Universidad del Valle Facultad de ingeniería industrial y estadística Informe de ejercicios de taller 3 de programación de operaciones operaciones
Estudiantes a cargo Arredondo R. Jeniffer Y Díaz B. José Luis Hernández Víctor Hugo Mena Diego Fernando
Docente Salazar Andrés Felipe
Guadalajara de Buga, Mayo 2014
Solución de algunos ejercicios del capítulo 8 14) Una pequeña compañía procesadora de alimentos debe realizar 7 trabajos. El gerente desea entregar las órdenes tan pronto como sea posible, para reducir los espacios que se usan para los trabajos en proceso, y quiere que todos los trabajos se entreguen con nomas de tres días de retraso. ¿Qué programación recomendaría?
Trabajo j
1
2
3
4
5
6
7
dj
4 6
2 13
8 14
9 22
3 31
6 33
1 38
En primera instancia se utilizó el programa LEKIN Scheduler para evaluar las reglas de despacho como Ratio crítico (CR), Earliest Due Date (EDD), Longest Processing Time (LPT) y Shortest Processing Time (SPT), esto se realizó con el fin de definir que regla de prioridad es más eficiente a la hora de definir la programación con base a los requerimientos de la compañía de alimentos. La tabla de resultados se presenta a continuación:
Bajo el criterio establecido anteriormente, las reglas de programación CR, EDD, LPT y SPT presentan diferente tiempos de tardanza los cuales son (1, 1, 21, 11) respectivamente, esto ya puede definir que tanto el programa CR como el EDD son los más indicados para cumplir con el plazo máximo de 3 días de retraso; por otro lado, el número de trabajos tardíos es de (3, 1, 3, 3) respectivamente, esto muestra que el programa EDD minimiza el número de trabajos tardíos a 1 (el trabajo 4), mientras que los programas CR, LPT y SPT generan 3 trabajos tardíos. A continuación se presenta el diagrama de carga objetivo que presenta la diferencia de eficacia de los métodos:
Como se puede ver en el gráfico, el comportamiento de los métodos es semejante en varios aspectos como el tiempo y el lapso de trabajo, por otro lado, tanto en las áreas de tardanza máxima, total retrasos y número de tardanzas se puede observar que el método EDD es superior a los demás en términos de efectividad a la hora de desarrollar una solución factible. A continuación se presenta presenta el diagrama de Gantt para la programación programación (EDD):
Como conclusión se recomendaría la programación de trabajos con fecha de entrega más temprana (EDD) ya que puede cumplir con los requerimientos de tiempo de tardanza, además, lleva al mínimo el número de trabajos tardíos en comparación con los demás métodos.
16) Encuentre un buen programa del tiempo de flujo f lujo para los siguientes trabajos con tiempos de liberaciones de las órdenes:
Trabajo i Pi ri
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
16 22
11 6
6 0
18 6
2 21
20 7
19 20 8 29 121 64
16 48
136
Para un problema donde se deba minimizar el tiempo de flujo con tiempos de liberación, se recomienda el método de producción trabajo con procesos más corto (SPT), este método me ayuda a optimizar el flujo de tiempo y teniendo en cuenta los tiempos de liberación de los trabajos. trabajos. Ahora, si aplicamos este método método los resultados serian:
Trabajo i Pi ri Ci= Fi=
3
2
6 0 6 6
11 6 17 11
5
1
2 16 21 22 23 39 2 17
4 18 6 57 51
9
10
7
6
8
8 16 19 20 20 64 48 29 7 121 72 88 107 127 147 8 40 78 120 26
Total 683 359
Como podemos observar nos da un tiempo de proceso ( Makespan) de 147 y un tiempo de flujo total de 683 si el orden de los trabajos son (3, 2, 4, 4, 6, 5, 1, 7, 10, 9 y 8), indicándonos que que son las cantidades óptimas con este modelo, modelo, sin embargo, el método radio critico (CR), nos arroja un resultado similar. Para demostrar que es el óptimo entre los demás modelos conocidos, se presentaran en la siguientes graficas:
Como se puede observar los métodos CR y SPT, me ofrecen las cantidades mas optimas entre ellas.
