Teorema de Laplace El teorema de Laplace (también (también conocido conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en determinantes en matrices de elevadas elevadas dimensiones a base de descomponerlo descomponerlo en la suma de determinantes menores.
produ producto cto se le asig asigna na el sign signo: o: (+), (+), si la permu permutac tació ión n de los los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.
a a det(A) = . .. a
a1,2 a2,2
1,1 2,1
El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los determinantes de los adjuntos de cualquier fila o columna de la matriz, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión mensión n-1. Aplicado Aplicado de forma sucesiva, sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus)) o 2x2 (en el que el determinante es el producto Sarrus de la diagonal principal menos el de la secundaria).
···
..
n,1
1.3
···
an,2
.
···
a1,n a2,n .. . an,n
Menor Menor comple complemen mentari tario o
Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n , se llama menor complementario del elemento aij , y lo representamos α ij al determinante determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j .
Se puede puede optimi optimizar zar los cálcu cálculo loss apli aplican cando do la re regl glaa de Chi Chio o y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular.
Dada la matriz cuadrada de orden 5:
1
Conc Concep eptos tos pre previos vios
a a A = aa
1,1
Antes Antes de afro afronta ntarr el cálc cálcul ulo o de deter determin minant antes es por el teoreteorema de Laplac Laplace, e, vamos vamos a ver ver alguno algunoss con conce cepto ptoss necesa necesari rios os para su desarrollo.
2,1 3,1 4,1
a5,1
1.1
Matri Matrizz cuadr cuadrada ada
1,1 2,1
an,1
1.2
a1,2 a2,2
··· ···
..
an,2
.
···
a1,n a2,n .. . an,n
a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a5,3
a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5
el menor complementario complementario del elemento elemento a 2,3 , será α 2,3 :
Una matriz Una matriz en en la que número de filas sea igual al de columnas, se denomina matriz cuadrada, si el número de filas y de columnas es n , se denomina matriz n×n o matriz cuadrada de orden n.
a a A = . ..
a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2
α2,3
a a = aa
1,1 3,1 4,1 5,1
a1,2 a3,2 a4,2 a5,2
a1,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a3,5 a4,5 a5,5
y el menor menor complem complementa entario rio del elemen elemento to a2,2 , será será α2,2 :
α2,2
Determ Determina inante nte de una matriz matriz
Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a cada
1.4
a a = aa
1,1 3,1 4,1 5,1
a1,3 a3,3 a4,3 a5,3
a1,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a3,5 a4,5 a5,5
Adjun Adjunto to de un elemen elemento to
Se llama adjunto del elemento aij y se representa representa Aij al determinante que resulta al atribuir el signo: (+) al menor 1
2
4
complementario αij si i+j es par o el signo: (–) si i+j es impar.
Aij = ( −1)(i+j ) αij
PRODUCTO VECTORIAL
a uno es la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función recursiva se emplea la misma función definida el cálculo lo haremos por Menor complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila seria:
Dada la matriz cuadrada de orden 5:
a a A = aa
a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2
1,1 2,1 3,1 4,1
a5,1
a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a5,3
a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5
det(Aj,j
3
si )= si
j = 1
→
a1,1
→
∑
j
j > 1
(−1)(1+k) · a1,k · det(α1,k )
k=1
Matriz 3×3
el adjunto del elemento a 2,3 , será A 2,3 : Partiendo de una matriz 3×3:
A2,3 =
a a a a
−
1,1 3,1 4,1 5,1
a1,2 a3,2 a4,2 a5,2
a1,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a3,5 a4,5 a5,5
y el adjunto del elemento a 2,2 , será A 2,2 :
A2,2
2
a a = + aa
1,1 3,1 4,1 5,1
a1,3 a3,3 a4,3 a5,3
a1,4 a3,4 a4,4 a5,4
a1,5 a3,5 a4,5 a5,5
Caso general
Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualesquiera el determinante es:
n
det(A) =
∑a
f,j
Af,j
j =1
Y tomando una columna c , será:
a M = a
11 21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila:
a det(M ) = a a
11 21 31
a12 a22 a32
a13 a a23 = a 11 22 a32 a33
a23 a33
a12
−
a a
21 31
a23 a +a13 21 a33 a31
Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos:
a det(M ) = a a
11 21 31
a12 a22 a32
a13 a23 = a 11 (a22 a33 −a23a32 )−a12 (a21a33 −a23 a3 a33
Eliminando los paréntesis, tenemos:
a det(M ) = a a
11 21 31
a12 a22 a32
a13 a23 = a 11 a22 a33 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 +a12 a a33
Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus: n
det(A) =
∑
ai,c A i,c
i=1
2.1
Función recursiva para el cálculo del determinante de una matriz
Podemos concluir con una Función recursiva para el cálculo del determinante, sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento de esa matriz, y el de una matriz de orden superior
a det(M ) = a a 4
11 21 31
a12 a22 a32
a13 a23 = a 11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a a33
Producto vectorial
Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto vectorial, partiendo de dos vectores u y v :
3
u⃗ = u x i + uy j + uz k v⃗ = v x i + vy j + vz k el producto vectorial de ambos es otro vector:
w ⃗ =⃗u
v⃗
×
Que se calcula con el determinante:
w ⃗ =⃗u
i v⃗ = u v
×
x
x
j uy vy
k uz vz
Desarrollado por el Teorema de Laplace:
w ⃗ =⃗u
i v⃗ = u v
×
x
x
j uy vy
k u uz = i y vy vz
uz vz
u j v
−
x
x
uz u +k x vz vx
uy vy
4
5
5
TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES
Text and image sources, contributors, and licenses
5.1 •
Text Teorema de Laplace Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Laplace?oldid=77918464 Colaboradores: FAR, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Urdangaray, Drinibot, Dnu72, Juan Mayordomo, Luckas-bot, DiegoFb, Jkbw, BOTirithel, Pitufox27, Ripchip Bot, EmausBot, Savh, ZéroBot, Sergio Andres Segovia, Addbot y Anónimos: 8
5.2
Images
5.3
Content license
•
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0