MAGNITUDES PROPORCIONALES RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades. Simbólicamente:
a:b
ó
Se lee:
“a” es a “b”
Donde:
a antecedente b consecuente
a b
; ∀ a,b ∈ |R, b ≠ o
PROPORCIÓN: Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Simbólicamente:
a=c b d
Se lee:
“a” es a “b” como “c” es a “d”
Donde:
ayd byc
términos extremos términos medios
Propiedad Fundamental de las proporciones: proporciones: En toda proporción geométrica se cumple que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. a=c b d
axd=bxc
Ejemplo: 6= 8 9 12
2= 7 4 14
6 x 12 = 9 x 8 72 = 72
2 x 14 = 4 x 7 2 8 = 28
Propiedades de la Proporción Geométrica 1. La suma suma o resta de los los dos términ términos os de la primer primera a razón es a su conse consecue cuente nte como como la suma suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente. Sea la proporción geométrica:
a=c b d
a+b=c+d b d a–b=c–d b d
Ejemplo: Sea la proporción geométrica:
8=6 4 3
8+4=6–3 4 3
12 = 9 3 x 12 = 4 x 9 4 3
8–4=6–3 4 3
4=33x4=4x3 4 3
2. La suma o resta resta de los dos términ términos os de la primera primera razón razón es a su antecede antecedente nte como como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su antecedente. Sea la proporción geométrica:
a=c b d
a+b=c+d a c
Ejemplo: Sea la proporción geométrica:
8=6 4 3
a–b=c–d a c
8+4=6–3 4 3
12 = 9 6 x 12 = 8 x 9 8 6
8–4=6–3 4 3
4=36x4=8x3 8 6
3. En toda toda proporci proporción ón geométri geométrica ca la suma suma o resta de los antece anteceden dentes tes es a la suma o resta resta de los consecuentes como un antecedente es a su consecuente. Sea la proporción geométrica:
a=c b d
a+c= a b+d b
Ejemplo: Sea la proporción geométrica:
8 =6 4 3
a–c= a b–d b
8+6=8 4+3 4
8–4=8 4–3 4
14 = 8 4 x 14 = 7 x 8 7 4
2=84x2=1x8 1 4
4. En toda toda prop propor orci ción ón geom geomét étri rica ca la suma suma de los dos dos térm términ inos os de la prim primer era a razó razón n es a su diferencia, como la suma de los dos términos de la segunda razón es a su diferencia. Sea la proporción geométrica:
Ejemplo: Sea la proporción geométrica:
a=c 9 b d
a + b =c + d
8=6
8+4=6+3
a–b c–d
4 3
8–4 6–3
12 = 9 3 x 12 = 4 x 4
3
5. En toda proporci proporción ón geométrica geométrica la suma de los antecedent antecedentes es es a su su diferencia diferencia como como la suma suma de los consecuentes es a su diferencia: Sea la proporción geométrica:
Ejemplo: Sea la proporción geométrica:
a=c 7 b d
a + b =b + d
8=6
8+4 =4+3
a–c b–d
4 3
8–6
4–3
14 = 7 1 x 14 = 2 x 2
1
TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA 1) Proporción Geométrica continua: Cuando los términos medios son iguales a = b b c Donde:
“b” es la media proporcional o media geométrica entre “a” y “c” “c” es la tercera proporcional de “a” y “b”
Ejemplo: Hallar la media proporcional entre 36 y 64 Resolución: Formamos una proporción geométrica continua:
36 = x x 64
Aplicando la propiedad : Producto de extremos es igual al producto de medios.
36 x 64 = x . x 36 x 64 = x2 36 × 64 = x 6x8 = x 48 = x ∴ La media proporcional de 36 y 64 es 48.
Ejemplo: Hallar la tercera proporcional de 16 y 20 Resolución: Formamos una proporción geométrica continua:
16 = 20 20 x
Aplicando la propiedad: 16 . x = 20 . 20 x = 20 x 20 16 x = 25 ∴ La tercera proporcional de 16 y 20 es 25.
