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Consum Consumer er theory: theory: prefer preference encess and utilit utility y ´ Avalos, Eloy Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Instituto de Estudio Est udioss Socia So ciales les del R´ımac
04. November 2010
Online at http://mpra.ub.uni-muenchen.de/40858/ MPRA Paper No. 40858, posted 25. August 2012 / 04:41
CIE Centro de Investigaciones Econó icas ocumento de Trabajo Nº 5
La Teoría del onsumidor: Preferencias Utilidad por
Eloy Ávalos Noviembre 04, 2010
Instituto e Estudios Sociales del Rímac Lima, Per
L TE!R" #EL C!$SU%I#!R: PRE&ERE$CIS ' UTILI## E#o$ %&'L()1 *niver+idad Naciona# a$or de )an arco+ e IE)Primera ver+i.n/ Noviembre 2010 Resumen La teora de# con+umidor e+ un ca+o particu#ar de #a teora de #a e#ecci.n En e+te documento +e ep#orar3n #a+ propo+icione+ undamenta#e+ ue ep#ican e# comportamiento de un a6ente con+umidor $ #ue6o +e epre+ar3n en t7rmino+ de #a unci.n de uti#idad '+, e# concepto de uti#idad e+t3 divorciado de a#6una car6a i#o+.ica $ 7tica, +iendo +imp#emente una unci.n matem3tica ue +ati+ace cierta+ propiedade+, ta# ue #o+ va#ore+ obtenido+ con e##a +on un ndice ue repre+enta mu$ bien e# orden de #a+ preerencia+ de# con+umidor $(mero de Clasificación )EL: D01, D11 Pala*ras Claves: -e#aci.n de preerencia d7bi#, indierencia, preerencia uerte, unci.n de uti#idad *stract T8e con+umer9+ t8eor$ i+ a particu#ar ca+e o t8e t8eor$ o c8oice T8i+ paper :i## ep#ore t8e undamenta# propo+ition+ t8at ep#ain t8e be8avior o a con+umer a6ent and t8en be epre++ed in term+ o t8e unction o uti#it$ T8u+, t8e concept o uti#it$ i+ divorced o an$ p8i#o+op8ica# and et8ica# burden, bein6 +imp#$ a mat8ematica# unction t8at +ati+ie+ certain propertie+, +uc8 t8at t8e va#ue+ obtained :it8 it are a inde t8at repre+ent+ ver$ :e## t8e order o preerence Clasification $um*er )EL: D01, D11 +ey ,ords: ;ea< preerence re#ation, indierence, +tron6 preerence, unction o uti#it$ 1
Contacto/ Departamento de Economa, *niver+idad Naciona# a$or de )an arco+, Lima 01, Te#7ono =1>?@000 'neo 2210A $ Centro de Inve+ti6acione+ Econ.mica+ de# In+tituto de E+tudio+ )ocia#e+ de# -mac, Pueb#o Libre Emai#/ eava#o+aBunm+medupe !2"
-. I$TR!#UCCI/$ E# con+umidor e+ aue# a6ente ue po+ee un p#an o una cana+ta de+eada de con+umo $ ue para 8acer#o eectivo debe +uperar do+ tipo+ de re+triccione+A re+triccione+ a priori , como #a+ de tipo i+io#.6ico, 2 $ adem3+ #a re+tricci.n dada por #o+ precio+ $ #a riuea individua# Entonce+, un con+umidor e+ aue# a6ente ue e#i6e una co#ecci.n de cantidade+ de bienes , ta# ue e+ta cana+ta e+ e+trictamente preerida o euiva#ente a a#6una otra cana+ta po+ib#e a#canab#eF
0. EL C!$TE1T! #E ELECCI/$ Trabajaremo+ +obre un e+pacio de con+umo, X , n G dimen+iona# ortante no ne6ativoF4 )upondremo+ ue e# con+umidor puede e#e6ir todo+ #o+ biene+ ue orman parte de +u e+pacio de con+umo, $a ue +uponer ue +.#o puede e#e6ir entre un nmero de biene+ k , menor a n , deja +in ep#icaci.n ju+tamente #o ue #a teora de+ea ep#icar, e# por u7 e# con+umidor e#i6e ta# o cua# cana+ta de con+umo de biene+ $ no otra+ 5 E+to #o p#anteamo+ mediante e# aioma +i6uiente, 2ioma X = ℝ n+
La+ imp#icancia+ de e+te aioma +e de+prenden de #a+ propiedade+ ue tiene
n
ℝ+
'+,
e+te aioma no+ dice ue e# conjunto de con+umo e+ un e+pacio con divi+ibi#idad continua= '+, cada n G ap#a de 2
4 5
, 2 = ( x1 , x2 ,… , xn ) , +e identiica con un p#an de
n
ℝ+
Hui3+ no a todo+ no+ cae bien un p#ato +iete co#ore+J La noci.n de +er a#canab#eJ con+titu$e un primitivoJ de #a teora 6enera# de #a e#ecci.n En #a teora de# con+umidor, +imp#emente 6ana e+peciicidad &er %&'L() 2010/ pp 5 $ 12F Trataremo+ de e+c#arecer a#6una+ propiedade+ en e# p#ano bidimen+iona#, ℝ 2+ '+, a#6uno+ autore+, como ;a#+8 +o+tienen ue e# conjunto de con+umo e+ un +ube+pacio de ℝ n+ )e anuncia como aioma para e# conjunto de con+umo ue e+te X ⊆ ℝ n+ &er ;'L)K 1>@4/ p 1=1F Dada #a cardina#idad de #a+ cantidade+ de #o+ n biene+, e# tratamiento de ℝ n+ e+ e# de un e+pacio euc#deo E+ decir, para e# con+umidor, #a dierencia entre #a+ cantidade+ de #o+ mi+mo+ biene+ ue conorman una cana+ta e+ de inter7+ E+to +upone ue debemo+ trabajar e# e+pacio de con+umo donde ei+ta una m7trica ue mida #a di+tancia entre una n G ap#a $ otra ℓ
=
!"
