Page 1 of 18
313460520MG
⃗ , z⃗ ) est d!ter"in! par la d!#nition de Position d’un solide (S) % à un repre R ( O , x⃗ , y R1 ( O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) li! à (S) ⃗
⃗
⃗
( x O , y O , zO ) et les angles d’&uler ψ ,θet φ
$àd par
1
1
1
ψ =⃗( x , u⃗ ) orienté par⃗ z
θ=( z⃗ , z 1) orienté par⃗ u
φ =( u ⃗ , x1 ) orienté par z1
'ngle de z⃗ nutation
'ngle de rotation propre z⃗
⃗
'ngle de pr!ession z⃗ = z 1
⃗
⃗
⃗
y 1=w
z 1
⃗
⃗
⃗
θ
z 1 ⃗
θ
y 1= ⃗v ⃗
y 1 ⃗
x ⃗
y ⃗y
ψ
x ⃗
y ⃗y
ψ
x 1=u ⃗
φ
⃗ x 1=u
⃗
⃗ u
⃗
x 1 ⃗
e"ar*ue +
Si θ= 0 ; ψ et φ neseron neserontt plus plus défi défini nitt . Dans un engrenage droit la liaison entre deux roues peut être modélisée par un linéaire rectiligne d’axe
.
( I , y ⃗y )
droite de pression de l’engrenage si l'épaisseur des pignons n'est pas négligeable
$oordonn! ,lindri*ue z 1
$oordonn!s sp-!ri*ue z 1 ⃗
⃗
w ⃗
⃗v
z y 1 ⃗
φ r
θ
r
u ⃗
θ
⃗ y
ψ
x ⃗
Page 2 of 18
313460520MG
'!l!ration +
Γ ( P / R )= ⃗
[
⃗
[
$-er-ons la relation entre +
[ [ [
] [ ⃗ ( )] ( ⃗ ] [
]
d ( P / R ) et dt R
( P / R )= ⃗
] [
[ ]
]
d OP ( t ) dt R
⃗
d d OP ( t ) et OP (t ) R1 pour de "/"e entre ae dt dt R R
⃗
⃗
1
]
d d OP ( t ) = ( x1 x1 + y 1 y 1+ z 1 z 1 ) dt dt R R
⃗
⃗
⃗
P
⃗
P
P
(
d x 1 d y 1 d z d + y 1 + z 1 1 OP t = x´ 1 x1 + y´ 1 y 1+ z´ 1 z 1 ) + x 1 dt dt R dt R dt R R ⃗
⃗
P
P
⃗
P
] (
⃗
⃗
P
⃗
P
P
d x 1 d y 1 d z d d + y 1 + z1 1 OP ( t ) = OP ( t ) + x1 dt dt dt R dt R dt R R R d x 1 ⃗
dt
R
⃗
⃗
⃗
P
⃗
P
P
1
)
)
=! o,ons le s-!"a suiant +
φ
d x 1 ( t ) ⃗
( # (t ) , x (t )
^ ⃗
r
⃗u
e repre
R 1
se d!plae en rotation % R don
^
d x 1 ( t )= ´r dφ ⃗u ( t )=| x 1 ( t )| sin ( # ( t ) , x 1 ( t )) dφ⃗ u ( t ) ⃗
⃗
⃗
⃗
'e + # ( t ) eteur unitaire de l’ae de rotation de R1 % R ⃗
⃗
1
# ( t )
R
Page 3 of 18
313460520MG dφ
R1
'ngle de rotation partiel de
( O , x 1 (t ) , # ( t ))
⃗u ( t ) eteur unitaire au plan
^
% R orient! par # ⃗
( # ( t ) , x1 ( t )) &st orient! suiant ⃗u ( t ) ⃗
⃗
appelons *ue +
⃗
⃗
⃗
⃗
d x 1 ( t ) =dφ ( # ( t ) ∧ x 1 ( t ) )
on ⟹
^
d x 1 ( t ) =dφ| x 1 ( t )|$| # ( t )|sin ( # ( t ) , x 1 ( t ) ) u⃗ ( t ) ⃗
⃗
⃗
d d ´ ( # ( t ) ∧ x 1 ( t ) ) ⇒ x 1=φ´ ( # ∧ x 1 ) x 1 ( t )= φ dt dt ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
n d!#nit le eteur de itesse angulaire
⟹
⃗
{
´ # ⇒ % R & R= φ ⃗
⃗
1
⃗
1
⃗
⃗
⃗
1
⃗
⃗
⃗
1
] [ ⃗ ] ( [ ⃗ ] [ ⃗ ]
⃗
⃗
P
⃗
P
P
1
⟹
⟹
d d OP ( t ) = OP ( t ) + ( x1 ⋅ % R & R ∧ x 1+ y1 $ % R & dt dt R R
[ [
⃗
1
⃗
⃗
⃗
⟹
⃗
⃗
d x =% R & R ∧ x 1 dt 1 R d y =% R & R ∧ y 1 dt 1 R d z =% R & R ∧ z 1 dt 1 R
etournant à + d d d d d OP ( t ) = OP ( t ) + x1 x 1 + y 1 y 1 + z 1 z 1 dt dt dt R dt R dt R R R
[
d x = % R & R ∧ x 1 dt 1
] [ ⃗ ( )] [
] ⃗ ( )]
⃗
P
⃗
⃗
P
1
1
)
R∧
y 1+ z 1 $ % R & R ∧ z 1 ) ⃗
⃗
P
⃗
1
1
d d OP ( t ) = OP ( t ) + % R / R ∧ ( x 1 ⋅ x 1+ y 1 $ y1 + z 1 $ z 1 ) dt dt R R
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
P
1
⃗
P
P
1
d d OP t = OP t + % R / R ∧ OP ( t ) dt dt R R ⃗
1
⃗
1
⟹ ( P / R )= ( P / R1)+ % R / R ∧ OP ( t ) ⃗
⃗
1
() ( ) (
´ * z P −+´ y P x P ) ´ Re'ar(ue : % R / R ∧ OP ( t )= *´ ∧ y P = ´+ x P− )´ z P ´ x P +´ z P )´ y P− *
⃗
⃗
1
Attention ! : es
)
deu eteurs et leurs produits doient /tre epri"!s dans la "/"e 7ase (8 ou 81 ou 9) pour *ue la re"ar*ue pr!!dente soit :uste ⃗u ∧ ⃗v =−⃗v ∧ ⃗u
⃗u ∧ ( ⃗v ∧ w )=⃗( u . w ⃗) v −( ⃗u . ⃗v ) w ⃗
⃗
⃗
( ⃗u ∧ ⃗v ) ∧ w=⃗( u . w ⃗) v −( ⃗v . w ⃗) u ⃗
