El Teorema de Bochner Orimar Sauri Arregui 23 de mayo de 2011 Resumen
En el presente trabajo probaremos el Teorema de Bochner, el cual nos muestra una relaci´ on on directa entre Topolog´ Topolog´ıa y la Teor´ eor´ıa de la Probabil idad. Dicho resultado se sustenta en el Teorema de continuidad de Levy as´ as´ı como el Teorema de inversi´ on de Fourier, el cual como sabemos, caracteriza a la densidad de una on distribuci´ on absolutamente continua. Para esto probaremos dos lemas y haremos algunas observaciones en on las cuales descansar´ a la demostraci´ on del Teorema en cuesti´ on on. on.
El Teorema de Bochner es sin si n duda dud a uno un o de los resultad r esultados os m´as as bellos b ellos dentro de la Teor´ Teor´ıa de probabilidad, pues adem´as as de caracterizar distribuciones absolutamente continuas via el concepto de funci´on on positiva definida, nos muestra una estrecha relaci´on o n con una de las areas a´reas m´as as importantes de las matem´aticas: aticas: la Topolog´ opolog´ıa. Supongamos que tenemos un espacio m´etrico, etrico, digamos (Ω, d). Es bien conocido que dicha dicha m´ etrica etrica induce induce una topolog´ polog´ıa sobre el mismo, pues podemos definir el concepto de bola abierta en ´este, este, esto a su vez induce naturalmente el concepto de funciones continuas entre espacios m´etricos, etricos, de manera m´as as general, si (Ω1 , τ 1 ) y (Ω2 , τ 2 ) son dos espacios topol´ogicos ogicos cualesquiera, entonces el concepto de continuidad de funciones entre dichos espacios est´a bien definido. Es justamente el concepto de continuidad de una funci´on, junto con el de positiva definida, lo que nos permite representar a una funci´on caracter´ cara cter´ıstica ısti ca (f.c. ( f.c.). ).
Teorema 1 (El Teorema de Bochner) Sea Sea ϕ : R → C una funci´ on continua y supongamos que ϕ (0) = 1. 1. Entonces ϕ es funci´ on car caracter´ acter´ıstica ıstica de una medida de probabilidad µ ∈ P (R), si y solamente si ϕ es positiva definida. Antes de demostrar el teorema principal, probaremos dos lemas que caracterizan, de manera similar al teorema anterior, a una f.c.
Lema 1 Sea ϕ : R → C una funci´ on continua, acotada e integrable sobre R → R una funci´ on dada por 1 u (x) = 2π
−
e
itx
ϕ (t) dt
R
1
∀ x ∈ R.
R
y sea u :
(1)
A fin de que ϕ sea una funci´ on caracter´ıstica de una medida de probabilidad µ ∈ P (R) , es necesario y suficiente que ϕ (0) = 1 y u (x) ≥ 0 para cada x ∈ R. En este caso u es la densidad de la medida de probabilidad asociada a ϕ.
Demostraci´ on. La condici´on necesaria es inmediata del Teorema de Inversi´on de Fourier. Supongamos que ϕ (0) = 1 y u (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R. Probaremos que en este caso u necesariamente es una densidad, lo cual implicar´a el resultado del lema. Sea f una densidad arbitraria con funci´on caracter´ıstica φ ≥ 0 integrable1 . Multiplicando (1) por φ (sx) eiax, con s, a ≥ 0 , e integrando sobre R obtenemos que
iax
φ (sx) u (x) e
R
1 dx = 2π
R
φ (sx) e
−
i(t−a)x
ϕ (t) dtdx.
R
Analicemos el lado derecho de la ecuaci´on anterior. Por el Teorema de Fubini 1 2π
R
φ (sx) e
i(t−a)x
−
R
1 ϕ (t) dtdx = ϕ (t) 2π R
φ (sx) e
i(t−a)x
−
R
dx dt,
haciendo z = sx, s ≥ 0, x ∈ R, obtenemos del Teorema de Inversi´on de Fourier aplicado a ϕ que t − a dt 1 φ (sx) e i(t a)xϕ (t) dtdx = ϕ (t) f . s s 2π R R R
−
Notemos que f (t) = f ∗
t−a s
1 s
−
es una densidad, de ah´ı que
ϕ (t) f
R
t−a s
dt = Ef (ϕ) < ∞, s ∗
(2)
pues por hipotesis ϕ es acotada, de modo que R φ (sx) u (x) eiaxdx < ∞. En particular, si a=0 u (x) dx, l´ım φ (sx) u (x) dx = (3) s→0
R
R
pero de (2), R ϕ (t) f st dts −→ ϕ (0) = 1, cuando s → 0, combinando lo anterior con (3), concluimos que u es una densidad, pero al ser ϕ integrable necesariamente es la funci´on caracter´ıstica asociada a u.