con+umo Por otro #ado, tambi7n no+ dice ue e# conjunto de con+umo, e+ un conjunto coneo@
3. PRE&ERE$CIS #EL C!$SU%I#!R Entonce+, e# e+pacio de con+umo ue enrenta e# con+umidor i G 7+imo e+ 7#, e# con+umidor deine +u re#aci.n de preerencia
≿ i ,
, $ +obre
n
ℝ+
ue +e #ee/ es al menos tan
preferido como E+ta re#aci.n de preerencia +e denomina re#aci.n de preerencia
d7bi# La re#aci.n de preerencia d7bi# pre+enta cierta+ propiedade+ ue determinan e# car3cter ue a+umimo+ +obre #a conducta econ.mica de# con+umidor E+ta+ +er3n p#anteada+ por #o+ +i6uiente+ aioma+/ 2ioma 0 4Com5ara*ilidad6 ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , 2 ≿i
2 ∨ 2 ≿i 2
E+ta propiedad no+ dice ue e# i G 7+imo con+umidor, tomando #a+ a#ternativa+ de con+umo de par en par, con+iderar3 ue una de e##a+ e+ a# meno+ tan preerida como #a +e6unda, o ue #a +e6unda +er3 a# meno+ tan buena como #a primera o ue con+idera ambo+ ca+o+ a #a ve E+ decir, e# i G 7+imo con+umidor e+ capa de ordenar todo +u e+pacio de con+umo No ei+te a#6una cana+ta en e# e+pacio de con+umo ue e# i G 7+imo no +epa ordenar#o 2ioma 3 4Transitividad6 ∀2 , 2 , 2M ∈ ℝ n+ , ( 2 ≿ i
2 ∧ 2 ≿ i 2M ) ⇒ 2 ≿ i 2M
E+ta propiedad +ea#a ue e# i G 7+imo con+umidor e+ con+i+tente en +u+ preerencia+, ta# e+ a+, ue +i con+idera ue una primera a#ternativa e+ a# meno+ tan preerida como una +e6unda $ e+ta +e6unda a#ternativa e+ a# meno+ tan preerida como una terceraA entonce+ #a primera a#ternativa +er3 a# meno+ tan preerida como #a tercera E+to uiere @
)e dice ue un conjunto abierto A ⊂ ℝ n , donde ℝ n e+ un e+pacio m7trico, e+ coneo +i no ei+ten do+ conjunto+ abierto+ no vaco+ A1 $ A2 ta#e+ ue A1 ∩ A2 = ∅ $ A1 ∪ A2 = A E+te aioma nie6a #a po+ibi#idad #.6ica de ue ocurra ¬2 ≿i 2 ∧ ¬2 ≿i 2 !4"
decir ue e# i G 7+imo con+umidor no pre+ente inco8erencia+ en #a ordenaci.n de #o+ p#ane+ de con+umo E+te aioma imp#ica #a ei+tencia de acic#icidad> La+ propiedade+ de comp#etitud $ tran+itividad de #a+ preerencia+ de# i G 7+imo con+umidor e+tab#ecen +obre e# e+pacio de con+umo *na repre+entaci.n 6r3ica, para
n
ℝ+
un pre G orden comp#eto d7bi#10
, donde +e repre+entan #a+ +i6uiente+ ordenacione+
2
ℝ+
2 ≿ i 2 $ 2M ≿ i 2 entre otra+ ue ei+ten ue +on ininita+F, +era ta# como +i6ue/
2
x2
2 2
x2 x 2 = xM 2
2
2M
xM 1
x1 = x1 x1
1
'8ora, en ba+e a e+to+ do+ aioma+ de #a preerencia d7bi# vamo+ a deinir #a+ re#acione+ de indiferencia $ de preferencia estricta 3.- Indiferencia ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , 2 ∼i
>
10
2 ⇔ ( 2 ≿i 2 ∧ 2 ≿i 2 )
)in embar6o no e+ v3#ido airmar ue #a acic#icidad imp#ica tran+itividad La+ preerencia+ d7bi#e+ 2 ⇒ ¬ɺɺɺɺ 2 ≿i 2 +on acc#ica+ +i ∀ 2 , 2 , 2 ,… , ɺɺɺɺ 2 ∈ ℝ n+ veriican, 2 ≿i 2 ≿i 2 ≿i … ≿i ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ Por otro #ado, con e# aioma de tran+itividad de+cartamo+ +ituacione+ donde e# a6ente con+umidor pre+enta umbra#e+ en +u percepci.n $ ue podra conducir a +ituacione+ donde +e vio#e #a tran+itividad '+, en nue+tra teora, e# a6ente con+umidor e+ todopodero+o, todo #o ve, todo #o percibe No +e puede tener una ordenaci.n comp#eta de# e+pacio de con+umo dado ue #a re#aci.n de preerencia d7bi# ≿i no e+ anti G +im7trica E+ decir, e+ta re#aci.n no veriica #a propiedad, ∀2 , 2 ∈ ℝ n+ , ( 2 ≿i 2 ∧ 2 ≿i 2 ) ⇒ 2 = 2 !5"
E+ decir, e# i G 7+imo con+umidor con+iderar3 ue do+ a#ternativa+ #e +on indierente+ +i con+idera ue #a primera a#ternativa e+ a# meno+ tan preerida como #a +e6unda $ #a +e6unda e+ #a meno+ tan preerida como #a primera a#ternativa La re#aci.n de indierencia ( ∼i ) e+ re#eiva, tran+itiva $ +im7tricaA por tanto e+ una re#aci.n de euiva#encia11 Por tanto, dado ue #a re#aci.n de indierencia e+ una re#aci.n de euiva#encia, e+ta re#aci.n particiona e# e+pacio de con+umo
n
ℝ+
en clases de equivalencia , I i , de ta# manera
ue
I i ⊆ ℝ n+ 12 '+ tenemo+ ue +e cump#e/
?
∀2 ∈ ℝn+ , I i ( 2 ) ≠ ∅ E+to uiere decir ue no puede ei+tir a#6una c#a+e de
euiva#encia ue no conten6a cana+ta a#6una 1 De otra orma, toda cana+ta de# e+pacio de con+umo pertenece a a#6una c#a+e de euiva#encia ?
∪
I 2∈ℝ n+ i
( 2 ) = ℝ n+ Dado e# aioma de comparabi#idad, $ dado ue toda cana+ta de#
e+pacio de con+umo pertenece a a#6una c#a+e de euiva#enciaA entonce+, #a uni.n de 7+ta+ da e# e+pacio de con+umo ?
∀2 , 2 ∈ ℝn+ , ¬2 ∼i
2 ⇒ I i ( 2) ∩ I i ( 2 ) = ∅ E+ decir, no puede ei+tir en e# e+pacio de
con+umo a#6una cana+ta ue perteneca a #a ve a do+ c#a+e+ de euiva#encia dierente+ Ca+o contrario, contradecira #a premi+a de ue #a+ cana+ta+ 2 $ 2 no +on euiva#ente+ entre +, vio#ando #a propiedad de tran+itividad de #a re#aci.n de indierencia ?
