CAPITULO 8 Problema 1. Agua a 10°C es forzada a fluir en un tubo capilar D=0.8mm y 70m de longitud. La diferencia de presiones entre los extremos extremos del tubo es de 0.02 Kg/cm2. Determinar la velocidad media, el gasto y el numero de Reynolds para = 0.0133 cm2/seg.
En este problema se maneja un tubo horizontal de diámetro constante, implica que Z 1=Z2, por lo tanto V 1=V2.
P1
Z 1
h12
2
V 1
2g
P1 P2
P2
Z 2
200
2
V 2
2g
h12
kg 2
m kg 1000 m3
0.2 mts de columna de agua
Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el coeficiente de fricción, y como se nos da viscosidad se usara Darcy. 2
L V
f D 2 g
0.2 mts
ahora bien el coeficiente de friccion se calculara con f = 64/NR debido debido a que se supone que es un flujo laminar es decir con numero de Reynolds menor de 2000. Por otra parte el N R se calculara con la formula N R = = (VD) / . Entonces sustituyendo en nuestra ecuación de perdidas lo pasado tenemos que:
64 L V 2 Nr D 2 g
64 L V 2 VD D 2 g
0.2 0.2
64 ·V · L ·v 2 g · D 2
sustituyendo valores obtenemos
64(1.33 x10 )(70)V 6
(0.8 x10 3 ) 2 (19.62)
0.2
despejando la velocidad no queda que es V=4.2x10-4 m/s o bien 0.042 cm/s. Por ultimo el gasto y el numero numero de Reynolds se calculan con V=0.042 cm/s.
0.082· ·0.042 0.0002cm3 / s Q A·V 4 . Nr
VD
(0.042)(0.08) 0.0133
0.2526
Problema 2. Un enfriador de aceite consiste de tubos de 1.25 cm de diámetro interior y 3.65 m de longitud. El aceite, con un peso específico de 900 Kg/m3, es forzado a una velocidad de 1.83 m/seg. El coeficiente de viscosidad a la entrada es 0.28 poises y, a la salida, de 1 poise; puede considerarse que dicho coeficiente varía como una función lineal de la longitud. Determinar la potencia requerida para forzar el aceite a través de un grupo de 200 tubos semejantes en paralelo.
Para empezar debemos convertir las unidades al sistema técnico:
0.28 poises
1 poise
0.28 98.1
1 98.1
0.002854
0.010193
Kg · seg .
m2 Kg .· seg. m2
Estimación de la densidad:
g
900 Kg . / m3
9.81 m / seg 2
91.743
Kg .· seg 2 . m4
Calculamos las viscosidades cinemáticas de entrada y salida
Entrada
Salida
0.002854 91.743
0.010193
91.743
3.1108 x 10
1.111 x 10
m
5
2
seg. m2
4
seg.
Obtenemos el coeficiente de fricción de entrada y de salida f
64 Nr
64 V · D
64 V · D
f Entrada f Salida
64 ·3.1108 x 105 1.83· 0.0125
64 ·1.111 x 104 1.83· 0.0125
0.08703
.31084
f = g (L) = f Entrada + [( f Salida - f Entrada) / 3.65 ] L Numéricamente resulta: f = g (L) = 0.08703 + 0.06132 L Debido a que la viscosidad va cambiando junto con la trayectoria, nos vemos obligados a usar diferenciales para 2
obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que h 3.65
h
dh
f
0
3.65
dL V 2
g ( L) D 2g 0
f
L V
D 2 g
:
3.65
h
(0.08703 0.06132 · L) (1.83) 2 (0.0125) (19.62)
0
dL
h = 9.9153 mts
Q = A V = ( 1.2272 x 10-4 ) (1.83) = 2.2457x10-4 m3/seg. Ep = h
Pot 200 ·Q · · Ep
200 (2.2457 x 10 4 ) (900) (9.9153) 400.8022
Kg .· m seg
Pot = 5.239 H. P.
Problema 3. Agua a 5° C es bombeada a un tubo de cobre, liso, a una velocidad de 1.53 m/seg. Si el tubo tiene 2.5 cm. De diámetro y 46 m. de longitud, calcular la diferencia de presiones requeridas entre los extremos del tubo; use la fórmula de Nikuradse, para tubos lisos.
Primero calculamos el número de Reynolds y posteriormente el coeficiente de fricción:
Nr
V D
1.53 m / seg.0.025m 0.0000013m 2 / seg.
f
29423.07
1.325
5.74 ln Nr 0.9
2
f 0.0235 De donde f = 0.0236, sustituyendo en Darcy:
h 0.0236
46m
1.53m / seg.2
0.025m
2g
5.18m
h = 5.18 mts.
