TALLER 3 – MEDIDAS ESTADÍSTICAS 1. La junta directiva de uno de los equipos de fútbol de la ciudad decidió
comprar el pase de un jugador para ocupar la posición de delantero. Para tal fin, el empresario dueño de los pases presentará a los dos jugadores y most mostrar rará á la cant cantid idad ad de gole goless que que han han anota anotado do en las las últi última mass cinco cinco temporadas. l empresario presento la siguiente tabla! "ugador # "ugador (
#$ #% *) ()
#& #&
#' &
() #'
+Por qu la junta decidió contratar el jugador #"ustifica tu respuesta utiliando la variana y la desviación t/pica Solución:
0alculamos la 1edia para los dos casos ´ 1= ∑ X = 18 +16 + 14 +17 +20 =17 X n 5 ´ = X 2
∑ X n
=
30 + 20 + 14 + 4 + 17 5
=17
0alculamos la 2ariana 2ariana
∑ X − X ´ = 18 +16 +14 + 17 +20 −17 = 4 = 2
S1
2
S2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
5
∑ X − X ´ = 30 +20 +14 + 4 +17 = 2
2
2
2
2
2
n
5
2
−172=71.2
0alculamos la desviación 3/pica
√ n √ ∑ X − X ´ = S= √ n √ ∑ X − X ´ = 2
S 1=
2
2
2
2
2
18
+162 +142 +17 2+20 2 5
2
30
+202 +142 + 42 + 172 5
−17 2=2
−17 2=8.4
3eniendo en cuenta estos resultados, podemos decir que la junta directiva escogió al "ugador # debido a que tiene una variación mayor respecto al "ugador ( en
cuanto a la cantidad de goles. sto quiere decir que el "ugador ( var/a mucho, en su producción, mientras que el "ugador # mantiene un rango constante. 2. 4n fabricante de bombillas de neón tiene dos tipos de tubos, 5 y 6. Los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de #&78 horas y #$'8 horas, y desviaciones estándar de ($) horas y *#) horas respectivamente. a. +9u tubo tiene la mayor dispersión absolutab. +9u tubo tiene la mayor dispersión relativac. :i se e;trajo un tubo de cada tipo y su duración fue de #*8) horas y #'8)
horas respectivamente, +cuál tipo de tubo tiene menor posición relativaSolución: a. l tipo 6 tiene la mayor dispersión absoluta.
S A =280
S B =310
b. l tipo 5 tiene mayor dispersión relativa. CV A=
S
´ X
× 100=
280 1495
× 100=18,73
S 310 CV B= × 100= × 100=16,53 ´ 1875 X c. l tipo 6 tuvo menor posición relativa. DM =
∑| X − X ´ | n
´ |=|1350 −1495|=145 DM A =| X − X ´ |=|1750 −1875|= 125 DM B=| X − X
DM 145 CVM A = × 100 = × 100 =9,70 ´ 1495 X DM 125 CVM B = × 100 = × 100 =6,70 ´ 1875 X
3. l alcalde de la ciudad está considerando la posibilidad de implementar un
peaje de ingreso. :us asesores han llegado a la conclusión que e;isten dos ubicaciones posibles y favorables para ello. l alcalde decide medir el número de automóviles que ingresan a la ciudad por cada uno de los puntos durante los últimos #8 d/as. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Punto #
Punto (
&*)
&)%
&%)
#8*
8)#
&7#
&(*
8)8
&88
&%'
&'*
&(#
&8)
88%
&$#
&')
&&(
*&$
&(7
&'(
&*7
&'7
&#&
&)*
&'8
('$
&8(
&&)
&'&
(*&
a. 0alcular el valor de la dispersión absoluta para los dos puntos. +cuál tiene
mayor dispersiónb. +9u punto tiene la mayor dispersión relativaSolución: a. l punto ( es el que tiene mayor dispersión absoluta. ´ = X 1
¿
∑ X n
430 + 460 + 501 + 423 + 455 + 473 + 450 + 481 + 442+ 429 + 439 + 414 + 475 + 452+ 474 15
´ 1= 453,2 X
´ = X 2
¿
∑ X n
406 + 153 + 491+ 505+ 467 + 421 + 556 + 470+ 348 + 472 + 479 + 403 + 278 + 440 + 234 15
´ 2= 408,2 X
S 1=
√
∑ X − X ´ = 2
2
n
√
3089172 15
2
−453,2 =24
S 1=
√
∑ X − X ´ = 2
2
n
√
2671095 15
−408,22= 107
b. La mayor dispersión relativa la tiene el punto (.
