T04 Armaduras 3D

Universidad Nacional de Ingenieria

Ing.Mecatronica

Índice 1. Resumen Resumen

2

2. Problema Problema

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

2

Extraendo Extraendo datos datos . . . . . . . . . Calculo Calculo de la constan constante te de rigidez rigidez Calculo Calculo de los desplaza desplazamien mientos tos . Calculo Calculo de las las reaccio reacciones nes . . . . . Calculo Calculo de los los esfuerz esfuerzos os . . . . .

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3. Programa Programa en MatLaB MatLaB

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2 4 6 6 7 9

4. Conclusiones Conclusiones y Observaciones Observaciones

13

Deiner L.Zapata Silva

1

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1.

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Resum sumen

El presente trabajo busca desarrollar un ejemplo aplicativo de los elementos finitos a armaduras en tercera tercera dimensión, dimensión, consideran considerando do cargas cargas puntuales puntuales en determinados nodos, sin tener en cuenta efectos de la temperatura. Asimismo se escribio un progra-

ma en matlab, el cual permite desarrollar de forma general cualquier armadura 3D, con solo modificar los datos para un determinado problema, se puede obtener las reacciones, esfuerzos y desplazamientos

2. Pr Prob oble lema ma Considere la armdura en 3D mostrada en la figura 2.1. figura 2.1. Se Se pide calcular la deflexión de cada articulación en virtu de de la carga mostrada. Si los miembros son tienen por módulo de elasticidad E = 1,20 × 106 lb/in2 , además las propiedades de cada elemento se muestran acontinuación:





La áreas de la secciones transversales de cada elemento son: A1 = 0,302 in2 , A2 = 0,729 in2 y A3 = 0,187 in2 .

 

 

 

Posiciones en el espacio con respecto al origen de coordenadas: X 1 = (72, (72, 0, 0), 0), X 2 = (0, (0, 36 36,, 0), 0), X 3 = (0, (0, 36 36,, 72) y 72) y X 4 = (0, (0, 0, −48). 48). Condiciones de frontera: U 2 = U = U 3 = U = U 4 = (0, (0, 0, 0)además 0)además q q 2 = 0 (Coordenadas Globales).

Figura 2.1: Armadura en 3D

2.1. 2.1.

Extr Extrae aend ndo o dato datoss

Se procedera a representar los datos de las coordenadas nodales: La tabla de conectividad de los elementos es:








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Nodo odo x [in] 1 7722 2 0 3 0 4 0

y [in] 0 36 36 0

z [in] 0 0 72 −48

Cuadro 2.1: Datos de las coordenadas nodales Elemento 1 2 3

1 1 1 1

2 2 3 4

Area in2 0,302 0,729 0,187

2

  E lb/in  1,2 × 106 1,2 × 106 1,2 × 106

Cuadro 2.2: Tabla de conectividad Sean ( Sean (x xi , yi , zi ) y ( y (x xj , yj , zj ) las coordenadas de los nodos i nodos i y y j j resp respectiv ectivamente, amente, del elemento mostrado en la figura 2.2. figura 2.2. Tenemos entonces: l = cos θx =

xj − xi L

m = cos θy =

yj − yi L

n = cos θz =

zj − zi L

Figura 2.2: Angulos directores Donde, la longitud l longitud l e de cada elemento se obtiene con: le =



(xj − xi )2 + (y (yj − yi )2 + (z (zj − zi )2

Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos la tabla tabla de los cosenos cosenos directores directores, mostrado en el cuadro 2.3: cuadro 2.3: Elemento 1 2 3

le [in [in]] 80 80,,498 108,,000 108 86 86,,533

l [in] in] 72,,00 −72 72,,00 −72 72,,00 −72

m [in] in] 36,00 36,00 0,00

n [in] in] 0,00 72,00 48,,00 −48








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

q = L · q Donde la matriz de transformación L está dada por:

l



m n 0 0 0 L = 0 0 0 l m n

Se procedera a poner las coordenadas coordenadas globales1 al problema dado para un nodo “i” , tal como se muestra en la figura 2.3: figura 2.3:

Figura 2.3: Coordenadas globales para un nodo “i”. Por tanto, cada nodo quedará con los siguientes sistemas representados en la figura 2.4:

Figura 2.4: Ejercicio con las coordenadas globales indicadas.

2.2. 2.2.

