Teoria de La Computacion . CAPITULO 1

Notas de clase para el curso Introducci´ on a la Teor´ eor´ıa de la Computaci´ Computa ci´ on

I Semestre 2018 Profesor: Rodrigo De Castro K.

Cap´ıtulo 1 Alfabetos, cadenas y lenguajes De manera mane ra muy amplia am plia podr po dr´´ıa decirse deci rse que la computaci´ comp utación on es la manipulaci´ manipulaci´ on on de entradas (inputs ) para producir salidas ( outputs ). ). Pero cualquier mecanismo de cómputo omputo solamente puede manipular un número umero finito de s´ımbolos ımbolos en un tiempo finito. Desde el punto punto de vista teórico orico esto impone dos restricciones básicas: asicas : el conjunto de s´ımbolos ımbolo s (alfabeto) (alfab eto) debe deb e ser finito y se deben considerar únicamente unicamente cadenas (secuencias de s´ımbolos) de longitud finita. Surgen as´ as´ı los ingredientes ingredientes esenciales de una teor´ teor´ıa abstracta de la computación: on: alfabetos y cadenas . Los conjuntos conjuntos de cadenas (ya sean finitos o infinitos) infinitos) se denominar´ denominarán an lenguajes .

1.1 1.1

Alfa Alfabet betos os y cade cadena nass

Alfabetos. Un alfabeto es un conjunto conjunto finito no vac´ ac´ıo cuyos cuyos elemento elementoss se llaman s´ımbol bolos . Es costumbre usar las letras griegas may´ usculas usculas Σ, Σ, Γ, ∆ para denotar alfabetos.

De ser necesario necesari o se utilizan utiliza n también en sub´ sub´ındices: ındices : Σ , Σ , Σ . . . 1









Ejemplos

2

3

Los siguiente siguientess son algunos de los alfabetos alfabetos m´ as as conocidos: conocidos:

uscu las,, 26 2 6 s´ımbolo ımb olos). s). • El alfabeto de los idiomas occidentales (minúsculas Σ = { a , b , c , d , . . . , w , x , y , z } . usc ulas, s, 26 2 6 s´ımbolo ımb olos). s). • El alfabeto de los idiomas occidentales (mayúscula Σ = { A , B , C , D , . . . , W , X , Y , Z} . usculas y mayúsculas uscu las,, 52 5 2 s´ımbolos ımbo los). ). • El alfabeto de los idiomas occidentales (minúsculas Σ = { a , A , b , B , c , C , d , D , . . . , w , W , x , X , y , Y , z , Z} .

1

Introducci´ on a la Teor´ eor´ıa de la Computaci´ on

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2

uscu las,, 24 2 4 s´ımbolo ımb olos). s). • El alfabeto de las letras griegas (minúsculas Σ = { α,β,γ,δ,,η,ι,κ,λ,µ,ν,o,ψ,φ,π,ρ,σ,τ,θ,υ,χ,ξ,ζ,ω}. alfab eto de los d´ıgitos (10 s´ımbolos). ımbolo s). • El alfabeto Σ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}.

• El alfabeto Σ = { 0, 1} se conoce como alfabeto binario.

Cadenas. Una cadena o palabra sobre un alfabeto Σ dado es cualquier sucesión (o secuen secuencia cia)) finita finita de elemen elementos tos de Σ. Seg´ un las convenciones estándares, un andares, una cadena se escribe escribe de izquie izquierda rda a derec derecha. ha. Admiti Admitimos mos la exist existenc encia ia de una única unica cadena que no tiene s´ımbolos, la cual se denomina cadena cad ena vac va c´ıa y se denota con λ. La cadena vac´ vac´ıa desempeña, na, en la teor´ teor´ıa de la computación, on, un papel similar al del conjunto vac´ vac´ıo ∅ en la teor´ıa ıa de conjuntos conj untos.. 



Sea Σ = { a, b} el alfabeto al fabeto que consta con sta de los dos d os s´ımbolos ımbolo s a y a y b b.. Las siguientes  son cadenas sobre Σ: aba ababaaa aaaab. aaaab. Obs´ Ob sérvese erve se que qu e aba  = aab y = baaa. ımbolos en una cadena cadena aab y que aaab  baaa. El orden de los s´ımbolos es significativo ya que las cadenas se definen como sucesiones , es decir, conjuntos secuencialmente ordenados .   cadenas sobre sobre el alfabet alfabetoo binario binario Σ = {0, 1} son secuencias finitas de Ejemplo Las cadenas  ceros y unos, llamadas secuencias binarias , tales como Ejemplo

001 1011 001000001. Para denotar cadenas concretas se utilizan letras como u,v,w,x,y,z , con sub´ sub´ındices si es necesario. Si tales letras hacen parte del alfabeto de referencia Σ, entonces se utilizan letras griegas. 





cadenas

Ejemplo

Sea Σ = {a,b,c,d}. Utilizamos u Utilizamos u,, v,w para v,w para denotar (dar un nombre) a ciertas concretas: = ddaba. u = ddaba. = cababadda. v = cababadda. = bbbcc.. w = bbbcc

cadena u ∈ Σ ∗ se denota | u| y se Longitud de una cadena. La longitud de una cadena u puede definir descriptivamente como el número umer o de s´ımbolo ımb oloss de u (contando (conta ndo los s´ımbolo ımb oloss repetidos). Es decir,

|u| =



0, si u si u = = λ, λ, si u = = a Σ. n, si u a a · · · an , donde a , a , . . . , an ∈ Σ. 1

2

1

2

Introducci´ on a la Teor´ıa de la Computaci´ on 







Ejemplo

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3

Sea Σ = {a,b,c,d}. Si u = bbcada =⇒ |u| = 6, Si v = ccddd =⇒ | v | = 5.

Definici´ on descriptiva de Σ . El conjunto de todas las cadenas sobre un alfa∗

beto Σ, incluyendo la cadena vac´ıa, se denota por Σ∗ . 







