Teoria de La Computacion y Logica de Programacion 2011

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Lógica de Programación

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Lógica de Programación UPIICSA La lógica es fundamental para la programación y la programación no existiría sin la lógica.

Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011 Víctor Alfredo Gallardo Sánchez

01/08/2011


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Contenido Introducción ............................................................................................................................................. 3 I.

Introducción Introd ucción a la lógica .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ............................. ............ 6 ¿Qué es la lógica? ................................................................................................................................. 6 De qué trata la lógica ........................................................................................................................... 7 Corrección, verdad y analítico .............................................................................................................. 9 Presentación de los sistemas lógicos ................................................................................................. 13 Definición. Formas enunciativas ........................................................................................................ 17 Definición. Grado de una forma enunciativa ..................................................................................... 17 Traducción del lenguaje natural al lenguaje formal ........................................................................... 18 Sistema Formal ................................................................................................................................... 19 Definición Sistema Formal.............................................................................................................. 19 Ejemplo de Sistema Formal axiomático L ...................................................................................... 20 Conectivas y tablas de verdad ............................................................................................................ 22 Significado de las conectivas .......................................................................................................... 22 Álgebra de Boole y operadores binarios ............................................................................................ 25 Tipos y lenguajes de programación .................................................................................................... 28 Fundamentos matemáticos ............................................................................................................... 28 Conjuntos ....................................................................................................................................... 28 Métodos de demostración ................................................................................................................. 30 Proposiciones especiales, argumentos y leyes de inferencia ..................... .............................. .................. .................. ................. ........ 30 Modus ponens ................................................................................................................................ 31 Modus Tollens ................................................................................................................................ 32 Adición ............................................................................................................................................ 32 Simplificación ................................................................................................................................. 32 Silogismo hipotético ....................................................................................................................... 32 Silogismo disyuntivo ....................................................................................................................... 32 Prueba por vacuidad ...................................................................................................................... 32 Prueba trivial .................................................................................................................................. 32 Prueba directa ................................................................................................................................ 32 Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011


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Contenido Introducción ............................................................................................................................................. 3 I.

Introducción Introd ucción a la lógica .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ............................. ............ 6 ¿Qué es la lógica? ................................................................................................................................. 6 De qué trata la lógica ........................................................................................................................... 7 Corrección, verdad y analítico .............................................................................................................. 9 Presentación de los sistemas lógicos ................................................................................................. 13 Definición. Formas enunciativas ........................................................................................................ 17 Definición. Grado de una forma enunciativa ..................................................................................... 17 Traducción del lenguaje natural al lenguaje formal ........................................................................... 18 Sistema Formal ................................................................................................................................... 19 Definición Sistema Formal.............................................................................................................. 19 Ejemplo de Sistema Formal axiomático L ...................................................................................... 20 Conectivas y tablas de verdad ............................................................................................................ 22 Significado de las conectivas .......................................................................................................... 22 Álgebra de Boole y operadores binarios ............................................................................................ 25 Tipos y lenguajes de programación .................................................................................................... 28 Fundamentos matemáticos ............................................................................................................... 28 Conjuntos ....................................................................................................................................... 28 Métodos de demostración ................................................................................................................. 30 Proposiciones especiales, argumentos y leyes de inferencia ..................... .............................. .................. .................. ................. ........ 30 Modus ponens ................................................................................................................................ 31 Modus Tollens ................................................................................................................................ 32 Adición ............................................................................................................................................ 32 Simplificación ................................................................................................................................. 32 Silogismo hipotético ....................................................................................................................... 32 Silogismo disyuntivo ....................................................................................................................... 32 Prueba por vacuidad ...................................................................................................................... 32 Prueba trivial .................................................................................................................................. 32 Prueba directa ................................................................................................................................ 32 Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

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Lógica de Programación Prueba indirecta ............................................................................................................................. 33 Prueba por contradicción ............................................................................................................... 33 Reducción al absurdo ..................................................................................................................... 33 El método de inducción .................................................................................................................. 34

Sistemas numéricos............................................................................................................................ 34 Teorema Fundamental de la numeración ...................................................................................... 35 Sistema binario ............................................................................................................................... 37 Sistema octal .................................................................................................................................. 37 Sistema decimal ............................................................................................................................. 37 Sistema hexadecimal ...................................................................................................................... 37 II.

Estrategias Estra tegias para la solución de problemas problema s.................................. ................. ................................... ................................... ................................. ................ 39 Describir un patrón ............................................................................................................................ 39 Tanteo y error .................................................................................................................................... 41 Elaboración de una tabla .................................................................................................................... 43 De atrás hacia adelante ...................................................................................................................... 45 Comprobar la respuesta del problema .............................................................................................. 47

Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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Introducción La lógica simbólica o matemática estudia la lógica utilizando técnicas y nociones matemáticas. Al mismo tiempo ha contribuido a la fundamentación de las matemáticas. Aunque la lógica es una disciplina muy antigua, que hunde sus raíces en los filósofos griegos de la escuela de Megara, la escuela Estoica y Aristotélica, solamente se ha constituido en disciplina formal, es decir, en lógica simbólica (en adelante, simplemente “lógica”), a partir

de la segunda mitad del siglo XIX, con los trabajos de A. De Morgan y G. Boole. Con el comienzo del segundo tercio del siglo XX la lógica se ha visto fertilizada por los nuevos problemas y técnicas surgidos alrededor de la informática (Ciencias de la computación e Inteligencia artificial). La mayoría de los informáticos reconocen la íntima conexión existente entre la lógica y la informática, comparable en importancia a la relación entre el análisis matemático y la física. Desde el comienzo de su relación la lógica ha jugado diferentes papeles en el campo de la informática. 1. Como una fuente de lenguajes y sistemas para el razonamiento, debido a su capacidad deductiva. Se han empleado diferentes tipos de lógica para describir e implementar sistemas que razonan sobre un dominio en particular (ej. en los campos de la teoría de la especificación y la inteligencia artificial). La lógica temporal, una clase de la lógica modal, se empleado para razonar sobre sistemas que incorporan el tiempo como un parámetro principal. La lógica multimodal se ha empleado para razonar sobre sistemas concurrentes e indeterministas. La lógica multimodal también es útil en el campo de los lenguajes de especificación. La lógica no monótona se ha aplicado a una gran variedad de problemas que van desde la herencia de propieda des a las bases de datos deductivas y en todas aquellas áreas en las que es necesario emular razonamientos de sentido común o manejar informaciones imprecisas. La lógica borrosa también se ha utilizado para razonar sobre sistemas en los que el conocimiento es incierto. 2. Como una fuente de herramientas y técnicas de análisis y fundamentación. La lógica se ha empleado como una herramienta para la representación del conocimiento y en otras muchas áreas de la inteligencia artificial. Desde el punto de vista de la fundamentación, la lógica se ha utilizado para proporcionar un modelo de cómputo. El ʎ-Cálculo y la reducción de ʎ-expresiones a formas normales, o bien a la lógica de cláusulas de Horn y el principio de resolución SLD representan visiones idealizadas dela idea de computo. La lógica también se empleado para establecer una descripción Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

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Lógica de Programación formal del significado (semántica) de los lenguajes de programación y en la especificación y verificación formal de programas.

Vemos, pues, que pueden darse un gran número de razones para el estudio de la lógica aparte de ser una buena vacuna contra la obsolescencia tecnológica que siempre amenaza a los profesionales de la informática. La lógica es particularmente importante porque es la base matemática del software. La resolución de problemas se relaciona de muchas formas con las situaciones que cada día, se nos presentan en nuestro desempeño, en el trabajo, el hogar, la escuela y otros contextos. Existen estrategias que nos capacitan para afrontar los problemas con más seguridad, según sea el caso. Debemos pensar, razonar, controlar, y tomar decisiones a cada instante. Depende de la habilidad y experiencia que tengamos. No obstante el proceso para llegar a la solución de un problema no es único. Todos pensamos de manera diferente por lo cual somos únicos. El método más conocido, es el método científico. Este consiste en las siguientes etapas: 1. 2. 3. 4.

Observación Desarrollo Validación Conclusiones

Para nuestros propósitos, haremos unos cambios en el método científico. Los cuales se ven reflejados a continuación: i.

Leer hasta entender el problema a resolver Entender el problema significa establecer de qué se trata, cuál es la información que se tiene y cuál se necesita. Hay que reconocer los datos pertinentes para llegar a la solución y detectar los que no lo sean. Además, en este paso es fundamental determinar si los datos que se tienen son suficientes para resolverlo.

ii.

Desarrollar una estrategia Identificar una estrategia que se pueden usar al resolver un problema. No siempre hay un plan único de solución.


Lógica de Programación iii.

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Validar y Comprobar Es la solución buscada, o bien es una de ellas. Puede haber más de una solución.

iv.

Conclusiones Hacer un documento para dar a conocer las dificultades y como se resolvieron para llegar a la solución o soluciones, según sea el caso.

Como se puede ver, estos pasos son lo suficientemente sencillos de seguir y posiblemente los has utilizado sin saberlo. Estos pasos ayudan a resumir el proceso que se emplea para resolver cualquier problema. Más que escribirlo cada vez que lo utilizas, debes seguirlo mentalmente. Observa que primero se requiere comprender el problema; esto es, reconocer la suficiencia o insuficiencia de la información con que cuentas para lo que tienes que determinar. Es lógico que si no entiendes el problema no podrás resolverlo. Desarrollar una estrategia, es desarrollar un plan a seguir, este depende de la imaginación, habilidad o experiencia con la que cuentas. Algunas veces se opta por una vía que no conduce al resultado. Si esto, ocurre, se intenta con o tra. Hasta aquí una breve introducción de las premisas que debemos tener para comenzar a utilizar las técnicas antes descritas, en nuestro paso por la asignatura de lógica de programación.

Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011


I.

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Introducción a la lógica

Desde una perspectiva informal e intuitiva, la tarea de delimitar cual es el objeto del que se ocupa la lógica, dar una primera definición de la misma e identificar algunos de los conceptos y nociones más importantes que forman parte de ella. La tarea que nos impondremos, será el hecho de precisar los conceptos introducidos en este capítulo, lo que nos obligará a introducir nuevos conceptos y métodos formales. La necesidad de introducir métodos formales pronto nos hará caer en la temida jungla de los símbolos. El único consejo posible es: Lea con cuidado, en especial las demostraciones, y no deje de llevar cargado el rifle de su intuición; va a comenzar una peligrosa aventura.

¿Qué es la lógica? Comenzamos tratando de dar una idea de las materias que conciernen a la lógica (y dentro de ellas las que nos van a interesar a nosotros). Lo primero que debemos decir es que no hay un acuerdo unánime sobre ciertos temas:  

¿Trata la lógica de cómo piensa la gente o de cómo debería pensar? ¿Le interesa principalmente el lenguaje? ¿Los lenguajes formales empleados por la lógica son modelos del lenguaje natural (Por lenguaje natural entendemos la clase de los lenguajes no formalizados como el español) o pretenden reemplazarlos?

En lo que sigue intentaremos contestar a estas preguntas y expresar, en algunos puntos, nuestro propio punto de vista. Algunos autores afirman que la lógica “se limita a presentar formalizadamente las leyes a las

que la mente hu mana se atiene cuando se aplica a razonar”; ya los escolásticos calificaban a la lógica como “la ciencia del recto juzgar”, por lo que puede entenderse como un proceso que permite obtener razonamientos correctos. Sin embargo, la palabra “razonamiento” tiene connotaciones que no queremos introducir en nuestro discurso. La palabra “razonamiento” ,

muchas veces se usa para referirnos a un proceso por el cual la persona que razona llega a tener consciencia sobre la verdad de algo, un proceso que partiendo de otras viejas creencias (premisas) le permite establecer una nueva creencia (conclusión). Así, descrito, el razonamiento es un proceso psicológico, pero nuestra intención es describir este proceso de forma neutral, para poder aplicar el término “razonar” tanto a agentes humanos como no humanos. Queremos evitar preguntas tales como: “¿puede una computadora llegar a creer algo?”; “¿Puede una computadora tener “consciencia” de haber alcanzado una conclusión o del propio hecho de razonar?”.



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Podemos decir que la lógica es la ciencia que estudia el razonamiento pero no desde una perspectiva psicológica, es decir, no busca entender los efectos que producen los razonamientos sobre sus propios autores, ni mucho menos entender el comportamiento de los propios autores, sino que estudia el producto o resultado de la actividad de razonar (por ejemplo, los pasos dados en una demostración). Por lo tanto desde nuestro punto de vista, las leyes de la lógica no son leyes psicológicas que puedan ser confirmadas experimentalmente mediante la observación de los individuos que razonan. Más bien, las leyes de la lógica son leyes que determinan cuando ciertas creencias constituyen una buena razón para afirmar una conclusión. Esto es, determinan la relación que expresa que una afirmación es consecuencia de otra. Históricamente, comenzado con Leibniz, se han hecho esfuerzos por fundamentar la lógica como un cálculo, es decir, un sistema de reglas que nos permita pasar de las premisas a la conclusión de forma mecánica, simplemente computando. Este es un aspecto de la relación entre lógica e informática que nos va a interesar mucho, ya que uno de los objetivos de la informática es computar. Cuando se toma esta dirección es necesario una simplificación del lenguaje natural (cuyas conocidas características de complejidad e imprecisión dificultan esta tarea), que conduce al uso de lenguajes formales (ya especificaremos más adelante que entendemos por lenguaje formal). Por otra parte, el deseo de emplear la lógica como herramienta de representación del conocimiento hace que los lenguajes formales se empleen como modelos (abstracciones) del conocimiento expresado mediante el lenguaje natural. No cabe duda de que todas estas cuestiones y sus posibles contestaciones han de tenerse en cuenta a la hora de precisar cuál es el objeto de la lógica. Sin embargo, en la práctica, su importancia no es tan grande como podría suponerse. En realidad, solo después de estar familiarizado con las materias y las técnicas que se utilizan en la disciplina de la lógica se podrá decidir sobre el particular.

De qué trata la lógica A pesar de lo dicho, relativo que no hay una única respuesta a las preguntas planteadas con anterioridad, sería bueno que llegásemos a algún tipo de acuerdo inicial sobre el objeto de la lógica. En una primera aproximación al tema, podemos dar la siguiente definición: La lógica investiga la relación de consecuencias que se da entre una seria de premisas y conclusión de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto (valido) si su conclusión se sigue o es consecuencia de sus premisas; de otro modo es incorrecto.


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Sin embargo, para que esta definición cobre sentido, debemos precisar que entendemos por argumento, relación de consecuencia, corrección y validez. Por argumento entendemos un sistema de enunciados, de un lenguaje determinado. Uno de sus enunciados es designado como la conclusión y el resto como las premisas. Como veremos más adelante, es también útil considerar casos en los que el número de premisas sea cero. Habitualmente, un enunciado se define como una expresión lingüística que establece un pensamiento completo. Los enunciados se pueden clasificar en interrogatorios, imperativos y declarativos. Los enunciados declarativos son aquellos sobre los que podemos afirmar su verdad o falsedad o, más generalmente, aquellos enunciados a los que se pueden asignar un valor de verdad (posiblemente, distinto de verdadero o falso). Nosotros estamos interesados en estos últimos y dejaremos de lado los otros tipos de enunciados; de ahora en adelante, cuando hablemos de “enunciado” nos estaremos refiriendo siempre a los enunciados

declarativos. Podemos distinguir los siguientes tipos de enunciados: 

Enunciados de acción: sujeto no determinado. Ejemplos: “es verano”; “hace calor”.



Enunciados de atrib ución de propiedades a sujetos determinados. Ejemplos: “Luis es alto”, “el verano es caluroso”.



Enunciados de relación entre sujetos. Ejemplos: “Luis es hermano de Juan” (relación binaria); “los pirineos están entre España y Francia” (relación ternaria).

Una forma tradicional de presentar los argumentos es como se muestra a continuación. Todos los hombres son mortales; Todos los mexicanos son hombres; ∆ Todos los mexicanos son mortales

Donde el símbolo ∆ suele leerse “por consiguiente”, “por lo tanto” o “así pues” y separa las premisas (los dos primeros enunciados del argumento anterior) de la conclusión. A nadie le resultará difícil ver que la conclusión del argumento anterior se sigue de sus premisas. En otros casos se requiere de cierta reflexión, como en: En una despensa hay exactamente 18 botes de garbanzos; Cada bote tiene al menos 150 garbanzos; Ningún bote contiene más de 150 garbanzos; ∆ Hay en la despensa al menos 3 botes que contienen el mismo número de garbanzos Para ver que la conclusión de este argumento se sigue de sus premisas, debemos razonar del siguiente modo: la diferencia entre el número máximo y mínimo de garbanzos que puede Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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contener un bote es de 5 garbanzos; esto nos da la posibilidad de que existan hasta un máximo de 6 botes con un número diferente de garbanzos, es decir, un primer bote con 150, un segundo bote con 151 garbanzos, etc. Hasta un sexto bote con 155. Pero hay 18 botes en la despensa, que divididos entre 6 botes con diferente número de garbanzos hacen que al menos 3 botes tengan el mismo número de garbanzos. Finalmente, para algunos argumentos, la cuestión de saber si la conclusión se sigue de sus premisas puede ser muy difícil. Por ejemplo, nadie hasta ahora ha sido capaz de decidir si el argumento de una sola premisa El número entero n es par y mayor que cuatro; ∆ El número entero n es la suma de dos primos Es correcto. Adviértase que en el último de los ejemplos, la dificultad no surge de la vaguedad que pueda existir en la premisa o en la conclusión. El aserto “todo número entero que sea mayor que cuatro es la suma de dos primos”, no parece difícil de entender; nuestro problema está en averiguar si es verdadero. Sin duda que encontramos argumentos cuya corrección no puede asegurarse por causa de vaguedad de los enunciados que lo componen. Clarificar el significado de un argumento es muy útil y la lógica puede prestar considerable ayuda, pero vale la pena subrayar que la cuestión de saber si un argumento es correcto no queda inmediatamente resuelta por el mero hecho de que se tenga una idea precisa de lo que significan las premisas y la conclusión. Entonces, ¿qué es lo que caracteriza a un argumento correcto?, ¿en qué consiste la relación de consecuencia lógica? Intentaremos contestar a estas preguntas en el próximo apartado.

Corrección, verdad y analítico La noción de corrección de un argumento se formula comúnmente en términos de verdad y de posibilidad: Un argumento es correcto si y solamente si no es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.