∀2 , 2 ∈ ℝn+ ∧ 2 ≠ 2 , 2 ∼i
2 ⇒ Ii ( 2 ) ≡ I i ( 2 ) )i para e# i G 7+imo con+umidor do+ cana+ta+
dierente+ +on indierente+ entre +, entonce+ #a+ c#a+e+ de euiva#encia+ a+ociada+ a cada una +on e# mi+mo conjunto 11 12
1
&er %&'L() Ob Cit/ p F *na c#a+e de euiva#encia +e deine como, I i ( 2 ) = {2 ∈ ℝ n+ / 2 ∼i 2} *n ca+o etremo, ue de+cartamo+, +era e# ue toda+ #a+ co#eccione+ de# e+pacio de con+umo +on parte de una mi+ma c#a+e de euiva#encia En e+e +entido, una c#a+e de euiva#encia e+ un +ubconjunto propio de# e+pacio de con+umo -ecu7rde+e ue #a re#aci.n de indierencia cump#e #a propiedad de re#eividad, por #o ue una cana+ta cua#uiera de# e+pacio de con+umo e+ indierente a + mi+ma !="
3.0 Preferencia estricta ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , 2 ≻i
2 ⇔ ( 2 ≿i 2 ∧ ¬2 ≿i 2 )
En e+te ca+o, cuando e# con+umidor con+idera ue una cana+ta e+ a# meno+ tan preerida como otra pero e+ta #tima no indierente a #a primera cana+taA entonce+ airmamo+ ue e# con+umidor con+idera a #a primera cana+ta e+trictamente preerida a #a , donde 2 ∼i 2 $ 2M ∼ i 2⌣ , +e tiene/
+e6unda cana+ta *na repre+entaci.n 6r3ica en
2
ℝ+
2
2M
xM 2
2
x2
⌣
2
⌣
x 2 = x2
2
⌣
x1 = xM 1 x1
x1
1
Donde I i ( 2 ) = { 2 , 2} $ I i ( 2M ) = {2M , 2⌣} Por otro #ado, deinida #a re#aci.n de preerencia e+tricta, +e e+tab#ece +obre e# e+pacio de con+umo particionado por #a re#aci.n de indierencia ( ℝ n+
∼i
) una ordenaci.n
comp#eta $ uerte de #a+ a#ternativa+ de con+umo14 '+ ∀I i1 , I i2 ⊆ ℝ n+ , I i1 ≠ I i2 ⇒ ( I 1i
≻i
I i2 ⇔ I i2
≻i
I 1i ) Por
tenemo+
ue
tanto, de# 6r3ico anterior +era po+ib#e
obtener I i ( 2 ) ≻i I i ( 2⌣ ) En #a teora de# con+umidor, debemo+ e+peciicar re+trin6irF #a manera como e# a6ente ordena #a+ opcione+ cana+ta+F de +u e+pacio de e#ecci.n Para e##o, debemo+ a6re6ar otro+ aioma+ adiciona#e+ 'dem3+, notaremo+ ue e+to+ aioma+ e+t3n condicionado+ a ue nue+tro e+pacio de con+umo +ea
14
Oa ue a8ora +i +e veriica #a anti G +imetra !@"
n
ℝ+
2ioma 7 4Continuidad6 ∀2 ∈ ℝn+ , MIi ( 2 )
$ PI i ( 2 ) +on conjunto+ cerrado+, donde cada conjunto +e deine
como MI i ( 2M ) = {2 ∈ ℝ n+ / 2 ≿ i 2M } $ PI i ( 2M ) = {2 ∈ ℝ n+ / 2M ≿ i 2} E+te aioma de continuidad no+ dice ue +i do+ cana+ta+ cua#e+uiera de# e+pacio de con+umo, 2 $ 2 , tienen para e# i G 7+imo con+umidor, #a +i6uiente re#aci.n 2 ≻i 2 A ⌣
entonce+, toda cana+ta ue pertenece a #a vecindad de 2 , como 2 , veriicar3 #a re#aci.n
2⌣ ≻i 2 '+imi+mo, toda cana+ta ue perteneca a #a vecindad de 2 , como 2M , veriicar3 #a re#aci.n 2 ≻i 2M 15 E+ decir, #a re#aci.n de preerencia e+tricta entre do+ cana+ta+ no +e ve a#terada +i vara para cua#uiera de #a+ cana+ta+, #a+ cantidade+ de #o+ biene+, en una ma6nitud peuea E# cump#imiento de e+te aioma $ de# aioma 1, no+ permite repre+entar 6r3icamente una po+ib#e partici.n de# e+pacio de e#ecci.n en #o+ conjunto+ $ Pi ( 2M ) = {2 ∈ ℝ n+ / 2M ≻i 2} -epre+entando #a partici.n de#
MI i ( 2M ) = {2 ∈ ℝ n+ / 2 ≿ i 2M }
e+pacio de con+umo en
2
ℝ+
/
2
M I i ( 2M )
2M P i ( 2M ) 1 15
E+to pre+upone ue ei+ta una vecindad para cada cana+ta *na vecindad de 2 ∈ ℝn +e deine como, e# conjunto ue contiene una bo#a cerrada de centro 2 $ radio ρ∈ ℝ ++ Lue6o, una bo#a abierta denotada
+e deine como e# conjunto Bρ ( 2 ) = {2 ∈ ℝn / d ( 2, 2 ) < ρ} , para
B ρ ( 2 ) ,
2 ∈ ℝ n ∧ ρ ∈ ℝ + + , donde d ( 2 , 2 ) e+ #a unci.n de va#or rea# denominada m7trica E+ta puede +er #a
n
1 2 2
di+tancia euc#dea, d ( 2 , 2 ) = ∑ ( xk − xk ) &er K(-&%TK 1>=>/ p 51F k =1
!"
Lue6o, 6enera#iando +e deducen #a+ imp#icancia+ +i6uiente+/ ?
∀2 ∈ ℝn+ , MIi ( 2 ) ∩ PIi ( 2 ) = I i ( 2 )
?
∀2 ∈ ℝn+ , MIi ( 2 ) ∪ PI i ( 2 ) = ℝn+
?
∀2 ∈ ℝ n+ , I i ( 2 ) e+ un conjunto cerrado $ coneo1=
N.te+e en #a repre+entaci.n, ue #a 6r3ica de I i ( 2M ) e+ aue##a curva conormada por #o+ punto+ rontera de Pi ( 2M ) $ de M i ( 2M ) $ con+titu$e #o ue ##amamo+ como curva de indierencia1@ '+, #a curva de indierencia e+ #a repre+entaci.n 6r3ica de un conjunto de indierencia c#a+e de euiva#enciaF en
, e+tando con+tituido por cana+ta+ o
2
ℝ+
a#ternativa+ ue para e# i G 7+imo con+umidor +on indierente+ o euiva#ente+ entre + en #a ordenaci.n de +u+ preerencia+1 2ioma 8 4Conve2idad estricta6 ∀2 , 2 ∈ ℝ n+ , 2 ≠ 2 ∧ ∀λ ∈ ( 0,1) , 2 ≿i
2 ⇒ λ 2 + ( 1 − λ ) 2 ≻i 2 1>
E+to uiere decir ue e# i G 7+imo con+umidor preiere cana+ta+ o a#ternativa+ ue ten6an m3+ cantidade+ de #o+ n biene+ a cana+ta+ ue ten6an m3+ de un bien $ ca+i nada de# re+to de biene+ E+ decir, #a+ cana+ta+ m3+ combinada+J +on e+trictamente preerida+ a #a+ cana+ta+ e+pecia#iada+J *n conjunto I ⊂ ℝn e+ cerrado, +i, $ +.#o +i I = I Donde I e+ #a cerradura ad8erenciaF de I , +iendo #a cerradura e# conjunto de aue##o+ punto+ ad8erente+ 2 ∈ ℝn a# conjunto I , ue a cada vecindad de 2 contiene por #o meno+ un punto de I '+, #o+ punto+ ad8erente+ a un conjunto +on #o+ punto+ interiore+ $ #o+ punto+ rontera de# conjunto reerido &er K(-&%TK Ob Cit/ p 5F 1@ I +i toda )ea M I ⊆ ℝ n ∧ 2 ∈ ℝ n , ∃ ( 2 ) / ⊂ MI , un punto 2 e+ un punto rontera de vecindad de 2 contiene punto+ ue pertenecen a I $ punto+ ue no pertenecen a I &er K(-&%TK Ob Cit/ p 52F 1 Por #o con+truido 8a+ta e# momento, no podemo+ airmar ue #a+ curva+ de indierencia +on [aue##a+ curva+] que unen todos aquellos puntos que corresponden a la misma altura en la tercera dimensi!n" es decir" a la misma utilidad total# J Lue6o +e aade, A$ora bien" esto no si%nifica que" si 1=