Ejemplo

Sea Σ = {a,b,c}, entonces

Σ∗ = {λ,a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc,aaa,aab,abc,baa,...}. En este caso, Σ ∗ está formado por la cadena vac´ıa λ, las 3 cadenas con un solo s´ımbolo (a,b,c), las 9 cadenas con dos s´ımbolos (aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc ), las 27 cadenas con tres s´ımbolos (aaa,aab,abc,baa,...,ccc), etc. Obsérvese que los s´ımbolos de un alfabeto Σ juegan un doble papel: como s´ımbolos del alfabeto de referencia y como cadenas de longitud uno.

1.2



Algunos autores denotan la cadena vac´ıa con la letra griega ε. Preferimos denotarla con λ porque ε tiende a confundirse con el s´ımbolo ∈ usado para la relación de pertenencia. También es frecuente usar Λ para denotar la cadena vac´ıa.



Si bien un alfabeto Σ es un conjunto finito, Σ∗ es siempre un conjunto infinito (enumerable). En el caso más simple, Σ contiene solo un s´ımbolo, Σ = {a}, y Σ∗ = {λ,a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,... }.



Hay que distinguir entre los siguientes cuatro objetos, que son todos diferentes entre s´ı: ∅, λ, {∅} y { λ}.



La mayor parte de la teor´ıa de la computación se hace con referencia a un alfabeto Σ fijo (pero arbitrario).

Definiciones y demostraciones recursivas

En la Teor´ıa de la Computación muchos conjuntos se definen recursivamente. A continuación presentamos este tipo de definiciones en un contexto muy amplio.

Definici´ on recursiva de un conjunto. Un conjunto S se define recursivamente por medio de tres cláusulas: (1) Cláusula básica. Se especifican los elementos más sencillos (o básicos) de S . (2) Cláusula recursiva. Se especifican la regla o reglas para la formación de nuevos elementos de S a partir de elementos ya conocidos de S .

Introducci´ on a la Teor´ıa de la Computaci´ on

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4

(3) Cláusula de exclusión. Establece que los elementos de S se pueden obtener únicamente utilizando las cláusulas (1) y (2). La cláusula de exclusión se suele admitir de manera impl´ıcita y es corriente omitirla en las definiciones recursivas concretas, algo que haremos en lo sucesivo. 



Dado un alfabeto Σ, el conjunto Σ∗ de todas las cadenas, definido descripti vamente en la secci´ on 1.1, se puede definir recursivamente. La idea es que a ∗ partir de una cadena u ∈ Σ se puede obtener una nueva cadena añadiendo a la derecha un s´ımbolo a perteneciente al alfabeto Σ; dicha cadena será denotada por ua. Todas las cadenas de Σ∗ se pueden obtener de esta manera a partir de la cadena vac´ıa λ; se entiende que λa = a, para cualquier s´ımbolo a ∈ Σ. La definición recursiva de Σ ∗ consta entonces de las siguientes dos cláusulas: Ejemplo

(1) λ ∈ Σ∗ . (2) Si u ∈ Σ ∗ entonces ua ∈ Σ ∗ para cada s´ımbolo a ∈ Σ, donde ua es la secuencia de s´ımbolos obtenida a partir de u a˜ nadiendo el s´ımbolo a a la derecha.

Definici´ on recursiva de conceptos sobre cadenas. La definición recursiva de Σ∗ permite definir recursivamente nociones o conceptos aplicables a todas las cadenas. Sea Σ un alfabeto dado; para definir un concepto C sobre todas las cadenas en Σ∗ se utilizan dos cláusulas: (1) Se define C (λ), es decir, se define el concepto C para la cadena λ. (2) Se define C (ua) en términos de C (u) para toda cadena u ∈ Σ∗ y todo s´ımbolo a ∈ Σ. 





descripci´ on

Aunque la noci´ on de longitud de una cadena es muy simple y bastar´ıa la presentada en la sección 1.1, también podemos dar una definici´ on ∗ recursiva de | u|, con u ∈ Σ : Ejemplo

(1) |λ| = 0. (2) |ua| = | u| + 1 para toda u ∈ Σ∗ y todo s´ımbolo a ∈ Σ.

Recursi´ on sobre cadenas. Dado un alfabeto Σ, es posible demostrar recursivamente que todas las cadenas en Σ∗ satisfacen una cierta propiedad P . A tal tipo de razonamiento recursivo se le conoce como recursi´ on sobre cadenas , y consta de dos pasos: (1) Se demuestra P (λ), es decir, se demuestra que la cadena vac´ıa λ satisface la propiedad P . (2) Se demuestra la implicación P (u) =⇒ P (ua), para toda u ∈ Σ ∗ y todo a ∈ Σ. Es decir, se demuestra que si u satisface la propiedad P , entonces la cadena ua también satisface la propiedad P , para todo a ∈ Σ.


Cap´ıtulo 1

5

La recursión sobre cadenas es necesaria cuando se quiere demostrar propiedades con toda rigurosidad.

1.3

Concatenaci´ on de cadenas

Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v ∈ Σ ∗, la concatenaci´ on de u y v se denota como u · v o simplemente uv y se define descriptivamente as´ı: (1) Si v = λ, entonces u · λ = λ · u = u. Es decir, la concatenación de cualquier cadena u con la cadena vac´ıa, a izquierda o a derecha, es igual a u. (2) Si u = a a · · · an , v = b b · · · bm, donde a , . . . , an , b , . . . , bm ∈ Σ, n, m ≥ 1, entonces u · v = a a · · · an b b · · · bm . 1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

Es decir, u · v es la cadena formada escribiendo los s´ımbolos de u y a continuación los s´ımbolos de v.

Definici´ on recursiva de la concatenaci´ on. Para definir recursivamente la concatenaci´ on u · v para todas las cadenas u, v ∈ Σ∗ se toma una cadena fija u (pero arbitraria) y se hace recursión sobre v, de la siguiente manera: (1) u · λ = λ · u = u. (2) u · (va) = (u · v)a, para toda v ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ.

Propiedad asociativa de la concatenaci´ on.

