Tensor de Faraday Su Estructura Algebraica

Journal of Vectorial Relativity JVR 4 (2009) 3 33-42

Tensor de Faraday: Faraday: su s u Estr uctura uct ura Algebraica 1 J L L óp óp e z - B o n i l l a , R M e n e s e s - G 2 y M T u r g u t 3

tensorialmente el problema de eigenvalores de la matriz de Faraday. RESUMEN.- Se estudia tensorialmente PALABRAS CLAVE : Ecuaciones de Maxwell; Tensor de Faraday.

I.

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones de Maxwell sin fuentes (c es la velocidad de la luz en el vacío): r

r

∂ B , ∇ × E = − ∂t

r

r

∇ • B = 0

r

,

(1.a)

r

r

r

r

∇ • E = 0

r

, ∇ × B =

1 ∂ E c

2

,

∂t

(1.b)

adoptan la forma tensorial [1,2]:

F ab , j + F ja ,b + F bj , a = 0 a

F

b,a

=0

,

(2.a)

,

(2.b)

en donde se acepta la convención de Einstein de suma sobre índices repetidos, con:

( x j ) = (ct , x , y , z )

&

, r =

∂ ∂ x r

,

(3)

Con la métrica de Minkowski (1 , − 1 , − 1 , − 1) y la matriz de Faraday en sus representaciones:

E X E Y E Z ⎞ ⎛ 0 ⎛ 0 − E X − E Y − E Z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 cB Z − cB y ⎟ ⎜ − E X ⎜ E X 0 cB Z − cBY ⎟ ab (F ) = ⎜ , ⎟ , (F ab ) = ⎜ E − cB 0 cB X ⎟ 0 − − E cB cB Y Z Y Z X ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ E cB − cB ⎟ ⎜ − E ⎟ 0 0 cB cB − Y X Y X ⎝ Z ⎠ ⎝ Z ⎠ 1, 2

3

SEPI-ESIME-Zacatenco, SEPI-ESIME-Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional, Col. Lindavista, CP 07738 México DF E-mail: [email protected] Department of Mathematics, Mathematics, Buca Educational Faculty, Dokuz Eylül Eylül University, 35 160 Buca-Izmir, Turkey E-mail: [email protected]

(4.a)

Septiembre, 2009

J L López-Bonilla, R Meneses-G y M Turgut: Tensor de Faraday: su Estructura Algebraica

Septiembre, 2009

⎛ 0 − E X − E Y − E Z ⎞ ⎟ ⎜ E cB cB 0 − − ~ ⎜ X Z Y ⎟ F ≡ (F a b ) = ⎜ cB Z 0 − cB X ⎟ − E ⎟ ⎜ Y ⎜ − E − cB 0 ⎠⎟ cB X Y ⎝ Z

(4.b)

Las expresiones (2.a) y (2.b) reproducen (1.a) y (1.b), respectivamente. Nótese que si en (1.a) se realizan los cambios: r

r

r

E → c B ,

r

c B → − E ,

(5)

entonces resulta (1.b), y al emplear (5) en (1.b) se obtiene (1.a), lo cual motiva la introducción de las matrices Duales : cB X cBY cB Z ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ 0 − − cB E E ⎟ ⎜ X Z y (∗ F ab ) = ⎜ ⎟ , 0 − E X ⎟ ⎜ − cBY E Z ⎜ − cB − E 0 ⎠⎟ E X Z Y ⎝

⎛ 0 − cB X − cBY − cB Z ⎞ ⎜ ⎟ 0 − cB E E ⎜ X Z Y (∗ F ab ) = ⎜ cB E 0 − E ⎟⎟ , Z X ⎜ Y ⎟ ⎜ cB − E ⎟ 0 E Y X ⎝ Z ⎠

− cB X ⎛ 0 ⎜ 0 ⎜ − cB X ∗ ~ F ≡ (∗ F a b ) = ⎜ − cBY − E Z ⎜ ⎜ − cB E Y Z ⎝

− cBY − E Z 0

− E X

− cB Z ⎞ ⎟ − E Y ⎟ − cB X ⎟ ⎟ 0 ⎠⎟

(6.a)

(6.b)

generadas al utilizar (5) en (4), y que permiten reescribir a las ecuaciones de Maxwell (2): ∗

a

F

∗

b ,a

=0

∗

,

∗

F ab , j + F ja ,b + F bj ,a = 0

(7.a) (7.b)