Problema 4. Aceite, con peso especifico de 800 Kg/m3 y con una viscosidad cinemática de 0.1858 cm 2/seg., se bombea a un tubo de 0.15 m de diámetro y 3050 m de longitud. a) Encontrar la potencia requerida para bombear 127 m3/h . b) si el aceite se calienta hasta que su viscosidad cinemática sea de 0.01858 cm 2/seg, determinar la potencia –ahora requerida- para bombear la misma cantidad de aceite que antes.
Para resolver este problema es necesario determinar primero el número de Reynolds, mediante el gasto podemos determinar la velocidad:
V = Q / A = [(127 m3/h)(1 h / 3600seg.)] / 0.018 = 1.99 m /seg. Nr
V D
1.99 m / seg.0.15m 0.00001858m 2 / seg.
16065.66
Dado la magnitud del número de Reynolds utilizamos la formula de Swamme para encontrar f :
1 f
2 log
Nr f
2.51
sustituyendo valores:
1 f
16065.66
2 log
f
2.51
De donde f = 0.0273 Sustituyendo en Darcy:
h 0.0273
3050m 1.99m / seg. 0.15m
2
112.04m
2g
Pot = Q h = ( 0.0353 m 3/seg.)(800 Kg/m 3)(112.04 m) = 3164.01 Kg . m/seg.
Pot = (3164.01 Kg. m/seg.)(1 Hp / 76.5 Kg. m /seg.) = 41.36 Hp Pot = 41.36 Hp Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:
Nr
v D
1 f
2 log
1.99 m / seg.0.15m 0.000001858m 2 / seg.
160656.6
160656.6
f
2.51
De donde f = 0.0163
3050m 1.99m / seg.
2
h
0.0163
0.15m
2g
67.08 m
Pot = Q h = ( 0.0353 m 3/seg.)(800 Kg/m 3)(67.08 m) = 1894.34 Kg.m/seg. Pot = 24.76 Hp.
Problema 5. Determinar el diámetro de la tubería vertical necesaria para que fluya un líquido, de viscosidad cinemática v = 1.5 x 10-6 m2/seg, con número de Reynolds de 1800.
Planteando una Bernoulli obtenemos que las pérdidas son: 2
h
64 L V V · D D 2 g
Tomando en cuenta que h = L y simplificando todo lo anterior resulta:
h L
1
64· ·V 2 · g · D 2
en donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que Nr = 1800 y por lo tanto la velocidad la dejamos en términos del Nr.
Nr
V · D
V
;
Nr · D
1800 D
Sustituyendo la velocidad en la ecuacion anterior tenemos:
1 = (115200 v ²) / (2 · g · D3) Despejando el diámetro tenemos
D = 2.36 x 10-3 m D = 0.236 cm
Problema 6. Calcular el gasto que fluye en el sistema indicado en la figura, despreciando todas las pérdidas excepto las de fricción
.
P1
Z 1
V 12
2g
P2
Z 2
V 22
2g
h12
En donde: P1 = P2 = 0, V1 = V2 = 0, Z2 = 0 Por lo que: h12 = 6
L V 2
h f D 2 g
Usando la ecuación de Darcy:
Sabemos que: f = 64 / Nr
y
además Nr = V.D / v
Sustituyendo en la ecuación de Darcy obtenemos:
h
64v LV 2 g D 2
Figura del problema 6
6
Es necesario determinar el valor de v para poder obtener el valor de la V, y para ello conocemos lo siguiente:
v = /
y que
= /g
Sustituyendo valores:
= 800/9.81 = 81.55
y además
Por lo que:
v = 0.001/81.55 = 0.0000122 Sustituyendo en la ecuación de pérdidas:
h
640.000012 4.8V 19.620.0062
Despejando: V = 1.132 m/seg. Por lo que el gasto:
Q = 0.032 lps
= 0.1 / 98.1 = 0.001
Problema 7. Cuando el gasto de agua en un tubo liso dado es de 114 lt/seg., el factor de fricción es f = 0.06 ¿ Qué factor de fricción se esperaría si el gasto aumenta a 684 lt/seg.
f = 64 / Nr ==> NR = 64 / f = 64 / 0.06 = 1067 < 2000
flujo laminar
Si el gasto es seis veces mayor: 114 x 6 = 684 lps Podemos esperar que: Nr = 6400 , es decir, seis veces mayor que el original. Con el diagrama de Moody para tubos lisos:
f = 0.035 Otra manera de calcularlo es utilizando la formula de Blasiss:
f
0.3164 0.25
Nr
0.3164 6400 0.25
0.035
Problema 8. Agua sale de un tubo horizontal nuevo (fierro fundido) de 0.305m de diametro. Para determinar la magnitud del gasto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141 kg/cm2. Estimar el gasto.
