Matrices positivas Material para el Tema 7 de Matem´ aticas I Grado de ADE Curso 2014/2015
´ Indice Matrices positivas
1.
2.
3.
4. 5. 6.
5
Matrices positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Matrices positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Matrices estrictamente positivas . . . . . . . . . . . . . 1.3. Matrice Matr icess posit positiv ivas as y mode modelos los line lineales ales de prod produc ucci´ ci´ on . . Matrices productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2. 1. Defi De fini nicci´ o n de ma on matr triz iz prod odu ucti tiv va. Ej Ejemplo loss . . . . . . . 2.2. 2. 2. Cara Ca ract cter eriz izac aci´ i´ o n de la on lass mat atrric icees prod odu ucti tiv vas . . . . . . . 2.3. Traspuesta de una matriz prod odu uctiva . . . . . . . . . . Conj Co njun unto toss au aut´ t´ onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3. 1. Defi De fini nicci´ on de conjunto aut´ on onomo. Pr Propiedades . . . . . 3.2. 3. 2. Dete De term rmin inac aci´ i´ on pr´ on actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Productos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices indescomponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estr tru ucturas prod odu ucti tiv vas de subsis iste ten ncia . . . . . . . . . . . . . Ap´endice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6. 1. Demo De most stra raci ci´ o´n de on dell teo teore rema ma so sobr bree ma matr tric ices es pr prod oduc ucti tiv vas .
Referencias
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6 8 13 13 15 17 18 18 20 27 29 32 36 36 41
3
´ INDICE
Matrices positivas 1. MATRICES POSITIVAS
Notaci´ on. En este texo, y siempre que no d´ e lugar a confusi´on, escribiremos: P = pi para
designar una matriz columna P , y I para designar la matriz identidad, sin especificar el orden.
1.1. Matrices positivas
erminos son mayores o Definici´ on. De una matriz real A se dice es positiva si todos sus t´ iguales que 0, y se escribe: A O,
o bien O A.
Si A y B son dos matrices del mismo orden, con la notaci´on: A B,
o bien B
A,
designaremos el hecho de que B − A es positiva: B − A O. Una consecuencia inmediata de la definici´ on es que una matriz nula (o matriz cero): O , es positiva. Propiedades. Se verifica:
1) Si A = aij y B = bij son dos matrices positivas del mismo orden, entonces A + B es positiva. Los t´erminos de A + B son de la forma: aij + b ij , que son positivos o nulos por serlo los t´erminos a ij y b ij .
2) Si A = aij y B = bij son dos matrices positivas tales que AB est´a definido, entonces AB es positiva. Si l es el n´umero de columnas de A (o el n´umero de filas de B), entonces los t´erminos de AB son de la forma: l
aik bkj ,
k=1
que son positivos o nulos por serlo todos los t´erminos a ik y b kj .
Matrices positivas
Notaci´ on. En lo sucesivo escribiremos: l
aik bkj ,
en vez de:
k
aik bkj ,
k=1
si no hay lugar a confusi´on.
Proposici´ on 1. Consideremos una matriz A = aij de orden (n, m), y las m matrices columna
de orden (m, 1) siguientes:
E 1 =
1 0 0 .. .
, E 2 =
0
0 1 0 .. .
, . . . , Em =
0 0 .. .
.
0 1
0
Una condici´ on necesaria y suficiente para que la matriz A sea positiva es que, para cada 1 i m, la matriz AE i sea positiva: AE i
O
Demostraci´ on. La condici´ o n es necesaria.
para 1
i m.
Si suponemos que A es positiva, entonces, como para
cada 1 i m la matriz E i es positiva, AE i resulta ser el producto de dos matrices positivas, y por tanto positiva (cf. propiedad 2). La condici´ on es suficiente. Si suponemos que para cada 1 i m la matriz AE i es positiva, entonces A es positiva, pues: A = AE 1 AE 2 . . . AEm .
c.q.d.
1.2. Matrices estrictamente positivas Definici´ on. De una matriz real A diremos es estrictamente positiva, y escribiremos:
O < A,
o bien A > O,
si sus t´erminos son todos positivos. Si A y B son dos matrices del mismo orden, con la notaci´ on: A < B,
o bien B > A,
designaremos el hecho de que B − A es estrictamente positiva: B − A > O .
Matrices positivas
Nota bene. Si x es un n´ umero real, afirmar:
x0 y
x =0
es lo mismo que afirmar: x > 0. No ocurre lo mismo con las matrices; esto es, si A es una matriz que verifica: A O y A = O , entonces no necesariamente se deduce que A sea estrictamente positiva. Por ejemplo, la matriz: A =
1 0 1 1
es positiva, no es nula, y no es estrictamente positiva.
Propiedades. Se verifica: 1) Si A, B y C son tres matrices reales del mismo orden y α es un n´ umero real positivo, entonces: (A < B) =⇒ (A + C < B + C ), (A < B) =⇒ (αA < αB), (A B y B < C ) =⇒ (A < C ), (A < B y B
C ) =⇒ (A < C ).
Resulta inmediatamente de las definiciones.
2) Si A = aij y B = bij son dos matrices reales estrictamente positivas tales que AB est´a definido, entonces AB es estrictamente positiva. Los t´erminos de AB son de la forma:
aik bkj ,
k
y son positivos, por serlo todos los t´ erminos a ik y b kj .
Proposici´ on 2. El producto de dos matrices reales, una estrictamente positiva y la otra positiva
e invertible, es una matriz estrictamente positiva.
Matrices positivas
Demostraci´ on. Sean A = aij y B = bij dos matrices tales que su producto AB est´ a definido, la
primera estrictamente positiva, y la segunda cuadrada, positiva e invertible. Sea C = AB. Los t´erminos de C son de la forma: cij =
aik bkj ,
k
donde todos los t´erminos a ik son positivos y todos los t´ erminos b kj son positivos o nulos. Aseguramos que c ij es positivo si al menos uno de los t´erminos b kj es no nulo. Ahora bien, la matriz B es invertible, con lo que ninguna de sus columnas est´a formada enteramente por ceros; es decir, en cada columna de B hay al menos un t´ ermino positivo. En conclusi´ on: cij es positivo y la matriz C = AB es estrictamente positiva. Si, en vez del producto AB, est´a definido el producto BA, el razonamiento es completamente an´alogo. c.q.d. 1.3. Matrices positivas y modelos lineales de producci´ on
Consideremos una estructura productiva que est´a constituida por n industrias que producen n bienes. Cada industria produce un solo bien, y cada bien es producido por una sola industria. En lo sucesivo, representaremos con un n´ umero natural de 1 a n tanto la industria como el bien que ´esta produce, y pondremos: S = { 1, 2, . . . , n}. Representemos con aij (con i y j pertenecientes a S ) la cantidad (positiva o nula) del bien i necesaria para producir una unidad del bien j. O bien: para producir una unidad del bien j son necesarias a ij unidades del bien i. Supondremos se verifican las siguientes hip´otesis:
Hip´ otesis de rendimientos constantes a escala: para producir x j unidades del bien j son necesarias a ij x j unidades del bien i.
Hip´ otesis de aditividad. Si se producen: x1 , . . . , x j , . . . , xn unidades, respectivamente, de los bienes: 1, . . . , j, . . . , n, de la hip´ otesis anterior se deduce:
ai1 x1 es la cantidad del bien i necesaria para producir las x 1 unidades del bien 1, .. . aij x j es la cantidad del bien i necesaria para producir las x j unidades del bien j, .. .
ain xn es la cantidad del bien i necesaria para producir las x n unidades del bien n.
