Teoria Analitica dos Números.pdf

Notas de Estudo: Teoria eor ia Anal Ana l´ıtica ıtica dos dos Numeros u´ meros Rodrigo Abdo [email protected]

´ Indice 1 Cons Consid ider era¸ a¸ c˜ co ˜es Preliminares

2

1.1 Princ´ Princ´ıpio da Indu¸c˜ cao aõ Matem´ atica 1.2 1.2 Prov Prova por Indu Indu¸c˜ ção . . . . . . . . 1.3 1.3 Gener General aliz iza¸ a¸c˜ co˜es . . . . . . . . . . . 1.4 Co eficientes Binomiais . . . . . .

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2 Teorema Fundamental da Aritm´ etica

2.1 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.8

Princ´ıpios da Divisibilidade . . . . . Ma´ximo Divisor Comum . . . . . . . Nu ´meros Primos . . . . . . . . . . . Teore eorema ma Funda undame men ntal tal da Arit Aritm métic e ticaa Propriedades . . . . . . . . . . . . . Nu ´meros de Fermat . . . . . . . . . . n 2 −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Série e rie dos dos Rec Rec´ıpro ıproco coss dos dos Pri Primos mos . . .

7

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3 Fun¸ c˜ co ˜es Aritm´ eticas

3.1 3.1 3.2 3.2 3.3 3.4 3.4 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 3.9 3.10 3.10 3.11 3.12

2 2 4 4 7 7 9 10 10 12 13 13 15

Fun¸ unc˜ çao aõ M¨ obius obius µ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Fun¸ unc˜ ção ao Totiente oti ente de Euler Eul er ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . O produto produto de de Diric Dirichle hlett ou Con Convo volu¸ lu¸ cão de Dirichlet . . . . Fun¸ unc˜ çao a˜ o Iden Identi tida dade de para para o Prod Produt utoo de de Dir Diric ichl hlet et . . . . . . . Fun¸ unc˜ çao a˜ o invers ersa do do prod produt utoo de de Di Dirichlet . . . . . . . . . . . Inv Invers˜ ers˜ ao a o de M¨ obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸ unc˜ çao aõ Mangoldt Λ(n Λ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸ unc˜ ço˜es Multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸ unc˜ çoes o˜ es Mul Multi tipl plic icat ativ ivas as e o Prod Produt utoo de de Dir Diric ichl hlet et . . . . . . Inve Inversa rsa de uma fun¸ c˜ cao aõ compl completa etamen mente te multip ultipli licat cativ ivaa . . . Fun¸c˜ caõ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜ caõ Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 16 17 18 18 19 22 23 25 26 28 29 32

1

Cap´ıtulo 1 Considera¸ c˜ coes o ˜es Preliminares 1.1

Princ´ Princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao Matem´ atica

Defini¸ c˜ cao a õ 1. Todo conjunto n˜ ao vazio de naturais que contenha o elemento composto por todos os naturais maiores que m, n + 1 e n tal que n ≥ m, é composto m.

Prova. Seja o conjunto S que que contenha o n´ umero umero natural m e n + 1, com n ∈ S onde n onde n ≥ m. m . Seja T Seja T o o conjunto n˜ ao vazio de todos os naturais maiores que m ao que m que não ao est˜ ao ao em S em S .. Pelo Princ Pr inc´´ıpio da d a Boa-Orden Boa -Ordena¸ a¸c˜ cao, aõ, existe um r um r máximo aximo em T em T .. Mas r Mas r − 1 ≥ m, m , então r ao r − 1 ∈ S e se r se r − 1 ≥ m, m , logo (r (r − 1 ) + 1 ≥ m. m . Por indu¸c˜ cão r, ao r, r − 1, r − 2, r − 3, · · · , m ∈ S . S . O que prova que T que T ´ é um conj co njunt untoo vazio e S cont´ contém em todos os naturais maiores que m.

1.2

Prov rova por por Indu Indu¸ ¸ c˜ ao

conceito acima, ´ e poss´ poss´ıvel criar um modelo para para Defini¸ c˜ cao a õ 2. A partir do conceito se provar um modelo de infinita posi¸c˜ coes. ˜ Consistem Consistem em: 1. Mostr Mostrar que o enunciado enunciado vale para para n = 1.

n = k k , ent˜ 2. Mostrar Mostrar que, se o enunciado vale para para n = ao o mesmo enunciado = k + + 1 . vale para n = k Exemplo 1.

p( p(n) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n (2n − 1) = n 2

2

CAP ´ ITULO ITUL O 1. CONSIDERA CONSI DERAC C ¸ ˜ OES PRELIMINARES

3

Para p(1) e´ simple sim pless pois 1 = 12 . Assumi Assumindo ndo agor agora que p(n) é valido val ido para todos os naturais n, faremos k = n e provaremos que a igualdade vale para k + 1 .

p( p(k) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k (2k − 1) = k 2 p( p(k + 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k (2k − 1) + (2k (2k + 1) = k = k 2 + (2k (2k + 1) p( p(k + 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k (2k − 1) + (2k (2k + 1) = (k (k + 1) 2 Exemplo 2.

p( p(n) = 1 + 2 + 3 + ... + ... + + n n = =

n(n + 1) 2

Como p(1) ´ e v´ alido assumiremos para k e provaremos que a igualdade vale para k + 1 .

k(k + 1) 2 k(k + 1) 1 + 2 + ... + ... + + k k + + (k ( k + 1) = + (k (k + 1) 2 k(k + 1) 2(k 2(k + 1) (k + 2)(k 2)(k + 1) = + = 2 2 2 1 + 2 + ... + ... + + k k =

Exemplo 3.

n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) 6 p (k) e provaremos para p(k + Como Co mo ´ e v´ alido para p(1), tomamos v´ alido para p( 1). 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

k(k + 1)(2k 1)(2k + 1) 1) + (k (k + 1) 1 )2 6 (k + 1)(k 1)(k + 2)(2k 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 + (k (k + 1) 1 )2 = 6

12 + 22 + 32 + · · · + k 2 + (k (k + 1) 2 =

Exemplo 4. 3

3

3

3

1 + 2 + 3 + · · · + n =



n(n + 1) 2



2

Se p(1) v erdadei eiro, ro, tomaremo tom aremos s p( p(1) é verdad p(k) como verdade e provaremos que a igualdade vale para p(k + 1) . 3

3

3

3

3

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k (k + 1) = 3

3

3

3

3

   

1 + 2 + 3 + · · · + k + (k (k + 1) =

k(k + 1) 2

2

(k + 1) 3

(k + 1)(k 1)(k + 2) 2

2


1.3 1.3

4

Gene Genera rali liza za¸ ¸ c˜ coes o ˜es

´ um caso especial, para quando n˜ Defini¸ c˜ cao a õ 3. E ao se quer provar para todos os naturais, apenas para os maiores ou iguais a b.

