Tablica tolerancija i tolerancijskih poljaFull description
Full description
gfgfFull description
Tablica deljenja
MatematikaFull description
Full description
Full description
Full description
Full description
Tablica limesa – upotreba u zadacima Pisali ste nam da na nekim fakultetima traže da se limesi rešavaju bez upotrebe Lopitalovog pravila. Evo tutorijala vezanog za to. Tablica limesa ( poznati limesi u interpretaciji nekih profesora ) izgleda:
Naravno, varijacije na temu su: sin x sin f ( x) sin n f ( x) = 1 → lim = 1 → lim =1 n x →0 x →0 x →0 x f ( x) ( f ( x) )
lim ili
sin x sin f ( x) = 1 → lim = 1, gde lim f ( x ) = 0 x →0 x → x0 x → x0 x f ( x)
lim
I tako za svaki od limesa iz tablice. Recimo: ex −1 e f ( x) − 1 = 1 → lim =1 x →0 x →0 x f ( x) ili lim
ex −1 e f ( x) − 1 = 1 → lim = 1, gde lim f ( x) = 0 x →0 x → x0 x → x0 x f ( x)
lim itd.
x
sin x 1 Primena racionalizacije i limesa lim = 1 , lim 1 + = e je već objašnjena u prethodnim fajlovima, x →0 →∞ x x x jer se to gradivo radi i u srednjoj školi. U ovom tutorijalu ćemo objasniti upotrebu ostalih poznatih limesa.
Napre da dopunimo trik sa racionalizacijom, u situaciji kad nisu isti koreni u pitanju. Primer 1. x +1 − 3 x +1 . x
Izračunati lim x →0
Rešenje: Ako zamenimo da x teži 0, dobijamo neodredjen izraz
0 . 0
Problem je što imamo različite korene u brojiocu ovog razlomka! Upotrebimo trik sa dodavanjem i oduzimanjem nekog broja (najčešće je to 1) .
lim x →0
( lim
x +1 − 3 x +1 = x
) (
x +1 −1 −
x →0
3
)
x +1 −1
x
Sad ovo radimo kao dva limesa i racionališemo svaki posebno:
( lim
) (
x + 1 −1 −
x →0
= lim
x →0
(
)⋅( (
( x
x
2
x + 1 − 12
( (
x
)
x +1 +1
3
x →0
x
((
− lim x →0
x
3
((
x
)
3
x + 1 − 13
)
) ⋅ (( ((
x +1 −1
x→0
) − lim
)
x +1 +1
) − lim ( x + 1 + 1) 3
x →0
x
x +1 +1
((
) − lim (
x +1 −1
x →0
x + 1 −1 x
= lim x →0
) = lim (
x +1 −1
x
x →0
= lim
3
2
)
3
3
3
)
x +1 −1 x
) x + 1)
2
2
+3
)
x +1 + 3 x +1 +1 x 3
)
2
)
x +1 + 3 x +1 +1
) x + 1 + 1)
x +1 + 3 x +1 +1
=
1 1 1 − = 2 3 6
Primer 2.
x + 3 − 3 5 − x2 . x2 − 4
4
Izračunati lim
x →−2
Rešenje: Naše trikče:
( lim
4
) (
x + 3 −1 −
)=
5 − x2 −1
x2 − 4
x →−2
( lim
3
4
x −4 2
x →−2
) − lim (
x + 3 −1
3
)
5 − x2 − 1 x −4 2
x →−2
Kako je uopšteno An − 1 = ( A − 1)( An −1 + An − 2 + ... + A + 1) Za našu situaciju imamo: A4 − 1 = ( A − 1)( A3 + A2 + A + 1) odnosno A3 − 1 = ( A − 1)( A2 + A + 1) pa je :
( lim
4
x2 − 4
x →−2
lim
(
4
x →−2
x2 − 4
( x − 4) 2
3
) ⋅ (( ((
((
4
4
) ( x + 3) + ( 3
x+3 + 3
( 4
4
4
4
) ( x + 3) + (
x+3
4
x + 3 − 14
) ( 3
)=
5 − x2 − 1 x2 − 4
x →−2
x + 3 −1
= lim
x →−2
) − lim (
x + 3 −1
x+3 +
4
x+3
2
+
2
4
4
) ) ( − lim x + 3 ) + 1)
x + 3 +1
x →−2
) ) +( 2
ovo sve daje 4
4
)
)
x + 3 +1
− lim
x →−2
3
) ( (
5 − x −1 ⋅ x2 − 4 2
)+ 5− x ) +
3
5 − x2
3
2
2
2
5 − x 2 + 1 3 5 − x 2 + 1 3
3 5 − x 2 3 − 13 ( x 2 − 4)
(
3
5 − x2
)+ 2
3
5 − x 2 + 1
ovo sve daje 3
x+2 4− x − lim 2 →− x 2 ( x + 2)( x − 2) ⋅ 4 ( x − 4) ⋅ 3 1 1 13 = + = −16 3 48 2
= lim
x →−2
www.matematiranje.in.rs
Dalje obradjujemo
ex −1 e f ( x) − 1 a x −1 a f (x) −1 = 1 → lim = 1 to jest lim = ln a → lim = ln a x →0 x →0 x →0 x →0 x f ( x) x f ( x)
lim
Primer 3.
