Canaux à surface libre et ressaut : TD / exercices – LPAIL3S6 – Année 2007-2008
LICENCE L3S6 2007-2008 Mécanique des Fluides TD – Canaux libres – Ressaut - Corrigé Allée de von Karman derrière un cylindre-Image équipe ITD-IMFS
Dany Huilier – 24 mars 2008
Ecoulements à surface libre, écoulement fluvial, torrentiel ,écoulement en canal ouvert Ressaut hydraulique
Support sur la toile : Mots-clés : Hydraulic jump – Open Channel flow – Chezy, Chezy, Manning/Strickler coefficient
Exercices d’application Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.35) 10.35) Un canal rectangulaire transporte 6 m3/s. Déterminez la profondeur et la vitesse critique pour une largeur de canal b de 3 (cas a) ou de 4 mètres (cas b). Dans le cas (b) , qu’elle est la pente qui va provoquer un écoulement critique si on prend comme coefficient de rugosité de Manning n = 0.020 ? (a) y c
=3
q2 / g
=3
(6 / 3) 2 / 9.81 = 0.742 m / s , Vc
=
gy c
=
9.81 x 0.742
= 2.70 m / s
(b) y c
=3
q2 / g
=3
(6 / 4) 2 / 9.81 = 0.612 m / s , Vc
=
gy c
=
9.81 x 0.612
= 2.45 m / s
On sait que : Vc
=C
RS
=
1.0
R 1 / 6 . RS
=
1.0
R 2 / 3 .S1 / 2
n n Dans le cas (b), on aura, sachant que la surface A = 4m x 0.612m et le périmètre mouillé P = 4m (fond) + 2 x 0.612 m (les deux côtés) = 5.224 m, et R = A/P :
⎛ 4 x 0.612 ⎞ 2.45 = ⎜ ⎟ 0.020 ⎝ 5.224 ⎠ 1.0
2/3
S1 / 2 , soit
S = 0.00660
Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.10) 10.10) De l’eau coule dans un canal rectangulaire ouvert, en béton, dont la largeur est de 12 m et la profondeur de 2.5 m ; la l a pente S du canal vaut 0.0028 ; trouver la vitesse et e t le débit de l’eau. On prendra pour une surface en béton n = 0.013
Par la loi de Manning, V
=C
RS
Le rayon hydraulique vaut : R =
La vitesse est alors : V
=
1.0 0.013
=
1.0
R 2 / 3 .S1 / 2
n ( 2.5m)(12m)
2.5m
+ 12m + 2.5m
(1.765) 2 / 3 (0.0028)1 / 2
= 1.765 m
= 5.945 m / s
Le débit volumique correspondant est alors : Q = AV = ( 2.5m)(12m)(5.945 m / s) = 178 m 3 / s
1
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Exercice 3 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.13) 10.13) Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de Manning. a) Solution de Kutter Le coefficient de Kutter est donné par : 0.00155 1 + 23 + S n C= n ⎛ 0.00155 ⎞ 1+ ⎜ 23 + ⎟ S ⎠ R ⎝
Le rayon hydraulique hydraulique est : R =
(1.22m)(0.61m)
= 0.305 m + 1.22m + 0.61m Le calcul du coefficient de Kutter donne : C = 54.1 m1 / 2 / s 0.61m
Le débit est alors : Q = AV = AC RS
= (1.22m)(0.61m)(54 m1 / 2 / s)
(0.305m)0.0004
= 0.444 m 3 / s
b) Solution de Manning
Q = AV = AC RS
=A
1.0
= (1.22m)(0.61m)
1
(0.305m) 2 / 3 (0.0004 )1 / 2
0.015 1.0 1 / 6 soit encore si on calcule le coefficient de Manning : C = R n
Q = AV = AC RS
n
R 2 / 3 .S1 / 2
= (1.22m)(0.61m)(54.7 m1 / 2 / s)
= 0.45 m 3 / s
= 54.7 m1 / 2 / s et
(0.305m)0.0004
= 0.45 m 3 / s
Les 2 lois donnent des résultats identiques Exercice 4 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.41) 10.41) Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de de 1 m sur 100 m. L’écoulement L’écoulement est-il surcritique surcritique ou ou sous-critique sous-critique ?
