T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
MEGEP (MESLEKİ EĞİTİM VE ÖĞTERİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)
STATİK HESAPLAR
ANKARA 2005
İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER......................................................................................................................................... i AÇIKLAMALAR.................................................................................................................................... ii GİRİŞ....................................................................................................................................................... 1 ÖĞRENME FAALİYETİ - 1................................................................................................................... 2 1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA......................................................2 1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi................................................................................. 3 1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi.............................................................................5 UYGULAMA FAALİYETİ...............................................................................................................11 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.....................................................................................................19 DEĞERLENDİRME...................................................................................................................... 31 ÖĞRENME FAALİYETİ - 2................................................................................................................. 31 2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA................................................ 31 2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti................................................................................................31 2.1.1. Eğilme Momenti .................................................................................................................31 2.1.2. Eğilme Gerilmesi..................................................................................................................32 2.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi........................................ 32 2.1.4. Mukavemet Momenti........................................................................................................... 34 UYGULAMA FAALİYETİ...............................................................................................................37 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.....................................................................................................45 CEVAP ANAHTARI..................................................................................................................... 47 DEĞERLENDİRME...................................................................................................................... 61 MODÜL DEĞERLENDİRME.............................................................................................................. 62 KAYNAKLAR.......................................................................................................................................64
AÇIKLAMALAR
i
AÇIKLAMALAR KOD
582İNŞ009
ALAN
İnşaat Teknolojisi
DAL/MESLEK
Meslek Hesapları
MODÜLÜN ADI
Statik Hesaplar
MODÜLÜN TANIMI
Atalet ve mukavemet momentlerinin tanımı, çeşitleri, birimleri ve hesap uygulamaları.
SÜRE
40/32
ÖN KOŞUL
Fiziksel dayanımlar modülünü başarmış olmak.
YETERLİK
MODÜLÜN AMACI
Gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet momenti hesapları yapabilmek. Genel Amaç: Bu modül ile gerekli ortam sağlandığında atalet ve mukavemet hesaplarını doğru olarak yapabileceksiniz. Amaçlar: Bu modül ile A 1- Atalet momentinin tanımını doğru olarak yapabileceksiniz. 2- Atalet momentinin çeşitlerini eksiksiz öğrenebileceksiniz. 3- Atalet momentinin birimini doğru olarak öğrenebileceksiniz. 4- Atalet momenti hesaplarını verilen formüllere ve verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz. B 1- Mukavemet momentinin tanımını doğru olarak yapabileceksiniz. 2- Mukavemet momentinin çeşitlerini eksiksiz öğrenebileceksiniz. 3- Mukavemet momentinin birimini doğru olarak öğrenebileceksiniz. 4- Mukavemet momenti hesaplarını verilen formüllere ve verilere göre doğru olarak çözebileceksiniz.
ii
EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
Ortam: Sınıf, atölye, laboratuvar ve kütüphane, ev gibi öğrencinin kendi kendine veya grupla çalışabileceği tüm ortamlar. Donanım: Sınıf, kütüphane tepegöz, projeksiyon, bilgisayar ve donanımları,öğretim gereçleri vb. Öğrenciler modülün içinde yer alan her faaliyetten sonra verilen ölçme araçları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek kendi kendilerini değerlendireceklerdir. Öğretmen, modül sonunda öğrencilere ölçme aracı uygulayarak modül uygulamaları ile kazandıkları bilgi ve becerileri ölçerek değerlendirecektir.
iii
GİRİŞ GİRİŞ Sevgili Öğrenci, İnşaat teknolojisi alanının geçmişi, ilk insanların barınma ihtiyaçlarını karşılamak için yaptıkları geleneksel yapılara kadar dayanmaktadır. Mukavemet alanındaki ciddi çalışmalar ve araştırmalar Rönesans devri ile başlamıştır. Leonar Da Vinci (1452-1519) ve Galileo (1564-1642) yapı malzemelerinin mekanik özellikleri ve kirişlerin mukavemetleri ile ilgili incelemeler yapmışlardır. İnşaat sektörü, günümüzde hızla gelişen teknoloji sayesinde çok gelişmiştir. Elle çizilen ve hesaplanan projeler artık bilgisayarla yapılmaktadır. İnşaat teknolojisi çok geniş bir alandır. Birçok önemli bölümleri vardır. Statik hesaplamalar da bunlardan biridir. Mühendislik yapısı, bir bina veya bir köprü, bir makine, bir uçak, bir gemi veya bir otomobil olsun, bunların taşıyıcı sistemlerini oluşturan elemanların boyutları, dış kuvvetlerden kaynaklanan iç kuvvetlere dayanabilecek biçim ve büyüklükte olmalıdır. Bunun tersi de söz konusu olabilir.Yani boyutları bilinen bir elemanın taşıyabileceği dış yükün bulunması ya da gerilmelerin kontrol edilmesi gerekebilir. Bu modülde dış kuvvetlerin etkisine dayanabilecek kirişlerin boyutlarını hesaplayabilmek için seçilen kiriş kesitinin atalet (eylemsizlik) ve mukavemet (dayanım) momentlerinin nasıl yapılacağı uygulamalı olarak anlatılmıştır.
1
ÖĞRENME FAALİYETİ-1
ÖĞRENME FAALİYETİ - 1 AMAÇ Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında atalet momenti hesabı yapabilecektir.
ARAŞTIRMA Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmek için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir. Burada size kısa bilgi verilecektir. Ancak bu konuyla ilgili araştırma yapmanız gerekecektir. Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için; 1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin, 2- Kirişlerin dayanım momentlerinin, 3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesi ile ilgili kaynak araştırması yaparak bilgi edininiz.
1. ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA a- Tanım 1.Ağırlık Merkezi: Bir cismi meydana getiren küçük parçacıklara etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin, cisim üzerindeki uygulama noktasına o cismin ağırlık merkezi denir.(cm, dm, m.) Herhangi bir yüzey veya eğri alalım. Aşağıdaki şekli sonsuz derecede df parçalarına bölelim. Yüzeyi bir koordinat sistemine oturtalım. En küçük alandan koordinat sistemine bir paralel çizelim. Her minimum alan için aynı şeyleri tekrar ettiğimizde paralellerin kesiştiği nokta, o yüzeyin ağırlık merkezidir.
y
y dF x xg y
0
dF
G F
x xg y
yg x
0 Şekil 1.1 2
F
G yg
x
1.1. Basit Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi 1) Dairenin ağırlık merkezi kendi merkezidir.
M
G
Şekil 1. 2 2) Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenarlarda ağırlık merkezi köşelerinin kesiştiği noktalardır.
M
M
G
G
Şekil 1.3 3) Üçgenin ağırlık merkezi kenar ortaylarının kesişme noktasıdır. Bu nokta yüksekliğin
3/1’inden geçer.
A b/2
c/2
b
c
b/2
c/2 h/2
C
a/2
a G
a/2
B
Şekil 1. 4 4) Yamuğun ağırlık merkezini hesaplarken alt kenarı üst kenara, üst kenarı ters yönde alt
kenara ekleyelim, köşegenleri birleştirelim. Köşegenlerin kesişme noktası ağırlık merkezidir.
3
A
IABI D
B ICDI
C
G
Şekil 1.5 5) Herhangi bir dörtgenin ağırlık merkezi, köşegenlerinin birleştirilmesinden ortaya çıkan 4
üçgenin ağırlık merkezlerinin karşılıklı birleştirilmesiyle oluşan köşegenlerin kesiştiği noktadır. A D
B
C Şekil 1.6 6) Yarım dairenin ağırlık merkezi geometrik merkezinden
4r kadar uzaktadır. 3π
4r 3 M G
Şekil 1. 7 7) Çeyrek dairenin ağırlık merkezi kendi ağırlık merkezinden.
4r 2 kadar uzaktadır 3π
x
y M
Şekil 1.8
4
y
x yF
1 8 2 64
16 x
0
1 6 5 90
4
y
0 x
y
y F
1 4 1,69 25,12 x r=4 cm y
y
6
G
x
6
1 2,4 2,4 12,56
G r=4 cm y
x
x
0M
y = 3 4x 3x,414 = 1,69
y F
x
y x
G
F = πr2
15
x
x
G
0
x yF
y
G = ( 2,4 x 2,40)
2
xy =
4 x 4 x1, 41 3 x 3,14
= 2,40cm
Şekil 1. 9
1.2. Birleşik Geometrik Şekillerin Ağırlık Merkezi 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur. Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır. Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur. Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. Her basit yüzeyin alanları tespit edilir. x ve y mesafeleri hesaplanır. gx ve gy bulunur.
a.2. Atalet Momenti: Herhangi bir yüzeyin sonsuz derecede küçük alan parçasının herhangi bir x eksenine mesafesi karesi ile çarpımının toplamına o alanın x eksenine gelen atalet momenti denir. Atalet momenti ,”J” ile gösterilir. y F
Jx = SdFy 2
x dF
Jy = SdFx 2
y
0
x
5
Şekil 1. 10
a.3. Atalet Yarıçapı: Kendi ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet yarıçapı aynı eksene göre alınan atalet momentinin kesit alanına bölümünün kareköküne eşittir. “Ix” ile gösterilir. Atalet yarıçapının birimi “cm , dm” olur.
