Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Estadística
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Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Departamento de Estadística Prof. Anna Gabriela Pérez de Rivas Tema 2 - Probabilidad Introducción En muchas situaciones de la vida diaria, sin darnos cuenta tratamos sucesos de naturaleza probabilística, decimos por ejemplo, parece que va a llover, el avión va a llegar a la hora. Fenómenos como los que a continuación se mencionan carecen de naturaleza determinística: - Un biólogo puede puede estar interesado en la distribución distribució n de una bacteria. - Un economista en predicciones económicas. - Un ingeniero de producción en en el inventario de un artículo en particular. - Un astrónomo en la distribución distribuci ón de las estrellas en diferentes galaxias. Información pasada cuan voluminosa sea, no permite formular una regla para determinar con precisión qué ocurrirá cuando el experimento se repita bajo las mismas condiciones.
Experimentos Aleatorios: Son aquellos experimentos que proporcionan diferentes resultados aún cuando se repitan bajo las mismas condiciones. Se denominan así a fenómenos en los cuales los resultados son de naturaleza fortuita, la teoría de la probabilidad se encarga de estudiar dichos fenómenos. Origen de la Probabilidad: Se remonta a mediados del siglo XVII. Los estudios comenzaron con los de Blaise Pascal, el cual centró su interés en los juegos de azar. La proliferación de estudios científicos en ciencias naturales demandó el desarrollo de nuevas leyes probabilísticas y las contribuciones más notables en el siglo XIX son las de Laplace, De Moivre, Gauss y Piosson. Estos trabajos dieron origen a lo que hoy se conoce como teoría clásica de probabilidad. Definición de Probabilidad 1. Probabilidad Clásica Clásica o A Priori: Se basa en el concepto de resultados igualmente probables o verosímiles. Por ejemplo, lanzar una moneda: P(cara) = P(sello) = ½. Generalizando, si un fenómeno en particular puede dar origen a n a resultados diferentes, y si éstos son igualmente probables, la probabilidad de cualquier resultado es (1/n a), por ejemplo, lanzar un dado. 2. Enfoque de Frecuencia Relativa: Es el cociente de el número total de ocurrencias de una situación, sobre el número de veces que se repite el experimento. Cuando el número de éxitos (ocurrencias) es grande, la frecuencia relativa da una medida satisfactoria de la probabilidad asociada
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con una situación de interés. Este enfoque de probabilidad; muestra que la probabilidad asociada con un evento en particular se encuentra entre 0 y 1. 3. Probabilidad Subjetiva: Es la probabilidad que una persona asigna a uno o varios de los posibles resultados de un experimento, por lo tanto otra persona puede asignar una probabilidad diferentes al mismo resultado.
Espacio Muestral: Se define así, al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota S. El espacio muestral puede ser discreto o continuo (infinito). -
-
Espacio Muestral Discreto: Se define así, al conjunto S que está formado por un número finito o infinito numerable de resultados de un experimento. Por ejemplo, el sexo de un bebé S = {hembra, varón} Espacio Muestral Infinito o Continuo: Se define así, al conjunto S formado por infinitos resultados. Por ejemplo, el tiempo de espera de los pasajeros en cierta parada de autobús hasta que el autobús llegue, el espacio muestral asociado a este fenómeno es el siguiente: S = { X | X ≥ x, X ∈ ℜ} donde X denota el tiempo de espera en minutos.
Evento: Es un subconjunto del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo, se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se define el evento A: salga número par, entonces A = {2, 4, 6}. Elementos de la Teoría de Conjuntos Los conceptos de la teoría de conjuntos son muy importantes en el tratamiento de probabilidades. A continuación se proporciona un resumen de algunas operaciones básicas de conjuntos en términos de eventos.