La introducción del tensor totalmente antisimétrico de Levi – Civita:

η abpq = ∈abpq

, η abpq = − ∈abpq

(8.a)

con los símbolos:

∈abpq = ∈abpq

⎧ 1 , si (abpq ) es permutación par de (0123) , ⎪ = ⎨− 1 , si (abpq ) es permutación impar de (0123) , ⎪ 0, en los demás casos , ⎩

(8.b)

permite relacionar al tensor antisimétrico de Faraday con su Dual:

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F ab =

1

F ab = −

1

∗

η abpq F pq

2

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,

(9.a)

o bien

2

η abpq ∗F pq

,

(9.b)

mostrando así que (6) también pueden construirse mediante (4,9.a), es decir, (9.a) es la representación tensorial del intercambio (5). Con (9.a) es inmediato probar que (7.a) y (7.b) implican (2.a) y (2.b), respectivamente. Con (4,6) es sencillo determinar los únicos dos invariantes de Lorentz del campo electromagnético [1,2]:

(

I 1 = F ab F ab = 2 c 2 B 2 − E 2 r

)

,

r

I 2 = ∗F ab F ab = − 4c B • E

(10)

El vector complejo de Faraday [3]: r

r

r

F = c B + i E

,

(11)

al multiplicarse consigo mismo conduce a los mencionados invariantes: r

r

F • F =

1 2

( I 1 − iI 2 )

,

(12.a)

y además aporta otra manera de expresar a las ecuaciones de Maxwell (1): r

r

r

r

r

∇ • F = 0 , ∇ × F = −

1 ∂F

c ∂t Aquí se estudiará el problema de eigenvalores de (4.b) mediante el formalismo tensorial.

II.

(12.b)

TENSOR DE FARADAY

La técnica tensorial aplicada al análisis de los valores y vectores propios de (4.b) se apoya en la ecuación: (13) a b a

F b ξ = λξ

,

la cual tiene solución sólo para los λ verificando:

~ ~ det F − λ I = 0

(

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)


,

(14.a)

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Septiembre, 2009

generándose así la ecuación característica [4-6] : 4

λ +

I 1

2

λ −

2

I 22

16

(14.b)

=0 ~

En esta etapa es conveniente introducir la clasificación de Piña [7]- Synge [8] para F : Tipo A: I 2 ≠ 0 , Tipo B: I 2 = 0 , I 1 < 0 , Tipo C: I 2 = 0 , I 1 = 0 (Caso Nulo )

(15)

Tipo D: I 2 = 0 , I 1 > 0 , de particular relevancia en el estudio del movimiento de cargas puntuales bajo la acción de un campo electromagnético constante [7-10]. Las raíces de (14.b) se presentan de acuerdo al esquema: Tipo A.- Dos valores propios reales y dos imaginarios: 1

1 ± ⎡− I 1 + I 12 + I 22 ⎤ 2 ⎥⎦ 2 ⎢⎣

1

,

i ± ⎡ I 1 + I 12 + I 22 ⎤ 2 ⎥⎦ 2 ⎢⎣

(16.a)

Tipo B.- Se tienen cuatro eigenvalores reales:

λ 1 = − I 1 , λ 2 = I 1 , λ 3 = λ 4 = 0

(16.b)

Tipo C.- Colapsan los valores propios:

λ j = 0

,

j = 1, L, 4

(16.c)

Tipo D.- Resultan dos eigenvalores imaginarios y dos reales:

λ 1 = λ 2 = 0

, λ 3 = iI 1 , λ 4 = − iI 1

El tipo A es el principal interés de este trabajo, con

λ

(16.d)

≠ 0 real para así asegurar que el

r

correspondiente ξ en (13) sea un eigenvector real en el espacio de Minkowski, entonces:

λξ r ξ r = F abξ aξ b ≡ 0 y como λ

porque F ab es antisimétr ico

,

(17.a)

≠ 0 se concluye que ξ r es un vector nulo:

( 0 )2 − (ξ 1 )2 − (ξ 2 )2 − (ξ 3 )2 = 0

ξ r ξ r = ξ

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,

(17.b)

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j

lo cual significa que ξ está sobre el cono de luz con vértice en el evento en cuestión. Por lo tanto, de acuerdo a (16.a) se tienen dos eigenvectores nulos linealmente independientes:

F b σ = λσ a

a

a

,

F b η = − λη a

b

σ r σ r = η r η r = 0 , λ =

a

(18.a)