İx =
Jx F
İy =
cm
Jy F
cm
Burada: Ix : Atalet yarıçapı Jx : x eksenine göre atalet momenti F : Şeklin (kesitin) alanı
b- Çeşitleri: b.1. Basit kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti b.2. Birleşik kesitlerin atalet (eylemsizlik) momenti b.1. Basit Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti : En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x ve y-y eksenleri ) atalet momentleri aşağıda maddeler halinde verilmiştir. Örneğin; X-X eksenine göre atalet momenti J X ; Y-Y eksenine göre atalet momenti JY ile gösterilmiştir. a) Kare (kendi ağırlık merkezine göre) y b=h x
h
G
b
Şekil 1. 11
b) Dikdörtgen
6
Jx, Jy =
h4 12
cm 4
G
x
h
y
Jx =
bh 3 12
cm 4
Jx =
hb 3 12
cm 4
b
Şekil 1. 12
c) Üçgen
h
Jx = bh36 cm 4 3
b
Şekil 1. 13
d) Daire
NORMAL DAİRE
D Jx = Jy = π64 cm 4 4
Şekil 1. 14
DELİKLİ DAİRE
Dı
Jx = Jy =
D
Şekil 1. 15
e) Yarım daire
7
π ( D 4 − D14 ) 64
cm 4
Jx = Jy = 0,00686 D 4 cm 4 Şekil 1. 16
Çeyrek daire
f)
Jx = Jy = 0,00344 D 4 cm 4 Şekil 1. 17
g) Parabol
b
a
Jx = πa×4b cm 4 3
G x
Jy = πb×4a cm 4 3
Şekil 1. 18
b.2. Bileşik Kesitlerin Atalet (Eylemsizlik) Momenti: Herhangi bir yüzeyin kendi ağırlık merkezine göre bulunan atalet momenti ile yüzey alanının ağırlık merkezi ve eksen arasındaki mesafenin karesiyle çarpımının toplamına eşittir.
1. 2 e2
y
J 1−1 = Jx + Fe1 J 2− 2 = Jy + Fe2
x
W1−1 =
e1
G
2 01
1
Ý=
Şekil 1. 19
8
J1−1 e
J1−1 F
atalet
mukavemet atalet yarý çapý
2 y x13 J x − x = 1412 = 2016 3
12
G
x
x12 J 1−1 = 1412 + (14 x12)(16 2 ) 3
= 4502cm 4
16 14
2 01
1
W1−1 =
4502 16
= 2814cm 3
İx =
4502 168
= 16,37cm
Şekil 1. 20
3.
2
INP 320
J X = 12510cm 4 → tablodan F = 77,7cm 4 → tablodan 40 cm
J 1−1 = 12510 + 77,7 x 40 2
2
1
= 136,830cm 4 1
W1−1 =
J1−1 40
İ1 =
J1−1 77 , 7
= =
136 , 830 40
= 3420,75cm 3
136 , 830 77 , 7
= 42cm
Şekil 1. 21
Not: Kaynak için INP profil tablolarına bakınız. Basit kesitlerin atalet momentinde verilen formüller, kesitlerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleridir. Bir kesitin kendi ağırlık merkezinin dışından geçen eksenlere göre atalet momentini de hesaplamak gerekebilir. Böyle durumlarda paralel eksen teoreminden yararlanılır. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi: Bir kesitin, aynı düzlem içinde bulunan bir eksene göre atalet momenti tarafsız eksene göre atalet momentine, kesitin alanı ile paralel iki eksen arasındaki uzaklığın karesinin çarpımı eklenerek bulunur. JXN = JX + F X e12 …………………….. cm4 JYN = JY + F X e22
…………………….. cm4
9
yn e2
y x e1
G
0
Xn
Şekil 1. 22
Birleşik kesitlerin atalet momentleri, Steiner teoreminden yararlanarak bulunur. Birleşik kesitlerin atalet momentini bulmak için; 1- Verilen kesit, basit geometrik şekillere bölünmelidir. 2- Her şekil numaralanı teker teker alanları bulunmalıdır. 3- Birleşik kesitin (tarafsız eksenin geçtiği) ağırlık merkezi bulunmalıdır. 4- Steiner teoremine göre her kesitin atalet momenti bulunarak cebirsel toplam yapılmalıdır.
c- Birimi: Atalet momentinin birimi cm4,dm4
10
UYGULAMA FAALİYETİ UYGULAMA FAALİYETİ ATALET MOMENTİ HESAP UYGULAMALARI
1.
Aşağıda verilen bileşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.
y
18
xı
Gı yı
0
G2
x2
6
16
10
x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
y2
x
6
12
Şekil 1. 23
1. Verilen birleşik yüzey koordinat düzlemine oturtulur. 2. Birleşik yüzey, bilinen basit yüzeylere ayrılır. 3. Her basit yüzeyin ağırlık merkezi bulunur. 4. Her basit yüzeyin ağırlık merkezinden koordinat eksenlerine dikler inilir. 5. Her basit yüzeyin alanları tespit edilir. 6. x ve y mesafeleri hesaplanır. 7. gx ve gy bulunur.
Gx = Gy =
F1 x1 + F2 x2 +... + Fn xn F1 + F2 +... + Fn
»
Gx =
6 x192 +15 x 36 192 + 36
F1 y1 + F2 y 2 + ...+ Fn y n F1 + F2 +...+ Fn
»
Gy =
8 x192 +3 x 36 192+ 36
11
= 7,42cm
= 7,210cm
Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yolu ile bulunuz.
8
6
x2
G2
G1
y2
8
y
16
x1
10
G3
x3
y1
x y F 1 4 12 192 2 11 20 48 3 19 12 240 24
2.
y3
x
0 Şekil 1. 24
G1 x =
192 x 4 + 48 x11+ 240 x19 192+ 48+ 240
= 12,2cm
+ 240 x12 G1 y = 192 x12192+ 48+ 48x 20+ 240 = 12,8cm
3.
Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
G
x
12
6
y
10
Jx =
bh3 12
= 1012x12 = 1440cm 4
Jy =
hb3 12
= 1212x10 = 1000cm 4
3
3
İx =
Jx F
=
1440 120
= 3,46cm
İy =
Jy F
=
1000 120
= 2,88cm
Şekil 1. 25
4.
Aşağıda verilen şeklin atalet momenti ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
12
44 cm
Jx = bh12 = 2012x 44 = 47324, cm4 3
İx =
Jx F
3
=
47324 , 44 440
= 107,5cm
20 cm Şekil 1. 26
5.
Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. Birimleri “cm” olarak alınız.
y
18
Şek
x y F 1 6 8 192 2 15 3 36 10
il 1. 27
Gı yı
0
12
x2
Gz
6
16
xı
y2
x
6
y
e1x
e1y
Gı
x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
G e2x
G2
0
x
e2y Şekil 1. 28
5.1.Kesiti basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz. 5.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunlukları bulunuz. 5.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız. 5.4. Steiner teoremini uygulayınız. 5.5. Atalet yarıçapını bulunuz.
13
ÇÖZÜM: 5.1, F1=16x12 = 192 cm2
F2= 6x6 = 36 cm2
∑F= F1+F2 =192+36 = 228 cm2
X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1= 6 cm X2= 15 cm Y1= 8 cm Y2= 3 cm. F1 x1 + F2 x2 +... + Fn xn +15 x 36 Gx = 6 x192 = 7,42cm » 192 + 36 F1 + F2 +... + Fn
Gx =
Gy =
F1 y1 + F2 y 2 + ...+ Fn y n F1 + F2 +...+ Fn
Gx = 7,42 cm
+ 3 x 36 Gy = 8 x192 = 7,210cm 192+ 36
»
Gy = 7,21
cm ağırlık merkezinin yeri
5.2, e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm.
e2x = (gy-y2 ) =7,21-3 = 4,21 cm
e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm.
e2y = (x2-gx ) =15-7,42 = 7,58 cm
Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz. no x y F ex ey ex2 ey2 1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,016 2 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45 5.3, x16 Jx = 1212 = 4096cm 4
Jx =
3
Jy = 1612x12 = 144cm 4
64 12
= 108cm 4
6 Jy = 12 = 108cm 4
3
4
5.4, JX-X = ( J1X + F1 .
e1y2 ) + ( J2X +
JY-Y = ( J1y + F1 .
e1x2 ) + ( J2y +
F2 . F2
.
e2y2 ) e2x2 )
4
Jx − x = ( 1212x16 + 192 x0,62) + ( 126 + 36 x17,72) ⇒ Jx − x = 4960,2cm 4 3
6 Jy − y = ( 1612x12 + 192 x 2,01) + ( 12 + 36 x57,45) ⇒ Jy − y = 4864,32cm 4 3
4
5.5,
İx − x =
6.
