CONTENIDO I-
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………… ...………………………….. 2 1.1 .1.. Hipó Hi póte tes sis pa para ra el de des sarr rro ollo del mé méto tod do 1.2 .2.. Rig igiide de rel relati ti! !a de de "#a "#a $a $arr rra a de de se%% se%%ió ió# # %o %o#s #sta ta# #te a la &e'ió#. 1.( .(.. Esta Es tad do ge# ge#er eral al de de) de)o orm rma a%ió ió# # de de "# "#a $ar $arrra.
II-
DEDUCCION DE *+, ECU+CIONE, UND+ENT+*E,............. UND+ENT+*E, ............................. ............................. ............. / 2.1 .1.. E%"a E% "a% %io# o#es es )" )"# #da dame me# #ta talles de ite tera ra% %ió ió#. #. 2.2. ,ig#i0%ado de las e%"a%io#es )" )"# #dame#tales de itera%ió#.
IIIII I-
ETODO ETO DO* *O OI+ I+ EN ENER ER+* +* +R +R+ + E* C+* C+*CU CU* *O DE O OEN ENTO TO, , EN UN ORTICO... ORTICO... 3 (.1. Caso ge#eral de "# pórti%o %o# apo4os empotrados 4 %ol"m#as de ig"al alt"ra e# %ada piso5 s"6eto a %argas !erti%ales 4 laterales.
I7-I7
C+,O, +R C+,O, +RTIC TICU*+ U*+RE, RE, 8 ,I ,I*I *IIC IC+CI +CIONE ONE, , OR ,I ,IETR ETRI+ I+ /.1. órti%os s"6etos 9#i%ame#te a %arga !erti%ales................ !erti%ales. .............................. ............................. .............. 21 /.2 .2.. órt rtii%o %os s s"6 s"6et eto os 9#i% 9#i%am ame e#te a %a %arg rga as late latera rale les s e# los #"dos.............. #"dos....................... ......... 23 /.(. órti%os si# desplaamie#to laterales............... laterales .............................. .............................. ........................... ............ (/ /./. ,impli0%a%io#es por simetr:a e# la estr"%t"ra............. estr"%t"ra ............................. .............................. ................ .. /2 /./.1.órti%o %o# #9mero par de %r"6:as. /./.2.órti%o so# #9mero impar de %r"6:as
7-
C+,O, E, E,ECI+*E, ;.1. órti%o %o# %ol"m#a de di)ere#te alt"ra e# "# piso............... piso ............................. ..................... ....... /3 ;.2. órti%os %o# apo4os arti%"lados............. arti%"lados ............................. ................................ .............................. .................... ...... ;< ;.2.1.órti%os si# desplaami desplaamie#to e#to lateral ;.2.2.órti%os %o# desplaamie# desplaamie#to to lateral ;.(. órti%os simétri%os s"6etos a %argas laterales ............................. ............. ............................... ................. <= ;.(.1.órti%o %o# #9mero impar de %r"6:as ;.(.2.órti%o %o# #9mero par de %r"6:as ;./. órti%os %o# !igas i#termedias.............. i#termedias ............................. ............................... .............................. ..................... ....... .. =(
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.
NTRODUC NTRO DUCCI CION ON El director Fukuhei Takabeya, en 1962 dio a conocer un método de cálc cá lculo ulo de ap apro roxim ximac acio iones nes su suce cesi sia ass de !ác !ácil il ap aplic licac aci" i"n n pa para ra el anál an ális isis is de p" p"rt rtico icoss de a ari rios os pi piso sos, s, co con n y si sin n de desp spla# la#am amien iento toss laterales$ latera les$ Este método se pres presenta enta en la public publicaci"n aci"n %E&T'()T(' %E&T'()T('*& *& +E *'.& *'.& /&.&0 del autor, editada edi tada en espaol en 1969$ En esencia, como se erá en el desarrollo del presente trabao, el método propuesto por el +r$ Takabeya, es una ariante más e3ciente del maneo de las ecuaciones de iteraci"n del método del 4$ 5ani$
1.1. 1. 2. (. /. ;. <.
Hip ipót óte esi sis s pa para el des desa arr rrol ollo lo del mé método El material de la estructura tiene comportamiento elástico$ a estructura presenta un comportamiento lineal siendo álido el principio de superposici"n$ as uniones entre las barras de un p"rtico son per!ectamente r78idas$ Es decir no existen despla#amientos relatios en los extremos de las barras ue concurren en un nudo la lon8itud de las barras no ar7a a causa de los es!uer#os axiales$ oss des o despla pla#am #amient ientos os ue se pr presen esenta ta en la est estruc ructura tura son relatiamente peueos, lo ue hace posible el empleo de un análisis de primer orden$ &olo se consideran de!ormaciones por :exi"n$
Rigide relati!a de "#a $arra de se%%ió# %o#sta#te a la &e'ió#
1.2.
'i8ide# absoluta;
K iK =
'i8ide# relatia;
K iK =
4 EI
L I L
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.
NTRODUC NTRO DUCCI CION ON El director Fukuhei Takabeya, en 1962 dio a conocer un método de cálc cá lculo ulo de ap apro roxim ximac acio iones nes su suce cesi sia ass de !ác !ácil il ap aplic licac aci" i"n n pa para ra el anál an ális isis is de p" p"rt rtico icoss de a ari rios os pi piso sos, s, co con n y si sin n de desp spla# la#am amien iento toss laterales$ latera les$ Este método se pres presenta enta en la public publicaci"n aci"n %E&T'()T(' %E&T'()T('*& *& +E *'.& *'.& /&.&0 del autor, editada edi tada en espaol en 1969$ En esencia, como se erá en el desarrollo del presente trabao, el método propuesto por el +r$ Takabeya, es una ariante más e3ciente del maneo de las ecuaciones de iteraci"n del método del 4$ 5ani$
1.1. 1. 2. (. /. ;. <.
Hip ipót óte esi sis s pa para el des desa arr rrol ollo lo del mé método El material de la estructura tiene comportamiento elástico$ a estructura presenta un comportamiento lineal siendo álido el principio de superposici"n$ as uniones entre las barras de un p"rtico son per!ectamente r78idas$ Es decir no existen despla#amientos relatios en los extremos de las barras ue concurren en un nudo la lon8itud de las barras no ar7a a causa de los es!uer#os axiales$ oss des o despla pla#am #amient ientos os ue se pr presen esenta ta en la est estruc ructura tura son relatiamente peueos, lo ue hace posible el empleo de un análisis de primer orden$ &olo se consideran de!ormaciones por :exi"n$
Rigide relati!a de "#a $arra de se%%ió# %o#sta#te a la &e'ió#
1.2.
'i8ide# absoluta;
K iK =
'i8ide# relatia;
K iK =
4 EI
L I L
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I / L
En el método de Takabeya, 'i8ide# relatia; K iK = K
, donde;
5< constante arbitraria, ele8ida como unida de ri8ide#$ 1
Eemplo; 5<1 cm=, K = 12 cm
3
3 , K =100 cm , etc$
+e manera la ri8ide# relatia iene a ser representada por un alor adimensional$
1.(.
Estado ge#eral de de)orma%i de)orma%ió# ó# de "#a $arra.
En un p"rtico sueto a la acci"n de car8as exteriores, una barra puede presentar en sus extremos, en 8eneral, tres de!ormaciones$ θi , giro giro del extr extremoi emo i θk , giro giro delextremo delextremo k
Rik =
Δ , giro giro relativ elativo o de lababrrai lababrrai − k L
M ik , M ki= Momentos en losextr los extremos emos de labarra la barraii − k
M ik , M ki= Momentos de empotramiento empotramiento perfecto . 2 K ik m i
=
4 EI θi
L
= 4 E K ik k θi
m i=2 EK θi
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
m i= Monentod de influencia de giro delextremo i
=
2 K ik m k
4 EI θ k
L
=4 E K ik k θk
m k =2 EK θ k m k = Monentod de influencia de giro del extremo k .
K ik m´ik =
−6 EIΔ L
2
m ik =−6 EK Rik m ik = Monento de influencia de desplazamiento de la barrai − k
os momentos en los extremos pueden obtenerse superponiendo cuatro estados parciales de de!ormaci"n$
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mik ) M ik = M ´ ik ) M ki=+ K ik ( 2 mk + mi + m
)onenci"n de si8nos para M , θ , R ↱ + ↳−¿ )oniene sealar ue estas expresiones son las ecuaciones de pendiente de!ormaci"n de la barra, presentadas de una manera particular$ a inclusi"n de la constante de 5 en estas expresiones permite ue en una barra los momentos por in:uencia de las de!ormaciones sean alores proporcionales a estas, ariante !undamental ue caracteri#a al método de Takabeya$
II.
DEDUCCION DE *+, ECU+CIONE, UND+ENT+*E, DE* ETODO DE* T+?+@E8+
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En 8eneral un p"rtico sueto a car8as erticales y hori#ontales puede considerarse como la suma de dos condiciones parciales de car8a$
Co#di%ió# B1 'estricci"n total de despla#amientos de los nudos, introduciendo momentos de !uer#as de sueci"n en los mismos$
´ ´ ?omentos de sueci"n M i=∑ M ik @en cada nudoA ´ ik = Momento de empotramiento perfecto. M ´ ´ Fuer#as de sueci"n ! i =∑ Rik @en cada nielA ´ ik =¿ R 'eacciones de empotramiento per!ecto$ )onenci"n de si8nos;
´ ik , M ´ i : ↱+ ↳−¿ M ´ ik , ! ´ i : ⟵+⟶ −¿ R Co#di%ió# B2 ?omentos y !uer#as de i8ual ma8nitud y de sentido contrario a los momentos y !uer#as de sueci"n, actuando directamente en los nudos y nieles del p"rtico$ /or superposici"n, para una barra cualuiera i - k del p"rtico; M ik = M ik 1+ M ik 2
)ondici"n 1
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mik ) M ik = M )ondici"n 2
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II.1.
E%"a%io#es )"#dame#tales de itera%ió#A
*nali#ando el euilibrio de la estructura en su condici"n de car8a 2$
E"ili$rio de mome#tos e# "# #"do %"al"iera iA
i = "udo estrudiado k = "udoad#acentes
Ecuaci"n de euilibrio;
∑ M ( ) =0 ´ +∑ K ( 2 m + m + m ´ )= 0 M ´ + 2 ∑ K m + ∑ K ( m +m ´ ) =0 M ´ i+ M
ik
i
2
ik
i
i
ik
k
i
ik
ik
k
ik
/ero; mi=2 EK θi ; constante para todas las barras ue concurren en el nudo i$
´ i+ 2 mi M
∑ K +∑ K ( m +m´ ) =0 ik
ik
k
ik
+e donde; m i=
−¿
´ i − M
2
−
∑ K
ik
1 2
∑
m i=
2
∑
K ik
´ i − M 2
∑ K
2
∑ K
∑ K ( m + m´ ) ik
k
ik
ik
( mk + m´ ik )
´ i − M
0
mi =
K ik
1
+∑ ¿
: Momento de nudo
ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ i=
− K ik 2
∑ K
: %actor de giro
ik
)omprobaci"n;
$ i =
−1 2
Finalmente; 0
m i=m i +
∑ $ ( m + ´m ) & & & & & & & & & & . I ik
k
ik
E"ili$rio de )"eras %orta#tes e# "# piso rA
i = "udos de cabeza de columnadel piso r . k = "udos de pie de columnadel piso r . M ik ( 2) + M ki (2 ) ' ik = (r
´ ik )+ K ik ( 2 mi+ mk + m ´ ik ) K ik ( 2 mi + mk + m ' ik = (r K ik ( 3 mi + 3 mk + 2 ´ mik ) ' ik = (r
Ecuaci"n de euilibrio; r
∑ ! +∑ ' r
=0
ik
1
r
∑ ! +∑ r
1
[
K ik ( 3 mi+ 3 mk + 2 ´ mik ) (r
]
=0
En las columnas del piso son de la misma altura; ! r ) =constante
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r
(r
∑ ! + 3 ∑ K ( m + m ) +2 ∑ K ( ´m ) =0 r
ik
i
k
ik
ik
1
´ ik =−6 EK Rik , constante para todas las columnas del piso r$ /ero; m ue8o; r
(r
∑ ! ´ + 3 ∑ K ( m + m ) +2 ∑ K ( ´m ) =0 r
ik
i
k
ik
ik
1
r
∑ ! = − 3 ∑ K ( m + m ) 2 ∑ K 2 ∑ K (r
´ ik m
r
1
ik
ik
i
k
ik
r
∑ ! ´ 3 K = − (m +m ) 2 ∑ K 2 ∑ K (r
´ ik m
r
ik
1
i
ik
k
ik
r
∑ ! ´ ´ = m momento de piso 2 ∑ K (r
r
0
1
i
ik
vr =
−3 K ik
∑ K
2
factor de corrimiento
ik
Finalmente;
´ ik =m ´ ik + m 0
∑v
( mi + mk ) & & & & & & & & & & . I I
ik
as ecuaciones y son las ecuaciones !undamentales de iteraci"n del método de Takabeya para p"rticos despla#ables y con columnas de i8ual altura en cada piso$
II.2. ,ig#i0%ado de las e%"a%io#es )"#dame#tales de itera%ió#. Ecuaci"n ;
m i= ´ mi + 0
∑ $ ( m +m ) ik
i
k
mi= Momento de influenciade giro delnudo i .
