TEMA 5-CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACI+ôN (1)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

TEMA

5.1


TEMA

ÍNDICE 5.1. INTRODUCCIÓN, INTRODUCCIÓN,

3

5.2. SECCIÓN CRÍTICA,

3

5.3. CLASIFICACIÓN DE CARGAS Y CONVENCIÓN DE SIGNOS,

4

5.4. EQUILIBRIO ESTÁTICO,

8

5.4.1. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA,

8

5.4.2. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO ESTÁTICO,

9

5.5. MOMENTOS,

12

5.5.1. MOMENTO DE UNA FUERZA,

12

5.5.2. MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS,

13

5.5.3. PARES EQUIVALENTES, EQUIVALENTES,

14

5.6. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE,

15

5.7. REACCIONES DEL APOYO,

16

5.8. VIGAS APOYADAS,

18

5.9. DIAGRAMAS DE CORTANTE Y DE MOMENTO,

19

5.10. CARGAS DISTRIBUIDAS,

21

5.11. ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA,

22

5.12. TORSIÓN,

24

5.12.1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA,

24

5.12.2. TRANSFERENCIA TRANSFERENCIA DE POTENCIA,

22

5.13. ESFUERZO FLEXIONANTE Y DEFORMACIÓN UNITARIA,

27

5.14. ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA,

30

PROBLEMAS,

33

5.2


TEMA

5.3

5.1. INTRODUCCIÓN. El objetivo de este módulo es el diseño y el análisis de máquinas y de elementos de máquinas. Puesto que los elementos de máquinas soportan cargas, de ello se deriva que un análisis de las cargas resulte esencial en el diseño de elementos de máquinas. La selección adecuada de un elemento de máquina es con frecuencia un asunto tan simple como calcular los esfuerzos y deformaciones que se esperan durante el servicio del elemento y, luego, se elige el tamaño adecuado de manera que no se excedan los esfuerzos ni las deformaciones críticos. El primer paso para calcular los esfuerzos o deformaciones de un elemento de máquina es la determinación exacta de la carga.

5.2. SECCIÓN CRÍTICA. Para determinar cuándo fallará un elemento de máquina, el diseñador evalúa el esfuerzo, la deformación unitaria y la resistencia en la sección crítica. La sección crítica, o ubicación en el diseño donde se desarrolla la carga interna más grande y por consiguiente donde es más probable que ocurra la falla, a menudo no se conoce intuitivamente a priori. Para establecer la sección crítica y la carga crítica, el diseñador: 1.

Considera las cargas cargas externas externas aplicadas aplicadas a una máquina máquina (por ejemplo, ejemplo, un giroscopio).

2.

Considera las cargas externas aplicadas aplicadas a un elemento elemento en el interior interior de una una máquina máquina (por ejemplo, un cojinete de bolas).

3.

Localiza la sección crítica en en el elemento elemento de máquina máquina (por ejemplo, una una pista de rodamiento interior).

4.

Determina la carga en la sección crítica (por ejemplo, esfuerzos de contacto). Los pasos primero y segundo se originan por el diseño del sistema. El tercer paso es

todo un reto y puede requerir un análisis de diferentes ubicaciones o modos de falla antes de que se encuentre el modo más crítico. Por ejemplo, una viga sujeta a una carga distribuida puede exceder la deflexión máxima en varios puntos; de esta forma, resulta necesario calcular la deflexión en más de una posición en la viga.


TEMA

5.4

En general, la sección crítica ocurrirá con frecuencia en puntos geométricos no uniformes, como en el punto donde un eje cambia su diámetro a lo largo de un filete. También, a menudo son críticos los puntos donde se aplica o se transfiere una carga. Finalmente, las áreas donde la geometría es más crítica representan casos para su análisis. Este aspecto se desarrollará en el Tema 7.

5.3. CLASIFICACIÓN DE CARGAS Y CONVENCIÓN DE SIGNOS. Cualquier carga aplicada se clasifica con respecto al tiempo en las formas siguientes: 1 . Carga estática: La carga se aplica de manera gradual y el equilibrio se alcanza en un tiempo relativamente corto. La estructura no experimenta efectos dinámicos. 2.

Carga sostenida: La carga, como el peso de una estructura, es constante durante un

largo periodo. 3.

Carga de impacto: La carga se aplica rápidamente. Una carga de impacto usualmente

se atribuye a una energía impartida a un sistema. 4.

Carga cíclica: La carga puede variar e inclusive invertirse en signo y tiene un periodo

característico respecto al tiempo. Una carga también se puede clasificar respecto al área sobre la cual se aplica: 1.

Carga concentrada: La carga se aplica en un área mucho menor que la del miembro

que se carga. Un ejemplo sería el contacto entre un rodillo y una viga de apoyo en un brazo de soporte mecánico, donde el área de contacto es 100 veces menor que la superficie del rodillo. Para estos casos se puede considerar que la fuerza aplicada actúa en un punto de la superficie. 2.

Carga distribuida: La carga se distribuye a lo largo de toda el área. Un ejemplo sería el

peso de la calzada de un puente de cemento de espesor uniforme. Las cargas además se clasifican respecto a su localización y método de aplicación. También, la dirección coordenada se debe determinar antes de que se pueda establecer el signo de la carga:


1.