Matrices positivas
La hip´ otesis de aditividad afirma que la cantidad: n
ai1x1 + · · · + aij x j + · · · + ain xn =
aij x j
j =1
es la cantidad del bien i que es utilizada por la estructura productiva. De: n
aij x j
j =1
diremos es el consumo intermedio del bien i. Tambi´en supondremos que la cantidad disponible del bien i: xi , se utiliza de dos formas diferentes: n
consumo intermedio del bien i:
aij x j ;
j =1
demanda final del bien i, que denotaremos: y i (yi
Es decir:
0).
n
xi =
aij x j + yi ,
1 i n,
j =1
o bien:
a11 x1 + · · · + a 1 j x j + · · · + a 1n xn + y 1 = x 1 ............................................ ai1 x1 + · · · + aij x j + · · · + ain xn + yi = x i ............................................ an1 x1 + · · · + anj x j + · · · + annxn + yn = x n,
y escrito en forma matricial: AX + Y = X, donde A, X e Y son las matrices positivas siguientes:
A =
a11 a21 .. . an1
a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. ... ... . an2 . . . ann
, X =
x1 x2 .. . xn
y Y =
y1 y2 .. .
yn
.
En las hip´ otesis anteriores se dice que el sistema de producci´on es lineal, y que el modelo que lo representa es un modelo lineal .
Matrices positivas
umero real positivo o cero aij diremos es un coeficiente t´ Definici´ on. Del n´ ecnico , y de la
matriz A = aij , cuadrada de orden n y positiva, diremos es la matriz de coeficientes t´ ecnicos . De la matriz columna positiva X de orden (n, 1) cuyos t´erminos son las cantidades producidas x 1 , x2 , . . ., x n diremos es la matriz de producci´ on. De la matriz columna positiva Y de orden (n, 1) cuyos t´erminos son las demandas finales y1 , y2 , . . ., y n diremos es la matriz de demanda final . Dado un bien j ∈ S , la industria j , que es la u ´ nica que lo produce, necesita como inputs para su producci´ on aquellos bienes i que verifican: aij = 0. El conjunto de los bienes que la industria j precisa como inputs ser´a denotado: D( j); es decir, el conjunto: D( j) = { i ∈ S | a ij = 0} es el conjunto de los bienes que son directamente necesarios para la producci´ on del bien j. Ejemplo 1. Consideremos una estructura productiva —con sistema de producci´ on lineal— con tres
industrias que produce tres bienes: cada bien es producido por una sola industria, y cada industria produce un solo bien. Representemos las industrias y los bienes que producen por los mismos n´umeros: 1, 2 y 3. Sea: 1/2 0 1/16 1 1/2 0 A = aij = 0 1 1/2
la matriz de coeficientes t´ ecnicos de la estructura productiva.
Entonces, para producir una unidad del bien 1, la industria 1 utiliza a11 = 1/2 unidades del bien 1, a21 = 1 unidades del bien 2 y a31 = 0 unidades del bien 3; por tanto, los inputs que la industria 1 necesita son el bien 1 y el bien 2: D(1) = { 1, 2}. La industria 2 utiliza 1/2 unidades del bien 2 y 1 unidad del bien 3 para producir una unidad del bien 2, y por tanto: D(2) = { 2, 3}. Por u ´ ltimo, la industria 3 utiliza 1/16 unidades del bien 1 y 1/2 unidades del bien 3 para producir una unidad del bien 3: D(3) = { 1, 3}.
Matrices positivas
Nota. En este contexto entendemos por unidad una cantidad que se toma como medida.
Por ejemplo, si uno de los bienes producidos es acero, entonces la unidad podr´ıa ser la tonelada m´etrica. Si, por ejemplo, esta estructura productiva produce 1 unidad del bien 1, 3 unidades del bien 2 y 7 unidades del bien 3, entonces la matriz de producci´on es: X =
x1 x2 x3
=
1 3 7
,
y el consumo intermedio del bien 1 en la producci´on es: 3
1 1 15 a1j xj = · 1 + 0 · 3 + · 7 = ; 2 16 16 j=1
el consumo intermedio del bien 2 es: 1 5 1 · 1 + · 3 + 0 · 7 = ; 2 2 por u ´ ltimo, el consumo intermedio del bien 3 es: 13 . 2 Luego la matriz cuyos t´erminos son los consumos intermedios es:
15/16 5/2 13/2
=
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
1 3 7
= AX.
Nos planteamos el siguiente problema: dada la matriz positiva A de coeficientes t´ecnicos, y la matriz positiva Y de demanda final, en qu´e condiciones podemos encontrar una matriz de producci´on X que satisfaga: X = AX + Y,
con X O,
(I − A)X = Y,
con X O.
o bien: (1)
Ejemplo 2. Considerando la estructura productiva del ejemplo 1, que ten´ıa como matriz de coeficientes
t´ecnicos:
A = aij =
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
,
Matrices positivas
se puede satisfacer la demanda final:
Y =
pues con la producci´on:
y1 y2 y3
X = se verifica:
1/16 1/2 1/2
=
x1 x2 x3
=
,
1 3 7
X = AX + Y. En efecto:
1 3 7
=
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
1 3 7
+
1/16 1/2 1/2
.
En palabras: si la estructura productiva produce 1 unidad del bien 1, 3 del bien 2 y 7 del bien 3, entonces consumir´a en el proceso de producci´o n 15/16 unidades del bien 1, 5/2 unidades del bien 2 y 13/2 unidades del bien 3, pudiendo as´ı atender la demanda de 1/16 unidades del bien 1, 1/2 unidades del bien 2 y 1/2 unidades del bien 3.
Si la matriz I − A es invertible, entonces de (1) deducimos: X = (I − A)−1Y.
(2)
Pero de (2) no podemos concluir que X O; sin embargo, si (I − A)−1 es una matriz positiva, como Y es positiva, el producto: (I − A)−1 Y = X es una matriz positiva (cf. propiedad 2 de las matrices positivas). En conclusi´ on: es suficiente que la matriz I − A sea invertible y que su inversa: (I − A)−1 , sea positiva para asegurar que (1) admite soluci´on. Estudiemos a continuaci´ on qu´e propiedades tienen las matrices positivas A tales que I − A es invertible y (I − A)−1 es positiva.