Conjunto: La palabra conjunto se usa para indicar la reunión de objetos que tienen alguna característica en común. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas, y se escriben entre llaves. Sea el conjunto A = {a, b, c} A = {b, c, a} A = {c, b,a}, el orden el irrelevante. Si x es un elemento del conjunto A, se puede escribir x ∈ A , pero si no lo es, se puede escribir x ∉ A . Se puede escribir también el conjunto de números reales mayores o iguales a una cantidad k, esto es, A = { x | x ∈ ℜ, x ≥ k } Conjunto Vacío: Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío, y se denota Ф. Subconjunto: Suponga que A y B son dos conjuntos que contienen elementos de S, y S denota el conjunto universal, se dice que B es subconjunto de A y se escribe B ⊂ A o equivalentemente A ⊃ B si cada miembro de B es también miembro de A. Para cualquier conjunto A, φ ⊂ A .
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Conjuntos Iguales: Sean A y B dos conjuntos, se dice que A y B son iguales, y se escribe A = B, si A y B representan el mismo conjunto, es decir tienen los mismos elementos. Si A = B entonces A ⊂ B y B ⊂ A . Intersección de Conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B se escribe como A ∩ B y representa el conjunto de elementos que son comunes en A y B, esto es: A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B} . El concepto de intersección se aplica sobre cualquier colección arbitraria de conjuntos, y en particular a una colección contable de subconjuntos de S. Así, ∞
∩ Ai es i =1
el conjunto cuyos elementos pertenecen a todo subconjunto A i, esto es
∞
∩ Ai = { x | x ∈ Ai , ∀i} . i =1
A partir de la definición de intersección es obvio que: A ∩ B = B ∩ A
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B se dice que son disjuntos si ellos no tienen elementos en común, esto es, A ∩ B = φ . Más generalmente, si A 1, A2,…,Ap es una colección de conjuntos, se dice que son disjuntos pares si Ai ∩ A j = φ para todo i ≠ j
Unión de Conjuntos: Si A y B son dos conjuntos, entonces el conjunto A ∪ B es denominado unión de A y B; y está formado por elementos que pertenecen a A, o a B o a ambos conjuntos, esto es: A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Si A = {a, b, c, d} y B = {a, c, d, f, p}, entonces A ∪ B = {a, b, c, d , f , p} Si A1, A2,..., An una colección contable de conjuntos, la unión de ellos está dada ∞
por ∪ Ai , y el un conjunto cuyos elementos pertenecen a cualquier A i, i=1,2,…, i =1
∞
luego ∪ Ai = { x | x ∈ Ai para algún A i } i =1
A partir de la definición de unión es obvio que: A ∪ B = B ∪ A
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
Complemento: Sea A un conjunto, el complemento de A es un conjunto cuyos elementos en su totalidad no pertenecen a A. Se denota A c y A ∩ A c = φ Conjunto Diferencia: Suponga que A y B son dos conjuntos, el conjunto diferencia A – B, es el conjunto cuyos elementos están en a pero no en B, así, c c A − B = A ∩ B . Si A y B son dos conjuntos A – B ≠ B – A, A − B = A ∩ B y B − A = B ∩ A
c
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Leyes de Morgan
( A ∪ B )c
c
= A ∩ B
4
c
( A ∩ B )C = A c ∪ B c ( A c ) c = A
Otras Propiedades
S c = φ c
A ∪ A = S A ∩ A c = φ
Definición Axiomática de Probabilidad: La probabilidad es un número que se asigna a cada miembro de una colección de eventos de un experimento aleatorio y que satisface las siguientes propiedades: - Si S es el espacio muestral y A es cualquier evento del experimento aleatorio entonces: 1. P(S) = 1 2. 0 ≤ P(A) ≤ 1 3. Si E1, E2,…. son eventos tales que E i ∩ E j = φ ∀ i ≠ j entonces
∞ ∞ P ∪ E i = ∑ P ( E i ) i =1 i =1 -
La probabilidad del evento imposible es cero (0), esto es P( Ф) = 0. Para cualquier evento A, P(A c) = 1 – P(A) Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) c
P ( A − B ) = P( A ∩ B ) = P( A) − P ( A ∩ B )
-
Si los eventos A y B son tales que B ⊂ A entonces P(B) ≤ P(A) Sean E1 y E 2 dos eventos tales que E 1 ∩ E 2 = φ , se dice entonces que los eventos son mutuamente excluyentes Unión de tres eventos: Sean A, B y C tres eventos, la probabilidad de la unión de dichos eventos está dada por: P( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
