15/12/2016
CAPITULO VII CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNO PARA UN SOLO PROYECTO
TASA DE RETORNO
Es la tasa de interés pagada sobre saldos insolutos de dinero tomado en préstamo a la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión (prestado) prestado) de tal manera que el pago o el ingreso final, lleva el saldo a cero considerando el interés (ganado o adeudado)
Este método de evaluación económica, económica, consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplan las condiciones buscadas buscadas en el momento de evaluar un proyecto de inversión y que se da cuando se igualan los ingresos y los costos.
EJEMPLO SALDO INSOLUTO Conocida también como tasa interna de rendimiento, es un instrumento o medida usada como indicador al evaluar la eficacia de una inversión.
En este ejemplo se tiene una deuda de $60,000 con un interés sobre saldo insoluto del 5%, el cuál amortiza $10,000 a un plazo de 6 meses
Período
Saldo Inicial
Intereses sobre saldo insoluto 5%
1
60,000
3,000
63,000
10,000
13,000
50,00
2
50,000
2,500
52,500
10,000
12,500
40,000
3
40,000
2,000
42,000
10,000
12,000
30,000
4
30,000
1,500
31,500
10,000
11,500
20,000
5
20,000
1,000
21,000
10,000
11,000
10,000
6
10,000
500
10,500
10,000
10,500
0
Total: $10,500.00
Saldo con interés Amortización
Pago Total (amortización+intereses
Saldo Final
La TIR sirve para identificar claramente claramente el tiempo en que recuperaremos el capital asignado a una inversión. Para su calculo también se requiere proyectar los gastos por efectuar (valores negativos) e ingresos por recibir (valores positivos) que ocurren en períodos regulares. La TIR puede utilizarse como indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor rentabilidad; así, se utiliza como uno de los criterios para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión
1
15/12/2016
Como ya se ha comentado anteriormente, la TIR o
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA TASA DE RETORNO
tasa de rendimiento interno, es una
herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para conocer la factibilidad de diferentes opciones de inversión.
El criterio general para saber si es conveniente realizar un proyecto es el siguiente:
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA TASA INTERNA DE RETORNO
IMPORTANCIA
Encuentra una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Se respalda del valor presente (VP) lo cual nos permite evaluar la rentabilidad de un proyecto de inversión. En realidad, dejando de lado el aspecto matemático del tema, la TIR no es nada más ni nada menos, que la tasa de rentabilidad promedio anual que el proyecto paga a los inversi onistas por invertir sus fondos allí.
Si una persona puede hacer hoy una inversión comercial que requiere un gasto de $ 3,000 para recibir $ 5000 dentro de cinco años, ¿ cuál seria la tasa de retorno sobre la inversión? SOLUCIÓN
PASO 1: comprender el problema PASO 2 : graficar
2
15/12/2016
0.6209 0.6000 0.5935
F = $ 5,000
1
2
3
10% i% 11%
4
. −.
C = . −. 1 1 1 0 =
P = $ 3,000
. .
= 0.7628
i = 10+0.76 = 10.76%
La tasa de interés puede encontrarse estableciendo las ecuaciones P/F ó F/P y despejando directamente el valor del factor. Usando P/F.
CALCULO DE LA TASA DE RETORNO POR EL MÉTODO DEL VALOR PRESENTE
P = F(P/F,i%,n) 3,000 = 5,000(P/F,i%,n) (P/F,i%,n) = 3,000 = 0.6000 5,000
a cu o e a tasa e retorno por e método del valor presente De las tablas de interés, un factor P/F de 0.6000 para n igual a 5 años se encuentra entre 10% y 11%. Interpolando entre estos dos valores, utilizando la ecuación tenemos: Tabulado Deseado Tabulado
valor 1 no listado valor 2
En los cálculos de la tasa de retorno el objetivo es hallar la tasa de interés a la cual la suma presente y la suma futura son equivalentes. La tasa de retorno es una expresión que simplemente iguala una suma presente de dinero con el valor presente de sumas futuras. = =
: Valor presente de los desembolsos. : Valor presente de los ingresos.