Matrices productivas
2. MATRICES PRODUCTIVAS 2.1. Definici´ on de matriz productiva. Ejemplos Definici´ on. De una matriz real cuadrada A, de orden n y positiva, diremos es productiva
si existe una matriz columna X , de orden (n, 1) y estrictamente positiva, tal que: X − AX > O . Ejemplo 3. La matriz real:
A =
0.5 0 0 0.1
es productiva, pues, por ejemplo, la matriz columna:
X = verifica: X − AX =
1 0.5 0 − 1 0 0.1
Ejemplo 4. La matriz real:
1 1
> O
1 1
=
1 0.5 0.5 − = > O . 1 0.1 0.9
1 0 0 1/2
no es productiva. En efecto: para que sea productiva deben existir dos n´umeros reales x 1 > 0 y x 2 > 0 tales que:
x1 1 0 − x2 0 1/2
pero:
x1 1 0 − x2 0 1/2
x1 x2
=
x1 x2
> O ;
x1 x1 − x2 x2/2
=
0 , x2 /2
con lo que obtenemos una matriz columna que no puede ser estrictamente positiva. En consecuencia, no es productiva la matriz: 1 0 . 0 1/2
Ejemplo 5. Para cualquier n´ umero real a 0, la matriz real:
0 0
a 0
es productiva. En efecto, si tomamos dos n´umeros reales x1 > 0 y x 2 > 0 de forma que: x1 > ax2 ,
Matrices positivas
entonces:
x1 0 a − x2 0 0
x1 x2
x1 − ax2 = x2
x1 ax1 − = x2 0
> O ,
lo que muestra que, para cualquier n´umero real a 0, la matriz:
0 a 0 0
es productiva. Un caso concreto: a = 2. Tomemos, por ejemplo, x2 = 1 y x1 = 2 · 1 + 1 = 3 > x2 ; se tiene:
x1 0 a − x2 0 0
x1 x2
=
3−2·1 1
1 , 1
=
lo que confirma que es productiva la matriz:
0 a . 0 0
Obs´ ervese que en el caso particular de a = 0 obtenemos una matriz cero: O, que es, por tanto, productiva.
Una interpretaci´ on econ´ omica de las matrices productivas es la siguiente: si la matriz de coeficientes t´ecnicos de una estructura productiva (con sistema de producci´ on lineal) es una matriz productiva, podemos asegurar existe una matriz de producci´ on con la cual se consiguen excedentes en todos los bienes que produce la estructura productiva: hay un nivel de producci´ on con el cual se produce estrictamente m´as de lo que se consume. Ejemplo 6. La matriz de coeficientes t´ecnicos del ejemplo 1 (cf. p. 10):
A = es productiva, pues para la producci´ on:
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
X =
1 3 7
,
,
se produce m´as de lo que se consume; concretamente, el excedente es: X − AX =
1 3 7
−
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
1 3 7
=
1/16 1/2 1/2
.
Matrices productivas
2.2. Caracterizaci´ on de las matrices productivas
El siguiente teorema, cuya demostraci´ on puede encontrar el lector en el ap´endice (cf. p. ), caracteriza las matrices productivas. Teorema 1 . Una condici´ on necesaria y suficiente para que una matriz real A (cuadrada y
positiva) sea productiva es que I − A sea invertible y que su inversa: (I − A)−1 , sea positiva. Ejemplo 7. Con la ayuda del teorema 1 es f´acil comprobar que la matriz real del ejemplo 4 (cf. p. 13):
1 0 , 0 1/2
A = no es productiva. En efecto: I − A =
1 0
0 1 0 0 − = 1 0 1/2 0
0 , 1/2
y esta ´ultima matriz no es invertible. Ejemplo 8. Utilizando el teorema 1, estudiemos si la matriz real:
A = es productiva. Se verifica: I − A =
1/2 0 1 1/2
1 0 1/2 0 1/2 0 − = , 0 1 1 1/2 −1 1/2
y esta ´ultima matriz es invertible; su inversa es:
1
−
(I − A)
=
2 0 , 4 2
matriz que es positiva, luego es productiva la matriz:
1/2 0 . 1 1/2
A =
Ejemplo 9. La matriz de coeficientes t´ ecnicos (cf. ejemplo 6, p. 14):
A =
1/2 0 1/16 1 1/2 0 0 1 1/2
es productiva. Vamos a verificar que I − A es invertible y que (I − A) La matriz I − A es: I − A =
1/2 0 −1/16 −1 1/2 0 0 −1 1/2
,
1
−
es positiva.
Matrices positivas
y su rango es igual a 3 (como se comprueba con facilidad), y por tanto es invertible. Calculamos (I − A) 1 . Se tiene: −
I − A =
1/2 0 −1/16 −1 1/2 0 0 −1 1/2
F 1 ←2F 1 F 2 ←F 2 +F 1
−−−−−−−−−−−→
F 2 ←2F 2 F 3 ←F 3 +F 2
−−−−−−−−−−−→
F 3 ←4F 3 F 2 ←F 2 +(1/4)F 3 F 1 ←F 1 +(1/8)F 3
−−−−−−−−−−−−→
1 0 −1/8 0 1/2 −1/8 0 −1 1/2 1 0 −1/8 0 1 −1/4 0 0 1/4
1 0 0 0 1 0 0 0 1
= I,
y aplicando las mismas transformaciones elementales a la matriz identidad I :
I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
F 1 ←2F 1 F 2 ←F 2 +F 1
−−−−−−−−−−−→
F 2 ←2F 2 F 3 ←F 3 +F 2
−−−−−−−−−−−→
F 3 ←4F 3 F 2 ←F 2 +(1/4)F 3 F 1 ←F 1 +(1/8)F 3
−−−−−−−−−−−−→ y se verifica que (I − A)
1
−
2 0 0 2 1 0 0 0 1 2 0 0 4 2 0 4 2 1
4 1 1/2 8 4 1 16 8 4
O.
Ejemplo 10. Veamos si es productiva la matriz real:
A =
Calculamos I − A: I − A =
2 0 . 1 3
1 0 2 0 − 0 1 1 3
−1 0 = . −1 −2
Resulta ser invertible; su inversa es: 1
−
(I − A)
−1 0 = , 1/2 −1/2
que no es positiva. Por el teorema 1 (cf. p. 15), A no es productiva.
1
−
= (I − A)
,
Matrices productivas
Si la matriz de coeficientes t´ecnicos de una estructura productiva (con sistema de producci´on lineal) es una matriz productiva, entonces puede ser atendida cualquier demanda final.
En efecto, si la matriz de coeficientes t´ecnicos A es productiva y Y es la matriz de demanda final, entonces para la matriz de producci´ on X 1 definida por: X 1 = (I − A)−1 Y, se verifica: X 1
O
y X 1 = AX 1 + Y.
2.3. Traspuesta de una matriz productiva
Proposici´ on 3. La traspuesta de una matriz productiva es una matriz productiva. Demostraci´ on. Sea A una matriz productiva. Entonces: (a) I − A es invertible, y (b) (I − A)
1
−
es
positiva. Se verifica que I − At es invertible, pues: I − At = (I − A)t , y como I − A es invertible (cf. (a)), tambi´en lo es (I − A)t . 1
−
Y tambi´en se tiene que (I − At )
I − At
y como (I − A)
1
−
es positiva, pues: 1
−
= (I − A)t
1
−
= (I − A)
es positiva (cf. (b)), tambi´en lo es (I − A)
1 t
−
t
1 t
−
,
.
Con el teorema 1 (cf. p. ), concluimos que A es productiva.
c.q.d.
Matrices positivas
´ 3. CONJUNTOS AUTONOMOS 3.1. Definici´ on de conjunto aut´ onomo. Propiedades
Sea A = aij una matriz real cuadrada, de orden n y positiva, y sea: S = { 1, 2, . . . , n}.
Definici´ on. De un subconjunto no vac´ıo T de S diremos es aut´ onomo para la matriz A
si: T = S , o bien: T ⊂ S y ∀ i ∈ S − T, ∀ j ∈ T , aij = 0. Ejemplo 11. Consideremos la matriz real:
A3 =
1/2 1/3 1/4 0 1/2 0 1/2 1/4 1/4
.
