Urn antig tigo o jo jog go chin ine es nas aula las s de Mate tern rna atic tica a
Tang ngra ram m o Ta
e um queb quebra ra-c -cab abec ec;: ;:a a fo form rmad ado o po porr sete se te pe pec; c;:a :as s qu que e te tem m fo form rmas as ge geom omet etri rica cas s bem be m co co-nhecid nhe cidas. as. Sao cin cinco co tri triang angulo ulos s, um quad quadra rado do e um para pa rale lelo logr gram amo, o, orig or igin inad ados os da de deco comp mpos osic ic;: ;:ao ao de um quad quadrado rado.. Su Sua a id idad ade e e seu seu invent inventor or sa sac c de desc scoonhecidos.. nhecidos Os chi chines neses es 0 co conh nhec ecem em po porr "Tch Tch''i Tch ch'i'ia ao pan an", ", qu que e si sign gnif ific ica a "As sete tabuas da arguci arg ucia a (ha (habil bilida idade de,, destreza)" destreza)"..
Para ob Par obte terr as set sete e pec; pec;:a :as s do Tang Tangra ram m mos um quad quadra rado do de dest sta a ma mane neir ira: a:
divi di vid di-
~7 < J < J
V
o
desafio e fo desafi form rma ar ce cert rtas as fi figu gura ras s usa san ndo as sete set e pec pec;:a ;:as s.Ve Veja ja ao lade lade al algu guma mas s da das s ce cent nten enas as de figu fi gura ras s qu que e podem podem se serr form formad adas as.. Estas Esta s sa sac c as regr regras as do jogo ogo:: 1 " regra: e necessari necessario, em cada fi figura gura,, usar sempr sempre sete pe pec; c;:a :as s (n (nen enhu huma ma po pode de fi fica carr de fora fora)); regra: gra: as fi figu gura ras s fo form rmad adas as sa sac c pl plan anas as,, ist sto o e, as 2 " re sete set e pec;:a :as s de deve vem m re repo pous usar ar so sobr bre e um uma a su supe perf rffc fciie plana, como 0 ta tam m po da da mesa mesa,, po porr exem exempl plo o - el elas as nao na o podem ser dispostas como se fari faria a para a cons co nstr truc uc;: ;:ao ao de um ca cast stel elo o de carta cartas s; regra: nao na o e perm pe rmit itid ido o sobr so brep epor or as pe pec; c;:a :as s. 3"
Para form Para formar ar um uma a deter determi mina nada da fi figu gura ra,, e necesE sario conce concentra ntrac;:a c;:ao o , hab habilid ilidade ade e sensi sensibil bilida idade de.. prec pr ecis ise e co conh nhec ecer er be bem m as se sete te fo form rmas as ge geom omet etri rica cas s que com comp6e p6em m 0 jogo e perceber certas relac;:6es
o
entre entr e es estt as for forma mas s e a figu gurra qu que e se de dese seja ja fo form rmar ar.. Mui uita tas s ve veze zes s a so solu lu9a 9ao o pa para ra um uma a deter determinada figura apa apare rece ce qu quan ando do se est esta a ten enttando mo mont ntar ar um uma a outtra. ou Para comp compre reen ende derr melh me lho or es esttas id ide eias voce precis cisa a jog ogar ar um pouco pouco.. Mas Mas,, par para a isto, e preci precise se ter um Tan Tangra gram m. Vam Vamos os co cons nsttruir um? As pe9a pe9as s po pode dem m se serr co cons nstr truf ufda das s em pape papela lao o, carto rtolin lina a ou mes mesmo mo pa pape pell co comu mum. m. De Dese senh nhe e 0quadrad dr ado o e div divid idaa-o o em set sete par arttes seg egu uindo 0 modelo.. delo
area de F' sera igual a ar are area ea de F. F . Est Estamos amos tra tratan tando do do pr prin inc cfpio de conse serv rva9 a9ao ao da ar area ea.. Pois Po is be bem, m, est sta a id ide eia que, pa para ra no nos s, po pode de se serr evid ev iden ente te,, na nao o 0 e neces necessar sariiam amen entte parra a cr pa cria ian9 n9a a. Alem Al em disso sso,, de deve vemo mos s pe perc rceb eber er qu que e 0 fracionamen fracionamen-to de uma figu gurra em outras nem se semp mprre ga garran ante te a conserva9ao de u m at atributo buto.. Pens Pe nse e na nas s duas duas qu ques esto toes es qu que e se segu gue em: a)um a) um retang retangul ulo o AB ABCD CD,, cu cujo jos s la lado dos s med medem em 3 e 10 10,, e deco de comp mpos osto to no nos s ret retan angu gulo los s AE AEFD FD (de la lado dos s 3 e 4) e
~ I. [-, I: F
