Teoria e Strukturave Bachelor

5/26/2018

TeoriaeStrukturaveBachelor -slidepdf.com

TEMA 1 HYRJE NË TEORINË E STRUKTURAVE. SISTEMET KONSTRUKTIVE, SKEMAT LLOGARITËSE, ELEMENTËT KONSTRUKTIVË DHE NYJET. ANALIZA KINEMATIKE DHE GJEOMETRIKE E STRUKTURAVE. SISTEMET STATIKISHT TË CAKTUARA DHE SISTEMET STATIKISHT TË PACAKTUARA. Teoria e strukturave eshte lenda baze per llogaritjen e strukturave dhe ajo studion zgjidhjen e skema llogaritese. Skema llogaritese eshte skema reale e thjeshtuar , pra skema e formuar pa mosmarrjen parasysh te atyre faktoreve qe nuk luajne nje ndikim te ndjeshem ne punen e te gjithe objektit. Teoria e strukturave perfshin shume gjini qe jane : STATIKA E STRUKTURAVE , DINAMIKA E STRUKTURAVE DHE QENDRUESHMERIA E STRUKTURAVE. te tria keto disiplina e shohin ne kendveshtrime te ndryshme shtrimin e skemes llogaritese dhe ceshtjen e dhenies zgjidhje te problemeve kryesore qe jane forcat e brendshme dhe deformacionet e elementave. Pavaresisht metodologjive teoria e strukturave bazohet ne nje koncept qe eshte “Statika” e nje konstruksioni , ose e thene ndryshe ne inxhinierine e ndertimit nuk studiohen skema mekanizmash.

SKEMAT LLOGARITESE. Klasifikimi i skemes llogaritese nga ana gjeometrike:

Shuhrat (sisteme nje dimensionale) Pllakat (sistemet dy dimensionale) Masivet (sisteme tre dimensinale)

  

Klasifikimi i skemes llogaritese nga ana kinematike:

Sistemet gjeometrikisht te pandryshueshem.



Sistemet gjeometrikisht te ndryshueshem. Sisteme gjeometrikisht te ndryshueshem ne cast.

 

Klasifikimi i skemes llogaritese nga drejtimet e reaksioneve te lidhjeve:

Sistemet pa reaksione horizontale. Sistemet me reaksione horizontale (qe lindin edhe nga forcat vertikale)

 

Klasifikimi i skemes llogaritese nga pozicioni qe zene ne hapesire:

Sisteme plane.



Sisteme hapesinore.



NGARKESAT . Klasifikimi i ngarkesave sipas kohes se veprimit:

Ngarkesa me veprim te perhershem. Ngarkesa me veprim te perkohshem per nje kohe te gjate.

 

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-e-strukturave-bachelor

1/61

5/26/2018


Ngarkesa me veprim te perkohshem per nje kohe te shkurter. Ngarkesa katastrofike.

 

Klasifikimi i ngarkesave sipas menyres se veprimit:

statike. Ngarkesa Ngarkesa dinamike. Ngarkesa te levizshme.

  

TIPET E LIDHJEVE.

   

Sharnierat e levizshme. Sharnierat e palevizshme. Lidhjet inkastrim. Lidhjet inkastrim te levizshem.


2/61

5/26/2018


TIPET E STRUKTURAVE. ( strukturat me te zakonshme qe perdoren ne konstruksione jane )

Sistemet me shufra , elementet e te ciles punojne ne shtypje dhe ne terheqje. Keto struktura quhen ndryshe edhe kapriata. Sistemet Rama , ose sisteme me trare te thyer qe punojne ne shtypje terheqje dhe perkulje. Keto mund te jene rama plane ose rama hapsinore. Sistemet e kombinuar Kollona-Diafragma. Perballimi i forcave te jashtme perballohet nga kollonat dhe diafragmat , te cilat keto te fundit e rrisin shtangesine e konstruksionit. Membranat jane elemente plane te cilat nuk punojne mire ne perkulje ndaj atyre u jepen forma te cilat te punojne ne shtypje.









Strukturat tredimensionale , jane konstruksione masive , aplikime te te cilave jane digat etj. Sistemet e varura , te aplikuara kryesisht te urat e varura bazohen mbi nje konstruksion i cili ka nje element mbajtes qe eshte nje kavo e mbeshtetur mbi dy pika qe jane edhe pikat me te larta.

 

ANALIZA KINEMATIKE DHE GJEOMETRIKE E STRUKTURAVE Kur flasim per analize kinematike te strukturave nenkuptojme percaktimin e shkalleve te lirise dhe e lidhjeve qe ka nje konstruksion. Nderkohe ekzistojne edhe konstruksione te cilet mund te kene lidhjet minimale te kerkuar qe sistemi te jete i qendrueshem (jo mekanizem) por qe nuk ka mjaftueshem lidhje qe te sigurojne qendrueshmerine , ndaj ne te tilla raste eshte e nevojshme qe te realizohet edhe analiza gjeometrike e cila ne menyre perfundimtare gjykon mbi qenien ose jo mekanizem te nje strukture. per te realizuar nje analize te tille duhet te japim disa koncepte: DISK – do te quajme nje element konstruktiv , deformimet e te cilit nen veprimin e ngarkesave te jashtme jane brenda kufirit te proporcionalitetit pra i marre ne vecanti eshte gjeometrikisht i pandryshueshem.


3/61

5/26/2018


SHKALLE LIRIE – do te quajme numrin e parametrave te pavarur qe percaktojne pozicionin e nje trupi ne plan ose ne hapesire. Formula qe percaktohet numri i shkalleve te lirise se gjithe struktures: =3

2

 − − 

0

Numri i sharneires percaktohet me formulen SH=n-1 (n – numri i disqeve te lidhur ne sharniere) Numri i lidhjeve te teperta korespondon me numrin e shkalleve te lirise me shenje te kundert. L=-W. W<0 (L>0) – sistemi ka me shume lidhje se shkalle lirie. Sistem statikisht i pacaktuar. W=0 (L=0) – sistemi ka sa lidhje aq shkalle lirie. Sistem statikisht i caktuar. W>0 (L<0) – sistemi ka me shume shkalle lirie se lidhje. Sistemi eshte mekanizem. Per sistemet kapriate kemi edhe nje formule tjeter.

Y- numri i nyjeve. C – numri i shufrave.

ANALIZA GJEOMETRIKE E STRUKTURAVE

0

 −−  =2

Analiza kinematike jo gjithmone na jep pergjigjen e sakte nese struktura eshte e qendrueshme,pra nuk mund te gjykojme nese jane lidhjet e nevojshme apo jo. Per kete eshte e nevojshme te behet analiza gjeometrike e struktures per te konkluduar nese sistemi eshte statikisht i caktuar apo jo. Analiza gjeometrike ka disa kritere. KRITERI I – nje sistem i perbere nga tre disqe eshte gjeometrikisht i qendrueshem nese disqet lidhen ndermjet tyre me tri sharniera jo ne vije te drejte. KRITERI II – nje sistem i perbere nga tre disqe eshte gjeometrikisht i qendrueshem nese keto disqe lidhen me dy shufra , me kusht qe sharnierat fiktive (qendrat e castit te rrotullimit, prerja e shufrave) te mos jene ne vije te drejte. KRITERI III – nje sistem i perberenga dy disqe eshte gjeometrikisht i qendrueshem nese ato lidhen midis me nje sherniere dhe nje shufer me kusht qe drejtimi i shufres te mos kaloje nga sharnierat. KRITERI IV – nje sistem me dy disqe eshte gjeometrikisht i qendrueshem nese keto disqe lidhen midis tyre me tre shufra me kusht qe shufrat te mos priten ne nje pike dhe te mos jene paralele. KRITERI V – nje sistem i qendrueshem mbetet i qendrueshem perseri nese i shtojme nje sistem dy shufrash , dhe quhet diade. KRITERI VI – ne qofte se nje sistem prej dy disqesh me nje shkalle lirie (rrotullim reciprok) vendosim nje sistem tre shufrash (triade) me kusht qe triada tu perkase dy disqeve atehere sistemet u hiqen shkalla e lirise.


4/61

5/26/2018


Analiza gjeometrike dhe kinematike e strukturave percakton skemat ne skema mekanizem qe nuk mund te llogariten me ekuacionet e ekuilibrit statik dhe ne skeme statike te llogaritshme me ekuacionet e ekuilibrit statik.

ANALIZIMI I STRUKTURAVE STATIKISHT TE CAKTUARA Sisteme statikisht te caktuara jane sistemet me te thjeshta ne teorine e strukturave kundrejt aspektit te zgjidhjes. Keto sisteme kane numrin minimal te lidhjeve qe struktura te jete kinematikisht e qendrueshme , si dhe gjeometrikisht kjo strukture eshte e qendrueshme. Me zgjidhjen e sistemeve te tilla nga veprimi i ngarkesave te cfaredoshme, nenkuptojme percaktimin e reaksioneve te lidhjeve te struktures me token , si dhe percaktimi i forcave te brendshme M,Q,N ne cdo element te struktures. Keto sisteme mund te zgjidhen vetem me zgjidhjen e ekuacioneve te ekuilibrit qe shtrohen per strukturen ne teresi dhe te elementit ne vecanti, kur eshte ne marredhenie me elementet e tjere te struktures. Duke u nisur nga ligjet e fizikes marrim: “nje trup ose nje sistem trupash ndodhet ne ekuiliber kur rezultantja e forcave te jashtme qe aplikohen

mbi kete sistem eshte e barabarte me zero , si dhe ne qofte se rezultantja e forcave te jashtme qe veprojne ne nje sistem trupash eshte e barabarte me zero athere mund te themi qe sistemi eshte ne ekuiliber ”

Cka thame me siper eshte principi baze qe aplikohet ne zgjidhjen e sistemeve statikisht te caktuar ,ne perpilimin e ekuacioneve te ekuilibrit te cilat jane si me poshte:

       =0

=0

=0

=0

=0

=0

Sic duket keto ekuacione per te gjitha shkallet e lirise te mundshme per nje element te struktures , ose te struktures ne teresi.