El conjunto T = { 1, 3} es aut´onomo. En efecto, se verifica: S − T = { 2},
T = { 1, 3},
y
{aij | i ∈ S − T, j ∈ T } = { a21, a23};
y como a 21 = a 23 = 0, T es aut´onomo. Por el contrario, el conjunto V = { 1, 2} no es aut´onomo, pues por ejemplo: 3 ∈ S − V,
2 ∈ V
y a32 = 0.
El conjunto S = { 1, 2, 3} es aut´onomo por definici´on. Ejemplo 12. Consideremos la matriz real:
A4 =
1/2 1/2 0 0 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 0 0 1/2
.
El conjunto T = { 3} es aut´onomo, pues: S − T = { 1, 2, 4} y
{aij | i ∈ S − T, j ∈ T } = {a13 , a23 , a43},
y a 13 = a 23 = a 43 = 0. El conjunto V = { 2} no es aut´onomo; por ejemplo: 1 ∈ S − V y a 12 = 0.
Conjuntos aut´ onomos
Ejemplo 13. Para la matriz real:
los conjuntos:
{1},
1 0 1 0 1 1 0 0 1
{2},
,
{1, 2} y {1, 2, 3}
son aut´onomos:
S − {1} = { 2, 3} y a 21 = a 31 = 0,
S − {2} = { 1, 3} y a 12 = a 32 = 0,
S − {1, 2} = { 3} y a 31 = a 32 = 0,
S = { 1, 2, 3} es aut´onomo por definici´ on. Nota bene. En los ejemplos anteriores el conjunto S es el conjunto:
{1, 2, . . . , n}, donde n es el orden de la matriz cuadrada considerada.
Veamos a continuaci´ on algunas propiedades de los conjuntos aut´ onomos. Proposici´ o n 4. Sea A una matriz real cuadrada, de orden n y positiva. Si T y V son dos
conjuntos aut´ onomos para la matriz A, entonces se verifica: 1) T ∩ V , si es no vac´ıo, es aut´onomo; 2) T ∪ V es aut´ onomo.
Demostraci´ on. Sea A = aij , y sea S = { 1, 2, . . . , n}. Como T es aut´ onomo, se tiene:
∀ i ∈ S − T, ∀ j ∈ T , aij = 0;
(3)
∀ i ∈ S − V, ∀ j ∈ V, aij = 0.
(4)
y como V es aut´onomo, se tiene:
Ahora: 1) De (3) y (4) se deduce que para cada j ∈ T ∩ V (hay alguno por tratarse de un conjunto no vac´ıo) basta que i ∈ S − T o que i ∈ S − V para asegurar que aij = 0. En s´ımbolos:
∀ i ∈ (S − T ) ∪ (S − V ), ∀ j ∈ T ∩ V, aij = 0, o bien (teniendo en cuenta que ( S − T ) ∪ (S − V ) = S − (T ∩ V )):
∀ i ∈ S − (T ∩ V ), ∀ j ∈ T ∩ V, aij = 0,
Matrices positivas
y por tanto T ∩ V es aut´onomo. 2) Por otro lado, de (3) y (4) tambi´ en se deduce que si j ∈ T ∪ V , hace falta que i ∈ S − T y que i ∈ S − V para asegurar que a ij = 0. En s´ımbolos:
∀ i ∈ (S − T ) ∩ (S − V ), ∀ j ∈ T ∪ V, aij = 0, o bien (observando que (S − T ) ∩ (S − V ) = S − (T ∪ V )):
∀ i ∈ S − (T ∪ V ), ∀ j ∈ T ∪ V, aij = 0, y en consecuencia T ∪ V es aut´onomo.
c.q.d.
Ejemplo 14. Consideremos la matriz real positiva:
A6 =
1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
.
El conjunto T = { 2, 3, 4} es aut´onomo para A; en efecto, se tiene que a ij = 0 para cada i ∈ S − T = {1, 5, 6} y cada j ∈ T = { 2, 3, 4}. Tambi´en V = { 1, 2, 4, 6} es aut´onomo:
∀ i ∈ {3, 5}, ∀ j ∈ {1, 2, 4, 6}, aij = 0. Entonces, de acuerdo con la proposici´on anterior, los conjuntos: T ∩ V = { 2, 4} (que es no vac´ıo) y T ∪ V = { 1, 2, 3, 4, 6} son aut´onomos. Se puede comprobar directamente:
∀ i ∈ {1, 3, 5, 6}, ∀ j ∈ {2, 4}, aij = 0,
y ∀ i ∈ {5}, ∀ j ∈ {1, 2, 3, 4, 6}, aij = 0.
3.2. Determinaci´ on pr´ actica
Si la matriz real cuadrada A, de orden n y positiva, se interpreta como la matriz de coeficientes t´ecnicos de una estructura productiva, y el conjunto S : S = { 1, 2, . . . , n}, se interpreta como el conjunto de los bienes (o productos) que produce la estructura productiva, entonces el que un conjunto de bienes T ⊆ S sea aut´ onomo para la matrizA puede interpretarse como que no se necesitan los bienes de S − T para producir los bienes de T .
Conjuntos aut´ onomos
Estamos ahora interesados en saber qu´ e bienes son necesarios, directa o indirectamente, en la producci´on de un bien dado. Dado un bien j ∈ S , ya sabemos que el conjunto: D( j) = { i ∈ S | a ij = 0} es el de los bienes que son directamente necesarios para producir el bien j . Pero para producir los bienes del conjunto D( j) tambi´en ser´an directamente necesarios otros bienes, de los cuales podemos decir que son indirectamente necesarios para producir el bien j . Por ejemplo, en una empresa que fabrique autom´oviles, los neum´ aticos intervienen directamente en el proceso de fabricaci´ on, y en una empresa que fabrique neum´aticos el caucho interviene directamente en el proceso de fabricaci´on. El caucho no es un input de la empresa que fabrica autom´ oviles, pero s´ı es un input de una empresa que fabrica un input para aqu´ella. De esta forma, podemos decir que el caucho interviene indirectamente en la fabricaci´ on de autom´ oviles. Asimismo, continuando con el ejemplo, la empresa que elabora el caucho tendr´ a ciertos inputs : ´estos tambi´en ser´ an bienes indirectamente necesarios para fabricar autom´ oviles. Dado el bien j , denotaremos por M ( j) el conjunto formado por el bien j y los bienes que participan directa o indirectamente en la producci´ on del bien j. En s´ımbolos: M ( j) = { j } ∪ {i ∈ S | ∃ k ∈ M (i), i ∈ D(k)} . Daremos a continuaci´ on un algoritmo que nos permitir´ a escribir los elementos de M ( j). Sea A = aij una matriz de coeficientes t´ecnicos, y sea:
S = { 1, 2, . . . , n}
el conjunto de los bienes. Consideramos un bien j ∈ S . Primer paso . Observamos que, por definici´ on, al conjunto M ( j) pertenecen —entre otros— el bien j y aquellos bienes que son directamente necesarios en la producci´ on del bien j. Es decir, el bien: j es un elemento de M ( j), y el conjunto: D( j) = { i ∈ S | a ij = 0} est´ a contenido en M ( j). Este primer paso consiste en escribir el bien j : j ,
Matrices positivas
y “enlazarlo” con todos los bienes i, distintos del propio bien j, del conjunto D( j). Si fuera D( j) = { j }, o D( j) = ∅ , no existir´ıa ning´ un bien i con estas caracter´ısticas; el algoritmo terminar´ıa, y M ( j) = { j }. Que el bien j est´a enlazado con el bien i lo representamos de la forma: j i. Tras llevar a cabo este paso, hemos escrito el bien j y todos los bienes del conjunto D( j). Ejemplo 15. Llevemos a cabo este primer paso en el c´alculo de M (3) para la matriz del ejemplo 12
(cf. p. 18): A4 =
1/2 1/2 0 0 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 0 0 1/2
.
