Asep Anang Fakultas Peternakan Universitas padjadjaran 2013
1
Kuliah 1:
Pengertian Statistika
Mengapa statistika di dipelajari di Fak. Peternakan?
Statistika adalah Ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, persentasi data, pengolahan atau analisis data dan penarikan kesimpulan.
Mahasiswa S1 mempelajari statistika supaya bisa berpikir analitis dan juga bisa menarik kesimpulan secara ilmiah dalam menghadapi permasalahan berdasarkan fakta. Dalam menyusun tugas akhir (skripsi) mahasiswa akan belajar memecahkan masalah melalui penelitian. Peran statistika dalam memecahkan masalah adalah membantu dalam penarikan kesimpulan.
2
Kuliah 1:
Pengertian Statistika
Mengapa statistika di dipelajari di Fak. Peternakan?
Statistika adalah Ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, persentasi data, pengolahan atau analisis data dan penarikan kesimpulan.
Mahasiswa S1 mempelajari statistika supaya bisa berpikir analitis dan juga bisa menarik kesimpulan secara ilmiah dalam menghadapi permasalahan berdasarkan fakta. Dalam menyusun tugas akhir (skripsi) mahasiswa akan belajar memecahkan masalah melalui penelitian. Peran statistika dalam memecahkan masalah adalah membantu dalam penarikan kesimpulan.
2
Pengelompokan Statistika: Statistika dapat dibedakan menjadi: 1. Statistika Deskriptif: Yaitu statistika yang mengevaluasi data pada kelompok tertentu saja, dan kesimpulannya hanya bisa diterapkan pada kelompok tersebut. Contoh: Ukuran-ukuran tubuh dan bobot badan domba priangan di Kabupaten Bandung. 2. Statistika Inferensi (Statistika Induksi): Yaitu statistika yang menggunakan atau mengevaluasi data dari suatu sampel tapi hasilnya diharapkan bisa diterapkan pada suatu populasi. Contoh: Ukuran-ukuran tubuh domba Priangan. Pengambilan sampel dilakukan dibeberapa daerah tapi kesimpulan bisa berlaku untuk seluruh domba Priangan. Pengelompokan Statistika lainnya : 1. Statistika Parametrik: Yaitu statistika yang menerapkan asumsi mengenai populasi, yaitu pengukuran kuantitatif dengan tingkat data interval atau ratio. 2. Statistika Nonparametrik: disebut juga d istribution-free statistics, atau statistika yang membutuhkan lebih sedikit asumsi populasi dan menggunakan data dengan tingkat yang lebih sederhana seperti nominal dan ordinal.
Skala Pengukuran Dalam statistika, sekala pengukuran atau data dapat dibedakan menjadi: 1. Skala Nominal: Yaitu skala Berbentuk bilangan, tapi bilangan tersebut fungsinya hanya untuk membedakan dari unit satu ke unit lain. Operasi disini aritmatika tidak berlaku. Contoh: Jenis kelamin kelamin 2. Skala Ordinal: Yaitu skala hasil pengelompokan. Apabila ada suatu populasi, dimana populasi tersebut dapat di bagi menjadi beberapa bagian dan tiap bagian diberi nomor, contoh : Pengelompokan ukuran tubuh, pengelompokan umur. 3. Skala Interval: Yaitu skala pengukuran yang sama dengan ordinal hanya disini terdapat suatu faktor konstanta sebagai selisih yang diketahui. Contoh : skala temperatur, pH. Ratio: Skala pengukuran pengukuran interval yang konstantanya konstantanya berharga nol 4. Skala Ratio: (titik nol jelas). Contoh : kepadatan populasi ternak, jumlah ternak.
3
Jenis Data Data dapat dibedakan menjadi: 1. Data kuantitatif: Yaitu data yang berbentuk bilangan. Skala pengukuran yang termasuk kelompok data ini adalah skala interval dan rasio. Data kuantitatif dapat dibedakan lagi menjadi: a. Data Diskrit : Yaitu data yang didapatkan dengan cara menghitung atau membilang. Contoh: Jumlah anak dalam satu kelahiran pada domba b. Data Kontinu : Yaitu data diperoleh dari hasil mengukuran. Contoh bobot badan ayam pelung. 2. Data kualitatif : Yaitu data yang berbentuk kategori. Skala pengukuran yang termasuk kelompok data ini adalah skala nominal dan ordinal.