TEMA

5.5

Carga normal: La carga pasa a través del centroide de la sección resistente. Las cargas

normales pueden ser de tensión (figura 2.1a) o de compresión (figura 2.1b). La convención de signos es tal que la carga de tensión es positiva; y la de compresión, negativa.

Figura 2.1

Clasificación de carga con respecto a su

ubicación y al método de aplicación. a) Normal, de tensión; b) normal de compresión; c) cortante.

2.

Carga cortante: La fuerza P se supone colineal con la fuerza cortante transversal V. La

barra separada que se muestra en la figura 2.1c) ilustra la acción de una cortante positiva. Una fuerza cortante es positiva si la dirección de la fuerza y la dirección normal son ambas positivas o ambas negativas. La fuerza cortante que se muestra en la superficie de la izquierda de la figura 2.1c) se encuentra en la dirección y positiva, la cual es hacia abajo, y la normal a la superficie se encuentra en la dirección x positiva. De esta forma, la fuerza cortante es positiva. En la superficie derecha de la figura 2.1c) la fuerza cortante también resulta positiva, ya que la dirección de la fuerza cortante y la normal a la superficie son negativas. Una fuerza cortante es negativa si la dirección de la fuerza y la dirección normal tienen signos diferentes. Si la coordenada y positiva hubiera sido escogida hacia arriba (negativa) en vez de hacia abajo (positiva) en la


TEMA

5.6

figura 2.1c), la fuerza cortante sería negativa en vez de positiva. De esta forma, para establecer si una fuerza cortante es positiva o negativa, se deben designar las coordenadas x e y positivas.

Figura 2.2

Clasificación de carga con respecto a su ubicación y al

método de aplicación. d) flexionante; e) de torsión; f) combinada.

3.

Carga flexionante: La carga se aplica transversalmente al eje longitudinal del miembro.

Como se muestra en la figura 2.2d) un miembro está sujeto a momentos iguales y opuestos que se aplican en sus extremos. En la figura 2.2 la parte inferior del miembro experimenta esfuerzos de tensión; mientras que la parte superior experimenta esfuerzos de compresión. Si los esfuerzos de tensión se encuentran en la dirección y positiva (hacia abajo), el momento flexionante es positivo, corno en el caso de la figura 2.2d). Si la coordenada y hubiera sido escogida hacia arriba (negativa) en vez de hacia abajo, los esfuerzos de tensión estarían en la dirección y negativa e implicaría que el momento flexionante sería negativo. Así, la designación de las coordenadas x e y resulta importante en la determinación del signo tanto para la fuerza cortante como para el momento flexionante.


4.

TEMA

5.7

Carga de torsión: Este tipo de carga somete a un miembro a un movimiento de torsión

(Fig. 2.2e). En la figura 2.2e) se muestra una torsión positiva. 5.

Carga combinada: En la figura 2.2f) se muestra una combinación de dos o más de las

cargas que se definieron previamente (por ejemplo, cortante, flexionante y de torsión que actúa sobre un miembro). Note que la cortante, la flexión y la torsión son positivas en esta figura. EJEMPLO: Dado el ensamble de la ménsula de la figura 2.3 a. Hallar las cargas normales, cortante, flexionante y de torsión que actúan sobre la sección B.

Figura 2.3 a) Ensamble de la ménsula

Figura 2.3 b) resultados En la figura 2.3 b) se muestran las diferentes cargas que actúan sobre la ménsula, todas en la dirección positiva. A la derecha de la figura se proporcionan las expresiones para la carga en la sección B de la ménsula.


TEMA

5.8

5.4. EQUILIBRIO ESTÁTICO.

5.4.1. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA. La estática es la parte de la mecánica que trata del equilibrio de los cuerpos, y se divide, a su vez, en estática del punto y estática de los sistemas o del sólido rígido. 1ª ley de Newton: Si la fuerza neta que actúa sobre una partícula es nula, la partícula permanecerá en el estado de reposo si es que estaba inicialmente en reposo, o se moverá en línea recta con velocidad constante si ya estaba en movimiento.

DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR P EN EL PLANO.

P 2 = Px2 + Py2

[5.1]

P = Px2 + Py2

[5.2]

Py ; P = P ⋅ senθ P y P cos θ = x ; Px = P ⋅ cos θ P P tgθ = x Py senθ =

Figura 5.4 Vector fuerza

[5.3]


TEMA

5.9

VECTORES DE P EN EL ESPACIO.

P = Px2 + Py2 + Pz2 Pz = P ⋅ cos θ z Px = P ⋅ cos θ x Py = P ⋅ cos θ y P = (P cos θ x ) 2 + (P cos θ y ) 2 + (P cos θ z ) 2 = = cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z

luego : cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1 [5.4]

Figura 5.5 Vector P en el espacio A los tres cósenos de los ángulos que forman un vector con los tres ejes de coordenadas se les denomina cósenos directores, y la suma de sus cuadrados es la unidad.

