FD =800 N; FE =1130 N. FA= 80 N; F8 =80 N; Fc= 160 N; FD =80 N; FE= 113 N. FA= 13,4kN;MA =25,2kNm;F8 = 11,83kN;Fc=FD= 15 kN. FA= 10,6 kN; F8 = 8,12 kN; Fc = 2,6 kN; FD = 10,6 kN; FE = 2,6 kN; M 8 = 90,65 kNm. A CB rúd nyugalmának vizsgálatából kiindulva minden erőt pl. F 8 ftiggvényében tudunk kifejezni, melyet végül az AC rúd nyugalmából tudunk meghatározni: FA = 100 N(f); F8 = 100 N(~);Fc = 100 N; FD =400 N(f); Nr =N2 =-200 N. FA =3 kN(i); F8 =3 kN(~); Fc= 3 kN; N3 =N4 =-6 kN; N 5 = N6 = -8,49 kN; N7 =-6 kN. Nt= O; N2 = -15 kN; N3 = -21,21 kN; N4 = -26,83 kN; N5 = 15 kN. (Az 5-ös M és T ábráját nem rajzoltuk meg.)
4.59. 4.60. 4.61. 4.62. 4.63. 4.64. 4.65. 4.66. 4.67. 4.68. 4.69.
4.70. 4.71. 400
M[kNm]
200
E. 4. 72. ábra.
4.73. 4.74.
FA =3 kN; F8 = 6 kN; Nr = 3 kN; N2 =-6 kN; N3 =-3 kN; MK = 3 kNm; TK =3 kN; NK =O. FA = 7,5 kN; F8 = 5,5 kN; FD = 15 kN; N4 = 13 kN; N 5 =-ll kN; MK =O; TK =6kN;NK =O.
Fe/adatok eredményei
556
4.77. 4.78. 4.79.
FA =400 N; F 8 = 100 N; Fc= 200 N; Fp = 100 N; FR= 200 N; Fs =400 N. Me= 736,8 Nm; Fc= 1710 N. Me = 736,8 Nm; Fc = 200 0 N.
4.80.
Fca=Fa -""""'--! ·tga
[Cll
5257 N.
AC
4.81. 4.82. 4.83.
Fes =FH/4 tga= 1443 N. Fsc = 63800 N. a.: a= 2,5 m, b.: m = 8,92 kg, c.: FAx= 87,5 N; FAy
=140
d.: PAB = +165 N; F 8 c = 115,2 N. 4.84.
Yc =4,55 m; YE =1,64 m.
4.85.
a=0,57 m; FAx =Fsx =-7mg; FAy =-mg; FBv =-mg;
5
FAc=
fi ·~mg; 7
FeD=
5 7
~mg; FDB = ..J29 mg. 7 7 fi·2
4.86.
F =FAc= F 8 c =2 kN; FeD=
4.87.
F = 168 N; FA= FB = 724,1 N.
4.88.
F
4.89. 4.90. 4.91. 4.92. 4.93. 4.94. 4.95. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5. 7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12.
= 3,64
kN; FA
= 1,58
kN; FB
kN.
= 3,66
kN.
YD = 65,33 cm; Yc = 64,16 cm.
h =6 cm FA=Fc= 12272N; F=6131 N; F 8 = 13935N !AB= 131,82 m (138,56 m); Kmax = 4000 N sAs= 18,8 m (18,02 m) h = 1,46 m a= 9,00 m; = tga
AB = 14,27 m; K 8 =87,86 N
flo
= 0,2 a= 30° 113 N < F < 293 N 400 mm < x < 670 llllll Xmin = 166,6 lTilTI F 1 = 132,4 N F 2 = 452,8 N x 1 =200 mm x 2 =420 llllll F= 557,14 N flo= O, ll F= 230 N F =226 N F'= 52 N Mrék = 142 Nm flo
.
2 7
N,
Feladatok eredményei 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26. 5.27. 5.28.
5.29. 5 .30. 5.31.