Solution : Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100, l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique. On sait que dans les conditions critiques : 11.3 m 3 / s 3 q max = gy c , soit q max = = 2.456 m 2 / s et la hauteur critique sera : 4.6 m yc
=3
2 q max /g
=3
(2.456) 2 / 9.81 = 0.851 m
On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la relation de Chezy-Manning : Q = A
1 n
R 2 / 3S1c / 2
2
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11.3 m
3
Soit S c
( 4.6m)(0.851m) ⎞ ⎛ 1.0 ⎞⎛ ⎟ / s = ( 4.6m)(0.851m)⎜ ⎟⎜⎜ ⎝ 0.012 ⎠⎝ 4.6m + 2(0.851 m) ⎠⎟
2/3
S1 / 2
= 0.0023 . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc
l’écoulement sera torrentiel (surcritique). Exercice 5 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.55) 10.55) Un canal rectangulaire, de 6.1 m de large, transporte 11.3 m 3/s d’eau et les déverse sur un tablier de 6.1 m de large sans pente avec une vitesse moyenne de 6.1 m/s provocant un ressaut hydraulique ; quel est la hauteur de ce ressaut ? quel est l’énergie absorbée (perdue) par le ressaut ? Remarque : Le ressaut est un dissipateur d’énergie. Lorsqu’on effectue la conception de bassins de tranquillisation tranquillisatio n (stabilisation) de ressauts, la connaissance de la longueur du ressaut et de la profondeur aval y2 est importante. Il y a en général bonne dissipation d’énergie quand en amont, les conditions vérifient V12 ≈ 20 à 80 gy1 Rappel : (revoir le cours sur le ressaut, avec comme notations y = h) Si on considère un débit par unité de largeur q = V1 y1 = V2 y 2 , on sait que :
q2 g
1
= y1 y 2 ( y 1 + y 2 ) 2
Solution : Les conditions amont sont : V1 = 6.1 m / s , q = (11.3m 3 / s) /(6.1m) = 1.85 m 2 / s
y1 = q / V1 = 1.85 / 6.1 = 0.303 m Les conditions aval sont à calculer, sachant que la hauteur aval vérifie une équation en y 2 du 2ème degré : q2 1 (1.85) 2 1 = y1 y 2 ( y 1 + y 2 ) , = (0.303) y 2 (0.303 + y 2 ) , soit g 2 9.81 2 0.349 = 0.045y 2 + 0.152 y 22 Les solutions sont : - 1.67 m et + 1.37 1.3 7 m. On ne retiendra évidemment év idemment que la solution solutio n positive : y 2 = 1.37 m . La hauteur du ressaut sera alors : 1.37 m – 0.303 m = 1.07 m Encore faut-il vérifier qu’il y a ressaut : la hauteur critique est donnée par yc
=3
q2 / g
=3
(1.85) 2 / 9.81 = 0.70 m > y1
Par conséquent l’écoulement en amont est bien sous-critique (fluvial) à hauteur 0.303 m et l’écoulement en aval est surcritique à hauteur 1.37 m. Perte énergétique :
3
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En amont : E 1
= y1 +
1 2g
( q / y1 )
En aval la vitesse vaut V2 E2
= y2 +
1 2g
(q / y 2 )
2
2
= y1 +
V12 2g
= 0.303 m +
(6.1m / s) 2 9.81m / s 2
= 2.2 m
= Q /( b.y 2 ) = 11.3 /((6.1)(1.37) ) = 1.35 m / s
= y2 +
V22 2g
= 1.37 m +
(1.35 m / s) 2 9.81m / s 2
= 1.46 m
La perte d’énergie par unité de temps (puissance dissipée) est donnée par : P = ρgQ.ΔH = (10 3 kg / m 3 )(9.81m / s 2 )(11.3m 3 / s)(2.2m − 1.46m) = 81.9 kW sachant que ρgQ est le flux massique et
ΔH = E1 − E 2
Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, (Giles-Evett-Liu, 10.11) 10.11)
Calculer C par l’équation de Powell pour un canal rectangulaire de de 0.61m par 305 mm, si 2 V = 1.68 m/s, ε/R = 0.002 et ν = 0.000039 m /s
⎛ C + ε ⎞ (en us), ⎟ ⎝ Re R ⎠
C = −42. log⎜
⎛ 1.811 x C + ε ⎞ (Powell) ⎟ R ⎠ ⎝ Re
C = −23.20. log10 ⎜
où n et m sont des facteurs de rugosité du canal. On peut d’abord calculer un nombre de Reynolds : Re = 4RV/ ν avec R le rayon hydraulique Celui-ci est donné par : R =
2d 2 4d
=
d
2
=
0.305 2
=
305 2000
⎛ 305 ⎞(1.68) /(39 x 10 −6 ) = 26300 ⎟ ⎝ 2000 ⎠
Soit Re = 4⎜
Ensuite il faut travailler sur une équation non linéaire à une seule inconnue C
⎛ 1.811 x C + ε ⎞ ⎟ ⎝ 26300 R ⎠
C = −23.20. log 10 ⎜
Après il faut une méthode de convergence itérative
éférence : R éférence R.V. Giles, J.B. Evett, C. Liu : Fluid Mechanics and Hydraulics, third edition, Schaum’s Outlines 1994 (également traduit en français)
4
