EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El Ingenio Ingenio “La dulzura” dulzura” produce produce dos tipos tipos de azcar! azcar! re"inada re"inada # sin reinar. reinar. Cada tonelada de azcar re"inado re$uiere % &inutos en la planta de &ezclado # ' en la planta de re"inaci(n. Por su parte! cada tonelada de azcar no re"inado re$uiere ' &inutos en la planta de &ezclado # ) en la planta de re"inado. Si la planta de &ezclado tiene * +oras disponi,les # la de re"inaci(n ) +oras! -Cuntas toneladas de cada tipo de azcar se de,en producir para $ue la planta se utilice al &/i&o0 Soluci(n
Definimos las variables: x =numer numero o de tonela toneladas das de azúcar azúcar refin refinada ada y =numer numero o de tonel toneladasde adasde azúcar azúcar sin refinar
Minutos para para una tonelada de azúcar refinada 5 enmezcla y 4 en refinación refinación
Minutos para para una tonelada de azúcar no refinada 4 en mezcla mezcla y 2 en refinac refinación ión
Pasamos las horas disponibles, a minutos. 3 horas =180 m 2 horas =120 m
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es: 5 x + 4 y =180 4 x + 2 y =120
Solución del sistema: Método Gauss!ord"n
( | )∗ 5 4
4 180 2 120
1
( |)
f 1
= f 1 1 5 4
5
( |)
4
36 5 120 2
∗−4 f 2−4∗f 1= f 2
4
1 0
5 36 −6 −24
∗−5 f 1 /−6
5
6
f 1 −
−4 5
∗f 2= f 1
5
( |)
= f 2 1 0
4
36 5 20 1
# $%&
( |) 1 0
0 20 1 20
{
x ¿ 20 y ¿ 20
Respuesta y =20 , x =20
Se debe producir '( toneladas de tipo para obtener el m")imo de producción.
). Una Una 2ent 2enta a de 3ugo 3ugos s o"re o"rece ce a sus sus clie client ntes es tres tres clas clases es de 3ugo 3ugos s con con prec precio ios s estn estnda dar! r! econ( econ(&i &ico co # espec especia ial. l. Cada Cada uno uno de los los 3ugo 3ugos s conti contien ene e azc azcar ar re"i re"ina nado do!! azc azcar ar natu natura rall # endu endulz lzan ante te arti arti"i "ici cial al sin sin calo calor4 r4as as en di2e di2ers rsas as proporciones. En el 3ugo estndar in2ierte 15 gra&os de azcar re"inado! 6 de natural # 7 de endulzante endulzante arti"icial8 arti"icial8 en el 3ugo econ(&ico econ(&ico in2ierte in2ierte % gra&os de azcar re"inado! ) de natural # * de arti"icial8 para el 3ugo especial in2ierte 15 de azc azcar ar re"i re"ina nado do!! 15 de azc azcar ar &ore &orena na # 1) de endu endulz lzan ante te arti arti"i "ici cial al.. Si el presupuesto le per&ite disponer de )*% li,ras de azcar re"inado! 1%7 de azcar natural # )5% de endulzante arti"icial8 deter&ine cuntos 3ugos de cada estilo podr endulzar con los productos disponi,les para gastar todo el disponi,le.
Soluci(n
Lalibra es equivalente a 500 gramos .
*o primero +ue debemos hacer es pasar de libra a ramos. -omo vemos a continuación se eliminan las partes iuales +ue est"n dividiendo multiplicando en este caso las libras.
235 libras =235 lb ×
500 g
235 libras =158 lb ×
500 g
235 libras =205 lb ×
500 g
lb
lb
lb
=117500 g deazucar refinada =79000 g de azucar refinada
=102500 g de azucar refinada
Para resolver el problema hacemos el siuiente planteamiento sea x 1=≠ de jugoscon precio estandar sea x 2=≠ de jugos con precio economico sea x 3= ≠ de jugos con precio especial
Para disponer de azúcar refinado 10 x1 + 5 x 2+ 10 x 3=117500 g Para disponer de azúcar natural 6 x 1+ 2 x 2+ 10 x 3=79000 g
Para disponer del endulzante artificial 8 x 1+ 3 x 2 + 12 x 3=102500 g
Podemos resolver estos sistemas de ecuaciones /plicando el método de auss !ord"n.