Para poder estimar el gasto, se tiene que las perdidas serian las siguientes:
h
P1 P2
P
1410 kg / m 2 1000 kg / m 3
h = 1.41m Ahora planteando la ecuacion de perdidas por Hazen Williams, se tiene el gasto siguiente:
h
10.645 L . 1.852 4.87 Q1.852 . C H D
Q
h.C D 1.852 . . 10.645 L
1
1.852 H
4.87
En donde h=1.41m, CH=130, D=0.305 y L=610, por lo tanto el gasto seria Q = 0.0602 m3/s.
Problema 9. El flujo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61 m/seg. Determinar la velocidad máxima al centro del tubo con: a) NR=1000. b) NR = 105
a)
Debido a que en este inciso nos encontramos con un flujo laminar usaremos la siguiente ecuacion expuesta con anterioridad:
V
v MAX
2
Por lo tanto:
v MAX
2·V 2·0.61m / seg. 1.22m / seg.
b) Para este caso, dado el número de Reynolds, es necesario recurrir a la siguiente formula:
v MAX V
1 3.75
f
8
2.5
f
8
· Ln
R r R
y = R-r es decir, es el complemento de r con r = 0, observamos que y = R
v MAX V
1 3.75
f
1 3.75
f
8
2.5
f
2.5
f
8
· Ln
R 0 R
Si r = R:
v MAX V
8
8
· Ln
R R R
R = 0, lo cual nos indica el lugar donde se presenta la velocidad máxima ( V = vMAX ), por lo que obtenemos finalmente:
v MAX V donde: f
1 3.75
f
8
1.325
5.74 Ln 3.7 · D Nr 0.9
2
El valor de se tomó como cero, debido a que se esta trabajando con un tubo liso.
f = 0.0116 Sustituyendo:
v MAX
0.61
1 3.75
0.0116 8
Vmax = 0.697 m/seg
Problema 10. En una prueba realizada con una tubería de 15cm de diámetro se ha medido una diferencia manometrica de 350mm, en un manómetro de mercurio conectado a dos anillos piezometricos, separados 50m. El gasto era de 3000 lt/min, esto equivale a 0.05 m 3/s. ¿Cuál es el factor de fricción f ?
Para dar solución a este problema se tiene que la ecuación de perdidas es la siguiente: 2
h
f
L V
D 2 g
donde L=50m, D=.15m, y la velocidad y las perdidas se calcularían de la siguiente manera: Como el gasto es de 0.05 m 3/s y el D=.15m, se tiene que la velocidad seria V=Q/A y esto seria igual a 2.82m/s. Ahora, si sabemos que el peso especifico es igual a 13600 kg/m3, la presión del mercurio seria la siguiente:
P = (13600 kg/m3)(.350m) = 4760 kg/m 2 por lo que se tiene que P/ = 4.76m = h estas serian las perdidas. sustituyendo y despejando la ecuación de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que
f
hD.2 g 2
LV
( 4.76)(0.15)(19.62) (50)(2.82) 2
0.035
Problema 11. Determinar la pérdida de energía que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una velocidad de 5 m/seg en una tubería de 12 mm de diámetro, v = 4 x 10-6 m2/seg. El número de Reynolds esta dado por:
NR = ( V · D ) / v = (5 m/seg · 0.012 m) / 4 x 10-6 = 15000 Calculo del factor de fricción:
f
1.325
5.74 0 .9 Ln 3.7 · D Nr
2
Para la obtención del valor del factor de fricción, con la anterior ecuacion, se tomó la siguiente consideración: = 0, ya que se trataba de un tubo liso.
f
1.325
5.74 Ln Nr 0.9
2
f = 0.028 Sustituyendo en la ecuacion de pérdidas de Darcy: 2
L V
h f D 2 g
0.028
1000
52
0.012 19.62
2973.16 m
h = 2973.16 m Problema 12. ¿ Qué diámetro de tubería de fierro galvanizado para que sea hidraulicamente lisa para un número de Reynolds de 3.5 x 10 5, la tubería de fierro galvanizado tiene una rugosidad absoluta de = 0.15 mm?
