Mekanika Kekuatan Bahan II

BAB I LENTURAN BATANG ELASTIS 1.1. Pendahuluan Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain perhitungan tegangan (stress) yang terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan seringkali harus diperhitungkan. Hal ini disebabkan walaupun tegangan yang terjadi masih lebih kecil daripada tegangan yang diijinkan oleh kekuatan bahan, bisa terjadi besar lenturan akibat beban yang bekerja melebihi batas yang diijinkan. Keadaan demikian dapat menyebabkan kerusakan yang serius pada bagian mesin seperti : a. Keretakan pada bahan b. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak. c. Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna. Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin terutama tergantung kepada beberapa faktor sbb. a. Sifat kekakuan bahan (modulus elastisitas) b. Posisi batang terhadap beban dan dimensi batang, yang biasanya ditunjukkan dalam besaran momen inertia batang. c. Besarnya beban yang diterima Lenturan pada suatu batang dapat terjadi akibat adanya beban gaya geser atau momen lentur. Lenturan akibat beban gaser umumnya sangat kecil dibandingkan dengan lenturan akibat beban momen. Lenturan akibat beban geser biasanya hanya diperhitungkan untuk batang yang sangat pendek, sehingga proporsi terhadap lenturan yang terjadi karena beban momen menjadi cukup berarti. Dalam bahasan buku ini hanya lenturan karena beban momen saja yang diperhitungkan, karena struktur yang dibahas memakai batang relatif panjang. Besarnya lenturan akibat beban momen dapat dihitung dengan memakai salah satu dari empat metode berikut: a. Metode analitis (cara integrasi) b. Metode luas bidang momen c. Metode penjumlahan (superposisi) d. Metode energi strain atau metode Castigliano. Metode integrasi dilakukan dengan cara mencari persamaan diferensial momen yang terjadi sepanjang batang. Dari persamaan momen kemudian diselesaikan dengan cara integrasi dua kali, untuk mendapatkan persamaan lenturan. Dua konstanta yang timbul akibat proses integrasi dapat dihitung dari kondisi batas (boundary conditions), yang ada pada struktur yang bersangkutan. Hasilnya adalah sebuah persamaan fungsi besar lenturan yang terjadi terhadap panjang batang, dari titik koordinat awal yang ditentukan. Metode luas bidang momen adalah metode semigrafis, dengan memanfaatkan sifatsifat dari persamaan matematis lenturan. Luas bidang momen tidak dicari dengan menurunkan persamaannya, tetapi dengan cara menghitung luasan yang terjadi secara geometri. Metode ini lebih sederhana dan lebih cepat dibandingkan dengan metode integrasi terutama untuk struktur yang menerima banyak beban sepanjang batangnya. Metode penjumlahan (superposisi) dilakukan dengan memanfaatkan besar lenturan yang telah dihitung sebelumnya (biasanya ditabelkan), pada struktur yang sederhana. Suatu

struktur yang kompleks dibagi menjadi beberapa bagian berupa struktur yang lebih sederhana, yang besar lenturannya masing-masing telah diketahui. Besar lenturan pada struktur keseluruhan adalah jumlah dari semua lenturan yang terjadi pada masing-masing bagian struktur tersebut. Metode energi strain biasa disebut dengan nama penemunya yaitu seorang insinyur Italia bernama Alberto Castigliano, pada tahun 1873. Teori Castigliano menyatakan bahwa lenturan yang terjadi pada suatu titik pada suatu batang adalah merupakan turunan parsial dari persamaan energi yang tersimpan didalam batang akibat beban yang bekerja, terhadap gaya yang bekerja pada titik tersebut. Apabila pada titik yang dicari lenturannya tidak ada gaya yang bekerja, maka biasanya diberikan gaya nol (dummy load) pada titik tersebut. Penentuan metode mana yang terbaik atau seharusnya dipakai untuk memecahkan masalah lenturan suatu struktur, tergantung kepada jenis pembebanan dan kompleksitas strukturnya dan sedikit banyak juga tergantung kepada pengalaman perencana yaitu metode mana yang paling dikuasai. Tingkat ketelitian perhitungan yang diperlukan juga menentukan pemilihan metode yang dipakai, karena metode pada semigrafis misalnya sering memerlukan pendekatan untuk dapat menghitung luas bidang momen. Metode Castigliano adalah metode yang banyak dipakai, karena prosedur perhitungannnya sederhana walaupun dipakai pada batang dengan banyak beban dan struktur yang kompleks, dan derajad ketelitian perhitungannya tinggi. Keempat metode pemecahan masalah lenturan tersebut diatas dapat digunakan pada batang dengan struktur statis tertentu maupun statis tak tentu. Penggunaan keempat metode perhitungan tersebut mempunyai kelebihan karena dapat sekaligus menghitung besarnya reaksi yang terjadi pada tumpuan pada batang dengan struktur statis tak tentu, yang tidak dapat dihitung apabila menggunakan teori keseimbangan statis. Sesudah gaya atau momen reaksi tumpuan dapat dihitung, maka prosedur perhitungan lenturan pada struktur tak tentu adalah sama dengan perhitungan pada struktur statis tertentu. 1.2. Teori Dasar Lenturan. Untuk dapat menurunkan persamaan matematis lenturan yang terjadi pada suatu batang struktur, diambil beberapa persyaratan dan asumsi sbb. a. Bahan dari batang masih dalam kondisi elastis selama pembebanan b. Besarnya lenturan akibat gaya geser kecil sekali dibanding dengan lenturan yang terjadi akibat beban momen (hanya untuk batang yang relatif panjang). c. Besarnya modulus elastisitas (E) dan momen inertia (I) konstan sepanjang batang yang ditinjau. Apabila besaran E atau I tidak konstan, fungsi matematis kedua besaran tersebut terhadap panjang batang harus diketahui. d. Struktur bahan sepanjang batang dianggap homogin, sehingga deformasi yang terjadi akibat beban selalu kontinyu. Dengan demikian bentuk lenturan yang terjadi berupa suatu curva yang kontinyu dan terdapat bidang netral ditengah-tengah batang pada waktu terjadi lenturan. e. Besarnya lenturan yang terjadi kecil sekali dibanding panjang batang, sehingga kwadrat dari besaran sudut lenturannya dapat diabaikan. 1.2.1. Jari-jari lenturan. Apabila bentuk lenturan yang terjadi pada suatu batang terbebani merupakan segmen lingkaran, maka besarnya jari-jari lenturan tersebut dapat dihitung. Bentuk segmen lingkaran hanya didapat dengan persyaratan bahwa beban yang bekerja pada batang adalah berupa 2

momen lentur yang besarnya tetap sepanjang batang, disamping lima persyaratan yang telah disebutkan dimuka. Dalam praktek beban momen yang besarnya konstan sepanjang batang jarang sekali terjadi. Untuk keperluan bahasan ini ditinjau hanya sebagian dari panjang batang yang menerima beban momen konstan, yaitu bagian CD pada gambar 1.1. Bentuk lenturan pada segmen batang CD adalah segmen lingkaran, karena seperti terlihat pada gambar 1.1 beban momen yang bekerja pada bagian ini konstan. Ditinjau segmen kecil dari bagian batang CD seperti ditunjukkan pada gambar 1.2. Terlihat bahwa bagian batang pada bagian dalam garis netral L menerima beban tekan, sedang bagian luarnya menerima beban tarik. Garis L sendiri tidak mengalami deformasi, sehingga disebut garis netral. Ditinjau elemen kecil luasan abcd dibawah garis netral, dan dengan konfigurasi sumbu koordinat x dan y pada seperti pada gambar 1.2. dan garis dd' sejajar sumbu y maka.

Gambar 1.1.

3

Gambar 1.2. dθ = dx/ρ

(1.1)

dd' = y dθ

(1.2)

dan sedang segitiga bdd' sebangun dengan segitiga oab maka, dd'/bd = ab/ρ karena bd = y dan ab = dx , dd'/y = dx/ρ , atau dd'/dx = y/ρ

(1.3)

perbandingan dd'/dx adalah strain yang terjadi = ε, sehingga, ε = y/ρ Keadaan batang yang melentur masih dalam kondisi elastis, sehingga berlaku persamaan linier tegangan-regangan (hukum Hooks): σ = ε.E, sehingga persamaan diatas menjadi, σ = E y/ρ

(1.4)

Momen yang terjadi terhadap garis netral L akibat tegangan yang bekerja pada luasan abcd adalah, gaya pada luasan abcd akibat adanya tegangan (s.dA) x jaraknya terhadap garis netral, sehingga, dM = y.σ dA atau dM = σ/y . y2 dA sedang y2.dA = dI ( I = momen inertia) sehingga, dM = σ/y dI, atau M = σ/y I

(1.5)

substitusi harga tegangan dari persamaan (1.4) kedalam persamaan diatas didapatkan persamaan besar jari-jari lenturan yang terjadi (ρ) karena beban momen M, M = EI/ρ atau, 1/ρ = M/EI

(1.6)

1.2.2. Lenturan karena momen tidak konstan Apabila besar beban momen yang bekerja suatu batang merupakan fungsi matematis dari panjang batang, maka jari-jari lenturan yang terjadi juga merupakan fungsi panjang 4

batang. Jari-jari lenturan disini adalah jari-jari dari segmen-segmen kecil panjang batang, yang lenturannya dapat dianggap berbentuk segmen lingkaran. Karena besar lenturan yang terjadi tergantung kepada jari-jari lenturannya, maka besar lenturan yang terjadi juga merupakan fungsi dari panjang batang. Rumus umum besarnya jari-jari pada titik sepanjang lengkungan suatu curva sebarang adalah, 1 / ρ = d2y/dx2 / [ 1 + (dy/dx)2]

(1.7)

Dalam persamaan ini y adalah besar lenturan yang terjadi (searah sumbu y), dan x adalah jarak sepanjang batang (searah sumbu x). Salah satu persyaratan dalam bahasan ini telah ditentukan bahwa kwadrad besaran sudut lenturan dapat diabaikan atau, (dy/dx)2 = 0, sehingga persamaan diatas menjadi, 1/ρ = d2y/dx2

(1.8)

Harga jari-jari diatas kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (1.6), sehingga didapatkan rumus/persamaan umum besar lenturan elastis karena beban momen sbb., EI.d2y/dx2 = M

(1.9)

Dapat diperhatikan dalam persamaan diatas bahwa arah lenturan (y) selalu searah dengan arah momen, karena besaran modulus elastisitas E dan momen inertia I selalu positip. Untuk memecahkan persamaan differensial diatas diperlukan persamaan momen terhadap sumbu x. Pemecahan dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan cara mengintegrasikan dua kali sehingga didapatkan besaran lenturannya (y). Parameter-parameter lenturan dapat ditunjukkan dalam bentuk turunan secara berurutan dimulai dengan besaran lenturan y sampai kepada gaya yang bekerja (F) sbb., Lenturan Sudut lenturan (θ) Momen (M) Beban geser (V) Beban gaya (F)

= = = = =

y dy/dx dq/dx = d2y/dx2 dM/dx, atau d3y/dx3 dV/dx, atau d4y/dx4

Berdasarkan persamaan umum turunan diatas, dapat ditunjukkan bahwa besarnya sudut lenturan didapat dengan mengintegrasikan persamaan umum lenturan akibat momen pada persamaan (1.9) sbb. y = dθ/dx = d2y/dx2 = M/EI atau, θ = M/EI. x

(1.10)

5

BAB II LENTURAN PADA BATANG STATIS TERTENTU 2.1. Metode Integrasi Analitis. Apabila besar momen yang bekerja pada suatu struktur batang dapat ditunjukkan dalam fungsi matematis terhadap panjang batang (sumbu x), maka persamaan umum lenturan (1.9) dapat diaplikasikan secara langsung untuk menghitung besar momen yang terjadi dengan cara mengintegrasikannya dua kali. Untuk mendapatkan persamaan momen yang terjadi diperlukan besar reaksi tumpuan akibat beban yang bekerja padanya. Pada struktur batang statis tertentu, reaksi tumpuan dapat dihitung dengan mengaplikasikan persyaratanpersyaratan keseimbangan statis, yaitu jumlah momen dan gaya sepanjang batang = 0. Konstanta yang timbul akibat integrasi, dapat dihitung dari kondisi batas (boundary conditions), yang ada pada struktur batang yang bersangkutan. Paling sedikit diperlukan 2 kondisi batas karena adanya 2 konstanta yang tidak diketahui dari 2 kali proses integrasi yang dilakukan. 6

Komplikasi yang timbul pada metode ini adalah apabila momen yang bekerja tidak dapat ditunjukkan dalam satu persamaan yang kontinyu, karena perubahan pembebanan yang mendadak. Untuk mengatasi hal ini biasanya batang dibagi dalam beberapa interval dengan satu persamaan momen untuk setiap interval. Walaupun terjadi perubahan momen pada batas diantara masing-masing interval, tetapi bentuk lengkungan lenturan masih tetap kontinyu karena sifat elastis batang masih dipertahankan. Keadaan ini dapat dipakai untuk menentukkan kondisi batas dari masing-masing interval, dimana harga lenturan dan sudut lenturan pada suatu titik batas berlaku untuk kedua interval yang berdekatan. Secara garis besar langkah-langkah yang ditempuh pada penyelesaian masalah lenturan dengan metode integrasi adalah sbb., 1. Hitunglah reaksi yang timbul pada tumpuan, dengan menggunakan rumus keseimbangan statis, yaitu keseimbangan gaya dan momen. 2. Tentukan letak sumbu koordinat pada batang, dengan sumbu x searah panjang batang. 3. Tentukan interval berlakunya satu persamaan momen terhadap sumbu x beserta koordinat batas dari masing-masing interval (apabila diperlukan beberapa interval). 4. Tentukan kondisi batas untuk masing-masing interval. Setiap interval memerlukan 2 kondisi untuk menghitung 2 konstanta integrasi yang timbul. 5. Tentukan persamaan momen untuk masing-masing interval, dan masukkan kedalam persamaan diferensial lenturan. 6. Selesaikan persamaan diferensial lenturan pada masing-masing interval, terhadap lenturannya. Kemudian hitung semua konstanta integrasi yang timbul berdasarkan kondisi batas masing-masing. Besar lenturan sepanjang batang dapat dihitung berdasarkan persamaan lenturan yang didapat.

