II.8. Penurunan persamaan dasar untuk perhitungan dengan metodeTakabeya metodeTakabeya
Pada dasarnya didalam perhitungan perhitungan konstruksi portal, perhitungan didasarkan atas anggapan-anggapan dasar :
Deformasi yang diakibatkan oleh gaya tekan atau terik dan gaya geser dalam diabaikan.
Hubungan antara balok dan kolom adalah kaku sempurna.
Sesuai Sesuai dengan dengan anggapa anggapan n terseb tersebut, ut, pada pada titik titik kumpul kumpul dimana dimana balok balok dan kolom kolom berpotongan, batang-batang (balok dan kolom) kolom) ini dipengaruhi oleh perubahan yang sebanding sebanding dengan perputaran perputaran dan pergeseran pergeseran sudut, dimana momen-momen momen-momen lentur dari ujung batang terhadap ujung batang lain. Seba Sebaga gaii cont contoh oh diam diambi bill bata batang ng a-b, a-b, deng dengan an pem pembeba bebana nan n sepe sepert rtii tert terter eraa pada pada Gambar.2.8a, dimana ujung b begeser sejauh δab relatif terhadap titik a. esarnya !ab
dan !ba dapat dinyatakan dinyatakan sebagai fungsi fungsi dari perputaran perputaran dan pergeseran pergeseran sudut, yang yang akan diturunkan sebagai berikut:
"a " b
a
!ab
b
!ba L Gambar, 2.8a.
#eadaan pada Gambar. 2.8a dapat diuraikan dari super-posisi pada dua keadaan berikut:
$ab %
δ ab ab
"a a
&!ab
$ab 'a
" b $ab
' b b
δab
&mba Gambar, 2.8b.
Dari super-posisi tersebut dapat dituliskan :
!ab Gambar,2.8.c.
! b a
!ab % & mab ( !ab
))))))))))))))))))))*+
!ba % & m ba ( !ba Dimana : !ab dan !ba adalah besarnya momen akhir (design moment). !ab dan !ba besarnya momen primer (fixed and moment) dari keadaan kedua ujung balok terjepit. & mab dan & mba besarnya momen koreksi akibat adanya pergeseran titik b sejauh δab. Catatan
: Perjanjian tanda untuk momen-momen adalah ditinjau terhadap ujung
batang, dinyatakan positif bila searah dengan arah perputaran jarum jam dan sebaliknya. Perjanjian tanda momen ini berlaku untuk perhitungan – perhitungan selanjutnya didalam penurunan rumus. esarnya momen-momen koreksi & mab dan & m ba dapat diturnkan berdasarkan prinsip persamaan perputaran sudut sebagai berikut : * "a % 'a ( $ab */ " b % ' b ( $ab * "a % ( */ " b % -
∆ mab
(ihat Gbr. 2.8b! ab
1 Eab
∆ mba ab 0 Eab
/ "a ( " b % 2 analog : & mab % & mab % ila dinyatakan
+
/ Eab ab
/ Eab ab ab
ab
−
∆ mba
ab
0 Eab
∆ mba ab 1 Eab
∆ mab ab Eab
+ψ ab ..... x /
+ ψ ab
(
+ 1ψ ab
( /θ a + θ b − 1ψ ab ) ( /θ b + θ a − 1ψ ab )
= !ab
!aka : & mab % / 3 # ab * / "a ( "b 4 1 $ab & mab % / 3 # ab * / "a ( "b 4 1 $ab
)))))))))))).*+0
Dengan demikian dari persamaan *+ dan *+0 diperoleh : !ab % / 3 # ab * / "a ( "b 4 1 $ab ( !ab !ba % / 3 # ab * / "b ( "a - 1 $ab ( !ba
)))))))))..*+5
Persamaan *+5 tersebut oeh T"#"$%&" disederhanakan menjadi : !ab % #ab * / ma ( mb ( mab ( !ab !ba % #ab * / mb ( ma ( mab ( !ba ila :
ma % / 3 # "a 7
mb % / 3 # "b
))))))))...)))*+6
! ab % - 0 3 # $ab 7
#ab %
!ab !