5.32. 5 .33.
5.34.
F 2 = 50,866 N
F 1 =49,134 N
F= 115N F1 = 1170N; F 1 = 1030 N; r 0=1,49 mm; F 1 =816N; Po2=!6,T; r 0=14,37 mm; 0,46 G ~ F ~ 2,2 G flo= 0,15 F 1 =4250,9N F 2 = 940,98 N F 1 =298,32 N F 1 = 576,30N F2= 82,02 N
p 0=11,31 ·; Po=5,71 ·;
r 0=19,61 mm;
F 2 = 270 N
Mrék2=
1139,10Nm
G=F .!::...í. (e -l) a r 4 lx= 3,0594 R 4; ly= ITJ =h= 0,5594 R ; I~;= /1 = 2,5615 R 4; lxy= 1~;11 = O, (/JI= 0°, (/)J.= 90° (ys = 0,3734 R) lx= 1040,1 cm4; ly= 111 = h= 1000 cm4; lx= / 1 = 1708,6 cm4;/,,y= fc;11 = O; (/JI= O; (/JJ.=90° (ys = 8,512 cm) lx= ly= 9,4247 cm4; lxy= -2 cm4; I;; 1,1= 8,6703 cm4; 1ux
1~;,1 = -2,7545 cm4; / 1 = 11,4247 cm4; / 2 = 5,9157 cm4; (/)1= 45° (xs = Ys = 0,2829 cm) lx= 396 cm4; ly= I 'l= / 1=203 cm4; It; h= 118,28 cm4; I.w= 1~;1]= O; (/JI= O; (/)J.= 90°; rp= 0°(y5 = 2,5714 cm) I.,= Iq= 0,7854 R4 ; ly= 1,1= l ,5708 R4 ; I.w= 1~;,1 = -0,6667 R 4 ; / 1 = l ,9518 R 4 ; lz= 0,4044R 4; (/JI= 60,25°; (/)J.= 150,25°; I.,= I~;= 809676 cm4; ly= 1,1= 863875 cm4; I.w = 1~;1]= -629883 cm4; / 1 = 1467241 cm4; lz= 206309 cm4; rp1 = 46,23°; (/)J.= 136,23°; I.,= ly= 6,2832 r4 ; It; 3,7367 r4 ; 11J= 4,7124 r4 ; 1~;1]= -2 r4 ; / 1= 6,2832 r4 ; h=2,1659 r4 ; rp1 = 51,85°; (/)J.= 141,85° (x3 =0,5 r;ys= 0,6366 r) I.,= 18773 mm4 ; ly= 9365,3 mm4 ; I.ry= 5856 mm4 ; It; 7483,7 mm4 ; 1,1= 3795,7 mm4 ; 1~;1J= 2073,6 mm4 ; / 1 = 8414,65 mm4 ; lz= 2864,82 mm4 ; rp1 = 24,18°; (/)J.= 114,18° (xs= 5,9 mm; Ys = 8,4 mm) I.,= 13,09 cm4; ly= 11J= / 1= 14,34 cm4; I~;= 3,069 cm4; I.,y= 1~;,1 = O; h= 3,3069 cm4; rp1 =90°; (/)J.= 0° Io=[300,36
5.36.
rp0 =±45°, ha Ixy
5.37.
lmin
O 300,36
o
][cm :;t:
4]
O; bármelyik irány főirány, ha Ixy =O
= 65664 cm4 a szimmetriatengelyre
1.=[156,8 s
5.39.
F2= 855 N F2= 971 N
n=5,5 Afréki=519,36Nm,
5 .35.
5.38.
557
o
O 233,3
R=9,78cm
][cm
4]
55 H
"'. Feladatok eredményei
5.40.
I, = l004,4g cm4
5.41.
Körnél:
5.42.
HáromszögnéL
5.43.
HatszögnéL
5.44.
1,5 cm, imax= 2 Cnl lásdE.6.1.-E.6.4. ábrák
j
= 0,5 R
j
j =
J8 R = 0,35355 R g
= [5" R =0,4564 R
v24
imin =
6.1.-6.4.