= b . 1. Mostr Mostrar que o enunciado vale quando quando n = b 2. Mostr Mostrar ar que se o enunci enunciad ado o vale vale para ara n = k ≥ b, ent˜ ent˜ ao o mesmo = k + + 1 . enunciad enun ciado o também em vale para n = k

1.4 1.4

Coefic Coeficie ien ntes tes Bino Binomi miai aiss

Defini¸ c˜ cao a õ 4. Para 0 ≤ k ≤ n temos:



n n! = k k!(n !(n − k )!

(1.1)

Algumas Algum as consequˆ encias enc ias da defini¸ defin i¸c˜ cao: ˜



n n(n − 1) · · · (k + 1) 1) n(n − 1) · · · (n − k + 1) = = k (n − k)! k!

´ poss E pos s´ıvel notar que:

  n = n

n = 1 0

Defini¸ c˜ cao a õ 5. Regra de Pascal.

     n n + = k k−1

n + 1 k

Prova. A prova consiste em multiplicar a igualdade: 1 1 n + 1 + = k n − k + 1 k(n − k + 1) por: n! (k − 1)!(n 1)!(n − k)! Ent˜ ao: ao:

(1.2)


5

n! n! (n + 1)n 1) n! + = 1)!(n − k)! (k − 1)!(n 1)!(n − k + 1)(n 1)(n − k)! 1)!(n − k + 1) k(k − 1)!(n k(k − 1)!(n =

n! n! (n + 1)! + = k!(n !(n − k)! (k − 1)!(n 1)!(n − k + 1)! k !(n !(n + 1 − k)!

          n n + = k k−1

=

n + 1 k

ao Binomial Defini¸ c˜ cao a õ 6. Expans˜

(a + b)n =



n n n n−1 1 n n−2 2 n n n a + a b + a b +···+ abn−1 + b 0 1 2 n−1 n (1.3)

Defini¸ c˜ cao a õ 7.

  n

n n−k k a b k

k=1

Prova.

(1.4)

Usando Indu¸c˜ cao aõ temos:

  n

(a + b + b))1 =

 

n 1−k k a b = k

k=1

1 1 a + b = a = a + + b b 0 1

Tomando a igualdade v´ alida alida para m para m,, provaremos para m + 1 (a + b + b))m+1 = a( a (a + b + b))m + b( b(a + b + b))m m

   

a(a + b + b)) =

m

m

b(a + b + b)) =

k=0

    m

m m−k+1 k m m−k k a b = a m+1 + a b k k k=1

m m−k k+1 a b = k

Somando as duas equa¸c˜ coes: o˜es:

m

k=1

       m

m

m

a(a + b + b)) + b( b(a + b + b)) = a

m+1

+ b

m+1

+

k=1

m+1

=

m am−k bk + bm+1 k−1

k=0

m m + k k−1

m + 1 m−k+1 k a b k

am−k+1 bk =


6

angulo de Pacal Defini¸ c˜ cao a õ 8. Triˆ

1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

6

1 3 6

10 15

1 1 4 10

20 ···

1 5

15

1 6

1

O Triângulo angulo de Pascal Pascal é basicamente basicamente um algoritmo algoritmo que revela revela os coeficientes de uma expans˜ ao ao binomial.

Exemplo 1.

(a + b + b))1 = a + a + b b Exemplo 2.

(a + b + b))2 = a 2 + 2ab 2ab + + b b2 Exemplo 3.

(a + b + b))3 = a 3 + 3a 3a2 b + 3ab 3 ab2 + b3 Exemplo 4.

(a + b + b))4 = a 4 + 4a 4a3 b + 6a 6a2 b2 + 4ab 4ab3 + b4

Cap´ıtulo 2 Teorema Fundamental da Aritm´ etica 2.1

Princ´ Princ´ıpios da Divisibilidade Divisibilidade

Usaremos a defini¸c˜ cão ao de divisibilidade e criaremos a seguinte nota¸ c˜ cao: aõ: Se d divide n divide n,, então ao escrevemos d escrevemos d |n. Algumas propriedades importantes podem ser citadas: (a) n|n (b) d|n e n|m então ao d|m (c) d|n e d|m implica que d|m+n  (d) ad|an ent˜ ao ao d|n para a=0 =0 (e) 1|n  (f) 0|n para n=0 =0 (g) n|0

2.2

M´ aximo aximo Divisor Com Comum um

Defini¸ c˜ cao a õ 9. se d é um natural tal que: d |a, d |b e e |d, com e representando os demais d emais divisores comuns al´ em em de d , ent˜ ao d é chamado cham ado de m´ aximo divisor comum. A nota¸c˜ cao ˜ mais comum para mdc ´ e e (a, b) Defini¸ c˜ cao a õ 10. Se dois inteiros a e b possuem um divisor em comum d , que seja o menor elemento da combina¸c˜ cao ˜ linear de a e b, ent˜ ao d = (a, b), com x e y sendo os coeficientes coeficientes de B´ ezout. ezout.

7

´ CAP ´ ITULO ITULO 2. TEOREMA TEOREMA FUNDAMEN FUNDAMENT TAL DA ARITM ETICA

d = ax = ax + + by by

8

(2.1)

Prova. 1o Caso: a=b=0 com d=0 2o Caso: b=0 e a=0 =0 com d=|a| e x=±1  o  3 Caso: a=0 e b=0 =0 com d=|b| e y=±1 4o Caso: a=0 = 0 e b=0. = 0. Sendo Sendo (a, (a, b) = (|a|, |b|), e a > 0 b > 0. Iremos provar provar   que o menor elemento oriundo das combina¸ c˜ coes o˜es lineares de a, b e contido em N ´ e o mdc. md c. Seja (a, (a, b) = d e d e I I = { xa + xa + yb yb |,x,y ∈ Z}∩ N. Como a Como a = = 1a +0b +0 b e analoga  e é limitado inferiormente, pois I ⊆ N. Se mente para b, segue que I = δ = M in( in(I ) e δ = xa = xa + + yb yb,, provaremos que δ que δ = = d d.. Pelo algoritmo da divisão ao temos que a que a = = δ δq q + + r em que 0 ≤ r ≤ δ , assim: r = a = a − δq = a − (xa + xa + yb yb))q = = (1 − xq )a + ( −yq )b Se δ = M in( in(I ) e 0 ≤ r ≤ δ , então ao r=0, pois r = I ,  0 implicaria que r ∈ I , o que entraria em contradi¸ c˜ cão ao com a minimalidade minima lidade de δ . Portante Portante a = δq δ q e ´ poss analogamente para b. E pos s´ıvel dizer ent˜ ao ao δ |a e δ |b, e posteriormente δ |d. Como d|xa + xa + y ybb, então ao d|δ . E das concl concluso usoes es δ |d e d|δ podemos δ podemos dizer que δ = d. d . Propriedades do Mdc. (a) (a,b)=(b,a) (b) (a,(b,c))=((a,b (a,(b,c))=((a,b),c) ),c) (c) (ac,bc)=|c|(a,b) Prova(c). Se d = (a, b) e m = (ac, ac, bc) bc) temos: d=ax+by cd=acx+bcy Segue ent˜ ao ao que (ac,bc (ac,bc)) = cd = cd = c c((a, b)