10 x1 + 5 x 2+ 10 x 3=117500 g ( 1 ) 6 x 1+ 2 x 2+ 10 x 3=79000 g ( 2 ) 8 x 1+ 3 x 2 + 12 x 3=102500 g ( 3 )
(
10 6 8
( | ) ( | )
| )
1
1 10 117500 1 f 1 10 79000 10 6 12 102500 8
5 2 3
2 2 3
( | ) ( | ) 1
1
1 11750
2
0
−1
4
0
0
0
−1 f 2
8500 0
1
1
2
1
1 11750 1 f 2−6 f 1 79000 10 f −8 f 1 0 102500 3 12 0
1 11750
0
1
−4
0
0
0
8500
1
f 1− f 2
0
2
(
2 −1 −1
1
0
0
1
0
0
3
1 11750
| ) 16000
−4 8500 0
0
Respuesta
0a infinitas soluciones en lo cual
{( x , x , x ) 1
2
3
∈ !
|( x =16000−3 " = x =−8500 +4 " , x = " ) # " ϵ ! }
3
1
2
3
12emplo x 3=2500= " , x 1=1600 −3 ( 2500 )=8500, x 2=−8500 + 4 (2500 )=1500
Si
Podemos demostrar de la siuiente forma 10 ( 8500 ) + 5 ( 1500 )+ 10 ( 2500 ) =117500
(
)
(
)
(
)
6 8500 + 2 1500 + 10 2500 =117500
8500 f − f 2 4 8500 3 4
8 ( 8500 ) + 3 ( 1500 ) + 12 ( 2500 ) =117500
*. En el siguiente siste&a 9 * : *6 % ; ' : ;15
Soluci(n Regla de Cramer
•
$ t =
[ ]
$ x =
" 3 5
[− ]= 36 10
[
$ y =
x =
x =
4
=4 " 2−15
" 5
$ x $t $ y $ t
=
=
3 4
36 −10
174
]
=190
174 2
4 " −15
190 2
4 " −15
$ t ≠ 0 2
4 " −15 ≠ 0
" =
√
15
−4
¿Cuáles son los valores de k para que el sistema tenga solución única?
3o tiene solución, por lo tanto para cual+uier valor de 4 el sistema tendr" solución única
'. Considere el siste&a
5 x 1−3 x 2 + 4 x 3 =−21 4 x 1+ 5 x 2−7 x 3=25
−7 x 1− 4 x 2+ 2 x 3=−9 5ealizando los procesos adecuados, verificar si el sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene solución. Propona un método r"pido anal6tico para +ue sin tener +ue hacer todos los pasos detecte la validez de su respuesta. Soluci(n
1l desarrollo de sistema de ecuaciones por el método de la matriz disminuida De !ous
|
|
5
−3
+ 4 −21
4
+5
−7 25
−7
−4
2
−9
1=¿ f 1/ 5
f ¿ 2=¿ f 2 −5
( )+ 4
f 1
f ¿ 3=¿ f 3
() 5 7
+ f 1
f ¿
| | 1 −3 / 5
1 −3 / 5 0− 3 7 / 4 0
1321 484
−21
0−31 / 4
5 5 5 1/ 4 4 1/ 4
−127
38 192
0
¿
4
35
4
−21
¿
40481
7
(3 ) 5 5 51/ 4 4 1 /4 ( 2) 404
( )
(3 )
d 1 ( 1) f 3 =f 3 1295 + f 2 ¿ 484
7
Para determinar la matriz debo hacer 7'7%8&9(
1321
d' ';
x 3=
484
40481 484
=¿ x3 =
40481
37
d8 8';
37 4
4
51
x 2+
4
=( 30,64 )=
3
4
−21
5
5
5
x 1− x 2+ x 3=
x 1=
x 1
−21 5
41 4
=¿ x 2=
1321
x 2+
51
41−51 ( 30,64 )
−37
=30,64
4
=
x 3=
21 5
15964 37
% x 2= 411254
3
4
21 +3 ( 41,12 ) − 4 ( 30,64 )
5
5
5
+ ( 411254 )− ( 30,64 )=−21 % x 1=
%
−4,03676 5
Respuesta
-omprobación 1n la ecuación a;
1−¿ 3 ( x 2 ) +4 ( x3 ) =−21 5 x ¿ 5−( 4,0376 ) − 3 ( 41054 ) + 4 ( 30,64 )=−21
−( 4,0376 )−3 ( 41054 ) + 4 (30,64 )=−21
1n la ecuación b;
4 x 1 + 5 x 1=7 x3 =25
4 ( 4,03776 ) + 5 ( 411284 )− 3 ( 3064 )= 25 • •
•
1l sistema tienen única solución. Sin desarrollar el método antes podr6amos verificar si se tiene una única solución, cuando el determinante tiene un valor a 9 cero única solución es determinante; Si el desarrollo del sistema es 9 ( solución infinita 9indeterminante;.