Contoh soal. 1. Suatu batang struktur dengan tumpuan dan pembebanan berupa beban momen dan beban merata seperti ditunjukan pada gambar 2.1. Hitunglah posisi dan besarnya lenturan terbesar diantara kedua tumpuan.

7

Gambar 2.1. Penyelesaian. Gaya-gaya reaksi pada kedua tumpuan dihitung dengan persamaan keseimbangan statis sbb. ΣGaya = 0, maka : wL - RA - RB = 0 ΣMomen pada tumpuan B = 0, maka : - w.L2 / 12 + RA.L - w.L2/2 =0, sehingga RA = 7 w.L/12, dan RB = 5 w.L/12 Dalam diagram gambar 2.1 (b) ditujukkan sumbu koordinat ditentukan melalui tumpuan A, dan interval yang ditinjau adalah diantara tumpuan A dan B. Dua kondisi batas yang diperlukan adalah besarnya lenturan yang terjadi pada masing-masing tumpuan adalah nol, yaitu : y = 0 untuk x = 0, dan y = 0 untuk x = L Persamaan momen yang terjadi dalam interval diantara kedua tumpuan (antara x=0 dan x=L) dapat ditentukan dari gambar 2.1(b) yaitu, EI. d2y/dx2 = M = 7 w.L.x / 12 - w.L2 / 12 - w.x.(x/2) sehingga persamaan diferensial lenturan diantara kedua tumpuan adalah , EI. d2y/dx2 = 7 w.L.x / 12 - w.L2 / 12 - w.x.(x/2) Integrasi 2 kali dari persamaan diatas untuk mendapatkan persamaan lenturannya, EI. dy/dx = 7 w.L.x2/72 - w.L2.x/12 - w.x3/6 + C1 EI. y = 7 w.L.x3/72 - w.L2.x2/24 - w.x4/24 + C1.x + C2 Dengan memasukkan kondisi batas pertama yaitu pada : x = 0 lenturan y = 0, didapatkan : C2 = 0. Kondisi batas kedua yaitu, pada : x = L lenturan = 0 didapatkan : C 1 = - w.L3/72, sehingga didapatkan persamaan lenturannya sbb. EI. y = 7 w.L.x3/72 - w.L2.x2/24 - w.x4/24 - w.L3.x/72 Posisi lenturan maksimum adalah pada titik dimana sudut lenturan sama dengan nol (dy/dx = 0), sehingga, 8

0 = 7 w.L. x3/72 - w.L2.x2/24 - w.x4/24 + w. L3. x / 72 Dari persamaan pangkat 3 ini dapat dihitung harga x = 0,541 L, yaitu posisi dimana terjadi lenturan terbesar. (Cara menghitung yang sederhana dapat dilakukan dengan trial and error). Besar lenturan terbesar dihitung dengan memasukkan harga x diatas kedalam persamaan lenturannya. y = - 7,88 w.L4/(103. EI) Tanda minus menunjukkan arah lenturan kebawah.

9

2. Sebuah batang dijepit pada salah satu ujung, dan dikenai beban merata pada ujung yang lain seperti ditunjukkan dalam gambar 2.2. Hitunglah besar lenturan pada ujung kanan batang.

Gambar 2.2. Penyelesaian. Dengan persamaan keseimbangan statis dapat dihitung besarnya reaksi pada tumpuan jepit yaitu gaya geser dan momen (VA dan MA) sbb., ΣGaya = 0, maka : VA - w.L/3 = 0 ΣMomen pada tumpuan = 0, maka : - MA + w.L/3.(2L/3+L/6) = 0 Sehingga didapatkan : VA = w.L/3, dan MA = 5 w.L2/18. Sumbu koordinat dipilih pada titik tumpuan jepit. Batang dibagi dalam 2 interval karena terdapat perubahan momen yang terjadi diantara bagian batang yang terkena beban merata dan yang tidak. Bagian batang yang tidak terkena beban merata harus diperhitungkan karena kondisi ujung bagian kanan batang dipakai sebagai kondisi batas bagian yang tidak terkena beban. Batas dari kedua interval tersebut adalah, Interval 1 antara : 0 < x < 2L/3, Interval 2 antara : 2L/3 < x < L. Sedang kondisi batas masing-masing interval adalah. Interval 1 : Pada x = 0, maka y = 0 dan dy/dx = 0 Interval 2 : Pada x = 2L/3, y = y pada interval 1. pada x= 2L/3, dy/dx = dy/dx pada interval 1. Persamaan momen terhadap sumbu x untuk masing-masing interval dapat ditentukan dengan melihat batang yang dipotong seperti gambar 2.2 (c) dan (d). Sehingga didapatkan persamaan diferential lenturan yang terjadi pada interval 1 dan 2 berturut-turut sbb, 10

EI. d2y/dx2 = M(1) = w.L.x/3 - 5w.L2/18, dan EI. d2y/dx2 = M(1) = w.L.x/3 - 5w.L2/18 - w(x-2L/3)2/2 Integrasi pertama menghasilkan sudut lenturan pada interval 1, EI. dy/dx = w.L.x2/6 - 5w.Lx/18 + C1 dengan kondisi batas pada x = 0, dy/dx = 0; sehingga: C1 = 0. Sudut lenturan pada interval 2, EI. dy/dx = w.L.x2/6 - 5w.Lx/18 - w(x-2L/3)3/6 + C2 dengan kondisi batas pada x = 2L/3, maka dy/dx(interval 1) = dy/dx(interval 2), dan didapat : C2 = 0. Integrasi kedua menghasilkan besar lenturan pada interval 1, EI. y = w.L.x3/18 - 5w.L2/36 + C3, dengan kondisi batas pada x = 0, lenturan y = 0; sehingga C3 = 0. Besar lenturan pada interval 2, EI. y = w.L.x3/18 - 5w.L2/36 - w(x-2l/3)4/24 + C4 dengan kondisi batas pada x=2L/3, maka y(interval 1) = y(interval 2), sehingga didapat : C4 = 0. Besarnya lenturan pada ujung kanan batang didapat dengan memasukkan harga x = L, pada persamaan lenturan untuk interval 2 sehingga, EI. y = w.L4/18 - w.L4/36 - w(L-2L/3)4/24 atau, y = - 163w.L4/(1944.EI), arah lenturan kebawah. Soal-soal Latihan. 2.1. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.3, hitunglah besar lenturan pada ujung kiri batang. 2.2. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.4, hitunglah besar lenturan pada bagian tengah batang.

Gambar 2.3 Gambar 2.4 2.3. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.5, hitunglah besar lenturan pada ujung yang tidak ditumpu. (7.15) 11

2.4. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.6, hitunglah besar lenturan yang terbesar. (7.23)

Gambar 2.5

Gambar 2.6

2.2. Metode Luas Bidang Momen. Metode ini adalah metode semigrafis. Pemecahannya dilakukan dengan memanfaatkan sifat-sifat turunan dari persamaan lenturan, dan diagram bidang momen yang terjadi sepanjang batang karena beban yang bekerja. Pada batang dengan banyak beban, metode ini lebih 12

praktis dan lebih cepat proses perhitungannya dibandingkan dengan metode integrasi. Metode luas bidang momen dikembangkan berdasarkan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada 2 titik pada curve batang yang melentur, dan jarak vertikal sebuah titik pada batang terhadap garis singgung pada titik yang lain. Pada sebarang lengkungan batang elastis seperti gambar 2.7, untuk elemen batang dL maka besar elemen sudut dθ yang dibentuk adalah : dθ = dL/r

(2.1)

substitusi harga jari-jari lengkungan dari persamaan (1.6) kedalam persamaan diatas, dθ = M/EI. dL

(2.2)

Gambar 2.7. Untuk batang sesungguhnya, elemen panjang dL yang mempunyai jari-jari sama adalah pendek sekali dan dapat dianggap : dL = dx, sehingga, dθ = M/EI. dx

(2.3)

Aplikasi dari persamaan (2.3) ditunjukkan dalam gambar 2.8, untuk menghitung besarnya sudut yang dibentuk oleh 2 garis singgung pada titik A dan B pada lengkungan batang. Hal ini dapat dilakukan dengan mengintegrasikan persamaan (2.3) dari A ke B, karena seperti terlihat pada gambar 2.8 sudut dq adalah sama dengan sudut yang terbentuk oleh garis singgung pada kedua ujung elemen panjang dL. dθ = θB - θA = θAB =

M/EI.dx

atau,

1/EI. M.dx

(2.4)

Dari persamaan (2.4) dapat disimpulkan bahwa besarnya integral ruas kanan adalah luas bidang momen yang terjadi dibagi dengan besaran E.I. Kalau besaran E atau I tidak konstan sepanjang batang (misalnya poros bertingkat), maka diagram momen ditunjukkan dengan besaran (M/EI) pada interval dimana besarnya E dan I sama. Pada proses penjumlahannya, luas bidang momen dianggap positip apabila momen yang bekerja positip, dan sebaliknya.

