ARMADURAS-ESPACIALES

ARMADURAS ESPACIALES

INTRODUCCIÓN Las armaduras, las cuales están diseñadas ara s!!rtar car"as # !r l! "eneral s!n estructuras estaci!narias $ue están t!talmente restrin"idas% Las armaduras c!nsisten e&clusi'amente de element!s rect!s $ue están c!nectad!s en n!d!s l!cali(ad!s en l!s e&trem!s de cada element!% Este ti! de sistemas tienen la caracter)stica de ser mu# li'ian!s # c!n

una

"ran

caacidad

de

s!!rtar

car"as%

Se

utili(an

rincialmente en c!nstrucci!nes c!n luces "randes% C!m! tec*!s de +!de"as, almacenes, i"lesias # en "eneral edicaci!nes c!n "randes esaci!s en su interi!r% En el resente in-!rme, estarem!s tratand! esecialmente de armaduras esaciales% Las estructuras esaciales s!n sistemas estructurales c!muest!s !r element!s lineales unid!s de tal m!d! $ue las -uer(as s!n trans-eridas de -!rma tridimensi!nal% Pueden t!mar cual$uier ti! de -!rma tant! lana c!m! cur'a% Sus element!s s!n re-a+ricad!s # n! recisan ara el m!nta.e de medi!s de uni/n distint!s de l!s uramente mecánic!s% Este ti! de s!luci/n c!nstructi'a uede ser utili(ada en di-erentes alicaci!nes, aun$ue la rincial es la de estructura de cu+ierta, siend! la s!luci/n más c!metiti'a cuant! ma#!res s!n las car"as a s!!rtar # ma#!r es la lu( $ue se *a de sal'ar% P!r este m!ti'! su us! es ideal en esaci!s d!nde n! se ueden c!l!car ilares, c!m! !lide!rti'!s, "randes recint!s -eriales, cu+rici/n de la(as de t!r!s, *an"ares, etc% Además se trata de estructuras mu# r)"idas # li"eras $ue rearten la car"a de -!rma *!m!"0nea s!+re l!s ilares, $ue ermiten una UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

6


instalaci/n mu# sencilla a !steri!ri de las distintas instalaci!nes # s!n de una "ran r!+uste( # resistencia al c!las!%

ARMADURAS ESPACIALES Una armadura esacial c!nsiste en element!s unid!s en sus e&trem!s ara -!rmar una estructura esta+le

F

tridimensi!nal% La -!rma más simle de una armadura esacial es un tetraedr!, -!rmad! al c!nectar seis element!s entre s)% Cual$uier element! adici!nal a"re"ad!

a este element! +ásic! ser)a redundante en el s!!rte de la -uer(a 275% Una armadura esacial simle uede c!nstituirse a artir de este tetraedr! +ásic! a"re"and! tres element!s adici!nales # un n!d!, # c!ntinuar de esta manera *asta -!rmar un sistema de tetraedr!s multic!nectad!s% L!s element!s de una armadura esacial se ueden tratar c!m! element!s de d!s -uer(as siemre $ue la car"a e&terna est0 alicada en l!s n!d!s # 0st!s c!nsistan en c!ne&i!nes de r/tula es-0rica% Est!s suuest!s

se

.ustican

cuand!

las

c!ne&i!nes,

s!ldadas

emernadas, de l!s element!s unid!s se intersecan en un unt! UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

8

!


c!m9n # el es! de l!s element!s uede ser i"n!rad!% En cas!s d!nde de+e incluirse el es! de un element! en el análisis, !r l! "eneral resulta satis-act!ri! alicarl! c!m! una -uer(a 'ertical, la mitad de su ma"nitud alicada en cada e&trem! del element!% En In"enier)a, las rinciales estructuras n! están en un lan!, sin! $ue s!n de tres dimensi!nes% Las armaduras en el esaci! s!n a$uellas $ue -!rman un arma(/n esta+le # n! está en un s!l! lan!% A di-erencia de las armaduras lanas, las armaduras en el esaci! re$uieren de un element! +ásic! di-erente al trian"ul!% En este cas!, se a"re"an !tras +arras -uera del lan! del trián"ul! rincial, -!rmand! un tetraedr! +ásic!% Al i"ual $ue en las armaduras lanas, las armaduras en el esaci! tam+i0n tienen una relaci/n denida entre las +arras # el n9mer! de n!d!s, ara l!"rar esta+ilidad% En n9mer! de +arras es el trile del n9mer! de n!d!s men!s cuatr!% La ecuaci/n tiene la si"uiente -!rma:

m =3 ( n − 4 )+ 6=3 n −6

, d!nde n; n9mer! t!tal de n!d!s%

Estas relaci!nes de l!s n9mer!s de n!d!s # +arras s!n necesarias ara armar $ue una estructura es esta+le, er! n! es suciente%

UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

<


ANÁLISIS DE ARMADURAS Las armaduras s!n anali(adas c!n la nalidad de determinar l!s es-uer(!s $ue act9an s!+re las +arras $ue la c!m!nen% C!n dic*!s es-uer(!s s!n calculadas las dimensi!nes $ue tendrán las secci!nes trans'ersales% L! rimer! $ue se de+e de *acer es alicar las c!ndici!nes de e$uili+ri! e&tern!s a la estructura, # as) r!ceder a +uscar el e$uili+ri! en cada +arra # cada n!d!% P!r l! "eneral, l!s element!s de las estructuras se unen mediante s!ldadura, .untas remac*adas, # en men!r "rad!, .untas de asad!r% N!rmalmente las aristas sueri!r e in-eri!r de una armadura s!n c!ntinuas% Para simlicar l!s r!+lemas, la armadura real es sustituida !r una ideali(ada, en la $ue e&isten ciertas c!ndici!nes ideales% Estas c!ndici!nes s!n:  Las +arras están unidas en sus e&trem!s !r asad!res lis!s%  Las car"as 9nicamente act9an s!+re l!s n!d!s%  El es! de l!s miem+r!s indi'iduales es desrecia+le% Cuand! las .untas s!n remac*adas, l!s án"ul!s entre l!s miem+r!s se

c!nser'an durante las car"as% As), cuand! se alican las car"as a l!s UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

=


n!d!s las .untas tienden a transmitir -uer(as a&iales # trans'ersales a cada miem+r!, # c!m! c!nsecuencia las +arras tienden a d!+larse # de-!rmarse% C!n la su!sici/n de la rimera c!ndici/n, s!l! se ermite la transmisi/n de una -uer(a a&ial a cada +arra, # las -uer(as $ue act9an s!+re ellas n! tienen c!m!nentes n!rmales% Esta su!sici/n se satis-ace cuand! las l)neas centrales de l!s miem+r!s de cada n!d! se c!rtan en un unt! en c!m9n% Para la ma#!r)a de las armaduras es 'álida la su!sici/n de la se"unda c!ndici/n% Las car"as $ue s!n alicadas en las +arras se transmiten a l!s n!d!s de la estructura% Cuand! est! sucede, se induce una -uer(a en cada un! de l!s miem+r!s de la armadura% La -uer(a uede *acer $ue se ac!rte ! estire la +arra, # s!n llamadas -uer(as de c!mresi/n # tensi/n resecti'amente% En cuant! a la tercera c!ndici/n, la armadura -)sica se sustitu#e !r una ideal, $ue c!nsiste en miem+r!s de es! desrecia+le, unid!s !r asad!res lis!s en l!s $ue se alican las -uer(as e&ternas% Para diseñar la armadura se de+en c!n!cer las -uer(as $ue act9an s!+re cada miem+r!, antes de ele"ir el material # la -!rma estructural% S!n d!s l!s m0t!d!s utili(ad!s ara anali(ar las armaduras lanas: m0t!d! de l!s n!d!s # !r secci!nes% 1) Método de los nodo s para arma duras El e$uili+ri! es un! de l!s re$uisit!s $ue de+e cumlir una estructura, !r l! $ue la sumat!ria de -uer(as alicadas de+e ser i"ual a cer!% Al desc!m!ner cada -uer(a en un lan! en sus c!m!nentes rectan"ulares, aarecen las c!ndici!nes necesarias ara el e$uili+ri!, de -!rma $ue:

∑ F x = 0, ∑ F y =0 y ∑ F z= 0 %

Para estructuras estáticas s/l! es necesari! lantear las ecuaci!nes de e$uili+ri! ara enc!ntrar -uer(as de reacci/n # $ue 0stas n! s!+reasen en n9mer! a las ecuaci!nes de e$uili+ri!% Al c!nsiderar un dia"rama de cuer! li+re de t!da la armadura, las -uer(as de sus miem+r!s ser)an -uer(as internas # n! !dr)an !+tenerse a artir de UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

>


un análisis de e$uili+ri!% Cada +arra uede ser c!nsiderada c!m! un s/lid! s!metid! a car"as e$ui'alentes en sus e&trem!s% Este m0t!d! c!nsiste en di+u.ar !r searad! l!s dia"ramas de cuer! li+re de las +arras # l!s n!d!s # alicar las c!ndici!nes de e$uili+ri! a cada una% C!m! l!s miem+r!s de la armadura s!n rect!s # las -uer(as en están en un mism! lan!, el sistema de -uer(as $ue act9a en cada nud! es c!lanar # c!ncurrente% El análisis siemre c!mien(a !r un n!d! del $ue se c!n!(ca !r l! men!s una -uer(a # n! ten"a más de d!s -uer(as desc!n!cidas% De esta manera, de las -uer(as desc!muestas en sus c!m!nentes resultan ecuaci!nes al"e+raicas $ue ueden ser resueltas aras las d!s inc/"nitas% C!m! #a menci!nam!s, l! rimer! $ue se de+e *acer es tra(ar el dia"rama de cuer! li+re% Lue"! utili(ar el m0t!d! ara esta+lecer el sentid! de la -uer(a desc!n!cida% Orientar l!s e.es de manera $ue se uedan res!l'er las ecuaci!nes de e$uili+ri!

de

las

-uer(as%

Desu0s se c!ntin9a c!n el análisis de l!s demás n!d!s% El ti! de -uer(a en las +arras se esta+lece se"9n el sentid! de las mismas !+tenidas !r el cálcul! en l!s n!d!s 2) Método de las se!ones para armaduras El m0t!d! de las secci!nes se usa ara determinar las car"as $ue act9an dentr! de un cuer!% Este m0t!d! se +asa en el rincii! de $ue si un cuer! está en e$uili+ri!, ent!nces cual$uier arte del cuer! está tam+i0n en e$uili+ri!% Para anali(ar las armaduras !r el m0t!d! de las secci!nes l! rimer! es c*e$uear la esta+ilidad # la ri"ide( # r!ceder a reali(ar el dia"rama de cuer! li+re% Lue"! se determinan las reacci!nes en l!s a!#!s ara e$uili+ri! e&tern!% Desu0s de est! se secci!na la armadura, c!rtand! ima"inariamente tres +arras desc!n!cidas% Se t!ma un! de l!s lad!s c!m! un s/lid! r)"id!, cu#as -uer(as n! s!n c!ncurrentes ni aralelas # las +arras secci!nadas se t!man c!m! car"as e&ternas desc!n!cidas% Ent!nces se alican las ecuaci!nes de e$uili+ri!: UNI1ERSIDADNACIONAL2PEDRORUI34ALLO5

?


∑ F x = 0, ∑ F y =0, ∑ F z =0

#

∑ M x =0, ∑ M y =0, ∑ M z= 0

Ejercicio Nº 01

La armadura espacial soporta una fuerza

F ={−500 i + 600 j + 400 k }lb . Determine la

fuerza en cada elemento y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.