•
-uando
el
valor
determinante
de
los
coeficientes
de
x (¿ ¿ 1 x 2 x3 ) es=cero , generalmente esmas facil desarrollar el sistema por el metodode "ramer
¿
%. Estudie el &Jordan para soluci(n de ecuaciones # analice 24deos so,re la te&tica. Con ,ase en lo analizado dise?e un es$ue&a @&apa &ental! &apa conceptual! llu2ia de ideasA $ue resu&a sus conoci&ientos so,re lo $ue es este &
BJordan para soluci(n de ecuaciones
$l obetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde est"n los coe!cientes de las variables en una matriz identidad# $sto se logra mediante simples o eraciones de suma, resta multi licación#
Procedimiento
Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n n(mero de variables por
*e acomodan los coe!cientes y los resultados en una matriz
Después, $n Para el eemplo, como hacer se cero el ve%' el ensiguiente de la la matriz primera identidad, renglón matrizhay se simplemente tiene que hacer que convertir 0hay toda que la en columna un multiplicar 1, debao seg(n por la delmatriz –1 1, al y se primer identidad, hace as) quepor hay queladividir %',y multiplicando renglón sumarlo algo al !latercero: deentre arriba sum"ndola peroa como la !la una de abao# operación $n este se aplica a toda entonces caso, se multiplica por la %& !la, la !la de arriba
% '+'y-z. 1 &+y%z.-
$l siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso ir)a en donde esta el / en la segunda !la# Para lograrlo hay que dividir toda la segunda !la entre /:
Después se tienen que hacer 0 los que est"n arriba y abao del 1, que en este caso ser)a, para
hora hay que hacer cero la posición a1-# $n este caso con hacer -1 es su!ciente:
Dividir entre - ' nos permite encontrar el otro 1, el de la posición a'':
hora necesitamos ceros en las posiciones a1' y a-'# Dividir entre 2 ' y sumarlo a 1 nos permitir"
$l (ltimo cero lo logramos multiplicando por %2' y sum"ndolo a -: l lasencontrar cuales resuelven la matrizelidentidad sistema de se encuentra ecuacioneslade solución 5orma simult"nea# del sistema de 6a ecuaciones, comprobación pues es esto la se siguiente: traduce a:
%'314'304-3-4. + . 1%'& .1 y . 0 &314304%3-4.&%. z . -
6. Encuentre las ecuaciones para&
⃗
^
^ &'=−4 i^ −8 j −1 "
⃗
^
Soluci(n
Por lo tanto, las contantes para el vector director son: a =−4, b =−8, c =−1
1cuaciones simétricas: x − x 1 a
=
y − y 1 z − z1 b
=
c
Respuesta
¿
x − 9
−4
=
y −7
−8
=
z + 3
−1
. Fallar la ecuaci(n del plano $ue contiene a las rectas ! 1 ¿( 4,2,−1 )+ ( ( 3, −1,5 )