4960 , 2 228
İy − y =
= 4,6cm
4864 , 32 228
= 4,6cm
Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
14
6
10
16
24
8
8
Şekil 1. 29
8
8
x2
16
x1
6
10
G2
G1 y1
x y F 1 4 12 192 2 11 20 48 3 19 12 240
x3 y2
G3
24
y
y3
x
0 Şekil 1. 30
6.1.Kesit basit şekillere ayırarak alanları teker teker hesaplayınız. Bileşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz. 6.2. e1x , e2x , e3x , e1y , e2y , e3y uzunlukları bulunuz. 6.3. J1X , J2X , J3X, , J1Y , J2Y J3y hesaplayınız. 6.4. Steiner teoremini uygulayınız ÇÖZÜM: 6.1. F1= 8x24 = 192 cm2
F2= 6x8 = 48cm2 F3= 10x24 =240 cm2
∑F= F1+F2 + F3 = 192+48+240 = 480 cm2 X ve Y eksenlerine göre F1 , F2 ve F3 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1= 4 cm X2= 11 cm X3= 19 cm Y1=12 cm Y2= 20 cm Y3= 12 cm 4 + 48 x11+ 240 x19 + 240 x12 = 12,8cm G1 x = 192 x192 = 12,2cm G1 y = 192 x12192+ 48+ 48x 20+ 240 + 48+ 240
6.2.
15
e1x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm e2x = (y2 - gy ) =20-12,8 = 7,2 cm e3x = (gy- y1 ) =12,8 – 12 = 0,8 cm
e1y = (gx-x1) =12,2 – 4 = 8,2 cm e2y = (gx-x2) =12,2 - 11= 1,2 cm e3y = (x3-gx ) =19–12,2 = 7,58 cm
Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz. No 1 2 3
x 4 11 19
y 12 20 12
F 192 48 240
ex 0,8 7,2 0,8
ex2 0,64 51,84 0,64
ey 8,2 1,2 6,8
ey2 67,24 1,44 46,24
6.3.
Jx1 = 8 x1224 = 9216cm 4 3
Jy1 =
24 x 83 12
Jx2 =
6 x 83 12
x 24 = 96cm 4 Jx3 = 10 12 = 11520cm 4 3
= 1024cm 4 Jy 2 = 812x 6 = 144cm 4 Jy3 = 3
24 x103 12
= 2000cm 4
6.4. JX-X = ( J1X + F1 . e1y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) + ( J2X + F2 . e2y2 ) JY-Y = ( J1y + F1 . e1x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 ) + ( J2y + F2 . e2x2 )
Jx − x =
8 x 24 3 12
x8 x 24 + 192 x0,64 + 612 + 45 x51,84 + 10 12 + 240 x0,64 3
3
⇒ Jx − x = 23756,7cm 4
İx − x = Jy − y =
23756 , 7 480
24 x 8 3 12
= 7cm 3
3
x6 x10 + 192 x67,24 + 812 + 48 x1,44 + 2412 + 240 x 46,24
⇒ Jy − y = 2744,72cm4
İy − y =
7.
27244 , 72 460
= 7,53cm
Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
16
7,86
0
x1
14
G1 y1 Gy
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
y F 10 240 3 24 4 27
x 1 6 2 14 3 19
6
20
Gx G
8,86
y
x
Şekil 1. 31 6+ 24 x14+ 27 x19 Gx = 240 x240 = 7,86cm + 24+ 27 10 + 24 x 3+ 27 x 4 Gy = 240 x240 = 8,86cm + 24 + 27
x 6 14 19
1 2 3
Jx − x =
12 x 20 3 12
y 10 3 4
F 240 24 27
ex 1,14 5,86 6,86
+ 240 x1,29 +
4 x 63 12
ey 1,86 6,14 11,14
ex2 1,29 34,3 47
ey2 3,45 37,6 124
x6 + 24 x34,3 + 912 + 27 x 47 3
⇒ Jx − x = 10527,8cm 4
İx − x = Jy − y =
10527 ,8 291
20 x12 3 12
= 6cm
x4 + 240 x3,45 + 6 12 + 24 x37,6 + 0 + 124 x 27 3
⇒ Jy − y = 7990,4cm4
İy − y =
7990 , 4 291
= 5,2cm
17
Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
y
4,1 9
x2
18 1,9 2,6
Gı x1
2,1 2,9 y2
10,9
8.
y1 0
x
6
4 Şekil 1. 32
no 1 2
x 2 7
y 9 13,5
Gx =
Gy =
72 x 2 + 54 x 7 72 + 54 72 x 9 + 54 x13, 5 72 + 54
Jx1 =
bh 3 12
Jx2 =
F 73 54
ex 1,9 2,6
Ey 2,1 2,9
= 4,1cm
= 10,9cm
=
bh 3 12
4 x18 3 12
=
= 1944cm 4
= 365cm 4
6 x93 12
Jx − x = (1944 + 72 x1,9 2 ) + (365 + 54 x 2,6 2 ) = 2934cm 4
İx =
Jx − x
=
Jy1 =
hb3 12
= 1812x 4 = 96cm 4
Jy2 =
hb 3 12
=
∑F
2934 72154
= 4,8cm
3
9 x 63 12
= 162cm4
Jy − y = (96 + 72 x 2,12 ) + (162 + 54 x 2,9 2 ) = 1030cm 4
18
ÖLÇME VE VE DEĞERLENDİRME ÖLÇME DEĞERLENDİRME
6
20
14
Bu faaliyet kapsamında kazandığınız bilgileri aşağıdaki soruları cevaplayarak değerlendireceksiniz. 1. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.
12
9
4
Şekil 1. 33
2. Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve atalet yarıçapını bulunuz.
4
8
12
4
3. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
6
4
4
Şekil 1. 34
16
20
20
16
4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
8
20
14
19
Şekil 1. 35
10
10
24
12
13
5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
16
10
18
Şekil 1. 36 6. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
5
18
10
r=3
3
1
Şekil 1. 37 7. Aşağıda verilen bileşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. y 1,8 1,2 0,8
20
Şekil 1. 38 8. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. 16
20
14
16
10
Şekil 1. 39
4
10
32
20
10
4
9. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız. y 8 10 6 22
Şekil 1. 40 10. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayınız.
20
10
16
16
23
30
23
10
20
36
21
Şekil 1. 41
CEVAP ANAHTARI 1.
y
7,86
0
14
G1 y1 Gy
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
8,86
x1
6
20
Gx G
x y F 1 6 10 240 2 14 3 24 3 19 4 27
x
Şekil 1. 42
Gx =
240 x 6+ 24 x14+ 27 x19 240+ 24+ 27
= 7,86cm
Gy =
240 x10+ 24 x 3+ 27 x 4 240+ 24+ 27
= 8,86cm
2.
r =10 cm
Şekil 1. 43 3
Jx = Jy = π64D = 3,1464x 20 = 7850cm 4 4
İx = İy =
Jx F
=
7850 314
= 5cm
22
3.
y
5,59
x1 G1
y2
4,41
y1 0
y3
0,59
6
4
G3
4
8
G
4
9,76
G2
x3
0,24 4,24
4
x2
12
6,41
x
4
Şekil 1. 44 no 1 2 3
Gx = Gx =
x 2 7 12
64 x 2 + 24 x 7 + 48 x12 64 + 24 + 48 64 x 8 + 24 x14 + 48 x10 64 + 24 + 48
Jx1 = bh12 = 3
y 8 14 10
F 64 24 48
ex 1,76 4,24 0,24
Ey 4,41 0,59 5,59
= 6,41cm = 9,76cm
= 1365,3cm 4
4 x123 12
3 6 x4 3 x 43 Jx3 = bh12 = 612 = 576cm 4 Jx 2 = = 32cm 4 12 Jx − x = (1365,3 + 64 x1,76 2 ) + (32 + 24 x 4,24 2 ) + (576 + 48 x0.24 2 ) = 2605,77cm 4
İx =
Jx − x
∑F
=
2605, 77 64 + 24 + 48
= 4,37cm
Jy1 =
hb 3 12
= 1612x 4 = 85,33cm4
Jy2 =
hb 3 12
=
Jy3 =
hb 3 12
3
4 x 63 12
= 72cm 4
= 1212x 4 = 64cm4 3
23
Jy − y = (85,33 + 64 x 4,412 ) + (72 + 24 x0,59 2 ) + (64 + 48 x5,59 2 ) = 2974,27cm 4
İy =
Jy − y
∑F
=
= 4,67cm
2974 , 27 64 + 24 + 48
4.