Macam Data berdasarkan Cara memperoleh: Berdasarkan cara memperoleh, data dapat dibedakan menjadi Data Primer dan Data Sekunder . Data primer adalah data yang diperoleh peneliti langsung dari sumbernya. Contoh mahasiswa melakukan penelitian terhadap pertambahan bobot badan ayam kampung. Mahasiswa mengukur atau terlibat langsung. Data primer juga bisa data yang yang diperoleh peneliti langsung dari sumbernya. Misal: mahasiswa mengevaluasi data produksi susu sapi perah selama 6 laktasi. Data tersebut diperoleh mahasiswa langsung dari sumbernya atau dari peternakan langsung. Data Primer adalah data yang telah dikutip oleh sumber lain. Misal Mahasiswa ingin mempelajari perkembangan konsumsi daging sapi dari tahun 2000 sampai 2010. Data diperoleh dari biro statistik.
Populasi dan Sampel: Populasi adalah seluruh elemen atau objek yang sedang diamati, sedangkan sampel adalah representasi dari populasi atau sebagian dari populasi diambil untuk diteliti.
Teknik pengumpulan data dari seluruh populasi disebut Sensus dan ukuranukurannya disebut Parameter , sedangkan teknik pengambilan sampel disebut sampling , dan ukutan-ukurannya disebut Statistik . Teknik sampling sangat penting dan sering digunakan oleh peneliti. Teknik ini akan dibahas pada bagian berikutnya.
4
Gambar 1: Populasi, Sampel, Parameter dan Statistik
5
Kuliah 2:
Menyajikan Data
Dalam statistika, ada banyak cara dalam menyajikan data. Pada prinsipnya penyajian data ditujukan untuk memudahkan dan penyederhanaan supaya yang membaca bisa dengan mudah memahami. Penyajian yang banyak digunakan adalah (1) Diagram Batang, (2) Diagram garis, (3) Diagram Lingkaran, (4) Tabel Untuk mempermudah ilustrasi, berikut adalah contoh popolasi ternak sapi perah di pulau Jawa dari tahun 2005 sampai 2009. Tabel 1: Populasi Ternak Sapi Perah di Pulau jawa Tahun/ Year Provinsi
2006
2007
2008
2009
92,770
97,367
103,489
111,250
114,588
Jawa Tengah
114,116
115,158
116,260
118,424
134,821
Jawa Timur
134,043
136,497
139,277
212,322
221,944
DKI Jakarta
3,347
3,343
3,685
3,355
3,422
DI Yogyakarta
8,212
7,231
5,811
5,652
5,709
352,488
359,596
368,522
451,003
480,484
Jawa Barat
Total
2005
Sumber: Dirjen Peternakan 6
Diagram batang Diagram batang banyak digunakan untuk menyajikan tada bila datanya dalam bentuk katagori. Contoh tabel di atas di umpamakan hanya untuk Jawa barat dan katagorinya adalah tahun. Grafik batangnya adalah sebagai berikut:
Populasi Sapi Perah di Jawa Barat 140,000 120,000 100,000
92,770
97,367
111,250
114,588
2008
2009
103,489
) r o k 80,000 E ( h a l 60,000 m u J
40,000 20,000 0 2005
2006
2007 Tahun
Diagram garis Diagram garis sering digunakan untuk menggambarkan data yang menerus. Contoh di lebih baik bila menggunakan diagram garis karena perkembangan populasi sapi bisa dikatakan menerus dari tahun 2005 sampai 2009.
7
Populasi Sapi Perah di Jawa Barat 140,000 120,000 111,250 100,000
) r o k 80,000 E ( h a l 60,000 m u J
103,489
97,367
92,770
114,588
40,000 20,000 0 2005
2006
2007
2008
2009
Tahun
Diagram lingkaran Diagram lingkaran biasanya dipakai untuk menggambarkan proporsi masing-masing kategori data. Contoh di atas diumpamakan dibuat diagram lingkaran dengan katagori provinsi untuk populasi tahun 2009 saja. Juring sudut data ditentukan dengan rumus: Juring Sudut
Jumlah Data Provinsi
Jumlah Data Total
x360 o
Contoh: Juring sudut untuk provinsi Jawa Barat adalah: Juring Sudut Jawa B arat
11 4,58 8
48 0,48 4
x360o
86
o
Juring sudut untuk Jawa Tengah, Jawa Timur, DKI Jakarta, dan DI Yogyakarta masingmasing adalah 101 o, 166o, 3o, dan 4 o. Jumlah total sudut adalah 360 o. Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut:
8
DKI Jakarta , 3,422
DI Yogyakarta , 5,709
Jabar , 114,588 Jatim , 221,944 Jateng , 134,821
Tugas 1: Sajikan data pada Tabel 1 untuk dalam bentuk diagram batang dan diagram garis untuk provinsi jawa tengah dan diagram lingkaran untuk tahun 2008.