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Ejercicios – I Parte 1. Describa el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos: a. Se clasifica cada una de tres partes elaboradas, ya sea por encima o por debajo de las especificaciones. b. De transmiten 4 bits, y cada uno se clasifica como erróneo o no erróneo. c. En el aula de estadística I se seleccionan cuatro estudiantes al azar y se clasifican de acuerdo al sexo. 2. Se lanzan dos dados legales y se anotan los resultados a. Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento. b. Se define el evento A, la suma de los puntos que muestran ambas caras de los dados debe ser menor o igual a cuatro, liste los elementos del evento A. c. Sea el evento B, que salga dos en el segundo dado, liste los elementos de B. d. Liste los elementos que corresponden al evento A ∩ B e. Sea el evento C, que salga 6 en cualquier dado, liste los elementos de C. f. Liste los elementos que corresponden al evento A ∩ C 3. Sea el espacio muestral S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} y se definen los eventos A = {0,2,4,6,8,10} B = {1,3,5,7,9,11} C = {1,2,5,6,7,8,10,11} D = {0,4,9} liste los elementos de: a. A ∪ C b. A ∩ B c. Cc d. ( A ∩ C ) c e. (C c ∩ D ) ∪ B
4. Un proceso de manufactura puede producir algunas partes que son inaceptables. Se toma una muestra aleatoria de 3 partes, y cada una de ellas se clasifica como aceptable o inaceptable. Describa el espacio muestral asociado a este experimento. 5. En una encuesta realizada a los empleados de una empresa particular, la respuesta a cada una de las preguntas se elige de una escala que ofrece cinco posibilidades 1, 2, 3, 4 y 5, donde 1 = nunca y 5 0 siempre. Escriba el espacio muestral asociado a este experimento. 6. En la fabricación de una cinta de grabación digital se utiliza una prueba electrónica para determinar el número de bits erróneos. Describa el espacio muestral asociado a este experimento. 7. Se utiliza una escala digital que redondea el peso hasta el gramo más cercano: a. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?
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b. Sean los eventos: A peso mayor a 11 gramos, B peso menor o igual a 15 gramos y C el peso es mayor o igual a 8 gramos pero menor o igual a 12 gramos. Determine: i. Ac ii. A ∩ B iii. A ∪ B iv. ( A ∩ B ) ∩ C
8. Se analizan 100 lotes de materia prima y se determina la resistencia a la rayadura y a los golpes. Se definen los eventos: A: la materia prima tiene alta resistencia a las los golpes y B: la materia prima tiene alta resistencia a las rayaduras. Determine el número de lotes en cada uno de los siguientes eventos: A, B, A ∩ B , A c ∩ B , Bc, A ∩ B c , A c ∩ B c Se tiene la siguiente información: A c A Total
B 80 6
c
B 9 5
Total
9. Se seleccionan ciertos componentes al azar proporcionados por dos proveedores y se clasifican como conformes o disconformes. En la siguiente tabla se muestra la información, y se definen los eventos: A: El componentes es del proveedor 1, y B: El componentes cumple con las especificaciones. Determine el número de componentes en cada uno de los siguientes eventos: A, A c, B, Bc, A ∩ B , A ∪ B A c A Total
B 18 17
c
B 2 3
Total
10. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables, el espacio muestral es S = {x 1, x2, x3, x4, x5} y sean los eventos A = {x 1, x2, x3} y B = {x 4, x5} Determine las siguientes probabilidades: P (A) P(B) P(A c) P( A ∪ B ) 11. El espacio muestral de un experimento aleatorio es S = {a,b,c,d,e} con probabilidades 0.1, 0.1, 0.2, 0.4, y 0.2. Se definen los eventos: A = {a,b} B={c,d,e} C = {a,b,d} y D = {a,b,c,e}. Determine las siguientes probabilidades: P(A), P(B), P(C), P(D), P(A c), P( A ∪ B ), P( A ∩ B ), P( C ∪ D ) y P( C ∩ D ). 12. Al seleccionar una parte de motor para probarla, la probabilidad de que ésta haya sido elaborada por una de seis herramientas es la misma. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la parte provenga de la herramienta uno? b. Cuál es la probabilidad de que la parte provenga de la herramienta tres o cinco? Estadística I
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c. Cuál es la probabilidad de que la parte no provenga de la herramienta cuatro?
