OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 2
TEMA 2: VARIABLES ALEATORIAS. VARIABLES DISCRETAS. FUNC FUNCIÓ IÓN N DE PROB PROBAB ABIL ILID IDAD AD.. VARIA ARIABL BLES ES CO CONT NTIN INUA UAS. S. FUNCIÓN DE DENSIDAD. PROPIEDADES. VARIABLES ALEATORIAS. ALEATORIAS. Sea (,
un esa!"# $e %#&a&"'"$a$ $#n$e: es e' esa!"# ues%a' A 'a -*'+e&%a P : A -, 'a un!"/n $e %#&a&"'"$a$ A , P)
A
P(A )
Una 0a%"a&'e a'ea#%"a es una %e'a!"/n un!"#na' 1ue n#s a!e asa% $e' esa!"# ues%a' %a&a3a%, es $e!"%, !a$a en/en# a'ea#%"# se%* a 'a %e!a %ea' $#n$e es *s *!"' %a&a3a%, #$e'"4a$# a %a05s $e una 0a%"a&'e a'ea#%"a. Pa%a e''# "n%#$u!"#s e' !#n!e# $e 6*'+e&%a 6*'+e&%a $e B#%e' B (es 7n"!a) 1ue es 'a 8n"a -*'+e&%a s#&%e 1ue !#n"ene a '#s "ne%0a'#s $e 'a #%a , 9 , !#n 9 . D"!# $e #%a #%a 'a -*'+e&%a +ene%a$a #% es#s "ne%0a'#s, es $e!"%, 'a -*'+e&%a 1ue !#n"ene es#s "ne%0a'#s, 'as un"#nes nue%a&'es $e "ne%0a'#s 'a a%e 0a!8a $e . De: Da$# un esa!"# $e %#&a&"'"$a$ (, a'" a'"!a !a!" !"/n /n : (,
(B)
A
A
) (, B )
A , P)
, ''aa#s 0a%"a&'e a'ea#%"a a #$a
a' 1u 1ue (B )
B B . Basa 0e%'# a%a '#s +ene%a$#%es $e
A
, es $e!" $e!"%%,
B , es $e!"%:
, 9 <= > ( = ) 9; < 9; A Las 0a%"a&'es a'ea#%"as se %e%esenan #% 'e%as +%"e+as (, ,) sus 0a'#%es #% 'e%as 'e%as 'a"nas 'a"nas 9 , , . N# #$as #$as 'as a'"!a!" a'"!a!"#ne #ness s#n 0a%"a&'e 0a%"a&'ess a'ea# a'ea#%"a %"ass e%# e%# s" A ( ) (a%es $e ) , !ua'1u"e% a'"!a!"/n es 0a%"a&'e a'ea#%"a. S" @ ? s#n 0.a ! !e, en#n!es : @ !, !, @ ?, @ 6 , @ 2 , @ ? &. Se ue$e +ene%a'"4a% a%a *s $e $#s 0.a.
Probabilidad Probabilidad induida: T!or!"a: Da$# un esa!"# %#&a&"'8s"!# (, A , P) una 0a%"a&'e a'ea#%"a : (, A , P ) (, B ) e9"se una %#&a&"'"$a$ P 1ue s/'# $een$e $e (,
A
, P)
$e"n"$a #%:
P ( B) P<= > ( = ) B;
B B a' 1ue 'a e%na (, B , P ) es un esa!"# %#&a&"'8s"!#. P ( B)
D!#inii$n: La $"s%"&u!"/n $"s%"&u!"/n $e %#&a&"'"$ %#&a&"'"$a$ a$ $e 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a a'ea#%"a 0"ene $a$a #% P , 1ue se $en#"na $en#"na %#&a&"'"$a$ %#&a&"'"$a$ "n$u!"$a "n$u!"$a s#&%e e' esa!"# esa!"# (, B ) #% esa!"# %#&a&"'8s"!# (, A , P) 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a .
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Funi$n d! di%&ribui$n: a#s a !#ns%u"% una un!"/n nu5%"!a 1ue %esue #$a 'a "n#%a!"/n 1ue es !aa4 $e %ans""% 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a.
D!#inii$n: Da$# e' esa!"# %#&a&"'8s"!# (, A , P) 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a se $en#"na un!"/n $e $"s%"&u!"/n (.D.) $e 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a a 'a un!"/n : 1ue as"+na a !a$a 9 'a %#&a&"'"$a$ $e 1ue 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a #e !"e%# 0a'#% 9 !ua'1u"e%a $e '#s 1ue se a''en a su "41u"e%$a.