))))))))))....*58
Dimana : # adalah harga konstanta kekakuan (bukan fa"tor kekakuan seperti !ab). # berdimensi m1 ditentukan sebarang, sehingga m dan m berdimensi sebagai momen yaitu ton.m. ma % disebut momen parsiil akibat perputaran sudut "a, selanjutnya disebut momen rotasi di titik a. m b % disebut momen parsiil akibat perputaran sudut "b, selanjutnya disebut momen rotasi di titik b . mab % disebut momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a sejauh δab, selanjutnya disebut momen displa"ement dari batan a-b. Persamaan dasar (#$) tersebut diatas adalah persamaan dasar yang akan digunakan untuk menurunkan rumus-rumus pada T"#"$%&".
2.8.'. Porta dengan titik kimpu yang bergoyang.
Portal dengan titik kumpul yang bergoyang dimaksudkan bah9a pada masingmasing titik kumpul disamping terjadi perputaran sudut, juga terjadi pergeseran (pergoyangang). Pada umumnya, pada setiap perhitungan konstruksi portal bertingkat, gaya-gaya horiontal (akibat angin ataupun gempa dan lain-lain) diangap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok dan kolom tepi), sehingga dalam arah horiontal tersebut pada kolomkolom tidak terjadi beban antara. Didalam METODE TAKABEYA ini, untuk perhitungan portal dengan titik kupul yang bergoyang, rumus-rumus umum hanya dapat diturunkan untuk konstruksi portal dengan pergoyangan satu arah, dan pada umumnya memang kostruksi portal bertingkat mempunyai bentuk yang bergoyangkannya satu arah yaitu arah horiontal saja. ;uga dalam penurunan rumus-rumus yang berlaku umum pada metode ini, beban-beban horiontal dianggap bekerja pada regel-regel.
Persamaan dasar *+6 :
%ab = !ab / ma
−
+ mb + m
−
ab + % ab
−
−
%ba = !ab / mb + ma + m ab + % ba
dimana :
ma = / E ! θ a
mb = / E ! θ b
−
m ab = − 0 E ! ψ ab
!ab =
!ab !
#ab % factor kekakuan berdimensi m1. #
% #onstanta kekakuan berdimensi m1, ditentukan sebarang.
#ab % angka kekakuan, setelah factor kekakuan #ab dibagi dengan konstanta k, hingga #ab tak berdimensi lagi. ma dan mb % masing-masing momen rotasi yang diakibatkan oleh "a dan "b. −
−
m ab = momen dispacement yang diakibatkan oleh $ab. ma, mb dan m ab berdimensi
ton.m. Ditinjau portal bertingkat dengan beban-beban horiontal yang bekerja pada regel-regel dan beban =ertical yang bekerja pada balok-balok dengan tempat sebarang seperti terlihat pada Gbr.2.8.'.'.berikut: '
)
*
H m> 2
8
$
$
+
H/ m>>
-
$/
$/
'
H1 m>>>
$/
2
$1
$1
"
$1
$
C
Gambar.2.8.'.'.
!omen- momen displacement pada masing-masing tingkat : ?ingkat
−
ke->
−
−
−
ma = m /b = m 1" = m = − 0 E ! ψ 1
)))))))))...*5a ?ingkat ke->>
−
−
−
−
m0 = m / = m 1@ = m = − 0 E ! ψ / )))))))))...