13. Un espacio muestral contiene 20 eventos igualmente probables, si la probabilidad del evento A es 0.3 ¿Cuántos resultados contiene el evento A? 14. A continuación se ofrece un resumen de varias órdenes de compra de dispositivos de alumbrado de acuerdo con las características opcionales de éstos. Determine las siguientes probabilidades: - ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden se solicite al menos una característica opcional? - ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden no se pida más de una característica opcional? Sin características Opcionales Una característica opcional Más de una característica opcional
Proporción de órdenes de compra 0.5 0.5 0.2
15. Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo al acabado de superficie (excelente o bueno) y con las mediciones de longitud (excelente o bueno). Se definen los eventos: A: la muestra tiene acabado de superficie excelente y B: la muestra tiene longitud excelente. Determine las siguientes probabilidades: P(A), P(B), P(A c), P(Bc), P( A ∩ B ), P( A ∪ B ) y P( A c ∪ B ) A c A Total
B 75 10
c
B 7 8
Total
16. Suponga que se ha elaborado la siguiente tabla de contingencia. Determine las siguientes probabilidades: P(A), P(B), P(A c), P(Bc), P( A ∩ B ), P( A ∪ B ), P( A ∪ B c ), P( A c ∩ B c ), P( A c ∪ B c ) A Ac Total
B 10 20
c
B 20 40
Total
17. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 personas en Caracas, y se les preguntó si se sentían bien haciendo compras en el supermercado. De 240 hombres, 136 respondieron que sí. De 260 mujeres 224 respondieron que sí. a. Establezca una tabla de contingencia para representar la información. b. Defina un evento simple.
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c. De un ejemplo de un evento conjunto. d. Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar i. Sea hombre ii. Disfrute haciendo compras en el supermercado iii. Que sea mujer y disfrute haciendo compras en el supermercado iv. Que sea hombre y no disfrute comprando en el supermercado. v. Que sea mujer o que disfrute comprando en el supermercado. vi. Que sea hombre o mujer.
18. Una compañía ha puesto a disposición de sus empleados un gimnasio que pueden usar antes del trabajo, después del trabajo o durante los fines de semana. De 250 empleados, 110 usaron el gimnasio. De los 170 hombres empleados, 65 usaron el gimnasio. a. Establezca una tabla de contingencia para representar la información. b. Defina un evento simple. c. De un ejemplo de un evento conjunto. d. Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar i. Sea hombre ii. Haya usado el gimnasio iii. Sea mujer y haya usado el gimnasio iv. Sea mujer y no haya usado el gimnasio v. Sea hombre o haya usado el gimnasio 19. Si P(A) = 0.3 P(B) = 0.2 probabilidades: a. P(Ac) b. P( A ∪ B ) c. P( A c ∩ B)
y P( A ∩ B ) = 0.1 determine las siguientes
d. P( A c ∩ B ) e. P( A ∪ B )c
20. Si A, B y C son tres eventos mutuamente excluyentes con P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(C) = 0.4, determine las siguientes probabilidades: P( A ∪ B ), P( A ∩ B ∩ C ) y P( ( A ∪ B ) ∩ C ) 21. La siguiente tabla presenta el análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que estas flechas satisfacen los requerimientos de acabado superficial y con los requerimientos de curvatura. Se definen los siguientes eventos: A: las flechas cumplen con los requerimientos de acabado superficial y B. las flechas cumplen con los requerimientos de curvatura.