2.3

9

Numeros u ´ meros Primos

Um inteiro n é chamado de primo pr imo se n¿1 e seus unicos ´ divisores positivos positivos são a o n e 1. Se n n˜ ao ao é um primo, ent˜ ao ao ele é chamado de Composto. e um primo ou um produto produto de primos. Defini¸ c˜ cao a õ 11. ∀n ∈ N ´

Prova. Usando o princ´ıpio ıpio da indu¸c˜ cao ão completa temos: Para a=2 , existe uma decomposi¸c˜ cao aõ trivial, já que 2 é primo. Seja agora um n´ umero umero b, 2 ≤ b ≤ a . Suponham Suponhamos os que exista exista uma decomposi decomposi¸ c˜ çao aõ para todo inteiro inteiro b, mostraremos mostraremos que existe tamb´ também em para a. Se a for primo, admite uma decomposi¸c˜ cao aõ trivial, caso contr´ ario admite um divisor b, então ario ao a=cb a=cb com 1¡c¡a 1¡c¡a . Pela Pela hip´ hipotese o´tese acima, como b tem uma decomposi¸c˜ cão, a o, c também em admite uma. Como b = p1.p2 · · · ps e c = q 1.q 2 · · · q k , que implica imdeiatamente que bc = bc = p p 1 .p2 · · · ps .q 1 .q 2 · · · q k c˜ cao) aõ). Todo n´ Defini¸ c˜ cao a õ 12 (Unicidade da Decomposi¸ umero admite somente uma decomposi¸c˜ cao. ˜ Prova. Seja a ∈ N , e vamos admitir admitir que ele possu´ possu´ıa duas decomposi¸ cões o es por números umeros primos, uma sendo pi e a outra q i . Então: ao: a = p1 · · · pk = q 1 · · · q s em que q 1 < q 2 < q 3 < · · · < q k como se trata de um mesmo n´ umero podemos dizer que q 1 | p umero p1 · · · pk , mas como pi é primo ri mo,, q 1 = pi , tal que q 1 ≥ p1 , de forma an´ aloga aloga pode-se obter p1 = q i em que p1 ≥ q 1 . Das desigual desigualdade dadess podemos podemos deduzir deduzir que p1 = q 1 . Generalizando, Generalizando, q j ≥ pi e pi ≥ q j , o que resulta em pi = q j , comprovando a unicidade da decomposi¸c˜ cao. aõ. Defini¸ c˜ cao a õ 13 (Lema de Euclides). Se a|ab e (a, b) = 1, ent˜ ao a|c

Prova. Desde que (a, (a, b) = 1 podem podemos os escr escrev ever er:: 1 = ax + ax + by. by . Po Porta rtant ntoo c = ao a|c. acx + acx + bcy bcy,, e se a|ac e a|bc ent˜ bc então


2.4

10

Teorema Fundamen Fundamental tal da Aritm´ etica etica

Defini¸ c˜ cao a õ 14. Teorema Teorema Fundamental Fundamen tal da Aritmética eti ca

Prova. Se para cada decomposi¸c˜ cao, aõ, agruparmos os eventuais primos repetidos, temos: r

nk k

n1 n2 n3

a = p = p 1 p2 p3 · · · p

=



piai

(2.2)

i=1 nk k , o n2 n3

n1 n2 n3

umero p1 p2 p3 · · · p conjuntos conjuntos de divisores divisores ´ e e Defini¸ c˜ cao a õ 15. Se um n´ nk n1 formado por por todas todas as combina¸ combina¸c˜ coes ˜ entre p1 p2 p3 · · · pk

Prova. Se a Se a = = p p 1n1 p2n2 p3n3 · · · pnk ao p ao p1 |a, p2 |a, pk |a, analogamente para os outros k ent˜ ni ni+j tipo de divisores do tipo, p pi .pi+ j , então ao a quantidade de divisores pode ser dada da seguinte maneira: k



(n1 + 1)

(2.3)

i=1

umer umeros inteir inteiros os a e b possue ossuem m uma fator fatoriza iza¸¸c˜ cao, ˜ Defini¸ c˜ cao a õ 16 16.. Se dois n´ k ci ci ent˜ ao (a, b) = i=1 pi , com P i repres representando entando um divisor comum de menor expoente.

Prova.



z1 zs Seja a = p 1n1 · · · pnk que d = (a, b) e é composto pela k e q 1 · · · q s . Temos que combina¸c˜ cao aõ dos demais divisores comuns, pois d|a, b e e|d com e sendo os demais divisores comuns. Se p Se p i = q s , então ao é nece ne cess ss´ ario a´rio que c que c i = M = M in( in(ni , z s ) nk zs z s nk para que pi |q s ou q s | p pi . k

(a, b) =



pici

(2.4)

i=1

2.5 2.5

Prop Propri ried edad ades es


(ah, ah, bk) bk) = (a, b)(h, )(h, k)



a k , (a, b) (h, k)



b h , (a, b) (h, k)



(2.5)


11

Prova. Seja p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, · · ·, e a fun¸c˜ cão ao min( min(m, n) denota o menor inteiro.Se ai , bi , hi , ki são ao os coeficientes de cada p cada p i , então: ao: m

(ah, ah, bk) bk) =



min(ai +hi ,bi +ki )

pi

i=1

Para cada expoente de um primo teremos: e( pi ) = min( min(ai + h + hi , bi + k + ki ) Para o outro membro da equa¸c˜ cao: ˜ m