3
15/12/2016
Ejemplo:
Procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno por el método del valor presente
1.- se dibuja un diagrama de flujo de caja. 2.- se establece la ec. De la tasa de retorno en la forma: = 3.- se establece los valores de i* por ensayo y error, hasta lograr el balance de la ecuación. Probablemente sea necesario hallar i* utilizando interpolación lineal.
0 =
Procedimiento para el cálculo de la tasa interna de retorno por el método del valor presente
Cuando se utiliza el método de ensayo y error para determinar i* el problema es combinar los flujos de caja en el formato de solo uno de los factores normalizados. 1. se convierte todos los desembolsos a cantidades únicas ya sea (P o F) o cantidades uniformes (A), despreciando el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo si se desea convertir un valor A F, bastara con multiplicar A por el número de n años.
2. se convierten todos los ingresos a cantidades uniformes. 3. habiendo reducido todos los ingresos o desembolsos a cualquier formato (P/F, P/A o A/F), se utilizan las tablas de interés para hallar la tasa aproximada de interés para la cual el valor de (P/F, P/A o A/F), respectivamente se satisfacen. Nota: recuerde que la tasa de retorno obtenida por este procedimiento es simplemente un estimado de la tasa real de retorno.
Si se invierten $ 5000 hoy en un fondo del cual se espera que produzca $ 100 anuales durante 10 años haciendo un valor futuro de $ 7000 ¿Cuál es la tasa de retorno?
3.- se establece los valores de i* por ensayo y error, hasta lograr el balance de la ecuación. Probablemente sea necesario hallar i* utilizando interpolación lineal. Se utiliza el procedimiento de estimación ya explicado, para determinar la tasa de interés para el primer ensayo. Todos los ingresos se consideran como un solo valor futuro F en el año 10, de manera que pueda utilizar el factor P/F. P= $ 5000 F=n(A) F= 10(100) + 7000 F=8000 Ahora podemos plantear que: 5000 = 8000(P/F, i*%,10 ) 0.625 = (P/F, i*%,10)
La tasa de interés esta entre 4% y 5%. Por consiguiente, utilizaremos i=5% en la ecuación (*).
0 = -5000 + 100(P/A,5%,10) + 7000(P/F,5%,10) (+i)n− 0 = -5000 + 100( i(+i)n ) + 7000( (+i)n) (+.)−
0 = -5000 + 100( .(+.)) + 7000( (+.)) 0= -5000 + 772.17 + 4297.39 0ǂ $ 69.56
Estamos poco pasados por el lado positive, lo cual indica que los ingresos reportan mas del 5%. En consecuencia trataremos con i=6%.
0 = -5000 + 100(P/A,6%,10) + 7000(P/F,6%,10) (+i)n− ) + 7000( (+i)n) i(+i)n (+.)− 100( .(+.)) + 7000( (+.))
0 = -5000 + 100( 0 = -5000 +
0= -5000 + 736.01 + 3908.76 0ǂ $ -355.22
Ejemplo:
0 = -5000 + 100(P/A, i*%,10) + 7000(P/F, i *%,10)………..(*)
Ejemplo:
2.- se establece la ec. De la tasa de retorno en la forma:
Ejemplo:
Como la tasa de interés del 6% es muy alta, interpolamos.
+69.56______ 5% 0________i% -355.22_______6% 69.56 0 5 = 69.56 355.22 5 6
Solución:
1.- se dibuja un diagrama de flujo de caja.
69.56 5 = 424.78 5.16%=
Observe que ensayamos con 5% y no con 4% en el primer tanteo. Se utilizo el valor mas alto debido a que al suponer que los 10 montos de $100 eran equivalentes a $1000 en el año 10, la tasa aproximada para el factor P/F era menor que el verdadero valor. Esto se debe a despreciar el valor del dinero en el tiempo. por consiguiente, el primer valor de ensayo para i se tomo por encima del indicado por el factor P/F, con el objeto de mejorar la precisión.