⃗
⃗
Page 4 of 18
313460520MG R 1
Soit A et B deu point d’un solide S li! à
[ [ [ [
] [
]
en "oue"ent % à
d d - (t ) = - ( t ) + % R / R ∧ - ( t ) 'e dt dt R R
⃗
⃗
⃗
⃗
1
1
] (⃗ ( ) ⃗ ( ) ) ] ⃗ ( )] [ ⃗ ( )]
[
]
R don +
d - (t ) =0⃗ don + dt R
⃗
1
d ( - O ( t ) + O ( t ) ) = % R / R ∧ - ( t ) dt R
⃗ ⃗
⃗
⃗
d O t −O - t dt
1
⃗
=% R / R ∧ - ( t ) ⃗
1
R
d d O t − O - t = % R / R ∧ - ( t ) dt dt R R
⃗
⃗
1
⃗ - ( t ) ∧ ⃗
( / R ) − ( - / R )= % R / R ∧ - ( t ) ⃗
⃗
⃗
1
( / R ) = ( - / R )+ % R / R ⃗
⃗
⃗
1
on le -a"p des eteurs itesses de S % à est d!#nit par ;orseur in!"ati*ue de S % à + { ϑ (S / R )}= %S / R= Résultante énérale ( - ∈ S / R ) ='o'ent résultant
{
}
⃗
⃗
Point entrale
{ }
R /⃗ 0 O 0 O ⃗
Soit un torseur d!#ni en un point +
⃗
∀ soit Pun point 1entrale 0 P ∧ R =⃗0
⃗ ⃗ 0 R + R ⃗ O P −(⃗ O P R ) R = ⃗ O P ⋅ R ) R − 0 ∧ R R ∧ 0 (⃗ ⃗ ⇒O P= soit 2 la pro3e1tionde O surl axe1entrale ⇒ ⃗ O 2 = ⇒ ( 0 O + R ∧ O P ) ∧ R= ⃗0 ⇒ 0 O ∧ R + R ( ∧ O P ) ∧ R =⃗0 ⃗
⇒
⃗
O∧
⃗
⃗
⃗
2
⃗
⋅
⃗
⃗
⃗
R
⃗
O
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
0
⃗
4
2
⃗
R
⃗
O
2
⃗
( 2 ,R )
’ae entral est
’ae entral d’un torseur in!"ati*ue de "t de S % à est appel! ae de iration ou ae instantan! de rotation ou de glisse"ent Soit 5 un ae de iration au ours du te"ps il d!rira une surfae dans S et dans appel!es ao=des de "t de S % à *ui sont tangent en 5 ;orseur ouple +
{ } ⃗0
O
0 O ⃗
si un torseur in!"ati*ue est ouple don le "t est de translation
*ui peut /tre pas o7ligatoire"ent retiligne ou irulaire
{}
R ;orseur r!sultante si il eiste un point tel *ue + O 0⃗
⃗
#e sur S et
on a un "t de rotation si
5 est
Page 5 of 18
313460520MG e -a"p des "o"ents d’un torseur est !*uipro:etif
>ote +
, ∈ S - ⋅ ( - / R ) = - ⋅ ( / R ) ⃗
⃗
{ }
) u = * v ( O ∈ S / R ) w O +
{
O
⇒ ∀ -
}
% S / R
⃗
⃗
( / R ) = ( - / R )+ % R / R ∧ - ⇒ ( / R ) dt = ( - / R ) dt + % R / R dt ∧ - ⃗
n a+
⃗
⃗
⃗
1
1
( / R ) dt =6 ( / R ) ⃗
⃗
n pose +
⃗
⇒ 6 ( / R ) =6 ( - / R )+ 7 R / R ∧ - ⃗
⃗
⃗
1
% R / R dt = 7 R / R
et
1
1
on le -a"p des eteurs d!plae"ents !l!"entaires est
un torseur +
{ 6 ( S / R )}= O
{
7 S/ R 6 ( O ∈ S / R ) ⃗
⃗
}
elation entre l’a!l!ration de deu point ' et 8 du solide S + d Γ ( / R ) = Γ ( - / R ) + % ∧ - + % R / R ∧ ( % R / R ∧ - ) dt R / R R ⃗
[
⃗
⃗
1
]
⃗
⃗
⃗
⃗
1
1
n peut "ontrer *ue + soit R ( O , x⃗ , ⃗y , z⃗ ) et R 0 ( O0 , x 0 , y 0 , z 0 ) ⃗
⃗
⃗
[ ⃗] [ ⃗] [ ⃗] ) ( ) [ ⃗ ] ⃗ ) ( ) [ ⃗ ( )]
( P / R 0 )= ⃗
d d d O0 P ( t ) = O 0 O ( t ) + OP ( t ) dt dt dt R R R 0
d OP ( t ) dt R
( P / R 0 = O / R0 + ⃗
⃗
0
0
d OP t + % R / R ∧ OP dt R
( P / R 0 = O / R0 + ⃗
0
⃗
⃗
0
⃗
( P / R 0 )= ( O / R0 ) + ( P / R ) + % R / R ∧ OP ⃗
⃗
⃗
⃗
0
( P / R 0 )= ( P / R ) + ( O / R0 ) + % R / R ∧ OP ⃗
⃗
⃗
0
⃗
ave1 ( O / R0 ) + % R / R ∧ OP = ( P ∈ R / R0 ) = vitesse du point lié 8 R en P ⃗
⃗
0
⃗
on on aura + ( P / R 0 )= ( P / R ) + ( P ∈ R / R0 ) ⃗
⃗
⃗
( P / R 0 )= vitesse a9solue ⃗
( P / R )=vitesse relative ⃗
( P ∈ R / R0 )= vitesse d 4 entra:ne'ent ⃗
itesse de glisse"ent de de S 1 % à S2 est
( P ∈ S 1 / S 2) ⃗
tel *ue P est un point de ontat entre
S1 et S2 ette itesse est o7ligatoire"ent ontenu dans le plan tangent à es 2 solides en P
Page 6 of 18
313460520MG ette itesse est nul lors*ue il roule l’un % à l’autre ( P ∈ S 1 / S 2) =0⃗ $SG + ⃗
%S / R =%S / R + % R / R 0
0
soit % S / S et ( ) ≤ plan tanent 1o''un8 S 2 et S1 ⃗
2
1
%S / S =¿ 2
?