22) Encuentre el programa de tardanza total optima para el siguiente problema de una sola maquina. Sugerencia: use la información que pueda.
Trabajo 1 2 3 4 5 6 i Pi 79 96 102 121 130 147 di 255 683 580 260 337 269
Total 675
Para este tipo de problemas, donde el objetivo principal es optimizar la tardanza total, se recomienda el modelo de programación fecha de entre más corta (EDD), al utilizar este modelo obtuvimos los siguientes resultados:
Trabajo 1 4 6 5 3 2 i Pi 79 121 147 130 102 96 di 255 260 269 337 580 683 Ci 79 200 347 477 579 675 Li -60 78 140 -1 -8 Ti
176 0
0
78
140
0
0
Total 675 2357 -27 218
Como podemos observar en estas graficas, si se utiliza uti liza este método el orden de trabajo seria (1, 4, 6, 5, 3 y 2), obteniendo una tardanza total de 218, con 2 trabajos tardíos que son (6 y 5). También, se puede demostrar que es el más óptimo de los métodos conocidos, ya que supera la tardanza total, aunque el flujo de tiempo sea menor. Esta demostración se presenta en la siguientes graficas:
De esta forma se demuestra que el modelo óptimo entre los conocidos es el EDD, dando como como tardanza tardanza total una cantidad cantidad de 218.
30) Considere el siguiente conjunto de trabajos: TRABAJO i Pi
1 5
2
3
4
5
11 18
8
20
6
7
4 14
8
9 10
9 10
16
a) Encuentre la suma mínima de adelanto y tardanza si la fecha de entrega común es de 90
b) Repita el inciso anterior si la fecha de entrega es 65. Para este problema se supone que todos los trabajos tienen pesos iguales, fecha de liberación en cero y una fecha de entrega en común, común, y tiene como como objetivo minimizar la tardanza total. Para lograr este objetivo usaremos la secuencia TPC (SPT) que me minimiza la tardanza total.
Ahora para responder el inciso a, se debe tener en cuenta que tiene una cantidad en común para todos los trabajos y esa cantidad es la fecha de entrega que me representa como 90, para observar si se logro minimizar la tardanza con este parámetro, utilizamos el método SPT y obtuvimos los siguientes resultados:
Trabajo 6 1 4 8 9 2 7 i Pi 4 5 8 9 10 11 14 di 90 90 90 90 90 90 90 Ci 4 9 17 26 36 47 61 Li - -81 - -64 -29 Ti Ai
86 0 86
0 81
73 0 73
0 64
54 0 54
43 0 43
0 29
10
3
5
16 90 77 -13
18 20 90 90 95 115 5 25
487 -413
0 13
5 0
30 443
25 0
Total 115
Como podemos observar el orden programado optimo, es (6, 1, 4, 8, 9, 2, 7, 10, 3 y 5), siendo este el de menor tardanza (30) y adelanto (443). Para demostrar que este modelo es el óptimo se mostrara en las siguientes graficas los resultados de los otros métodos: m étodos:
Con estos resultados, se puede observar claramente que se no se obtienen una tardanza menor que que 30, sin embargo, no es el único modelo que me minimiza los trabajos tardíos, también lo hace EDD y FCFS. b) ahora para este problema, que tiene un parámetro distinto, que es la fecha de entrega, siendo de 65
Trabajo i Pi di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 11 18 8 20 4 14 9 10 16 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65
Total 115
Si aplicamos el mismo mismo método, cumpliríamos cumpliríamos el mismo objetivo objetivo solo que con distintos resultados como podemos ver a continuación:
Trabajo i Pi di Ci Li Ti Ai
6
1
4
8
9
2
7
10
4 65 4 -61 0 61
5 65 9 -56 0 56
8 65 17 -48 0 48
9 65 26 -39 0 39
10 65 36 -29 0 29 29
11 65 47 -18 0 18
14 65 61 -4 0 4
16 65 77 12 12 0
3
5
18 20 65 65 95 115 30 50 30 50 0 0
Total 115 487 -163 92 255
Con este resultado obtuvimos el mismo orden, aunque la tardanza mínima en este caso es de 92 y el adelanto es de 255, siendo estos valores los más óptimos entre los métodos conocidos. Para observar que este método es el óptimo entre los otros, lo demostraremos en las siguientes graficas.