Observaci´ on 1 Por el Teorema de Continuidad de Levy (TCL), se tiene que si ϕ : R → C es una funci´ on continua, entonces ϕ es funci´ on caracter´ıstica de una medida de probabilidad µ ∈ P (R), si y solamente si para cada ε > 0, la funci´ on dada por φε (t) := ϕ (t) e
εt2
−
1
Basta tomar f acotada.
,
t ∈ R,
(4)
2
es funci´ on caracter´ıstica. En efecto, si ϕ es f.c., entonces por ser e εt la f.c. de una distribuci´ on normal con media cero y varianza 2ε para ε > 0, se tiene que φε es f.c. Rec´ıprocamente, supongamos que para todo ε > 0, φε es f.c. Como −
t ∈ R,
l´ım φε (t) = ϕ (t) ,
ε→0
y ϕ es continua, se sigue del TCL que ϕ es f.c. Luego, del Lema anterior, una funci´ on ϕ : R → C continua y acotada con ϕ (0) = 1 es f.c. ssi ∀ ε > 0
t(εt−ix)
−
e
∀ x ∈ R.
ϕ (t) dt ≥ 0
R
Lema 2 Sea ϕ : R → C una funci´ on continua y acotada. ϕ es f.c. si y solamente si ϕ (0) = 1 y si para cualquier distribuci´ on de probabilidad µ ∈ P (R) y para cada x ∈ R, se cumple que
−
e
itx
ϕ (t) µ (dt) ≥ 0,
(5)
∗
R
con
µ = µ ∗ µ1 , ∗
donde µ1 (A) = µ (−A)
∀ A ∈ B (R) .
Para los prop´ositos del presente trabajo, s´olo mostraremos el regreso del Lema anterior. Demostraci´ on del Lema 2. Supongamos que (5) es v´alida para cualquier µ ∈ P (R). Sea ε > 0 y sea µε ∼ Normal (0, ε), entonces µε ∗ µ1 ∼ Normal (0, 2ε), de ah´ı que, en este caso, ∀ x ∈ R 0 ≤
−
itx
ϕ (t) µ (dt)
−
itx
ϕ (t) e
e
∗
R
=
e
−
εt2
dt.
R
El resultado se sigue al aplicar la Observaci´on 1 a lo anterior.
Observaci´ on 2 Notemos que la condici´ on dada en (5) es equivalente a
R
it(t−s)x
−
e
ϕ (t − s) µ (dt) µ (ds) ≥ 0
∀ x ∈ R.
(6)
R
Ahora bien, si ν ∈ P (R) est´ a concentrada en {t1 , . . . , tn }, n ≥ 1 con respectivas masas { p1, . . . , pn }, entonces en este caso (6) toma la forma n
j,k=1
ϕ (t j − tk ) z j zk ≥ 0,
(7)
donde xitj
z j = p j e
−
j = 1, . . . , n.
,
Esta u ´ ltima observaci´on es crucial en la prueba del Teorema de Bochner. Demostraci´ on del Teorema de Bochner. Supongamos que ϕ es funci´on caracter´ıstica de una medida de probabilidad µ ∈ P (R). Sean t1 , . . . , tn ∈ R y z1 , . . . , zn ∈ C, n ≥ 1, entonces n
n
ϕ (t j − tk ) z j zk =
j,k=1
z j zk
−
e
i(tj −tk )x
j,k=1
n
=
−
itj x
j =1
−
z j e
R
zk e
−
k=1
itk x
µ (dx)
2
n
=
n
z j e
R
µ (dx)
R
itj x
j =1
µ (dx) ≥ 0,
es decir, ϕ es positiva definida. Inversamente supongamos que ϕ es positiva definida. Como ϕ es acotada2 , basta probar que para cualquier µ ∈ P (R) (6) se mantiene. La observaci´on anterior nos garantiza dicha condici´on en el caso de una medida discreta concentrada en un n´umero finito de puntos. En vista de que cualquier µ ∈ P (R) puede verse como el l´ımite de una sucesi´on de medidas discretas concentradas en un n´umero finito de puntos 3 , entonces (7) implica (6), lo cual completa la prueba.
2 3
Cualquier funci´ on positiva definida es acotada. Esto es, si µ ∈ P (R) entonces existe una sucesi´on {µ , n ≥ 1} ⊂ P (R) tal que n
l´ım µ (A) = µ (A) n
n
y µ est´ a concentrada en un n´umero finito de puntos. n
∀ A ∈ B (R) ,
