Método de la Rigidez. Enfoque matricial. Introducción La importancia de la infraestructura dentro del país cada vez va tomando nuevos caminos, debido a que se necesita ir mejorando y desarrollando nuevas tecnologías para este desarrollo ya que su participación es fundamental en muchos campos, como en el de la seguridad y correcta ejecución de las estructuras. También conocido como método de los desplazamientos, es el método más utilizado para el análisis de estructuras, debido a su fácil sistematización e implementación en computadoras, así como de su fácil uso para condiciones generales. El método de las rigideces es un método de cálculo aplicable a estructuras tanto isostáticas como hiperestáticas compuestas por barras que se comportan elástica y linealmente, permite la resolución de todo tipo de estructuras y se basa en la construcción y operación de las matrices de rigidez de cada elemento y global de la estructura, los vectores de fuerzas externas y vectores de desplazamiento. En este punto, cabe recordar lo aprendido en cursos anteriores respecto a los materiales que cumplen con la ley de Hooke. En ellos la deformación debido a una fuerza externa es proporcional a dicha carga, esto es:
1) Matriz de rigidez elementos tipo Barra. Enrejados. 1.1 1.1 An ális is Bi dim ensi on al Considere un elemento tipo barra, el cual puede ser sometido sólo a esfuerzos de tracción y compresión. Ubicado sobre el plano de la forma en que se indica en la figura.
Se han definido: y u2 : Grados de libertad locales. d1 , d2 , d3 y d4 : Grados de libertad globales. S1 y s2 : Fuerzas axiales. U1
θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y. Consideremos entonces la barra respecto a sus grados de libertad locales. 1. Sometida a una carga que genere una deformación positiva en el punto 1.
Entonces:
2. Sometida a una carga que genere una deformación positiva en el punto 2.
Entonces:
3. La acción conjunta entonces será.
Entonces:
Expresado matricialmente:
La matriz [k ] es conocida como Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales.
Pero para poder operar esta matriz con el resto de los elementos de la estructura es necesario convertirla a los grados de libertad globales (compatibilidad geométrica). Esto se realiza mediante la matriz de transformación [T ].
Donde:
1.2 A nálisi s Tridi m ensi on al El análisis anterior es posible hacerlo extensivo al espacio tridimensional.
Se han definido: u1 y u2 : Grados de libertad locales. D1 , d2 , d3 , d4 , d5 y d6 : Grados de libertad globales. S1 y s2 : Fuerzas axiales.
θx : Ángulo de la barra respecto al eje x. θy : Ángulo de la barra respecto al eje y. θz : Ángulo de la barra respecto al eje z. Se aplica el mismo razonamiento, por lo que se obtiene que la Matriz de Rigidez del elemento respecto a sus grados de libertad locales también es:
Pero la matriz de transformación será:
Donde:
2) Matriz de rigidez global. Del análisis anterior hemos determinado que la relación existente entre las deformaciones en coordenadas locales y las fuerzas actuantes en dichas direcciones es:
Si deseamos convertir la anterior ecuación a un sistema de coordenadas globales, podemos utilizar las ecuaciones de compatibilidad geométrica, que relacionan los grados de libertad locales con los grados de libertad globales mediante la matriz de transformación correspondiente:
Por lo tanto reemplazando en (1):
Además, podemos establecer las ecuaciones de equilibrio. En ellas se debe comprobar que las componentes en los grados de libertad globales resultante de las cargas externas debe ser igual a las fuerzas internas expresadas en el mismo sistema de coordenadas (globales), esto es:
O bien :
Que dadas las propiedades de la matriz [T] se puede demostrar que [T]^-1 =[T], por lo tanto:
Volviendo a la ecuación (3), obtenemos:
Premultiplicando por [T] ]^T , se tiene:
Donde la matriz [k] se conoce como matriz de rigidez del elemento referido a los grados de libertad globales:
Mediante la metodología antes expuesta es posible obtener las matrices de rigidez de cada uno de los elementos referidos a grados de libertad globales. Esto se realiza operando matrices de manera muy simple. Solo resta, entonces, ensamblar utilizando las matrices [k] de cada elemento de manera adecuada a fin de obtener la matriz de rigidez de la estructura completa [K], en que se considera como aporta la rigidez de cada elemento en las resistencia a la deformación en los diferentes grados de libertad, previamente definidos.
3) Modelación. 3.1 Ensam ble de la matriz de Rigid ez de la estructu ra. Una vez que todas las matrices de rigidez de los elementos se han expresado en coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el orden apropiado para
poder encontrar la matriz de rigidez de la estructura completa [ K ]. Este proceso de combinar las matrices de cada elemento depende de una cuidadosa identificación de las componentes de cada matriz. Para lograr lo anterior es necesario enumerar cada uno de los nodos de la estructura, luego enumerar cada elemento y direccionarlos a fin de determinar sus grados de libertar locales. En seguida, para cada nodo, indicar los grados de libertad globales. Cada componente de las matrices de rigidez de los elementos corresponderá al efecto que dicho elemento ejerce sobre el grado de libertad global correspondiente de la estructura, y por lo tanto, se le asignara una posición determinada (filacolumna) en la matriz de rigidez global de la estructura [ K ]. Las dimensiones de la matriz [K ], entonces, quedarán definidas por el número de grados de libertad de la estructura.
4) Ejemplo práctico 5) Conclusiones y recomendaciones A medida que avanza la tecnología, las herramientas que tenemos a nuestra disposición son cada vez más. Por esa misma razón el ingeniero debe actualizarse y buscar maneras de realizar su trabajo de una forma más eficiente, adquiriendo el conocimiento para poder interpretar y aplicar las herramientas que se van desarrollando. Por lo anterior, es importante que el ingeniero tenga una preparación adecuada, además de tener a la mano y saber utilizar herramientas tales como la computadora y su programación, para poder utilizarlas en la solución de problemas relacionados con su profesión e interpretar los resultados que arrojan.