@


SOLUCIÓN Nodo “C” ∑ F x= 0

FCA

( )− 3

=0

500

5

FCA = 833.33 lb ( C )

∑ F y =0

F BC

( )− ( )+ 3 5

F CD

3

=0 ( 1)

600

5

∑ F =0 z

400

−833.33

( )− ( )− ( )= ( ) 4 5

F CD

4 5

F BC

4

0 2

5

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

F BC =−667.67 lb ( C ) FCD=333.33 lb (T )

Nodo “A”





∑ F x= 0 F AD cos 45 ° − F AB cos 45 ° =0

F AD = F AB = F

∑ F =0 y

Fsen 45 ° + Fsen 45 ° − 833.33

( )= 3

0

5

F =353.55 lb Como:

F AD = F AB = F F AD = F AB =353.55 lb ( C )

∑ F =0 z

833.33

( )− 4 5

A z =0

A z=666.67 lb •

Nodo “D”

∑ F =0 y

F DB + 333.33

( )− 3 5

353.55 cos 45 °

=0

F DB=50 lb (T )

∑ F x= 0 D x − 353.55 sen 45 ° = 0 D x = 250 lb

∑ F =0 z

333.33

4 5

− D z= 0

()

D z =266.67 lb

Ejercicio Nº 02


B

ARMADURAS ESPACIALES F ={ 600 i + 450 j −750 k }lb

La armadura espacial soporta una fuerza

. Determine la

fuerza en cada elemento y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCIÓN Nodo “C”

∑ F =0 x

600

+ F CA

3

=0

5

() FCA =−1000 lb ( C )

∑ F y =0 FCB

( )− ( )+ 3

F CD

5

3 4

450

=0 ( 1 )

∑ F =0 z

−F BC

( )− 4 5

f CD

−(−1000 )

() 4 5

( )− 4 5

750

=0 ( 2 )

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

FCD= 406.25 lb ( T ) FCB =−343.75 lb ( C )

UNI1ERSIDAD NACIONAL 2PEDRO RUI3 4ALLO5

6

ARMADURAS ESPACIALES Nodo “A” F y =0

∑

F AB cos 45 ° − F AD cos 45 ° = 0

F AB = F AD = F

∑ F x= 0 3

1000

− Fsen 45 ° − Fsen 45 ℉ =0

5

()

F =424.26 lb Como:

F AD = F AB = F F AD = F AB =424.26 lb ( T )

∑ F z =0 A z−1000

( )= 4

0

5

A z=800 lb Nodo “D”

∑ F y =0 406.25

( )+ 3 5

406.25 cos 45 °

−F DB=0

F D B = 543.75 lb ( C )

∑ F =0 x

424.26 sen 45 °

− D x =0

D x = 300 lb

∑ F z =0 406.35

4 5

()

0

− Dz =

Dz= 325 lb


66


Ejercicio Nº 03

Determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rótulas esféricas en A, B y E. Considere

F ={ 800 j } N

SOLUCIÓN •

Nodo “D”

∑ F =0 x

−1 F 3

AD

+

5

√ 31.25

F BD +

1

√ 7.25

F CD = 0

∑ F =0 y

−2 3

F AD +

1.5

√ 31.25

F BD −

1.5

√ 7.25

F CD + 800= 0

∑ F =0 z

−2 3

F AD−

2

√ 31.25

F BD +

2

√ 7.25

F CD =0


68

ARMADURAS ESPACIALES Resolviendo las tres ecuaciones anteriores obtenemos:

F AD =685.71 N ( T ) F DB= 0 FCD =615.45 N ( C )

•

Nodo “C” ∑ F x= 0

F BC −

1

√7.25

( 615.45 )=O

F BC =228.57 N ( T )

∑ F y =0 1.5

√7.25

(615.45 )− F AC =0

F AC = 342.86 N ( T )

∑ F z =0 F EC −

2

√7.25

( 615.45 )=O

F EC = 457.14 N ( C )


6<

ARMADURAS ESPACIALES Ejercicio Nº 04

Determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rótulas esféricas en A, B y E. Considere

F ={−200 i + 400 j } N

SOLUCIÓN •

Nodo “D” ∑ F x= 0

−1 3

F AD +

5

√ 31.25

F BD +

1

√ 7.25

F CD − 200= 0

∑ F y =0 −2 3

F AD +

1.5

√ 31.25

F BD −

1.5

√ 7.25

F CD + 400 =0

∑ F z =0 −2 F − AD 3

2

√ 31.25

F BD +

2

√ 7.25

F CD =0

Resolviendo las tres ecuaciones anteriores obtenemos:

F AD =342.86 N ( T )


6=

ARMADURAS ESPACIALES F DB=186.34 N (T ) FCD = 397.48 N ( C )