En el Diagrama de Moody para un Nr = 3.5 x 105, y para un tubo liso obtenemos:
D
0.0002
Sustituyendo y despejando:
D
0.15mm 0.0002
D = 750 mm
750mm
Problema 13. ¿ Cuál será el diámetro de una tubería nueva de fierro galvanizado, para que tenga el mismo factor de fricción para R e = 10 5, que una tubería de fierro fundido de 30cm. de diámetro?
Para una tubería nueva de fierro fundido: = 0.25 mm; con los datos anteriores calcularemos el factor de fricción: 1 2 . 51 2 log 3 . 71 · D Nr f f
0 .00025 2 .51 2 log 5 3 . 71 0 . 3 10 f
1 f
f = 0.019 Con el valor obtenido y la rugosidad absoluta (0.15 mm) del fierro galvanizado obtenemos el tamaño del diámetro:
0.00015 2.51 2 log 5 0.019 3.71· D 10 0.019 1
D = 0.185 m.
Problema 14. Calcular el factor de fricción para el aire, a presión atmosférica y a 15 ° C, que fluye por una tubería galvanizada de 1.2 m de diámetro, a velocidad de 25 m/seg. La viscosidad cinemática del agua a 15 °C es 16 x 10 –6, la cual, es necesaria para la estimación del número de Reynolds.
Nr
V · D v
2.5 m / seg.1.2m 0.000016m2 / seg.
1875000
La rugosidad absoluta presenta una magnitud de 0.15 mm, sustituyendo:
1 f 1 f
2 .51 2 log D 3 . 71 · Nr f 0.00015 2.51 2 log 3.711.2 187500
f
f = 0.0137
Problema 15. Calcular el diámetro de una tubería nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar 300 lt/seg. de agua a 25 ° C, a un km. de longitud y con una perdida de energía de 1.20 m. Para este problema utilizaremos la ecuación de Hazen-williams
h
10 .675 Ch
1 .852
L D
4 .87
Q 1 .852
El coeficiente Ch para una tubería nueva de fierro fundido es de 130, sustituyendo encontramos:
1.2
10.675 1000 1301.852 D
1.852 0 . 300 4.87
Despejando: D = 0.64 m.
Problema 16. Aceite, de viscosidad cinemática v = 2.79 cm2/seg, fluye en un ducto cuadrado de 5 x 5 cm. con una velocidad media de 3.66 m/seg. a) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud del conducto. b) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud, si las dimensiones del ducto cambian a 2.5 x 10 cm. c) Determinar la misma caída de presión, si el ducto tiene una sección triangular equilátera de 2.5 cm. de lado. Planteamos una ecuación de Bernoulli entre un punto a la entrada y otro a la salida:
P1
V 12
Z 1
2g
P2
Z 2
V 22
2g
h12
Donde: Z1 = Z2 y V1 = V2 Sustituyendo:
h12 = (P1 – P2) / Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el diámetro y el radio hidráulico: D = 4 RH Donde:
A ducto
RH
Pmojado
a) Para solucionar este inciso calcularemos el área y perímetro con los datos proporcionados.
Aducto = (0.05m) (0.05m) = 0.0025 m 2 Pmojado = 4 (0.05) = 0.2 m Sustituyendo:
RH
0.0025m 2 0.2m
0.0125m
y D = 4 (0.0125m) = 0.05 m
Estimación del número de Reynolds:
Nr
V · D v
3.66 m / seg.0.05m 0.000279 m 2 / seg.
655.91
Calculo del factor de fricción:
f
64 Nr
64 655 .91
0.0976
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para pérdidas:
h12
0 . 0976
100
3 .66 2
0 . 05
2g
h12
f
133 . 23 m
h12 = 123.23 b) Para este inciso sólo cambiamos las magnitudes de los lados
Aducto = (0.025m) (0.1m) = 0.0025 m 2
L V
2
D 2 g
Pmojado = 2 (0.025 + 0.1) = 0.25 m Sustituyendo:
RH
0 . 0025 m
0 . 25 m
El número de Reynolds:
V · D
Nr
2
v
3 .66
0 . 01 m y D = 4 (0.01m) = 0.04 m
m / seg .0 .04 m
0 .000279 m 2 / seg .