=



p

i=1

m

min(ai ,bi ) i



p

m

min(hi ,ki ) i

i=1



m

min(hi ,ki ) i

p

i=1



min(ai −min(a1 ,b1 ),ki −min(hi ,ki ))

pi

i=1

m



min(bi −min(a1 ,b1 ),bi −min(hi ,ki ))

pi

i=1

Para cada expoente:

e ( pi ) = min( min (ai , bi ) + min + min((hi , ki ) + min + min((ai − min( min(ai , bi ) + k + ki − min( min(hi , ki )) +min( min(bi − min( min(ai , bi ), hi − min( min(hi , ki )) Se ai ≤ b i e hi ≤ k i : e ( pi ) = a + a + h h + + 0 + 0 = a = a + + h h

ai + h + hi ≤ b i + k + ki

Se ai ≤ b i e ki ≤ h i e ( pi ) = a i +ki +min( min(bi −ai , hi −ki ) =



bi + k + ki se bi − ai ≤ h i − ki ou b ou b i + k + ki ≤ a i + h + hi ai + h + hi se h se h i − ki ≤ b i − ai ou ai + h + hi ≤ b i + k + ki

Se bi ≤ a i e ki ≤ h i e ( pi ) = b i + k + ki + 0 + 0 = b = b i + k + ki

bi + k + ki ≤ a i + h + hi

Se bi ≤ a i e hi ≤ k i 

e ( pi ) = b i +hi +min( min(ai −bi , ki −hi )



ai + h + hi se ai − bi ≤ ki − hi ou ai + h + hi ≤ b i + k + ki bi + k + ki se k se k i − hi ≤ a i − bi ou bi + k + ki ≤ a i + h + hi


12

Para finalizar a prova, podemos escrever a partir das conclus˜ oes oes acima: e ( pi ) = min( min(ai + h + hi , bi + k + ki ) Provamos ent˜ ao ao que se e( pi ) = e ( pi ) ent˜ ao: ao: (ah, ah, bk) bk) = (a, b)(h, )(h, k)

2.6



a k , (a, b) (h, k)



b h , (a, b) (h, k)



Numeros u ´ meros de Fermat

Defini¸ c˜ cao a õ 18. n−1

n

n

a − b = (a − b)



ak bn−1−k

(2.6)

k=0

Prova. n−1

( a − b)

 

n−1

k n−1−k

a b

=

k=0

= a +

n−1

a

k+1 n−1−k

b

k=0

n−1

n

 

a b

k=1

−

ak bn−k

k=0

n−1

k n−k

−



ak bn−k − bn = a n − bn

k=1

e primo, pri mo, ent˜ en t˜ ao m deve ser uma poˆ poˆ encia encia de 2. Defini¸ c˜ cao a õ 19. Se 2m + 1 ´ n

22 + 1

(2.7)

Prova. Seja 2m + 1. Pa Para ra uma decom decompos posi¸ i¸ c˜ cao a˜ o de m diferente de de 2n temos: m = 2n .r. .r. Sendo r um n´ umero umero obrigatoriamente ´ımpar, pois o unico ´ primo par é o 2. Ent˜ ao: ao: n .r

22

+1

Usando a Defini¸c˜ cao ão 18 podemos dizer: (a − b)|(ak − bk ) n

Faremos ent˜ ao ao a = 22 , k = r = r e b = − 1: n

n

(22 + 1)|((22 )r + 1)


13 n

Se m Se m  = 1 é poss po ss´´ıvel garanti gar antirr no m´ınimo ınim o 3 divisor div isores es para par a 2m +1: 1, 1, 22 − 1 n k k n−k e 2m + 1, ent˜ entao, aõ, se 22 .r +1 for primo, primo, r r = = 1 e sabendo que 22 + 1|(22 )2 + 1 k k n−k − 1 , m deve ser uma potência é falso, pois o correto seria 22 − 1|(22 )2 encia de 2.

Obs: Obs: Todo primo primo pode ser escri escrito to ness nessaa forma forma,, mas mas nem toda a varia¸ aria¸ cão ao de n resulta em um primo, como foi mostrado por Euler com o exemplo: 5

22 + 1 = 4294967297 = 641. 641.6700417 umeros de Fermat s˜ ao denotados por: Defini¸ c˜ cao a õ 20. Os N´ n

F n = 22 − 1

2.7

(2.8)

2n − 1

Defini¸ c˜ cao a õ 21. Se 2n − 1 ´ e primo, pri mo, ent˜ ent ao ˜ n ´ e um prim pr imo. o.

Prova. Se n Se n n˜ não ao for um primo podemos decompo-lo em n em n = = 2a , 3b , · · ·. Tomando um primo p qualquer temos: p

p

2 − 1|(2 )

a

b

2 ,3 ,···

p

−1

´ p oss E os s´ıvel ıve l ent˜ entao aõ dizer que se n se n for for uma composi¸c˜ cao, aõ, 2n − 1 não ao ser´ a primo pk pk 2n−k porque por que é poss p oss´´ıvel garantir g arantir pelo pel o menos me nos 3 divisore d ivisores, s, e como c omo 2 − 1|(2 ) −1 n é valido a´lido nesse caso, a unica u ´ nica ocasi˜ ao ao plau pl auss´ıvel ıve l é que qu e se 2 − 1 é primo, pri mo, então ao n é um primo pr imo..

2.8

S´ erie erie dos Rec´ Rec´ıprocos ıpro cos dos Primos

Defini¸ c˜ cao a õ 22. A série

Prova.



∞ n=1 diverge

Seja Se ja a série er ie Geom´ Ge ométri et ria: a: 1 = 1−x

∞

 k=0

xk


14

Fazendo x = p1s temos: 1 1 1 1 = 1 + + + + · · · ps p2s pns 1 − p1s Tomando omand o a Série erie Harmônica onica e reescrevendo-a como um produto de primos: ∞

  1 = k

k=1



1 1 1+ + 2 ··· 2 2

 



1 1 1 1 1 + + 2 · · · · · · 1 + + 2 · · · 3 3 k k

Por dedu¸c˜ cao aõ imediata temos: ∞

1 = k

  k=1

p

1 1 − p−1

Tomando o Logaritmo em ambos os lados e desenvolvendo temos:

   ∞

ln

k=1

1 = ln k

p

 

1 = 1 − p−1

p

p ln = p − 1

Usando o Teste da Compara¸c˜ cao: aõ:

 p

Se



1

p p−1

1 > p − 1

1

p p

p

1 ln 1 + p − 1

diverge, então: ao:

Diverge

1 > p

  p



 p

1 p − 1



p

1 ln 1 + p − 1



Cap´ıtulo 3 Fun¸ c˜ co ˜es Aritm´ eticas Fun¸ c˜ ao M¨ obius obius µ(n)

3.1

Defini¸ c˜ cao a õ 23. A Fun¸c˜ cao ˜ M¨ obius ´ e definida da seguinte maneira:

µ(1) = 1 a

= p a11 · · · pkk , Logo: Se n > 1 , ´ e poss´ıvel ıv el escre es creve ver: r: n = p µ(n) = (−1)k

se

a1 = a = a 2 = · · · = a = a k = 1

µ(n) = 0 demai demaiss caso casoss

Uma outra outra maneir maneira a de escrever escrever isso ´ e dizer que para ara toda toda composi¸ omposi¸c˜ cao ˜ que tenha no m´ınimo um primo repetido repetido µ(n) = 0, e para os demais casos, µ(n) = − 1 se k = 2x + 1 e µ(n) = 1 se k = 2x, com k, x ∈ N Defini¸ c˜ cao a õ 24. Se definirmos [x] como sendo o maior inteiro ≤ x , podemos escrever:



µ(n) =

d|n

 1 x

Prova.