La concatenaci´ on de cadenas es una operaci´ on asociativa. Es decir, si u, v, w ∈ Σ , entonces ∗

(uv)w = u(vw). Demostraci´ on . Primero hay que considerar los casos en los que alguna (o algunas) de las

cadenas u, v o w sea la cadena vac´ıa λ. Por ejemplo, si v = λ tenemos (uv)w = (uλ)w = uw mientras que u(vw) = u(λw) = uw. Luego consideramos el caso en que u, v y w sean diferentes de λ. Entonces podemos escribir u = a · · · an , con ai ∈ Σ, n ≥ 1. v = b · · · bm , con b i ∈ Σ, m ≥ 1. w = c · · · cq , con ci ∈ Σ, q ≥ 1. 1

1

1

Entonces (uv)w = (a · · · an b · · · bm )w = a · · · an b · · · bm c · · · cq . u(vw) = u(b · · · bm c · · · cq ) = a · · · an b · · · bm c · · · cq . 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1


Cap´ıtulo 1

6

Esto demuestra la propiedad asociativa. La propiedad asociativa tambi´ en se puede demostrar por recursión sobre cadenas: se mantienen u y v fijas (pero arbitrarias) y se hace recursión sobre w. Para w = λ, se obtiene fácilmente que (uv)λ = uv = u(vλ). Para el paso recursivo, suponemos que (uv)w = u(vw) y demostraremos que (uv)(wa) = u[v(wa)], para todo a ∈ Σ. (uv)(wa) = [(uv)w]a, = [u(vw)]a, = u[(vw)a], = u[v(wa)],

1.4

(definición recursiva de la concatenación) (hipótesis recursiva) (definición recursiva de la concatenación) (definición recursiva de la concatenación).

Potencias de una cadena

Dada u ∈ Σ∗ y n ∈

N,

se define (descriptivamente) u n en la siguiente forma u0 = λ, un = uu · · · u, si n ≥ 1.

        n veces

Lo anterior se puede escribir como: n

u =

si n = 0, λ, uu · · · u, si n ≥ 1. n veces

Es decir, un es la concatenación de u consigo misma n veces, si n ≥ 1. Puesto que n es un n´ umero natural, un se puede definir inductivamente sobre n: u0 = λ, un+1 = u n · u, para todo n ≥ 0. Un caso particular importante se presenta cuando la cadena u consta de un solo s´ımbolo, por ejemplo, u = a, donde a ∈ Σ. Se tiene entonces a0 = λ, an = aa · · · a, si n ≥ 1.

   n veces





Sea Σ = {a,b,c,d}. Usando la propiedad asociativa y la potenciaci´ o n de cadenas de longitud 1, podemos escribir, por ejemplo:

Ejemplo



baaaddb = ba3 d2 b. dddbbcccccaa = d 3 b2 c5 a2 . ababbbc = (ab)2 b2 c = abab3 c.


1.5

Cap´ıtulo 1

7

Reflexi´ on de una cadena

La reflexi´ on (o inversa o reverso ) de una cadena u ∈ Σ ∗ se denota u R y se define descriptivamente as´ı: si u = λ, λ, uR = an · · · a a , si u = a a · · · an . De la definición se observa claramente que la reflexi´ on de la reflexión de una cadena es la misma cadena, es decir, (uR )R = u, para u ∈ Σ∗ .



2

1

1

2

Algunos autores escriben u−1 en lugar de uR para denotar la reflexión de una cadena u.











Ejercicios de la secci´ on 1.5  Dar 

1.6

una definición recursiva de u R .

Si u, v ∈ Σ∗ , demostrar que (uv)R = v R uR . Generalizar esta propiedad a la concatenación de n cadenas.

Subcadenas, prefijos y sufijos

Una cadena v es una subcadena o una subpalabra de u si existen cadenas x, y tales que u = xvy. Nótese que x o y pueden ser λ y, por lo tanto, la cadena vac´ıa es una subcadena de cualquier cadena y toda cadena es subcadena de s´ı misma. Un prefijo de u es una cadena v tal que u = vw para alguna cadena w ∈ Σ ∗ . Se dice que v es un prefijo propio de u si v  = u. Similarmente, un sufijo de u es una cadena v tal que u = wv para alguna cadena = u. w ∈ Σ ∗. Se dice que v es un sufijo propio de u si v  Obsérvese que λ es un prefijo y un sufijo de toda cadena u ya que uλ = λu = u. Por la misma razón, toda cadena u es prefijo y sufijo de s´ı misma. 







Ejemplo

Sean Σ = {a,b,c,d} y u = bcbaadb.

Prefijos de u :

Sufijos de u :

λ λ b b bc db bcb adb bcba aadb bcbaa baadb bcbaad cbaadb bcbaadb bcbaadb Algunas subcadenas de u: baad, aa, cba, db.


1.7

Cap´ıtulo 1

8

Lenguajes

Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ ∗ , es decir L ⊆ Σ ∗ . Casos extremos: L = ∅, L = Σ∗ ,

lenguaje vac´ıo. lenguaje de todas las cadenas sobre Σ.

Todo lenguaje L satisface ∅ ⊆ L ⊆ Σ∗ , y puede ser finito o infinito. Los lenguajes se denotan con letras mayúsculas A , B , C , . . . , L , M , N , . . .. 







Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de lenguajes sobre los alfabetos especificados.

• Σ = { a,b,c}. L = {a, aba, aca}. • Σ = { a,b,c}. L = {a,aa,aaa,... } = {an : n ≥ 1 }. • Σ = { a,b,c}. L = {aa,aba,ab2 a,ab3 a , . . .} = {abn a : n ≥ 0 }. • Σ = {a , b , c , . . . , x , y , z , A , B , C , . . . , X , Y , Z} . L = {u ∈ Σ∗ : u es una palabra listada en el diccionario espa˜ nol DRA}. L es un lenguaje finito. • Σ = { a,b,c}. L = { u ∈ Σ ∗ : u no contiene el s´ımbolo c}. Por ejemplo, abbaab ∈ L pero abbcaa ∈ / L. • Σ = { 0, 1}. L = conjunto de todas las secuencias binarias que contienen un número impar de unos. • Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El conjunto N de los números naturales se puede definir como un lenguaje sobre Σ, en la siguiente forma: N

= {u ∈ Σ∗ : u  = λ y (u = 0 o´ 0 no es un prefijo de u)}.