Si encontrásemos una circunstancia concebible que hiciese verdaderas las premisas y la conclusión falsa, podríamos decir que el argumento es incorrecto. Esta última tarea, en cierto sentido, no es otra que la tarea de encontrar un contraejemplo. Establecer la corrección de un argumento por esta vía, usando los conceptos de verdad y posibilidad, es una tarea ardua e imposible de automatizar: observemos que tendríamos que estudiar todas las circunstancias concebibles para probar la corrección de un argumento o tener la suerte de Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

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encontrar una situación que nos permitiese afirmar lo contrario. Por esta razón, estaremos interesados en investigar métodos (sintácticos) que permitan inferir la corrección de unos argumentos basándonos en la forma de los enunciados que lo componen. En un argumento correcto diremos que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. Del análisis de la definición de argumento correcto más arriba se desprende que: Un enunciado es consecuencia lógica de un conjunto de premisas si y solamente si, sean cuales sean las circunstancias concebibles, el enunciado es verdadero siempre que las premisas sean verdaderas.

Observe que esta definición de consecuencia lógica (y equivalentemente la de argumento correcto) lo único que garantiza es que si las premisas son verdaderas la conclusión también será verdadera. Puede haber argumentos correctos con premisas falsas y conclusión verdadera o con premisas falsas y conclusión falsa. La única combinación de valores de verdad que no puede darse en un argumento correcto es que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Ejemplo 1 Todos los argumentos que aparecen en este ejemplo (y aquellos que responden al

mismo patrón) son correctos pero tiene una o las dos premisas falsas y la conclusión también puede ser falsa. 

Argumento correcto con las premisas y la conclusión falsas. Todos los ángeles son mortales; Todos los demonios son ángeles; ∆ Todos los demonios son mortales



Argumento correcto con las premisas falsas y la conclusión verdadera. Todos los minerales son seres vivos; Todos los animales son minerales; ∆ Todos los animales son seres vivos

Consiguientemente, a la lógica no le interesa esencialmente si tales o cuales enunciados son verdaderos o falsos, sino el descubrimiento de las leyes (reglas de inferencia) que permiten obtener una conclusión (verdadera) a partir de unas premisas (verdaderas) y así construir un argumento correcto.



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Íntimamente conectado con el concepto de argumento correcto está el de enunciado analítico. Un enunciado es analítico si y solamente si no puede ser falso. O, lo que viene a ser lo mismo, si y solamente si, en cualquier circunstancia concebible es verdadero. El enunciado Sócrates murió en el 399 AC. o Sócrates no murió en el 399 AC. Es analítico, porque intuitivamente podemos ver que es verdadero independientemente de los hechos que se relaten acerca de Sócrates o de cualquier otra cosa. En cambio, el enunciado: Sócrates murió en el 399 AC. Aunque verdadero, no es analítico. Hay circunstancias fácilmente describibles en las que sería falso. Podemos pensar en un mundo posible en el que Sócrates no hubiese existido. La característica de análisis en términos de posibilidad habitualmente se atribuye a Leibniz, aunque realmente no tenga su origen en él sino en los filósofos de la escuela de Megara como Diodoro Cronos (m. 307 AC.). Para Leibniz el mundo actual es uno de la serie infinita de mundos posibles que podrían haber existido. La distinción entre mundo actual y posible conduce a una distinción similar entre los enunciados. Decir que un enunciado es verdadero, es decir, que es verdadero para el mundo actual (o uno de los mundos posibles). Algunos enunciados, sin embargo, son verdaderos para todos los mundos posibles, tales son los denominados “enunciados analíticos” (“verdades de razón”, “verdades necesarias”, o “verdades lógicas”). Los enunciados que solo son verdaderos para el mundo actual (o algunos de los posibles) son denominados “enunciados sintéticos” (“verdades de hecho”, o “verdades contingentes”).

Puede considerarse que todo enunciado analítico lo es en virtud de su forma. Consideremos de nuevo el enunciado analítico Sócrates murió en el 399 AC. o Sócrates no murió en el 399 AC. Este enunciado está compuesto por otros dos: “Sócrates murió en el 399 AC.” y la negación

del anterior. Ambos están unidos por la partícula “o”, que los conecta. Este enunciado continua siendo verdadero, y así mismo analítico, cuando su componente enunciativo “Sócrates murió en el 399 AC”. Se reemplaza por cualquier enunciado.


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De este modo los enunciados: Juan murió en el 399 AC o Juan no murió en el 399 AC. La nieve es blanca o la nieve no es blanca. Son todos analíticos, como también lo es cualquier enunciado de forma: “ A o no A”, donde A

representa cualquier enunciado. Más adelante estableceremos la equivalencia lógica entre enunciados de la forma “no A o C ” y un tipo especial de enunciados llamados “condicionales”. Un enunciado condicional es un enunciado de la forma:

Si A entonces C Donde los símbolos A, denominado el antecedente, y C, denominado el consecuente, representan enunciados cualesquiera. Por equivalencia lógica queremos decir que el enunciado “no A o C” será verdadero (o falso) siempre que el enunciado “Si A entonces C”

sea verdadero (o falso), y viceversa. Debido a esta equivalencia los enunciados de la forma: Si A entonces A; son analíticos, ya que es e quivalente al enunciado siempre verdadero “A o no A”. También son analítico en virtud de su forma enunciados como: “Si A y B entonces A”; “Si A o B, y no B entonces A”; “Si todo A es B, y todo B es C entonces todo A es C”; etc.

Existe una conexión entre analítico y corrección que puede establecerse en los siguientes términos: Dado un argumento con una serie finita de premisas

     Construimos el condicional correspondiente, tomando como antecedente el enunciado que resulta de unir todas las p remisas mediante la conjunción “y”, y como consecuente la conclusión. En tal caso la conexión entre corrección y analítico es la siguiente: Un argumento con una serie finita de premisas es correcto si y solamente si el condicional correspondiente es analítico. Es decir, si y sólo si el enunciado Si A1 y A2 y… y An entonces C es analítico.



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Ejemplo 2 El siguiente argumento es correcto ya que el enunciado “Si A o B, y no B entonces

A” es analítico.

A o B; No B; ∆A Más adelante estableceremos métodos más precisos y prácticos para decidir cuándo un enunciado es o no analítico (al menos en el subconjunto de la lógica que llamamos “lógica de preposiciones”).

De lo dicho hasta el momento en los últimos párrafos se desprende otra de las características importantes de la lógica: A la lógica sólo le importa la forma. La lógica se ocupa de las formas o esquemas válidos de razonamiento.

Presentación de los sistemas lógicos Los diferentes sistemas lógicos elementales tienen en común, en su presentación, una etapa previa de formalización simbólica que suele hacerse a dos niveles: 

Lógica proposicional. Se ocupa de enunciados declarativos simples o proposiciones que se contemplan como un todos indivisible y que pueden ser combinados mediante partículas lógicas denominad as conectores (ejemplos: “no”, “y”, “o”, “si … entonces..”, etc.). La lógica de proposiciones también se denomina “lógica de enunciados”, o “lógica de conectores”.



Lógica de predicados. En ella las proposiciones ya no son elementos indivisibles. Se realiza un análisis más detallado que toma como base los componentes de una proposición: términos, fórmulas atómicas, cuantificadores y conectores. La lógica de predicados

también

se

denomina

“lógica

de

primer

orden”,

o

“lógica

cuantificacional”.

Para fijar ideas es interesante que estudiemos un primer ejemplo de formalización que nos permitirá intuir las diferencias entre estos dos niveles de presentación simbólica.


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Ejemplo 3 Dado el siguiente argumento:

Si Juan es español entonces Juan es europeo; Juan es español; ∆ Juan es europeo En la lógica de proposiciones, a la hora de expresar esta argumentación en forma simbólica sólo se identifican como componentes últimos e indivisibles los enunciados elementales y las llamadas conectivas (las partículas que sirven de nexo de unión entre los enunciados elementales). En nuestra argumentación distinguimos dos enunciados, “Juan es español” y “Juan es europeo”, y una conectiva, “Si … entonces …”, que, como ya hemos mencionado, suele denominarse “condicional”. A cada uno de estos componentes últimos se les puede

asignar un símbolo. Por ejemplo, al enunciado “Juan es español” la letra “A” (también decimos que “A” denota al enunciado “Juan es español”) y al enunciado “Juan es europeo” la

“. De esta forma, podemos

letra “B”. Es usual denotar el condicional mediante el símbolo “

representar simbólicamente el anterior argumento como:

  ; ;  Sin embargo, la lógica de predicados realiza un análisis más detallado de la estructura de los enunciados. En la lógica de predicados se distingue entre sujeto, las palabras “español” y “europeo”. Así, si denotamos “Juan” mediante la letra “a”, “español” mediante la letra “S” y “europeo” mediante la letra “E”, nuestra argumentación quedaría expresada en forma

simbólica como:

; ;   En el caso que nos ocupa, emplear la lógica de predicados no nos aporta ninguna ventaja. Ahora bien, cuando la argumentación incluye cuantificación, el empleo de la lógica de predicados es imprescindible.



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Como hemos dicho, la lógica estudia las relaciones de consecuencia lógica entre la conclusión y un conjunto de premisas de un argumento. Dentro de cada uno de los niveles de presentación del lenguaje que hemos introducido anteriormente, se pueden considerar dos perspectivas o formales de abordar el problema de establecer las relaciones de consecuencia lógica: 

Sintáctica. Consiste en una definición (posiblemente axiomática) de una serie de estructuras deductivas correctas y de reglas para obtener nuevas estructuras deductivas correctas a partir de aquéllas. La idea es establecer la relación de consecuencia lógica entre la conclusión y las premisas empleando un procedimiento de mera manipulación simbólica, al igual que sucede en aritmética, donde partimos de una expresión y la vamos transformando en sucesivos pasos hasta alcanzar un valor. Por ejemplo, podemos ver el problema de calcular la expresión (2+3)*(5-2) como la aplicación de una sucesión de reglas elementales:

                   que nos llevan al valor final 15. De igual forma queremos ser capaces de pasar de las premisas a la conclusión empleando “reglas de cálculo deductivo”. Dentro de esta

orientación se encuadran los métodos de deducción desarrollados por la teoría de la demostración: los métodos axiomáticos y los de deducción natural. 