D
~
I
A
5.
l
~+ ~~ 'l'
'
1
111 J! l! ll i: ll! llill! l l!! l! l! ll llll! l! l i l + J
E.6.2. ábra
E.6.1. ábra
l
K
3m
a
b
2
2
3
b
!',,,,,, l~ n-r-..__~'~:. 'l': ' ~~~~.Ih,+ ·11·11 "'·
•
~~-
/!
15 10
-
E.6.3. ábra
7
E.6.4. ábra
,7 'l' 'l
l l ' ! lj! l+
559
Feladatok eredményei
r l---.::_
6.5.
11
_J
TK
l ~ 2a
-1
4a
o~
2 -X- 3a
r
a
x<3a.
i a l
l 2a
ra-2x
-J
4 lluhr-lx--2a
4
3a
~x~Sa
~ 2a
~
I
I 2a
a
a
a
E. 6. 5. ábra
E.6.6. ábra
~
+
l
E. 6. 7. áhra
l
2a
560
7
Feladatok eredményei
,
' l
, , :l! l i i!
l
i
.
'
ml 4.
E.6.11. ábra E.6.9. ábra
s
lJNt
,
~. '
J2 !
+
.. l
1.,,."""
l l
l :
l
j
E. 6.1 O. ábra
l .
l
-
llw.c
E.6.12. ábra
Feladatuk eredményei
~ E. 6.13. áh ra
=5 ' 125 kN·'
=-5 ' 875 kN
6.14.
F(+>
6.15.
Ti:,;"' = 16,75 kN
6.16. 6.17.
lvf),;;uax = 6.4285 kNm; M1':;~'"" = -15,2857 kNm A 2kN. vagy (!) az l kN nagyságú erő kerül a K fölé.
Amax
F(->
Amax
Mh~L"' = -16.4375 kNm 6.1K
N,~.~ =-3000kN;
N;::"' = -2828.4 kN; 6.19.
N~:,;"' =6000kN;
Ni;:"' =707,lkN
N~::"' = -4500 kN
Ni;:"'= 1821,07 N;
Ni.~:"' =-887,69 N
N~;,:"' =784.62 N:
N~::"' =-1609,62 N
561
TÁRGYMUTATÓ DEFINÍCIÓK
oldal
Anyagi pont .................................................................................................................... 27 Anyagi test ..................................................................................................................... 27 Bakállvány ................................................................................................................... 297 Befogás ........................................................................................................................... 31 Csapsúrlódás köre ......................................................................................................... 404 Csavar .......................................................................................................................... 400 Csukló ............................................................................................................................ 31 Csuklós szerkezet. ......................................................................................................... 295 Csuklós vezeték .............................................................................................................. 32 Egyenértékű erőrendszer ................................................................................................. 85 Egyensúlyi erőrendszer ............................................................................................. 45, 86 Egyrudas támasz ............................................................................................................. 31 Eredő .............................................................................................................................. 45 Erő ........................................................................................................................... 28, 37 Erőpár ............................................................................................................................ 90 Erőrendszer .............................................................................................................. 29, 91 Ék································································································································ 392 Felületen megoszló terhelés ............................................................................................ 30 Főm~sodrendű nyomaték ...................................... .-....................................................... 445 Főtengely ...................................................................................................................... 445 Görgős vagy sima támasz ................................................................................................ 31 Hatás ............................................................................................................................ 479 Hatásábra ..................................................................................................................... 486 Hatásfüggvény .............................................................................................................. 486 Hatástényező ................................................................................................................. 484 Háromcsuklós szerkezet ................................................................................................ 297 Horony ......................................................................................................................... 396 Ideális kötél .................................................................................................................. 330 Igénybevétel ................................................................................................................. 182 Igénybevételi ábra ......................................................................................................... 184 Igénybevételi függvény ................................................................................................. 184 Inerciarendszer ............................................................................................................... 39 Inerciasugár .................................................................................................................. 47 5 Kényszer. ........................................................................................................................ 30 Koncentrált erő ............................................................................................................... 29 Kötél ............................................................................................................................ 330 Labilis szerkezet ........................................................................................................... 242 Lejtő ............................................................................................................................. 387 Maximális hatás ........................................................................................................... 525