4
15/12/2016
PROBLEMA
CALCULO DE LA TASA DE RETORNO POR EL MÉTODO COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
EL MÉTODO DEL CAUE
De la misma manera como i* puede encontrarse utilizando una ecuación VP, también puede determinarse mediante la forma CAUE de la ecuación [2].
Si se invierten $ 5000 hoy en un fondo del cual se espera que produzca $ 100 anuales durante 10 años haciendo un valor futuro de $ 7000 ¿Cuál es la tasa de retorno? utilizando el método del CAUE calcule la tasa de retorno de la inversión
SOLUCION: 1.-La figura muestra el diagrama del flujo de caja
Este método se prefiere, por ejemplo, cuando hay flujos de efectivo anuales uniformes involucrados. El procedimiento es el siguiente:
1. Dibuje un diagrama de flujo de efectivo. 2. Defina las relaciones para el CAUE de los desembolsos, y el CAUE de las entradas, con i* como variable desconocida. 3. Defina la relación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación , 0 = -CAUEd + CAUEr. 4. Seleccione valores de i* por ensayo y error hasta que la ecuación esté equilibrada. De ser necesario, interpole para determinar i*. Aquí también puede utilizarse el procedimiento de estimación planteado en la sección (2) para el primer valor de i.
2.- La relaciones del CAUE para desembolsos e ingresos son: CAUEd =-5000(A/P,i%,10) CAUEr =100+7000(A/F ,i%,10) 3.-La formulación CAUE utilizando la ecuación (2) 0=-5000(A/F,i%,10)+100+7000(A/F ,i%,10) Los resultados son
i*=5% i*=6%
0≠$+9.02 0≠$-48.26
La interpolación nos conduce a i* =5.16% c Así pues , para el calculo de la tasa de retor no se puede escoger entre el método del VP o el método de CAUE
5
15/12/2016
PARA INVESTIGACIÓN DEL ESTUDIANTE
Supongamos que nos ofrecen un proyecto de inversión en el que tenemos que invertir 5.000 euros y nos prometen que tras esa inversión recibiremos 2.000 euros el primer año y 4.000 euros el segundo año.
FACTIBILIDAD
Si el VPN es positivo quiere decir que se generará riqueza o valor con la aceptación del negocio. Si el VPN es negativo se perderá riqueza, o sea se destruirá valor con la aceptación del negocio.
Cual será la tasa se rentabilidad o tasa de retorno (i) Traer ejemplos resueltos tipos para debatir en la clase
Como se necesita tener un valor presente neto (VPN) al inicio de cada periodo es necesario tener las siguientes formulas conocidas en clase que son :
VALOR PRESENTE NETO =
VALOR PRESENTE NETO
Es considerado el método más adecuado y el más seguro de los existentes para evaluar proyectos de inversión. El valor presente neto de un proyecto de inversión no es otra cosa que su valor medido en soles de hoy. O es el equivalente en soles actuales de todos los ingresos y egresos presentes y futuros que constituyen el proyecto. El Valor presente de un proyecto es la ganancia o perdida que genera el proyecto en soles.
1 2 3 ⋯ 1 1 2 1 3 1
EJEMPLO 1:
Calcular el VPN de un negocio de la MINA CERRO VERDE representado en una inversión de 1.000 millones de dólares que genera unos flujos de fondos estimados de 100, 400, 400, 500 y 100 millones de dólares correspondientemente en cada uno de los cinco años de vida del proyecto, con i* = 20% anual.
6
15/12/2016
SOLUCION:
El diagrama de caja es:
EJEMPLO 2:
Se requiere de un equipo para el manejo de material con valor de mercado de 100000 USS que ahorrara 40000 USS al año en mano de obra y desperdicio de materiales. La vida estimada para el nuevo equipo es de 5 años y luego será inservible. La empresa determina un rendimiento mínimo del 25%.
DIAGRAMA DE CAJA:
CONCLUSION: Esto quiere decir que el negocio no es financieramente factible, porque los beneficios que se espera generar traídos a valor presente no recuperan ni siquiera la inversión inicial, representando una pérdida neta de $126 millones.