B( )9 P , 9 P , 9 P<= > (=) 9 P 9
9
Ta&"5n se $en#"na un!"/n $e $"s%"&u!"/n a!uu'a"0a. Se $e"ne 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n a%a #$a 0a%"a&'e a'ea#%"a "n$een$"eneene s" es $"s!%ea, !#n"nua # "9a. La un!"/n $e $"s%"&u!"/n ( 9 ) P( 9 ) %##%!"#na 'a !an"$a$ $e asa 1ue a en e' un# 9 a su "41u"e%$a asa e' e9%e# "ne%"#% $e' !a# $e 0a%"a!"/n $e 'a 0a%"a&'e. S" 'a 0&'e es* $e"n"$a en e' "ne%0a'# I, en#n!es: (9) P ( 9 ) a%a #$# 9 I D#s 0.a es*n "$5n"!aene $"s%"&u8$as s" "enen 'a "sa $"s%"&u!"/n:
P (B) P ( B)
B
B
Pro'i!dad!%:
9
( )
- ( 9 )
-
. 0a'#%a en%e - , #% se% una %#&a&"'"$a$.
( )
P <= > ( = ) ; P() - (N# a asa a 'a
"41u"e%$a $e ). ( ) P , P () () S" 9 9 2 ( 9 ) ( 9 2 ) es #n/#na n# $e!%e!"ene. Sea 9 !## 9 9 2 9 2 9 , (9 2 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) P( 9 ) P( 9 ) ( 9 ) ( 9 2 ) P ( 9 9 ) #% se% %#&. - < 9 ; < 9 ; <9 9 ; $"s3un#s x h x ,
P ( 9 ) P ( 9 P( 9 9 ) ( 9 ) ( 9 )
( 9 )
'" (9 ) -
es !#n"nua #% 'a $e%e!a
2
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" '" ( 9 ) '" P ( 9 ) '" P , 9 P 9 , 9 n ! n " P , 9 '" P 9, 9 ( 9 ) P() ( 9 ) n! n
O&se%0a!"/n: ( 9 ) ( 9
Pue$e
se%
) P( 9 9 ) .
$"s!#n"nua
#%
'a
"41u"e%$a
s"
a!"en$# - , e' "ne%0a'# 9 , 9 se !#n0"e%e en e' un# 9 en 5' ue$e a&e% %#&a&"'"$a$ (#% es# se 0an a !'as""!a% 'as 0.a. en $"s!%eas !#n"nuas) s" a asa $e %#&a&"'"$a$ n# es !#n"nua #% 'a "41u"e%$a. En#n!es: es !#n"nua # es !#n"nua #% 'a "41u"e%$a.
Cara&!ri(ai$n #.D: (#%a $e"n"!"/n). : -,
Se $"!e 1ue
es una un!"/n $e $"s%"&u!"/n s" se 0e%""!an 'as %#"e$a$es:
()
( ) -
es #n/#na n# $e!%e!"ene es !#n"nua #% 'a $e%e!a
Una "sa un!"/n $e $"s%"&u!"/n ue$e se%'# $e *s $e una 0a%"a&'e, en#n!es $#s # *s 0a%"a&'es a'ea#%"as es*n "$5n"!aene $"s%"&u"$as s" "enen 'a "sa .D.
T!or!"a (P%#"e$a$es $"%"+"$as a' !*'!u'# $e %#&a&"'"$a$es):
P (
S"
9 ) ( 9 )
9 9 2 P( 9 9 2 ) ( 9 2 ) ( 9 )
P ( 9 )
( 9 ) P( 9 ) P( 9 9 2 ) ( 9 2 ) ( 9 ) P( 9 ) , 9 9 2 P( 9 9 2 ) ( 9 2 ) (9 ) P( 9 2 ) P( 9 9 2 ) (9 2 ) ( 9 ) P( 9 ) P( 9 2 )
VARIABLES DISCRETAS. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD D!#inii$n: La 0a%"a&'e a'ea#%"a es $"s!%ea ( "ene una $"s%"&u!"/n $"s!%ea $e %#&a&"'"$a$) s" s/'# #a un n7e%# "n"# # "n"n"# nue%a&'e $e 0a'#%es $"s"n#s. Es $e!"%, s" e9"se un !#n3un# nue%a&'e $ a' 1ue P $ #% an# P % $ - , # $"!# $e #%a #%a 1ue s/'# ue$a #a% '#s 0a'#%es $e $. D!#inii$n: Su#n+a#s una 0a%"a&'e a'ea#%"a $"s!%ea !#n $ <9 " ; $#n$e 9 , 9 2 9 " se $e"ne #% un!"/n $e %#&a&"'"$a$ # un!"/n $e !uan8a a 'a a'"!a!"/n: . : 9"
. ( 9 " ) P 9 " "
F
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1ue es* $e"n"$a en #$# $e , es $e!"%, a%a 9 % $ .