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ i − M
0
´ i= m
2
∑ K
momento de nudo
ik
$ ik = %actores de girpde las barras *ue concurren en elnudo i . m k = Momento por influencia de giro en losnudos ad#acentes al nuedoi .
´ ik = Momento por influencia de desplazamiento de las barras *ue m concurren enel nudo i .
En el caso de p"rticos despla#ables, solo las columnas pueden presentar momentos por in:uencia de despla#amiento y estos tienen
´ ik =−6 EIK Rik para todas las columnas de un m
un mismo alor
p"rtico$ &i sealamos a estos momentos como
´ ik =m ´ r para cada m
piso$ a ecuaci"n puede escribirse también; 0
m i =m i +
∑ $ ( m + m ) ik
k
r
/ara la aplicaci"n de esta ecuaci"n de iteraci"n puede considerarse 0 como primeros alores de mi a los m i calculados$
Ecuaci"n ;
´ ik =m ´ ik + m 0
∑v
( mi + mk )
ik
´ ik =m ´ r= Momento por influencia de pesplazamiento del piso r . m r
´ r= m 0
´r −(r ∑ ! 1
2
∑
K ik
Momento de piso
v ik = %actores de corrimientode las columnas del piso r . m i=mk = Momentos por influencia de giroen los nudosde cabeza # piede columnas.
ue8o la ecuaci"n puede escribirse también como;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ r= ´mr + m 0
∑v
( mi + m k )
ik
En el proceso de iteraci"n pueden considerarse como primeros 0 alores de m r a los mr calculados preiamente$
.bsérese ue la entaa de presentar de esta manera las ecuaciones de iteraci"n radica en ue solo existe un momento por in:uencia de
´ r¿ 8iro en cada nudo @ mi A y un momento por in:uencia de 8iro @ m $ os momentos por in:uencia de 8iro en todos los nudos, y los momentos por in:uencia de despla#amiento en todos los pisos se determinan mediante un proceso de aproximaciones sucesias$ os momentos 3nales en los extremos de las barras se obtienen en base a las ecuaciones planteadas para el estado 8eneral de de!ormaci"n de una barra$
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mik ) M ik = M +onde el término
´ ik =m ´ r se presenta solo para columnas, esta m
ecuaci"n puede escribirse como;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M
III.
ETODO*OI+ ENER+* +R+ OENTO, DE UN ORTICO III.1. Caso ge#eral
E*
C+*CU*O
DE
1. a%tores de giro 4 %orrimie#to I / L = K ik Rigide%es relati!asA k
k =constante arbitraria elegida como unidad derigidez . k =1 cm 3 10 cm 3,120 cm 3 ,etc.
En cada nudo; En cada piso;
$ ik = + ik =
−1 2
−3 2
−
K ik
∑ K
ik
−
K ik
∑ K
ik
∑ $ = −21 ik
∑ + = −23 ik
2. ome#tos 4 )"eras de s"6e%ió#A
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En cada barra; momento de empotramiento per!ecto
´ ik M
@tablasA En cada columna; reacciones de empotramiento per!ecto
´ ik R
@tablasA ue8o; ´ ´ En cada nudo; M i=∑ M ik
´ ik M ´ i ↱+ ↳ −¿ M
´ ´ En cada niel; ! r=∑ R ik
´ ik ! ´ r + -−¿ R
(. ome#tos de #"do 4 mome#tos de piso ´ i − M ´ i= m En cada nudo; 2 K 0
∑
ik
r
En cada piso;
´ r= m 0
´r −(r ∑ ! i
2
∑ K
ik
/. Ci%los de itera%ió# Ecuaciones de iteraci"n; )iclo de 8iros; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿
En los nudos
)iclo de despla#amientos; mi $ ik (¿ + m k )
´ r= mr + m 0
∑¿
En los pisos
;. Cal%"lo de mome#tos 0#ales En los extremos de todas las barras;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M ´ r= 0 paralas viga s m <. Compro$a%ió# de res"ltados Euilibrio de la estructura; En cada nudo ∑ K ik =0
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
11
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
&i
∑ K 0 ik
, se distribuye el momento de deseuilibrio entre
todas las barras ue concurren en el nudo en !unci"n a sus ri8ideces relatias También puede eri3carse; En cada piso; ∑ % x = 0
$2$
4eneralmente es su3ciente eri3car el euilibrio de momentos actuantes en cada nudo$
E6emplo de apli%a%ió# N F1
+eterminar los momentos en los extremos de todas las barras del p"rtico en la 38ura$
)olumnas; 2Bx> i8as ; 2Bx6 (ltimo niel; 2Bx> @i8asA 1. a%tores de giro 4 %orrimie#to 'i8ideces relatias;
25 I / L K ik = K = k 12
Factores de 8iro; $ ik =
−1 2
−
K ik
∑ K
ik
∑ $ = −21 ik
Factores de corrimiento;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
12
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ ik =
−3 2
−
K ik
∑ K
ik
∑ + = −23 ik
Gudo 1; $ 12=−0.14
-F.;
$ 14=−0.36
Gudo 2; $ 21=−0.14
-F.;
$ 25=−0.36
Gudo =; $ 34=−0.31
-F.;
$ 36=−0.19
Gudo >; $ 43=−0.16 $ 41=−0.10
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
-F.;
1=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ 45=−0.14 $ 47=−0.10
Gudo B; $ 54=−0.20
-F.;
$ 52=−0.15 $ 58=−0.15
Gudo 6; $ 63=−0.15 $ 67=−0.24
-F.;
$ 69=−0.11
Gudo C; $ 76=−0.17 $ 74=−0.11
-F.; $ 78=−0.14
$ 710=−0.08
Gudo D; $ 87=−0.22
-F.;
$ 85=−0.16 $ 85=−0.16
/iso ;
+ 14= + 25=−0.75
/iso ;
+ 36=+ 47 =+ 58=−0.5
/iso ;
+ 69=+ 710=+ 811=−0.5
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. ome#tos 4 )"eras de s"6e%ió#A ?omentos de empotramiento per!ecto; 2
´ =−/ L =− 4900 kg− m M 12
12
2
´ = / L =4900 kg −m M 21
12
2
´ v = −/ L =−600 kg− m M 2
2
2
´ = M ´ = −/ L =−10800 kg− m M 34
67
12
2
´ = M ´ = / L =10800 kg −m M 43
76
12
(
2
2
)
´ = M ´ =− / L + 0a b =−19145 kg− m M 45
78
(
12
L
2
2
2
)
´ = M ´ = / L + 0 a b =15912 kg −m M 54
87
12
L
2
2
´ v = M ´ v = −/ L =−1800 kg −m M 5
8
2
2
´ = + 0 a b =+ 940 kg− m M 36
L
2
2
´ =− 0a b =−705 kg −m M 63
L
2
2
´ = / L =+ 1014 kg −m M 69
12
2
´ = −/ L =−1014 kg −m M 96
12
'eacciones de empotramiento per!ecto
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ + M ´ + 0a M ´ + =+ 1455 kg R = 36
36
´ 63= R
L
63
L
´ + M ´ + 0a M − =+ 945 kg 36
L
63
L
´ + M ´ + /L M ´ + =+ 1560 kg R = 69
69
´ 69= R
96
L
2
´ + M ´ + /L M − =+ 1560 kg 69
96
L
2
?omentos de sueci"n;
´ 1= M ´ 12=−4900 kg −m M ´ 2= M ´ 21+ M ´ 2 + =+ 4300 kg −m M ´ 3= M ´ 34+ M ´ 36 =−9860 kg− m M ´ 4= M ´ 43+ M ´ 45=−8345 kg −m M ´ 5= M ´ 54+ M ´ 5 + =+ 14112 kg −m M ´ 6= M ´ 67+ M ´ 63+ M ´ 69=−10491 kg− m M ´ 7= M ´ 76+ M ´ 74 + M ´ 78 + M ´ 710=−8345 kg −m M ´ 8= M ´ 87+ M ´ 85+ M ´ 811+ M ´ 8 v =14112 kg− m M
(. ome#to de #"do 4 mome#tos de pisoA ?omentos de nudo; ´ i − M 0 = mi 2
0
m 1= 0
m 2= 0
m 3=
∑ K
ik
−−4900 =+ 7.66 Kg− m 2 ( 91.4 + 228.6 ) −4300 =−6.72 Kg−m 2 ( 228.6 + 91.4 ) −−9860 =+ 8.38 Kg−m 2 ( 360 + 228.6 )
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
16
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
m 4=
0
m 5= 0
m 6= 0
m 7= 0
m 8=
−−8345 =+ 3.71 Kg− m 2 ( 360 + 228.6 + 308.6 + 228.6 ) −14112 =−9.21 Kg −m 2 ( 308.6 + 228.6 + 228.6 ) −−14112 =+ 6.97 Kg −m 2 ( 228.6 + 360 + 164.1 ) −−8345 =+ 3.93 Kg −m 2 ( 360 + 228.6 + 308.6 + 164.1 ) −14112 =−10.06 Kg− m 2 ( 308.6 + 228.6 + 164.1 )
?omentos de piso; r
´ r= m 0
´r −(r ∑ ! 1
2
∑ K
ik
´ I =0 m 0
0
´ II = m
0
−2.8 ( 1455 ) =−2.97 kg −m 2 ( 228.6 x 3 )
´ III = m
−3.9 ( 0 + 1455 + 2505 ) 2164.1
=−15.69 kg −m
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/. Ci%los de itera%ió#
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió#A )iclo de 8iros; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿
)iclo de despla#amientos; mi + ik (¿ + mk )
´ r= mr + m 0
∑¿
*doptaremos; 1ciclo de 8iros, 1 ciclo de despla#amientos, 1 ciclo de 8irosH etc$ &ecuencia para ciclo de 8iros; D - B I 2 I 1 I = I 6 I C I > /rimer ciclo de 8iros; m8=−10.06 + [ −0.22 ( 3.93 ) −0.16 (−9.21−2.97 ) −0.12 (−15.69 ) ] =−7.09 m5=−9.21 + [ −0.20 ( 3.71 ) −0.15 (−6.72 ) −0.15 (−7.09 −2.97 ) ] =−7.44
m2=−6.72+ [ −0.14 (7.66 )−0.36 (−7.44 ) ] =−5.11 m1=7.66 + [ −0.14 (−5.11 )−0.36 ( 3.71 ) ] =7.04
m3=8.38 + [ −0.31 ( 3.71 )−0.19 (− 6.97 −2.97 ) ] =6.47 m6=−6.97 + [ −0.15 ( 6.47 − 2.97 ) −0.24 (−3.93 ) −0.11 (−15.69 ) ] =7.23
m7=3.93 + [ −0.17 ( 7.23 )− 0.11 (3.71 −2.97 )− 0.14 ( −7.09 )−0.08 (−15.69 ) ] =4.87 m4= 3.71 + [−0.16 ( 6.47 ) −0.10 ( 7.04 ) −0.14 (−7.44 )− 0.10 ( 4.87 −2.97 ) ] = 2.82
/rimer ciclo de despla#amiento;
´ I =0 +[ −0.75 (7.04 + 2.82 )−0.75 (−5.11 −7.44 ) ] = 2.02 m ´ II =−2.97 + [ −0.5 ( 6.47 +7.23 )−0.5 ( 2.82 + 4.87 )−0.5 (−7.44 −7.09 ) ] =−6.40 m ´ III =−15.69 + [ −0.5 ( 7.23 ) −0.5 (−4.87 )− 0.5 (−7.09 ) ]=−18.20 m *si sucesiamente hasta completar B ciclos de 8iros y B de corrimientos$
;. ome#tos 0#alesA
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
19
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 1; M 12=−4900 + 91.4 [ 2 ( 6.43 )−6.14 ]
G - /2=<
M 14= 0 + 228.6 [ 2 ( 6.43 ) + 2.79 + 3.03 ]
< J >2C
G - 1< Gudo 2; M 21= 4900 + 91.4 [ 2 (−6.14 ) + 6.43 ]
G /(<;
M 25=0 + 228.6 [ 2 (−6.14 ) −7.12 + 3.03 ]
< - =C>2
M 2 v =¿
< - 6
G 2( Gudo =; M 34=−10800 + 360 [ 2 ( 7.55 ) + 2.79 ]
G - /(
M 36= 940 + 228.6 [ 2 ( 7.55 ) + 7.79 +(−8.00 ) ]
< J >=>>
G - 1< Gudo >; M 43= 10800 + 360 [ 2 ( 2.79 )+ 7.55 ] M 41= 0 + 228.6 [ 2 ( 2.79 ) + 6.43 + 3.03 ]
G 1;;2 < J =>=D
M 45=−19145 + 308.6 [ 2 ( 2.79 ) −7.12 ]
< - 1962
M 47= 0 + 228.6 [ 2 ( 2.79 ) + 5.63 − 8.00 ]
< J C=>
G 3 Gudo B; M 54= 15912 + 308.6 [ 2 (−7.12 ) + 2.7 ] M 52= 0 + 228.6 [ 2 (− 7.12 ) −6.14 + 3.03 ]
M 58= 0 + 228.6 [ 2 (−7.12 ) − 6.59 −8.00 ] M 5 v =¿
G 12(3 < - =966 < 6B91 < - 1D
G 22 Gudo 6; M 63=−705 + 228.6 [ 2 ( 7.79 ) + 7.55 − 8.00 ]
G 2;/
M 67=−10800 + 360 [ 2 ( 7.79 ) + 5.63 ]
< - =16>
=1014 + 164.1 [ 2 ( 7.79 ) −19.11 ]DE UNRA M E,CUE*+ ROE,ION+* INENIERI+ G CI7I* 2; 69
<-
>=B2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo C; M 76= 10800 + 360 [ 2 ( 5.63 ) + 7.79 ] M 74= 0 + 228.6 [ 2 ( 5.63 ) + 2.79 −8.00 ] M 78=−19145 + 308.6 [ 2 ( 5.63 )−6.59 ] M 710= 0 + 164.1 [ 2 ( 5.63 )−19.11 ]
G 1<;= < J 1=D= < 1CC> < 12DD
G /3 Gudo D; M 87= 15912 + 308.6 [ 2 (− 6.59 ) + 5.63 ]
M 811=0 + 164.1 [ 2 (−6.59 ) −19.11 ]
G 1(;=2 < J 6>69 < - B299
M 8 v =¿
<-
M 85= 0 + 228.6 [ 2 (−6.59 )−7.12 −8.00 ]
1D
G 1/ ?omentos en los apoyos; M 96 =−1014 + 164.1 [ 2 ( 0 ) + 7.79 −19.11 ] =−2872
M 107=0 + 164.1 [ 2 ( 0 ) + 5.63 − 19.11 ] =−2212 M 118= 0 + 164.1 [ 2 ( 0 )−6.59 −19.11 ] =− 4217
<. Compro$a%ió# de res"ltadosA En cada nudo &i