%t ( S / S )
⃗
1
2
%n ( S / S )
1
2
∥ ( )
1
⊥ ( )
otation de roule"ent
otation de piote"ent
n a +
{ (
%S / R =%S / R + % R / R
⃗
⃗
⃗
0
0
P ∈ S / R 0 )= ( P ∈ S / R ) + ( P ∈ R / R0 ) ⃗
⃗
⇒
⃗
P
{ (
%S / R
⃗
0
P ∈ S / R0 ) ⃗
}{ =
P
%S / R ( P ∈ S / R ) ⃗
⃗
} { ( +
P
% R / R
⃗
0
P ∈ R / R0 ) ⃗
}
{ ϑ ( S / R )}= {ϑ ( S / R )} +{ ϑ ( R / R )} 0
0
Ona : ( P / R0 ) = ( P / R ) + ( P ∈ R / R0 ) ⃗
⇒
[
[
⃗
⃗
] [ )] [
] [ )]
]
d d d ( P / R 0 ) = ( P / R ) + ( P ∈ R / R 0 ) dt dt dt R R R ⃗
⃗
0
d ( P / R0 dt ⃗
¿
R
⃗
0
d ( P / R dt ⃗
[ [ [
R 0
¿ Γ ( P / R ) + % R / R ∧ ( P / R )
Γ ( P / R0 )
⃗
⃗
⃗
⃗
0
¿ Γ ( P / R ) + % R / R ∧ ( P / R )
Γ ( P / R0 )
⃗
⃗
⃗
⃗
0
¿ Γ ( P / R ) + % R / R ∧ ( P / R )
Γ ( P / R0 )
⇒ Γ ( P / R0 ) = Γ ( P / R )+ % R / R ∧ ( P / R ) + Γ ( O / R 0 ) + ⃗
⃗
⃗
⃗
0
ave1
[ ⃗] [ ⃗]
⃗
0
⃗]
d ( ( O / R0 ) + % R / R ∧ OP ) R dt ⃗
⃗
0
] [ [
d ( O / R0 ) dt R ⃗
⃗
0
⃗
]
d ( P ∈ R / R0 ) dt R
Γ ( O / R0 )
⃗
⃗
0
[
d % dt R / R
]
⃗
0
⃗
0
d ( % dt R / R ⃗
0
d % dt R / R ⃗
0
]
⃗ )]
∧ OP
R0
⃗
∧ OP + % R / R0 ∧
R 0
[ ⃗]
∧ OP + % R / R ∧ ⃗
0
R0
⃗
d OP dt R
[ ⃗]
d OP dt R
0
d d OP = OP + % R/ R ∧ OP = ( P / R ) + % R / R ∧ OP dt dt R R ⃗
0
⃗
⃗
⃗
⃗
0
0
⇒
Γ ( P / R0 )= Γ ( P / R )+ % R / R ⃗
⃗
0
⃗
[
Γ ( P / R0 )= Γ ( P / R )+ Γ ( O / R 0 ) + ⃗
⃗
⃗
(
∧ ( P / R ) + Γ O / R 0 ⃗
⃗
d % dt R / R ⃗
0
]
)+
⃗
R0
[
d % dt R / R ⃗
0
]
⃗
∧ OP + % R / R ∧ ( P / R ) + % R / R ∧ ⃗
⃗
⃗
0
R 0
⃗
0
∧ OP + % R / R ∧ ( % R / R ∧ OP ) + 2 % R/ R ∧ ( P / R ) ⃗
⃗
0
0
⃗
⃗
Γ ( P / R0 )= Γ ( P / R )+ Γ ( P ∈ R / R 0 ) + 2 % R / R ∧ ( P / R ) ⃗
0
'!l!ration a7solue
0
OP ) ( % R / R ∧ ⃗ ⃗
0
0
Page 7 of 18
313460520MG
Si 3 repre sont en "t plan sur plan leurs entres instantan!es de rotation seront o7ligatoire"ent aligni!s es ao=des de "t de % 0 en "t plan sur plan sont + la roulante et la our7e d!rit par . sur 0 et l’autre est la 7ase @ne fore est repr!sent!e par un eteur li!