al%uien tiene al%&n fundamento para suponer que existe al%una medida cuantitativa adecuada de la utilidad" o la satisfacci!n" o deseabilidad" en el ar%umento expuesto $a'a nada que se opon%a a ella# (i se es utilitarista en filosof)a $a' perfecto derec$o a serlo en econom)a# Pero si no se es *' $o' son pocos los utilitaristas+ tambi,n se tiene derec$o a una econom)a libre de supuestos utilitaristas J &er KIC) 1>45/ pp = $ 11F 1>
(tra orma euiva#ente de enunciar e+te aioma +era, ∀2 ∈ ℝ n+ , ∀2 , 2M ∈ MI ( 2 ) ∧ ∀λ ∈ ( 0,1) , λ2 + (- − λ ) 2M ∈ IntMI ( 2 ) !>"
E+te aioma de #a+ preerencia+ e+ muc8o m3+ e+tricto ue +uponer ue #a+ preerencia+ +on convea+ d7bi#mente )in embar6o, como veremo+ m3+ ade#ante, e# aioma 5, e+ una condici.n nece+aria para tran+ormar e# prob#ema de e#ecci.n de# con+umidor a uno ue +imp#emente con+i+ta en optimiar encontrar un m3imoF *na repre+entaci.n 6r3ica en
de e+te aioma, donde 2 ≿ i 2 , +era/
2
ℝ+
2
λ2 + ( 1 − λ ) 2
2 I i ( 2)
2 Pi ( 2 )
1
Como +e ob+erva en #a 6r3ica, an #a curva de indierencia no toma #a orma conocida como ue mo+trado por #a teora de #a uti#idad ordina# de+arro##ada por Qo8n Kic<+ $ - R D '##en20 Nece+itamo+ para e##o de otro aioma 2ioma 9 4%onotonocidad6 ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , 2 ≫ 2 ⇒ 2 ≻i 2 , donde 2 ≫ 2 ⇔ x k > x k
∀ k = 1,2,… , n
E+ta propiedad no+ dice ue para e# i G 7+imo con+umidor, cuanto m3+ mejor E+ decir, para 7# #a+ a#ternativa+ o cana+ta+ ue conten6an una ma$or cantidad de todo+ #o+ n biene+ +er3 e+trictamente preerida+ a #a+ cana+ta+ ue conten6an una menor cantidad
de cada uno de #o+ n biene+ '+, re#ajando e+te aioma, tambi7n podemo+ airmar ue aue##a+ cana+ta+ ue conten6an una ma$or cantidad de a# meno+ uno de #o+ n biene+ $ #a mi+ma cantidad para e# re+to de biene+ re+pecto a otra+ cana+ta+, e+ta cana+ta tambi7n +er3 e+trictamente preerida -epre+entando e+te aioma en 20
, +e tiene/
2
ℝ+
&er KIC) $ 'LLEN 1>4/ pp 52 G @=F !10"
2
2
x2
MI i ( 2 )
2
x2
x1
x1
1
2ioma
La inc#inaci.n de
I i ( 2 )
e+ nica en cada cana+ta
Con e+te aioma +e a+e6ura ue #a curva de indierencia +ea repre+entada por una unci.n ue +ea dierenciab#e o +ea, C 1 F en cada punto a #o #ar6o de e##a 3.3 Im5licaciones
La conveidad e+tricta imp#ica ue #o+ conjunto+
i
$
I i +on conjunto+ conveo+21
'+imi+mo, #a+ curva+ de indierencia no pueden +er 6rue+a+ E+ decir, debe veriicar+e ue ∀2 ∈ ℝn+ , IntI i ( 2 ) = ∅ 22 'dem3+, no pueden pre+entar tramo+ #inea#e+, por #o ue +e tiene ∀2 , 2 ∈ ℝ n+ ∧ ∀λ ∈ ( 0,1) , 2 ∼ i 2 ⇒ λ2 + ( 1 − λ ) 2 ∉ I i ( 2 ) Por otro #ado, de #a monotonocidad +e deduce ue e# con+umidor po+ee preerencia+ no +aciab#e+2 E+ decir, en e# e+pacio de con+umo, +iempre ei+tir3 una cana+ta ue e+ m3+ preerida +obre otra La+ curva+ de indierencia no pueden tener #a orma de 8erradura ni cerrar+e +obre + mi+ma+ 21
22 2
Por otro #ado, un conjunto MI ⊆ ℝ n e+ conveo +, $ +.#o +i, ∀ 2 , 2 ∈ M I ∧ ∀λ ∈ [ 0,1] , +e veriica λ2 + ( 1 − λ ) 2 ∈ I &er 'DDEN 1>@/ p 25F Deinici.n ue tambi7n puede uti#iar+e para e+tab#ecer e# aioma 5, ta# como #o 8emo+ enunciado en #a nota nmero 1 Imp#icancia ue tambi7n +e de+prende de# aioma de monotona aioma =F '#6uno+ autore+, e+tab#ecen como aioma de #a+ preerencia+ de# con+umidor, no #a monotonocidad +ino #a in+aciabi#idad )in embar6o, debemo+ mencionar ue e+te #timo e+ una condici.n nece+aria para #a monotonocidad m3+ no +uiciente !11"
La propiedad de in+aciabi#idad, e+ aue##a ue +e puede deinir de do+ orma+, $o ; sacia*ilidad 6#oba#F ∀2 ∈ ℝn+ , ∃2 ∈ ℝn+ / 2 ≻i 2
Lue6o, #a conveidad e+tricta $ #a no G +aciabi#idad 6#oba# imp#ican #a no G +aciabi#idad #oca#, ue +e deine a continuaci.n como, $o ; sacia*ilidad #oca#F ∀2 ∈ ℝn+ ∧∀ρ∈ ℝ++ , ∃2 ∈ Bρ ( 2) / 2 ≻i 2
La no G +aciabi#idad #oca# imp#ica #a no G +aciabi#idad 6#oba# 24 La continuidad, #a conveidad e+tricta $ #a monotonocidad imp#ican ue todo+ #o+ biene+ +on de+eab#e+ '+, +ean #o+ vectore+ unitario+ e1 = (1,0,… ,0) , e2 = ( 0,1,…,0 ) , S, e k = ( 0,… ,1,… ,0 ) Lue6o, e# bien k +er3 un bien de+eab#e para e# con+umidor i G 7+imo,
+iempre ue/ ∀2 ∈ ℝ n+ ∧ γ ∈ ℝ ++ , ( 2 + γe k ) ≻i
2
Podemo+ tener ca+o+ donde ei+te monotonocidad pero #o+ biene+ invo#ucrado+ no +on de+eab#e+ Como en e# ca+o de preerencia+ ante biene+ perectamente comp#ementario+, bajo #a+ condicione+ anteriore+, donde ( 2 + γ e k ) ∼ i 2 )i #a re#aci.n de preerencia d7bi# ( ≿i ) e+ comp#eta, tran+itiva, continua $ mon.tonaA entonce+ +e veriican/ %onotonocidad d<*il ∀2 , 2M ∈ ℝn+ , 2 > 2M ⇒ 2 ≿i
Donde
2M
2 > 2M ⇔ ( xk ≥ xM k ∧ 2 ≠ 2M ) ∀k = 1,2,…, n E+ decir, +on cana+ta+ ue tienen
cantidade+ ma$ore+ e i6ua#e+ de #o+ biene+, de+cart3ndo+e #a+ cana+ta+ ue ten6an #a+ mi+ma+ cantidade+ en todo+ #o+ biene+ En otra+ pa#abra+, monotonocidad pre+upone ue todo+ #o+ biene+ +on de+eab#e+
24
La no G +aciabi#idad no imp#ica ue e# con+umidor pueda no +aciar+e de un bien en ℝ n+ , #o ue no+ e+t3 diciendo e+ ue no puede +aciar+e en todo+ #o+ biene+ !12"
Por otro #ado, +i #a re#aci.n de preerencia d7bi# ( ≿i ) e+ comp#eta, tran+itiva, continua, e+trictamente convea $ mon.tonaA entonce+ +on preerencia+ re6u#are+ La+ curva+ de indierencia de e+te tipo de preerencia+ pre+entan #a+ +i6uiente+ caracter+tica+/ ?
