PRÁCTICA CALIFICADA 01 1. x 2. x 3. Una tienda de venta al menudeo en Des Moines, Iowa, recibe embarques de un producto particular de Kansas City y Minneapolis. Sea x = unidades de producto recibidas de Kansas City y = unidades de producto recibidas de Minneapolis a. Formule una expresión para las unidades totales de producto recibidas por la tienda de venta al menudeo en Des Moines.
b. Los envíos de Kansas City cuestan $0.20 por unidad y los envíos de Minneapolis cuestan $0.25 por unidad. Elabore una función objetivo que represente el costo total de los envíos a Des Moines.
c.
Suponiendo que la demanda mensual en la tienda de venta al menudeo es de 5000 unidades, elabore una restricción que requiera que se envíen 5000 unidades a Des Moines.
d. No pueden enviarse mensualmente más de 4000 unidades de Kansas City, ni más de 3000 unidades de Minneapolis. Elabore restricciones para modelar esta situación.
e. Por supuesto, no pueden enviarse cantidades negativas. Combine la función objetivo y las restricciones elaboradas para plantear un modelo matemático para satisfacer la demanda en la tienda de venta al menudeo de Des Moines con un costo mínimo.
4. x 5. x 6. Micromedia ofrece seminarios de capacitación en computación sobre una variedad variedad de temas. En los seminarios, cada estudiante trabaja en una computadora personal practicando la actividad particular que está presentando el instructor. Micromedia está planeando un seminario de dos días sobre el uso de Microsoft Excel en análisis estadístico. La cuota proyectada para el seminario es de $300 por estudiante; el costo por el salón de conferencias, la compensación para el instructor, los ayudantes de laboratorio y la promoción es de $4800. Micromedia alquila computadoras para sus seminarios con un costo de $30 diarios por computadora. a. Elabore un modelo para el costo total de montar el seminario. Sea que x represente la cantidad de estudiantes que se inscriben en el seminario.
b. Elabore un modelo para la utilidad total si x estudiantes se inscriben en el seminario.
c.
Micromedia ha pronosticado una inscripción de 30 estudiantes estudiantes para el seminario, ¿Qué utilidad obtendrá si su propósito es preciso?
( () ( () d. Calcule el punto de equilibrio financiero.
Punto de equilibrio financiero = Punto de equilibrio financiero =
= =
7. Eastman Publishing Company está considerando publicar un libro de texto en rústica sobre aplicaciones de hoja de cálculo para negocios. El costo fijo de la preparación del manuscrito, diseño del libro de texto y preparación de la producción se estima en $80 000. Los costos variables de producción y material se estiman en $3 por libro. La demanda del libro se estima en 4000 ejemplares. El editor planea vender el texto a las librerías de las universidades por $20 cada uno. a. ¿Cuál es el punto de equilibrio financiero en ingresos y número de ejemplares?
Costo fijo Costos variables por ejemplar Precio de venta
80,000
3.00
20
Unidades vendidas
Utilidad
X
Y
Demanda (ejemplares)
4,000
Punto de equilibrio
1,000 -
63,000
2,000 -
46,000
3,000 -
29,000
4,000 -
12,000
4,706 Utilidad
-
Unidades
5,000 6,000
4,705.88
5,000 22,000
b. ¿Qué ganancia o pérdida puede anticiparse con una demanda de 4000 ejemplares?
Si se espera una demanda de 4000 ejemplares se tiene una pérdida de $ 12,000 c.
Con una demanda de 4000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar al punto de equilibrio?
Costos fijos Costos variables
80,000.00
Costo total
92,000.00
Precio de venta
23.00
12,000.00
d. Si el editor supone que el precio por ejemplar podría incrementarse a $25.95 y no afectar la demanda anticipada de 4000 ejemplares, ¿qué acción recomendaría? ¿Qué ganancia o pérdida puede anticiparse?