Semántica. Consiste en definir de forma precisa reglas para asignar significado y evaluar los enunciados y expresiones sintácticas. La idea es establecer la relación de consecuencia lógica a partir de los significados de las premisas y la conclusión. Dentro de esta orientación se utilizan las teorías de modelos y las denotaciones.

De lo dicho hasta aquí, se desprende que la lógica puede dividirse en dos partes bien diferenciadas: 



La sintaxis. Que estudia los sistemas formales, es decir, los lenguajes formales, los cálculos deductivos y las propiedades asociadas a ellos. La semántica. Que estudia la asignación de significado a los formalismos.


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Al tratar tanto a la lógica de proposiciones como la lógica de predicados, seguiremos una progresión en la que estudiaremos, por orden: i. ii. iii.

La sintaxis de las expresiones lógicas; La semántica; y Los sistemas formales deductivos.

Ejemplo 4 Todo el mundo convendrá que el argumento:

Si Sócrates es un hombre entonces Sócrates es mortal; Sócrates es un hombre ∆ Sócrates es mortal Cuando simbolizamos un enunciado compuesto, de la manera que lo hemos hecho es el ejemplo 4, lo que queda es un armazón lógico o matriz que denominamos “forma enunciativa” y que puede ser común a varios enunciados. En lo que sigue, estudiaremos

formar enunciativas más bien que enunciados particulares, ya que esto facilita nuestro análisis de la veracidad de los argumentos e incluso los propios enunciados compuestos. Pero para realizar nuestra tarea de formalización, primero debemos fijar una serie de símbolos que emplearemos como vocabulario. Las letras minúsculas: p, q, r ,… serán variables de enunciados que designan enunciados simples arbitrarios no especificados. A las variables de enunciado algunos autores las denominan letras enunciativas, o también letras proposicionales. Para simbolizar enunciados compuestos introducimos símbolos para las conectivas. Las conectivas más comunes y los símbolos que emplearemos para denotarlas, se indican a continuación:

. La forma enunciativa “” permite simbolizar un enunciado, a partir de otro cualquiera p, del tipo: “no p”; “no es cierto que p”. Conjunción. La forma enunciativa “p Ʌ q”, simboliza enunciados del lenguaje natural de la forma “p y q”; “p pero q”, “p no obstante q”. Disyunción. La forma enunciativa “p  q”, simboliza enunciados de la forma “p o q”, “al menos p o q”. Condicional. La forma enunciativa “p  q”, simboliza enunciados de la forma “p entonces q”, “si p, q”, “p implica q”; “p sólo si q”. Bicondicional. La forma enunciativa “p  q” denota enunciados de la forma: “p

1. Negación 2. 3. 4. 5.

si y sólo si q”, “p necesario y suficiente para q”.

Es obvio que utilizando estas conectivas se pueden construir enunciados compuestos de cualquier longitud y complejidad a partir de enunciados más simples. También usando Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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variables de enunciado y símbolos de conectiva podremos construir formas enunciativas de cualquier longitud. Podemos precisar el concepto de forma enunciativa mediante la siguiente definición.

Definición. Formas enunciativas Una forma enunciativa es una expresión, en la que intervienen variables de enunciado y símbolos de conectivas, que pueden formarse utilizando las siguientes reglas:  

Toda letra enunciativa p, q, r ,… es una forma enunciativa. Si A y B son formas enunciativas bien construidas, también son formas enunciativas:

, , , , ,  

Sólo son formas enunciativas bien construidas las que cumplen las reglas anteriores.

Definición. Grado de una forma enunciativa El grado de una forma enunciativa es la aplicación del conjunto de las formas enunciativas al conjunto de los números naturales :



1. Grado(A) = 0, si A es una letra enunciativa. 2. Si A y B son formas enunciativas: a) b) c) d) e)

                             

Se hace un uso explícito de los paréntesis (que forman parte del lenguaje, en pie de igualdad con los otros símbolos) para impedir cualquier ambigüedad en la forma en la que una conectiva afecta a las letras proposicionales que la acompañan. El problema con los paréntesis es que en ocasiones, un número excesivo de ellos, puede entorpecer la escritura o lectura de las formas enunciativas. Para evitar la proliferación excesiva de paréntesis y clarificar la relación entre conectivas y letras proposicionales, cuando hay más de una conectiva, nos atendremos a las siguientes normas en la escritura de formas enunciativas:


18


1. Una conectiva afecta a las letras proposicionales inmediatas o a las formas enunciativas inmediatas a ella que están entre paréntesis. 2. Reglas de precedencia Se define la siguiente jerarquía entre conectivas: Nivel 1 2 2

conectiva

 ,  , 

La jerarquía de la tabla indica que las conectivas de nivel i ligan más que las de nivel i+1, también se dice que las primeras tienen precedencia sobre las últimas. Esto es, cuando dos conectivas de nivel i e i+1 aparecen próximas a una variable o a otra forma enunciativa, la conectiva de nivel i es la que actúa sobre dicha variable o forma enunciativa.

Traducción del lenguaje natural al lenguaje formal El proceso de traducción del lenguaje natural al lenguaje formal de la lógica es complejo y requiere de mucha práctica, ya que no existen reglas fijas. Dado que en los estados iniciales del diseño de un sistema informático (ya sea una aplicación de gestión de la información o un sistema experto) las informaciones sobre el sistema se presentan muchas veces en lenguaje natural no formalizado, el dominio de las técnicas de traducción es de vital importancia para el informático. Aunque no hay reglas precisas para resolver este problema, podemos seguir ciertas pautas sencillas: 1. Primero, identificar los enunciados simples y, después, las conectivas (utilizando el significado que henos atribuido a los conectores). 2. Finalmente, asignar una letra enunciativa a cada uno de los enunciados identificados y aplicar las normas de escritura abreviada de formas enunciativas. Ejemplo 5 Traducir al lenguaje formal de la lógica de proposiciones los siguientes enunciados: 

“Si llueve se terminaran los problemas de seguía y no hará falta más dinero” Análisis de los enunciados simples y asignación de letras enunciativas:


Lógica de Programación Llueve Se terminarán los problemas de sequia Hará falta más dinero

Formalización: 



19

p q r

“Sólo si distingues bien los diferentes acentos o te dice su lugar procedencia sabrás si

es español o portugués” Análisis de los enunciados simples y asignación de letras enunciativas:

Distingues bien los diferentes acentos Te dice su lugar de procedencia Sabrás si es español Sabrás si es portugués

Formalización: 

p q r s



“Un partido de fútbol no se gana a menos que se corra mucho y se tenga calidad” Análisis de los enunciados simples y asignación de letras enunciativas:

Un partido de futbol se gana Se corra mucho Se tenga calidad

Formalización:



p q r

Sistema Formal La palabra formal se usa para referirnos a esta situación en la que se emplean símbolos cuyo comportamiento y propiedades están completamente determinados por un conjunto dado de reglas. En un sistema formal los símbolos carecen de significado, y al manejarlos hemos de tener cuidado de no presuponer nada sobre sus propiedades, salvo lo que se indique en el sistema.

Definición Sistema Formal Para especificar un sistema formal S bien diseñado se requieren los siguientes componentes: 

Un vocabulario: Un conjunto (finito, para hacerlo más accesible) de letras y símbolos a utilizar en el conjunto S.



Reglas: que establezcan qué cadenas de signos son formulas bien formadas en S.



Un conjunto de las definiciones utilizadas.


20




Un conjunto de las fórmulas bien formadas de S que van a utilizarse como axiomas.



Un conjunto finito de reglas de inferencia y de reglas de construcción de una deducción en S.



Las condiciones necesarias y suficientes que debe reunir una deducción para dar como resultado un teorema de S.



En caso de que puedan utilizarse, como axiomas adicionales de S, teoremas de 1

cualquier rama de la matemática deberá especificarse .

El vocabulario de un sistema formal también recibe el nombre de alfabeto. Al resultado de escribir signos del alfabeto uno a continuación de otro, le llamaremos cadena de signos de ese formalismo. No estamos interesados en cualquier cadena de símbolos, sino, sólo en aquellas que constituyen formulas bien formadas. Los axiomas son fórmulas que se seleccionan como base del sistema formal. Un axioma es una fórmula tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración y se usa en las deducciones sin necesidad de justificación previa. Una deducción es una sucesión de fórmulas, construida mediante reglas precisas que se ajustan a las reglas de construcción de una deducción de un sistema S. Se pretende que una deducción sirva para justificar la corrección de un argumento. En la construcción de una deducción empleamos reglas de inferencia. Una regla de inferencia es un esquema de razonamiento que nos permite, a partir de fórmulas establecidas, extraer una fórmula nueva. Podemos entender una regla de inferencia como una operación por la cual de una o más fórmulas ya deducidas se pasa a una tercera. También se dice de una fórmula obtenida por la aplicación de una regla de inferencia, que ha sido obtenida por inferencia inmediata y que la fórmula derivada por inferencia inmediata es una consecuencia (lógica) inmediata.

Ejemplo de Sistema Formal axiomático L El ejemplo de sistema formal que vamos a definir a continuación es un sistema axiomático. Históricamente, los sistemas axiomáticos fueron introducidos por el matemático alemán G. 1

Mosterin asigna el nombre de “formalismo” al conjunto de signos y cadenas de signos que son parte de un sistema formal. Hace énfasis en que un formalismo carece de s ignificado: “un formalismo es una combinación de signos desprovistos de toda significación.”

