Universidad Nacional de Colombia Taller preparatorio estadística social fundamental.
1.
Clasificar las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:
X : el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia. Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente. P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad
emiten cada mes. Q: el peso del grano producido por acre. 2. Se lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste
sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto? Explique su respuesta. 3. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una
variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:
, , > 0 () = {20000(+100) 0, 0, Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días; b) cualquier lapso entre 80 y 120 días. 4. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que represente el resultado cuando se lanza un dado una vez. 5. Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades
defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X . Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. 6.
Considere la función de densidad
0< <1 √ 0,,, () = {0, a) Evalúe k .
b) Calcule F ( x ) y utilice el resultado para evaluar P (0.3 < X < 0.6). 7. Se sacan tres cartas de una baraja de manera sucesiva y sin reemplazo.
Calcule la distribución de probabilidad para la cantidad de espadas. 8. Sea X el tiempo de reacción, en segundos, ante cierto estímulo, y Y la
temperatura (en °F) a la cual inicia cierta reacción. Suponga que dos variables aleatorias, X y Y , tienen la densidad conjunta
<1, 0 <<1 (,) =4 00< ≤ ≤ ) (0≤≤ (<)
Calcule a) b)
9. Si la distribución de probabilidad conjunta de X y Y está dada por
(, ) = + , = 0,1,2,3; = 0,1,2, a) la distribución marginal de X ; b) la distribución marginal de Y .
10. Se presenta la siguiente distribución de probabilidad de X , el número de
imperfecciones que hay en cada 10 metros de una tela sintética, en rollos continuos de ancho uniforme X F(X)
0
1
2
3
4
0.41
0.37
0.16
0.05
0.01
Calcule el número promedio de imperfecciones que hay en cada 10 metros de esta tela. 11. Una moneda está cargada de manera que la probabilidad de ocurrencia de
una cara es tres veces mayor que la de una cruz. Calcule el número esperado de cruces si esta moneda se lanza dos veces. 12. En un juego de azar a una mujer se le pagan $3 si saca una jota o una
reina, y $5 si saca un rey o un as de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta, pierde .Cuanto debería pagar si el juego es justo?
13. Si la utilidad para un distribuidor de un automóvil nuevo, en unidades de $5000, se puede ver como una variable aleatoria X que tiene la siguiente
función de densidad
() ={2(1),0<<1 0, Calcule la utilidad promedio por automóvil. 14. Suponga que X y Y tienen la siguiente función de probabilidad conjunta:
a) Calcule el valor esperado de b) Calcule y .
(,) =
.
15. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
Calcule
(),
donde
() = (2 + 1).
16. El tiempo que transcurre, en minutos, para que un avión obtenga vía libre
para despegar en cierto aeropuerto es una variable aleatoria donde X tiene la siguiente función de densidad
,>0 1 − ()=0,4 Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria Y .
= 3 – 2
,
17. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
Calcule la desviación estándar de X .
18. De acuerdo con Chemical Engineering Progress
(noviembre de 1990), aproximadamente 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por errores del operador.
a) .Cual es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías
al menos 10 se deban a un error del operador? b) .Cual es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador? c ) Suponga que, para una planta específica, de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas exactamente 5 son errores de operación. Considera que la cifra de 30% anterior se aplique a esta planta? Comente su respuesta. 19. Un estudio a nivel nacional que examino las actitudes hacia los
antidepresivos revelo que aproximadamente 70% de los encuestados cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, solo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, cual es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esta opinión? 20. Un ingeniero de seguridad afirma que solo 40% de los trabajadores utilizan
cascos de seguridad cuando comen en el lugar de trabajo. Suponga que esta afirmación es cierta y calcule la probabilidad de que 4 de 6 trabajadores elegidos al azar utilicen sus cascos mientras comen en el lugar de trabajo. 21. El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una caja
que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. Cuál es la probabilidad de que plante 2 bulbos de narciso y 4 de tulipán? 22. Una encuesta a nivel nacional, realizado por la Universidad de Michigan a
17,000 estudiantes universitarios de último ano, revela que casi 70% desaprueba el consumo diario de marihuana. Si se seleccionan al azar 18
de tales estudiantes y se les pide su opinión, cual es la probabilidad de que más de 9 pero menos de 14 desaprueben el consumo de marihuana? 23. Calcule la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga a) la tercera cara en el séptimo lanzamiento; b) la primera cara en el cuarto lanzamiento.
24. Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, el virus que produce
una enfermedad, hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es de 1/6, .cual es la probabilidad de que tenga que inocular a 8 ratones? 25. Un escritor de libros comete, en promedio, dos errores de procesamiento de
texto por página en el primer borrador de su libro .Cual es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? b) Ningún error? 26. La probabilidad de que una persona muera al contraer una infección viral es
de 0.001. De los siguientes 4000 infectados con el virus, .cual es el número promedio que morirá? 27. Una variable aleatoria tiene distribución uniforme (2,4). Calcular:
a) P(X<2.5) b) P(X>3.2) c) P(2.2 X
≤ ≤
3.5)
28. Un autobús llega cada 10 minutos a una parada. Se supone que el tiempo
de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribución continua uniforme. a) .Cual es la probabilidad de que el individuo espere más de 7 minutos? b) .Cual es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos? 29. Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que
esta a) a la izquierda de z = –1.39; b) a la derecha de z = 1.96; c ) entre z = –2.16 y z = – 0.65; d ) a la izquierda de z = 1.43; e) a la derecha de z = – 0.89;
f) entre z = – 0.48 y z = 1.74.
30. Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que
a) P (Z > k ) = 0.2946; b) P (Z < k ) = 0.0427; c) P (−0.93 < Z < k ) = 0.7235. 31. Las barras de pan de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas
locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros. Si se supone que las longitudes están distribuidas normalmente, .que porcentaje de las barras son a) más largas que 31.7 centímetros? b) de entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud? c ) Más cortas que 25.5 centimetros?
32. Se lanza una moneda 400 veces. Utilice la aproximación a la curva normal
para calcular la probabilidad de obtener a) entre 185 y 210 caras; b) exactamente 205 caras; c ) menos de 176 o más de 227 caras.
33. La vida, en anos, de cierto interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores
se instalan en diferentes sistemas, .cual es la probabilidad de que, a lo sumo, fallen 30 durante el primer año? 34. Se sabe que la vida, en semanas, de cierto tipo de transistor tiene una
distribución gamma con una media de 10 semanas y una desviación estándar de semanas.
√ 50
a) .Cual es la probabilidad de que un transistor de este tipo dure a lo sumo
50 semanas? b) .Cual es la probabilidad de que un transistor de este tipo no sobreviva las primeras 10 semanas?