Precio de venta Unidades vendidas
Utilidad
X
Y
1,000.00 2,000.00
-
57,050.00 34,100.00
3,000.00
-
11,150.00
4,000.00
11,800.00
25.95
Se obtendría una utilidad de $11,800 con 4000 ejemplares 8. Se están realizando planes preliminares para la construcción de un estadio nuevo para un equipo de béisbol de ligas mayores. Los funcionarios de la ciudad cuestionan la cantidad y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio. Las corporaciones y los particulares pueden comprar los palcos por $100 000 cada uno. El costo de construcción fijo para el área del piso superior se estima en $1 500 000, con un costo variable de $50 000 para cada palco construido. a. ¿Cuántos palcos de lujo se necesitan vender para llegar al punto de equilibrio?
CF = $ 1 500 000 El costo total es: CT = CF + CV (costo fijo + costo variable) CT = $1500000 + N x $50000 Donde N = número de palcos Cada palco se vende a $100000 (cien mil). Si no se vende ninguno el ingreso es cero, entonces es una recta que pasa por el origen: I (ingreso) o V (ventas) en $, es: I = N [palcos] x $ 100000 / palco Analíticamente se igualan las ecuaciones y se despeja N: CT = I => equilibrio. 1500000 + 50000 N = 100000 N 1500000 = (100000 - 50000) N 1500000 = 50000 N N = 30 Se necesitan vender 30 palcos para llegar al equilibrio.
b. Los planos preliminares para el estadio muestran que hay espacio disponible para la construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay compradores disponibles y que los 50 palcos podrían venderse si se construyeran. ¿Cuál es su recomendación respecto a la construcción de palcos de lujo? ¿Qué ganancia se anticipa?
Recomendación: Hacer los 50 palcos posibles. Ganancia: B (beneficio) = U (utilidad) = la ganancia pedida B = V - CT = 100000 N - (1500000 + 50000 N) = 50000 N - 1500000 B = $50000/palco x 50 palcos - $1500000 B = $ 1 000 000 9. X 10. Los modelos de sistemas de inventario frecuentemente consideran la relación entre un inventario inicial, una cantidad de producción, una demanda o ventas y un inventario final. Para un período de producción determinado j, sea: sj-i = inventario final del periodo anterior (inventario inicial para el periodo j) xj = cantidad de producción en el periodo j dj = demanda en el periodo j sj = inventario final para el periodo j a. Formule la relación matemática o modelo que muestre el inventario final como una función del inventario inicial, la producción y la demanda.
S j = S j-i + X j - d j b. ¿Qué restricción debería agregarse si la capacidad de producción para el periodo j está dada por Cj?
S j = S j-i + (X j + C j) - d j c.
¿Qué restricción debería agregarse si los requerimientos de inventario para el periodo j mandara un inventario final de al menos Ij?
S j = S j-i + (X j + C j) – (d j -l j)
11. Una encuesta de estudiantes de licenciatura en administración de empresas obtuvo los siguientes datos sobre “la primera razón de los estudiantes para solicitar ingresar a la escuela en la que estaban inscritos”.
Razón para la solicitud
Estado de la Inscripción
Calidad de la escuela
Costo o conveniencia de la escuela
Otra
Totales
421 400 821
393 593 986
76 46 122
890 1039 1929
Tiempo completo Tiempo parcial
a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta usando estos datos.
Razón para la solicitud CALIDAD DE LA ESCUELA
COSTO O CONVENIENCIA DE LA ESCUELA
OTRA
TOTAL
Tiempo completo
0.218
0.204
0.039
0.461
Tiempo parcial
0.208
0.307
0.024
0.539
Total
0.426
0.511
0.063
1.000
b. Use las probabilidades marginales de calidad de la escuela, costo o conveniencia de la escuela y otras para comentar sobre la razón más importante para elegir escuela.
Lo más probable es que un estudiante cite el costo o la conveniencia como la primera razón: La calidad de la escuela es la primera razón citada por el segundo número más grande de estudiantes:
c.
Si un estudiante asiste tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección?
| d. Si un estudiante asiste tiempo parcial, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección?
|
e. Sea A el evento de que un estudiante asiste tiempo completo y B el evento de que el estudiante indique la calidad de la escuela como la primera razón para su solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B? justifique su respuesta.
| En vista que |, los eventos son dependientes 12. La siguiente tabla muestra la distribución de tipos sanguíneos en la población general (Hoxworth Blood Center, Cincinnati, Ohio)
Rh+ Rh-
A
B
AB
O
34% 6%
9% 2%
4% 1%
38% 6%
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O?