2) Proporción geométrica discreta: Cuando los términos medios son diferentes a=c b d Donde: “d” es la cuarta proporcional de “a” ; “b” y “c”
Ejemplo: Hallar la cuarta proporcional de 30; 6; 20 Resolución: Formamos una proporción geométrica discreta 30 = 20 6 x 30 . x = 20 . 6 x = 20 x 6 30
x=4 ∴ La cuarta parte proporcional de 30; 6 y 20 es 4
PRACTICA PARA LA CLASE 1) Aplica la propiedad fundamental para calcular el término que falta en cada una de las siguientes proporciones. a)
2 3
= 10 x
c)
x = 18 7 42
b)
4 x
=
d)
0,2 = 0,8 x 5
6 15
2) Halla los valores de “x” e “y” en las siguientes proporciones. a)
x = y 3 4
;
x + y = 28
b)
x y
= 2 7
;
x + y = 45
c)
4 x
= 5 y
;
y – x = 20
3) Dos números están en relación de 2 a 7. Si la suma de dichos números es 72, determinar el mayor de ellos.
4) La suma de dos números es 90 y su diferencia es 18. Hallar la razón geométrica entre dichos números.
5) La diferencia de los cuadrados de dos números es 640 y la razón de dichos números es 7/3. ¿Cuáles son esos números?
6) En una fiesta infantil, por cada 2 niños hay 5 niñas. Luego se retiran 6 niños y 10 niñas, entonces por cada 3 niños hay 8 niñas. Hallar el número de niños y niñas que habían al inicio.
7) La media proporcional de 4 y 25 es “x”; hallar la cuarta proporcional de 5; 25 y x
8) La suma de tres números es 1880; el primero es al segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero como 3 es a 4. Hallar el tercero.
TAREA DOMICILIARIA Ejercicio 1. Hallar el valor de “x” en cada una de las siguientes proporciones: 1) 4 = 10 6 x
9) x = 9 6 2
2) x = 7 4 2
10) 2 = x 14 7
3) 5 = 1 x 2
11) 0,4 = x 0,6 12
4) 12 = x 9 3
12) 0,3 = 1 x 0,6
5) 10 = 15 8 x
13) 0,5 = 3 x 12
6) 14 = x 6 9
14) 0,5 = 3 x 12
7) x = 70 5 10
15) x = 4 3 6
8) 4 = 1 x 3
16) 9 = 6 x 4
Ejercicio 2. Resuelve: 1) x + 1 = 6 x+2
5) b + 2 = b + 1 b+5 b+3
2)
x =1 x+3
6) n – 4 = n – 6 n+2 n–4
3)
y–1 = y + 1 2y + 4 2y + 11
7) m – 1 = 2m m + 1 2m + 5
4)
a = a+2 a+2 a+5
8) z – 1 = z + 1 z+2 z+7
Ejercicio 3. Hallar a y b, si: 1) a = b ; a + b = 25 2 3 2) a = 1 ; a + b = 28 b 3 3) a = 2 ; b – a = 36 b 5 4) a = b ; a – b = 5 4 3 5) 7 = 4 ; a + b = 88 a b
6) 2 = 9 ; b – a = 28 a b 7) a = 1 ; b – a = 30 b 3 8) a = 2 ; a2 + b2 = 45 b 9) | = b ; a2 – b2 = 36 5 4
SERIES DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES 1° Propiedad: “La razón geométrica entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes posee un valor igual a la constante de proporcionalidad de dicha serie” Si:
a1 = a2 = a3 =... an b1 b2 b3 bn
= k
a1 + a2 + a3 + ... + an = k b1 + b2 + b3 + … + bn
Ejemplo: Si:
4 = 6 = 8 = 12 = 2 2 3 4 6
4 + 6 + 8 + 12 = 30 = 2 2 + 3 + 4 + 6 15
2° Propiedad: “La razón geométrica entre el producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes posee un valor igual a la constante de proporcionalidad elevada a un exponente igual al número de razones que conforman la serie” Si:
b1 . b2 . b3 ..... bn a1 . a2 . a3 ..... bn
a1 = a2 = a3 =... an = k b1 b2 a3 bn
=
kn
Ejemplo: Si:
2=3= 1=1 4 6 8 2
2x3x4 4x6x8
=
1 2
3
24 = 13 = 1 92 23 8
Constante de proporcionalidad
EJERCICIOS: 1) Sabiendo que:
x=y =z 3 5 6
; x + y + z = 56
Hallar cada uno de los valores.