20,22
20
16
y
G
ey2
y1
y2 ey1
8
14
x3
G3
ey3
y3
20
G2
ex3
G1
x1
0
ex1
16
ex2
x2
x
20
Şekil 1. 45 No 1 2 3
x 4 15 32
y 8 18 10
F 128 504 400
ex 5,65 4,35 3,65
ey 16,22 5,22 11,78
ex2
ey2
31,92 18,92 13,32
263 27,24 138,76
Gx =
128 x 4 + 504 x15 + 400 x 32 128 + 504 + 400
= 20,22cm
Gx =
128 x 8 + 504 x18 + 400 x10 128 + 504 + 400
= 13,65cm
Jx − x =
8 x163 12
x 36 + 128 x31,92 + 14 12 + 504 x18,92 + 3
20 4 12
+ 400 x13,32
Jx − x = 6816,42 + 6396,68 + 18661,33 = 89445,43cm 4
İx− x =
Jx − x F
∑
=
89445, 43 1032
= 9,3cm
24
J y− y =
hb 3 12
x14 = 1612x8 + 128 x 263 + 3612 + 504 x 27,24 + 2012 3
3
4
+ 400 x138,76 = 125144,8cm 4 Jy − y
İy =
=
∑F
125144 ,8 1032
= 11cm
5. y
13
18
y1
24
G x3
29,6
x4 y2
0
16
10
y3
x5
y4
y5 10
18
10
x2
56
12
x1
x
Şekil 1. 46
no 1 2 3 4 5
x 13 13 32 35 21
y 61,5 28 28 10 15
F 265,4 1456 216 360 100
ex 31,82 1,68 1,68 19,6 14,6
ex2 1012,5 2,82 2,82 387,3 215,5
ey 5,1 5,1 13,9 16,9 2,9
ey2 26 26 193,2 285,6 9,41
Gx =
265 , 46 x13+1456 x13+ 216 x 32 + 360 x 35 −100 x 21 265 , 4 +1456 + 216 + 360 −100
= 18,10cm
Gy =
265, 46 x 61, 5 +1456 x 28 + 216 x 28 + 360 x10 −100 x15 265 , 4 +1456 + 216 + 360 −100
= 29,68cm
Jx − x = 0,00686 D 4 + 265,46 x1012,5 +
26 x 563 12
+ 1456 x 2,82
x 24 x 20 x10 + 18 36 + 216 x 2,82 + 1812 + 360 x387,3 − 1012 + 100 x 215,5 3
3
3
Jx − x = 793100,7cm 4
İx−x =
Jx − x
∑F
=
793100 , 7 2197 , 46
= 18,9cm
25
x 26 J y − y = 0,00686 D 4 + 265,4 x 26 + 56 12 + 1456 x 26 + 216 x193,2 3
+
360 x 285,6 − 10 x103 + 100 x9,41 → J y − y = 282405,4cm 4
20 x18 3 12
Jy − y
İ y− y =
∑F
=
282405 , 4 2197 , 46
= 11,33cm
6. y
5
18
r=3 x1
G
y2
10
x2
y1
10,11
0
x
Şekil 1. 47 No 1 2
x 9 3
y 5 5
F 180 28,2
ex 0 0
ey 1,11 7,11
ex2
ey2
0 0
1,23 50,5
F2 =π.r2 = 3,14.32 =28,2cm2 3,14.6 4 4 πD 4 = 63,61cm 4 Jx = Jy = 64 cm = 64
Gx =
180 x 9 − 28, 2 x 3 180 − 28, 2
= 10,11cm
Gy =
180 x 5 − 28 , 2 x 5 180 − 28 , 2
x10 Jx − x = ( 1812 + 180 x 0) − (63,61 + 28,2 x1,23) 3
→ Jx − x = 1401,70cm 4
İx−x =
Jx − x F
∑
=
1401, 7 151,8
= 3cm
x18 Jy − y = ( 1012 + 180 x1,23) − (63,61 + 28,2 x50,5) 3
→ Jx − x = 3593,69cm 4 26
= 5cm
Jy − y
İ y− y =
∑
F
=
3593, 6 151,8
= 4,86cm
7.
y 1,2
0,8 1
G1
G
2 3
G2
2,37
1
0,8
1,4
0
x Şekil 1. 48
No 1 2
x 1,4 1,4
y 3,5 1,5
F 2,8 3,6
ex 1,13 0,87
Gx =
2 , 8 x1, 7 + 3, 6 x1, 4 2 , 8 + 3, 6
= 1,4cm
Gy =
2 ,8 x 3, 5 + 3, 6 x1, 5 2 , 8 + 3, 6
= 2,37cm
Jx − x =
İx−x =
2 , 8 x13 12
Jx − x F
∑
=
∑
F
=
ey2 1,276 0,756
3
9 , 22 6, 4
3
Jy − y
ex2
+ 2,8 x1,276 + 1, 212x 3 + 3,6 x0,756 = 9,22cm 4
= 1,2cm
2 ,8 Jy − y = 1x12 + 2,8 x0 +
İy− y =
ey 0 0
4 , 09 6, 4
3 x1, 2 3 12
+ 3,6 x0 = 4,090cm4
= 0,79cm
27
0 0
8.
y
10
16
20
1
16
2
16,55
14
G
0
x
23,96 Şekil 1. 49
No 1 2 3
x 5 18 36
y 15 22 15
F 300 256 600
ex 1,55 5,45 1,55
ey 18,96 5,96 12,04
ex2 2,40 29,70 2,40
ey2 359,4 35,32 144,9
+ 256 x18 + 600 x 36 Gx = 300 x 5300 = 23,96cm + 256 + 600 + 256 x 22 + 600 x15 Gy = 300 x15300 = 16,55cm + 256 + 600
Jx − x =
10 x 30 3 12
x16 + 300 x 2,40 + 1612 + 256 x 29,70 + 3
+ 600 x 2,40 = 82724,53cm 4
İ x− x =
Jx − x F
∑
=
82724, 53 1156
= 8,45cm
28
20 x 30 3 12
Jy − y =
30 x10 3 12
x16 + 300 x359,4 + 1612 + 256 x35,52 + 3
30 x 20 3 12
+ 600 x144,96 = 231850,45cm 4 Jy − y
İ y− y =
∑F
=
231850 , 45 1156
= 14,16cm
9.
y
8
10
22
6
2
10
4
1 3
20
4
10
32
G
0
x Şekil 1. 50
Gx =
Gy =
= 23,41cm
1840 x 23− 704 x19 − 200 x 35 1840 − 704 − 200
1840 x 20 − 704 x 20 − 200 x 20 1840 − 704 − 200
No 1 2 3
Jx − x =
46 x 40 3 12
x 23 19 35
y 20 20 20
F 1840 704 200
+ 1840 x 0 −
ex 0 0 0
22 x 32 3 12
= 178592cm 4
İx−x =
Jx − x F
∑
=
178592 , 936
= 20cm
= 13,81cm
29
ey 0,4 4,4 11,3
ex2
ey2
0 0 0
0,16 19,36 134,5
x 20 − 704 x0 − 10 12 200 x 0 3
Jy − y =
+ 1840 x0,16 −
40 x 46 3 12
32 x 22 3 12
− 704 x19,36 −
20 x10 3 12
− 200 x134,5 = 284749cm 4 Jy − y
İy− y =
=
∑F
284749 936
= 17,44cm
10.
y
10
20
16
4
30
23
1
10
G
3
0
23
16
2
20
x
36 Şekil 51
Jx, Jy = 0,00686 D 4 = 1097,6 =
4r 3π
4 x10 3π
= 4,24
x 20 30 48 20
y 31 8 11,5 40,24
No 1 2 3 4
Gx =
F 1200 320 368 157,7
ex 8,4 14,6 11,1 17,6
ey 7,8 2,2 20,2 7,8
ex2
ey2
70,5 213,1 123,2 311,1
60,8 4,84 40,84 60,84
1200 x 20 + 320 x 30 + 368 x 48 −157 , 7 x 20 x19 − 200 x 35 1200 + 320 + 368 −157 , 7
Gy =
1200 x 21+ 320 x 8 + 368 x11, 5 −157 , 7 x 40 , 24 1840 − 704 − 200
Jx − x =
40 x 30 12
3
+ 1200 x 70,5 −
20 x16 12
3
= 27,80cm
= 21,7cm
x 23 + 320 x 213,1 + 16 12
3
+ 368 x123,2 − 1097,6 − 157,7 x311,1 = 256730,6cm 4
İ x− x =
Jx − x F
∑
Jy − y =
=
256730 , 6 1730 , 3
30 x 40 3 12
= 12,18cm
x 20 + 1200 x 60,8 + 16 12 + 320 x 4,8 + 3
23 x16 3 12
+ 368 x 408,4 − 1097,6 + 157,7 x60,84 = 394807,6cm 4
İ y− y =
Jy − y
∑
F
=
394807 , 6 1730 , 3
= 15cm
30
DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek kendinizi değerlendiriniz. Hatalı cevaplar için faaliyeti tekrarlayınız. Tüm cevaplarınız doğru ise diğer faaliyete geçiniz.
ÖĞRENME FAALİYETİ-2
ÖĞRENME FAALİYETİ - 2 AMAÇ Bu öğrenme faaliyeti ile öğrenci, gerekli ortam sağlandığında mukavemet momenti hesabı yapabilecektir.
ARAŞTIRMA Bu faaliyeti tam olarak kavrayabilmeniz için ağırlık merkezi ve moment konusunu öğrenmeniz gerekmektedir. Burada kısa bilgi verilecektir ancak bu konuda araştırma yapmanız gerekecektir. Eğilme dayanım problemlerinin çözümü için; 1- Kiriş kesitlerinin atalet momentlerinin, 2- Kirişlerin dayanım momentlerinin, 3- Kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesini bilmemiz gerekir.