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EBCF (de la lad dos 3 e 6) 6). 0 pe perf rfme metr tro o de ABC ABCD D e a soma do soma dos s pe perrf me metr tros os de AEFD AEFD e EBC EBCF? F? b) um um bl bloc oco o ret etan angu gula larr de dim dimen enso soes es 3, 10 10 e 2, e deco de comp mpos osto to em dois dois bl bloc ocos os re reta tang ngul ular ares es:: um de de-les le s tem tem di dime mens nsoe oes s 3, 4 e 2 e 0 ou outtro 3, 6 e 2. 2. A area
,,"
Observ Obse rve e os an angu gulo los s re reto tos s, pa para rale lelis lismo mos s e po ponntos to s me medi dios os da con const stru ru9a 9ao. o. Em seg segui uida da re reco cort rte e. Agor Ag ora a div divir irta ta-s -se e te tent ntan ando do fo form rmar ar 0 canguru, 0 coelho,, 0 pato, 0 ga coelho gato to etc tc.. As sol solu9 u90e 0es s es esttao no finall de fina dest ste e ar arti tigo go.. Ma Mas, s, an ante tes s de ve-I ve-Ias as,, qu queb ebre re a cabe9a! o
todo it a soma soma da das s pa part rtes es? ?
Ante An tes s de ap apre rese sent ntar ar di dife fere rent ntes es at ativ ivid idad ades es co com m o Tangram, Tangram, qu quer erem emos os ch cham amar ar a at aten en9a 9ao o do dos s colecolegas ga s pa para ra um uma a que uest stao ao im impo porrta tant nte. e. Ha uma uma id idei eia a bast ba stan ante te ex expl plor orad ada a na Ge Geome ometr tria ia,, qu que e compar comparec ece e com mu muiita for9a nas ativ iviidades com esse jo jog g o. Trat Tr ataa-se se do seg segui uint nte: e: se um uma a figura figura Fe de deco compo mpossta nas nas pa part rtes es A, B, C, .. ...,P, ent entao ao a arE arE''a de Fe ig igua uall soma so ma da das s ar area eas s de A, B, C,... C,...,P ,P.. Ou ai aind nda a: se as par partes forem separadas e reag re agru rupa pada das s fo form rman ando do um uma a nova nova figu figura ra F' F',, en enta tao o a
a
4 1 0
6 --
~
da sup super erff ffci cie e do bl bloc oco o to todo do e a so soma ma da das s area areas s da das s supe su perf rfici icies es da das s duas duas pa part rtes es? ? A res respo post sta a e nlo par para a as duas duas per pergun guntas tas.. Leia novamente 0 tftulo deste ftem e per perceba que a perg pe rgun unta ta al alll conti contida da e va vaga ga.. o
Tang Ta ngra ram m na sala sala de aula aula
E cl clar aro o qu que e um jogo jogo ju just stif ific icaa-se se po porr si so so,, mas mas seu uso pedagogico deve ir ale alem do prazer de jogar. Tang ngra ram m po pode de se serr usad usado o na nas s aul aulas as de Mate Mate-o Ta mati ma tica ca co com m di dife fere rent ntes es ob obje jeti tivo vos s: id iden enti tifi fica ca9a 9ao o de formas for mas geo geomet metric ricas as,, com compos posi9a i9ao o e dec decomp omposi9 osi9ao ao de figu figurras as,, re rela la90 90es es en entr tre e os ele eleme ment ntos os de uma uma figu fi gura ra,, ex explo plora ra9a 9ao o do conc concei eito to de ar area ea,, probl problema emas s envolvendo 0 te teor orem ema a de Pita Pitago gora ras, s, re rela la9a 9ao o ar area ea-perf pe rfme metr tro o et etc. c. Num Nu m pr prim imei eiro ro mo mome ment nta a e in inte tere ress ssan ante te qu que e as cria cr ian9 n9as as ap apen enas as br brin inqu quem em co com m 0 Tan Tangra gram m ten tentan tan-do con const stru ruir ir di dife fere rent ntes es fi figu gura ras s (c (can angu guru ru,, coelho, pato etc). Esta etapa e importante para que se familiiarizem famil com 0 jogo e suas pe9as pe9as,, percebam algu al guma mas s re rela la90 90es es,, id iden enti tifi fiqu quem em form fo rmas as et etc. c. Ap Apos os esta est a eta etapa pa,, po pode demo mos s re real9 al9ar ar as ca cara ract cter erfs fsti tica cas s ge geoometr me tric icas as da das s pe9as pe9as do jogo jogo.. 0Tan Tangra gram m e com compos pos--
to de cinc cinco o tr tria iang ngul ulos os,, um qua quadr drad ado o e um par paral alel eloogram gr amo. o. Os ci cinc nco o tr tria iang ngul ulos os sa sac c re reta tang ngul ulos os e is isos os-celes.