13

Gambar 2.8. Jarak vertikal dari titik A terhadap garis singgung dari titik B ditunjukkan sebagai garis AB' pada gambar 2.8. Dari batasan semula bahwa besar lenturan yang terjadi dianggap kecil, maka elemen jarak dt dapat dianggap sebagai, dt = x. dθ = M/EI.x.dx Integrasi diantara titik A dan B menghasilkan jarak vertikal tA/B sbb, dt = tA/B = M/EI.x.dx (2.5) Jarak vertikal tA/B biasa pula disebut deviasi tangensial, dan besarnya berbeda dengan besar lenturan batang pada titik A. Kalau persamaan (2.5) diperhatikan, integral bagian kanan adalah merupakan momen terhadap titik A dari luasan bidang momen diantara A dan B. Luasan bidang momen dapat dianggap sebagai beban merata, sehingga posisi besaran luasan adalah pada titik berat dari bidang momen yang ditinjau. Kesederhanaan metode ini tergantung dari cara menghitung luas bidang momen dari bagian yang ditinjau. Penghitungannya dilakukan dengan cara semigrafis, yaitu dengan rumus goneometri, setelah dikenali bentuk geometri dari bidang momen yang ditinjau dan panjang sisi-sisinya. Bentuk bidang momen yang terjadi biasanya berupa bentuk-bentuk geometri sederhana seperti, persegi panjang, segitiga, atau segitiga parabolik. Cara integrasi dapat pula dilakukan untuk menghitung luas bidang momen, tetapi cara ini akhirnya akan sama saja dengan metode integrasi analitis, sehingga tidak menyederhanakan proses perhitungannya. Untuk menyederhanakan cara semigrafis, biasanya dilakukan dengan memisahkan bidang momen dari masing-masing gaya yang bekerja. Luas masing-masing bidang momen kemudian dijumlahkan dengan memperhatikan tanda positip atau negatip dari masing-masing luasan. Teori tentang sudut antara garis singgung dan deviasi tangensial diantara 2 titik diatas, dipakai sebagai dasar pada perhitungan lenturan dengan metode luas bidang momen. Teori deviasi tangensial yang lebih sering dipakai, karena langsung dapat menentukan besarnya lenturan. Teori sudut diantara garis singgung biasanya dipakai untuk menghitung sudut lenturan, misalnya untuk menentukan posisi lenturan terbesar. Hal yang penting pada metode ini adalah penentuan luas bidang momen, titik berat masing-masing bidang, dan penggambaran diagram yang menunjukkan bentuk lenturan yang terjadi akibat pembebanannya. Prosedur untuk menerapkan metode ini ditunjukkan dalam beberapa langkah sbb. 1. Gambarkan diagram bidang momen (M/EI apabila E dan I sepanjang batang tidak konstan) yang terjadi akibat masing-masing beban, dan gambarkan pula perkiraan bentuk lenturan yang akan terjadi. 14

2. Tentukan deviasi tangensial yang dapat dipakai secara langsung untuk menghitung besar lenturan yang dibutuhkan. Biasanya deviasi tangensial dihitung antara titik terjadinya lenturan yang ditanyakan dengan sebarang titik sebagai referensi (tumpuan, ujung batang dll.). 3. Sesudah luas bidang momen dan titik beratnya diketahui, maka jarak deviasi tangensial dapat dihitung dengan memakai teori deviasi tangensial. 4. Besar lenturan ditentukan berdasarkan hubungannya secara geometris dengan deviasi tangensial ini. Dalam perhitungan lenturan pada suatu struktur batang, seringkali perlu dihitung lenturan terbesar yang terjadi. Untuk struktur dengan pembebanan dan tumpuan yang simetris, posisi lenturan terbesar dapat ditentukan secara langsung dari bentuk diagram bidang momennya. Tetapi apabila posisi dimana terjadi lenturan terbesar tidak diketahui, maka persamaan sudut lenturan dan deviasi tangensial keduanya harus dipakai. Prosedur perhitungan lenturan terbesar, ditunjukkan pada gambar 2.9.

Gambar 2.9. Misalkan x adalah jarak dari A terhadap posisi lenturan terbesar, yaitu pada titik B. Dengan menghitung tC/A dapat dihitung besar sudut lenturan di A (θA). Sudut θA dapat juga dihitung dengan menghitung θAB karena garis singgung pada B adalah horizontal. Hasil perhitungan dengan cara kedua masih mengandung variabel x, sehingga dengan menyamakan θA dari hasil perhitungan pertama, maka x dapat dihitung. Contoh soal. 1. Hitunglah besar lenturan pada ujung bebas dari batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti gambar 2.10. Modulus elastisitas dan momen inertia konstan sepanjang batang. Penyelesaian. Pada soal ini reaksi tumpuan tidak perlu dihitung, karena bidang momen dapat digambarkan hanya dari beban gaya yang bekerja. Karena E dan I konstan maka yang digambarkan adalah diagram bidang momen seperti gambar 2.10 (b). Gambar 2.10(c) menunjukkan perkiraan bentuk curva lenturan elastis yang terjadi, dengan skala yang sangat dibesarkan. Interval yang dipilih untuk menghitung deviasi tangensial adalah jarak dari titik A terhadap garis singgung curva lenturan pada B. Karena B adalah tumpuan jepit, maka garis singgung pada B merupakan garis horisontal. Terlihat bahwa deviasi tangensial pada A 15

terhadap garis singgung pada B adalah sama dengan besar lenturan pada A yang akan dihitung.

Gambar 2.10. Bidang momen yang terjadi dibagi menjadi 3 bentuk geometri sederhana, yaitu persegi panjang, segitiga dan segitiga parabolis seperti ditunjukkan gambar 2.10(b) untuk memudahkan penghitungan luasnya. Luas dan posisi titik berat bentuk-bentuk tersebut dapat langsung dihitung, sesudah diketahui ukuran dari sisi-sisinya. Panjang sisi bidang momen di B adalah sama dengan momen terhadap B dari beban merata, yaitu : wL (L+L/2) = 3w.L2/2. Letak titik beratnya dan panjang sisi-sisi yang diperlukan untuk menghitung luas ke-3 bentuk geometri dapat dilihat pada gambar 2.10(b). Menurut definisi deviasi tangensial dari A terhadap B (t A/B), adalah jumlah momen terhadap A dari 3 luas bidang momen yang terbentuk apabila luasan-luasan bidang momen dianggap beban merata yaitu, EI. tA/B = - wL3/6 (5L/4) - wL3/2 (2L) - wL3/2(13L/6), atau tA/B = - 55wL4/(24EI) Besar lenturan yang terjadi pada A (yA) adalah sama dengan besar deviasi tangensial diatas (tA/B).

16

2. Hitunglah lenturan yang terjadi pada ujung kiri batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti gambar 2.11. E dan I batang dianggap konstan sepanjang batang.

Gambar 2.11. Penyelesaian. Untuk membuat diagram bidang momen besar reaksi yang terjadi pada tumpuan harus dihitung terlebih dahulu. ΣGaya = 0 maka: P - RA - RB = 0 ΣMomen terhadap B = 0 maka: - P.(4L) + RA.(3L) = 0 sehingga didapatkan di B dan C, RB = 4P/3 (keatas), RC = - P/3 (kebawah) Bidang momen yang terjadi dibagi menjadi dua buah segitiga, seperti terlihat pada gambar 2.11(b). Panjang sisi kedua segitiga pada B didapat dengan menghitung momen pada titik B yang besarnya = PL. Posis titik berat kedua segitiga dapat dilihat juga pada gambar 2.11(b). Perkiraan bentuk curva lenturan elastis batang ditunjukkan pada gambar 2.11(c). Dapat dilihat bahwa deviasi tangensial pada A terhadap C bukan merupakan besar lenturan pada A. Tetapi kalau diperhatikan lebih lanjut akan terlihat bahwa besar lenturan pada A (yA) adalah sama dengan deviasi tangensial pada A (t A/C) dikurangi dengan 4/3 kali deviasi tangensial pada B (tB/C). EI. tA/C = - PL2/2. (2L/3) - 3PL2/2. (2L) = 10 PL3/3 EI. tB/C = -3PL2/2. (L) = 3PL3/2 Sehingga besar lenturan pada A adalah, yA = tA/C - tB/C = 10/(3EI). PL3 - 4/3. (- 3/(2EI).PL3) = = - 4/3 PL3

17

3. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti gambar 2.12 hitunglah posisi dan besar lenturan terbesar yang terjadi. E dan I batang dianggap konstan sepanjang batang.

Gambar 2.12 Penyelesaian. Gaya-gaya reaksi yang terjadi pada tumpuan dihitung dengan mengaplikasikan persamaanpersamaan keseimbangan statis sbb. S Gaya = 0 maka, P - RA + wL - RC = 0 S Momen terhadap C = 0 maka RA.3L - P.2L - wL2/2 = 0 sehingga, RA = 2P/3 + wL/6 = WL/2 RB = wL Untuk mempermudah dalam menghitung luas bidang momen yang terjadi, bidang momen digambarkan untuk masing-masing gaya seperti terlihat gambar 2.12(b-d) termasuk posisi titik beratnya. Sedang bentuk lengkungan elastis batang ditunjukkan pada gambar 2.12(e). Besarnya deviasi tangensial tC/A adalah, EI. tC/A = 9wL3/4. L - wL3. 2L/3 - wL3/6. L/4 = = 37/24.wL4 Sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada qA adalah sama dengan harga tangen-nya, karena sudut lenturannya kecil sekali,

18

θA = tan θA = tC/A/3L = 37 wL3/72EI Misalkan posisi lenturan terbesar terjadi pada titik B, yaitu dengan jarak x dari A. Dengan demikian sudut θA dapat juga dihitung dengan menghitung sudut diantara garis singgung yang ditarik dari tituk A dan B(θAB) sehingga, EI. θA = EI. θAB = wL/2.x.x/2 - wL/2(x - L)2/2 = = wL(2L.x - L2) Dengan menyamakan harga θA dari dua perhitungan diatas didapatkan harga x, yaitu posisi lenturan terbesar yang dicari, wL/EI (2L.x-L2) = 37wL3/72EI sehingga; x = 55L/36 Besar lenturan terbesar (yB) adalah sama dengan deviasi tangensial dari titik A terhadap garis singgung pada B (tA/B), karena garis singgung pada B arahnya horisontal. tA/B =1/EI[(2x/3).(wLx/2).(x/2)-{L+2/3(x-L)}wl/2.(x-L)2/2] sesudah harga x disubstitusikan kedalam persamaan diatas maka didapatkan besar lenturan terbesar (yB), yB = wL4/2{1/3(55/36)3 - 1/2(19/36)2 - 1/3(19/36)3} = = 0.50 wL4/EI Arahnya lenturan kebawah walaupun tandanya positip, karena titik B masih berada diatas garis tangennya. Soal Soal Latihan. 2.5. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.13, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar lenturan pada titik pada gaya 3P bekerja. 2.6. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.14, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar lenturan pada ujung kanan batang.

Gambar 2.13. Gambar 2.14. 2.7. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.15, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar lenturan pada titik tengah batang. 19

2.8. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.16, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar lenturan pada titik tengah batang.

Gambar 2.15.

Gambar 2.16.

2.9. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.17, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar terbesar yang terjadi 2.10. Pada batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti pada gambar 2.18, hitunglah dengan metode luas bidang momen besar terbesar yang terjadi

Gambar 2.17

Gambar 2.18

2.3. Metode Superposisi. Metode ini dikembangkan berdasarkan teori bahwa lenturan yang terjadi pada suatu batang yang dikenai beberapa beban, adalah sama dengan jumlah dari lenturan yang terjadi akibat masing-masing beban. Dengan demikian apabila besar lenturan akibat masing-masing beban (pada struktur batang yang sama) telah diketahui, maka permasalahan dalam metode ini adalah tinggal mejumlahkan semua lenturan akibat masing-masing beban tersebut. Besar lenturan pada batang dengan pembebanan dan tumpuan yang sederhana yang telah dihitung sebelumnya biasanya ditabelkan Tabel 2.1 adalah contoh tabel besar lenturan yang terjadi pada beberapa struktur batang sederhana. Gambar 2.19 menunjukkan sebuah batang dengan tumpuan jepit dan dikenai beberapa beban. Telah diperlihatkan pada kedua metode yang telah dibahas sebelumnya, bahwa momen yang menyebabkan terjadinya lenturan adalah jumlah dari semua momen akibat masing-masing beban yang bekerja. Pada metode integrasi diperlihatkan bahwa sesudah dilakukan proses dua kali integrasi, besar lenturan yang terjadi adalah merupakan penjumlahan dari lenturan akibat masing-masing momen. Karena itu dapat ditarik kesimpulan bahwa lenturan akibat beberapa beban yang bekerja pada suatu batang struktur, adalah sama dengan jumlah dari lenturan akibat masing-masing beban yang bekerja padanya.

