Rafael Rivera Martín
TEMA 2: Variables aleatorias unidimensionales
TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES A)
OBJETIVOS: - Presentar el concepto de
y su distribución de probabilidad comparada con la variable estadística estudiada en Estadística Descriptiva - Distinguir los dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas - Se presenta el concepto de Función de Distribución (comparado con la distribución de frecuencias acumulada de una variable estadística) - Se estudian también la función de cuantía de la variable aleatoria discreta (comparado con la distribución de frecuencias de una variable estadística) y la función de densidad de la variable aleatoria continua (no tiene su equivalente en la variable estadística) Estadística 2º LECO Curso 2005-2006
variable aleatoria
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TEMA 2: Variables aleatorias unidimensionales
- Es fundamental comprender el significado y las propiedades de las tres funciones estudiadas y cómo se relacionan entre ellas - Finalmente se estudia la forma de obtener la distribución de probabilidades de una variable obtenida como transformación de otra cuya distribución de probabilidades es conocida
B) ÍNDICE: 1.- Introducción: variables estadísticas y aleatorias 2.- Definición y tipos de variables aleatorias 3.- Variables aleatorias discretas 3.1.- Función de cuantía 3.2.- Función de distribución 4.- Variables aleatorias continuas 4.1.- Función de densidad 4.2.- Función de distribución 5.- Transformaciones de variables aleatorias unidimensionales 5.1.- Caso discreto 5.2.- Caso continuo Estadística 2º LECO Curso 2005-2006
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1.- INTRODUCCIÓN: VARIABLES ESTADÍSTICAS Y VARIABLES ALEATORIAS. En el estudio descriptivo de la realidad se dispone de: variables estadísticas (v.e.) y su distribución de frecuencias (valores y frecuencias). Variable Frecuencia Frecuencia estadística relativa xi ni f = n n
Frecuencia acumulada
F = f + L + f
i
i
1
i
i
f = n n n f = n 1
F = f
2
F = f + f
x1
n1
x2
n2
M
M
M
xi
ni
f = n n
F = f + L + f
M
M
M
M
xk
nk
f = n n
F = f + L + f = 1
Totales
N
1
No tiene sentido
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1
1
2
2
1
2
M
i
i
i
k
k
1
k
1
1
i
k
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Por ejemplo: Variable Frecuencia Frecuencia estadística relativa xi ni n f = n i
Frecuencia acumulada
F = f + L + f i
1
i
i
-1 2 4 6
2 3 2 3
2/10 3/10 2/10 3/10
2/10 5/10 7/10 10/10 = 1
Totales
10
1
No tiene sentido
En el estudio de magnitudes aleatorias se dispone de: variables aleatorias (v.a.) y su distribución de probabilidad (valores y probabilidades).
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2.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS. Es una variable que toma valores numéricos determinados por los resultados de un experimento aleatorio. Es decir, traduce los elementos del espacio muestral E, a números reales. Una variable aleatoria X es una función que asigna a cada resultado posible de un experimento aleatorio un número real. Esto es, una función del espacio muestral E en ℜ: X:E →ℜ ω a X (ω ) = x
Observaciones: - Una variable aleatoria se denota mediante las siglas v.a. - Una v.a. se escribe en mayúsculas ( X), mientras que los posibles valores que puede tomar se escriben en minúsculas (x)
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Este cambio de “letras” (E) a “números” (reales) debe conservar la estructura de probabilidad subyacente. O expresado más rigurosamente: es necesario preservar en la transformación la estructura del espacio de probabilidad. A través de la v.a. se pasa de un espacio de probabilidad a otro nuevo denominado distribución de probabilidad. La estructura de la distribución de probabilidad es idéntica a la del espacio básico. Todas las definiciones y proposiciones se trasladan a la v.a.
Ejemplo: Si lanzamos dos monedas al aire y definimos la v.a. X = “número de caras obtenidas”
X:
→ ℜ E Probabilidad {cara, cara} a X = 2 P(X = 2) = 1 4 {cara, cruz} a X = 1 P(X = 1) = 1 4 {cruz, cara} a X = 1 P(X = 1) = 1 4 {cruz, cruz} a X = 0 P(X = 0) = 1 4
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Tipos de v.a.: En función de los valores que pueda tomar una v.a. podemos distinguir dos tipos ... (1) DISCRETAS: Son aquellas en las que el conjunto de valores que pueden tomar es finito o infinito numerable. Ejemplos: Nº de caras al tirar dos monedas Nº de aprobados en una clase de 200 Nº clientes en la cola de un banco, ... (2) CONTINUAS: Son aquellas en las que el conjunto de valores que pueden tomar es infinito no numerable (un intervalo real). Ejemplos: Altura Peso Notas de un examen Nivel de azúcar en sangre Gastos o beneficios de una empresa
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3.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. Sea X una v.a. DISCRETA que puede tomar los valores
{x , x , 1
2
K,
x , K} i
(nº finito ó infinito numerable de valores)
3.1.- Función de cuantía. La función de cuantía (f.c.) es la que nos da la probabilidad de los valores de la v.a. X, esto es, nos da las def
probabilidades en cada punto: p(x ) =P(X = x ) i
i
Para que una f.c. esté bien definida deben verificarse: (1) 0 ≤ p(x ) ≤ 1 i
∀x
i
(2) ∑ p(x ) = 1 i
i
(3) p(x) = 0
∀x ∉ {x , x , K , x , K} 1
2
i
En el caso finito suele venir dada en forma de tabla:
xi x1 x2 ... xn P(xi) p(x1) p(x2) ... p(xn)
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Se puede usar para calcular probabilidades no elementales: P(X ∈ A) = ∑ p(x ) i
x i ∈A
Su representación gráfica se denomina diagrama de barras:
p(xi)
p(xn)
p(x1) p(x2) x1 x2
...