Em cada cada ca caso so e inte intere ress ssan ante te an anal alis isar ar po poss ssffveis vei s soluc;o soluc;oes es dif difere erente ntes. s. Dua Duas s soluc;oe soluc;oes s ser serao ao conside si dera rada das s di dife fere rent ntes es se os qu quad adra rado dos s ob obti tido dos s fo fo-rem re m dife difere rent ntes es ou ou,, entao entao,, se os os quad quadrad rados os ob obtid tidos os fore fo rem m ig igua uais is,, ma mas s for forma mado dos s po porr figur figuras as di dife fere rent ntes es.. Eis as dif difere erente ntes s sol soluc; uc;oe oes s pa para ra cad cada a um dos dos casos: casos: quad adra rado do co com m duas duas pe~as a) qu
Os triangulos indicados com a let letra T sac sac igu gua ais e suas suas hipo pote ten nusa sas s sa sac c igua uaiis ao la lad de do quadr qu adrad ado o ori origin ginal al.. Se Seus us cateto catetos s sa sac c ig igua uais is a met metaade da diago diagona nall do quadr quadrad ado. o. o tririaangul ulo o ind in dic ica ado co com m a le letr tra a gre reg gab (Iei (I eia a "ta tau u" - est sta a let letra corr corres esp pond nde e ao no noss sso o T) tem te m ca cate teto tos s ig igua uais is a met metad ade e do lado lado do quad quadra rado do.. Sua hip ipo ote ten nus usa a e ig igual a me meta tad de da dia diag gon ona al do quadrado. Os triangulos indicados com a letra t sac igua ig uais is e sua suas s hi hipo pote tenu nusa sas s sa sac c ig igua uais is a met metad ade e do lado lad o do qu quadr adrado ado.. Seu Seus s cat cateto etos s sac igu iguais ais a qu quart arta a part pa rte e da diago diagona nall do quadr quadrad adao ao.. o la lade de do quad quadra rado do q e igua iguall a qua quart rta a pa part rte e daquela daqu ela diag diagona onall . Um dos la lados do do pa para rale lellog ogra ramo mo p e igua uall a metad met ade e do lado do quadra quadrada dao o . 0 ou outr tro o la lade de e ig igua uall a qua quart rta a pa part rte e da mesm mesma a di diag agon onal al.. A segu seguir ir ap apre rese sent ntam amos os al algu guma mas s at ativ ivid idad ades es.. Antes, Ant es, e prec precise ise esc escla larec recer er 0 se segu guin inte te:: na et etap apa a do jogo livre, quando 0 al alun uno o es estt a te tent ntan ando do fo form rmar ar 0 canguru, 0 coe coelh lho o etc etc,, 0 al alun uno o de deve ve us usar ar sempr sempre e as sete se te pe pec; c;as as (est (esta a e uma uma da das s re regr gras as do jogo jogo). ). En Entr treetant ta nto, o, na nas s ativi ativida dade des s qu que e serao serao pr prop opos osta tas s a se segu guir ir,, o aluno aluno,, as veze vezes, s, tr trab abal alha ha co com m as sete sete pe pec; c;as as,, as veze ve zes s so com al algu guma mas s de dela las. s. E pre precis ciso o ale alerta rta-Io -Io para pa ra est a mudanc; mudanc;a a da reg regra. ra. A crite criteri rio o do pr prof ofes esso sor, r, as cri crian anc; c;as as po pode dem m trab tr abal alha harr in indi divi vidu dual alme ment nte e ou em gr grup upo. o.