µ(n) = µ(1) µ (1) + µ + µ(2) (2) + · · · + µ( µ( pk−1 pk ) + · · · + µ( µ( p1 p2 · · · pk ) =

d|n

15

(3.1)

´ CAP ´ ITULO ITUL O 3. FUNC ¸ ˜ OES ARITM ETICAS

 

16



k k k = 1+ (−1) + (−1)2 + · · · + (−1)k 1 2 k Sabemos do Binômio omio de Newton:





 

k k−1 k k−2 2 k (a + b + b)) = a + a b + a b + ···+ abk−1 + bk 1 2 k−1 n

k

Finalizando:

 d|n

 



k k k µ(n) = 1 + (−1) + (−1)2 + · · · + (−1)k = (1 − 1)k = 0 1 2 k

3.2

A Fun¸ c˜ c˜ ao ao Totiente oti ente de Euler Eul er ϕ(n)

Defini¸ c˜ cao a õ 25. A fun¸c˜ cao ˜ de Euler ´ e v´ alida para n > 1 e ´ e definida como o n´ umero de naturais menores que n que s˜ ao primos entre si. n

ϕ(n) =



‘1

(3.2)

k=1

Onde ‘ indica que a soma s´ o´ e valida ´ quando k,n s˜ ao primos entre si. Defini¸ c˜ cao a õ 26.



ϕ(d) = n

(3.3)

d|n

Prova. Se dividirmos os inteiros 1,2,3,4,· · ·,n em grupos diferen diferentes. tes. Pa Para ra cada divisor d de n temos: A(d) = { k : (k, n) = d, 1 ≤ k ≤ n } Denotando f ( f (n) como sendo a fun¸c˜ cão ao cuja imagem é a quantidade quantidade de termos termo s em cada grupo grup o é poss pos s´ıvel escrever escr ever que:

 d|n

f ( f (d) = n


17

Mas a condi¸c˜ cao ã o para que dois n´ umeros umeros sejam primos relativos relativos é que (a, b) = 1, ent˜ ao pelo teorema 2.1 faremos com que cada grupo seja do tipo: ao (k/d, k/d, n/d n/d) = 1, então: ao: f (1) f (1) = ϕ = ϕ((n), f ( f (d1 ) = ϕ( ϕ(n/d1 ), · · · , f ( f (dk ) = ϕ( ϕ (n/dk )

Ent˜ ao: ao:

   ϕ

d|n

n = n = n d

Mas os valores tomados por ϕ nd listam os divisores de n na ordem descrescente, ent˜ ao podemos escrever para finalizar: ao

ϕ(d) = n

d|n

Para definir algumas propriedades da fun¸ c˜ cao aõ Totiente é preciso preci so introduzir intro duzir o conceito do produto de Dirichlet.

3.3 3.3

O produ produto to de de Diri Diric chlet hlet ou ou Con Conv volu¸ olu¸ c˜ ao de Dirichlet


h(n) =



f ( f (a)g (b) = (f ∗ g)(n )(n)

a.b=n

h = f = f ∗ g Propriedades

f ∗ g = g ∗ f (Comutativa)(1) Comutativa)(1) f ∗ (g ∗ k) = (f ∗ g ) ∗ k Prova(1)

(Associativa)(2) Associativa)(2)

(3.4)


18

Como a e b variam sobre todos os naturais naturais poss´ poss´ıveis, ıveis, a propriedade propriedade comutativa muta tiva fica evidˆ evi dênte. ente . Prova(2) Para provar a associativa faremos A = g ∗ k e considerar que f ∗ A = cao aõ pela esquerda de f. f ∗ (g ∗ k) , pela multiplica¸c˜ (f ∗ A)(n )(n) =



a.d=n

3.4

f ( f (a)A(d) =

  f ( f (a)

a.d=n

g(b)k(c) =

b.c=d



f ( f (a)g (b)k(c)

a.b.c=n

Fun¸ c˜ c˜ ao ao Identidade Identi dade para o Produt Pro duto o de d e DirichDiri chlet


I (n) =

 1 n

(3.5)

∗ f = f , Defini¸ c˜ cao a õ 29. Para todo f temos f ∗ I = I ∗ Prova

(f ∗ I )(n )(n) =



f ( f (a)I (b) = f ( f (n)

a.b=n

3.5

Fun¸ c˜ c˜ ao ao inversa inversa do produto pro duto de Dirichlet

cao ˜ Inversa Inve rsa ´ e unica ´ e respeita a seguinte igualdade: Defini¸ c˜ cao a õ 30. A Fun¸c˜

f ∗ f −1 = I

(3.6)

Prova Para provar a f´ ormula primeiro analisaremos uma caso particular da igualormula dade se f (1) f (1)  = 0: (f ∗ f −1 )(1) = I = I (1) (1) f (1) f (1)f f −1 (1) = 1


f −1 (1) =

19

1 f (1) f (1)

Para n  = 0 temos: (f ∗ f −1 )(n )(n) = I ( I (n) n −1 f f (d) = 0 d

 d|n

Se separamos o caso para d = n = n do somat´ orio podemos definir a Fun¸c˜ orio cao aõ Inversa como uma recorrˆ recor rência. encia . −1

f (1) f (1)f f (n) +

f

d|n d
n −1 f (d) = 0 d

 

  f

d|n d
n −1 f (d) d

(3.7)

Propriedades. (f ∗ g )−1 = f −1 ∗ g −1(a) Prova. (f ∗ g )−1 ∗ (f ∗ g ) = I (f ∗ g )−1 ∗ (f ∗ g )f −1 ∗ g −1 = f −1 ∗ g−1 (f ∗ g )−1 ∗ (f ∗ f −1 ∗ g ∗ g −1 ) = f −1 ∗ g −1 (f ∗ g )−1 = f −1 ∗ g −1 (a)

3.6

Invers˜ Invers˜ ao ao de M¨ obius obius


u(n) = 1 para todo n

(3.8)


µ ∗ u = I = I

(3.9)


20

Prova. Reescrevendo a Fun¸c˜ cao aõ Möbius obius de outra maneira temos:



µ(n) =

d|n



1 = I = I ((n) n


u = µ = µ −1

(3.10)