Calcul Calculo o de la la consta constan nte de de rigid rigidez ez

Si sabemos que k que k es la matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales y esta dado por: 








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k (e) 

E e × Ae = le



1 −1

−1 1



La energía de deformación unitaria del elemento en coordenadas locales está dada por: 1 · q T · k · q 2 Sustituyendo q Sustituyendo q = L · q en en la expresión anterior, obtenemos: 

U e =







U e =

1 [L · q ]T · k · [L [L · q ] · [L 2

U e =

1 T · q · LT · k · L · q 2





U e =





1 T (e) q · k · q 2

Donde k Donde k (e) es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales. De lo anterior, obtenemos dicha matriz como: k (e) = LT · k (e) · L 

Reemplazando L Reemplazando L y k k

(e)



(e) en k en k (e) :

l

2

k (e ) =

E e × Ae le

T

 

m n 0 0 0 = 0 0 0 l m n

l  l · m ·  −lnl −l · m 2

−l · n

×

ke −ke

−ke ke

l · m l · n m2 m · n m · n n2 −l · m −l · n −m2 −m · n −m · n −n2

 l



m n 0 0 0 × 0 0 0 l m n

−l2 −l · m −l · n −l · m −m2 −m · n −l · n −m · n −n2 l2 l · m l · n 2 l · m m m · n l · n m · n n2

   

Sumando las matrices de rigidez de cada elemento, obtenemos la matriz de rigidez global:

 8,99  −3,60  −−23,,4060  1,80 [K ] = 10 ·  −30,60  13,,8060  −1,79  0 3

−3,60 1,80 1,80 1,80 −0,90 0 1,80 −0,90 −1,80 0 0 0 −1,19

−2,40 −3,60 1,80 1,80 1,80 −0,90 4 , 39 0 0,00 0 3,60 −1,80 0 −1,80 0,90 0 0 0 3 , 60 0 0 0 0 −1,80 0 0 −3,60 0 0 −1,19 0 0 0 0 0 −0,79

0 −3,60 1,80 3,60 −1,79 0 −1,19 0 1,80 −0,90 −1,80 0 0 0 0 3,60 −1,80 −3,60 −1,19 0 −0,79 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3,60 −1,80 −3,60 0 0 0 0 −1,80 0,90 1,80 0 0 0 0 −3,60 1,80 3,60 0 0 0 0 0 0 0 1,79 0 1,19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,19 0 0,79

       








2.3. 2.3.

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Calcul Calculo o de los despla desplazam zamien ientos tos

Las cargas externas en el nodo 3, 3 , en la dirección ” − Q3 ” estan representados por:

 0   0   −1000   0  0  0 F =  00  [lb]lb]  0   00   0  Como los nodos 2 nodos 2,, 3 y 4 no se desplazan, además de q de q entonces:  q = 0   q = 0   q = 0  nodo 2  q q = = 00  nodo 3  q q = = 00  nodo 4  q q = = 00  2

6

9

12 12

5

8

11 11

4

7

10 10

q 2 = 0

Aplicando las condiciones de frontera y desarrollando con el programa hecho en MatLab, obtenemos el vector de los desplazamientos.

 Q  Q  QQ  Q Q  QQ  Q  QQ  Q

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

2.4. 2.4.

Calcu Calculo lo de de las las reac reacci cion ones es

  −0,0711    0    −0,02662    0  0 = in]   00  [in]   0    00    0 

Para obltener las reacciones, pueden ser calculadas mediante la ecuación:

{R} = [K ] · { Q} − {F } Reemplazando tenemos:










 R  R  RR  R R  RR  R  RR R

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

  8,99   −3,60   −−23,,4060   1,80 0 = 10     −13,80,60   3,60   −10,79  −1,19 3

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−3,60 1,80 1,80 1 , 80 −0,90 0 1,80 −0,90 −1,80 0 0 0

−2,40 −3,60 1,80 1,80 1,80 −0,90 4,39 0 0,00 0 3,60 −1,80 0 −1,80 0,90 0 0 0 3,60 0 0 0 0 −1,80 0 0 −3,60 0 0 −1,19 0 0 0 0 0 −0,79

0 −3,60 1,80 3,60 −1,79 0 −1,19 0 1,80 −0,90 −1,80 0 0 0 0 3,60 −1,80 −3,60 −1,19 0 −0,79 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3,60 −1,80 −3,60 0 0 0 0 −1,80 0,90 1,80 0 0 0 0 −3,60 1,80 3,60 0 0 0 0 0 0 0 1,79 0 1,19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,19 0 0,79

 −0,0711   0   0   0   −0,2662   −1000   00   00   0 − 0  ×  00   00   0   0   00   00   0   0 

Obteniendo como respuesta:

 R  R  RR  R R  RR  R  RR R

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

  0    −223 223,,163    0   256 ,123    −256, 128,,061  128  0 [lb] lb] 702,,449  702  =  −351  351,,224    702  702,,449  446,,326    446  0    297  297,,550

       