Como ejercicio, el estudiante puede definir el conjunto de los enteros Z

= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}

como un lenguaje sobre un alfabeto adecuado.

1.8

Operaciones entre lenguajes

Puesto que los lenguajes sobre Σ son subconjuntos de Σ ∗ , las operaciones usuales entre conjuntos son también operaciones válidas entre lenguajes. As´ı, si A y B son lenguajes sobre Σ (es decir A, B ⊆ Σ ∗ ), entonces los siguientes también son lenguajes sobre Σ: A ∪ B = { u : u ∈ A o u ∈ B } A ∩ B = { u : u ∈ A y u ∈ B } A − B = {u : u ∈ A y u ∈ / B } ∗ ∗ A = Σ − A = {u : u ∈ Σ y u ∈ / A }

Unión. Intersección. Diferencia. Complemento.


Cap´ıtulo 1

9

Otra operación u ´til es la diferencia simétrica, obtenida con la disyunción excluyente: A  B = {u : u ∈ A o u ∈ B, pero no ambas} = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A). Estas operaciones entre lenguajes se llaman operaciones conjuntistas o booleanas para distinguirlas de las operaciones ling¨ u´ısticas (concatenaci´ on, potencias, reflexión, clausura) que son extensiones a los lenguajes de las correspondientes operaciones entre cadenas.

1.9

Concatenaci´ on de lenguajes

on de dos lenguajes A y B sobre Σ, notada A · B o simplemente AB se La concatenaci´ define como AB = { uv : u ∈ A, v ∈ B }.

En general, AB  = BA. 







Ejemplo

Si Σ = {a,b,c}, A = {a,ab,ac}, B = { b, b2 }, entonces AB = {ab, ab2 , ab2 , ab3 ,acb,acb2 } = {ab,ab2 , ab3 ,acb,acb2 }. BA = {ba,bab,bac,b2 a, b2 ab,b2 ac}.

Nótese que AB tiene cinco cadenas en total ya que la cadena ab2 se obtiene de dos maneras distintas. 







Ejemplo

Si Σ = {a,b,c}, A = {ba,bc}, B = {bn : n ≥ 0 }, entonces AB = {babn : n ≥ 0 } ∪ {bcbn : n ≥ 0 }. BA = {bn ba : n ≥ 0 } ∪ {bn bc : n ≥ 0 } = {bn+1 a : n ≥ 0 } ∪ {bn+1 c : n ≥ 0 } = {bn a : n ≥ 1 } ∪ {bn c : n ≥ 1 }.

Propiedades de la concatenaci´ on de lenguajes. Sean A, B,C lenguajes sobre Σ , es decir A, B,C ⊆ Σ ∗ . Entonces

1. A · ∅ = ∅ · A =

∅.

2. A · {λ} = {λ} · A = A. 3. Propiedad Asociativa, A · (B · C ) = (A · B) · C. 4. Distributividad de la concatenación con respecto a la unión, A · (B ∪ C ) = A · B ∪ A · C. (B ∪ C ) · A = B · A ∪ C · A.


Cap´ıtulo 1

10

5. Propiedad distributiva generalizada. Si {Bi }i∈I es una familia cualquiera de lengua jes sobre Σ, entonces A · Bi = (A · Bi ),



i∈I



i∈I

 

Bi · A =

i∈I



(Bi · A).

i∈I

Demostraci´ on .

1. A · ∅ = {uv : u ∈ A, v ∈

∅} = ∅.

2. A · {λ} = {uv : u ∈ A, v ∈ {λ}} = {u : u ∈ A} = A. 3. Se sigue de la asociatividad de la concatenaci´ on de cadenas. 4. Caso particular de la propiedad general, demostrada a continuación. 5. Demostración de la igualdad A ·



i∈I

x ∈ A ·

La igualdad



Bi · A =

i∈I



(A · Bi ):

i∈I



x = u · v, con u ∈ A & v ∈ i∈I Bi un j ∈ I x = u · v, con u ∈ A & v ∈ B j , para alg´ un j ∈ I x ∈ A · B j , para alg´ x ∈ i∈I (A · Bi ).

i∈I Bi ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

 

Bi =





(Bi · A) se demuestra de forma similar.

i∈I



La propiedad asociativa permite escribir concatenaciones de tres o más lengua jes sin necesidad de usar paréntesis.



En general, no se cumple que A · (B ∩ C ) = A · B ∩ A · C . Es decir, la concatenación no es distributiva con respecto a la intersección. Contraejemplo: Sea Σ = {a}, A = { a, λ}, B = {λ}, C = {a}. Se tiene: A · (B ∩ C ) = {a, λ} · ∅ = ∅. Por otro lado, A · B ∩ A · C = { a, λ} · {λ} ∩ {a, λ} · {a} = {a, λ} ∩ {a2 , a} = { a}.









Ejercicios de la secci´ on 1.9  Dar

un ejemplo de un alfabeto Σ y dos lenguajes diferentes A, B sobre Σ tales que AB = BA.

 Una

de las dos contenencias siguientes es siempre verdadera y la otra es falsa. Demostrar o refutar, según sea el caso: (i) A · (B ∩ C ) ⊆ A · B ∩ A · C . (ii) A · B ∩ A · C ⊆ A · (B ∩ C ).


1.10

Cap´ıtulo 1

11

Potencias de un lenguaje

Dado un lenguaje A sobre Σ, (A ⊆ Σ ∗ ), y un n´ umero natural n ∈ siguiente forma

N,

se define An en la

A0 = { λ}, An = AA · · · A = {u · · · un : u i ∈ A, para todo i, 1 ≤ i ≤ n}, para n ≥ 1.

  

1

n veces

Las potencias de A Se pueden definir por inducción sobre n: A0 = {λ}, An+1 = A n · A, para todo n ≥ 0. Se tiene entonces que A1 = A y A2 es el conjunto de las concatenaciones dobles de cadenas de A: A2 = { uv : u, v ∈ A}. A3 está formado por las concatenaciones triples: A3 = {uvw : u, v,w ∈ A } En general, An es el conjunto de todas las concatenaciones de n cadenas de A, de todas las formas posibles: An = {u · · · un : 1

1.11

ui ∈ A, i = 1, . . . , n}.