38% + 6% = 0.38 + 0.06 = 0.44 b. ¿Cuál es la probabilidad de que la sangre de una persona sea Rh-?
6% + 2% + 1% + 6% = 0.06 + 0.02 + 0.01 + 0.06 = 0.15 c.
¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos sean Rh-?
(0.15*0.15) = 0.0225 d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja de casados tengan ambos tipo de sangre AB?
(0.05*0.05) = 0.0025 e. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea Rh- dado que tiene tipo de sangre O?
f.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga tipo de sangre B dado que es Rh+?
13. La Texas Oil Company proporciona un plan de sociedad limitada por el cual los pequeños inversionistas pueden juntar recursos para invertir en programas de exploración petrolera a gran escala. En la fase de perforación exploratoria, la selección de ubicaciones para nuevos pozos se basa en la estructura geológica de los sitios de perforación propuestos. La experiencia muestra que la probabilidad de una estructura tipo A en el sitio de un pozo productivo es 0.40. la compañía también sabe que 50% de todos los pozos se perforan en ubicaciones con estructura tipo A. por último, 30% de todos los pozos perforados son productivos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pozo se perfore en una estructura tipo A y sea productivo?
0.40*50% = 0.40*0.5 = 0.2 b. Si el proceso de perforación comienza en una ubicación con una estructura tipo A, ¿cuál es la probabilidad de tener un pozo productivo en esa ubicación?
50%*30% = 0.5*0.3 = 0.15 c.
¿Encontrar un pozo productivo es independiente de la estructura geológica tipo A? Explique.
Pozo Productivo = 0.40 Pozo perforado = 0.50 Pozo perforado productivo = 0.30 No porque son eventos dependientes
|
14. Un agente de compras colocó un pedido urgente para materia prima particular con los proveedores A y B. si ninguno de los pedidos llega en cuatro días, el proceso de producción deberá detenerse al menos hasta que llegue uno de ellos. La probabilidad de que el proveedor A pueda entregar el material en cuatro días es 0.55. la probabilidad de que el proveedor B pueda entregar el material en cuatro días es 0.35. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos proveedores entreguen el material en cuatro días? Debido a que están implicados dos proveedores separados, suponga independencia.
(0.55*0.35) = 0.19 b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un proveedor suministre el material en cuatro días?
(0.19*4) = 0.76 c.
¿Cuál es la probabilidad de que el proceso de producción se detenga en cuatro días debido a una escasez de la materia prima (es decir, que ambos pedidos lleguen tarde)?
(1-0.55)*(1-0.35) = 0.45*0.65 = 0.29
15. Se realizó un estudio de satisfacción en el trabajo para cuatro ocupaciones: ebanista, abogado, terapeuta físico y analista de sistemas. La satisfacción en el trabajo se midió en una escala de 0 a 100. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabulación cruzada.
Ocupación
Menos de 50
50 - 59
60 - 69
70 - 79
80 - 89
0 6 0 2
2 2 5 1
4 1 2 4
3 1 1 3
1 0 2 0
Ebanista Abogado Terapeuta físico Analista de sistemas
a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta
Ocupación
Menos de 50
50 - 59
60 - 69
70 - 79
80 - 89
Total
Ebanista
0
2
4
3
1
10
Abogado
6
2
1
1
0
10
Terapeuta físico
0
5
2
1
2
10
Analista de sistemas
2
1
4
3
0
10
Total
8
10
11
8
3
40
b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes estudiados tenga una puntuación de satisfacción entre 80-89?
c.
¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción entre 80-89 dado que el participante en el estudio era un terapeuta físico?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes estudiados sea abogado?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes sea abogado y tenga una puntuación menor de 50?
f.
¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción menor de 50 dado que un participante sea abogado?
g. ¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción de 70 o mayor?