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σ (e) =

E e · le

 −1 1  · L · q

Sustituyendo L Sustituyendo L y q (para q (para un elemento entre los nodos ”i ” i” y ” j ” j””) tenemos:

 q 0 q q · n  q q q

3i

3i−1

σ (e )

E e = · le

 −1 1  ·  l

m n 0 0 0 0 0 l m

3i−2 3j

3j −1 3j −2

   

Reemplazando para cada elemento y acomodandolos en un vector, obtenemos los siguientes esfuerzos:

 −948   948,,191   lb 1445,,368 1445 σ =  −2868  in 2868,,543 2








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3. Pr Prog ogra rama ma en MatL MatLaB aB Acontinuación se adjunta el codigo en MatLab del programa principal, donde los datos que necesita son: El modulo de elasticidad (E (E ). ). Las áreas de seccion transversal de cada elemento( A) en un array o vector. Las coordenadas de cada nodo, en una matriz (nodeCoordinates (nodeCoordinates). ). La matriz que especifica entre que nodos esta cada elemento (elementNodes ( elementNodes), ), información proporcionada por la matriz de conectividad. El vector de cargas o fuerzas aplicadas ( F ). F ). Vector con las condiciones de frontera (condFront ( condFront). ).








Algoritmo 1 Programa principal close close all;clea all;clear r all;clc all;clc % % Da Dato tos s de del l pr prob oble lema ma E=1.2e6; % E: mod modulo ulo de ela elasti sticid cidad ad A=[0.302;0.729;0.187]; % A: area de la seccion seccion transv transvers ersal al % % Mat Matriz riz de coo coorde rdenad nadas as nod nodale ales s % x y z nodeCoordinates=[72 0 0; % Nod Nodo o 1 0 36 0; % Nod Nodo o 2 0 36 72; % Nod Nodo o 3 0 0 -48]; % Nodo 4 numberNodes=size(nodeCoordinates,1);%Nu numberNodes=size(nodeCoordinates,1); %Numer mero o de nod nodos os % % Tab Tabla la de Con Conect ectivi ividad dad elementNo elementNodes=[ des=[ 1 2; 1 3; 1 4]; numberElements=size(elementNodes,1);%Num numberElements=size(elementNodes,1); %Numero ero de elem elementos entos % % Ve Vect ctor or Fu Fuer erza za "F "F" " GDL=3*numberNodes; F=zeros(GDL,1);

F(3)=-1000; %Car %Carga ga aplic aplicad ada a en el no nodo do en la direc direcci cion on ""-q3 q3" " % % Ma Matr triz iz de ri rigi gide dez z gl glob obal al "K "K" " disp(’Mat disp(’Matriz riz de rigi rigidez dez glob global’ al’) ) [K]=formStiffness3Dtruss(GDL,n [K]=formStiffness3Dtruss(GDL,numberElements, umberElements,... ... elementNodes,numberNodes,nodeCo elementNodes,numberNodes,nodeCoordinates,E,A) ordinates,E,A) % % Con Condic dicion iones es de fro fronte ntera ra condFront=[2 4:12]’; % % Cal Calcul culo o del vec vector tor des despla plazam zamien iento to "Q" disp(’Vec disp(’Vector tor de desp desplazam lazamiento ientos’ s’) ) Q=solution(GDL,condFront,K,F) % % Ca Calc lcul ulo o de la las s re reac acci cion ones es "R "R" " disp(’Vec disp(’Vector tor de reac reaccione ciones’ s’) ) R=K*Q-F % % Cal Calcul culo o de Esf Esfuer uerzos zos stresses3Dtruss(numberElements stresses3Dtruss(numberElements,elementNodes,no ,elementNodes,nodeCoordinates, deCoordinates,... ... Q,E)