Com 0 Tangram, usando: a) so duas pe~as; b) so tr6s pe~as; c) so quatro pe~as; d) so cinco pe~as; e) so seis pe~as; f) as sete pe~as;
formar
um
quadrado qu
Nest Ne ste e caso caso te temo mos s du duas as so solu luc; c;oe oes s. as qu quadr adraados do s obti obtido dos s te tem m ta tama manh nhos os di dife fere rent ntes es..
Os tr tres es quad quadra rado dos s co cons nstr trui uido dos s sa sac c igua iguais is,, po po-ram ra m forma formado dos s po porr fi figu gura ras s di dife fere rent ntes es.. Obs Observ erve e que em to todo dos s el eles es temo temos s um tria triang ngul ulo o T e do is triangulos t. A qua quart rta a fi figu gura ra qu que e co comp mp6e 6e 0 qu quad adra rado do a 0 triiangu tr gullo (; no pr prim imei eiro ro ca caso so,, a 0 quadra rad do q no segundo,, e 0 pa segundo parrale lellogr gra amo p no te terc rcei eiro ro ca caso so.. Oest Oe ste e mod modo o po pode demo mos s co conc nclu luir ir qu que e 0 tr triiangu angullo G, 0 quad qu adra rado do q e 0 pa para rale lelo logr gram amo o p te tern rn area areas s igua guaiis. Oize zemo mos s qu que e sa sac c fi figuras guras equivalentes equivalentes.. quadra drado do com cinco cinco pec pec,8s ,8s d) qua
Tamb mba am luc;:ao.
nest ne ste e ca caso so temo mos s
apenas
uma soso-
quad adra rado do co com m seis pec,8s e) qu Nao a pos Nao possi sive vell co cons nstr trui uirr ur urn n quad quadra rado do ne nest ste e caso ca so.. Acha Achamo mos s in inst stru ruti tivo vo qu que e 0 al alun uno o sej seja a col coloca oca-do diant diante e de prob problem lemas as imp imposs ossive iveis is.. A matematica esta est a rep reple leta ta de dele les s (qu (quan anto to a vi vida da,, en enta tao, o, a melh melhor or nem ne m di dizer zer na nada da!) !).. Esta Es ta si situ tuac ac;: ;:ao ao a intri intriga gant nte e um uma a ve vez z qu que e a pos pos-sivell reso sive resolver lver 0 pr prob oble lema ma s6 co com m 2, 3, 3, 4 e 5 pec pec;: ;:as as.. Espe Es pera ra-s -se e co cons nseg egui uirr so solu luc; c;:a :ao o co com m 6 pec;:a pec;:as s e isto isto nao ocor ocorre re.. Ma Mais is adia adiant nte e vo volt ltar arem emos os a di disc scut utir ir es esta ta questao,, esc questao scla lare rece cen ndo por que est ste e pro rob blema e impossive! mpossive!..
Considerando Considerand o enta en tao o como unitar itariia a are rea a do quadra quad rado do q, ca calc lcul ular ar as ar area eas s d as dema demaiis pec ec;:as ;:asdo do jogo. o al alun uno o re reso solv lve e es este te pr prob obll ema compon ompondo do e deco de comp mpon ondo do fi fig gura ras. s. Ve Vejjamo mos s a soluc;: luc;:a ao. Oois triangulo triangulos s t formam 0 quadrad quadrado o q, lo logo go t tem te m ar area ea 1 / 2. 2.
o
triang tria ngul ulo o G pode pode ser dec decom ompo post sto o em do dois is triangulos t, lo logo go su sua a ar area ea a 1. Co Comb mbin inan ando do ai aind nda a os tria triangul ngulos os para rale lelo logr gram amo o p qu que e t obtemos 0 pa tamb ta mbem em te tern rn ar area ea 1. Co Conf nfir irma ma-s -se e en enta tao o qu que e G, P e q tern te rn are areas as ig igua uais. is.