5/61

5/26/2018


TEMA 2 NGARKESAT E LËVIZSHME. VIJAT INFLUENTE TË FORCAVE TË BRENDSHME. VIJAT INFLUENTE NË TRARË TË MOMENTIT DHE FORCËS PRERËSE. VLERAT MAKSIMALE TË FAKTORËVE LLOGARITUR ME NDIHMËN E VIJAVE INFLUENTE. Per llogaritjen e sistemeve statikisht te caktuara ekuivalent kjo me gjetjen e reaksioneve te mbeshtetjeve dhe shperndarjen e M, Q, N ne elementet e struktures , mjaftojme ekuacionet e ekuilibrit statik. Llogaritja e nje strukture jo gjithmone shtrohet ne aspektin e forcave te brendshme ne nje strukture , duke e pare vetem ne marredhenien e elementave te struktures ne teresi, por ne disa raste me e rendesishme mbetet ngarkesa. Nder rastet e ngarkesave te cilat ne tipologjine e tyre jane me te rendesishme ne tipologjine e tyre se ne vleren e tyre jane ngaresat e levizshme, te automjeteve ne rastet me pergjithesuese. Keto ngarkesa , sic do te evidentohet ne vazhdim te leksionit kane nje rendesi me te madhe tek pjesa e pozicionimit dhe kombinimit te tyre sesa tek vlera qe ka kjo ngarkesa. Ngarkesa te tille influencojne shume ne shperndarjen e forcave te brendshme ne strukture , duke ja atribuar pikerisht sjelljes se struktures gjate ngarkimit te nje elementi kur kjo ngarkese mund te kete pozicione te cfaredoshme.

VIJAT INFLUENTE Vija influente te nje faktori te c’faredoshem , quhet grafiku qe shpreh ligjin e ndryshimit te ketij faktoret

ne seksionin e dhene, kur forcat njesi leviz gjate hapesires se dhene te ndertimit. Duket qarte qe nga perkufizimi , vijat influente llogariten per forcen P=1 (M=1) qe leviz. Ne struktura forcat levizese takohen gjeresisht , ndaj studimi i tyre thjeshtezohet me studimin e vijave influente. Ne sistemet statikisht te caktuara vijat influente ndertohen duke shfrytezuar ekuacionet e ekuilibrit.

VIJAT INFLUENTE TE REAKSIONEVE NE MBESHTETJE


6/61

5/26/2018


VIJAT INFLUENTE TE FORCES PR ERESE DHE TE MOMENTIT NE SEKSIONIN “B”

PROCEDURAT E ANALIZES Procedura per konstruimin e vijave influente per reaksionet , forcat prerese dhe momentet perkulese ne trare dhe rama duke perdorur ekuacionet mund te permblidhen si me poshte: 1. Zgjidhet nje origjine nga e cila do te filloje levizja e nje ngarkese te perqendruar dhe do te percaktohet dhe largesia e cila do te jete dhe koordinata e kesaj ngarkese. Zakonisht eshte e pershtatshme qe si pol te merret skaji i majte i struktures ose skaji i majte ku fillon te levize ngarkesa. 2. Per te ndertuar vijen influente per reaksionin ne mbeshtetje : a. Vendoset ne pozicionin x larg skajit te majte ngarkesa levizese , hiqet lidhja e struktures per reaksionin dhedo zevendesohet me reaksionin. Shkruhen ekuacionet e ekuilibrit per sistemin e ri ku reaksioni te jete nje funksion i pozicionit x. Ne rastet kur kemi disa elemente , duhen shkruar ekuacionet e ekuilibrit per cdo element per te ndertuar vijen influente. b. Ne momentin kur shprehjet e reaksionit ne mbeshtetje per te gjitha pozicionet e ngarkeses jane te llogaritura , ndertohet vija influente duke ndertuar grafikun e shprehjeve perkatese me ordinate sa vlera e reaksionit ne mbeshtetje dhe abshise sa pozicioni x i ngarkeses. Kjo nenkupton qe ngarkesa levizese e pozicionuar ne pozicionin x , shkakton nje reaksion te barabarte me ordinaten e grafikut ne ate pike. c. Hapi dy perseritet per te gjitha pjeses e vijes se kalimit , ose levizjes se ngarkeses.


7/61

5/26/2018


3. Ne pergjithesi per ndertimin e vijes influente te forces prerese dhe te momentit perkules shfrytezohen vijat influente te reaksioneve ne mbeshtetje. Keshtu qe eshte e nevojshme qe paraprakisht eshte e nevojshme te ndertohen vijat influente te reaksioneve te mbeshtetjeve. a. Vendoset ngarkesa ne strukture ne pozcionin variabel x ne anen e majte seksionit te marre ne konsiderate. Per te thjeshtuar shprehjet e llogaritjes se forces se brendshme ne seksion , merret ekuilibri i forcave te brendshme ne anen e djathte seksionit. Kur ngarkesa leviz djathtas seksionit te marre ne shqyrtim , merret ana e majte e seksionit te marre ne shqyrtim. b. Duke marre ne konsiderate seksionet ne anen e kundert te vendodhjes se ngarkeses levizese , llogariten forcat e brendshme ne seksion ne funksion te variablit x , ku ndodhet ngarkesa levizese. c. Duke shfrytezuar shprehjet per forcat e brendshme ne seksion ne funksion te x, ndertohen grafiku i vleres se forces se brendshme qe eshte dhe vija influente e faktorit perkates.

VIJAT INFLUENTE NE TRARET ME SHUME HAPESIRA DRITE Ne traret statikisht e caktuar me shume hapesira drite eshte e rendesishme ndarja e trareve ne trare kryesore dhe ne trere sekondare , pasi kur ngarkesat veprojne mbi traret kryesore ndikimi i tyre mbi trert sekondare eshte zero, ndersa veprimi i ngarkeses tek trau sekondar tejcohet edhe tek trau kryesor. Kujtojme qe: trau kryesor eshte nje koncept relativ i nje trau te lidhur me nje tra tjeter i cili ka lidhjet e duhura edhe ne qofte se traun lidhur me te e heqim. Tra sekondar eshte nje koncept relativ i nje trau te lidhur me nje tra tjeter i cili nuk i ka lidhjet e duhura ne qofte se nuk lidhet me nje tra tjeter qe eshte kryesor per traun ne fjale. Duke u nisur nga keto perkufizime theksojme qe ne nje tra te vazhduar me shume hapesira drite, nje element tra mund te jete tra sekondar per traun paraardhes por mund te jete tra kryesor per traun pasardhes te mbeshtetur mbi te. Duhet patur parasysh qe numerimi te nise nga nje tra kryesor me lidhjet e duhura.

VLERAT E FAKTORIT SK Pasi eshte ndetuar vija influente e faktorit “S” , ne seksionin e kerkuar “K” lind nevoja e llogaritjes se ketij faktori kur zbatohet nje force e c’f aredoshme e perqendruar dhe rastin kur kemi disa forca , ose

forca te shperndara. Per kete do te bazohemi tek vija influente e faktoreve dhe tek parimi i pamvaresise se veprimit te forcave.

Nga perkufizimi i vijes influente : ordinata e nje pike c’faredo ne grafikun e vijes influente te faktorit Sk shpreh vleren e faktorit , kur forca njesi ndodhet ne abshisen e asaj pike. Nga pamvaresia e veprimit te forcave : faktoret si pasoje e n forcave eshte e nje vlershme me shumen e vleres se faktoreve shkaktuar prej secilit veprim.

      ⋯  =

=

1 1

+

2 2

+

+


8/61

5/26/2018


Nga rasti i vecante eshte edhe veprimi i nje force te shperndare :

           ∶    =

( ) ( )

;

=

Detyre tjeter e rendesishme eshte percaktimi i vleres maksimale te vleres se faktorit ne rastet kur njihet vija influente e faktorit dhe ngarkimi i jashtem. Ngarkimi i jashtem do te jete ngarkese me nje skeme te percaktuar (ngarkesat e percaktuara ne vlere dhe ne plan vendosje) , e cila do te pozicionohet ne strukture ne menyre te tille qe te jape vlera maksimale. Duke provuar pozicione te ndryshme te ngarkesave do te merret vlera maksimale e tyre. Gjetja e pozicionit te vendosjes se ngarkesave ne menyre qe te marrim vlerat maksimale te faktoreve nuk eshte nje proces i lehte dhe ne konstruksione te veshtira , kemi edhe volum llogaritjesh , per kete arsye behen disa rekomandime: a. Ngarkesat maksimale te skeme ngarkesave rekomandohet te vendosen pikerisht ne ordinatat maksimale te vijave influente. b. Grup ngarkesat e skemes se ngarkimit rekomandohen te pozicionohen ne abshisa qe kane vlerat me te medha te ordinatave te vijes influente. c. Vija influente rekomandohet qe te grupohet ne zona , te tilla qe levizja e skeme ngarkeses sipas te njejtit sens (majtas ose djathtas) te ruaje te njejten shenje te ndryshimit te vleres se faktorit (rritje ose zvogelim). d. Ndertohet nje ekuacion i pergjitheshem i vleres se faktorit ne funksion te pozicionit te skeme ngarkeses , dhe derivimi i kesaj shprehjeje do te jape ekstremumet e ketij funksioni.


9/61

5/26/2018


TEMA 3 VIJAT INFLUENTE TEK KAPRIATAT. METODAT E ANALIZËS : RIHTER, ME PROJEKSIONE DHE ME PRERJE TË NYJEVE. Para se te fillojme studimin e vijave influente tek kapriatat po theksojme qe: “ kapriata eshte nje tra

ekonomik , i realizuar me elementa shufra te lidhura me sharniera dhe qe punojne vetem ne shtypje ose ne terheqje , duke realizuar nje shperndarje me te mire te ngarkesave ne elementet e saj. Kapriatat klasifikohen sipas konturit te jashtem : 1. KAPRIATA ME BREZA PARALEL 2. KAPRIATA ME BREZA TREKENDOR 3. KAPRIATA ME BREZ POLIGONAL Kapriatat i klasifikojme sipas rrjetit te brendshem : 1. 2. 3. 4. 5.