20

Gambar 2.19. Tabel 2.1. Besar lenturan untuk batang dengan tumpuan dan pembebanan sederhana. Case 1

2

3

4

5

Load and Suppot (Length L)

Slope at End ( +)

PL3 y max = − 3EI at x = L

PL2 θ =− 2 EI at x = L WL3 6 EI at x = L

at x = L

WL3 θ =− 24 EI at x = L ML θ =− EI at x = L

WL4 y max = − 30 EI at x = L ML y max = − 2 EI at x = L

θ =−

y max = −

(

Pb L2 −b 2 θ1 =− 6 LEI at x =0

(

Pb L −a 6 LEI at x =L

θ2 = 6

7

8

Maximum Deflextion ( + Upward )

PL2 16 EI at x = 0

θ2 = +

wL3 24 EI at x = 0

wL3 24 EI at x = L

θ1 = −

ML 6 EI at x = 0

2

)

PL2 16 EI at x = L

θ1 = −

θ1 = −

2

θ1 = +

ML 6 EI at x = L

θ2 = +

)

y max = − at x =

WL4 8EI

(

Pb L2 − b 2 2

y center = −

y max = − at x = L

2

)

− b2 / 3

(

Pb 3L2 − 4b 2 48EI

)

PL3 48 EI

2

y max = − at x = L

3

9 3LEI

(L

not max

)

wL4 584 EI

2

y max = − at x = L

ML2 9 3EI

3 ML2 y center = − 16 EI not max Dua kesulitan yang timbul dalam menerapkan metode superposisi untuk menghitung besar lenturan yang terjadi dalam suatu struktur adalah:

21

1. Mendapatkan kumpulan hasil perhitungan besar lenturan pada batang dengan tumpuan dan pembebanan yang berbeda dalam jumlah yang cukup banyak. Dalam buku-buku teks Mekanika Teknik atau Analisa Tegangan biasanya terdapat tabel kumpulan hasil perhitungan lenturan tersebut. Makin banyak kumpulan yang didapat, makin luas permasalahan lenturan yang dapat diselesaikan dengan metode superposisi. Tabel 2.1 memuat besar lenturan yang terjadi pada 8 jenis tumpuan dan pembebanan pada struktur batang sederhana. Jumlah tersebut tentu saja belum cukup untuk menyelesaikan permasalahan lenturan pada struktur yang cukup kompleks. 2. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan yang kompleks, diperlukan pembagian menjadi beberapa batang yang besar lenturan masing-masing dapat dilihat pada tabel yang tersedia. Kesulitannya biasanya adalah pada cara pembagiannya sehingga dapat dipakai untuk menghitung besar lenturan yang dipertanyakan. Contoh-contoh soal berikut akan menjelaskan secara langsung prosedur penyelesaian lenturan dengan metode superposisi. Contoh soal. 1. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.20, hitunglah lenturan terbesar yang terjadi. Modulus elastisitas batang E = 12.106 psi, dan momen inersia I = 81 inch4. Penyelesaian. Dari keadaan simetri pada tumpuan dan pembebanan, dapat ditentukan gaya reaksi masingmasing tumpuan yaitu : RA = RB = 4500 lb. Karena keadaan simetri pula, maka lenturan terbesar akan terjadi dibagian tengah batang. Batang kemudian dibagi menjadi dua dengan tumpuan dan pembebanan yang sama, yaitu masing-masing dengan tumpuan jepit (sebagai pengganti potongan ditengah batang) dengan kedua tumpuannya dihilangkan dan digantikan dengan reaksi tumpuan yang berfungsi sebagai beban gaya. Beban yang lain adalah setengah dari beban merata, karena terpotong ditengahnya seperti ditunjukkan pada gambar 2.20(b). Bagian batang sebelah kanan saja yang kemudian ditinjau, karena kedua potongan mempunyai struktur dan pembebanan yang sama. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 batang, masing-masing dengan satu beban seperti ditunjukkan dalam gambar 2.20(c) dan (d). Penyelesaian lenturan batang pada gambar 2.20(c) masih belum ada pada Tabel 2.1, sehingga harus dibagi lagi yaitu lenturan akibat beban merata (y1) dan tambahan lenturan akibat panjang batang tanpa beban (y2). Penyelesaian besar lenturan pada batang gambar 2.20(d) yaitu y3, terdapat pada Tabel 2.1. y1 = - wL4/8EI = - 0,0911 inch Untuk dapat menghitung y2 harus diketahui dahulu sudut lenturan diujung beban merata, θ1 = - wL3/6EI = - 0,00225 rad., sehingga y2 = 36. (-0,00225) = - 0,081 inch Lenturan batang gambar 2.20(c) = (-0,0911 - 0,081) inch = - 0,172 inch (arah kebawah)

22

Gambar 2.20 Besarnya lenturan y3, y3 = - PL3/3EI = 1,125 inch (keatas) Total lenturan yang terjadi pada ujung batang adalah jumlah dari ketiga lenturan diatas = 0,953 inch (keatas). Lenturan ini adalah sama dengan lenturan terbesar yang terjadi ditengah batang, dengan arah lenturan kebawah karena ujung kanan batang pada kenyataannya adalah tumpuan, yang tentu saja tidak berubah letaknya. 2. Hitunglah lenturan pada bagian tengah batang yang mempunyai tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.21.

Gambar 2.21. Penyelesaian. Batang dengan 2 jenis beban tersebut dibagi menjadi 2 bagian, masing-masing dengan salah satu dari kedua beban tersebut dengan struktur batang tetap seperti terlihat pada gambar 2.21(b). Penyelesaian lenturan yang terjadi pada titik tengah dari kedua batang bagian tersebut ada pada Tabel 2.1. Lenturan pada titik tengah batang bagian (1), y1 = - 5w.L4/384EI = - 0,1638 inch Lenturan pada titik tengah batang bagian (2),

23

y2 = - P.b(L2 - 4b2)/48EI = - 0,499 inch. Lenturan yang terjadi pada titik tengah batang akibat kedua beban tersebut adalah jumlah dari kedua lenturan akibat masing-masing beban, y = y1 + y2 = - 0,214 inch (kebawah) Soal-soal latihan. 2.11. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.22, hitunglah besar lenturan pada ujung kiri batang. Besar elemen beban merata w = 1000 lb/ft, L = 3 ft, E = 160.106 psi, dan I = 500 inch4. 2.12. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.23, hitunglah besar lenturan pada bagian tengah batang. dengan w = 2000 N/m, L = 4 m, E = 200.10 6 kPa, dan I = 3500 mm4.

Gambar 2.22.

Gambar 2.23.

2.13. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.24, hitunglah besar lenturan pada ujung kiri batang. Harga w = 1200 lb/ft, L = 2 ft, E = 420.10 6 psi, dan I = 250 inch4. 2.14. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.25, hitunglah besar lenturan pada ujung kanan batang.

Gambar 2.24.

Gambar 2.25.

2.4. Metode Castigliano. Metode ini merupakan metode yang paling banyak dipakai untuk pemecahan masalah lenturan yang terjadi pada suatu struktur atau batang. Metode ini dikembangkan oleh seorang insinyur Italia bernama Alberto Castigliano pada tahun 1873. Teori dasar metode ini dikembangkan berdasarkan perhitungan besar energi yang tersimpan didalam suatu batang akibat beban yang bekerja padanya. Prinsip kekekalan energi dapat dipakai sebagai dasar pembahasan metode ini, yaitu energi input harus selalu sama dengan output ditambah energi yang hilang dan lain-lain. Pada

24

suatu batang yang terbebani energi inputnya adalah kerja yang dilakukan oleh beban, sedang outputnya adalah energi yang tersimpan didalam batang karena batang tidak melakukan kerja.

Gambar 2.26. Misalkan batang seperti pada gambar 2.26, dibebani secara bersamaan oleh gaya P1 dan P2 secara perlahan-lahan mulai dari nol sampai mencapai harga terbesar masing-masing beban. Pada akhir pembebanan, lenturan yang terjadi pada titik bekerjanya gaya P1 dan P2 berturutturut adalah y1 dan y2. Bentuk energi yang tersimpan didalam batang karena kedua beban adalah energi strain yang besarnya dapat dihitung dari energi inputnya, yaitu jumlah usaha yang dilakukan oleh masing-masing gaya tsb. U = 1/2.P1.y1 + 1/2.P2.y2

(2.6)

Gaya yang bekerja dianggap setengahnya, karena pembebanan selalu dimulai awal (P1=0, dan P2=0) kemudian secara perlahan bertambah sampai mencapai beban penuh, sehingga besar gaya yang bekerja selama proses deformasi dapat didekati dengan harga rata-ratanya. Setelah tercapai beban penuh kemudian gaya P1 ditambah dengan elemen beban kecil ∆P1, sehingga mengakibatkan pertambahan besar lenturan pada posisi kedua gaya tersebut masing-masing ∆y1 dan ∆y2. Pertambahan energi strain karena pertambahan gaya adalah, ∆U = 1/2 ∆P1.∆y1 + P1.∆y1 + P2.∆y2

(2.7)

Apabila kemudian dilakukan percobaan yang sama tetapi urutan pembebanan dirubah, yaitu gaya ∆P1 dikenakan terlebih dahulu kemudian baru disusul dengan gaya P1 dan P2, maka jumlah energi yang tersimpan didalam batang menjadi, U + ∆U =1/2.∆P1.∆y1 + ∆P1.y1 + 1/2.P1.y1 + 1/2.P2.y2

(2.8)

Walaupun urutan pembebanan berbeda, tetapi energi yang tersimpan pada batang (U + ∆U) akibat kedua urutan pembebanan tersebut seharusnya sama, berdasarkan prinsip kekekalan energi. Dengan mengkombinasikan persamaan (2.6) - (2.8) didapatkan , ∆P1.y1 = P1.∆y1 + P2.∆y2

(2.9)

Kombinasi antara persamaan (2.7) dan (2.9) menghasilkan, ∆U1/∆P1 = y1 + 1/2 ∆y1

(2.10)

Apabila besar beban ∆P1 mendekati limit nol, maka besar lenturan ∆y1 yang terjadi juga mendekati limit nol sehingga, 25

∆U/∆P1 = y1

(2.11)

Rumus diatas adalah teori dasar dari metode Castigliano, yang secara umum dapat dijabarkan dalam bentuk teori yaitu: "Apabila energi strain yang tersimpan didalam batang dapat dinyatakan dalam fungsi gaya-gaya yang bekerja padanya, turunan partial fungsi tsb. terhadap salah satu gaya adalah sama dengan lenturan yang terjadi pada titik bekerjanya gaya tersebut." Dalam pengembangannya, teori Castigliano juga berlaku untuk turunan partial energi yang tersimpan terhadap momen yang bekerja, yanga akan menghasilkan besar sudut lenturan sbb. ∆U/∆M1 = θi

(2.12)

Apabila pada posisi besar lenturan yang akan dihitung tidak terdapat gaya yang bekerja, maka gaya nol dapat dikenakan pada posisi tersebut. Sesudah didapatkan persamaan energi terhadap gaya nol, maka lenturan yang terjadi dihitung berdasarkan turunan terhadap gaya kosong tersebut. Kemudian limit nol dikenakan pada semua besaran yang mengandung gaya tersebut, sehingga akhirnya didapat besar lenturan yang terjadi. Prosedur ini berlaku pula pada perhitungan sudut lenturan pada persamaan (2.12). Energi yang tersimpan didalam batang adalah berupa tegangan antar molekul didalam batang, sebagai reaksi terhadap adanya gaya luar yang bekerja. Akibat fisik dari adanya tegangan didalam bahan berupa deformasi yang terjadi pada batang yang terkena beban. Apabila suatu batang menerima beban aksial P, yang mengakibatkan pertambahan panjang d maka usaha yang dilakukan oleh gaya P adalah: U=

P dδ

(2.13)

Besar tegangan yang terjadi akibat gaya P didefinisikan sebagai : σ = P/A, atau, P = σ.A, sedangkan strain (ε) menurut definisinya adalah : ε = δ/L; sehingga persamaan (2.13) menjadi, U=

σ.A.L. dε = AL

σ.dε

(2.14)

Karena batang melentur dalam kondisi elastis maka Hukum Hooke berlaku, sehingga ε = σ/E, atau dε = dσ /E; sehingga persamaan (2.14) menjadi, U = AL/E

σ dσ, atau,

U = AL σ2/2E, atau U/AL = σ2/2E dimana,

(2.15)

A = luas penampang batang L = panjang batang E = modulus elastisitas batang U = energi strain yang tersimpan σ = tegangan yang terjadi.

26

Persamaan (2.15) menunjukkan hubungan antara besarnya energi strain yang tersimpan setiap unit volume batang dengan tegangan yang ditimbulkan. Dengan demikian besarnya total energi strain akibat tegangan didalam volume batang adalah: U = vol σ2/2E.dV

(2.16)

Apabila beban yang bekerja adalah momen (M), maka tegangan yang terjadi pada batang adalah (M.y/EI) sehingga energi strain akibat beban momen tersebut menjadi, U = 1/2E vol(M.y/I)2.dV

(2.17)

Elemen volume : dV = dA.dx, sehingga persamaan energi diatas menjadi, U = 1/2E. [M2/I2. area(y2.dA)].dx Besaran

2 area(y .dA) adalah momen inertia I sehingga,

U = 1/2E M2/I.dx

(2.18)

Persamaan (2.18) menunjukkan besarnya energi strain yang terjadi akibat adanya beban momen saja. Telah dinyatakan dalam permulaan bahasan bahwa untuk pemakaian pada batang struktur, besar lenturan yang terjadi akibat beban gaya dan gaya geser kecil sekali dibandingkan dengan besar lenturan akibat beban momen. Dengan demikian berdasarkan teori Castigliano pada persamaan (2.11), maka besar lenturan (yi) yang terjadi pada suatu titik dimana bekerja gaya Pi adalah, yi = δU/ δPi = 1/EI M. δM/δPi. dx

(2.19)

Contoh Soal. 1.