Penyajian Data Dalam Tabel Penyajian data dalam bentuk tabel sangat sering digunakan dalam karya ilmiah dan biasanya dipakai jika penulis ingin menyajikan data lebih akurat dan rinci. Pada dasarnya penyajian data melalui tabel dapat dibedakan menjadi: (1) tabel baris-kolom, (2) tabel kontingensi, dan 3) tabel distribusi frekuensi. 1) Tabel Baris-Kolom: tabel ini hanya terdiri atas kolom dan baris yang masingmasing merupakan katagori: Contoh: Tabel : Berat Lahir Rata-rata Domba Priangan di Kabupaten Garut dan Kabupaten Bandung berdasarkan jenis Kelamin Kabupaten Garut
Kabupaten bandung
Jantan Betina
9
2) Tabel kontingensi biasanya terdiri dari 2 faktor dan tiap faktor mempunyai katagori. Contoh di atas menjadi tabel menjadi tabel kontingensi apabila faktor jenis kelamin misalnya dibagi berdasarkan tipe kelahiran. Contoh: Tabel : Berat Lahir Rata-rata Domba Priangan di Kabupaten Garut dan Kabupaten Bandung berdasarkan Jenis Kelamin dan Tipe Kelahiran Jenis Kelamin Jantan
Betina
Tipe kelahiran
Kabupaten Kabupaten Garut Kabupaten bandung
Tunggal Kembar 2 Kembar 3 Tunggal Kembar 2 Kembar 3
3) Tabel Distribusi Frekuensi dilakukan jika ingin mengetahui jumlah atau frekuensi dari masing katagori. Data bisa dikelompokan menjadi katagori baru atau tidak. Contoh: Tabel : Frekuensi kelahiran tunggal, kembar 2, dan kembar 3 di suatu peternakan domba. Tipe Kelahiran Tunggal Kembar 2 Kembar 3 Total
Frekuensi 69 79 15 163
Persentasi (%) 42.33 48.47 9.20 100
Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data hasil penelitian yang terkumpul biasanya belum tersusun dengan baik. Untuk mempermudah penafsiran dan membuat kesimpulan, data biasanya disusun dalam suatu kelas atau katagori. Dalam tabel distribusi frekuensi, data dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk kelas interval.
10
Contoh Tabel banyaknya petani peternak di suatu desa berdasarkan kriteria umur: No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Umur (Tahun) 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61
Total
Frekuensi
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
10 25 23 45 48 53 47 40 15 19 325
1 sampai 10 disebut Kelas Interval dan 16-20, 21-25 ... 61-65 disebut Panjang Kelas . Frekuensi menunjukan banyaknya petani-peternak untuk setiap panjang kelas.
Contoh : Data berikut adalah konsumsi pakan 50 ekor ayam petelur (gram) 158 160 140 136 180 184 160 140 126 152
98 168 142 144 71 186 182 148 120 126
96 180 184 170 166 152 122 198 166 176
148 140 76 102 146 142 144 190 164 140
162 182 112 130 148 180 194 160 120 132
Cari (1) nilai minimum, (2) maksimum, (3) rentang, dan (4) buatlah tabel distribusi frekuensinya. 1. Nilai minimum adalah ayam yang konsumsinya paling sedikit = 71 gram 2. Nilai maksimum adalah ayam yang konsumsi pakanya paling banyak = 198 garm 3. Rentang adalah nilai maksimum – nilai minimum: 198 – 71 gram = 127 gram 4. Tabel Distribusi frekuensi:
11
Banyak kelas interval: 1+3,3 log n, dimana n adalah banyaknya data (Sturges) 1+3,3 log 50 =6,61 atau antara 6 sampai 7 Panjang kelas
=
untuk mempermudah 20
Tabel distribusi frekuensinya adalah: Konsumsi (g) 71 - 90 91 - 110 111 - 130 131 - 150 151 - 170 171 - 190 191 - 210 Total
Frekuensi 2 3 7 14 12 10 2 50
Tugas: Dibawah ini adalah bobot badan 50 ekor ayam broiler umur 28 hari: 790 800 700 680 900 920 800 700 630 760
490 840 710 720 350 930 910 740 600 630
480 900 920 850 830 760 610 990 830 880
740 700 380 510 730 710 720 950 820 700
810 910 560 650 740 900 970 800 600 660
Tentukan (1) nilai minimum, (2) maksimum, (3) rentang, dan (4) buatlah tabel distribusi frekuensinya.