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B 345 12
c
B 5 8
9
Total
-
Si se selecciona una flecha al azar cuál es la probabilidad de: 1. Que cumpla con los requerimientos de acabado superficial 2. Que cumpla con los requerimientos de acabado superficial o con los requerimientos de curvatura 3. Que cumpla con los requerimientos de acabado superficial y con los requerimientos de curvatura.
-
Suponga además que las flechas de acuerdo a la maquinaria usada en su fabricación, y se dispone de la siguiente información: A c A Total
Máquina 1 c B B 200 1 4 2
Máquina 2 B A 145 c A 8 Total
-
Bc 4 6
Total
Total
Si se elige una flecha al azar cuál es la probabilidad de: Que cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura o que provenga de la máquina 1 Que cumpla con los requerimientos de acabado, o que no cumpla con los requerimientos de curvatura o que provenga de la máquina 2. Que cumpla con los requerimientos de acabado o que provenga de la máquina 2.
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Probabilidad Condicional Hasta el momento se ha visto, como calcular la probabilidad de un evento específico cuando se conoce el espacio muestral completo. Sin embargo, existen situaciones en las que se deben calcular probabilidades conociendo cierta información de los eventos implicados. Cuando se calcula la probabilidad de un evento específico A dada la información de la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad como probabilidad condicional y se denota P(A|B).
Definición: Sean A y B dos eventos, la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido el evento B, se obtiene mediante: P( A | B ) =
P ( A ∩ B ) P ( B )
y P ( B ) > 0 , donde
P( A ∩ B ) denota la probabilidad de ocurrencia conjunta de los eventos A y B y P(B) representa la probabilidad marginal de B. De forma similar puede obtenerse P( B | A) =
P( A ∩ B) P( A)
y P( A) > 0
Ejemplo: Los resultados obtenidos al analizar 266 muestras de aire se clasifican de acuerdo con la presencia de dos moléculas raras. Sean los eventos A: todas las muestras contienen la molécula 1 y B: todas las muestras contienen la molécula 2. Se tiene la siguiente información: A Ac Total
B 12 18 30
c
B 24 212 236
Total 36 230
Calcular las siguientes probabilidades P(A) = 36/266 P(B) = 30/266 P( A | B) =
(12 / 266) 12 = (30 / 266) 30
P( B | A) =
(12 / 266) 12 = (36 / 266) 36
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Ejercicios II Parte 1. Se analizan 200 lotes de materia prima y se determina la resistencia a la rayadura y a los golpes. Se definen los eventos: A: la materia prima tiene alta resistencia a las los golpes y B: la materia prima tiene alta resistencia a las rayaduras. Determine las siguientes probabilidades: a. P(A) b. P(B) c. P( A ∩ B ) d. P(A|B) e. P(B|A) A c A Total
B 160 12
c
B 18 10
Total
2. Un lote contiene 15 piezas de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen dos piezas al azar y sin reemplazo del lote de 40. Sean los eventos: A 1: La primera pieza seleccionada es del proveedor local y A2: la segunda pieza seleccionada es del proveedor local, determine las siguientes probabilidades: a. P(A1) b. P(A2|A1) c. P( A1 ∩ A2 ) d. P( A1 ∪ A2 ) 3. La siguiente tabla resume los resultados del análisis de muestras de acero galvanizado en cuanto al peso del recubrimiento (alto o bajo) y rugosidad de la superficie (alta o baja). Se definen los eventos A: La rugosidad de la superficie es alta y B: el peso del recubrimiento es alto. Determine las siguientes probabilidades: a. Si el peso del recubrimiento es alto ¿Cuál es la probabilidad de que la rugosidad de la superficie sea alta? b. Si la rugosidad de la superficie es alta, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso del recubrimiento sea alto? c. Si la rugosidad es baja, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso del recubrimiento sea bajo? A c A Total
B 12 88
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c
B 16 34
Total
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Independencia Estadística Sean A y B dos eventos, se dice que son independientes si el resultado de un evento no afecta la posibilidad de ocurrencia del otro evento. La independencia estadística se define como sigue: Sean A y B dos eventos si P ( A | B) = P( A) , P ( B | A) = P( B) y P ( A ∩ B ) = P( A) P( B) entonces los eventos A y B son independientes.