( 9 )
- a%a !ua'1u"e% 9 1ue n# sea un 0a'#%
Pro'i!dad!%:
( 9 ) "
- (#% se% %#&a&"'"$a$)
9 $
& . ( 9 ) & P 9 P 9 P $ ,
9
9" $
P B & P 9" & " B<9" ; 9"$"s3un)#s
9" 9"$
Lue+# 'a un!"/n $e %#&a&"'"$a$ # !uan8a 0"ene $ee%"na$a #% 'as %#&a&"'"$a$es P 9 " " !#n 9 $ (a&"5n se $en#"na asa $e %#&a&"'"$a$). Se %e%esena un $"a+%aa $e &a%%as.
D!#inii$n: L'aa#s un!"/n $e $"s%"&u!"/n $e una 0a%"a&'e a'ea#%"a $"s!%ea , a 'a un!"/n : 1ue as"+na a !a$a 9 'a %#&a&"'"$a$ $e 1ue #e 0a'#%es en#%es e "+ua'es $e 9. C## 'a %#&a&"'"$a$ s/'# #a 0a'#%es $"s"n#s $e - en '#s un#s $e $ (nue%a&'e) en#n!es: 9
P 9
& P 9 " & " !#n 9 " $
9" 9
9" 9
R!'r!%!n&ai$n d! la #uni$n d! di%&ribui$n:
S"e%e es !#n"nua #% 'a $e%e!a. ( 9 " ) (9 " '" P 9 " 9 " P 9 " ' Sea 9 " $ '" 9 $ La un!"/n $e $"s%"&u!"/n es $"s!#n"nua #% 'a "41u"e%$a ( #% an# $"s!#n"nua) en '#s un#s 1ue #a 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a $#n$e 'a %#&a&"'"$a$ es $"s"na $e !e%#. La %e%esena!"/n $e 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n es una un!"/n es!a'#na$a: "
&
"
$ <9 , 9 2 , 9 F , 9 H , 9 ;
Lue+# s"
2 F H 2 F
9 G 9 9 G
( 9 )
2
& " & " ()
9 " 9
9"
x,
x 2 xF
x H xI
A a%"% $e es# #$e#s $a% #%a $e"n"!"/n $e una 0a%"a&'e $"s!%ea (# !#n $"s%"&u!"/n $e %#&a&"'"$a$ $"s!%ea): S" 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n es es!a'#na$a, es $e!"%, !#nsane en !a$a "ne%0a'# 9 G , 9 G sa'0# en un n7e%# "n"# # "n"n"# nue%a&'e $e un#s $#n$e %esena
H
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$"s!#n"nu"$a$es # Jsa'#sK, se $"!e 1ue es una 0a%"a&'e a'ea#%"a $"s!%ea # 1ue "ene una $"s%"&u!"/n $e %#&a&"'"$a$ $e "# $"s!%e#. "#s 1ue s" 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a es $"s!%ea #an$# 0a'#%es en $ <9 " ; !#n %#&a&"'"$a$ " en#n!es: " - i
& " "
Re!8%#!aene !ua'1u"e% un!"/n %ea' $e"n"$a s#&%e un !#n3un# "n# / "n"n"# nue%a&'e $e n7e%#s %ea'es <9 " ; 1ue as"+na 0a'#%es %ese!"0#s <1 " ; 1ue !u'e: 1 " - i
&" 1 "
es 'a un!"/n $e %#&a&"'"$a$ $e una 0a%"a&'e a'ea#%"a $"s!%ea.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. FUNCIÓN DE DENSIDAD: D!#inii$n ): Una 0a%"a&'e a'ea#%"a es !#n"nua s" #a '#s "n"n"#s 0a'#%es $e un "ne%0a'#. D!#inii$n 2: Una un!"/n $e $"s%"&u!"/n ( 9 ) es a&s#'uaene !#n"nua s" e9"se una un!"/n n# ne+a"0a ( 9 ) , s"en$# ( 9 ) - a' 1ue 9 : 9
B( 9 )
(
. ( ) $
(n# "ene #% 1ue se% 7n"!a ues a' se% !## 0e%e#s P 9 - se ue$e #$""!a% en un n7e%# "n"# / "n"n"# nue%a&'e $e un#s !#n %#&a&"'"$a$ nu'a s"n 1ue !a&"e 'a asa #a' $e %#&a&"'"$a$ ). %e!"&e e' n#&%e $e un!"/n $e $ens"$a$ as#!"a$a a 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n. es una 0a%"a&'e a'ea#%"a !#n"nua (a&s#'uaene !#n"nua aun1ue 'a ''aa%e#s !#n"nua) s" su un!"/n $e $ens"$a$ as#!"a$a es a&s#'uaene !#n"nua. e%e#s 1ue es# s"+n""!a 1ue es !#n"nua $e%"0a&'e !#n $e%"0a$a !#n"nua ( )( 9 ) ( 9 ) ) en #$#s '#s un#s $e !ua'1u"e% "ne%0a'# "n"#, !#n 'a #s"&'e e9!e!"/n $e un n7e%# "n"# / "n"n"# nue%a&'e $e un#s.
