Nunung Nurhayati
4.3 4.3
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Kon Konverge ergen n dala dalam m Distr Distrib ibus usii
Pada Subbab 4.2 telah dibahas konsep ”konvergen dalam peluang” yang dapat digunakan untuk memeriksa kedekatan estimator dengan parameter yang diestimasinya. Pada subbab ini dibahas jenis kekonvergenan lainnya, yaitu ”konvergen dalam distribusi”. Materi ini merupakan konsep dasar yang perlu dipelajari untuk pembahasan Teorema Limit dan pembahasan distribusi asimtotik serta selang kepercayaan suatu estimator. Definisi 1 (Konvergen dalam distribusi) Misal X n barisan variabel acak dengan cdf masing-masing F F X dan X suatu suatu variabel acak dengan cdf F F X X , dan X X . Barisan variabel acak X n dikatakan konvergen dalam distribusi ke X, dinotasikan X, dinotasikan
{ { }
n
{ }
X n
−d→ X
jika lim F X X (x) = F X X (x),
untuk setiap x F X X kontinu.
n→∞
n
F (x)), )), dengan C (F ( F (x)) menyatakan )) menyatakan himpunan semua titik sehingga ∈ C (F (
Pada Definisi 1, distribusi dari X yang X yang dinyatakan dalam cdf F ( F (x), disebut distribusi disebut distribusi asimtotik atau asimtotik atau distribusi limit dari limit dari barisan X n .
{ }
Sebagai contoh, pernyataan ”X n
dengan X berdistribusi normal standar” −d→ X dengan X
atau secara singkat, X n
d −→ N (0, (0, 1)
dapat dibaca sebagai ”X ”X n mempunyai distribusi asimtotik normal standar .” .”
Contoh 4.3.1. Misal X Misal X n mempunyai cdf x ¯
F n (¯ x) = Jika dimisalkan v =
√ nw maka nw maka
1 e−nw 1/n 2π
√ √ −∞
√ nx¯
F n (x¯) =
−∞
sehingga
2
/2
/2
dv
0, x ¯ < 0 1/2, x ¯ = 0 1, x ¯ > 0
lim F n (¯ x) =
n→∞
1 −v e 2π
2
1
dw.
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Definisikan fungsi F (¯ F (¯ x) =
0, x ¯ < 0 1, x ¯ 0
≥
maka lim F n (¯ x) = F (¯ F (¯ x)
n→∞
untuk setiap titik x ¯ sedemikian sehingga F sehingga F ((x ¯) kontinu. Artinya, Artinya, ketika F ketika F tidak tidak kontinu di x di x = = 0, F n (0) tidak harus konvergen ke F ke F (0) (0).. Jadi, yang diperhatikan hanya titik-titik sedemikian sedemikian sehingga sehingga F F ko kontin ntinu. u. Berdasark Berdasarkan an hasil ini, mak maka a barisan X 1 , X 2 , X 3 , . . . konvergen ke variabel acak yang berdistribusi degenerate di x ¯ = 0. Contoh 4.3.2. Misal X 1 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi U (0, (0, θ). Misalkan Y n = max X 1 , . . . , Xn , dan Z n = n( n (θ Y n ).
{
}
−
(a). Tentukan entukan cdf cdf dari Y dari Y n . (b). Tunjukkan unjukkan Z Z n konvergen dalam distribusi dan tentukan distribusi asimtotiknya. Penyelesaian. (a). Diketah Diketahui ui Y n = max X 1 , . . . , Xn maka Y = y ; 0 < y y (0, (0, θ]. Fungsi distribusi (cdf (cdf ) ) dari dari Y n adalah
{
∈
}
D
{
n
≤ θ}.
Misa Mi sall diambi diambill
F Y P (Y n Y (y ) = P (
P (max{X 1 , . . . , Xn } ≤ y) ≤ y) = P (max = P ( P (X 1 ≤ y , . . . , Xn ≤ y ) ≤ y)]n (karena X = [P [ P ((X ≤ (karena X 1 , . . . , Xn independen)
n
n = [F [ F X X (y )] 1
Karena X 1 berdistribusi U berdistribusi U (0 (0,, θ), maka y
F X P (X 1 < y) = X (y ) = P ( 1
sehingga untuk 0 < 0 < y
0
1 y dx = dx = , θ θ
≤ θ, P ( P (Y n
≤ y) = [F X X (y)] 1
n
=
Jadi cdf Jadi cdf dari Y dari Y n adalah F Y Y (y ) = n
y θ
n
.