2. MUKAVEMET (DAYANIM) MOMENTİ HESAPLARI YAPMA 2.1. Mukavemet (Dayanım) Momenti a-Tanım 2.1.1. Eğilme Momenti Bir kirişin kesitinde, dış kuvvetlerin etkisiyle (kiriş tarafsız ekseninden geçen bir düzlem içerisinde) kuvvet çifti doğuyorsa, buna basit eğilme adı verilir. Kuvvet çiftinin belirttiği düzleme eğilme düzlemi denir. Kuvvet çiftinin momentine ise eğilme momenti denir ve (Mb) ile gösterilir. Mb= σ x W‘dir. Eğilen kiriş kesitinin bir tarafında çekme, öteki tarafında basınç gerilmeleri doğar. Çubuğun çekme tarafında lifler uzar, basınç tarafında kısalır. Bu nedenle çekme tarafında kopma, basınç tarafında ezilme olabilir. Tarafsız eksende uzama ve kısalma yoktur. Eğilme momenti birimi tm, tcm, kgm, kgcm ile gösterilir.
31
Tarafsız eksen
b A
ç
B
L
Şekil 2.1 2.1.2. Eğilme Gerilmesi Eğilmeye zorlanan cisimlerin en dış noktalarında meydana gelen çekme ve basınç gerilmelere denir. σ (sigma) sembolü ile gösterilir. Birimi kg/cm2 ile ifade edilir. Basit kirişlerde yükleme durumuna göre eğilme (fleş) miktarını veren formüller vardır. 2.1.3. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramlarının Çizilmesi P=100 kg 20 cm
80 cm B
A
RB +1600 cm2 -1600 cm2
A' A''
B'
B'' 400 800 1200 1600 Mmax
Şekil 2.2 Kuvvet diyagramında alanlar bulunur.(+;-) (işaretler ne için kullanılmış ?) Moment diyagramı alanlara göre çizilir.
M max =
Pxdxd1 L
80 x 20 = 100 x100 = 1600kg.cm
Önce mesnetlere gelen kuvvetleri buluruz.
RA =
Px 80 L
= 100100x 80 = 80kg
RB =
Px 20 L
= 100100x 20 = 20kg 32
Daha sonra kirişe paralel olan A’B’ noktasından RA kadar yukarı çıkılır. RA ‘nın bitim yerinden A’B’ eksenine paralel olarak P kuvvetinin uzantı çizgisine kadar gidilir. P ‘yi kesen noktadan P istikametinde ve P şiddeti kadar inilir. P şiddetinin bittiği noktadan A’B’ eksenine paralel RB şiddeti kadar çıkılır. Böylece kesme kuvvetleri diyagramı çizilir ve kirişteki en tehlikeli nokta görülür. A’B’ çizgisine paralel A’’B’’ çizgisi çizilir. Pxdxd1 formülünden max L
=
M
M max =
Pxdxd1 L
80 x 20 = 100 x100 = 1600kg.cm
bulunur.
Bu sonuç bize en büyük eğilme momentini verir. Şekillerde çeşitli yüklemelere göre kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları görülüyor. L/3
P1
P2
2L/4 B
A RB
B' RB
En tehlikeli kesit
A'
L
Mmax
Şekil 2.3 q kg/m
q 1000 B
A RB
B' RB
En tehlikeli kesit
A'
Mmax
Şekil 2. 4
R A− B =
qxL 2
M max =
= 10002 x1 = 500kg
qxl 2 8
= 10008x1
2
M max = 125kgm = 12500kgcm 33
2.1.4. Mukavemet Momenti Herhangi bir kesitin kendi ağırlık merkezinden gelen mukavemet momenti, aynı eksene göre alınan atalet momentinin tarafsız eksen ile yüzeyden uzak mesafenin atalet momentine bölümü o yüzeyin mukavemet momentini verir.”W” ile gösterilir.
b- Çeşitleri Basit kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti Birleşik kesitlerin mukavemet (dayanım) momenti Basit Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) Momenti En çok kullanılan kesitlerin ağırlık merkezinden geçen tarafsız eksenlerine göre( x-x ve y-y eksenleri ) mukavemet momentleri aşağıdaki maddeler halinde verilmiştir. Örneğin, X-X eksenine göre atalet momenti WX , Y-Y eksenine göre atalet momenti WY ile gösterilmiştir.
h/2
a) Dikdörtgeny
x
h
G b/2
b
Wx =
bh3 12 h 2
= bh12 × h2 = bh6 cm3
Wy =
hb3 12 h 2
= hb6 = bh6 cm3
3
Şekil 2. 5
y b=h G
x
h
b) Kare
Wx = b
Şekil 2. 6
34
h3 6
cm 3
2
2
2
c) Üçgen
h/2
G
2 3
h = bh24 cm 3
1 3
h = bh12 cm 3
2
2
Şekil 2. 7
d) Daire NORMAL DAİRE
Wx = Wy = π32D cm3 3
Şekil 2.8
e) Yarım daire
Wx = 0,0323D 3cm 3 Şekil 2.9
f) Boru DELİKLİ DAİRE 4
Dı
Şekil 2.10
g) Çeyrek daire
W1 = 0,0162 D 3
G
W2 = 0,012 D 3
e1
e2
4
Wx = Wy = π ( D32−DD1 ) cm3
D
Şekil 2.11
h) Parabol
35
y
b
a
G x
Wx =
πab 2
Wy =
πba 2
4
4
Şekil 2.12
Birleşik Kesitlerin Mukavemet (Dayanım) Momenti Atalet momentini (J) tarafsız eksenden kirişin üst kenarına olan uzaklığa (e) bölerek (W) dayanım momenti bulunur. Aşağıdaki formüle dikkat ediniz.
W =
JX e
e : Tarafsız eksene olan kirişin en uzak noktası
1. 2 e2
y
J 2−2 = Jy + Fe2
x e1
G
J 1−1 = Jx + Fe1 W1−1 =
1
2 01
Ý=
J1−1 e
J1−1 F
atalet
mukavemet atalet yarýçapý
Şekil 2.13
2. 2
12
y G
x13 J x − x = 1412 = 2016 3
x12 J 1−1 = 1412 + (14 x12)(16 2 )
x
3
16 2 01
14
= 4502cm 4 1
Şekil 2.14
3.
36
W1−1 =
4502 16
= 2814cm 3
İx =
4502 168
= 16,37cm
2
INP 320
J X = 12510cm 4 → tablodan F = 77,7cm 4 → tablodan 40 cm
J 1−1 = 12510 + 77,7 x 40 2
2
1
= 136,830cm 4
1
W1−1 =
J1−1 40
İ1 =
J1−1 77 , 7
Şekil 2.15 Birimi : Mukavemet momentinin birimi ‘cm3, dm3 ‘ tür.
UYGULAMA FAALİYETİ UYGULAMA FAALİYETİ 37
= =
136 ,830 40
= 3420,75cm 3
136 , 830 77 , 7
= 42cm
MUKAVEMET MOMENTİ HESABI UYGULAMALARI 1.Aşağıda verilen basit yüzeyin (kesitin) atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
6
y
G
12
x
10
Jx =
bh 3 12
x12 = 1012 = 1440cm 4
Jy =
hb 3 12
x10 = 1212 = 1000cm 4
3
3
Wx =
bh 2 12
x12 = 1012 = 240cm 3
Wy =
hb 2 12
x10 = 1212 = 200cm 3
2
2
44 cm
Şekil 2.16 2.Aşağıda verilen şeklin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
Jx =
20 cm
=
bh 3 12
20 x 44 3 12
= 47324,44cm 4
Wx =
bh 2 24
=
20 x 44 2 24
= 1613,33cm 3
Wx =
bh 2 12
=
20 x 44 2 12
= 3226,63cm 3
Şekil 2.17 3.Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. Birimleri cm alınız. x y F 1 6 8 192 2 15 3 36 10
18
Gı yı
0
x2
Gz y2 6
12
38
6
16
xı
x
Şekil 2.18 e1y x y F 1 6 8 192 2 15 3 36
e1x
Gı
G e2x
G2
0
x
e2y
Şekil 2.19 3.1.Kesit basit şekillere ayrılarak teker teker alanları hesaplayınız. Birleşik kesitin ağırlık merkezinin yeri bulunuz. 3.2. e1x , e2x , e1y , e2y uzunluklarını bulunuz. 3.3. J1X , J2X , J1Y , J2Y hesaplayınız. 3.4. Steiner teoremini uygulayınız. 3.5. Mukavemet momentini hesap ediniz. ÇÖZÜM: 3.1. F1 = 16x12 = 192 cm2 F2 = 6x6 = 36 cm2 ∑F= F1+F2 = 192+36 = 228 cm2 X ve Y eksenlerine göre F1 ve F2 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1 = 6 cm X2 = 15 cm Y1 = 8 cm. Y2 = 3 cm
Gx = Gy =
F1 x1 + F2 x2 +... + Fn xn F1 + F2 +... + Fn
»
Gx =
6 x192 +15 x 36 192 +36
= 7,42cm
F1 y1 + F2 y 2 +...+ Fn y n F1 + F2 +...+ Fn
»
Gy =
8 x192 +3 x 36 192 +36
= 7,210cm
Gx = 7,42 cm
Gy = 7,21 cm ağırlık merkezinin yeri
3.2. e1x = (y1-gy) = 8 – 7,21 = 0,79 cm
e2x = (gy-y2 ) = 7,21-3 = 4,21 cm
e1y = (gx-x1) = 7,42 - 6 = 1,42 cm
e2y = (x2-gx ) = 15-7,42 = 7,58 cm
39
Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz no x y F ex ey ex2 ey2 1 6 8 192 0,79 1,42 0,62 2,016 2 15 3 36 4,21 7,58 17,72 57,45 3.3.