12
Kuliah 3:
Ukuran Gejala Pusat
Dalam menarik suatu kesimpulan, sering mahasiswa yang sedang meneliti ingin membuat suatu gambaran yang jelas dan singkat tentang data yang dikumpulkannya. Data dipusatkan pada suatu nilai yang mempunyai nilai makna dan mewakili data keseluruhan. Ukuran-ukuran pemusatan atau gejala pusat yang sering digunakan adalah rata-rata, median, modus, kuartil, desil dan persentil.
Rata-rata Rata-rata merupakan suatu nilai yang terletak ditengah data, setelah data tersebut diurut berdasarkan nilainya secara kontinu. Nilai rata-rata sangat banyak digunakan karena nilai ini sangat spesifk dan sangat representatif untuk setiap susunan data. Rata-rata dapat dibedakan menjadi: (1) Rata-rata Aritmetik, (2) Rata-rata geometrik, (3) Rata-rata harmoni, dan (4) Rata-rata tumbuh. 1. Rata-rata Aritmetik Rata-rata aritmetik bisa diungkapkan dengan
̅ ∑
Contoh 1: konsumsi 10 ekor ayam petelur (g): 71
76
96
98
102
112
120
120
122
126
13
Rata-rata konsumsi =
̅ ̅ ∑
Contoh 2: rata-rata dari distribusi frekuensi:
Berikut adalah umur petani peternak berdasarkan banyaknya: No
Umur (x)
Frekuensi (f)
f.x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
10 25 23 45 48 53 47 40 15 19 325
200 625 690 1575 1920 2385 2350 2200 900 1235 14080
Rata-rata =
̅
=43.32 tahun
Contoh 3: Rata-rata dari dari interval umur: Umur (Tahun) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61
Total
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Tanda Kelas (x) 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63
Frekuensi (f)
f.x
10 25 23 45 48 53 47 40 15 19 325
180 575 644 1485 1824 2279 2256 2120 870 1197 13430
14
Rata-rata =
̅
=41.32 tahun
2. Rata-rata Geometrik Rata-rata geometrik atau rata-rata ukur dipakai bula perbandingan antara dua bilangan tetap, tapi nilainya harus lebih besar dari nol (x<0). Rata-rata geometrik diungkapkan dengan rumus:
Contoh Pertumbuhan bakteri yang dikur tiap menit adalah 2, 4, dan 8. Rata-ratanya adalah:
√ √
Untuk data yang banyak bisa digunakan log:
∑
Untuk data di atas:
=0.6021 ---- U = 4
3. Rata-rata Harmoni Rata-rata Harmoni merupakan kebalikan dari rata-rata aritmetik. Rata-rata ini diungkapkan dengan rumus:
∑
Contoh 1: apabila ada bilangan, 2, 4, dan 8; rata-rata harmoninya adalah:
= 3,43
15
Contoh 2: Truk pengangkut ayam melakukan perjalanan dari Bandung ke Jakarta. Kecepatan pergi 60 km/jam sedangkan pulangnya 80 km per jam. Berapa kecepatan rata-rata? Kecapatan rata rata BUKAN
= 70 km per jam, tapi:
=68,57 km/jam
4. Rata-rata Bersifat Tumbuh Dalam bidang peternakan, sangat sering bahwa sifat yang diukur dinamik sejalan dengan waktu; misal pengukuran bobot badan yang terus bertambah sesuai waktu, dan pengukuran populasi ternak yang terus berubah. Jika fenomena yang bersifat tumbuh, rata-rata bisa dihitung dengan rumus:
̅ ( ) Dimana
P 0 = Keadaan awal P t = keadaan akhir t = waktu = rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu
̅
Contoh : Populasi ternak sapi perah di pulau Jawa tahun 2005 adalah 350 000 dan tahun 2010 adalah 500 000. Berapa rata-rata pertumbuhan tiap tahunnya? P 0 = 350 000; P t =500 000; t =2010-2005= 5
̅ ( ) ̅
=
16
Modus Modus menunjukan nilai yang paling banyak muncul. Contoh 1: 2
3
5
7
9
9
9
10
10
11
9 adalah modus
3
5
8
10
12
17
19
21
24
27
Tidak mempunyai modus
2
3
3
3
5
6
7
7
7
8
3 dan 7 adalah modus
Apabila data telah disusun dalam distribusi frekuensi modus diduga dengan rumus:
( ) Dimana : b =
batas bawah kelas modus, ialah kelas dengan frekuensi terbanyak
p = b 1 =
Panjang kelas frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah kelas modus
b 2 =
Contoh 2: Mencari modus pada tabel distribusi frekuensi: Umur (Tahun) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 21 26 31 36 41 46 51 56 61
- 20 - 25 - 30 - 35 - 40 - 45 - 50 - 55 - 60 - 65 Total Frekuensi modus = 53.