5.4.2. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO ESTÁTICO. El equilibrio de un cuerpo requiere un balance de las fuerzas, para prevenir que el cuerpo se traslade ( se mueva) a lo largo de una trayectoria recta o curva, como un balance de momentos, para prevenir que el cuerpo gire. De acuerdo con la estática se acostumbra presentar estas ecuaciones como ∑ Px = 0;

∑ Py = 0;

∑ Pz = 0

[5.5]

∑ Mx = 0;

∑ My = 0;

∑ Mz = 0

[5.6]

Con frecuencia, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo se puede representar como un sistema de fuerzas coplanares. Si éste es el caso, la fuerza se sitúa en el plano x-y y las condiciones de equilibrio para el cuerpo se pueden especificar con sólo tres ecuaciones:


∑ Px = 0;

TEMA

∑ Py = 0;

∑ Mz = 0

5.10

[5.7]

El momento Mz es perpendicular al plano que contiene las fuerzas. La aplicación adecuada de las ecuaciones de equilibrio requiere de la especificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre el cuerpo. Vamos a ver algunos casos de equilibrio: a)

Figura 5.6 Partícula en equilibrio a) b)

P1 = 500,85 N; P2 = 300 N; P3 = 412,31 N; P4 = 701,15 N P1y = 500,85 sen 53º = 400 N P1x = 500,85 cos 53º = - 301,4 N P2x = -300 N P3x = 412,31 cos 76º = - 99,75 N P3y = - 412,31 sen 76º = - 400 N P4x = 701,15 N

Figura 5.7 Partícula en equilibrio b) ∑ Px = -301,4 – 300 – 99,75 + 701,15 = 0 ∑ Py = 400 - 400 = 0

Luego la partícula esta en equilibrio.


TEMA

5.11

PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. 3ª ley de Newton: Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce siempre sobre el primero otra fuerza del mismo valor, pero de sentido opuesto. A estas fuerzas se les denomina de acción y reacción. Ej. Una masa de 25 Kg se encuentra suspendida por un cable, como el que aparece en la figura. Si consideramos el cuerpo, podemos decir que sobre él actúan dos fuerzas, una, su propio peso, y la otra de sentido contrario, que lo sujeta, que será la tensión del cable (T).

Figura 5.9 Diagrama del cuerpo libre Figura 5.8 Peso suspendido Aplicando la ecuación de equilibrio: ∑ Fy = 0

T – 245 = 0 ⇒ T = 245 N Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo dado pueden ser de dos tipos: •

Fuerzas externas: Ejercidas por contacto directo o a distancia por cuerpos cuyas partículas no forman parte del cuerpo dado.

•

Fuerzas internas: Son las interacciones entre las partículas componentes. Las fuerzas internas se agrupan en parejas de igual magnitud y dirección pero de sentido opuesto.


TEMA

5.12

5.5. MOMENTOS. Supongamos que sobre el volante de un automóvil aplicamos dos fuerzas iguales y de sentido contrario pero separadas una distancia. Evidentemente, la suma de fuerzas es nula; pero, el volante gira. Esta particularidad de la fuerza, que aplicada a una determinada distancia produce un giro, se denomina momento.

5.5.1. MOMENTO DE UNA FUERZA. El momento de una fuerza respecto a un punto:

P

r

M=rxP

[5.8]

Figura 5.10 fuerza aplicada con un brazo de palanca r es la distancia entre el centro de la tuerca y la fuerza F perpendicular al brazo de palanca.

Si la fuerza forma un ángulo θ con la dirección del brazo de palanca:

r

Psen θ

P θ

M=r.P.sen θ Figura 5.11 fuerza aplicada con un determinado ángulo Las unidades de M son Nm

[5.9]


TEMA

5.13

5.5.2. MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS. Un par de fuerzas es un conjunto de dos fuerzas paralelas, de sentido contrario e igual módulo, separadas por una determinada distancia. Tomamos momentos respecto de O, elegimos un segmento r que una las dos direcciones según la distancia más corta, resulta que:

Figura 5.12 Momento de un par de fuerzas

Figura 5.13 Momento de un par de fuerzas

Mo = r A F + r B (- F) = (r A – r B ) F = r F

[5.10]

Ya que r se ha elegido perpendicular a F y entonces el sen 90º = 1. El momento del par será un vector perpendicular al plano que contiene las fuerzas cuyo módulo es el producto de un fuerza por la distancia que la separa, y su sentido está dado por la regla del avance del tornillo de rosca a derechas, que gira según las fuerzas: El efecto neto de un par es producir rotaciones pues la suma de fuerzas es cero. Así pues, tenemos un sistema de fuerzas cuya resultante es nula, pero no está en equilibrio, pues hay posibilidad de rotación.

Figura 5.14 Momento resultante


TEMA

5.14

5.5.3. PARES EQUIVALENTES. Dos pares son equivalentes cuando producen el mismo momento. Para que dos pares sean equivalentes, se debe verificar lo siguiente: r 1 F1 = r 2 F2 = …

[5.11]

Podemos obtener el mismo par o momento aumentando F y disminuyendo r en la misma proporción y viceversa.

Figura 5.15 Pares equivalentes


TEMA

5.15

5.6. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE. Una máquina completa, cualquier elemento de máquina o cualquier parte de un elemento de máquina se representan como cuerpos libres. Se supone un equilibrio estático en cada nivel. La mejor forma de representar las fuerzas y momentos en las ecuaciones de equilibrio es dibujar un diagrama de cuerpo libre. Para que las ecuaciones de equilibrio sean correctas, los efectos de todas las fuerzas aplicadas y los momentos deben representarse en el diagrama de cuerpo libre.

Figura 5.16. Freno de aro externo y fuerzas que actúan sobre él. a) freno de aro externo; b) freno de aro externo con las fuerzas que actúan sobre cada parte .