Jx =
Jx = 1212x16 = 4096cm 4 3
Jy = 1612x12 = 144cm 4
64 12
= 108cm 4
6 Jy = 12 = 108cm 4
3
4
3.4. JX-X = ( J1X + F1 .
e1y2 ) + ( J2X +
JY-Y = ( J1y + F1 .
e1x2 ) + ( J2y +
F2 . F2
.
e2y2 ) e2x2 )
4
Jx − x = ( 1212x16 + 192 x0,62) + ( 126 + 36 x17,72) ⇒ Jx − x = 4960,2cm 4 3
6 Jy − y = ( 1612x12 + 192 x 2,01) + ( 12 + 36 x57,45) ⇒ Jy − y = 4864,32cm 4 3
4
3.5.
Wx − x =
4960 , 2 8, 73
= 564,3
, 32 Wy − y = 4864 = 459,76 10 , 58
4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
6
10
16
24
8
8
Şekil 2.20
40
6
x2
G2
16
x1
G1 y1
10
G3
x3 y2
x 1 4 2 11 3 19
y F 12 192 20 48 12 240
24
8
8
y
y3
x
0
Şekil 2.21 4.1.Kesit basit şekillere ayrılarak alanları teker teker hesaplayınız. Bileşik kesitin ağırlık merkezinin yerini bulunuz. 4.2. e1x , e2x , e3x , e1y , e2y , e3y uzunlukları bulunuz. 4.3. J1X , J2X , J3X, , J1Y , J2Y J3y hesaplayınız. 4.4.Steiner teoremini uygulayınız 4.5. Mukavemet momentini hesap ediniz. ÇÖZÜM: 4.1. F1 = 8x24 = 192 cm2 F2 = 6x8 = 48 cm2 F3 = 10x24 = 240 cm2 ∑F= F1+F2 + F3 = 192 + 48 + 240 = 480 cm2 X ve Y eksenlerine göre F1 , F2 ve F3 ‘ nin ağırlık merkezi koordinatları X1 = 4 cm X2 = 11 cm X3 = 19 cm Y1 = 12 cm Y2 = 20 cm Y3 = 12 cm 4 + 48 x11+ 240 x19 G1 x = 192 x192 = 12,2cm G1 y = + 48+ 240
4.2. e1x = (gy- y1 ) = 12,8 – 12 = 0,8 cm. e2x = (y2 - gy ) = 20-12,8 = 7,2 cm e3x = (gy- y1 ) = 12,8 – 12 = 0,8 cm
192 x12+ 48 x 20+ 240 x12 192+ 48+ 240
e1y = (gx-x1) = 12,2 – 4 = 8,2 cm e2y = (gx-x2) = 12,2 - 11= 1,2 cm e3y = (x3-gx ) = 19-12,2 = 7,58 cm
Bu yapılanları tablo halinde de düzenleyebiliriz. No 1 2 3
x 4 11 19
y 12 20 12
F 192 48 240
ex 0,8 7,2 0,8
41
= 12,8cm
ey 8,2 1,2 6,8
ex2 0,64 51,84 0,64
ey2 67,24 1,44 46,24
4.3.
Jx1 = 8 x1224 = 9216cm 4 3
Jy1 =
24 x 83 12
Jx2 =
6 x 83 12
x 24 = 96cm 4 Jx3 = 10 12 = 11520cm 4 3
x6 = 1024cm 4 Jy 2 = 812 = 144cm 4 Jy3 = 3
24 x103 12
= 2000cm 4
JX-X =
4.4. ( J1X + F1 .
e1y2 ) + ( J2X +
F2 .
e2y2 ) + ( J2X +
F2 .
e2y2 )
JY-Y =
( J1y + F1 .
e1x2 ) + ( J2y +
F2 .
e2x2 ) + ( J2y +
F2 .
e2x2 )
Jx − x =
8 x 24 3 12
x8 x 24 + 192 x0,64 + 612 + 45 x51,84 + 10 12 + 240 x0,64 3
3
⇒ Jx − x = 23756,7cm 4 3 x 63 x10 3 Jy − y = 2412x 8 + 192 x67,24 + 812 + 48 x1,44 + 2412 + 240 x 46,24 ⇒ Jy − y = 2744,72cm4 4.5.
Wx − x =
23756 , 7 12 ,8
= 1855,9cm 3
, 72 Wy − y = 27244 = 2233,17cm 3 12 , 2
5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
42
y
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
0
8,86
14
G1 y1 Gy
6
20
Gx G x1
y F 10 3 24 4 27
x 1 6 2 14 3 19
7,86
x
Şekil 2.22
Gx =
240 x 6 + 24 x14 + 27 x19 240 + 24 + 27
= 7,86br
Gy =
240 x10 + 24 x 3 + 27 x 4 240 + 24 + 27
= 8,86br
x 6 14 19
1 2 3
Jx − x =
12 x 20 3 12
y 10 3 4
F 240 24 27
ex 1,14 5,86 6,86
+ 240 x1,29 +
ey 1,86 6,14 11,14
4 x 63 12
ex2 1,29 34,3 47
ey2 3,45 37,6 124
+ 24 x34,3 +
9 x 63 12
+ 27 x 47
⇒ Jx − x = 10527,8cm 4 3 ,8 Wx − x = 10527 11,14 = 945,04cm
Jy − y =
20 x12 3 12
x4 + 240 x3,45 + 612 + 24 x37,6 + 0 + 124 x 27 3
⇒ Jy − y = 7990,4cm4 ,4 Wy − y = 7990 = 466,18cm 3 17 ,14
6. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
43
y
4,1 9
18 1,9 2,6
x2 x1
2,1 2,9 y2 y1
0
10,9
Gı
x
6
4
Şekil 2.23 no 1 2
Gx =
x 2 7
y 9 13,5
72 x 2 + 54 x 7 72 + 54
F 73 54
ex 1,9 2,6
Ey 2,1 2,9
= 4,1cm
x13, 5 Gy = 72 x 972+ 54 = 10,9cm + 54
Jx1 =
Jx2 =
bh 3 12
bh 3 12
=
4 x18 3 12
=
= 1944cm 4
= 365cm 4
6 x93 12
Jx − x = (1944 + 72 x1,9 2 ) + (365 + 54 x 2,6 2 ) = 2934cm 4
Wx =
Jx − x ex
=
Jy1 =
hb 3 12
= 1812x 4 = 96cm 4
Jy2 =
hb 3 12
=
2934 10 , 9
= 270cm 3
3
9 x63 12
= 162cm 4
Jy − y = (96 + 72 x 2,12 ) + (162 + 54 x 2,9 2 ) = 1030cm 4
Wy =
Jy − y ey
= 1030 = 175cm 3 5,9
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME 44
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Bu faaliyet kapsamında kazandığınız bilgileri aşağıdaki soruları cevaplayarak değerlendireceksiniz
6
20
14
1.Aşağıda verilen birleşik yüzeyin ağırlık merkezini analitik (hesap) yol ile bulunuz.
12
9
4
Şekil 2. 24
2.Çapı 20 cm olan dairenin atalet momentini ve mukavemet momentini bulunuz.
4
8
12
4
3. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
6
4
4
Şekil 2. 25
16
20
20
16
4. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
8
20
14
Şekil 2. 26
45
10
10
24
12
13
5. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
16
10
18
Şekil 2. 27
6. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
5
18
10
r=3
Şekil 2. 28
7. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız.
y 0,8 1
1,2
3
1,8
Şekil 2. 29
46
8. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. 16
20
14
16
10
Şekil 2.30
4
10
32
20
10
4
9. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. y 8 10 6 22
Şekil 2. 31
10. Aşağıda verilen birleşik yüzeyin atalet ve mukavemet momentini hesaplayınız. 20
10
16
16
23
30
23
10
20
36 Şekil 2.32
CEVAP ANAHTARI
47
1.
x 1 6 2 14 3 19
7,86
0
x1
14
y F 10 240 3 24 4 27
G1 y1 Gy
G3 G2 x3 x2 y3 y2 9 12 4
8,86
20
Gx G
6
y
x
Şekil 2. 33
Gx = Gy =
240 x 6 + 24 x14 + 27 x19 240 + 24 + 27
= 7,86br
240 x10 + 24 x 3 + 27 x 4 240 + 24 + 27
= 8,86br
2.
r =10 cm
Şekil 2. 34
Jx = Jy = π64D = 4
3,14 x 203 64
Wx = Wy = π32D = 3
3.