Regla de la Multiplicación La definición de probabilidad condicional puede escribirse de modo que proporcione una expresión general para la probabilidad de la intersección de 2 eventos, esto es: P ( A | B) =
P ( A ∩ B ) P ( B)
⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A | B) P( B )
Regla de Probabilidad Total: Suponga k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, digamos E 1,E2,…,Ek, y sea B un evento, entonces P ( B ) = P ( B | E 1 ) P( E 1 ) + P ( B | E 2 ) P( E 2 ) + ... + P ( B | E k ) P( E k )
Teorema de Bayes La probabilidad condicional toma en cuenta información acerca de la ocurrencia de un evento para encontrar la probabilidad de otro. Este concepto puede extenderse para determinar probabilidades basadas en nueva información y para determinar la probabilidad de que un efecto en particular se deba a una causa específica. Sean E1,E2,..,Ek eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y sea B un evento, entonces P( E i \ B) =
P(B \ E i ) P ( E i ) P( B \ E 1 ) P( E 1 ) + P ( B \ E 2 ) P( E 2 ) + ... + P ( B \ E k ) P( E k )
Ejemplos 1. Suponga que se establece la siguiente tabla de contingencia, y determine a partir de ella las siguientes probabilidades: a. P(A\B) b. P(A\Bc) c. P(Ac \Bc) d. ¿Son los eventos A y B independientes? A Ac Total
B 10 20 30
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c
B 20 40 60
Total 30 60 90
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Para resolver el ejercicio se debe recordar la definición de probabilidad condicional, luego: - P( A \ B) =
P(A ∩ B) P(B)
, en el ejemplo P ( A. \ B) =
(10 / 90)
- P( A \ B ) =
c
c
P(A ∩ B )
- P( A \ B ) = -
P(B c )
, en el ejemplo P ( A \ B c ) =
P(A c ∩ B c ) P(B c )
10
(30/90)
c
c
=
30
(20 / 90) (60/90)
, en el ejemplo P ( A c \ B c ) =
=
20 60
(40 / 90) (60/90)
=
40 60
Para determinar si los eventos A y B son independientes se debe verificar que: P( A ∩ B ) = P( A) P( B) . En el ejemplo P( A ∩ B) = (10 / 90) = (1 / 9) , P(A) = (1/3) y P(B) = (1/3). Ahora bien, P ( A ∩ B ) = (1 / 3)(1 / 3) = (1 / 9) , por lo tanto los eventos A y B son independientes
2. La Probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período de garantía es 0.01. Si el conector se humedece la probabilidad de falla durante el período de garantía es 0.05. Si el 90% de los conectores se mantienen secos y 10% se humedecen ¿Qué proporción de conectores fallaran durante el período de garantía? Para resolver este ejemplo es necesario definir los siguientes eventos: A: Conector seco A c: Conector húmedo B: Falla en el período de garantía. En el enunciado del ejemplo se establecen las siguientes probabilidades: P(B\A) = 0.01 P(B\A c) = 0.05 P(A) = 0.9 P(A c) = 0.1 La proporción de conectores que fallaran durante el periodo de garantía se determina haciendo uso de la regla de la multiplicación y del teorema de probabilidad total. Luego: P( B) = P ( B \ A)P(A) + P(B \ A c ) P( A c ) , al sustituir se tiene que: P( B) = [(0.01)(0.9)] + [(0.05)(0.1)] = 0.009 + 0.005 = 0.014 3. Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros, o en empaques grandes y pesados. Suponga que el 2% de las muestras enviadas en empaques pequeños se rompen durante el envío, y el 1% de las muestras enviadas en empaques grandes y pesados se rompen durante el envío. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes y 40% en empaques pequeños ¿Cuál es la proporción de muestras que se rompen durante el envío?