El conjunto de los bienes directamente necesarios en la producci´on del bien 3 es: D(3) = { i ∈ S | a i3 = 0 } = { 3}. Escribimos: 3 , y como D(3) = { 3}, el algoritmo termina, y M (3) = { 3}. Deducimos que s´olo el bien 3 es necesario, directa o indirectamente, en la producci´on del bien 3. Ejemplo 16. Hagamos el primer paso con el bien j = 1 para la matriz del ejemplo 11 (cf. p. 18):
A3 =
1/2 1/3 1/4 0 1/2 0 1/2 1/4 1/4
.
El conjunto de los bienes directamente necesarios en la producci´on del bien 1 es: D(1) = {i ∈ S | a i1 = 0 } = {1, 3}. Escribimos: 1 , y como D(1) = { 1, 3}, lo enlazamos con el bien i = 3, que es el ´unico elemento de D(1) distinto de 1: 1 3.
Conjuntos aut´ onomos
Ejemplo 17. Efectuemos el primer paso en el c´alculo de M (1) para la matriz del ejemplo 14 (cf. p. 20):
A6 =
1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
.
Observamos que D(1) = { 1, 2, 6}, luego debemos enlazar el bien 1 con el bien 2 y con el bien 6, que son los bienes de D(1) distintos del bien 1; lo representamos as´ı: 2
1 6, y el primer paso del algoritmo ha concluido.
Segundo paso . Para cada uno de los bienes k escritos en el paso anterior (salvo para el bien j ), llevamos a cabo lo siguiente: enlazamos k con todos los bienes i que verifiquen: a) i ∈ D(k), b) el bien i no ha sido escrito todav´ıa en el desarrollo del algoritmo, y continuamos de manera an´ aloga con los nuevos bienes que se vayan escribiendo. El algoritmo termina cuando las restricciones anteriores: (a) y (b), impidan continuar el proceso; entonces M (i) es el conjunto de todos los bienes que han sido escritos. Obs´ervese que en este segundo paso escribimos los bienes que son indirectamente necesarios en la producci´on del bien j. Ejemplo 18. En el c´ alculo de M (1) para la matriz:
A3 = ten´ıamos (cf. ejemplo 16, p. 22):
1/2 1/3 1/4 0 1/2 0 1/2 1/4 1/4
1 3.
,
(5)
Para continuar con el segundo paso del algoritmo, observamos que para el bien k = 3 se verifica: D(k) = D(3) = { 1, 3}, pero tanto el bien 1 como el bien 3 ya han sido escritos en (5), y por tanto no podemos encontrar ning´ un bien i que verifique simult´aneamente las condiciones (a) y (b). El algoritmo termina, y el conjunto M (3) es el formado por los bienes escritos: M (3) = { 1, 3}.
Matrices positivas
Ejemplo 19. Para la matriz
A6 =
1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
el c´alculo de M (1) nos hab´ıa llevado (cf. ejemplo 17, p. 23) a:
1
,
2 (6) 6.
Debemos, pues, analizar el bien 2 y el bien 6. Para el bien 2, se tiene: D(2) = { 2, 4}. S´olo el bien 4 no ha sido escrito todav´ıa en (6); por tanto, enlazamos el bien 2 con el bien 4:
1
2 4 (7) 6.
Para el bien 6, se tiene: D(6) = { 4, 6}, y como tanto el bien 4 como el bien 6 ya han sido escritos (en (7)), no enlazamos el bien 6 con ning´un otro. Debemos proseguir con el bien que acabamos de escribir: el bien 4. Se tiene: D(4) = { 2, 4}, y como el bien 2 y el bien 4 ya han sido escritos, no podemos enlazar el bien 6 con ning´un otro. Al no poder continuar el proceso, el algoritmo termina. El conjunto formado el bien 1 y los bienes que son, directa o indirectamente, necesarios para producir el bien 1 es: M (1) = {1, 2, 4, 6}, ya que los bienes 1, 2, 4 y 6 son los bienes que hemos escrito:
1
2 4 6.
Calculemos en este mismo ejemplo los conjuntos de bienes: M (2), M (3), M (4), M (5) y M (6).
Conjuntos aut´ onomos
Por comodidad, escribamos todos los conjuntos D( j) (1 j D(1) = { 1, 2, 6}, D(4) = {2, 4},
D(2) = { 2, 4},
D(5) = { 1, 3, 5},
6): D(3) = { 3},
D(6) = {4, 6}.
(8)
Se tiene:
M (2): Como D(2) = { 2, 4}, enlazamos 2 con 4: 2 4, y este es el resultado del primer paso. En el segundo paso, como: D(4) = { 2, 4}, y como el bien 2 ya est´a escrito, concluimos: M (2) = { 2, 4}.
M (3): Como D(3) = { 3}, se tiene: M (3) = { 3}.
M (4): Por ser D(4) = {2, 4}, escribimos: 4 2, y por ser D(2) = {2, 4} el algoritmo termina, y M (4) = { 2, 4}.
M (5): La aplicaci´on del algoritmo nos hace escribir (cf. (8)): 2 4
1 6 5 3,
y por tanto: M (5) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
M (6): Se escribe: 6 4 2, y en consecuencia: M (6) = { 2, 4, 6}. Nota bene. El algoritmo termina despu´ es de un n´umero finito de “enlaces” (a lo m´as, n − 1),
y proporciona como resultado un ´unico conjunto.
A continuaci´ on, estudiamos algunas propiedades del conjunto M ( j) ( j ∈ S ):
Matrices positivas
aij de coeficientes t´ecnicos, y sea S = {1, 2, . . . , n} el conjunto de todos los bienes. Se verifica: Proposici´ on 5. Consideremos una matriz A =
1) ∀ j ∈ S, M ( j) es un conjunto aut´onomo para la matriz A; 2) si T es un conjunto aut´onomo para la matriz A al cual pertenece el bien j, entonces T ⊇ M ( j). Demostraci´ on. Consideremos un bien j de S :
1) Debemos demostrar:
∀ l ∈ S − M ( j), ∀ s ∈ M ( j), als = 0. Sean: l ∈ S − M ( j) y s ∈ M ( j). Si a ls = 0, entonces: l ∈ D(s) (el bien l ser´ıa directamente necesario en la producci´on del bien s); pero si l ∈ D(s), deber´ıamos haber enlazado el bien s con el bien l: s l, y se tendr´ıa que l ∈ M ( j), en contra de lo supuesto. Por tanto, se verifica que a ls = 0. En consecuencia, el conjunto M ( j) es aut´onomo. 2) Observemos que si s es un bien cualquiera del conjunto aut´onomo T , entonces se tiene: D(s) ⊆ T .
(9)
En efecto: si l es un bien del conjunto S − T , entonces als = 0 (por ser T aut´onomo), y por tanto: l ∈ / D(s); en consecuencia: S − T ⊆ S − D(s), que es equivalente a (9). De la hip´otesis: j ∈ T , y de (9), deducimos: D( j) ⊆ T,
(10)
es decir, los bienes que se escriben en el primer paso del algoritmo son elementos de T . En el desarrollo del algoritmo, como partimos de un elemento: j , que por hip´otesis pertenece a T , todos los bienes que son enlazados con j —elementos de D( j)— son de T (cf. (10)). Con un razonamiento an´alogo, y teniendo en cuenta (9), comprobamos que todos los bienes que se escriben en el desarrollo del algoritmo para construir M ( j) pertenecen a T . En conclusi´ on: M ( j) ⊆ T .
c.q.d.