En este caso, este método fue el único que mejor me minimizo los trabajos tardíos y la tardanza mínima.
Sin embrago, para comprobar comprobar que se se obtenga el óptimo se utilizara un modelo modelo heurístico y al aplicarlo podemos decir que: Suponiendo que todos los trabajos tienen pesos iguales, fecha de liberación en cero y una fecha de entrega en común se utiliza la regla LPT LPT para resolver resolver este tipo de problemas. a) Este primer inciso se realiza realiza para un problema no restringido con D>= Delta, es decir, la fecha de entrega es no restringida. restringida.
Primero se debe determinar determinar el j* que en este caso nos dio J* = 5 es decir que el trabajo 9 está en la quinta posición de la secuencia v dada en el segundo renglón. Luego definimos:
D = fecha de entrega = 90 Delta = p1 + p3 +p5 + p7 +p9 = 67 Aquí comprobamos que el problema es no restringido porque se cumple que D>= Delta.
Después definimos la terminación de cada trabajo lo que se determina a partir de la diferencia entre la fecha de entre y Delta y en este caso nos da igual a 23 entonces el primer trabajo tiene una fecha de terminación de 28 dado que se le suma el tiempo de procesamiento, y así se realiza para cada fecha de terminación de cada trabajo. Por último con con los anteriores anteriores cálculos logramos obtener obtener la suma suma mínima de adelanto y tardanza para los cuales se programan todos los tiempos ocioso al principio con el objetivo de no adelantar tanto los trabajos, dado que esto nos puede causar costos de mantener inventarios si los trabajos se terminan antes de la fecha de entrega y costos de retrasos por incumplir la fecha de entrega si los trabajos se terminan después de esta.
Los resultados de los cálculos anteriores se muestran en la tabla a continuación.
TRABAJO i Pi SECUENCIA TIEMPOS SUMA DE TIEMPOS TERMINACI N ADELANTO TARDANZA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 1 5 5
11 3 18 23
18 5 20 43
8 7 14 57
20 9 10 67
4 10 16 83
14 8 9 92
28 62 0
51 39 0
71 19 0
85 5 0
95 111 120 124 132 143 0 0 0 0 0 0 5 21 30 34 42 53
9 10 16 6 4 2 4 8 11 96 104 115
b) Este es un caso con fecha de entrega restringida debido debido a que D A, entonces se asigna el trabajo k a la posición b b + 1 entonces b B – pk – pk entonces B
De otra manera se asigna el trabajo k a la posición a a – 1 – 1 entonces a A – A – pk pk entonces A Para determinar los datos iniciales se realizaron los siguientes cálculos: A = ∑j pj - D
a = 10 trabajos Siguiendo esta secuencia de pasos y respetándolas condiciones que se van presentando a lo largo de la programación obtuvimos los resultados en la siguiente tabla.
B
b
a
50
10
k
pk
65
5
20
65
1
50
10
3
18
65
1
30
9
10
16
47
2
30
9
7
14
31
3
30
9
2
11
17
4
30
9
9
10
17
4
19
8
8
9
17
4
9
7
4
8
8
5
9
7
1
5
8
5
1
6
6
4
3
6
1
6
∑j pj
1
A
115
=
32) Considere los siguientes tipos de procesado dependientes de la secuencia: Dé una secuencia según el heurístico del tiempo de preparación más corto y muestre el óptimo.