, 1

1⎡

− I 1 + I 12 + I 22 ⎤ 2 , ⎥⎦ 2 ⎢⎣

(18.b)

y sin pérdida de generalidad son seleccionados tales que: (18.c)

a σ η a = 1

En Algebra Lineal [4] se conoce que una matriz puede reconstruirse a partir de sus valores y vectores propios, que en el caso del tensor de Faraday queda explícito con la relación [1]:

F ab = λ (σ aη b − σ bη a ) + τη abqr σ qη r en donde

τ

,

(19.a)

tiene el mismo signo que I 2 : 1

∈ τ = ⎡ I 1 + I 12 + I 22 ⎤ 2 , ∈ I 2 > 0 , ∈ = ± 1 ⎥⎦ 2 ⎢⎣

(19.b)

Con (18.b,c,19.a) son inmediatas las expresiones (18.a), pero además el uso de (19.a) en (9.a) muestra que el tensor Dual es generado vía: ∗ (20.a) F = − τ (σ η − σ η ) + λη σ qη r , a b

ab

b a

abqr

con los mismos eigenvectores pero asociados a distintos valores propios: ∗

F b σ = − τσ a

b

a

∗

(20.b)

F b η = τη

,

a

b

a

En [11-14] se ilustran (18.a,19.a) para el campo electromagnético de Liénard – Wiechert [2]. Las expresiones (19.a,20.a) permiten demostrar identidades algebraicas para la matriz de Faraday y su Dual [7,15,16] : ∗

F ab F br = −

I 2

4

δ r a

F ab F rb − ∗F ab ∗ F rb = F rb F F qa = bq

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I 1

2

F ar +


,

I 1

2

δ r a

I 2 ∗

4

F ar

(21.a)

, ,

(21.b)

(21.c)

37


Septiembre, 2009

que también pueden deducirse mediante las representaciones (4.a, 6.a). Las relaciones (21) son básicas al determinar las trayectorias de partículas cargadas en un campo electromagnético uniforme [7-10,15]. De (21.a) es inmediato que: ~ −1

F

4

=−

∗ ~

I 2

F

I 2 ≠ 0 ,

,

(22.a)

~

es decir, la matriz Dual proporciona la inversa de F cuando I 2 ≠ 0 , lo cual hace sospechar que

~

este invariante esté relacionado con el determinante de F , en efecto, la ecuación característica (14.b) implica [5,6]: ~

d et F = −

~ −1

entonces existe F

I 22

16

= − ( c B • E ) 2 , r

r

r

(22.b)

r

en los puntos donde B no es ortogonal a E . De (21.a, c) resulta la identidad: 2

I ~ 2 I ~ ~ F + 1 F − 2 I = 0 2 16 ~ 4

,

(23)

~

que es precisamente el Teorema de Cayley – Hamilton [4] asegurando que F satisface la ecuación característica (14.b). El tipo C indicado en (15) corresponde a un campo electromagnético nulo lo cual es:

I 1 = I 2 = 0 ,

(24)

F ba K b = 0

(25.a)

y por (16.c) sólo se tiene el eigenvalor cero: ,

r

Puede demostrarse [1,17] que K es nulo y que también es eigenvector del tensor Dual: ∗

a b F b K = 0

(25.b)

,

lo cual equivale a: F ab K r + F br K a + F ra K b = 0

(25.c)

~

La reconstrucción de F se logra mediante la expresión [1,17] :

F ab = K a Z b − K b Z a

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,

∗

F ab = η abpq K p Z q


,

(25.d)

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J L López-Bonilla, R Meneses-G y M Turgut: Tensor de Faraday: su Estructura Algebraica r

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r

K r Z = 0 , Z Z r = −1 , r

r

en donde el vector tipo-espacio unitario Z no es único, en efecto, es claro que en (25.d) a Z puede r sumársele β K , con β arbitrario, sin que se alteren dichas relaciones.