564
Tárgymutató
Merev anyag ................................................................................................................... 26 Mértékadó teherállás ..................................................................................................... 527 Modell ............................................................................................................................ 23 Mozgékony szerkezet. .................................................................................................... 242 Nyornaték ....................................................................................................................... 78 Nyornás .......................................................................................................................... 30 Rácsos szerkezel.. .......................................................................................................... 250 Redukált erőrendszer ...................................................................................................... 93 Rúd ................................................................................................................................ 28 Rúdlánc ......................................................................................................................... 328 Síkban szétszórt erőrendszer ........................................................................................... 95 Síkbeli erőrendszer ......................................................................................................... 88 Síkbeli rácsos szerkezet ................................................................................................. 250 Síkidom elsőrendű nyomatéka ....................................................................................... 142 Síkidom másodrendű nyomatéka ................................................................................... 143 Síkidom másodrendű nyomatékvektora .......................................................................... 462 Síkidom pontra számított másodrendű nyomatéka ........................................................ .434 Síkidom tengelypárra számított másodrendű nyomatéka ................................................ 433 Síkidom tengelyre számított másodrendű nyomatéka ..................................................... 433 Súlypont ........................................................................................................................ 154 Súrlódási kúp ................................................................................................................ 373 Statikai nyomaték .......................................................................................................... 142 Statikailag határozatlan szerkezet.. ................................................................................ 242 Statikailag határozott sze rkezet. ..................................................................................... 241 Szabadságfok. ................................................................................................................. 34 Szerkezet ........................................................................................................................ 3 2 Tengelyre vonatkoztatott nyomaték ................................................................................ 79 Térfogaton megoszló terhelés ......................................................................................... 30 Tömeg ............................................................................................................................ 38 Vezeték .......................................................................................................................... 32 Vonalmenténmegoszló erő ............................................................................................ 29
AXIÓMÁK ............................................................................................................ 38-40
TÉTELEK Erőrendszerek egyenértékűsége
..................................................................... 43, 85, 88, 89 egyensúlya .............................................................................. 45. 59. 60, 86 Erőrendszerek nyomatéka .................................................................................... 80, 90, 91 Erőrendszerek redukáltja, eredője .............................................................. 93, 94, 138, 145 Igénybevétel .................................................................................................. 183, 202, 203 Kötél, kötélsúrlódás ............................................................................................... 34 7, 419 Mozgó terhelések hatásai ....................................................................... 487, 488, 489, 505 Síkidomok másodrendű nyomatéka ................. 437, 438,443,447, 449-451,467, 469,476 Szerkezet. .............................................................................................. 253, 254, 283. 341 Erőrendszerek
IRODALOM '
\
.