Tienen pendiente ne6ativa E+to deriva de# aioma de monotonocidad de #a+ preerencia+ $ e# aioma @25 Para −
2
ℝ+
/
dx2 = -M%(21 dx1
La interpretaci.n ue tiene #a pendiente de #a curva de indierencia ta+a mar6ina# de +u+tituci.nF e+ #a +i6uiente/ epre+a #a cantidad m3ima de B2 ue e# i G 7+imo con+umidor e+tara di+pue+to a +acriicar o ceder para poder obtener una unidad de B1 a cambio Qu+tamente e# +i6no ne6ativo de #a ta+a de cambio indica #a di+$untiva
ue enrenta e# con+umidor en +u e#ecci.n, entre renunciar una cantidad de un bien $ obtener m3+ de otro bien, dada #a re#aci.n de preerencia+ ue po+ee2= N.te+e ue e# i G 7+imo con+umidor e+t3 en #a capacidad de determinar cu3nta+ unidade+ de B2 e+t3 di+pue+to a renunciar para obtener una unidad de B1 , en cada nive# de B1 E+to imp#ica ue #a curva de indierencia e+ dierenciab#e, #o ue e+ po+ib#e 6racia+ a# aioma @2@
25
2=
2@
'#6uno+ autore+ e#iminan #a impo+ibi#idad de obtener #a pendiente de #a curva de indierencia +uponiendo e# aioma @ &er )ER*-' 1>=/ p 40F Evidentemente no podemo+ dar una deinici.n de #a ta+a mar6ina# de +u+tituci.n ape#ando a #a uti#idad mar6ina#, dado ue e+te concepto an no 8a +ido contemp#ado en nue+tro an3#i+i+ '# re+pecto, +e +ea#a/ .o importante es que las raone+ de las utilidades mar%inales" ' no las utilidades mar%inales mismas" son las que determinan las curvas de indiferencia ' el comportamiento J O #ue6o +e aade/ /s por esto que la utilidad mar%inal decreciente del in%reso o de las mercanc)as no se puede inferir de las selecciones del consumidor J &er ECE- 1>@@/ p @=F )in e# aioma @, podramo+ tener una curva de indierencia continua pero no nece+ariamente dierenciab#e Lo ue pre+upone ue e# con+umidor, para un nive# dado de B1 , no puede determinar +u ta+a mar6ina# de +u+tituci.nJ, -M%(21 E# ar6umento e+ i6ua#mente v3#ido para #a -M%(12 !1"
?
)on convea+ a# ori6en E+ta caracter+tica tambi7n +e deriva de# aioma de conveidad e+tricta $ de monotonocidad de #a+ preerencia+2 E+to euiva#e a enunciar ue #a pendiente para cada cana+ta de una curva de indierencia cambia $ ue conorme e# i G 7+imo con+umidor po+ea m3+ cantidad de un bien, #a va#oraci.n ue 8ace de e+te bien en t7rmino+ de otro+, e+ cada ve menor E+ decir, #a ta+a mar6ina# de +u+tituci.n e+ decreciente '+ tenemo+, d-M%(21 <0 dx1
E+ decir, en #a medida ue e# con+umidor di+pone de una ma$or cantidad de B1 , #a va#oraci.n +e6n +u+ preerencia+ ue 8ace de cada unidad, medida en unidade+ de B2 , +er3 cada ve menor En t7rmino+ a#6ebraico+, e+ta va creciendo, $a ue toma va#ore+ ne6ativo+ cada ve menore+
7. EL C!$)U$T! PRESUPUESTRI! La re+tricci.n ue tiene e# i G 7+imo con+umidor e+t3 determinada por +u in6re+o o va#or monetario de +u riuea ( mi > 0) Por otro #ado, +e tienen #o+ precio+ de #o+ n biene+ ue e# con+umidor i G 7+imo toma como dada+ de# mercado, 5 = ( p1 , p 2 ,… , pn ) , donde 5 ≫ = ( 5 ∈ ℝ n++ ) Entonce+ #a cana+ta ue aduiere e# con+umidor e+tar3 +ujeta a #a re+tricci.n/ n
52′ = ∑ pk x k ≤ mi k =1
'+, #a+ cana+ta+ ue cump#en e# reui+ito anterior deinen e# conjunto pre+upue+tario φ ( 5 , mi ) , ue +e deine como/
2
uc8a+ vece+ +e conunde e+ta caracter+tica con #a propiedad ue po+een #a+ preerencia+ +ea#ado por e# aioma 5 '+, #a+ preerencia+ pueden +er e+trictamente convea+ $ +.#o e+ta condici.n no imp#ica ue #a+ curva+ de indierencia+ +ean nece+ariamente convea+ 8acia e# ori6en '+imi+mo, e+ta propiedad nada en ab+o#uto tiene ue ver con e# viejo principio neoc#3+ica de #a uti#idad mar6ina# decreciente !14"
φ ( 5 , mi ) = {2 ∈ ℝ n+
/ 52′ ≤ mi ∧ 2 ≥ =}
)e entiende e+te conjunto como e# conjunto de cana+ta+ o a#ternativa+ ue pertenecen a# e+pacio de con+umo, ta# ue +u co+to monetario e+ menor a# va#or monetario de #a riuea de# i G 7+imo con+umidor $ ue +on e+trictamente po+itiva+ E# conjunto pre+upue+tario +e puede deinir a trav7+ de #a una re#aci.n de corre+pondencia, #a cua# tiene cierta+ propiedade+ importante+ )e p#antea #a re#aci.n de corre+pondencia pre+upue+taria/ φ ( 5 , mi ) / ℝn++1 → ℝ n+
Hue pre+enta #a+ +i6uiente+ propiedade+/ ?
E+ 8omo67nea de 6rado cero en ( 5 , mi ) , ∀λ∈ ℝ ++ , φ (λ5,λmi ) = φ ( 5, mi )
?
φ ( 5 , mi ) e+ un conjunto no vaco $ conveo
?