∑ M . 0
∑ M = 0 , se debe corre8ir el momento en cada barra
sumando al8ebraicamente un alor i8ual a, + $ ik ( 2 ∑ M ) Gudo 1;
∑ M =−16
M 12=−4286 +(−0.14 ) 2 (−16 )
G -/2=2
M 14=+ 4270 +(− 0.36 ) 2 (−16 )
< J>2D2
M G F ROE,ION+* DE UNRA ∑ E,CUE*+ INENIERI+ CI7I*
21
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 2;
∑ M =+ 23 M 21=+ 4365 +(−0.14 ) 2 ( 23 )
G /(;3
M 25=−3742 +(− 0.36 ) 2 ( 23 )
< - =CB9
M 2 v =¿
< - 6
∑ M Gudo =;
G F
∑ M =−16
M 34=−4360 +(− 0.31 ) 2 (−16 )
G - /(;F
M 36=+ 4344 +(−0.19 ) 2 (−16 )
< J >=B
∑ M Gudo >;
G F
∑ M =+ 79
M 41=+ 3438 +(−0.10 ) 2 ( 79 )
G 1;;F2 < J =>22
M 45=−19620 + ( −0.14 ) 2 ( 79 )
< - 196>2
M 47=+ 734 + (−0.10 ) 2 ( 79 )
M 43=+ 15527 +(−0.16 ) 2 ( 79 )
∑ M Gudo B;
C1D
G F
∑ M =+ 22
M 58=−6591 + (− 0.15 ) 2 ( 22 )
G 12(1 < J =9C= < - 6B9D
M 5 v =¿
<-
M 54=+ 12379 +(−0.20 ) 2 ( 22) M 52=−3966 +(− 0.15 ) 2 ( 22 )
∑ M
1D
G F
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
22
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 6;
∑ M =+ 25
M 63=+ 2754 +(− 0.15 ) 2 ( 25 )
G 2/<
M 67=−3164 +(−0.64 ) 2 ( 25 )
< - =1C6
M 69=+ 435 + ( −0.11 ) 2 ( 25 )
< J >=
∑ M Gudo C;
G F
∑ M =+ 49
M 78=−17704 + ( −0.14 ) 2 ( 49 )
G 12 < J 1=C2 < - 1CC1D
M 710=−1288 + (−0.08 ) 2 ( 49 )
<-
M 76=+ 17658 +(−0.17 ) 2 ( 49 ) M 74=+ 1383 +(−0.11 ) 2 ( 49 )
∑ M Gudo D;
1296
G F
∑ M =+ 14
M 811=−5299 + (−0.12 ) 2 ( 14 )
G 1(;< < J 6>C> < - B=2
M 8 v =¿
<-
M 87=+ 13582 +(−0.22 ) 2 ( 14 ) M 85=−6468 +(− 0.16 ) 2( 14 )
∑ M
1D
G F
Euilibrio de !uer#as laterales; En cada piso ∑ % (=0 iso IA
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
∑ % =' (
∑ % = (
14
+'
25
M 14+ M 41 M 25 + M 52
+
L
L
+ 3422 −3759−3973 + ∑ % = 42822.8 2.8 (
∑ % =2751.43 −2761.43=−10 kg&ok (
iso IIA
∑ % =2400 +' (
36
+ '47 + '58
M 36 + M 63 M 47+ M 74 M 58 + M 85
+ ∑ % =2400 ± 0b L (
L
+
L
+
L
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ 2746 718+ 1372 −6598 −6474 + + ∑ % =2400 −1028.6 + 43502.8 2.8 2.8 (
∑ % =2400 +1505.69 +746.43 −4668.57 =−16.45 kg&ok (
iso IIIA
∑ % =2400 +/L++ ' (
+ ∑ % =5520 + −/L 2
69
+ '710+ '811
M 69+ M 96 M 710+ M 107 M 811+ M 118
(
L
+
L
+
L
∑ % =5520 −2186.15 −899.49 −2440.77 (
∑ % =−6.41 kg&ok (
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a comprobaci"n de resultados 8eneralmente se limita a eri3car la suma de momento en cada nudo, calculo ue puede incluirse en el piso B, tal como se adoptara en los eemplos a desarrollarse posteriormente$
I7.
C+,O, +RTICU*+RE, ,I,TE+ I7.1. ORTICO, ,UJETO, 7ERTIC+*E,
8
,I*I+CIONE,
OR
UNIC+ENTE + C+R+,
En este caso por no existir car8as laterales no existen !uer#as de sueci"n ni momentos de pisos;
´ r =0 m 0
as ecuaciones de iteraci"n son; /ara los nudos; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿
/ara los pisos; mi + ik (¿ + mk )
´ r= mr + m 0
∑¿
os momentos 3nales se calculan con la expresi"n;
´ ik + K ik ( 2 mi + m k + ´mr ) " ik = " EKE?/. +E */)*.G GL 2 )alcular los momentos en los extremos de todas las barras del p"rtico de la 38ura;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
26
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
i8as; 2B x > )olumnas; 1er piso; =B x > 2do piso; = x > =er piso; 2B x > >to piso; 2B x > E< constante 1$ Factores de 8iro y corrimiento 'i8ideces relatias; 50 I / L K ik = , k = 3 k
Factores de 8iro; $ ik =
−1 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ + = −23 ik
os cálculos respectios han sido e!ectuados directamente en el si8uiente dia8rama$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
2D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2$ ?omentos de sueci"n ome#tos de empotramie#to per)e%toA 2
´ =−( 1800 ) (5 ) =−3750 kg −m M 12
12
´ 21=3750 kg− m M 2
´ =−( 1800 ) ( 4 ) =−2400 kg −m M 23
12
´ 32=2400 kg− m M ´ = M ´ = M ´ M 45
78
1011
´ = M ´ = M ´ M 54
87
1110
= =
´ 56= M ´ 89= M ´ 1112= M
−2400 ( 5 )
2
−
12
( )
2400 5
2
12
+
−2400 ( 4 )
2
2
( ) ( 3) =+ 6920 kg −m ( 5)
4000 2
2
2
12
2
( )( ) =−7880 kg −m (5 )
4000 2 3
+
( )
4000 4 8
=−4200 kg −m
´ 65= M ´ 98= M ´ 1211=+ 4200 kg −m M ome#tos de s"6e%ió#A
´ i= M
∑ M ´
ik
´ 1=−3750 kg− m M ´ 2=+ 3750−2400 =1350 kg −m M ´ 3=+ 2400 kg −m M ´ 4= M ´ 7 = M ´ 10=−7800 kg −m M ´ 5= M ´ 8= M ´ 11=6920− 4200=2720 kg −m M ´ 6= M ´ 9= M ´ 12= 4200 kg− m M =$ ?omentos de nudo y momentos de piso ome#tos de #"doA
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
0
m1=+ 45.73 kg− m
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
0
m 7=+ 55.49 kg −m
29
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
m8=−14.95 kg − m
0
m 9=−28.00 kg − m
0
m 10=+ 53.24 kg −m
0
m 11=−14.47 kg −m
0
m12=−26.92 kg −m
m2=−11.07 kg −m
m3=−26.67 kg −m m4=+ 59.70 kg −m m5=−15.81 kg− m m6=−30.00 kg −m
0
0
0
0
0
ome#tos de pisoA /or no existir car8as laterales y !uer#as de sueci"n; ´ r =0 , en todos los pisos m 0
>$ )iclos de iteraci"n
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió#A )iclo de 8iros; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿ )iclo de despla#amientos;
mi + ik (¿ + m k )
´ r= mr + m 0
∑¿ )iclos de iteraci"n; > de 8iros y = de despla#amientos en !orma alternada$ &ecuencia para ciclo de 8iros; > I C I 1 I 6 I 9 I 12 I 1 I B I D I 11 I = I 2
B$ )alculo de momentos 3nales;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M Gudo 1; Gudo 2;
M 12=−3750 + 16 [ 2 ( 36.40 )−7.36 ]
G - 2F(
Gudo =;
M 14= 0 + 25 [ 2 ( 36.40 ) + 53.92−18.36 ] M 21= 3750 + 16 [ 2 ( −7.36 ) + 36.40 ]
< J 2C9 G /F3
G< M =−2400 + 20 [ 2 (−7.36 ) −15.51 ] M = 2400 + 20 [ 2 (−15.51 ) −7.36 ] M = 0 + 25 [ 2 (−7.36 ) −10.61−18.36 ] M =0 + 25 [ 2 ( −15.51 )−15.58 −18.36 ] G36F G= 23 32 25
< - =B G 1<(2 < - 192 < - 162=2
Gudo >;
M 41= 0 + 25 [ 2 ( 53.92 )+ 36.40 −18.36 ]
G (1/
M 45=−7880 + 16 [ 2 ( 53.92 ) −10.61 ]
< - 6=2>
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE M =CI7I* 0 + 25 [ 2 ( 53.92 )+ 44.88 − 23.34 ] INENIERI+ 47
G ;=
< - =2=B
=2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo B; Gudo 6; Gudo C; Gudo D;
M 54= 6920 + 16 [ 2 (−10.61 ) + 53.92 ]
M 52= 0 + 25 [ 2 (−10.61 )−7.36 −18.36 ] M 65= 4200 + 20 [ 2 (−15.58 ) −10.61 ] M 56=−4200 + 20 [ 2 (−10.61 )−15.58 ] M 63= 0 + 25 [ 2 (−15.58 ) −15.51 −18.36 ] M 58= 2 ( −10.61 ) −7.41 −23.34 =00 + + 25 M 25 [[ 2 ( 44.88 ) + 53.92− 23.34 ] ] 74 M = 0 + 25 [ 2 (−15.58 ) −12.51−23.34 ] G69 (/ M 78=−7880 + 16 [ 2 ( 44.88 )−7.41 ] M G < + 16 2 −7.41 + 44.88 =6920 ) [ ( ] 87 = + + − M 710 0 30 [ 2 ( 44.88 ) 51.78 21.57 ] M 85= 0 + 25 [ 2 (−7.41 ) −10.61 −23.34 ]
G /< M =−4200 + 20 [ 2 (−7.41 ) −12.51 ] 89
M 811=0 + 30 [ 2 (−7.41 ) −70.84 −21.57 ]
G //( < - 11C> G ((<; < - >9=6 < - 162= < G -1299 (FF3 < - 16CB < - 6B62 G /F1 < - =B99 < - 1219 < - >C>C < - 1>1C
G 1=
Gudo 9; Gudo 1;
M 98= 4200 + 20 [ 2 (−12.51 ) −7.41 ]
G (;;1
Gudo 11;
M 96= 0 + 25 [ 2 (−12.51 ) −15.58−23.34 ] M 107=0 + 30 [ 2 ( 51.78 )+ 44.88−21.57 ] M 912= 0 + 30 [ 2 (−12.51 )−16.97 −21.57 ] M 1011=−7880 + 16 [ 2 ( 51.78 )−10.84 ]
< - 1B99 G (=F< < - 19C < - 6=96
G /; M 1013=0 + 28 [ 2 ( 51.78 ) + 0 −10.73 ]
< - 2B99
G3 Gudo 12;
om e#tos e# los
M 1110 =6920 + 16 [ 2 (−10.84 ) + 51.78 ]
G /F2
M 118=0 + 30 [ 2 (−10.84 )− 7.41 −21.57 ] M 1211=4200 + 20 [ 2 (−16.97 ) −10.84 ] M 1112=− 4200 + 20 [ 2 ( −10.84 ) −16.97 ] M 129= 0 + 30 [ 2 ( 16.97 )−12.51 − 21.57 ] M 1114 =0 + 28 [ 2 (−10.84 )−0 −10.73 ] M 1215=0 + 28 [ 2 (− 16.97 ) + 0 −10.73 ]
< - 1B2 G ((F/ < - >9C= < - 2>1 < - 9C < - 12B1
G2 G 12
apo4osA M =0 + 28 [ 2 ( 0 ) + 51.78 −10.73 ] =+ 1149 1310
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
==
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M 1411= 0 + 28 [ 2 ( 0 )−10.84 − 10.73 ] =−604 M 1512= 0 + 28 [ 2 ( 0 ) 16.97 −10.73 ] =−776
E!ectuando la compensaci"n para el euilibrio de momentos en cada nudo, se obtienen los si8uientes resultados; M 12=−2705 kg −m
M 78=−6573 kg− m
M 14=+ 2705 kg −m
M 710=+ 3580 kg− m
M 21=+ 4097 kg −m
M 87=+ 7398 kg −m
M 23=−3005 kg − m
M 85=−1224 kg −m
M 25=−1092 kg − m
M 89=−4751 kg −m
M 32=+1628 kg− m
M 811=−1423 kg −m
M 36=−1628 kg− m
M 98=+ 3539 kg −m
M 41=+ 3125 kg −m
M 96=−1614 kg −m
M 45=−6338 kg −m
M 912=−1925 kg −m
M 47=+ 3213 kg −m
M 107=+ 3802 kg − m
M 54=+ 7437 kg −m
M 1011=−6398 kg− m
M 52=−1184 kg − m
M 1013=+ 2596 kg − m
M 56=−4944 kg −m
M 1110=+7402 kg −m
M 58=−1309 kg − m
M 118=−1521 kg− m
M 65=+ 3346 kg −m
M 1112=− 4973 kg− m
M 63=−1647 kg− m
M 1114=−908 kg −m
M 69=−1699 kg − m
M 1211=+ 3301 kg− m
M 74=+ 2993 kg −m
M 129=−2046 kg −m
M 1215=−1255 kg −m
I7.2. órti%os s"6etos 9#i%ame#te a %argas laterales e# los #"dos En este caso los momentos de sueci"n y momentos de nudo son nulos; 0
m i =0
a ecuaci"n de iteraci"n son; /ara nudos;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
mr ´ r )( I ) $ ik (¿ + m m i=
∑¿
/ara pisos; mi + ik (¿ + mk )( II )
∑¿
´ r =mr + m 0
.bsérese ue en este caso debe inclinarse el proceso de iteraci"n por un ciclo de 8iros$ os momentos 3nales se calculan con la expresi"n;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M EKE?/. +E */)*)MG GL = +eterminar los momentos en los extremos de las barras del p"rtico del eemplo de aplicaci"n GL 2 para el sistema de car8as mostrado$
i8as; 2B x > )olumnas; 1er piso; =B x > 2do piso; = x >
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=er piso; 2B x > >to piso; 2B x > E< constante 1$ Factores de 8iro y corrimiento /or tratarse del p"rtico del eemplo anterior los ri8ideces, !actores de 8iro y corrimiento respectios son los mismos$ 2$ ?omentos y !uer#as de sueci"n ome#tos de s"6e%ió# /or estar el p"rtico sueto solamente a car8as laterales actuando en los nudos, no existen momentos de empotramiento per!ecto y por consi8uiente los momentos de sueci"n son nulos$
´ i=0 M
"eras de s"6e%ió# as !uer#as de sueci"n para este caso particular son i8uales a las car8as actuantes en cada nudo$ ´ I =+ 3000 kg !