Un diagrama de cuerpo libre es un esquema de una máquina, de un elemento de máquina o de una parte de un elemento de máquina, donde se muestran todas las fuerzas actuantes, como las cargas aplicadas, las fuerzas de gravedad y todas las fuerzas de reacción. Las fuerzas de reacción se proporcionan por el piso, paredes, pernos, rodillos, cables y por otros medios. El signo de la reacción se supone inicialmente. Si después del análisis del equilibrio estático el signo de la fuerza de reacción es positivo, la dirección que se supuso inicialmente es correcta; si es negativa, la dirección es opuesta a la que se supuso inicialmente.

Figura 5.17 Esfera y fuerzas


TEMA

5.16

5.7. REACCIONES DEL APOYO. Las reacciones son fuerzas que se desarrollan en el apoyo. Para problemas bidimensionales (es decir, cuerpos sujetos a sistemas de fuerzas coplanares), los tipos de apoyo más comunes junto con sus reacciones correspondientes se muestran en la figura 5.18.

Figura 5.18

Cuatro tipos de apoyo con sus

reacciones correspondientes

Una forma de determinar la reacción del apoyo consiste en imaginar al miembro sujeto como si fuera trasladado o girara en una dirección particular. Si el apoyo se opone a la traslación en una dirección dada, se desarrolla una fuerza sobre el miembro en esa dirección. De la misma forma, si el apoyo previene la rotación, un momento acoplado se aplica al miembro. Por ejemplo, un rodillo previene la traslación sólo en la dirección de contacto, perpendicular (o normal) a la superficie; de esta forma, el rodillo no puede desarrollar un momento acoplado el miembro en el punto de contacto


TEMA

5.17

Las definiciones de los tres tipos de apoyos más usuales se muestran a continuación, junto con la representación esquemática de dichos apoyos, que se muestra en la figura 5.19. •

Se denomina apoyo simple o apoyo móvil (figura 5.19 a, figura 5.18 rodillo) al enlace que ejerce una única coacción al impedir la traslación en la dirección perpendicular al desplazamiento. Permite la traslación del cuerpo en la dirección horizontal, así como el giro alrededor del punto de apoyo.

•

Se denomina apoyo doble, apoyo fijo o articulación (figura 5.19 b; figura 5.18 pasador) al enlace que ejerce dos coacciones al impedir sus dos posibles traslaciones. únicamente permite al sólido el giro alrededor de la articulación.

•

Se denomina apoyo triple o empotramiento (figura 5.19 c; figura 5.18 empotrado) al enlace que ejerce tres coacciones impidiendo el giro y las dos traslaciones, es decir, todo posible de movimiento.

Figura 5.19 Tipos de apoyos


TEMA

5.18

5.8. VIGAS APOYADAS. Una viga es un miembro estructural diseñado para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal. En general, las vigas son barras largas y rectas con área de sección transversal constante. Con frecuencia, se clasifican de acuerdo con la forma en que se apoyan. Tres de los tipos más importantes se presentan en la figura 5.20:

Figura 5.20 Apoyos de vigas. a) simplemente apoyada b) empotrada c)sobresaliente

1.

Una viga simplemente apoyada (Figura 5.20 a) está articulada en un extremo y

apoyada sobre un rodillo en el otro. 2.

Una viga en voladizo (Figura 5.20 b) está empotrada en un extremo y libre en el

otro. 3.

Una viga suspendida (Figura 5.20 c) tiene uno o ambos extremos extendiéndose

libremente más allá de sus apoyos. Los parámetros más importantes en la evaluación de las vigas son la resistencia y la deflexión. El cortante y la flexión son los dos modos primarios de carga en las vigas. Sin embargo, si la altura de la viga resulta relativamente larga respecto a su ancho, la inestabilidad elástica se convierte en un punto importante y la viga puede girar bajo carga.


TEMA

5.19

5.9. DIAGRAMAS DE CORTANTE Y DE MOMENTO. El diseño de una viga con base en su resistencia requiere primero que se determinen sus esfuerzo cortante y su momento máximos. Una forma de hacerlo es expresando la fuerza cortante transversal V y el momento M como funciones de una posición arbitraria x a lo largo del eje de la viga. Estas funciones de cortante y de momento a partir de los cuales se pueden obtener los valores máximos de V y M. El procedimiento para dibujar los diagramas de cortante y momento es el que sigue: •

Dibujar un diagrama de cuerpo libre y determinar todas las reacciones de los apoyos. Descomponer las fuerzas en componentes que actúen en forma perpendicular y paralela al eje de la viga.

•

Elegir una posición x entre el origen y la longitud de la viga L, de esta forma se divide a la viga en dos segmentos. Se elige el origen en el extremo izquierdo de la viga para asegurar que cualquier valor de la posición x sea positivo.

•

Dibujar un diagrama de cuerpo libre de los dos segmentos y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza cortante transversal V y el momento M.

•

Dibujar las funciones de cortante y momento contra x. Observar la posición del momento máximo. Generalmente, es conveniente mostrar los diagramas de cortante y de momento directamente debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.

EJEMPLO: Dada la viga de la figura 5.21. Dibujar los diagramas de cortante y de momento.