CV 1=
CV 2=
S
´ X S
´ X
× 100 =
× 100 =
24 453,2
107 408,2
× 100 =5,30
× 100 =26,21
4. Las estaturas de los hombres adultos tienen una media de #,'8 metros y
una desviación estándar de ' cent/metros. 0alcule las puntuaciones < que corresponden a las siguientes personas! a. 0arlos 5lberto que mide #8% cent/metros. b. "uan "os que mide #,$# metros. c. =rancisco que mide #,%$ metros. Solución: a. 0arlos 5lberto
´ 156 −175 X − X Z = = =−2,71 S 7 b. "uan "os
´ 181−175 X − X Z = = = 0,86 S 7 c. =rancisco
´ 168− 175 X − X Z = = =−1 S 7
5. n un grupo de estudiantes la estatura promedio es #%*,# cm., con una
desviación estándar de 7,*$ cm. y su peso promedio es de %#,* >g con
desviación estándar ##,' >g. 1auricio mide #,') metros y pesa %* >g, calcule! a. La puntuación estandariada de cada medida. b. +n cuál de las dos medidas hay mayor dispersión absolutac. +n cuál de las dos medidas hay menor dispersión relativaSolución: a. Puntuación estandariada.
´ 170−163,1 X − X Z Estatura= = =0,73 S 9,38 Z Peso=
´ 63 −61,3 X − X = =0,14 11,7 S
b. ?ay mayor dispersión absoluta en el peso.
S Estatura =9,38
S Peso =11,7
c. ?ay menor dispersión relativa en la estatura.
S 9,38 CV Estatura = × 100 = × 100=5,75 ´ 163,1 X S 11,7 CV Peso= × 100= × 100=19,09 ´ 61,3 X 6. @etermine el tipo de asimetr/a de las siguientes distribuciones con sus
estad/grafos de dispersión! a.
´ =189,97 Me =189,7 Mo =189,16 X
b.
´ =5,3 Me = 5 Mo = 4 X
c.
´ =17,5 Me=17,9 Mo =18,1 X
Solución:
0omo sabemos que!
´ = Me = Mo X
´ = Me = Mo X ´ = Me = Mo X
a. b. c. 7.
:imtrica
5simtrica positiva 5simtrica Aegativa
5simtrica positiva 5simtrica positiva 5simtrica negativa 0on los salarios semanales de los empleados de una empresa se tienen los siguientes resultados! ´ =9725 Me =9672 S =1217,50 X
a. 0alcule el coeficiente de asimetr/a de Pearson. Solución: a. 0oeficiente de Pearson.
AS =
´ − Me ) 3 × ( X S
=
3 × ( 9725−9672 ) 1217,50
=0,13
. Las estaturas y pesos de #) jugadores de baloncesto de un equipo son!
statura BCD Pesos BED
#$ #$ #7 #7 #7 () () % 7 #7) #7( * * $ ()# * 8 #) #) $8 $8 $% 7) $' 7# 7* #)* ) #
0alcular! a. La recta de regresión de E sobre C. b. l coeficiente de correlación. c. l peso estimado de un jugador que mide ()$ cm. Solución: a. Fecta de regresión de E sobre C Totale s Estatura (X)
186
189
190
192
193
193
198
201
203
205
1950
Pesos (Y)
85 158 10 345 96 722 5
XY X2 Y2
85 1606 5 3572 1
86 163 40 361 00 739 6
7225
90 17280 36864 8100
87 167 91 372 49 756 9
91 175 63 372 49 828 1
93 1841 4 3920 4 8649
Y = a + bX ^
b=
n ∑ XY −∑ X ∑ Y ( 10 × 179971 )−( 1950 × 921 ) = =1,02 2 2 ( ) × − 10 380618 3802500 n ∑ X −( ∑ X )
a=
∑ Y −b ∑ X = 921 −( 1,02 × 1950 ) =−107,14 n
10
Y =1,02 X −107,14 ^
b. 0oeficiente de correlación.
√
∑ X − X ´ =
√
∑ Y −Y ´ =
S X =
S Y =
S XY =
r=
2
2
n
2
2
n
∑ XY n
√
√
380618 10
85255 10
− 1952=6,07
− 92,12 =6,56
´ Y ´ = 179971 −195 × 92,1=37,6 − X 10
S XY 37,6 = =0,94 S X SY 6,07 × 6,56
c. l peso estimado para un jugador que mide ()$ cm.