Hitunglah besar lenturan yang terjadi pada ujung bebas suatu batang yang dijepit diujung yang lain. Beban yang bekerja adalah gaya P pada ujung bebas dan beban merata berbentuk segitiga yang titik nolnya pada gaya P, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.27. Panjang batang L dengan E dan I konstan sepanjang batang.

Gambar 2.27. Penyelesaian.

27

Sumbu koordinat diambil pada ujung bebas (gambar 2.27), sehingga momen yang bekerja pada jarak x adalah, M = - Px - wx3/6L Dengan memakai rumus (2.19) maka besar lenturan pada P dapat dihitung. Turunan partial fungsi momen terhadap gaya P adalah δM/δP= -x, sehingga: EI.y = (Px2 - wX4/6L) dx = Pl3/3 + wL4/30 Sehingga lenturan yang terjadi pada P adalah, y = Pl3/3EI + wL4/30EI 2. Suatu batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.28, dengan panjang L dan I konstan sepanjang batang. Hitunglah besar lenturan yang terjadi ditengah batang.

Gambar 2.28 Penyelesaian. Karena ditengah batang tidak ada gaya yang bekerja, maka dikenakan gaya nol P pada titik tersebut. Gaya reaksi pada kedua tumpuan dengan memperhitungkan gaya nol P adalah, R = wL/2 + P/2 Momen yang terjadi dengan mengambil ujung kiri sebagai sumbu koordinat, M = wLx/2 - wx2/2 + Px/2 - P [x - L/2] Momen akibat gaya nol (P [x - L/2]) hanya berlaku untuk interval L/2 < x
0), maka besar lenturan yang terjadi pada

(wLx/2 - wx2/2) (x/2 - [x - L/2]) dx, sehingga

EI.y = w/4 (L.x2- x2)dx + w/4 (L2x - 3Lx2 + 2x3)dx = = 5w.L4 / 384 Sehingga lenturan pada titik tengah batang adalah y = 5w.L4/384EI (kebawah)

28

Soal-soal latihan. 2.15. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.29, hitunglah besar lenturan yang terjadi pada tempat gaya P bekerja. 2.16. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.30, hitunglah besar lenturan yang terjadi pada tempat gaya P bekerja.

Gambar 2.29

Gambar 2.30

2.17. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.31, hitunglah besar lenturan yang terjadi pada ujung kiri batang. 2.18. Pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 2.32, hitunglah besar lenturan yang terjadi pada ujung kiri batang.

Gambar 2.31

Gambar 2.32.

BAB III. LENTURAN PADA BATANG STATIS TAK TENTU. Yang dimaksud dengan struktur batang statis tak tentu adalah suatu struktur dengan jumlah gaya reaksi pada tumpuan lebih dari jumlah persamaan keseimbangan yang ada pada struktur seimbang statis. Dengan demikian apabila besarnya semua reaksi tumpuan tersebut tidak diketahui, maka secara matematis besarnya gaya reaksi yang terjadi pada tumpuan tidak dapat dihitung. Adanya kelebihan jumlah reaksi tumpuan pada struktur statis tak tentu, karena jumlah tumpuan yang dipasang melebihi yang persyaratan minimal jumlah tumpuan pada struktur dengan keseimbangan statis (statis tertentu). Suatu struktur batang statis tak tentu biasanya dibuat bertujuan bukan untuk memeperbaiki stabilitas struktur, karena persyaratan stabilitas telah dipenuhi dengan adanya keseimbangan statis. Tujuan penambahan 29

tumpuan biasanya diperlukan untuk tujuan lain, misalnya untuk mengurangi besar lenturan terbesar yang terjadi karena batang terlalu panjang, mengurangi besar gaya reaksi pada satu tumpuan, dan lain-lain. Untuk dapat menyelesaikan permasalahan lenturan pada struktur batang statis tak tentu, besarnya reaksi tumpuan harus dihitung terlebih dahulu. Penyelesaian lenturan pada struktur batang statis tak tentu pada prinsipnya adalah sama dengan pada struktur statis tertentu. Perbedaannya, pada struktur statis tak tentu diperlukan tambahan persamaan terhadap 2 persamaan keseimbangan statis yang telah ada, sehingga besarnya reaksi tumpuan dapat dihitung. Tambahan persamaan yang diperlukan dapat diperoleh dari adanya kelebihan tumpuan itu sendiri, karena setiap tambahan tumpuan akan memberikan tambahan informasi tentang besarnya lenturan dan/atau sudut lenturan yang terjadi padanya. Dengan memanfaatkan teori dasar lenturan yang sudah dibahas pada Bab I, dari setiap tambahan informasi tersebut akan didapatkan tambahan persamaan yang mengandung parameter reaksi tumpuan, sehingga jumlah persamaan yang didapat (termasuk persamaan keseimbangan statis) akan mencukupi untuk menghitung besarnya semua reaksi tumpuan. Semua metode yang dipakai untuk menyelesaikan masalah lenturan pada batang statis tertentu, dapat digunakan pada batang statis tak tentu. Tambahan persamaan terhadap persamaan keseimbangan statis, didapatkan dengan memasukkan informasi tambahan dari adanya kelebihan tumpuan kedalam persamaan dan/atau sudut lenturan yang ada pada masingmasing metode penyelesaian yang dipakai. 3.1. Metode Integrasi Analitis. Prinsip penyelesaian lenturan dengan metode integrasi analitis pada struktur batang statis tak tentu pada prinsipnya sama dengan pada struktur statis tertentu. Pada struktur statis tertentu, informasi tentang besar lenturan dan/atau sudut lenturan yang sudah diketahui, dipakai untuk menentukan kondisi batas integrasi yang diperlukan untuk menghitung konstanta integrasinya. Hal yang sama juga dilakukan pada struktur statis tak tentu. Perbedaannya adalah pada struktur statis tak tentu, persamaan momen yang didapat dari penyelesaian seperti diatas masih akan mengandung parameter reaksi tumpuan yang tidak dapat dihitung dengan persamaan keseimbangan statis. Dengan demikian diperlukan tambahan kondisi batas, sehingga semua reaksi tumpuan dapat dihitung besarnya. Jumlah tambahan kondisi batas yang diperlukan harus sama dengan jumlah kelebihan reaksi tumpuan yang tidak dapat dihitung. Apabila suatu batang statis tak tentu mempunyai 4 jenis reaksi tumpuan, maka diperlukan 2 tambahan kondisi batas karena keadaan keseimbangan statis hanya menyediakan 2 persamaan dari keseimbangan gaya dan momen. Sesudah besarnya semua reaksi tumpuan dapat dihitung, maka prosedur selanjutnya untuk menghitung besar lenturan adalah sama dengan pada batang statis tertentu. Contoh soal berikut ini akan menunjukkan prosedur penyelesaian lenturan pada struktur batang statis tak tentu dengan metode integrasi. Contoh soal 1. Pada struktur batang dengan pembebanan dan tumpuan seperti gambar 3.1, hitunglah besarnya reaksi pada tumpuan jepit dan tumpuan rol, dan besar lenturan pada titik tengah diantara kedua tumpuan. Penyelesaian. 30

Dari pertimbangan stabilitas struktur, sebenarnya tidak diperlukan adanya tumpuan rol pada struktur batang gambar 3.1. Tumpuan rol mungkin diperlukan untuk mengurangi besar lenturan yang terjadi pada ujung batang. Terlihat bahwa jumlah reaksi tumpuan yang tidak diketahui adalah 3, yaitu 2 reaksi pada tumpuan jepit dan satu pada tumpuan rol. Karena itu dibutuhkan tambahan 1 persamaan, karena kondisi keseimbangan statis hanya menyediakan 2 persamaan yaitu persamaan keseimbangan gaya dan momen. Tambahan persamaan ini didapat dari adanya 3 kondisi batas integrasi, karena yang dibutuhkan hanya 2 kondisi batas (untuk menghitung besarnya 2 konstanta integrasi). Ketiga kondisi batas tersebut tersedia pada interval diantara kedua tumpuan, yaitu besar lenturan dan sudut lenturan sama dengan nol pada tumpuan jepit, dan besar lenturan sama dengan nol pada tumpuan rol.

Gambar 3.1. Sumbu koordinat ditentukan pada tumpuan jepit seperti ditunjukkan pada gambar 3.1(b), sehingga kondisi batas integrasinya adalah: Pada x= 0, y = 0 dan q = 0 Pada x = L, y = 0. Dari gambar 3.1(c) dapat ditentukan persamaan momen dan lenturan dengan mengikutkan semua reaksi tumpuannya, EI. d2y/dx2 = M = Vx + M - wx2/2 Integrasi persamaan ini memberikan, EI. dy/dx = 1/2 Vx2 + Mx - wx3/6 + C1 Pada x = 0, dy/dx = 0; sehingga C1 = 0. Integrasi kedua memberikan besar lenturan sbb, EI. y = V.x3/6 + Mx2/2 - wx4/24 + C2

31

Pada x = 0, y = 0; sehingga C2 = 0. Kondisi batas yang ketiga memberikan persamaan sbb., 0 = V.L3/6 + ML2/2 - wL4/24 , sehingga, 4 V.L + 12M = wL2 Dua persamaan berikutnya didapat dari kondisi keseimbangan statis, S Momen terhadap tumpuan rol = 0; maka, VL + M = w (5L/4)(L - 5L/8) = 15 wL2/32 S Gaya = 0; maka, V + R = 5wL/4 Penyelesaian tiga persamaan diatas menghasilkan besar reaksi tumpuan yang terjadi pada kedua tumpuan sbb., M = 7 wL2/64 kN.m; V = 37wL/64 kN; dan R = 43 wL/64 Dengan memasukkan besarnya V dan M kedalam persamaan lenturan dan sudut lenturan diatas, didapatkan persamaan lenturan dan sudut lenturan yang terjadi sepanjang batang. Persamaan lenturannya adalah sbb., EI. y = 37 wL.x3/384 + 7wL2x2/128 - wx4/24 Besarnya lenturan yang terjadi ditengah batang diantara kedua tumpuan didapat dengan memasukkan x = L/2, EI.y = 37 wL4/3072 + 7wL4/512 + wL4/24, sehingga, y = 207.EI.wL4/3072 = EI.wL4/14.8

Soal soal latihan. 3.1.

Beban kopel (Q) dikenakan pada batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.2, sehingga lenturan pada ujung kiri batang = 0. Hitunglah besarnya kopel tersebut.

3.2. Beban gaya (P) dikenakan pada batang dengan tumpuan seperti gambar 3.3, sehingga lenturan terbesar terjadi pada titik A. Hitunglah besarnya gaya P dan lenturan terbesar.

Gambar 3.2.

Gambar 3.3.

32

3.3. Pada struktur batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.4, hitunglah besar reaksi pada tumpuan sebelah kiri dan besarnya besar lenturan terbesar yang terjadi. 3.4.

Pada struktur batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.5, sudut lenturan yang terjadi pada ujung kanan adalah wL3/(36EI) dengan arah keatas. Hitunglah besar reaksi pada tumpuan sebelah kiri dan besarnya besar lenturan terbesar yang terjadi.

Gambar 3.4

Gambar 3.5.

3.2. Metode Luas Bidang Momen. Pada batang statis tertentu, titik-titik dengan lenturan dan sudut lenturan yang diketahui dijadikan referensi untuk diaplikasikan pada teori sudut garis singgung dan deviasi tangensial yang dipakai dalam metode luas bidang momen. Pada batang statis tak tentu, setiap tambahan tumpuan akan memberikan tambahan informasi berupa besar lenturan atau sudut lenturan yang terjadi padanya. Dengan tambahan informasi tersebut, dimungkinkan adanya tambahan persamaan luas bidang momen untuk menambah 2 persamaan yang didapat dari kondisi keseimbangan statis. Prosedur penyelesaian untuk menghitung besar lenturan pada struktur batang statis tak tentu, ditunjukkan pada contoh soal berikut ini.

Contoh Soal. 1. Pada struktur batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.6, hitunglah besar reaksi yang terjadi pada tumpuan. Penyelesaian. Pada gambar 3.6 diperlihatkan terdapat 4 reaksi tumpuan yang tidak diketahui dari adanya 2 tumpuan jepit, sehingga diperlukan 2 persamaan tambahan disamping 2 persamaan yang didapat dari kondisi keseimbangan statis. Gambar 3.6(c) menunjukkan bahwa sudut lenturan pada kedua tumpuan besarnya nol, karena keduanya tegangan jepit.