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-
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Para resolver este ejemplo es necesario definir los siguientes eventos: A: Las muestras se colocan en empaques pequeños Ac: Las muestras se colocan en empaques grandes B: Las muestras se rompen durante el envío En el enunciado del ejemplo se establecen las siguientes probabilidades: P(B\A) = 0.02 P(B\A c) = 0.01 P(A) = 0.4 P(A c) = 0.6 La proporción de muestras que se rompen durante el envío se determina haciendo uso de la regla de la multiplicación y del teorema de probabilidad total. Luego: P( B) = P ( B \ A)P(A) + P(B \ A c ) P ( A c ) , al sustituir se tiene que: P ( B ) = [(0.02)(0.4)] + [(0.01)(0.6)] = 0.014
4. El gerente de una compañía fabricante de juguetes estudia el lanzamiento de un nuevo juguete. La experiencia previa indica que el 40% de los juguetes introducidos al mercado por la compañía han tenido éxito, y 60% han fracasado. La experiencia previa también indica que el 80% de los juguetes con éxito tenían un informe favorable, y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. Se quiere determinar la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibe un informe favorable. Antes de resolver el ejemplo, es necesario definir los siguientes eventos: -
A: juguete con éxito Ac: juguete sin éxito B: informe favorable En el enunciado del ejemplo se establecen las siguientes probabilidades: P(B\A) = 0.8 P(B\A c) = 0.3 P(A) = 0.4 P(A c) = 0.6 La probabilidad que se debe determinar es P(A\B), y se sabe que P ( A \ B) =
-
P(A ∩ B) P(B)
, ahora bien, P( A ∩ B ) y P(B) ambas son desconocidas
y se puede determinar haciendo uso de la regla de la multiplicación y de probabilidad total, así pues: P( A ∩ B ) = P(B\A)P(A), en el ejemplo P( A ∩ B ) = (0.8)(0.4) = 0.32 P(B) = P(B\A)P(A) + P(B\Ac)P(Ac), en el ejemplo P(B) = (0.8)(0.4)+(0.3)(0.6)=0.32+0.18=0.5
Ahora, P ( A \ B) =
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0.32 0.5
= 0.64
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Ejercicios III Parte 1. Suponga que P(A\B) = 0.4 y P8B) = 0.5. Determine las siguientes probabilidades: a. P( A ∩ B ) b. P( A c ∩ B ) 2. Suponga que P(A\B) = 0.2 P(A\B c)= 0.3 y P(B) = 0.8. Determine P(A). 3. Suponga que el 2 % de los rolos de tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de los rollos de nylon. De los rollos utilizados por un fabricante 70% son de algodón y 30% son de nylon. ¿Cuán es la probabilidad de que al seleccionar un rollo al azar éste sea defectuoso? 4. En la fabricación de un adhesivo químico el 3% de todos los lotes contienen materia prima que proviene de 2 embarques diferentes, lo que sucede cuando los tanques de almacenamiento son llenados, y lo que queda de un lote es insuficiente para llenar otro tanque. Sólo es necesario volver a procesar el 5% de los lotes con materia prima proveniente de un solo embarque, sin embargo, la viscosidad de los lotes que contienen materia prima de dos o más embarques es más difícil de controlar, y el 40% de estos lotes requieren procesamiento adicional para alcanzar la viscosidad requerida. Se definen los eventos A: Un lote contiene materia prima de dos embarques diferentes y B: El lote requiere procesamiento adicional. Determine las siguientes probabilidades: a. P(A) b. P(Ac) c. P(B\A) d. P(B\Ac) e. P( A ∩ B ) f. P( A ∩ B c ) g. P(B) 5.
La irregularidad en el corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas se las cuchillas se desgastan. Sólo el 1% de productos cortados con cuchillas nuevas presentan cortes irregulares, el 3% de los cortados con cuchillas de filo promedio presentan cortes irregulares y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas presentan cortes irregulares. Si el 25% de cuchillas usadas en el proceso de corte son nuevas, 60% tienen un filo promedio y el 15% de las cuchillas están desgastadas ¿Cuál es la proporción de productos que tendrán cortes irregulares?