´ II =+ 4500 kg ! ´ III =+ 4500 kg ! ´ I+ =+ 4500 kg ! =$ ?omentos de nudo y momentos de piso ome#tos de #"doA
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
0
mi =0 paratodoslos nudos
ome#tos de pisoA r
´ r= m 0
0
´ I = m 0
´r −(r ∑ ! 1
2
ik
−3.2 ( 3000 ) =−64.00 kg− m 2 ( 25 + 25 + 25 )
´ II = m 0
∑ K
−3.2 ( 3000 + 4500 ) =−160.00 kg −m 2 ( 25 + 25 + 25 )
´ III = m
−3.2 ( 3000 + 4500 + 4500 ) =−213.33 kg −m 2 ( 30 + 30 + 30 )
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
´ I+ = m
−4 ( 3000 + 4500+ 4500 + 4500 ) =−392.86 kg− m 2 ( 28 + 28 + 28 )
>$ )iclos de iteraci"n E%"a%io#es de itera%ió#A )iclo de 8iros; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿
)iclo de despla#amientos; mi + ik (¿ + mk )
´ r= mr + m 0
∑¿
)iclos de iteraci"n; B de 8iros y > de despla#amientos en !orma alternada &ecuencia para ciclo de 8iros; 1 I 11 I 12 I C I D I 9 I > I B I 6 I 1 I2I= )omo se mani!est" anteriormente, en este caso particular se empie#a el proceso de iteraci"n necesariamente por un ciclo de 8iros, se8uido de uno de corrimientos, de esta manera se eita repetir los alores de los momentos de piso$ En el dia8rama mostrado a continuaci"n se han e!ectuado las iteraciones$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B$ )álculo y compensaci"n de momentos 3nales$
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 1; M 12 =16 [ 2 ( 32.65 ) + 20.58 ] M 14 =25 [ 2 ( 32.65 )+ 82.99 −202.06 ]
? < 16 Gudo 2;
M 23=20 [ 2 ( 20.58 ) + 29.99 ] M 25=25 [ 2 ( 20.58 ) + 59.22 − 202.06 ]
M 36 =25 [ 2 ( 29.99 ) + 77.75 −202.06 ]
M 45 =16 [ 2 ( 82.99 ) + 59.22 ] M 47 =25 [ 2 ( 82.99 ) + 150.89 − 449.25 ]
G 11<; < J1>= < -2B6D
G -1 1<11 < -16D -2
G 1<1F < -161
G -=<
3 < J=6= >9 < -==1 C9
G - 1<;
G (22( 2 < -1BC6 >1 < J=92> => < -B>2D >1
G (13< < -161C
< J=BB> < -==DC
GF
M 54=16 [ 2 ( 59.22 ) + 82.99 ] M 52=25 [ 2 ( 59.22 ) + 20.58 −202.06 ] M 56=20 [ 2 ( 59.22 ) + 77.75 ] M 58=25 [ 2 ( 59.22 ) + 113.70 −449.25 ]
? < J 1>=
1< 2 26
GF
M 41 =25 [ 2 ( 82.99 ) + 32.65 − 202.06 ]
? < J 2C Gudo B;
G 11=1 < J1>2= < -2B>2
GF
M 32 =20 [ 2 ( 29.99 ) + 20.58 ]
? < J = Gudo >;
G 1(<2 < -1=62
GF
M 21=16 [ 2 ( 20.58 ) + 32.65 ]
? < J 62 Gudo =;
G 1(/ 12 < -1=>> 1D
< J=D9 <-2B69
GF
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
=9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 6; M 65 =20 [ 2 ( 77.75 ) + 59.22 ] M 63 =25 [ 2 ( 77.75 ) + 29.99 − 202.06 ] M 69 =20 [ 2 ( 77.75 ) + 143.01 − 449.25 ]
? < J 111 Gudo C;
G /23/ < ->1>
(1 > < -=C69 >
G /2<( < ->B> < -=D9
GF
M 74=25 [ 2 ( 150.89 ) + 82.99 −449.25 ]
G -3< -1<12 < -62 J66>D < ->C62 116
G -1F= < J6BD6 < ->DCD
M 87 =16 [ 2 ( 113.70 ) + 150.89 ]
G
M 85 =25 [ 2 ( 113.70 )+ 59.22 −449.25 ]
< ->66 -92
M 89 =20 [ 2 ( 113.70 )+ 143.01 ]
< -C= JC>D < -961 11
G ;33 / < ->1BD < JC==B <91C1
M 78=16 [ 2 ( 150.89 ) + 113.70 ] M 710= 30 [ 2 ( 150.89 ) + 221.34 −681.84 ]
? < J 2C>
GF
Gudo D;
M 811=30 [ 2 ( 113.70 ) + 152.40 −681.84 ]
? < J ==> Gudo 9;
-;3
GF
M 98=20 [ 2 ( 143.01 ) + 113.70 ]
G 33/
M 96=25 [ 2 ( 143.01 ) + 77.75 −449.25 ]
< -21=C -66
M 912= 30 [ 2 ( 143.01 )+ 207.14 −681.84 ]
< JB66
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE
?INENIERI+ < J GF CI7I* 19C
-;2
-C9
G 3/ 2 < -22= < JBC=9>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 1; M 107 = 30 [ 2 ( 221.34 )+ 150.89 −681.84 ] M 1011 =16 [ 2 ( 221.34 ) + 152.40 ] M 1013=28 [ 2 ( 221.34 ) + 0 −672.56 ]
? < J >=6 Gudo 11;
G -2= < J9B21 < -6>=C
G 1 -2=2; -9> < J9>2C < 16B -662
GF
M 1110 =16 [ 2 ( 152.40 ) + 221.34 ] M 118=30 [ 2 ( 152.40 ) 113.70 − 681.84 ] M 1112= 20 [ 2 ( 152.40 ) + 207.14 ] M 1114 =28 [ 2 ( 152.40 ) + 0 −672.56 ]
G -= =/13 < -C9 1>C < -9D J12=9 < -129C 1=C
G =(/F < -D>C
G -3/ 11(( / < -=C=C 1> < -C2=2 1=1
G 112/ F < -=DCC
< J11>1 <1>=>
? < J GF >6 Gudo 12; M 1211=20 [ 2 ( 207.14 )+ 152.40 ] M 129= 30 [ 2 ( 207.14 ) + 143.01 − 681.84 ] M 1215=28 [ 2 ( 207.14 ) + 0 −672.56 ]
? < J =6B
< JC=6=
GF
ome#tos e# los apo4osA M 1310=28 [ 2 ( 0 ) + 221.34 −672.56 ] =−12634
M 1411=30 [ 2 ( 0 ) + 152.40 −672.56 ] =−14564 M 1512=28 [ 2 ( 0 ) + 207.14 −672.56 ] =−13032
I7.(.