( < , = ) ⃗
’ation de & sur S est o"plte"ent d!#nit par appli*u!s par & sur S sont seule"ent les fores
{
∑ = ⃗ 0 ( > ? S )=∑ ⃗ -P ∧ = R ( > ? S ) = ⃗
-
( Pi , = i ) ⃗
⃗
i
i
⃗
i
tel *ue les fores
onA on peut d!#nir le torseur des
ations "!ani*ue de & sur S +
{⃗
R ( > ? S ) - 0 - ( > ? S )
{ I ( > ? S ) }=
⃗
}
e eteur "o"ent est tra! ae 2 traits parallles
Soit G entres des fores parallles
∑⃗
( Pi , = i ) tel(ue ∑ = i / ⃗0 ⃗
⃗
don
= ⋅ ⃗ OP) ∑ ( ⃗ ∑ = i
( @ Pi ∧ = i ) =⃗0 ⟺ O@= ⃗
i
i
Pesanteur
{ I ( ? S ) }= -
(∫
{
R ( ? S ) = ⃗
⃗
0 - ( ? S ) =
)
∫ d' ⃗ =' ⃗
P ∈ S
(
)
-P ∧ ⃗ d' = ∫ d' ⃗ -P ∧ ⃗ ∫ ⃗
P ∈ S
P ∈ S
⃗
}
⃗
d' -P =' -@ ; @ 1entre de ravité (¿ inertie ) de S ⇔ 0 @ ( ? S ) =0⃗
⃗
P ∈ S
Th de Guldin : G entre de grait! de la our7e ($) de l ongueur ontenue dans un de"iBplan de
⃗) ( O , x⃗ , y
des , positif -P dl = A ⃗ -@ ∫ ⃗
⇒ ∀ - ;
P ∈<
Soit S la surfae d!rit par ($) par rotation autour d’un ae
Ona
{
⃗
⃗ A O@ = A x @ x ⃗ + A y @ y
(
⃗ ) dl = ∫ x OP dl= ∫ ( x ⃗ x + y y ∫⃗ P
P ∈ <
A y@ =
P
P ∈ <
∫ y
P
P ∈ <
P
) (∫ )
dl x⃗ +
⃗ y P dl y
P ∈ <
A
∫ rdl ( 1ar y
dl =
P ∈ <
don1 S = A 2 B r @
P
0
est positif ) = A y @ = Ar @
A
2 B
A
0
0
0
( O , x⃗ ) C S =∫∫ rdldθ =2 B ∫ rdl
Page 8 of 18
313460520MG 2ème Th de Guldin : G entre de grait! de la surfae
⃗) ( C ) d’aire S ontenue dans un de"iBplan de ( O , x⃗ , y
des , positif ⇒ ∀ - ;
-P dS = S ⃗ -@ de la 'D'e'aniEre (ue 1 ∫ ⃗
er
FGon'( : = S 2 B r @
P ∈ C
( P ∈ S 2 & S 1 ) /⃗ 0 ⃗
Loi de coulomb : Si
‖f ( S ⃗
t
Si
1
i"pose *ue
f t ( S 1 ⟶ S 2 ) est de sens opposé 8 ( P ∈ S2 & S1 ) ⃗
⟶ S2 )‖= f ‖f n ( S1 ⟶ S 2)‖f =tφφ définit 1Hne defrotte'ent ⃗
( P ∈ S 2 & S 1 )=0⃗ ⇒ ‖f t ( S 1 ⟶ S 2 )‖ f ‖f n ( S 1 ⟶ S2 )‖ ⃗
⃗
⃗
eteur rotation de pivotement % ⃗
% ⃗
n
n S 2 / S1
/⃗ 0
%
⃗
S2 / S 1
=0⃗
‖ 0 ( S ⟶ S )‖ J ‖ # (S ⟶ S )‖
$ 0 P ( S1 ⟶ S 2) < 0 n
S2 / S1
n
n P
⃗
⃗
1
⃗
2
1
2
‖ 0 ( S ⟶ S )‖= J ‖ # ( S ⟶ S )‖ n P
⃗
1
⃗
2
1
2
S1
J : r!sistane au pivotement entre
S2
et
eteur rotation de roulement % ⃗
t S2 / S 1
/ ⃗0
% S / S =⃗0
⃗
2
t
⃗
2
t
t P
⃗
1
1
⃗
2
% S / S $ 0 P ( S 1 ⟶ S 2 ) < 0 ⃗
t
t
⃗
2
1
‖ 0 ( S ⟶ S )‖= K‖ # ( S ⟶ S )‖ t P
⃗
1
2
⃗
1
1
‖ 0 ( S ⟶ S )‖K‖ # ( S ⟶ S )‖
% S / S /¿ 0 P ( S1 ⟶ S 2) ⃗
t
2
K : r!sistane au roulement entre
S1
et
S2
1
2
Page of 18
313460520MG
D,pot-se du ontat rigoureuse"ent pontuel +
0 P ( S1 ⟶ S2 ) =⃗0 ⃗
D,pot-se liaison sans frotte"ent + n peut "* + R ( S 1 ⟶ S2 ) $ ( P ∈ S2 & S1 ) + 0 o ( S1 ⟶ S2 ) $ %S / S =0 ⃗
⃗
⃗
⃗
2
{
{ I ( S ⟶ S ) }= 1
2
O
R ( S1 ⟶ S2 ) ⃗
0 P ( S 1 ⟶ S 2 ) ⃗
1
{ }
L A = M 0 O N #
}
@n ense"7le "at!riel (&) est en !*uili7re stati*ue % à si tous les points de (&) sont #es sur (&) en !*ui % à g ⇒ ∀ ( e ) ⊂ ( > ) ; I ( ( ´e ) ⟶ ( e )) = {0 }
{
}
( > )=( e1 ) + ( e2 ) et ( > ) ené(ui 8 R ⇒ { I (( e1 ) ⟶ ( e 2 ) ) }=−{ I ( ( e 2 ) ⟶ ( e1 ) ) } D,perstatis"e et "o7ilit! des "!anis"es + 3D,po + solide parfaitA liaison parfaitA liaison 7ilat!ral (liaison "aintenu)
{
{ I }= I ( S A S i
n
{ ϑ }={ ϑ ( S i
n
i ?
)}
{ } { }
L i Ai = M i 0 i =torseur stati(ue dela liaison A i # i O N i ) i
ui
+ i
wi
/ S ) }= * i v i = torseur1iné'ati(ue de laliaison Ai O
es o"posantes non nulles sont appel!s respetie"ent les inonnues (stati*ueA in!"ati*ue) n s =¿ n >7re d’inonnues !t"ti#ue ind!pendantes e "/"e 1 i
i
n s + n 1 =6 i
i
iaison parfait
(
)
Puissane des ations "utuelles d!elopp!es dans la liaison est nul
(
)
⇒ 0 O S1 Ai S2 $ % i ( S2 / S1 ) + R S1 Ai S2 $ i ( O ∈S2 / S1 ) =0 ⃗
?
⃗
⃗
?