Trabajo 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
__ 35 19 39 11
22 __ 23 18 0
15 24 __ 0 2
24 29 30 __ 12
15 1 13 9 __
Dada la limitación de la herramienta LEKIN, no se puede programar este algoritmo en esta herramienta, por otro lado, utilizando la secuencia según el heurístico del tiempo de preparación más corto se logró obtener la ruta más apropiada la cual se presenta a continuación:
Trabajo 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5 3
5 2
Mínimo de tiempo
1 4 63
Ruta
4-3-1-52-4
La ruta apropiada según el heurístico para el tiempo de preparación más corto es (4-3-1-5-2-4) con un lapso de 63 unidades de tiempo.
33) Un troquel hace cuatro partes. Una vez terminada cada parte, se realiza un cambio para la siguiente parte programada. El tiempo (en horas) para el cambio depende de la secuencia y se muestra en la tabla. El proceso real de las partes se puede tomar hasta dos días. Suponga que las partes deben de hacerse una a la vez en un programa rotativo, ¿Qué secuencia recomendaría?
Parte 1 2 3 4
1
2
3
4
__ 6 10 2
1 __ 2 1
3 10 __ 4
4 4 3 __
Ya que la herramienta LEKIN tiene limitaciones de aplicabilidad, no es posible programar este problema en la herramienta, por otro lado, utilizando la secuencia según el heurístico del tiempo de preparación más corto para hallar el tiempo de preparación mínimo se puede llegar a la solución.
Parte 1 2 3 4
1
2
3
4
3 1 4 2
Mínimo de tiempo
11 Ruta 2-4-1-3-2 La ruta apropiada según el heurístico para el tiempo de preparación más corto es (2-4-1-3-2) con un lapso de 11 unidades de tiempo. Por otro lado se encontró otra ruta que genera un lapso de tiempo similar:
Parte 1 2 3 4
1
2
3
4
4 2 1 3
Mínimo de tiempo
11
Ruta
3-2-4-1-3
Otro resultado de seguir el heurístico para el tiempo de preparación más corto es (3-2-4-1-3) con un lapso de 11 unidades de tiempo. Ahora bien, tanto la primera como la segunda ruta pueden ser una forma viable de minimizar el tiempo de preparación entre trabajos.
43) Determina el programa de flujo mínimo para los trabajos descritos en la tabla, procesando en tres maquinas idénticas. Compare el tiempo de flujo con las soluciones de una sola maquina.
Trabajo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total i Pi 16 9 10 8 5 11 15 6 3 19 8 4 3 11 5 1 11 10 6 5 166
Para este tipo de problema, se identifica claramente que se trabaja con maquinas paralelas y se diferencia con una proceso de maquina s imple. En este problema tiene como objetivo minimizar el flujo total de los trabajos. Para cumplir con este objetivo se recomienda utilizar el método de programación trabajo con el proceso proceso más corto corto (SPT), sin embargo, este método no me optimiza el máximo flujo de tiempo, para tener mejor claridad, observemos los resultados con el método SPT:
Trabaj oi Pi
1 9 1 6 3
1 5 1 2 5
2 8 1 4 1 2 3 0 9 1
1 8
6
1 4
1 7
7
1
1 0
Tot al
1
4
5
1 0
1 1
1 1
1 1
1 5
1 6
1 9
166
3
3
5
5
6
M1/Trabajo 16 12 20 4 3 14 1 i P1 1 4 5 8 10 11 16 Ci 1 5 10 18 28 39 55
M2/Trabajo 9 5 8 11 18 17 10 i P1 3 5 6 8 10 11 19 Ci 3 8 14 22 32 43 62 M3/Trabajo 13 15 19 2 6 7 i P1 3 5 6 9 11 15 Ci 3 8 14 23 34 49
6
8
8
9
1 0
Total 156
Total 184
Total 131
Mi M1 M2 M3 Total Ci 156 184 131 471
Como se puede observar, el tiempo de flujo total nos da una cantidad de 147, con un makespan de 62, sin embargo, si lo que se quiere es optimizar el makespan, el modelo más óptimo es el método m étodo proceso de tiempo más largo (LPT), para observar los resultados se mostraran en las siguientes graficas:
Con el método LPT, se ve claramente que el Makespan, disminuyo de 62 a 56, sin embargo, el tiempo de flujo total nos arrojo una cantidad mayor al método de SPT que es de 802.
