Tablica limesa

Matematiˇcka analiza 1

Tablica limesa sin x =1 x→0 x

sh x =1 x→0 x

lim lim

x→0

lim

ch x − 1 1 = x2 2 ³ 1 ´x lim 1 + =e x→±∞ x

1 − cos x 1 = 2 x 2

lim

x→0

1

lim (1 + x) x = e

x→0

ex − 1 =1 x→0 x

ln(1 + x) =1 x→0 x

lim

ax − 1 = ln a x→0 x lim

xp =0 x→+∞ ax lim

lim

(1 + x)a − 1 =a x→0 x

(a > 0)

lim

(a ∈ R)

(p ∈ R, a > 1)

 am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0  lim = x→±∞ bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 

am bn

kada je m = n

0 ±∞ (m, n ∈ N0 , a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn ∈ R, am , bn 6= 0)

kada je m < n kada je m > n

Limesi oblika lim ϕ(x)ψ(x) x→c

Neka je lim ϕ(x) = A, 0 < A ≤ +∞, lim ψ(x) = B, −∞ ≤ B ≤ +∞, pri ˇcemu je −∞ ≤ c ≤ +∞. x→c

x→c

1◦ Ako je B ∈ R, onda vrijedi lim ϕ(x)ψ(x) = AB

x→c

2◦ Ako je A 6= 1, B = ±∞, onda vrijedi  +∞  

0 lim ϕ(x)ψ(x) = x→c   0 +∞

kada kada kada kada

je je je je

A < 1, A < 1, A > 1, A > 1,

B B B B

3◦ Ako je A = 1, B = ±∞, onda se limes raˇcuna po formuli lim ϕ(x)ψ(x) = elimx→c (ϕ(x)−1)ψ(x)

x→c

= −∞ = +∞ = −∞ = +∞