0, y < 0 y n ( θ ) , 0 < y 1, y θ
≥
≤ θ
(b). Diketah Diketahui ui Z Z n = n( n (θ Y n ), maka Z = z ; 0 < z nθ . Misal diambil z diambil z (0, (0, nθ] nθ]. Karena Z Karena Z n = n = n((θ Y n ) ekivalen dengan Y dengan Y n = θ Z n /θ, maka /θ, maka fungsi distribusi dari
−
−
D
{
n
2
≤ } −
∈
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Z n adalah F Z P (Z n Z (z ) = P (
P [Y n ≥ θ − (z/n)] z/n)] ≤ z) = P [ = 1 − P ( P (Y n ≤ θ − (z/n)) z/n)) θ − (z/n) z/n) n =1− θ
n
=1
− − 1
z /θ n
n
dan lim F Z Z (z ) = 1
n→∞
n
− e−z/θ
sehingga Z n
−d→ Z.
Berikut akan ditunjukkan Z ditunjukkan Z berdistribus berdistribusii eksponensial eksponensial dengan parameter parameter 1/θ. Misal Z Misal Z berdistribusi eksponensial dengan parameter 1/θ, 1/θ, maka maka pdf pdf dari Z dari Z,, 1 f ( f (z) = e−z/θ , θ
z > 0
dan 0 untuk z lainnya, sehingga cdf sehingga cdf dari Z dari Z z
F Z Z (z ) =
0
1 −x/θ e dx = dx = 1 θ
− e−z/θ ,
z > 0
dan 0 untuk z lainnya. Jadi, distribusi asimtotik dari Z dari Z n adalah distribusi eksponensial dengan parameter 1/θ. Hubungan konvergen dalam distribusi dan konvergen dalam peluang dinyatakan dalam sifat-sifat berikut:
→ p
−d→
(a). Jika Jika X n X X maka X n X. Pernyataan sebaliknya belum tentu benar dan berlaku benar hanya jika X degenerate . p d b maka X maka X n → b. −→ d d d (c). Jika Jika X n −→ X dan Y dan Y n −→ 0, maka X n + Y n → X. d (d). Jika Jika X n −→ X dan g dan g fungsi yang kontinu pada support pada support dari dari X X maka d g (X n ) −→ g (X ).
(b). Jika Jika b suatu konstanta dan X dan X n
(e). (Teorem (Teorema a Slutsky). Slutsky). Misal X n , X , An , Bn , variabel-v variabel-variabel ariabel acak. Misalkan Misalkan pula a dan b konstan konstanta. ta. Jika Jika X n a + bX.
d d b maka An + B + Bn X n −→ −d→ X, An → p a, dan Bn −→
3
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Teknik Fungsi Pembangkit Momen. Selain menggunakan cdf menggunakan cdf , distribusi asimtotik suatu barisan variabel acak yang konvegen dalam distribusi, juga dapat dicari menggunakan nakan teknik teknik fungsi fungsi pembangkit pembangkit momen (teknik (teknik mgf ). ). Teorema 2 Misal X n barisan variabel acak dengan mgf M M X X (t) yang ada untuk h < t < h dan untuk setiap n. setiap n. Misalkan Misalkan pula X X variabel variabel acak dengan mgf M ( M (t) yang ada untuk t < h1 < h untuk setiap n. Jika n. Jika
{ }
−
n
||
lim M X M (t) X (t) = M ( n
n→∞
maka X n
−d→ X.
Berikut aturan limit di Kalkulus yang berguna dalam penentuan distribusi asimtotik berdasarkan Teorema 2: Jika diberikan bentuk limit berikut
b ψ( ψ (n) lim 1 + + n→∞ n n
cn
,
dengan b dan c tidak bergantung pada n dan limn→∞ ψ(n) = 0, maka
b ψ(n) lim 1 + + n→∞ n n
cn
cn
b = lim 1 + n→∞ n
= e bc
(1)
Sebagai contoh, untuk menghitung t2 t3 lim 1 + + 3/2 n→∞ n n
dapat dimisalkan b dimisalkan b =
−n/2 n/2
= lim
n→∞
− 1
√
t 2 t 2 / n + n n
−n/2 n/2
√ √ dan ψ((n) = t 2 / n sehingga limn→∞ t2 / n = 0 dan −t2, c = − 12 , dan ψ t 2 t3 lim 1 + + 3/2 n→∞ n n
−n/2 n/2
2
= e t
/2
.