6. En los últimos años las compañías de tarjetas de crédito han hecho un gran esfuerzo por lograr cuentas nuevas entre estudiantes universitarios. Suponga que una muestra aleatoria de 200 estudiantes de la ULA reveló la siguiente información acerca de si el estudiante posee tarjeta de crédito
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bancaria y/o tarjeta de crédito especial para viajes y libros. Se definen los eventos: A: el estudiante tiene tarjeta de crédito bancaria y B: el estudiante tiene tarjeta de crédito especial para viajes y libros. a. Suponga que un estudiante elegido al azar tiene tarjeta de crédito bancaria ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta de crédito especial para viajes y libros? b. Suponga que un estudiante elegido al azar tiene tarjeta de crédito especial para viajes y libros ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tarjeta de crédito bancaria? c. ¿Son los eventos A y B independientes? Justifique su respuesta. A c A Total
B 60 15
c
B 60 65
Total
7. Cada año se recopilan evaluaciones del desempeño de los automóviles nuevos durante los primeros 90 días de uso. Los autos se clasifican de la siguiente manera: A: si necesitan reparación durante la galanía (Si o No) y B: el país de origen (Estados Unidos u otro país). De acuerdo a la información recopilada, la probabilidad de que un auto nuevo necesite reparación durante la garantía es 0.04, la probabilidad de que el auto haya sido fabricado en Estados Unidos es 0.6 y la probabilidad de que necesite reparación en garantía y el carro haya sido fabricado en Estados Unidos es 0.025. Determine las siguientes probabilidades: a. P(A\B) b. P(B\A) c. P( A ∪ B ) d. P( A ∩ B c ) e. ¿Son los eventos A y B independientes? 8. Un ejecutivo de publicidad estudia los hábitos de televidentes casados (esposos y esposas) durante las horas pico que son las de mayor audiencia. Según datos anteriores el ejecutivo logró determinar que durante las horas pico los esposos ven televisión el 60% del tiempo, también determinó que cuando los esposos ven televisión el 40% del tiempo las esposas también ven televisión, cuando los esposos no ven televisión el 30% del tiempo las esposas si la están viendo. Determine las siguientes probabilidades: a. Si la esposa ve televisión, que el esposo también vea televisión b. Que la esposa ve televisión en las horas pico 9. La compañía Constructora Piedra Grande necesita determinar si debe participar en una licitación para un centro comercial. Años atrás, el principal competidor de Piedra Grande, Construcciones Mármol ha participado el 70% de las veces que se han presentado propuestas de licitación. Si Estadística I
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Construcciones Mármol no participa, la probabilidad de que la Constructora Piedra Grande gane la licitación es 0.5, pero si Mármol participa, la probabilidad de que la Constructora Piedra Grande gane la licitación es 0.25. Determine las siguientes probabilidades: a. Si la Constructora Piedra Grande gana la licitación ¡Cuál es la probabilidad de que Construcciones Mármol haya participado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Piedra Grande obtenga el trabajo? 10. El editor de una compañía que edita libros de texto quiere decidir si debe publicar un texto de estadística para administradores. El análisis de los libros publicados anteriormente indica que 10% fueron grandes éxitos, 20% de éxito moderado, 40% lograron recuperar los gastos de publicación e inversión y 30% fueron un fracaso. De la experiencia pasada, 99% de los grandes éxitos obtuvieron opiniones favorables, 70% de los éxitos moderados obtuvieron opiniones favorables, 40% de los textos que lograron recuperar gastos de inversión obtuvieron opiniones favorables y 20% de los fracasos recibieron esta opinión. a. ¿Qué proporción de libros tienen evaluaciones favorables? b. Si el libro propuesto tiene una opinión favorable ¿Cómo debe revisar el editor las probabilidades de los diferentes resultados para tomer en cuenta esta información?
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