~

Con (21,24) resultan las siguientes identidades válidas para toda F tipo C: ~

∗ ~ ~

F F = 0

,

∗

F 2 = F 2

,

~

~

F 3 = 0

(26)

,

también demostrables con (25.d). b

El vector nulo real K propiedades (25.a, b):

~

es una Dirección Principal Nula de F tipo C porque verifica las

W ab K b = 0

(27.a)

,

con el tensor antisimétrico complejo: ∗

W ab = F ab + i F ab a

,

(27.b)

i = −1 ~

a

Los vectores σ y η , para el tipo A, son Direcciones Principales Nulas de F porque no satisfacen (27.a) pero sí cumplen con [17]:

(ξ r W ab − ξ aW rb ) ξ b = 0

,

ξ r = σ r y η r

(27.c)

,

lo cual es inmediato de (18,19,20). b

Enfatizamos que en (25.a,b) el vector nulo K es único (excepto por un factor de escala) porque no existen dos eigenvectores nulos, linealmente independientes, para el valor propio cero. Además, una r r vez seleccionado Z en (25.d), también es único el vector propio Y unitario y tipo – espacio: a b F b Y = 0

r r Y Z r = Y K r = 0

,

r Y Y r = − 1

,

,

(28.a)

que permite escribir al tensor Dual en la forma: ∗

F ab = K aY b − K bY a

r

de donde es inmediato que Z es un eigenvector tipo – espacio de ∗

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F ba Z b = 0

F ba Z b = − K a


(28.b)

, ∗

~ ~ F , pero no de F : (28.c)

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Este trabajo está principalmente dedicado al tensor de Faraday, sin embargo, es interesante realizar una aplicación al tensor de energía - momento de Maxwell definido por [1,2,18] (excepto por un factor dependiente de las unidades empleadas): T ab = − F ar F r b +

I 1

4

g ab

(29.a)

,

el cual es simétrico debido a la equivalencia relativista entre masa y energía, y con traza nula por que es cero la masa en reposo del fotón: T

ab

= T ba

(29.b)

T a = 0 a

,

Entonces para el tipo A se multiplica (29.a) por σ b y η b , y se utilizan (18.a), así resulta que dichos

~

∗

~

vectores propios de F y F también lo son del tensor de Maxwell con el mismo eigenvalor: a b T b ξ =

1 2

(λ 2 + τ 2 )ξ a

ξ r = σ r y η r

,

,

(30.a)

y en virtud de (18.b, 19.b) son válidas las relaciones:

τ 2 − λ 2 =

I 1

2

,

λτ =

I 2

,

4

λ 2 + τ 2 =

1 2

I 12 + I 22

(30.b)

ab

Al emplear (18.c, 19.a, 30.b) en (29.a) se obtiene a T en términos de sus eigenvectores nulos y de ab la métrica de Minkowski g = Diag (1,−1,−1,−1) :

(

) ⎛

T ab = λ 2 + τ 2 ⎜ σ aη b + σ bη a −

⎝

1 2

⎞ ⎠

g ab ⎟

(30.c)

Para el tipo C la sustitución de (24,25.d) en (29.a) conduce al tensor de Maxwell de carácter radiativo: ab a b (31.a) , T = K K que en unión de (25.d,28.a) permite mostrar sus vectores propios:

T ba K b = T ba Z b = T baY b = 0

(31.b)

De (30.c,31.a) son evidentes las propiedades (29.b), y también las importantes Condiciones de Rainich [19-22]: T abT rb =

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1

( T mnT mn )δ r a 4


,

(32.a)

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en donde:

(

2

T T mn = λ + τ mn

)

2 2

=

1 4

( I 12 + I 22 )

(32.b)

Es muy interesante hacer notar que un cambio de fase en el vector complejo de Faraday (11): ~ ~ r r

ξ

(

r

r

(33.a)

)

c B+i E =ei c B+i E ,

es equivalente a las Rotaciones de Dualidad [16,19, 20, 23, 24] : ~ ⎛ E ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ cos ξ senξ ⎞⎛ ⎜ E ⎟ , ⎜ ⎟ = ⎜ ~ ⎟ ⎜ − senξ cos ξ ⎟⎜ ⎟ ⎜ c B ⎟ ⎝ ⎠⎝ c B ⎠ ⎝ ⎠ r

r

~

(33.b)

r

r

∗

~

induce la misma rotación en las matrices F y F : ~ ab ⎛ F ⎞ ⎛ cos ξ senξ ⎞⎛ F ab ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ , ⎟⎜ ⎜ ∗ F ab ⎟ ⎜⎝ − senξ cos ξ ⎠⎟⎜ ∗ F ab ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(33.c)

pero una rotación de ángulo doble en los invariantes (10): ~ ⎛ I ⎞ cos (2ξ ) sen (2ξ ) ⎞⎛ I 1 ⎞ ⎜ 1 ⎟ = ⎛ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ~ ⎜ I ⎟ ⎝ − sen(2ξ ) cos (2ξ ) ⎠⎟⎜⎝ I 2 ⎠⎟ ⎝ 2 ⎠

