R. B. Avila Acosta
ESTADISTICA ELEMENTAL
ESTAD ISTICA
ELEMENTAL
R E V IS A D A , A C T U A L IZ A D A
RO BERTO B. AVILA ACOSTA ESTADISTICO-DEMOGRAFO Director del Instituto de Biomatemática de la Facultad de Ciencias Matemáticas. Profesor Principal de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Premio Nacional "Godofredo García" en M atem áticas Aplicadas - CONCYTEC 1988.
ESTADISTICA ELEMENTAL CO N 500 PROBLEMAS RESUELTOS
NUEVA EDICION 19 96
E s u jd io s y EdicioNES L ¡ ma - P erú
R.A.
DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS
C o p y rig h t © 1996 Esíudios y EdicioNts R.A.
Lima, Perú Impreso en Perú.
Informática y Diagramación : Víctor Hugo Esquicha Paz Wüliam L. Esquicha Paz. Revisión
: Mathinet Avila Salinas
A SILVIA , MA GA LL Y, MARTHINET
PUBLICACIONES DEL AUTOR: "Sumatorias y Productos" “Manual de Estadística Básica” “Modelo Matricial para analizar la evolución de los efectivos escolares” “Técnicas e Instrumentos de Recolección de datos” “Estadística Aplicada a la Educación” "Aspectos cuantitativos del analfabetismo del Perú” “Perfil Educativo de la Costa del Perú” “MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD SOCIAL : MÉTODO DE LA DISPERSIÓN RELATIVA. (MEDIRA)” “ANÁLISIS SOCIO DEMOGRÁFICO DE LA REGIÓN LORETO” “GUIA PARA ELABORAR LA TESIS” “ESTADISTICA ELEMENTAL”
PUBLICACIONES 1996-1997 “La Agenda Estadística del Perú” “Elementos de Inferencia Estadística y Aplicaciones” “Perfil Socio Demográfico del Perú” “ 1010 Problemas Resueltos de Estadística y Probabilidades" “Modelos Estadísticos en la Investigación” “Marginación y desigualdad Social en el Perú : Una dimensión estructural”
6 > R o b E RTO B. A v í I a A c os t a
PRESENTACION
Esta NUEVA EDICION del libro «ESTADISTICA ELEMENTAL» totalmente renovada, actualizada y ampliada, ha sido estructurada de acuerdo a los programas de estudios de los cursos de ESTADISTICA GENERAL que se vienen desarrollando en las Universidades, Institutos Superiores Tecnológicos e Institutos Pedagógicos; presenta algunas innovaciones didácticas para una lectura activa y amena que facilita el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Estadística. Por su ordenamiento, graduación e ilustración de conceptos, propiedades, métodos, fórmulas y aplicaciones es muy útil como TEXTO DE ESTUDIO, cuyo contenido se puede desarrollar totalmente y con suma facilidad en dos semestres académicos. Participo que mi libro «ESTADISTICA ELEMENTAL» está dirigido, preferentemente, a estudiantes y profesionales que utilizan la Estadística como técnica y ciencia auxiliar en su formación profesional, en sus trabajos de investigación o en el desarrollo de proyectos. El contenido ha sido sistematizado con el propósito que estudiantes y lectores logren una mayor comprensión y aplicación de la Estadística Básica, para cuyo efecto se utiliza un vocabulario sencillo y preciso, reforzado a través del desarrollo de más de 200 ejemplos y problemas con datos reales, evitando en todo momento complejidades matemáticas. Para comprender y aprender Estadística, con este libro, es suficiente conocer las seis operaciones elementales de la Matemática. «ESTADISTICA ELEMENTAL» comprende nueve capítulos planificados gradualmente, desde la Estadística unidimensional a la bidimensional, para finalizar con un capítulo de Cálculo de Probabilidades. El primer capítulo tiene como finalidad explicar por qué y para qué estudiar Estadística y precisar cuáles son los objetivos de esta Ciencia, así como familiarizarnos con la ESTADISTICA
ELEMENTAL < 7
terminología y la clasificación de las variables, y una motivación hacia la Investigación Estadística. En el segundo, se presentan las diversas técnicas e instrumentos de recolección de datos, así como la identificación de las fuentes de datos. El tercer capítulo corresponde a las formas de organización y presentación de datos, construcción de tablas, cuadros y gráficos estadísticos. En el cuarto capítulo se estudia el proceso de reducción de datos, determinación y cálculo de indicadores y medidas de resumen estadístico, como los estadígrafos de posición, dispersión, deformación y de apuntamiento, insistiendo en la interpretación, utilidad y aplicaciones. El quinto capítulo presenta en forma detallada los Números Indices, destacando la metodología para calcular Indices de Precios al Consumidor (IPC), la elaboración y análisis de la Canasta Familiar; también se estudia el efecto del IPC en el poder adquisitivo del dinero y los niveles de vida de la población. A partir del sexto capítulo se inicia el trabajo con las estadísticas bidimensionales, o de dos variables, con la construcción de tablas de doble entrada y el cálculo de algunos indicadores, como las frecuencias bidimensionales, además de la Covarianza. El sétimo capítulo corresponde al estudio de la relación o asociación entre variables mediante la Teoría de la Regresión y Correlación, la construcción y aplicación de diversos modelos de regresión y correlación lineal y no lineal. Para completar el objetivo de la previsión y proyección de la Estadística, en el octavo capítulo se estudia las Series Cronológicas o de Tiempo, analizando en detalle sus componentes, construyendo modelos para estimar y proyectar valores de las variables para un período futuro. Como inicio a la Inferencia Estadística en el noveno y último capítulo se hace una introducción al Cálculo de Probabilidades y las distribuciones teóricas de probabilidad, destacando el estudio de la Distribución Normal como modelo de aplicación frecuente en la ciencia estadística. Se completa con un.Anexo sobre Sumatorias, Tablas Estadísticas de mayor uso y una miscelánea de problemas resueltos. Nuevamente reitero mi gratitud y reconocimiento a mis colegas, alumnos y lectores por su constante estímulo, simpatía y sugerencias. Escribir un libro es el desafío más noble de la cátedra universitaria, y difundir ideas es hacer la vida eterna, porque los hombres pasan y las obras quedan Qué mejor satisfacción en mi vida, que tener dos hijas, cultivar valiosas inteligencias en mis alumnos, y ahora dejarles este libro como testimonio de mi compromiso y aporte al desarrollo técnico y científico de nuestra juventud.
Lima, Verano de 1996
8 > RobERTO
B.
A v í Ía A c osi a
R. 6. Avila Acosta
INDICE CAPITULO 1. INTRODUCCION 1.1 1.2
La Estadística...............................................................................................................13 ¿Por qué estudiar Estadística ? .................................................................................. 15 1.3 Objetivos de la Estadística................................................................................... 16 1.4 Breve Reseña Histórica.............................................................................................. 19 1.5 Nomenclatura Estadística........................................................................................... 22 1.6 Elementos Básicos de la EstadísticaMatriz Tripartita deD atos.................................. 24 1.7 Clasificación de Variables : 1.7.1. Según la naturaleza de la variable...................................................................27 1.7.2. Según el orden de las observaciones..............................................................28 1.7.3. Según el número de las variables....................................................................28 1.7.4. Según la escala de medición...........................................................................29 1.7.5. Según la amplitud de las unidades de observación........................................ 30 1.7.6. Según la relación entre variables.....................................................................30 1.8 Elementos de una Variable.........................................................................................31 1.9 La Investigación Estadística........................................................................................33 1.10 Sugerencia de Investigaciones ...................................................................................38 1.11 Pasos en procesamiento de datos deuna investigación en elcomputador................38
CAPITULO 2. RECOLECCION DE DATOS 2.1 2.2 2.3 2.4
La Recolección de D atos............................................................................................ 41 La Información Estadística.......................................................................................... 42 Las Fuentes de Datos................................................................................................. 42 Técnicas de Recolección de Datos: 2.4.1. La Observación................................................................................................. 43 2.4.2. La técnica documental...................................................................................... 44 2.4.3. La Entrevista..................................................................................................... 45 2.4.4. El Cuestionario.................................................................................................. 45 2.4.5. Preparación del cuestionario yformulario.................................................. 46 2.4.6. La encuesta o investigación estadística............................................................49
ESTADISTICA
ELEMENTAL
CAPITULO 3. PRESENTACION DE DATOS 3.1 3.2
3.3 3.4 3.5
3.6
Organización y Presentación de Datos....................................................................... 53 Tablas Estadísticas...................................................................................................... 55 3.2.1. Tablas de Frecuencia o de Distribución............................................................ 56 3.2.2. Cuadros Estadísticos.........................................................................................56 Partes principales de un cuadro estadístico................................................................ 57 Recomendaciones para la Construcción de Cuadros................................................. 61 Construcción de Tablas de Frecuencia....................................................................... 62 3.5.1. Tablas de Frecuencia para variables cuantitativas........................................... 63 3.5.2. Elementos de una tabla de frecuencia.............................................................. 75 3.5.3. Propiedades de las frecuencias........................................................................ 77 3.5.4. Tablas de frecuencia para variables cualitativas o estadísticas de atributos... 78 Los Gráficos Estadísticos.............................................................................................80 3.6.1. Construcción de Gráficos........... .......................................................................80 3.6.2. Principales partes de un gráfico........................................................................ 81 3.6.3. Principales tipos de gráficos...............................................................................81 3.6.4. Gráficos de la distribución de frecuencias........................................................ 82 3.6.5. Miscelánea de gráficos......................................................................................86
CAPITULO 4. R E D U C C IO N D E L O S D A T O S 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18
Generalidades: Estadígrafos........................................................................................93 Estadígrafos de Posición..............................................................................................96 La Media Aritmética : Cálculo y Propiedades...............................................................96 La Mediana : Cálculo y Ventajas dela Mediana........................................................ 110 LasCuartilas.......................................................................................... 121 LasDecilas................................................................. 127 Las Quintilas.............................................................................................................. 128 Los Percentiles........................................................................................................... 128 LasRanilas................................................................................................................ 131 La Moda o Valor M odal.......................................................... 131 La Media Geométrica................................................................................................. 136 La Media Armónica.............. ..................................................................................... 138 Estadígrafos de Dispersión........................................................................................139 Recorrido o rango...................................................................................................... 142 Desviación Media....................................................................................................... 143 Recorrido Semi Intercuartil.........................................................................................144 La Varianza : Cálculo y Propiedades..... ................................................................... 145 Componentes de la Varianza...................................................... 150
w > RobEnm B. Avila A costa
4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24
La Desviación Estándar.......................................................................................... 154 Coeficiente de Variación........................................................................................... 155 Aplicación de la desviación estándar........................................................................156 Estadígrafos de Deformación.................................................................................... 157 Estadígrafos de Apuntamiento oKurtosis.................................................................. 159 La Medición de la Desigualdad................................................................................. 161 4.24.1. Coeficiente de Concentración de Giní......................................................... 161 4.24.2. Método de la Dispersión Relativa. MEDIRÁ............................................... 166
CAPITULO 5. NUMEROS INDICES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
Generalidades........................................................................................................... 175 Clases de Números indices......................................................................................176 Cálculo de Números Indices : Simples y Ponderados...................................... 177 Indice de Precios al Consumidor : Antecedentes y Aspectos Conceptuales............191 Indice de Quantum y de Valor Unitario..................................................................... 198 Cambio de Base y Empalme.....................................................................................200 Deflactación.............................................................................................................. 202 Principales usos del Indice de Precios al Consumidor............................................. 205
CAPITULO 6. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES DE FRECUENCIA 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
Generalidades........................................................................................................... 209 Tablas Bidimensionales de Frecuencia....................................................................210 Variables Bidimensionales Discretas................................................. .....................211 Variables Bidimensionales Continuas.......................................................................218 Variable Discreta y Variable Continua......................................................................220 Valores M edios...................................... :.......................................’............... ........ 221 Varianza y Covarianza..............................................................................................223 Variables Cualitativas................................................................................................230 6.9 Variable Cualitativa y Variable Cuantitativa..............................................................230 6.10 Asociación entre Variables........................................................................................231
CAPITULO 7. REGRESION Y CORRELACION 7.1 7.2 7.3
235 238 243
Nociones Básicas.......... Regresión Simple......... Regresión Simple Lineal
ESTADISTICA
ELEMENTAL
7.4 7.5 7.6 7.7
7.8
Correlación Lineal.............. ........................................................................................255 Correlación por rangos............................................................................................... 269 Otras medidas de correlación simple............................... 276 Regresión y Correlación Simple No Lineal.......... .'.................................................... 279 La parábola de segundo grado. La función potencial. La función exponencial. La hipérbolaequilátera. Regresión y Correlación Lineal Múltiple.....................................................................300
CAPITULO 8. SERIES CRONOLOGICAS 8.1
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
8.7 8.8
8.9
Generalidades................................................ 313 Componentes de una serie cronológica.....................................................................316 Estudio de la tendencia.............................................................................................. 318 Tendencia Lineal: Ajuste de una Linea Recta............................................................322 La Tendencia Parabólica........................................................................................... 328 La Tendencia Exponencial......................................................................................... 332 Estudio de las Variaciones Estacionales....................................................................338 Las Variaciones Cíclicas............................................................................................ 349 Ajuste de Polinomios............................................................................................ 354
CAPITULO 9. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD 9.1
Noción de Probabilidad.............................................................................................. 358 Espacio Muestral y Sucesos...................................................................................... 361 Axiomas de Probabilidad........................................................................................... 368 Probabilidad de Adición de Sucesos..........................................................................370 Probabilidad Condicional............................................................................................ 372 Teorema de la Multiplicación.....................................................................................375 Sucesos Independientes............................................................................................ 376 Teorema de Bayes..................................................................................................... 379 Distribución de Probabilidad.................... 382 9.10 La Distribución Binomial............................................................................................. 383 9.11 La Distribución Normal............................................................................................... 388 9.12 La Distribución de Poisson......................................................................................... 398
9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
ANEXO UNO: SUMATORIAS SIMPLES
401
ANEXO DOS: PROBLEMAS.................
409
TABLAS ESTADISTICAS.....................
417
BIBLIOGRAFIA......................................
423
RobeRio B. A v í I a A costa
Capítulo
1
INTRODUCCION
LA ESTADISTICA El origen etimológico de la palabra «estadística» no está bien determinado, puesto que existen distintas opiniones y referencias. Para algunos viene de la voz griega STATERA que significa «balanza», otros sostienen que deriva del latín STATUS que significa «situación», mientras que algunos autores afirman que procede del alemán STAAT que significa «estado». En el caso concreto de suponer que viene del vocablo «estado», es por el hecho que una de las funciones tradicionales del gobierno central y del Estado es llevar registros sobre la situación de la población, nacimientos, defunciones, producción, impuestos y otros hechos contables o de control. La evolución y desarrollo de la Estadística en el mundo actual definitivamente ha superado el significado etimológico de esta ciencia; la Estadística constituye hoy en día un valioso instrumento de decisión en todas las situaciones de la vida, desde el hogar hasta la política nacional y mundial. Un concepto no siempre caracteriza la esencia y contenido de una ciencia, sin embargo es costumbre presentar alguna definición. En el caso de Estadística, se encuentra por ejemplo en el diccionario Larousse, «Estadística es la ciencia que tiene por objeto agrupar metódicamente todos los hechos que se prestan a una evaluación numérica (población, riqueza, impuestos, etc. )». Por su parte, el diccionario de la Academia de la Lengua, establece «Estadística (de Estadista) censo o recuento de la población, de los recursos naturales o industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de un ESTADISTICA
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Estado, Provincia, pueblo, clase, etc. Estudio de los hechos morales o físicos del mundo que se prestan a numeración o recuento y a comparación de las cifras a ellos referentes». En el mundo actual por Estadística debemos entender algo más elaborado de un tratamiento científico. La Estadística ya no es la errónea susceptible y recopilación de grandes masas de datos y presentarlos en de concepción tablas o gráficos; ni tampoco el simple cálculo de totales, promedios y porcentajes, etc. En todo caso estas ideas corresponden a los inicios de la Estadística o a las etapas del proceso estadístico. En el intento de precisar una idea o definición, se puede decir que la Estadística es la «ciencia que tiene por objeto la clasificación y análisis de conjuntos de datos de observaciones, para interpretarlos y obtener leyes y relaciones entre ellas. Es la ciencia que orienta la toma de decisiones a partir del análisis e interpretación de observacion es realizadas en forma directa o experimentalmente». Aún cuando aquí se establece que la Estadística es una ciencia, sin embargo entre los propios especialista s existen algunas discrepancias de considerarla como ciencia o como una técnica. Mientras no se supere definitivamente esta discusión, resultará más preciso describir a la Estadística como «la te cnología d el m é to d o científico» (A.M.Mood), entendiendo que la tecnología se ocupa de la aplicación sistemática de conocimientos científicos para resolver problemas prácticos. En este sentido la Estadística proporciona reglas, técnicas e instrumentos para los investigadores, las que pueden ser de aplicación completamente general y útiles en cualquier campo de las ciencias: física, química, biología, economía, sociología, ingeniería, etc., y en cualquier campo del conocimiento. H. Cramer, sostiene que «el principal objeto de la Teoría Estadística consiste en la investigación de la posibilidad de obtener inferencias válidas a partir de los datos estadísticos, y en la construcció n de métodos para realizar dichas inferencias». Jerzy Neyman, afirma que la «Estadística trata de problemas relativos a las característic as operatorias de las reglas de comportamiento inductivo basado en experimentos aleatorios». Para A. Wald el «objetivo principal de la Estadística es el estudio de las funciones decisorias estadísticas».
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Proponer ahora una definición de la Estadístic a puede resultar poco significativa porque no se lograría precisar su esencia, su cobertura y los hechos que estudia esta ciencia. A manera de información, conviene indicar que hace más de un siglo Gustavo Rumelin sostenía que había por lo menos 63 definiciones de Estadística, y que pueden añadir otras si se tiene en cuenta el avance de esta disciplina. «La función principal de la Estadística es elaborar principios y métodos que nos ayuden a tomar decisiones frente a la incertidumbre» sostiene Ya Lun Chou, por esta razón podría definirse la Estadística como «un método de toma de decisiones frente a la incertidumbre». La Estadística como ciencia cumple los aspectos principales del método cie n tífic o , tales com o:
i) R e a liza ció n de e xp e rim e n to s y o bse rva cio n e s; ii) obtención de conclusiones o proposiciones objetivas a partir de los resultados de dichos experimentos y observaciones, ¡ii)formula ción de leyes que simplifiquen la descripción de un gran número de experiencias u observaciones. Para conocer una ciencia hay que estudiarla con interés y profundidad, para comprenderla y tener una idea más ciara de lo que es Estadística, será conveniente analizar sus objetivos.
n ^ c-POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA ? 1. La Estadístic a, como la Matemática, constituye uno de los idiomas esenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la tecnología. La Estadística permite comprender con mayor facilidad la bibliogra fía especializada. La mayoría de los libros, estudios e investigac iones especializ adas en economía , educación, sociología, medicina, psicología, etc., contienen resultados basados en el análisis estadístico. Sin lugar a dudas, aquellos profesionales que no conozcan Estadística tendrán serias dificultades para ser expertos en su respectivo campo científico. 2. En las diversas áreas y especialidades de la formación profesional y científica, la Estadística constituye una ciencia auxiliar y complementaria, ESTADISTICA
ELEMENTAL
que ofrece técnicas, métodos, modelos y procedimientos para el análisis cuantitativo y cualitativo de los fenómenos y hechos que interesa estudiar a los profesionales. La Estadística es una herramienta auxiliar de utilidad inmediata y práctica en el trabajo profesional. Permite registrar hechos, calcular repeticiones, analizar datos y observaciones y calcular indicadores. Ayuda a cuantificar o dimensionar el comportamiento de los hechos y va riables en una población determinada, realizar estimaciones y proyeciones. 3. La Estadística ayuda a desarrollar una investigación rigurosa. La Estadística no es simplemente un conjunto de fórmulas, procedimientos y modelos, la Estadística por la forma como está estructurada operacionaliza los datos, ofrece los fundamentos lógicos en los que se sustenta la investigación básica y aplicada, de allí que la Estadística constituye «la tecnología del método científico». En toda investigación una vez formulado el problema, la tarea inmediata es el diseño del plan de análisis estadístico, antes de obtener los datos en las unidades de análisis. La Estadística participa en la solución del problema, puesto que permite revelar la información vital para la solución de un problema práctico. Ayuda a conocer las características de una población, cuyos resultados orienta la toma de decisiones. La Estadística permite hacer inferencias acerca de una población a partir de datos obtenidos de una muestra representativa. Los profesionales que no conozcan Estadística tendrán serias dificultades para diseñar un plan de investigación y conocer una realidad, que están interesados en transformar o desarrollar. Téngase presente que sólo se puede transformar con éxito aquello que se conoce.
[ ¡ ¡ i] OBJETIVOS DE LA ESTADISTICA En términos generales los objetivos de la Estadística pueden ser clasificados o agrupados en tres grandes capítulos: descripción, análisis y predicción. de grandes colecciones de datos empíricos, reduciéndolos a un pequeño número de características que concentra la parte más importante y significativa de la información proporcionada por los datos. Según la terminología de R.A. Fisher, este proceso se conoce con la denominación de «reducción de datos». La descripción supone que los datos que vienen expresados en su forma natural deben ser clasificados y
a) D escripción
RobERTO B. A v í Ia A cosi a
presentados sistemáticamente en cuadros o tablas como una primera reducción de datos, sin embargo la «reducción de datos» propiamente dicha se obtiene cuando el comportamiento y características de los datos se expresan por un conjunto de indicadores, medidas de resumen o estadígrafos. El trabajo estadístico se inicia con el estudio del problema, la identificación de variables y la recolección de datos. Tanto la reducción como la descripción de la información se estudia en el gran capítulo denominado Estadística D e scrip tiva . Es importante anotar que la descripción estadística de los fenómenos o hechos es el primer aspecto al cual se redujo la ciencia estadística durante mucho tiempo, aplicándose especialmente a los datos demográficos, sociales, económicos, etc. b) A nálisis
estadístico de datos experimentales y de los fenómenos
Toda investigación estadística incluye un problema de análisis de datos experimentales, con el objeto de formarse un concepto de una población o universo y adoptar decisiones. En este caso no es necesario observar toda la población sino que será suficiente elegir una muestra representativa. La preocupación del análisis estadístico es inferir propiedades para una población sobre la base de resultados muéstrales conocidos. Aquí se presenta varios problemas que trata la Estadística de hoy, como aquellos relacionados con el muestreo estadístico, la estimación estadística y el cálculo de probabilidades, las pruebas estadísticas, etc. Estos son aspectos que corresponde esencialmente a la Inferencia
observados.