La teoría de la demostración estudia los formalismos y sus propiedades con independencia de toda interpretación. La teoría de los modelos estudia las interpretaciones. Intuitivamente, por interpretación debemos entender una asignación de significado a las cadenas de símbolos de nuestro formalismo. Una valoración puede verse como un caso especial de interpretación en el contexto de la lógica de proposiciones. A un sistema formal también suele denominarse “cálculo” o, con más precisión, “cálculo deductivo”. Algunos autores usan la palabra “cálculo” para hacer referencia al formalismo: “Un cálculo es la estructura formal de un lenguaje, abstrayendo el

significado; se transforma en un lenguaje cuando se evalúan sus símbolos y sus construcciones (es decir, se les atribuye un significado, se les pone en relación con los objetos que designan)”.



21

Frege en 1879 y posteriormente fueron popularizados por el también matemático alemán D. Hilbert, por esta razón algunos autores los denominan sistemas de Hilbert. Muchas de las decisiones que toman cuando se caracteriza un sistema formal son en gran medida arbitrarias, en el que vamos a presentar se opta por la economía de medios: reduciendo el número de conectivas y de axiomas. Los sistemas de axiomas que conciernen únicamente a la negación y al condicional proceden de Frege, posteriormente, J. Lukasiewicz y A. Tarski dieron un sistema formal del mismo tipo pero más sencillo. El sistema axiomático que presentamos aquí está inspirado en Lukasiewicz, por lo que bien podríamos llamarle “Sistemas de Lukasiewicz”.

El sistema formal L del cálculo de enunciados está caracterizado por: 1. Vocabulario: el conjunto de símbolos infinito numerable

{} 2. Conjunto de fórmulas bien formadas: En lugar de definirla de forma extensiva, indicando cada una de las fórmulas que se consideran bien formadas, daremos una definición inductiva. a.   son fórmulas bien formadas b. son fórmulas bien formadas, entonces y son fórmulas bien formadas c. El conjunto de todas las fórmulas bien formadas es el generado empleando solamente las reglas anteriores (a y b)

      

{} {   }

3. Definiciones:

    es abreviatura de: ( )     es abreviatura de: (  )     es abreviatura de:      (  ) 4. Axiomas: Cualesquiera que sean las fórmulas bien formadas A, B y C, las siguientes son axiomas de L L1 L2

(    ) (    )  (        ) Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

22

Lógica de Programación L3

(  )    

5. Reglas de inferencia: en L hay solamente una regla de inferencia, la regla modus ponens, que afirma: de A y (A entonces B) se puede inferir como consecuencia inmediata B, siendo A y B fórmulas bien formadas cualesquiera de L.

Conectivas y tablas de verdad Uno de los objetivos de la lógica es establecer relaciones de consecuencia lógica entre los enunciados que componen un argumento. Hemos visto que este problema está relacionado con la actividad de determinar el valor de verdad de los enunciados.

Significado de las conectivas Tradicionalmente, la lógica se ha regido, desde Aristóteles, por el principio de bivalencia, según el cual “todo enunciado o es verdadero o es falso, pero no ambas cosas a la vez”.

Nosotros nos adherimos a ese principio. Así pues, una variable de enunciado podrá tomar uno de entre dos posibles valores de verdad: V (verdadero) o F (Falso). Como vamos a poner de manifiesto, la verdad o falsedad de un enunciado compuesto no depende de las relaciones de afinidad entre los enunciados elementales que lo componen ni de las relaciones de causalidad que puedan existir entre ellos, sino sólo de los valores de verdad de sus componentes. Así pues, estamos interesados en el modo en el que la verdad o falsedad de un enunciado compuesto (o forma enunciativa compuesta) depende de los valores de verdad de los enunciados simples (o variables de enunciado) que lo constituyen y de las conectivas que los unen. Por consiguiente, necesitamos definir con claridad el significado de cada una de las conectivas. Negación. La negación tiene el mismo significado que la partí cula “no” del lenguaje ordinario:

Si un enunciado A es verdadero, no A es falso; y si A es falso, no A es verdadero. Podemos describir la situación por medio de una tabla de verdad: p V F



F V



23

 ordinario: la conjunción    es verdadera, cuando tanto el enunciado A como el B son

Conjunción. La conjunción “ ” tiene el mismo significado que la partícula “y” del lenguaje

verdaderos y es falsa en el resto de los casos. La tabla de verdad es: P V V F F

q V F V F

 V F F F

En la tabla tenemos una fila para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad para p y q. La última columna indica los valores de verdad de la conjunción de p y q.



Disyunción. La disyunción “ ” tiene el mismo significado que la partícula “o” del lenguaje

  

ordinario en su sentido inclusivo: la disyunción solamente es falsa, cuando tanto el enunciado A como el B son falsos y es verdadera en el resto de los caos. La tabla de verdad es: P V V F F

q V F V F

 V V V F

Sin embargo, el disyuntor no refleja el segundo de los sentidos ordinarios de la partícula “o”. Cuando decimos “o blanco o negro” estamos indicando que debe darse una cosa o la otra, pero no ambas a la vez. Este es el sentido del llamado “o” exclusivo, que denotamos por

La tabla de verdad asociada a la disyunción exclusiva es: P V V F F

q V F V F

.

 F V V F

Podemos expresar la disyunción exclusiva en términos de la negación, la conjunción y la disyunción de la forma siguiente: que traduce el sentido literal de la



disyunción exclusiva, es decir, “p o q, pero no ambos”.


24


Condicional . En este caso, el sentido que se da habitualmente a la conjunción en español no

corresponde con el sentido que se adopta en lógica. El condicional tiene el siguiente significado: El condicional es verdadero, siempre que no se dé el caso de que el antecedente, A, sea verdadero y el consecuente B, sea falso y es falsa en el resto de los casos. La tabla de verdad es:

  

p V V F F

q V F V F

 V F V F

La definición que se acaba de dar del condicional choca con el uso ordinario de “si… entonces…”. El uso ordinario del condicional suele envolver la idea de que existe algún tipo

de relación interna entre el contenido del antecedente y el consecuente. En el uso ordinario del lenguaje natural el empleo del condicional revela una relación causa-efecto, como en el ejemplo, en la frase:

      Por eso, la siguiente combinación extravagante de enunciados que nada tiene que ver entre sí:

          Es un enunciado verdadero independientemente de la capacidad que los burros tengan para volar. Este problema puede aclararse si caemos en la cuenta de que el criterio seguido por la lógica de proposiciones se atiene estrictamente al valor del verdad de los enunciados y no tiene en cuenta el contenido sobre el que versan la verdad de los enunciados y no tiene en cuenta el contenido sobre el que versan éstos ni las posibles relaciones (causa, efecto u otras) que puedan establecerse entre esos contenidos. Por otra parte, obsérvese que en ocasiones se utilizan, con una intención retórica, enunciados como el siguiente:

    

Si



25

Del que nadie se extraña, a pesar de que los contenidos de cada uno de los enunciados simples no tienen relación alguna. La construcción “If -then” , utilizada en muchos lenguajes de programación también difiere del condicional empleado en lógi ca. La instrucción “If p then S”, donde p es un enunciado (la condición) y S es un conjunto de instrucciones, actúa de la siguiente forma cuando se ejecuta: Si p es verdadero entonces se ejecuta el conjunto de instrucciones S y después se sigue con la siguiente instrucción fuera del if, mientras que, si es p falso S no se ejecuta y se sigue directamente con la siguiente instrucción fuera del if. Así pues, el “if -then” es procedimental y no declarativo, ya que hace énfasis en la acción y no en el concepto semántico de verdad.

  

Bicondicional. El significado del Bicondicional es claro, es verdadero cuando A y B tengan el mismo valor de verdad (ambos verdaderos o ambos falsos). La tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

 V F F V

Nota: Obsérvese que la disyunción exclusiva “o p o q” también puede expresarse en términos de la negación y el Bicondicional, escribiendo :

 ), ya que esta forma enunciativa es verdadera en el caso, y solamente en el

caso, de que p y q sean una verdadero y la otra falsa

.

Álgebra de Boole y operadores binarios El álgebra de Boole estudia las propiedades de una estructura matemática compuesta por el conjunto y las operaciones que pueden realizarse con él: complementación (-), suma (+), y producto (*). Una variable que toma valores en el conjunto se denomina “variable

{}

{}

booleana” y puede representarse mediante bits. Las operaciones booleanas de

complementación, suma y producto, se corresponden, respectivamente, con las conectivas lógicas: , y .

 

El álgebra de Boole es el modelo teórico sobre el que se fundamenta el diseño de circuitos electrónicos. Las computadoras representan internamente la información mediante el uso de bits. Un bit (abreviatura de las palabras inglesas “binary digit”) tiene dos posibles valores, llamados “cero” y “uno”, que pueden emplearse, entre otras cosas (como codificar números en base binaria), para representar los valores de verdad “F (0)” y “V (1)”.