órti%os si# desplaamie#tos lateralesA
*l no existir despla#amientos laterales en todos los nieles de los p"rticos no existen momentos por in:uencia de despla#amientos en las columnas;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ r= 0 m E%"a%io#es de itera%ió# /ara nudos; mr ´ r )( I ) $ ik (¿ + m m i=
∑¿
?omentos 3nales;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M EKE?/. +E */)*)MG GL > )alcular los momentos en los extremos de las barras del p"rtico sin despla#amiento mostrado en la 38ura$
i8as; 2B x > )olumnas; 1er piso; =B x > 2do piso; = x > =er piso; 2B x > >to piso; 2B x > 1$ Factores de 8iro
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
'i8ideces relatias 50 I / L K ik = , k = k 3
Factores de 8iro; $ ik =
−1 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ + = −23 ik
os cálculos correspondientes correspondientes se muestran en el dia8rama$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2$ ?omen ?omento toss de su sue eci ci"n "n ome#tos de empotramie#to per)e%toA 2
´ =−( 1800 ) (5 ) =−3750 kg −m M 12
12
´ 21=3750 kg− m M 2
´ =−( 1800 ) ( 4 ) =−2400 kg −m M 23
12
´ 32=2400 kg− m M ´ = M ´ = M ´ M 45
78
1011
´ = M ´ = M ´ M 54
87
1110
= =
´ 56= M ´ 89= M ´ 1112= M
−2400 ( 5 )
2
−
12
( )
2400 5
2
12
+
−2400 ( 4 ) 12
2
( )( ) =−7880 kg −m (5 )
4000 2 3 2
2
( ) ( 3) =+ 6920 kg −m ( 5)
4000 2
2
2
+
( )
4000 4 8
=−4200 kg −m
´ 65= M ´ 98= M ´ 1211=+ 4200 kg −m M ome#tos de s"6e%ió#A
´ i= M
∑ M ´
ik
´ 1=−3750 kg− m M ´ 2=+ 3750−2400 =1350 kg −m M ´ 4=−7880 kg −m M ´ 5=6920− 4200= 2720 kg− m M ´ 7=−7880 kg− m M ´ 8=6920 −4200 =2720 kg− m M ´ 10=−7880 kg −m M ´ 11=6920 −4200 =2720 kg −m M =$ ?omen ?omento toss de nu nudo do ome#tos de #"doA
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
m 1= 0
m 2= 0
m 4= 0
m 5= 0
m 7= 0
m 8=
−−3750 =+ 45.73 kg −m 2 ( 25 + 16 ) −+ 1350 =−11.07 kg −m 2 ( 16 + 20 + 25 ) −−7880 =+ 59.70 kg −m 2 ( 25 + 16 + 25 ) −+2720 =−15.81 kg− m 2 ( 16 + 25 + 20 + 25 ) −−7880 =+ 55.49 kg −m 2 ( 25 + 16 + 30 ) −+2720 =−14.95 kg −m 2 ( 16 + 25 + 20 + 30 )
0
m10= 0
m11=
−−7880 =+ 53.24 kg −m 2 ( 30 + 16 + 28 ) −+2720 =−14.47 kg −m 2 ( 16 + 30 + 20 + 28 )
>$ )iclos de iteraci"n E%"a%io#es de itera%ió#A /or ser el p"rtico indespla#able solo se tiene una ecuaci"n de iteraci"n )iclo de 8iros; mr
´ r) $ ik (¿ + m 0
m i=m i +
∑¿ &ecuencia para ciclo de 8iros; > I C I 1 I 1 I 2 I B I D I 11
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B$ )alculo de momentos 3nales;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr ) M ik = M Gudo 1; Gudo 2;
M 12=−3750 + 16 [ 2 ( 33.46 )−12.07 ]
G - 2=2
M 14= 0 + 25 [ 2 ( 33.46 ) + 48.04 ]
< J 2DC>
UNRA? E,CUE*+ ROE,ION+* DE
>C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo >; Gudo B;
M 21= 3750 + 16 [ 2 ( −12.07 ) + 33.46 ]
G (=33
M 23=−2400 + 20 [ 2 (−12.07 ) + 0 ]
< - 2DD=
=0 + 25 [ 2 (− 48.04 )+)33.46 ] ] −16.58 M 41 12.07 25
G (2(3 < -11D
? M <45-=− 1 7880 + 16 [ 2 ( 48.04 )−16.58 ]
Gudo C;
M 54= 6920 + 16 [ 2 (−16.58 ) + 48.04 ] M 47= 0 + 25 [ 2 ( 48.04 ) + 38.61 ] M 52=0 + 25 [ 2 (−16.58 )−12.07 ] ? M < -=20 + 25 2 ( 38.61 )+ 48.04 [ ] 74 M 56=−4200 + 20 [ 2 (−16.58 ) + 0 ] M 78=−7880 + 16 [ 2 ( 38.61 )−13.38 ] ) −13.38 = +25+[ 216(−[ 216.58 M ] ] =06920 M 58 (−13.38 ) + 38.61 87 M = 0 + 30 [ 2 ( 39.61 ) + 47.17 ] ? <710 M 85= 0 + 25 [ 2 (−13.38 ) −16.58 ] ? M < J=B0 + 30 2 ( 47.17 ) + 38.61 [ ] 107 M 89=−4200 + 20 [ 2 (−13.38 ) + 0 ] M 1011 =−7880 + 16 [ 2 ( 47.17 )−16.34 ] (−13.38 )−16.34 ==06920 + 30 [+216 M ] ] M 811 ) + 47.17 [ 2 (−16.34 1110 M =0 + 28 [ 2 ( 47.17 ) + 0 ] ? <1013 -2 M 118=0 + 30 [ 2 (−16.34 )− 13.38 ]
Gudo D; Gudo 1; Gudo 11;
?<-1
< - 66D G 1;= < - ==6C < - 11=1 G (1(2 < - >D6= < - 6DB9 < G -116> 11F < - =C=2 < - 1D> G (3=3 < - >C=B < - 66=2 < G -129= 1;2 < - 26>2 < - 1=D2
M 1112=− 4200 + 20 [ 2 (−16.34 ) + 0 ]
< - >DB>
M 1114=0 + 28 [ 2 (−16.34 )+ 0 ]
< - 91B
?
M 65=4200 + 20 [ 2 ( 0 ) −16.58 ] =+ 3868 M 98 =4200 + 20 [ 2 ( 0 ) −13.38 ] =+ 3932
M 1211= 4200 + 20 [ 2 ( 0 )−16.34 ] =+ 3873 M 1310= 0 + 28 [ 2 ( 0 ) + 47.17 ] =+ 1321
M 1411= 0 + 28 [ 2 ( 0 )−16.34 ] =−458
NotaA como puede obserarse los momentos de deseuilibrio son peueos y no es imprescindible reali#ar la compensaci"n respectia I7./.
,impli0%a%io#es por simetr:a e# la estr"%t"ra
En el caso de simetr7a en la estructura, pueden presentarse 2 casos
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$>$1$ /"rtico con numero par de cru7as En este caso solo debe anali#arse la mitad de la estructura, considerando en el ee de simetr7a apoyos empotrados para todas las i8as ue lle8an a dicho ee$ os momentos de la columnas ubicadas en el ee de simetr7a son i8uales acero$ El p"rtico se resuele se8Nn el desarrollo mostrado en el eemplo de aplicaci"n GL >$
$>$2$ /"rticos con nNmero impar de cru7as
En este caso para los nudos adyacentes al ee de simetr7a; θi=−θk mi=−mk
/ara el cálculo de los momentos en los extremos de las i8as de la cru7a central se tendr7a$
´ ik + K ik ( 2 mi−mi ) M ik = M ´ ik + K ik ( mi ) porticoreal M ik = M
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
>9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ ik + K ik ( 2 mi ) portico simplificado M ik = M 8ualando estas expresiones;
)
1
K ik = K ik 2
Es decir ue el p"rtico simétrico real puede ser simpli3cado para el cálculo de los momentos por in:uencia de 8iro de los nudos, mediante un p"rtico con las i8as de la cru7a central empotradas en su extremo, considerando para estas una ri8ide# modi3cada; )
1
K ik = K ik 2
/ara el cálculo de los momentos de nudo y de los momentos 3nales deben considerarse los momentos de empotramiento per!ecto de la condici"n 8eométrica real de la estructura$ En esta simpli3caci"n el cálculo de los momentos 3nales en los extremos de la i8a de la cru7a central se reali#a empleando cualuiera de las relaciones sealadas anteriormente siendo más !recuente emplear la expresi"n;
´ ik + K ik ( 2 mi ) M ik = M
´ ik M < ?omento de empotramiento per!ecto de la condici"n real$ mi < ?omento por in:uencia de 8iro en el nudo, determinado en
el p"rtico simpli3cado$
EKE?/. +E */)*)MG GL B +eterminar los momentos en los extremos de las barras del p"rtico simétrico$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
i8as; 2B x > )olumnas; 1er piso; =B x > 2do piso; = x > =er piso; 2B x > >to piso; 2B x > 1$ Factores de 8iro 'i8ideces relatias 50 I / L K ik = , k = 3 k
/ara las barras de la cru7a central; )
1
K ik = K ik 2
Factores de 8iro; $ ik =
−1 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ $ = −21 ik
/ara el cálculo de los !actores de 8iro de los nudos ue conten8an barras de la cru7a central, se toma en cuenta la ri8ide# modi3cada de estas$ os cálculos correspondientes se muestran en el si8uiente dia8rama$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/"rtico simpli3cado
)omo se obsera los !actores de corrimiento no han sido calculados ya ue por condiciones de simetr7a el p"rtico no presenta despla#amiento lateral$ /uede prescindirse del cálculo de estos !actores ya ue no interienen en el proceso de iteraci"n$ 2$ ?omentos de sueci"n ome#tos de empotramie#to per)e%toA 2
´ =−( 1800 ) (5 ) =−3750 kg −m M 12
12
´ 21=3750 kg− m M
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
´ =−( 1800 ) ( 4 ) =−2400 kg −m M 23
12
´ 32=2400 kg− m M ´ = M ´ = M ´ M 56
910
1314
=
´ = M ´ = M ´ M 65
109
11413
−2400 (5 )
=
2
−
12
( )
2400 5 12
2
+
´ 67= M ´ 1011= M ´ 1415= M
12
2
2
( ) (3 ) =+ 6920 kg− m (5)
4000 2
2
2
−2400 ( 4 )
2
( )( ) =−7880 kg −m (5)
4000 2 3
+
( )
4000 4 8
=− 4200 kg −m
´ 76= M ´ 1110= M ´ 1514 =+ 4200 kg −m M ome#tos de s"6e%ió# ´ 1=−3750 kg− m M
´ 2=+ 3750−2400 =1350 kg −m M ´ 5=−7880 kg− m M ´ 6=6920 −4200 =2720 kg −m M ´ 9=−7880 kg −m M ´ 10=6920− 4200=2720 kg −m M ´ 13=−7880 kg −m M ´ 14=6920− 4200= 2720 kg− m M =$ ?omentos de nudo;
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
0
0
m9=+ 55.49 kg −m
0
m 10=−16.79 kg − m
0
m 13=+ 53.24 kg −m
0
m 14=−16.19 kg− m
m1=+ 45.73 kg− m m2=−13.24 kg −m m5=+ 59.70 kg −m m6=−17.89 kg −m
0
0
0
>$ )iclos de iteraci"n
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%ió# de itera%ió#A m k $ ik (¿) 0
m i=m i +
∑¿
&ecuencia para ciclo de 8iros; B I 9 I 1= I 1 I 6 I 1 I 1> I 2
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B$ )alculo de momentos 3nales
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
BB
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk ) barrascon regidez real M ik = M ´ ik + K ik ( 2 mi ) barrascon rigidez modificada M ik = M )
Gudo 1; Gudo 2;
M 12=−3750 + 16 [ 2 ( 33.80 ) −14.06 ]
G - 2=3(
Gudo B;
M 15= 0 + 25 [ 2 (33.80 )+ 48.16 ] M 21=3750 + 16 [ 2 ( −14.06 ) + 33.80 ]
< J 2D9> G (=/1
M 23=−2400 + 10 [ 2 (−14.06 ) + 0 ] M 51= 0 + 25 [ 2 ( 48.16 ) + 33.80 ] M 25= 0 + 25 [ 2 (−14.06 ) −18.30 ] M =−7880 + 16 [ 2 ( 48.16 )−18.30 ] ? <56-=16920 + 16 2 (−18.30 ) + 48.16 M 65 [ ] M 59= 0 + 25 [ 2 ( 48.16 ) + 38.67 ] M = 0 + 25 [ 2 (−18.30 )− 14.06 ] ? <62-=> + M 95 0 25 [ 2 ( 38.67 ) + 48.16 ] M 67=−4200 + 10 [ 2 (−18.30 ) + 0 ] M 910 =−7880 + 16 [ 2 ( 38.67 )− 14.45 ] = + 25+[ 216 M (−[ 218.30 )−14.45 ] ] = 06920 (−14.45 ) + 38.67 M 610 109 M =0 + 30 [ 2 ( 38.67 )+ 47.34 ] ? <913 -B M 85= 0 + 25 [ 2 ( −14.45 ) −18.30 ]
< - 26D1 G (2;( < - 1161 < - 66=2 G 1F/ < - ==CB < - 1126C G (1(= < - >B66 < - 6DC> < G -12C6 F< < - =C> < - 11D
Gudo 6; Gudo 9; Gudo 1;
?
?
M 89=−4200 + 10 [ 2 (−14.45 ) + 0 ]
< - >>D9
M 811=0 + 30 [ 2 (−14.45 )− 18.12 ]
< - 1>11
?<-> Gudo 1=; Gudo 1>;
M 139= 0 + 30 [ 2 ( 47.34 ) + 38.67 ]
G /FF1
M 1314=−7880 + 16 [ 2 ( 47.34 )−18.12 ] M 1413=6920 + 16 [ 2 (−18.12 ) + 47.34 ] M 1317= 0 + 28 [ 2 ( 47.34 ) + 0 ] M 1410=0 + 30 [ 2 (− 18.12 )−14.45 ]
< - 66BB G F3= < - 26B1 < - 1B21
M 1415=−4200 + 10 [ 2 (−18.12 )+ 0 ]
< - >B62
M 1418=0 + 28 [ 2 (− 18.12 )+ 0 ]
< - 11B
?<-=
?
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M 1814= 0 + 28 [ 2 ( 0 )− 18.12 ] =−507
&imilarmente al caso anterior los momentos de deseuilibrio no reuieren ser distribuidos$
7.
