Teorema de Menabrea o 2do Teorema de Castiliano

TEOREMA DE MENABREA.

 También  También denominado denominado segundo teorema teorema de Castigliano Castigliano o teorema teorema del trabajo mínimo: “En una estructur estructura a hiperestá hiperestática tica,, si no hay movimiento movimientos s de los apoyos y ningún ningún cambi cambio o de temper temperatu atura ra,, es decir decir some sometid tida a solam solament ente e a uer!a uer!as s e"teriores de valores dados, las inc#gnitas redundantes son tales $ue hacen mínimo el trabajo de la deormaci#n elástica% &i

 X 1 , X 2 , … X n   son las inc#gnitas redundantes, la condici#n de mínimo

hace $ue: Əδ 

=0  ' Ə  X  1

Əδ 

=0 '((()), Ə  X  2

Əδ  Ə  X n

=0

Este teorema proporciona ecuaciones adicionales a las de e$uilibrio estático, lo $ue en general permite resolver todo tipo de estructuras hiperestáticas) Ejercicios 1. *esolver la viga mostrada en la +gura, utili!ando el do teorema de Castigliano)

a- Cálculo Cálculo de de grado grado de hiperesta hiperestaticida ticidad d G =r −C −3 G = 4 − 0−3 = 1

.a estructura de es de /er grado de hiperestaticidad e"terna) b- Teorema eorema de menabrea) menabrea) Eliminamos el apoyo en C y lo reempla!amos por

V c

,

obteniendo las reacciones en el empotramiento 0 en unci#n de V c )

Entonces teniendo ya las reacciones elaboramos los momentos haciendo cortes en cada tramo y tenemos $ue

(0 ≤ X ≤ 3 )

Tramo l-l

 M l=( 60 − V C ) x −( 210− 6 V C ) Ə M l Ə V C 

=− x + 6

Tramo ll-ll

(3 ≤ X ≤ 6 )

 M l l=( 60 −V C ) x −( 210− 6 V C )−60 ( x −3) Ə  M ¿ Ə V C 

=− x +6

.uego: 1

 EI 

{∫ ( 3

⌊

6

−V C ) x −( 210 −6 V C ) ⌊ (− x + 6 ) dx +∫ [ ( 60 −V C ) x −( 210− 6 V C )−60 ( x −3 ) ] ( − x + 6 ) dx

60

0

*esolviendo las integrales obtenemos

3

V c

V c =26.25 kN 

1inalmente:

) *esolver el p#rtico mostrado en la +gura, considerando $ue la rigide! E0 es constante en toda la estructura)

}

Desarrollo.

a- Cálculo de grado de hiperestaticidad) G =3 b + r −3 n −e G =3∗2 + 4 −3∗3 −0=1

Entonces la estructura es de / er grado de hiperestaticidad e"terna) b- Teorema de 2enabrea) Eliminamos el apoyo en 3 y lo reempla!amos por su reacci#n 4d , anali!ando el p#rtico de derecha a i!$uierda, tramo por tramo) Tramo DC ( 0 ≤ X ≤ 2.5 )  M  DC =V  D x Ə  M  DC  Ə V  D

= x

Tramo CB

(2.5 ≤ X ≤ 5 )

 M CB= V  D x −5 Ə  M CB Ə V  D

= x

Tramo BA

(0 ≤ y ≤ 5 )

 M BA =5 V  D x −5 −1. y . Ə  M BA Ə V  D

 y 2

=5 V  D−5 −0.5 y

=5

.uego: Ə M   M  dx =0 ∫ Ə V   EI  1

 D

*eempla!amos valores y obtenemos:

2

1

5

( V  D x −5 ) ( x ) dx +¿  EI  ∫ ( 5 V  D−5 −0.5 y ) ( 5 ) dy =0 2

0

1

5

( V  D x ) ( x ) dx +¿  EI  ∫ ¿ 2.5

1

 EI 

2.5

∫¿ 0

En donde: 166.666 V  D −276.042 =0 V  D =1.656 T 

1inalmente:

5) *esolver la armadura mostrada en la +gura, si las áreas de las barras 06) 03) 6C y C3 son /)7 veces mayor al área de barra 63) Considerar el m#dulo de elasticidad E es igual para toda la estructura)

Desarrollo.

a- Cálculo de grado de hiperestaticidad)

G =b + r − 2∗n

G=5 + 4 −2∗ 4 = 1

Entonces la estructura es de / er grado de hiperestaticidad e"terna) Eliminamos el apoyo en 6 reempla!ándolo por su reacci#n con variable 8) 8rocedemos a calcular el resto de las uer!as internas y las reacciones en los apoyos)

b- Teorema de 2enabrea) 8osteriormente, derivamos y llenamos la siguiente tabla) 0plicando la condici#n 0908; <, por$ue es la redundante desconocida)

.uego

−898.929 + 45.516 P  EA

=0

 P=19.75 kN 

Con el resultado obtenido, calculamos las otras uer!as internas o simplemente reempla!amos el valor de 8 en las uer!as internas, obteniendo los resultados +nales mostrados en la +gura)