26


Los operadores booleanos se han materializado por las llamadas puertas lógicas, que son componentes básicos del micro-chip. Así pues, las operaciones lógicas pueden implementarse en una computadora y son la base de su funcionamiento. Cada puerta lógica implementa un determinado operador booleano y puede combinarse con otras para formar circuitos más complejos. Los circuitos cuya salida depende de sus entradas y no de sus estados procedentes (es decir, no tienen capacidades de memoria) se denominan circuitos combinacionales y se corresponden con funciones veritativas más complejas. En este contexto, las operaciones habitualmente suelen denominarse “NOT”, “OR” y “AND”,

respectivamente. Estos operadores también se utilizan en la realización de operaciones con bits. Las operaciones con bits pueden extenderse a cadenas de bits (operaciones bit-wise). Se definen las operaciones bitwise OR y bitwise AND de dos cadenas de igual longitud, como la cadena resultante de realizar las operaciones OR, respectivamente AND, bit a bit. Por ejemplo: 0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

1 1 1 1

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

0 1 1 0

bitwise OR bitwise AND

Nos interesa disponer de ciertas normas que faciliten la construcción de tablas de verdad. Para construir la tabla de verdad relativa a una forma enunciativa cualquiera, seguiremos los siguientes pasos: 1. Calculamos el número de filas de la tabla, a partir del número de variables enunciativas. Para n variables, el número de filas será de  . 2. Confección de columnas iniciales. Cuando se ha calculado el número de filas se encabezan con las variables enunciativas por orden alfabético. Estas serán las columnas iniciales, que se dedicaran a la distribución sistemática de las combinaciones de los valores de verdad de las variables enunciativas. 3. Confección de columnas intermedias. Una vez dispuestas las columnas iniciales, se continua por la derecha desglosando la forma enunciativa principal en formas enunciativas de grado 1, por orden de aparición, de grado 2, grado 3, etc. 4. Confección de la columna final. La última columna de la derecha quedará encabezada por la forma enunciativa principal, como resultado de las columnas precedentes.




Lógica de Programación Ejemplo 6 Sea la forma enunciativa

            .

27

Aplicando el

método que acabamos de comentar obtenemos la siguiente tabla de verdad: p

V V V V F F F F

q

r

V V F F V V F F

V F V F V F V F

                 F F F F V V V V

V V F F F F F F

V F V V V V V V

V F V V V F V V

V F V V V V V V

V V V V V V V V

Una forma alternativa de presentar las tablas de verdad, útil cuando manipulamos formas complicadas, es la siguiente: 1. Partiendo de la forma enunciativa considerada, tomamos cada símbolo que intervienen como una columna de la tabla y escribimos todas las atribuciones veritativas posibles debajo de las variables del enunciado. 2. Se insertan debajo de las conectivas los valores de verdad de las diversas partes. Se consideran primero las conectivas de las componentes más internas y después las conectivas de las más externas. 3. Se sigue así, hasta rellenar la columna correspondiente a la forma enunciativa completa. Ejemplo 7 Cuando valoramos la forma enunciativa A del ejemplo anterior con el segundo de

los métodos obtenemos la siguiente tabla de verdad:

            V V V V F F F F

V V F F F F F F

V V F F V V F F

V F V V V V V V

V F V F V F V F

V V V V V V V V

V V V V F F F F

V V F F V V F F

F F V V F F V V

V V F F V V F F

V F V V V V V V

V F V F V F V F


28


Tipos y lenguajes de programación Un lenguaje de programación puede verse como un sistema formal dotado de una sintaxis y una semántica. Desde el punto de vista sintáctico, los lenguajes de programación modernos se caracterizan por ser tipificados, es decir, todas las expresiones del lenguaje tienen asociadas un tipo. Todo el mundo admite que el empleo de tipos mejora el diseño de los programas y permite detectar errores de programación en tiempo de compilación (por ejemplo, la aplicación de una función sobre un número real cuando esa función se definió para un argumento de tipo entero). Por consiguiente, un lenguaje de programación moderno precisa del diseño de un sistema de tipos, constituido por: i. ii.

Las reglas gramaticales que caracterizan el lenguaje de las expresiones de tipo, y Un mecanismo que comprueba si las expresiones contenidas en las instrucciones del programa están bien tipificadas; la comprobación de tipos suele realizarse en el momento de la compilación del programa mediante el empleo de reglas de tipificación, que permiten inferir el tipo de una expresión a partir del tipo de sus constituyentes.

El lenguaje de las expresiones de tipo está compuesto por un conjunto de tipos elementales, también denominados básicos, y un conjunto de operaciones de construcción de tipos que sirven para construir nuevos tipos a partir de los elementales.

Fundamentos matemáticos Presentaremos las nociones matemáticas básicas que emplearemos. Introduciremos algunas notaciones básicas y resultados muy conocidos sobre conjuntos y relaciones de orden. Se espera que estos conceptos sean familiares al lector por lo que no se pretende dar una visión exhaustiva de los mismos. Más bien la intención es resumir brevemente las principales nociones, así como fijar una terminología.

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos que forman un conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Designaremos los conjuntos mediante letras mayúsculas: A, B, C, etc. Si es preciso, también utilizaremos subíndices: A1 , A2 , A3 , etc. Escribimos para indicar la pertenencia de un elemento e al conjunto A, y escribimos para indicar el hecho contrario. Conviene aceptar como conjunto a la colección vacía de objetos, que no contienen ningún elemento; a dicho conjunto se le denomina conjunto vacío, y se le denota mediante el símbolo . Es habitual describir los conjuntos listando sus





elementos entre llaves “{”, y “}”.





29

Ejemplo 8 El conjunto de las letras minúsculas del alfabeto se representa como:

{}.

Otra forma de expresar los conjuntos es asociándoles alguna propiedad característica mediante el operador de construcción de conjuntos “Ӏ”. Ejemplo 9 El conjunto de las letras minúsculas del alfabeto también puede representarse de

la siguiente forma:

{      } Sin necesidad de enumerar todos y cada uno de sus elementos. La expresión anterior tiene la siguiente lectura: “el conjunto de elementos x, tal que x es una letra minúscula del alfabeto”.

Desde esta perspectiva, el conjunto vacío está caracterizado por una propiedad P que no cumple ningún elemento. Por convención, cualquier objeto puede ocurrir como mucho una vez en un conjunto, de forma que un conjunto no contiene elementos duplicados. El orden en el que aparecen los objetos tampoco cuenta. Un conjunto de singular importancia es el de los números naturales, del que describiremos algunas propiedades más adelante. Por el momento introduciremos una serie de notaciones. Denotaremos el conjunto de los números naturales mediante el símbolo . El segmento inicial del conjunto de los números naturales positivos  se denota por  .  Cuando , entonces  . El conjunto de los números enteros se denota por . El conjunto de los números reales se denota por .

   {}

{}      Decimos que  es un subconjunto de un conjunto  o que  está incluido en  , y escribimos   , si todo elemento de  es un elemento de . Empleamos la notación    para indicar que S no está incluido en C. Decimos que un conjunto  es igual a otro , y escribimos   , si    y   ; esto es,  y  contienen los mismos elementos. Ejemplo 10 Dado el conjunto {} de valores booleanos. El conjunto de las partes de , , está constituido por: {{}{}{}}. Un medio para la construcción de conjuntos es el producto cartesiano de conjuntos. La idea de producto cartesiano descansa sobre el concepto de n-tupla (ordenada). Una n-tupla es una colección ordenada de elementos, que denotamos por    . Decimos que  es el primer componente,  es el segundo componente,…, y  es el n-ésimo componente



⟨   ⟩ 




30


⟨   ⟩ 

de n-tupla. En una n-tupla el orden sí importa, esto quiere decir que    . El producto cartesiano de los    si y sólo si   , para todo conjuntos    , que denotamos por    , es el conjunto de n-tuplas . Denotamos también por  el producto      cartesiano formado por las n-tuplas de elementos pertenecientes a un mismo conjunto .

⟨   ⟩              {⟨   ⟩        }



 Ejemplo 11 Dado el conjunto {} de valores booleanos. El producto cartesiano   está constituido por los pares: {⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩}. Métodos de demostración Proposiciones especiales, argumentos y leyes de inferencia No existe forma de enseñar a un estudiante como se resuelves los problemas en matemáticas, y la morfología matemática no se encuentra exenta de esto. A lo más, se puede dar una serie de técnicas básica como herramienta para que cada individuo decida la manera de utilizarlas en la consecución de alguna solución. En general, resulta provechoso presentar ejemplos de cómo se han resuelto algunos problemas tipo, para que el alumno adquiera cierta experiencia; sin embargo, será su capacidad e imaginación la parte decisiva para su formación dentro de estas áreas. La mayor parte del contenido de estos párrafos se basa en el planteamiento y la demostración de teoremas con base en la enunciación de ciertas proposiciones llamadas definiciones. A pesar de que estos términos han sido utilizados en toda clase de libros técnicos, ampliamente, consideramos importante detenernos un poco a hablar sobre cómo y cuándo se deben usar, así como de los métodos más comunes para demostración de teoremas. Existe un grupo de proposiciones especiales, las cuales se han denominado de forma específica por su función como sigue: Definición. Es una proposición que se asume como cierta sin cuestionamiento. En general, se

introducen definiciones conforme se requieren, para hacer operativa una parte de cierta teoría. Axioma. Es una proposición que se asume como cierta sin cuestionamiento. (Por ejemplo una

definición), y que además forma parte de un conjunto de proposiciones (axiomas también) a partir de las cuales es posible construir una teoría completa. Teorema. Es una proposición que cumple con el requisito de tener una(s) demostración(es) de ser

tautología. Lema. Es un teorema simple que sirve para comprobar que otro teorema sea una tautología. Un lema se demuestra como paso intermedio en la consecución de la demostración de un teorema. Cuando se efectúa la demostración de un lema, no nos interesa el lema en sí, sino la posterior demostración de un teorema principal. Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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Corolario. Es un teorema que surge como consecuencia directa de (y se encuentra íntimamente

ligado a) otro teorema. Conjetura. Es una proposición la cual todavía no cuenta con una demostración de ser tautología.

