Taller Nº1 Ejercicio 1 La demanda de un pequeño motor especial durante los próximos cinco trimestres es de 200, 150, 300, 250 y 400 unidades, respectivamente El fabricante que surte el motor tiene capacidades de producción diferentes estimadas en 180, 230, 430, 300 y 300 para los cinco trimestres. No se aceptan pedidos en espera, pero si es necesario, el fabricante puede utilizar tiempo extra para satisfacer la demanda inmediata. La capacidad de tiempo extra en cada periodo es la mitad de la capacidad regular. Los costos de producción por unidad en los cinco periodos son de $110, $96, $116, $102 y $106, respectivamente. El costo de producción con tiempo extra por motor es 50% más alto que el costo de producción es regular. Si ahora se produce un motor para su uso en periodos posteriores se incurre en un costo de almacenamiento adicional de $4 por motor por periodo. Con estos datos se le pide generar un plan de producción para los 5 trimestres que minimice los costos de operación: a) Formule el problema como un modelo de transporte (específica y canónica). i
j Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Trimestre 5 Trimestre 6 Capacidad
Trimestre 1
100
104
108
112
116
0
180
Extra 1
150
154
158
162
166
0
90
Trimestre 2
M
96
100
104
108
0
230
Extra 2
M
144
148
152
156
0
115
Trimestre 3
M
M
116
120
124
0
430
Extra 3
M
M
174
178
182
0
215
Trimestre 4
M
M
M
102
106
0
300
Extra 4
M
M
M
153
157
0
150
Trimestre 5
M
M
M
M
106
0
300
Extra 5
M
M
M
M
159
0
150
200
150
300
250
400
860
Demanda
Tabla 1. Costos generados al producir motores desde el Trimestre i al Trimestre j.
Grafica Nº 1. Grafo del modelo de producción como uno de transporte. Formulación especifica:
Objetivo: Determinar el plan de producción para los próximos 5 trimestres de tal manera que se minimicen los costos. Variable de decisión: Xij, cantidad de motores a producir en el trimestre i para suplir la demanda en el trimestre j. Función objetivo: Minimizar costos Z(Xij) Parámetros: Cij: Costos de producir del trimestre i al trimestre j. Dj: Demanda del motor en el Trimestre j. Si: Capacidad de producción en el Trimestre i.
S.A Demanda
Capacidad
Formulación canónica: (
)
∑∑
∑
∑
b) Aplique el algoritmo de transporte para resolver el modelo. Genere soluciones iniciales con los métodos de: esquina noroeste, costo mínimo y vogel. ESQUINA NOROESTE: Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Trimestre 5 Trimestre 6 Capacidad Trimestre 1 Extra 1 Trimestre 2 Extra 2
100 180
104 *
150 20
154 70
M *
*
80
*
150
*
*
0 *
108 *
152 *
0 *
166
104
148 115
116 *
162
100
144 *
112 *
158
96
M *
108 *
0 *
156 *
0 *
180 90 230 115
Trimestre 3 Extra 3 Trimestre 4 Extra 4 Trimestre 5 Extra 5
M *
M *
*
174
* M
* M
M
M *
M
200
150
159
* 300
0
* 250
300
300
M
*
0
*
M
*
106
*
150
150
M
*
0
*
M
*
157
*
300
260
153
*
0
40
M
215
* 106
*
M *
*
102
*
0
215
M
430
* 182
*
M
0
145 178
*
M
124
250
M *
*
120
35
M
Demanda
116
150 860
400
150 166890
Tabla 2. Método de esquina noroeste. COSTO MINIMO: Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Trimestre 5 Trimestre 6 Capacidad Trimestre 1 Extra 1 Trimestre 2 Extra 2 Trimestre 3 Extra 3 Trimestre 4 Extra 4 Trimestre 5 Extra 5
100
104
180
*
M *
96
M
144
* M
M
*
* M
* *
* M
M
*
M
*
*
* M
M
* 200
M
* 150
0
* 250
300
* 159
* 300
0
300
M
*
106
*
150
150
M
*
0
*
M
300
* 157
*
M
0
50 153
*
M
106
250
215
215
102
*
0
*
M
430
160 182
*
M
0
50 178
*
M
124
*
115
115
120
174
*
0
*
116 220
M
156
*
230
*
152
*
0
*
148
*
108
*
90
70
104
80
0
*
100
150
166
*
180
*
162
*
0
*
158
*
116
*
154
20
112
*
150
Demanda
108
150
150 400
860
137720
Tabla 3. Método de costo mínimo. VOGEL: Trimestre 1 Trimestre 1
100 180
Trimestre 2
Trimestre 3
Trimestre 4
Trimestre 5
-42
-42
-42
-42
*
104
*
108
*
112
*
116
Trimestre 6 -50 *
0
Capacida d 180
Ui 50
Extra 1 Trimestre 2 Extra 2 Trimestre 3 Extra 3 Trimestre 4 Extra 4 Trimestre 5 Extra 5
150 20
-42
154
*
*
-32 *
M *
M
200
150
Vj
150
112
152
0
156
-58
182 106
50 -33
157 106
300 M
-35
*
0 0
150
M
M
-18 *
*
*
0 215
102 153
0 160
*
-33
0
124 50
178
0
115
120
-58
-16 *
-32
-18
0
* 159
*
300
250
400
116
120
124
Tabla 4. Método de vogel. c). Resuelva el modelo en GAMS.