*5b ?ingkat ke->>> *5c
−
−
−
m 0+ = m 5 = m
= − 0 E ! ψ ))))))))))
Pada titik kumpul (&) : −
−
!@ % # @ A / m ( m@ B ( % @
!5 % # 5 A / m ( m5 ( m B 5 −
−
!0 % # 0 A / m ( m0 B ( % 0
!/ % # / A / m ( m/ ( m/ B )))....*5/
#eseimbangan pada titik kumpul (&) C! % 8, !@ ( !0 ( !5 ( !/ % 8 )))))))))))))))))))))*51
Dari persaman-persamaan (') dan (') diperoleh :
! /m + ! ! ! ,@ ,0
,
,5
% − =8 % −
+− { ! 5 } m5 m5 { ! 0 } { m0 } + { m@ }{ ! @} ( − { ! / } m/ + m/
,@
,0
,/
! − ! % ,@ =τ jika : / = 7 dan − , ! % ,0 ! ,@
,0
,5
,/
))))))))))...))..*5@
!aka persamaan ('*) dapat dituliskan menjadi :
−
{ − k 5} m5 +
m ρ
atau
= − τ
→ { − k 0 }{ m0 } + { m@}{ − k @} ...................................*5− { − k / } m/ + m m5
: −
{ − γ 5} m5 + m
= −
τ ρ
→ { − γ 0 }{ m0 }
m
{ m@}{ − γ @}
+
−
{ − γ /} m/ +
.................... ............*50-
m
dim ana : γ 5
=
γ @
=
k 5
:
ρ k @
ρ
:
γ 0
=
γ /
=
k 0
ρ k /
.............................. .......... ..............*5+-
ρ
Persamaan ('+) tersebut diatas disebut persamaan momen rotasi, dimana langkah perhitungan untuk momen rotasi ini pertama-tama dengan menganggap pada titik kumpul yang lain belum terjadi perputaran sudut maupun pergeseran sudut, sehingga: m/
= m@ = m0 = m5 = 8
−
dan
m/
−
= m5 = 8
Dengan demikian persamaan ('+) menjadi : * 8-
m
=−
τ ρ
sementara dengan jalan yang sama pada titik-titik kumpul yang lainnya juga diperoleh :
mr
*8-
=
τ r ρ r
)))))))))))))))))))))..*55
Catatan : indeks r adalah nomor titik kumpul.
Selanjutnya untuk menentukan momen akibat displacement, diambil freebodyfreebody pada masing-masing tinggkat sehingga rumus-rumus momen displacement tersebut dapat diturunkan.
Diambil keseimbangan pada freebody masing-masing kolom tingkat ke->>> *paling atas sebagai berikut: (ihat Gbr.! ' /)
/8
0)+
08
h' 0+)
08
/)
/8 Gambar. 2.8.'.'a.
Ereebody +-5 : FH % 8
Ereebody 0-+ : F!+ % 8
G % H+ ( H5 )))))))))))))).*56
% +0 + % , h. += 8 0+
))))))))))))..*56a
% 5, + % , h. 5 =8 ,5
Ereebody -5 : F!5 % 8
))))))))).)))*56b
Dari persamaan *56 , *56a dan *56b dapat dilihat :
% %+0 5, + % % h.{-}=+ 8 0+ ,5
))))))))))))))...*68
ila diisikan harga-harga : ( lihat persamaan dasar #$)
− + m+ + m0+
% +0
=
% +0
= ! 0+ {/ m+ + m0 +
k 0+ / m0
m 0+
} +
m+0 = m 0+ m5, = m,5
{
1 k 0+ m 0
{
+
1 k ,5 m,
(
m+
} + / k
0+
+ m5 } + / k ,5
m ..........................*6a
m ............................................*6b
)
.ata tan : m = m 0+ = m 5 Lihat persamaan +5
Dari persamaan ($/a) dan ($/b), maka pada persamaan ($0) maka di tuliskan
menjadi : 1 k 0+ { m0 +
m+
}+/
+ 1
k 0+ m
{
k 5 m
tau :
/ m
+
m5
} + / k 5
= −h{1 }
m
+ { − 1 k } { m + m }
k 0+
................................. = − h {1 } k + { − 1 k } { m + m } .
0+
0
+
,5
,
5
.
,5
*6/ ;ika :
1 k 0+
k 0+ / k 5 = 2
dan
2
1 k 5 2
= t 0+ ......................................................*61
= t 5
!aka persamaan ($) dapat di tuliskan menjadi : m
=−
{ } + { − t } { m 2 + { − t } { m
h. 1 .
0+
0
,5
,
+ m+ } + m5 }
............................................