Y =1,02 X −107,14 ^
103 207 03 404 01 106 09
100 203 00 412 09 100 00
101 207 05 420 25 102 01
921 1799 71 3806 18 8525 5
Feemplaamos C por el valor de la estatura B()$D ya que la estatura está en la variable C Y =( 1,02 × 208 ) −107,14= 105,02 ^
Gsea que el peso estimado ser/a de #)8,)( Hg. !. 4n almacn vende cinco referencias diferentes de un art/culo determinado.
Los datos siguientes indican las ventas de ellos en los meses de febrero y maro. 1es
5
=ebrero
%$1aro
78
6 0 @ *7 #*) 8 $ &*) ##* *$ #&% #) ) % &%7 $
:e desea analiar la variación B/ndice simpleD del art/culo de referencia 0 en el inventario de maro respecto al mes de febrero.
Solución:
I t o= Índice t = Periodo que se analiza O= Periodo base
X t = Precio cantidad o !alor del "eriodo que se in!esti#a X O = Precio cantidad o !alor del "eriodoconsiderado co$obase
t o
I =
X t X O
Marzo
× 100 = I %ebrero
=
1466 1308
× 100 =112
:e considera que el aumento en ventas del art/culo con referencia 0 es del #( I en el mes de maro respecto al mes de febrero.
1".
Para los siguientes datos, calcular los /ndices de precios y de cantidades por los mtodos de Laspeyres, Paashe y =isher.
ARTÍC#L $ A * C D E
2""2 Can(i)a %&'cio )
*() #&) $) 8%) ##()
2""4 Can(i)a %&'cio )
#8 #$ *8 ($ #&
*() ()) %)) 8() #())
(% *8 8& (8 #$
Solución:
Para el cálculo de cada /ndice, se deben determinar todos los valores que interviene en ellos, en la siguiente tabla se resumen todos los cálculos! A&(+culo A * C D E
%2""2
,2""2
%2""4
,2""4
*() #&) $) 8%) ##()
#8 #$ *8 ($ #&
*() ()) %)) 8() #())
(% *8 8& (8 #$ T$TALES
Ín)ic' )' %&'cio:
J t o
& I =
J t o
P I =
J
Laspeyres
∑ Pt ' o × 100 = 60760 × 100 =146,48 41480 ∑ P o 'o Paashe
∑ P t ' t × 100 = 82320 × 100 =159,23 51700 ∑ P o 't =isher
%2""2-,2""2 %2""4-,2""4
&$)) (8() ($)) #8%$) #8%$) &#&$)
$*() '))) *(&)) #*))) (#%)) $(*()
%2""4-,2""2 %2""2-,2""4
&$)) *%)) (#))) #&8%) #%$)) %)'%)
$*() &7)) &*() #&))) ()#%) 8#'))
t o
% I =
√
∑ Pt 'o × ∑ Pt 't × 100 = 60760 × 82320 × 100 =152,72 √ 41480 51700 ∑ Po 'o ∑ Po 't
Ín)ic' )' Can(i)a)':
J
Laspeyres
∑ P ' ∑ P '
t
I o
o
& =
o
J t
I o
o
∑ P ' ∑ P ' t
t
J t
× 100 =
51700 41480
× 100 =124,64
Paashe
P =
I o
t
t
× 100 =
o
82320 60760
× 100 =135,48
=isher
% =
√
∑ P ' × ∑ P ' ∑ P ' ∑ P ' o
o
t
o
t
t
t
× 100 =
o
√
51700 41480
×
82320 60760
× 100 =129,95
11. 0on los siguientes datos! SALARI$S A/$S
#77$ #777 ())) ())# ())(
Bmiles de millones de pesosD #$,) (),% (*,) *$,) 8#,)
$*RER$S
I%C
AK
#77##))
*() *$) &)) ')) #)))
#&) #&$ #8( #%) #%%
())* ())&
8$,) %),)
#)8) ##))
:e pide a. b. c. ). '. 0.
:alarios reales con respecto a #77$. :alarios nominales por obrero. Mndices de los salarios reales con base #77$. Mndices de los salarios nominales con base #77$. :alarios reales por obrero, con base #77$. Mndices de salarios reales por obrero, con base #77$.
Solución: a. :alarios reales con respecto a #77$.
Salarioreal=
Salariono$inal (a(ot ) ❑ = IPC t 140
#%$ #')