KAPRIATA ME RRJET TREKENDESH KAPRIATA ME RRJET DIAGONAL KAPRIATA ME RRJET GJYSEM-DIAGONAL KAPRIATA ME RRJETE ROMBIKE KAPRIATA ME SHPRENGELA


10/61

5/26/2018


Llogaritja e vijave influente ne kapriata do te behet si tek traret , pra me nje ekuacion te ekuilibrit statik. Nga mekanika e strukturave ne kemi tre menyra te zgjidhjes se kapriatave: 1. METODA RIHTER (METODA E SEKSIONEVE , PIKA E MOMENTIT ZERO) Kjo menyre konsiston ne prerjen e tre elementave te kapriates , dhe per te vleresuar faktoret bejme nje shume momentesh kundrejt pikes rihter , aty ku priten dy elementet e tjere.


11/61

5/26/2018


2. METODA E PROJEKSIONIT Metoda e projeksioneve eshte e ngjashme me metoden e prerjes Rihter me ndryshimin qe ne raste kur nuk kemi nje pike Rihter e cila te na jape zgjidhjen per faktorin ne fjale , atehere shfrytezojme prerjen e kapriates dhe perdorim ekuacionet e ekuilibrit , shume forcash ne x dhe shume forcash ne y. 3. METODA E PRERJES SE NYJES Metoda e prerjes se nyjeve bazohet ne prerjet ne cdo nyje dhe per secilen prej tyre zbatojme ekuacionet e ekuilibrit.

KONCEPTI I ELEMENTIT ZERO Ne kapriata ka elemente te cilet nga llogaritjet e tyre kane nje ngarkese te barabarte me zero. Ne te tilla raste lind pyetja se perse duhen keto elemente ne strukture kur forcat e jashtme shkaktojne zero sforcime ne keto elemente. Jane dy arse se perse keto elemente ndodhen ne sistemin kapriate dhe nuk duhet te hiqen : a) Arsye kryesore mbetet qendrueshmeria kinematike dhe gjeometrike e konstruksionit qe dikton numrin dhe gjeometrine e konstruksionit. Pavaresisht ngarkeses qe merr nje element , prania e tij diktohet dhe nga konditat e qendrueshmerise strukturore. b) Mund te ndodhe qe ngarkesa e jashtme te ndryshoje drejtim , tipologji dhe vlere. Te tri keto faktore mund te mund te shkaktojne aktivizimin e ketyre elementeve ne konstruksion. Per kete arsye ai element duhet te ndodhet ne ate pozicion. Ne kapriata eshte e rendesishme ndertimi i vijave influente te forcave te brendshme (forca normale) pasi thjeshton llogaritjen qofte per ngarkesa te levizshme , qofte per ngarkesa te palevizshme.


12/61

5/26/2018


Konkluzion : Abshica e pikeprerjes se deges se djathte me degen e majte perputhet me abshisen e pikes Rihter.


13/61

5/26/2018


KAPRIATAT ME SHPRENGEL Shprengeli eshte nje kapriate e vogel qe i ngjitet elementave te kapriates se madhe. Arsyeja e kesaj eshte qe te mos punojne elementet e kapriates ne perkulje. Duke shtuar shprengela forcat e perqendruara ne meset e elementave kryesore (qe do te shkaktonin perkulje) do te merreshin nga elementet e shprengelit ne menyre aksiale , per tu transmetuar ne nyjet e kariates. Kapriatat me shprengela ka tre lloje elementesh : 1. Elemente vetem te kapriates kryesore 2. Elemente vetem te shprengelit 3. Elemente qe i perkasin edhe shprengelit edhe kapriates kryesore.


14/61

5/26/2018



15/61

5/26/2018



16/61

5/26/2018


TEMA 4 SISTEMET ME TRE SHARNIERA. SISTEMET E VARURA DHE HARQET. EKUACIONI I HARKUT RACIONAL. Sistemet me tre sharniera quhet sistemi i berbere nga dy disqe te lidhura me sharniere midis tyre dhe me dy sharniera te lidhura me token. Ne qofte se sharniera lidhese ndodhet mbi vijen qe bashkon sharnierat me token sistemiquhet hark ne rast te kundert sistemi quhet i varur. Sistemet me tre sharniera kane nje vecanti qe ne to lindin reaksione horizontale nga veprimi i ngarkesave vertikale.

Ne sistemet me tre sharniera mund te perdoret Tiranti (element qe punon vetem ne terheqje) per te marre ngarkesat horizontale. Ne kete rast hiqet nje lidhje me token.nder sistemet me tre sharniera me te aplikuarit jane harqet me tre sharniera. Harqet ndertohen me ekuacione te ndryshme (rreth , parabol, elips , hiperbole etj. ) per te arritur tek harku me ekonomik , qe eshte harku i cili punon vetem ne shtypje. Me i perdorshmi eshte harku parabolik.

   − =

4 (

2

)

LLOGARITJA ANALITIKE E HARKUT ME TRE SHARNIERA Le te marrim nje hark me tre sharniera te ngarkuar me ngarkesa vertikale, dhe ne analogji nje tra te thjeshte me po te njejten ngarkim.


17/61

5/26/2018


Llogarisim reaksionet me ekuacioninet e ekuilibrit statik.

    −  −  −⋯−  −  −  −⋯−     −  −  −⋯−  −  −  −⋯−   =0

=

1 1

= 0

;

1 1

0

=

2 2

=

1 1

2 2

= 0

1 1

2 2

= 0

0

=

=

0

=

2 2

0

Konkludojme qe reaksionet vertikale te harkut me tre sharniera jane te barabarta me reaksionet vertikale te traut te thjeshte korespondues. =0

=

=

    →      −  − −  − −⋯−  −   = 0

=

=

2

1

2

1

2

2

2

=

0

= 0

0

=


18/61

5/26/2018


Perfundimisht harku do te quhej i llogaritur ne qofte se do te dihen dhe forcat e brendshme pergjate harkut. Per te llogaritur forcat e brendshme i referohemi nje seksioni “k” te c’faredoshem. Me ϕk kemi shenuar kendin qe formon normalja e seksionit terthor “k” me horizontin.

FORCAT NORMALE

 −   −− −− −⋯− −⋯   − −   −    ⋯     − − − ⋯−   −    −    −  ⋯−   −  − −  −  ⋯ −   −    −   =

+

=

sin ϕk

sin ϕk

1

1

sin ϕk

2

sin ϕk

2

sin ϕk

+

cos ϕk = 0

cos ϕk

sin ϕk

=

FORCAT PRERESE

=

cos ϕk +

=

cos ϕk

1

1

cos ϕk +

cos ϕk

2

2

cos ϕk +

+

cos ϕk +

sin ϕk = 0

sin ϕk

=

MOMENTI PERKULES

=

+

=(

1

1

1

1

+

2

2

2

2

+

+

)

= 0

=

Shprehjet e mesiperme jane tre shprehjet per llogaritjen e forcave te brendshme ne harkun me tre sharniera , duke shfrytezuar ndertimin e traut ekuivalent. Ne praktike tentohet te arrihet trau racional , i cili nuk punon ne perkulje, qe do te thote se momenti = , dhe ne kete rast harku do te punonte vetem ne shtypje. Ekuacioni i harkut racional nxirret nga ekuacioni i mesiperm. 0

= 0

0

=

Ekuacioni i mesiperm eshte ekuacioni i harkut racional , ku shprehet ne funksion te momentit ne traun ekuivalent , pjesetuar per reaksionin horizontal.


19/61

5/26/2018


LLOGARITJA ANALITIKE E SISTEMEVE TE VARURA Zakonisht ne konstruksionet inxhinierike perdoren kavot e varura ndermjet dy mbeshtetjeve skajore dhe nen veprimi e ngarkesave vertikale te shperndara. Kavot sigurojne nje eficience te madhe ne perballimin e ngarkesave te perhershme te urave te shtrira ne nje hapesire relativisht te madhe. Problemi qe shtrohet ne keto konstruksione , si ne cdo konstruksion inxhinierik , eshte llogaritja e forcave te brendshme nen veprimin e forcave te jashtme , si dhe forma e deformuar e kavos. Kavoja nen veprimin e forcave te jashtme dhe peshes vetjake merr nje forme te lakuar sipas ngarkeses qe perballon si dhe forma e deformuar e kavos ndikon edhe ne forcat e brendshme po ne kavo.

Me poshte po shtrojme ekuacionet e ekuilibrit te cdo elementi elementar te kavos :

Duke derivuar shprehjet e mesiperme me dx ,

Duke integruar ekuacionet e mesiperme marrim F H = T:

Shprehja e mesiperme do te thote qe komponentja horizontale e tensionit te kavos ne cdo pike te kavos mbetet konstante. Komponentja vertikale llogaritet me shprehjen , duke patur parasysh qe ne piken x=0 , komponentja vertikale eshte zero , meqenese tangentja e kavos ne ate pike eshte horizontale:


20/61

5/26/2018


Duke njohur shprehjet dhe vlerat e komponenteve vertikale dhe horizontale te tensionit ne kavo ne mund te llogarisim tangenten e kavos ne cdo pike dhe nga integrimi i se ciles te marrim edhe ekuacionin e kavos. Tangentja ne cdo pike jepet me ekuacionin e meposhtem qe vjen si raport i dy shprehjeve te mesiperme.

Duke integruar shprehjen e mesiperme kemi ekuacionin e aksit te deformuar te kavos. Ekuacioni i meposhtem qe jep ekuacionin e kavos eshte nje parabole.

Per te llogaritur perberesen horizontale , mjafton te zevendesojme ne ekuacionin e mesiperm vleren maksimale te shigjetes se traut “h” , hapesiren e ures “L” , dhe ngarkesen e shperndare w.