TEMA

5.20

REACCIONES EN LOS APOYOS: Σ Px = 0; R Ax = 0 Σ Py = 0; R A – P + RB = 0; Σ M A = 0

R A (0) – P (L/2) + RB (L) = 0; RB (L) = P (L/2);

 L  P  P 2 R B =   = L 2

R A = P − R B = P −

P 2P − P P = = 2 2 2

RA = P/2; RB = P/2 MOMENTOS

FLECTORES

Y

ESFUERZOS

CORTANTES: (b) 0 < x < L/2 M1 = R A x = (P/2) x x = 0 ⇒ M1 = 0 V1 = M’1 = P/2 (c) L/2 < x < L M2 = R A x - P (x – L/2) M2 = (P/2) x - P (x – L/2) = (P/2)x – P x + P (L/2) x = L/2 ⇒ M2 = (P/2)(L/2) – P(L/2 – L/2) M2 = PL/4 V2 = M’2 = P/2 – P = - P/2 Figura 5.21

Viga simplemente apoyada a) carga

central y reacciones; b) y c) diagramas de cuerpo libre; d) diagramas de cortante y de momento


TEMA

5.21

5.10. CARGAS DISTRIBUIDAS. Si la carga es simple, se puede usar el método que se describió en el apartado 5.9 para obtener los diagramas de cortante y de momento. Usualmente, sin embargo, ésta no es la situación. Diferenciando o integrando a través de una discontinuidad, tal como una carga concentrada o un momento, se presentan problemas. Para cargas más complejas, se pueden usar los métodos de funciones de singularidad, los cuales rebasan los objetivos de este curso. Mostramos a continuación un ejemplo de la utilización de dicho método:

Figura 5.22 Viga simplemente apoyada. a) fuerzas que actúan en la viga cuando P1 = 8 kN, P2 = 5 kN: w 0 = 4 kN / m; L = 12 m; b) diagrama de cuerpo libre que muestra las fuerzas resultantes; c) diagrama de cortante y d) diagramas de momento


TEMA

5.22

5.11. ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA. La barra que se muestra en la figura 5.23 está sujeta a una fuerza de tensión P. Esta fuerza incremento la longitud de la barra. Para una sección alejada de los extremos, una intensidad promedio de la fuerza normal, la cual también se conoce como el esfuerzo normal promedio σprom en la sección transversal, se puede escribir como

σ prom =

P A

[5.12]

donde A = área de la sección transversal, m2

Figura 5.23

Barra circular

con carga de tensión aplicada

Una peculiaridad está asociada con la aplicación real de las cargas. Si la sección se hubiera cortado cerca de los extremos, donde la forma ya no es un prisma, la situación sería más complicada y el sistema de esfuerzos ya no sería de tensión simple uniformemente distribuida sobre la sección transversal. Por fortuna, los esfuerzos más alejados del punto de aplicación de la carga son bastante uniformes es decir, las concentraciones de esfuerzo (las cuales se estudian en detalle en el tema 7) disminuyen a medida que se incremento la distancia desde ellas. Esta tendencia fue notada primero por Saint Venant, por lo que se conoce como el principio de Saint Venant. Su importancia no debe subestimarse, ya que hace posible la aplicación de las ecuaciones de este tema. Aquí se trata con circunstancias más allá de las concentraciones de esfuerzos donde los esfuerzos son uniformes. La concentración de esfuerzo por sí misma se analizará en el tema 7. De acuerdo con la convención de signos, un signo positivo se usa para designar un esfuerzo normal de tensión; y un signo negativo, para designar un esfuerzo normal de compresión. Un esfuerzo de compresión disminuye la longitud de la barra en la dirección de ésta.


TEMA

5.23

Al cambio total de la longitud en una barra uniforme causado por una carga axial se le llama deformación elástica δ (en m). La deformación normal unitaria es ε = δ / L = Deformación elástica / Longitud sin carga

[5.13]

Aunque la deformación unitaria es adimensional, está dada en términos de pulgada por pulgada o milímetro por milímetro. De la ley de Hooke para una carga normal uniaxial, σ = ε E

ε = σ / E

o

[5.14]

donde E = módulo de elasticidad, Pa El módulo de elasticidad es una constante para un material dado. Sustituyendo las ecuaciones (5.12) y (5.14) en la ecuación (5.13) se obtiene

δ = ε ⋅L =

σ

E

⋅L =

P ⋅L A ⋅ E

[5.15]

Las ecuaciones (4.14) y (4.15) son válidas ya sea en tensión o en compresión. Los esfuerzos de tensión, que corresponden a un incremento de la longitud, se consideran positivos; los esfuerzos de compresión, que corresponden a una disminución de la longitud, se consideran negativos. La razón de resorte k es la carga normal dividida entre la deflexión elástica, o para una carga normal axial

k=

P δ

⋅L =

A ⋅ E L

[5.16]

La unidad de la razón de resorte para carga axial es newtons por metro o libra por pulgada. Las ecuaciones (5.12) a (5.16) son válidas para cualquier área de una sección transversal siempre y cuando el área permanezca constante sobre la longitud L.


TEMA

5.24

5.12. TORSIÓN. Un eje (o árbol) es un elemento esbelto que está principalmente cargado por un momento axial o de torsión (par de torsión), el cual provoca una deformación por torsión y esfuerzos cortantes. De esta forma, la torsión es la carga resultante de la torcedura del eje. Los ejes en general se analizarán en un tema posterior; el enfoque en este tema es sobre la torcedura, o torsión, a que están sujetos los ejes y a los esfuerzos resultantes. El uso principal de un eje o árbol es transferir, o transmitir, potencia mecánica de un punto a otro Los ingenieros están interesados principalmente en el momento de torsión que se puede transmitir por el eje sin dañar al material o sin exceder deformaciones máximas. De aquí que deseen conocer los esfuerzos en el eje y el ángulo de torsión. Los miembros circulares sólidos son la mayor preocupación porque la mayoría de los ejes transmisores de un par de torsión tienen esta forma.