16. Una compañía estudió la cantidad de accidentes incapacitantes que ocurrieron en su planta en Brownsville, Texas. Los registros históricos muestran que 6% de los empleados tuvieron accidentes incapacitantes el año anterior. La administración cree que un programa de seguridad especial reducirá los accidentes a 5% durante el actual año en curso; además, estima que 15% de los empleados que tuvieron accidentes incapacitantes el año anterior tendrán un accidente incapacitante durante el año actual. a. ¿Qué porcentaje de los empleados se supone que tendrán accidentes incapacitantes en ambos años?
6% + (6% - 5%) = 6% + 1% = 7% b. ¿Qué porcentaje de los empleados se espera que tendrá al menos un accidente incapacitante durante el periodo de dos años?
1*(7%) + 2*(7%) = 21% 17. Una firma consultora envió una oferta para un proyecto de investigación grande. La administración de la misma sintió al principio que había el 50% de probabilidades de ganar la oferta. Sin embargo, la agencia a la que envió la oferta solicitó después información adicional. La experiencia indica que en 75% de las ofertas exitosas y 40% de las ofertas sin éxito la agencia solicitó información adicional. a. ¿Cuál es la probabilidad previa de que la oferta tenga éxito (es decir, antes de recibir la solicitud de información adicional)?
La probabilidad previa de que la oferta tenga éxito es de 50% = 0.5 b. ¿Cuál es la probabilidad condicional de una solicitud de información adicional si suponemos que la oferta será exitosa a final de cuentas?
La probabilidad condicional de una solicitud de información adicional dado que la oferta será exitosa a final de cuentas es 75% = 0.75 c.
Calcule una probabilidad posterior de que la oferta tendrá éxito dado que se ha recibido una solicitud de información adicional.
18. Una compañía petrolera compró una opción de tierra en Alaska. Los estudios geológicos preliminares asignaron las siguientes probabilidades previas. P(petróleo de alta calidad) P(petróleo de calidad media) P(no petróleo)
= 0.50 = 0.20 = 0.30
a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar petróleo?
P(no petróleo) = 0.30 P(petróleo) = 0.70 b. Después de perforar 61 metros en el primer pozo, se hace una prueba de suelo. Las probabilidades de encontrar el tipo particular de suelo identificado por la prueba son: P(suelo | petróleo de alta calidad) P(suelo | petróleo de calidad media) P(suelo | no petróleo)
= 0.20 = 0.80 = 0.20
¿Cómo debería interpretar la firma la prueba de suelo? ¿Cuáles son las probabilidades revisadas y cuál es la nueva probabilidad de encontrar petróleo?
P(A) = Tipo de Suelo La probabilidad del tipo de suelo dado que el petróleo es de alta calidad es 0.20
| | La probabilidad del tipo de suelo dado que el petróleo es de calidad media es 0.80
| | La probabilidad del tipo de suelo dado que no hay petróleo es 0.20
|
| Probabilidad de encontrar petróleo es: 0.06*0.30 = 0.018 19. M.D. Computing describe el uso del teorema de Bayes y la probabilidad condicional en el diagnóstico médico. Las probabilidades previas de las enfermedades se basan en la evaluación del médico de factores como ubicación geográfica, influencia estacional y ocurrencia de epidemias. Suponga que se cree que un paciente tiene una de dos enfermedades, denotada D1 y D2 con P(D1) = 0.60 y P(D2) = 040 y que la investigación médica muestra una probabilidad asociada con cada síntoma que puede acompañar a las enfermedades. Suponga que, dadas las enfermedades D1 y D2, las probabilidades de que un paciente tendrá los síntomas S1, S2 o S3 son como siguen: Síntomas
Enfermedad D1 D2
S1
S2
S3
0.15 0.80
0.10 0.15
0.15 0.03
P(S3|D1)
Después de encontrar que un paciente presenta un determinado síntoma, el diagnóstico médico puede auxiliarse encontrando las probabilidades revisadas de que dicho paciente tenga cada enfermedad particular. Calcule las probabilidades posteriores de cada enfermedad para los siguientes hallazgos médicos. a. El paciente tiene el síntoma S1
| | b. El paciente tiene el síntoma S2
| | c.
El paciente tiene el síntoma S3
| | d. Para el paciente con el síntoma S1 en el inciso a, suponga que el síntoma S2 también está presente. ¿Cuáles son las probabilidades revisadas de D1 y D2?