108
*
M
*
Demanda
0
*
M *
-32
0 70
*
250
*
M
104
M
M *
0
*
*
M
*
174
M *
*
-58
166
*
*
*
M *
116
M *
-42
*
*
M *
148
220
M *
-32
M *
162
*
*
M *
100 80
144
-42 *
96 150
M
158
*
M *
-42
0 150 860 0
90 230 115 430 215 300 150 300 150 137720
0 16 0 0 0 18 0 18 0
d). Presente el plan de producción detallado: niveles de producción por trimestre, inventarios y costos.
Niveles de producción por trimestre.
La siguiente tabla muestra la forma en la que se van a producir los motores con el mínimo costo y que satisfaga la demanda. Producción de motores de periodo a periodo Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4 Trimestre 5 Trimestre 6 Trimestre 1 180 Extra 1 20 70 Trimestre 2 150 30 50 Extra 2 115 Trimestre 3 270 160 Extra 3 215
Trimestre 4 200 100 Extra 4 150 Trimestre 5 300 Extra 5 150 Tabla 5. Muestra los motores producidos en cada Trimestre, hora normal y extra, para cada uno de los Trimestres. En cada trimestre se produjo exactamente la capacidad, excepto en el primer trimestre que hubo que emplear horas extras para suplir la demanda. Niveles de producción de motores Trimestre 1 200 Trimestre 2 230 Trimestre 3 270 Trimestre 4 250 Trimestre 5 300 Tabla 6. Niveles de producción en cada trimestre.
Costos
La producción mostrada anteriormente genera un costo total de $137.720, de los cuales $18.000 son del trimestre 1, $3.000 del tiempo extra del trimestre 1, $22.600 del trimestre 2, $31.320 del trimestre 3, $31.000 para el trimestre 4 y $31.800 para el trimestre 5. Del mismo modo, dentro de los $3.000 de tiempo extra en el periodo uno $2.000 son de producción y $1.000 son de recargo por las horas extra; en el trimestre 3, se genera un costo de almacenamiento de las piezas producidas en el Trimestre 2 de $120; en el trimestre 4, se genera un costo de almacenamiento de las piezas producidas en el Trimestre 2 de $400; y en el trimestre 5, se genera un costo de almacenamiento de las piezas producidas en el Trimestre 4 de $400, tal y como se muestra en la siguiente tabla.
Trimestre 1 Trimestre 1 Extra 1 Trimestre 2 Extra 2 Trimestre 3 Extra 3 Trimestre 4 Extra 4 Trimestre 5 Extra 5
Costos de producción de motores de cada trimestre $ Trimestre Trimestre Trimestre Trimestre Trimestre 2 3 4 5 6
18000
Costo Total 18000
2000+1000
0 14400
2880+120
4800+400
22600
31320
20400
3000
0
0
0
31320
0
0
10200+400
31000 0
31800
0 31800
0
0 137720
Tabla 7. Costos de producción para cada trimestre.
Como se puede observar en el siguiente gráfico, se puede observar que la proporción de los datos en porcentaje es la misma para los tres últimos trimestres aunque varían en algunos cientos de pesos.
Proporción de costos para cada trimestre 0%
Trimestre 1 13%
Extra 1
2%
23%
Trimestre 2 Extra 2
0%
16%
Trimestre 3 Extra 3
23%
0%
Trimestre 4
23%
Extra 4 Trimestre 5
0%
Gráfica N°2. Proporción del costo total para cada trimestre.
Inventarios:
En la siguiente tabla se puede observar el manejo de los inventarios a lo largo de los 5 trimestres que se analizaron en el problema. Trimestre
Inventario inicial
1 2 3 4 5
0 0 80 50 100
Producción
Demanda
200 230 270 300 300 Tabla 8. Manejo de inventarios.