5.12.1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA. El par de torsión es un momento que tiende a torcer un miembro con respecto a su eje longitudinal. En la figura 5.24 se muestra la torsión de un miembro sujeto a un par de torsión. El eje circular se deforma de manera que cada sección transversal plana, originalmente normal al eje, permanece plana y normal y no se distorsiona dentro de su propio plano.

Figura 5.24 Torsión de un miembro por la aplicación de un par de torsión


TEMA

5.25

El eje esta fijo en la parte superior y se le aplica un par de torsión en el extremo inferior. El ángulo de torsión se define como θ, y el par de torsión como T, siendo la ecuación que los proporciona

T=

G⋅θ⋅J L

o

θ=

T ⋅L G⋅J

[5.17]

donde, T = par de torsión, N/m2 o Pa θ = ángulo de torsión, radianes

G = módulo de rigidez, N/m 2 o Pa J = momento de inercia polar, m 4 L = longitud del eje, m El esfuerzo cortante máximo es

τ más =

c⋅T J

[5.18]

donde c = distancia desde el eje neutral hasta la fibra externa, m τmás = esfuerzo cortante máximo, N/m 2 o Pa

La razón de resorte angular se puede expresar como

ká =

T θ

=

J⋅G L

[5.19]


TEMA

5.26

5.12.2. TRANSFERENCIA DE POTENCIA. Es conveniente presentar la transferencia de potencia directamente después de considerar los esfuerzos de torsión y deformación. Uno de los usos más comunes de un eje circular es la transferencia de potencia; por lo tanto, ningún análisis de la torsión sería adecuado sin incluir este punto. La potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo o hp = Fuerza x Velocidad = P v

[5.20]

hp = P v = T ω

[5.21]

donde hp = potencia, w P = fuerza, N v = velocidad, m/s T = par torsor, N m ω = velocidad rotacional, rad/s

o

T = hp / ω


TEMA

5.27

5.13. ESFUERZO FLEXIONANTE Y DEFORMACIÓN UNITARIA. La flexión se presenta en los miembros horizontales de las construcciones (vigas o viguetas) expuestos a una carga vertical debida a las losas de los entrepisos, en los muelles de un camión, y en las alas de un aeroplano que soporta el peso del fuselaje. En cada una de estas aplicaciones el esfuerzo y deformación son consideraciones de diseño importantes. A través de este punto se hacen las suposiciones siguientes: •

La sección transversal es simétrica en el plano de carga (respecto al eje y).

•

El material sólido de que está hecha la viga es homogéneo y elástico lineal. En la figura 5.25 se indica la flexión que ocurre en un material altamente deformable,

como el caucho, el cual conviene a los propósitos de deformación. En la figura 5.25 a se muestra una barra sin deformar con secciones cuadradas, marcadas por líneas de red longitudinales y transversales. En a figura 5.25 b se aplica un momento.

Figura 5.25 Barra de caucho Las líneas longitudinales se transforman en curvas; mientras que las líneas transversales permanecen rectas y, sin embargo, sufren una rotación. Las líneas longitudinales tienen un radio cuando la barra se deforma, aunque inicialmente estuvieran rectas.


TEMA

5.28

El momento flexionante causa que se alargue el material en la parte inferior del miembro, o que esté expuesto a un esfuerzo de tensión, y que en la parte superior esté expuesto a un esfuerzo de compresión.

eje de simetría

z

x superficie neutra

eje neutro eje de flexión y

Figura 5.26 Flexión en una viga que muestra la superficie neutra Por ello, entre estas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra, en la cual las fibras longitudinales del material no sufrirán un cambio en su longitud. En esta superficie neutra no ocurre ningún esfuerzo de flexión, y no está espuesta a un esfuerzo de tensión ni de compresión. En la figura 5.27 se ilustra una vista de perfil del esfuerzo normal. Para y positiva el esfuerzo normal es de compresión, y para y negativa es esfuerzo normal es de tensión. El esfuerzo normal es 0 en el eje neutro.

Figura 5.27 Vista de perfil de la variación de esfuerzo flexionante


TEMA

5.29

El esfuerzo flexionante máximo viene dado por

σ más =

M⋅ c I

[5.22]

donde σmás = esfuerzo flexionante máximo, N / m 2

M = momento flexionante, N m c = distancia desde el eje neutro hasta la fibra externa, m I = momento de inercia del área, m 4 El esfuerzo en cualquier distancia intermedia y es

σ=

M⋅ y I

[5.23]

Otra fórmula importante es

1 M = r I ⋅ E

[5.24]

Si la barra está montada en una pared, de modo que forma una configuración en voladizo, el esfuerzo de compresión máximo en la barra ocurre en x = L en la parte inferior de la barra y en la fibra externa. El momento puede escribirse como V xy. Así, la ecuación 5.23 se transforma en

Vxy σ= I donde V = fuerza cortante transversal, N

[5.25]


TEMA

5.30

5.14. ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA. Además de los esfuerzos flexionantes que se consideraron en el punto anterior, las cargas sobre un miembro también pueden ser esfuerzos cortantes dentro del mismo. En la figura 5.28 se intenta ilustrar cómo se desarrolla el esfuerzo cortante t ransversal.