xn
xi
3.2.- Función de distribución. La función de distribución ( F.d.) es la que nos proporcionada las probabilidades acumuladas hasta un def
punto (incluido): F(x) =P(X ≤ x) = ∑ p(x) x ≤ xi
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Propiedades de la F.d. (caso discreto): (1) Generales: 0 ≤ F(x) ≤ 1 , F(−∞) = 0 y F(∞) = 1 (2) F(x) es escalonada y creciente (3) F(x) es continua por la derecha: F(x ) = F(x ) +
i
i
(4) F(x) es discontinua por la izquierda:
F(x ) = F(x ) −
i −1
i
(5) Pasar de F(x) a p(x):
p(x ) = P(X = x ) = F(x ) − F(x ) i
i
i −1
i
SUMAR
→ p(x) F(x) ← RESTAR
(6) Uso para el cálculo de probabilidades: • P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) • P(a < X < b) = F(b ) − F(a) −
• P(a ≤ X < b) = F(b ) − F(a ) −
−
• P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a ) −
• P(X = a) = F(a) − F(a ) −
¡¡Cuidado con las igualdades!! Estadística 2º LECO Curso 2005-2006
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Su representación gráfica es un diagrama de escalera:
F(xi) 1 N
0 x1
x2
x3
...
xn-1 xn
xi
La distribución de probabilidades de una v.a. discreta se puede conocer bien a través de su función de cuantía, o bien a través de su función de distribución.
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4.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. Sea X una v.a. CONTINUA que puede tomar todos los valores reales desde − ∞ a ∞ (infinitos valores)
4.1.- Función de densidad. La función de densidad ( f.d.) es una función f(x) definida en (−∞, ∞) que debe verificar:
f(x) ≥ 0 y
∞
∫ f(x) dx = 1
−∞
Su representación gráfica es una función positiva (sobre el eje de abscisas) que encierra un área de 1 con el eje de abscisas. Área = 1 f x
x
Se usa para calcular probabilidades: P(X ∈ A) = ∫ f(x) dx A
b
En particular: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ [a, b]) = ∫ f(x) dx a
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¡¡IMPORTANTE!! En v.a. continuas toda probabilidad a
puntual SIEMPRE vale cero, esto es: P(X = a) = ∫ f(x)dx = 0 a
4.2.- Función de distribución. La función de distribución ( F.d.) es la que nos proporcionada las probabilidades acumuladas hasta un def
x
punto (incluido): F(x) =P(X ≤ x) = ∫ f(t) dt −∞
Propiedades de la F.d. (caso continuo): (1) Generales: 0 ≤ F(x) ≤ 1 , F(−∞) = 0 y F(∞) = 1 (2) F(x) es continua y creciente
dF(x) (3) Pasar de F(x) a f(x): f(x) = F′(x) = dx INTEGRAR
→ f(x) F(x) ← DERIVAR
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = ¡¡NO hay que tener (4) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = cuidado con las b
= ∫ f(x) dx = F(b) − F(a)
igualdades!!
a
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La distribución de probabilidades de una v.a. continua se puede conocer bien a través de su función de densidad, o bien a través de su función de distribución.
5.- TRANSFORMACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES. 5.1.- Caso discreto. Sea X = { x , x , 1
2
K,
x } una v.a. discreta con f.c. n
p(x) conocida Y = h(X) una transformación sobre la v.a. X (cambio de variable) Queremos calcular la f.c. de la v.a. Y: ¿p(y)? Procedimiento:
xi x1 X2 ... xn P(xi) p(x1) p(x2) ... p(xn)
Cambio de variable de X a Y = h(X)
yi = h(xi) y1 y2 ... yn p(yi)= p(xi) P(x1) p(x2) ... p(xn) Observación: Puede que algunas de las nuevas y i coincidan y puedan agruparse en una sola, sumando sus probabilidades correspondientes Estadística 2º LECO Curso 2005-2006
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5.2.- Caso continuo. Sea X v.a. continua con f.d. f(x) conocida Y = h(X) una transformación sobre la v.a. X (cambio de variable) Queremos calcular la f.d. de la v.a. Y: ¿g(y)? Procedimiento: (1) Partimos de “y” puesta en función de “x” a través de la función “h” ⇒ y = y(x) (2) Despejamos la “x” en función de “y” a través de la función “h-1” ⇒ x = x(y) (3) Derivamos esta función respecto a “y”:
d [x(y)] d dx = [x(y)] = = x ′(y) dy dy dy (4) La f.d. de la v.a. Y viene dada por:
dx g(y) = f [x(y)]⋅ dy
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Valor absoluto
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Observaciones: - El paso (2) sólo es posible si la función y = h(x) es invertible, para ello basta con que sea monótona (creciente o decreciente) - ¡¡IMPORTANTE!!: No debemos olvidar calcular el rango de variación de las “y” a partir del rango de variación de las “x”
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