200 150 300 250 400
Inventario final 0 80 50 100 0
Ejercicio 2. La compañía Audiofi le produce aparatos de sonido portátiles. Sin embargo, la administración ha decidido subcontratar la producción de las bocinas necesarias para dichos aparatos de sonido. Existen tres proveedores. Además de la compañía. Cada proveedor tiene su propia fórmula para calculas este costo según las millas recorridas hasta el almacén. Los datos de precio, costo de envío y distancia hasta los almacenes se presenta a continuación.
Proveedor 1 2 3
Precio del embarque (1000 unid) 22500 22700 22300
Cargo por envío $300+$40/milla $200+$50/milla $500+$20/milla
Distancia hasta los almacenes en millas Almacén 1
Almacén 2
1600 500 2000
400 600 1000
Cuando una de las dos fábricas requiere un embarque de bocinas para amenizar los bailes, contrata un camión para traerlo de los almacenes. El costo por embarque se presenta en la siguiente columna, junto con el número de embarques por mes que requiere cada planta. Costo unitario por envío Fabrica 1 Fabrica 2 200 700 400 500 10 6
Almacén 1 Almacén 2 Demanda mensual
Cada proveedor puede surtir hasta 10 embarques por mes; peso debido a las limitaciones de transporte, cada uno puede enviar un máximo de sólo 6 embarques por mes a cada almacén. De manera similar, cada almacén puede enviar hasta 6 embarque por mes a cada fábrica. a). Trace una red que describa la redes de proveedores de Audiofile. Identifique en ella los nodos de suministro, transbordo y demanda.
i
Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3
j k
Fabrica 1 Fabrica 2 Fabrica 3
Nodo de suministro
86800 47900 62800 Almacén 1 200000 700000 0
38800 52900 42800 Almacén 2 400000 500000 0
0 0 0 Almacén 3 0 0 0
Nodo de Transbordo
Nodo de demanda
20
Proveedor 1
Almacén 1
Fabrica 1
10
20
Proveedor 2
Almacén 2
Fabrica 2
6
20
Proveedor 3
Alm Ficticio 3
Fab ficticia 3
44
b). Formule este problema como uno de transbordo (formulación específica y canónica), con todos los datos necesarios en la red. Formulación especifica: Objetivo: Determinar el plan de transporte desde los proveedores a los almacenes, y de los almacenes de distribución a las fábricas de tal manera que se minimicen los costos de transporte. Variable de decisión: Xij, cantidad a transportar desde los proveedores tipo i hasta los almacenes de distribución tipo j. Yjk, cantidad a transportar desde los almacenes de distribución tipo j a las fábricas tipo k de tal manera que se supla la demanda. Función objetivo: Minimizar costos Z(Xij)
Parámetros: Cij: Costos de transportar del proveedor tipo i al almacén tipo j. Cjk: Costo de transportar del almacén tipo j a la fábrica tipo k. Capi: Capacidad de embarque de los proveedores tipo i. Capj: Capacidad de embarque de los almacenes tipo j. Dj: Demanda generada en las fábricas tipo k. Si: Capacidad de producción de bobinas en los proveedores tipoi. (
)
S.A. Demanda:
Capacidad:
Transbordo:
Capacidad de carga:
Formulación canónica: (
)
∑∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
c). Formule y resuelva en GAMS. d). Presente plan de embarque detallado: unidades a transportar entre cada nodo y los costos asociados a la operación. EJERCICIO 3
La compañía Yoys-R-4-U ha desarrollado dos nuevos juguetes para su posible inclusión en la línea de productos la próxima temporada Navidad. La preparación de instalaciones para inicial la fabricación constaría $50.000 en el caso del juguete 1y de $80.000 en el del juguete2. Una vez cubiertos estos cotos, se obtendría una ganancia unitaria de $10 por el juguete 1 y $15 por el juguete 2. La compañía tiene dos plantas que pueden producir estos juguetes. Sin embargo, para evitar la duplicidad de costos de preparación, sólo se usará una de ellas, y la elección depende de la maximización de la ganancia. Por razones administrativas, se usarán la misma planta para ambos juguetes nuevos si se producen los dos. El juguete 1 se puede producir a una tasa de 40 unidades por hora en la planta 1y 25 por hora en la 2. Las plantas 1 y 2 tienen 500 y 700 horas de producción disponibles, respectivamente, antes de Navidad, que se pueden usar para producir estos juguetes. No se sabe si estos juguetes continuarán fabricándose después de Navidad. Por lo tanto, el problema es determinar cuántas unidades (si se fabrican) de cada juguete nuevo deben producirse antes de navidad a fin de maximizar la ganancia total. a). Formule un modelo de PEB para este problema (formulación específica y canónica). Formulación especifica: Objetivo: Determinar las cantidades (si se fábrica) a fabricar de cada juguete nuevo antes de Navidad con el fin de maximizar la ganancia total. Variable de decisión: Xij, cantidad de juguetes tipo i a fabricar en la planta tipo j. Yij, se fabrica el juguete tipo i en la planta tipo j = { Función objetivo: Maximizar ganancias Z (Xij, Yij) Parámetros: Gi: Ganancia unitaria por juguete tipo i. Cti: Costo de preparación de instalaciones para la fabricación del juguete tipo i. Tij: Tasa de producción de juguete tipo i en la planta tipo j. Hdj: Horas disponibles en las plantas tipo j. (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Formulación canónica: (
)
∑∑
∑(
∑
b). Resuelva el modelo en GAMS.