Contoh 4.3.3. Misal Y Misal Y n berdistribusi B berdistribusi B((n, p) dan untuk setiap n setiap n mean mean dari dari Y Y n adalah sama yaitu µ yaitu µ = = np. np. Akan Akan ditentukan distribusi asimtotik dari distribusi binomial dengan p = p = µ/n, µ/n, dengan dengan cara mencari limit dari mgf tY n
M ( M (t; n) = E [e
] = (1
p) + pe + pe − p)
µ(et 1) = 1+ n
t n
−
n
,
−∞ < t < ∞
Dengan memisalkan b = µ = µ((et 1), 1), c = 1 dan dan ψ(n) = 0, maka dari persamaan (1) dapat diperoleh lim M ( M (t; n) = eµ(e −1) ,
−
t
n→∞
4
−∞
∞
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
yang yang tidak lain merupak merupakan an bentuk bentuk mgf dari distribusi distribusi Poisson Poisson dengan dengan parameter parameter µ. Dengan Dengan demikian, demikian, dapat disimpulk disimpulkan an bahwa bahwa untuk untuk n , distribusi B (n, p) dapat diaproksimasi oleh distribusi Poisson dengan parameter µ parameter µ = np. = np.
→∞
1 25 maka
Sebagai ilustrasi, jika Y Y berdistribusi B berdistribusi B (n, p) dengan n = 50 dan p = P ( P (Y
≤ 1) =
50
24 25
+ 50
49
1 25
24 25
= 0, 400
Peluang tersebut juga dapat dihitung melalui aproksimasi distribusi Poisson yaitu dengan memisalkan µ memisalkan µ = np = np = = 2, sehingga P ( P (Y
2e−2 = 0, 406 406.. ≤ 1) = e−2 + 2e
Contoh 4.3.4. Misal Z Misal Z n berdistribusi χ berdistribusi χ 2 (n). Akan ditunjukkan bahwa distribusi limit dari Y n = (Z n n)/ 2n adalah N (0, (0, 1). 1).
− √ √ n, maka mgf dari Y Diketahui Y Diketahui Y n = (Z n − n)/ 2n, maka dari Y n Z n − n √ 2n M (t; n) = E [etY ] = E exp t
n
= e
√
tn/ 2n
= exp
E [e
√
tZ n / 2n
]
− − √ t
2 n
n 2
−n/2 n/2 t 2 , 2n
1
t<
√ 2n 2
.
Bentuk mgf Bentuk mgf ini ini juga dapat ditulis sebagai M ( M (t; n) =
√ e
t
2/n
−t
√ 2/n
2 t e n
n/2 −n/2
,
t<
√ 2n 2
.
Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ bilangan ξ ((n), antara 0 dan t 2/n, sehingga /n, sehingga
√ t 2/n
e
= 1+t
2 1 + n 2
2 n
t
2
e ξ (n) + 6
t
2 n
3
.
Akibatnya,
−
M ( M (t; n) = 1 dengan
t2 ψ(n) + n n
−n/2 n/2
,
√ 2t3eξ(n) √ 2t3 2t 2 t4 eξ(n) √ √ ψ(n) = . − − 3n 3 n n Karena ξ (n) → 0 ketika n → ∞, maka limn→∞ ψ(n) = 0 untuk setiap nilai t. nilai t. Dari persamaan (1) dapat diperoleh lim M ( M (t; n) = e t
2
/2
n→∞
5
,
−∞ < t < ∞.
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Karena bentuk pada ruas kanan merupakan mgf dari mgf dari distribusi normal standar, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi asimtotik dari Y n = (Z n n)/ 2n adalah normal standar.
−
√
Latihan Soal No.1-11, 18, 19 (Hogg, dkk., hal 218-220).
4.4 4.4
Teore eorema ma Limi Limitt Pusa Pusatt
Pada Subbab 3.4 telah dibahas bahwa jika X 1 , X 2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi N (µ, σ 2 ) maka variabel acak (X (X n µ)/(σ/ n) berdistribus berdistribusii N (0, (0, 1). 1). Permasalahannya bagaimana perilaku variabel acak tersebut jika distribusi asalnya sembarang? Jawabannya dapat ditemukan pada teorema pada teorema limit pusat. pusat.
√
−
Teorema 3 (Teorema Limit Pusat) Misal X X 1 , X 2 , . . . , Xn sampel acak dari suatu dis2 tribusi dengan mean µ dan variansi σ , maka variabel acak Y n =
X n µ σ/ n
− −→ d √ N (0, (0, 1)
Bukti. Pembuktian Pembuktian dengan teknik mgf teknik mgf memerlukan memerlukan asumsi tambahan, yaitu mgf yaitu mgf M ( M (t) = tX E [e ] ada untuk h < t < h. Dengan h. Dengan asumsi ini, maka fungsi
−
m(t) = E [et(X −µ) ] = e −µt M ( M (t) juga ada untuk h < t < h. Karena m(t) mgf mgf untuk X 2 E [X µ] = 0, dan m dan m (0) = E = E [(X [(X µ) ] = σ 2 .