φ ( 5 , mi ) e+ un conjunto cerrado $ acotado
E+ta+ propiedade+ #a+ p#anteamo+ en e# +i6uiente aioma,2> 2ioma > ∃2 ∈ ℝ n+ , 52′ ≤ mi ∧ ∀2M 52M ′ ≤ mi ⇒ ( 2 ≻i
2M ⇔ 2 ∼i 2M )
'+, con e+te aioma evitamo+ conjunto+ a#canab#e+ donde e# a6ente con+umidor no pueda determinar +u o +u+ mejore+ cana+ta+ En t7rmino+ orma#e+, e+te aioma e+ una condici.n nece+aria m3+ no +uiciente para tra+#adar e# prob#ema de e#ecci.n de# con+umidor a# campo de #a optimiaci.n en e+te ca+o, #a b+ueda de un m3imoF 'dem3+ de e+ta+ propiedade+ #a re#aci.n de preerencia+ debe +ati+acer cierta+ propiedade+ orma#e+ En
2>
, 6r3icamente/
2
ℝ+
E+to no viene a +er m3+ ue una modiicaci.n de# aioma @ de #a teora 6enera# de #a e#ecci.n &7a+e %&'L() Ob Cit/ p 1F !15"
2
p1 x1 + p2 x2 ≤ mi x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Conjunto pre+upue+tario
-e+tricci.n pre+upue+taria φ( 5 , mi )
1
Ka6amo+ un an3#i+i+ en λ=
1 p2
2
ℝ+
de #a imp#icancia de e+ta propiedad )ea φ ( p1 , p 2 , mi ) , +i
+e tiene ue/ p m φ 1 ,1, i p2 p2
= Φ ( θ12 , r2 )
Donde θ12 e+ e# co+to re#ativo precio re#ativoF de 1 en t7rmino+ de unidade+ de 2 $ r2 e+ e# in6re+o rea# medido en t7rmino+ de unidade+ de 2 'mba+ variab#e+ deinen e#
conjunto a#canab#e, #a capacidad de compra de# va#or monetario de #a riuea E+ decir, e# conjunto pre+upue+tario no e+t3 deinido por variab#e+ nomina#e+, +ino por variab#e+ rea#e+ '+, una modiicaci.n de# co+to re#ativo, ceteris paribusA $a +ea por #a modiicaci.n de +.#o uno de #o+ precio+ o de todo+ pero de orma ineuiproporciona#, con##evar3 a un cambio de# conjunto de po+ibi#idade+ de con+umo E+to 6r3icamente +era un 6iro o un tra+#ado no para#e#o de #a recta pre+upue+taria Por otro #ado, un cambio en e# in6re+o rea#, ceteris paribus , debido a una variaci.n de# in6re+o monetario de# con+umidor, tendr3 un eecto directo +obre #a+ po+ibi#idade+ de con+umo E+te cambio +e repre+enta con un tra+#ado para#e#o de #a recta pre+upue+taria, a# mi+mo co+to re#ativo de #o+ biene+ !1="
8. #E L ELECCI/$ #EL C!$SU%I#!R Dado e# e+pacio de con+umo, #a+ preerencia+ de# i G 7+imo con+umidor e+t3n ormu#ada+ a partir de# primitivo es al menos tan preferido como , denotado como ≿ i Pero, de# aioma 1 a# aioma , no ei+te nin6una propo+ici.n ue 8a6a reerencia a
#a e#ecci.n de# i G 7+imo con+umidor Por e+ta ra.n introduciremo+, +iendo co8erente+ con #a teora 6enera# de #a e#ecci.n, donde +e 8ace u+o de otro primitivo importante, ser ele%idoJ0
'+, debemo+ dierenciar #a +ituaci.n en #a ue e# i G 7+imo con+umidor preiere #a cana+ta 2 ∗ de aue##a donde 7# e#i6e 2 ∗ 2ioma ? ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , ( /i 2 ⇒ 52′ ≤ mi ) ∧ ¬( 2 ≻i
2 ∧ /i 2 ) ∨ ¬( 52′ > mi ⇒ /i 2)
E+te aioma no+ dice ue e# i G 7+imo con+umidor e#i6e aue##a+ cana+ta+ cu$o co+to +ea i6ua# o menor a +u in6re+o monetario $ ue no +ean preterida+ por otra, o no e+ cierto ue e# i G 7+imo con+umidor e#i6e cana+ta+ cu$o co+to e+ ma$or a +u in6re+o monetario
9. #E LS PRE&ERE$CIS L &U$CI/$ #E UTILI## Trabajando +obre un e+pacio de con+umo deinido por
, en e# ue +e 8a deinido #a
n
ℝ+
re#aci.n de preerencia d7bi# ( ≿i ) $ #ue6o #a re#aci.n de indierencia ( ∼i ) 8a permitido particionar dic8o e+pacio en c#a+e+ de euiva#encia conjunto+ de indierenciaF Lue6o, con #a re#aci.n de preerencia uerte ( ≻i ) +e pueden ordenar #a+ c#a+e+ de euiva#encia Ii , ∀I i ⊂ ℝn+ En otra+ pa#abra+, #a+ c#a+e+ de euiva#encia +er3n jeraruiada+ u ordenada+ +e6n #a+ preerencia+ de# con+umidor '+ ina#mente, podemo+ e+tab#ecer una re#aci.n de orden donde a cada c#a+e de euiva#encia +e #e 8ace corre+ponder un nmero rea#1 0 1
&er %&'L() Ob Cit/ p 12F -ecu7rde+e ue cada cana+ta corre+ponde a una $ +.#o a una c#a+e de euiva#encia !1@"
9.- &unción de utilidad
)ea d7bi#
ui / ℝ n+ → ℝ una
( ≿i ) ,
unci.n matem3tica ue repre+enta #a re#aci.n de preerencia
ue e+ comp#eta, tran+itiva, continua $ mon.tonaA ta# ue
∀2 , 2 ∈ ℝn+ , ui ( 2 ) ≥ ui ( 2 ) ⇔ 2 ≿i
2
Lo ue intere+a no e+ e# va#or en + de ∀2 , 2 ∈ ℝ n+ , 2 ≻i
u i (⋅ ) ,
+ino ue +e veriiue ue
2 ⇒ ui ( 2 ) − ui ( 2 ) ∈ ℝ ++ E+ decir, #a unci.n de uti#idad e+ una
repre+entaci.n ordina# de #a+ preerencia+ de# con+umidor, por tanto, au no tiene una dimen+i.n cardina#2 'cerca de ?
u i (⋅ ) +e puede airmar tre+ co+a+/
e+t3 re#acionada a ui ( 2 ) > ui ( 2M ) ⇔ 2 ≻i 2M ∧ ui ( 2 ) = ui ( 2M ) ⇔ 2 ∼ i 2M E+ta propiedad
#o+ aioma+ 1, 2 $ ?
u i (⋅)
debe +er una unci.n continua $ dierenciab#e, a# meno+ C 1 $ C 2 E+ta
propiedad +e re#aciona a #o+ aioma+ 4, 5, = $ @ Uaci#ita #a introducci.n de t7cnica+ matem3tica+ para poder optimiarJ ?
)ea 0 / ℝ → ℝ una unci.n e+trictamente creciente, entonce+ +e puede tener una unci.n compue+ta ta# ue 0 ui ( 2 ) > 0 ui ( 2 ) ⇔ ui ( 2 ) > ui ( 2 ) ⇔ 2 ≻i 2 E+ decir, #a unci.n de uti#idad e+ mon.tonamente creciente E+ta propiedad deviene de# aioma =4
2
'+, de+provi+ta #a uti#idad de #a cardina#idad, e# concepto de uti#idad mar6ina# carece de +entido, ta# como #o ormu#aban economi+ta+ neoc#3+ico+ de# +i6#o VIV, como '#red ar+8a## '# re+pecto +e +ea#a/ .a utilidad se considera como correlativa del deseo o necesidad# J 'dem3+ +e aade/ La uti#idad tota# de una cosa para una persona *es decir" el placer total u otro beneficio que le produce+ crece con cada aumento de las existencias que de dic$a cosa posee la persona aludida" pero no con la misma rapide# (i su +toc< aumenta en una proporci!n uniforme" el beneficio derivado aumenta en una proporci!n decreciente#J &er '-)K'LL 1>5@/ pp 1 G 2F ∂ui ( 2 ) ∂ 2 ui ( 2 ) k kl '+ podemo+ obtener de #a unci.n de uti#idad, ui ( 2 ) = $ ui ( 2 ) = para #o+ biene+ ∂x k ∂xk ∂xl k , l = 1,2, … , n La primera ecuaci.n e+ conocida como #a uti#idad mar6ina#J
4
E# va#or rea# ue +e obten6a para cua#uier cana+ta de# e+pacio de con+umo, $a +ea con ui ( ⋅ ) o 0 (⋅ ) e+ irre#evante Lo ue intere+a e+ ue #o+ va#ore+ rea#e+ ue den, +ean co8erente+ con #a !1"
?