µ = u = u −1

(3.11)

Prova. Consequˆ Conse quência encia direta diret a da equa¸c˜ cao aõ 3.9 Defini¸ c˜ cao a õ 34. Se:

f ( f (n) =



g(d)

d|n

Implica que:

g (n) =

n = d

n µ(d) d

   f ( f (d)µ

d|n

f

d|n

(3.12)

Prova. f = g ∗ u f ∗ u = g = g ∗ u ∗ µ f ∗ u = g = g ∗ µ−1 ∗ µ g = f = f ∗ u Nesse momento ent˜ ao ao é poss os s´ıvel ıve l tra¸ tr a¸car car a rela¸c˜ cão ao entre µ e ϕ. Ent˜ ao: ao: ϕ(n) =

   dµ

d|n

No caso de



n d|n d

n = d

d|n

n µ (d) d

(3.13)

µ (d), podemos reescreve-la da seguinte forma: ϕ(n) = n

 d|n

µ(d) d

(3.14)

´ CAP ´ ITULO ITUL O 3. FUNC ¸ ˜ OES ARITM ETICAS Defini¸ c˜ cao a õ 35.

ϕ(n) = n

21

  1−

p|n

1 p

(3.15)

Prova.

         p|n

1 1− = p

1 1− p1

1 1− p2

1 = 1− ··· 1 − pr

1 + pi

1 +· · ·+ pi p j

Que pode ser reescrito da seguinte forma:

   p|n

1 1− = 1 + p

µ( µ ( pi ) + pi



µ( µ( pi p j ) + ···+ pi p j



µ( µ ( p1 p2 · · · pr ) p1 p2 · · · pr

Ent˜ ao: ao:

   1−

p|n

1 = p

d|n

µ(d) d

Através es da equa¸ equ a¸c˜ cao aõ 3.14 temos: ϕ(n) = n

  1−

p|n

1 p

Nessa altura, altur a, é poss pos s´ıvel deduz d eduzir ir algumas alguma s propr p ropriedad iedades es da Fun¸ cão ao Totiente citadas na sessão ao 3.2. Propriedades. (a) ϕ( pa ) = p a − pa−1 (b) ϕ(mn) mn) = ϕ( ϕ (m)ϕ(n) ϕ(dd) (c) ϕ(mn) mn) = ϕ( ϕ (m)ϕ(n) se (m, (m, n) = 1

 

Prova(a). ´ conseq E c onsequˆ uência encia direta diret a da d a equa¸ e qua¸c˜ cão ao 3.15: ϕ( pa ) = p a (1 − p−1 ) = p a − pa−1



(−1)r p1 p2 · · · pr


22

Prova(b). ϕ(mn) mn) = mn Prova(c).

           

p|mn

1 1− = p

1 − p1

p|m

p|(m,n)

1 − p1

p|n

1

1 − p

=

ϕ(m) ϕ(n) m n ϕ(d) d

´ quando (m, E (m, n) = 1

Λ(n) Fun¸ c˜ c˜ ao ao Mang Ma ngol oldt dt Λ(n

3.7


Λ(n Λ(n) =



log(n log(n) se n = p = p m para qualquer primo p com m ≥ 1 0 para os demais casos

(3.16)

Defini¸ c˜ cao a õ 37. Se n ≥ 1 :



log(n log(n) =

Λ(d Λ(d)

(3.17)

d|n

Prova. Escrevendo n como um produto de primos temos: r

n =



pkak

k=1

Tomando o Logaritmo em ambos os membro da igualdade: r

 

log(n log(n) =

log( pkak )

k=1 r

log(n log(n) =

ak log( p log( pk )

k=1

Por outro lado podemos observar:

 d|n

r

= Λ(d Λ(d) =

ak



k=1 m=1

r

m k

Λ p =

ak



k=1 m=1

r

log( pk ) =

 k=1

ak log( p log( pk ) = log(n log(n)

´ CAP ´ ITULO ITUL O 3. FUNC ¸ ˜ OES ARITM ETICAS Defini¸ c˜ cao a õ 38.

Λ(n Λ(n) = −



23

µ(d)log(d )log(d)

(3.18)

d|n

Prova.

log(n log(n) =



Λ(n Λ(n)

d|n

Ent˜ ao: ao:

Λ = f ∗ µ

Λ(n Λ(n) =

 d|n



n µ(d)log = log(n log(n) d

   µ(d)−

d|n

Λ(n Λ(n) = −



µ(d)log(d )log(d) = I ( I (n)log(n )log(n)−

d|n

d|n

µ(d)log(d )log(d)

d|n

3.8

Fun¸ c˜ c˜ oes oes Mult Multip ipli lica cati tivas vas

Já é not´ ot avel a´vel pelas propriedades anteriores citadas que o grupo de fun¸ c˜ coes o˜es definidas pelo p elo produto prod uto de Dirichlet é (G,*) , ou seja, Abeliano. Um sub-grupo importante a ser analisado é o das fun¸ c˜ coes o˜es multiplicativas. Defini¸ c˜ cao a õ 39. Uma fun¸c˜ cao ˜ aritm´ etica etica f ´ e chamada de multiplicativa multiplicativa se f n˜ ao ´ e trivial triv ial e:

f ( f (mn) mn) = f ( f (m)f ( f (n)

(m, n) = 1

(3.19)

Defini¸ c˜ cao a õ 40. Uma fun¸ c˜ cao ˜ multiplicativa ´ e chamada de completamente multiplicativa se para para todo dom´ dom´ınio tem-se:

∀m, n

f ( f (mn) mn) = f ( f (m)f ( f (n)

(3.20)

β Exemplo 1. A fun¸c˜ cao ˜ exponencial definida por f β e e β (n) = n para β ∈ N, C ´ completamente multiplicativa, pois:

f β mn) = (mn) mn)β = m β nβ β (mn) Exemplo 2. A Fun¸ c˜ cao ˜ Identidade I (n) = tiva

 1

n

´ e completamen complet amente te multipli mult iplicaca-

µ(d)log(d )log(d)


24

c˜ cao ˜ Totiente ´ e multiplicativa multiplicativa como como na foi provado provado das Exemplo Exemplo 3. A Fun¸ propriedades da Defini¸c˜ cao ˜ 35 Exemplo 4. A Fun¸c˜ cao ˜ M¨ obius obi us ´ e multip mul tipli licati cativa, va, por´ em, em , n˜ ao completamente: completamente: = p 1 · · · ps e n = q = q 1 · · · 1t ent˜ Se (m, n) = 1, m = p ao:

µ(m) = (−1)s µ(n) = (−1)t µ(mn) mn) = (−1)s+t = µ( µ (m)µ(n) (2)µ(2)  = µ(4) µ (4) Mas µ(2)µ Defini¸ c˜ cao a õ 41. Se f ´ e muliplicativa ent˜ ao f (1) f (1) = 1