7
15/12/2016
CONCLUSION: Como la inversión produciría ganancias por encima de la rentabilidad exigida, el proyecto puede aceptarse.
EJEMPLO ¿Cuánto equivale $ 10000 hoy, hace un año? = ( ) ( )
VP =
VP =
10000 ( .)
VP =
10000 (.)
VP = $ 9259.25
EL VALOR PRESENTE NETO VALOR PRESENTE VALOR PRESENTE ES EL VALOR ACTUAL DE UN CAPITAL QUE NO ES INMEDIATAMENTE EXIGIBLE ES LA SUMA QUE, COLOCADA A INTERÉS COMPUESTO HASTA SU VENCIMIENTO, SE CONVERTIRÍA EN UNA CANTIDAD IGUAL A AQUÉL EN LA ÉPOCA DE PAGO.
COMÚNMENTE SE CONOCE COMO EL VALOR DEL DINERO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. EL CONCEPTO DE VALOR PRESENTE PERMITE APRECIAR LAS DIFERENCIAS QUE EXISTEN POR EL HECHO DE PODER DISPONER DE UN CAPITAL EN DISTINTOS MOMENTOS DEL TIEMPO, ACTUALIZADOS CON DIFERENTES TASAS DE DESCUENTO.
EJEMPLO DE VALOR PRESENTE
Con una tasa de interés de 8% anual ¿a cuanto equivale $ 10000 hoy, dentro de 1 año?
= ( )
El Valor Presente Neto (VPN) es el método más conocid o a la hora de evaluar proyectos de inversión a largo plazo. El Valor Presente Neto permite determinar si una inversión cumple con el objetivo básico financiero: MAXIMIZAR la inversión. El Valor Presente Neto permite determinar si dicha inversión puede incrementar o reducir el valor de las Pymes. Es importante tener en cuenta que el valor del Valor Presente Neto depende de las siguientes variables: La inversión inicial previa, las inversiones durante la operación, los flujos netos de efectivo, la tasa de descuento y el número de periodos que dure el proyecto.
VALOR PRESENTE NETO
El valor presente neto (VPN): representa pasar al presente todos los flujos de efectivo involucrados en el proyecto.
= ( .) = (. ) = $
= ( )
8
15/12/2016
a) Diagrama de flujo de caja para cada proyecto
VALOR PRESENTE NETO
proyecto inversión
anual
I: inversión inicial: (-) va en contra del inversionista
costo
FNE: Flujo neto efectivo (+) Flujos en efectivo a favor de nosotros Despejando VP: VP =
(+)
VPN=-I+
=
(+)
(+)
C $25000
$ 1000
semestral
$ 400
trimestral
$ 300
valor de salvamento
$ 5000
$ 3000
$ 4000
periodo (años)
3
2
2
(+)
Fórmula del Valor Presente Neto
B $ 23000
(+)
(+)
A $ 20000
Cada entrada de efectivo y salidas se descuenta a su valor presente (PV). Luego se suman. Por lo tanto VPN es la suma de todos los términos,
B) calcule el valor presente neto VPN de cada proyecto.
= [
= [
t - el momento temporal, normalmente expresado en años, en el que se genera cada flujo de caja. i - la tasa de descuento. Ct - el flujo neto de efectivo (la cantidad de dinero en efectivo, entradas menos salidas) en el tiempo t.
Ejercicios de valor presente
] () ( ) ( )
] . . . ( ) ( ) ( ) = $ . = $ ,.
B) calcule el valor presente neto VPN de cada proyecto.
Una empresa tiene 3 proyectos de expansión los datos de cada proyecto de muestran a continuación. proyecto
inversión
anual costo
A
B
C
$ 20000
$ 23000
$25000
$ 1000
semestral
$ 400
trimestral
$ 300
valor de salvamento
$ 5000
$ 3000
$ 4000
periodo (años)
3
2
2
La tasa de interés es del 15% anual capitalizable al trimestre.