0.1582 y 0.8418
20. Los jueces del condado Hamilton juzgan miles de casos anualmente. En una abrumadora mayoría de los casos resueltos, el veredicto no se ha apelado. Sin embargo, algunos casos se han apelado y la sentencia de algunos de éstos se ha revertido. Kristen DelGuzzi de The Cincinnati Enquirer realizó un estudio de los casos manejados por los jueces del condado Hamilton de 1994 a 1996 (The Cincinnati Enquirer, 11 de enero de 1998). En la siguiente tabla se muestran los resultados de 182 908 casos manejados (resueltos) por 38 jueces en el Tribunal del Fuero Común, el Tribunal de Relaciones Domésticas y el Tribunal Municipal. Dos de los jueces (Dinkelacker y Hogan) no sirvieron en el mismo tribunal por el periodo entero de tres años. El propósito del estudio del periódico era evaluar el desempeño de los jueces. A menudo, las apelaciones son el resultado de errores cometidos por los jueces y el periódico deseaba conocer cuáles jueces estaban haciendo un buen trabajo y cuáles estaban cometiendo demasiados errores. Usted ha sido llamado para asistir en el análisis de los datos. Use su conocimiento de la probabilidad y la probabilidad condicional para ayudar con la clasificación de los jueces. También puede analizar la probabilidad de que los casos manejados por los diferentes tribunales sean apelados y revocados.
Tribunal del Fuero Común Total de casos resueltos
Juez
Casos Casos apelados revocados
Fred Cartolano
3037
137
12
Thomas Crush
3372
119
10
Patrick Dinkelacker
1258
44
8
Timothy Hogan
1954
60
7
Robert Kaft
3138
127
7
William Mathews
2264
91
18
William Morrisey
3032
121
22
Norbert Nadel
2959
131
20
Arthur Ney, Jr.
3219
125
14
Richard Niehaus
3353
137
16
Thomas Nurre
3000
121
6
John O'Connor
2969
129
12
Robert Ruehlman
3205
145
18
J. Howard Sundermann
955
60
10
Ann Marie Tracey
3141
127
13
Ralph Winkler
3089
88
6
43 945
1762
199
Total
Tribunal de Relaciones Domésticas Total de casos resueltos
Juez
Casos Casos apelados revocados
Penelopo Cunningham
2729
7
1
Patrick Dinkelacker
6001
19
4
Deborah Gaines
8799
48
9
Ronald Panioto
12970
32
3
30 499
106
17
Total
Tribunal Municipal Total de casos resueltos
Juez
Casos Casos apelados revocados
Mike Allen
6149
43
4
Nadine Allen
7812
34
6
Timothy Black
7954
41
6
David Davis
7736
43
5
Leslie Isaiah Gaines
5282
35
13
Karla Grady
5253
6
0
Deidra Hair
2532
5
0
Dennis Helmick
7900
29
5
Timothy Hogan
2308
13
2
James Patrick Kenney
2798
6
1
Joseph Luebbers
4698
25
8
William Mallory
8277
38
9
Melba Marsh
8219
34
7
Beth Mattingly
2971
13
1
Albert Mestemaker
4975
28
9
Mark Painter
2239
7
3
Jack Rosen
7790
41
13
Mark Schweikert
5403
33
6
David Stockdale
5371
22
4
John A. West
2797
4
2
108 464
500
104
Total
Reporte Gerencial Prepare un reporte con sus clasificaciones de los jueces. Además, incluya un análisis de la probabilidad de apelación y revocación de la sentencia de los casos en los tres tribunales. Cuando menos, su reporte deberá incluir lo siguiente:
1. La probabilidad de que los casos sean apelados y la sentencia revertida en los tres tribunales
Tribunal del Fuero Común
Casos Apelados
Casos Revertidos
Tribunal de Relaciones Domésticas
Casos Apelados
Casos Revertidos
Tribunal Municipal
Casos Apelados
Casos Revertidos
2. La probabilidad de que un caso sea apelado para cada juez
3. La probabilidad de que una sentencia sea revertida para cada juez
4. La probabilidad de revocación dada una apelación para cada juez
21. La demanda para un producto de Carolina Industries varía en gran medida de un mes a otro. Con base en los datos de dos años anteriores, la siguiente distribución de probabilidad muestra la demanda mensual de este producto de la compañía.
