GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec
SOLES # PANES
MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES.
1 sol 8 panes 2 soles 16 panes 3 soles 24 panes 4 soles 32 panes Además, se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes es constante:
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.
# panes
En una fábrica 12 obreros hacen 72 pares de zapatos por día, Si se aumenta el doble, triple, cuádruplo, etc. El número de obreros. ¿En qué proporción aumentará la producción de zapatos en cada vez?. Y si en vez de aumentar disminuye disminuye a la mitad, mitad, tercia, cuarta, etc. El número de obreros, ¿en qué proporción disminuirá la producción de zapatos?
soles
8 1
16 2
24 3
32
4
= 8 (constante)
Si graficamos los valores correspondientes de las magnitudes en el plano. (# de panes)
32 24 16
Representación Esquemática
Tg = 8
8
12 obreros hacen 72 pares
1
x 4: x 3: x 2:
48 obreros hacen 288 pares : x4 36 obreros hacen 216 pares :x3 24 obreros hacen 144 pares : x2
2
3
4
(S/. )
Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el origen.
12 obreros hacen 72 pares :2 :3 :4
6 obreros hacen 36 pares 4 obreros hacen 24 pares 3 obreros hacen 18 pares
En esta proporcionalidad al ser multiplicados el número de obreros por 2, también la producción en la obra ha sido multiplicado por 2; al multiplicar por 3 al número de obreros, la producción también ha sido multiplicado por 3, etc Por ejemplo, si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles:
:2 :3 :4
OBSERVACIÓN: La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad. Este valor se puede calcular como la tangente del ángulo agudo que forma la recta con el eje
x
.
En general: A D.P.B
Valor de A Valor de B
cons tan te
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OBSERVACIÓN: A DP B Se lee A es directamente
A B proporcional a B
Se puede afirmar que el valor de una de las magnitudes depende linealmente de la otra:
destruiría y poco antes de eso su deformación no sería proporcional a F. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando multiplicamos a una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número y al dividir a una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.
Es importante observar que, al aplicar un modelo matemático para analizar una situación concreta, debemos tener en cuenta los límites de la validez del modelo.
En particular, cuando afirmamos que una magnitud A es proporcional a otra magnitud B, debemos dejar claro (explicita o tácitamente) que e3sto se da dentro de ciertos límites de variación para x e y. Por ejemplo la conocida “Ley de Hooke” dice que la deformación sufrida por un cuerpo elástico (por ejemplo, un resorte) es directamente proporcional a la (Intensidad de la) fuerza empleada. deformación K ( fuerza)
La validez de esta ecuación como modelo matemático para representar al fenómeno está sujeta a restricciones, la fuerza no puede ser muy pequeña porque entonces aun siendo positiva, no sería suficiente para deformar el resorte; en este caso tendríamos deformación igual a 0 con una fuerza 0 , luego no valdría el modelo d = K.F, tampoco se puede tomar F muy grande, porque el resorte se
Si 6 obreros pueden hacer una construcción en 30 días. Si se duplica o triplica el número de obreros, o si se hacen trabajar la mitad o la tercia de obreros. ¿En cuántos días harán la construcción?.
Representación Gráfica: 5 obreros lo hacen en 30 días x3 x2
18 obreros hacen en 10 días 12 obreros hacen en 15 días
:3 :2
6 obreros hacen en 30 días :2 :3
3 obreros harán en 60 días 2 obreros harán en 90 días
x2 x3
En esta proporcionalidad al duplicar el número de obreros, el tiempo para hacer la obra es la mitad; si se triplica el número de obreros se empleará la tercera parte del tiempo. Al usar la mitad del número de empleados, el tiempo se duplicará, etc. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180 km. Entre una ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec V(Km/h) t (H) 30 6 45 4 60 3 90 2 Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y al triplicar la velocidad el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes es constante.
EJERCICIOS RESUELTOS 2
1).- A es D.P con B e I.P a C , cuando A=4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando B = 12 y C = 36.
Solución: A C 4. 16 8 1
La gráfica de los valores correspondientes de las magnitudes en el plano es:
A.