= .[
.
(+ )
.
(+ )
]
. .
(+ )
= $ . = $ ,.
9
15/12/2016
B) calcule el valor presente neto VPN de cada proyecto.
Introducción
En el caso del proyecto C podemos calcular un costo anual vencido que sea equivalente a los costos trimestrales de un año. Costo anual
= [
= .[
M= $1.2692
Los patrones para flujo de caja relacionadas con proyectos de desembolsos capitalizables se pueden clasificar como convencionales o no convencionales.
(+)− ] . ) − .
(+
]
B) calcule el valor presente neto VPN de cada proyecto.
Flujo de caja convencional
= .[
= $ .
= $ ,.
. )
(+
]
−. . )
(+
En las secciones anteriores se calculo un valor único de i* , para un flujo de caja dado. Obsérvese que los signos del flujo de caja solo cambian una vez, usualmente de ¨menos ¨ en el año 0, a ¨mas¨ el resto de la vida útil en la inversión. A esto le llamamos flujo de caja convencional
FLUJO DE CAJA CONVENCIONAL
FLUJOS CONVENCIONALES Y NO CONVENCIONALES FLUJO DE CAJA NO CONVENCIONAL
10
15/12/2016
Flujo de caja no convencional
Si existe mas de un cambio de signo la serie se llama no convencional Cuando hay mas de un cambio de signo es posible determinar múltiples valores de i* El numero de valores reales de i* es menor o igual al numero de cambios de signo en el flujo de caja
Observe que, en el primer caso, en ambas situaciones, sólo se pasa una sola vez de salidas de efectivo (signo negativo) a entradas de efectivo (signo positivo).
Solución
(a) La relación VP es:
VP = 2000 - 500(P/F, i, 1) - 81OO(P/F,i,2) + 68OO(P/F,i,3)
VP = F/(1+i )n
año
0
1
2
3
Flujo efectivo 1000 $
$+2000
-500
-8100
+6800
5
10
20
30
40
50
VP $
+50.94
-39.55
-106.13
-82.01
-11.65
+33.19
Flujo de caja ($1000)
Una compañía A con sede en Europa ha mercadeado un aceite lubricante sintético durante 3 años, con los siguientes flujos de efectivo netos en miles de dólares estadounidenses.
i%
Calculo del valor presente para varias tasas de retorno
En tanto que en el Flujo de Caja No Confesional, las entradas y salidas se alternan; lo que hace que en el gráfico, existan por lo menos, 3 cambios de signo.
Problema
Las cantidades de valor presente para cada valor de i son:
AÑO
Valor presente para diferentes valores de i $+6800 ($1000)
0
1
2
3
$+2000
$-500
$-8100
5%
$+2000
$-476.20
$-7346.70
$+5873. 84
$+50.94
10%
+2000
-454.55
-6693.84
+5108.8 4
-39.55
20%
+2000
-416.65
-5624.64
+3935.1 6
-106.13
30%
+2000
-384.60
-4792.77
+9095.3 6
-82.01
40%
+2000
-357.15
-4132.62
+247.92
-11.85
50%
+2000
-344.85
-3852.36
+2230.4 0
+33.19
B) la serie es NO CONVECIONAL y los 2 valores de i se pueden calcular gráficamente de la tabla anterior VP vs % i i*1 = %8 i*2 = 42% 60 40 20 0 0
10
20
30
40
50
60
-20 -40
(a) Grafique el valor del valor presente versus las tasas
de interés de 5, 10,20, 30,40,50% (b) Determine si la serie del flujo de efectivo es convencional o no con retorno a partir de la gráfica elaborada en la parte (a).
-60 -80 -100 -120
11
15/12/2016
Comentario
Si los valores de i* se calcularan matemáticamente se obtendría i*7.81% e i2-42.63%. Si hubiera habido 3 cambios de signo en la secuencia del flujo de caja probablemente hubiera habido tres cambios de i* y los valores de i*1 e i*2 hubieran cambiado
12