Solución: Sea:
x=y =z=k 3 5 6
Se obtiene:
x=k 3
x = 3k
y=k 5
y = 5k
z=k 6
z = 6k
Reemplazando en el dado: x + y + z = 56 para hallar el valor de la constante de proporcionalidad. x + y + z = 56 3k + 5k + 6k = 56 k=4 Luego, se reemplaza el valor de k: • • •
x = 3k y = 5k z = 6k
x = 12 y = 20 z = 24
OTRA FORMA:
Aplicando la primera propiedad. Obtenemos: x=y =z = y 5 6
x+y+z 3+5+6
=
x = y = z 3 5 6
(1) (2) (3) Reemplazamos el dato: x + y + z = 56 en (1); (2) y (3) En (1):
x+y+z=x 14 3 56 = x 14 3
En (2):
12 = x
4= y 5
20 = y
4= z 6
24 = z
x+y+z=y 14 5 56 = y 14 5
En (3):
4= x 3
x+y+z=z 14 6 56 = z 14 6
PRACTICA PARA LA CLASE : 1) Si: 1 = 4 = 7 ; a + b + c = 60; hallar el valor de “c” a b c
2) Si: x = y = z ; x .y .z = 192; calcular los valores de x, y, z. 3 4 z
3) Sabiendo que: a = b = c 2 5
;
a3 + b3 + c3 = 27 x 134
4) La suma de 3 números que guardan entre sí la relación de los números 3; 5 y 7 es igual a 120. ¿cuáles son esos números?
5) Tres personas se reparten S/. 36000 en razón de 1: 2: 3 ¿cuánto dinero le corresponde a cada una?
6) Las edades de dos personas están en razón de 5: 4 y la diferencia de sus edades es 6 años. Calcula las edades.
7) Los lados de un rectángulo están en razón de 2 es a 3. si el perímetro del rectángulo es de 80 cm, determina sus lados.
8) La diferencia entre los pesos de dos motos es 120 Kg y están en razón de 7: 4. Calcula el peso de cada moto.
PRÁCTICA PARA LA CASA 1. Halla los valores de a, b y c en cada uno de los siguientes casos: 1) a = b = c ; a + b + c = 54 2 3 4
9) 2 = 1 = 5 ; a . b . c = 104 a b c
2) a = b = c ; a + b + c = 30 5 2 8
10) a = b = c = d ; a + b + c + d = 42 2 3 4 5
3) a = b = c ; a + b + c = 88 3 7
11) a = s = c = d ; a . b . c . d = 384 2 3 4
4) 2 = 5 = 1 ; a + b + c = 96 a b c
12) a = b = c = d ; a2 + b2 + c2 + d2 = 624 3 2 5
5) 3 = 10 = 5 ; b – a – c = 14 a b c
13) a2 = b2 = c2 ; a + b + c = 36 4 9 16
6) a = b = c ; a . b . c = 48 3 2
14) a2 = b2 = c2 ; a – b + c = 12 4 25
7) a = b = c ; a2 + b2 + c2 = 189 4 2
15)
8) a = b = c ; a3 + b3 + c3 = 344 3 2 2
a 3
b =
4
c =
2
; b – a + c = 44
16) a + 1 = b + 2 = c + 3 ; a + b + c = 54 3 4 5
2. Resuelve los siguientes problemas: 1) Las edades de Ángel, Beto y Carlos son entre sí como los números 2; 3 y 1 respectivamente. Si sus edades suman 96 años, hallar la edad de Ángel. a) 32
b) 50
c) 22
d) 15
e) N.A.
