TD Chap.2 : Cinématique du solide
Exercice 1 Soit R0 (O,
r
r
r
e 1 , e 2 , e 3)
un repère orthonormé direct lié à l'espace de référence absolu R0.
On désigne par Ri (O, x i , y i , z i) un repère orthonormé lié au solide Si en mouvement par rapport à R0. S1 est une barre O1L1 de longueur 2L dont l'extrémité O1 coïncide constamment avec O; elle se déplace dans le plan (O (O, x 0 , y 0) et on le repère par le paramètre Ψ = (O, x 0 , x 1), mesuré autour de z 0 ; O1 L1 = 2L x 1 (avec z 0 = z 1). S2 est
une plaque carrée, de côté 2a, qui peut glisser et tourner autour autour de (O (O1, x 1 ).
de A 2 B 2 , A2 B2 = 2a x 2 ; G2 étant le centre de la plaque et O2 est le milieu de A on pose O2G 2 = a y 2. On repère
S2 par
les paramètres : O1O2 : λ. x 1 ; ( z 1, z 2) = θ mesuré
autour de x 1. 1) Calculer vectoriellement la vitesse relative et la vitesse d'entrainement de G2 (repère relatif R1 absolu R0). En déduire les composantes dans R1 de la vitesse absolue de G 2. 2) Calculer les composantes de l'accélération absolue de G 2 en projection dans R1 a) par la méthode de dérivation vectorielle composée, b) en appliquant le théorème de composition des accélérations. z0 A compléter
θ
v r
θ O
y0
Ψ x0
Exercice 2 On considère une barre AB rectiligne de longueur 2L, dont l’extrémité A est en mouvement sur l’axe Ox3 d’un référentiel fixe R0(O, e 1 , e 2 , e 3). L’extrémité B est mobile dans le plan (O, x1x2). Pour étudier le mouvement de la barre on se propose d’introduire deux référentiels mobiles par rapport à R0 : R1(O, u , v , e 3) où v est un vecteur unitaire parallèle au plan (O, x1x2). R2 ( G, u , w , u 3) lié au solide S tel que : u ∧ w = u 3, G est le centre d’inertie de la barre AB. r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x3
r
u
A
r
w
G
r
θ O
Ψ
B
Ψ
x1
v
θ
O1 x2 O
r
u
u r
1. 2. 3.
G
H
Déterminer la position du Point G au moyen des angles d’Euler. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A. Déterminer la vitesse absolue au point G de 3 façons différentes.
Exercice 3 Une sphère S de centre G et de rayon R est en mouvement par rapport au référentiel fixe R0(0, e 1 , e 2 , e 3). La sphère roule sans glisser sur le plan horizontal π(O, e 1 , e 2) de telle sorte que le point O1 lié à S et situé à une distance égale à R du plan π, reste fixe r
r
r
r
r
« OO 1 = R e 3 . 1. 2. 3.
Représenter graphiquement l’état du mouvement à un instant t, en définissant le repère orthonormé d’origine O1 lié à la sphère par ses angles d’Euler déduire la résultante du torseur cinématique. Exprimer la condition de roulement sans glissement.
Exercice 4
Soit le référentiel
R0 auquel
est attaché le repère direct
direct, vis-à-vis duquel le repère
R1 (O,
R0 (O, x0 , y0 , z0 ) r
r
orthonormé
r
x1 , y1 , z0 ) est mobile. Les vecteurs x1 , y1 restent r
r
r
r
r
dans le plan (O, x0 , y0 ) tels que : ( x0 , x1 ) = θ(t), OI = λ. r
r
r
r
Un cercle C de centre G et de rayon R se déplace dans le plan (O, x1 , y1 ) en restant constamment en contact avec (O, x1 ). Le vecteur unitaire u lié au cercle C est tel que : r
r
r
r
( x1 , u ) = ϕ(t). r
r
Les paramètres de position du cercle sont données à travers les coordonnées du point G « qui est le centre d’inertie du cercle »
r
u
r
y1
r
y0
ϕ P r
x1
G I
θ r
x0
O
1. Donner la position du centre d’inertie du cercle dans le repère R1. 2. Déterminer par leurs composantes dans le repère R 1 :
•
les éléments de réduction au point G du torseur cinématique au mouvement du cercle par rapport à R 1.
•
les éléments de réduction au point G du torseur cinématique VC/R0 associé au mouvement du cercle par rapport à R 0. r
VC/R1 associé
r
3. Déterminer dans R1 les composantes des vecteurs V C/R1(P) et V C/R0(P)