Figura 5.28

Cómo se desarrolla el cortante transversal a)

tablas sin pegar; tablas pegadas

En la figura 5.28 a se muestran tres tablas que no están pegadas. La aplicación de una fuerza P provocara que las tablas se deslicen una respecto a la otra, y la viga se flexionará como se muestra, con los extremos no alineados como estaban cuando no se había aplicado la carga. Por otro lado, si las tablas estuvieran pegadas, el esfuerzo cortante longitudinal entre las tablas evitaría que se deslizaran y, en consecuencia la viga actuaría como una unidad, como se ilustra en la figura 5.28 b. En una viga sólida los elementos no se deslizan uno sobre el otro, pero el esfuerzo cortante que tiende hacer esto está presente. Como resultado de la distribución de esfuerzos cortantes internos, las deformaciones unitarias por cortante se desarrollan y éstas tenderán a distorsionar la sección transversal en una manera bastante compleja. Una barra sin deformar como se muestra en la figura 5.29 a, hecha de un material altamente deformable y marcada con una red de líneas horizontales y verticales, tiende a deformarse cuando se le aplica un esfuerzo cortante, y cambia estas líneas en el patrón que se indica en la figura 5.29 b. Los cuadros cerca de las partes superior e inferior de la barra retienen sus formas sin deformar. La deformación unitaria en el cuadrado central de la barra causará que está sufra la mayor deformación. El esfuerzo


TEMA

5.31

cortante transversal provoca que la sección transversal se combe, o que no permanezca plana.

Figura 5.29 Barra en voladizo a) sin deformar; b) deformada En la figura 5.29 b se ilustra cómo la deformación causada por un esfuerzo cortante transversal es mucho más compleja que la causada por otro tipo de carga (axial, de torsión o flexionante). El es fuerzo cortante máximo depende de la forma de la sección transversal. En la tabla 5.1 se resumen los valores máximos para algunas formas de secciones transversales comunes. En todos los casos, el esfuerzo cortante es 0 en las fibras extremas, es máximo en el eje neutro.


TEMA

5.32

Tabla 5.1. Esfuerzo cortante máximo para diferentes secciones transversales de una viga. Sección transversal

Esfuerzo cortante máximo

rectangular

τ máx =

3V 2 A

[5.26]

τ máx =

4V 3 A

[5.27]

τ máx =

2V A

[5.28]

circular

tubo redondo

viga I

τ máx =

V A alma

[5.29]


TEMA

5.33

PROBLEMAS 5.1. La esfera de la figura 5.17 esta sometida a una fuerza debida al muelle de 150 N, y tiene una masa de 10 kg. Calcular las reacciones en los cables.

(Sol.: 248,1 N)

5.2. De unas argollas se suspende una carga de 1000 N por medio de sendas sogas. Determina el esfuerzo que debe aguantar cada una de las sogas.

° 0 3

(Sol.: P1 = 500 N; P 2 = 866 N) .

6 0 °

1000 N

5.3. En una obra se plantea elevar el cajón de herramientas, que tiene la forma cúbica de 4 m de lado, con un aparejo, tal como indica la figura. Si la cadena empleada puede soportar una tracción máxima de 10 kN y el cajón pesa 7 kN ¿Cuál es la

L θ 4m

4m

cadena más corta que se puede utilizar? (Sol.: 4,28 m).

m 4

4m

5.4. Se apilan tres tuberías como indica la figura. Calcular las fuerzas sobre cada cilindro en los puntos de contacto. El peso de la tubería pequeña es de 130 N y el de las grandes 200 N (Sol.: P1 = 87,8 N; P 2 = 58,8 N; P 3 = 265,2 N).

2200 mm

4 0 0 m m

5 0 0 m m


TEMA

5.5. Un freno de bicicleta de montaña posee un grupo de cables

5.34

150 N

representado en la figura. Suponiendo que el tiro del cable vertical fuese de 150 N, determina la tensión en los cables de tiro lateral en función del ángulo que forman dichos cables con la vertical. θ = 15º, 45º, 60º, 80º.

(Sol.: P1 = 78 N; P 2 = 87 N; P 3 = 150 N; P 4 = 432 N).

P

P

5.6. Determina la tensión en los cables que soportan la carga representada en la figura.

(Sol.:

P1 = 3935 N; P 2 = 3610 N).