Demanda de unidades
Probabilidad
300 400 500 600
0.20 0.30 0.35 0.15
a. Si la compañía coloca pedidos mensuales iguales al valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál debería ser la cantidad del pedido mensual de la empresa para este producto?
Cantidad del pedido mensual = 300*0.20 + 400*0.30 + 500*0.35 + 600*0.15 Cantidad del pedido mensual = 445 b. Suponga que cada unidad demandada genera $70 en ingresos y que cada unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganaría o perdería la compañía en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta al inciso a y la demanda real para el artículo es 300 unidades?
I = 300*$70 + 400*$70 + 500*$70 + 600*$70 = 126000 C = 300*$50 + 400*$50 + 500*$50 + 600*$50 = 90000 I = 445*$70 = 31150 C = 300*$50 = 15000 PERDERIA: I = 126000 – 31150 = 94850 C = 90000 – 15000 = 75000 c.
¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar para el número de unidades demandadas?
̅ Varianza
Desviación Estándar
√ 22. J.R. Ryland Computer Company está considerando una expansión de la planta que le permitirá comenzar la producción de un nuevo producto de cómputo. El presidente de la empresa debe determinar si hacer la expansión como un proyecto a mediana o a gran escala. Existe incertidumbre en la futura demanda para el nuevo producto, la cual para propósitos de planeación puede ser una demanda baja, una demanda media o una demanda alta. Las estimaciones de probabilidad para las demandas son 0.20, 0.50 y 0.30 respectivamente. Suponiendo que x indica la ganancia anual en miles de dólares, los planificadores de la firma han elaborado pronósticos de ganancia para los proyectos de expansión a mediana y a gran escala.
Utilidad por expansión a mediana escala Baja Mediana Alta
x 50 150 200
f(x) 0.20 0.50 0.30
Utilidad por expansión a gran escala y 0 100 300
f(y) 0.20 0.50 0.30
a. Calcule el valor esperado para la utilidad asociada con las dos alternativas de expansión. ¿Cuál es la decisión adecuada si el objetivo es maximizar la utilidad esperada?
Mediana escala 145; gran escala 140; prefiere mediana escala. b. Calcule la varianza para la utilidad asociada con las dos alternativas de expansión. ¿Cuál es la decisión adecuada para el objetivo de minimizar el riesgo o incertidumbre?
Mediana escala 2725; gran escala 12400; prefiere mediana escala. 23. Los radares militares y los sistemas de detección de misiles están diseñados para advertir a un país ataques enemigos. Una cuestión de confiabilidad tiene que ver con la capacidad del sistema de detección para identificar un ataque y emitir la advertencia. Suponga que un sistema de detección particular tiene una probabilidad de 0.90 de detectar un ataque con misiles. Responda las siguientes preguntas usando la distribución de probabilidad binomial. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema de detección detecte un ataque?
b. Si se instalan 2 sistemas de detección en la misma área y operan en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los sistemas detecte el ataque?
c.
Si se instalan 3 sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los sistemas detecte el ataque?
d. ¿Recomendaría que se operen múltiples sistemas de detección? Explique.
No, es más probable que se detecte con un sistema que con sistemas múltiples. 24. Llegan llamadas telefónicas a razón de 48 por hora en la oficina de reservación de Regional Airways. a. Encuentre la probabilidad de recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos.
P ( X
3)
e
48*1 / 12
( 4) 3
3!
0.1954
b. Encuentre la probabilidad de recibir 10 llamadas en 15 minutos
P ( X
c.
10 )
e
48*1 / 4
(12 )10
10!
0.1048
Suponga que en la actualidad no hay llamadas en espera. Si el agente le lleva 5 minutos completar el procesamiento de la llamada actual, ¿cuántas personas que llamen cree que estén en espera para ese momento? ¿Cuál es la probabilidad de que nadie esté en espera?