2) Los volúmenes de agua que contienen los depósitos A, B y C están en la relación de 5; 4 y 2. Si se suman dichos volúmenes se obtienen 110 litros, calcular el volumen de agua del depósito B. a) 20 litros
b) 40 litros
c) 10 litros
d) 100 litros
e) N.A.
3) Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la relación de 1; 3 y 5. Hallar la medida del mayor ángulo. a) 180°
b) 30°
c) 50°
d) 100°
e) N.A.
4) La cantidad de dinero que tiene “A” es a la que tiene “B” como 5 es a 3, la de “B” es a la de “C” como 2 es a 3. Sabiendo que “A” y “C” tienen juntos 380 soles, ¿cuántos soles tiene “B”? a) 160
b) 180
c) 120
d) 50
e) N.A.
5) Las edades actuales de Vanesa y Karina son como 2 a 1. Si dentro de 12 años estarán en la relación de 4 a 3, ¿dentro de cuántos años estarán en la relación de 8 a 5? a) 4
b) 2
c) 8
d) 10
e) N.A.
3. Hallar : b) La tercera proporcional de 16 y 24 a) La media proporcional entre 8 y 72 c) La cuarta proporcional de 12; 20 y 18
2 d) La media proporcional de 3 y 27 f)
La media proporcional de 7 y 1 e) La media proporcional de 1 y 34 9 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO 1) En un auditorio hay 400 personas, 240 de las cuales son mujeres, ¿En qué relación se encuentran el número de hombres y el número de mujeres? a) 1 2
b) 2 3
c) 4 3
d) 5 9
e) 1 3
2) Dos números están en la relación de 3 a 4 y su suma es 56. Hallar el mayor de dichos números. a) 24
b) 26
c) 28
d) 30
e) 32
3) Dos números se diferencian en 5. Si su razón es 3/2, determinar el número menor. a) 9
b) 10
c) 12
d) 14
e) 15
4) En un aula hay 20 niños y 32 niñas. ¿En qué relación se encuentran el número de niños y el número de niñas? a) 5 8
b) 3 4
c) 2 5
d) 3 5
e) 1 3
5) Halla el número que es a 8 como 9 es a 12. a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
6) En una reunión, el número de mujeres es el doble del número de hombres. Luego, el número de mujeres es al número de hombres como: a) 1 es a 2
b) 3 es a 1
c) 2 es a 3
d) 1 es a 3
e) 2 es a 1
7) En una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa hay 3 caramelos de limón, ¿cuántos caramelos de fresa hay 80 caramelos? a) 18
b) 20
c) 25
d) 30
e) 40
8) Las edades de Arturo y Jorge son entre sí como 8 es a 9. Si Arturo tiene 32 años, ¿cuántos años tiene Jorge? a) 33 años
b) 34 años
c) 35 años
d) 36 años
e) 38 años
9) Se tienen dos recipientes de agua: A y B. En el primero hay 20 litros de agua y en el segundo el doble. Si del primer recipiente se pasan 5 litros de agua al segundo, entonces el número de litros que queda en el recipiente A es al número de litros que ahora hay en B como: a) 1 es a 3
b) 2 es a 3
c) 1 es a 2
d) 2 es a 5
e) 2 es a 1
10) En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como 2 es a 1. Si hay dos docenas de plátanos, ¿cuántas manzanas hay? a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
11) En un corral, por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada conejo hay 2 gallinas. Si hay 12 patos, ¿cuántas gallinas hay? a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
e) 24
12) La edad de Ana es a la edad de Betty como 5 es a 4 y la edad de Betty es a la edad de Cecilia como 2 es a 1. Si Cecilia tiene 16 años, ¿cuántos años tiene Ana? a) 30
b) 36
c) 40