f) qU qU8d 8dra rado do co com m se sete te pe pec, c,as as A sol soluc uc;: ;:ao ao ta tamM mMm m a (m (mic ica a e 0 qu quad adrad rado o ob obtitido a aqu aquel ele e qu que e da orig origem em ao jog jogo. o. Outr Ou tras as at ativ ivid idad ades es an anal alog ogas as a es esta ta po pode dem m se serr propostas,, su propostas suge geri rind ndo o que qu e os alun alunos os co cons nstr trua uam m triangulos,, triangulos retangu reta ngulos, los, para paralelo lelogram gramos os,, trapezios,, trapezios u:,an u: ,ando do s6 duas pec pec;:a ;:as s do jog jogo o , s6 tres tres e ass assim im po porr dlante.. Os al dlante alun unos os po pode dera rao o in inve vent ntar ar ou outr tros os pr prob oble le-mas ma s est estab abel elece ecend ndo o outra ou tras s re regra gras. s. E im impo port rtan ante te in in-cent ce ntiv ivaa-Io Ios s ne nest ste e mo mome ment nta a de exp explo lora rac; c;:a :ao, o, de desc scooberta bert a e criac;:a criac;:ao. o.
Ativid Ativ idad ades es o con conceno
envolv envo lven endo do de ~rea
Nas Na s ativ ativid idad ades es pr propo oposta stas s o con conce ceit ito o de are area a . Pa Para ra ob obter ter a ne nece cess ssa ari rio o co comp mpa ara ra--Ia co com m comb co mbin inar ar qu que e 0 quadrado q padr drao ao.. Su Sua a area vale 1.
a seg seguir uir exp explor loramo amos s a are area a de uma fig figura ura urn pa padr drao ao.. Va Vamo mos s do Tang ngrram e es es;e
iang ngul ulo o o trtria
T pod pode e se serr co comp mpos osto to (ou (ou deco decommpost po sto) o) de var varia ias s ma mane neir iras as.. Su Sua a ar area ea a igua iguall a 2 .
Ativ At ivid idad ade e 3 Lemb Le mbra rand ndo o no nova vame ment nte e qu que e 0 qu quad adra rado do q te tem m area igual a 1, 1 , ca calc lcul ular ar as are areas as de cad cada a um dos quad qu adra rado dos s co cons nstr trui uido dos s na at ativ ivid idad ade e 1. Segu Se guem em as res respo post stas as de dest ste e pr prob oble lem ma: a) 1 e 4
b) 2
c) 4
d) 4
d) forrnar urn tr trapez apezllo de area 3. Resposta:
f) 8
Esta Es ta ati tivi vida dad de po pod de se serr am ampl plia iada da p ropondo que ca que calc lcul ulem em ta tamb mbem em as are areas as das outr outras as fi figu gura ras s construiidas constru (tr trif ifm mgu gulo los s, retangulos,, retangulos parralelograpa mos os,, trapez rapeziios etc.). E int nter eres essa sant nte e le leva varr os alu aluno nos s a co co ncluirem que qualque alquerr fi figu gura ra ob obti tida da a par partt ir da das s pe pec; c;:a :as s do Tan Ta ngram tem area , no ma max ximo mo,, igua guall a 8 e, no minimo minim o, igual a 1 / 2. Co Conv nvem em le lemb mbrrar que nestes pro pr obl ble emas que envolvem areas es tam amos os se semp mpre re sup upo ondo que a area do qua quadrado q e igua guall a 1.
e) fo forr rrna narr ur urn n re reti ting ngul ulo o Resposta:: Resposta
de area area 8.
Ativ At ivid idad ade e 4 Aquii apres Aqu esen enta tamo mos s no novo vos s desa esafios fios,, pro prop pondo que os alu luno nos s fo form rmem em dete determ rmiina nad da figura, espec especiificando fican do tam ambe bem m a sua ar area ea.. Alg lgu uns exempl mplos os:: a) forrna forrnarr urn trlAn trlAngul gulo o de are area a 4,5 ,5.. Res Re sposta posta::
b) for forrna rnarr urn p ar aralel alelo ograr grarno no Resposta:: Resposta
de are area a 6.