∑∑
)
∑
c). Presente el plan de producción y un análisis de los costos. Unidades a producir Planta 1 Planta 2 Juguete 1 0 28.000 Juguete 2 20.000 1
Ganancia $ Juguete 1 280.000 Juguete 2 300.000 Total 580.000
Utilidad $ 230.000 220.000 450.000
Comparacion de Ganancia y Costos 350000 300000
280000
300000
250000 200000 150000 80000
100000 50000 50000 0 Ganacia
Costos
Juguete 1
Juguete 2
Utilidad por juguete 250000
Utilidad $
200000 150000 100000 50000 0 1
2 Juguete
La ganancia total es de $580.000 por la producción de los dos juguetes y esta ganancia alcanza a cubrir los costos de preparación de las instalaciones que son $50.000 por el juguete 1 y $80.000 para el juguete 2, lo que genera una utilidad de $450.000.
EJERCICIO 4 Un modelo que una compañía de servicio eléctrico requiere para sus operaciones diarias consiste en una guía para decidir qué generadores debe poner en marcha en cada ocasión. El servicio en cuestión con tres generadores con las características que aparecen en la tabla siguiente. El día está dividido en
dos periodos yu en el primero de ellos se necesitan 2,900 megavatios. En el segundo periodo se requieren 3,900 megavatios. Un generador puesto en marcha en el primer periodo puede usarse en el segundo sin incurrir en un costo adicional de puesta en marcha. Todos los generadores principales (por ejemplo, A, B, y C) se apagan al final de cada día. Formule y resuelva este modelo como una PLEM. Defina con cuidado sus variables de decisión. a). Formule un modelo de PLEM para este problema (formulación específica y canónica). Formulación Específica: Objetivo: Determinar la cantidad de Megavatios a usar de cada generador (si se usa) en cada uno de los periodos minimizando los costos totales. Variables de decisión: Xij, cantidad de megavatios de generador tipo i a usar en el periodo tipo j. Yij, se usa o no el generador tipo i en el periodo tipo j = { Zjk,
se
usa
o
no
el
generador
tipo
i
en
la
combinación
de
periodos
={ Parámetros cf(i,k): Costo fijo de arranque del generador tipo i en la combinación k. d(j): Demanda de megavatios en el periodo tipo j. cp(i): Costo por periodo por megavatio usado del generador tipo i. cap(i): Capacidad de megavatios del generador tipo i en cada periodo. Com(j): Combinaciones posibles del uso de los generadores en los periodos j.
(
) (
S. A. Demanda:
Capacidad:
Combinaciones:
)
(
)
(
)
tipo
k
Formulación Canónica: (
)
∑∑
∑
∑
∑
∑
b). Resuelva el modelo en GAMS.
∑∑
C). Presente un análisis. Megavatios a usar Generador 1 Periodo 2 Periodo A 1100 2100 B 1800 1800 C 0 0 Con esta cantidad de Megavatios a usar de cada uno de los generadores A, B y C se cumplen las demandas de cada periodo que son 2900 MV y 3900 MV para el periodo 1 y 2 respectivamente. A su vez, se cumple con la capacidad por periodo de cada generador que para el A es 2100 MV y se puede ver que en el periodo 1 le sobran 1000MV, mientras que en el periodo 2 utiliza toda la capacidad. Para el generador B la capacidad es 1800 MV y la utiliza completamente en los dos periodos. Costos por MV usados $ Generador A B C
1 Periodo 5.500 7.200 0
2 Periodo 10.500 7.200 0
Costo Fijo $
Total Costos $
3.000 2.000 0
19.000 16.400 0
Con esta selección de generadores a usar para satisfacer la demanda en los dos periodos se genera un costo total de $35.400. Se puede ver que no se usa el generador C en ningún periodo debido a que a pasar que el costo fijo es el menor, este generador tiene el costo más alto por MV usados, es por eso que se descarta el uso del mismo.
Comparacion de los costos 18000 16000
Costos $
14000 12000 10000 8000
Costo por MV
6000
Costo Fijo
4000 2000 0 A
B Generador
C
Distribución Porcentual de los Costos total
46%
A 54%
B