En la bibliografía se ha nombrado indistintamente a los teoremas y a las conjeturas con el sustantivo de “proposición”. Esta práctica es completamente errónea, pues a pesar de que todas las entidades lógicas mencionadas son proposiciones, el sustantivo debe reflejar la función o relevancia de una proposición dentro de una teoría. De aquí se concluye que existen tres grandes grupos de proposiciones en una teoría: las definiciones (con los axiomas como caso particular), que son proposiciones que no requieren demostración; los teoremas, que son proposiciones que requieren y tienen demostración; y las conjeturas, que son proposiciones que requieren, pero no cuentan, con una demostración. Demostración. La demostración de teoremas es el proceso mediante el cual se verifica que una proposición es una tautología. Una vez alcanzado este proceso, la proposición en cuestión recibe el nombre de teorema (o el de su clasificación específica). Una demostración recibe el nombre de prueba. Una herramienta poderosa para la demostración de teoremas es el uso de reglas (o leyes) de inferencia. Una regla de inferencia es un tipo especial de teorema (en general una proposición compuesta) en el sentido que debe demostrarse que es una tautología, pero se tiene expresado de una forma completamente genérica (una especie de metalenguaje) que no depende de la forma específica de las proposiciones involucradas. Además, una regla de inferencia sigue la estructura de un argumento, que consta de la conjunción de cierto número de hipótesis y de la formulación de una tesis, como se muestra a continuación: Hipótesis 1 Hipótesis 2 Hipótesis 3 Hipótesis n Tesis

∴

Una proposición de este estilo, para poder llamarse argumento, requiere ser una tautología. Estas reglas de inferencia sirven como bloques de construcción en la demostración de teoremas y en la generación de métodos de demostración. A continuación se dan ejemplos de las reglas de inferencia más usuales con sus nombres, y a partir de ellas se formularán algunos métodos de demostración.

Modus ponens

[    ]   Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

32


Modus Tollens Adición

[    ]       

Simplificación Silogismo hipotético Silogismo disyuntivo

     [      ]     [    ]  

Es importante hacer notar que en un argumento (o ley de inferencia) no es de importancia la veracidad de las proposiciones involucradas. Sin embargo, la conclusión será verdadera siempre que todas y cada una de las hipótesis lo sean. Estas reglas de inferencia (o argumentos) son bloques básicos para construir otros argumentos más elaborados tomándolos como pequeños teoremas que sirven para sustitución de proposiciones. De hecho. La demostración de un teorema se puede ver como la elaboración de un argumento y cualquier argumento genérico se puede considera una regla de inferencia. Cuando una proposición que tiene la forma de argumento no es una tautología, recibe el nombre de falacia (no es argumento) y no puede considerarse como regla de inferencia aun siendo genérico. Además de las formas básicas de demostración, debemos conocer algunas de las pruebas de demostración, las cuales se enunciarán a continuación:

Prueba por vacuidad En algunos casos, para demostrar que una implicación es verdadera, basta demostrar que la hipótesis siempre es falsa (recuérdese la tabla de verdad de la implicación).

Prueba trivial Si la tesis en una implicación es siempre verdadera, la implicación también lo será. Es importante resaltar que únicamente las demostraciones que toman esta forma pueden apelarse como triviales; en caso de usar la palabra trivial como demostración sin que se tenga este esquema, se incurre en un abuso de lenguaje. Es práctica común (pero incorrecta) decir que una demostración es trivial por ser muy simple.

Prueba directa Dentro de una demostración por el método directo, se suele incurrir a otros esquemas de demostración. Únicamente daremos una versión específica de prueba directa para las implicaciones como sigue: si a partir de la suposición de que la hipótesis de una implicación es cierta, y por media Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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de equivalencias, sustituciones, argumentaciones o reglas inferencia y usando proposiciones que se saben verdaderas tales como las definiciones se llega a tener como resultado a la tesis, se puede concluir que la implicación es correcta. Este proceso es válido intuitivamente pues indica que si la hipótesis es verdadera, nunca ocurrirá el caso de que la tesis sea falsa, lo cual resulta suficiente para afirmar la veracidad de la implicación.

Prueba indirecta No siempre es posible demostrar en forma directa una implicación. Sin embargo, siempre se puede recurrir al uso de la siguiente equivalencia:

     Y utilizar el método directo en la demostración de , quedando entonces el método como sigue:

           Prueba por contradicción En su forma genérica, un argumento de contradicción se basa en mostrar que el negado de una proposición nos lleva a algo siempre falso (es decir contradictorio a algo siempre verdadero), lo que obliga a que la proposición en cuestión sea verdadera. Esta forma se ve como sigue:

   Este argumento, sin embargo, se puede llevar a diferentes formas equivalentes como por ejemplo:

(  )   O el caso de uso más frecuente:

       Este último caso se apoya en el uso de una proposición auxiliar que es tautología, si la negación de lo que se desea demostrar implica negar tal tautología, se termina la demostración.

Reducción al absurdo Cuando la proposición por demostrar es una implicación, se obtiene un caso de contradicción interesante, a la cual se le ha llamado reducción al absurdo. Existe una enorme confusión dentro de la comunidad matemática al respecto de este hecho. El método de reducción al absurdo se indica como sigue: hallar una proposición x tal que:

[  ]  [    ]     Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

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Es equivalente:

(̅    )     El método de inducción Antes de enunciar el método de mostración más conocido como inducción, se mencionará un principio de gran relevancia, que será de enorme utilidad para demostrar la validez del proceso inductivo como método de demostración. Axioma. Principio del buen orden Todo conjunto no vacío de enteros no negativos tiene un elemento mínimo.

El argumento en el cual se basa el método inductivo de demostración es el siguiente:

[  [  ]]     [] En este argumento  puede sustituirse por  , o por cualquier otro conjunto infinito que se pueda numerar. Si se reemplaza  por un subconjunto finito   , la validez del argumento de inducción se puede verificar con facilidad.

Sistemas numéricos Los sistemas numéricos tienen algunas propiedades en común, contienen un conjunto de reglas, sintaxis y estructura, por lo que se les consideran sistemas formales, no son exclusivos, todos y cada uno de nosotros podemos crear (inventar, hacer) nuestros propios sistemas siempre y cuando se conozcan las estructuras, la sintaxis y hagamos las reglas (que cumplan con las condiciones necesarias), todo depende de la imaginación con la que contemos y el nivel de abstracción. Es por tal motivo que los programas de cómputo, dependen del creador, pues expresan su imaginación para resolver un problema en concreto. Algunas de las propiedades son: nulidad, cerradura, conmutabilidad, asociativa, entre otras. Los sistemas conocidos, son sistemas formales de posición, porque importa la posición en la que se encuentre el valor a representar. Se utilizan las reglas de notación científica, la suma, la multiplicación, los paréntesis, la potenciación, igualdad, la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa.

         Donde:  representa el valor  en la posición . Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto, 2011


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Teorema Fundamental de la numeración Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

: Número válido en el sistema de numeración. : Base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema. ;Un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración. : Número de dígitos de la parte entera. : Coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria. : Número de dígitos de la parte decimal. La fórmula general para construir un número N , con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número. Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas. Ejercicio en el sistema decimal

{}

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez. En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.


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Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria. Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente -1 -2 -3 al dígito de las décimas (10 =0,1), centésimas (10 =0,01), milésimas (10 =0,001) y n-ésimas (10-n) . Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36

Así, podemos representar cualquier número en notación científica: Ejercicio 2. Represente los números del 0 al 11 del sistema decimal en notación científica.

Número en decimal

0 1 2 3 4 5

Notación científica

            

Número en decimal

6 7 8 9 10 11

Notación científica

                      

Nota. Cualquier número elevado a la potencia cero es 1. Cualquier número multiplicado por cero es cero.



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Sistema binario Base: 2 Conjunto:

  {}

Reglas básicas: Adición, sustracción, multiplicación, cociente, potenciación, radicación y logaritmos. Sintaxis: De acuerdo a las regla que se trate, se tiene una sintaxis particular, es decir, para la suma el operador es + y debe cumplir con la propiedad asociativa, distributiva. Semántica: de acuerdo a la posición que es encuentra el dígito toma el valor semántico. Estructuras:

Sistema octal Base: 8 Conjunto:

  {}

Reglas básicas: Adición, sustracción, multiplicación, cociente, potenciación, radicación y logaritmos.

Sistema decimal Base 10 Conjunto:

  {}

Reglas básicas: Adición, sustracción, multiplicación, cociente, potenciación, radicación y logaritmos.

Sistema hexadecimal Base 16 Conjunto:

  {}

Reglas básicas: Adición, sustracción, multiplicación, cociente, potenciación, radicación y logaritmos





Para convertir un número del sistema decimal a un sistema de base , se divide el número entre la base y se registra el cociente  y el residuo  resultante; se divide  entre la base y se anotan el nuevo cociente  y el nuevo residuo  . Este procedimiento se repite


















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

hasta obtener un cociente  igual a cero con residuo sistema con base queda formado así:    



   


. El número equivalente a  en el


II.

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Estrategias para la solución de problemas

Existen varias estrategias para resolver problemas. Muchas veces utilizamos una combinación de dos más estrategias para resolver un problema o que podemos solucionarlo de diferentes formas. Puedes enriquecer tus estrategias que se te presentarán con alguna de tu creación (imaginación). Cada vez que se presente un ejemplo debes preguntarte: ¿Hay otra manera de hacerlo?, si tu respuesta es afirmativa, procede de la forma que has pensado. A continuación se describen algunas de estas estrategias.     