48
= 7850cm 4
3,14 x 202 32
= 785cm3
y
5,59
x1 G1 4,41
y1 0
y2 0,59
6
4
G3
y3 4
8
G
4
9,76
G2
x3
0,24 4,24
4
x2
12
6,41
4
x
Şekil 2. 35 no 1 2 3
Gx = Gx =
x 2 7 12
64 x 2 + 24 x 7 + 48 x12 64 + 24 + 48 64 x 8 + 24 x14 + 48 x10 64 + 24 + 48
Jx1 = bh12 = 3
y 8 14 10
F 64 24 48
ex 1,76 4,24 0,24
Ey 4,41 0,59 5,59
= 6,41cm = 9,76cm
= 1365,3cm 4
4 x12 3 12
3 6 x4 3 x 43 Jx3 = bh12 = 612 = 576cm 4 = 32cm 4 12 Jx − x = (1365,3 + 64 x1,76 2 ) + (32 + 24 x 4,24 2 ) + (576 + 48 x0.24 2 ) = 2605,77cm 4
Jx 2 =
Wx − x =
=
Jx − x ex
= 266,93cm 3
2605, 77 9 , 76
Jy1 =
hb 3 12
= 1612x 4 = 85,33cm4
Jy2 =
hb 3 12
=
Jy3 =
hb 3 12
3
4 x 63 12
= 72cm 4
= 1212x 4 = 64cm4 3
Jy − y = (85,33 + 64 x 4,412 ) + (72 + 24 x0,59 2 ) + (64 + 48 x5,59 2 ) = 2974,27cm 4
Wy − y =
Jy − y ey
=
2974, 27 9 , 59
= 310,14cm 3
4.
49
20,22
0
G
ey2
y1
y2 ey1
8
14
ex3
G1
x1
G2
ex1
16
ex2
x2
x3
G3
ey3
y3
20
20
16
y
x
20
Şekil 2. 36 No 1 2 3
x 4 15 32
y 8 18 10
F 128 504 400
ex 5,65 4,35 3,65
ey 16,22 5,22 11,78
ex2 31,92 18,92 13,32
ey2 263 27,24 138,76
+ 504 x15 + 400 x 32 Gx = 128 x 4128 = 20,22cm + 504 + 400 8 + 504 x18 + 400 x10 Gx = 128 x128 = 13,65cm + 504 + 400
Jx − x =
8 x163 12
x 36 + 128 x31,92 + 14 12 + 504 x18,92 + 3
20 4 12
+ 400 x13,32
Jx − x = 6816,42 + 6396,68 + 18661,33 = 89445,43cm 4
Wx − x =
Jx − x ex
=
J y− y =
hb 3 12
x14 = 1612x 8 + 128 x 263 + 3612 + 504 x 27,24 + 2012
89445 , 43 22, 35
= 4002,03cm 3
3
3
+ 400 x138,76 = 125144,8cm 4 Wy − y =
Jy − y ey
,8 = 125144 = 5745,8cm 3 21, 78
5.
50
4
y
18 13
x1
24
G x3
x2
y3
x4 y2
0
16
y4
y5 10
18
10
10
x5 29,6
56
12
y1
x
Şekil 2. 37 no 1 2 3 4 5
x 13 13 32 35 21
y 61,5 28 28 10 15
F 265,4 1456 216 360 100
ex 31,82 1,68 1,68 19,6 14,6
ey 5,1 5,1 13,9 16,9 2,9
ex2 1012,5 2,82 2,82 387,3 215,5
ey2 26 26 193,2 285,6 9,41
Gx =
265 , 46 x13+1456 x13 + 216 x 32 + 360 x 35 −100 x 21 265 , 4 +1456 + 216 + 360 −100
= 18,10cm
Gy =
265 , 46 x 61, 5 +1456 x 28 + 216 x 28 + 360 x10 −100 x15 265, 4 +1456 + 216 + 360 −100
= 29,68cm
Jx − x = 0,00686 D 4 + 265,46 x1012,5 +
26 x 563 12
+ 1456 x 2,82
x 24 x 20 x10 + 18 36 + 216 x 2,82 + 1812 + 360 x387,3 − 1012 + 100 x 215,5 3
3
3
Jx − x = 793100,7cm 4
Wx − x =
Jx − x ex
=
793100 , 7 39 , 32
= 20170,39cm 3
x 26 J y − y = 0,00686 D 4 + 265,4 x 26 + 56 12 + 1456 x 26 + 216 x193,2 3
+
20 x18 3 12
360 x 285,6 − 10 x103 + 100 x9,41 → J y − y = 282405,4cm 4
Wy − y =
Jy − y ey
=
282405, 4 26
= 10861,74cm 3
6.
51
y
5
18
r=3 x1 y2
G
10
x2
y1
10,11
0
x
Şekil 2. 38
No 1 2
x 9 3
y 5 5
F 180 28,2
ex 0 0
ey 1,11 7,11
ex2 0 0
ey2 1,23 50,5
F2 =π.r2 = 3,14.32 =28,2cm2 D Jx = Jy = π64 cm 4 = 4
Gx =
180 x 9 − 28 , 2 x 3 180 − 28, 2
3,14.6 4 = 63,61cm 4 64
= 10,11cm
Gy =
180 x 5 − 28, 2 x 5 180 − 28, 2
x10 Jx − x = ( 1812 + 180 x 0) − (63,61 + 28,2 x1,23) 3
→ Jx − x = 1401,70cm 4
Wx − x =
Jx − x ex
= 14015 , 7 = 280,34cm 3
x18 Jy − y = ( 1012 + 180 x1,23) − (63,61 + 28,2 x50,5) 3
→ Jx − x = 3593,69cm 4
Wy − y =
Jy − y ey
=
3593, 6 10 ,11
= 355,45cm3
7.
52
= 5cm
y 1,2
0,8 1
G1 2
G
3
G2
2,37
1
0,8
1,4
0
x Şekil 2. 39
No
x
1 2
y
1,4 1,4
F
3,5 1,5
2,8 3,6
ey ex2 ey2 0 1,276 0 0 0,756 0
ex 1,13 0,87
Gx =
2 , 8 x1, 7 + 3, 6 x1, 4 2 , 8 + 3, 6
= 1,4cm
Gy =
2 ,8 x 3, 5 + 3, 6 x1, 5 2 , 8 + 3, 6
= 2,37cm
Jx − x =
2 ,8 x13 12
3
+ 2,8 x1,276 + 1, 212x 3 + 3,6 x0,756 = 9,22cm 4
Wx − x =
Jx − x ex
Jy − y =
1 x 2 ,8 3 12
Wy − y =
Jy − y ey
=
=
9 , 22 2 , 37
= 3,8cm 3
+ 2,8 x0 + 4 , 090 1, 4
3 x1, 2 3 12
= 2,92cm3
8.
53
+ 3,6 x0 = 4,090cm 4
y
10
16 1
20
16
2
16,55
14
G
0
x
23,96 Şekil 2.40
No 1 2 3
x 5 18 36
Gx = Gy =
y 15 22 15
F 300 256 600
ex 1,55 5,45 1,55
300 x 5 + 256 x18 + 600 x 36 300 + 256 + 600 300 x15 + 256 x 22 + 600 x15 300 + 256 + 600
Jx − x =
10 x 30 3 12
ex2 2,40 29,70 2,40
ey 18,96 5,96 12,04
ey2 359,4 35,32 144,9
= 23,96cm = 16,55cm
x16 + 300 x 2,40 + 1612 + 256 x 29,70 + 3
20 x 30 3 12
+ 600 x 2,40 = 82724,53cm 4
Wx − x = Jy − y =
Jx − x ex
=
30 x10 3 12
82724 , 53 16 , 55
= 4998,46cm 3
x16 + 300 x359,4 + 1612 + 256 x35,52 + 3
+ 600 x144,96 = 231850,45cm 4 , 45 Wy − y = Jyey− y = 231850 = 9676,56cm3 23, 96 9.
54
30 x 20 3 12
y
8
10
22
6
2
10
4
1 3
20
4
10
32
G
0
x Şekil 2.41 23− 704 x19 − 200 x 35 Gx = 1840 x1840 = 23,41cm − 704 − 200 20 − 704 x 20 − 200 x 20 Gy = 1840 x1840 = 20cm − 704 − 200
No 1 2 3
Jx − x =
x 23 19 35
46 x 40 3 12
y 20 20 20
F 1840 704 200
+ 1840 x0 −
ex 0 0 0
ey 0,4 4,4 11,3
22 x 32 3 12
ex2 0 0 0
ey2 0,16 19,36 134,5
x 20 − 704 x0 − 10 12 200 x 0 3
= 178592cm 4 Wx − x = Jxex− x = 178592 = 8929,6cm 3 20 Jy − y =
40 x 46 3 12
+ 1840 x 0,16 −
32 x 22 3 12
− 200 x134,5 = 284749cm 4
Wy − y =
Jy − y ey
=
284749 23, 44
= 12147,9cm3
10.