Izračunati e3 x − 1 x →0 2x
a) lim
1 − esin 3 x x →0 tg 2 x
b) lim
32 x − 1 x →0 sin 5 x
c) lim
2
2
3x − e x d) lim x →0 1 − cos 2 x
Rešenje:
a)
e3 x − 1 e3 x − 1 3 e3 x − 1 3 = lim = lim = x →0 x →0 2 x →0 2x 2 3 2 x ⋅ 3x ovo daje 1 3
lim
b)
1 − esin 3 x esin 3 x − 1 esin 3 x − 1 esin 3 x − 1 sin 3 x = − lim = − lim = − lim = x → 0 tg 2 x x → 0 tg 2 x x →0 x →0 tg 2 x sin 2 x sin 3 x sin 3 x ⋅ ovo je 1 sin 3 x cos 2 x sin 3 x sin 3 x 3⋅ ⋅ 3x 3 3x − lim 3 x ⋅ cos 2 x = − lim ⋅ cos 2 x = − x → 0 sin 2 x x →0 2 sin 2 x ⋅ 2x 2⋅ 2x 2x
lim
www.matematiranje.in.rs
c) 32 x − 1 32 x − 1 32 x − 1 1 2 lim = lim = lim = ln 3 ⋅ x →0 sin 5 x x → 0 2 x sin 5 x x →0 2 x 5x 5 ⋅ ⋅ 5x 2x 2x 5x
d) 2
2
2
2
3x − e x lim = trik sa dodavanjem jedinica i formulica 1 − cos 2 x = 2sin 2 x x →0 1 − cos 2 x 2
2
3x − e x 3x − 1 ex −1 = lim − = lim lim x →0 1 − cos 2 x x → 0 2sin 2 x x → 0 2 sin 2 x x→0
lim
2
2
3x − 1 sin 2 x 2 ⋅ x2 x2
2
− lim x→0
ex −1 sin 2 x 2x2 x2
=
2
ex −1 1 1 3x − 1 1 1 1 = lim 2 − lim 2 = ln 3 − = (ln 3 − 1) → → x x 0 0 x x 2 2 2 2 2
Sledeći limes koji objašnjavamo je (u kombinaciji sa već naučenim trikovima):
ln(1 + x) ln(1 + f ( x)) = 1 → lim =1 x →0 x →0 x f ( x)
lim
Primer 4. Izračunati: a) lim x →0
ln(1 + 12 x ) x
ln(1 + 4 x 2 ) x →0 sin 2 3 x
b) lim
1+ x −1 ln(1 − x)
3
c) lim x →0
4
d) lim x →0
1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x − 1 ln(1 + 5 x 2 )
Rešenja: a) ln(1 + 12 x ) ln(1 + 12 x ) ln(1 + 12 x ) = fali nam 12 = lim ⋅12 = lim ⋅12 = 12 x →0 x →0 x→0 x 12 x 12 x
lim
ovo je 1
b) ln(1 + 4 x 2 ) ln(1 + 4 x 2 ) 2 ⋅ 4x2 ⋅ 4x 2 2 2 ln(1 + 4 x ) 4x2 4 4x x 4 = lim = lim = lim 2 = lim 2 x →0 x → 0 sin 2 3 x x →0 x →0 9 x sin 2 3 x 9 2 x sin 3 2 ⋅ x (3 ) ⋅ x (3 ) 2 2 (3 x) (3 x)
Ovo je već ozbiljniji primer. Dole u imeniocu pravimo poznati limes a zbog brojioca moramo da racinališemo....
4
lim x →0
lim x →0
1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x − 1 ln(1 + 5 x 2 ) ⋅ 5x2 2 5x
⋅
4
(1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x)3 + 4 (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x) 2 + 4 (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x)1 + 1
4
(1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x)3 + 4 (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x) 2 + 4 (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x)1 + 1 1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x − 1
5 x ⋅ 2
4
(1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x) + (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x) + (1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x) + 1 3
2
4
4
=
=
1
ovo daje 4
sin 2 x sin 3 x ⋅ 2x ⋅ 3x 1 sin 2 x ⋅ sin 3 x 1 − sin 2 x ⋅ tg 3 x 2 x 3 x lim = − lim 2 = − lim = x →0 20 x 2 20 x →0 x ⋅ cos 3 x 20 x →0 x2 ovo je 1
sin 2 x sin 3 x ⋅ ⋅ 6 x2 1 6 3 2x 3x − lim =− =− 2 x → 0 20 x 20 10
Dakle, ideja kod upotrebe poznatih limesa je da “napravimo” izgled poznatog limesa dodavanjem i oduzimanjem nekog broja ili pak delimo i množimo odredjenim izrazom. Objasnili smo na nekoliko primera kako se to radi, a za ostale poznate limese je sličan postupak. Odštampajte tablicu limesa, pa kad prepoznate na koji “liči” limes u zadatku, vršite ove dopune. www.matematiranje.in.rs