E stadística
Todo análisis debe suponer la elección adecuada de una muestra representativa, la que será estudiada en detalle para obtener conclusiones y resultados, que dentro de ciertos márgenes de aceptación sean válidas a toda la población de la cual fue elegida la muestra. Por ejemplo, para analizar la sangre de una persona, será suficiente extraer una pequeña cantidad de sangre; del mismo modo para conocer la simpatía o demanda de un artículo, no será necesario consultar o encuestar a toda una población de un país o ciudad, es suficiente elegir una muestra de pobladores o familias, etc. lo cual constituye la máxima aspiración práctica de toda ciencia. Este objetivo de predicción y previsión está implícito tanto en la descripción como en el análisis estadístico, puesto que en general interesa orientar la toma de decisiones con vigencia y efecto en el futuro. «El pasado puede ser evaluado, el presente descrito con cierta exactitud y el futuro puede ser
c) P redicción
o comportamiento de los fenómenos en el futuro,
ESTADISTICA
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previsto». La predicción puede entenderse como ia estimación de resultados en el futuro. Con este objetivo se pretende responder por ejemplo, cuál será el volumen de las exportaciones en el siguiente quinquenio; cuál será la población escolar del Perú dentro de 10 años; cuáles serán los niveles de desempleo por sectores en América Latina; qué efecto producirá un incentivo tributario en las futuras inversiones de un país, etc. Naturalmente que las estimaciones y proyecciones dependen del grado de conocimiento del comportamiento pasado y presente de las variables en estudio. Para concretar estos objetivos y fines, la Estadística se vale por una parte del CENSO, que recopila datos del todo, analiza la distribución y variación de las características de los elementos que componen una población claramente definida; por otra parte del muestreo, que permite estimar o inferir características de un todo considerando una parte representativa. En base al análisis de experiencias y evaluaciones pasadas y actuales, hace estimaciones de fenómenos y características para un futuro, propone valores esperados. La Estadística también se vale de una serie de artificios matemáticos y del cálculo de probabilidades, para inferir sobre la validez de supuestos, construir modelos y métodos estadísticos. En sus inicios la Estadística se limitaba a una mera descripción empírica, ahora puede hacer una crítica e interpretación de la situación estudiada, porque ha desarrollado métodos matemáticos y estadísticos para hacer inferencias y pruebas estadísticas. La Estadística Moderna concede mayor importancia al análisis, a las muestras, que a los datos procedentes de toda la población. Quizás para el hombre común, todavía la Estadística es un simple procedimiento de recopilación y acumulación de datos numéricos; en la mayoría de los casos estas acumulaciones estaban relacionadas con las decisiones administrativas, fiscales o militares. La observación o registro de ciertos hechos, constituía naturalmente un primer avance para lograr una explicación o descripción de su comportamiento. El especialista, por su parte, considera a la Estadística como un método científico, un poderoso instrumento del pensamiento. La Estadística ha permitido investigar las propiedades numéricas de los conjuntos de hechos, y de este modo este instrumento de la investigación ha transformado completamente ciertas ramas de la ciencia. Su faceta probabilistica incluso ha resquebrajado sólidas construcciones filosóficas: «ha renovado las discusiones determinismo/probabilidad y la de esencia/existencia» (E.Borei. Probabilité et certitude 1956). RobERTO
B. A v Ü a A c o s i a
La Estadística es una técnica indispensable en la investigación pura o aplicada. En la investigación, el especialista obtiene muestras, toma medidas, tabula datos, efectúa cálculos y luego los interpreta. Los métodos y afirmaciones estadísticas son cada vez más significativos. Los principios básicos de esta rama del sober son requeridos por todo el mundo, sea en el trabajo o en la vida diaria.
BREVE RESEÑA HISTÓRICA Las estadísticas son tan antiguas como la humanidad misma. Los esfuerzos del hombre por evaluar en forma cuantitativa las características que lo rodean, dio como resultado la Estadística. En Egipto, se hacía recopilaciones regulares de datos de la administración estatal. Los hebreos utilizaron datos estadísticos a menudo; así la Biblia menciona el censo que Moisés levantó a instancias de Jahve. En el año 2258 A.C. el Emperador Yao dispuso el levantamiento de un censo en la China. En Roma, se llevaban registros numéricos para fines tributarios, en tiempo de Octavio Augusto se realizó un censo. Algunos sostienen que el año 0, año del nacimiento de Jesucristo, está relacionado con un empadronamiento. Se sabe que el año 727, los árabes realizaron un censo más o menos completo en la península Ibérica. En la Edad Media ya se encuentran estadísticas sistematizadas. El clero se dedicó a la recopilación, ordenamiento y estudio de los datos de tipo demográfico. En el siguió XV durante el gobierno de los Reyes Católicos, en el siglo XVI reinado de Felipe II y siguientes, se levantaron censos relativamente completos. Es digno de mencionar el llamado censo del Marqués de la Ensenada en 1748; así como también las numerosas estadísticas económicas contenidas en et Archivo de Indias de Sevilla. En América morena es posible encontrar algunos antecedentes estadísticos en la época pre colombina. Aún cuando los pobladores del Tahuantinsuyo no conocían la estadística como tal, estaban familiarizados con datos e informes sobre aspectos demográficos y económicos. En el Imperio Incaico existía la costumbre de registrar todos los hechos demográficos y socio económicos, lo cual permitió desarrollar técnicas de ESTADISTICA
ELEMENTAL < £ >
recopilación y archivo de datos. El Inca y su esforzada élite cooperadora, conocían por medio de los Quipus el potencial humano y económico del Imperio y, en consecuencia, deducían las necesidades que debían satisfacer. El Quipu consistía en un cordón central de lana del que pendían otros cordones unidos por otros, que se diferenciaban entre si por su grosor, color, número y forma de nudos. El «nudo» dice Garcilaso de la Vega, expresa el número pero no la palabra. La Yupana o Abaco, era el accesorio del Quipu, y facilitaba el cálculo de grandes cantidades. El Quipu Camayoc era el funcionario que conocía la técnica del registro por medio de los nudos. En el Cusco se ubicaba la Oficina Central de los Quipus. El Quipu sirvió a los antiguos peruanos para levantar los censos de población cada cierto número de años. El Imperio Incaico era una sociedad veraz y, por tanto todos los habitantes estaban acostumbrados a decir la verdad en el acto censal. Durante el despotismo ilustrado de Federico Guillermo I y de Federico El Grande de Prusia, la Estadística pasó a ser una organización estatal. Desde hace mucho tiempo, la Iglesia siempre se dedicó a recopilar ciertos datos demográficos y, a partir del Concilio de Trento (1545-1563), se establece la obligatoriedad de inscribir los nacimientos, matrimonios y defunciones. Los antecedentes históricos de la Estadística se encuentran fundamental mente en la Demografía, recién a mediados del siglo XVII se considera a la Estadística como una disciplina independiente. En Alemania, se creó por pri mera vez la cátedra de Estadística, originándose la Escuela Universitaria Admi nistrativa, la que consideraba la Estadística como una descripción de los fenó menos pertenecientes al Estado, según la orientación de Vito de Seckendorff (1626-1689) y Hermann Conring (1606-1681), quien en 1660 empezó a dictar un curso en la Universidad de Helmstadt. Su discípulo Godofredo de Achenwall (1719-1772), fue el primer gran teórico de la Estadística en lengua alemana y le dio el nombre de Estadística, basándose en el origen etimológico «Status». Por la misma época, en Inglaterra nace la Escuela Demográfica o de los aritméticos políticos, quienes se proponían determinar en forma cuantitativa las leyes empíricas que regían el comportamiento de los fenómenos políticos y sociales, que de ninguna manera eran independientes del volumen, estructura y distribución de la población. Entre los miembros de esta escuela destacaron William Petty (1623-1687), Edmundo Halley (1662-1742), King, Devenant y John Graunt (1620-1674), este último realizó un trabajo matemático de estadísticas vitales y económicas. En Alemania, esta orientación, en dura lucha con la escuela de Achenwall y Schlózer, obtuvo el primer éxito definitivo gracias al esfuerzo de Johann Peter Süssmilch. 20 > R o b rR io B. A v í I a AcosrA
Por la época Contemporánea, en Francia se originó la Escuela de Probabilística, basada en los problemas de juegos de azar planteados a Blas Pascal (1623-1662) por el Caballero de Mére (Antonio Gambaud). La solución de estos problemas motivó el auge del Cálculo de Probabilidades, con destacada participación de Pedro de Fermat (1601-1665), Laplace (17491827), Poisson (1777-1855), los hermanos Bernouilli (Daniel, Jacob y Nicolás), Gauss y De Moivré (1667-1754). Poco tiempo después el Cálculo de Probabilidades toma gran impulso debido a los trabajos de los franceses Borel, Fréchet y Levy, y de los rusos Tchevyshev (1821-1894), Tchuprov, Markov, Kintchine y Kolmogorov (nacido en 1903). Entre los ingleses destacó el clérigo Tomás Bayes. Cabe destacar el aporte de Adolph Quetelet (1796-1874) que fué el priemro en aplicar métodos estadísticos modernos al estudio de conjuntos de datos, razón por la cual se le reconoce como padre de la estadística moderna. Durante el siglo XIX y a principios del XX el trabajo estadístico se caracteriza por el estudio de grandes masas de datos. La ¡dea básica era la colección completa de datos. Pero, a principios del siglo XX y específicamente alrededor de los años treinta, se produjo un nuevo giro en el desarrollo de la Estadística. Nació la Estadística Moderna, la Estadística Inductiva o Inferencia Estadística, la Estadística Analítica. Se espera obtener información de cada detalle en particular; actualmente se buscan métodos que hagan posible obtener conclusiones generales a partir de muestras y de estudios parciales. En la Estadística Moderna, la palabra clave es «muestra». Estos cambios en la teoría y práctica estadística requirieron cada vez más de las matemáticas superiores, entonces surge la Estadística Matemática, cuyos procedimientos característicos son el análisis de la varianza, el cálculo de correlaciones y las pruebas de hipótesis estadísticas. En el campo de la Estadística Moderna destacaron Francisco Galton (18221911) y Kart Pearson (1857-1936), que desarrollaron ideas sobre regresión y correlación, William Gosset (1876-1936) que escribía con el seudónimo de «Student» y Sir Ronald A. Fisher (1890-1962), quienes desarrollaron métodos de trabajo usados en el análisis estadístico y en la prueba de hipótesis. Por su parte en 1894, Jerzy Neyman, conjuntamente con el hijo de Pearson, crearon la Teoría del Muestreo. Otro destacado estadístico fué Abraham Wald (1902-1950) con aplicaciones al campo de la Genética. Resumiendo, en la evolución histórica de la Estadística se pueden distinguir tres fases: ESTADISTICA
ELEMENTAL < 21
1. Censos y empadronamientos (Hasta el siglo XVI). 2. De la descripción de poblaciones a la aritmética política (S. XVI a XVIII). 3. Estadística y Cálculo de Probabilidades (S. XIX a la fecha).
1.5 NOMENCLATURA ESTADISTICA C onsiderando que existe un conjunto de términos que se usan frecuentemente en la Estadística, conviene precisar el significado de algunos de ellos. Estadística, servirá para designar a la ciencia que vamos a estudiar. Estadísticas, se tomará como sinónimo de d a to s estadísticos, servirá
para designar a toda colección sistemática de datos referentes a un determinado fenómeno. Estadístico, es la persona que se dedica al estudio de la Estadística, es el profesional que analiza estadísticas, desarrolla métodos y modelos estadísticos y contribuye a la evolución de la ciencia estadística. Estadígrafo, es cualquier función de datos empíricos que se usa con fines descriptivos o analíticos; son medidas de resumen estadístico de un conjunto de datos, por ejemplo, la media aritmética, la mediana, la varianza, el coeficiente de correlación, etc.
Algunas veces al profesional en Estadística se le da el nombre de «Estadígrafo», término que no resulta muy apropiado si se tiene en cuenta que en diversas Universidades y Centros Superiores, se otorgan el título de Estadístico, Estadístico-Matemático, Ingeniero Estadístico, Master en Estadística, Licenciado en Estadística, etc. D ato , es el valor o respuesta que adquiere la variable en cada unidad de análisis. Dato es el resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Los datos son la materia prima de la Estadística. I nformación , es el resultado de los datos procesados de acuerdo a ciertos objetivos. No hay información sin datos. I ndicadores, son elementos característicos que describen una situación permitiendo su análisis. Son referentes empíricos que permiten una medición, 22 >RobERTO B. A v í I a A cos i a
descripción, ordenamiento de los datos o características en forma válida y confiable. Los indicadores no determinan la realidad, la realidad determina el valor del indicador. La validez y confiabilidad del indicador depende de la validez de los datos utilizados y de la lógica de su relación o construcción. Indicador, es toda cantidad, valor o elemento que permite conocer el estado de un hecho, también permite expresar o conocer la variación, el comporta miento, la intensidad o relación de una o más características, variables, hechos o fenómenos. En este sentido, los llamados índices, tasas, estadígrafos, medidas de resumen, etc., son indicadores. M uestra, es una parte o subconjunto de una población en estudio. La muestra está constituida de elementos seleccionados de una manera deliberada, con el objeto de investigar las propiedades de su población. La muestra sólo da información de aquella población de la que ha sido extraída. Por ejemplo, una muestra de salarios de trabajadores de la industria pesquera de la ciudad de Chimbóte, no nos diría mucho de los salarios de los trabajadores de construcción civil de la misma ciudad, como tampoco se podrá inferir conclusiones válidas para los trabajadores pesqueros de Paita. Parámetro, es un valor obtenido para describir en forma resumida las características pertinentes o más importantes acerca de una población. Son las medidas de resumen de una población, en tanto que las medidas de resumen de una muestra se llamará estadígrafos. Una población puede tener muchas características y por tanto muchos parámetros. P oblación o universo , está referido a cualquier colectivo finito o infinito de elementos que interesan a un estudio. Población es un conjunto completo de individuos u objetos que poseen alguna característica común observable. Población es el número de elementos que definen la cobertura de un estudio. La población es el universo de estudio que está integrado por la totalidad de todas las unidades de análisis. U nidad de análisis , es el objeto o elemento indivisible que será estudiado en una población, sobre los cuales se va a obtener datos. La unidad de análisis no es el fenómeno investigado sino el que genera el fenómeno y proporciona datos concretos. V ariable, es una característica que puede tomar diferentes valores. Las variables son características observables, susceptibles de adoptar distintos valores o ser expresados en varias categorías. Variable es un aspecto específico de la realidad referido a la unidad de análisis, y que puede ser ESTADISTICA
susceptible de ser medido o cuantificado. La variable adquiere un valor determinado en cada unidad de análisis Todas las variables tienen una escala de registro. Puede ser una característica medible (peso, ingresos, coeficiente de inteligencia, grados de estudio, etc.) o una cualidad no medible (estado civil, nacionalidad, sexo, etc.); en general variable es una característica que se puede categorizar. Las variables surgen de los objetivos de toda investigación.
IT?!ELEMENTOS BASICOS DE LA ESTADISTICA M atriz T rip a rtita de Datos Después de la conceptualización de Estadística y la precisión de sus objetivos, es fácil advertir que en el trabajo estadístico existen tres elementos básicos como son: la población o muestra (unidades de análisis), las variables o características, y los datos. En todo estudio, el investigador (sujeto) observa sistemáticamente fenómenos o hechos de algún sector de la realidad (objeto de estudio), donde le interesa analizar algunas características (variables) y que con el propósito de dimensionar o cualificar el fenómeno, registra o simplemente recibe valores ya registrados, es decir obtiene o recopila datos. Por ejemplo, los hechos socio-económicos, debido a la enorme extensión de su objeto, adoptan diferentes formas y generan una estructura que tiene tres componentes o elementos. 1. Los e le m e n to s o unidades de análisis (población) que pueden ser personas, instituciones, objetos, familias, animales y otras unidades más complejas. Estas unidades tienen una característica en común, en cuanto constituyen el objeto de estudio de una investigación. Toda población tiene «N» elementos o unidades de análisis, y una muestra «n» elementos, donde n
24/l i obERi o B. A v í I a A costa
análisis son interpelados o preguntados. Habrá tantos datos como elementos tiene la población en estudio. Definida la población (o elemento de estudio) e identificadas las variables, se procede a la recolección de los datos. Estos tres elementos se pueden detallar en la llamada M atriz Tripartita de Datos, que como se aprecia en el ejemplo, permite conocer los datos para las variables en cada unidad de análisis. Además ayuda a definir el recorrido y categorías de las variables y luego construir las tablas de frecuencia con una o más variables. Hay dos formas de matrices tripartitas: i) Matriz Tripartita de Datos Básicos (Cuadro N° 1.1) ii) Matriz Tripartita de Datos Precodificados (Cuadro N° 1.2) La primera es un registro de los datos para cada elemento de la población, expresado en sus propias unidades, en esta forma se ingresa a la computadora para el proceso de tabulación.
C uadro N° 1.01 MATRIZ TRIPARTITA DE DATOS : CARACTERISTICAS SOCIOECONOMICAS DE LOS TRABAJADORES DE UN SUPERMERCADO. 1995. Va r i a b Ie s
Unidades de análisis
Edad
Sexo
(Población)
Estado
N° de
Tiempo de
Civil
Hijos
Servicios
v3
v4
V5
v.
v2
01
48
F
Casada
4
21
02
37
F
Casada
3
15
03
28
M
Soltero
1
6
04
36
M
Conviviente
3
15
05
25
M
Soltero
0
5
06
38
F
Divorciada
2
18
07
45
F
Viuda
5
25
08
37
M
Divorciado
3
16
09
48
F
Casada
5
25
10
41
F
Soltera
1
17
11
50
M
C asado
2
26
12
35
F
Soltera
1
13
Fuente: Fichas Personales 1995
Es una matriz porque los datos están organizados en filas (N° de unidades de análisis) y columnas (N° de variables). En esta forma, se presenta ESTADISTICA
ELEMENTAL \ 25
detalladamente las características y datos para cada unidad de análisis. Esta matriz puede tener muchos elementos y variables, para poblaciones muy grandes se trabaja con un computador, donde justamente el registro de datos es una matriz tripartita, aquí la tabulación obedece a un programa para elaborai los cuadros de salida considerados en el Plan de Tabulación de todo estudie o investigación. Si se tiene pocos elementos, resulta muy cómodo realizar Is tabulación en forma manual, sea para construir tablas de frecuencia unidimensional, bidimensional, etc. La matriz tripartita también se puede construir como un cuadro resumen de un conjunto de formularios, donde cada fila corresponde a todos los datos considerados en cada formulario, registrando en las columnas las variables c preguntas con sus respectivos datos o respuestas. Estos significa, que si se tiene por ejemplo 80 formularios de 12 preguntas con un total de 40 categorías, se tendría una matriz de 80 filas y 40 columnas. La matriz tripartita de datos precodificados también es un registro de datos especificados en cada categoría de las variables. Se puede apreciar que esta disposición facilita el proceso de tabulación manual. Para obtener tablas de frecuencia unidimensionales, es suficiente sumar las aspas (x) o registro de cada columna. Esta matriz es recomendable para estudios de poblaciones o muestras pequeñas.
Ejem plo 1.1 Aquí se detallan los tres elementos básicos, y puede apreciar se que cada categoría de las cinco variables tiene su código. Muestra Unidad de análisis Variables:
Padres de Familia del C.E Padre de Familia
Sexo:
1) Hombre
2) Mujer.
Edad.
1) 20-29 4) 50-59
2) 30-39 5) 60-69
Nivel Educativo:
0) Sin Nivel 2) Secundaria
1) Primaria 3)Superior
Tenencia de Vivienda:
1) Alquilada
2) Propia
3) Otra.
Número de Hijos:
0) Sin hijos
1) 1 a 3
2) 4 y más.
26 > Robemo B. Avila A costa
3) 40-49
Cuadro N °1.2
MATRIZ TRIPARTITA DE DATOS PRECODIFICADOS SEXO
Cód. 01 02
1
2
EDAD
1
2
3
4
5
0
NIVEL
TENECIA DE
EDUCATIVO
VIVIENDA
1
2 ¡
3
1
2
N° DE HUOS
3
0
1
2
32 I o ta l
I^ C U V S IF IC A C IO nTd E VARIABLES Antes de considerar aspectos relacionados con la recopilación, descripción y reducción de datos estadísticos, es necesario distinguir los diversos tipos de variables que se pueden encontrar en los diversos estudios e investigaciones. Entre los muchos criterios de clasificación, podemos mencionar seis tipos:
1.7.1
SEGUN LA NATURALEZA DE LA VARIABLE
a) V a ria b le s cu a lita tiva s o estadísticas de atributos. Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, tienen carácter cualitativo, sus datos se expresan mediante una palabra, es no numérico. Por ejemplo: estado civil, los colores, lugar de nacimiento, profesiones, actividad económica, causas de accidentes, etc. b) V a ria b le s cuan tita tivas. Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carácter numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o medir. Por ejemplo: edad, número de hijos por familia, ingresos, viviendas por centro poblado, niveles de desempleo, producción, utilidades por empresas, etc. Las variables cuantitativas pueden ser: discreta y continua.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <27
b .1 .
V ariable
discreta.
Cuando el valor de la variable resulta de la operación de contar, su valor está representado sólo por números naturales (enteros positivos). Ejemplos: hijos por familia, número de accidente s por día, trabajadores por empresa; población por distritos, habitaciones por vivienda, etc. b .2 .
V ariable
continua .
Cuando la variable es suceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se obtiene por medición o comparación con una unidad o patrón de medida Las variables continuas pueden tener cualquier valor dentro de su rango o recorrido, por tanto se expresa por cualquier número real. Ejemplos: área de parcelas, ingresos monetarios, producción de maíz, peso, estatura, tiempo de servicios, horas trabajadas, niveles de empleo, etc. 1.7.2
SEGLN EL ORDEN DE LAS OBSERV ACIONES
a) Datos a te m p o ra le s o no o rd in a le s. Cuando se prescinde del orden en que se realiza las observaciones. El orden de la observación no altera el valor de la variable. Por ejemplo, averiguar las edades de los alumnos de un aula, en este caso, cualquiera sea el orden que elijan los alumnos, la edad no va a variar. b) Series de tie m p o , cronológ icas o histórica s. Cuando en la obtención de los datos se tiene en cuenta el orden cronológico de la observación, o al momento o tiempo que pertenece, son variables analizadas en función del tiempo. Por ejemplo: población demográfica en la década 1985-1995, variación mensual de precios, volumen anual de las exportaciones, evolución y tendencia de la matrícula en educación superior en el periodo 1990-1995, etc.
1.7.3
SEGLN EL NLMERO DE VARIABL ES
a) Estadístic as u n id im e n sio n a le s. Son las estadístic as de una sola variable, es el caso de considera r independientemente un aspecto del fenómeno estudiado. Por ejemplo, clasificar personas por la edad; viviendas por el número de habitaciones; la estatura de los estudiantes de Estadística, etc. 28 > RobEuro B. A v í I a A c o s i a
b) Estadís ticas b id im e nsio nales Cuando se considera simultáneamente dos variables o aspectos en cada ad elemento del conjunto o fenómeno que se estudia. La bidimensionalid modo requiere que las variables tengan cierta asociación o relación, de de que una variable pudiera de alguna manera explicar el comportamiento madre, la de vo educati nivel el según hijos de número la otra. Por ejemplo, profeso res por edad y tiempo de servicio s, produc ción por años, importaciones anuales, etc. c) Estadís ticas p lu rid im e n sio n a le s s Cuando se considera simultáneamente más de dos variables o aspecto también l ensiona pluridim en cada elemento de la población o muestra. Lo ia, supone que entre las variables exista alguna relación o interdependenc otras y iente depend entre los cuales es posible determinar una variable de independientes Por ejemplo, el consumo según el ingreso y número nda, personas por familia; la demanda, el precio y la inversión en propaga el nivel de fecundidad según la edad, nivel educativo de la madre y área de residencia, etc.
—
1.7.4
SEGUN LA ESCALA DE MEDIC ION
a) V a ria b le s nom inales. en Son aquellas variables que establecen la distinción de los elementos la a ye distribu ellas, entre orden algún diversas categorías, sin implicar civil, estado sexo, s: Ejemplo ías. categor unidad de análisis en dos o más deportes que practica, profesiones, lugar de nacimiento, etc. b) V a ria b le s ord in a le s. Aquellas variables que implican orden entre sus categorías, pero no grados ía, de distancia iguales entre ellas; están referidas a un orden o jerarqu de donde las categorías expresan una posición de orden. Ejemplo: grado instrucción, clases sociales, grado de simpatía, rango de agresividad, orden de mérito, etc. c) V a ria b le s de in te rv a lo Son aquellas que suponen a la vez orden y grados de distancia ¡guales entre las diversas categorías, pero no tienen un origen natural, sino convencional, tiene un cero relativo. Ejemplo: coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuación obtenida en una escala, etc. ESTADISTICA
ELEMENTAL <29
d) V a ria b le s de razón Estas variables comprenden a la vez a todos los casos anteriores, distinción, orden, distancia y origen único natural; el valor se expresa con un número real, tiene un cero absoluto. Ejemplo: edad, peso, ingresos, número de hijos, producción, accidentes de tránsito, etc. 1.7.5
SEGUN LA AMPLITUD DE LAS UNIDADES DE OBSERVACION
a) V a ria b le s in d iv id u a le s , referida a características de individuos o personas, una empresa, centro educativo. Son variables para estudio de casos, donde se pueden sub dividir en variables públicas y privadas. a.1. V a ria b le púb lica, aquella en que los valores individuales son conocidos por otras personas y se sabe que son conocidos. Ejemplos.’ edad, sexo, la ocupación, estado civil, deporte que practica, etc. a .2. V a ria b le p riv a d a , cuando los valores individuales pueden ser conocidos por otros, una vez averiguados. Ejemplos, el coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la política económica, grado de agresividad, conductas de consumo, etc. b) V a ria b le s colectivas, aquellas que se refieren a características de las unidades cuando estas son colectivas, conjuntos o grupos (empresas, ciudades, escuelas, etc.). Ejemplos: tasa de mortalidad, urbanización, nivel educativo promedio, tasa de crecimiento demográfico, etc.