33

Gambar 3.6. Dengan demikian dua persamaan tambahan yang didapat adalah deviasi tangensial dan sudut diantara 2 garis singgung dari A ke B (dan sebaliknya) sama dengan nol, yaitu : θAB = 0, dan tB/A = 0. EI. θAB = 0, atau, 9/2 VAL2 + 3MAL - 4/3wL3 =0 sehingga didapat persamaan, 27 VA.L + 18 MA = 8w.L2 dan EI.t B/A= 0, atau 9/2VA.L2(L) + 3MA.L(3L/2)-4wL3/3(L/2)=0 sehingga didapat persamaan, 27 VA.L + 27MA = 4w.L2 Dua persamaan diatas mempunyai dua besaran tak diketahui (VA dan MA), sehingga keduanya dapat dihitung sbb., MA = - 4W.L2/9 N.m, dan VA = 16 wL/27 N Dua reaksi tumpuan lainnya dihitung dengan kondisi keseimbangan statis sbb., MB = - 2wL2/3 N.m, dan VB = 38 wL/27 N Sesudah semua reaksi tumpuan diketahui, maka prosedur perhitungan lenturan maupun sudut lenturan sama dengan pada batang statis tertentu. Soal soal latihan. 3.5. Pada struktur batang statis tak tentu dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.7, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan rol dan besar lenturan yang terjadi pada ujung kiri batang. 3.6. Pada struktur batang statis tak tentu dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.8, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan rol dan besar lenturan yang terjadi pada ujung kanan batang.

34

Gambar 3.7.

Gambar 3.8.

3.7. Pada struktur batang statis tak tentu dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.9, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan rol dan besar lenturan maksimum yang terjadi. 3.8. Pada struktur batang statis tak tentu dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.10, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan rol dan besar lenturan yang terjadi pada ujung kiri batang.

Gambar 3.9 3.3. Metode Superposisi.

Gambar 3.10.

Konsep tentang besarnya lenturan dan sudut lenturan pada suatu struktur batang statis tertentu dengan beberapa beban merupakan jumlah dari lenturan dan sudut lenturan akibat masing-masing beban, juga berlaku pada struktur batang statis tak tentu. Perbedaannya, pada statis tak tentu konsep ini juga dipakai untuk mendapatkan persamaan tambahan terhadap persamaan keseimbangan statis, untuk dapat menghitung besar reaksi tumpuannya. Persamaan tambahan didapat dengan mengganti salah satu atau lebih tumpuan dengan reaksi tumpuannya, sehingga didapat kondisi statis tertentu. Prosedur selanjutnya adalah sama dengan pada struktur statis tertentu, yaitu membagi pembebanan menjadi bagian-bagian sederhana yang besar lenturannya dapat dicari pada tabel lenturan. Besar lenturan total kemudian didapat dengan menjumlahkan besar lenturan akibat masing-masing beban diatas. Besar lenturan yang terjadi pada tumpuan yang diganti dengan beban, dipakai untuk menghitung reaksi tumpuannya. Prosedur untuk menghitung besar lenturan pada struktur batang statis tak tentu, ditunjukkan pada contoh soal sbb., Contoh soal. 1. Suatu batang baja dengan panjang 20 ft, mempunyai 2 tumpuan dikedua ujung dan 1 tumpuan ditengah, seperti ditunjukkan dalam gambar 3.11. Beban merata dengan w = 400 lb/ft bekerja sepanjang batang. Tumpuan yang ditengah dipasang 0.12 in lebih tinggi dari kedua tumpuan lainnya. Hitunglah gaya reaksi tumpuan, apabila momen inertia batang tetap =100 in4. 35

Penyelesaian. Gaya reaksi tumpuan yang tidak diketahui ada 3, yaitu yang terjadi pada masing-masing tumpuan. Tumpuan tengah kemudian dihilangkan dan digantikan dengan gaya reaksi padanya (yang belum diketahui), seperti terlihat pada gambar 3.11.

Gambar 3.11. Struktur batang sekarang menjadi struktur statis tertentu dengan 2 beban dan 2 tumpuan. Lenturan yang terjadi pada bagian tengah batang adalah jumlah dari lenturan akibat beban merata (yw) dan lenturan keatas akibat gaya pengganti tumpuan (yR). Jumlah kedua lenturan ini adalah sama dengan posisi ketinggian tumpuan tengah sebelum digantikan dengan gaya reaksinya, yw + yR = 0,12 in Besarnya yw dan yR dapat dilihat pada Tabel 2.1, yw=5wL4/384EI=5.(400.20)(20.120)4/{384.(30.106.100)}= = 0,48 in (kebawah) yR = Rc.L3/(48EI) = Rc.(20.12)3/{48.(30.106.100)} = = 96 Rc/106 in Dengan demikian, 0,48 + 96 Rc/106 = 0,12, sehingga Rc = 6250 lb Karena keadaan tumpuan simetris maka reaksi tumpuan diujung batang keduanya sama, sehingga dapat dihitung dengan keseimbangan gaya, RL = RR = {(400.20) - 6250} / 2 lb = 875 lb. 2. Pada struktur batang statis tak tentu dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.12, hitunglah reaksi yang terjadi pada semua tumpuan dan besar lenturan pada ujung kiri batang. Penyelesaian. Jumlah reaksi tumpuan adalah 4, sehingga dua tambahan persamaan diperlukan. Untuk itu tumpuan sebelah kanan dihilangkan dan diganti dengan reaksi tumpuan padanya, yaitu VR dan MR seperti terlihat pada gambar 3.12.

36

Gambar 3.12. Dengan demikian batang menjadi statis tertentu dengan 3 beban, termasuk beban pengganti tumpuan. Batang kemudian digantikan dengan 3 batang, masing-masing dengan satu beban seperti ditunjukkan pada gambar 3.12. Lenturan akibat masing-masing gaya dapat ditentukan dari data Tabel 2.1, sehingga total lenturan dapat dihitung dengan menjumlahkan lenturan akibat masing-masing beban. Kondisi semula dari ujung kanan batang adalah besarnya lenturan dan sudut lenturan sama dengan nol, sehingga didapat tambahan 2 persamaan yang diperlukan. Besarnya lenturan dan sudut lenturan pada titik bekerjanya gaya P didapat dari Tabel 2.1., yP1 = - Pa3/(3EI); dan qP = - P.a2/2EI, Besar lenturan akibat gaya P diujung kanan batang terdiri dari lenturan pada P dan tambahan lenturan akibat sudut lenturan pada P sehingga, yP = yP1 + y2 = - P.a3/(3EI) + (L - a) qP = = - P.a3/(3EI) + (L - a)(- P.a2/2EI) = = P.a3/5EI - P.a2.L/2EI Lenturan dan sudut lenturan pada ujung kanan akibat gaya geser VR adalah, θV = - VR.L2/2EI, dan yV = -MR.L3/3EI Lenturan dan sudut lenturan pada ujung kanan akibat momen MR adalah, θM = MR.L/EI, dan yR = MR.L2/2EI Berdasarkan kondisi semula bahwa sudut lenturan dan lenturan diujung kanan batang adalah sama dengan nol, θP + θV + θM = 0 atau, 37

- P.a2/2EI - VR.L2/2EI + MR.L/EI = 0 yP + yR + yM = 0 atau, P.a3/6EI-P.a2.L/2EI-VR.L3/EI+ MR.L2/2EI = 0 Penyelesaian 2 persamaan ini menghasilkan VR dan MR sbb., MR = - P.a2 (L - a)/L2, dan VR = - P.a2(3L - 2a) Dua reaksi tumpuan lainnya dihitung dengan 2 persamaan dari keadaan keseimbangan statis, sehingga didapatkan ML dan VL sbb, ML = - Pa (L - a)2/L2,

dan VL = P(L3 - 3a2L + 2a3)/L3

Soal soal latihan. 3.9. Sebuah struktur batang ditumpu dan dibebani seperti gambar 3.13. Hitunglah besar reaksi tumpuan pada bagian tengah batang. 3.10. Sebuah struktur batang ditumpu dan dibebani seperti gambar 3.14. Hitunglah besar reaksi tumpuan pada bagian kiri batang.

Gambar 3.13.

Gambar 3.14.

3.11. Sebuah struktur batang ditumpu dan dibebani seperti gambar 3.15. Hitunglah besar reaksi tumpuan pada ujung kanan batang. 3.12. Sebuah struktur batang ditumpu dan dibebani seperti gambar 3.16. Hitunglah besar reaksi tumpuan pada bagian tengah batang.

Gambar 3.15.

Gambar 3.16.

3.4. Metode Castigliano.

38

Metode Castigliano merupakan metode yang paling efisien untuk penyelesaian masalah lenturan pada batang statis tak tentu, dibanding ketiga metode lainnya. Kekurangan persamaan untuk menghitung besarnya semua reaksi tumpuan didapat dengan mengaplikasikan teori Castigliano pada titik sepanjang batang struktur, dimana lenturan atau sudut lenturannya diketahui. Apabila pada titik tersebut tidak ada gaya yang bekerja, maka gaya nol dapat dikenakan seperti pada prosedur penyelesaian untuk struktur statis tertentu. Beberapa petunjuk berikut dapat membantu dalam mengaplikasikan metode ini. 1. Untuk setiap struktur batang dengan tumpuan dan pembebanan tertentu, teori Castigliano dapat menghasilkan persamaan energi yang sama banyaknya dengan reaksi tumpuan yang tidak diketahui. 2. Apabila hanya didapat 1 persamaan energi, sedangkan pada persamaan momen yang terjadi terdapat 2 besaran tidak diketahui maka salah satu besaran harus dinyatakan dalam besaran yang lain. Hal ini dapat dilakukan dengan memanfaatkakan hubungan antar variabel yang didapat dengan memanfaatkan persamaan keseimbangan statis. 3. Apabila pembebanan berubah sepanjang batang, persamaan momen yang terjadi pada batang dapat dinyatakan dalam satu persamaan dengan memperhatikan interval bekerjanya setiap bagian momen. Proses integrasi dilakukan pada masing-masing interval, dan dijumlahkan untuk mendapatkan hasil perhitungan yang berlaku sepanjang batang. Contoh soal. 1. Kerjakanlah contoh soal pada sub-bab 3.1 (metode integrasi analitis), dengan metode Castigliano. Penyelesaian Tumpuan dan pembebanan batang pada soal diatas ditunjukkan pada gambar 3.17. Gambar 3.17(c) adalah potongan batang bagian kanan dengan gaya geser dan momen dikenakan untuk menggantikan bagian kiri. Dengan memperhatikan posisi sumbu koordinat yang ditentukan yaitu pada tumpuan B, maka persamaan momen yang terjadi sepanjang batang adalah, M = Rx - w/2(x + L/4)2 = Rx - wx2/2 - wLx/4 -wL2/32 Dengan menggunakan teori Castigliano untuk menghitung besar lenturan pada bekerjanya gaya reaksi R, yR = δU/δR = 1/EI M dM/dR dx Turunan partial dari persamaan momen terhadap gaya R adalah x, sehingga besar lenturan pada R adalah,

39

Gambar 3.17. yR = 1/EI (Rx2 - wx3/2 - wLx2/4 - wL2x/32)dx sehingga yR = 1/EI.(RL3/3 - wL4/8 - wL4/12 - wL4/64) Pada keadaan sebenarnya, besar lenturan pada tumpuan B adalah nol, sehingga yR = 0. Dengan demikian dengan memasukkan yR = 0 kedalam persamaan diatas, besarnya gaya reaksi R dapat dihitung, R = 43 wL/64

(keatas)

Selanjutnya besar reaksi pada tumpuan jepit dapat dihitung dari kondisi keseimbangan statis, yaitu SMA = 0 dan S Gaya = 0, sehingga didapatkan, MA = 7 wL2/64, dan VA = 37 wL/64 Sesudah semua reaksi tumpuan diketahui, maka prosedur perhitungan besar lenturan yang terjadi sama dengan pada batang statis tertentu. 2. Batang B-C pada gambar 3.18 adalah profil baja W 203x32 (ASTM), dengan luas area pada penampang melintang 20.106 mm4. Batang dijepit pada B dan ditopang oleh batang aluminium dengan penampang 100 mm4, pada C. Hitunglah gaya yang bekerja pada batang aluminium, akibat beban merata 12 kN/m pada BC. Modulus elastisitas baja 200 GPa dan aluminium 70 Gpa. Penyelesaian. Sumbu koordinat ditentukan pada ujung atas batang aluminium, dengan kondisi batas: x =0, y=0. Dari diagram gambar 3.18 dapat ditentukan energi strain yang tersimpan pada sistem (pada batang baja dan aluminium). U = (σ2/2Ea).AI + M2/(2EsI) dx = = P2I/(2AEa) + M2/2EsI.dx

40

Gambar 3.18. Besarnya lenturan pada D adalah, yo = 0 = δU/δP = Pl/AEa + 1/EsI M M/ P dx Momen pada batang baja adalah : M = Px - wx2/2 sehingga, δM/δP = x sehingga, Pl/AEa + 1/EsI (Px2 - wx3/2 )dx = 0 atau, Pl/AEa + PL3/3EsI -wL4/8EsI = 0 Dengan memasukkan harga masing-masing besaran maka dapat dihitung gaya P, sebagai berikut, P = 9145 N. Soal soal latihan. 3.13. Sebuah batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.19, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan A, dan lenturan pada B. 3.14. Sebuah batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.20, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan jepit A, dan lenturan di C.