−
−
µ, maka m(0) = 1, 1, m (0) = − − µ, maka
−
Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ bilangan ξ antara antara 0 dan t sehingga m (ξ )t2 m(t) = m(0) m (0) + m (0)t (0)t + 2
= 1+ Melalui manipulasi σ manipulasi σ 2 t2 /2
m (ξ )t2 2
− σ2t2/2 = 0,0 , mgf m(t) dapat juga ditulis sebagai σ2 t2 m (ξ )t2 σ 2 t2 + 2 2 2 2 2 2 σ t [m [ m (ξ ) σ ]t2 = 1+ + . 2 2
m(t) = 1 +
− −
6
(2)
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Berikut ini akan ditentukan mgf mgf dari Y dari Y n : Karena
X n µ Y n = = σ/ n
− √
n i=1 X i
− nµ √ σ n
maka mgf maka mgf dari Y n dapat ditulis
√ − √ − √ − · · · √ − · · · √ − √ − √ − √
M (t; n) = E [e
tY n
X i nµ σ n X 2 µ exp t σ n
] = E exp t
X 1 µ X n µ = E exp t exp t σ n σ n X 1 µ X n µ = E exp t E exp t σ n σ n X µ = E exp t σ n t t = m , h< < h. σ n σ n
√ −
Dari persamaan (2) dapat diperoleh m
√ t
σ n
= 1+
√
t2 [m (ξ ) σ 2 ]t2 + , 2n 2nσ2
−
n. Akibatnya −hσ√ n < t < hσ √ n. Akibatnya n t2 [m [ m (ξ ) − σ 2 ]t2 1+ +
dengan ξ dengan ξ antara antara 0 dan t/σ n dengan M ( M (t; n) =
2nσ2
2n
Karena m (t) kontinu di t di t = = 0 dan karena ξ
→ → 0 ketika n ketika n → ∞, maka lim [m (ξ ) − σ 2 ] = 0. n→∞
Dari persamaan (1) dapat diperoleh lim M ( M (t; n) = et
2
/2
n→∞
,
−∞ < t < ∞
yang tidak lain merupakan mgf dari distribusi distribusi normal standar. Jadi dapat disimpulkan disimpulkan bahwa X n µ d 1). Y n = N (0 N (0,, 1). σ/ n
− −→ √
Dengan adanya teorema limit pusat maka distribusi rata-rata sampel X X yang berasal dari distribusi distribusi apapun dapat didekati didekati (diaproksimasi) (diaproksimasi) oleh distribusi distribusi normal. Berarti Berarti perhitungan perhitungan peluang atau penentuan penentuan selang kepercayaa kepercayaan n dari X X juga dapat didekati oleh peluang distribusi normal.
7
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Contoh 4.4.1. Misal X rata-rata X rata-rata dari sampel acak berukuran n = 75 dari distribusi uniform 1, 0 < x < 1 f ( f (x) = 0, x lainnya. lainnya.
Karena µ = 12 dan variansi σ 2 =
1 12 , maka
0, 45 µ 0, 55 µ P (0 P (0,, 45 45 < < X < 0, 0 , 55) P
≈
√ −
√ −
−
= P ( P (Z < 1. 1 .5)
P (Z < −1, 5) − P ( = 0, 9332 − (1 − 0, 9332) = 0, 8664 8664..
Contoh 4.4.2. Misal X Misal X 1 , X 2 , . . . , Xn sampel acak dari distribusi B distribusi B (1, (1, p). Di sini µ sini µ = = p p 2 dan σ = p(1 p (1 p) p). Telah diketahui di Subbab 3.1 bahwa jika Y n = X 1 + . . . + X n maka Y n berdistribusi B berdistribusi B (n, p). Karena
−
Y n np = np(1 np(1 p) p)
− −
√ n
X n p X n µ = σ/ n np(1 np(1 p) p)
− −
− √
konvergen dalam distribusi ke N ke N (0 (0,, 1), 1), maka Y maka Y n yang berdistribusi B berdistribusi B((n, p) dapat didekati 2 2 oleh distribusi N distribusi N ((µ, σ ) dengan µ dengan µ = = np np dan dan σ σ = np(1 np (1 p) p). Distribusi normal yang terjadi hanya untuk sampel besar disebut disebut distribusi normal asimtotik. asimtotik.
−
Contoh Contoh 4.4.3. Misal Y Y berdistribusi B (n, p) dengan n = 100 dan p = 12 . Karena µ = np = 50 dan σ 2 = np(1 np(1 p) p) = 25 atau σ = 5, maka dari Contoh 4.4.2 dapat dihitung
−
P ( P (Y = 48 48,, 49 49,, 50 50,, 51 51,, 52) = P = P (47 (47,, 5 < Y < 52, 52 , 5)
47 47,, 5 50 52 52,, 5 50 P
≈
−
−
−
Di sini titik Y = 47 47,, 5 dan Y dan Y = 52 52,, 5 disebut angka koreksi kekontinuan.
Latihan Soal No.1-12 (Hogg, dkk., hal 225-226).
8