Corolario. Si j ∈ S , entonces M ( j) es igual a la intersecci´ on de todos los conjuntos aut´ onomos
a los que el bien j pertenece.
Conjuntos aut´ onomos
Demostraci´ on. Sea Γ la intersecci´on de todos los conjuntos aut´onomos a los que el bien j pertenece.
Como j ∈ M ( j) y M ( j) es aut´onomo (cf. apartado (1) de la proposici´on 5, p. ), se tiene: Γ ⊆ M ( j).
(11)
Por otro lado, Γ es un conjunto aut´onomo (cf. apartado (1) de la proposici´o n 4, p. ) al cual pertenece el bien j . Del apartado (2) de la proposici´on 5 obtenemos: Γ ⊇ M ( j). De (11) y (12) se concluye: Γ = M ( j).
(12)
c.q.d.
Podemos, pues, afirmar: Para cada bien j , M ( j) es el menor conjunto aut´onomo al que pertenece el bien j .
3.3. Productos fundamentales
Sea A una matriz de coefientes t´ecnicos, y sea S = { 1, 2, . . . , n} el conjunto de los bienes. Definici´ on. Del bien f de S se dice es un producto (o bien) fundamental para A si se
verifica:
∀ i ∈ S, f ∈ M (i).
(13)
En palabras: el producto f es fundamental si es utilizado, directa o indirectamente, para la producci´on de cada bien en la estructura productiva representada por la matriz A. Una caracterizaci´ on de los productos fundamentales es la siguiente: on necesaria y suficiente para que f sea un producto fundamental Proposici´ on 6. Una condici´ para A es que f pertenezca a todos los conjuntos aut´onomos para la matriz A. Demostraci´ on. La condici´ on es necesaria. Sea T un conjunto aut´onomo para A (por tanto, T es no
vac´ıo), y sea f un producto fundamental. Sea i ∈ T . De (13) y de la proposici´on 5 (cf. p. 26) deducimos: f ∈ M (i) ⊆ T , y en conclusi´on: f ∈ T . La condici´o n es suficiente. Si f pertenece a todos los conjuntos aut´onomos para A, entonces verifica (13), pues para cada i ∈ S el conjunto M (i) es aut´onomo para A (cf. proposici´on 5, p. 26), y en consecuencia f es producto fundamental. c.q.d.
Matrices positivas
Corolario. El conjunto F ⊆ S de los productos fundamentales, si no es vac´ıo, es aut´ onomo y
est´a contenido en cualquier conjunto aut´ onomo. Demostraci´ on. Supongamos que F es no vac´ıo, y sean:
l ∈ S − F y k ∈ F. De: l ∈ / F , se deduce (cf. definici´on de producto fundamental):
∃ i ∈ S, l ∈ / M (i), pero k ∈ M (i) (por ser producto fundamental), y como M (i) es un conjunto aut´onomo, se tiene: alk = 0, y por tanto F es aut´onomo para A. Si T es un conjunto aut´onomo, entonces cada producto fundamental de F es un elemento de T (cf. proposici´ on 6, p. 27), y por tanto: F ⊆ T . c.q.d. Ejemplo 20. Para la matriz del ejemplo 11 (cf. p. 18):
A3 = se verifica:
1/2 1/3 1/4 0 1/2 0 1/2 1/4 1/4
,
M (1) = {1, 3}, M (2) = {1, 2, 3} y M (3) = { 1, 3}, luego los u ´ nicos conjuntos aut´onomos son:
{1, 3} y {1, 2, 3}, y los productos fundamentales son el bien 1 y el bien 3, pues pertenecen a todos los conjuntos aut´onomos. Ejemplo 21. Para la matriz del ejemplo 13 (cf. p. 19):
se tiene:
1 0 1 0 1 1 0 0 1
,
M (1) = { 1}, M (2) = {2} y M (3) = { 1, 2, 3}. No existe, pues, ning´ un bien que pertenezca simult´aneamente a los conjuntos M (1), M (2) y M (3), y en consecuencia el conjunto de los productos fundamentales es vac´ıo.
Matrices indescomponibles
Ejemplo 22. Para la matriz:
1 1 0 1 0 1 1 0 0
,
el ´unico conjunto aut´onomo, como se comprueba f´acilmente, es {1, 2, 3}, y todos los bienes son productos fundamentales.
4. MATRICES INDESCOMPONIBLES Definici´ on. De una matriz real A cuadrada de orden n y positiva diremos es indescomponible (o irreducible ) si el u ´ nico conjunto aut´ onomo que admite es: S = { 1, 2, . . . , n}.
Como consecuencia de esta definici´ on, si la matriz A es estrictamente positiva, entonces es indescomponible. En efecto, si T ⊆ S es un conjunto aut´onomo para A, entonces T = S , pues si ocurriese que T ⊂ S , tendr´ıamos que aij = 0 cuando i ∈ S − T y j ∈ T , en contradicci´ on con que A es estrictamente positiva. Si una matriz A se considera como una matriz de coeficientes t´ecnicos, entonces, como consecuencia de la definici´ on anterior y de la proposici´ o n 6 (cf. p. ), para la matriz indescomponible A todos los bienes son productos fundamentales. Ejemplo 23. La matriz del ejemplo 20 (cf. p. ) no es indescomponible, pues adem´as del conjunto S =
{1, 2, 3}, tambi´en es aut´onomo el conjunto { 1, 3}. La matriz del ejemplo 21 (cf. p. ) tampoco es indescomponible, pues hay m´as conjuntos aut´onomos adem´ as de S = {1, 2, 3}. La matriz del ejemplo 22 (cf. p. ) es indescomponible, pues S = {1, 2, 3} es el ´unico conjunto aut´ onomo. Todos los bienes son productos fundamentales.
Proposici´ o n 7. Sea A = aij una matriz real cuadrada de orden n y positiva, y sea S =
= S es aut´onomo para la matriz A, entonces el conjunto S − T {1, 2, . . . , n}. Si el conjunto T es aut´ onomo para la matriz A t . Demostraci´ on. Al ser T = S , se tiene que S − T no es el conjunto vac´ıo, y se verifican las siguientes
equivalencias: (T es aut´onomo para A) ⇐⇒ ∀ i ∈ S − T, ∀ j ∈ T, aij = 0
⇐⇒ ∀ j ∈ S − (S − T ), ∀ i ∈ S − T, atji = 0 ⇐⇒ S − T es aut´onomo para A t (para la segunda equivalencia recu´erdese que los t´ erminos de la matriz traspuesta: atji , verifican por definici´ on que a tji = a ij ). c.q.d.
Matrices positivas
Corolario. Si A es una matriz indescomponible, entonces tambi´en la matriz A t es indescom-
ponible. Demostraci´ on. Si L fuera un conjunto distinto de S aut´ onomo para At , entonces S − L ser´ıa un
conjunto, tambi´en distinto de S , aut´onomo para la matriz: t
At
= A,
lo cual es absurdo, pues A es indescomponible.