•

Nodo “C”

∑ F =0 x

F BC −

1

√7.25

( 397.48 )=O

F BC =147.62 N ( T )

∑ F =0 y

1.5

√7.25

(397.48 )− F AC =0

F AC = 221.43 N ( T )

∑ F =0 z

F EC −

2

√7.25

( 397.48 )=O

F EC = 295.24 N ( C )


6>


Ejercicio Nº 05

Determine la fuerza en los elementos

BE, DF

y

BC

de la armadura espa cial, y

establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCIÓN Nodo “C” F z =0

∑

FCD sen 60 ° − 2 = 0 FCD =2.309 kN ( T )

∑ F x= 0 2.309 cos 60 °

− F BC =0

F BC =1.154 kN ( C ) Nodo “D” Analizando el gr!ico tenemos "ue: F DB= 0

∑ F x= 0 F DF

( )− 1

√ 13

2.309cos 60 °

=0

F DF =4.16 kN (C ) Nodo “#”


6?


∑ F z =0 F BE

( )− = 1.732

√ 13

2

0

F BE= 4.16 kN ( T )

Ejercicio Nº 06

Determine la fuerza en los eleme ntos

AB, CD, ED

y

CF

de la armadura espacial, y


SOLUCIÓN Nodo “C” Analizando el gr!ico obtenemos:

FCF = 0

∑ F z =0 FCD sen 60 ° − 2 = 0 FCD =2.309 kN ( T )

∑ F =0 x

2.309 cos 60 °

− F BC =0

F BC =1.154 kN ( C ) Nodo “D”


6@

ARMADURAS ESPACIALES Analizando el gr!ico tenemos "ue: F DB= 0

∑ F x= 0 F DF

( )− 1

√ 13

2.309cos 60 °

=0

F DF =4.163 kN ( C )

∑ F =0 y

4.163

( ) 3

√ 13

− F ED= 0

F ED= 3.46 kN ( T ) Nodo “#” F z =0

∑

F BE

( ) 1.732

√ 13

− 2= 0

F BE = 4.16 kN ( T )

∑ F y =0 F AB −4.163

( )= 3

√ 13

0

F AB =3.46 kN ( C )


6


Ejercicio Nº 07

Determine la fuerza en los elementos AB, AE, BC, BF, BD y BE de la armadura espacial, y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCIÓN •

Nodo “A” F z =0

∑

( )− 4

F AE

=0

300

6

F AE =450 lb ( T )

∑ F x= 0 − 450

600

( )− ( )= 4 6

F AD

4

√ 20

0

F AD =335.41 lb ( T )


6B


∑ F y =0 F AB −335.41

( )− ( )= 2

450

√ 20

2

0

6

F AB =300 lb ( T ) Nodo “C” ∑ F x= 0

F BC

( )= 4

√20

0

F BC =0

Nodo “#”

∑ F =0 x

− F BF

() ( ) ( ) 4 6

− F BE

4

√ 68

4

− F BD

√ 52

=0

∑ F =0 y

2

6

6

F BF 6 − F BE 68 − F BD 52 −300 =0 √ √

∑

F z =0

F BE

() ( ) ( )

( ) () 4

√ 68

+ F BF

4 6

− 400= 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos:

F BF=225 lb (T ) F BE= 515.39 lb ( T )

F BD=−721.11 lb ( C )


8


Ejercicio Nº 08

Determine la fuerza en los eleme ntos

EF, DF, CF

y

CD

de la armadura espacial, y


SOLUCIÓN $rimero se calculan las reacciones en los so%ortes:

∑M

y'

=0

D x =100 lb

0

∑M

x'

=

( ) + 300 ( 6 )−C y (4 )=0

400 2

C y =650 lb


86


∑ M z =0 '

( ) + 100 ( 8 )− E x ( 8 )=0

600 6

E x =550 lb

F =0

∑

x

− F x + 600 + 100 −550= 0 F x =150 lb

∑ F y =0 F y − 650= 0 F y = 650 lb

∑ F =0 z

F z−300 −400 =0 F z=700 lb Nodo “C”