0.1954*5 = 0.9
1 persona P ( X
0)
e
48 / 12
0.0183
d. Si en la actualidad no se está procesando ninguna llamada, ¿cuál es la probabilidad de que el agente pueda tomar 3 minutos de descanso sin ser interrumpido? P ( X
0)
e
48 / 20
0.0907
25. El año pasado más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en Canadá y Estados Unidos (www.bestnns.net) promedia aproximadamente siete visitantes por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas (Time, septiembre de 2001). a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto?
b. ¿Cuál es la probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto?
c.
¿Cuál es la probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos?
d. ¿Cuál es la probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto?
26. Los pasajeros de aerolíneas llegan aleatoria e independientemente a un punto de revisión de pasajeros en un aeropuerto internacional importante. La tasa media de llegada es de 10 pasajeros por minuto. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 1 minuto?
X ≡ Nº de pasajeros que llegan a la sección de documentación de un gran
aeropuerto internacional. La variable aleatoria X sigue una distribución Poisson: X ~ P (10) pasajeros/minuto.
Por lo tanto, la probabilidad de que no llegue ningún pasajero es de, aproximadamente, 0.000045.
b. ¿Cuál es la probabilidad de 3 llegadas o menos en un periodo de 1 minuto?
Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen tres pasajeros es de, aproximadamente, 0.007567. c.
¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 15 segundos?
Debemos adaptar nuestro parámetro promedio ya que el estudio está basado en un tiempo de 15 segundos:
Por lo tanto, el número medio de pasajeros cada 15 segundos es:
La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:
Por lo tanto, la probabilidad de que no se pase ningún pasajero cada 15 segundos es de, aproximadamente, 0.082085. d. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una llegada en un periodo de 15 segundos?
Empleamos el parámetro promedio del apartado anterior. La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:
Sustituimos valores:
Por lo tanto, la probabilidad de que al menos, un pasajero se llegue cada 15 segundos es de, aproximadamente, 0.917915.
27. Delta Airlines anuncia un tiempo de vuelo de 2 horas, 5 minutos, para sus vuelos de Cinccinati a Tampa. Suponga que cree que los tiempos reales de vuelo están distribuidos de manera uniforme entre 2 horas y 2 horas, 20 minutos. a. Muestre la gráfica de la función de densidad de probabilidad para los tiempos de vuelo.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo no llegue más de 5 minutos tarde?
c.
∫ [ ]
¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo llegue más de 10 minutos tarde?
∫ [ ]
d. ¿Cuál es el tiempo de vuelo esperado?
28. El volumen operado en la Bolsa de Valores de Nueva York ha estado creciendo. Para las primeras dos semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue 646 millones de acciones (Barron’s, enero de 1998). La distri bución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal con una desviación estándar de alrededor de 100 millones de acciones. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen operado sea menos que 400 millones de acciones?
Sea: X = miles de acciones negociadas.
b. ¿Qué porcentaje del tiempo el volumen operado excede los 800 millones de acciones?
El 56.18% del tiempo el volumen operado excede los 800 millones de acciones c.
Si la bolsa desea emitir un comunicado de prensa en los días de volumen más alto operado (5% de los días), ¿qué volumen desencadenaría un comunicado?
Eso implica que la publicación se sacará los días que se negocien más de 810.5000 acciones. 29. El Webster National Bank está revisando sus políticas de cargos por servicios y pago de intereses en cuentas de cheques. El saldo diario promedio en cuentas de cheques personales es $550, con una desviación estándar de $150. Además, los saldos diarios promedio están distribuidos en forma normal. a. ¿Qué porcentaje de los clientes de cuentas de cheques personales tiene saldos diarios promedio mayores de $800?
b. ¿Qué porcentaje tiene saldos diarios promedio menos que $200?
c.
¿Qué porcentaje tiene saldos diarios promedio entre $300 y $700?
d. El banco está considerando pagar intereses a los clientes que tengan saldos diarios promedio mayores de una cierta cantidad. Si el banco no desea pagar intereses a más de 5% de sus clientes, ¿cuál es el saldo diario promedio mínimo al que debería estar dispuesto a pagar intereses?