524 .73
Calculo del factor de fricción:
f
64 Nr
64
524 . 73
0 . 122
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas:
h12
0 . 122
100
3 .66 2
0 .04
2g
h 12
f
L V 2 D 2 g
208 . 18 m
h12 = 208.18 m
c) En este caso varia la forma en que se calcula el área y perímetro, ya que se trata de un triángulo equilátero
Aducto = (0.025m) (0.15m) = 0.000375 m 2 Pmojado = 3 (0.025) = 0.075 m
RH
0 . 000375 m 2 0 . 075 m
0 . 005 m y D = 4 (0.005m) = 0.02 m
El número de Reynolds esta dado por:
V · D
Nr
v
3 . 66
m / seg .0 . 02 m
0 . 000279 m 2 / seg .
262 .37
Calculo del factor de fricción:
f
64 Nr
64 262 .37
0 .244
Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas:
h12
0 . 244
100
3 .66 2
0 . 02
2g
h12
f
L V
2
D 2 g
832 . 73 m
h12 = 832.73 m
Problema 17. Utilizando el diagrama universal de Moody dar respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿ Para que tipo de flujo la pérdida de fricción varia con el cuadrado de la velocidad? b) ¿ Cuál es el factor de fricción para R e = 10 5 –en un tubo liso- para /D = 0.001 y para /D = 0.0001? c) ¿ Para qué rango del número de Reynolds, es constante el factor de fricción, en un tubo de fierro fundido y de 152 mm de diámetro? d) Suponiendo que la
rugosidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de 3 años, a tres veces su valor inicial, ¿ tendría ello mayor efecto en la pérdida en flujo turbulento, para números de Reynolds altos o bajos? e) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de R e? f) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de R e y /D? g) Si el factor de fricción es 0.06, para un tubo liso, ¿ Cuál sería el factor de fricción para un tubo de rugosidad relativa /D = 0.001, con el mismo número de Reynolds? h) Lo mismo para f = 0.015.
a) b) c) d) e) f) g) h)
Turbulento Tubo liso con /D = 0.001 f = 0.0185; con /D = 0.0001 f = 0.022 Re 6.8 x 10 5 No tendría ningún efecto, por tratarse de un flujo turbulento Para flujo laminar y turbulento para tubos lisos Para el flujo en zona de transición No existe f = 0.02 según el diagrama de Moody
Problema 18. Aire a 15ºC fluye en un conducto rectangular de 61x 122 cm, fabricado con una lamina de aluminio liso a un gasto de 274 m3/min a) Determinar la caída de presión en 100 mts. b) Determinar el diámetro necesario de un conducto cilíndrico del mismo material para transportar este gasto con las mismas perdidas.
Para la solución se supone que el tubo es colocado horizontalmente, entonces se procede a plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales hay 100mts de longitud.
P1
Z 1
2
V 1
2g
P2
Z 2
2
V 2
h12
2g
donde: Z1 = Z2, V1 = V2
h12
p1
p2
En este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la única ecuación de pérdidas que podemos utilizar es la de Darcy
h12
p1 p2
2
f
L V
f
D 2 g
L
2
V
4 RH 2 g
Donde debemos reemplazar el diámetro por el radio hidráulico (RH), D = 4 RH.
ADucto= (1.22) (0.61) = 0.744 m 2
Perímetro = 2 ( 1.22 + 0.61 ) = 3.66 m
El radio hidráulico está definido como el cociente del área y el perímetro mojado.
RH
A DUCTO PERIMETRO
0.744m 2 3.66m
0.213m
4RH = 0.852
V
Q A
274m
3
/ min.
(0.744m 2 )(60 seg )
6.13m / seg.