*6@ Persamaan ($*) tersebut di atas di sebut persamaan moment displacement pa da tingkat ke->>> (paling atas). Iangkah perhitungan untuk moment displacement ini dilakukan pertama-tama dengan mengangap pada titik-titik kumpul berlum terjadi perputaran sudut, sehinga persamaan ($*) menjadi : ( m = m
( 8)
=−
h
m0
{1 } 2
=
m+
=
m5
= 8)
........................................................................*6
(Perhitungan portal bertingkat dengan cara takabeya, bagian satu (pengenalan etode takabeya! oleh "r# $oetoo %M, &akarta ' &uni ')',diterbitkan oleh "r#$oetoa M%, cetakan ketiga (disepurnakan!!#
!ab
!b"
!"d
ρ a
=
ab
b"
=
b" "d
=
"d
! "b
= 8.
ab
ρ" =/ =/.*851 +8.1 -=/.1 /
= 8.5111
! "d
= 8.1111
= / [ !ab] =
τ a = % ab = − +/ !3m γ ab
=−
! ab
ρ a
! ab
ρb =/ =/.*8,+8.51 -=/.0 ! b"
=−
% "b τ " = = * ./ + *-1 −0@- = /@5 − % "d −
−
8.
= −8.
γ "b
=−
γ "d
= −
ρ d
k b"
=−
ρ " k "d
ρ "
=−
8,5111 /,111/ 8,1111 /,111/
= / [ !"d ] = 8,0000
= −8.1+ = −8.@/6
% d" τ a = =*1/ + *- −10 = !−@- 3m % de −
% ba τ b = = *+/ +*- − ./-1 = −/@8 − % b" −
γ ba
=−
γ b"
=−
k ab
=−
ρ b k b"
ρ b
=−
8, /,0000 8,5111 /,0000
γ d"
= −8.5+
= −8.1/
=−
! "d
ρ d
=−
8.1111 8,0000
= −8.
τ a
=−
m
= +/ + * −8,-.68,88/1 =
ρ a
=−
− +/
mo
.
= +/
/0,6656
m/
− /@8
= 68,88/1
/,0000
= +/ + *−8,-.@8,555@
,5
mo
=−
/@5 /,111/
= −80, /65
mo
=−
−@ 8.0000
= 0,8880
m = 68,88/1 +
m = −80,/65 +
m = 0,8880 +
*−8,5+-./0,6656 +
*−8,1+-.5, +
* −8,-.*−@6,1@5- =
*−8.1/-.*−80,/65-
*−8.@/6-.0,8880 =
58,0+@+
5,
− @6,1@5 m/ = −80,/65 +
m / = 0,8880 +
*−8,5+-./,6/// +
*−8,1+-.1@,/@66 +
*−8,-.*−0,+01@- =
*−8.1/-.*−@6,1@5-
*−8.@/6-.58,0+@+ =
55,55/1
1@,/@66
− 0,+01@
= +/ + *−8,-.1@,/@66 = m1 = 68,88/1 +
@,5+
m@
=−
= +/ + *−8,-.5, = m/ = 68,88/1 +
/,6///
m1
mo
m1 = −80,/65 +
m1 = 0,8880 +
*−8,5+-.@,5+ +
*−8,1+-.@8,555@ +
*−8,-.*−06,1806- =
*−8.1/-.*−0,+01@-
*−8.@/6-.55,55/1 =
68,0@8
@8,555@
− 06,1806
m@ = 68,88/1 +
m@ = −80,/65 +
m@ = 0,8880 +
*−8,5+-.,5 +
*−8,1+-.@/,05 +
* −8,-.* −+8,+++- =
*−8.1/-.*−06,1806-
*−8.@/6-.68,0@8 =
6,856
@/,05
− +8,+++
−
%ab = !ab {
/ ma + mb } + % ab = 8,*/.8,@8@ + @1,6+1- + *−+/- = 8
%ba = !ab {
/ mb + ma } + % ba = 8,*/.@1,6+1 + 8,@8@- + +/ = /,165!3m
−
−
%b"
= !b" { / mb + m" } + % b" = 8,5111.*/.@1,6+1 + *−+8,@0+-- + *−1/- = −/,165 !3m −
%"b
= !b" { / m" + mb } + % "b = 8,5111.*/ .* −+8,@0+- + @1,6+1- + 1/ = @+,/// !3m
%"d = !"d {
−
/ m" + md } + % "d = 8,1111.* /.* −+8,@0+- + 6,/1@1- + *−0@- = −@+,/// !3m −
%d"
= !"d { / md + m"} + % d" = 8,1111.*/.6,/1@1 + *−+8,@0+-- + 1/ = 10 !3m