1.7.6
SEGUN LA RELACION ENTRE VARIABLES
a) V a ria b le s d e p e n d ie n te s , son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causas o razón de ser. Es la variable que traduce la consecuen cia del efecto de una o varias razones o causas, de otras variables. b) V a ria b le s in d e p endientes, son las variables explicativas o predictivas, cuya asociación, relación o influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigación. Las variables independientes (VI) son los que traducen o explican las causas o razones de las variaciones en la variable dependiente (VD). Simplificando, en la relación de variables, las causas o antecedentes serían las variables independientes (VI) y el efecto o consecuente es la variable dependiente (VD). 3 0 > RobERT O
B.
A v í I a A c os ta
Ejem plo 1.2 En el caso más simple, para la relación de dos variables. 1. El presupuesto familiar (VD) depende de los ingresos (VI). 2. El volumen de ventas (VD) se explica por la inversión en propaganda (VI). 3. El número de hijos por familia (VD) tiene relación con el nivel educativo de los padres (VI). 4. El analfabetism o (VD) tiene relación con el lugar de residencia (VI) y la expansión del servicio educativo (VI). c) V ariables in te rvin ie n te s o interferent es, son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el comportamiento de la variable dependiente. En el caso de la relación entre presupuesto familiar (VD) y los ingresos (VI), algunas variables intervinientes serían la conducta de consumo, la edad de los miembros de la familia, etc.
[ELEMENTOS DE UNA VARIABLE
□
La identificación y definición de variables es la tarea más delicada de toda investigación y del trabajo estadístico. Téngase presente que las variables se deducen a partir de los objetivos de un estudio o investigación. En consecuen cia, para tener éxito en la selección de variables, es recomendable distinguir los siguientes cinco elementos: a) Nombre o denominación de la variable. b) Definición o conceptualización de la variable. c) Un conjunto de categorías o niveles, que es definida por el investigador. Las categorías no son únicas, lo mínimo es dos categorías y dependen de los objetivos de la investigación. d) Procedimientos para categorizar o agrupar las unidades de análisis. e) Algunas medidas de resumen o indicadores.
E¡ em pio 1.3 a) Nombre b) Definición
Veamos la variable estado c iv il: Estado civil o conyugal. Es la situación de la persona empadronada en relación con las leyes y costumbres del país. ESTADISTICA
ELEMENTAL
c) Categoría s : (01) Soltero (a) (02) Casado (a) (03) Conviviente
(04) Viudo (a) (05) Divorciado (a). (06) Separado (a).
También puede ser (01) Soltero (02) No Soltero
d) Categorización : ¿Cuál es su estado civil o conyugal? e) Medidas de resumen, Indicadores : - Distribución porcentual. - Tasa de nupcialidad, que indica la frecuencia de matrimonios, etc. Ejem plo 1.4 Veamos la variable cuantitativa, ingreso : a) N o m b re
Ingresos
b) D e finició n : Son los recursos monetarios netos, incluyendo todas las bonificaciones que percibe una persona por su ocupación principal y secundaria durante el período de referencia de la encuesta. c) C ategorías : Puede proponerse en forma de niveles o simplemente intervalos. Para Niveles de ingreso alto, medio, bajo. Por ejemplo 11 intervalos (dólares) Para Intervalos (02)201- 400 ; (03)401-6 00 (01) Menos de 200 (05)801-1 000 ; (06)1001-1400 (04)601-8 00 (08)1801 -2200 ; (09)2201-2600 (07) 1401-1800 (11) Más de 3000 dólares. (10) 2601-3000 d) C a te g orización e) Ind ica d o re s
¿Cuál fué su ingreso total en el último mes? Ingreso promedio, ingreso mediano, Dispersión de los ingresos, Indice de Gini, etc.
Ejem plo 1.5 El analfabetismo en la población de 15 y más años, dimen sionando a partir de la tasa de analfabetismo. a) N o m b re
Tasa de analfabetismo (%)
b) D efinició n :
Proporción de peruanos de 15 y más años, que no saben leer ni escribir.
3 2 / R o b E R io B. A v í I a A costa
c) C a t e g o r í a s ; Bajo Medio : Alto ; Muy Alto d) C a t e g o r i z a c i ó n e) I n d i c a d o r e s
Menos del 10% De 10 a 20% De 21 a 30% Más de 30%
¿Sabe leer y escribir? Proporción de analfabetos hombres y Analfabetos por área urbano-rural, etc
B U L A INVESTIGACION ESTADISTICA
1.9.1
QUE ES INVESTIG ACION
El objetivo de la Investigación es descubrir respuestas a determinadas interrogantes a través de la aplicación de procedimientos científicos. El punto de partida de la investigación es la existencia de un problema que habrá que definir, examinar, valorar y analizar críticamente, para poder luego formular y entender su solución. Ander Egg (1971), define la Investigación Científica como «un proceso formal, sistemático, racional e intencionado en el que se lleva a cabo el método científico de análisis; como un procedimiento reflexivo, controlado y crítico que permite descubrir nuevos hechos o datos, relaciones o leyes, en cualquier campo del conocimiento, en un momento histórico». La Investigación es un proceso de producción de conocimientos científicos; es un proceso sistemático a través del cual se recogen datos e información de la realidad objetiva para dar respuesta a las interrogantes que se plantean. No hay investigación grande o pequeña, simplemente investigar es buscar respuestas para plantear soluciones. Cuando se aplica el método científico al estudio de los problemas económi cos se habla de investigación económica, asimismo se tiene investigación educativa, investigación agropecuaria, etc. Toda investigación requiere de datos, sin datos no hay investigación, entonces surge la necesidad de definir métodos de análisis o tratamiento de datos, con el propósito de obtener algunas ESTADISTICA
ELEMENTAL <33
medidas o indicadores que expresan la dimensión o niveles de las variables estudiadas, es decir, realizar la operacionalización de las variables; en este contexto la Estadística surge como ciencia auxiliar de la investigación, que por su naturaleza, estructura y métodos, en este proceso, el análisis estadístico también cumple con los diversos pasos de toda investigación. «El desarrollo científico y la investigación no es posible sin la estadística». (R.A.) '-------------------------------------------------- ---------En este contexto, se hablará de Investigación Estadística Aplicada, orien tada el análisis estadístico de los fenómenos sociales, económicos y demográ ficos, dentro de los tres objetivos de la Estadística, como son: Descripción, Análisis Experimental y Predicción.
1.9.2
ETAPAS DE LA INVESTIGACION ESTADISTICA
La investigación estadística por su naturaleza, es fundamentalmente de tipo descriptiva; se preocupa de la confiabilldad, validez y significación de los datos, de las muestras, así como de los métodos y técnicas de recolección y análisis estadístico. Es importante distinguir entre Investigación Estadística y la Estadística como técnica o ciencia auxiliar para la investigación científica, social, educativa, económica, etc. La investigación social, económica o de otro tipo, estudia el fenómeno en su totalidad, dentro de un marco teórico y conceptual con el propósito de contribuir al conocimiento científico; por ejemplo hay que distinguir entre hecho estadístico y hecho social, económico, educativo, etc. La investigación estadística se preocupa fundamentalmente de la dimensión y la relación de los elementos que caracterizan al fenómeno en estudio. La investigación estadística es un proceso donde se distinguen cinco etapas: I o P lan eam ie n to
o preparación
a) Fundamentación y comprensión del estudio e identificación de las variables. b) Determinación de objetivos. RobERTO
B.
A v í Ia A c o s ía
c) Organización de las variables, precisión de los datos e información
requerida. d) Identificación y evaluación de las fuentes de información.
e) Identificación y análisis de estudio similares. f) Determinación del ámbito de la investigación:
g)
h) i) j) k)
• Ambito geográfico. • Población, grupo humano o elementos que serán estudiados. Determinación de las unidades de análisis. • Período de análisis. Preparación del plan para ejecutar la investigación. • Fijación de la población. • Determinación de los métodos, técnicas e instrumentos de recolección y análisis de datos. • Método de selección de las muestras. • Elaboración de cuestionarios e instrumentos de recolección de datos. • Preparación del Plan de Tabulaciones y de los cuadros de análisis. Formación y capacitación del equipo de trabajo. Elaboración del calendario de actividades. Formulación del presupuesto y fuentes de financiamiento. Diseño y ejecución de una prueba piloto o experimental.
2 o RECOPILACION DE LOS DATOS
La recopilación o recolección de datos es el momento en el cuál el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propósito de obtener los datos o respuestas a las variables analizadas. Los métodos de recolección son diversos y dependen de las posibilidades de acceso o contacto con los elementos investigados, del tamaño de la población o muestra de la oportunidad de obtener datos y del presupuesto y de las exigencias del tiempo. El método de recolección está asociado también con el tipo y naturaleza de la fuente de datos. 3 o O r g a n iz a c ió n
y presentación de datos
Después de la recopilación de los datos, se procede a su organización, clasificación y tabulación, de modo que se facilite la presentación en tablas, cuadros o gráficos. Como tarea previa a la organización es indispensable realizar una evaluación, crítica, corrección y ajuste de los datos, el propósito es superar las omisiones, inconsistencias y desechar las respuestas no significativas o ESTADISTICA
erróneas. Téngase presente que la validez de sus resultados y conclusiones dependen en gran medida de la fidelidad de los datos utilizados. No existen computadoras que por sí, corrijan los errores de recopilación. Realizadas las correciones o ajustes, se procede a la clasificación o establecimiento de categorías o intervalos, para la agrupación de los datos. Finalmente se procede a la tabulación o procesamiento de los datos, de acuerdo a un p la n de tabulacion es previamente definido. Los cuadros y tablas estadísticas como primera fase de la reducción de datos, facilita el cálculo de los indicadores (porcentaje s, promedios, proporciones, índices, tasas, etc.) con los cuales se inicia la descripción, análisis e interpretación de los datos, variables e información estadística. 4 o A n álisis
e interpreta ción de los datos
En este etapa se aplican los argumentos matemáticos y teóricos de la Estadística. A través de métodos estadísticos se calcula indicadores y medidas de resumen, se establecen relaciones entre variables, se estiman valores, se ejecutan pruebas estadísticas, etc., como elementos de referencia para la descripción, análisis e interpretación del comportamiento de los datos, hacer inferencias válidas y obtener información de los elementos o unidades estudiadas. Los métodos de análisis de datos estadísticos son numerosos y pueden consistir en una simple observación, hasta recurrir a métodos más elaborados o sofisticados matemáticamente, aspectos que se pretenden presentar en este libro. Es importante destacar que al Estadístico le correspond e fundamentalmente, proporcion ar indicadores , modelos estadístico s e información estadística de un determinado fenómeno para el desarrollo de las investigaciones en general. La interpretación de los datos y resultados se hacen en el contexto de los objetivos de la investigación. 5 o FORMULACION DE CONCLUSIONES Y PREPARACION DEL INFORME
En toda investigación debe analizarse el cumplimiento de los objetivos, en función de los resultados fundamentales. Esta contrastación permite elaborar un resumen de los aspectos sustantivos, que luego se expresarán en forma de conclusiones y sugerencias orientadoras en la toma de decisiones. Es recomendable elaborar un informe previo o preliminar con un resumen de las conclusiones y sugerencias con el propósito de ofrecer información actualizada, oportuna y novedosa; mientras, se prepara el informe final cuya estructura obedece a objetivos y requerimientos metodológicos. 3 6 >RobERTO
B.
A v í I a A costa
1.9.3
ELECCION DE LAS UNIDADES ESTADISTICAS
La unidad estadística es el hecho elemental e indivisible que será estudiado y sobre los cuales se va a obtener datos estadísticos, pueden ser: personas, animales, objetos, instituciones, etc. En la investigación social, se denomina unidad de análisis. Esta unidad no es el fenómeno investigado, sino el que genera el fenómeno y proporciona datos concretos. En primer lugar, la elaboración de una buena estadística implica una definición correcta de las unidades que se van a considerar y una delimitación de la materia a investigar. Antes de iniciar la observación y las operaciones de recuento, el Estadístico debe tener una ¡dea clara, tanto del conjunto que quiere estudiar como de los individuos o unidades que constituyen dicho conjunto^ La unidad estadística debe definirse cuidadosamente teniendo en cuenta los siguientes criterios: • Debe ser sencilla, de modo que se puede caracterizar con facilidad, que los encargados de la recopilación no tengan duda en su identificación; • Debe ser precisa, de modo que facilite su identificación y saber que observar. No es lo mismo decir «población infantil» que «población infantil de 6 a 14 años de edad». • Fácilmente com prensible y adaptada a los objetivos que se persiguen. • Deben ser semejantes, de manera que sean aditivos; • Respetar las posibles definiciones oficiales o estatales. En el caso que la definición sufra cambios, el Estadístico deberá elaborar un cuadro comparativo o de correspondencia que permita realizar cálculos también en el marco antiguo; de ninguna manera debe anularse las posibilidades de comparación por cambio de definiciones.
SUGERENCIA DE INVESTIGACIONES Con el propósito de promover la investigación, y en especial ilustrar la operacionalización estadística, se propone los siguientes estudios: 1. «Determinación del Presupuesto Familiar del Docente Universitario Peruano».
E S T A D IS T IC A
ELEM ENTAL
<£>
2. Estudio Económico del Transporte Urbano de Pasajeros en Lima Metropolitana. 3. «Oferta y Demanda del Profesionales Universitarios». 4. «Ampliación de la Frontera Tributaria en el Distrito de Lince». 5. «Alma Mater Sanmarquina en acción: Financiamiento no tradicional de San Marcos». 6. «Implicancias en la Demanda Socio Económica del crecimiento de la población». 7. «Efectos Económicos del Atraso Académico en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos». 8. «Necesidad de Inversión para satisfacer el requerimiento de viviendas en la zona urbana». 9. «Niveles de Vida y Pobreza por áreas geográficas». 10 «Implicancias de la Educación en los Niveles de Fecundidad».
PASOS EN EL PROCESAMIENTO DE DATOS DE UNA INVESTIGACION EN EL COMPUTADOR 1) El especialista o in v e s tig a d o r explica y presenta al p ro g ra m a d o r: • El p ro b le m a y los objetivo s de la investigación. • Las v a ria b le s y los datos que necesita o ha obtenido. • Los métodos e instrumentos de recolección de datos. • El Plan de Tabulación, conjunto de cuadros donde estarán los datos ordenados de acuerdo a las categorías de las variables. Estos son los Cuadros de salida. • Los indicadores, estadígrafos y medidas de resumen que se necesita calcular, explicando los métodos y fórmulas. • Requerimiento de gráficos. • El cronograma de la investigación. Aquí se explica y presenta las necesidades de procesamiento de datos de la investigación, entregando o diseñando los form atos de entrada/ salida al Programador. 2) Determinación del softw are. Después de conocido el problema y los objetivos, el Programador realiza lo siguiente: • Escribe todas las ideas en borrador. • Confecciona el d ia g ra m a de flu jo para analizar las necesidades del problema y desarrolla la estructura del Programa. 3 8 >>RobEHTO
B. A v í I a A c o s ia
• Traduce y codifica el programa en un lenguaje o softw are que reúna las características para procesar los datos como: L o t u s , e x c e l , q p r o , D B A S E , C L IP P E R , F O X -P R O , etc. 3) ingreso de los Datos. • Lectura de los instrumentos de recolección de datos y de las fórmulas para el cálculo de indicadores. • Utilizando el teclado se ingresan los datos y el programa a la memoria del ordenador o computador (Unidad Central de Proceso). • Se almacena en algún dispositivo de almacenamiento de datos: Diskettes, Disco Duro, etc. 4) Procesamiento de los datos en el ordenador • Aplicación del programa o Software. • Los cálculos se realizan internamente en la CPU (Unidad Central de Proceso). • La información resultante se transmite posteriormente a los periféricos (Monitor o pantalla, Impresora, etc.). 5) Salida de la información • Se puede hacer por el Monitor o Pantalla del computador. • Imprimir los resultados y la información. Obtener una copia impresa de los cuadros de salida (plan de tabulación) y de los resultados de los indicadores, estadígrafos y medidas de resumen. • Elaborar e imprimir los gráficos. 6) Decisiones y acciones del usuario final. Si el programa es correcto y satisface los requerimientos de la investigación, entonces el problema ya está resuelto. Los resultados son analizados e interpretados por el equipo o responsable de la investigación, en el contexto de los objetivos y las hipótesis de la investigación.
N ota D Planteada una investigación, el Estadístico tiene que precisar y determinar los elementos básicos del trabajo estadístico. 1) Población (N) c£>
objetivos
O 2)
variables
O
3) Datos ESTADISTICA
Base de Datos ELEMENTAL < 39
4 0 /R o b e iu o
B. A v 'i I a A c os ta
OPERACIONALIZACION DEL TRABAJO EST ADÍSTICO
Capítulo
RECOLECCION DE DATOS
E ffllA RECOLECCION DE DATOS_____________________ La recopilación o recolección de datos es el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propósito de obtener los datos o respuestas de las variables consideradas; a partir de estos datos se prepara la Información estadística, se calculan medidas de resumen e indicadores para el análisis estadístico. Antes de recopilar o recoger datos, es importante analizar los objetivos del estudio, precisar las variables e identificar las fuentes de datos, a fin de definir qué datos hay que recopilar y cómo hacer esta tarea. La formulación del problema y del marco teórico, la definición de-las hipótesis y de los objetivos de la investigación permiten especificar los tipos de información y las variables que son requeridas. Realizada esta tarea, el investigador debe a continuación seleccionar y elaborar las técnicas e instrumentos para recolectar los datos. El trabajo de recolección de datos, en general, se puede realizar mediante dos modalidades: La técnica de investigación documental o bibliográfica. b) La técnica de trabajo de campo. Por su parte, el trabajo de campo puede realizarse de dos maneras:
a )
b .l.L a observación y la exploración en el terreno, que consiste en el contacto directo del investigador con el objeto de estudio. ESTADISTICA
ELEMENTAL < 41
b.2.La encuesta y la entrevista, que consiste en el acopio de testimonios orales y escritos de personas vivas. La fase de recolección de datos es uno de los puntos principales de la investigación, en consecuencia, debe dotarse de ciertas garantías para que los datos científicos puedan ser confiables y comparables, evitar las desviaciones y la falta de representatividad.
2.2 LA INFORMACION ESTADISTICA La información estadística, como datos procesados de acuerdo a ciertos objetivos, es un medio que permite cuantificar aspectos de una realidad, de un fenómeno o problema determinado, en un momento o período dado y un ámbito concreto. A partir de la información estadística se puede describir y explicar esa realidad, así como inferir conclusiones para definir un plan de acción o desarrollo específico. La información, en general, sirve para tomar decisiones. Por ejemplo, si se desea mejorar la balanza de pagos a través de las exportaciones, deberán conocerse la producción existente, los precios del mercado, la cantidad que se requiere para satisfacer adecuadamente las necesidades internas del país, la demanda externa por países, entre otros aspectos. La preparación de esta información requiere de datos sobre cada uno de los aspectos o variables consideradas en el estudio. Para el efecto, hay que identificar de dónde y cómo obtener los datos estadísticos. En primer lugar, se tienen que identificar las fuentes de datos, evaluar qué y cómo están los datos, y luego diseñar los métodos, técnicas e instrumentos para la recopilación de los datos.
2.3 LAS FUENTES DE DATOS La fuente de datos es el lugar, la institución, las personas o elementos donde están o que poseen los datos que se necesitan para cada una de las variables o aspectos de la investigación o estudio. En general, se puede disponer de cinco tipos de fuentes de datos:
4 2 / R o b tR io B. A v Ü a A c os ta
1. Las O fic in a s de E stadística, como instituciones responsables de recopilar, procesar y publicar las estadísticas sociales o nacionales. 2. Archivos o Registros A dm inistrativos, como el Registro Civil, Registro Electoral, Escalafón de Personal, Padrón de contribuyentes, etc. Estos registros no tienen fines estadísticos, su función es de tipo legal y administrativo, sin embargo, pueden utilizarse como fuente de datos estadísticos. 3. Documentos, boletines e informes estadísticos, que son las publicaciones o estudios que preparan los organismos especializados. 4. Encuestas y Censos, son fuentes directas y especiales, que se construyen en un momento determinado, recopilando datos de una parte o de la totalidad de una población. 5. Los elem entos o sujetos de una población sometida a estudio, que pueden ser personas, instituciones o simplemente objetos. Las tres primeras fuentes son de tipo administrativo y constituyen fuentes secundarias; por su parte, las dos últimas corresponden a la investigación estadística, ya que permiten obtener datos originales, intencionales y de primera mano, es decir, constituyen fuentes primarias.
üffijTECNlCA DE RECOLECCIÓN PE DATOS Las técnicas de recolección son diversas y dependen de: la naturaleza del objeto de estudio, de las posibilidades de acceso o contacto con los elementos investigados, del tamaño de la población o muestra, de los recursos y de la oportunidad de obtener los datos. La técnica también está asociada al tipo y naturaleza de la fuente de datos. Entre las técnicas más frecuentes se tiene: 1) La observación. 2) Técnica documental. 4) El cuestionario. 5) La encuesta.
2.4.1
3) La entrevista.
LA OBSERVACION
La observación en el proceso de investigación es la acción de mirar con rigor, en forma sistemática y profunda, con el interés de descubrir la importancia de aquello que se observa. La observación es el método básico que se utiliza
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 43
para adquirir información acerca del mundo que nos rodea, y por lo tanto, constituye la técnica primordial de la investigación científica. La observación puede tener lugar en situaciones auténticas de la vida ordinaria o también en el laboratorio. T ipos
de observación
a) Según el lugar o ámbito donde se encuentran los datos, se tienen: a.1) O bservació n docum ental, cuando los datos son recogidos en manuscritos o impresos. a . 2) O b s e rv a c ió n d e c a m p o , que puede ser observación de monumentos de campo y observación de conductas. b) Según como se relaciona el investigador con el objeto de estudio; como: b . 1) O bse rva ció n dire cta, cuando el investigador puede recoger y observar datos mediante su propia observación, obtener información del comportamiento tal como ocurre. b.2) O bservación in d ire cta , cuando el investigador verifica los datos que ha tomado de otros, aquí el investigador no está presente en el momento de la ocurrencia del fenómeno. b.3) O bservación no p a rtic ip a n te , cuando el investigador extrae sus datos, pero sin una participación en los acontecimientos de la vida del grupo que estudia. b . 4) O bservación p a rtic ip a n te o activa, cuando el investigador, de una u otra manera, se introduce y actúa en el grupo observado, de modo que se le acepta como miembro, y es identificado como observador. c) Según los medios utilizados, se tienen: c. l ) La observación no estructurada, asistemática y libre; aquí los hechos se observan al natural, en forma espontánea, en el momento mismo, que en muchas de las veces puede sorprender al observador. c.2) La observación estructurada, sistemática o regulada, aquí se tiene un plan específico para la realización de las observaciones, para lo cual se recurre al empleo de instrumentos o guías para la recopilación de datos.
2.4.2
LA TECNICA DOCUMENTAL
La técnica documental es un tipo de observación que recopila o busca sus datos en documentos, fuentes escritas o gráficas de todo tipo. En los RobERIO B . A v í I a A costa
documentos se tienen: a) Docum entos académ icos, constituido por la bibliografía más importante para conocer el estado del conocimiento de una ciencia. b) Actas e inform es, donde las actas son documentos que recogen lo ocurrido en el momento mismo en que está pasando; en tanto que los informes son documentos escritos después de ocurrido el acontecimiento. c) D ocum entos p e rson ale s, como las autobiografías, diarios, cartas, historias de vidas y estudios de casos. d) Fotografías, planos, videos, etc.
x 2.4.3
LA ENTREVISTA
La entrevista es una situación de interrelación o diálogo entre personas, es una técnica donde una persona llamada entrevistador, encuestador o empadronador solicita al entrevistado, le proporciona algunos datos o información. La entrevista es un diálogo intencionado entre personas. El éxito de la entrevista como técnica de recolección, depende de la eficiencia del trabajo del entrevistador. La entrevista como técnica de recolección, presenta diversas modalidades, como: • • • • •
2.4.4
La entrevista asistemática o libre. Entrevista estructurada, en la cual se precisa previamente los puntos a interrogar, existe un libreto o cuestionario. Entrevista focalizada, donde la interrogación se centra alrededor de un solo tema específico. Entrevista simultánea, cuando los entrevistados son varios al mismo tiempo. Entrevista sucesiva, cuando son varias entrevistas, pero en diversos momentos.