Frekuensi (f) 10 25 23 45 48 53 47 40 15 19 325
17
b = b1 = b2 = p =
40+(41-41)/2 = 40.50 53-48 = 5 53-47 = 6 Interval kelas = 5
( )( ) Median Median menentukan letak tengah data setelah data disusun menurut nilainya. Contoh 1: 9
12
12
15
18
24
24
24
15
15
21
27
33
36
45
54
30
Me = 18 Me = (27+33)/2 =
30
Jika data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, Median diduga dengan:
) ( ⁄
b= p= n= F= f=
Batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median terletak Panjang kelas Banyak data Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median Frekuensi kelas median
Contoh 2: menduga median dari tabel distribusi frekuensi: Umur (Tahun)
Frekuensi (f)
Jumlah data
1 2 3 4
16 21 26 31
-
20 25 30 35
10 25 23 45
10 35 58 103
5
36
-
40
48
151
6 7 8 9 10
41 46 51 56 61
-
45 50 55 60 65
53 47 40 15 19
204 Letak Median 251 291 306 325
18
Letak median di data ke = Median terletak dikelas ke: b= p= f F
⁄ =
(325/2 = 162.5 6 40+(41-40)/2 = 40.5 5 53 10+25+23+45+48 = 151
⁄
Kuartil, Desil, dan Persentil Kuartil, Desil, dan Persentil dipakai untuk membagi data menjadi beberapa bagian. Kuartil membagi data menjadi 4 bagian, Desil membagi menjadi 10 bagian, dan persentil menjadi 100 bagian. Cara membagi adalah: urut data berdasarkan nilainya, tentukan letaknya, kemudian tentukan nilainya.
Rumus Kuartil adalah:
i = 1, 2, 3 n = Jumlah data
Rumus Desil adalah:
i = 1, 2, 3, ..., 9 n = Jumlah data
19
Rumus Persentil adalah:
i = 1, 2, 3, ..., 99 n = Jumlah data
Contoh: Hasil penimbangan konsumsi pakan 12 ekor ayam petelur (g). Tentukan kuartir 1, 2, dan 3, dan nilai datanya. No Data Nilai Data
Letak K 1 Letak K 2 Letak K 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
104
112
114
120
128
132
140
150
164
172
184
188
: : :
Nilai K 1 = 114 + 0,25(120-114)= 115,5 Nilai K 2 = 132 + 0,50(140-132)= 136 Nilai K 3 = 164 + 0,75(172-164)= 170
Apabila data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, maka kuartil, desil dan persentil diduga dengan rumus: Kuartil
:
Desil
:
Persentil
:
(⁄) (⁄ ) (⁄ ) 20
Contoh pendugaan Kuartil dari tabel distribusi: Umur (Tahun)
Frekuensi (f)
Jumlah data
1 2 3 4 5 6 7
16 21 26 31 36 41 46
-
20 25 30 35 40 45 50
10 25 23 45 48 53 47
10 35 58 103 151 204 251
8 9 10
51 56 61
-
55 60 65
40 15 19
291 306 325
Total
Letak K1 Letak K2 Letak K3
K1 K2
K3
325
¼ x 325 = 81,25 2/4 x 325 = 162,5 ¾ x 325 = 243,75
Nilai K1
b= p= f F
30+(31-30)/2=30,5 5 45 10+25+23 = 58
⁄ Nilai K2
b= p= f F
40+(41-40)/2=40,5 5 53 10+25+23+45 +48= 151
⁄ 21
Nilai K3
b= p= f F
45+(46-45)/2=45,5 5 47 10+25+23+45 +48+53= 204
⁄
22
Kuliah 4:
Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi
Dalam suatu analisis, sangat sering peneliti ingin mengetahui sampai berapa jauh data tersebut menyebar dari rata-rata. Ukuran yang sering digunakan di bidang peternakan adalah Varian (Ragam), standar deviasi (Simpangan Baku) dan koefisien variasi.