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Algoritmo 2 formStiffness3Dtruss function [stiffness]=formStiffness3Dtrus [stiffness]=formStiffness3Dtruss(GDof,numberEle s(GDof,numberElements, ments,... ... elementNodes,numberNodes,nodeC elementNodes,numberNodes,nodeCoordinates,E,A); oordinates,E,A); stiffness=zeros(GDof); % Ca Calc lcul ulo o de la ma matr triz iz de ri rigi gide dez z for e=1:numberElements; % ele elemen mentDo tDof: f: gra grados dos de lib libert ertad ad del ele elemen mento to (Do (Dof) f) indice=elementNodes(e,:); elementDof=[3*indice(1)-2 elementDof=[3*indice(1)-2 3*indice(1)-1 3*indice(1)... 3*indice(1)... 3*indice(2)-2 3*indice(2)-1 3*indice(2)]; % Coo Coorde rdenad nadas as del nod nodo o "i" x1=nodeCoordinates(indice(1),1); y1=nodeCoordinates(indice(1),2); z1=nodeCoordinates(indice(1),3); % Coo Coorde rdenad nadas as del nod nodo o "j" x2=nodeCoordinates(indice(2),1); y2=nodeCoordinates(indice(2),2); z2=nodeCoordinates(indice(2),3); % Long Longitud itud de cada elemento "L=abs(rj-ri "L=abs(rj-ri)" )" L = sqrt((x2-x1)ˆ2+(y2-y1)ˆ2+(z2-z1 sqrt((x2-x1)ˆ2+(y2-y1)ˆ2+(z2-z1)ˆ2); )ˆ2); % Cose Cosenos nos dire directore ctores s CXx = (x2-x1 (x2-x1)/L )/L; ; % en X CYx = (y2-y1 (y2-y1)/L )/L; ; % en Y CZx = (z2-z1 (z2-z1)/L )/L; ; % en Z T = [CXx*C [CXx*CXx Xx CXx*CY CXx*CYx x CXx*CZ CXx*CZx x ; CYx*CXx CYx*CXx CYx*CYx CYx*CYx CYx*CZx CYx*CZx ; CZx*CXx CZx*CXx CZx*CYx CZx*CYx CZx*CZx]; CZx*CZx]; stiffness(elementDof,elementDof)=... stiffness(elementDof,elementDof)= ... stiffness(elementDof,elementDof)+... stiffness(elementDof,elementDof)+ ... E*A( E*A(e) e)/L /L*[ *[T T -T ; -T T]; T]; end end

La Funcion “stresses3Dtruss” se encarga de cargar las deformaciones en cada elemento, cuyo codigo en MatLab se muestra acontinuacion:










Algoritmo 3 stresses3Dtruss function stresses3Dtruss(numberElements, stresses3Dtruss(numberElements,elementNodes, elementNodes,... ... nodeCoordinates,displacements,E) % Ten Tensio siones nes en los elemento elementos s de bar barra ra 3D fprintf(’Stre fprintf(’Stresses sses in eleme elements nts\n’ n’) ) ff=zeros(numberElements,6); ff=zeros(numberElements,6); format for e=1:numberElements; % ele elemen mentDo tDof: f: gra grados dos de lib libert ertad ad del ele elemen mento to (Do (Dof) f) indice=elementNodes(e,:) indice=elementNodes(e,:) ; elementDof=[3*indice(1)-2 elementDof=[3*indice(1)-2 3*indice(1)-1 3*indice(1)... 3*indice(1)... 3*indice( 3*indice(2)-2 2)-2 3*indice(2 3*indice(2)-1 )-1 3*indice( 3*indice(2)] 2)] ; % Coo Coorde rdenad nadas as del nod nodo o "i" x1=nodeCoordinates(indice(1),1); y1=nodeCoordinates(indice(1),2); z1=nodeCoordinates(indice(1),3); % Coo Coorde rdenad nadas as del nod nodo o "j" x2=nodeCoordinates(indice(2),1); y2=nodeCoordinates(indice(2),2); z2=nodeCoordinates(indice(2),3); % Lon Longit gitud ud de cad cada a ele elemen mento to L = sqrt((x2-x1)ˆ2+(y2-y1)ˆ2+(z2-z1 sqrt((x2-x1)ˆ2+(y2-y1)ˆ2+(z2-z1)ˆ2); )ˆ2); % Cose Cosenos nos dire directore ctores s CXx = (x2-x1 (x2-x1)/L )/L; ; % en X CYx = (y2-y1 (y2-y1)/L )/L; ; % en Y CZx = (z2-z1 (z2-z1)/L )/L; ; % en Z u=displacements(elementDof); member_stress(e)=E/L*[-CXx member_stress(e)=E/L*[-CXx -CYx -CZx CXx CYx CZx]*u; fprintf(’ fprintf(’ %3d%12.8 %3d%12.8f f\n’ n’,e, ,e, member_stress(e)); member_stress(e)); end end

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4.

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Conclusi Conclusione oness y Observ Observaci aciones ones El calculo de armaduras en el espacio, se simplifica enormemente con el uso del metodo de los elementos finitos, permitiendo su fácil programación para cualquier caso, solo con especificar el material de los elementos, el numero de nodos, las coordenadas nodales así como la tabla de conectividad. El método de elementos finitos es aplicable a cualquier armadura en el espacio con un aproximación casi exacta. Como se observo en el presente ejercicio, lo unico que ha variado es la matriz de tranzformación L, es mas grande debido a que incluimos una tercera coordenada ”eje z” z”, despues todo los demas calculos son similares a los hechos en armaduras en el plano.

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