Ahora estos son los métodos métodos más óptimos si se quiere un mínimo flujo de de tiempo total o un flujo de tiempo máximo, se se pueden demostrar demostrar en las siguientes graficas:
Sin embargo, el objetivo principal es diferenciar el método optimo con maquinas paralelas y el método optimo con maquinas simples. Adem ás se debe hacer un análisis con maquina simple, donde hay que minimizar el tiempo de flujo o el flujo máximo de todo el proceso, para este también se utiliza el método SPT, en el caso de maquinas simple el flujo f lujo máximo es el mismo para todos, así que solo se va optimizar el tiempo de flujo total. Al aplicar este método se tiene como resultado:
Trabajo 16 9 13 12 5 15 20 8 19 19 4 11 2 3 18 6 14 17 7 1 10 Total i Pi 1 3 3 4 5 5 5 6 6 8 8 9 10 10 11 11 11 15 16 19 166 Ci 1 4 7 11 16 21 26 32 38 46 54 63 73 83 94 105 116 131 147 166 1234
Con este método tenemos como resultado optimo el tiempo de flujo total de 1234, aproximadamente el triple del flujo total del SPT con 3 maquinas paralelas y un Makespan Makespan de 166, siendo siendo aproximadamente aproximadamente el triple del makespan del SPT con 3 maquinas paralelas. Se podría afinar que entre más maquinas paralelas, habrá menos tiempo en la espera.
44) Gerry, el mecánico del ejercicio 8.5, puede contratar otro mecánico para ayudarlo a reparar seis automóviles. El mecánico cuesta $ 10 por hora y debe trabajar un mínimo de 4 horas. ¿Qué costo por hora tendrá que pagar pagar Gerry al tiempo de espera del cliente para justificar la contratación del mecánico?
Trabajo i Pi
1
2
3
4
5
6
Total
115 145 40 25 70 30 425 Para solucionar este problema, primero se debe identificar qué tipo de programación es, en este caso la programación es maquinas paralelas. Ya teniendo definido este programa se escoge el método más m ás óptimo, y para cumplir el objetivo que es el de menos flujo de tiempo total se usa el método del proceso con el tiempo más corto (SPT), al aplicar este método podemos observar los siguientes resultados:
Trabajo i Pi M1/Trabajo i Pi Ci M2/Trabajo i Pi Ci
4
6
3
25
30
40 70 115 145
4
3
1
25 25
40 65
115 180
6
5
2
30 30
70 100
145 245
Mi M1 M2 Ci 270 375
5
1
2
Total 270
Total 375
Total 645
Como podemos observar, el método SPT, nos indica que el tiempo de flujo optimo es de 645, además de de esto, también nos indica los tiempo de los mecánicos (180 y 245), como el mecánico nuevo debe trabajar un mínimo de 4 horas, pues Gerry trabajara el resto en lo cual cual su tiempo máximo es de 245. 245. Ahora que sabemos, cual cual es el tiempo de total que trabaja el mecánico nuevo, nuevo, se calcula el costo total ya que el mecánico cobra un total de $10 por hora. Con el resultado de la operación (10*4.05 = $40,5), se calcula el posible costo por hora, como ($40,5 = 645X), esta operación nos da como resultado resultado $0.096 por minutos, ahora se calcula por horas ($0.096*60 = $5,76). Sin embargo, para reducir reducir costos, el método más optimo optimo es el radio critico (CR), este método nos demuestra, que que uno de los mecánicos trabaja exactamente 4 horas, donde casualmente el mecánico nuevo debe trabajar mínimo de 4 horas, para ver claramente este método, se demostrara en la grafica:
En este caso los costos cambiarían totalmente, ya que tendríamos un total de ($10x4=$40), pero los costos por hora serian mucho más reducidos por el tiempo de flujo total que se obtuvo en este modelo, que tiene como cantidad 995. El costo por hora seria (($40/ 995) x 60 = $2.41). Para demostrar que estos métodos son los óptimos según el interés de Gerry, se mostraran en las siguientes graficas:
Como se menciono anteriormente, los métodos óptimos son SPT y CR, en este caso depende de cuánto realmente el mecánico quiera tener como espera por hora.