⃗
Page 1% of 18
313460520MG Ai ) i+ 0 i *i+ # i + i + L i ui + M i v i + N i wi= 0 ⟺
⟺ { I i } ⋅ {ϑi }=0 ondit (ue { I i } et { ϑi } sont ré1ipro(ues Soit+
L1 L2
$1
L12
L3
$2
L4
$3
n pose 12 la liaison !*uialente à (1A 2A 3A 4) *ui doit assurer les "/"es ations "!ani*ue et les "/"es "oue"ents relatifs entre S 1 et S2 Soit (1A 9A n) les liaisons parallle entre S1 et S2 don le torseur stati*ue !*uialent { I }= { I i }
∑
{ ϑ} ={ ϑ1 } == { ϑn }
et
∑n
# s =
>o"7re des inonnus stati*ue
si
n appli*uant la relation de r!iproit! des torseurs on peut tirer 6 !*uations salaires on appelle 4 4 r s =no'9red é(uationss1alaires indépendantes =ran du'atri1e 8 1e systE'e d é ( 8 # s in1onnu 6 egr! dE-,perstatis"e de la liaison !*uialente des n liaisons parallle
¿ G= # s−r s
Si -<0 don de la liaison !*uialente est isostati*ue C Si -F0 don de la liaison !*uialente est -,perstati*ue dEordre ¿ ' = 6 −r s e degr! de "o7ilit! de la liaison !*uialente Si "<0 don la liaison est dite o"plte ou rigide C Si "F0 la liaison est dite "o7ile à " degr! de li7ert! Soit les liaisons s!rielles
L1 on
%${ I }={ I }= ={ I n }
et
1
{ ϑ} =∑ { ϑi }
#o'9red 4 in1onnus 1iné'ati(ue = # 1 = '=' u + ' i
'u
'e
Ln
$1
$n&1
don la liaison !*uialente est tou:ours isostati*ue
∑ n ='=deré de 'o9ilité de 1Gaine 1ontinu ouverte 1i
est le degr! de "o7ilit! utile < degr! de "o7ilit! de la liaison
!*uialente ' i='o9ilité interne de 1Gaine 1ontinu ouverte &t
{ I }= I
S i − 1 ? Si
}
ext autre(ue la liaison A1 ? S0
}
n d!#nit
i
{ I }= {I 0
{ I }=={ I }= { I } n
1
et le torseur !*uialent
i
n d!#nit
0
{ϑ }={ϑ i
0
n
et
C Prinipe fonda"entale de la stati*ue appli*u! sur
{ } −{ I }= {0⃗ } ∀iet { I }−{ I }={ 0⃗ }
⇒ I 0
¿ I S ? S } ={ I }
Si & Si − 1
}
et
{ ϑ } ={ ϑ S & S } n
0
S 0 ⇒{ I 0 }− { I 1 } = { ⃗0 }
$n
Page 11 of 18
313460520MG
{ ϑ } ={ ϑ S & S } =∑ { ϑ i } n
0
S0
a liaison !*uialente au n liaison en s!rie entre
et
Sn
est tou:ours isostati*ue
'antages et inon!nient de la liaison isostati*ue + (oire p165) (h")ne continu *erm+ , ch")ne !imple , ch")ne boucle
%$L1
$1
$n&1
Ln
Ln'1 a liaison !*uialente entre S 1 et Sn est n pose
{ I }= {I
ext ? S 0
0
{ I } ={ I e
entré?S 1
}
C
{ I }= { I s
sortie?Sn
}
et
} Q { I e } + { I s } + { I 0 } ={ ⃗0 }
Prinipe fonda"entale de stati*ue sur lEense"7le des n?1 solide donne n +1
n ∑ =
# s =
i
si
1
&n appli*ue le PS sur les n solides S 1A9A Sn inutile de lEappli*uer de plus sur S0
ar sa donne des !*uations d!pendantes des pr!!dentes + 4 r s =(n9re d é( dépendante pour les # s in1onnues stati(ue ) 6 n
¿ G= # s−r s
egr! dE-,perstatis"e de la -aHne fer"!e 4
deré de'o9ilité dela1Ga:ne fer'é =n9re d in1onnue 1iné'ati(uesindépendantetes de la1Ga:ne 1ontinue fe n+ 1
4
d ou G=' + # s −6 n
n à # 1 =
n = 6 ( n + 1 ) − # ∑ = 1i
s
i 1
e *ui a donner
G ='+ 6− # 1
n+1
&tude in!"ati*ue +
∑ {ϑ }= {0⃗ } = i
i
1
e *ui donne 6 !*uations salaires pour
# 1
inonnues
salaires r1 6 on '= # 1 − r 1
(h")ne comple-e,plu!ieur! ch")ne *erm+e! imbri#u+e! $1
%$$2 $3
Soit n le no"7re de solides et l le no"7re de liaison de la -aHne o"plee n "ontre (t-!orie des grap-es) *ue le no"7re de -aHnes ontinues fer"!es ind!pendantes à !tudier est+ + =l − n + 1=no'9re 1y1lo'ati(ue dela 1Ga:ne 1o'plexe .l suIt dEappli*uer le PS sur (nB1) solides e *ui donnent 6(nB1) !* salaires don l
n ∑ =
r s 6 ( n −1) !* ind!pendante pour # s =
i
1
si
inonnues salaire introduites par les l
$n
Page 12 of 18
313460520MG liaisons G = # s−r s
&t on "ontre *ue
'=6 ( n −1 ) −r s don+
G = '+ # s−6 ( n−1 )
l
# 1 =
n = 6 l − # ∑ = i 1
1i
$e *ui donne
s
G = '+ 6 + − # 1
&n appli*uant la loi de o"position des torseurs in!"ati*ues on o7tient # 1
salaires entre les
r 1 6 +
inonnues in!"ati*ues on
6 +
relations
' = # 1 − r 1
&t
(in+ti#ue ∀( e ) ⊂( > ) ; ' ( e )=1st ∀t
Prinipe de onseration de "asse pour un ense"7le "at!riel (&) +
Si ( > ) en'vt Ret ⃗ φ ( P , t ) un1Ga'p de ve1teurs défini 8 1Ga(uedate t entout point P de ( > ) relative'ent 8 d' de P
∫
!sultante g!n!rale du torseur assoi! à e -a"p de eteurs +
⃗φ ( P , t ) d' .