d) 42
e) 45
13) En un estante la razón del número de libros de Matemática a los de Física es 3/4 y la razón del número de libros de Biología a los de Física es 3/2. Si hay 18 libros de Matemática, ¿cuántos libros de Biología hay? a) 24
b) 28
c) 30
d) 36
e) 40
d) 8
e) 9
14) Sabiendo que a = b y además a + b = 35, halla b – a a) 5
b) 6
c) 7
15) Si x = y = z ; 3 2
x . y . z = 64
Hallar: x + y + z a) 36
16) Si a = b = c y 2 5 3
b) 35
c) 34
d) 33
e) 32
c) 22
d) 23
e) 24
a2 + b2 + c2 = 152
Halla: a + b + c a) 20
b) 21
17) El número de patos que hay en una granja es el triple del número de pollos, y el número de pollos es al número de pavos como 1 es a 4. Si entre patos y pavos hay 28 animales. ¿Cuántos pollos hay? a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
18) Dos números están en relación de 2 a 3. Si se aumenta 15 a uno de ellos y 10 al otro se obtienen cantidades iguales, ¿cuál es el mayor? a) 15
b) 10
c) 12
d) 20
e) 8
COMPARACIÓN DE MAGNITUDES MAGNITUD. Se refiere a todo aquello que es susceptible a sufrir variación, ya sea de aumento o disminución y que por lo tanto puede ser medido. Ejemplo:
Magnitud
Ejemplos 2 m ; 63 cm ; 7 Km 15 Kg ; 75 Kg ; 10 g 7 días ; 3 min ; 15 horas 170 Km/h ; 25 m/s ; 12 millas/h 12 ; 26 ; 45 4 ; 16 ; 20 S/. 100 ; S/ 345 ; S/. 24000
Longitud Peso Tiempo Velocidad # de artículos # de obreros Precio
MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores correspondientes de la otra, también varían en la misma proporción ya sea directa o inversamente.
I)
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (“proporcionales”), cuando el cociente entre sus valores es una constante.
A(DP) B ⇔
A = K (constante) B
A an “Al variar uno de ellos entonces también varía en la misma proporción”
a2 a3
B b1
b2
....
bn
II) Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP) Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante. A(IP) B ⇔ A.B = K (constante) A a1 a2 an
“Si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, disminuyen en la misma proporción”
B b1
b2
…
bn
PROPIEDADES 1) Si: A(IP) B 2) Si:
Ten presente estas propiedades...
A(DP) 1 B
A(DP) B A(DP) C
A(DP) B.C
A(IP) B.C
Entonces: A(DP) B.C 3) Si:
A(IP) B A(IP) C
Entonces: A(IP) B.C 4) Si:
A(DP) B A(DP) C A(DP) D
Entonces:
A = KB.C.D
A = KB.C.D
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Las magnitudes A y B son D.P cuando A = 20 ; B = 5 Calcular B cuando A = 12 Resolución:
Si A y B son magnitudes D.P se cumple que: A es D.P a B ⇔ valor de A = constante valor de B D.P
Según datos: Cuando A = 20 Cuando A = 12
; ;
B=5 B=x
Valor de A = constante Valor de B
A 20 12
B 5 x
20 = 5
12 x
x = 5 . 12 20 x =3 2) Si las magnitudes A y B son D.P, calcular: A B
12 18
16 a
b 27
a +b+ c a c
Solución:
Sabemos que: A es D.P a B ⇔ valor de A = constante
Valor de B
Del cuadro: A B
12 18
16 a
Obtenemos:
b 27
a c
3
12 = 16 = b = a 18 a 27 c 1 2
De la proporción (1) 12 = 16 18 a
a = 18 x 16 12
De la proporción (2) 12 = b 18 27
b = 12 x 27 18
De la proporción (3) 16 = a a c
16 = 24 24 c
a = 24
b = 18
c = 36
∴Finalmente: a + b + c = 24 + 18 + 36 = 78
PRÁCTICA PARA LA CLASE 1) Las magnitudes A2 y B son D.P, cuando A vale 10, B es 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale 28?