La clausura de Kleene de un lenguaje

La clausura de Kleene o estrella de Kleene o simplemente la estrella de un lenguaje A, A ⊆ Σ∗ , es la unión de todas las potencias de A y se denota por A ∗ . (Descripción 1)

A∗ =



Ai = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An · · ·

i≥0

Según la definición de las potencias de una lenguaje, A∗ consta de todas las concatenaciones de cadenas de A consigo mismas, de todas las formas posibles. Tenemos as´ı una descripción expl´ıcita de A∗ : (Descripción 2)

A∗ = conjunto de todas las concatenaciones de cadenas de A, incluyendo λ = {u · · · un : ui ∈ A, n ≥ 0 }. 1

De manera similar se define la clausura positiva de un lenguaje A, A ⊆ Σ∗ , denotada por A+ . A+ = Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An · · ·



i≥1

A+ se puede describir expl´ıcitamente de la siguiente manera


A+

Cap´ıtulo 1

12

= conjunto de todas las concatenaciones de cadenas de A = {u · · · un : ui ∈ A, n ≥ 1 }. 1

También es posible dar una definición recursiva de A ∗ : (1) λ ∈ A ∗ . (2) Si u ∈ A ∗ y v ∈ A entonces u · v ∈ A∗ . En definitiva, A ∗ es todo lo que se puede obtener comenzando con λ y concatenando con cadenas de A. La definición recursiva de A + es similar, excepto que sus elementos básicos son las cadenas de A: (1) Si u ∈ A entonces u ∈ A+ . (2) Si u ∈ A+ y v ∈ A entonces u · v ∈ A+ . 







Ejemplo

Sea Σ = {a,b,c}.

{a}∗ = {λ,a,a2 , a3 , . . .}. {a}+ = { a, a2 , a3 , . . .}. {cb,ba}∗ = {λ, cb, ba, cbab, bacb, (cb)2 , (ba)2 , cbbacb, bacbba, babacb, . . .}. 

Seg´ un las definiciones dadas, Σ ∗ tiene dos significados: Σ∗ = conjunto de las cadenas sobre el alfabeto Σ. Σ∗ = conjunto de todas las concatenaciones de cadenas de Σ, considerando a Σ como el lenguaje de las cadenas de longitud 1. No hay conflicto de notaciones porque las dos definiciones anteriores de Σ∗ dan lugar al mismo conjunto.

Propiedades de

∗

y +. Sea A un lenguaje sobre Σ, es decir, A ⊆ Σ ∗.

1. A∗ = A+ ∪ {λ}. 2. A∗ = A+ si y solamente si λ ∈ A. 3. A+ = A ∗ · A = A · A∗ . 4. A∗ · A∗ = A ∗.

 

= A ∗ , para todo n ≥ 1.

 

= A ∗ .

5. A∗

n

6. A+ · A+ ⊆ A + . En general, A+ · A+  = A + 7. A∗

∗


     

8. A∗

+

= A∗ .

9. A+

∗

= A∗ .

10. A+

+

Cap´ıtulo 1

13

= A + .

Demostraci´ on .

Las propiedades 1 y 2 se siguen inmediatamente de las definiciones de A ∗ y A + . A · A∗ = A · (A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = A 1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · = A + .

3.

Similarmente se demuestra que A ∗ · A = A + . 4. Si x ∈ A ∗ · A∗, entonces x = u · v, con u ∈ A ∗, v ∈ A ∗ . De modo que, x = u · v, con u = u u · · · un , ui ∈ A, n ≥ 0 y v = v v · · · vm , vi ∈ A, m ≥ 0. De donde x = u · v = u · u · · · un · v · v · · · vm . 1

2

1

1

2

2

1

2

con ui ∈ A, vi ∈ A, n ≥ 0. Por lo tanto, x es una concatenación de n + m cadenas de A. As´ı que x ∈ A ∗ . Rec´ıprocamente, si x ∈ A ∗ , entonces x = x · λ ∈ A ∗ · A∗ . Hemos probado que x ∈ A ∗ · A∗ ⇐⇒ x ∈ A ∗ , lo cual establece la igualdad. 5. Se sigue de la propiedad 4. 6. La demostració n de A+ · A + ⊆ A+ es similar a la demostració n de A∗ · A ∗ ⊆ A∗ presentada en la propiedad 4, pero tomando m, n ≥ 1. Para exhibir un contraejemplo de A + · A+ = A + , consideramos Σ = { a, b} y A = { a}. Se tiene que A+ = A1 ∪ A2 ∪ · · · = { a} ∪ {aa} ∪ {aaa} ∪ · · · = {an : n ≥ 1 }. A+ · A+ = {a, a2 , a3 , . . . } · {a, a2 , a3 , . . . } = { a2 , a3 , a4 , . . . } = {an : n ≥ 2 }. Se observa que A+ · A+  = A + 7.

       

2

8.

   

3

A∗

A∗

∗

+

0

1

= A∗ ∪ A∗ ∪ A∗ ∪ · · · = {λ} ∪ A∗ ∪ A∗ ∪ A∗ ∪ · · · = A ∗ . 1



2

= A∗ ∪ (A∗ ∪ (A∗ = A∗ ∪ A∗ ∪ A∗ ∪ · · · = A∗ .



∪···


Cap´ıtulo 1

9.

       

10.

       

A+

A+

∗

+

0

1

14

2

= A+ ∪ A+ ∪ A+ ∪ · · · = {λ} ∪ A+ ∪ A+ A+ ∪ · · · = A∗ ∪ (conjuntos contenidos en A + ) = A∗ . 1

2

3

= A+ ∪ A+ ∪ A+ ∪ · · · , = A+ ∪ (conjuntos contenidos en A + ) = A+ .

Otras propiedades de

. Sean A, B lenguajes sobre Σ, es decir, A, B ⊆ Σ∗ .