E+ e+trictamente cua+i G c.ncava E+ta propiedad de #a unci.n de uti#idad +e deriva de# aioma 5 '+, +e tiene ue para #a+ uncione+ e+trictamente cua+i G c.ncava+ e# conjunto {2 ∈ ℝ n+ / ui ( 2 ) ≥ u , u ∈ ℝ} e+ conveo5 Por tanto, debemo+ preci+ar ue #a pre+ente teora #a unci.n de uti#idad
u i (⋅ ) 6enera
va#ore+ ue +on +imp#emente ndice+ num7rico+, +u+ va#ore+ por + mi+mo+ carecen de interpretaci.n no tienen unidade+FA intere+ando +.#o ue #o+ va#ore+ ue 6enera para cada cana+ta de con+umo traducan #a re#aci.n de preerencia= Por tanto en e+te enoue, #a noci.n de uti#idad, muc8o meno+ imp#ica a#6n contenido p+ico#.6ico de# con+umidor '8ora, preci+ado e# pape# de #a unci.n de uti#idadA entonce+ para una curva de indierencia cua#uiera de# e+pacio de con+umo, como I i1 ( 2M ) , #e corre+ponder3 una ta+a mar6ina# de +u+tituci.n cada ve menor en medida ue di+pone m3+ de B1 '+, +i ui1 -M%(21 = 2 , #ue6o +e tiene/ ui
ui1 21 ui1 22 dx2 d-M%(21 ui11 ui12 dx2 = 2 + 2 − ui − ui dx1 2 2 ui ui dx1 u2 2 ( i) (ui ) dx1
ordenaci.n de #a+ preerencia+ '+, +i
= 0 ( u i ) ,
donde 0 ′ ≡
d0 duu
>
<
0
0 A entonce+ derivaremo+ ue,
0 1 0′ui1 ui1 = = = -M%(21 Por tanto, #a+ curva+ de indierencia +on #a+ mi+ma+, a+ +e epre+en 0 2 0′ui2 ui2
mediante #a unci.n de uti#idad ori6ina# 5
(⋅ )
'+, una curva de indierencia no e+ m3+ ue #a repre+entaci.n 6r3ica de# conjunto contorno +uperior, para un va#or de #a unci.n de uti#idad Lue6o podemo+ derivar #a pendiente de #a curva de indierencia, tomando e# par de biene+ B1 $ B2 para un va#or rea# dado de #a unci.n de uti#idad
=
ui ( ⋅ ) o +u tran+ormaci.n mon.tona creciente
u = u i ( x1 , x 2 ) ,
+e tiene/ 0 = ui1 dx1 + ui2 dx2 → −
dx2 u1i = '+, #a ta+a mar6ina# de dx1 ui2
ui1 +u+tituci.n euiva#e a una utilidad mar%inal relativa J, -M%(21 = 2 ui '# re+pecto/ If total utilit' is not quantitativel' definable" neit$er is mar%inal utilit'# But t$e t$eor' of value does not need an' precise definition of mar%inal utilit'# $at it does need is onl' t$is3 t$at 4$en an individual5s s'stem of 4ants is %iven" and $e possesses an' %iven set of %oods" X" 6" 7" # # # 4e s$ould kno4 $is mar%inal rate of substitution bet4een an' t4o %odos J &er KIC) $ 'LLEN Ob Cit/ p 55F
!1>"
u1 = i2 dx1 ui
O como +e +abe ue − dx 2
A entonce+,
ui1 21 ui1 22 ui1 d-M%(21 ui11 ui12 u1i = 2 − 2 2− ui + ui 2 dx1 2 2 2 2 ui ui ui (ui ) (ui ) ui
<
0
)imp#iicando, 11
12 1
21 1
d-M%(21 ui u u u u = 2 − i i2 − i i2 + dx1 ui ( ui2 ) ( ui2 )
ui22 ( ui1 )
2
2
<
( ui )
0
Huedando, d-M%(21 1 = dx1 (ui2 )
11 2 2 12 1 2 21 1 2 22 1 2 − − + u u u u u u u u u i i i i i i i ( ui ) < 0 i ( i )
Por e# teorema de Ooun6, u i12
= u i21 , entonce+,
d-M%( 21 1 = dx1 (ui2 )
11 2 2 12 1 2 22 1 2 − + u u u u u u 2 ( ) i i i i i i ( ui ) < 0
Lue6o, dado #a propiedad de monotonocidad, entonce+ +e +abe ue
0 Por tanto,
u i2
>
$
ui22
ue #a ta+a mar6ina# de +u+tituci.n +ea decreciente imp#ica ue, 11 2 2 12 1 2 22 1 2 − + u u 2 u u u u ( ) i i i i i ( ui ) < 0 i
O ta# como ob+ervamo+ e+to e+ independiente de #o+ va#ore+
ui11
'+, de #a
conducta de# con+umidor no +e iniere ab+o#utamente nada acerca de #a uti#idad mar6ina# decreciente, ta# como +o+tenan #o+ neoc#3+ico+ de ine+ de# +i6#o VIVA ar+8a##, ;a#ra+, Qevon+, en6er, etc Por otro #ado, e+ta condici.n imp#ica ue #a unci.n de uti#idad ue repre+enta #a+ preerencia+ re6u#are+ no puede +er cua#uier unci.n para cuando +e uti#icen #a+ t7cnica+ de optimiaci.n E+ta unci.n debe +er e+trictamente cua+i G c.ncava, como
!20"
mencionamo+ anteriormente, por #o ue +e ei6e ue e# 8e++iano de dic8a unci.n corre+ponda a una matri deinida ne6ativa@ Teorema - 4E2istencia de una función de utilidad6
)i #a re#aci.n de preerencia # # # al menos tan preferido como # # # J ( ≿i ) e+ comp#eta, tran+itiva, continua $ mon.tona, deinida +obre
n
ℝ+
A entonce+ ei+te una unci.n
matem3tica continua ue #a repre+enta En
2
ℝ+
tenemo+ #a po+ibi#idad de una unci.n de uti#idad dada por e# va#or de una
unci.n ue arroja un va#or id7ntico a #a di+tancia de+de e# ori6en #a peor cana+ta de# e+pacio de con+umo, = = ( 0, 0 ) F $ #a po+ici.n de #a cana+ta reerencia#, 2 E+ decir, d = ( x12 + x22 )
1
2
= ui ( x1 , x2 ) ubicada
+obre un ra$o determinado Rr3icamente, notamo+
ue, dada+ #o+ aioma+ de #a+ preerencia+, e# ra$o corta una +o#a ve a cada curva de indierencia, por #o ue a cada una de e##a+ #e 8ace corre+ponder un va#or, e+te ju+tamente e+ d > 2
2
x2
d x1
@
>
1
Trataremo+ e+te punto con ma$or deta##e cuando no+ ocupemo+ de# eui#ibrio de# con+umidor $ +u+ imp#icancia+ para #a e+t3tica comparativa Como mencionamo+ en #a nota nmero 5, e+to e+ po+ib#e dado ue e# e+pacio de con+umo e+ un e+pacio euc#ideano Por ejemp#o, +i #a+ preerencia+ no ue+en uertemente mon.tona+A entonce+ +era po+ib#e tener curva+ de indierencia tipo 8erraduraJ, por #o ue +era po+ib#e ue e# ra$o corte cada curva de indierencia do+ vece+, otor63ndo#e a+, a cada c#a+e de indierencia do+ va#ore+ dierente+ !21"
9.0 Pro5iedades de la función de utilidad &unción de utilidad monótonamente creciente ∀2 , 2 ∈ ℝn+ , ui / ℝn+ → ℝ , +e veriica 2 ≫ 2 ⇒ ui ( 2 ) > u i ( 2 )
E+ta e+ una epre+i.n directa de #a propiedad de monotonocidad de #a+ preerencia+ de# con+umidor &unción de utilidad estrictamente cuasi cóncava ∀2 , 2 ∈ ℝ n+ , uu / ℝn+ → ℝ , +e veriica ui θ2 + ( 1 − θ ) 2 > min ui ( 2 ) , ui ( 2 ) , ∀θ ∈ ( 0,1)
E+to e+ una con+ecuencia de +uponer ue #a+ preerencia+ de# con+umidor +on e+trictamente convea+ &unción de utilidad @omog
*na unci.n de uti#idad 8omo67nea repre+enta un tipo de preerencia+, ##amada+ preerencia+ 8omot7tica+ La re#aci.n de preerencia d7bi# ( ≿i ) e+ 8omot7tica +i $ +.#o +i, ∀2 , 2M ∈ ℝn+ ∧ α∈ ℝ ++ , 2 ∼i
Lue6o, para
n
ℝ+
2M ⇒ α2 ∼i α2M
+e tienen dierente+ c#a+e+ de uncione+ de uti#idad, como, n ui ( 2 ) = ∑ α k xk−ρ k =1
1
ρ
A
n
∑ αk = 1 k =1
E+ta unci.n de uti#idad +e #e conoce como #a unci.n de uti#idad CE)A40 de donde +e tiene ue #o+ +i6uiente+ ca+o+ etremo+/ n
?