Vlera maksimale e vleres se sforcimit ne kavo jepet me shprehjet e meposhtme , qe meret ne piken kur perberesja vertikale te marre vleren maksimale , meqense komponentja horizontale eshte konstante.vlera maksimale e komponentes vertikale duke ju referuar shprehjeve te mesiperme merret ne rastin kur kendi θ merr vleren maksimale , pikerisht ne piken e varjes se kavos.


21/61

5/26/2018


TEMA 5 METODA ENERGJETIKE. PARIMI I ZHVENDOSJEVE TË MUNDSHME. PARIMI I FORCAVE TË MUNDSHME. TEOREMA E NGARKESËS NJËSI. LLOGARITJA NE PLASTICITET E STRUKTURAVE DUKE SHFRYTEZUAR METODEN ENERGJETIKE. PUNA Kur vepron nje force statike P ne nje strukture , qe do te thote kur kjo force rritet ne menyre statike nga 0 ne P0 , deformimet qe e shoqerojne veprimin e forces marrin vlere nga 0 ne U0. Marredhenia forcedeformim mund te jete lineare ose ne rastin e pergjithshem jolinear.

Ose meqenese puna e forcave te jashtme eshte e barabarte me energjine e deformimit te struktures mund edhe te shkruajme :

Duke shfrytezuar marredheniet sforcim deformim mund te llogarisim energjite perkatese te deformimit.

Per llogaritjen e strukturave eshte e nevojshme te studiohet edhe puna plotesuese U* qe mund te imagjinohet si nje plotese e punes per te formuar drejtkendeshin P 0U0. Si dhe ndryshimet qe pesojne keto dy ndryshimet qe pesojne keto dy punet kur kemi zhvendosje elementare.


22/61

5/26/2018


Energjia potenciale e deformimit , dhe energjia plotesuese llogaritet me shprehjet e meposhtme.

Shprehjet e mesiperme mund te shfrytezohen per te llogaritur forcat e nga derivimi i energjise se deformimit me deformimet , ose te llogariten zhvendosjet duke bere derivimin e energjise plotesuese me forcen.

Rastet e mesiperme jane te vlefshme per ngarkim te jashtem nga nje force , per rastin e ngarkimit me disa forca shfrytezohet parimi i superpozimit.

ENERGJIA Si rezultat i reagimit te struktures ndaj ngarkesave te jashtme te shkaktuara mbi te, do te lindin nderjet σ dhe deformimet ε te cilat percaktpjne energjine potenciale te deformimit te struktures ose ndryshimin

e saj. Kjo energji do te quhet energji potenciale, ndersa kur ne vleresimin e energjise potenciale perfshihen edhe ato te ngarkesave te jashtme do te quajme energjine e plote potenciale. =

;

=

        Duke iu referuar formulave dhe koncepteve te rendesishme do te nxjerrim tre parime te rendesishme per llogaritjen e strukturave (trupave) te deformuar.


23/61

5/26/2018


PARIMI I ZHVENDOSJEVE TE MUNDSHME Per nje strukture te deformueshme qe ndodhet ne ekuiliber nen veprimin e nje sistemi ngarkesash te jashtme , puna e mundshme e ketyre ngarkesave e llogaritur per nje sistem zhvendosjesh te mundshme qe i jepen struktures , eshte e barabarte me energjine e mundshme potenciale qe u pergjigjet po atyre zhvendosjeve.

PARIMI I FORCAVE TE MUNDSHME Parimi i forcave te mundshme shprehte barazimin e punes se mundshme me energjine e mundshme potenciale ndersa parimi i forcave te mundshme shpreh barazimin e punes se mundshme plotesuese me energjine e mundshme plotesuese potenciale.

TEOREMA E NGARKESES NJESI Kur parimi i forcave te mundshme perdoret per llogaritjen e vektorit te zhvendosjeve {u} ose zhvendosjet ne pergjithesi eshte me e favorshme qe llogaritja te behet per nje sistem forcash te zevendesuara me nje force njesi rP=1.

Shprehja e pergjithshme e deformimit eshte :


24/61

5/26/2018


ANALIZA PLASTIKE E STRUKTURAVE LLOGARITJA SIPAS AFTESISE MBAJTESE NE GJENDJEN KUFITARE Analiza elastike eshte e rendesishme per sjelljen e strukturave ndaj ngarkesave te projektimit. Por nese ne rrisim ngarkesat ne strukture elementet e tyre e kalojne kufirin e proporcionalitetit dhe shkojne drejt futjes ne rrjedhshmeri, ne zona te caktuara ku sforcimet jane me te medha dhe rrjedhimisht dhe deformimet jane me te medha dhe per pasoje deformimet kalojne ne fazen plastike. Dhe me rritje te metejshme te ngarkeses shkohet ne gjendjen plastike. Ne keto raste ne strukture formohen sharnierat plastike duke bere qe skema statike te kthehet ne mekanizem per sjtesa sado te vogla te ngarkimit. Ngarkesa e shkaterrimit (ngarkesa kufitare) do te pranohet ne llogaritjet e projektimitte strukturave qe mbajne ne gjendjen kufitare te aftesise mbajtese. Kjo metode shfrytezon aftesite plastike te materialit dhe per thjeshtesi pranohen grafiket e idealizuar σ-ε , ku sforcimi i pragut te rrjedhshmerise pranohet dhe si sforcimi kufitar elasto plastik, ndersa deformimi i rrjedhshmerise quhet deformim kufitar elastik, ndersa deformimi kufitar e tejkalon deformimin elastik.

Gjate kalimit ne gjendjen plastike ndryshon edhe ligji i shperndarjes se nderjeve ne nje seksion terthor te cfardoshem. Nga ligji linear i supozuar ne fazen elastike kalohet ne nje faze te ndermjetme me disa dege dhe ne fazen e plasticitetit te plote , seksioni ndahet ne dy zona te vecanta qe jane totalisht ne gjendje plastike, materiali ka kaluar ne rrjedhshmeri. Njera zone eshte ne shtypje dhe nje zone totalisht ne terheqje.


25/61

5/26/2018


SJELLJA PLASTIKE E NJE TRAU TE THJESHTE Ne qofte do te studionim traun e thjeshte nen veprimin e ngarkeses “w” te shperndare ne nje tra

inkastruar ne dy anet. Fillojme nje


26/61

5/26/2018


TEMA 6 SISTEMET STATIKISHT TË PACAKTUARA. METODA E FORCAVE PËR ZGJIDHJEN E SISTEMEVE STATIKISHT TË PACAKTUARA. KUSHTET E EKUILIBRIT. Sistemet statikisht te pacaktuara jane ato sisteme me te panjohura (lidhje) te teperta , pasi numri i lidhjeve me token dhe i forcave te brendshme eshte me i madh se numri i ekuacioneve te ekuilibrit statik qe mund te shkruajme per sistemin ne fjale. Lidhjet e teperta qe hiqen duke mos u ndryshuar qendrueshmeria gjeometrike , percakton dhe shkallen e pacaktueshmerise. Pacaktueshmerine statike te c’faredo strukture e percaktojme me shprehjen analitike:

 − =3

K eshte numri i kontureve te mbyllura qe mund te formohen ne strukture pa u nderfutur tek njera tjetra. SH  eshte numri i sharnierave ne strukture dhe ato ne lidhje me token. Meqenese keto sisteme kane me shume te panjohura se ekuacione statike te mundshme te pavarura nga njera tjetra , nga pikepamja e zgjidhjes se problemit , matematikisht kemi nje pafundesi zgjidhjesh qe te kenaqin kushtet statike te struktures , por ama vetem nje zgjidhje do te ishte e pranueshme. Kjo zgjidhje kenaq edhe kushtin e minimumit te energjise se deformimit. Po ti referohemi rastit te meposhtem te trat te inkastruar dhe atij te thjeshte , ne rastin e inkastrimit jane te papercaktueshme momentet ne skaje , nderkohe qe shume e vlerave absolute te momenteve eshte e njejte me rastin e traut te thjeshte. Shperndarja e momentit ne traun e inkastruar eshte e tille qe te plotesoje minimumin energjetik dhe momneti ne skaje eshte dy here me i madh se momenti ne hapesire. Sic duket kur sistemi eshte statikisht i pacaktuar ,forcat e brendshme jane me te vogla se ne rastin e traut te thjeshte. Nga pikepamja konstruktive keto sisteme duken me te preferuara per arsyen e forcave me te vogla mbi bazen e te cileve do te gjykohet mbi sasine dhe dimensionet e elementave.


27/61

5/26/2018


KARAKTERISTIKAT E SISTEMEVE STATIKISHT TE PACAKTUARA

Sistemet statikisht te pacaktuara realizojne nje shperndarje me te mire te forcave te brendshme ne elementet e struktures. Sistemet statikisht te pacaktuara paraqesin ngurtesi me te madhe se nje sistem statikisht i





caktuar me te njejten forme dhe permasa gjeometrike. Shkaterrimi i disa lidhjeve mund te mos sjelle shkaterrim te gjithe struktures pasi sistemi mbetet gjeometrikisht i pandryshueshem. Forcat e brendshme varen nga permasat dhe vetite e elementave te struktures ndryshimi i nje elementi sjell ndryshimin e forcave ne elementet e tjere. Nga ndryshimet e temperatures ose cedime lindin forca te brendshme suplementare edhe pa u bere ngarkimi i struktures. Kjo veti shihet si nje e mete e rrezikshme e sistemeve te pacaktuara.







Per zgjidhjen e sistemeve statikisht te pacaktuara qe do te thote , percaktimi i forcave te brendshme ne elementet e struktures nga veprimi i forcave te jashtme te dhena nga struktura. Per zgjidhjen e strukturave statikisht te pacaktuara kemi disa metoda , dhe kryesisht bazohen ne ndertimin e nje sistemi tjeter qe duhet te jete ekuivalent me sistemin e pare. Dy sisteme jane ekuivalente kur per te njejtin sistem forcash marrim te njeta forca te brendshme dhe te njejtat deformime pavaresisht qe dy skemat mund te kene numer te ndryshem lidhjesh ose elementesh. Principi i ndertimit te nje sistemi ekuivalent diferencon dy metodat kryesore te zgjidhjes se ketyre sistemeve , METODA E FORCAVE dhe METODA E DEFORMIMEVE.