2
36
12
2
A
4
24
A
Vxt = 30 x 6 = 45 x 4 = 60 x 3 = 90 x 2 = constante
K
B2
6
2).- X varía en razón directa a Y e inversa al cuadrado de Z. Cuando X=10; entonces Y=4 y Z=14. Halla “X” cuando Y=16 y Z=7.
Solución:
V(km/H) 2
El área de cada rectángulo que se genera con un punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad
180
90
X .Z
Y 10.14
K
2
X .7
4
60
10
45 30
X 1
2
3
4
6
t(H)
Los puntos se encuentran sobre una rama de hipérbola equilátera. En general: A IP B ( Valor de A)(Valor de B) cons tante
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al multiplicar a una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número y al dividir a una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número.
X 16 160
Solución: A .C 3 B 3 256 3
Valor de A
16
3).- A varía directamente a la raíz cuadrada de B e inversamente al cubo de C. Sí A = 3 cuando B = 256 y C = 2; Halla “B” cuando A = 24 y C = 1/2.
Esta expresión se puede expresar: K Cons tan te f ( x ) x Valor de B
2
K .8
8
16
24
B .8
24
B .8
B4
4).-El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B; cuando A = 3 y B = 4. Halla el valor de “B” cuando A =
3 3
Solución:
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec A 2 B3
3 4
2 2
9 64
2.- Si n2 m2 es D.P. con n2 m2 cuando “p” es constante; además m2 p2 es D.P. con m2 p2 cuando “n” es constante. Hallar “n” cuando p = 4; si se sabe que cuando n = 8; p = 16.
K
B3
3B 4 3
B
3
2
1
B3
3
3
a) 1 d) 4
3 3
b) 2. e) 5
4 3
5).- El precio de los artículos es I.P con el número de ejemplares vendidos, si para 450 artículos el precio es de 20 soles ¿Cuántos artículos habrán de venderse para que cada uno resulte a 30 soles.
3.-Se sabe que X es D.P. al cuadrado de P y con el cubo de Y é I.P. con la raíz cuadrada de Z. En base a ésta información completar el cuadro siguiente: X P Y Z
Solución:
precio# ejemplares k 20450 x 30 20 450 x
30
c) 3
5 2 25
108 2 3 9
324 4 16
300 x
Dar como respuesta “X + Y”
6).- Una rueda de 50 dientes engrana con otra de 45 dientes y esta con una tercera de 35 dientes. Cuando la primera de 7 vueltas ¿Cuántas vueltas da la tercera?.
a) 97 d) 136
18
y
32
2a2
;
.
La suma de las dos últimas partes es 420. Hallar el valor de “a”
# Dientes# vueltas k luego :
B 45
7 50
45
c) 123.
4.- Dividir 540 en 3 partes DP a:
Solución:
7 50
b) 108 e) 145
a) 1 d) 4
B
b) 2. e) 5
c) 3
B 45 35 C
750 45 35C
5.-
45
10 C
NIVEL BÁSICO: 2
1.- Se sabe que “A” es D. P. a B cuando A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 20? a) 16
b) 32. c) 18 d) 75 e) 25
80 obreros trabajando 8 h/d 2 construyen 480 m de una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requiere para que 120 obreros trabajando 10 h/d 2 hagan 960 m de la misma obra? a) 12 d) 18
b) 14 e) 40
c) 16.
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec NIVEL INTERMEDIO: 6.-La altura “H” que alcanza un helicóptero es directamente proporcional a la longitud “L” de su hélice y a su correspondiente velocidad angular “W” pero, inversamente proporcional a su peso “P”. Si k es una constante de proporcionalidad, entonces se verifica que: a) H
KL W / P
b) H
c) H
KPW / L
d)
2
KWL / P .
H
c) 810.