La viscosidad cinemática del aire a 15ºC es v = 16 x 10-6
Nr = VD / v = V( 4RH ) / v = [(6.13) (0.852)] / 16 x 10 –6 = 326,422.5 Obtenemos el coeficiente de fricción usando el valor de f para tubo liso
0.3164
f
0.25
Nr
0.3164 326422 .50.25
0.0132
A continuación calculamos las pérdidas:
0.0132
h12
( P1 - P2 ) /
100
6.142
0.852
2g
AIRE =
2.98 mts
2.98 mts
ahora bien, como el aire se encuentra a 15°C, según la tabla de la p agina 23 del Sotelo, el peso especifico del aire a esa temperatura es de 1.225 Kg/m3, lo que nos quedaría de la siguiente manera,
P1 - P2 = (1.225 Kg/m3)(2.98mts)= 3.65 Kg/m 2 P1 - P2 = 3.65 Kg/m2 Para poder dar solución al inciso b, se tiene lo siguiente, el tubo esta horizontal, por lo tanto la diferencia de presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por Darcy nos queda la siguiente ecuación,
h12
P1 P2
2
f
L V
D 2 g
Como se debe de tener el mismo gasto y las mismas perdidas tenemos que
h12
(0.0826) f LQ 2 D
5
Donde se conoce, el gasto, las perdidas, la longitud y el coeficiente de fricción seria,
f
f
0.3164 NR
0.25
NR
VD
4Q · · D
0.3164
4Q D · ·
0.25
Por ultimo sustituyendo y resolviendo para D obtenemos que,
h12
0.3164 2 (0.0826) L ·Q 0.25 4Q · · D 5 D
0.3164 (0.0826) (100)(4.56) 2 0.25 4(4.56) 16 x106 D 2.98 5 D
D = 0.94 mts
Problema 19. Agua fluye con un gasto de 17.1 lps en un tubo horizontal de 150mm de diámetro, el cual se ensancha hasta un diámetro de 300mm. a) Estimar la perdida la perdida de energia entre dos tubos en el caso de ampliación brusca.
Para la solución del inciso A de este problema, de la ecuación de continuidad se despeja la velocidad para encontrarla.
V
Q A
4Q D
2
4(0.0171) (0.3)
2
0.242 m seg
por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliación seria la siguiente:
D2 2 h 2 1 D 1
2
V 2
2
2g
esta surge de la ecuación 8.17 de la pagina 299 del Sotelo Avila. Por lo tanto nuestras perdidas serian:
(0.31) 2 1 h 2 (0.15)
2
(0.242) 2 19.62
0.0269m
ECUACION DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli se desarrolla como una aplicación particular de la tercera ley de Newton sobre una tubería cilíndrica, analizando las fuerzas que intervienen en el deslizamiento de agua en este segmento del tubo. Al hacer un corte del tubo en la sección 1 y 2 debemos considerar las fuerzas de presión que actúan en las tapas del cilindro además, tenemos el peso del agua, en particular la componente del peso paralela al eje del cilindro; y por último la fuerza de rozamiento del agua contra las paredes del cilindro, esto se muestra en la siguiente figura:
El análisis dinámico de las fuerzas nos indican:
F1 – F2 + Wsin - Ff = m · a F1 = P1 · A , F2 = P2 · A Wsin = Vol. · · Sin = A · dL · · Sin dL · Sin = Z1 – Z2 WSin = A · (Z1 – Z2) Ff = · Ac
: esfuerzo de rozamiento Ac : es la área donde el agua contacta con la pared del tubo
Ac = Per · dL Per = Perímetro =
· D
Ff = · Per · dL m = W / g = masa del agua Sustituyendo en (1)
P1 · A – P2 · A + A · (Z1 – Z2) - · Per · dL = W/g · a Si multiplicamos por dL la Ec. 2 obtenemos el trabajo para mover el bloque.
Y si dividimos entre el peso W = A · L · , obtenemos el trabajo por unidad de peso; trabajo unitario.
P1 · A · dL
A · dL · P1
P2
P2 · A · dL A · dL
Z 1 Z 2
A · Z 1 Z 2 dL A · dL
· Per · dL
A·
· Per · dL · dL
A · dL ·
W · a · dL g W
a
· dL g
la aceleración es:
a
V V 2 V 1 t t
y la velocidad es:
dL
V
t
,
t
dL V
Como la velocidad toma valores de V1 y V2 para un dL, tomamos la velocidad media:
V = (V1+V2) / 2. Sustituyendo en (4)
a
V 2
V 2 V 1 V 2 V 1 V 22 V 12 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 ·V · dL dL dL 2 2 dL t V
Sustituyendo en (3)
P1
P2
Z 1 Z 2
· dL
A
· Per
2 2 1 V 2 V 1 · · dL g 2 dL
Eliminando variables, sustituyendo a A/Per = RH (radio hidráulico) y agrupando las variables 1 a la izquierda, 2 a la derecha tenemos:
P1
Z 1
V 12
2g
P2
Z 2
V 22
2g
· dL
RH ·
El valor de lo podemos obtener de la ecuación de arrastre:
F C D · A · · · dL
RH · P1
V 2
2g V 2
F
,
A
C D · ·
V 2
2g
dL V 2 C D · · · C D · · 2 g RH · RH 2 g 2
Z 1
V 1
2g
P2
dL
2
Z 2
V 2
2g
C D ·
2
dL V
RH 2 g