Prova. Se para todo n temos (n, (n, 1) = 1 desde que f que f não ao seja trivial, então: ao: f ( f (n) = f (1 f (1.n .n)) = f (1) f (1)f f ((n) func˜ çao ˜ ´ e multiplic multiplicativ ativa, a, se e somente somente se, para ara cada Defini¸ c˜ cao a õ 42. 42. Uma fun¸ ak a1 n = p = p 1 · · · pk :

f ( f ( pa11 · · · pkak ) = f ( f ( pa11 ) . . . f ( pkak )

(3.21)

Prova. Pela Defini¸c˜ cão ao 39 Defini¸ c˜ cao a õ 43. Se f mult iplicativa, cativa, ent˜ ao f ser´ a completamente completamente multiplicamultiplica f é multipli tiva se:

f ( f ( pa ) = f ( f ( p) p)a

a ≥ 1

(3.22)

Prova. Se uma fun¸c˜ cao aõ é multipli mult iplicat cativa iva ent˜ e nt˜ ao: ao: f ( f ( pa11 · · · pkak ) = f ( f ( pa11 ) . . . f ( pkak ) Para que ela seja completamente multiplicativa, para cada piai devemos ter: ai

  

f ( f ( piai ) = f ( f ( pi ) · · · f ( f ( pi ) = f ( f ( pi )ai


3.9

25

Fun¸ c˜ coes o ˜es Multiplic Multiplicativ ativas as e o Produto de Dirichlet

f e g g s˜ Defini¸ c˜ cao a õ 44. Se duas fun¸c˜ coes ˜ f ao multiplicativa, ent˜ ao f ∗ g ta também ´ e multi mul tipli plicati cativa. va. Prova. Seja h = f = f ∗ g , então: ao: h(mn) mn) =

   f ( f (d)g

d|mn

mn d

Mas cada divisor d pode ser representado na forma d = ab = ab:: h(mn) mn) =



a|m,b|n

  

mn f ( f (ab) ab)g = ab

f ( f (a)f ( f (b)g

a|m,b|n

  m n g a b

Que pode ser reescrito da seguinte forma:



f ( f (a)f ( f (b)g

a|m,b|n

         m n g = a b

f ( f (a)g

a|m

m a

f ( f (b)g

b |n

n = h = h((m)h(n) b

Defini¸ c˜ cao a õ 45. Se g e f ∗ g s˜ ao multiplicativas, ent˜ ao f é multi mul tipli plicati cativa va

Prova. Primeiro tomaremos a possibilidade de f não ao ser multiplicativa, multiplic ativa, então: ao: f ( f (mn) mn)  = f ( f (m)f ( f (n) com (m, n) = 1 Tornando o produto mn o pos s´ıvel temos mn mn o menor poss mn = 1, logo, h(1) = f (1) f (1)gg(1) = f = f (1) (1)  = 1, se tomarmos g como multiplicativa. Se mn Se mn > 1, então, ao, suponhamos f suponhamos f ((ab) ab) = f ( f (a)(b )(b). para qualquer a, qualquer a, b ∈ N em que ab que ab < mn , mn , uma vez que se f ( f (ab) ab)  = f ( f (a)(b )(b) prova é indutiva. indut iva. Ent˜ ao: ao: h(mn) mn) =



        

a|m,b|n,ab
=

mn f ( f (ab) ab)g +f ( f (mn) mn)g(1) = ab f ( f (a)g

a|m,a
m a

f ( f (b)g

b|n,b
a|m,b|n,ab
n + f ( f (mn) mn) b

f ( f (ab) ab)g

 

mn +f ( f (mn) mn) ab


=

m a

26

n + f ( f (mn) mn) − f ( f (m)f ( f (n) b

     f ( f (a)g

a|m

f ( f (b)g

b |n

= h( h (m)h(n) + f + f ((mn) mn) − f ( f (m)f ( f (n)

 f (  h(n)h(m) logo, h não Se f ( f (mn) mn) = f (m)f ( f (n) ent˜ ao ao h(mn) mn) = ao é multi mul ti-plicativa, o que comprova a contradi¸c˜ cao, aõ, pois mesmo que exista algum a, b  f ( que satisfa¸ca ca as condi¸c˜ coes ões dadas, se f ( f (mn) mn) = f (m)f ( f (n) ent˜ ao ao h(mn) mn) não é multiplicativa. Defini¸ c˜ cao a õ 46. Pelo produto de Dirichlet, se g e´ multipli mult iplicativa cativa,, ent˜ ao g −1 tamb´ ta mbém em ´ e mult mu ltip ipli licat cativ iva. a.

Prova. Segue pela Defini¸c˜ cão ao 45

3.10

Inversa de uma fun¸ c˜ c˜ ao ao comp comple leta tame mente nte multiplicativa

f é multipli Defini¸ c˜ cao a õ 47. Se f mult iplicativa, cativa, ent˜ ao f ser´ a completamente completamente multiplicamultiplicativa se: f −1 (n) = µ( µ (n)f ( f (n)

(3.23)

Prova. Seja g(n) = µ( µ (n)f ( f (n): (f ∗g )(n )(n) =

n g (d) = d

n µ(d)f ( f (d) = f ( f (n) d

  f

d|n

f

d|n



µ(d) = f ( f (n)I (n)

d|n

Desde que f que f (1) (1) = 1 e I e I ((n) = 0 para n > 1 temos que g = f −1 :

 d|n

µ(d)f ( f (d)f



n = 0 d

Tomando n = p = p a temos:

µ(1)f (1)f (1) (1)f f (( pa ) + µ + µ(( p) p)f ( f ( p) p)f ( f ( pa−1) = 0


27

Simplificando chegamos que f que f (( pa ) = f ( f ( p) p)f ( f ( pa−1 ). Que implica implica que que f ( f ( pa ) = f ( f ( p) p)a . Então ao f ´ f é completamente comple tamente multiplicativa. multiplic ativa. ˜ o ϕ de Euler) Exemplo. Exem plo.(Inv (Inversa ersa da Funç ao a

= µ ∗ N ϕ = µ ϕ−1 = (µ ∗ N )−1 ϕ−1 = µ −1 ∗ N −1

Ent˜ ao: ao: ϕ−1 = µ −1 ∗ N −1 = u ∗ µN (u ∗ µN )( µN )(n n) =



1.d.µ( .d.µ(d)

d|n

Finalizando: −1

ϕ (n) =

 

dµ( dµ(n)

(3.24)

(1 − f ( f ( p) p))

