LATAR LATAR BELAKANG BELA KANG
Tegangan normal dan geser di balok poros dan batang dapat dihitung dengan rumusrumus dasar. Sebagai contoh, tegangan di balok dinyatakan dengan rumus lentur dan geser ( σ = My/I dan dan
τ
rumus rumus torsi torsi ( τ
= VQ/Ib), VQ/Ib), dan tegangan di batang yang mengalami mengalami torsi dinyatakan dinyatakan dengan dengan = Tρ/I ). ). Namun tegangan yang dihitung dari rumus-rumus ini bekerja di
penampang (potongan melintang) suatu elemen struktur, dan kadang-kadang tegangan yang lebih besar terjadi di potongan miring. Dengan demikian kita akan menganalisis tegangan dan reganagan dengan membahas metode-metode untuk mencari tegangan normal dan geser yang bekerja di potongan miring suatu elemen struktur. struktur. Kita Kita telah telah menu menuru runk nkan an rumu rumuss untu untuk k tega tegang ngan an norm normal al dan dan geser geser yang beke bekerja rja di potongan miring baik untuk tegangan uniaksial maupun geser murni. Dalam hal tegangan uniaksial, uniaksial, kita telah mendapatkan mendapatkan baha tegangan tegangan geser maksimum maksimum terjadi di bidang yang miring miring !"# terhadap sumbunya. sumbunya. sedangkan tegangan normal maksimum maksimum terjadi di potongan potongan melintang. Dalam hal geser murni, kita telah mendapatkan baha tegangan tekan dan tarik maksimum terjadi di bidang !"#. Dengan cara analogi, tegangan di potongan miring suatu balok dapat lebih besar daripada tegangan yang bekerja di potongan melintang. $ntuk menghitung tegangan tersebut, kita perlu menentukan tegangan yang bekerja di bidang miring yang lebih umum dikenal dengan tegangan bidang. %ada &ambar ' diperlihatkan sebuah elemen dari suatu batang atau bagian struktur beserta tegangan-tegangan yang terjadi pada permukaannya, yang berupa tegangan normal dan geser. Tegangan-tegangan yang bekerja pada permukaan yang tidak dapat dilihat tidak diperlihatkan dalam gambar.
&ambar ' lemen dengan tegangan-tegangan normal dan geser pada permukaannya
Mekanika Bahan S1 Teknik Sipil Universitas Teknologi Yo Yogyakarta
1
ANALISIS TEGANGAN BIDANG (PLAIN STRESS)
%ada bab berikut akan dibahas kasus khusus yaitu tegangan bidang (plain stress), dimana komponen-komponen tegangan hanya bekerja pada satu bidang saja. Sebagai contoh tegangan- tegangan hanya bekerja pada bidang xy saja, seperti diperlihatkan pada &ambar (a). Dalam kondisi ini* + zz ('. a) dan xz yz zy zx ('. b)
&ambar Struktur bidang dan komponen tegangan bidang xy $ntuk selanjutnya sebagai pengganti notasi tegangan σ xx , σ yy , σ zz akan digunakan σ x , σ y , σ z .
TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG
Dalam analisis tegangan, biasanya tegangan-tegangan normal dan geser yang bekerja pada elemen dan suatu kedudukan atau sumbu-sumbu acuan misalnya sumbu / dan y sudah diketahui. Dengan tegangan-tegangan dan arah s umbu / dan y yang sudah diketahui ini, dapat ditentukan tegangan-tegangan dalam arah sembarang. Tegangantegangan ini akan dipengaruhi oleh orientasi sumbu-sumbunya. %ersamaan-persamaan keseimbangan dapat dibentuk dari sebuah elemen yang dipotong dengan sudut kemiringan θ , seperti diperlihatkan pada &ambar Mekanika Bahan S1 Teknik Sipil Universitas Teknologi Yogyakarta
2
0 (a). Disini trans1ormasi tegangan dihitung dari sumbu acuan (sumbu xy) ke sumbu x’y’ dengan sudut rotasi θ , σ x , σ , τ xy adalah tegangan-tegangan yang sudah diketahui dari sumbu y acuan. Sebelumnya perlu diadakan perjanjian kesepakatan tanda yaitu* Tegangan normal dengan arah ke luar bidang (tarik) diambil positi1, sedangkan arah • sebalikn2a adalah negati1. Tegangan geser positi1 jika bekerja pada bidang sebelah kanan elemen 34 dengan • arah ke atas atau yang memutar terhadap sumbu 5 benlaanan arah jarum jam.
(a) transformasi sumbu
(b) komponen tegangan
(c) transformasi gaya
&ambar 0 Keseimbangan gaya dalam elemen kecil atau bagian elemen kecil Selanjutnya ditinjau benda bebas 6D, dimana bidang D tegak lurus pada sumbu /7. 3idang D dianggap mernpunyai luas d6, sehingga luas bidang 6 dan 6D masingmasing dAsinθ dan dAcosθ . 3erdasarkan kriteria keseimbangan gaya pada benda bebas ( lihat &ambar 0 (c), akan diperoleh * Ʃ F x’ =
0 σ x’dA = σ xdAcosθcosθ + σ ydAsinθsinθ + τ xydAcosθsinθ + τ xdAsinθcosθ
Mekanika Bahan S1 Teknik Sipil Universitas Teknologi Yogyakarta
3
...............()
Dengan bantuan rumus-rumus trigonometri antara lain* cos2θ sin2θ sinθcosθ
= 0,5 ! + cos2θ" = 0,5 ! # cos2θ" = 0,5 sin2θ
8aka persamaan () dapat dituliskan* σ x’
= σ xcos2θ + σ y sin2θ + 2τ xy sinθcosθ
( 1 + cos2 θ ) = σ x
2
+
2
¿
...............(0)
y
y
=
+ τ xy sin2θ
2
σ x −¿ σ
σ x +¿ σ
σ x’
+ σ y
( 1−cos 2 θ )
2
cos2θ+ τ xy sin2θ
¿
Dengan cara yang sama dari Ʃ17y akan didapatkan* σ x −¿ σ
y
τ x’ τ y’
=
2
+ sin2θ+ τ xycos2θ
¿
...............
(!) Tegangan normal σ’y dapat dihitung dengan persamaan (0) dengan mengganti π θ = θ + 2 , sehingga didapatkan *
σ x +¿ σ
σ x −¿ σ
y
σ’ y
=
2
¿
y
#
2
¿
cos2θ # τ xy sin2θ
...............
(") Dari %ersamaan (0) dan ("), maka untuk sembarang sudut rotasi akan berlaku * σ x + σ y = σ’ x + σ’ y
Mekanika Bahan S1 Teknik Sipil Universitas Teknologi Yogyakarta
...............(9)
4