55
− 704 x19,36 −
20 x10 3 12
y
10
10
16
4
30
23
1
20
G
3
16
23
2 0
20
x
36 Şekil 2. 42
Jx, Jy = 0,00686 D = 1097,6 4
4r 3π
=
= 4,24
4 x10 3π
No 1 2 3 4
Gx =
x 20 30 48 20
y 31 8 11,5 40,24
F 1200 320 368 157,7
ex 8,4 14,6 11,1 17,6
ey 7,8 2,2 20,2 7,8
ex2 70,5 213,1 123,2 311,1
ey2 60,8 4,84 40,84 60,84
1200 x 20 + 320 x 30 + 368 x 48−157 , 7 x 20 x19 − 200 x 35 1200 + 320 + 368 −157 , 7
= 27,80cm
1200 x 21+ 320 x 8 + 368 x11, 5 −157 , 7 x 40 , 24 1840 − 704 − 200
= 21,7cm
Gy = Jx − x =
40 x 30 3 12
+ 1200 x 70,5 −
20 x16 3 12
x 23 + 320 x 213,1 + 16 12
3
+ 368 x123,2 − 1097,6 − 157,7 x311,1 = 256730,6cm 4
Wx − x =
Jx − x ex
Jy − y =
=
30 x 40 3 12
256730 , 6 24 , 3
= 10565cm 3
x 20 + 1200 x 60,8 + 16 12 + 320 x 4,8 + 3
23 x16 3 12
+ 368 x 408,4 − 1097,6 + 157,7 x 60,84 = 394807,6cm 4 ,6 Wy − y = Jyey− y = 394807 = 14000cm3 28, 2 11. Şekil 39 da görülen kare kesitli bir kirişte eğilme gerilmesinin 2000 kg/cm 2 olabilmesi için mukavemet momentinin ne kadar olması gerektiğini hesaplayınız. 56
P=1000 kg/m L=120 cm x x
x-x kesiti
Şekil 2.43
M b = σ e xW
dir. Buradan
W =
Mb olur. σe
x120 W = 1000 = 60cm 3 2000
Sonuç: kare kesitin dayanım momenti 60 cm3 olmalıdır. 12. Şekil 40 ‘da görüldüğü gibi yüklenen 15cm çapında bir kiriş bu yükün altında ne kadar eğilir? (Elastisite modülü 2,1x106 kg/cm2 ‘dir.) p=14 ton L/2
d=15 cm
B
A
5m
Şekil 2. 44
Ortadan yüklenmiş kirişlerdeki eğilme miktarını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
f = f: eğilme miktarı
PxL3 dir. 48 xExJ
P:yük L: Açıklık
D j = π64
4
E: Elastikiyet katsayısı J: Atalet momenti
olduğundan, 4
,5 j = 3,1464x15 = 158962 = 2483,78cm4 64
olur.
J ‘yi eğilme formülünde yerinde koyacak olursak:
57
f =
PxL3 48 xExJ
=
14000 x 500 3 48 x 2 ,1 x10 6 x 2483, 78
= 1750000 = 6,98cm 250365
Sonuç: Kirişte eğilme miktarı 6,98 cm olur. 13. p=40 ton 3m
1m B
A RA
+ -
RB
Mmax
Şekil 2. 45
Şekildeki kiriş dairesel kesitli olup çapı 10 cm ‘dir. Bu kirişin kesme kuvveti eğilme momenti diyagramını çizerek; a) Mesnet tepkilerini, b) En büyük eğilme momentini,
c) Ne kadar eğileceğini bulalım. Elastisite modülü E = 1,1x10 6 kg / cm 2 a) Mesnet tepkileri ∑MA= 0 P x 300 – B x 400 =0 → 40000x300 -400B=0 →12000000=400B B=30000kg ∑MB= 0 -P x 100 + A x 400 =0 → -40000x100 +400A=0 →-4000000+400A=0 400A=4000000 →A=10000kg b) En büyük eğilme momenti
M max =
PxL1 xL2 L
=
40000 x 300 x100 400
= 3000000kgxcm
c) Eğilme miktarı
58
f =
PxL2 3 xExJxL
( Daha fazla bilgi için kaynak statik.mukavemet
MEB.)
Eğilme miktarını bulmak için önce atalet momentini bulmamız gerekir. Kesit daire olduğu için çizelgeden; 3,14.10 4 64
J=
πD 4 64
=
f =
PxL2 3 xExJxL
=
31400 64
= 490cm 4
bulunur.
Eğilme miktarı
=
40000 x100 3 x1,1 x10 6 x 490 x 400
=
4000000 646800 x10 6
= 6,18 x10 −6
14. Şekildeki çıkmalı kiriş, kuvvet ve yüklerle yüklenmiştir. Kirişin güvenli dayanımı 960 kg/cm2 olduğuna göre kesit çapı ne olur?
A
P=800 kg/m
100 kg/m
100 kg/m
B
RA 4m
2m
4m
2m
4m
600
800 1200 cm2 800 cm2 -800 cm2 -400 -800
200 cm
400
2400
1200 1600
400
-2400 2400Mmax.
2000
Şekil 2. 46
Çözüm: Önce mesnetlerden gelen yükleri buluruz.
∑M
A
=0
∑M
B
= 0 ’ dan
59
∑M
= −400 x 2 + 400 x 4 + 800 x8 − 12 xRB = 0
A
− 800 + 1600 + 6400 = 12 RB
12 RB = 7200 RB = 600kg
∑M
= −800 x 4 − 400 x8 + 12 xR A − 400 x14 = 0
B
− 3200 − 3200 + 12 R A − 5600 = 0
12 R A = 12000 R A = 1000kg Kirişin kesme kuvveti (v) ve eğilme momenti (M) diyagramlarını çizeriz. En büyük eğilme momenti Mb =2400 kgm =240000 kgcm bulunur.
σb =
Mb Wb
960 =
240000 Wb
Wb = 250cm 3 Wb =
πD 3 32
250 =
.3,14 D 3 32
D 3 = 2547,7 D = 13,65cm 15. Dikdörtgen kesitli bir ağaç kirişin genişliği 6 cm ve yüksekliği 12 cm ‘dir. Uygun görülebilecek en büyük gerilme 80 kg/cm2 olduğuna göre, kirişin taşıyabileceği en büyük eğilme momenti ne kadardır? P kuvveti ne kadar olabilir? P
h
80 cm
b
Şekil 2. 47
Kesit dikdörtgen olduğundan dayanım momenti;
Wb =
bxh 2 6
=
6 x122 6
= 144cm 3 60
Eğilme eğrisi;
σb =
Mb Wb
80 =
Mb 144
M b = 11520kgcm
M b = PxL P=
Mb L
= 11520 80 = 144kg
P = 144kg
DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız ve doğru cevap sayınızı belirleyerek kendinizi değerlendiriniz. Hatalı cevaplar için faaliyeti tekrarlayınız. Tüm cevaplarınız doğru ise diğer faaliyete geçiniz.
61
MODÜL DEĞERLENDİRME MODÜL DEĞERLENDİRME Aşağıdaki performans testi ile modülle kazandığınız yeterliliği ölçebilirsiniz. 1. Şekillerde görülen kirişlerin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çizerek en tehlikeli kesitlerin yerini bulunuz? a) P=100 kg
P=100 kg
B
A 30 cm 110 cm 180 cm
Şekil 2. 48
b) q1=200 kg/m
q2=300 kg/m
B
A 2m
1m
4m
Şekil 2. 49
c) P=1000 kg/m
q=200 kg/m
B
A
2m
3m
Şekil 2. 50
62
2m
2. Şekildeki kiriş kare kesitli olup bir kenarı 12 cm ‘dir. Elastisite modülü E=2 10 6 kg/cm2 ‘dir. Bu kirişin kesme kuvveti eğilme momenti diyagramını çizerek; a) Mesnet tepkilerini, b) En büyük eğilme momentini, c) Eğilme miktarını hesaplayınız.
q=1 ton/m B
A
Şekil 2.51
3.
a) Şekildeki kirişin kesme kuvveti (v), eğilme momenti (M) diyagramlarını çiziniz. b) Kiriş b/h =1/2 dikdörtgen olduğundan, güvenli çekme ve basma dayanımını 1200 kg/cm2 olduğuna göre kesit ölçülerini bulunuz. 60 ton
200 ton 40 kg/cm 30 kg/cm
3m
3m
3m
3m
5m
Şekil 2.52
Modülün değerlendirmesi sonucunda eksik olduğunuz konuları yeniden tekrar ederek eksik bilgilerinizi tamamlayınız. Kendinizi yeterli görüyorsanız bir sonraki modüle geçmek için öğretmeninize başvurunuz.
63
KAYNAKLAR KAYNAKLAR AYKUTLU Ali, Hasan GÖNÜL, Statik ve Yapı Hesapları, MEB Yayınları, İstanbul, 2001.
ARSLAN Mehmet, Cisimlerin Dayanımı, Arslan Basın Yayın, İstanbul, 1998. KARATAŞ Prof. Dr. Hasan, Mukavemet, İTÜ Mim. Fak. Yayınları,İstanbul ,1984. YILMAZ Yusuf, Statik Ders Notları, İSOV.Yapı Mes.Lis,İstanbul, 2001. (Yayımlanmamış)
64