Tambem es esse ses s pr prob oblem lema as vari ria as soluc;:6es luc;:6es..
podem apresentar
Ao re reso solv lver er es esse ses s pr prob oble lema mas, s, al algu guns ns al alun unos os pod oder erao ao,, pr prim imei eiro ro,, se sele leci cion onar ar as pec; pec;:: as de d e modo que qu e a som oma a de suas suas ar area eas s se seja ja ig igua uall ao val valo o r ped pediido e dep depois ois,, te tent ntar ar ob obte terr co com m el elas asa a fo form rma a e xi xig gida da.. Outr Ou tros os po pode dera rao o se pr preo eocu cupa par, r, pr prim imei eiro ro,, em obt obter er a form fo rma a ped ediida para, dep epoi ois s, ver erif ific icar ar se a are area a da figura e igual ao val valor or fi fixa xado do.. o pro proffes esso sorr dev eve e val alor oriz iza ar ra rac cio ioc cfn fniios os,, confrontar sol oluc uc;: ;:6e 6es s e dis discu cuti tirr co com m a cla lass sse e as diferentes te s id idei eias as qu que e se semp mpre re aca cab bam surg urgiindo ndo.. Nestas atiividades at dades,, 0 pr proc oces esso so e mu muit ito o ma mais is impo import rtan ante te qu que e o res result ultado ado.. Fu Fund ndam amen enta tall e qu que e 0 aluno nao se limi li mite te a monta montarr 0 quebra-cabec; quebra-cabec;::a.
Combin Comb inam amos os qu que e 0 qu quad adra rado do q te tem m a rea ig igu ual a 1. Port Po rtan anto to se seu u lade lade tamb tambem em t em co compriment mprimento o igual a 1.
c) fo forr rrna narr ur urn n ret retin ingu gulo lo Resposta: Resposta:
de area area 4.
o pr prob oble lema ma ag agor ora a e .est este: e: calcul calcular ar as med medid idas as do lado lados s das figuras figuras T , t, G , p e do qu quad adrad radao ao..
Areas e perimetros Considere Consid eremos mos novam no vamen ente te tang ta ngul ulo o e 0 qu quad adra rada dao o fo form rmad ados os do jog jogo. o.
Vamos res Vamos resolv olver er est este e pro probl blema ema.. Os cat catet etos os de t sa sao o ig igua uais is ao lado lado do quadr quadraado q, ist sto o e, igu iguais a 1. 1. Pa Para ra calcu calcula larr a med medid ida a de sua hipo hipote tenus nusa a ap aplic licam amos os 0 teo teorem rema a de Pitag Pitagora oras. s. )(2
---. x = = 12 +12 = 2 ---.
£
6 V2
Os ca cate teto tos s de 0 sao igua iguais is a hi hipo pote tenu nusa sa de t, portan port anto to ig igua uais is a 12'. Sua hipote ten nusa eo dob dobro do la lad do do quadra rad do q, logo igual a 2 .
~ -
2
V2
Comp Co mpro rove ve:: 22 =(12) 2 +(i2 ) 2 lado do do quad quadra rada dao o e 0 do dobr bro o do cat catet eto o do o la b, portanto 0 la tri~ulo lado do do do qu quad adra rada dao o va vale le 2V 2 . J a sabemos que a area do quadradao e ) 2 =8. igua ig uall a 8. Com Compr prov ove: e: (2
-{2
L
~
0 retriangulo, com co m as se sete te pe pe9a 9as s
0
Uma ve Uma vez z qu que e es esta tas s tr tres es fi figu gura ras s sa saD D cons constr trul ul-das da s co com m as mes mesma mas s se sete te pe pe«a «as, s, to toda das s te tem m a mes mesma ma area ar ea (s (sab abem emos os qu que e es esta ta ar area ea co comu mum m e igu igual al a 8 nao na o es esqu que« e«a a qu que e a unid unidad ade e e a ar area ea de q). Calculemos mo s os pe perf rf me metr tros os das tres fi figu gura ras s. perff met per metro ro do tri triang angulo ulo =8 +4 € peri pe rime metr tro o do retan retangu gulo lo = 12 peri pe rime metr tro o do quad quadra rada dao o =8~ Este Es tes s re resu sult ltad ados os mo most stra ram m qu que e estas estas tres figufiguras ra s te tem m pe peri rim met etro ros s dife di fere rent ntes es,, em embo bora ra te tenh nham am areas iguais. Esqu Es quec ecen endo do um pouc pouco o 0 Ta Tang ngra ram, m, ar arru rume me exem empl plos os de fig figur uras as qu que, e, tendo tendo pe perl rl me metr tros os ig igua uais is, possua pos suam m are areas as diferent diferentes. es.