EL CUESTIONARIO
El cuestionario es un instrumento constituido por un conjunto de preguntas sistemáticamente elaboradas, que se formulan al encuestado o entrevistado, con el propósito de obtener los datos de las variables consideradas en el ESTADISTICA
ELEMENTAL
estudio. Cuando las preguntas se organizan y se imprimen, se obtiene el fo rm u la rio o cédula, que es el instrumento que se utiliza para registrar las respuestas o datos. La elaboración del cuestionario requiere de un conocimiento previo del fenómeno, tener precisado cuáles son las unidades de análisis y qué aspectos interesa estudiar. El cuestionario debe ser adaptado a las necesidades de la investigación y a las características del grupo que se estudia. De aquí que su estructura y su forma deben estar cuidadosamente elaboradas, la redacción de las preguntas requiere de una experiencia y para comprobar su comprensión, es recomendable someter a prueba todo tipo de cuestionario.
2.4.5
PREPARACION DEL CUESTIONARIO Y FORMULARIO
La preparación y presentación del cuestionario supone elaborar el formulario, que es el diseño del documento donde se registran los datos referentes a la unidad de investigación, permite obtener los datos para llenar los cuadros estadísticos establecidos. Su preparación se efectúa durante la fase del planeamiento de la encuesta, después de que están definidos aquellos aspectos que son fundamentales para conseguir información de buena calidad y fácil de procesar. A. C riterios para preparar el cuestio nario a ) Objetivos de la investigación.
y el fo r m u lar io .
b) Sistema de variables. c) Características del informante. d) Tiempo disponible para efectuar la recolección. e) Técnica de recolección. f) Procedimiento de elaboración. B. Características formales del cuestio nario a ) Forma y tamaño del formulario.
y del
Fo r m ular io
b) Calidad del papel del formulario c) Tipo y color de la impresión. d) Tipo de archivo. C. Form as
y clases de preguntas .
Veamos algunas clases de preguntas que se utilizan con mayor frecuencia en la construcción de cuestionarios. 4 6 ^> R o b c n i o
B . A v í I a A costa
a) P reguntas abiertas, llamadas también ¡limitadas, son aquellas que el investigador responde con su propio vocabulario, sin que se le ponga alguna alternativa, conjunto de palabras o frases. Ejem plo [2.1 • •
Describa brevemente las tareas que realiza en el cargo que ocupa. Anote la tématica de las revistas especializadas que usted conoce.
b) P reguntas cerradas dicotómicas, aquellas que sólo pueden respon derse por un SI o NO, o simplemente cuando sólo tienen dos alternativas.
Ejem plo |2.2 ¿Sabe leer? SI Sexo: Masculino SI ¿Trabaja actualmente? ¿Está Ud. de acuerdo con el aborto? SI
( ( ( (
)1 )1 )1 )1
NO ( Femenino ( NO ( NO (
)2 )2 )2 )2
c) Preguntas cerradas de elección m últiple, son aquellos que proponen un conjunto de alternativas en la respuesta. Ejem plo 2.3 •
Categoría Docente:
.
Edad:
•
¿A 1( 2( 3( 4( 5( 6(
Principal Asociado
Menores de 20 años De 20 a 29 años De 30 a 39 años
( )1 ( )2 ( )3
( )1 ( )2
Auxiliar Jefe de Práctica
De 40 a 49 años De 50 años y más
( )3 ( )4
( )4 ( )5
qué se debe que seamos un país poco desarrollado? ) Poco esfuerzo de sus habitantes. ) Dominio de los países desarrollados ) Falta de conocimientos y tecnología. ) Errores de los gobernantes. ) Herencia colonial. ) Otros
¿ Qué cosa buena para el país quisieras que ocurra en el siguiente año? ESTADISTICA
ELEMENTAL < 47
1( 2( 3( 4( 5( d)
) ) ) ) )
Más inversión y trabajo Menos pobreza Menos corrupción y delincuencia Aumento de salarios Mejora de la Educación
Preguntas literale s, son preguntas abiertas cuyas respuestas se expre san con una palabra o cantidad.
Ejem plo 2.4 • ¿ Cuál es su estado civil ? • ¿ Cuál es su ocupación actual ? • ¿ Cuál es su ingresa total ? • Lugar de Nacimiento. e) Preguntas con respuesta en grados de intensidad, cuyas respuestas indican un grado de intensidad debtro de una escala creciente o decreciente, ascendente o descendente. Hay un abanico cerrado, donde el encuestado tiene que elegir una de las posibilidades. Ejem plo 2.5; •
•
La gestión del Rector de la Universidad, es : Muy Buena ( ) Buena ( ) Regular ( )
Mala ( )
No opina ( )
¿Está Ud. de acuerdo con la política económica del gobierno ? Muy de acuerdo ( ) De acuerdo ( ) En desacuerdo ( ) No responde ( )
D. P autas a )
b)
c) d)
e)
f) g)
para la redacción
y
el
c o n t e n id o
de las
preguntas.
Incluir preguntas estrictamente necesarias para : - Satisfacer los objetivos. - Establecer controles de consistencia en las respuestas. - Individualizar al informante. Incluir preguntas para que el informante recuerde. Evitar las preguntas que obliguen al informante a hacer cálculos y pueda cometer errores. Evitar palabras que provoquen diferentes interpretaciones. Redactar en forma clara y directa. La pregunta no debe sugerir respuestas. Colocar primero las preguntas más simples y menos confidenciales.
48 / R o b E R i o B. A v Ü a A c o s i a
2.4.6
LA ENCUESTA O INVESTIGACION ESTADISTICA
La encuesta es una técnica de recolección de satos, donde se obtiene la información tal como se necesita, preparada exprofesamente y con objetivo estadístico. Permite observar y registrar características en las unidades de análisis de una determinada población o muestra, delimitada en el tiempo y en el espacio. En toda encuesta se hace uso de un cuestionario, cuyas respuestas se registran en el form ulario o cédula Cuando una encuesta está dirigida a la totalidad de elementos de una población, se llama Censo; en tanto, cuando está dirigida a una parte representativa (muestra) de una población, se llama Encuesta por muestreo >La selección de la muestra requiere de técnicas especiales que se analizan en los cursos de muestreo. Hay cuatro maneras de obtener los datos y la información con la Técnica de la Encuesta : a) Con una entrevista o diálogo con el encuestado, cuyos datos terminada la entrevista se registran en el formulario. b) Por empadronamiento, donde el empadronador pregunta o encuesta al empadronado y registra los datos en el formulario. c) Por correo, cuando se envian los formularios por correo al domicilio del empadronado o unidad de análisis. d) Por teléfono o fax, cuando las preguntas se formulan telefónicamente.
Nota 11 La redacción de preguntas deben ser claras, sencillas y compren sibles, diseñadas para obtener el dato o respuesta esperada a las variables consideradas en la investigación. Sólo debe incluirse preguntas que están asociadas a los objetivos y propósitos del estudio. N ota R Las variables, el cuestionario y el formulario deben ser evaluados antes de su aplicación. Por ejemplo trabajar con una Matriz de Formulación y Evaluación del Cuestionario, así como con la Encuesta Experimental.
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 49
EJEMPLO DE UN FORMULARIO E s tu d io : "P E R F IL SOCIO ECONOM ICO Y ACADEM ICO DEL ES TU D IA N TE UNIVERSITARIO Esta encuesta es ESTRICTAMENTE CONFIDENCIAL, tiene como finalidad recolectar datos sobre aspectos socio económicos, familiares y académicos del estudiante, a fin de disponer de un marco de referencia, por tanto, agradecemos responder con la mayor sinceridad y seriedad, coloque una x en el paréntesis de su respuesta. CODIGO ó MATRICULA :
AÑO 0 CICLO :
Especialidad : I. D A T O S G E N E R A L E S
1.1. SEXO :
1.2. EDAD en años :
Hombre
( )1
Mujer
( )2
1.3. En qué distrito vive o
Fecha de Nacimiento :
1.4. LUGAR DE NACIMIENTO :
reside actualmente ?
1.5. ESTADO CIVIL :
Provincia :
Soltero
( )1
Casado
Departamento :
Viudo
( )3
Divorciado ( ) 4
Conviviente ( ) 5
Separado
( )2 ( )6
II. A N T E C E D E N T E S E D U C A T IV O S D E L A S E C U N D A R IA
2.1. En qué colegio terminó la Educación Secundarla ? Estatal
( )1
No Estatal ( ) 2
2.3. Cuándo (fecha) terminó la Educación Secundaria ?
2.2. Donde está ubicado su Colegio ? Distrito: Provincia : 2.4. Que año repitió alguna vez ? (D
2.5. Qué asignaturas le agradaban o tenía más éxito en la Secundaria ?
(2 )
(3 )
(4 )
2.4. Qué asignaturas le desaprobó alguna vez en la Secundarla ?
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
2.7. Está Ud. siguiendo la PROFESION que pensó estudiar ?
SI
( )1
NO
Qué carrera profesional le gustaría seguir 7 ............................................................ III. A N T E C E D E N T E S E C O N O M IC O S D E L E S T U D IA N T E
3.1. Trabaja actualmente en algo ? SI
3.2. Qué hace o qué cargo desempeña 7
( )
Dónde ? ........................................... 3.3. SI TRABAJA en algo ¿En cuánto estima
3.4. SI NO TRABAJA, de quién depende económicamente 7
sus Ingresos mensuales 7 (US $)
50
( ) 1 Menos de 50
( ) 2 de 51 a 100
( ) 3 de 101 a 150
( )4 de 151 a 200
( ) 5 de 201 a 300
( ) 6 Más de 300
> Robcirro B.
A v í I a A c os ta
(5 )
3.5. Cuándo (año) empezó a trabajar por primera vez 7
( )2
IV. ASPECTOS ACADEMICOS UNIVERSITARIOS : 4.2. Cuándo ingresó por primera vez
4.1. Cuándo postuló por primera ve2
a una universidad ?
a una universidad ?
4.4. Qué asignaturas de semestres o años
4.3. En qué asignaturas o cursos está
anteriores le falta aprobar ?
matriculado actualmente ?
1.
1.
2.
2.
3.
3. 4.5. En qué ciclo o año de estudios está
4.
matriculado ahora ? 4.6. Ha seguido otra profesión ?
5.
6. 7.
SI
4.7. AL MES, cuánto estima que gasta en : Derecho de enseñanza SI. Material de enseñanza
( )
Cuál ? ......................... 4.8. Cómo calificaría la enseñanza que viene recibiendo en la Facultad 7
Pasajes, refrigerios, etc. TOTAL
Muy Buena ( ) 1
Buena
( )2
Regular
Mala
{ )4
( )3
V. A S P E C T O S S O C IO F AM ILIA R ES : 5.1. Cuántos miembros
5.2. Vive actualmente con sus padres ? Con Ambos
integran su familia ? 5.3. Nivel Educativo de sus padres : PADRE
MADRE
( ) 1 Con uno de ellos ( ) 2 Con ninguno
tran los ingresos mensuales de : (US $)
1 ( ) Primaria Incompleta
( )1
PADRE
MADRE
2 ( ) Primaria Completa
( )2
1. Menos de 100
( )1
( M
3 ( ) Secund. Incompleta
( )3
2. 100-200
( )2
( )2
4 ( ) Secund. Completa
( )4
3. 201-300
( )3
( )3
5 ( ) Superior Incompleta
( )5
4. 301 - 400
( )4
( )4
5. 401 -500
( )5
( )5
6. 501 -600
( )6
( )8
7. Más de 600
( )4
( )4
6 ( ) Superior Completa ( )6 5.5. Actividad Económica de sus padres 7 PADRE
MADRE
1 ( ) Comercio Ambulatorio
( )1
2 ( ) Obrero
( )2
5.6. Vive actualmente con sus padres 7 Alquilada ( ) 1
Compra Venta ( ) 2
3 ( ) Empleado Público 4 ( ) Empleado Privado
( )4
5 ( ) Empresa propia
( )5
Videograbadora
( H
6 ( ) Profesional Independ.
( )6
Auto o cano
( )2
7 ( ) Agricultor
( >7
Máquina de Escribir
( )3
Computadora
( )4
8 ( ) Trabajador eventual.
( )3
( )8 OBSERVACIONES Y COMENTARIOS : Fecha :
( )3
5.4. Señale en que intervalo se encuen-
Propia ( ) 3
5.7. Su familia tiene :
R e s p o n s a b le :
ESTADISTICA
ELEMENTAL <51
52>
RobE RTO
B.
A v i U A cost a
Capítulo
PRESENTACION DE DATOS
g¡HORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS Cuando se realiza la recopilación de antecedentes con fines estadísticos, se obtiene una gran cantidad de datos, algunas veces estos están en su forma natural o empírica (fuentes primarias) y otras ya están organizadas en tablas, cuadros y gráficos (fuentes secundarias). Los datos pueden estar incompletos, incorrectos, desordenados, pero en todos los casos constituyen los datos básicos para iniciar un estudio, conocer y analizar el comportamiento y las características de los elementos de una población. En el trabajo estadístico, siempre se dispone de muchos datos que, definitivamente tienen que ser clasificados, ordenados y presentados adecuadamente, de tal manera que facilite la comprensión, descripción y análisis del fenómeno estudiado, y obtener conclusiones válidas para la toma de decisiones. Supongamos que interesa analizar las características socio económicas de la mano de obra ocupada en la industria textil. En primer lugar, hay que conseguir una lista completa de las fábricas o empresas textiles; con esta lista es fácil conocer o averiguar el número de trabajadores en cada empresa; de este modo queda determinada la fuente de datos (empresas textiles), identificadas las unid a d e s de análisis (trabajadores) y el ta m a ñ o de la p ob la ción . A continuación se definen las va ria b le s y se construye el cuestionario, luego medíante una encuesta o un formulario se recopila los datos que interesa sobre las características socio económicas (variables) de cada trabajador.
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 5 3
Como resultado de esta recopilación se dispone de una cantidad de datos, registrado en los formularios tal como fueron captados, en su forma más natural y estadísticamente desordenados. Para facilitar el análisis estadístico y la interpretación de las características socio económicas, es necesario organizar los datos. En general, la organización y presentación de los datos estadísticos, supone realizar los siguientes pasos: a) E v a lu a c ió n y C rític a , que consiste en inspeccionar la validez y confiabilidad de los datos, para corregir los errores y omisiones de acuerdo a ciertas reglas fijas. A partir de datos incorrectos no se pueden obtener buenos resultados. b) Codificación, que es una técnica mediante la cual los datos o respuestas (numérica o verbal) se convierte en un número, símbolo o lenguaje que permita su procesamiento o tabulación electrónica. La codificación implica la definición de criterios de clasificación y de categorízación de las variables con miras a formular el plan de tabulaciones. c) Clasificación, que consiste en establecer las categorías de las variables. d) Procesam iento o Tabulación de datos, que es la contabilización o registro del número de casos (frecuencia o repetición) en cada una de las categorías de la variable, de acuerdo al plan de tabulación previamente establecido. El plan de tabulación es el primer ordenamiento de los datos, cuyos tabulados o tablas son analizados para construir los llamados «cuadros de análisis». La clasificación se puede hacer en relación a una sola variable (clasificación unidimensional), por ejemplo, según la edad, sueldos, nivel educativo o lugar de nacimiento, etc.; o pueden clasificarse de acuerdo a dos variables o características (clasificación bidimensional), por ejemplo, por edad y tiempo de servicios; por sueldo y nivel educativo, etc. e) Presentación de los datos, donde los resultados de la tabulación, una vez evaluados, se presentan en cuadros, tablas y gráficos. La presentación de datos implica tener la información estadística organizada para proceder al análisis e interpretación de los resultados y de los aspectos considerados de la población en estudio. En el trabajo estadístico, lo que se tiene disponible en un primer momento es un material numérico, producto de la observación o recopilación de datos, que son categorizados, ordenados, procesados y presentados en cuadros o gráficos; hay un proceso de resumen estadístico que se concreta con el cálculo de indicadores. 54 > R o b E R i o B. A v í I a A c o s t a
Hay dos formas de presentar ordenadamente los datos estadísticos: i) En forma tabular, como son los cuadros y tablas estadísticas; ¡i) Mediante gráficos y diagramas. Fundamentalmente se usa la forma tabular, los gráficos se utilizan complementariamente para ilustrar mediante figuras el comportamiento de las variables y facilitar la comprensión de los fenómenos estudiados.
TABLAS ESTADISTICAS Las tablas estadísticas presentan ordenadamente los datos estadísticos en filas y columnas, clasificados y agrupados de acuerdo a un criterio específico. En las tablas, metodológicamente, conviene distinguirlas «tablas de frecuencia o de distribución» y los «cuadros estadísticos o de análisis».
CuadroN° 3.01 TABLA DE DISTRIBUCION DE 45 VIVIENDAS DEL DISTRITO EL AGUSTINO, SEGUN EL NUMERO DE PERSONAS POR VIVIENDA. AÑO 1995. F R E C U E N C IA
N° d e p e rs o n a s
N ° d e v iv ie n d a s
F R E C U E N C IA
F R E C U E N C IA
p o r v iv ie n d a
F R E C U E N C IA
R E L A T IV A
ABSO LUTA
R E L A T IV A
V A R IA B L E
ABSO LUTA
ACU M ULADA
ACU M ULADA
3
2
0 ,0 4 4
2
0 ,0 4 4
4
4
0 ,0 8 9
6
0 ,1 3 3
5
12
0 ,2 6 7
18
0 ,4 0 0
6
9
0 ,2 0 0
27
0 ,6 0 0
7
6
0 ,1 3 3
33
0 ,7 3 3
8
5
0,1 11
38
0 ,8 4 4
9
3
0 ,0 6 7
41
0,911
10
4
0 ,0 8 9
45
1 ,0 0 0
m = 8
n = 45
1 ,0 0 0
Fuente: "Encuesta de Hogares del Distrito El Agustino". Julio 1995. Elaboración: Estudios y Ediciones RA. Agosto 1995.
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 55
3.2.1
TABLAS DE FRECUENCIA O DE DISTRIBUCION
Son tablas de trabajo estadístico, que presentan la distribución de un conjunto de elementos de acuerdo a las categorías de la variable. En ellas se observa la frecuencia o repetición de cada uno de los valores de la variable, que se obtiene después de realizar la operación de tabulación; las tablas presentan los diversos tipos de frecuencia (absoluta, relativas, etc.), como se indica en el Cuadro N° 3.1. Las tablas de frecuencia también se utilizan para organizar los datos y calcular algunos indicadores, medidas de resumen o estadígrafos.
3.2.2
CUADROS ESTADISTICOS
El cuadro estadístico es el arreglo ordenado, columnas y filas, de datos estadísticos o características relacionadas, con el objeto de ofrecer información estadística de fácil lectura, comparación e interpretación. Un cuadro estadístico es el resultado de trabajos previos (planeamiento, recopilación, tabulación, cálculos, etc.). Estos cuadros constituyen los llamados «cuadros de análisis» que se incluyen frecuentemente en el cuerpo de los estudios, de las investigaciones o de los informes. Cada cuadro estadístico puede tomar una forma particular o propia, sin embargo existen recomendaciones y normas generales para su construcción, que pretenden uniformizar criterios para presentar datos estadísticos. Por ejemplo, en el Cuadro N° 3.02. se presenta la Población Económi camente Activa (PEA) de 15 años y más, de la Región Loreto, clasificada de acuerdo a dos variables: Nivel de Educación y Provincias. Es un cuadro de tipo bidimensional, de dos variables o de «doble entrada»; en esta clasificación se distinguen una Variable Principal (nivel de educación) colocada en forma horizontal y una Variable Secundaria (provincias) colocada en forma vertical). No es la única forma de presentar datos, pero es la más recomendable, si lo permite la naturaleza de las variables. Para diferenciar las variables principal y secundaria, en el título del cuadro, se antepone la palabra POR a la variable principal (nivel educativo) y SEGUN a la variable secundaria (provincias).
56/
RobtRio
B . A v í I a A costa
C u a d ro N° 3 .02 POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA DE 15 Y MÁS AÑOS DE LA REGIÓN LORETO POR NIVEL DE EDUCACIÓN ALCANZADO SEGÚN PROVINCIAS. CENSO DE POBLACIÓN DE 1993. (d is trib u c ió n p o rc e n tu a l) N iv e l E d u c a tiv o 21 P r o v in c ia s
T o ta l PEA
T O T A L 1/
T o ta l
S in N iv e l
P r im a ria
S ecun d a ria
Supe r io r
141 7 5 0
1 0 0 .0
7 .5
44.1
3 2 .4
16.0
M aynas
78 890
1 0 0 .0
5 .2
3 6 .0
38.1
2 0 .7
A. A m azonas
22 508
1 0 0 .0
13.5
5 2 .2
2 4 .3
1 0 .0
L o re to
11 0 3 8
1 0 0 .0
12.5
6 0 .5
19.7
7 .3
6 564
100 0
14.0
5 3 .8
2 3 .5
8 .7
R e q u e na
11 8 2 8
1 0 0 .0
7.2
5 8 .5
2 5 .5
8 .8
U ca ya li
10 9 2 2
1 0 0 .0
4 .4
5 9 .7
27.1
8 .8
M . R a m ó n C a s tilla
2/ Se refiere a algún grado o año de estudios Fuente: INEI. Censos Naciona les de 1 9 9 3 . Elaborac ión: Estudios y Edicione s RA. Diciemb re 1994.
IM P A R T E S PRINCIPALES DE UNI rU A n R fl FSTA niSTirn el Cuadro En general, una tabla o cuadro estadístico completo, tal como N° 3.3. por ejemplo, puede tener ocho partes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Número del cuadro. Título Encabezamiento o conceptos. Cuerpo. Nota de pie o llamadas. Fuente. Nota de unidad de medida. Elaboración.
1) N úmero
del
Cuadro , es el código o elemento de identificación que permite
junto ubicar el cuadro en el interior de un documento. El número se anota es el que con la palabra «cuadro», por ejemplo: Cuadro N° 3.3. indica tercer cuadro del capitulo tres. ESTADISTICA
ELEMENTAL < 57
2) Tít u io , es la descripción resumida del contenido del cuadro. La redacción
del título debe ser breve, claro y completo, de modo que se pueden deducir sin ambigüedad qué tipo de información contiene el cuadro. Un título completo, debe indicar: a) Que :
que hay en el cuadro, se refiere al hecho observado o la característica principal. Ejem plo : Viviendas Particulares; Población Económica mente Activa de 15 años y más; Indicadores Económicos: Alumnos Matriculados; etc. b) Donde : se refiere al lugar geográfico o institución a la que corresponde la información. E je m p lo : del Perú; del departam ento de Tacna; de América; de la Empresa Textil Cahuide S.A.; de la ciudad de Trujillo; del Sector Minero; etc. c) Como : Cómo están ordenados o clasificados los datos en el cuadro. La variable ubicada en la fila de identifica con la preposición «por» y la que está en la columna se le antepone «según». E je m p lo : por material predominante en las paredes exteriores según región natural y área; por nivel educativo según ramas de actividad; por fuentes de financiamiento según programas; por sexo según estado civil; etc. d) Cuando: a qué momento o período de tiempo está referida la informa ción; puede ser un momento específico o puntual, como también un período de varios años, meses o semanas, etc. Ejem plo : Censo de población del 11 de Julio de 1993; Año 1985; Ejercicio 1987; Período 1980 - 1995; etc.
Ejem plo 3.1 Que Donde Como Cuando
(Ver Cuadro N° 3.02) Viviendas particulares, departamento de Arequipa. por tipo de abastecimiento de agua según provincias. Censo de Población de 1993.
o Encabezamiento , es la descripción de las filas y columnas de un cuadro estadístico; el encabezamiento se ubica en la parte superior del cuerpo del cuadro. Indica las variables y sus categorías o intervalos, también puede indicar un período de tiempo.
3) Concepto
58 > R o b E R i o B . A v í I a A c o s i a
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O o o o O O O o o o o o O O o § o o o o O o o
Elaboración: Estudios y Ediciones R.A.