C+,O, E,ECI+*E, órti%os %o# %ol"m#as de di)ere#te alt"ra e# "#
7.1.
piso
En este caso las columnas de di!erente altura del piso presentan distintos momentos por in:uencia de despla#amiento
´ ik , puesto m
ue en la expresi"n;
´ ik =−6 EK Rik , Rik = m
1 no es constante (ik
&in embar8o es posible emplear el método bao el mismo criterio 8eneral$ ntroduciendo un !actor de altura para dichas columnas en las ecuaciones !undamentales$ Factor de altura;
2 ik =
( r (ik
(r ; *ltura arbitraria de re!erencia$ (ik ; *ltura de la columna
+e este modo; 2 ik =
( r (ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
BC
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2 (r ik
´ ik =−6 EK m ´ ik =m ´ r 2 ik m
´ r ; ?omento por in:uencia de despla#amiento en el piso m con
columna de di!erente altura
odi0%a%ió# de las e%"a%io#es /ara la deducci"n de la ecuaci"n de iteraci"n de despla#amientos$ ∑ % (=0 r
[ ∑[
∑ ! ´ +∑ r
1
r
∑ ! ´ + r
1
K ik ( 3 mi+ 3 mk + 2 ´ mik ) (ik
]
=0
2 ik K ik ( 3 mi + 3 m k + 2 ´mr 2 ik ) (r
]
=0
r
(r
∑ ! ´ + 3 ∑ [ 2 K ( m + m ) +2 ´m ∑ 2 K ]=0 2
r
ik
ik
i
k
r
ik
ik
1
+espeando; r
∑ ! ´ ´ = m 2 ∑ 2 K (r
r
1
r
2
ik
+
−3 2 ik K ik
ik
2
∑ 2 K 2
ik
(mi + mk )
ik
+onde; r
∑ ! ´ ´ = m 2 ∑ 2 K (r
0
r
1
r
2
ik
+ ik =
, momento de piso
ik
−3 2 ik K ik 2
∑
2
2 ik K ik
, factor decorrimiento
)omprobaci"n;
∑ +
ik 2 ik =
−3 2
Finalmente para el piso con columna de di!erente altura, las ecuaciones de iteraci"n son;
´ r 2 ik mk + m $ ik (¿)( I ) ´ i= ´mi + m 0
∑¿
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
BD
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
m i+ m k + ik (¿)( II )
´ i= ´mi + m 0
∑¿
?omentos 3nales de las columnas;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr 2 ik ) M ik = M EKE?/. +E */)*)MG GL6 )alcular lo momentos en los extremos de las barras del p"rtico de la 38ura;
1$ Factores de 8iro y corrimiento a%tores de alt"raA 2 ik =
( r (ik
(r < B$ m altura de re!erencia 2 47 <=O><1$2=,
2 58 < 2 69
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
B9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a%tores de giroA $ ik =
1
K ik
2
∑ K
,
ik
∑ $ = −21 ik
a%tor de %orrimie#toA /ara el piso superior −3 K ik −3 + ik = , ∑ + ik = 2
∑ K
2
ik
/ara el primer piso + ik =
−3 2 ik K ik 2
∑ 2 K 2
ik
,
∑ +
2 ik =
ik
ik
−3 2
os cálculos respectios se muestran en el dia8rama
2$ ?omentos y !uer#as de sueci"n ome#tos de empotramie#to per)e%toA 2
´ =−( 1800 ) (5 ) =−3750 kg −m M 12
12
´ 21=3750 kg− m M ´ 23= M
−( 1800 ) ( 4 ) 12
2
=−2400 kg −m
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ 32=2400 kg− m M ´ 45= M ´ 54= M
−2400 ( 5 )
2
−
12 2
( )
2400 5 12
+
2
( )( ) =−7880 kg −m (5 )
4000 2 3 2
2
( ) ( 3) =+ 6920 kg −m (5 )
4000 2 2
2
´ =−2400 ( 4 ) + 4000 ( 4 ) =−4200 kg −m M 56
12
8
´ 65=+ 4200 kg −m M ome#tos de s"6e%ió# ´ 1=−3750 kg− m M
´ 2=+ 3750−2400 =1350 kg −m M ´ 3=−2400 kg− m M ´ 4=−7880 kg −m M ´ 5=6920− 4200= 2720 kg− m M ´ 6=+ 4200 kg− m M "eras de s"6e%ió# ´ I =+ 3000 kg −m !
´ II =+ 4500 kg −m !
=$ ?omentos de nudo y momentos de piso ome#tos de #"doA m i=
´i −1 M 2
∑ K
ik
0
m1=+ 45.73 0
m2=−11.07 0
m3=−26.67 0
m4=+ 64.59 0
m5=−17.66
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
61
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
m6=−34.43
ome#tos de pisoA /ara el piso superior; r
∑ ! ´ ´ = m 2 ∑ K (r
0
r
1
r
ik
0
´ I = m
− 3.20 (3000 ) =−64.00 2 ( 25 + 25 + 25 )
/ara el primer piso; r
∑ ! ´ ´ = m 2 ∑ 2 K (r
0
r
r
1
2
ik
0
´ II = m
ik
−5 ( 3000 + 4500 ) =−296.44 2 ( 20 3 1.25 + 16 3 1 + 16 3 1 ) 2
2
2
>$ )iclos de iteraci"n
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
62
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió#A )iclo de 8iros; ´ r 2 ik mk + m $ ik (¿) m i=m i + ∑ ¿ 0
)iclo de despla#amiento; mi + m k + ik (¿)
´ r= ´mr + m 0
∑¿
*doptaremos; 1 ciclo de despla#amientos, 1 ciclo de 8iros, 1 ciclo de despla#amientos,H etc$ &ecuencia para el ciclo de 8iros; > I 6 I 1 I B I = I 2 /rimer ciclo de despla#amientos;
´ I =−54 + [ −0.50 ( 45.73 +64.59 )− 0.50 (−11.07 −17.66 )−0.5 (−26.67 −34.43 ) ] =−74.25 m ´ II =−296.44 + [ −0.593 ( 64.59 )−0.379 (−17.66 )−0.379 (−34.43 ) ] =−315.00 m
/rimer ciclo de 8iros;
m4= 64.59 + [ −0.205 ( 45.73 −74.25 )− 0.131 (−17.66 )− 0.164 (−315 3 1.25 )] =137.33 m6=−34.43 +[ −0.164 ( −17.66 )−0.205 ( −26.67−74.25 ) −0.131 ( −315 3 1.00 ) ] =30.42
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
m1=45.73 + [−0.195 ( −11.07 ) − 0.305 (+ 137.33 −74.25 ) ] =28.65 m5=−17.66 + [ −0.104 ( 137.33 )−0.162 (−11.07 −74.25 ) −0.130 (−30.42 )− 0.104 (−315 3 1.00 ) m3=−26.67 + [ −0.222 (−11.07 )−0.278 ( + 30.42 −74.25 ) ] =−12.03
− 74.25 −0.131 ( 28.65 )− 0.164 (−12.03 )−0.205 ¿=0.18 m =−11.07 +¿ 10.68
2
*si sucesiamente hasta completar B ciclos de despla#amientos y B ciclos de 8iros$ B$ )alculo y compensaci"n de momentos 3nales
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk + ´mr 2 ik ) M ik = M Gudo 1; M 12=−3750 + 16 [ 2 ( 62.21 ) + 22.46 ] M 14=0 + 25 [ 2 ( 62.21 )+ 192.74 − 260.00 ]
? < J 29 Gudo 2;
M 23 =−2400 + 20 [ 2 ( 22.46 ) + 22.25 ] M 25 =0 + 25 [ 2 ( 22.46 ) + 38.88 −260.00 ]
M 36=0 + 25 [ 2 ( 22.25 )+ 67.48−260.00 ]
G ;/ < -1BD
G ((3 1 < - =C1 21
G (22 < -=C22
G /<32 /< < -19 29 < -=>9 =C
G /< < -1119
< ->>6
GF
M 41 =0 + 25 [ 2 ( 292.74 ) + 62.21− 260.00 ] M 45 =−7880 + 16 [ 2 ( 192.74 )+ 38.88 ] M =0 + 20E,CUE*+ −447.97 3 1.25 ] DE [ 2 ( 192.74 ) + 0ROE,ION+* UNRA INENIERI+ CI7I* 47
? < 112
G F ;/ < - -1 1BC < - -1 >>B
GF
M 32=2400 + 20 [ 2 ( 22.25 ) + 22.46 ]
? < J =D Gudo >;
G -1/11 < J1>11
GF
M 21 =3750 + 16 [ 2 ( 22.46 )+ 62.21 ]
? < J 2 Gudo =;
G - 1/FF 11 < J 1>29 1D
GF
< -=B2C6>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo B; M 54 =6920 + 16 [ 2 ( 38.88 )+ 192.74 ]
G 112/ F < ->6
M 56 =−4200 + 20 [ 2 (38.88 )+ 67.48 ]
G -= 112/ = < -=99B 11 < -129B -9
M 58=0 + 16 [ 2 ( 38.88 )+ 0− 447.97 3 1.00 ]
< -B92= -C
<-B9=
G < (2 < -2BC >1 < -BD 26
G ; < -2611
M 52 =0 + 25 [ 2 ( 38.88 )+ 22.46 −260.00 ]
? < J =B Gudo 6;
GF
M 65=4200 + 20 [ 2 ( 67.48 ) + 38.88 ] M 63=0 + 25 [ 2 ( 67.48 )+ 22.25−260.00 ] M 69=0 + 16 [ 2 ( 67.48 ) + 0− 447.97 3 1.00 ]
? < J 99
< -1=>
< -B=>
GF
ome#tos e# los apo4osA M 74=0 + 20 [ 2 ( 0 ) + 192.74 −447.97 3 1.25 ] =−7344 M 85 =0 + 16 [ 2 ( 0 ) + 38.88 − 447.97 3 1.00 ] =−6545
M 96=0 + 16 [ 2 ( 0 ) + 67.48 −447.97 3 1.00 ] =−6088
7.2. órti%os %o# apo4os arti%"lados 7.2.1.órti%os si# desplaamie#to lateral En este caso la determinacion de los momentos de empotramiento per!ecto y momentos de sueci"n se reali#a para la condici"n real de la estructura$ /ara el cálculo de !actores de 8iro y momentos de nudo, deben considerarse para las barras con extremo articulado, la presencia de barras euialentes con extremo-empotrado con una ri8ide# modi3cada K ik de modo ue los momentos por in:uencia de 8iro resulten i8uales, tanto para el caso del extremo k articulado, como para el caso del extremo k empotrado$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
8ualando estas expresiones K ik = 4 K ik /or no existir despla#amientos laterales en el perotico la presencia de columnas don di!erente altura en un piso no modi3ca el proceso de cálculo$ Ecuaci"n de iteraci"n Nnica; mk $ ik (¿) 0
m i=m i +
∑¿
En el cálculo de
mi
y
$ ik , deben considerarse las ri8ideces
relatias modi3cadas$
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
,$ ik =
− K ik 2
∑ K
ik
?omentos 3nales; /ara las barras con extremo articulado;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
66
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ ik + K ik ( 2 mi ) M ik = M /ara las otras barras;
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk ) M ik = M
En los extremos articulados, directamente M =0 EKE?/. +E */)*)MG GL C +eterminar los momentos en los extremos de las barras del p"rtico de la 38ura si8uiente;
1$ Factores de 8iro; /"rtico con ri8ideces modi3cadas;
Factores de 8iro; $ ik =
− K ik 2
∑ K
ik
,
∑ $ = −21 ik
Gudo 1;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ 12 $ 14
¿− 0.25 ¿− 0.25
¿− 0.50 Gudo 2; $ 21= $ 23= $ 25=
¿− 0.20 ¿− 0.15 ¿− 0.15
¿− 0.50 2$ ?omentos de sueci"n ome#tos de empotramie#to per)e%toA calculamos de la condici"n real$
´ 1 v =6000 3 2=+ 12000 kg −m M ´ 12= M
−2000 ( 6 )
´ 21= M
+2000 ( 6 )
´ 23= M
−3
2
12
12
16
=−6000 kg− m
2
=+ 6000 kg −m
( 4000 ) ( 4 )=−3000 kg −m
ome#tos de s"6e%ió#A ´ i=∑ M ´ ik M
´ 1=+ 12000−6000 =6000 kg −m M ´ 2=−6000−3000 =+ 3000 kg− m M =$ ?omentos de nudo
´ i − M
0
mi =
2
∑ K
ik
as ri8ideces relatias se toman del p"rtico modi3cado$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
6D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
m 1= 0
m 2=
−6000 =−375 kg −m 2( 4+ 4) −3000 =−150 kg −m 2 ( 4 +3 + 3 )
>$ )iclos de iteraci"n
E%"a%ió# de itera%ió#A mk $ ik (¿) 0
m i=m i +
∑¿
&ecuencia de 8iros; 1 I 2, = ciclos$ B$ )álculos de momentos 3nales
´ ik + K ik ( 2 mi+ mk ) M ik = M Gudo 1;
M 12 =−6000 + 4 [ 2 (−355 )− 79 ]
G F 12FF F < -91B6 -2
G 12FF F < -91BD
M 14=0 + 4 [ 2 (−355 ) + 0 ]
< -2D> -2
< -2D>2
M 1 v =¿
? < J >
GF
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
69
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gudo 2; M 21= 6000 + 4 [ 2 ( −79 )−355 ]
G (3/=
M 23=−3000 + 3 [ 2 ( −79 ) + 0 ]
< - =>C>
M 25= 0 + 3 [ 2 (−79 ) + 0 ]
< - >C>
?<- ome#tos e# los apo4osA M 41=0 + 4 [ 2 ( 0 )− 355 ] =−1420 M 52= M 32= 0
7.2.2.órti%os %o# desplaamie#to lateral /ara este caso la determinacion de los momentos y reacciones de empotramiento per!ecto, momentos y !uer#as de sueci"n se e!ectNa también para la condici"n real de la estructura$ /ara el cálculo de los !actores de 8iro y corrimiento, momentos de nudo y momentos de piso, deben considerarse para las barras con extremo articulado, la presencia de barras con extremo empotramiento, de propiedades euialentes a dichas barras$ /or presentar las i8as solo in:uencias de 8iro, y las columnas in:uencias de 8iro y despla#amiento las barras de propiedades euialentes a estas tienen caracter7sticas di!erentes en ambos casos$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7igas arti%"ladas e# "# e'tremo /or presentar estas solo in:uencias de 8iro, son rempla#adas por barras euialentes con extremos empotrados en !orma similar a lo sealado para p"rticos sin despla#amientos este caso es similar al caso B$2$1 con la particularidad de ue el extremo articulado en rodillo, es rempla#ado por un extremo empotrado en rodillo, para permitir el despla#amiento lateral de la estructura$
3
K ) ik = K ik 4
Col"m#as arti%"ladas e# s" $ase Estas barras, a di!erencia de las i8as, tienen momentos por in:uencia de 8iro y despla#amiento$ En esta caso la euialencia se consi8ue i8ualando por separado los momentos por in:uencia de 8iro y los momentos por in:uencia de despla#amiento, tanto en el columna con base articulada en la columna de base empotrada$
En el primer caso; M ik = 3 E K ik θ i−3 E K ik
1 (ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En el se8undo caso; )
M ik = 4 E K ik θ i −6 E K ik
1 )
(ik
8ualando ambas expresiones se obsera ue se obtiene un mismo alor M ik , haciendo; )
3
K ik = K ik 4
