Teorema 1 Persamaan Persamaan Diophantine ax + by = c mempunyai suatu penyelesaian penyelesaian ( solusi) solusi)
jika dan hanya jika d | | c di mana d = fpb(a fpb(a, b) Pembuktian
Ada dua pernyataan yang harus dibuktikan apabila diberikan persamaan Diophantine ax + by = c c dan d = fpb(a fpb(a, b), yaitu () jika persamaan itu mempunyai suatu solusi maka d | c, dan () jika d | d | c maka Persamaan Diophantine Diophanti ne ax + by = c memiliki penyelesaian. penyelesaian. ( ) Misalkan x0 dan y0 adalah penyelesaian dari persamaan persamaan Diophantine. Tuliskan semua premis dan konklusi yang diharapkan dalam struktur argumentasi argumentasi seperti di bawah ini
Premis dan Implikasinya
x0 dan y dan y0 solusi
Konklusi dan Kondisi yang mungkin
C1:
d | | c
PC:
d = fpb(a fpb(a, b)
C2:
Untuk mendapatkan gagasan bagaimana membuktikan d | c, perhatikan pernyataan pernyataan dalam C1 dan C2 yang merupakan merupakan sesuatu yang bisa diperoleh dari premis yang diberikan, serta pernyataan dalam PC sebagai suatu kondisi yang harus dimiliki agar dapat menyimpulkan d | | c. Ketiga pernyataan itu disajikan dalam diagram di bawah ini
ax0 + by0 = c ?
c = dk
d |a dan d |b |b
Dari pernyataan pernyataan d | | a dan d | | b, kita bisa menyatakannya dalam bentuk a = dr
dan
b = ds
untuk suatu bilangan bulat r dan s. Sekarang diagram di atas akan menjadi
ax0 + by0 = c ?
c = dk
a=dr & b=ds
Berdasarkan diagram di atas, untuk mencari bilangan bulat k sehingga c = dk , menuntut untuk mensubstitusikan nilai a dan b itu ke persamaan pertama, dan diperoleh, drx0 + dsy0 = c ⇔
d (rx0 + sy0) = c
Dengan memperhatikan pernyataan terakhir ini, kita dapat menetapkan bilangan bulat k = rx0 + sy0 sehingga kondisi PC: c = dk bisa diperoleh. Dengan demikian, d | c telah
terbukti. ▀ ( ) Untuk membuktikan pernyataan sebaliknya, premis dan konklusi yang dimiliki disajikan dalam struktur argumentasi di bawah ini.
Premis dan Implikasinya
fpb(a, b) = d
Konklusi dan Kondisi yang mungkin
C1: PC:
d|c
ax + by = c memiliki solusi
C2:
Untuk memunculkan gagasan bagaimana mengembangkan premis yang diberikan, dapat dilihat dari kondisi yang harus dimiliki PC agar konklusi itu tercapai. Dalam hal ini adalah PC:
x0 dan y0 ϵ Z
ax0 + by0 = c
Keberadaan bilangan bulat dalam PC itu sangat dimungkinkan dari implikasi dari premis fpb(a, b) = d . Dari sini pernyataan C1 dan C2 yang dapat diperoleh, serta PC yang dituju disajikan dalam diagram di bawah ini
C1: p dan q ϵ Z
ap + bq = d ?
PC:
x0 dan y0 ϵ Z
ax0 + by0 = c c = dr
C2:
Untuk mendapatkan bilangan bulat x0 dan y0 dalam PC menuntut untuk mensubstitusikan nilai d = ap + bq dalam C1 ke persamaan dalam C2, sehingga diperoleh c = (ap + bq)r = a( pr ) + b(qr ) Dari sini kita dapat memilih x0 = pr dan y0 = qr seperti yang diharapkan dalam PC. Karena kondisi PC sudah dipenuhi maka konklusi bahwa Persamaan Diophantine memiliki solusi dapat tercapai, dengan solusi x0 dan y0. ▀ Selanjutnya, misalkan Persamaan Diophantine ax + by = c memiliki solusi. Dari contoh Persamaan Diophantine sebelumnya, tampak bahwa apabila kita dapat menentukan salah satu solusi bilangan bulat (kita beri nama solusi partikulir), maka banyaknya solusi dari persamaan itu adalah tak berhingga buah. Hubungan antara solusi partikulir dengan solusi lainnya dinyatakan dalam teorema berikut ini
Teorema
2
Jika x0 dan y0 adalah solusi partikulir dari persamaan Diophantine ax + by
= c, maka semua solusi persamaan ini dapat dinyatakan dengan
b t d
x = x0 +
a t d
y = y0
di mana d = fpb(a, b) dan t sembarang bilangan bulat
Pembuktian
Misalkan x0 dan y0 adalah solusi partikulir dari persamaan yang diberikan dan x' , y' adalah sembarang solusi lainnya, maka ax0 + by0 = c = a x’ + by’ yang ekuivalen dengan a( x’ – x0) = b( y0 – y’ )
Kemudian, karena d = fpb(a, b) maka terdapat bilangan bulat r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan terakhir dan membagi kedua ruas persamaan dengan faktor persekutuan d , kita peroleh bahwa r ( x' x0 ) s ( y 0 y ' )
Dari hubungan ini mengatakan bahwa r | s( y 0 y ' ) . Selanjutnya, karena fpb(r , s) = 1 (mengapa ?) maka berdasarkan Lemma Euclid diperoleh r | ( y 0 y ' ) . Dengan kata lain y 0 y ' rt untuk suatu bilangan bulat t . Dari sini kita peroleh
x’ – x0 = st Dengan demikian, kita mempunyai formula untuk solusi x’ dan y’ :
b t d
x' x 0 st x 0
a t d
y ' y 0 rt y 0
Untuk melihat bahwa nilai-nilai ini memenuhi Persamaan Diophantine untuk sembarang bilangan bulat t , substitusikan nilai x' dan y' ke persamaan dan diperoleh
b a t b y 0 t d d
ax'by ' a x0
ab ab (ax0 by 0 ) t d d
c 0.t c
Dengan demikian, terdapat tak berhingga banyaknya solusi yang dinyatakan dengan
b t , d
x' x0 st x0
a t ▀ d
y ' y 0 rt y 0