(33.d)

Sí ahora empleamos (33.c, d) en (29.a) resulta el notable hecho de que el tensor de Maxwell es invariante ante Rotaciones de Dualidad:

~ ab

T

= T ab

(34.a)

,

y como este tensor se relaciona con la energía y el momento electromagnéticos, por lo tanto es natural sospechar que la invariancia (34.a) éste asociada a una ley de conservación, y en efecto, como las ecuaciones (1) son deducibles de un principio variacional [25] entonces mediante el Teorema de Noether [25-27] para las transformaciones (33.a) puede obtenerse la ecuación de continuidad [18]:

⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ∂ ⎛ ∈0 2 ⎜⎜ E + B 2 ⎟⎟ + ∇ • ⎜⎜ E × B ⎟⎟ = 0 , 2μ 0 ∂t ⎝ 2 ⎠ ⎝ μ 0 ⎠ r

r

r

(34.b)

entre el vector de Poynting y la densidad de energía electromagnética. III.

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CONCLUSIÓN


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Lo aquí realizado muestra que el estudio de la estructura del tensor de Faraday aporta una mejor comprensión del campo de Maxwell. REFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27]

J. L. Synge, Relativity: The special theory, North Holland Pub., Amsterdam (1965) García O., R. Linares, J. López-Bonilla and A. Rangel M., Electron. J. Theor. Phys 5, No.18 (2008) 1-20 N. Hamdan, I. Guerrero M, J. López-Bonilla and L. Rosales R., The Icfai Univ. J. Phys. 1, No.3 (2008) 52-56 D. T. Finkbeiner, Introduction to matrices and linear transformations, W.H. Freeman, San Francisco, USA (1966) J. López-Bonilla, J. Morales, G. Ovando and E. Ramírez, Proc. Pakistan Acad. Sci. 43, No.1 (2006) 47-50 J. H. Caltenco, J. López-Bonilla and R. Peña, Aligarh Bull. Math. 19 (2000) 55-59 E. Piña, Rev. Mex. Fis. 16 (1967) 233 J. L. Synge, Proc. R. Irish Acad. A65 (1967) 27-41 J. H. Caltenco, J. López- Bonilla and R. Peña, Indian J. Theor. Phys. 52, No.3 (2004) 179-183 J. H. Caltenco, J. López-Bonilla and R. Peña, Nepali Math. Sci. Report 21, Nos.1-2 (2003) 31-38 V. Gaftoi, J. López-Bonilla and G. Ovando, Aligarh Bull. Math. 17 (1977-98) 59-62 G. Arreaga, J. López-Bonilla and G. Ovando, Indian J. Pure Appl. Math. 31, No.1 (2000) 85-91 V. Gaftoi, J. López-Bonilla and G. Ovando, Canad. J. Phys. 79, No.1 (2001) 75-80 F. Felipe D., J. López-Bonilla and I. Toledo, Galilean Electrodynamics 19, No.5 (2008) 82 J. Plebañski, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl.9 (1961) 587 and 593 R. Penney, J. Math. Phys. 5, No.10 (1964) 1431-1437 A. Schild, Relativity theory and astrophysics. I, Lectures in Applied Mathematics vol. 8, Ed. J. Ehlers, Am. Math. Soc. (1967) 1-104 A. López- Dávalos and D. Zanette, Fundamentals of electromagnetism, Springer – Verlag, Berlín (1999) G. Y. Rainich, Trans. Amer. Math Soc. 27 (1925) 106-136 J. A. Wheeler, Geometrodynamics, Academic Press, NY (1962) D. Lovelock, Gen. Rel. Grav. 4, No.2 (1973) 149-159 J. H. Caltenco, J. López-Bonilla and R. Peña, Prog. Phys. 3 (2007) 34-35 C. W. Misner and J. A. Wheeler, Ann. of Phys. 2, No.6 (1957) 525-603 G. F. Torres del Castillo, Rev. Mex. Fís. 43, No.1 (1997) 25-32 C. Lanczos, The variational principles of mechanics, University of Toronto Press (1970) E. Noether, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 2 (1918) 235-257 C. Lanczos, Bull. Inst. Math. & Appl.9, No.8 (1971) 253-258

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