Por qu Por que e ns nso o i t pos possiv sivel el forr forrnar nar urn quad qu adra rado do us usan ando do ap apen enas as se seis is pec;a pec;as? s? Voce ai Voce aind nda a se lem lembr bra a da prom promes essa sa qu que e fi fize ze-mos? mo s? Af Afir irma mamo mos s se serr impo imposs ssiive vell fo form rmar ar um qu quad adra ra-do us usan ando do ap apen enas as se seiis pe pe«a «as s do jog ogo o e prome promete te-mos mo s ju just stif ific icar ar es esta ta afirm afirma« a«ao ao.. . Ao es esco colh lher er se seis is pe pe«a «as s, deixamos uma de lado.. Co lado Como mo ha pe«a pe«as s du dupl plas as (T (T,, T e t, t) ha so mente cinc nco o po poss ssib ibil ilid idad ades es pa para ra a es esco colh lha a de se seis is pe pe«a «as s. 1) T, 2) T, 3) T, 4) T, 5) T,
T, T, T, T, t, T,
t, t, p, q t, t, p, ~ t, t, q, ~ t, p, q,b t, p, q,~
Nos ca Nos caso sos s 1, 2 e 3, se fosse fosse pos possiv sive el formar 0 quad adra rado do,, su sua a ar area ea seri seria a igu gual al a 7 poi pois s, no nos s tr tres es casos asos,, a pe«a pe«a qu que e fi fico cou u fo fora ra te tem m ar area ea 1. Logo Logo,, tal {7''. Ac quad qu adra rado do te teri ria a la lado do igual igual a -{7 Acon onte tece ce qu que e os lad ados os da das s fi figu gura ras s qu que e co comp mpem em 0 jogo saD igua guaiis a i2"',, 2 e 2 ~ 1, i2"' e com el eles, at ra rave ves s de somas somas, f . nao e pos possiv sivel el obt obter er f No ca caso so 4, se se fos fosse se po poss sslv lvel el fo form rmar ar 0 quadradO,s dO ,sua ua ar area ea se seri ria a ig igua uall a6 eseu eseu lado lado ig igua uala la ~D ~Da a mesma mes ma for forma ma,, na nao o e po poss ssiv ive el ob obte terr 6 so som man ando do os -- [21 . num nu mer eros os 1, 2 e 2 --[21 No ca caso so 5 0 qu quad adra rado do a se serr for forma mado do te teri ria a ar area ea =i36' /4 igual a 7, 7,5 =15/2e l ado ~ /4..0 argu ar gum men ento to e 0 me mesm smo: o: na nao o e poss possiive vell ob obte terr es este te nume nu mero ro po porr so soma ma da daqu quel eles es ou outr tros os qu quat atro ro.. Fica enta entao o de demo mons nstr trad ado o qu que e e imp mpos ossi sive vell ob ob-ter um quadrado usando apenas seis pe«as do j jogo ogo.. Com Co m es este te arti artigo go pr pret eten ende demo mos s mo most stra rarr qu que e 0 Tangrram e um rec Tang recur urso so di dida dati tico co ba bast stan ante te ri rico co.. Com ele, po pode demo mos s pr prop opor or ao aos s alun alunos os at ativ ivid idad ades es en envo vollventes ven tes e desafiad desafiadora oras. s. E im impo port rtan ante te qu que e 0 professorr os est so estim imul ule e na busc busca a de sol solu« u«oe oes, s, qu que, e, ne nest ste e caso,, nao saD pad caso padron roniza izadas das.. Isto Is to con contr trib ibui ui pa para ra 0 dese de senv nvol olvi vime ment nto o do rac racio ioci cini nio o e da cr cria iati tivi vida dade de e favo fa vore rece ce a co cons nstr tru« u«ao ao do co conh nhec ecim imen ento to ma mate tema mati ti-co pe pela la cr cria ian« n«a a.
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