El sado diario promedio mínimo al que debería estar dispuesto a pagar intereses es a partir de $796.75 30. Specialty Toys vende una variedad de juguetes infantiles innovadores y supone que la temporada previa a la Navidad es el mejor momento para introducir un nuevo juguete. Muchas familias emplean esta época para buscar ideas frescas para los regalos de las fiestas decembrinas. Cuando Specialty tiene un juguete nuevo con buen potencial de mercado, elige una fecha de introducción en el mercado en octubre. Para tener los juguetes en las tiendas en octubre, Specialty coloca pedidos de una sola ocasión con sus fábricas en junio o julio cada año. La demanda de juguetes infantiles puede ser muy volátil. Si un juguete nuevo se vuelve popular, un sensación de escasez en el mercado a menudo aumenta la demanda a niveles muy altos y pueden realizarse grandes ganancias. Por otra parte, los juguetes nuevos también pueden fracasar, dejando a Specialty con niveles elevados de inventario que deben vender a precios reducidos. La cuestión más importante que enfrenta la compañía es decidir cuántas unidades de un juguete nuevo se deben comprar para cumplir con la demanda de ventas esperada. Si se compran muy pocos, se perderán las ventas; si se compran demasiados, se reducirán las ganancias debido a los precios bajos de las ventas de liquidación. Para la temporada que se aproxima, Specialty planea introducir un producto nuevo llamado Weather Teddy. Esta variación de un osito de peluche parlante es fabricada por una compañía en Taiwán. Cuando un niño oprime la mano de Teddy, el oso comienza a hablar. Con la ayuda de un barómetro incorporado, Teddy dice una de cinco respuestas que predicen las condiciones del clima. Las respuestas varían de “¡Parece que va a ser un bonito día! ¡Diviértete!” hasta “Creo que va a llover hoy. No olvides tu paraguas”. Las
pruebas con el producto muestran que aunque no es un pronosticador del clima perfecto, sus predicciones son asombrosamente acertadas. Varios de los gerentes de Specialty afirmaron que Teddy hacía predicciones del clima tan buenas como las de los pronosticadores del clima de la televisión local. Specialty enfrenta la decisión de cuántas unidades de Weather Teddy ordenar para la próxima temporada navideña. Los miembros del equipo administrativo recomendaron pedidos por cantidades de 15 000, 18 000, 24 000 y 28 000. Un desacuerdo considerable respecto al potencial de mercado es evidente por las diferentes cantidades sugeridas para los pedidos. El equipo de gerentes de producto le ha pedido a usted un análisis de las probabilidades de agotar las existencias para las diversas cantidades de pedido, una estimación del potencial de ganancia y una recomendación en relación con la cantidad del pedido. Specialty espera vender Weather Teddy por $24 y el costo es $16 por unidad. Si queda inventario después de la temporada navideña, Specialty venderá todo el inventario excedente a $5 por unidad. Después de revisar la historia de ventas de productos similares, el pronosticador de ventas principal de Specialty predijo una demanda esperada
de 20 000 unidades con una probabilidad de 0.90 de que la demanda estará entre 10 000 y 30 000 unidades.
Reporte Gerencial Prepare un reporte gerencial que aborde los siguientes asuntos y recomiende una cantidad para el pedido del producto Weather Teddy. 1. Use la predicción del pronosticador de ventas para describir una distribución de probabilidad normal que pueda usarse para aproximar la distribución de la demanda. Trace la distribución y muestre su media y su desviación estándar. 2. Calcule la probabilidad de que se agoten las existencias para las cantidades del pedido sugeridas por los miembros del equipo administrativo. 3. Calcule la ganancia proyectada para las cantidades del pedido sugeridas por el equipo administrativo bajo tres escenarios. Peor caso: Ventas = 10 000 unidades; caso más probable: ventas = 20 000 unidades; y mejor caso: ventas = 30 000 unidades. 4. Uno de los gerentes del pedido Specialty sintió que el potencial de ganancia era tan grande que la cantidad del pedido debería tener una oportunidad de 70% de satisfacer la demanda y sólo una oportunidad de 30% de cualquier agotamiento de las existencias. ¿Qué cantidad se ordenaría bajo esta política y cuál es la ganancia proyectada bajo los tres escenarios de la parte 3? 5. Dé su propia recomendación para una cantidad del pedido y señale las proyecciones de ganancias asociadas. Proporcione un análisis razonado para su recomendación.