3
)
(ik = (ik 2
Esta euialencia al ser empleada ase8ura la i8ualdad de momentos en cabe#a de columna mas no ase8ura la euialencia de !uer#as cortantes en dichas columnas$ /ara ase8urar esta euialencia, debemos introducir en las expresiones de las !uer#as cortantes un !actor %m0, se8Nn el si8uiente criterio$ /ara las columnas articuladas en su base;
M ik 'ik = (ik
/ero; M ik = K ik ( 2 mi + ´mik ) , calculado en la columna empotrada en su )
base$ )
3
K ik = K ik , 4
)
3
(ik = (ik 2
ue8o;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
K ik ( 2 mi + ´ mik ) )
'ik =
2 3 )
K ik
'ik =
) ik
(
(
)
(ik
3 mi
)
3
+ m ´ ik 2
Expresi"n de !uer#a cortante en las columnas supuestamente empotradas en su base$ /ara las columnas realmente empotradas en su base; M ik + M ki 'ik = (ik
´ ik ) + M ki ( mi + m´ ik ) M ik ( 2 m i + m
'ik =
(ik
K ik 'ik = ( 3 mi + 2 ´mik ) (ik
Expresi"n para columnas realmente empotradas en su base$ a expresi"n de !uer#a cortante para ambos casos puede 8enerali#arse a; K ik 'ik = ( 3 mi + 2 ´mik ) (ik
+onde; /ara columnas supuestamente empotradas en su base; 3
)
)
m= , K ik , (ik 4
/ara columnas realmente empotradas en su base; m=1 , K ik , (ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Paciendo uso de la expresi"n 8enerali#ada de !uer#a cortante en la condici"n de euilibrio de !uer#as laterales del primer piso se tiene; r
∑ ! ´ +∑ ' r
=0
ik
1
r
K ik
∑ ! ´ +∑ ( ( 3 m +2 ´m )= 0 r
i
1
ik
ik
2 ik =
ntroduciendo el !actor de altura;
( r (ik
´ ik =mr 2 ik m r
(r
∑ ! ´ +∑ 2 K ( 3 m +2 m2 ´m ) =0 r
ik
ik
i
ik
r
1
r
(r
∑ ! ´ +∑ 3 2 K ( m ) + 2 ∑ m 2 K ´m = 0 2
r
ik
ik
i
ik
ik
r
1
r
(r
∑ ! ´ +∑ 3 2 K ( m ) + 2 ´m ∑ m 2 K = 0 2
r
ik
ik
i
r
ik
ik
1
+espeando; r
´ r= m
´r −(r ∑ ! 1
2
∑
2
m2 ik K ik
+∑
−3 2
2 ik K ik
∑
2
m 2 ik K ik
( mi )=0
mi + ik (¿)
´ r= ´mr + m 0
∑¿
+onde; r
´ r= m ´ r= m
´r −(r ∑ ! 1
2
∑
−3
2
m2 ik K ik
, momento de piso
2 ik K ik
∑ m2 K 2
2
ik
, momento decorrimiento
ik
)omprobaci"n;
∑ m 2 + = −23 ik
ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Estas expresiones deberán emplearse en el cálculo del momento de piso y de los !actores de corrimiento en el primer piso$ EKE?/. +E */)*)MG GL D +eterminar los momentos en los extremos de las barras del p"rtico de la 38ura$
1$ Factores de 8iro y corrimiento; /"rtico con ri8ideces y alturas de columnas modi3cadas$ /ara columnas; (r =6 m
Factores de 8iro; $ ik =
− K ik 2
∑ K
ik
,
∑ $ = −21 ik
Gudo 2; $ 23
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
¿− 0.25
CB
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$ 25
¿− 0.25
¿− 0.50
Gudo =; $ 32= $ 23= $ 36=
¿− 0.20 ¿− 0.15 ¿− 0.25
¿− 0.50 Factores de corrimiento; )olumna 2 I B 2
2
m2 ik K ik =1 3 1.2 3 4 =5.76
)olumna = I 6 2
2
m2 ik K ik =1 3 1 3 3= 2.25
∑ m 2 K = 8.01 2
ik
ik
ue8o; + 25= + 36=
−3 3 1.2 3 4 2 3 8.01
−3 3 1 3 3 2 3 8.01
=−0.899 , m2 ik + ik =−1.08
=−0.561 , m2 ik + ik =−0.42
∑ m 2 + =−1.50 ik
ik
2$ ?omentos y !uer#as de sueci"n
ome#tos de empotramie#to per)e%toA
´ 21=+ 6000 ( 2 ) =+ 12000 Kgm M ´ 23= M
−2000 ( 6 ) 12
2
=−6000 Kgm
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ 32=+ 6000 Kgm M ´ 34= M
−3 10
( 4000 ) ( 4 )=−3000 Kgm
ome#tos de s"6e%ió#A
´ i= M
∑ M ´
ik
´ 2=+ 12000 −6000 =+ 6000 Kgm M ´ 3=+ 6000− 3000=+ 3000 Kgm M En este p"rtico por no existir car8as laterales no existen !uer#as de sueci"n$
(. ome#tos de #"do 4 mome#tos de piso ome#to de #"doA ´ i − M 4 mi = 2
∑ K
ik
N"do 2A 4
m 2=
−+6000 =−375 Kgm 2 (4 +4 )
N"do (A 4
m 3=
−+3000 =−150 Kgm 2 (4 +3 +3 )
ome#to de pisoA /or no haber !uer#as de sueci"n;
4
m I =0
/. Ci%los de itera%ió#
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
CC
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió#A )iclos de 8iro; 4
m i =m i +
∑∝
( mk + ´mr 2 ik )
ik
)iclo de despla#amientos;
´ r= ´mr + m 4
∑ + ( m ) ik
i
)iclos de iteraci"n; 1 de 8iros, 1 de despla#amientos, 1 de 8iros,$$$ etc$ &ecuencia para el ciclo de 8iros; 2 - = /rimer ciclo de 8iros; m2=−375 + [ −0.25 (− 150 ) ] =−337 m3=−150 + [ −0.20 (−337 ) ] =−83
/rimer ciclo de despla#amientos;
´ I =0 + [ −0.899 (−337 )−0.561 (−83 ) ] =+ 350 m &e8undo ciclo de 8iros; m2=−375 + [ −0.25 (− 83 ) −0.25 (+ 350 x 1.2 ) ] =−459 m3=−150 + [ −0.20 (− 459 )−0.15 (+ 350 x 1.0 ) ] =−111
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
CD
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
&e8undo ciclo de despla#amientos;
´ I =0 + [ −0.899 (−459 )−0.561 (−111) ] =+ 475 m *s7 sucesiamente hasta completar B ciclos de 8iros y de despla#amientos$
;. ome#tos 0#ales
´ ik + K ik ( 2 m i + mk + ´m r 2 ik ) M ik = M Gudo 2; M 21=+ 12000 =+ 12000 M 23 =−6000 + 4 [ 2 (−499 )−128 ] =−10504
M 25=0 + 4 [ 2 ( −499 )+ 0 + 520 x 1.2 ] =−1496
´
0
Gudo =; M 32=+ 6000 + 4 [ 2 (− 128 )− 499 ] =+ 2980 M 34 =−3000 + 3 [ 2 (−128 ) + 0 + 0 ] =−3768
M 36=0 + 3 [ 2 ( −128 ) + 0 + 520 x 1.0 ] =+ 792
+´4 ?omentos de apoyos; M 52=0 + 4 [ 2 ( 0 )−499 + 520 x 1.2 ] =+ 500 M 63=0
M 43=0
;.( órti%os simétri%os s"6etos a %argas laterales Este caso suele presentarse con !recuencia en la práctica en el análisis de p"rticos bao acciones laterales, y puede ser resuelto de manera similar a los casos de simetr7a total estudiados en el acápite >$>, es decir simpli3cando la labor de cálculo a s"lo la mitad de la estructura$ Esto es posible debido a ue la condici"n particular de car8a puede ser considerada como una condici"n antisimétrica de car8as ue producen también una condici"n antisimétrica de de!ormaciones en la estructura$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
C9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*l respecto pueden presentarse 2 casos$
;.(.1 órti%os %o# #9mero impar de %r"6:as
Teniendo en cuenta ue las secciones de las i8as de la cru7a ue son cortadas por el ee de simetr7a de la estructura se comportan como puntos de in:exi"n @?<A, sin car8as axiales @G<A y con s"lo despla#amientos laterales @dy<A, se deduce ue es posible anali#ar el p"rtico propuesto considerando solamente la mitad de la estructura, tomando los puntos de in:exi"n re!eridos anteriormente como apoyos articulados en rodillo$ 'esulta la mitad de la estructura, las !uer#as y de!ormaciones interiores de la otra mitad de la estructura adyacente, cumplen exactamente con el concepto de antisimetria de3nido para las car8as externas aplicadas$ * su e# en la resoluci"n del p"rtico simpli3cado, debido a la presencia de car8as con apoyos articulados, el p"rtico euialente a considerarse es el si8uiente;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3
)
3
K ik =
K 5k =
( 2 K ) 4 ) ik
( K ) 2 ) ik
EJE*O DE +*IC+CIÓN N3 /ara el p"rtico simétrico de > pisos ue se muestra en la 38ura, se pide determinar los momentos en los extremos de todas las barras emplearemos la simplicaci"n estudiada$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D2
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
El p"rtico a resolerse es el si8uiente;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. a%tores de giro 4 %orrimie#to Factores de 8iro; ∝ik =
−1 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ ∝ =−21 -$B
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
DB
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Factores de corrimientos; + ik =
−3 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ + = −23 ik
-1$B
-1$B
-1$B
2. "eras de s"6e%ió#
´ I =+ 1500 Kg nivel III : ! ´ III =+ 3000 Kg nivel I : ! ´ II =+ 3000 Kg nivel I+ : ! ´ I+ =+ 3000 Kg nivel II : ! (. ome#tos de piso
´ 4r= m
∑ ! ´ 2 ∑ K
(r
r
ik
´ I =−48.00 Kgm ´m III =−200 Kgm m 4
4
´ II =−144.00 Kgm ´m I+ =−375 Kgm m 4
4
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
D6
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/. Ci%los de itera%ió#
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
DC
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
DD
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió# 4
m i=m i +
∑∝
´ r= ´mr + m 4
( m k + ´mr )
ik
∑ + ( m +m ) ik
i
k
)iclos de iteraci"n; C de 8iros y C de despla#amiento en !orma alternada$ &ecuencia de 8iros; 1=-1>-9-1-B-6-1-2
;. CKl%"los de mome#tos 0#ales
´ ik + K ik (2 mi + mk + ´mr ) M ik = M Gudo 1; M 12 = 0 + 20 [ 2 ( + 23.35 ) + 16.84 ] =+ 1271 + 33=+ 1304
M 15= 0 + 25 [ 2 (+ 23.35 )+ 67.02−167.57 ] =−1346 + 42=−1304 ⏟
−75
Gudo 2; M 21= 0 + 20 [ 2 ( + 16.84 )+ 23.35 ] =+ 1141 + 27 =+ 1168 M 12 = 0 + 24 [ 2 ( + 16.84 ) + 0 ] =+ 808 + 32=+ 840
M 15= 0 + 25 [ 2 (+ 16.84 ) + 52.21−167.57 ] =−2042 + 34 =−2008 ⏟
−93
M 12= M 43=+ 1304 M 913= M 1216 =−5228 E!ectuando en !orma similar el cálculo de todos los momentos en el p"rtico simpli3cado y compensando los deseuilibrios correspondientes en cada nudo, se tienen los si8uientes para =−1304 = M momentos =+ 6743 3nales en toda la M 15= M alores M 109los 48 1112 estructura$ M 21= M 34 =+ 1168 M 106= M 117=−3653 M 23= M 32=+ 840 M 1011= M 1110=+ 5012 M 26= M 37=−2008 M 1014 = M 1115=−8102 M 51= M 84 =−202 M 139= M 1612=−3489 M 56= M 87=+ 3767 M 1314= M 1615 =+ 10376 M 59= M 812=−3565 M 1317= M 1620 =−6887
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I* M = M =+ 3473 M = M =+ 9483 65
78
1413
1516
M 62= M 73=−1102 M 1410= M 1511=−6947
D9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
;.(.2 órti%o %o# #9mero par de %r"6:as
En este caso los 8iros y momentos en los extremos de las i8as adyacentes al ee de simetr7a son i8uales$ *simismo, por la antisimetr7a, las car8as axiales en las columnas centrales son i8uales a cero$ Qao estas consideraciones para resoler el p"rtico propuesto es posible anali#ar la mitad de la estructura, con las si8uientes particularidades;
el
En el medio p"rtico euialente las ri8ideces de las columnas ue se ubican en ee de simetr7a, se toman i8ual a la mitad de sus ri8ideces reales$
os momentos 3nales y !uer#as- cortantes de las columnas del p"rtico real ue se ubican en el ee de simetr7a son i8uales al doble de los calculados en las mismas columnas del medio p"rtico euialente$ Todas las de!ormaciones y !uer#as interiores, a uno y otro lado del ee de simetr7a, se corresponden también en !orma antisimetr7a$
EJE*O DE +*IC+CIÓN N1F
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
/ara el p"rtico simétrico de > pisos ue se muestra en la 38ura, se pide determinar los momentos en los extremos de todas las barras empleando las simpli3caciones estudias anteriormente$
1. a%tores de giro 4 %orrimie#to as ri8ideces relatias han sido tomadas de los p"rticos simpli3cando mostrado a continuaci"n$
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
91
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Factores de 8iro; ∝ik =
−1 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ ∝ =−21
/"rtico simpli3cado;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
92
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
-$B
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Factores de corrimiento; + ik =
−3 K ik 2
∑ K
ik
,
∑ + = −23 ik
-1$B
-1$B
-1$B
2. "eras de s"6e%ió#
´ I I =+ 1000 Kg nivel III : ! ´ III nive nivell I : ! III =+ 2000 Kg ´ II =+ 2000 Kg nivel I+ : ! ´ I+ =+ 2000 Kg nive nivell II : : !