Gambar 3.19

Gambar 3.20.

3.15. Sebuah batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.21, hitunglah besar gaya reaksi pada tumpuan tumpuan tengah dan lenturan ditengah antara tumpuanB dan D. 41

3.16. Sebuah batang dengan tumpuan dan pembebanan seperti gambar 3.22, hitunglah gaya reaksi pada tumpuan B, dan lenturan lenturan ditengah antara tumpuan B dan C.

Gambar 3.21

Gambar 3.22.

42

BAB IV TEORI KOLOM. 4.1. Pendahuluan. Suatu kolom dapat didefinisikan sebagai batang prismatik lurus dan panjang, dan menerima beban kompresi aksial. Pada waktu pembebanan, selama batang masih dalam keadaan lurus, maka dalam analisa kekuatan bahan dapat menggunakan analisa tegangan yang terjadi akibat beban kompresi yang bekerja. Tetapi apabila beban aksial yang bekerja menyebabkan lenturan kearah lateral, maka lenturan ini dapat menyebabkan kerusakan serius pada bahan sebelum tegangan yang terjadi melampaui batas kekuatan bahannya. Keadaan ini disebut lenturan tekuk (buckling), dimana arah lenturannya melintang terhadap arah beban yang bekerja. Sesudah mulai terjadi lenturan tekuk, biasanya besarnya lenturan bertambah dengan cepat sekali walaupun penambahan bebannya kecil. Hal ini dapat ditujukkan apabila kita menekan sebatang lidi yang ditancapkan tegak lurus kedalam tanah. Ujung atas lidi kemudian ditekan dengan gaya tekan ditambah sedikit demi sedikit. Pada suatu gaya tekan tertentu, kita akan dapat merasakan adanya lenturan melintang. Kemudian apabila gaya ditambah sedikit saja, maka sapu lidi akan secara tiba-tiba tertekuk dengan kecepatan yang besar dan lidi akan patah. Fenomena ini adalah fenomena lenturan tekuk, dan dapat terjadi pada semua bahan yang elastis. Beban gaya dimana mulai terjadi lenturan tekuk disebut beban tekuk kritis (critical buckling load), yang besarnya tergantung kepada kekakuan bahan, kekuatan tarik, panjang dan penampang melintang batang, dan kesempurnaan arah pembebanannya. Kerusakan bahan yang terjadi pada lenturan tekuk tidak disebabkan oleh tegangan yang terjadi melebihi yang diijinkan, tetapi oleh perubahan keseimbangan sistem dari keadaan stabil menjadi tidak stabil. Pada waktu batang menerima beban kompresi dari nol dan kemudian bertambah besar, pada permulaannya sistem masih dalam keadaan stabil. Kemudian apabila beban terus ditambah sampai mencapai kondisi kritis, keseimbangan sistem kemudian menjadi tidak stabil dan menyebabkan batang mulai mengalami lenturan lateral atau lenturan tekuk. Lenturan tekuk juga menyebabkan tegangan setempat melewati kondisi elastis, sehingga kalau beban dilepaskan batang tidak kembali kepada keadaan semula. Untuk batang yang panjang seperti pada umumnya kolom, tegangan yang terjadi akibat beban tekuk kritis dapat berada jauh dibawah tegangan yang diijinkan. Karena itu pada struktur kolom, peninjauan terhadap lenturan tekuk harus dilakukan pada waktu proses perencanaannya. 4.2. Teori Lenturan Tekuk Pada Kolom Panjang. Analisa lenturan tekuk pada kolom, pertama kali ditemukan oleh seorang matematikawan Swiss bernama Euler pada tahun 1757. Walaupun teori Euler hanya berlaku pada kolom lurus yang panjang, tetapi dasar pemikirannya membantu dalam pemecahan masalah lenturan tekuk secara umum. Tujuan analisa Euler adalah untuk menentukan besarnya beban kompresi aksial minimum, yang menyebabkan terjadinya lenturan arah melintang. Misalkan ada sebuah kolom yang mendapat beban gaya aksial P seperti ditunjukkan dalam gambar 4.1. Besarnya beban P dibuat sedemikian sehingga terjadi lenturan melintang sebesar δ ditengah batang. Tumpuan pada kedua ujung batang dibuat sedemikian sehingga posisi lurus dari kedua ujung batang selalu dipertahankan selama pembebanan.

43

Gambar 4.1. Apabila sumbu koordinat ditentukan berada ditengah batang, dan ditinjau potongan pada jarak x seperti gambar 4.1(b-c), maka dua gaya tekan P menyebabkan momen kopel sebesar P(δ y). Momen kopel ini adalah momen tahanan yang menyebabkan terjadinya lenturan, sehingga menurut persamaan lenturan elastis, EI. d2y/dx2 = M = P(δ - y) atau, d2y/dx2 + P/EI.y = Pδ /EI

(4.1)

Persamaan diatas adalah bentuk umum persamaan diferensial derajat dua, dan penyelesaiannya biasanya berbentuk sbb. y = A sinpx + B cospx + C

(4.2)

dengan A, B, C dan p adalah konstanta. Persamaan (4.2) kemudian diturunkan dua kali dan dijabarkan untuk menghitung konstanta-konstanta tersebut sbb., dy/dx = p(Acospx + Bsinpx) d2y/dx2 = - p2(A sin px + B cos px) substitusi harga d2y/dx2 diatas kedalam persamaan (4.1) didapat, - p2(Asin px + B cospx) = - P/EI.y + Pδ /EI p2(A sinpx + B cospx) - P/EI.y + Pδ /EI = 0 Variabel y pada persamaan diatas disubstitusi dengan y pada persamaan (4.2), p2(Asinpx+Bcospx) - P/EI(Asinpx+Bcospx+C)+ Pδ/EI = 0 atau, (-p2 +P/EI)(Asinpx +Bcospx) + (P/EI)C - Pδ/EI = 0 karena harga (sin+cos) tidak pernah nol, maka persamaan diatas berlaku hanya pada keadaan sbb., p2 = P/EI dan C = δ

44

Selanjutnya konstanta A dan B dihitung dari kondisi batas pada struktur batang (Gambar 4.1) yaitu : pada x = 0, maka y=0 dan dy/dx =0; dan kondisi batas ketiga adalah bahwa pada : x =L/2, maka y = 0. Kondisi batas pertama dan kedua dimasukkan pada persamaan (4.2) menghasilkan, 0 = B + C dan 0 = Ap sehingga, A =0 dan B = -C = -δ Sehingga penyelesaian persamaan diferensial (4.1) menjadi, y = δ(1 - cos P/EI x)

(4.3)

Untuk memenuhi kondisi batas ketiga, yaitu bahwa pada x = L/2, harga y = δ, maka harga cosinus pada persamaan (4.3) harus sama dengan nol sehingga, (P/EI).L/2 = π/2, 3π/2, 5π/2 . . . dst Karena yang dicari adalah beban kritis terkecil, maka besar sudut terkecil yang dipakai sehingga harga beban tekuk kritisnya adalah, Pcr = π2.EI/L2

(4.4)

Beban kritis dalam rumus diatas biasa disebut beban kritis Euler, dan persamaannya disebut persamaan Euler. Momen inertia I pada persamaan Euler diperhitungkan relatif terhadap sumbu netral batang, sehingga : I = A.r2 dengan r = adalah radius girasi terhadap sumbu netral batang sehingga, Pcr/A = π2.E/(L/r)2

(4.5)

Besaran (L/r) disebut perbandingan ketegaran (slenderness ratio), yang menyatakan perbandingan antara panjang batang dengan radius girasi. Menurut penelitian, persamaan Euler berlaku untuk harga ketegaran sekitar L/r > 140 untuk bahan baja. Pada batang yang relatif pendek peninjauan kekuatan bahan harus dilakukan dengan perhitungan tegangan yang terjadi pada bahan akibat beban kompresi. Tetapi dalam pemakaian, banyak kolom yang panjangnya berada diantara kondisi perbandingan ketegaran Euler dan kondisi peninjauan analisa tegangan (pada batang pendek). Kondisi perbandingan ketegaran transisi tersebut menjadi menjadi bahan penelitian dengan tujuan praktis, dan biasanya menghasilkan rumusrumus empiris tegangan tekuk. Pengaruh beban kompresi yang tidak sentris karena struktur yang tidak sempurna, juga menjadi bahan penelitian penting dalam aplikasi teori kolom. Contoh Soal. 1. Suatu kolom empat persegi panjang dengan ukuran penampang melintang 50 x 100 mm, dan panjang 2,5 m. Modulus elastisitas bahan kolom = 13 GPa. Hitunglah : a. Ratio ketegaran kolom 45

b. Beban tekuk kritis Euler. c. Beban kompresi terbesar yang dapat dikenakan pada kolom, apabila faktor keamanan 2,5. Penyelesaian. a. Radius girasi kolom : r = I/A = (bh3/12) x (1/bh) = h/2 3 , Radius girasi minimum diperhitungkan pada ukuran h = 50 mm dan b = 100 mm, sehingga, r = h/2 3 = 50/2 3 = 14,434 mm. b. Besar beban kritis dihitung dengan Rumus Euler, Pcr = π2.EA/(L/r)2 = π2(13)(109)(0,050)(0,10)(173,2)2 = 21,4 kN. c. Beban maksimum yang dapat dikenakan pada kolom, Pmax = Pcr/2,5 = 21,4/2,5 kN = 8,55 kN. Soal-soal Latihan. 4.1. Suatu batang baja berbentuk pipa silindris (diameter dalam 3 in, luar 4 in), panjang 15 ft, dengan modulus elastisitas E = 30.000 ksi. Hitunglah: a. Ratio ketegaran batang. b. Beban kritis tekuk Euler. c. Tegangan yang terjadi akibat beban Euler. 4.2. Suatu kolom kayu (E=13 GPa) panjang 3 m, dengan bentuk penampang seperti Gambar 4.2 dibawah. Hitunglah. a. Ratio ketegaran batang. b. Beban kritis Euler c. Besar tegangan yang terjadi, pada beban kritis diatas. 4.3. Suatu kolom aluminium (E=70 GPa), panjang 3,5 m, dengan penampang seperti pada Gambar 4.3. Apabila faktor keamanan ditentukan = 2,25, hitunglah beban kompresi maksimum yang dikenakan pada batang tersebut.

Gambar 4.2. 4.3. Rumus Secant.

Gambar 4.3.

Banyak struktur kolom tidak memenuhi kriteria rumus Euler karena kurang sempurna strukturnya, seperti arah pembebanan yang tidak konsentris dengan sumbu batang. Untuk menganalisa efek dari eksentrisitas pembebanan, pada gambar 4.2 ditunjukkan suatu batang dengan beban kompresi aksial dengan arah tidak konsentris (eksentrisitas = e). Pada besar beban P kolom mengalami lenturan melintang sebesar δ ditengahnya, seperti terlihat pada gambar 4.2(b).