C I.P.
b) 4. e) 8
c) 5
e) NA
8.- De las gráficas siguientes, hallar “x/y”. A D.P. B
Hallar “x”: a) 2 d) 6
NIVEL AVANZADO:
b) 720 e) 870
A
A 1 2 3 4 122 1 B 144 36 16 9 1 X
KP / LW
7.- El precio de un televisor varía en forma proporcional al cuadrado de su tamaño e inversamente proporcional a la energía que consume. Si cuando tiene “m” centímetros cuadrados consume “a” de energía y cuesta S/ 240 ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es 3m/2 y consume 2a/3 de energía? a) 270 d) 540
11.- Se tiene 2 magnitudes A y B que tienen una cierta relación de proporcionalidad, tales que:
D
C
12.- Se sabe que el valor de una joya varía en forma D.P. Con el cuadrado de su peso. Si una joya se divide en 4 partes iguales. ¿A qué porcentaje de su valor inicial queda reducido el valor de dicha joya? a) 25% d) 50%
b) 12,5% e) 30%
c) 62,5%.
13.- El costo unitario de un libro es inversamente proporcional al número de ejemplos editados. Si una primera tirada se vende en 33 000 ganando el 10%. ¿Cuál será el costo de cada libro de una segunda tirada de 1 500 ejemplares?
12 24
a) 18 d) 21
x 2k 15
a) 0,5. d) 0,8
k
B
b) 0,6 e) 2
30
y
b) 1134 e) 1300
c) 22
D
c) 0,7
10.-El gasto de un persona es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de S/. 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1260 ? a) 1400. d) 1600
b) 20. e) 19
c) 1500
14.- Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera 360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg? a) 28 años, 240 días días c) 28 años, 292 días. días e) 28 años, 192 días
b) 28 años, 243 d) 27 años, 240
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec 15.- Si un diamante de 12 kilates cuesta S/. 39 600; y si se sabe que el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. El peso de un diamante que cuesta S/. 110 000, es: (si un kilate es igual a 0,25 gms). a) 2,5 g d) 30 g
b) 5 g. e) N.a.
c) 25 g
TAREA DOMICILIARIA: 1.- Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados, calcular cuántas vueltas habrá dado cada una en un cierto tiempo. Sabiendo que una ha dado 70 vueltas más que la otra? a) 120 y 50 b) 130 y 60 c) 140 y 70 d) 160 y 90 e) 150 y 80. 2.- El precio de un ladrillo es proporcional a su peso e I. P. a su volumen. Un ladrillo que pesa 150 gr y que tiene un 3 volumen de 100cm cuesta 300. 3 ¿Cuánto costará otro ladrillo de 400cm que pesa 1,6kg? a) 600 d) 560
b) 800. e) 900
c) 750
3.- Carmen descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son D.P. al número de invitados e I. P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/.1200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más? a) S/.320 d) S/.480.
b) S/.540 e) S/.490
c) S/.720
4.- Si “A” es el triple de rápido que “B” , y si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?
a) 12
b) 16.
c) 18
d) 14 e) 15
5.- El precio de una piedra es D. P. al cubo de su peso. Si una piedra de este tipo que vale S/.100, se parte en 2 pedazos, donde uno es los 2/3 del otro. ¿Qué pérdida de valor sufrió dicha piedra? a) S/.80 d) S/.76
b) S/.75 e) S/.70
c) S/.72.
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec PREGUNTAS PARA SEMANAL 2
1.- Si para arar 24m de un terreno se demora 15 horas. ¿Cuántas horas se 2 demorará en arar un terreno de 32m ? a) 18hr d) 20hr.
b) 12hr e) 28hr
c) 21hr
2.- Con una rapidez del 80% se puede hacer una obra en 36 horas. ¿Cuántas horas se demorará con una rapidez del 90%? a) 32 hr. d) 30 hr
b) 24 hr e) 16 hr
c) 20 hr
2
3. A es D.P. con B e I.P. a C ,cuando A = 4; B=8 y C = 16. Halla A cuando B=12 y C=36. a) 4 b) 8
c) 9
d) 12 e) 6.
4. A es D.P. con B e I.P. con C, cuando C es igual a 3/2, A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B cuando A es igual a 1 y C es igual a 12? a) 8. b) 6
c) 4
d) 12 e) 9
5. A varía proporcionalmente a B y al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A=2D, y D = 4C. a) 40 d) 120
b) 80 e) 130
c) 160.