(. ome#tos de piso
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
´ ! ∑ ´ = m 2 ∑ K 4 r
(r
r
ik
´ I =−42.67 Kgm ´m III =−177.78 Kgm m 4
4
´ II =−128.00 Kgm ´m I+ =−333.33 Kgm m 4
4
/. Ci%los de itera%ió#
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9B
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
96
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E%"a%io#es de itera%ió#A 4
m i=m i +
∑∝
´ r= ´mr + m 4
( m k + ´mr )
ik
∑ + ( m +m ) ik
i
k
)iclos de iteraci"n; C de 8iros y C de despla#amientos en !orma alternada$ &ecuencia para el ciclo de 8iros; 1-11-C-D->-B-1-2
;. CKl%"lo de mome#tos 0#ales
´ ik + K ik (2 mi + mk + ´mr ) M ik = M Gudo 1; M 12 = 0 + 16 [ 2 (+ 26.97 )+ 18.59 ] =+ 1160 + 56 =+ 1216
M 14=0 + 25 [ 2 ( + 26.97 ) + 74.16−180.24 ] =−1304 + 88=−1216 ⏟
−144
Gudo 2; M 21= 0 + 16 [ 2 (+ 18.59 )+ 26.97 ] =+ 1026 + 47=+ 1073 M 15= 0 + 12.5 [ 2 ( + 18.59 ) + 54.28 −180.24 ] =−1110 + 37 =−1073 ⏟
−84
E!ectuando en !orma similar el cálculo de todos los momentos en el p"rtico simpli3cado y compensando los deseuilibrios correspondientes en cada M 12= M 32=+ 1216 M 710= M 912=−4786 nudo, se obtienen los si8uientes alores para los momentos 3nales en toda la estructura$ M 14= M 36=−1216 M 89= M 89=+ 5896 M 21= M 23=+ 1073 M 85=¿−3590 M 25=¿− 2146 M 811=¿− 8202 M 41= M 63=−13 M 107= M 129=−3100 M 45= M 65=+ 3313 M 1011 = M 1211 =+ 8794 M 47= M 69=−3300 M 1013 = M 1215=−5694 M 54= M 56=+ 3050 M 1110= M 1112=+ 7943
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE M =¿−1138 M =¿−7200 INENIERI+ CI7I* 52
118
M 58=¿− 4962 M 1114=¿−8686
9C
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
;./ órti%os %o# !igas i#termedias a presencia de i8as intermedias en los pisos de un p"rtico introduce ariante en el proceso de cálculo anteriormente estudiando$ En este caso las in:uencias de corrimiento en las columnas de los pisos con i8as intermedias deberán determinarse tomando en cuenta os corrimientos de los nieles intermedios ue corresponden a dichas i8as$ /ara abordar el análisis de este problema considérese el p"rtico de la 38ura en el cual el piso @rA presenta una i8a intermedia ubicada en el niel @rRA$
El despla#amiento relatio total del piso @rA puede considerarse como la superposici"n de dos despla#amientos parciales$ d1
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
9D
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Desplaamie#to relati!o del piso rA drGd1-d2
.bsérese ue en ambos casos los despla#amientos relatios ue experimentan las columnas @d1 " d2A son comunes para las columnas del piso despla#ado$ Esto si8ni3ca ue en un piso con i8as intermedias, es posible calcular las in:uencias de corrimiento mr de as columnas considerando ue cada piso parcial @r1, r2, etc A, experimenta despla#amientos parciales @d1, d2, etcA por separado$ /ara las columnas Slar8asS ue cubren todo el piso @rA será necesario sumar las di!erentes in:uencias de corrimiento parciales ue ori8inan ichos despla#amientos$ /or otro lado, puede erse ue la acci"n del despla#amiento relatio de un piso parcial corresponde exactamente a la acci"n del despla#amiento relatio de un piso con columnas de di!erente altura @caso estudiado en la secci"n B$1A$ )onsecuentemente las in:uencias de 8iro y despla#amiento en esta estructura pueden determinarse iterando las ecuaciones; 4
m i=m i +
∑∝
´ r= ´mr + m 4
( m k + ´mr 2 ik )
ik
∑ + ( m +m ) ik
i
k
)on la Nnica particularidad de ue para las columnas ue cubran todo el piso @columnas Slar8asSA, las in:uencias de despla#amiento m' s determinaran, cada e#, por suma de las in:uencias parciales de despla#amientos de cada piso intermedio$ El mismo criterio será empleado en el cálculo de omentos 3nales de dichas columnas mediante a expresi"n;
´ ik + K ik (2 mi + mk + ´mr 2 ik ) M ik = M
EJE*O DE +*IC+CIÓN N11
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
99
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
'esoler el p"rtico de la 38ura$
1. a%tores de giro 4 %orrimie#toA Factores de 8iro; ∝ik =
−1 K ik 2
∑ K
,
∑∝
ik
=
ik
−1 2
-$B
-$B
-$B -$B
-$B
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Factores de corrimiento; + ik =
−3 2
2 ik K ik
∑ 2
2
ik
K ik
/iso ; altura de re!erncia h<=$m,
,
∑ 2 + = −23
2 ik =
ik
ik
( r (ik
ue8o )1><1$, )2B<1$, )=D<$B 2 2 )olumna 1->; 2 ik K ik =( 1 ) ( 2 )=2.00
2 2 )olumna 2-B; 2 ik K ik =( 1 ) ( 2 )=2.00
2
2 ik K ik =( 0.5 )
)olumna =-D;
∑ 2
2
ik
2
( 1 )= 0.25 ⏟
K ik = 4.25
ue8o; + 14=
+ 25=
+ 38=
−3 (1 ) ( 2 ) 2 4.25
−3 ( 1 ) ( 2 ) 2
4.25
=−0.706 ,2 ik + ik =−0.706
=−0.706 ,2 ik + ik =−0.706
−3 ( 0.5 ) ( 1 ) 2
4.25
=−0.706 , 2 ik + ik =−0.088
⏟
∑ 2 + =−1.500 ik
ik
/iso ; los cálculos son similares, obteniéndose )>6<1$
) BC<1$
>6<-$C6
BC<-$C6
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
) =D<$B =D<-$1C6 11
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. ome#tos 4 )"eras de s"6e%ió# ome#tos de empotramie#to per)e%toA
´ 12=−7200 Kgm M ´ 21=+ 7200 Kgm M ´ 23=−8000 Kgm M ´ 32=+ 8000 Kgm M ´ 45=−4500 Kgm M ´ 54 =+ 4500 Kgm M ´ 38=−3600 Kgm M ´ 83=+ 3600 Kgm M Rea%%io#es de empotramie#toA
´ 38= R´ 83=−3600 Kg R ome#to de s"6e%ió#A
´ 1=−7200 Kgm M ´ 2=−7200−8000 =−800 Kgm M ´ 3=+ 8000 −3600=+ 4400 Kgm M ´ 4=− 4500 Kgm M ´ 5=+ 4500 Kgm M "eras de s"6e%ió#A
´ I =−3600 + 3000 =−600 Kg nivel I : ! ´ II =+ 1000 Kg nivel II : ! (. ome#tos de #"do 4 mome#tos de piso ?omentos de nudo; m 4 i=
´ i − M 2
∑ K
ik
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
12
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
m4 1=+ 600 Kgm m 43 =−440 kgm m4 2=+ 40 Kgm m4 4 =+ 281.25 kgm m4 5=−281.25 Kgm
?omentos de piso;
´ = m 4 r
4
´ I = m
4
´r −(r ∑ ! 2
∑ 2
2
ik
K ik
−3.0 (−600 ) =+ 211.76 Kgm 2 ( 4.25 )
´ II = m
−3.0 (−600 + 1000 ) =−141.18 Kgm 2 ( 4.25 )
/. Ci%los de itera%ió#
Ecuaciones de iteraci"n; 4
m i=m i +
∑∝
´ r= ´mr + m 4
( m k + ´mr 2 ik )
ik
∑ + ( m +m ) ik
i
k
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1=
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
)iclos de iteraci"n; > de despla#amientos y > de 8iros en !orma alternada$ &ecuencia para el ciclo de 8iros; 1->-B-=-2
1er. Ci%lo de desplaamie#tosA
´ I =+ 211.76 + [ −0.706 ( +600 + 281.25 )− 0.706 (+ 40− 281.25 )−0.176 (−440 ) ] =−162.64 m ´ II =−141.18 + [ −0.706 ( + 281.25 ) −0.706 (−281.25 )−0.176 (−440 ) ] =−63.74 m 1er. Ci%lo de girosA m 1=+ 600 + [ −0.333 (+ 40 )− 0.167 ( + 281.25 −162.64 x 1.0 ) ] =+ 566.87
−0.125 ( +566.87 −162.64 x 1.0 ) −0.25 (−281.25 ) −0.1258 − 63.74 x 1.0 m =+ 281.25 + [ ¿ ] =+ 309.00 4
+ 309 ¿ −0.25 ( + 10 −162.64 x 1.0−0.125 (¿)− 0.125 (−63.74 x 1.0 ) ] =+ 335.20 m =−281.25 +¿ 5
+ 40 ¿ −0.40 (−162.64 x 0.5−0.10 (¿)−0.10 (−63.74 x 0.5 ) ]=−414.68 m =− 440 +¿ 3
+ 566.87 ¿ −0.20 (−444.68 −0.20 (¿)− 0.10 (−335.20 −162.64 x 1.0 ) ] =+ 65.35 m =+ 40 +¿ 3
B$ )álculo de momentos 3nales
´ ik + K ik (2 mi + mk + ´mr 2 ik ) M ik = M Gudo 1; M 12=−7200 + 4 [ 2 (+ 543.12 ) + 70.54 ] =−2573 + 1=−2572 M 14= 0 + 2 [ 2 (+ 543.12 ) + 320.83 − 120.99 ] =+ 2573 =+ 2572 ⏟
−1
Gudo 2;
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1>
+N+*I,I, DE ORTICO DE 7+RIO, I,O, > ETODO DE T+?+@E8+ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M 21=+ 7200 + 4 [ 2 ( + 70.54 ) + 543.12 ] =+ 9937 M 23 =−8000 + 4 [ 2 ( + 70.54 ) −460.24 ] =−9277
M 25= 0 + 2 [ 2 ( + 70.54 ) −350.19 − 120.99 ] =−660
⏟
0
Gudo =; M 32 =+ 8000 + 4 [ 2 (−460.24 )+ 70.54 ] =+ 4600 + 1= 4601
M 38=−3600 + 4 [ 2 (−460.24 ) −120.99 x 0.5−39.87 x 0.5 ] =−4601 =−4601 ⏟
−1
Gudo >; M 41= 0 + 2 [ 2 ( + 320.83 ) + 543.12 − 120.99 ] =+ 2128=+ 2128 M 45 =−4500 + 4 [ 2 (+ 320.83 )−350.19 ] =−3334 + 2 =−3332
M 46= 0 + 2 [ 2 (+ 320.83 )−39.87 ] =+ 1204 =+ 1204 ⏟
−2
Gudo B; M 54=+ 4500 + 4 [ 2 ( −350.19 ) + 320.83 ] =+ 2982 + 1=+ 2983 M 52 = 0 + 2 [ 2 (−350.19 ) + 70.54 − 120.99 ] =−1502=−1502
M 57= 0 + 2 [ 2 (−350.19 )− 39.87 ] =−1481 =−1481 ⏟
−1
?omentos en los apoyos; M 64=0 + 2 [ 2 ( 0 ) + 320.83 −39.87 ] =+ 562
UNRA E,CUE*+ ROE,ION+* DE INENIERI+ CI7I*
1B