__ 2) Las magnitudes A y B donde √ A es I.P a B, cuando A = 100; B = 3. Calcular B cuando A = 9.
3) Si A es I.P a (B2 – 1) siendo A igual a 24 cuando B es igual a 5.
4) Si las magnitudes A y B son I.P. Calcular m + n + a A B
n2 15
30 n
m 10
a 1
5) El sueldo de un obrero es D.P al cuadrado de sus años de servicio, si uno con 6 años de servicio percibe un sueldo de S/. 1800. ¿Cuál será el sueldo de uno con 5 años de servicio?
6) La grafica nos muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar a+b+c
18 a 9 3 4
6
b
c
PRACTICA PARA LA CASA 1) Las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Cuando A es igual a 5, B es igual a 15. Hallar el valor que toma B cuando es igual a 7.
a) 19 N.A.
b) 20
c) 21
d) 22
e)
2) Sean las magnitudes A y B donde A es I.P a B. Si cuando A toma el valor de 8, B toma el valor de 3, calcular el valor que toma B cuando A toma el valor de 2.
a) 10 N.A.
b) 12
c) 14
d) 16
e)
3) Si A es D.P a B, cuando A = 6, B = 8. Calcular A cuando B = 12.
a) 5 N.A.
b) 9
c) 18
d) 20
e)
4) Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Cuando A = 4, B = 3. Calcular el valor que toma B cuando A toma el valor de 6.
a) 4 N.A.
b) 6
c) 10
d) 2
e)
5) Sean las magnitudes A y B donde A es D.P a B 2. Si cuando A es igual a 20, B es igual a 6, ¿qué valor tomará A cuando B es igual a 3?
a) 5 N.A. 6) Si A es I.P a 343?
a) 10 N.A.
b) 10 3
B
c) 4
d) 25
e)
, además cuando A vale 35, B vale 27, ¿cuánto vale A cuando B valga
b) 12
c) 15
d) 5
e)
7) Sean las magnitudes A y B, donde A es D.P a (B 2 + 1). Sin cuando A = 8, B = 3, ¿qué valor tomará A cuando B = 7?
a) 20 N.A.
b) 40
c) 20
d) 35
e)
8) La presión de un gas es I.P al volumen del recipiente que lo contiene. ¿A qué presión está sometido un gas, si al disminuir esta presión en 8 atmósferas, el volumen de dicho gas se triplica?
a) 16 atm N.A. 9) A es D.P a
a) 4 N.A.
b) 6 atm
B
c) 12 atm
d) 2 atm
e)
e I.P a C2. Cuando A = 10, B = 25 y C = 4. Hallar A cuando B = 64 y C = 8
b) 8
c) 2
d) 12
e)
10) El pago de un albañil es directamente proporcional a la raíz cuadrada del número de losetas colocadas. Si el primer día colocó 36 losetas y el segundo día colocó 64 losetas y por los dos días le pagaron S/. 420, ¿cuánto le pagaron el primer y segundo día respectivamente? a) S/. 180 y S/. 200 d) S/. 100 y S/. 320
b) S/. 140 y S/. 280 e) N.A.
11) Si las magnitudes A y B son D.P, calcular a + b + c A B
10 a
b 9
40 24
12) Si las magnitudes A y B son I.P, calcular m + n + p
5 c
c) S/. 180 y S/. 240
A B
9 8
m 2
3 n
p 6
REPARTO PROPORCIONAL Usamos el reparto proporcional cuando tenemos que repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números.
1) REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Observa como resolvemos el siguiente ejemplo: Repartir S/. 12 000 en forma directamente proporcional a 8; 12 y 20 •
Llamamos x, y, z a las cantidades : buscadas y formamos la proporción, en donde:
x= y = z =k 8 12 20 x = 8k ; y = 12k ; z = 20k
•
Sabemos que: x + y + z = 12000 8k + 12k + 20k = 12000 k = 300
•
Reemplazamos:
x = 2400 y = 3600 z = 6000
Por lo tanto, el reparto será S/. 2400; S/. 3600 y S/. 6000 Repartir una cantidad en forma directamente proporcional es asignar al mayor número la mayor cantidad de partes iguales.
Recuerda: Cuando nos dicen que el reparto es en partes proporcionales se sobreentiende que el reparto es directamente proporcional. Ejemplos: 1) Dividir el número 1000 en 3 partes que sean directamente proporcionales a los números 2; 3 y 5.
Solución: a las partes buscadas. Como estas deben ser directamente Llamemos x, y, z proporcionales a los números a, b y c, el cociente debe ser constante, de acuerdo a la definición de magnitudes directamente proporcionales. x = y = z = constante 2
3
5
Por propiedad: x+y+z 2+3+5
=
x = y = z 2 3 5
pero: x + y + z = 1000
Donde: I)
1000 10
=
x 2
100 = x 2
200 = x
II) 1000 10
=
y 3
100 = y 3
300 = y
III) 1000 10
=
z 5
100 = y 3
500 = z
Luego: las tres partes buscadas son: 200; 300 y 500
MÉTODO PRÁCTICO Al dividir el número 1000 en tres partes directamente proporcionales a los números: 2; 3 y 5 Se consideran las partes
2k 3k 5k
..... (I)
Luego: 2k + 3k + 5k = 1000 k = 100 Reemplazamos el valor de k en (I), obtenemos: 2k = 2(100) = 200 3k = 3(100) = 300 5k = 5(100) = 500
EJERCICIOS PARA LA CLASE 1) Un padre reparte 340 soles en partes proporcionales a las edades de sus tres hijos, siendo éstas 6; 5 y 10 años. ¿cuánto corresponderá a cada uno?
2) Dividir el número 68,8 en parte directamente proporcionales a 0,8; 1,5 y 2.
3) Tres sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen S/. 7 680. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 5 piezas y el tercero con 7. ¿cuánto ha de pagar cada uno?
4) Repartir 858 en partes directamente proporcionales a los números:
3 ; 5 ;4 4 6 5
2) REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Para repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a unos coeficientes, se reparte la cantidad en partes directamente proporcionales a los inversos de los coeficientes dados. Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales es asignar al mayor número la menor cantidad de partes iguales.
Ejercicios: Repartir 360 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números 3; 4 y 6 Solución: Tenemos la inversa de los números 3; 4 y 6 obteniendo 1/3; 1/4; y 1/6. Luego, damos común denominador a las fracciones, veamos: Común denominador = 2 x 2 x 3 = 12 ∴ 1= 4
3
;
12
1= 3 ; 4 12
1= 2 6 12
Tomamos sólo los numeradores, obteniendo: x = y = z = constante 4 3 2 Por propiedad:
x+y +z 4 3 2
=
x=y= z 4 3 2
pero: x + y + z = 360 ⇒ 360 = x = y = z
9
4 3 2
Donde : •
360 = x ⇒ 9 4
40 = x ⇒ 4
160 = x
•
360 = y ⇒ 9 3 360 = z ⇒ 9 2
40 = y ⇒ 3 40 = z ⇒ 2
120 = x
•
80 = z
Luego: las partes pedidos son: 160; 120 y 80
MÉTODO PRÁCTICO
Repartir 360 en 3 partes inversamente proporcionales a 3; 4 y 6, significa que:
x = y = z = k 1/3 1/4 1/6
Donde : x=k 3 y=k 4
..... (I)
z=k 6 Luego:
k + k + k = 360 ⇒ k = 480
Reemplazamos en (I) x = k = 480 = 160 3 3 y = k = 480 = 80 4 6 z = k = 480 = 120 6 4
EJERCICIOS PARA LA CLASE 1) Repartir 735 en partes inversamente proporcionales a 1/5 ; 3/5 y 3
2) Repartir 2700 en partes inversamente proporcionales a 15; 20 y 30
3) Repartir 340 en dos partes inversamente proporcionales a 3/5 y 6/7
4) El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente 2; 3 y 7. ¿cuánto dinero recibió el que compró más boletos, si en total se repartió S/. 1271?