METODA E FORCAVE Metoda e forcave , eshte nje metode e zgjidhjes se sistemeve statikisht te pacaktuara ,qe bazohet mbi evidentimin e lidhjeve te teperta ose te forcave te brenshme te teperta. Fillimisht procedura nis me ndertimin e sistemit ekuivalent ose qe thuhet ndryshe, sistemi baze, i cili duhet te jete nje sistem statikisht i caktuar i shoqeruar me kushte shtese ne deformacione. - -

Fillimisht hiqen lidhjet e teperta dhe ne drejtimin e tyre vendosen forcat e panjohura. Hapi i dyte eshte vendosja e kushteve fillestare te deformimeve , me te cilat ne i japim sistemit baze te ndertuar ekuivalencen me sistemin statikisht te pacaktuar.

Supozojme qe kemi nje sistem statikisht te pacaktuar L=3K-SH here i pacaktuar. Kushtet e ekuilibrit do te ishin n=L , qe korespondojne me ekuacionet e deformimeve te struktures sipas shkalleve te lirise qe pengoheshin nga lidhjet e teperta. Meqenese skema reale ka lidhje sipas ketyre shkalleve te lirise , atehere keto deformime jane te barabarta me zero. Kur heqim lidhjet e teperta dhe i zevendesojme me reaksionet perkatese keto struktura statikisht te caktuara duhet te kene te njejtin deformim te barabarte me zero me strukturen baze dhe kjo sigurohet nga aplikimi i reaksioneve te panjohura ne strukture. problemi shtrohet ne gjetjen e reaksioneve te panjohura duke u bazuar ne njohjen e deformimeve sipas shkalles se lirise se penguar nga lidhja e tepert. Ekuacionet do te kishin pamjen e meposhteme:


28/61

5/26/2018


∆∆   ∆∆ ∆∆  ∆∆  ⋯⋯ ∆∆  ∆∆     ∆… ∆ ∆ ∆ …⋯ ∆ ∆ … ∆ ∆ ∆ ⋯ ∆ ∆ ∆          ∆      ⋯⋯   −∆−∆       ⋯…   −∆   −∆     …  −∆…  1

1=

1 1

1 2

2

2=

2

2

=

=

+ 1 +

1

+

+ 2 +

+ +

+

+

2

1

2

+ +

1

2

+

=0 =0

=

=0

0 0

0

Nga pavaresia e veprimit te forcave kemi qe spostimi ne drejtesi te forces se panjohur x 1 , eshte si shumatore i te gjitha deformimeve qe vijne nga forcat e tjera qofte te panjohura qofte te njohura. =

  ,

1

+

2

+

=

- zhvendosja ne drejtim te forces

+

+

,

nga veprimi i forces

= 1. Duke qene se struktura llogaritet

brenda kufirit te proporcionalitetit , parimi i superpozimit eshte i aplikueshem. Ne sistemin e ekuacioneve te panjohurat jane forcat , ndersa koeficientet , llogariten me metoden e Mohrit ose me prodduktin e epjurave (duke ndertuar epjurat njesi nga veprimi i forcave njesi ne drejtim te te panjohurave). - eshte deformimi sipas drejtimit te forces jashtme te dhena ne sistemin baze (statikisht te caktuar). + 1 +

+ 2 +

+ +

+

+

11 1

12 2

21

22

1 1

+

2 2

te shkaktuar nga veprimi i forcave te

= =

1

2

1

2

=

Sistemi i ekuacioneve te mesiperme mund te shkruhet ne trajte matricore si me poshte: 11

12

21 1

22 2

1

2

1

1

2

2

=

Zgjidhja e sistemit te mesiperm te ekuacioneve eshte dhe zgjidhja e forcave te brendshme te struktures statikisht te pacaktuar.


29/61

5/26/2018


TEMA 7 SISTEMET STATIKISHT TË PACAKTUARA. LLOGARITJET E KOEFIÇIENTËVE TË SISTEMIT STATIKISHT TË PACAKTUAR. KUSHTET E EKUILIBRIT. Llogaritja e koeficientave behet duke shfrytezuar integralin e Mohrit. Nje koeficient nuk eshte asgje tjeter vecse zhvendosje e pikes sipas te panjohures ne piken e aplikimit te se panjohures. Per te llogaritur nje koeficient (zhvendosje) duhet ta llogarisim kundrejt nje veprimi te cilin do ta quajme ngarkese vepruese , dhe nje ngarkese njesi sipas drejtimit te zhvendosjes qe kerkojme te llogarisim.

KONTROLLI I LLOGARITJES SE KOEFICIENTAVE Per te kontrolluar nese jane llogaritur sakte korficientet behen kota kontrolle te koeficienteve: KONTROLLI 1

  ⋯   1

+

2

+

+

=

Me “S” kemi shenuar epjuren shumatore nga forcat njesi sipas drejtimeve e te panjohurave te sistemit.

Pra shuma e produkteve te epjures njesi te se panjohures “i” me epjurat njesi te te gjithe te panjohurave eshte e barabarte me produktin e epjures njesi te se panjohures “i” me epjuren shumare te epjurave

njesi. E thene ndryshe suma e koeficienteve para te panjohurave te nje rrjeshti duhet te jete e barabarte me produktin e epjures “i” me epjuren totale “s”. KONTROLLI 2

  ⋯   1

+

2

+

+

=


30/61

5/26/2018


  =

Shuma e gjithe koeficienteve para te panjohurave te sistemit eshte e barabarte me produktin me vetveten te epjurave totale njesi. KONTROLLI 3

∆  ∆  ⋯ ∆ ∆ 1

+

2

+

+

=

Shuma e termav e te lire te sistemit eshte e barabarte me produktin e epjures shumare njesi me epjuren e forcave te jashtme. Pas kontrollit te koeficienteve , kur ato jane zgjidhur sakte (gje e cila nuk do te thote qe epjurat njesi jane zgjidhur sakte, e per pasoje edhe sistemi do te jape vlerat e sakta te te panjohurave) fillon zgjidhja e sistemit. Pasi zgjidhet sistemi dhe merren te panjohurat x1, x2, … , xn ndertohen epjurat perfundimtare

te M,Q,N. per epjurat e M dote nisemi nga epjurat njesi te te panjohurave dhe do te bejme shumen e tyre. (M)=(M1)+(M2)+(Mn)+(Mp) (M)=(M’1)x1 +(M’2)x2+(M’n)xn+(Mp)

Epjurat e forcave prerese do ta ndertojme nga epjura e momentave , duke shfrytezuar lidhjen midis tyre.

      ∆∆    =

;

=

+

0

Epjuren e forces normale do ta ndertojme duke gjetur fillimisht vlerat e forces normale. Meqenese sistemi eshte ne ekuiliber edhe nyjat jane ne ekuiliber , fakt qe do te shfrytezohet per te llogaritur forcat normale ne cdo element.

GRUPIMI I TE PANJOHURAVE Ne qofte se eshte dhene nje skeme me aks simetrie , shohim qe nga produkti i epjurave simetrike me nje epjure asimetrike produkti eshte zero , pra dhe koeficienti perkates eshte zero. Ne kete rast ne mund te bejme ndarjen e te panjohurave ne te panjohura simetrike dhe te panjohura asimetrike. Nese nje e panjohur nuk eshte as simetrike dhe as asimetrike vendosen forcat ne menyre te tille qe te realizohet nje grupim i te panjohurave. Tentohet qe te kemi sa me shume koeficienta zero duke ndare matricen e koeficientave ne kater blloqe. Blloku me koeficientet e te panjohurave simetrike, blloku i koeficientave me te panjohurat asimetrike dhe dy blloqe me zero. Ne kete menyre nga nje sistem me “n” te panjohura zgjidhet me anen e dy sistemeve me “k” dhe “n-k” te panjohura. Ne kete menyre ulet puna lllogaritese per sisemet me shume te panjohura.


31/61

5/26/2018


TEMA 8 APLIKIMI I METODES SE FORCAVE


32/61

5/26/2018



33/61

5/26/2018


TEMA 9 METODA E DEFORMACIONEVE NE SISTEMET STATIKISHT TE PACAKTUARA Metoda e deformacioneve eshte nje menyre e llogaritjes se strukturave statikisht te pacaktuara. Ajo bazohet ne llogaritjen e deformimeve te struktures nga veprimi i ngarkesave te jashtme ose spostimeve, temperatures etj. Si te panjohura merren pikerisht deformimet qe mund te jene deformime rrotulluese tek nyjet e ngurta ose deformime zhvendosese tek cepat e elementave. Fillimi i zgjidhjes fillon me percaktimin e pacaktueshmerise kinematike te strukture:

 

   =

+

- numri i rrotullimeve te mundshme ne strukture qe perkon me mumrin te nyjave te ngurta. - numri i zhvendosjeve te mundshme nqs struktura do te kthehej ne sistem kapriate.

Ndertimi i sistemit baze eshte i kundert ne ndertimin e sistemit baze me metoden e forcave ku hiqen lidhjet e teperta. Ne kete rast ne shtojme aq lidhje sa eshte pacaktueshmeria kinematike. Ne nyjet qe rrotullohen ne vendosim inkastrim qe pengon rrotullimin por jo levizjen e nyjes dhe ne skaje ku kemi zhvendosje translative vendosim shofra sipas drejtimit te zhvendosjes. Pasi kemi vendosur lidhjen e nevojshme ne vendosim ekuivalencen e dy sistemeve duke shkruar kushtet fillestare. Forcat ne lidhjet e vendosura jane zero. Per nje sistem n-here kinematikisht ta pacaktuara shkruajme:

 …  1

2

     ⋯         ⋯⋯…⋯   −−  …      ⋯…⋯  −−  ……      ⋯   −  1

=

2

= =

21 1

+1,1

1

+ 2+

+ +

+

+

1 2

2

2

=

11

+ 1 +

1 1

1

+ 1+ 1

+ 1 + 1

1

+

+

2

12 22 2

+ 2 +

+ +

+

+

2

2

+1,2

2

2

2

+

+

1

2

+ +

1

2

1

2

+

=0 =0

=0

= =

+

0

2

=

+1,

1

=

+

=

0 0

1

=

- perfaqeson momentin ne lidhjen “i” nga zhvendosja e lidhjes se shtuar “j” me nje njesi .