∗

1. Si A ⊆ B entonces A∗ ⊆ B ∗. 2. (A ∪ B)∗ = (A∗ B ∗ )∗ = (B ∗ A∗ )∗ . Demostraci´ on .

1. Se sigue inmediatamente de las definiciones de A ∗ y B ∗ . 2. Demostraremos la igualdad (A ∪ B)∗ = (A∗B ∗ )∗ . La contenencia ⊆ se sigue de A ⊆ A∗ ,

B ⊆ B ∗ =⇒ A ⊆ A ∗ B ∗, B ⊆ A∗ B ∗ =⇒ A ∪ B ⊆ A ∗B ∗ =⇒ (A ∪ B)∗ ⊆ (A∗ B ∗ )∗ por la propiedad 1.

Ahora deduciremos la contenencia ⊇. Puesto que A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B , de la propiedad 1 se obtiene que A∗ ⊆ (A ∪ B)∗ y B ∗ ⊆ (A ∪ B)∗; se concluye que A∗ B ∗ ⊆ (A ∪ B)∗ (A ∪ B)∗ = (A ∪ B)∗ . Por la propiedad 1 se tiene entonces que



(A∗ B ∗ )∗ ⊆ (A ∪ B)∗

1.12



∗

= (A ∪ B)∗ .

Reflexi´ on o inverso de un lenguaje

Dado A un lenguaje sobre Σ, se define A R de la siguiente forma: AR = {uR : u ∈ A }. on , o el inverso de A, o el reverso de A. AR se denomina la reflexi´


Cap´ıtulo 1

15

Propiedades. Sean A y B lenguajes sobre Σ, es decir, A, B ⊆ Σ ∗. 1. (A · B)R = B R · AR . 2. (A ∪ B)R = A R ∪ B R . 3. (A ∩ B)R = A R ∩ B R .

 

4. AR

R

= A.

   

∗

5. (A∗ )R = AR . 6. (A+ )R = AR Demostraci´ on .

+

.

Demostraremos las propiedades 1 y 5; las dem´ as se dejan como ejercicio (opcional) para el estudiante. x ∈ (A · B)R ⇐⇒ x = u R , donde u ∈ A · B

1.

⇐⇒ x = u R , donde u = vw, v ∈ A, w ∈ B ⇐⇒ x = (vw)R , donde v ∈ A, w ∈ B ⇐⇒ x = w R v R , donde v ∈ A, w ∈ B ⇐⇒ x ∈ B R · AR .

x ∈ (A∗ )R ⇐⇒ x = u R , donde u ∈ A ∗

5.

⇐⇒ x = (u · u · · · un )R , donde los u i ∈ A, n ≥ 0 1

2

R R ⇐⇒ x = u R n · u · · · u , donde los ui ∈ A, n ≥ 0 2

1

⇐⇒ x ∈ (AR )∗. 







Ejercicios de la secci´ on 1.12  Demostrar

las propiedades 2, 3, 4 y 6 de la reflexión de cadenas.

 ¿Se

pueden generalizar las propiedades 2 y 3 anteriores para uniones e intersecciones arbitrarias, respectivamente?

1.13

Lenguajes regulares

Los lenguajes regulares sobre un alfabeto dado Σ son todos los lenguajes que se pueden formar a partir de los lenguajes básicos ∅, { λ}, { a}, a ∈ Σ, por medio de las operaciones de unión, concatenación y estrella de Kleene. A continuación presentamos la definición recursiva de la colección de todos los lenguajes regulares sobre un alfabeto dado Σ.


(1)

Cap´ıtulo 1

16

{λ} y {a}, para cada a ∈ Σ, son lenguajes regulares sobre Σ. Estos son los denominados lenguajes regulares básicos.

∅,

(2) Si A y B son lenguajes regulares sobre Σ, tambi´ en lo son A ∪ B (unión), A · B (concatenación), (estrella de Kleene). A∗ La unión, la concatenación y la estrella de Kleene se denominan operaciones regulares . 





podemos

Sea Σ = {a, b}. Los siguientes son lenguajes regulares sobre Σ porque los obtener a partir de los lenguajes básicos { λ}, { a} y { b} por medio de un n´ umero finito de uniones, concatenaciones o estrellas de Kleene: Ejemplos

1. {a}∗ = { λ,a,a2 , a3 , a4 , . . .}. 2. {a}+ = {a}∗ · {a} = {a, a2 , a3 , a4 , . . .}. 3. {a, b}∗ = ({a} ∪ {b})∗ . Es decir, el lenguaje de todas las cadenas sobre Σ es regular. 4. El lenguaje A de todas las cadenas que tienen exactamente una a: A = {b}∗ · {a} · {b}∗ . 5. El lenguaje B de todas las cadenas que comienzan con b: B = {b} · {a, b}∗ = {b} · ({a} ∪ {b})∗ . 6. El lenguaje C de todas las cadenas que contienen la subcadena ba:





C = {a} ∪ {b} 7. ({a} ∪ {b}∗ ) · {a}.





∗

· {b} · {a} · ({a} ∪ {b})∗ .



∗

8. {λ} ∪ {a} · {b} ∪ {b} · {a} . 

Es importante observar que todo lenguaje finito L = {w , w , . . . , wn } es regular ya que L se puede obtener como una uni´ on finita: 1

2

L = {w } ∪ {w } ∪ · · · ∪ {wn }, 1

2

y cada cadena wi de L es la concatenació n de un n´ umero finito de s´ımbolos; si w i = a a · · · ak , entonces {wi } = {a } · {a } · · · {ak }. 1



2

1

2

Seg´ un la definición recursiva de los lenguajes regulares, si A , A , . . . , Ak son k lenguajes regulares, entonces ki=1 Ai es regular. Pero si {Ai }i∈I es una familia infinita de lenguajes regulares, la unión Ai no nece-



sariamente es regular, como se verá en el Cap´ıtulo 2.