46

Gambar 4.2. Dengan mengambil sumbu koordinat ditengah batang, maka momen tahanan yang menyebabkan lenturan tsb. adalah, M = P(e + δ - y) Apabila tegangan tidak melampaui batas proporsional, dan besar lenturan kecil maka persamaan diferensial lenturannya adalah, EI.d2y/dx2 = P(e + δ - y) atau, EI.d2y/dx2 + P/EI.y = P/EI (e + δ )

(4.6)

Persamaan (4.6) adalah persamaan diferensial derajad 2, seperti persamaan (4.1) sehingga penyelesaiannya serupa yaitu, y = Asinpx + Bcospx + C

(4.7)

Analog dengan penyelesaian persamaan diferensial (4.1), maka didapatkan besar konstanta : p2 = P/EI, dan C = (e + δ). Sedang konstanta A dan B dihitung dengan kondisi batas struktur yaitu, pada x =0, maka y =0 dan dy/dx = 0, sehingga, A = 0 dan B = - (e +δ) penyelesaian persamaan diferensial (4.6) menjadi, y = (e + δ)[1 - cos (P/EI). x] Kondisi batas ketiga, pada x = L/2, maka y = δ sehingga harga ruas sebelah kanan pada persamaan diatas harus = δ, δ = (e + δ)[1 - cos (P/EI).x] atau, δ = e [(1 - cos (P/EI).(L/2) /cos (P/EI)(L/2) atau, δ = e[sec (P/EI).(L/2) - 1]

(4.8)

Persamaan (4.8) menunjukkan bahwa pada suatu kolom dengan E, I, dan L konstan dan eksentrisitas e>0, maka kolom akan selalu mengalami lenturan melintang walaupun beban P kecil. Untuk harga eksentrisitas ε sebarang, maka harga sec (P/EI).(L/2) akan mendekati harga tak terhingga positip atau negatip apabila sudutnya mendekati harga sbb., (P/EI).(L/2) = π/2, 3π/2, 5π/2 . . . dst.

47

Harga lenturan yang bertambah dengan tak terkontrol, menandakan bahwa kondisi kritis tercapai pada salah satu dari harga sudut diatas. Harga sudut terkecil (π/2) dipilih untuk mendapatkan beban kritis terkecil, (P/EI)(L/2) = π/2 atau

sehingga Pcr = π2.EI/L2

P/(EI) = π/L (4.9)

Rumus (4.9) adalah identik dengan rumus Euler yang sudah diturunkan sebelumnya. Tanpa memperhatikan besar tegangan yang terjadi akibat beban kompresi dan momen akibat beban yang tidak konsentris, rumus Euler ternyata juga berlaku pada kolom dengan beban eksentrik. Dalam setiap perhitungan kekuatan bahan, selalu ditentukan persyaratan bahwa tegangan yang terjadi akibat beban tidak boleh melebihi tegangan elastis dari bahan yang dipakai. Tegangan maximum yang terjadi pada pembebanan yang eksentrik adalah jumlah dari tegangan akibat beban kompresi dan tegangan akibat momen terbesar (pada titik tengah batang) akibat adanya eksentrisitas ε dan lenturan δ, sehingga, σmax = P/A + Mmax c/I = P/A + P(δ + e) c/(Ar2)

(4.10)

dengan r adalah radius girasi dari penampang kolom. Dari persamaan (4.8) didapat, (e+δ) = e.sec (P/EI)(L/2) substitusi harga (e+δ) kedalam persamaan (4.10), σmax = P/A(1 + ec/r2.sec (P/EI)(L/2) atau P/A = σmax /[(1 + ec/r2 sec (P/EI)(L/2)]

(4.11)

Persamaan diatas disebut rumus Secant, yang menunjukkan hubungan antara tegangan kompresi (P/A) dengan ukuran batang, kekuatan batang, dan eksentrisitas pembebanan e. Harga L/r adalah perbandingan ketegaran batang yang juga digunakan pada rumus Euler. Harga ec/r2 disebut perbandingan eksentrisitas, seperti terlihat tergantung dari harga eksentrisitas dan ukuran kolom. Apabila tegangan maksimum yang terjadi (σmax) sama dengan tegangan batas elastisitas (σy), maka beban P merupakan beban kritis yang menyebabkan kerusakan batang struktur. Yang terpenting dalam rumus Secant adalah adanya pengaruh eksentrisitas pembebanan terhadap beban kritis. Terlihat bahwa makin besar e maka harga P/A makin kecil, sehingga beban kritis P menjadi semakin kecil pula. Pada e = 0 maka yang berlaku adalah analisa tegangan biasa atau rumus Euler, tergantung kepada ratio ketegaran batangnya. Tetapi dalam proses manufakturing suatu struktur, tidak mungkin (atau menjadi sangat mahal) untuk membuat struktur dengan pembebanan konsentris sempurna, atau eksentrisitas pembebanan sama dengan nol. Banyak faktor yang dapat menyebabkan terjadinya eksentrisitas pembebanan seperti, ketidak-lurusan kolom, ukuran tidak sama sepanjang batang, cacat didalam bahan batang, dan ketidaksempurnaan sambungan kolom. The American Society of Civil Engineers (ASCE) menemukan bahwa pada baja struktur biasa, dengan memakai harga ec/r2 = 0,25, maka harga Pcr yang dihitung dengan rumus Secant sesuai dengan harga Pcr yang didapat dari hasil peneletian laboratorium. 48

Gambar 4.3 menunjukkan hubungan antara tegangan yang diakibatkan oleh beban kritis Pcr dengan ratio ketegaran, pada beberapa harga ratio eksentrisitas yang dihitung dengan rumus Secant. Perhitungan dilakukan pada baja yang mempunyai tegangan maksimum = 40 MPa. Terlihat bahwa untuk bahan tersebut rumus Euler berlaku pada eksentrisitas nol (ec/r2 = 0), dan ketegaran L/r > 86. Pada eksentrisitas = 0 dan L/r < 86, maka parameter peninjauan kekuatan bahan bukan lagi Pcr tetapi adalah tegangan maksimum bahan yaitu 40 MPa.

Gambar 4.3. Gambar 4.3 menunjukkan pula bahwa makin besar harga eksentrisitas makin kecil harga beban kritisnya. Semakin panjang kolom, pengaruh eksentrisitas menjadi semakin kecil, dan untuk L/r > 150 pengaruh eksentrisitas pembebanan sudah kecil sekali sehingga rumus Euler dapat dipakai untuk untuk semua keadaan pembebanan. Pada L/r < 150 terlihat adanya variasi yang sangat besar dari harga Pcr terhadap perubahan ratio ketegaran batang. Telah dinyatakan sebelumnya bahwa tidak ada suatu struktur yang benar-benar sempurna konsentrisitas pembebanannya. Kalaupun diusahakan demikian, maka struktur akan menjadi terlalu mahal. Karena itu biasanya suatu konstrusi dibuat sesuai dengan ketelitian yang dipersyaratkan oleh fungsi dari masing-masing struktur. Gambar 4.3 memperlihatkan pula adanya variasi beban kritis yang besar, pada harga L/r dibawah berlakunya rumus Euler. Pengaruh dari eksentrisitas pembebanan pada kolom dengan ratio ketegaran diluar rumus berlakunya Euler banyak menjadi topik penelitian, karena banyaknya struktur yang berada dalam daerah ratio ketegaran tersebut. Biasanya suatu penelitian menghasilkan rumus-rumus empiris yang berlaku untuk penggunaan tertentu. Salah satu contoh rumus empiris yang didapat dari hasil penelitian oleh The American Institute of Steel Construction (A.I.S.C) yang berlaku untuk baja struktur (E = 200 GPa)adalah sbb., Pcr/A = 1/k [ sy - sy/(2Cc2).(L/r)2];

49

berlaku pada ratio ketegaran : 0 < L/r < Cc dengan, Cc2 = 2p2 E/ sy ; dan k = 5/3 + 3 (L/r)/(8Cc) - (L/r)3/8Cc3 Banyak sekali rumus empiris lain yang biasanya masing-masing berlaku untuk bahan dan struktur tertentu. Tabel 4.1 menunjukkan beberapa contoh rumus empiris yang berlaku pada beberapa jenis bahan. Terlihat pada tabel tersebut bahwa bentuk persamaan yang didapat bervariasi, tetapi semuanya menggunakan ratio ketegaran (L/r) sebagai variabel tergantungnya.

50

Tabel 4.1. Rumus-rumus Empiris Perhitungan Kolom (1) ________________________________________________________________________ No.

Bahan dan Rumus Perhitungan Referensi Mod. Elast. ________________________________________________________________________ AISC.

E = 200 GPa.

Pw/A=1/k [σy - σy/(2C2). (L/r)2] k = 5 + 3(L/r)/(8C) - (L/r)3/(8C)3 C2 = (2 π2.E/σy) 0 < L/r < C

2.

Baja konstr. E = 200 GPa.

Pw/A= 110 - 0.00345 (L/r)2 0 < L < 130

AASHO (1973)

3.

Al. alloy E = 73 GPa

Pw/A= 216 -1,64(L/r) 113 < L/r < 55

Aluminium Constr.

4.

Al.alloy E = 73 GPa

Pw/A = 309 - 2,16 (L/r) 18,5 < L/r < 64

AlcoaHdbk, 1970

5.

Mg.alloy E = 45 GPa

Pw/A=52,4.103/(L/r)1,5 43 < L

Mil.Hdbk-5,1966

6.

Douglas fir (coast type) E = 11 GPa

Pw = 10.0-114.2(10-9)(L)4 USDA38 < L < 73,5 Wood Hdbk,1972 (untuk penampang: persegi, silindris)

1.

Baja,

(1970)

_______________________________________________________________________ Contoh Soal. 1. Suatu kolom aluminium (E=73 GPa), panjang 0,5 m, dengan penampang berbentuk empat persegi panjang (dengan tebal = setengah lebarnya). Hitunglah ukuran minimum penampang kolom, apabila dikenai beban kompresi 6,75 kN, dan faktor keamanan k = 2. Penyelesaian. Misalkan tebal kolom = t mm, maka lebarnya b = 2t mm, maka, Momen inertia kolom = bt3/12 = 2t.t 3/12 = t4/6 mm4. Luas penampang kolom = bt = 2t2 mm2. Radius girasi kolom (r), r = (I/A)1/2 = [(t4/6)/(2t)] 1/2 = t/( 12) Sehingga ratio ketegaran kolom : L/r = 500. 12/t. Misalkan harga ratio ketegaran diatas < 64, sehingga persamaan nomer 4 pada Tabel 4.1 yang dipakai. k (P/A) = 309 - 2,16 (L/r) atau, 2.(6,75x103)/(2t2) = 309x106 - 2,16x106x(0.50 12/t),

51

didapatkan : t = 10,00137 m = 13,70 mm Harga t yang didapat ini harus dicheck kembali terhadap harga ratio ketegaran batang yang tadinya diandaikan L/r < 64. L/r = 500 12/13,7 = 126,4 Ternyata harga ratio ketegaran jauh diatas 64, sehingga perhitungan terhadap beban kompresi kritis dapat memakai rumus Euler. 2.P/A = π2E/(L/r)2 2.6,75x103/(2t 2) = π2 (73.109)/(0.50 12/t)2 didapatkan : t4 = 28,1 10(-9), sehingga : t = 12,95.10(-3) m = 12,95 mm Apabila dihitung dengan dengan harga t diatas, maka L/r = 133,7, sehingga rumus Euler masih tetap berlaku, sehingga dimensi penampang batang : t = 12,95 mm, dan b= 25,9 mm Soal-soal Latihan. 4.4. Tentukan beban kompresi kritis untuk 3 batang kolom baja berbentuk empat persegi panjang (tebal = 1 in, lebar = 4 in), dengan panjang 5 ft, apabila : a. Ketiga kolom baja tersebut secara sendiri-sendiri menerima beban kompresi. b. Kolom baja dilas menjadi satu kolom berbentuk H. 4.5. Dua buah kolom baja berbentuk kanal (Ukuran C254 x 45), dengan panjang 7 m. Hitunglah beban kompresi maksimum yang dapat diterima apabila, a. Apabila masing-masing kolom kanal bekerja secara sendiri sendiri. b. Apabila kedua kolom disambungkan dengan las satu sama lain, saling membelakangi pada jarak 150 mm seperti Gambar 4.4. dibawah. 4.6. Dua buah baja struktur berbentuk siku (ukuran L5x3,5x0,5 in), panjang 12 ft, akan digunakan sebagai kolom. Hitunglah beban kompresi terbesar apabila, a. Kedua batang baja bekerja sendiri sendiri. b. Kedua batang baja disatukan dengan keling seperti pada gambar 4.5.

Gambar 4.4.

Gambar 4.5.

52

Daftar Pustaka. 1. Higdon, A., et.al; "Mechanics of Material", John Wiley & Sons, New York, 4th ed.,1985. 2. Shigley, J.E., and Mitchell, L.E., "Mechanical Engineering Design", Mc Graw Hill International Book Company, Auckland, 1983. 3. Timoshenko S, and Young D.H., "Elements of Strength of Materials", D. Van Nostrand Company

53

DIKTAT KULIAH

STATIKA STRUKTUR II -

Lenturan Statis Tertentu Lenturan Statis Tak Tentu Teori Kolom

Disusun oleh: Ir. Sudjito, Ph.D

Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Brawijaya.

September, 2000

54