Pro'i!dad!%:
'" (9) (9 2) -
!#n"nua, #% an# 22-
. Basa 0e% 1ue '# es #% 'a
"41u"e%$a, a 1ue #% 'a $e%e!a s"e%e '# es. 9
9
De:
( 9) ( 9
)
9
* ( 9 - ) ( ( )$ ( ( )$ ( ()$ T.La+%an+e
9
Sea
x -
!#n x h x - x . ( 9 - )
OPOSICIONES I.N.E
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9
9-
9
&ase * a'u%a 2 * . (9 - ) Á%ea $e' %ae!"# 2
'" ( 9 ) ( 9 )
-
. (9- )
'" * ( 9 - )
-
)( 9 )
S" es !#n"nua en 9 es $e%"0a&'e en 9 9
De:
'" -
( 9
'" -
) ( 9 )
* ( 9 )
9
9
( ( )$ ( ( )$
'"
-
( 9 )
( ( )$
'"
-
9
+
T.La+%an+e !#n -
( 9 )
9 9 9
.!#n
O&se%0a!"/n: o o
es una %#&a&"'"$a$ e%# ( 9 ) n#. S"n e&a%+# (9 )$9 (e'een# $"e%en!"a' $e %#&a&"'"$a$ / %#&a&"'"$a$ e'eena') s8 es una %#&a&"'"$a$ ('a $e' su!es# <9 9 $9; ) P( 9 9 $9 ) 9 $9 ( 9 )
P 9
- ,
9 'a %#&a&"'"$a$ $e un un# es !e%#.
/, . P 9 2 B 9 2,-
P 9 2 B9 2 De:
9 2 9 2
T2.In!%."n")#s 2 * )(0) 9 209 2
P 9 '" P 9 9 '" 2 * )(0) -
-
N#a: C#n es# 'as %#"e$a$es e9uesas a%a e' !*'!u'# $e %#&a&"'"$a$es se s"'""!an:
OPOSICIONES I.N.E
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92
P 9
92
( ( )$ (9 2 ) (9 )
9
P 9 9 2 P 9 9 2 P 9 2
De:
(9 2 ) ( 9 )
92
9
92
9
( ()$ ( ()$ ( ( )$
( . ( )$
( 9 2 ) ( 9 )
-
,
ues ( . ( )$ B() ,
D!#inii$n: D#s 0a%"a&'es a'ea#%"as es*n "$5n"!aene $"s%"&u"$as s" a%a #$# su!es# S !#7n a a&as se 0e%""!a P S P S . En e' !as# !#n"nu#, s" #a#s !## su!es# S e' "ne%0a'# , 9 , 'a "+ua'$a$ se e9%esa: ( 9) ( 9) , 9 P , 9 P , 9 , x
CARACTERI*ACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD #+,-: ( 9 ) - ,
9 (a 1ue 'a %#&a&"'"$a$ n# ue$e se% ne+a"0a).
( . ( )$
,
(e' *%ea &a3# 'a un!"/n $e $ens"$a$ en #$# e' !a# $e
0a%"a!"/n $e&e se% "+ua' a 'a un"$a$). Esas $#s !#n$"!"#nes $ee%"nan !uan$# una un!"/n +( 9 ) n# ne+a"0a en un "ne%0a'# $a$# sea un!"/n $e $ens"$a$. En ese !as# $e&e#s "n%#$u!"% una !#nsane G.
G *
( + ( 9 )$9
Sea
+ : una
nue%a&'e !#n
,
G
,
'a .$. se%* + ( 9 ) $9 (
un!"/n !#n"nua sa'0# a '# su# un !#n3un# "n"# / "n"n"#
+( 9 )
G * + ( 9 )
- , a' 1ue ( +( 9 )$9
,
+ es 'a un!"/n $e $ens"$a$ $e una
0a%"a&'e a'ea#%"a !#n"nua. 9
De:
M(9)
$e.