Describir un patrón Tanteo o error Elaboración de una tabla De atrás hacia adelante Comprobar la respuesta del problema

Describir un patrón Esta estrategia te ayuda a describir algo que ocurre repetidas ocasiones. A veces, un patrón en un problema presenta un comportamiento en el cual la misma cantidad se ha sumado, restado, multiplicado o dividido. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamiento. En los problemas (sean numéricos o no) es posible descubrir un comportamiento que permite inducir lo que viene después. Esto significa que se ha encontrado el patrón y con éste se puede llegar a la solución del problema. Ejemplo 12 Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen:

a) b) c) d)

1,3,5,7,... 1,-2,3,-4,… 1,1,2,3,5,8,13,… 3,12,48,192,…

Ejemplo 13 Un inversionista observa que, en un periodo de cuatro meses, el valor promedio

mensual de las acciones de una compañía aumenta de la manera siguiente: 34.5, 37,39.5 y 42. De continuar así, ¿a cuánto podrían ascender el octavo mes?


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Solución: Paso 1. Leer el problema hasta comprenderlo.

Paso 2. Desarrollo un plan de acción.

Paso 3. Llevar a cabo un plan.

Paso 4. Comprobar

Leer el problema hasta comprenderlo. Se desea el valor de las acciones en el octavo mes, dados que los valores promedios mensuales en los primeros cuatro fueron 34.5, 37, 39.5 y 42.

Desarrollo un plan de acción. Se aplicará la estrategia de buscar un patrón. Primero, se determina la diferencia entre los valores consecutivos; de ser una cantidad constante, se utiliza para calcular los valores promedios de los meses: quinto, sexto, séptimo y octavo.

Llevar a cabo un plan. La diferencia entre cada valor consecutivo durante los primeros cuatro meses fue el valor constante 2.5. Por tanto, el valor promedio de los meses quinto, sexto, séptimo, y octavo será: 44.5, 47, 49.5, 52, respectivamente.

Comprobar. La diferencia entre cada valor consecutivo durante los primeros cuatro meses fue de 2.5. Por tanto, es razonable esperar que de continuar así (este patrón), el valor promedio de los meses quinto, sexto, séptimo y octavo será: 44.5, 47, 49.5, 52, respectivamente.

Solución. El valor promedio esperado de la acción en el octavo mes podría ascender a $52.



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Tanteo y error Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Mediante esta estrategia algunas personas dan con el resultado después de varios intentos. Otras lo consiguen a la primera. Es conveniente acompañar esta estrategia con otras que puedan ayudar. Ejemplo 14 Para practicar las habilidades de sumar y restar números cardinales, Cecilia,

maestra de cuarto grado, presenta el siguiente problema de asignación a sus grupos de estudiantes: Escribe símbolos de suma y resta entre número compuestos de los dígitos:

 De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Solución: Paso 1. Leer el problema hasta comprenderlo.



Leer el problema hasta comprenderlo. Se establece que los números son compuestos, sólo hay que usar los símbolos de suma o resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen.

Desarrollo un plan de acción. El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Se puede usar calculadora o lápiz y papel. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300.

Llevar a cabo un plan. A partir de 359, se pueden agrupar los números en esta forma: 359+10-53=316; entonces esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta: 35+9+105-53=146; este ejercicio tampoco resulta 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105: 359105+3=257; ¡es el arreglo correcto! Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011

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Paso 4. Comprobar

Comprobar. Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.

Solución. Las condiciones del problema, se cumplen y el resultado está por demás.

Mediante la estrategia de tanteo y error algunas personas dan con el resultado después de varios intentos. Otras lo consiguen a la primera. En el caso anterior, se hicieron tres intentos antes de dar con la solución. Así pues, es conveniente acompañar esta estrategia con otras que puedan ayudar.



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Elaboración de una tabla Con esta estrategia se puede llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Es importante señalar que en ciertos problemas la información que escribes en la tabla no es numérica. Una tabla es un arreglo rectangular de información acomodada en filas y columnas. Te ayuda a organizar lo que se conoce y simplifica el trabajo. Particularmente, permite observar los detalles e identificar patrones con más facilidad. Por esto, es una estrategia que se usa con mucha frecuencia en la resolución de problemas. Ejemplo 15 En la clase de matemáticas de la profesora Duran se estudian los número pares e

impares y las reglas de divisibilidad. La profesora pide a sus alumnos que planteen un problema de asignación que integre algunos de estos conceptos. José, uno de los mejores estudiantes, trae este problema y la maestra lo selecciona para discutirlo con el grupo: El número misterioso tiene cuatro dígitos, está entre 4180 y 4190. Por lo menos dos de sus dígitos son impares y todos son diferentes. Si la cifra es divisible entre 9, ¿Cuál es? Solución: Paso 1. Leer el problema hasta comprenderlo.


Leer el problema hasta comprenderlo. Se busca un número que tenga cuatro dígitos que cumpla las condiciones siguientes: 1. 2. 3. 4.

Estar entre 4180 y 4190 Por lo menos dos dígitos son impares Todos los dígitos son diferentes Es divisible entre 9

Desarrollo un plan de acción. Se prepara una tabla para todos los números de 4181 al 4189 hasta hallar el que satisfaga las condiciones. La tabla estará compuesta por las columnas siguientes: una con los números de 4181 al 4189, otra con la clave de dos dígitos impares para escribir si cumple esta condición, una condición, una con la condición de todos los dígitos diferentes y una que exprese la divisibilidad entre 9.


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Paso 4. Comprobar

Llevar a cabo un plan. Número

Dos dígitos impares

Dígitos diferentes

Divisibilidad entre 9

4181 4182 4183 4184 4185 4186 4187 4188 4189

Si No Si No Si No Si No Si

No Si Si No Si Si Si No Si

No No No No Si No No No No

Comprobar. Observa que el número que cumple todos los requisitos del problema es 4185; es decir, aparece un sí en todas las claves aplicadas a esta cifra; tiene dos dígitos impares, todos los dígitos son diferentes y al dividir 4185 entre 9 se tiene 465, que es un número entero.



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De atrás hacia adelante Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar con la conclusión del problema y trabajar de atrás hacia adelante. Hasta ahora los problemas tienen solución. ¿Será siempre así? Por experiencia sabrás que en la vida existen problemas que no tienen solución o que no está a nuestro alcance; por ejemplo el hecho de saber que hay más allá de la muerte. En otras ocasiones no validamos la información necesaria para resolver un problema. Esto no quiere decir que el problema no tenga solución sino que tienes que buscar la información. Ejemplo 16 El manatí que cuidaban en el acuario, atrajo a muchas personas. El primer día

acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo día. El segundo fueron 250 personas menos que el tercero. En éste acudieron 50 más que el cuarto. Al cuarto día acudieron 500 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día? Solución: Paso 1. Leer el problema hasta comprenderlo.



Leer el problema hasta comprenderlo. Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el acuario en busca del manato el primer día. Se sabe que ese día lo vieron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 personas menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 espectadores más que el cuarto día en que se presentaron 500. Desarrollo un plan de acción. Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se determina cuántos fueron el tercero, luego el segundo y por último el primero.

Llevar a cabo un plan. Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, sólo queda restar 80 a la cantidad del segundo. Esto da 220 personas.


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Paso 4. Comprobar

Comprobar. Este problema se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si se supone que el primer día fueron 220 personas, según las condiciones del problema, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el segundo; es decir 550. Sin embargo, el cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas.



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Comprobar la respuesta del problema Hemos visto que el último paso del método científico, es comprobar la solución obtenida y que en algunos casos basta repetir el proceso para resolver el problema y ver si la solución es la misma o estimar la respuesta y ver si la que obtuvimos está razonablemente cerca. Sin embargo, a veces se requiere todo un proceso de comprobación. Algunos ejemplos simples son determinar si la hora del reloj es la correcta, ver si 270 es el producto de 15 a 17. Otros casos menos simples serían los ejemplos de esta sección si tuvieras que revisar las soluciones. A pesar de que la práctica más común es estimar resolver el problema y comparar la solución obtenida con la dada, hay otras que sólo se utilizan cuando se han visto en situaciones similares. Estudia el ejemplo siguiente con detenimiento. Ejemplo 17 En la elección para el presidente de la clase graduada, que tenía cinco

candidatos, se registraron 320 votos en total. El margen de votos del primero sobre cada uno de los demás fue de 9, 13, 29 y 45 votos. Comprueba si la respuesta es que el primero obtuvo 85 votos; el segundo, 76; el tercero, 63; el cuarto 56, y el quinto, 40. Solución: Paso 1. Leer el problema hasta comprenderlo.

Leer el problema hasta comprenderlo. Se lista la información que da el problema y se tienen claro qué hay que comprobar. Información que provee el problema: a) b) c) d) e) f)



Hay cinco candidatos Se emitieron 320 votos El primero obtuvo 9 votos más que el segundo También tuvo más 13 que el tercero Asimismo, obtuvo 29 más que el cuarto Logró 45 más que el quinto

Desarrollo un plan de acción. En este problema convienen examinar si se satisfacen las claves aplicando operaciones de suma y resta.

Llevar a cabo un plan. 85+76+63+56+40=320 es el total de votos 85-76=9 85-63=22 85-56=29 Víctor Alfredo Gallardo Sánchez | agosto,2011 85-40=45

Teoria de La Computacion y Logica de Programacion 2011

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