P ∈ >
Si ⃗ φ ( P ,t ) est 1ontinue et différentia9le 8t et 1o'pte tenudu prin1iepe de 1onservationde 'asse Onaura :
[∫
] ∫[
]
d d ⃗φ ( P ,t ) d' = ⃗ φ ( P , t ) d' dt P ∈ > R P ∈ > dt R
Soit un ense"7le "at!riel (&) de "asse " et de entre dEinertie G en "t % e torseur in!ti*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +
{ < ( > / R )}=
{
}
∫ ( P / R ) d'=résultante 1inéti(ue =(uantité de 'ouve'ent ⃗
P ∈ >
-P ∧ ( P / R ) d' ='o'ent 1inéti(ue= ⃗ ( > / R ) ∫ ⃗ ⃗
-
-
P ∈ >
⃗ ∫⃗ O P d'
@est ≤1entre de ravité de ( > ) 1 . 8 . d ' O@=
P ∈ >
[
[∫ ⃗ ]
⃗]
d OPd' ( ' O@ ) = d dt dt P ∈ > R
R
par prin1ipede 1onservationde 'asse on aura '
soit ' ( @ / R ) = ⃗
[
⃗ ] ∫ [ ⃗]
d d OP d' ( O@ ) = dt dt R P ∈ > R
∫ ( P & R ) d' don1 { < ( > / R )}=
P ∈ >
⃗
-
{
' ( @ / R ) ⃗ - ( > / R ) ⃗
}
e torseur d,na"i*ue de (&) dans son "t % en un pt ' est +
Page 13 of 18
313460520MG
{ ( > / R )}= -
n "*
{
∫ Γ ( P / R ) d'=résultante dyna'i(ue ⃗
P ∈ >
-P ∧ Γ ( P / R ) d'='o'ent dyna'i(ue =⃗J ( > / R ) ∫ ⃗ ⃗
-
P ∈ >
∫ Γ ( P / R ) d'=' Γ ( @ / R ) ⃗
⃗
P ∈ >
{
on1 : { ( > / R ) }= ' Γ ( @ / R ) ⃗ - J - ( > / R )
n "*
}
[
⃗
} ]
d ⃗J ( > / R )= ⃗ - ( > / R ) + ' ( - / R ) ∧ ( @ / R ) dt
⃗
⃗
R
&nergie in!ti*ue de (&) dans son "t % à est + F ( > / R ) =
1
∫ [ ( P & R ) ] d' 2
⃗
2 P ∈ >
Mo"ent dEinertie de (S) % à lEae J est + T ( S / U )=
P2 ] d' ∫ [⃗ 2
P ∈S
ae D est la pro:etion
ort-ogonale de P sur J ) 4 ⃗ + z z⃗ Soit ⃗ i = * ve1teur unitaire dire1tri1e del axe U ( O , i⃗ ) et OP = x x ⃗ + y y +
()
⃗
don1 ‖ P2 ‖=‖⃗i ∧ OP‖⇒ .
⃗
⃗
2
⇒ T ( S / U )= )
∫ ( y + z ) d'+ * ∫ ( z + x ) d'+ + ∫ ( x + y ) d'−2 *+ ∫ yzd'−2 +) ∫ zxd'−2 )*∫ xyd' 2
2
2
S
2
2
2
S
∫
2
2
S
∫
2
2
2
S
∫
2
2
S
S
2
n pose - = ( y + z ) d'; = ( z + x ) d';< = ( x + y ) d' S
S
∫
∫
∫
S
S
S
S
= yzd' ; >= zxd' ; = = xyd'
∫
2
4
2
4
- = ( y + z ) d' ='o'ent d inertie deS 8 l axe ( O , x ⃗) S
∫
4
⃗) = = xyd'= produit d inertie de S auxaxes ( O, x⃗ ) et ( O , y S
∫⃗
Opérateur d inertie de S enO est : u⃗ ⟼ V⃗ O ( S , u⃗ )= OP ∧ ( u⃗ ∧ OP ) d' 4
⃗
S
$et op!rateur est lin!aire don repr!senta7le par une "atrie *ui est appel! "atrie dEinertie [ I O (S ) ]
Page 14 of 18
313460520MG
[
- − = − > ⃗ ) , ⃗V O ( S , z⃗ ) = − = − T O ( S ) = ⃗ V O ( S , x⃗ ) , ⃗ V O ( S , y − > − <
] [
[
]
]
T ( S / U )=i⃗ ⋅ ⃗ V O ( S , i⃗ )
[ I (S ) ]
∀ ≤ point O
&st une "atrie s,"!tri*ue don en
O
( x
prinipale
⃗
1
, y 1 , z 1 ) ⃗
dans la*uelle
⃗
[
[ I (S ) ]= O
-1
0
0
0
1
0
0
0
< 1
il eiste au "oins une 7ase
]
est diagonale àd
1= >1= = 1=0
ans e as les "o"ents sont appel!s "o"ents prinipau dEinertie de S en i ls sont les aleurs propres de lEop!rateur dEinertie ans e as les aes sont appel!s aes prinipau dEinertie de S en
∫
2
2
2
∫
2
T O = ( x + y + z ) d';T O = z d' xy
S
S
Soit @ ( a , 9 , 1 ) en peut fa1ile'ent 'ontrer la FGde 26M@2>#S - = - @ + ' ( 9 + 1 ) ; .et = = = @ + 'a9 2
2
Par d!o"position de itesse on peut "ontrer *ue +
⃗ - ( S / R )= ∫ -P ∧ ( P / R ) d'=' -@ ∧ ( - ∈ S / R ) + ∫ -P ∧ [ %S / R ∧ -P ] d'= ' -@ ∧ ( - ∈ S / R ) + ⃗V - ( S , % S/ R )
⃗
⃗
⃗
P ∈ S
⃗
⃗
⃗
⃗
P ∈ S
⃗
⃗
&nergie in!ti*ue de S ds son "t % à + W ( S / R )=
1
∫ [ ( P / R ) ] 2 ⃗
2
d'
S
on inter1ale - ∈ S ⇒ W ( S / R )=
1
-P ] [ ( P / R ) ] d' ∫ [ ( - ∈ S / R ) +% / ∧ ⃗ ⃗
2
⃗
⃗
S R
S
( S / R )= { < ( S / R ) } $ { ϑ ( S / R ) } ⇒ 2 W ( S / R ) = ' ( @ / R ) ⋅ ( - ∈ S / R ) + % S / R $ ⃗ ⃗
⃗
⃗
&non! du prinipe fonda"ental de la d,na"i*ue + il ∈ au 'oins un repEre aliliéen R et un 1Gronoloie alilienne tel (ue :