(valores porcentuales)
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Un idad de Medición :
Número dei Cuadro: Titulo :
C u a d ro N° 3.03 DEPARTAMENTO DE AREQUIPA : VIVIENDAS PARTICULARES a/ POR TIPO DE ABASTECIMIENTO DE AGUA, SEGUN PROVINCIAS. CENS0 1993.
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T3 O
O
=5 UJ Q£ Q . O
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ESTADISTICA
ELEMENTAL <59
Ejem plo : En el Cuadro N° 3.03., los conceptos se refieren al Tipo de Abastecimiento clasificada en seis categorías (red pública, pilón, camión, cisterna, río o acequia, otro) y las provincias clasificada en seis categorías. En tanto que en el Cuadro N° 3.03a. referido a las Mujeres en edad fértil del Paraguay, el número de hijos tiene 5 categorías, y los métodos anti conceptivos 2 categorías (Modernos y Tradicionales) y estas se subdividen en 6 y 4 categorías, respectivamente. del Cuadro , es el contenido numérico del cuadro. Es la parte donde se colocan los datos correspondientes a las características o variables indicados en el encabezamiento o en los conceptos, es decir, presenta la distribución de los elementos según la clasificación en categorías de las variables. Es recomendable colocar las cifras de los grandes totales en forma horizontal y en la parte superior del cuerpo del cuadro.
4) Cuerpo
de Pie o Llamadas , se usa para aclarar algunos términos o siglas, y también para indicar qué elementos están o no incluidos en algunos de los conceptos del cuadro.
5) N ota
6) Fuente, es la indicación al pie del cuadro, que sirve para nombrar la
publicación, entidad, estudio o fuente de donde se obtuvieron los datos utilizados para construir el cuadro. La identificación de la fuente permite, si fuera el caso, comprobar la información o para obtener información complementaria. Hay dos tipos de fuentes: i) primaria, cuando se obtiene directamente de la unidad de análisis o cuando se recurre a los propios formularios de una encuesta; ii) secundaria, cuando se recurre a documentos, boletines o cuadros estadísticos publicados. de U nidad de M edida , se escribe debajo del título original, se usa cuando se abrevia la escritura de las cifras y para expresar en qué unidades está expresada la variable. Por ejemplo, millones de soles; miles de personas; distribución porcentual; soles corrientes; miles de dólares, etc.
7) N ota
8) Elaboración , es una indicación que se coloca debajo de la fuente, y sirve
para mencionar el responsable, que utilizando datos originales o de la fuente, elaboró el cuadro estadístico final; indica la responsabilidad de la publicación del cuadro. A veces resulta útil indicar la fecha de elaboración.
60 / R o b t R i o
B.
A v í I a A costa
Núm. del Cuadro : Cuadro N° 3.03a Título : Unid, medición :
PARAGUAY : MUJERES EN EDAD FERTIL (1) POR NUMERO DE HIJOS, SEGUN EL METODO ANTICONCEPTIVO QUE USAN. 1990. (valores porcentuales)
Encabeza mientos
T ip o d e A b a s te c im ie n to d e A g u a M é to d o s
.E R
1
2
3
4 y m ás
T o ta l
14,1
31,7
42,2
46,4
32,3
35,2
1.1. Pastlla
9,0
16,6
14,8
15,3
11,8
13,6
1.2. DIU
0,0
4,6
9,1
9,1
4,0
5,7
1.3. Inyección
3,7
5,9
7,2
6,4
3,6
5,2
1.4. Vaginales
0,0
0,4
1,6
.0,6
0,7
0,8
3,2
1,4
2,6
1.0. Algún Método Moderno
C U
0
1.5. Condón
0,9
3,1
4,3
1.6. Esterilización
0,5
1,1
5,2
11,8
10,8
7,4
2.0. Algún Método Tradicional
7,3
11,4
15,5
13,5
13,9
13,2
2.1. Abstinencia
1,6
3,1
5,1
2,8
2,9
3,3
2.2. Retira
1,6
2,8
3,3
2,6
3,1
2,9
2.3. Billings
1,8
2,3
2,8
2,6
1,3
2,0
2.4. Otras
2,4
3,2
4,2
5,6
6,5
5,0
21,4
43,1
57,7
59,9
46,2
48,4
P
O
T o ta l d e V iv ie n d a s
Nota de Pié :
0 ) Mujeres de 15 a 49 años de edad Fuente: Paraguay. Encuesta Nacional de Demografía y Salud 1990. (Pág 50). Elaboración: Estudios y Ediciones R.A.
a
h RECOMEN DACIONES PARA LA CONSTRUCCION ID E CUADROS_______________________________
a ) Los cuadros estadísticos presentan datos ordenados con el propósito de
facilitar su lectura y análisis, por lo tanto no deben ser complicados, ni grandes, ni largos. Los cuadros tienen que ser claros y precisos; en general, un cuadro es la presentación simplificada de datos.
b) Cuando se presenta más de un tema o variable, estas deben estar relacionadas entre sí. Es decir que, entre las variables, se puede establecer una relación de dependencia o de asociación; por ejemplo, el ahorro familiar tiene relación con el ingreso; también el tiempo de servicio de trabajo tiene ESTADISTICA
ELEMENTAL
relación con la edad; la edad tiene relación con el sexo; el nivel educativo con el área rural; etc. c) Las clasificaciones y categorías incluidas en el cuadro serán arregladas de manera que facilite el análisis y las comparaciones. Por ejemplo: - el tiempo se arreglará en orden cronológico, generalmente se empieza por el período más antiguo. - la clasificación geográfica se puede arreglar en orden alfabético, también de acuerdo a la importancia de las áreas o considerando la denomina ción numérica que tienen (I, II, etc ). - los valores numéricos de la variable se arreglan frecuentemente en orden ascendente (de menor a mayor), también puede ser descendente (de mayor a menor). - los aspectos cualitativos de una variable, se pueden arreglar de acuerdo a su importancia; sin embargo el orden puede ser definido por costumbre o tradición, o en forma alfabética. Por ejemplo, el estado civil se clasifica en; soltero, casado, viudo, divorciado, conviviente. d) Arreglar las cifras de manera que se faciliten las comparaciones y el análisis
de la evolución de los datos en el tiempo. e) Destacar las cifras más importantes. f) Algunas veces, cuando en una tabla de cifras tienen muchos dígitos es
recomendable abreviar las cantidades, pueden abreviarse por redondeo o reducir las cifras expresando en unidades superiores (miles, millones; por ciento; por mil, etc.). Por ejemplo: i) El número 12,745 se puede redondear a 12,7, si la parte decimal 0,745 se redondea a 0,7; ii) El número 748,387 se puede expresar como 748,4 miles; en este caso se ha dividido entre 1000 y las cifras 387 puede redondearse a 400 ó 390. g) Mejorar en lo posible la apariencia del cuadro, utilizando letras mayúsculas en los títulos, anotar las cifras adecuadamente espaciadas y utilizar rayas más negritas en las divisiones principales del cuadro.
3.5 CONSTRUCCION DE TABLAS DE FRECUENCIA Las tablas de frecuencia o de distribución son tablas de trabajo estadístico, que presentan la distribución de un conjunto de elementos agrupados o clasificados en las diversas categorías de la variable. 62 > R o b t R i o
B . A v í I a A costa
En estas tablas, como producto de la operación de tabulación, se observa cuántos elementos (frecuencia o repetición) hay en cada categoría, valor o intervalo de la variable. La tabla de frecuencia constituye la agrupación de elementos que tienen características comunes. Estas tablas presentan diversos tipos de frecuencia (absolutas, relativas o acumuladas). Veamos cómo se construye una tabla de frecuencia para variables cuantitativas (discretas y continuas) y variables cualitativas.
3.5.1
TABLAS DE FRECUENCIA PARA VARIABLES CUANTITATIVAS
Realizadas las observaciones o recopilación de datos, denotaremos la variable por X y los datos originales por: X1, X2, X3, ..., Xn, donde X¡ representa la i-ésima observación de la variable con (i=1,2,3,4,...,n). Es decir que: X 1 = dato de la primera observación. X2 = dato de la segunda observación. X 3 = dato de la tercera observación.
Xn = dato de la n-ésima observación. En este caso el subíndice «i» es un número entero, que expresa el orden de la observación. Asimismo, diremos que este conjunto de «n» observaciones constituye una muestra de tamaño «n». No olvidemos que habrá tantos valores de X como elementos tenga la población o muestra. Si se tiene Xv X2, X3, X4, X5, X6 observaciones, entonces n=6 constituye el número de observaciones realizadas, es decir la muestra tiene 6 elementos. En general, para construir una tabla de frecuencia, se requiere realizar dos operaciones : i) La Clasificación, que consiste en determinar las categorías, los distintos valores que toman las variables o los intervalos de clase. ii) La Tabulación, que consiste en distribuir los elementos de la población en la respectiva categoría o intervalo de la variable. Aquí se contabiliza cuántos elementos hay en cada categoría, es decir, determinar cuántas veces se repite (frecuencia) cada valor distinto o categorías de las variables. ESTADISTICA
ELEMENTAL
Cuando la población o muestra es relativamente grande, los datos se tabulan en forma mecánica o electrónica, utilizando las computadoras para obtener las tablas de frecuencia o cuadros de salida. Mediante este proceso se puede tabular simultáneamente una o más variables, y desde luego calcular algunos indicadores y modelos estadísticos. Si la población o muestra es pequeña o tiene pocos elementos, se puede tabular en forma manual; en este procedimiento, para las frecuencias o repeticiones, se usa una rayita vertical(/) que se va agrupando cada cinco casos como W/.
A. TABLAS DE FRECUEN CIA DE VARIABLE DISCRETA Variable Discreta es aquella cuyo valor sólo se puede expresar por números enteros positivos; los valores corresponden a puntos aislados de la recta numérica. Ejemplo 3.2 En una muestra de 20 pequeñas empresas considerar el número de trabajadores por empresa. Con estos datos, determinar la distribu ción (tabla de frecuencia) de las empresas según el número de trabajadores. Aquí los tres elementos básicos serán: Población o muestra : 20 empresas (n=20) Variable X = Número de trabajadores por empresas. Datos
:
X¡ (i = 1,2,3.... 20) o simplemente (i = 1720)
lo que significa que habrán 20 datos cuyos valores son:
X -4 II ■ts.
-'T
X9 = 5; Xi4 = 2;
x io =
5'
X 15= 4 CM
CO II o
X i9 “ 5'
X5 = 3;
X
*1 8 = 6
h
X 17 = 4 ;
X
X i2 - 5;
CD II ti co co oo T— X X
X ,1 = 4; X 16- 3;
h
X 2 = 5;
X
X, = 6; X6 = 3;
Para la construcció n de la Tabla de Frecuencia , tal como se indicó anteriormente, primero se clasifican o determinan los distintos valores de X! y luego se tabula. Veamos: ¡) La C l a s if ic a c ió n : en este caso se identifican los d is tin to s v a lo re s que tiene X¡, primero se ubican el mayor y menor valor de X¡ como son Xm|n 2 y Xm'ax = 6 ,0 sea, los valores de la variable van de 2 a 6 que al final da R o b tR io
B . A v i l a A c os ta
la serie: 2,3,4,5,6 empleados; la variable original X¡ tiene cinco valores distintos. A los distintos valores que toma la variable X¡ la vamos a denotar por y y5=6 y4=5; y3=4; y2=3; resultando: y1=2; en este caso y¡ (i=1,2,3,4,5) o simplemente y¡ (i = 175)- Si m=número de valores distintos de X|, entonces m=5. En general, y¡ (i=1,2.... m) donde m < n, en el ejemplo n = 20, m = 5, es decir que los y¡ son menos que las X¡, lo cual conduce a una reducción de datos. i¡) La T a b u l a c ió n : consiste en determinar cuántas empresas hay en cada una de las cinco categorías, es decir, cuántas veces se repite cada valor de y¡. El número de veces que se repite cada y¡ se llamará Frecuenc ia A b solu ta o Repetició n, que se denota por n¡ o por f¡. En el ejemplo, como se trata de una muestra muy pequeña, se puede tabular a mano usando rayitas o tarjados, resultando el Cuadro N° 3.04. La construcción de una tabla de frecuencia, en ninguno de los casos, supone pérdida de información, al final la suma de las repeticion es o frecuencias debe ser igual al número total de observaciones o datos originales. Cuadro N° 3.04 D IS T R IB U C IO N D E 2 0 E M P R E S A S S E G U N E L N U M E R O D E T R A B A J A D O R E S . 1994. N ú m e r o d e v e c e s q u e s e r e p it e n lo s d i s t in t o s
N ú m e ro de
v a lo r e s d e la v a r ia b le
tr a b a ja d o r e s
Valores de
Tabulación en rayitas
y,
Repeticiones o frecuencia n, absolutas
y, = 2
/
n, = 1
y2=3
////
n; =4
y3 = 4
y4 = s y5 = e
•4-Lll II t+u. III
=7 n4 = 5 n5 = 3 n3
n
T o ta l
=
20
Fuente: Registro de Pequeñas Empresas. Julio 1994.
ESTADISTICA
ELEMENTAL \6 5
Las dos columnas de la tabla que hemos construido, constituyen las columnas básicas de toda tabla de frecuencia, a partir de las cuales se puede determinar otros elementos o frecuencias. B. TABLAS DE FRECUENCIA DE VARIABLE CONTINUA Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor del conjunto de los números racionales, es decir, su valor puede ser un número entero o una fracción. Como siempre, llamaremos Xv X2, X3 ... Xn a los datos originales, donde Xj (i = 1, n) es la i-ésima observación y «n» el número de observaciones. De igual modo, para construir las tablas se tiene que realizar las operaciones de clasificación y tabulación. Considerando que la variable continua toma valores racionales, se acostumbra presentar los datos utilizando Intervalos de Clase en las tablas de frecuencia. Por lo tanto, la clasificación consistirá en determinar el número de intervalos (m) y la amplitud de cada intervalo (c). En todo conjunto de valores de la variable X¡ es posible conocer el máximo (el más grande) y el mínimo (el más pequeño) valor de X¡, donde Xmax - Xmin constituye el recorrido (R) de la variable. Gráficamente el recorrido es un gran segmento.
que se puede dividir en un número arbitrario de intervalos o pequeños segmen tos. Si m = número de intervalos, entonces: la amplitud de cada intervalo (c) es: = * max ~ xmin _ Recorrido Total =R n Numero de intervalos m El punto medio de cada intervalo se llama MARCA DE CLASE y se denota por y¡ con x¡ (i = 1,m). Supongamos que Xm¡n = 8; Xmax = 32. 6 6 7 Robenio B. A v Ü a A costa
32
8
entonces el recorrido R = Xmax - Xm¡n = 32 - 8 = 24; si se divide en 6 intervalos, resulta que la amplitud de cada intervalo es 4.
c=
3 2 -8 6
Gráficamente los intervalos son:
8
12
16
20
24
28
32
N o ta H La amplitud o longitud de los intervalos no siempre son iguales; pueden utilizarse amplitudes desiguales, pero siempre relacionados con una amplitud de intervalo como unidad. En general, hay tres tipos de intervalos: a) Intervalos de igual amplitud. b) Intervalos de diferente amplitud. c) Intervalos abiertos.
(a)
Peso (Kg) 20,1 30,1 40,1 50,1 60,1
-30 -40 -50 -60 -7 0
(b) Edades (años) 3- 5 6 -1 4 1 5 -2 4 2 5 -3 9
(c) Ingresos (soles) Menos de 500 501 - 1000 1001 -2000 2001 - 3000 3000 - 4000 4001 y más.
ÍÑ o ta B El número de intervalos (m) es arbitrario, sin embargo es recomen dable tener presente los siguientes criterios:• •
Naturaleza de la variable. ESTADISTICA
ELEMENTAL <67
• • • •
El número de valores observados. El recorrido de la variable. La sensibilidad de la variable (unidad de medida). Los objetivos del estudio que usa la información.
| N ota H El número y amplitud de los intervalos de clase de una tabla tienen que estar en relación con la naturaleza y el contexto del estudio. Sin embargo, independientemente de este hecho, se podría determinar el número de intervalos mediante la fórmula propuesta con H. A. Sturges: m = 1 + 3.322 Log n ÍN o ta H Para facilitar los cálculos, se recomienda que la amplitud de los intervalos se redondee al número sencillo más cercano e inmediato superior. Esto significa que el cociente R/m sea exacto. En muchos casos será necesario ampliar ligeramente el recorrido, de modo que: 0
_ ^ m a x ~ X fn in
1 m sea un valor exacto y con el menor número de decimales. Nunca se reduce la amplitud del recorrido. [ N ota 3 Definidos los intervalos, cada uno de ellos se denota por L¡ - Ls donde L¡ es el extremo inferior, Ls es el extremo superior, entonces. Marca de clase = y¡ = -(L ¡ + Ls) otra forma de denotar los extremos puede ser y'M - y j que se calcula para cada intervalo.
I N ota El Los extremos de un intervalo deben estar perfectamente definidos, de modo que no exista duda o ambigüedad en el momento de la tabulación. Un valor de X¡ sólo puede pertenecer a un intervalo y sólo a uno. En nuestro caso, denominaremos el intervalo como (L¡ - L ] que significa que es «abierto por la izquierda» y «cerrado por la derecha». En términos sencillos significa que en cada intervalo están incluidos los valores que son ligeramente superiores al extremo inferior, hasta exactamente el extremo superior. Matemáticamente L¡ < X¡ < Ls. Robenio B.
A v í I a A c os ta
Í N o ta H La construcción de tablas de frecuencia, especialmente con interva los, supone una ligera pérdida de información por la concentración de los da tos originales. No se registra directamente el dato original X¡ sino que se ubica dentro de un intervalo. Cuando el número de intervalos es menor, la pérdida de información será mayor. Sin embargo, no es aconsejable usar un elevado número de intervalos, puesto que significaría trabajar casi con los datos originales. Veamos un ejemplo ilustrativo: Eje m p lo [3.3] Los sueldos mensuales (en dólares) de 60 empleados de la Empresa Pirámide S.A. en el año 1995 son los siguientes: 440 453 570 440 450 574
560 650 430 340 530 500
335 407 618 558 501 462
587 376 537 460 471 380
613 470 409 560 660 518
400 560 600 607 470 480
424 321 550 382 364 625
466 500 432 667 634 507
393 526 428 492 450 382
565 528 591 512 580 645
Cómo Agrupar los datos en una tabla de frecuencia ? En este ejemplo: Población : Empleados de la Empresa Pirámide S.A. n = 60 Variable : X = sueldo mensual en dólares. Datos : X¡ = sueldos mensuales en dólares. X (i = 1,2,3,...60) n = 60 trabajadores. No se ha detallado las X¡( sin embargo es fácil advertir de los datos que : X 1 = 440; X 10 = 393; X29 = 591; X 44 = 471; X 60 = 382. 1) La Clasificación , en este caso se trata de definir el número y amplitud de
los intervalos de clase. Se sugiere seguir los siguientes pasos: I o Determinar el valor máximo y mínimo de X¡, el sueldo más alto (Xmax) y el sueldo mínimo (Xmin). *38 = Xmax = 667.
X 17 = Xmin = 321, de donde:
Recorrido (R) = Xmax - Xmin = 667 - 321 = 346 dólares.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <69
2o Elegir el número de intervalos (m). La diferencia entre el sueldo mayor y menor es 346 dólares. Si aplicamos la fórmula de Sturges, se tiene : m = 1 + 3,322 log n m = 1 + 3,322 log 60 = 6.9 m = 7 intervalos. 3o Determinar la amplitud de los intervalos c. Dado m = 7. ,in 6 6 7 -3 2 1 346 = 49,4285... m 7 7 como este cociente no es exacto, se recomienda redondear, por ejemplo a 50, esto significaría ampliar ligeramente el recorrido R de manera que la amplitud c¡ pueda ser un «número sencillo» como c¡ = 50. Aquí el recorrido 346 se puede ampliar a 350, que provoca una modificación de los extremos, Gráficamente: 'm a x
c¡ =
-
X mín
------x m. áx
350
670
320
667
321 ---------------
x min, -
346
—
luego: Xm ax
x min
6 7 0 -3 2 0
350
m
= 50
4 o Construir los intervalos. Como c¡ = 50. el recorrido se divide en 7 intervalos o segmentos, cuyos extremos son:
320
370
L„ L,
420
470
520
570
620
670
L2
L3
L4
L5
L6
L7
El extremo inferior del primer intervalo es L0=320 y el extremo superior del último intervalo es Lm=670. Como los extremos, según el gráfico, pertenecen a dos intervalos, es necesario precisar a qué intervalo va a pertenecer. Téngase presente que un valor de X¡ debe pertenecer a uno y sólo uno de los intervalos. Hay dos formas de expresar los intervalos:
70>
Robenio B.
A v í I a A costa
Primera Forma < L ,-L J 320 - 370 370 -4 20 420 - 470 470 - 520 520 - 570 570 - 620 6 20 -6 70
Segunda Forma L ,-L s 320.1 -370 370.1 -420 420.1 -470 470.1 -520 520.1 -570 570.1 -620 620.1 -670
En la primera forma se usa un concepto matemático, de intervalo abierto (paréntesis) y de intervalo cerrado (corchete). Donde (L¡ - Ls] significa que es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, es decir que en cada intervalo no está incluido el extremo inferior (LM) pero sí lo está el extremo superior (Ls). En tanto que la segunda forma, numéricamente es más práctica, puesto que directamente indica los valores comprendidos en cada intervalo. En este texto usaremos preferentemente la primera forma. 5o El punto medio de cada intervalo, es la MARCA DE CLASE, que se denota con y¡ donde: 320 + 370 yi = — ò— = 345 420 + 470 . . . y 3 = ------ -------= 445
520 + 570 ' _ y 5 = ------ -------= 545
620 + 670 y 7 = --------------= 645
6 o Finalmente se organiza la tabla:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <71
Intervalos de clase
Marca de clase
(L, - LS1 320 - 370 370-420 420 - 470 470 - 520 520 - 570 570 - 620 620 - 670
Vi y1 = 345 y2 = 395 y3 = 445 y4 = 495 y5 = 545 y6 - 395 y7 = 645
ii) La Tabulación , definidos los intervalos de clase o categorías, se distribuyen
los empleados según el sueldo en cada uno de los intervalos, es decir, contabilizar (tabulación) cuántos elementos o empleados se encuentran comprendidos en cada intervalo. Tabulando los 60 valores se puede construir el siguiente cuadro:
C ua d ro N° 3.05. DISTRIBUCION DE LOS SUELDOS EN CADA INTERVALO
(Li-Ls]
V a lo re s de la v a ria b le (su e ld o s)
N° de ca so s (em pleados)!
(su e ld o de cada e m p le a d o )
F re cu e n cia a b s o lu ta f¡=n¡
lv
3 2 0 -3 7 0
3 35-321 4
3 4 0 -3 6 4 l2:
3 7 0 -4 2 0
4 0 0 -3 9 3 -4 0 7 -3 7 6 4 0 9 -3 8 2 -3 8 0 -3 8 2
l3:
4 2 0 -4 7 0
l4:
4 7 0 -5 2 0
l5:
5 2 0 -5 7 0
l6:
5 7 0 -6 2 0
4 4 0 -4 2 4 -4 6 6 -4 5 3 -4 7 0 -4 3 0 -4 3 2 4 2 8 -4 4 0 -4 6 0 -4 5 0 -4 7 0 -4 5 0 -4 6 2
6 2 0 -6 7 0
Total de Casos A v í I a A costa
8
6 5 0 -6 6 7
6 3 4 -6 3 5 -6 4 5 -6 6 0
72 > RobeRio B.