52) Los datos de un taller de producción continua con 4 trabajos y 6 máquinas se dan enseguida
TRABAJO i Pi1 Pi2 Pi3 Pi4
1
2
3
4
18
14 23
25 25
3
22
29 5 6
11
26
1
2 28 16
5 7 15 25 16
A) obtenga un programa con con un buen lapso para el problema problema
6 21
6 19 21
Para hallar el mejor programa con un buen lapso para el problema se realiza con tres métodos y reglas, primero se probará en el software Lekin con la regla SPT, después con el heurístico CDS y por ultimo con el heurístico de Gupta y después de ver los resultados de las tres programaciones se definirá cual el que tiene el mejor lapso para este problema.
1) Programacion en Lekin con la regla SPT
Con este método obtuvimos un tiempo total de terminación de Cmax =190.
2) Ahora se probara probara la programación programación con el heurístico CDS CDS En este heurístico para lograr semejar este problema de 4 máquinas y n trabajos como un algoritmo de Johnson para un problema de 2 máquinas y n trabajos debemos de combinar los tiempo de procesado para obtener tres programas de la cuales se escogerá la mejor secuencia CDS para que tenga el menor lapso Cmax.
El primer programa trabajos 1 2 3 4 5 6 M1 18 14 25 29 7 21 M2 16 11 26 1 16 21 Secuencia 1 T4
2
3
4
5
6
T5
T2
T1
T6
T3
Con esta secuencia se tiene Cmax = 141
El segundo programa trabajos 1 2 3 4 5 6 M1 20 37 50 34 22 27 M2 44 14 48 7 41 40
Secuencia 1 T4
2
3
4
5
6
T1
T2
T5
T6
T3
Con esta secuencia secuencia se se tiene Cmax = 247
Tercer programa trabajos 1 2 3 4 5 6 M1 48 40 72 40 47 46 M2 46 37 73 12 56 46 Secuencia 1 T4
2
3
4
5
6
T2
T6
T1
T5
T3
Con esta secuencia secuencia se se tiene Cmax = 371
3) Por último se realiza una programación a este problema con el heurístico de Gupta TRABAJO 1 2 3 4 5 6 i Pi1 18 14 25 29 7 21 Pi2 2 23 25 5 15 6 Pi3 28 3 22 6 25 19 Pi4 16 11 26 1 16 21 Aplicando los algoritmos en la siguiente tabla obtenemos los resultados y la secuencia optima que este arrojo
trabajo
p1+p2 p2+p3 p3+p4 min
ei
si
(i)
0,05 0,07 0,02 0,14 0,05 0,04
5
1
20
30
44
20
-1
2
37
26
14
14
-1
3 4
50 34
47 11
48 7
47 7
1 -1
5 6
22 27
40 25
41 40
22 25
1 -1
3 6 1 2 4
Con este modelo modelo obtuvimos obtuvimos la secuencia secuencia óptima (4-5-2-6-1-3) Al realizar la gráfica de Gantt para este heurístico obtuvimos obtuvimos un Cmax = 181 A partir de estos programas se realizaron los diagramas de Gantt y se obtuvieron los Cmax respectivos y comparando pudimos comprobar que la secuencia que arroja el mejor programa con un buen lapso optimo es la del Cmax = 141, siendo el menor menor que se obtuvo, obtuvo, que corresponde corresponde a la primera programación que se realizó en el heurístico de CDS Secuencia óptima para este problema:
1 T4
2
3
4
5
6
T5
T2
T1
T6
T3