12 m

8 m

m 5

3 kN

5.7.En la viga de la figura obtener el sistema de fuerzas y el momento equivalente en el punto O. (Sol.: R = 5,77 kN; θ = -75,8º; M O = 16,5 kN m) . 5.8. Una lámpara de peso 15 N está suspendida del techo de un taller mediante un cordón de 2,5 m de longitud. Se idea un dispositivo para separar la lámpara 1 m de su vertical, para lo que se coloca otro cordón a la lámpara que se hace pasar por una polea situada a 2 m de dicha vertical y en cuyo final se cuelga un contrapeso Q. Averigua el valor de dicho contrapeso. (Sol.: Q = 6,55 N) . 2 kN 4 kN

4 5 °

1m

m 5 , 0

3 kN m 5 , 2

O 2m

3m figura P 5.7

Q

1m 2m = figura P 5.8


TEMA

5.35

5.9.Como se indica en la figura, una barra de 3 m de longitud se encuentra suspendida en su extremo izquierdo (B) por un cable metálico de 6 mm de diámetro y está apoyada en el extremo derecho (C) por un cilindro de acero de 10 mm de diámetro. La barra soporta una masa ma1 = 200 kg y su propia masa m a2 = 50 kg. Determinar los esfuerzos en el cable y en el cilindro. (Sol.: σB = 0,54 10 6 N/m2; σC = 0,11 10 6 N/m2)

5.10. En la figura se muestra un simple brazo de soporte que consiste en una viga horizontal cargada verticalmente en un extremo con una carga de 10 kN. En el otro extremo la viga se encuentra articulada. La fuerza en el perno y en el rodillo no debe ser mayor de 30 kN para satisfacer otras restricciones de diseño. Hallar la ubicación de la sección crítica y si se puede aplicar la carga de 10 kN sin dañar al brazo soporte.

(Sol.: la sección crítica se encuentra en el

rodillo. Ocurrirá el fallo) .

5.11. Dada la viga apoyada de la página 20. Determinar las cargas resultantes, diagrama de flectores y cortantes. Datos: P = 1000 N; L = 2 m (R A = 500 N; R B = 500 N; M máx = 500 Nm; V máx = 500 N).


TEMA

5.36

5.12. Dada la viga simplemente apoyada de la figura. Determinar las cargas resultantes, diagrama de flectores y cortantes.

(Sol.: Mmás = 750 Nm; V 1 = 1500 N; V 2 = -500 N) .

0,5 m

1,5 m 2000 kg


(Sol.: Mmáx1 = 2,4 kNm; M máx2 = -6,4 kNm V1 = 1,2 kN; V 2 = -8,8 kN; V 3 = 3,2 kN).

3,2 kN

10 kN 2m

1m

2m


(Sol.: Mmáx = 1333,33 Nm;V 1 = 1333,33 N; V 2 = - 666,67 N) .

P = 2000 N 1m

3m


TEMA

5.37


(Sol.: Mmáx = 500 Nm; V 1 = 500 N; V 2 = 0 N; V 3 = - 500 N) .

P = 500 N

1m

P = 500 N

2m

1m


(Sol.: Mmáx = -2250 Nm; V 1 = -1500 N; V 2 = 1500 N;) .

P = 1500 N 1,5 m

1,5 m


1m

(Sol.: Mmáx = 2500 Nm) .

1m 1000 N

1,5 m 750 N

2m 1250 N


TEMA

5.38

5.18. En la figura se indica el diagrama de cuerpo libre para un eje para una línea breve de corte, donde se coloca una sola hoja en el centro del eje, y un motor acciona el eje de una polea en el extremo derecho. Determinar las cargas resultantes, diagrama de flectores y cortantes (Sol.: R A = 430 lbf; R B = - 650 lbf; M máx = 4300 lbf pulg; V máx = - 720 lbf)

5.19. Un pescador atrapa un salmón con una carnada sujeta a su cordón de nailon de 0,45 mm de diámetro. Cuando el pez muerde la carnada, el cordón tiene una longitud de 46 m desde el pez hasta el carrete de la caña de pescar. El módulo de elasticidad del cordón es de 4 GPa, y su resistencia a la rotura es de 70 N. El salmón jala con una fuerza de 50 N. Hallar el alargamiento elástico del cordón, la razón de resorte y el esfuerzo de tensión del cordón.(Sol.: σ = 0,314 GPa; δ = 3,611 m; k = 13,85 N/m) 5.20. Un eje hueco de acero al carbono, de 50 mm de longitud debe soportar una fuerza normal de 5000 N en un esfuerzo normal de 100 MPa. El diámetro interior es 0,65 del diámetro exterior. Hallar el diámetro exterior, la deformación axial y la razón de resorte.

(Sol.:

d0 = 0,0105 m;d i = 0,0068 m δ = 0,02415 m; k = 2,07 10 8 N/m)

5.21. Un elevador pende de un cable de acero. El cable tiene un área de sección transversal de 200 mm2 y un módulo de elasticidad de 70 GPa. El cable tiene una longitud de 100 m y el elevador pesa 1000 kg. Determinar el esfuerzo en el cable y el alargamiento del cable debido al peso del elevador.

(Sol.: δ = 0,07 m; σ = 49,03 10 6 N)

5.22. Los cables de 700 m de longitud de un puente en suspensión están sometidos a un esfuerzo de tensión de 200 MPa. La fuerza total en cada cable es de 10 MN. Calcular el área de la sección transversal, el alargamiento total de cada cable, y la razón de resorte cuando el módulo de elasticidad es de 70 GPa. (Sol.: δ = 5 m; k = 2 10 6 N/m; A = 0,02 m 2) 5.23. Un pistón de acero de 1,28 m de longitud en un cilindro hidráulico, ejerce una fuerza de 4000 kgf. El pistón está hecho de acero AISI 1080 y tiene un diámetro de 50 mm. Determine el esfuerzo en el pistón, el alargamiento y la razón de resorte. (Sol.: σ = 19,98 10 6 N/m2; δ = 1,235 10 -4 m; k = 317,63 10 6 N/m)

TEMA 5-CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACI+ôN (1)

Recommend Documents