- perfaqeson momentin ne lidhjen “i” nga veprimi i ngarkesave te jashtme.

Koeficientet e sistemit do te llogariten me nje nga ekuacionet e ekuilibrit, pas ndertimit te epjurave te momentave njesi per deformimet njesi.


34/61

5/26/2018



35/61

5/26/2018


TEMA 10 APLIKIMI I METODËS SË DEFORMACIONEVE NË STRUKTURA TË NDRYSHME.


36/61

5/26/2018



37/61

5/26/2018



38/61

5/26/2018



39/61

5/26/2018



40/61

5/26/2018


TEMA 11 TRARËT ME SHUMË HAPËSIRA DRITE. METODA E FORCAVE NË LLOGARITJEN E TRARËVE ME SHUMË HAPËSIRA DRITE.


41/61

5/26/2018



42/61

5/26/2018


TEMA 12 PRINCIPET E DINAMIKËS SË STRUKTURAVE. BAZAT E LLOGARITJES DINAMIKE TË STRUKTURAVE NË SISTEMET ME NJË SHKALLË LIRIE. PRINCIPET BAZË NË DINAMIKËN E STRUKTURAVE Dinamika e strukturave studion sjelljen dhe komportimin e nj ё strukture nga ndikimi i parametrave t ё ndryshueshёm nё kohё  veprimet e jashtme tё karakterit dinamik tё ndryshueshёm nё kohё  goditjet  makineritё  tёrmeti  sjellja e brendshme e elementit dhe materialit Forcat e brendshme ne cdo cast te kohes dhe zhvendosjet Deformimet Kalimi nё plasticitet i seksionitne cdo cast te kohes Kalimi nё plasticitet e strukturёs •

•

•

•

Problemi i dinamikёs sё strukturave  pёrcaktimi i veprimit t ё jashtёm ( ekuacioni i ndryshimit tё vlerёs sё forcёs me kalimin e kohёs )  pёrcaktimi i forcave tё brendshme nga veprimi i forcave t ё jashtme nё cdo cast tё kohёs  pёrcaktimi i vlerave maksimale tё forcave tё brendshme nga veprimi i forcave t ё jashtme  pёrcaktimi i deformimeve t ё strukturёs ( zhvendosjet , rrotullimet) Zgjidhja e problemeve tё dinamikёs sё strukturave  metoda tё pёrafruara bazuar mbi reduktimet e shkall ёve tё lirisё  metoda kineostatike ( ekuilibri kineostatik – principi i dalamberit )  Metoda energjetike  metodat numerike tё integrimit direkt ( integrali i dyhamelit )  Metoda e elementave t ё fundёm Arsyeja e studimit të dinamikës dhe sizmikës së strukturave “ studimi i strukturave nën veprimit e forcave dinamike është fakti që forcat dinamike ekzistojnë dhe nuk mund të shmanget veprimi i tyre në strukture. Dëmet e regjistruara deri më sot nga veprimet sizmike dhe studimet teorike flasin mbi karakterin e amplifikimit të forcës dinamike gjatë veprimit në strukturë “ Projektimi i strukturave nën veprimin e forcave dinamike Rritja e sigurisë së strukturave ndaj veprimeve sizmike • •


43/61

5/26/2018


Koncepti i shkallёs sё lirisё “ me shkallё lirie do tё kuptojmё numrin e parametrave tё pavarur tё nevojshёm pёr tё pёrcaktuar tё gjithё sjelljen e strukturёs nё cdo pikё dhe nё cdo kohё ” njё pikё nё plan ka dy shkallё lirie ( koordinatat sipas x dhe y) •

•

njё pikё nё hapёsirё ka tre shkallё lirie ( koordinatat sipas x, y dhe z ) njё vijё e ngurtё nё plan ka tre shkallё lirie ( koordinatat x , y tё njёrёs pikё dhe kёndin e rrotullimit ) njё trup nё hapёsirё ka gjashtё shkallё lirie ( tre koordinata translative dhe tre rrotullime )

•

Koncepti i masёs “ me masё , do tё kuptojmё vetinё inerciale tё njё trupi. Vetinё e njё vёllimi qё tё ruajё gjendjen

e lёvizjes ose tё prehjes , duke ju kundёrvepruar impulseve tё jashtme ” masa ёshtё veti e lёndёs pavarёsisht pranisё sё fushёs sё gravitetit , masa krijon fush ё gravitacionale rreth vetes •

•

nё dinamikёn e strukturёs masa ёshtё parametёr i vlerёsimit tё inercisё ose tё themi ndryshe i forcёs sё inёrcisё

Koncepti i ngurtёsisё tё elementit / strukturёs “ me ngurtёsi t ё elementit / struktuёs kuptojmё forcat e brendshme qё lindin nё element ose n ё

element ёt e struktur ёs kur elementi dhe struktura kanё nj ё konfigurim t ё deformimeve sipas shkall ёve t ё lirisё ”


44/61

5/26/2018


•

•

ngurtёsitё e elemntave gjenden duke aplikuar deformimet nj ёsi sipas shkallёve tё lirisё dhe duke llogaritur forcat e brendshme njё mёnyrё tjetёr ёshtё duke invertuar fleksibilitein e strukturёs ( qё llogaritet si deformime tё strukturёs nga veprimi i forcave njesi )

Koncepti i fleksibilitetit tё elemntit / struktur ёs “ me fleksibilitet t ё elementit / struktuёs kuptojmё deformimet qё pёsojnё nё element ёt ose

struktura nga veprimi i forcave nj ёsi sipas shkall ёve t ё lirisё”

•

fleksibiliteti i strukturёs llogaritet nga llogaritja e deformimeve pёr veprim tё forcave njёsi sipas shkallёve tё lirisё

Koncepti i veprimit dinamik “ me veprim dinamik kuptojmё veprim qё ndryshon vlerёn nё kohё”

•

•

•

•

goditjet – ( pёcaktohet veprimi mbi bazёn e ruajtjes sё impulsit dhe ruajtjes enegjisё ) forcat vibruese nga makineritё ( jepen nga pashaportat e makinerive n ё funksion tё masёs sё makinerisё , xhirove dhe jashtqendёrsisё ) tёrmetet – ( ndёrtohen spektra tё marrёdhёnies truall strukturё ) forca tё cfarёdoshme – ( nuk janё objekt i dinamikёs si pёrgjthёsim i tyre por aplikohen tё tilla nё strukturё )

Koncepti i rezonancës “ me termin rezonancë nënkuptojmë dukurinë e amplifikimit të një veprimi si rezultat i përputhjes së frekuencës së veprimit dhe frekuencës vetjake të strukturës. Kur frekuenca e veprimit është pranë vlerës së frekuencës së strukturës forca reale vepruese është shumë herë më e madhe se amplituda e forcës vepruese ” Perioda vetjake – ( është perioda e lëkundjeve të lira të një strukture kur nuk kemi praninë e veprimeve të jashtme , përvec një ngacmimi fillestar ) Perioda e detyruar – ( është perioda e veprimit të jashtëm karakteristikë e burimit të forcës) Koeficienti i amplifikimit – ( është raporti i forcës faktike me amplitudën e forcës vepruese , dhe varet nga raporti i frekuencës së forcës detyruese ndaj frekuencës vetjake dhe koeficientit të shuarjes ) •

• •


45/61

5/26/2018


Metodika e zgjidhjes nё dinamikёn e strukturave diskretizohet struktura nё elementa dhe shkallё lirie tё nevojshme pёr tё pёrshkruar sjelljen e strukturёs pёrcaktohen parametrat mekanike tё strukturёs ( ngurtёsia , fleksibiliteti , forcat etj. ) pёrcaktohen parametrat fizike tё strukturёs ( masa , perioda etj. ) •

•

•

shkruhen ekuacionet e ekuilibrit , dhe ekuacionet energjetike zgjidhen kёto ekuacione interpretohen rezultatet pёr cdo element Karakteristikat kryesore tё sistmeve strukturor linearisht elastik qё u nёnshtrohet ngarkesave dinamike janё •

•

•

1. Masa e sistemit 2. Parametrat elastike 3. Mekanizamat e humbjes Ne sistemet me nje shkalle lirie supozohet se secila nga keto karakteristika eshte e perqendruar ne nje eleement te vetem fizik.

Ne sistemet me nje shkalle lirie menyra me e thjeshte e formulimit te ekuacioneve te levizjes eshte perdorimi i parimit te dalamberit. Keshtu duke shprehur drejtperdrejt ekuilibrin e forcave qe veprojne sipas drejtimit te zhvendosjes “u” shkruajme ekuacionin diferencial te levizjes.

Parimi i dalamberit nё sistemet me njё shkallё lirie P in + p c + p el = p(t) M u’’ + c u’ + k u = p(t)

P in  forcat inerciale qe lindin nga dalja e gjendjes se meparshme te trupit P c  forcat e shuarjes , karakteristika fizike e sistemit , qe lindin nga levizja e sistemit P el  forcat elastike qe lindin nga zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit te sistemit P(t)  forcat dinamike , perfaqeson shumen e te gjitha forcave dinamike te jashtme qe veprojne mbi masen e sistemit , nderkaq kahje pozitive e forces dinamike , do te pranohet e njejte me ate te zhvendosjeve , shpejtesive dhe nxitimeve te mases. Lёkundjet e lira Ne mungese te forcave te jashtme , sistemet elastike mund te kryejne lekundje te lira si pasoje e veprimeve fillestare me kohezgjatje te shkurter ( impulset , goditjet ) qe i zhvendosin ato nga pozicioni i ekuilibrit ,ose pozicioni i qetesise. Kur nje sistemlekundes konsiderohet konservativ lekundjet nuk shuhen , gje qe realisht nukndodh asnjehere. Dallojme dy raste te trajtimit teorik.