{ ( e / R ) }= {I ( ´e ? e ) } ∀ ( e ) ⊂ ( > )
Soit un ense"7le "at!riel (&) dont la position % salaires ind!pendants
R
est totale"ent d!#nit par n no"7res
(i ( t ) (i<1 à n) en appli*uant le prinipe fonda"entale de la
d,na"i*ue sur un sousBense"7le "at!riels (e) donnent des !*uations salaires diK!rentielle de seonde ordres ontenant des para"tres (i ( t ) , (´ i ( t ) , (´ i ( t )
⃗
Page 15 of 18
313460520MG (i
es onditions initiales n!essaires pour la r!solution du s,st"e si les
sont les inonnus
(i ( t 0 ) , (´ i ( t 0 ) ,
sont C
$es !*uations sont des !*uations de "oue"ent f ( (i ( t ) , (´ i ( t ) , t ) =1onstante
.nt!grale pre"ire de "oue"ent
;- des ations "utuelles + on peut "ontrer *ue ∀ ( e1 ) et (e 2 ) tel (ue ( e 1 ) X ( e 2) =∅ en'vt 8 R ; I ( e 1 ⟶ e 2 ) =− I ( e 2 ⟶ e 1 )
{
}
{
}
&pression du prinipe fonda"entale de la d,na"i*ue dans un repre non galil!en Soit R unrepErenon alilién en'vt 8 R et ona Γ ( P / R ) = Γ ( P / R ) + Γ ( P ∈ R / R ) + 2 % R / R ∧ ( P / R ) ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
{
} {
} {
}
on1 : { ( e / R ) } = ( e / R ) + ie ( e , R / R ) + i1 ( e , R / R ) =¿
'e
{ ( e / R ) }= {I ( ´e ? e ) }
{ ( e , R / R ) }= ie
-
{ ( e , R / R ) }= i1
-
{ {
− ∫ Γ ( P ∈ R / R ) d' ⃗
− ∫ -P ∧ Γ ( P ∈ R / R ) d'
⃗
}
=torseur des effetsd 4 inertie d4 entraine'ent sur ( e ) ds son 'vt R et R
P ∈ e
⃗
P ∈ e
− ∫ 2 % R / R ∧ ( P / R ) d' ⃗
⃗
P ∈e
− ∫ -P ∧ [ 2 % R / R ∧ ( P / R ) ] d' P ∈ e
⃗
⃗
⃗
}
=torseur des effets d 4 inertie de
&*uili7rage d,na"i*ue + Soit S en liaison piot sans frotte"ent dEae Soit R 0 (O , x 0 , y 0 , z 0 ) li!e à ⃗
&t
⃗
S0
⃗
^
( O , z 0 ) ae S 0 ⃗
⃗ , z 0 ) li!e à et R ( O , x⃗ , y
S
⃗
O@ = a x ⃗ + 1 z 0
θ=( x 0 , x⃗ ) et
⃗
⃗
[
]
- − = − > T O ( S ) = − = − − > − < ( x,⃗ y⃗ , z )
[
]
{
' Γ ( @ / R 0 )
{ ( S / R ) }= 0
O
⃗
⃗J O ( S / R 0 )
⃗ O ( S & R 0 )= ⃗V O ( S , % S/ R ⃗
0
}
ave1
[
0
⃗
{
' Γ ( @ / R 0 )=' ⃗
[
[
] [
]
d d ´ ( a θ y⃗ ) =' ( a θ´ y⃗ + a θ´ 2 x⃗ ) ( @ / R 0 ) = ' dt dt R R ⃗
0
]
0
[
⃗J O ( S / R0 ) = d ⃗ O ( S / R0 ) + ' ( O / R 0 ) ∧ ( @ / R 0 )= d ⃗ O ( S / R 0 )
- − = − > )= − = − − > − <
dt
⃗
⃗
R0
]( ) ( ) − > θ´ = − θ´ θ´ ( x⃗ , y, < ´θ ⃗ z ) 0 0
0
⃗
( x⃗ , y⃗ , z ) 0
⃗
dt
]
R0
Page 16 of 18
313460520MG
[
] [
]
⃗J O ( S / R 0 )= d ⃗ O ( S / R 0 ) = d ⃗ O ( S / R 0 ) + % R/ R dt dt R R 0
⃗
0
( ) ()( )
− > θ´ + O ( S / R0 ) = − θ´ ∧⃗ < θ´ ( x⃗ , y⃗ , z ) 0
⃗
(
− > ´θ + ´θ ¿ − ´θ− > θ´ < θ´
2 2
)
− > θ´ 0 0 ∧ − θ´ θ´ < θ´ ( x⃗ , y, ⃗ z ) 0
⃗
( x⃗ , ⃗y , z ) 0
⃗
{( ) } ( )
'a θ´ 'a θ´ 0 ( x⃗ , y, ⃗ z ) 2
{
' Γ ( @ / R 0 )
{ ( S / R ) }= 0
O
⃗
⃗J O ( S / R 0 )
}
=
O
− > θ´ + θ´ 2 − θ´ − > θ´ 2 < ´θ
0
⃗
( x⃗ , y⃗ , z0 ) ⃗
{ ( S / R ) }= { I ( S´ ? S ) }={ I (S ? S ) }+ { I ( > ? S ) } 0
0
'e & est lEorgane *ui trans"et le "oue"ent à S
{( } { } ( )
( ) ) ( ) L S + L > M S + M >
'a θ´ 2 ' a θ´ 0 ( x⃗ , y⃗ , z )
0
0
− > θ´ + θ´ − θ´ − > θ´ 2 < θ´ 2
N S + N > ( x⃗ , y⃗ , z )
=
0
⃗
0
0
⃗
A S + A > 0 S + 0 > 0
0
# >
⃗ y ⃗ , z0) ( x, ⃗
a liaison entre
S et
ind!pendant de
θ´ et θ´
on il faut *ue +
S0
( x⃗ , y⃗ , z0 ) ⃗
est !*uili7r! ssi les ations "!ani*ues de la liaison seront
{
a =0 > = =0
&n prati*ue lE!*uili7rage par lEa:out de 2 "asses
' 1 et '2
*ui doient respeter 4 !* (faile à
"ontrer) + 'a+ '1 x1 + '2 x 2= 0 '1 y 1 + ' 2 y 2= 0 + '1 y 1 z 1 + '2 y 2 z 2= 0 > + '1 x 1 z 1 + '2 x 2 z 2= 0
{
e"ar*ue + on peut au lieu dEa:outer les "asses les enleer Puissane d!elopp! par lEation "!ani*ue de