Por tanto, At no admite ning´ un conjunto aut´onomo distinto de S , esto es, el ´unico conjunto aut´ onomo que admite la matriz A t es S . En otras palabras: A t es indescomponible. c.q.d.
Para las matrices indescomponibles tambi´en se verifica:
umero real positivo. Si P Proposici´ on 8. Sea B = bij una matriz indescomponible, y γ un n´ es una matriz columna positiva, no nula, que verifica: P = γBP,
(14)
entonces P es estrictamente positiva. Demostraci´ on. Sea:
p1 p2 = .. .
P = pi
pn
De (14) se deduce:
.
n
pi =
γb ik pk
0,
1 i n.
(15)
k=1
Pero como cada sumando de (15) es no negativo, se tiene: n
pi =
γb ik pk
γbij pj
0,
1 i n, 1 j
n.
(16)
k=1
Sea S = { 1, 2, . . . , n}, y definamos: T = { i ∈ S | pi > 0 } . Entonces T es no vac´ıo, pues P es positiva y no nula, y T es un conjunto aut´onomo para la matriz B. En efecto, si i ∈ / T y j ∈ T , entonces: pi = 0 y pj > 0,
Matrices indescomponibles
y de (16) deducimos: 0 = p i γb ij pj
0,
es decir: γb ij pj = 0, y como γ y p j son positivos: b ij = 0. El conjunto T es, pues, aut´onomo. Pero B es una matriz indescomponible, y el ´unico conjunto aut´onomo que admite es S , es decir, T = S , o equivalentemente: pi > 0,
1 i n,
y P = pi > O .
c.q.d.
bij una matriz indescomponible, y γ un n´ umero real positivo. son dos matrices columna estrictamente positivas tales que:
Proposici´ o n 9. Sea B =
Si P = pi y P = pi
P = γ BP y P = γ BP ,
(17)
entonces existe un n´umero real positivo δ tal que P = δP . Demostraci´ on. Sea δ el menor de los n´ umeros siguientes:
p1 p2 pn , , ..., ; p1 p2 pn
por tanto, existe k , 1 k n, tal que: δ =
pk . pk
(18)
Definamos la matriz columna V = vi de la forma:
V = P − δP .
(19)
Entonces se verifica: a) V es positiva. Es una consecuencia inmediata de (18) y (19). b) vk = 0. Tambi´ en es una consecuencia de (18) y (19):
vk = p k − δp k = pk −
pk p = 0. pk k
c) V verifica que V = γB V . En efecto (cf. (17) y (19)):
γBV = γB(P − δP ) = γBP − γδBP = P − δP = V. Si V no fuese nula, de (a) y (c), y de la proposici´on 8 (cf. p. ), deducir´ıamos que V > O, en contradicci´ on con (b). En conclusi´ on: V es nula, y P = δP . c.q.d.
Matrices positivas
5. ESTRUCTURAS PRODUCTIVAS DE SUBSISTENCIA
Sea A = aij una matriz de coeficientes t´ecnicos. Si existe una matriz de producci´ on X tal que: AX = X, X O y X = O , (20) de la estructura productiva representada por la matriz A diremos es una estructura productiva de subsistencia. Nota. Algunos autores denominan econom´ıa de subsistencia , o econom´ ıa cerrada , a lo que
aqu´ı llamamos estructura productiva de subsistencia.
La interpretaci´ o n de (20) es que el total de la producci´on se dedica exclusivamente al consumo intermedio. Ejemplo 24. La siguiente matriz de coeficientes t´ ecnicos:
A =
1/2 0 1/3 1
representa una estructura productiva de subsistencia, pues para la matriz de producci´on:
X =
se verifica: AX =
1/2 0 1/3 1
0 2
0 2
=
0 2
= X.
Si la matriz A no es productiva, entonces no necesariamente representa una producci´on de subsistencia. Ejemplo 25. La matriz:
A = no es productiva, pues (cf. teorema 1, p. 15): I − A =
2 1 1 2 1 1
1 2 1
−1 −1 −1 −1 −1 −2 −1 −1 0
,
y esta matriz es de rango 2, y por tanto no invertible. Si resolvemos el sistema homog´eneo de tres ecuaciones con tres inc´ognitas: (I − A)X = O ,
Estructuras productivas de subsistencia
es decir, buscamos X tal que AX = X , la soluci´ on son las matrices columna de la forma:
λ −λ , 0
λ ∈
R,
que no pueden ser positivas y no nulas. En conclusi´ on, A no es productiva, ni representa una producci´on de susbsistencia.
Fijaremos nuestro inter´es en matrices de coeficientes t´ecnicos, representantes de estructuras productivas de subsistencia, que sean indescomponibles, y supondremos en el resto de esta secci´ on que la matriz A es indescomponible. En este caso, de (20) se deduce que X > O (como una consecuencia inmediata de la proposici´on 8 (cf. p. 30), cuando hacemos γ = 1), y escribiremos: AX = X,
X > O .
(21)
Ejemplo 26. La matriz:
A =
1/2 1/2 1/3 2/3
representa una producci´on de subsistencia, pues para la matriz de producci´on: X =
1 , 1
se verifica: AX = X . La matriz A es tambi´ en indescomponible, al ser estrictamente positiva, y por tanto cualquier matriz que verifique: AX = X, con X O y X = O , debe ser estrictamente positiva. En efecto, se comprueba que las matrices X tales que: AX = X (es decir, las soluciones del sistema homog´eneo: (I − A)X = O ), y que a su vez verifican que X O y X = O , son las matrices columna de la forma: λ , con λ > 0, λ que son estrictamente positivas.
El teorema de Debreu–Herstein (que no demostraremos) afirma que si se verifica (21), siendo A una matriz indescomponible, entonces existe una matriz columna P tal que: P = A t P y P > O . Podemos interpretar la matriz columna estrictamente positiva P como aquella cuyos t´erminos son los precios unitarios de los bienes.
Matrices positivas
Ejemplo 27. Sea:
A =
a11 a21
a12 a22
una matriz de coeficientes t´ ecnicos indescomponible, y:
p1 p2
P =
una matriz columna estrictamente positiva tal que: P = A t P , es decir:
p1 p2
o bien:
=
a11 a12
a21 a22
p1 , p2
p1 = a 11 p1 + a21 p2 ,
(22)
p2 = a 12 p1 + a22 p2 .
Entonces, interpretando p 1 y p 2 como los precios unitarios del bien 1 y del bien 2, respectivamente, se tiene que la cantidad: a11 p1 + a21 p2 es el coste de producir una unidad del bien 1, y la cantidad: a12 p1 + a22 p2 es el coste de producir una unidad del bien 2. De (22) deducimos que el coste de producci´on de una unidad de cada uno de los bienes es igual al valor bruto de dicha unidad. Adem´ as, si existe otra matriz columna estrictamente positiva P :
p1 , p2
P =
tal que: P = At P ,
como At es indescomponible (cf. corolario de la proposici´on 7, p. 30), entonces (cf. proposici´on 9, p. 31) existe δ > 0 tal que P = δP . De esta forma, si fijamos el precio de un bien ( numerario), quedan un´ıvocamente determinados los precios de los dem´as bienes.
Ejemplo 28. Consideremos la matriz de coeficientes t´ ecnicos indescomponible siguiente:
A =
1/3 2/3 2/3 1/3 1/3 0 0 1/2 1/2
.