46/61

5/26/2018


lёkundje te lira pa shuarje ( c=0 )

lёkundje te lira me shuarje ( c≠0 )

•

•

Lёkundjet e lira pa shuarje Ne rastin e nje sistemi qe kryen lekundje te lira qe mund te shuhen , forcat qe marrin pjese ne ekuilibrin dinamik jane forcat e inercise dhe forcat elastike. Forcat e shuarjes jane zero sepse supozuam qe shuarja e sistemit eshte zero. Forcat dinamike jane zero sepse jemi ne rastin e lekundjeve te lira , pa veprim te jashtem. Ne kete rast thame qe vemprimi i jashtem eshte nje ngacmim i shkurter ne kohe. M u’’ + k u =0

Ekuacioni i dhene me siper pershkruan ekuilibrin dinamik te sistemit , pa veprim te forcave te jashtme. Zgjidhja e ekuacionit te mesiperm , qe na jep pozicionin e sistemit ne cdo cast te kohes eshte i trajtes sinusoidale me parametra vetjake te sistemit.

Zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit eshte : =

+

        

C1 , c2 jane konstante te cilat varen nga kushtet fillestare te sistemit. Ne ekuacionin e mesiperm zevendesojme kushtet fillestare te sistemit , qe jane “uo” – zhvendosja ne castin fillestar te ngacmimit , “vo” – shpejtesia ne castin fillestar te ngacmimit. Nga me siper marrim: 2

=

0

;

1

=

0


47/61

5/26/2018


Duke zevendesuar ne ekuacionin e pergjhithshem kushtet fillestare marrim:

             =

(

+

) =

(

2 0)

+(

0 2 ) Sin(

+

(

0

))

0

Shqyrtimi i shprehjes se mesiperme , na konkludon qe kemi te bejme me lekundje periodike me frekuence “ω”. Frekuenca rrethore e lekundjeve te lira eshte nje karakteristike e brendshme e sistemit e

cila percaktohet nga formula:

      =

;

=

Frekuenca e percaktuar si ne rastin e dyte perdoret kur njihet deformimi nga forca e rendeses.


48/61

5/26/2018


TEMA 13 DINAMIKA E STRUKTURAVE NË SISTEMET ME SHUMË SHKALLË LIRIE. LLOGARITJET E FORCAVE SIZMIKE SIPAS KODIT SHQIPTAR. EKUACIONET BAZE TE SISTEMEVE ME SHUME SHKALLE LIRIE Pergjithesisht reagimi dinamik i cdo strukture reale nuk mund te pershkruhet ne menyre te sakte nga modeli i nje sistemi me nje shkalle lirie. Analizat dhe zgjidhjet behen me te sakta kur levizja perfaqesohet nga me shume shkalle lirie. Te tilla praktikisht pranohen zhvendosjet e disa pikave te zgjedhura ne strukturen e meposhtme. Zgjedhja e pikave behet mbi parimin e reduktimit te shkalleve te lirise.

Supozojme qe nje tra ndodhet nen veprimin e ngarkeses dinamike p(t) , dhe se levizja e traut percaktohet nga zhvendosjet uj(t) te pikave nyje 1,2, … ,j, … , n , atehere kemi te bejme me nje sistem

me shumeshkalle lirie. Mund te shtohen rrotullimet e seksionit apo zhvendosjet gjatesore , qe do te rrisnin shkallet e lirive.

Cdo kat pranohet te kete nje shkalle lirie Ekuacioni i levizjes se sistemit mund te formulohet duke shprehur ekuilibrin e forcave qe lidhen me secilen nga shkallet e lirive te tij. Keshtu per nje pike te cfardoshme , ekuacioni dinamik i forcave do te jape barazimet e meposhtme , analog me sistemin me nje shkalle lirie.

Ku me :

 

                    ⋯    ⋯   

+

+

- forcat e inercise qe lindin ne piken “j”,

=

,

- respektivisht forcat e shuarjes dhe ato

elastike qe lindin ne piken “j”.

=

1 1

+

2

2

+

+

+


+

49/61

5/26/2018


      ⋯   ⋯         ⋯   ⋯  

=

1 1

+

2

2

+

+

+

+

=

1 1

+

2

2

+

+

+

+

M ji – shpreh forcen inerciale qe shfaqet sipas koordinatave ‘j’ per shkak te levizjes sipas koordinatave ‘i’ me shpejtim njesi , me kusht qe te gjitha shpejtimet e tjera te jene zero. Duhet patur kujdes qe masa te mos konceptohet si mase statike por si inerci e sistemit sipas asaj koordinate. C ji – shpreh forcen e shuarjes qe shfaqet sipas koordinatave ‘j’ per shkak te levizjes sipas koordinates ‘i’ me shpejtesi njesi , me kusht qe te gjitha shpejtesite e tjera te jene zero. K ji – shpreh forcen elastike qe shfaqet sipas koordinatave ‘j’ per shkak te zhvendosjes sipas koordinates ‘i’ me zhvendosje njesi , me kusht qe te gjitha zhvendosjet e tjera te jene zero.

 

- eshte ngarkesa e jashtme qe vepron sipas koordinatave ‘j’

Shkrimi i ekuacioneve te ekuilibrit te ekuacioneve te ekuilibrit per te gjitha pikat ( shkallet e lirise ) na formulon nj sistem ekuacionesh diferenciale te levizjes se sistemit.

… 

11 21 1

         ……         ……      … … …  … …… …  … … +

12

1

22

2

2

1

2

.

11

+

+

12

1

21

22

2

1

2

=

1

2

11

+

21

Metoda e masave te perqendruara

1

 ……     … … … … 12

1

1

22

2

2

2

  … 1

=

2

Forma me e theshte e modelit te pasqyrimit te cilesive inerciale te nje strukture eshte perqendrimi i mases se saj ne pikat –nyje te zgjedhura. Elementet e ndryshem te struktures qe shqyrtohet mund te kene nje shperndarje te cfaredoshme te mases ne gjatesine e tyre. Masat e perqendruara ne pikat nyje per cdo element llogariten ne ngjashmeri me menyren e percaktimit te forcave ekuivalente nyjore , sipas parimit te “ligjit te leves”. Masa e pergjithshme ne cdo nyje merret si shuma e kontributeve nyjore te te gjithe elementeve qe lidhen ne ate nyje. Pranimi i modulit me masa te perqendruara con ne ate , qe si per elemente perberes ne vecanti ashtu dhe per strukturen ne teresine e saj , matricat mases te jene diagonale. Fizikisht kjo shpjegohet me faktin se shpejtimi qe ushtrohet ne njeren nga masat e perqendruara shkakton force inerciale vetem ne ate mase dhe ne drejtimin e shpejtimit te dhene. Pra elementet m jk qe ndodhen jashte diagonaleve kryesore ne matricen e mases [m] , jane te barabarta me zero , kurse termat e diagonales jane jozero dhe te barabarta me masat statike te nyjeve.


50/61

5/26/2018


Sistemi me dy shkalle lirie Kur si shkalle lirie ne strukture pranohen edhe zhvendosjet kendore te nyjeve , atehere per modelin me masa te perqendruara pikesore , termat ne diagonalen kryesore te matrices se mases , qe u korrespondojne ketyre zhvendosjeve do te jene zero , natyrisht nese nje mase e ngurte ka moment inercial te tille qe nuk mund te perfillet , termi ne diagonale do te kete vleren e momentit te inercise fizike te mases.

Lekundjet e lira pa shuarje Si ne rastin e sistemeve me shkalle lirie edhe ne rastin e sistemeve me shume shkalle lirie , struktura mund te kaloje ne nje gjendje te qendrueshme lekundjesh ne rastet kur ajo ngacmohet dhe del nga gjendja e ekuilibrit si dhe karakteristikat shuarese te sistemit jane zero. Ekuacionet e lekundjeve te lira pa shuarje te nje sistemi me shume shkalle lirie merren nga sistemi i pergjithshem duke eliminuar matricen me zero. e karakteristikes shuarese te sistemit , si dhe duke zevendesuar vektorin e forcave te jashtme

     

= 0

+

Matrica e mase dhe matrica e ngurtesise jane matrica simetrike ( matrica e mases eshte matrice simetrike sepse eshte matrice diagonale , ndersa matrica e ngurtesise eshte diagonale nga zbatimi i parimit te puneve reciproke , i cili zbatohet per cdo shkalle lirie.) Si ne rastin e sistemit me nje shkallle lirie do te kerkohet nje zgjidhje e vecante ne formen e meposhtme: =

Sin(

+ )

         −     −−    ∗

Pra si zgjidhje fizikisht supozohet nje levizje lekundes harmonike e thjeshte. Po te zevendesojme ne ekuacionet e mesiperme zgjidhjet e sistemit marrim : =

2

2

+

2

= 0 = 0 ( )


51/61

5/26/2018


Shprehja (*) eshte shprehja baze e levizjes vetjake , te sistemit me shume shkalle lirie. Shprehja perben nje sistem ekuacionesh algjebrike homogjene. Per te patur zgjidhje te ndryshme nga zero duhet qe percaktori i sistemit te barazohet me zero.

2

= 0 (

)

Ekuacioni (**) eshte nje2ekuacion algjebrik i grades ‘n’ kundrejt parametrit te katrorit te frekuences vetjake te strukturave , per strukturat e qendrueshme , me matrica mase dhe ngurtesie katrore , reale , simetrike dhe pozitivisht te caktuara , ky ekuacion jep ‘n’ zgjidh je reale pozitive per 2 , qe do te thote sistemi ka ‘n’ frekuenca vetjake natyrore. Teresia e frekuencave quhet spektri i frekuencave.



