Subiecte Mate ASE 2010.

VARIANTA A

Subiectul I (2 puncte) 1. S˘a se determine mult¸imea de convergent¸˘a pentru seria de puteri: ∞ X (−1)n

n=1

(n + 2)

1 3

xn .

2. S˘a se determine punctele de extrem local ale funct¸iei f : R2 → R, f (x, y) = x3 + y 2 − xy − x + 7.

Subiectul II (2 puncte) 1. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) =



3ekx , x ∈ (1, 4) . 0, ˆın rest

S˘a se determine constanta k astfel ˆıncˆat f s˘a fie densitatea de repartit¸ie a unei variabile aleatoare X. S˘a se afle funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare X. 2. Fie (X, Y ) o variabil˘ a aleatoare bidimensional˘ a cu repartit¸ia dat˘ a de X\Y 1 2

0 0.06

2 0.56

0.2

0.7 1

.

S˘a se completeze tabloul repartit¸iei. Sunt X ¸si Y independente? S˘a se calculeze covariant¸a cov(X, Y ). Subiectul III (2 puncte) Se consider˘a o populat¸ie a c˘arei caracteristic˘a este variabila aleatoare X avˆand legea  4x − 2x e θ , x>0 θ2 f (x; θ) = , unde θ > 0. 0, x ≤ 0 1. S˘a se estimeze θ pe baza unei select¸ii de volum n din populat¸ia considerat˘ a. 2. S˘a se stabileasc˘a dac˘a estimatorul g˘asit este absolut corect.

(vezi verso)

1

Subiectul IV (3 puncte) P 1 1. Suma seriei ∞ n=0 2n este: a) 4; b) 12 ; c) 2; d) 0; e) 23 . 2. Fie

P∞

n=1 un

o serie cu termeni pozitivi ¸si l = limn→∞

un+1 un .

Seria este convergent˘a dac˘ a:

a) l > 1; b) l este finit˘ a; c) l < 1; d) l > 2; e) l = ∞. R∞ 3. Valoarea integralei 0 x5 e−x dx este: a) e; b) 12 ; c) 24; d) 0; e) 120.

4. Dac˘a f : R2 → R, f (x, y) = x2 y 3 − 3xy + x1 , atunci fx002 (x, y) are expresia: a) 6y − 12xy; b) 2y 3 +

2 ; x3

c) 2y 3 −

2 ; x3

d) 2y 3 +

1 ; x3

e) 2y 3 −

1 . x3

5. Fie A ¸si B evenimente independente pentru care se ¸stie c˘a P (A ∩ B) = Atunci P (A) este:

1 8

¸si P (B) = 12 .

a) 34 ; b) 14 ; c) 1; d) 12 ; e) 18 . 6. O urn˘ a cont¸ine 3 bile albe ¸si 5 bile ro¸sii. Se extrag la ˆıntˆamplare 2 bile din urn˘ a, f˘ ar˘ a revenire. Probabilitatea ca din cele 2 bile extrase 1 s˘a fie alb˘ a este: a)

5 28 ;

b)

15 28 ;

c)

1 28 ;

d)

1 14 ;

e) 38 .

7. Fie variabila aleatoare X :



−2 0 1 3

1 3

2 1 3



. Atunci P (X > −2) este:

a) 12 ; b) 0; c) 1; d) 32 ; e) 13 . 8. Not˘ am dispersia unei variabile aleatoare X cu D(X). Dac˘a D(2X) = 8 ¸si M (X) = 2, atunci M (X 2 ) este: a) 0; b) 4; c) 6; d) 2; e) 3. 9. Media de select¸ie este definit˘ a prin: P P P Pn n n n 1 3 3 a) n−1 i=1 Xi ; b) i=1 Xi ; c) i=1 Xi ; d) i=1 (Xi − X) ; e)

1 n

Pn

i=1 Xi .

10. Un interval de ˆıncredere pentru media m a unei repartit¸ii N (m, σ), cˆand σ este cunoscut, este: a) X − z1− 2ε √σn ≤ m ≤ X + z1− 2ε √σn ; b) X − z 2ε nσ ≤ m ≤ X − z1− 2ε nσ ; c) X + z1− 2ε √σn ≤ m ≤ X − z1− 2ε √σn ; d) X + z1− 2ε nσ ≤ m ≤ X − z1− 2ε nσ ; e) X − z1− 2ε √σn ≤ m ≤ X − z 2ε √σn . Not˘a: la unele serii, la intervale de ˆıncredere, s-a folosit notat¸ia α ˆın loc de ε. 2