( +( )$ . Se !#%ue&a 1ue es un!"/n $e $ens"$a$ .
E' e#%ea un$aena' $e' C*'!u'# Ine+%a' $"!e a$e*s 1ue es !#n"nua en #$as a%es $e%"0a&'e (sa'0# en un n7e%# "n"# / "n"n"# nue%a&'e) 1ue su $e%"0a$a es %e!"saene + 1ue es #% an# una un!"/n $e $ens"$a$.
PROCEDIMIENTOS PARA OBTENER LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO.
A a%"% $e 'a un!"/n $"s%"&u!"/n:
P
a (a ) . O%$ena$a $e en e' un# a.
A a%"% $e 'a un!"/n $ens"$a$:
P
a
a
( . ( )$ . E9%esa$a e$"ane un
*%ea. O&se%0a!"/n: (a%"a&'es M"9as)
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N# es %e!uene, aun1ue es #s"&'e en!#n%a% 0a%"a&'es a'ea#%"as !#n un !a# $e 0a%"a!"/n $#n$e en un a%e $e 5' 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a es !#n"nua en #%a es $"s!%ea. En ese !as# 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n se%*: ( 9 ) 1 ( 9 ) 1 2 ( 9 ) , - 1
!#n :
un!"/n $e $"s%"&u!"/n $e 'a a%e !#n"nua 2 ( 9 ) un!"/n $e $"s%"&u!"/n $e 'a a%e $"s!%ea. ( 9 )
9
( 9 )
1
( ( )$ 1 9& 9 2 (9 " )
( 9 )
$#n$e:
"
) ( 9 )
. 2 ( 9 " ) P 9 " 2 ( 9 " ) 2 (9 " )
!n!rali(ai$n: e#s $"e%en!"a$# e' !as# $e 'as $"s%"&u!"#nes $"s!%eas $e' $e 'as !#n"nuas. As !#n!e#s s#n un""!a&'es s" %e!u%%"#s a' !#n!e# $e "ne+%a' $e S"e'3es. 9
P
S"
(u )
9 B( 9 )
es !#n"nua en#n!es 'a "ne+%a' $e S"e'3es se %e$u!e a una "ne+%a' $e 9
R"eann:
S" ( u )
(
$B( u )
(
9
$B ( u )
( . (u )$u
es un!"/n es!a'#na$a, en#n!es 'a "ne+%a' $e S"e'3es se %e$u!e a un 9
sua#%"#:
(
9
$(u )
& " !#n " P 9 " (sa'# $e 'a un!"/n). "
VARIABLES SIM/TRICAS: Una 0a%"a&'e a'ea#%"a es s"5%"!a %ese!# a un un# ! s" a%a 9 : P ! 9
Cas# $"s!%e#:
! 9
Cas# !#n"nu#:
! 9
P ! 9
! 9 P ! 9 ! 9
, a%a 9 !#n '# 1ue 'a un!"/n $e $ens"$a$
es: (! 9 ) (! 9 ) , a%a 9
S" ! - en#n!es es s"5%"!a a !e%# s" $"%e#s 1ue ( 9 ) es s"5%"!a. Obs:
( 9 )
( 9 ) / '# 1ue es '# "s#,
FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA: Sea una 0a%"a&'e a'ea#%"a en e' esa!"# $e %#&a&"'"$a$ (, A , P) !#n un!"/n $e $"s%"&u!"/n ( 9 ) . "n$u!e #%# esa!"# (, B , P ) . T#$a a'"!a!"/n : $e"n"%* una nue0a 0a%"a&'e a'ea#%"a ()
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(, A , P )
(, B )
h
( ) () es una 0a%"a&'e a'ea#%"a $e (, A , P) (, B ) #% se% un!"/n $e 'a 0a%"a&'e a'ea#%"a su esa!"# $e %#&a&"'"$a$ $een$e $e' $e , $e ( 9 ) su
!a# $e 0a%"a!"/n ( A) :
( B)
0en$%* $ee%"na$# #% e' !a# $e 0a%"a!"/n $e 'a 0a%"a&'e
B < >
( 9 ), 9 A;
Que%e#s !a%a!e%"4a% 'a %#&a&"'"$a$ (.D .$) $e 'a 0a%"a&'e a %a05s $e 'a .D $e 'a 0a%"a&'e . Sea M( ) 'a un!"/n $e $"s%"&u!"/n $e :
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OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 2
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