Masterand :Petcu Nicoleta Mihaela An I, Matematica Didactica
Teorema lui Menelaus Teorema lui Menelaus este una din teoremele clasice ale geometriei. De-a lungul anilor ea a fost demonstrata prin diverse metode folosind rezultatele din geometria sintetica, dar si cu metoda analitica, cu metoda vectoriala si cu ajutorul transformarilor geometrice, al omotetiei. Enunt: Fie triunghiul ABC şi punctele A′∈ (BC), B′∈ (CA) şi C′∈ (AB). Daca punctele A’, B’, C’ sunt coliniare, atunci are loc egalitatea : A' B B' C C ' A ⋅ ⋅ =1 A' C B' A C ' B
Demonstratie: Fiind vorba de rapoarte şi legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare necesitatea de a utiliza asemănarea triunghiurilor. Ne fiind triunghiuri asemenea, trebuie să le construim.
În acest sens ducem CD║ AB, unde D∈ C′A′. Din asemănarea triunghiurilor, obţinem: Din ∆ A′BC′ ∼ ∆ A′CD ⇒
A' B C' B = A' C DC
iar din ∆ B′CD ∼ ∆ B′AC′ ⇒
B' C DC = B' A C ' A
Înmulţind cele două relaţii, obţinem că: A' B B ' C C' B ⋅ = A' C B ' A C ' A
⋅
C' A C' B
de unde:
A' B B' C C ' A ⋅ ⋅ =1 A' C B' A C ' B
Reciproca teoremei lui Menelaus Enunt: Considerăm un triunghi ABC şi punctele A′∈ (BC), B′∈ (CA) şi C′∈(AB). Se presupune că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale
triunghiului şi unul este situat pe prelungire celei de-a treia latură (sau că punctele A’, B’, C’ sunt situate pe prelungirile laturilor triunghiului). A' B B' C C ' A
Dacă are loc egalitatea: A' C ⋅ B' A ⋅ C ' B
=1
(1)
atunci punctele A’, B’, C’ sunt coliniare. Demonstraţie: Presupunem că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale triunghiului şi unul este situat pe prelungire celei de-a treia latură. Presupunem că punctele A’, B’, C’ nu sunt coliniare. Atunci dreapta A’B’ ar intersecta latura AB într-un punct C” diferit de C’. Aplicând teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare A’, B’, C” obţinem: A' B B ' C C " A ⋅ ⋅ =1 A' C B ' A C " B
Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că:
(2) C' A C" A = C' B C" B
Ar însemna că segmentul [AB] este împărţit de punctele interioare C’ şi C” în acelaşi raport – contradicţie, eliminând presupunerea făcută ajungem la concluzia că punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.
Aplicatii : I. Fie un triunghi ABC şi trei puncte A'∈ BC , B '∈ AC şi C '∈ AB , diferite de vârfurile triunghiului. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) Punctele A' , B ' , C ' sunt coliniare. b) Avem relaţia:
A' B B ' C C ' A ⋅ ⋅ =1 . A' C B ' A C ' B
Demonstraţie Notăm
A' B B' C C' A =m , =n , =p. A' C B' A C' B
C’ B’
A
A B’
C’ C B A’ A’ B 1) Demonstrăm implicaţia b) ⇒ a) . Presupunem că mnp =1 şi vom arăta că A' , B ' , C ' sunt coliniare.
(
C
)
1 BC − n BA . 1−n Vom exprima BC în funcţie de BA' , iar BA în funcţie de BC ' . Avem: 1 1 BC = BA' + A' C = BA' + A' B = 1 − BA' , deoarece A' B = m A' C . m m
Avem B' C = n B ' A , deci BB ' =
BA = BC ' +C ' A = BC ' + pC ' B = (1 − p ) BC ' ,
deoarece
C ' A = pC ' B .
Obţinem:
BB ' =
m −1 n(1 − p ) BA" − BC ' . m(1 −n ) 1 −n
Cum mnp =1 , avem
m −1 n(1 − p ) − = 1 . În adevăr m(1 − n ) 1− n
m −1 n(1 − p ) − = 1 ⇔ m −1 − mn(1 − p ) = m(1 − n ) ⇔ −1 + mnp = 0 . m(1 − n ) 1− n
În concluzie există
x, y ∈ R * , cu
punctele A' , B ' , C ' sunt coliniare.
x + y =1
şi
BB ' = x BA' + y BC ' ,
deci
2) Demonstrăm implicaţia a ) ⇒ b) . Presupunem, prin absurd, că există punctele A' , B ' , C ' care sunt coliniare şi totuşi mnp ≠1 . Notăm încât
1 = q , deci mnq =1 şi q ≠ p . Construim unicul punct Q ∈ AB astfel mn
QA =q . QB
Din mnq =1 rezultă că A' , B' , Q sunt coliniare, iar din q ≠ p rezultă
că C ' ≠Q . Prin urmare dreptele A' B ' şi AB au în comun două puncte distincte, C ' şi Q , deci ele coincid, ceea ce este fals. II. Fie ABC un triunghi şi A' , B ' , C ' trei puncte coliniare astfel ca A'∈ BC , B '∈ AC şi C '∈ AB . Să se arate că:
A' B B ' C C ' A ⋅ ⋅ =1 . A' C B ' A C ' B
Demonstraţie
P
C A’
B’
C’
A
B
Se duce prin C o paralelă la AB care intersectează dreapta A' B ' în P . Din teorema fundamentală a asemănării rezultă: ∆CPA' ~ ∆BC ' A' şi deci sau CP =
CP A' C = BC ' A' B
BC '⋅A' C . A' B
Tot din teorema fundamentală a asemănării rezultă şi ∆CPB ' ~ ∆AC ' B ' , de CP CB ' AC '⋅CB ' = şi CP = . AC ' BA' B' A BC '⋅A' C AC '⋅CB ' A' B B ' C C ' A = ⋅ ⋅ =1 . Aşadar , de unde rezultă A' B B' A A' C B ' A C ' B
unde se obţine