11
5 8 7 -6 1 3 -6 1 0 -6 0 0 5 9 1 -6 0 7 -5 8 0 -5 7 1
m= 7
9
5 6 0 -5 6 5 -5 6 0 -5 2 8 -5 2 6 -5 7 0 5 3 7 -5 5 0 -5 5 8 -5 6 0 -5 3 0
6 2 0 -6 7 0
14
5 0 0 -5 1 2 -4 9 2 -5 0 1 -4 7 1 5 0 0 -5 1 8 -4 8 0 -5 0 7
l7:
8
6
n = 60
La frecuencia representa el número de empleados en cada intervalo según el sueldo. De este modo se obtienen las frecuencias o repeticiones (n¡) resultando el Cuadro N° 3.06. donde se aprecia los intervalos, las marcas de clase (y¡) y las frecuencias absolutas n¡ ó f¡, con m=7 intervalos. C u a d ro N° 3.06. D IS T R IB U C IO N D E 6 0 E M P L E A D O S D E L A E M P R E S A P IR A M ID E S .A . P O R S U E L D O S M E N S U A L E S . 1995
Total F u e n te :
E la b o r a c ió n :
=
4
co
ni
na = 14 II co
y1 = 345 y2 = 395 y3 = 445 y4 = 495 y 5 = 545 y6 ~ y7 = 645
II
320 - 370 370 - 420 420 - 470 470 - 520 520 - 570 5 70 -6 20 620 - 670
N° de trabajadores n¡ = f¡
o c=
Marca de clase Vi
-
Intervalos (US.$.) (L ,-y
n5 = 11 n6 = 8 n7 = 6 n = 60
Planillas de Sueldos y Salarios de la Empresa Pirámide S.A. Junio 1995. Estudios y Ediciones RA. 1995
Para 5 intervalos, la tabla de frecuencia es:
- 390 - 460 - 530 - 600 - 670
m - 5
y1 = 355 > 2 = 425 y3 = 495 y4 = 565 ys = 635
ii
320 390 460 530 600
Vi
c”
(L, - L J
n1 = 8 n2 = 14 n3 = 16 n4 = 13 n5 = 9 n = 60
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 7 3
¿Las tablas de frecuencia con intervalos se usa solamente para variables continuas? NO, las variables discretas también se puede presentar en tablas con intervalos, como se aprecia en el Cuadro N° 3.07. C u a d ro
N° 3 . 0 7 . D IS T R IB U C IO N D E 1 1 5 F A M IL IA S D E LA C IU D A D D E T R U J IL L O , S E G U N E L N U M E R O D E H IJ O S P O R F A M IL IA , 1 9 9 3 .
Número de hijos por familia
Marca de clase
Número de familias
L m * L,
y¡
ni
i y2 = 4
m = 44 C
y3 = 7
n3 = 16
li
10
o
O
'd-
11
C
m =4
ID
CN
*< -li
■
y t=
II
0- 2 3- 5 6- 8 9 -1 1
n =115
Por otra parte, las variables continuas también se pueden presentar en tablas sin intervalos, como se ilustra con las edades.
C u a d ro
N° 3 . 0 8 . D IS T R IB U C IO N D E L O S A L U M N O S D E L P R IM E R G R A D O D E L C E P . « G O D O F R E D O G A R C IA » S E G U N E D A D , J U N IO 1 9 9 2 .
"i n1 = 3 n2 = 18 n3 = 12 n4 = 9
II
y¡ CJl
N° de alumnos
*<
Edad en años
y2= 6 y3= 7 y4= 8 y5 = 9
F u e n te : E la b o r a c ió n :
n5 =
7
y6=10
n6 = 4
m=6
n =53
F ic h a s d e M a tríc u la . A ñ o 19 9 2. E s tu d io s y E d ic io n e s FtA.
7 4 > R o b erto B . A vi'I a A c os t a
3.5.2
ELEMENTOS DE UNA TABLA DE FRECUENCIA
En toda tabla de frecuencia completa, se identifican los siguientes elementos: de la variable o intervalo de clase, que resulta de la clasificación o categorización de la variable. Se representa por Y¡ a los puntod, y por L¡- Ls a los intervalos de clase.
1) V alor
absoluta o repetición, es el número de veces que se repite un determinado valor de la variable; en el caso de intervalos es el número de observaciones comprendido en dicho intervalo. Se representa por n¡ con (i= 1,2,,..m) donde «m» representa el número de valores distintos que toma la variable X¡ o el número de intervalos considerados (m
2) Frecuencia
3) Frecuencia
relativa o frecuencia,
n¡
es el cociente — representado por h, n
1
con (i = 1,2, ..., m). frecuencia absoluta o repetición Numero de observaciones es decir :
a b s o lu ta s a c u m u l a d a s , que resulta de acum ular sucesivamente las frecuencias absolutas, se representa porN¡ (i=1,2,..m). Donde.
4) F recuencias
Ni = ni N2 = ni + n2 = Ni + n2 N3 = ni + n2 + n3 = N2 + n3 N4 = n i + n2 + n3 + n4 = N3 + n4
ESTADISTICA
5) Frecuencias
relativas acumulad as , que resulta de acumular o sumar sucesivam ente las frecuencias relativas, se representa por H¡ (¡=1,2,.^) , tal como: Hi = hi
H2 = H3 = H4 = H5 =
hi + h, + h, + h1 +
h2 = h2 + h2 + h2 +
H1 + h2 h3 = H2 + h3 h3 + h4 = H3 + h4 h3 + h4 + h5 = H4 + h5
Hm = hi + h2 + h3 + ... + hm = Hm.1 + hm =1
Considerando estos elementos, se ha construido las tablas de frecuencias (Cuadro N° 3.09 y 3.10) correspondiente a los ejemplos. Observando estas tablas, puede deducirse que condiciones cumplen los elementos de una tabla de frecuencia, las que se puede enunciar como Propiedades de las Frecuencias. 6) Marca
de clase,
que es el punto medio de cada intervalo.
Cuadro N° 3.09 DISTRIBUCION DE 20 PEQUEÑAS EMPRESA SEGUN EL NUMERO DE TRABAJADORES, 1994.
Valores de la Variable
V i= 2
Frecuencias Absolutas
Frecuencias Relativas
Frecuencias Absoluta Acumuladas
Frecuencias Relativas Acumulada
n¡ = f¡
hi
N¡ = Fi
Hi
1 4 7 5 3
h1 = .05 h2 = .20 h, = .35 h4 = .25 hs = .15
N ,= 1 N2 = 5 No = 12 N4 = 17 N5 = 20
H1 = .05 H2 = .25 H3 = .60 H4 = .85 H5 =1.00
n = 20
1.00
ni = n2 = n, = n’ = n5 =
y2= 3 y3= 4 y4= 5 y5 = 6
F u e n te
: R egistro de Pequeñas E m presas. Julio 1994
E la b o r a c ió n
: E stu d io s y E diciones R A.
76
>R o b E R i o B.
A v í I a A costa
Cuadro N° 3.10 DISTRIBUCION DE 60 EMPLEADOS DE LA EMPRESA PIRAMIDE S.A. SEGUN SUELDOS, 1995. Intervalos de clase
Marca de clase
Frecuencia s Absolutas
<*-M * Lil
Y,
n,=fi
320 - 370 370-420 420 -4 70 '470 - 520 520 - 570 570-620 620-670 m= 7 F u e n te :
y, = 345 y2 = 395 y3 = 445 y4 = 495 y5 = 545 y6 - 595 y7 = 645
ni = n2 = n3 = n4 = n4 =
4 8 14 9 11
n6 = 8 n7 = 6
n = 60
Frecuencia s Frecuencia s Frecuencia s Relativas Absolutas Relativas Acumulada s Acumulada s h|
N,=F,
H|
h, = .067 h2 = .133 h3 = .234 h4 = .150 h5 = .183 h6 = .133 h7 = .100 1.000
N1 = 4 N2 = 12 N3 = 26 N4 = 35 N5 = 46 N6 = 54 N7 = 60
H1 = .067 H2 = .200 H3 = .434 H4 = .584 H5 = .767 H6 = .900 H7=1.000
P la n illa d e la E m p r e s a M in e r a P ir á m id e S .A . 1 9 9 5 .
E l a b o r a c i ó n : E s tu d io s y E d ic io n e s R .A .
3 .5 .3
PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS
a) «Las frecuencias absolutas n¡ y las frecuencias absolutas acumuladas N son números enteros no negativos y no mayores que n». 0 < n¡ < n ;
0 < N¡ < n
b) «Las frecuencias relativas (h¡) y las frecuencias relativas acumuladas Hj son números fraccionarios no negativos y no mayores que la unidad». 0 < h¡ < 1 ;
0 < H¡ < 1
c) «La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra». m
n i + n 2 + n 3 + ...n m = ]T n ¡ = n
¡=1 ESTADISTICA
ELEMENTAL
d) «La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad». hi +h2 + h3+...+hm = £ h ¡ e) «La última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, puesto que incluye a todos los valores». Nm = n f) «La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad». Hm = 1
g) «Toda frecuencia acumulada (absoluta o relativa) es mayor o igual que una anterior y menor o igual que una posterior». n1 = N1 < N 2 < N 3 < . . . < N m.1 < N m = n h1 = H1 < H 2 < H 3 < . . . < H m.1 < H m = 1
3 .5 .4 TABLAS DE FRECUENCIA DE VARIABLES CUALITATIVAS O
ESTADISTICAS DE ATRIBUTOS Un atributo es una propiedad o característica, por tanto si se eligen «n» elementos para determinar los elementos que poseen la propiedad A, es posible distinguir dos grupos, los que tienen la propiedad A y los que no la tienen. Por ejemplo, consideremos la propiedad o atributo «estado civil» (variable cualitativa), si C significa «casado» se puede designar con C como «no casado». Numéricamente, el volumen de «casados» (C) más los «no casados»será igual al número total de los n elementos observados, es decir: n(C) + n(C) = n Ahora consideremos dos propiedades: E = estudiante. entonces: (E C) = estudiante casado. ( | C ) = no estudiante casado. (E c ) = estudiante no casado. R o b E R i o B. A v i l a A costa
C = casado.
Veamos como se construye las tablas de frecuencia de estadísticas de atributos. En este caso también se designa los datos originales porXv X2, ...
Ejem plo 3.4
La nacionalidad de los participantes en una Reunión del Grupo Andino, fueron las siguientes :
CQ II en
p;
P:
X10= P: *1 5 = B ; > ii o
*1 4 =
Xi9=
X5 =P;
X
C = Colombiano; V = Venezolano.
LU II
X13= E; *18= v;
X
donde : B = Boliviano; P = Peruano;
X3 = P; X8 = C;
•«r
6 = p; 11= P: 16= P:
x 2 = B; * 7 = V; x i 2- C; * 1 7 = C;
X
i = c;
E = Ecuatoriano;
Como resultado de la clasificación y tabulación se tiene:
Cuadro N° 3.11.
DISTRIBUCION DE LOS PARTICIPANTES A REUNION DEL GRUPO ANDINO SEGUN NACIONALIDAD, AGOSTO 1990. Nacionalidad
n¡
Bolivianos Colombianos Ecuatorianos Peruanos Venezolanos
3 4 2 8 3
m = 5
h, 0.15 0.20 0.10 0.40 0.15
n = 20
1.00
En las tablas de variable cualitativa no tiene sentido determinar frecuencias acumulados.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <79
3.5 LOS GRAFICOS ESTADISTICOS Un gráfico o diagrama es una representación pictórica (figuras geométricas, de superficie o volumen) con el objeto de ilustrar los cambios o dimensión de una variable, para comparar visualmente dos o más variables similares o relacionadas. Para una rápida comprensión de situaciones o variaciones en cantidades, es muy útil traducir los números en gráficos o imágenes. Todo gráfico es superior al texto escrito porque transmite de manera casi instantánea, hechos, cantidades y com portamientos de variables. Un gráfico bien presentado vale más que mil palabras; el gráfico es el idioma universal. Por su naturaleza, un gráfico no toma en cuenta los detalles y no tiene la misma precisión de una tabla estadística. Los gráficos estadísticos son representaciones de relaciones cuantitativas que existen realmente en el mundo, en ningún caso es una ficción que surge de la imaginación del artista, el gráfico es la expresión artística de datos reales y observados.
3.6.1
CONSTRUCCION DE GRAFICOS
Aún cuando no existe una regia específica para la construcción de gráficos, es posible anotar algunas recomendaciones. En Estadística se emplean una diversidad de gráficos, cuya forma dependerá de la naturaleza de los datos y del objetivo de la presentación. Antes de elegir el tipo de gráfico, conviene imaginarse de antemano el gráfico a construir, que en genera! debe tener rasgos simples y de fácil comprensión. Los gráficos de una sola variable sirve para fines comparativos de cantidades absolutas, tasas, proporciones, etc. Pueden tener la forma de barras, superficies, puntos o líneas. Los gráficos de dos variables, se construye en el plano rectangular o de coordenadas cartesianas, donde hay dos ejes, X e Y. En el eje Y (ordenada) se colocan los valores de la variable dependiente y en X (abcisa) la variable independiente, siendo y = f(x).
80 > R o b E R i o
B.
A v í I a A co sta
3.6.2
PRINCIPALES PARTES DE UN GRAFICO
1) T itulo , como en los cuadros, es una descripción del contenido del gráfico;
debe indicar claramente la naturaleza del fenómeno representado. diagramas , está dado por el propio dibujo del gráfico, y como en el cuerpo del gráfico, están representados los datos indicados en el título. 3) Escalas y / o l e y e n d a s , son indicaciones donde se precisa la correspondencia entre los elementos del gráfico y la naturaleza de las medidas representadas. 4) Fuente de los datos estadísticos representados.
2) Los
3.6.3
PRINCIPALES TIPOS DE GRAFICOS
A continuación se presenta una breve clasificación de los gráficos. En esta oportunidad sólo se detallará la forma como se construyen los gráficos de frecuencias (n¡, h¡, N¡, H¡); para el conjunto de otros gráficos solamente ilustramos su forma con un ejemplo. a . G ráficos
lineales
a. 1.
En coordenadas rectangulares: a.1.1. Distribuciones de Frecuencia. - Diagrama de frecuencia. - Gráfico de frecuencias acumuladas. - Histograma de frecuencias. - Polígono de frecuencias. - Polígono de frecuencias acumuladas, a. 1.2. Series Cronológicas. a. 1.3. Nube de Puntos y Líneas de Regresión. a. 1.4. Tasas Específicas. a . 2. En coordenada polares (Diagrama de telaraña). b . G ráficos de superficie b . l . De barras (rectangulares)
b.2. b.3. b.4.
b. 1.1. Simples 1 verticales y horizontales b.1.2. Compuestas J Sectores Circulares (en forma de torta) Coronas Circulares (bandas concéntricas) Pirámides.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <81
C. P lC T O G R A M A S O D IB U JO S .
d . M apas
estadísticos o cartogram as
e. G ráfico de di mensi ones e. 1. De área (dos dimensiones) e.2. De volumen (tres dimensiones). 3.6.4
GRAFICOS DE LA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Las frecuencias (n¡, h¡, Nj, H¡) siempre son cantidades no negativas (>0), por lo tanto la graficación de las frecuencias, sean para variables discretas como para variables continuas, se construye en el primer cuadrante del plano cartesiano o rectangular. En el eje de las abcisas (horizontal) se indican los valores de la variable (sean puntos o intervalos), y en el eje de las ordenadas (vertical) se anota el valor de la respectiva frecuencia. a ) F recuencias
de variable discreta .
En el caso de una variable discreta, la representación gráfica de las frecuencias (n¡ ó h¡) se hace mediante el D iagram a de frecuencias. Para el efecto, en el eje horizontal se representa los valores de Y¡, y en el eje vertical se representa los valores de las frecuencias (n¡ ó h¡), asegurándose que en el espacio elegido se puede construir sin dificultad el diagrama de frecuencias. Definidas las escalas en los dos ejes, en cada valor graficado de Y¡ se levanta un segmento vertical de una longitud igual a la correspondiente frecuencia, resultando tantos segmentos verticales como valores tenga Y¡. Tomando las frecuencias absolutas del Cuadro N° 3.09 resulta el diagrama de frecuencias absolutas del Gráfico N° 3.01. Cuando se gráfica las frecuencias relativas, se obtiene el D ia gra m a de Frecuencias Relativas. Al considerar las frecuencias absolutas o relativas acumuladas, la representación gráfica se hace mediante el G ráfico acu m u lativo de frecuencias o Gráfico de frecuencias acum uladas. En el eje horizontal se colocan los valores de Y¡, y en el eje vertical los valores de N¡ (ó H|) luego en cada valor de Y¡ se levanta un segmento de altura igual a la correspondiente frecuencia acumulada (N¡ ó H¡); a continuación, a partir de cada extremo de los segmentos se traza tramos horizontales formando una escalera como se 82>RobERTo
B.
A v i l a A costa
aprecia en el Gráfico N° 3.02., que corresponde al Cuadro N° 3.09. referido a la distribución de pequeñas empresas según el número de trabajadores.
GRAFICO N° 3.02
GRAFICO N° 3.01
DIAGRAMA DE FRCUENCIAS ABSOLUTAS
GRAFICOACUMULATIVO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
n¡ f¡
20 i 17
12
1
5
:
T
1 1 1
1 •
0
b) F recuencias
2
3
4
5
6
7 Y¡
de variable c o n t i n u a
En el caso más general, las variables continuas se agrupan en tablas de frecuencia con intervalos, por lo tanto, se trata de representar gráficamente intervalos en el eje horizontal. La representación gráfica de las frecuencias (absolutas o relativas) se hace mediante el Histogram a de Frecuencias, que está constituido por un conjunto sucesivo de rectángulos, cuya base es igual a la amplitud de un intervalo y la altura igual a la respectiva frecuencia, como el Gráfico N° 3.03. correspondiente a las frecuencias del Cuadro N° 3.10. Para construir el histograma de frecuencias, se indican en el eje horizontal los extremos de los intervalos L¡ - Ls, y en el eje vertical el valor de las frecuencias (n¡ ó fj).
ESTADISTICA
ELEMENTAL< 83
Otro gráfico que se usa para representar las frecuencias, es el Polígono de Frecuencia, que se construye como sigue: en cada punto medio o marca de clase (Y¡) de cada intervalo se levanta un segmento de altura igual a la respectiva frecuencia (n¡ ó h,), luego une los extremos con una línea poligonal, resultando el Polígono de Frecuencia, como se ilustra en el Gráfico N° 3.04. Para completar los extremos, se extiende el polígono en media amplitud del intervalo en cada extremo. Por su parte, las frecuencias acumuladas (absolutas o relativas) se grafican mediante los Polígonos Acumulativos de Frecuencias. De igual manera, en el eje horizontal se ubican ios extremos de los intervalos y en el eje vertical el valor de N¡ ó H¡. En el extremo superior de cada intervalo se levanta un segmento de altura igual a la respectiva frecuencia absoluta, luego partiendo del extremo inferior del primer intervalo se une, con segmentos de recta, los extremos de los segmentos verticales, obteniendo una línea poligonal que, a partir de la última frecuencia acumulada, se extiende paralelamente al eje horizontal, obteniéndose la gráfica del Polígono Acumulativo de Frecuencias (Gráfico N° 3.05.).
N o ta E Todo gráfico estadístico es la representación de cantidades números o medidas por figuras o dibujos, por lo tanto se construyen con relación a una escala de medida que debe conocerse. El tamaño y la forma del gráfico debe interpretarse numéricamente, como una aproximación del verdadero valor del fenómeno o variable que representa.
G R A FIC O N° 3.03 HISTOGRAMA DE FRCUENCIAS ABSOLUTAS
8 4 >RobE Ri o B. A ví I a A cosí a
16 T
GRAFICO N° 3.04 POLIGONO DE FRECUENCIAS
GRAF ICO N° 3.05 POLIGONO ACUMULATIVO DE FRCUENCIAS (OJIVA)
Parala realización de sus gráficas le sugerimos utilize la Hoja de Cálculo Excel, debido a que éste aparte de la gran variedad que incorpora (de 2 y 3 dimensiones, curvas y pictogramas); cuenta con un Asistente que le guía paso a paso en la elaboración de los mismos. La versión de esteprograma para Windows 95 posibilita la estratificación de Mapas. En el caso de la elaboración de Pirámides emplee Harvard Graphics. ESTADISTI CA
ELEMENTAL < 8 5
3.6.5. MISCELANEA DE GRAFICOS GRAFICO N° 3.06
SERIE CRONOLOGICA
PERU : EXPORTACION DE HARINA DE PESCADO A EUROPA. 1988-1994.
Fuente: Prom. Perú. "Perú en Cifras". 1995.
GRAFICO N° 3.07
NUBE DE PUNTOS O DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO
PERU : POBLACION RURAL (%) Y TASA DE MORTALIDAD INFANTIL (x 1000) EN UNA MUESTRA DE 13 PROVINCIAS DE LA ZONA ANDINA. CENSO 1993.
Fuente : INEI. Censos Nacionales de 1993.
8 6 /R o b E R T o
B. A v í I a A costa
GRAFICO N° 3.08
TASAS ESPECIFICAS POR EDAD
PERU : TASAS ESPECIFICAS DE FECUNDIDAD, SEGUN EDADES. 1981 y 1993 Edad
TEF 1981 1993
Grupos de 15-19
0,007
0,062
20-24
0,222
0,164
25-29
0,244
0,168
30-34
0,208
0,140
35-39
0,161
0,099
40-44
0,078
0,046
45-49
0,019
0,010
TGF
5,1
3,4
Fuente : INEI. Perú : Niveles y Tendencias de la Fecundidad. Lima, Agosto 1995.
GRAFICO N° 3.09
BARRAS SIMPLES
P PARAGUAY : VIVIENDAS QUE DISPONEN DE SERVICIOS BASICOS. 1972 y 1992.
%
Agua
Luz
Desagüe
Fuente : Censos de Población de Paraguay. 1992
ESTADISTICA
ELEMENTAL
<€>
GRAFICO N° 3.10
BARRAS COMPUESTAS
PERU : MUJERES QUE USAN METODOS ANTICONCEPTIVOS MODERNOS Y TRADICIONALES, SEGUN NIVEL DE EDUCACION. 1992. 80,0 70.0 eo,o 50.0 40.0 30.0
20.0 10,0
0,0 Sin Educación
Primaría
Secundaria
Superior
Fuente: ENDES 1991/92.
GRAFICO N° 3.11
SECTORES CIRCULARES
PARAGUAY : DEFUNCIONES DE MENORES DE 5 AÑOS POR ENFERMEDADES INMUNOPREVENIBLES. 1992.
Tos Ferina S aram pión
% T o s F e rin a
1 0 ,7
T é ta n o
3 9 ,3
D ifte r ia S a r a m p ió n
Tétano
Difteria Fuente : Ministerio de Salud. Dpto. de Bioestadística.
88
> RobERto B.
A v í I a A costa
3 ,6 4 6 ,4 1 0 0 ,0
CORONA
GRAFICO N° 3.12
LA LIBERTAD : POBLACION DE 15 Y MAS AÑOS Y 1993, POR NIVEL EDUCATIVO ALCANZADO. 1981 □ Sin Nivel B Primaria B Secundaria □ Superior
PIRA MIDE S
Gráfico N° 3.13.
LOS PAISES POBLACION POR GRUPOS DE EDAD DE 2000. AÑO AL ADA ARGENTINA Y BOLIVIA ESTIM
--------------------- ARG ENTINA____________ 80 y +
i.a p g ) i , *
75 - 79 70 - 74
1,4 1’6 a ,4 É l|g 8 j a .4
86 - as 60 - 54
a.P | | É j $ d a .*
55 - 58 50 - 54
BOLIVIA
B m w é i» SSuuUr
a.o á.» «.a «.o
4 -2 : :
45 - 48 40 - 44 35 - 38
• .i i i p & S & j « i «.« 6 ,4 l l m f l ® «.a * .■ A 7 É É É É É g ¿ & M i 7,7 8 .0 0.0 8,1 8.1 8,1 0.1
30 - 34 25 - 28 20 - 24 15 - 18 10 - 14 5 - 8
».3Í «.«
0 -4 1 8 ,0
S i® wes&ss 8,3
1 0 ,0
0.8
S ,0
0 ,0
5 ,0
1 0 ,0
1 5 ,0
ESTADISTICA
ELEMENTAL <89
Gráfico N° 3.14.
PICTOGRAMA
PERU : NUMERO DE CAMIONETAS RURALES EN EL PARQUE AUTOMOTOR. 1989-1994. (Miles)
(
1989
jP|
jpgg|ggg
=10000
QBPBBBBfiBBB p 20
g
30
^ 40
50
60
70
Miles de vehículos
Fuente : Ministerio de Transportes, Comunicaciones. Vivienda y Construcción.
Gráfico N° 3.15.