Estructuras productivas de subsistencia
Para probar que A es una matriz representante de una producci´on de subsistencia debemos encontrar una matriz columna X , X > O , tal que AX = X , es decir, debemos resolver el sistema: (I − A)X = O , siendo X estrictamente positiva. Sus soluciones son las matrices columna de la forma:
λ
2 1 1
,
λ > 0.
Por tanto, la producci´on es de subsistencia. Por ejemplo, haciendo λ = 2, una matriz de producci´on es: X =
4 2 2
.
Sabemos que existe una matriz de precios P , estrictamente positiva, para esta estructura productiva, es decir, tal que: P = A t P. Para encontrarla debemos resolver el sistema: (I − At )P = O, siendo P estrictamente positiva. Sus soluciones son las matrices columna de la forma:
µ
3 6 4
,
µ > 0.
Fijado el precio del primer bien igual a 1, es decir, haciendo µ = 1/3, obtenemos la siguiente matriz de precios: 1 P = 2 . 4/3
Matrices positivas
´ 6. APENDICE 6.1. Demostraci´ on del teorema sobre matrices productivas
En este apartado demostramos la siguiente caracterizaci´ on de las matrices productivas: Una condici´ on necesaria y suficiente para que la matriz real A (cuadrada de orden n y positiva) sea productiva es que I − A sea invertible y (I − A)−1 positiva. Demostraci´ on de la condici´ on suficiente. Demostremos que si I − A es invertible y (I − A)−1 es positiva, entonces A es productiva. Si U es la matriz columna de orden (n, 1) cuyos t´erminos son todos iguales a 1, entonces la matriz columna: P = (I − A)−1 U (23) es estrictamente positiva (proposici´ o n 2, p. , a la matriz estrictamente positiva U y a la matriz positiva e invertible (I − A)−1 ). Por otro lado, multiplicando por la izquierda en (23) por la matriz I − A, resulta: (I − A)P = (I − A)(I − A)−1 U = U > O ; en consecuencia: (I − A)P > O , o bien: P − AP > O, con lo que A es productiva. Demostraci´ on de la condici´ on necesaria. Supongamos que A es productiva, y demostremos que I − A es invertible y (I − A)−1 es positiva. En primer lugar, probemos que I − A es invertible. Por ser A productiva, existe una matriz columna P > O , P = pi , tal que:
P > AP.
Hagamos la siguiente hip´ otesis:
(H)
existe una matriz columna X = xi , de orden (n, 1), tal que: a) X = AX , b) X tiene al menos un t´ermino positivo.
El apartado (b) de (H) asegura que el conjunto:
p j x j
1 j
n, x j > 0
(24)
Ap´ endice
es no vac´ıo. Sea
pk el menor de sus elementos. Obviamente: xk pk > 0 xk
y ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n} , x j > 0 ⇒
pk xk
p j . x j
(25)
Definimos la matriz columna Z = zi de la forma: Z =
pk X. xk
Se verifica: 1) Z = AZ . En efecto: multiplicando la ecuaci´ on de (a) por p k /xk , resulta:
pk pk pk X = AX = A X , xk xk xk es decir: Z = AZ .
2) P − Z O. Sea j ∈ {1, 2, . . . , n}. Si z j
0, entonces: zj zj =
pk xj xk
0 < pj . Por el contrario, si z j > 0, entonces:
pj xj = p j , xj
donde la primera igualdad es la definici´on de Z y la desigualdad del centro se obtiene de (25). En definitiva:
∀ j ∈ {1, 2, . . . , n} , pj
zj ;
es decir, P Z , o bien: P − Z O.
3) P − Z tiene al menos un t´ermino nulo. En efecto: pk − zk = p k −
p k xk = 0. xk
De (24) y del apartado 1, se deduce: P − Z > AP − AZ , o bien: P − Z > A(P − Z ). Se tiene: A
O y P −
Z O (apartado 2), as´ı que A(P − Z ) O; entonces: P − Z > A(P − Z ) O,
de donde: P − Z > O, que contradice el hecho de que P − Z tiene al menos un t´ermino nulo (apartado 3).
Matrices positivas
Como consecuencia del razonamiento anterior, la hip´ otesis (H) es falsa. As´ı, la ecuaci´ on X = AX , o bien: (I − A)X = O, no tiene como soluci´ on ninguna matriz columna X con alg´ un t´ermino positivo; podemos escribir: (I − A)X = O =⇒ X no tiene t´erminos positivos. Pero si (I − A)X = O, tambi´en: (I − A)(−X ) = O , luego − X no tiene t´erminos positivos. En definitiva: (I − A)X = O =⇒ X = O , (26) lo cual establece que I −A es invertible (de (26) se deduce que la aplicaci´ o n lineal can´ onicamente asociada a la matriz I − A es una aplicaci´ on lineal inyectiva de Rn en Rn , y por tanto un automorfismo de Rn , y la matriz I − A es invertible). Finalmente, demostremos que si A es productiva, entonces (I − A)−1 es positiva. De nuevo, por ser A productiva, existe una matriz columna P > O , P = pi , tal que: P > AP.
Hacemos la siguiente hip´ o tesis: (H’) (I − A)−1 no es positiva. Sean: 1 0 0 1 0 , E 2 = 0 , . . . , En = E 1 = .. .. . . 0 0
De acuerdo con (H’), alguna de las matrices: Y 1 = (I − A)−1 E 1,
Y 2 = (I − A)−1 E 2,
0 0 .. . 0 1
(27)
.
Yn = (I − A)−1 E n
...,
no es positiva (cf. proposici´ on 1, p. 6). Supongamos que Y l = (I − A)−1 X l, con l ∈ {1, 2, . . . , n}, no es positiva, y notemos a partir de ahora: Y = Y l = yi y X = X l = xi . Entonces se verifica:
X O y Y = (I − A)−1 X,
o bien X = (I − A)Y.
(28)
Como la matriz columna Y no es positiva, tendr´ a alg´ un t´ermino negativo, as´ı que el conjunto: p j 1 j n, y j < 0 y j
Ap´ endice
es no vac´ıo. Sea
pk el mayor de sus elementos. Claramente: yk pk < 0 yk
y ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n} , y j < 0 ⇒
pk yk
p j . y j
(29)
Definimos la matriz columna V = vi de la forma: V =
pk Y. yk
Se verifica: 1) P − V O. Sea j ∈ {1, 2, . . . , n}. Si y j < 0, entonces: vj =
pk yj yk
pj yj = p j , yj
donde la primera igualdad es la definici´on de V y, para la desigualdad del centro, se utiliza (29) y que y j < 0 (cambio del sentido de la desigualdad). Por el contrario, si y j 0, entonces: vj =
pk yj yk
0 < pj
( pk /yk es negativo). En definitiva: P V , o bien: P − V O.
2) P − V tiene al menos un t´ermino nulo. En efecto: pk − vk = p k −
p k yk = 0. yk
3) (I − A)(−V ) O. En efecto, de (28) y de la definici´on de V se obtiene:
pk (I − A)(−V ) = (I − A) − Y yk ya que:
pk − > 0 yk
pk pk = − (I − A)Y = − X O, yk yk
y X O.
De (27) y del apartado 3, se deduce: (I − A)(P − V ) > O , o bien: P − V > A(P − V ). De ser A O y P − V O (apartado 1) se tiene: P − V > A(P − V ) O, de donde: P − V > O , en contradicci´ on con que P − V tiene al menos un t´ermino nulo (apartado 2). En conclusi´ on: (H’) es falsa; y (I − A)−1 O.
Matrices positivas