(3.25)

d|n




µ(d)f ( f (d) =

d|n

p|n

Prova. Seja g uma fun¸c˜ cao aõ multiplicativa definida por: g (n) =



µ(d)f ( f (d)

d|n

Como n pode ser decomposto em fatores primos: g ( pa11 · · · piai ) = g( g ( pa11 ) · · · g( piai ) Mas g ( piai ) =

 a

d| pi i

µ(d)f ( f (d) = µ(1) µ(1)f f (1) (1) + µ + µ(( pi )f ( f ( pi ) = 1 − f ( f ( pi )


28

Finalizando:



µ(d)f ( f (d) =

d|n

3.11



(1 − f ( f ( p)) p))

p|n

Fun¸ c˜ c˜ ao ao Liouv io uvil illle

cao ˜ λ( defi nida da como: como : n = p p a11 · · · pann e λ(1) λ (1) = 1 , a fun¸c˜ λ (n) é defini Defini¸ c˜ cao a õ 49. Se n =

λ(n) = (−1)a1...an

(3.26)

complet amente te multipli mult iplicativa cativa Defini¸ c˜ cao a õ 50. λ(n) e´ completamen

Prova. Seja m = p = p a11 · · · pann e n = q = q 1b1 · · · bkbk : λ(m) = (−1)a1+...+an λ(n) = (−1)b1+...+bk λ(m)λ(n) = (−1)(a1+...+an)+(b1 +...+bk ) )(q 1b1 · · · bkbk )) = (−1)(a1 +...+an)+(b1+...+bk ) λ(mn) mn) = λ(( λ (( p pa11 · · · pann )(q Defini¸ c˜ cao a õ 51.

  λ(d)

d|n

1 se n for da forma w2k com com k ∈ N 0 para os demais casos

(3.27)

Prova.



Seja g (n) = d|n λ( λ(d) e n = pa11 · · · pann . Se λ(n) é multiplicativa multiplic ativa ent˜ ao ao g (n) é tamb´ t ambém. em. Analisando Analisa ndo somente os primos primo s que qu e comp c ompoe oe n n temos: a

g ( p ) =



λ(d) = 1 + λ + λ(( p) p) + λ + λ(( p2 ) + · · · + λ( λ( pa ) = 1 − 1 + · · · + (−1)a =

d| pa

a

g ( p ) =



0 se a for for ´ımpa ım parr 1 se a for par

Como g Como g((n) = g( g ( pa11 ) · · · g ( pann ), se existir algum expoente expo ente ´ımpar, g ımpar, g((n) será 2k 0, ent˜ ao, ao, todo n´ umero que pode ser escrito na forma w terá resposta igual umero a 1, pois dessa forma, é poss´ poss´ıvel garantir que todos os expoentes expo entes dos d os n´ umero primos ser˜ ao ao pares.


29


λ−1 (n) = µ( µ (n)λ(n)

(3.28)

Prova. Prova consta na Sess˜ ao ao 3.10

3.12

Fun¸ c˜ c˜ ao Divisor


σα (n) =



dα

(3.29)

d|n

A soma s oma das potˆ enci en cias as α dos divisores de um n´ umero ume ro ´ e cham c hamada ada de Fun¸c˜ cao ˜ Divis˜ ao, e em termos do Produto de Dirichlet pode ser escrita como:

σα = u = u ∗ N α

(3.30)

Defini¸ c˜ cao a õ 54. A Fun¸c˜ cao ˜ Divis˜ ao ´ e multipli mult iplicativa cativa

Prova. Se σ Se σ α é um convol co nvolu¸ u¸c˜ cao ão de duas fun¸c˜ coes o˜es multiplicativas então ao ela é multimult iplicativa. Defini¸ c˜ cao a õ 55. Quando α = 0, temos a soma do n´ umero de divisores de n , a1 que se possui a composi¸c˜ cao ˜ de primos dada por p1 · · · pann pode ser dada da seguinte maneira:

  n

σ (n) =

i=1

a1 + 1 1

(3.31)

Prova. Os divisores de um n´ umero u mero são a o compostos por todas as combina¸ c˜ coes o˜es poss´ poss´ıveis entre os primos que o comp˜ oem, oem, ent˜ a o se n tem a seguinte comao ai a1 an posi¸c˜ cao n aõ n = = p p 1 · · · pn , para cada p cada p i temos (a (ai + 1) possibilidade, então: ao: n

σ (n) =

 i=0

  n

(ai + 1) =

i=1

a1 + 1 1


30

= 0: Defini¸ c˜ cao a õ 56. Para α  n

σα (n) =



α(1+ai )

pi

i=1

−1 pα − 1

(3.32)

Prova. Seja n = p = p a11 · · · pann , então: ao: σα (n) = σ α ( pa11 · · · pann = σ α ( pa11 ) · · · σα ( pann ) Para cada piai : σα ( piai ) = 1α + pi2α + · · · + piai α

Multiplicando os dois membros da equa¸c˜ cão ao por piα : piα σα ( piai ) = p iα + pi2α + · · · + piai α + piai α+α

Subtraindo a primeira da segunda: + piai α+α piα σα ( piai ) − σα ( piai ) = − 1 + p pi (1+ i ) − 1 σα ( p ) = pα − 1 α

a

ai i

Mas como sigma como sigmaα (n) = σ α ( pa11 · · · pann = σ α ( pa11 ) · · · σα ( pann ), então: ao: n

σα (n) =

  i=1

Defini¸ c˜ cao a õ 57. −1

σα (n) =

d|n

α(1+ai )

pi

−1 pα − 1

α

d µ(d)µ

 n d

(3.33)


31

Prova. σα = u = u ∗ N α σα−1 = u −1 ∗ (N α )−1 σα−1 = µ ∗ (µN α )

Tomando g(n) = µ( µ (n)nα : −1

σα (n) =

n g (d) = d

n µ(d)dα d

  µ

d|n

µ

d|n

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory . Springer. [2] David David M. Burton. Burton. Elementary Number Theory . McGraw Hill Education, 6th edition, 2005. [3] G.H. Hardy Hardy and E.M. Wright Wright.. An Introduction to the Theory of Numbers . Oxford University Press, 4th edition, 1980. [4] Branislav Branislav Kisacanin. Kisacanin. Mathematical Problems and Proofs . Kluw Kluwer er AcaAcademic. [5] Donald E. Knuth Ronald L. Graham and Oren Patashnik. Concrete Mathematics . ADDISON-WESLEY, 1994. [6] Jeffrey Stopple. Stopple. A Primer of Analytic Number Theory . Cambridge University Press, 2003. [7] James J. Tattersal Tattersall. l. Elementary Number Theory in Nine Chapter . Cambridge University Press, 1999.

32

Teoria Analitica dos Números.pdf

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