ρ → ∞ , ui ( 2 ) = min {α k x k } k =1 , conocida como unci.n de uti#idad de Leontie
?
ρ → 0, ui ( 2 ) = Πx kα k A
n
k =1
n
∑ α k = 1 , conocida como unci.n de uti#idad Cobb G k =1
Dou6#a+ Tambi7n tenemo+ #a+ uncione+ de uti#idad/
40
Uunci.n de uti#idad con e#a+ticidad de +u+tituci.n con+tante )u nombre proviene de +u traducci.n a# in6#7+, con+tant e#a+ticit$ +u+titution, C E ) !22"
?
n
ui ( 2 ) = ∑ α k x k ,
##amada unci.n de uti#idad #inea# cuando e# con+umidor con+idera
k =1
ue #o+ biene+ +on perecto+ +u+tituto+F ?
ui ( 2 ) = α1x1 + vi ( x2 , x ,… , xn ) , conocida como unci.n de uti#idad cua+i#inea#
?
ui ( 2 ) = ∏ ( x k − x k ) k ,
n
α
k =1
n
∑ α k = 1 ∧ x k = cte ∀k = 1,2,… , n L#amada unci.n de k =1
uti#idad )tone G Rear$ En cuanto a #a+ preerencia+ 8omot7tica+, en
2
ℝ+
+e ob+erva ue e+ta+ preerencia+
tendr3n #a particu#aridad de po+eer cana+ta+ ue mantienen #a mi+ma proporci.n de #o+ biene+, ta# ue #e corre+ponde a cada cana+ta #a mi+ma ta+a mar6ina# de +u+tituci.n -M%(F
. C!$CLUSI!$ES En conc#u+i.n, con una unci.n de uti#idad
u i (⋅ ) continua, mon.tona $
e+trictamente
cua+i G c.ncava, +e tiene/ ?
E# prob#ema de deci+i.n de# con+umidor, pa+a de e#ecci.n de# e#emento maima# a un prob#ema de optimiaci.n maimiaci.nF '+, e# prob#ema de optimiaci.n ueda p#anteado como/ ma ui ( 2 ) [P] +a φ ( 5 , mi )
?
E# pro6rama de optimiaci.n prima# reuiere para ue po+ea +o#uci.n, ue e# conjunto pre+upue+tario +ea un conjunto no vaco $ compacto cerrado $ acotadoF, ue #a unci.n de uti#idad +ea continua $ e+trictamente cua+i G c.ncava O para ue #a +o#uci.n no +ea m#tip#e +ino +ea una +o#uci.n nica, +e reuiere ue e# conjunto pre+upue+tario +ea un conjunto conveo
!2"
La+ imp#icancia+ ue tienen e+ta+ condicione+ +obre e# conjunto de po+ibi#idade+ de con+umo $ #a re#aci.n de preerencia de# con+umidor, +on de un a#cance importante Por ejemp#o, no+ permitir3 uti#iar do+ teorema+, e# de ;eier+tra++ $ e# Loca# G R#oba#41 &eamo+, ca+o+ +imp#e+ donde no +e cump#en #a+ condicione+ +ea#ada+ #nea+ arriba, para un e+pacio de con+umo ?
2
ℝ+
/
*n +e6undo ca+o, e+ cuando e# conjunto pre+upue+tario e+ un conjunto no vaco, compacto $ conveo '+imi+mo, #a unci.n de uti#idad repre+enta preerencia+ ue no +on e+trictamente convea+, +ino convea+ $a ue po+een un tramo ue e+ #inea# 'u entonce+, en e+te ca+o ei+ten ininita+ +o#ucione+ 2
0
?
1
E# un primer ca+o tenemo+ preerencia+ e+trictamente convea+ $ un conjunto pre+upue+tario no conveo En e+te ca+o, dada+ #a+ propiedade+ de# conjunto pre+upue+tario tenemo+ do+ +o#ucione+ Inc#u+ive, e+ po+ib#e tener una +ituaci.n con do+ +o#ucione+ pero donde una de e##a+ no e+ .ptima
41
Teorema de ;eier+tra++ )i φ ( 5 , m i ) e+ un conjunto compacto no vaco, $ ui ( 2 ) e+ una unci.n continua deinida +obre e# conjunto φ ( 5 , m i ) , entonce+ ui ( 2 ) tiene, a# meno+, un m3imo mnimoF $a +ea en e# interior de φ ( 5 , m i ) o en #a rontera de φ ( 5 , m i ) Teorema Loca# G R#oba# )ea una unci.n continua $ e+trictamente cua+i G c.ncava u i / ℝ n+ → ℝ , entonce+ todo m3imo de ui +obre ℝ n+ e+ un m3imo 6#oba# !24"
2
2M
2
0
1
En conc#u+i.n, +e reuiere ue e# conjunto pre+upue+tario +ea no vaco, compacto $ conveo La unci.n de uti#idad debe +er una unci.n continua, mon.tona $ e+trictamente cua+i c.ncava Lue6o, e# teorema de# m3imo 6#oba# 6arantia ue todo punto m3imo e+ un m3imo 6#oba#
RE&ERE$CIS [1 ] %&'L() , E#o$ 2010F, .a teor)a %eneral de la elecci!n Documento de Trabajo Nº 4 Lima/ [2] [] [4]
[5] [=] [@ ] []
[> ]
Centro de Inve+ti6acione+ Econ.mica+ de# In+tituto de E+tudio+ )ocia#e+ de# -mac ECE- , Rar$ 1>@@F, -eor)a econ!mica 7ico/ Uondo de Cu#tura Econ.mica KIC) , Qo8n 1>45F, alor ' capital# Investi%aci!n sobre al%unos principios fundamentales de teor)a econ!mica 7ico/ Uondo de Cu#tura Econ.mica KIC) , Qo8n $ -o$ 'LLEN 1>4F, A reconsideration of t$e t$eor' of value# Part I En Economica, Ne: )erie+, &o# 1, No 1, pp 52 G @= London/ T8e London )c8oo# o Economic+ and Po#itica# )cience K(-&%TK , Quan 1>=>F, Introducci!n a la topolo%)a %eneral )erie de atem3tica Nº > ;a+8in6ton/ Departamento de '+unto+ Cientico+ de #a *ni.n Panamericana 'DDEN , Pau# 1>@F, Concavidad ' optimiaci!n en microeconom)a adrid/ '#iana Editoria# '-)K'LL , '#red 1>5@F, Principios de econom)a# 8n tratado de introducci!n adrid/ '6ui#ar ) ' de Edicione+ ;'L)K , &ivian 1>@4F, Introducci!n a la microeconom)a moderna arce#ona/ Editoria# &icen+ G &ive+ )ER*-' , Qu#io 1>=F, An9lisis microecon!mico adrid/ '#iana Editoria# !25"