∑ F =0 x

FCB

( ) 4

√ 20

=0

FCB =0

∑ F =0 y

FCD −650 =0 FCD =650 lb ( C )

∑ F z =0 FCF = 0 Nodo “&”


88


∑ F x= 0 4

F FB ( )−150 =0 6

F FB=225 lb ( T )

∑ F z =0 −225

700

4

− F DF

4

=0

√ 80

() ( ) 6

F DF =1229.84 lb ( T )

∑ F =0 y

F EF + 650 −225

() 2 6

−1229.84

( ) 8

√ 80

=0

F EF= 525 lb ( C )


8<


Ejercicio Nº 09

F =200 N '

Si la armadura soporta una fuerza de

determine la fuerza en cada

elemento y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

SOLUCIÓN •

Nodo “A”

∑ F =0 x

F AE

(

0.2

√ 0.54

) ( − F AC

0.2

√ 0.54

)

=0

∑ F =0 y


8=

ARMADURAS ESPACIALES F AB

(

√ 0.34

(

√ 0.54

0.3

) (

√0.54

) (

√ 0.54

− F AE

0.5

) ( − F AC

0.5

√ 0.54

)

=0

∑ F =0 z

F AC

0.5

+ F AE

0.5

) ( − F AB

0.5

√ 0.34

)

+ 200= 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos: F AE = F AC= 220.45 N ( T )

F AB =583.10 N ( C )

•

Nodo “#”

∑ F z =0 583.10

(

0.5

√ 0.34

)−

F BD sen 45 ° =0

F BD=707.11 N ( C )

∑ F x= 0 F BE cos45 ° − F BC cos 45 ° = 0

F BE = F BC = F

∑ F =0 y

707.11cos45 ° − 583.10

(

0.3

√ 0.34

)

− 2 Fsen 45 ° = 0

F =141.42 N Como:

F BE = F BC = F F BE= F BC =141.42 N ( T )


8>


Ejercicio Nº 10

Determine la fuerza desarrollada en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La caja tiene un peso de 15 lb.

SOLUCIÓN $rimer anlisis ´ =F F CA CA

(

−i + 2 j + 2 sen 60 ° k

√8

)


8?

ARMADURAS ESPACIALES ´ =−0.354 F i + 0.707 F j + 0.612 F k F CA CA CA CA

´ CB =0.354 F CB + 0.707 F CB j + 0.612 F CB k F ´ =− F j F CD CD

´ =−150 k lb W

∑ F x= 0 −0.354 F CA + 0.354 F CB =0

∑ F =0 y

0.707 FCA

+ 0.707 F CB −F CD=0

∑ F z =0 0.612 F CA

+ 0.612 F CB −150= 0

Resolviendo las ecuaciones obtenemos:

FCA = F CB =122.55 lb ( C ) FCD =173.28 lb (T ) egundo anlisis ´ =F i F BA BA

´ BD= F BD cos60 ° i+ F BD sen 60 ° k F ´ = 122.55 ( −0.354 i − 0.707 j − 0.612 k ) F CB

´ CB=−43.38 i−86.64 j −75 k F

∑ F x= 0 F BA + F BD cos60 ° − 43.38=0

∑ F =0 z

F BD sen 60 ° − 75 =0 Resolviendo: F BD=86.6 lb ( T )


8@

ARMADURAS ESPACIALES F BA=0 ercer anlisis ´ AC = 122.55( 0.354 F AC i −0.707 F AC j − 0.612 F AC k ) F

∑ F =0 z

F DA cos 30 ° − 0.612 ( 122.55 )= 0 F DA =86.6 lb ( T )

#ibliogra!*a !edford, ". and #o$ler,%. &'(. )stática, *ecánica para +nenier-a. )ditorial earson. *é/ico. !eer, #. and 0onston ). &'12(. *ecánica 3ectorial para +nenieros &Décima )dición(. )ditorial *c4"%67+LL. *é/ico. 7ibeler,  &'1(. +nenier-a *ecánica, )stática &Decimo seunda )di6cióon(. )ditorial earson. *é/ico. 8raie, L. and *eriam, 0. &199:(. )stática; *ecánica para +nenieros &







8

ARMADURAS-ESPACIALES

Recommend Documents