DE DIMENSIONES
PERU : ALUMNOS EN LOS INSTITUTOS SUPERIORES PEDAGOGICOS. 1985 Y 1991. a)
b)
Gráfico de Areas :
1985
1991
Gráfico de Volumen :
1991
1985 ^
1
'
' 25600 29.5 160
90/R o b c n io
240
B. A v í Ia A c o s ía
29.5
38.6
57600 38.6
?hí' ’-V":
GRAFICO N° 3.16 - MAPA ESTADISTICO AMERICA DEL SUR : PAISES SEGUN PORCENTAJE DE ANALFABETISMO
ANALFABETISMO 3 - 9% | 9.1-15% 15.1-21 %
Fuente : CEPAL. Anuario Estadístico de América Latina y El Caribe. Edición 1994
ESTADISTICA
ELEMENTAL v91
GRAFICO N°3.17 LAS MUJERES EN EL MUNDO. 1990-1995.
Las mujeres
Política
h e c h o s y c r ifr a s
la participación
Pobreza 70% de los 1.300 millones de personas que vive debajo del nivel de pobreza son mujeres
Refu giado s 23 millones de refugiados son mujeres y niños
de las mujeres en el Parlamento'
Hay cuatro veces más viudas que viudos en el mundo
Nata lidad Trabajo
6 hijos
una mujer tiene en promedio:
4 hijos
3 hijos
2
Asia
América Latina
Los países industrializados
cuando ellas reciben un salario ganan
SIDA
92 >
RobeRio B.
A v í I a A c o s ta
hay seis mujeres infectadas por cada cuatro hombres en Africa
Capítulo
4
REDUCCION DE DATOS
PflGENERALIDADES
; ESTADIGRAFOS
Los tres capítulos anteriores están referidos, con cierto detalle, a la clasifica ción de variables, recolección de datos, construcción de tablas de frecuencia y a la representación gráfica, como fase preliminar en la descripción y análisis estadístico. El objetivo principal de esta primera etapa, ha sido determinar la naturaleza y formas de la distribución de frecuencias, como base para la «reducción de los datos» a través de ciertas características descriptivas y medidas de resumen. Supongamos que se realiza un estudio económico sobre presupuestos de las familias de la ciudad del Cusco; en base a los datos recopilados, es posible clasificar las familias de acuerdo al monto de sus ingresos, en 4, 5 o 6 categorías o grupos. Como tiene que ocurrir para cada caso resultará una determinada distribución de frecuencias. En forma similar, se puede repetir este estudio en dos o más ciudades y luego analizar los aspectos diferenciales. En el problema de comparar dos o más distribuciones de frecuencias, puede resultar fácil hacer una comparación gráfica de las frecuencias, sin embargo, existen dificultades para hacer comparaciones cuantitativas. Estadísticamente para facilitar este análisis comparativo es necesario disponer de algunos indicadores o medidas de resumen. Aún cuando la comparación de los histogramas (o gráficos) puede proporcionar valiosa información general, siempre es posible obtener información más precisa y útil, como la comparación directa de los datos tabulados (tablas de frecuencia) y mucho mejor si se dispone de elementos o valores representativos (medidas de resumen) del conjunto de observaciones. ESTADISTICA ELEMENTAL < 9 3
Como respuesta, la Estadística plantea reducir los datos y sustituir toda la tabla de frecuencias por unos pocos valores representativos del conjunto, es decir, reemplazar la distribución de frecuencias por unas pocas características descriptivas de los aspectos fundamentales de la distribución considerada. Estas características descriptivas (cantidad), constituyen ios llamados ESTADÍGRAFOS, que son indicadores o medidas de resumen estadístico. Por tanto, en vez de comparar totalmente dos distribuciones de frecuencia o gráficos, sólo bastará comparar los estadígrafos de ambas distribuciones. En general, para llegar a determinar los ESTADÍGRAFOS se sigue el siguiente esquema:
Recopilación de datos
DATOS ORIGINALES
Organización y procesamiento de datos
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
(X¡)
i (Y¡; n ¡; h¡)
________________ i ________________
Reducción de datos
CARACTERISTICAS DESCRIPTIVAS 1
ESTADIGRAFOS
De acuerdo al valor y naturaleza de la variable, se puede obtener diversas formas de distribución de frecuencia, como se aprecia en el Gráfico N° 4.01. Como «medidas de resumen» del comportamiento de estas distribuciones se define cuatro tipos de Estadígrafos: a) De posición o tendencia central
b) De dispersión o variabilidad. c) De deformación o asimetría. d) De apuntamiento o Kurtosis.
94 / RobERTo B. A ví Ia A costa
GRAFICO N° 4.01 a. Posición
20
t
i
10
10 0-
-R h
0 * -M -ffí- -
24
12
8
li * 28
b. Dispersión
20
j
10
--
0 -I— ♦10
c. Deformación
20
t
10
*
0
20 t
20 T
10
10
0
0
4h
■p rf
20
d. Apuntamiento
20
t
20
10
10
0
0
+ S I
I
h
ESTADISTICA ELEMENTAL < 95
ESTADÍGRAFOS DE POSICION Como su nombre lo insinúa, son estadígrafos que describen la posición que ocupa una distribución de frecuencia alrededor de un valor de la variable. Supongamos que se elige tres conjuntos de estudiantes de primaria, secundaria y superior, cuya distribución por edades ha permitido obtener los histogramas del Gráfico N° 4.2. Como se observa en los Gráficos 4.2.(a), 4.2.(b) y 4.2.(c) hay un desplazamiento de las distribuciones hacia la derecha a medida que avanza el nivel educativo de cada grupo; la diferencia entre los tres histogramas es sólo el cambio de posición o localización a lo largo del eje horizontal o valor de la variable (edad). * En cada uno de los tres casos se advierte que los valores observados se agrupan alrededor de cierto «valor central» o «valor medio». Estos valores centrales, por su desplazamiento en el mismo sentido y magnitud, se considera como números que describen la posición de la distribución de frecuencias, y se definen como e s ta d íg ra fo s de posición o de tenden cia central Los estadígrafos, son valores que de manera condensada representan en un sólo valor, a una serie de datos y además describen resumidamente al conjunto de observaciones. Los estadígrafos de posición de uso más frecuente son: la media aritmética, la mediana, las cuartilas, las decilas, los percentiles y la moda; existen además la media geométrica, la media armónica, etc.
fE Ü T M E D IA ARITMETICA Es el estadígrafo de posición más importante. La media aritmética se denomina simplemente MEDIA y comúnmente se le conoce como promedio. La media aritmética se define y calcula dividiendo la suma de los valores de la variable entre el número de observaciones o valores. . . ,. Suma de valores de la variable Media = ------------------------------------------Numero de valores Para una variable X, la media se puede simbolizar como: X ; M(X) ; ax 96 > RobeRTO B. AviU A costa
GRAFICO N° 4.02 DISTRIBUCION DE TRES CONJUNTOS DE ALUMNOS DE PRIMARIA, SECUNDARIA Y SUPERIOR, SEGUN LA EDAD. 4.02 (a) E d u c a c ió n P rim a ria
EDAD
20
Edad
Alum nos
5-7
-12
7-9
26
9-11
24
11-13
20
13-15
18
15-17
14
17-19
8
m=7
n=122
Edad
A lu m n o s
4.02 (b) E d u c a c ió n S e c u n d a ria
10-12
12
12-14
26
14-16
24
16-18
20
18-20
16
20-22
8
22-24
4
m=7
n= 110
Edad
Alumno s
14-16
4
4.02 (c) E d u c a c ió n S u p e rio r
16-18
8
18-20
20
20-22
26
22-24
18
24-26
12
26-28
8
28-30
6
m=8
n=102
ESTADISTICA ELEMENTAL <97
a)
L.a media que se obtiene a partir de «n» datos originales X¡ se denomina M edia A ritm é tic a Sim ple n
Zx¡ M(X) = X = Xi + X2 + X3 + - + Xn
entonces M(x) = ^ — n
n También X = - £ X ¡
ó
X = yx,h¡
n ¡=1
el símbolo £
Ejem plo 4.1
= 13;
significa "sumar”.
Supongamos que los puntajes obtenidos en 5 exámenes parciales de Estadística son: x 2 = 10;
x3 =14;
x4 =11;
x5 =10
la nota promedio o media aritmética de las notas es: “
X-] + X2 + X3 + x4 + x^ =
5
13 + 10 + 14 + 11 + 10 =
5
5
I xi X = — — = — = 11,6 ó sea X = 12 puntos 5 5 b)
La media obtenida a partir de los datos agrupados en tablas de frecuencia se denomina M e d ia A ritm é tica Ponderada, definida como: M(Y) - Y
yini + y2n2 + y3n3 +-+y m nm n m
Zy¡n¡ Y = — ----n Los puntos medios y¡ de cada intervalo se ponderan por las frecuencias n¡. Ejem plo |4.2
Un fabricante de zapatos, tiene tres tipos de máquinas cuyo costo de producción y número de pares que produce cada máquina por día es:
98 > RobeRTO B. A v í Ia A costa
Máquina
Costo de
Producción
Producción
Diaria
Costo Total
Y¡
Y in ¡
y3 = 9
n¡ n 1 = 800 n2 = 400 n3 = 1000
m
n = 2200
A B C
yi = 8
y2 =7 3
=
y 1 n 1 = 6400 y 2n2 = 2 80 0 y 3 n3 = 9000
18200
¿Cuál es el costo promedio por par de zapatos en la producción total ? M(Y ) - Y _ yin i + y2n2+y3n3 ni + n2 + H3 lY lH j
18200 = 8,27 dólares. n 220 0 en términos redondos, el precio promedio de producción de cada par de zapatos sería 8,30 dólares. Y=
4.3.1
i=1
CALCULO DE LA MEDIA
La media aritmética, tal como se define, se puede calcular a partir de: a) Datos no agrupados o datos originales (X¡). b) Datos agrupados o tablas de frecuencia.
a)
La M e d ia de D a to s no A g ru p a d o s La media para datos no agrupados es el cociente de la suma de valores de la variable (X¡) dividido entre el número de observaciones (n). Es el caso de la media arimética simple: n
1* 1
M(X) = X = -Ll! _ n
ESTADISTICA ELEMENTAL < 99
Ejem plo 4 .3
260 230 170 125 233 135 164
190 235 130 92 185 160 173
Las remuneraciones mensuales, en dólares, de 80 trabaja dores de una empresa de transportes, son los siguientes:
130 230 105 240 145 145 156
135 265 217 140 185
220 12 0
95 115 145 170 182
222
170
155 91 190 205 230 195 190
225 115 175 125 170
230 185 190 140
2 10
135
177
2 10
220
93 255 140 155 165 180
180 233 220
170 288 173
120
190 185 190 95 153
215 160 195 190 12 0
178
en este ejemplo la variable es la remuneración mensual medida en dólares, es decir X, = remuneración mensual, donde los 80 valores de la variable serían x ^ x2, x3, ... x79, x80. Sumando los valores de X, se obtiene: 80
£ x ¡ =14020
n = 80
i=1
Entonces, el valor de la media (sueldo promedio) será: 80
I * X =— —
14020 = 175,25 dólares. 80
M(X) = X = 175,25 dólares mensuales.
b)
La M e d ia d e D a to s A g ru p a d o s en T a b la s de F re cu e n cia Los datos se pueden presentar o agrupar en tablas sin intervalos y en tablas con intervalos, en ambos casos se usa la M e d ia A ritm é tic a Ponderada: m ¿ y ¡n i M(Y) = Y = — ----n b.1. Tablas sin in te rv a lo Consideremos el ejemplo 3 1, referente al número de trabajadores en 20 pequeñas empresas. Entonces para calcular la media se trabaja con el Cuadro N° 4.01.
100> RobERio B. Aví Ia A cosia
Cuadro N° 4.01. ERO PROMEDIO CALCULO DE LA MEDIA 0 NUM A. DE TRABAJADORES POR EMPRES ----- —— ---- ----- -------------
Numero de trabajadores
Número de empresas
Y,
n,
Yini
1
V l= 2 y2 = 3 y3 = 4 y4 = s y5 = e
ni
m=5
n =20
= n2 = n3 — n4 = n5 =
yini = 2 y2n2 = 12
4 7 5 3
y3 n3 = 28 y4 n4 =2 5 y5n5 = 18
5 Iy ¡n ¡ = 85 ---------- ---------------------- J
Iy¡n¡
Lue go:
85 M(Y )= j=i___ =
n
trabajadores por empresa. 20 4,25
trabajadores 56 PUede expresar “ roo cuatro 'a' Cr6 diS ble aria saV e pre rer po b.2 .
Tab las con in te rva lo s
C0" ¡" '^ a lo s , da scf v.» sala * * “ ^ elemento se úsa la epresenta r el valor de rn e incluid o en su respectivo in te
aPÍ¡CaCiÓn díreCta de la
a r it m é L ^ e r id a ^ " "
la media
A d o ro s , “ SUe,
288
X m ¡n
X m ax -
290
X m ,n = 9 0
= 91
ESTADISTICA ELEMENTAL <101
para : c =
29 0 -9 0
= 40 obteniendo la tabla o Cuadro N° 4.02.
Cuadro N° 4.02. CALCULO DEL SUELDO PROMEDIO DE 80 TRABAJADORES
Sueldos (U.S. $)
Marcas de clase
Número de empleados
Sueldos ponderados
0 -1 ' L J
Y¡
n¡ = f¡
9 0 -1 3 0 130-170 170-210 210-250 250 - 290
110
15
150 190 230 270
22
yini 1650 3300 4560 3450 1080
TOTAL
m = 5
24 15 4 n = 80
14040 Zy¡n¡ i=1
Se observa en la tabla el valor de las «marcas de clase» y¡ que luego son ponderados (multiplicados) por su respectiva frecuencia n¡. Entonces el sueldo promedio resultante es:
Iy¡n¡ M(Y) = Y = — ----V 80
14040 ---------= 175,50 dolares. 80
Como se deduce, este valor de $175,50 difiere ligeramente del obtenido de los datos originales X¡ que fue $175,25. La diferencia se debe a pérdida de información que generalmente se produce en las tablas de frecuencia con intervalos. Los datos también pueden presentarse en una tabla de 7 intervalos (m=7) y calcular la media aritmética; aquí c¡ = 30
102> R obE R io B: A v iU A costa
Cuadro N °4.03. (L¡ - L S1
Y¡
9 0 -1 2 0 120 - 150 150 - 180 180-210 2 10 -2 40 240 - 270 270 - 300
105 135 165 195 225 255 285
n¡ = f ¡
y ini
1
1155 1755 3300 3315 3375 765 285
n = 80
13950
11
13 20
17 15 3
i^n E luego:
M(Y) = Y =
13950 174,38 dólares. 80
n
N ota Q No debe sorprender que, para un mismo conjunto de datos, se obtenga valores ligeramente diferentes para su media; téngase presente que toda agrupación en intervalos siempre produce sesgos, y ésta es una característica del trabajo estadístico. Los estadígrafos no son valores determinantes, ni menos valores exactos, pero si son los más representativos de una realidad. La Estadística no es una ciencia exacta como la Matemática, pero proporciona buenas estimaciones, lo cual depende de la calidad y veracidad de los datos.
4.3.2
PROPIEDADES DE LA MEDIA
a) «La media aritmética de una constante es igual a la misma constante». M(K) = k n I*
M(K) =
¡=1
n
k + k+ k + ...+k m
k = constante
n.k =k n
ESTADISTICA ELEMENTAL <103
b)
«La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable». M (k.x) = k.M (x) M(k. x) =
k = constante
kxt +kx 2 + ... + kxn n
n
k (x 1 + x2 +... + xn) _ kYXj _ kM(x) n
n
c) «La media de la suma de dos o más variables, es igual a la suma de las medias de cada una de dichas variables». M(X + Y) = M(X) + M(Y)
M(X i Y)- H xi+yi)_ (x1 + Vl)+(x2 +y 2 )+ -+(xn+yn) n
n
_ ( x 1+ x 2 +...+xn ) t
(y1+y2+-+yn)
n
n
M(X + Y) = & + ^ - = M(X) + M(Y)
n n Para tres variables:
M(X + Y - Z) = M(X) + M(Y) - M(Z) d) «La media de una variable más una constante, es igual a la media de la variable más la constante». M(X + k) = M(X) + k
M(X + k) =
Z (X + k ) n
Y X|
yk
n
n
£i-±+ A _ = M(X) + k
e) «Si una muestra se divide en r submuestras, entonces la media total de la muestra, es igual a la suma de las medias de las submuestras ponderadas por sus respectivos tamaños, dividido entre el tamaño de la muestra total».
104> RobERio B.
A v í Ia A costa
Sea una muestra de tamaño n con media
y
.consideremos dos submues
tras de tamaño n 1 y n2, con sus respectivas medias y 1 y y 2 , con n= n 1 +n2. 2 _ — — Z Y ¡nl Entonces: y = y j n 1 + Y 2n2 ___ n n Generalizando para r submuestras, se tendría:
Y= O sea : V Y¡ n¡ i=1
Eje m p lo 4.4 En una empresa la edad promedio de las 17 trabajadoras mujeres es de 31,2 años, y la edad promedio de los 23 trabajadores hombres es de 38 años. ¿Cuál es la edad promedio del total de trabajadores? Aquí se tiene:
N° Trabajadores
Edad promedio
Mujeres
n 1 = 17
Y i — 31.2 años
Hombres
n2 = 23
Y 2 = 38.0 años
Total
n = 40
de acuerdo a la propiedad (e), la media aritmética total: Y
31,2(17) -t- 38,0(23) 530,4 + 874,0 40 " 40 v 1404,4 Y = --------- = 35,1 anos. 40
E jem p lo 4.5| Se quiere conocer el Producto Bruto Interno (PBI) por habitan te del área del Grupo Andino. Para el efecto se dispone del número de
ESTADISTICA ELEMENTAL <
habitantes (n¡) y el PBI por habitante (y¡ de cada uno de los cinco países miembros para el año 1986 Hallar el PBI por habitante del Grupo Andino equivale a calcular la media aritmética total (PBI promedio por habitante de la región); conociendo la media de cada país y el respectivo número de habitantes, se prepara el siguiente cuadro:
C u a d r o N ° 4 .0 4 PRODUCTO BRUTO INTERNO POR HABITANTE Y POBLACIÓN TOTAL SEGÚN PAÍSES DEL GRUPO ANDINO. 1993. PBI por P a ís e s
h a b ita n te
P o b la c ió n T o ta l
y¡ni
"i 1. 2. 3, 4. 5.
Bolivia Colombia Ecuador Perú Venezuela
064 987 981 890
000 000 000 000
707,3 1 518,3 1 395,8 850,1
7 33 10 22
3 b b ti.3
20 9 IU UUU Ô5 832 000
m= 5
4 996 51 602 15 327 19 458
367 452 279 789
200 ' 100 800 000
~ 74 362 233 UUU----165 747 131 100
- D ólares a p re cio s de 1980, F u e n te E la b o r a c ió n
: C E P A L . A n u a rio E sta d ístico de A m é rica Latina y el Caribe. Edición 1994 : E stu d io s y Ediciones RA.
Luego:
i ^ y ) _ í?/' n
M(y) =
106> RobcRTo
B.
_ yini+y2n2+ y3n3+y4n4 +y5n5 +n 2 +n 3 +n 4 +n 5
165747131100 = 1/29,60 dólares. 95832000
A v iU A costa
En el año 1993, el PBI promedio por habitante del Grupo Andino fue de 1729,60 dólares. Considerando la misma fuente, a 1988 el PBI promedio era de 1709,50 dólares por habitante. E jem plo ¡4.6| En un examen de Estadística participaron tres grupos A, B y Cfcon un total de 180 alumnos; habiendo obtenido nota promedio general de 72 puntos. Los puntajes promedio de los grupos A y B fueron 75 y 62, y estaban constituidos por 80 y 60 alumnos respectivamente. ¿Cuál es la nota promedio del grupo C? nA + ne + nc = 1 SO alumnos, y =72 puntos. = 75 y B = 62 y c = ? Como nA =80 nB =60 entonces nc =40 y a
YAnA+yBnB+yçnC _y2 nA + n B + n C
-
75(80)+62(60) + yc (40) _ 6000+ 3720+40yc
y_ yc =
180 180(72)-6000-3720 40
~
_ 7 ?
180
3240 OH ------- = 81 puntos. 40
Entonces, la nota promedio del grupo C es de 81 puntos. Eje m p lo [4.7] En una empresa textil, la distribución de los sueldos (en miles de pesos) de los 50 trabajadores en el mes de Agosto se pre-senta en la siguiente tabla. Por incremento del costo de vida, se presenta dos alternativas de aumento a partir de setiembre. La primera propuesta es un aumento de 6000 pesos a cada trabajador y la segunda es un aumento de 35% de sus sueldos. ¿Cuál de las dos propuestas conviene más a los trabajadores? Solución: a) Calcular primero el sueldo promedio actual.
ESTADISTICA ELEMENTAL <107
L ¡-L s
Y¡
ni
y¡n¡
10,0-15 15,1 -2 0 20,1 - 30 30,1 -4 0
12,5 17,5 25,0 35,0
10 20 6
125 245 500
20
50
14
2 10
1080
y _ E yi2i_25É 2.= 21,6 miles de pesos ó 21600 pesos, n 50 b)
Para analizar las propuestas, aplicar las propiedades de la media. I o Propuesta: Incremento de 6000 pesos, o sea k = 6000 M(y + k) = M(y) + k = 21 600 + 6000 = 27600 pesos. 2o Propuesta: Aumento del 35%, o sea k = 1.35 M(k,y) = kM(y) = 1,35(21600) = 29160 pesos Por el valor de los nueves sueldos promedios, pareciera que la segunda alternativa es la que conviene, porque es 29160 pesos contra 27600 de la primera alternativa. Pero si nos detenemos un poco, es fácil deducir que la segunda alternativa favorece mas a los que tienen sueldos altos, es decir, los que tienen sueldos entre 30 y 40 mil pesos recibirán aumentos mayores (4525 pesos) que los trabajadores que tienen sueldos entre 10 y 15 mil pesos (1687 pesos). En tanto, según la primera alternativa, cada uno de los trabajadores recibirán 6000 pesos, independientemente del sueldo actual, que es más justo, es decir que tanto que el que tiene 10 mil ó 30 mil de sueldo, el nuevo será de 16 mil ó 36 mil. En consecuencia, en una política de remuneraciones orientada a mejorar los ingresos de las mayorías o de los que ganan menos, conviene plantear aumentos homogéneos o ¡guales para todos los trabajadores.
f)
«La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es igual a cero, cualquiera sea la distribución». m _ Z(Y¡ - Y)n¡ =0 ¡=1
108> Robenio B. AvíIa Acosta
Demostración: I ( V i - Y ) n i = Z (Y inj -Y .n i) = I y ¡ n ¡ - Y Z n ¡ = I Y jnj-n Y Z(Y ¡ - Y)n¡ = n Y -n Y = 0 puesto que: Y_XZA n
entonces nY = ZY,n¡
el lector puede demostrar que: X (X ¡-X )= 0
Eje m p lo |4.8
Para los 80 empleados del ejemplo 4.3., se tiene la siguiente comprobación numérica.
110
150 190 230 270
110 150190 230 270 -
175,50 175,50 175,50 175,50 175,00
ni = fi = -65,5 = -25,5 = 14,5 = 54,5 = 94,5
c Ip I
l>-l
_____ Y!
15 27 24 80 4
-982,5 -561,0 348,0 817,5 378,0
80
0 Z (Y ¡-Y )n ¡
N ota n L a media aritmética como estadígrafo de posición de una distribución, proporciona una idea de la posición de los valores alrededor de la media. La media es un promedio, por tanto no significa: i) que todos los valores observados resultan ahora ser iguales, ii) que la media se ubica exactamente en el centro de la distribución, excepto si la distribución es simétrica. Entonces, la media aritmética en general no divide a la distribución en dos partes iguales. N ota El La media siempre está influenciada por los valores extremos, sean mayores o menores. Por ejemplo, en la distribución de los ingresos o salarios se aprecia un predominio de ingresos menores, es decir que hay muchas ESTADISTICA
ELEMENTAL <109
personas que ganan poco y pocas personas que ganan mucho, en este caso la media estaría influenciada por los pocos valores mayores, originando una elevación del ingreso promedio de las personas, de este modo se distorsiona la interpretación de los ingresos de esta población. Para : 300. 300 y 600 Media = 400 En : 900, 100, 150 y 50 Media = 300 La media por si sola no es un buen indicador para describir o analizar la distri bución de datos. N o ta El La media presenta algunas dificultades en su cálculo cuando las tablas de frecuencia tienen: a) el intervalo inicial sin indicar el límite inferior; b) el último intervalo donde no se conoce el límite superior; c) una combinación de los dos casos. (a) Menos de 200 200 - 400 400 - 600 600 - 800 800 -10 0 0
(b) 500 - 1000 10 0 0 - 1500 1500-2000 más de 2000
(c) Menos de 1000 1 0 0 0 -2 0 0 0
2000 - 4000 4000 - 6000 6000 y más.