! 2 ¿ ( 3,−1,−2 )+ ( ( 4,3,0 )
Soluci(n
Primero tenemos +ue averiuar si las rectas son paralelas o secantes Para lo cual utilizamos los puntos los vectores de las rectas ( = ( ( 3, −1,5 ) , & ( 4,2,−1 )
) =) ( 4,3,0 ) , ' ( 3,−1,− 2)
Ponemos los datos como intersección de dos planos mediante la ecuación de la recta continua x − 4 y − 2 z −1 ( = = = 3
−1
5
5 x −20=3 z −3
− x + 4 =3 y −6
( =
{− −−
3 z −17 =0 x 3 y + 10= 0
5 x
}
x − 3 y + 1 z + 2 ) = = = 4
3
0
3 x −9 =4 y + 4
4 z + 8 =0
) =
{
3 x − 4 z −13 =0 4 z + 8 =0
}
Para saber +ue rectas son solucionamos por ranos de la matriz, para lo cual necesitamos la matriz de los coeficientes la matriz ampliada. Matriz de los coeficientes
* =
{ } 5 1
0 −3
−1
3 0
−4
0 4
0
0
Matriz ampliada ¿
* =
{
5 1
0 −3
3 0
−4 0
−1
17 0 −10 0 13 4 −8
}
Después hallamos el rano de G! eliiendo un determinante cual+uiera de 8)8, si uno se los determinantes de la matriz, es distinto de cero puedo decir +ue el rano es 8
* =
{ }
[
5 1
0 −3
−1
3 0
−4
0 4
5
0
1
1 3
−3 −4
0 0
0
0
]
=−4 −9 =−13
! ( * )=3
Ha $ue el resultado es distinto de cero el rango de G es *
Para hallar el rano de la matriz ampliada realizamos un determinante $)$ mediante ad2untos Primero utilizamos Gauss para poder convertir el cuatro de fila 8 en cero hacer un solo determinante mediante el método de ad2untos.
¿
* =
{
5 1
0 −3
3 0
−4
−1
17 0 −10 0 13 4 −8
0
}
+ 4 = + 1∗4 + + 4
¿
* =
{
5 1
0 −3
3 20
−4
−1
17 0 −10 0 13 0 60
0
}
5ealizamos este determinante, desarrollamos ad2untos por la columna 8
[
5 1 3 20
−1 ¿1 +3=1 0 −1 17 −3 0 −10 =−1. ¿ −4 0 13 0
0 60
]
1l resultado = es directamente su ad2unto, +ue ser6a eliminar su fila su columna
[
5 1
0 −3
3 20
−4 0
−1
17 0 −10 0 13 0 60
][ =
1 3 20
−3 −10 −4 13 0
60
]
5ealizamos el determ6nate si el resultado nos da distinto de cero el rano seria $
[
3 20
! ( *
]
−3 −10 −4 13 = 240 + 780−800 −540=−320
1
0 ¿
60
) =4
Ha $ue el resultado es distinto de cero el rango de
*
¿
es '
/l encontrar los dos ranos compararlos tenemos +ue ! ( * )=3 ¿
! ( * ) =4
*o +ue nos dice +ue las rectas se cruzan en el espacio. > también podemos decir +ue las rectas son secantes en el plano. Para hallar la ecuación del plano, ordenamos los datos de las rectas ! 1: & ( 4,2,1 ) ( ( 3,−1, 5 ) ! 2: ' ( 3, −1,−2 ) ) ( 4,3,0 )
Para poder hallar la ecuación de un plano necesitamos 7 punto ' vectores, entonces procedemos a hallar el vector por+ue es perpendicular.