1



i∈I

2


1.14

Cap´ıtulo 1

17

Expresiones regulares

Los ejemplos de la sección 1.13 muestran que en la presentación de los lenguajes regulares abundan las llaves o corchetes { } y los paréntesis. Con el propósito de hacer más legible la representación de los lenguajes regulares, se introducen las denominadas expresiones regulares. La siguiente es la definición recursiva de las expresiones regulares sobre un alfabeto Σ dado. (1) Expresiones regulares básicas: es una expresión regular que representa al lenguaje ∅. es una expresión regular que representa al lenguaje { λ}. es una expresión regular que representa al lenguaje { a}, para cada a ∈ Σ.

∅

λ a

(2) Si R y S son expresiones regulares sobre Σ que representan los lenguajes regulares A y B , respectivamente, entonces (R) ∪ (S ) es una expresión regular que representa al lenguaje A ∪ B. (R)(S ) es una expresión regular que representa al lenguaje A · B. ∗ (R) es una expresión regular que representa al lenguaje A∗ . Los paréntesis ( y ) son s´ımbolos de agrupación y se pueden omitir si no hay peligro de ambig¨ uedad. Es decir, podemos escribir simplemente R ∪ S , RS y R ∗ para la unión, la concatenación y la estrella de Kleene, respectivamente, siempre y cuando no haya confusiones ni ambig¨ uedades. Los paréntesis son inevitables cuando haya necesidad de delimitar el alcance de la operaciones involucradas. Para una expresión regular R cualquiera se utiliza en ocasiones la siguiente notación: L[R] := lenguaje representado por R. Utilizando esta notación y la definición recursiva de las expresiones regulares podemos escribir las siguientes igualdades en las que R y S son expresiones regulares arbitrarias sobre el alfabeto Σ: L[∅] = ∅. L[λ] = { λ}. L[a] = { a}, para cada a ∈ Σ. L[R ∪ S ] = L[R] ∪ L[S ]. L[RS ] = L[R] · L[S ]. ∗ L[R∗ ] = L[R] . 







Ejemplo

 

Dado el alfabeto Σ = {a,b,c}, (a ∪ b∗ )a∗ (bc)∗


Cap´ıtulo 1

18

es una expresión regular que representa al lenguaje









Ejemplo









∗

{a} ∪ {b}∗ · {a}∗ · {b} · {c} .

Dado el alfabeto Σ = {a, b}, (λ ∪ a)∗ (a ∪ b)∗ (ba)∗

es una expresión regular que representa al lenguaje



 

{λ} ∪ {a}







de

Ejemplos

∗

 

· {a} ∪ {b}

∗



∗

· {b} · {a} .

Podemos representar algunos de los lenguajes de la sección 1.13 por medio expresiones regulares:

1. El lenguaje A de todas las cadenas que tienen exactamente una a: b∗ ab∗ . 2. El lenguaje B de todas las cadenas que comienzan con b: b(a ∪ b)∗ . 3. El lenguaje C de todas las cadenas que contienen la subcadena ba: (a ∪ b)∗ ba(a ∪ b)∗ . Por la propiedad A+ = A∗ · A = A · A∗ , la clausura positiva + se puede expresar en términos de ∗ y concatenació n. Por tal raz´ o n, se permite el uso de + en expresiones regulares. 



Las expresiones (a+ ∪ b)ab+ y (aa∗ ∪ b)abb∗ representan el mismo lenguaje. An´ alogamente, las dos siguientes expresiones

Ejemplo



(a ∪ b)+ ∪ a+ b+ . (a ∪ b)(a ∪ b)∗ ∪ aa∗ b∗ b. representan el mismo lenguaje.


Cap´ıtulo 1



En las expresiones regulares se usan reglas de precedencia para la unión, la concatenación y la estrella de Kleene similares a las que se utilizan en las expresiones aritméticas para la suma, la multiplicaci´ on y la exponenciaci´ on. El orden de precedencia es ∗ , ·, ∪; es decir, la estrella actúa antes que la concatenación y ésta antes que la unión. Por ejemplo, la expresión ba ∗ ∪ c se interpreta como [b(a)∗] ∪ c.



La representación de lenguajes regulares por medio de expresiones regulares no es u ´ nica. Es posible que haya varias expresiones regulares diferentes para el mismo lenguaje. Por ejemplo, b(a ∪ b)∗ y b(b ∪ a)∗ representan el mismo lenguaje. Otro ejemplo: las dos expresiones regulares (a ∪ b)∗ y (a∗ b∗ )∗ representan el mismo lenguaje por la propiedad (A ∪ B)∗ = (A∗ B ∗)∗ mencionada en la página 14.



La propiedad distributiva

19

A · (B ∪ C ) = A · B ∪ A · C, le´ıda de izquierda a derecha sirve para distribuir A con respecto a una unión, y le´ıda de derecha a izquierda sirve para “factorizar” A. Esto permite obtener nuevas expresiones regulares. 



Sea Σ = {0, 1}. Encontrar una expresi´ on regular para el lenguaje de todas las cadenas cuyo pen´ ultimo s´ımbolo, de izquierda a derecha, es un 0.

Ejemplo



Soluci´ on.

El pen´ ultimo s´ımbolo debe ser un cero pero para el u ´ ltimo hay dos posibilidades: 0 o 1. Estos casos se representan como una unión: (0 ∪ 1)∗00 ∪ (0 ∪ 1)∗ 01. Factorizando podemos obtener otras expresiones regulares: (0 ∪ 1)∗ (00 ∪ 01). (0 ∪ 1)∗ 0(0 ∪ 1). 





definidos

Ejemplos

Encontrar expresiones regulares que representen los siguientes lenguajes, sobre el alfabeto Σ = {a, b}:

1. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un número par de s´ımbolos (cadenas de longitud par ≥ 0). Aparte de la cadena vac´ıa λ, todas las cadenas de longitud par ≥ 2 se obtienen concatenando de todas las formas posibles los cuatro bloques aa, ab, ba y bb. As´ı llegamos a la expresión Soluci´ on.

(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗ .


Cap´ıtulo 1

20

Otra expresión correcta es (a2 ∪ b2 ∪ ab ∪ ba)∗ . Utilizando la propiedad distributiva de la concatenació n con respecto a la unión, encontramos otra expresión regular para este lenguaje: [(a ∪ b)(a ∪ b)]∗ . 2. Lenguaje de todas las cadenas que tienen un número par ≥ 0 de aes. Soluciones: Si la cadena tiene cero aes, significa que solamente posee bes. Todas las

demás cadenas tienen un número par de aes (2, 4, 6, . . . ) que aparecen rodeadas a izquierda o a derecha por cualquier cantidad de bes (incluyendo 0 bes). Encontramos as´ı a varias posibles soluciones: b∗ (b∗ ab∗ ab∗)∗ . (b∗ ab∗ ab∗ )∗ b∗ . b∗ (b∗ ab∗ ab∗ )∗ b∗ . (b∗ ab∗ ab∗ )∗ ∪ b∗ . (ab∗ a ∪ b)∗ . (ab∗ a ∪ b∗ )∗ . La expresión regular R = b ∗ (ab∗ a)∗ b∗ no es una solución correcta porque en medio de dos bloques de la forma ab ∗ a no se podr´ıan insertar bes. De modo que cadenas como abab2 aba y ab 3 ab4 ab5 a no har´ıan parte de L[R], a pesar de que poseen un número par de aes. 





de

Sea Σ = { 0, 1}. Encontrar una expresi´ on regular que represente el lenguaje todas las cadenas que no contienen dos ceros consecutivos. on de que no haya dos ceros consecutivos implica que todo cero debe Soluci´ on. La condici´ estar seguido necesariamente de un uno, excepto un cero al final de la cadena. Por lo tanto, las cadenas de este lenguaje se obtienen concatenado unos con bloques 01, de todas las formas posibles. Hay que tener en cuenta, además, que la cadena puede terminar ya sea en 1 o en 0. A partir de este análisis, llegamos a la expresión regular Ejemplo

(1 ∪ 01)∗ ∪ (1 ∪ 01)∗ 0. Factorizando (1 ∪ 01) ∗ , obtenemos otra expresión para este lenguaje: (1 ∪ 01)∗ (λ ∪ 0). Otras dos soluciones análogas son: (1 ∪ 10)∗ ∪ 0(1 ∪ 10)∗. (λ ∪ 0)(1 ∪ 10)∗ . 





de

Sea Σ = {a,b,c}. Encontrar una expresión regular que represente el lenguaje todas las cadenas que no contienen la subcadena bc. on. PenSoluci´ on. Tanto aes como ces pueden concatenarse entre s´ı sin ninguna restricci´ samos entonces en una expresión de la forma Ejemplo

(a ∪ c ∪ ?)∗ .


Cap´ıtulo 1

21

Una b puede estar seguida solamente de otra b o de una a; por lo tanto, conjeturamos con la expresión (a ∪ c ∪ b∗a)∗ . Pero debemos permitir cadenas que terminen en bes; haciendo el ajuste correspondiente llegamos a la primera solución: (a ∪ c ∪ b∗ a)∗b∗ . Esta expresión puede simplificarse omitiendo la a inicial: (c ∪ b∗ a)∗ b∗. ya que el bloque b ∗ a permite obtener cualquier cadena de aes. Tambi´ en podemos atacar el problema en la forma (a ∪ b ∪ ?)∗ . Teniendo en cuenta que se debe impedir la subcadena bc, llegamos a la solución c∗ (a ∪ b ∪ ac∗ )∗ , la cual se puede simplificar como c ∗(b ∪ ac∗ )∗ . Otras soluciones v´ alidas para este problema son: (a ∪ c ∪ b+ a)∗ b∗ . c∗ (a ∪ b ∪ ac+ )∗ . 







Ejercicios de la secci´ on 1.14  Encontrar

expresiones regulares para los siguientes lenguajes definidos sobre el alfabeto Σ = {a, b}: (i) Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con el s´ımbolo b y terminan con el s´ımbolo a. (ii) Lenguaje de todas las cadenas de longitud impar. (iii) Lenguaje de todas las cadenas que tienen un número impar de aes. (iv) Lenguaje de todas las cadenas en las que el número de bes es un múltiplo ≥ 0 de 3. (v) Lenguaje de todas las cadenas que no comienzan con la subcadena ba ni terminan en b. (vi) Σ = {a, b}. Lenguaje de todas las cadenas que no contienen la subcadena bba.

 Encontrar

expresiones regulares para los siguientes lenguajes definidos sobre el alfabeto Σ = {0, 1, 2}: (i) Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con 2 y terminan con 1. (ii) Lenguaje de todas las cadenas que no comienzan con 1 ni terminan en 2.


Cap´ıtulo 1

22

(iii) Lenguaje de todas las cadenas que tienen exactamente dos ceros. (iv) Lenguaje de todas las cadenas que tienen un número par de s´ımbolos. (v) Lenguaje de todas las cadenas que tienen un número impar de s´ımbolos. (vi) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen dos unos consecutivos.  Encontrar

expresiones regulares para los siguientes lenguajes definidos sobre el alfabeto Σ = {0, 1}: (i) Lenguaje de todas las cadenas que tienen por lo menos un 0 y por lo menos un 1. (ii) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen tres ceros consecutivos. (iii) Lenguaje de todas las cadenas cuya longitud es ≥ 4. (iv) Lenguaje de todas las cadenas cuya longitud es ≥ 5 y cuyo quinto s´ımbolo, de izquierda a derecha, es un 1. (v) Lenguaje de todas las cadenas que no terminan en 01. (vi) Lenguaje de todas las cadenas de longitud par ≥ 2 formadas por ceros y unos alternados. (vii) Lenguaje de todas las cadenas de longitud ≥ 2 formadas por ceros y unos alternados.

(viii) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen dos ceros consecutivos ni dos unos consecutivos. (ix) Lenguaje de todas las cadenas de longitud impar que tienen unos en todas las posiciones impares. (x) Lenguaje de todas las cadenas cuya longitud es un múltiplo de tres. (xi) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen cuatro ceros consecutivos. (xii) Lenguaje de todas las cadenas que no comienzan con 00 ni terminan en 11. (xiii) Lenguaje de todas las cadenas que no contienen la subcadena 101.

Teoria de La Computacion . CAPITULO 1

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