Ragam: Populasi
Sample ( xi ) 2
2
2
2
x i
2
n
s
2
n
( xi ) n
2
s
2
x i
( xi ) 2 n
n 1 ( xi x)
2
n 1
23
Simpangan Baku (Akar dari Ragam): Populasi
Sample 2
s
s
2
Koefisien Variasi: Populasi KV
Sample
x100%
KV
s
x100%
x
24
Contoh 1: Tabel berikut adalah berat telur 10 ekor puyuh. Ragam dan standar deviasinya adalah (Cara 1): No
Konsumsi (x)
1
10
2.9
2
11
0.5
3
12
0.1
4
11
0.5
5
13
1.7
6
15
10.9
7
13
1.7
8
9
7.3
9
11
0.5
10
12
0.1
Jumlah (∑)
117
26.1
Rata-rata( x )
11.7
n
Parameter
x
2
Populasi
Koefisien variasi
x
10
Ragam
Simpangan Baku
2
Sample
( xi ) n
2
KV
1,62
11,7
2
26,1 10
2,61
x100%
2,61
1,62
13,81%
s
2
s
KV
( xi x) n 1
s
2
1,70
11,7
2
26,1 10 1
2,90
x10 0%
2,90
1,70
14,56%
25
Contoh 2: Tabel berikut adalah berat telur 10 ekor puyuh. Ragam dan standar deviasinya adalah (Cara 2):
No
Konsumsi (x )
x
1
10
100
2
11
121
3
12
144
4
11
121
5
13
169
6
15
225
7
13
169
8
9
81
9
11
121
10
12
144
Jumlah (∑)
117
1395
Rata-rata
11.7
n
Parameter
10
Populasi
Ragam
Koefisien variasi
Sample
2
Simpangan Baku
2
2
x i
KV
( xi ) 2
n
2
1,62
11,7
n
1395 10
2,61
x10 0%
(117) 2 10
1,62
13,81%
2,61
s
2
s
KV
x i
2
( xi ) 2 n
n 1
s
2
1,70
11,7
2,90
x10 0%
) 1395 (117 10
10 1
2
1,70
14,56%
26
2,90
Kuliah 5:
Pengantar Peluang (Dari materi kuliah Dr. Ir. Karnaen, Mstat)
Definisi: 1. RUANG SAMPEL : Himpunan atau gugus yang unsur-unsurnya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan 2. TITIK SAMPEL : Unsur-unsur dari ruang sampel 3. KEJADIAN : Himpunan atau gugus bagian dari ruang sampel 4. FREKUENSI RELATIF : Hasil bagi antara kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan (bisa dalam %) 5. PELUANG (PROBABILITAS) : derajat kepastian dari suatu peristiwa Peluang dari suatu kejadian A = P(A)
P ( A)
N ( A)
banyaknyakejadian A terjadi
banyaknyakejadian yang mungkin N (S )
27
Beberapa Sifat Peluang: 1. Peluang A merupakan angka yang non negatif sehingga P(A) ≥ 0 2. Peluang suatu kejadian yang terjadi sama diantara nol dan satu ditulis 0 ≤ P(A) ≤ 1 3. Jumlah peluang dari semua kejadian dasar suatu universum adalah sama dengan satu n
P ( A ) 1 i
i 1
atau P(A 1) + P(A 2) + . . . + P(A n) = 1
4. P(A) + P(Ā) = 1
Ā = komplemen
P(Ā) = 1 - P(A)
P(Ā) = peluang tidak terjadinya A
P(A) = 0, berarti tidak pernah terjadi atau mustahil P(A) = 1, berarti kejadian A sudah pasti terjadi
Contoh 1: Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa besar peluang mata dadu yang muncul tidak berjumlah 10 ? Jawab : S = ruang sampel S = {(1,1), (1,2), ...... , (6,6)}
ada 36 buah titik sampel
Misal A = kejadian mata dadu yang muncul berjumlah 10 {(4,6), (5,5), (6,4)} Jadi P(A) =
3/36
= 1/12
Maka P(Ā) = 1 - P(A) = 1 – 1/12 = 11/12 28
Peluang dan Beberapa kejadian 1. Peluang kejadian mutually exclusive : jika kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan atau A U B = Ø Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara A
B
Bersamaan didefinisikan P(AUB) AUB = A + B