&'= p−q
&'=( 4,2, −1)−(3, −1,−2 )
&' por +ué el vector de la seunda recta no nos sirve
&'=(1,3,1 )
>a tenemos lo necesario para poder hallar la ecuación del plano. & ( 4,2,1)
( ( 3, −1,5 )
&'=(1,3,1 )
Respuesta
Para poder hallar la ecuación del plano utilizamos determinantes resolvemos con el método de Sarrus
{
x −4 y −2 z + 1 3
−1
5
1
3
1
}
¿−1 ( x − 4 ) + 5 ( y −2 )+ 9 ( z +1 ) + 1 ( z + 1 ) −15 ( x − 4 )−3 ( y −2 )= 0 − x + 4 + 5 y −10 + 9 z + 9+ 1 z + 1−15 x + 60−3 y + 6 =0
−16 x + 2 y + 10 z + 70 =0
Esta es la ecuaci(n del plano
7. Encuentre la ecuaci(n del con3unto de todos los puntos de intersecci(n de los dos planos 1 =4 x −3 y + 5 z =3
2 =2 x −5 y + z =7
Soluci(n
^ 1 = ´ n1= 4 i^ −3 j´ + 5 " ^ 2 = ´ n2=2 i^ −5 j´ + 1 "
|
n 1 x n 2
4 2
−3 −5
|=^|−− |´ | | ^| −− |
5 1
i
3 5
5 4 j 1 2
5 4 " 1 2
3 5
^ ¿− 22 i^ + 6 j´ + 14 ^" ≠ 0 i^ + 0 j´ + 0 " 3os son paralelos. Método de 5educción de Gauss!ord"n.
[
[
[ [ [ *as ecuaciones resultantes son:
4 2
1 2
1 0
1
−3 −5
]
5 3 1 f 1 17 4
−3
5 3
4
4 4
−5
1 7
−3
5
4 −7
1
3
] ]
2
− f 2 7
3 4 4 f 1 f 2 3 −11 4
1
0
2
5
4
0
3
2
−3
1
f 2−2 f 1
4 4 −3 11
2
0
]
7
7
11
−3
7 3
7 −11
7
7
]
x
11 7
z =
−3 7
3
−11
7
7
y z =
Despe2amos x y , tenemos? x =
y =
−3
+
11
−11
3
7
7
7
z
+ z 7
. z = z Si desinamos a z =t
x =
y =
−3
+
11
−11
3
7
7
7
t
+ t 7
. z =t Son las ecuaciones paramétricas de la recta en +ue se intersectan los dos planos Sea t =1 entonses: x =
y =
−3
+
11
−11
3
−8
7
7
7
7
7
=
+ =
8 7
z =1
Respuesta
1 y 2
(
8 7
,
−8 7
)
,1
D. eter&inar las ecuaciones para&
x − 1 5
=
= t
2
y +1 2
= z + 3
=t z + 3 =t
x −1=5 t y + 1 =2 t x =5 t + 1 y =2 t −1 z + 3 =t x =5 t + 1 y =2 t +1 z =t −3
p (−5,−2,−3 ) pq < 6,1,0 ¿ u=( 5,2,1 ) -cuación general
|
|
x + 5
y +2
z −3
5 6
2 1
1 0
Respuesta
+ 5 ( z −3 )−12 ( z −3 ) −( x + 5) 6 y + 12 +5 z −15 −12 z + 36 − x −5 ¿− x + 6 y −7 z + 28 ¿0 6 ( y + 2 )
&lano− x + 6 y −7 z =−28
Desarrollo matriz por método de sarrus. ¿ 0 + 6 ( y + 2 ) + 5 ( z− 3) z −3 −( x + 5 )−0
−12 ¿ ¿ 6 y + 12+ 5 z −15−12 z + 36 − x −5 ¿− x + 6 y −7 z + 28 =0
15.Para el siguiente plano K : '/ )# 9z : 1 proponga planos $ue cu&plan las siguientes condiciones
a; @ue sea un plano paralelo b; @ue sea un plano ortoonal c; @ue sea un plano coincidente el mismo plano;
ILIO=RGMIG
AúBia, -amilo '(7(;. Módulo /lebra *ineal. Coot", 3/D. 5ecuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7193
>ouou
Mesa, ., /lirio, 1., ern"ndez, S. . '(7';. Fntroducción al "lebra lineal. Coot", -: 1coe 1diciones. P"inas TT a 7(8. 5ecuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadp/detail.action! doc"#$105'(265%p00$algebra&lineal