•
l. Muttnyánszky A.: Statika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. 252 p. 2. Dr.Sályi István: Műszaki mechanika II. A dinamika elemet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1996. 3. Cholnoky Tibor: Mechanika, Statika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. 4. Hajdú Endre: Statika példatár, Erdészeti és Faipari Egyetem, Fmpan Mérnöki Kar jegyzete, Sopron, 1971. 5. Pelikán J.: Statika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971. 228 p. 6. Huszár I.: Mechanika I. Statika (egyetemi jegyzet) Gödöllő, 1972.464 p. 7. Huszár I.: Mechanika II. Szilárdságtan I. (egyetemi jegyzet) Gödöllő, 1972. 388 p. 8. Dr.Sályi István: Dinamika II. (egyetemi jegyzet) Tankönyvkiadó, Budapest, 1978. 9. Simanyi Károly: A fizika kultúrtörténete, Gondolat, Budapest, 1978. 10. Heymann, J.: Übungsaufgaben zur Technischen Mechanik Teil l Statik. Hrsg. Arbeitsgruppe T echnische Mechanik des Wissenschaftlichen Beirates Machinenbauingenieurwesen. Karl-Marx-Stadt, 1981. 101 p. ' ll. Muttnyánszky A.: Szilárdsá!:,rtan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. 744 p. 12. Tamássy Tamás - Szentiványi Béla: Mechanika, Statika példatár, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. ' 13. Adám P. -Csepeli M. -Kósa Csabáné: Műszaki mechamkm gyakorlatok, Műszak1 Könyvkiadó, Bp. 1983. (Kandó K. Villamosipari Műszaki Főiskola jegyzete) 14. Klepp, H. -Lehmann, Th.: Techmsche Mechanik I., Fern UniversltatGesamthochschule m Hagen, 1985. 15. Beer, F.P. - Johnston, E.R.: Vector Mechamcs for Engmeers, Statics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1988. ' 16. Muttnyánszky A. -Lengyel J. - Gyarmathy K.: Statika (egyetemi jegyzet) Budapest, 1994. 350 p. 17. Hegedűs A. - Gel en csér E.: Mechantk B and l. Statik. Technische Universitat Titmsoara, 1995. 138 p. 18. Hegedűs A. - Dragulescu D.: Probleme de Mecanica Statica, Editora de Vest, T imisoara, 199 5.
l lj j
''•
l
l 'l
j
l • ; •
i
r
• ;
Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. A kiadásért felel: Pálfi Józsefvezérigazgató
Raktári szám: 44 577/l PALOJTAY MÁRIA Graílka: STRÉBL LÁSZLÓ Fedéltet-v: SZABÓNÉ SZETEY ILDIKÓ Tipográtla és tördelés: DR. KASZA FERENC Tetjedelem: 50.76 (A/5) ív Harmadik, javított kiadás, 2002 Felelős főszerkesztő:
Kaloprint Nyomda Kft., Kalocsa Illés János igazgató Munkaszám: ll 05
Felelős vezető:
t-'
i
"'y' 'l
ir
"
(
•
l i
l
l
l i
i
l j
l •
l !' i
i
' i
i
1-
i
l i' i
i
i
i
i
í
!i l
l.i
i
1
l
t ''
l
i<',
l_:,
4330 Ft (3866 Ft+ áfa)
Newton születésének 300. évfordulóján, Gödöllőn, a Mechanikát Oktatók Hazai Rendezvényén (MOHR) a résztvevők szorosabb, konkrét együttműködés mellett döntöttek. Ennek egyik eredménye a Mechanika mérnököknek tankönyvsorozat, amelynek Statika című első kötetét tartja kezében a tisztelt Olvasó. A tankönyv a statikát a kinetika határeseteként tárgyalja, megalapozva és előkészítve a későbbi mechanikai tanulmányok - kinematika, kinetika, szilárdságtan - megértését. Az egyszerűbb fogalmakból - pont, merev test kiindulva építi fel a bonyolult szerkezetek statikáját. Az egyes anyagrészek tárgyalásmódja a definíció - tétel - bizonyítás logikai láncának megfelelően épül fel, amit kidolgozott példák, megoldandó feladatok és lemezről olvasható gyakorlófeladatok követnek. A tankönyv - fúggetlenül attól, hogy több szerző műve - egységes egészet képez, szerkezete jól áttekinthető, stílusa szabatos, tárgyalásmódja érthető.
Példa- és feladatgyűjteményével betölti a példatár szerepét is, és ezt külön értékként egészíti ki az, hogy a mellékelt számítógépes lemez több ezer feladat megoldására ad lehetőséget. Az elsősorban gépész-, köztekedési és mezőgazdasági gépészrnérnők hallgatóknak készült tankönyvet a műszaki főiskolák hallgatói is eredményesen használhatják, sőt a gyakorló mérnökök számára segédkönyvként is szolgálhat.