 −      ∗∗



Spektri i zhvendosjes , shpejtesise dhe shpejtimit Ne problemet praktike te llogaritjeve ne sizmicitet nuk eshte e domosdoshme njohja per cdo moment kohe e zhvendosjeve relative ut , shpesh eshte e mjaftueshme te percaktohet maksimumi i vleres absolute qe zhvendosja ne nje moment te caktuar te kohes. Nga kjo madhesi mund te percaktohet mandej vlera maksimalearrin e forces inerciale sizmike qe shfaqet ne strukture. Nga zgjidhja e ekuacionit :

       =

1

Per te gjetur maksimumin sd(t, η) e vleres absolute te zhvendosjeve marrim : = Max

=

1

Max

Madhesia sd quhetspektri i reagimit te zhvendosjeve relative , e cila zakonisht jepet ne formen e nje kurbe duke ju referuar nje sistemi boshtesh koordinative me bosht abshisash perioden t dhe bosht ordinatash vleren spektrale. Parimisht si me siper mund te marrim spektrat e zhvendosjeve , shpejtimeve dhe nxitimeve , mjafton qe te ndertojme integralin e shpejtesive nga integrimi i drejte perdrejte me integralin e dyhamelit te nxitimit te truallit te marre ne nje akselerograme te termetit. Madhesite spektrale te percaktuara me siper quhen madhesi pseudo-spektrale , pasi merren nga marredhenie te shpejtesise –nxitimit dhe zhvendosjes se nje pike ne nje cast te caktuar , nderkohe nga integrimi i drejte perdrejte i shprehjeve do te perfitonim spektrat reale. Pseudo-spektrat japin vleresime te sakta per madhesite spektrale , ne rastet kur madhesite e shuarjes se sistemit jane ne madhesi te vogla. = = 2 Madhesite spektrale te nxitimeve shfrytezohen per llogaritjen e forcave sizmike maksimale qe mund te veprojne ne strukture. =

       

Spektri elastik dhe elasto-plastik Spektri i reagimit te percaktuar me siper i referohen strukturat e me sjellje elastike. Ne tekniken e projektimit te diteve te sotme , bazohemi mbi vetite plastike te materialeve te ndertimit dhe elementeve konstruktive te projektuar sipas rregullave te projektimit plastik. Dallojme dy raste:


52/61

5/26/2018


Rasti i pare eshte kur zhvendosjet maksimale spektrale te fazes elastike dhe elasto-plastike. Kjo eshte karakteristike per strukturat me perioda relativisht te medha , ku nga vrojtimet eshte konkluduar qe nuk ndikon plasticiteti (duktiliteti) i pranuar per strukturen. = ;

=

−  −  −  − − 

Rasti i dyte eshte kur zhvendosjet elastoplastike referuar nje shkalle te reduktimit te forcave te elastike ne forca elasto-plastike , jane me te medha se madhesite spektrale elastike , ndaj deformimet kalojne ato elastiket duke u bazuar ne principin e ruajtjes se energjise. =

2

1 ;

=

Spektri shqiptar i projektimit Referuar spektrit shqiptar te projektimit antisizmik te godinave kemi llogaritjen e spektrit me formulat e meposhtme.

 

Ke- koeficienti i sizmicitetit qe eshte funksion i truallit dhe i intensitetit te termetit Kr- koeficienti i rendesise se vepres Ψ- koeficienti i struktures qe shpreh vetit plastike Β- koeficienti dinamik i truallit. =

Trualli 1

0.65

Trualli 2

0.65

≤  ≤ ≤  ≤ = =

0.7

2.3

0.8

2.0

1.1

Trualli 3 Ke I Ii Iii

0.65

=

Vii 0.08 0.11 0.14

1.7

Viii 0.16 0.22 0.26


Ix 0.27 0.36 0.42

53/61

5/26/2018



54/61

5/26/2018



55/61

5/26/2018



56/61

5/26/2018



57/61

5/26/2018


TEMA 14 BAZAT E LLOGARITJES NË QËNDRUESHMËRI TË STRUKTURAVE. NGARKESAT KRITIKE. Gjate projektimit te strukturave nder faktoret qe merren parasysh per te siguruar per mos humbjen e qendrueshmerise eshte edhe kombinimi i ngarkesave dhe gjendja e ndryshme te mundshme te deformimit. Nga veprimi i ngarkesave te jashtme strukturat deformohen dhe dalja nga gjendja e ekuilibrit quhet humbje e qendrueshmerise , ndersa ngarkesa qe shkakton kete gjendje do te quhet ngarkese kritike. Rastet e humbjes se ekuilibrit duhen parashikuar sakte , pasi edhe efekti qe ne pamje te pare jane te vogla mund te kene ndikime te medha.

Ne figuren e meposhtme kemi shqyrtuar tre raste ku kombinohet gjeometria e struktures dhe ngarkimi i struktures. Me nje shembull te thjeshte ne arrijme te japim shtrimin e problemit te rendit te dyte, dhe ndikimin e forcave aksiale ne vlerat e forcave te brendshme.

                    

Rasti i pare :

=

=

=

.

Rasti i dyte :

=

cos =

.

=

cos

Rasti i trete:

.


=

cos

=

cos

+ 5 sin =

+ 5s i n

58/61

5/26/2018


Po te krahasojme shprehjet e mesiperme te marredhenies Pl/K ne varesi te kendit marrim si konkluzion qe per gjendjen e trete te ngarkimit (ngarkesa aksiale dhe perkulese) per forcat me te vogla kemi deformime me te medha, ndaj kjo gjendje e ekuilibrit per ngarkim kritik me te vogla se rastet e tjera. Per tiu referuar ekuilibrit te strukturave i referohemi energjise potenciale te struktures e cila derivatet e pjeshshme te se ciles kundrejt zhvendosjeve sipas te gjitha shkalleve te lirise i ka te barabarta me zero (gjendja e ekuilibrit). Nga derivatet e pjesshme te parat, zgjidhen ekuacionet perkatese gjejme pikat ne te cilat struktura eshte ne ekuiliber.

Llogaritja e qendrueshmerise per gjetjen e gjendjes se ekuilbrit fillon me gjetjen e ekuacionit te energjise potenciale dhe barazimin e derivatit te pare me zero. Ekuacionet varen nga numri i parametrave te pavarur (shkallet elirise). Energjia potenciale e deformimit per sistemet me disa shkalle lirie mund te shkruhet edhe ne forme te zberthyer me seri , sipas trajtes se meposhtme.

Dhe ne rastet kur struktura eshte ne pragun e humbjes se qendrueshmerise , derivatet e para jane te barabarta me zero, dhe ndryshimi i energjise potenciale merret i barabarte me shumen e termave te derivateve te dyta.

Duke gjykuar nga derivatet e dyta te energjise potenciale ne dallojme tre gjendje ekuilibri. A- gjendje e qendrueshme ekuilibri (kur derivati i dyte eshte pozitiv), B – gjendja e paqendrueshme e ekuilibrit (kur derivati i dyte eshte negativ), C – gjendja e ekuilibrit indiferent (kur derivati i dyte eshte i barabarte me zero).

Per te marre zgjidhjen duhet te shtrohen aq ekuacione sa shkalle lirie ka sistemi, sa eshte pacaktueshmeria e sistemit. Keto ekuacione nxirren nga ekuacionet e ekuilibrit ose te shprehjeve te nxjerra prej tyre.


59/61

5/26/2018


QËNDRUESHMËRIA E KOLLONAVE TË THJESHTA. NDIKIMI I FORCËS PRERËSE NË NGARKESËN KRITIKE. QËNDRUESHMËRIA E KOLLONAVE TË RRJETËZUARA. Ne vazhdim po japim raste te ndryshme te llogaritjes se ngarkeses kritike ne kollone.

RASTI A Momenti perkules nga veprimi i ngarkeses aksiale:

 −        −               →  →    …   →    →          −    =

2

;

′′

=

2

2

=

;

2

2

+

=0 ;

2

2

+

= 0

Zgjidhjen e ekuacionit diferencial te mesiperm e kerkojme ne trajten: = cos + sin Koeficientet llogariten nga kushtet fillestare: X=0  y=0 ; = c o s 0 + sin 0 = = 0 X=L  y=0 ; = cos + sin = sin = 0 sin =0 = , = 1,2,3, Nga zgjidhjet e shumta ne interesohemi per ngarkesen me te vogel kritike , pasi ajo ka rendesi praktike ndersa ngarkesat e tjera jane thjesht teorike. 2

=

2

=

2

2

=

=

2

Formula e mesiperme quhet edhe formula e Eulerit per ngarkesen kritike ne kollonat elastike. Parimisht e njejta metodike aplikohet edhe ne rastet e tjera te kollonave per llogaritjen e ngarkeses kritike. Ndryshimi qendron ne shtrimin e ekuacionit te momentit ne kollone si rezultat i forcave te brendshme.

RASTI B Ne kete rast shprehja e momentit per kollonen e inkastruar nen veprimin e ngarkeses aksiale do te ishte: = + ′ + ′


60/61

5/26/2018


   −                  −−              2

=

2

′

+

′

+

Zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte i trajtes: =

cos

+

sin

+

+

Ngarkesa kritike e kollones ne rastin e lidhjes inkastrim eshte: =4

2

2

RASTI C Ne kete rast shprehja e momentit per kollonen e inkastruar nen veprimin e ngarkeses aksiale do te ishte: = + ′ 2

2

=

+

′

Zgjidhja e ekuacionit diferencial eshte i trajtes: =

cos

+

sin

+

Ngarkesa kritike e kollones ne rastin e lidhjes inkastrim eshte: 2

2

=2

RASTI D Rasti D mund te shihet si nje rrjedhim i rasti A. Forma e defomimit te kollones konsol nen veprimin e ngarkeses aksiale ngjan me kollonen e lidhur me cerniere ne dy skajet nese kjo e fundit do te kishte dyfishin e gjatesise se kollones konsol. Kollona konsol do te ishte e ngjashme me gjysmen e kesaj kollone, rrjedhimisht kollona konsol do te ishte ekuivalente me nje kollone me cerniera. Per te llogaritur ngarkesen kritike te kollones konsol shfrytezojme shprehjen e ngarkeses kritike te rastit A duke zevendesuar gjatesine e kollones sa dyfishi i gjatesise se kollones tip konsol. 2



=

   4

2


61/61

Teoria e Strukturave Bachelor

Recommend Documents