( C ) sur ( S ) dans le "t de ( S )
% <
P ( C ? S & R ) = { I ( C ? S ) } ⋅ { ϑ ( S / R ) }
Puissane d!elopp! par les ations "utuelles entre P ( C Y > & R )= P ( C ? > & R )+ P ( > ? C & R )
( C ) et ( > ) dans leur "t % <
Page 17 of 18
313460520MG
n peut "* la puissane "utuelle est ind!pendante du repre d’oL on la note + P ( C Y > ) ⟺ P ( S 1 Y S 2 )= P ( S 1 ? S2 & S1 )
P ( S 1 Y S 2 )=0
S 1 et S 2
on en as de liaison parfaite entre
t 2
∫
t 2 t 1
7 ( C ? S & R ) = P ( C ? S & R ) dt
e traail +
t 1
( C ? > & R ) &st une !nergie potentielle de ( > ) A assoi! à lEation "!ani*ue de
( C ) sur ( > ) A ds le "t de ( > ) % si il −d P ( C ? > & R )= ( C ? > & R )
∃
une !*uation salaire !ri#ant +
dt
e "/"e en d!#nit lE!nergie potentielle entre deu ense"7les assoi!s au ations "utuelles &nergie in!ti*ue + ( S / R ) ={ I ( S´ ? S ) } ⟹ ( S / R ) { ϑ ( S / R ) }= { I ( S´ ? S ) } {ϑ ( S / R ) }
{
}
{
}
⟹ ( S / R ) { ϑ ( S / R ) }= P ( S´ ? S / R )
{
}
{ ( S / R ) } {ϑ (S / R )} =
{
-
∫ Γ ( P / R ) d' ⃗
P ∈ S
-P ∧ Γ ( P / R ) d' ∫ ⃗ ⃗
P ∈ S
⃗
}
{ ( )} %S / R
⃗
- / R
-
[
P ∈ S
⃗
⃗
⃗
⃗
( - / R ) = ( P / R ) + -P ∧ % S/ R ⇒ ⃗
&n re"plae
⃗
⃗
⃗
⃗
( P / R ) ⋅ Γ ( P / R ) + ( -P ∧ % S / R ) ⋅ Γ ( P / R ) + % S/ R ⋅ ( -P ∧ Γ ( P & R ) ) ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
-P ∧ %S / R ) ⋅ Γ ( P / R ) + % S/ R ⋅ ( ⃗ -P ∧ Γ ( P & R ) ) =0 ( ⃗ ⃗
⃗
⃗
on
⃗
⃗
!"onstration par alul anal,ti*ue
{ ( S / R ) } {ϑ ( S / R ) }= ∫ ( P / R ) ⋅ Γ ( P / R ) d' ave1 Γ ( P / R ) = ddt ( P / R )
⃗
⃗
⃗
⃗
P ∈ S
{
} ∫
}{
⇒ ( S / R ) ϑ ( S / R ) =
P ∈S
(
d 1 ( P / R ) dt 2
[
⃗
] ) d'= ddt 12 ∫ [ ( P / R ) ] d' 2
2
⃗
P ∈ S
2 d 1 ( P / R ) d' = P ( ´S ? S / R ) dt 2 P ∈S
∫[
⃗
]
d F ( S / R ) = P ( ´S ? S / R ) dt F ( S / R )
&st lE!nergie in!ti*ue galil!enne de
Pour un ense"7le de
]
= ∫ ( - / R ) ⋅ Γ ( P / R ) + %S / R ⋅ ( -P ∧ Γ ( P / R ) ) d'
⃗
(S )
( > ) solide ( S1 ) , , ( S n ) en "t % R on "* +
⃗
Page 18 of 18
313460520MG n
d ´ ? > / R ) + F ( > / R )= P ( > P ( S i Y S 3) dt i =1, 3 = 2
∑ i< 3
ors*ue les puissanes interenant dans le t-!or"e de lE!nergie in!ti*ue sont nuls ou ( > & R ) d!rient dE!nergie potentielle dont on note la so""e e t-!or"e sera +
−d d F ( > / R )= ( > & R ) dt dt .l
∃ un int!gral pre"ier "oue"ent(ou !nergie in!ti*ue) F ( > / R ) + ( > & R ) =< < est d!ter"in! en fontion des onditions initiales du "t
( > ) est la so""e de son !nergie potentielle et son
Par d!#nition lE!nergie "!ani*ue de
!nergie in!ti*ue Eint!gral pre"ier de lE!nergie in!ti*ue traduit la onseration de lE!nergie "!ani*ue dEun s,st"e ( > ) appel et astues + ( ? S / R )=' G@ 2 F ( > / R )=2 F ( S1 / R ) + + 2 F ( S n / R ) = I e Zi ; I e =inertie é(uivalent 2
F + =< ⇒ θ´ + -1osθ = − 2
d 1 ? 2 θ´ θ´ + - ´θsinθ = 0− ? θ´ + -sinθ = 0 ´ dt 2θ
−linéarization pro1Gede θ =0 ? θ´ + -θ=0 1 1as : ´θ−Z 0 θ =0 ⟹ θ (t )=θ 0 cos ( Z0 t ) er
2
´ + Z0 θ =0 ⟹ θ ( t )=< cos ( Z0 t ) + cos ( Z0 t ) < et seront déter'iné par les
2
4
()
4
4
4
4
()
4
4
4 4 ( log9 f ) = f ( ) ; ( ln ( f ) ) = f f ; ( e f ) = f 4 e f ; f = f −2f ; 1 = 2 ; ( f )4 = f 4 + f 4 fln 9 4
( f ) )4 =)f ( f ) − )4 ; ( ∘ f )4 =( 4 ∘ f ) f ; ( f − )4 = 1
[ =
@ I 0 l
1
[ ]
[
1
[ ]
# ' # =raideur de torsion ; @ 2 ='odule de1oulo'9; rad '
l [ ' ] =loneur du poutre entorsion I 0 [ ' ] = 4
\ 'ax =
< torsion d 2 I 0
−1
f =ré1ipro(ue de f −1 4 f ∘ f
; \ 'ax
[ ]
Bd
4
32
# =1ontrainte tanentielle'axi'al 8la se1tion d 4 unepoutre en torsion 2 '
oir e p26 *uestion 5 & p26N ino"pr!-ensi7le