PRACTICA PARA LA CASA Resuelve los siguientes ejercicios: 1) Repartir 180 en dos partes directamente proporcionales a 2 y 3 2) Repartir 850 en 2 partes inversamente proporcionales a 6 y 9 3) Repartir 182 en tres partes directamente proporcionales a 5; 7 y 2 4) Repartir 510 en tres partes inversamente proporcionales a 6; 4 y 12 5) Repartir 400 en 2 partes directamente proporcionales a ¾ y ½ 6) Repartir 340 en 2 partes inversamente proporcionales a 3/5 y 6/7 7) Repartir 120 soles en partes proporcionales a 5 y 7 8) Repartir 528 kilogramos de frijoles en partes directamente proporcionales a 9 y 13 a) 216 y 312 N.A.
b) 72 y 117
c) 0
d) 15 y 9
e)
9) Repartir 380 toneladas de café en partes directamente proporcionales a 5; 6 y 8 a) 100; 120 y 160 N.A.
b) 100; 200; 80
c) 2; 40; 338
d) 50, 200; 130
e)
10) Repartir 360 soles en partes proporcionales a 5; 9; 10 y 12 a) 60; 100; 160; 40
b) 50; 90; 100; 120
c) 5; 9; 10 y 12
d) 25; 45; 100; 120
11) Repartir S/.1400 en partes directamente proporcionales a las edades de tres niños de 4, 7 y 9 años respectivamente. a) 280; 490; 630
b) 400; 700; 300
c) 630; 400; 310
d) 900; 400; 100
12) Dividir 196 en partes directamente proporcionales a 0,3; 0,5 y 1,2 13) Repartir 13. litros de aceite en partes proporcionales a ½; 1/3; ¼ a) 60; 20; 50
b) 100; 30; 0
c) 60; 40
d) 65; 45
e) N.A.
14) Repartir S/. 5200 entre A, B y C y en partes directamente proporcionales a 2; 5 y 1/5 a) 2100; 300; 2800
b) 2000; 3000; 200
c) 200; 3000; 2400
d) 200; 3000; 200
15) Repartir 429 kilogramos de camotes en partes proporcionales a 2/3; ¾; 2 16) Repartir 2160 en dos partes directamente proporcionales, de modo que una sea la quinta parte de la otra
a) 1800; 300
b) 2000; 160
c) 1000; 1160
d) 1800 y 360
17) Tres operarios disponen de 33,60 galones para la terminación del tapizado de sillas. El primero tapizó 8 sillas; el segundo 3 sillas y el tercero 5 sillas. ¿Qué cantidad de galones utilizó cada uno? 18) Un padre premia a su hijo repartiendo 520 dólares proporcionalmente al promedio obtenido en sus estudios ¿cuánto recibe cada uno si los promedios respectivos son 12; 13 y 15? 19) Un señor hizo 4 llamadas telefónicas a Piura con una duración de: 8; 5; 7 y 3 minutos. Si la empresa de teléfono le cobra $ 20,01, ¿cuál es el costo de cada llamada en soles? (Considerar $ 1 = 2,3 soles) 20) Dividir el número 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3 a) 40 y 130
b) 80 y 90
c) 50 y 120
d) 100 y 70