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)
Contoh : Pada pelemparan sebuah dadu satu kali, jika A adalah peristiwa munculnya mata dadu 2 dan jika B adalah peristiwa munculnya mata dadu 4, maka berapakah peluang munculnya mata dadu 2 atau 4 ? Jawab : A B = { } artinya tidak mungkin keluar bersamaan P(AUB) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
2. Peluang kejadian non mutually exclusive : jika kedua peristiwa tersebut bisa terjadi pada waktu yang bersamaan atau A B=Ø
A
B
(AUB) = A + B – (A B) Maka : P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
Jika ada 3 kejadian A, B, dan C maka : P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(BC) – P(A BC)
29
Contoh : Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang terambilnya kartu As atau kartu Diamond ? Jawab : Jika
K 1
= kejadian terambilnya kartu As
K 2
= kejadian terambilnya kartu Diamond
K 1K 2 = kartu yang terambil adalah kartu As dan Diamond P(K 1)
= 4/52
P(K 2)
= 13/52
P(K 1K 2) = 1/52 P(K 1UK 2 ) = (4/52) + (13/52) – (1/52) = 16/52
3. Peluang kejadian bebas : jika peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua, atau peristiwa kedua tidak terikat pada peristiwa pertama atau P(A B) = P(A) . P(B) 4. Peluang peristiwa dependent atau peluang bersyarat (Conditional probability) : jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa lain. Untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului peristiwa B ditulis A/B dan peluangnya dinyatakan dengan dengan P(A/B) atau dapat dirumuskan sebagai berikut : P(A B) = P(A) . P(B/A)
atau
P(B) . P(A/B)
Contoh : Dari 52 buah kartu bridge diambil 2 buah secara acak. Berapa peluang agar kedua kartu yang diambil adalah As yang berbeda ?
30
Jawab : Misal
B/A
A
= kejadian terambilnya kartu As I
B
= kejadian terambilnya kartu As II
= kejadian terambilnya kartu As II setelah terambilnya As pada pengambilan I A B = kejadian munculnya As dari 2 pengambilan
P ( A)
Ju m lah As ya ng ada Ju m lah sem ua kartu
P ( B / A)
4 52
1 13
Ju m lah sisa As setela h muncul As I Sisa kartu setela h pengam bila n I
P ( A B) P ( A) P ( B / A)
1
1
13 17
4 1 52 1
3 51
1 17
1 221
5. Teori Bayes adalah pengembangan dari konsep peluang bersyarat untuk kejadian yang bersifat bebas dan atau mutually exclusive. Bil A j (j = 1, 2, ... n) merupakan sekatan-sekatan dari sebuah sampel S dan setiap peristiwa A j bersifat exclusive serta peluangnya tidak sama dengan nol, maka peluang terjadinya peristiwa A adalah : P(A) = P(A 1) . P(A/A 1) + P(A 2) . P(A/A 2) + ...... + P(A n) . P(A/A n) Atau
n
P ( A) P ( A j ). P ( A / A j )
Kaidah Bayes I
j 1
Bila A j merupakan sekatan dari sebuah sampel S dan setiap peristiwa A j bersifat mutually exclusive, kemudian kita mempunyai peristiwa lain A k yang merupakan sekatan dari A j dimana 1 ≤ k ≤ n, maka : P ( Ak / A)
P ( Ak ) P ( A / Ak ) P ( A1 ). P ( A / A1 ) ... P ( An ). P ( A / An )
atau
31