Para superar estas dificultades, ha sido necesario elaborar un estadígrafo de posición, que no sea influenciado por los valores extremos y que además se ubique en la parte central de la distribución dividiéndola en dos partes de igual tamaño; este estadígrafo se llama la Mediana o Valor Mediano.
\IA MEDIANA O EL VALOR MEDIANO La mediana (Me) es el valor de la variable que divide al total de las «n» observaciones, debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamaño. Esto significa que a uno y otro lado de este valor mediano (Me) se encuentre no más del 50% del total de las observaciones. Es decir, que no más de la mitad de las observaciones (n/2) sean menores que Me, y que no más de la mitad sean mayores que Me.
It o b e n r o B. A v í I a A c os ta
4.4.1
CALCULO DE LA MEDIANA
En genera), una vez ordenados los datos, para calcular la mediana se n+ 1 , , n toma como referencia el valor de - y para datos no agrupados y — para datos agrupados.
a) La m e d ia n a de d a to s n o a g r u p a d o s
Para calcular Me, los «n» datos originales X¡ se ordenan en forma n _j_-j ascendente o descendente, luego se calcula — y que determina el lugar donde estará ubicado el valor de la mediana. Aquí se presentan dos casos: a . l) Cuando se tiene un número Im p a r de datos, la mediana es igual al valor del término central. Por ejemplo, hallar la mediana de los valores: 4 , 1 , 4 , 8 . 5 , 6 ,9. n=7 n+1 ordenados en forma ascendente: 1,4. 4, 5, 6 , 8 , 9, donde y — = 4 ; es decir que el cuarto valor es la mediana, o sea Me=5. Se deduce que cada lado de Me = 5 hay 3 valores de la variable. a . 2) Cuando el número de datos es Par, la mediana es igual al promedio
de los dos valores centrales. Por ejemplo, si los sueldos de 8 trabajadores, ya ordenados son: 323, 425, 428, 432,,440, 445, 500, 510 dólares, se tiene — = \ 2 8+1 — y = 4,5 indicando que el valor de M e es el promedio de los valores deí 4o y 5o términos de los datos ordenados, luego. ,, 432 + 440 ... Me = ------------- = 436 dolares. 2 Interpretando este valor significaría que de los 8 trabajadores, hay 4 trabajadores (50% de n) que tienen sueldos inferiores o iguales a 436 dólares, en tanto que los 4 trabajadores restantes (el otro 50% de n) tienen sueldos superiores a 436 dólares.
ESTADISTICA
/ \
ELEMENTAL <111
b) La m e d ia n a de datos a g ru p a d o s Datos agrupados son aquellos que están presentados en tablas de frecuencia. Entonces, la m e d ia n a es el valor de la variable que divide a una distribución de frecuencia en dos partes iguales, de modo que cada parte tiene no más del 50% de n. Para calcular la Me a partir de tablas de frecuencia, debe determinarse las frecuencias acumuladas N¡ = F¡, que permite conocer hasta que valor de la variable o intervalo se tiene acumulado el 50% de n. El punto de partida es calcular n /2 y este valor se compara con los N| donde puede suceder que: i)
Que — no coincide con algún N¡, es decir el valor de se encuentra entre dos valores de N,, o sea: NH
< |
< Nj
donde N( es un valor particular de N¡ y anterior de i¡)
es el valor inmediato
Que — coincide o sea igual a un valor de N¡. En este caso al valor n de Nj que coincide con — se denota por Nj_1, )- es decir: M 1=— n N¡ 1
F - n FH - 2
2
Ambos casos se puede resumir como: N j-i ^
n
< Ni N,a
b.1. La m e d ia n a en tab la s sin in te rva lo s. i)
Si — no coincide con algún
N¡, se tiene que:
i n/2
NH < |
R obER io B . A v iU A c o s ia
Yj = Me
Ejemplo 4.9
Calcular la mediana (Me) del Cuadro N° 4.5. que corresponde a la distribución de 20 empresas según el número de trabajadores. En este cuadro o tabla se incluye la columna correspondiente a las frecuencias absolutas acumuladas N, (ó F¡). n
Aquí n = 20 luego — = 1 0 1 comparando este valor con los valores de N¡ se n
obtiene que 10 está comprendido entre N2 = 5 y N3 = 12, es decir que — no coincide con algún N¡, o sea: Ni- 1 5
< ¿
<
nj
< 10 < 12
lo que significa que Nj = 12 y Nj.., = 5. El valor de Y, que corresponde a Nj se llamará Y¡, aquí Yj = Y3 = 4 luego Me = Yj = 4, es decir Me = 4. Es decir, existen 12 empresas con 4 o menos trabajadores cada una. Cuadro N° 4,05. DISTRIBUCION DE 20 EMPRESAS SEGUN NUMERO DE TRABAJADORES
-< II ro
ni = n2 = n3 = n4 = n5 ~
LO
-< II
Y2 = 3 ii
N¡ = F¡
n¡ = f¡
Y,
= 5 Y5 = 6
Y 4
N i= N2 = N3 = N4 = N5 =
1
4 7
5 3
1
5 12 17 20
■ *—
N: 1 Nj
n = 20
ii)
Sí — coincide con algún N| se tiene que : Nj_, =
A
< N¡ n/2
1 entonces . Me = — (Yj_¡ + Y¡
ESTADISTICA ELEMENTAL <113
El Cuadro N° 4.6. corresponde a la tabla de distribución Eje m p lo [4.10| de 36 alumnos según los puntajes obtenidos en el examen de Estadística. En este caso - = 18 coincide con N3 = 18, por tanto N3 = N^.., = 18, luego Nj = 25. De estos resultados se obtiene que Y¡ = Y4 = 12 y Y = Y 3 = 1 1 de J* donde la mediana es: Me = l (YH + Yj) = ¿ ( 1 1 + 1 2 ) Me = 11,5 puntos. Cuadro N° 4.6. DISTRIBUCION DE ALUMNOS SEGUN PUNTAJES OBTENIDOS EN ESTADISTICA. AÑO 1994.
ni = f¡
Y¡ Y i= 9 y 2 = 10 Y3 =11 v 4 = 12 Y5 =13 Y6 = 14
nl = 2 n2 = 6 n3 = 10 "4 = 7 n5 = 6 n6 = 5
N¡ = Fi N, = 2 N2 = 8 Nm =^ N3 = 18 2 N4 = 25 « ~ N N5 = 31 N6 = 31
n = 36 F u e n te :
R egistro de N otas de la A sig n a tu ra de E sta d ística . U N M S M . 1994.
Es decir, que el 50% de los alumnos tienen notas iguales o menores que 10,5%. b.2. 0
La M e d ia n a en Tablas con in te rva lo s. Si — no coincide con algún N| se tiene. Nj-i < |
^
entonces.
114/RobERio B.
A v ¡ U A costa
Me = Lj +c
donde: n
NH
Nj 1
= nùmero total de datos u observaciones, n = es una N( inmediata superior a - . n = es una N¡ inmediata inferior a — .
Lj
= extremo inferior del intervalo Mediano (IMe).
IMe
= es el intercalo.que corresponde a Nj.
c
= amplitud del intervalo mediano.
Nj
gjem plo ¡4.11'¡ Calcular el sueldo mediano correspondiente a los 80 traba jadores de la tabla de frecuencia del Cuadro N° 4.3. En esta tabla se agrega la columna de las frecuencias absolutas acumuladas Nj (o Fj).
90 -1 2 0 120-150 150-180 180-210 210 -240 240 -270 270 - 300
1!-----
V)
_J ( JT 11 12 IMe= l 3 l4 l5 i6 l7
"i
Nj = F¡
ni = 1 1 n2 = 13 n3 = 20 n4 = 17 n5 = 15 n6 = 3 n7 = 1
N., = 11 N2 = 24 Nj.! N3 = 44 -4— N¡ N4 = 61 N5 = 76 N g=79 N7 = 80
n = 80 La fórmula de la mediana, aparentemente complicada en su forma es muy fácil de trabajar; lo fundamental es precisar el significado de cada uno de los términos. Como se podrá observar, todos los elementos se obtienen direc tamente de la tabla de frecuencias; para el efecto se recomienda el siguiente procedimiento: ESTADISTICA ELEMENTAL <115
1o) Calcular ^ , y los valores de N j;
Nj..,
n 80 En el ejemplo, — = — = 40, observando en la tabla este valor no coincide con algún N¡, está entre 20 y 44, es decir: 24 < 40 < 44 Nj-1 < £
< Nj
de donde: Nj^ = 24
y
Nj = 44.
2o) Ubicar el INTERVALO MEDIANO (IMe). Como se dijo, es aquel intervalo que corresponde a Nr En este caso : Nj = N3 = 44, que corresponde al tercer intervalo, luego el Intervalo Mediano IMe = (150 - 180) en donde es fácil determinar Ll , Cj. L¡ = 150, es el extremo inferior de IMe. Cj = 180 - 150 = 30, la amplitud de IMe. Se llama IM e porque el valor de la mediana está ubicado en ese intervalo, lo que significaría en este ejemplo que 150 < Me < 180 3o) Reemplazar los valores obtenidos en la fórmula de Me n M 2 ~ NH
Me = L¡ + c
Nj -
nh
resultando : Me = 150+ 30
4 0 -2 4 i V44 - 24 f
Me = 174 dólares
116> RobEíiio B. A viU A co s ia
J
In te rp re ta c ió n de M e: En este ejemplo, significa que el 50 % del total de trabajadores, es decir 40 de ellos tienen sueldos iguales o inferiores a 174 dólares en tanto que los 40 trabajadores restantes tienen sueldos superiores a 174 dólares. i¡) Si — coincide con algún N, se tiene que: Nj-1
-
<
entonces:
N¡
Me = Límite inferior IMe.
donde también IMe = - Lj que es el intervalo que corresponde a Nj, cuyo extremo inferior es L¡.
Ejem plo ¡4.12¡ Supongamos que la distribución de 60 trabajadores según sus ingresos en dólares, está dado por la siguiente tabla.
C u a d r o N° 4 .7 . DISTRIBUCION DE 60 TRABAJADORES SEGUN SUS INGRESOS DIARIOS. 1992. (dólares)
Número de Trabajadores n¡ = f ¡
O
n5 = 6 2
Frecuen. Absol. acumuladas N¡ = F¡ N 1 = 14 N 2 = 30 N3 = 42 N 4 = 52 N s = 58
Nj
|
- i- Nj
o (O ii CO z
IMe = 180-240 240 - 300 300 - 360 360 y más
n 1 = 14 , n2 = 16 n 3 = 12 II
60 - 1 2 0 1 2 0 - 180
Z3 ^ '
Sueldos (L¡ - i-s]
O
CD II C
F u e n te
: E n c u e s ta S o c io E c o n ó m ic a .
E la b o r a c ió n
: E s tu d io s y E d ic io n e s FIA.
ESTADISTICA ELEMENTAL <117
¿Cuál será el ingreso mediano o la mediana? . , n 60 Aquí — = — = 30 Que comparado con los valores de N¡ resulta que coincide con N2 = 30, este valor es entonces Nj,., = 30. Como N¡ = 42 resulta que IMe = 180 - 240 cuyo extremo inferior = 180; por tanto Me = L¡ = 180, es decir que Me = 180 dólares. Interpretando, significa que 30 trabajadores tienen sueldos iguales o inferiores a 180 dólares, y los 30 trabajadores restantes (el otro 50 %) tienen sueldos superiores a 180 dólares.
4.4.2
VENTAJAS DE LA MEDIANA
Como estadígrafo de posición, la mediana es mas recomendable que la media aritmética, cuando: a) ' Existan valores extremos excepcionalmente grandes o muy pequeños, puesto que la mediana no está afectada por los valores extremos como sucede con la media. b) Se trabaja con tablas de frecuencia con inten/alos en donde no se indica el extremo inferior del primer intervalo o no se indica el extremo superior del último intervalo, o ambos casos Esto no niega que exista la media, ella existe y siempre se puede calcular. c) Se tiene datos cualitativos, susceptibles de ordenarse de acuerdo a rangos, calificaciones o categorías.
Ejem plo |4.13| En el Cuadro N° 4.8., se presenta un conjunto de estudian tes clasificados por su rendimiento en cinco categorías. ¿Cuál será la mediana? n El valor de — = 20 no coincide con algún N¡, porque 11 < 20 < 23 o sea : Nh
< ^
< Nj Luego Me = Yj que corresponde a la categoría REGULAR,
es decir que la Mediana corresponde a la categoría Regular, o sea que lamitad de los estudiantes tienen un rendimiento igual o menor que regular.
118? RobeRTO B. A v í I a A costa
Cuadro N° 4.08 CLASIFICACION DE 40 ALUMNOS SEGUN RENDIMIENTO ACADEMICO. 1987. CATEGORIAS (Y)
Pésimo Malo Me ► Regular Bueno Excelente
h¡
n¡ = f¡
4
0 ,10 0
7
7
0,175 0,300 0,250 0,175
n = 40
1,0 0 0
12 10
N ¡-F , 4 * - nh 23 •*— N: 33 40 11
N o ta j] La mediana no es afectada por los valores extremos como la media aritmética, puesto que la Me no es calculada con todos los valores. N o ta je Existen otras expresiones para calcular la Mediana, la definición no cambia, las diferencias con la fórmula propuesta en este libro sólo es de notación o simbologia; el resultado será el mismo. Entre las expresiones se tiene:
M e=L+C
L = L¡ = Límite inferior del intervalo mediano, n = número total de observaciones. Y J = Nj^ = frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al intervalo mediano. f = Nj - N: 1 = frecuencia del intervalo mediano, c = amplitud del intervalo mediano. Otra expresión; Me = L + ¡
cuyos elementos tienen el mismo significado de las expresiones anteriores. ESIADISTICA ELEMENTAL <119
Ejem plo [4.14 | Calcular el Nivel Educativo Promedio y el Nivel Educativo Mediano de la población de 5 años y más de edad del Distrito El Porvenir, en el año 1993.
C ua d ro N° 4.9. POBLACION DE 5 AÑOS Y MAS DE EDAD DEL DISTRITO EL PORVENIR POR NIVEL EDUCATIVO ALCANZADO. AÑO 1993. NIVEL EDUCATIVO ALCANZADO
GRADOS DÉ
n¡ Sin nivel. Inicial. 1o de Primaria. T « 3o « 4o « 5o « 6o « 1o de Secundaria. 2° « 3o « 4o « 5o « Superior No Universitaria Completa Superior No Universitaria Incompleta Superior Universitaria Completa Superior Universitaria Incompleta TOTAL F u e n te :
POBLACIO N
ESTUDIO
Y,
B. A ví Ia A costa
Hi
N¡
0 0 1
200 94 204
204
200 2 94 493
2 3
178
356
67 6
172
516
4
152
608
5
148
74 0
848 1000 1143
6
102
61 2
1250
7 8
155
1085
1405
150
1200
1555
9
133
1197
1688
10
130
1300
1818
11
98
1078
1916
14
50
700
1966
13
38
494
20 04
16
70
1120
2074
14
72
1008
21 46
m=17
2146
12218
E n cu e sta S o cio E d u ca tiva de Fam ilias. M arzo 1993.
1 2 0 / R o b E iu o
Y¡
0 0
Nj.. N¡
a)
El nivel educativo promedio es: Y - ¿ ^ ‘n‘ =
~ 5,69 9rados d® estudio.
el nivel educativo promedio 5,7 grados, indicaría que ésta población no ha logrado todavía una primaria completa. b)
El nivel educativo mediano : n 2
2146
= 1073
1000 < 1073 < 1148 Nj-i <
£
<
Nj
Me = Yj luego Me = 5 grados. La Mediana de 5 grados significa que el 50 % de la población del distrito El Porvenir aprobó hasta 5 grados de estudios de educación primaria.
ggjflLAS CUARTI LAS ; Qt y Q3 Las cuartilas son estadígrafos de posición que dividen al total de las observaciones, debidamente ordenados o tabulados, en cuatro partes de igual tamaño. Esto significa que entre dos cuartilas consecutivas se encuentren no más del 25 % del total de las «n» observaciones. Supongamos que se ubican ordenadamente, en línea recta, los «n» valores de la variable X¡; entonces resulta un segmento que se inicia en el menor valor de X¡ y termina en el mayor valor de X¡. Q1 Q2=Me Q3 _ H ----------------- 1----------------- 1----------------- 1----------------- 1_ *mín jT 2n _ n 3n *rré< 4 T~ 2 T El problema es dividir los datos ordenados en cuatro subconjuntos iguales gráficamente dividir el segmento (Xmáx, Xm¡n) en cuatro partes iguales. Para lograr este objetivo se requiere definir tres puntos, los valores de estos puntos definen las C uartilas. Entonces existen 3 cuartilas. ESTADISTICA ELEMENTAL <121
a) P rim e ra c u a r tila o c u a r tila in f e r io r Q, Es un valor que supera a no más del 25% de las n observaciones y que es superado por no más del 75% de las n observaciones. En otras palabras, el 25% de las observaciones tienen valores inferiores o iguales a Q1f en tanto que el 75% restante tienen valores superiores a Qr 25% de n --------- Q , ----------- 75% de n b) S e g u n d a c u a r tila o c u a r tila m e d ia n a Q2 = Me Es un valor que está en el centro, y por lo tanto coincide con la mediana Q2 = Me
c) T e rc e ra c u a r tila o c u a r tila s u p e r io r Q3 = Me Es un valor que supera a no más del 75% de las n observaciones y que es superado por no más del 25% de las n observaciones. Es decir, que el 75% de las observaciones tienen valores inferiores o ¡guales a Q3 y el 25% restante tienen valores superiores a Q3. 75% de n ------Q 3 --------- 25% de n
4.5.1
CALCULO DE LAS CUARTILAS
El procedimiento que se emplea para calcular las cuartilas es similar al n seguido para la Mediana, con la diferencia que en vez de considerar — se reemplaza por: n _ — para Q-, 4
y
3n _ — para Q 3 4
estos son los valores de referencia para determinar: N j , , L , , c. T rabajando con tablas de frecuencia con intervalos, las fórmulas para las cuartilas son: CUARTILA INFERIOR : Q¡ n Ni - 1 Qi — L¡ + c 4 N j - N i-1 122> RobenTO B. Aví Ia A co si a
n
= número total de observaciones o datos.
Nj
= es un N¡ inmediato superior a — .
n
n
= es un N¡ inmediato o inferior o igual a — . IQ 1
= intervalo cuartil-uno, que corresponde a Nj.
Lj^
= extremo inferior del intervalo cuartil-uno (IQ1).
c
= amplitud del intervalo cuartil-uno.
CUARTILA SUPERIOR Q3 : 3n - L¡ + c
n
NJ-1
N j- N H
Nj
= número total de observaciones o datos. 3n = es un N¡ inmediato superior a — .
Nj^
= es un N¡ inmediato o inferior o igual a — .
IQ 3
= intervalo cuartil-tres, que corresponde
L¡
= extremo inferior del intervalo cuartil-tres (IQ3).
c
= amplitud dei intervalo cuartil-tres.
a Nj.
En general: Q 1 < Me < Q3 Ejem plo 4.15 Sigamos considerando la distribución de los 80 trabajadores según sus sueldos. Ahora interesa calcular las cuartilas inferior (Q.,) y la cuartila superior (Q3). En el Cuadro N° 4.10. se indican los términos participantes en la fórmula de Q,
ESTADISTICA ELEMENTAL <123
Cálculo de Q ,: 1) Calcular
y determinar los valores de N j, N ^ .
En este caso — = — = 20 , valor que se compara con las frecuencias ab4 4 solutas acumuladas ( N j ) , se observa que 20 está entre 11 y 24, entonces: 11
Nu
J1
< 20 < 24
< -
< N
4
Luego :
Nh = 11;
^ = 24
C u a d ro N° 4.10. SUELDOS
L¡ * Ls 90-12 0 I Q , - * 120-150 150 - 180 180-210 210-240 240 - 270 270 - 300 m = 7
NUMERO DE EMPLEADOS
n¡ = fj 11 13 20 17 15 3 1
N° AC U M ULAD O DE EM PLEADOS Nj = Fi
N1 = 11 N2 = 24 N3 = 44 N4 = 61 N5 = 76 N6 = 79 Ny = 80
N. 1 N
n = 80
2)
Ubicar el intervalo cuartjl-uno (IQ.,). Es el intervalo que corresponde a N; = 24, es decir que IQ1 = (120 -150) donde L¡ = 120; c = 30.
3)
Reemplazando valores en la fórmula de Q 1:
124> RobEmo B.
A v í Ia A c o s ia
-NH
Q i — L¡ + c
N V NH
Qi =120 + 30
20-11 v 2 4 -11
Q t =140,80 dólares. In te rp re ta c ió n de Q ,: Significa que el 25% del total de trabajadores, es decir 20 de ellos tienen sueldos inferiores o iguales a 140,80 dólares y los 40 restantes, o sea el 75% de trabajadores, tienen sueldos superiores a 140,80 dólares.
Cálculo de Q3 : 3n 1) Calcular — y determinar los valores de N; ; Nj.v _ , 3n 3(80) En el ejemplo — = — —— = oü , valor que comparado con las N¡ se observa que 60 está comprendido entre N4 = 61 y N3 = 44, o sea que: 44 < 60 < 61 3,1 < MN Nj-1 < — 4
de donde : II
CD
2)
zT
Nj-1 = 44
Ubicar el inten/alo cuartil-tres (IQ3) Es el intervalo que corresponde a N. = 61, es decir que IQ3 = (180 - 120) donde L¡ = 180; c = 30.
3) Reemplazar los valores en la fórmula de Q3:
ESTADISTICA ELEMENTAL <125
3n
Q 3 =L¡ +
c
M
T~ nh Ní - NH
q
3 = 180 + 30
6 0 -
44^
61-
44 J
Q3 = 208,20 dólares, In te rp re ta c ió n de Q3 : Del total de trabajadores, el 75%, es decir 60 trabajadores, tienen sueldos inferiores o iguales a 208,20 dólares, y el 25% restante tienen sueldos superiores a los 208,20 dólares.
C u a d ro N° 4.11.
IQ 3 - ►
SUELD O S
N Ú M E R O DE
N° A C U M U L A D O
Li - L s
EM PLEAD O S
DE EM PLEAD O S
n ¡ = f¡
N -F i
9 0 - 120
11
N 1 = 11
120 - 150
13
N 2 = 24
1 5 0 -1 8 0
20
N 3 = 44
N¡ 1
1 8 0 -2 1 0
17
N 4 = 61
N:
2 1 0 -2 4 0
15
N g = 76
240 - 270
3
N 6 = 79
2 7 0 - 300
1
N r = 80
m = 7
1
n = 80
Adicionalmente se deduce que entre Q, y Q2 se encontrarían el 50% de los trabajadores, por tanto se puede sostener que la mitad del número de trabajadores tienen sueldos conprendidos entre 140,80 y 208.20 dólares. Es fácil advertir que: Q1-«— 50% de n — ► Q3
126% RobERfo B. A v i U A costa
o también
Qi < -^ < Q 3
y
r ]LAS DECILA S ü f
__________
Las Decilas son estadígra fos de posición que dividen al total de las observaciones en 10 partes iguales, tal que entre dos decilas consecutivas se encuentre no más del 10% del total de las observaciones. En total hay nueve decilas: °1 —H--------- 1-----^m ín n 10
d
2
d
3
d
D2, D3, D4, .... , Dg. 4
d
5
D6
7
d8 d9 ____I— ___ ----- 1------------\ - ....H— d
2n
3n
4n
L
6n
7n
8n
9n
10
10
10
10
10
10
10
10
\n á x
E iem plo|4.16 Considerando el mismo ejemplo de los 80 trabajadores. Veamos el valor de la decila seis (D6). Las fórmulas para calcular las decilas de datos agrupados, se pueden deducir de forma similar que las cuartilas; así por ejemplo la decila seis (D6) será:
De =L¡ +c¡
1)
t~
10
= "■
10
= 48 luego
2) ID6=( 180 - 210)
Nj = 6 1
F— -N H 10 N; -N M
;
Nj_1 = 44
L¡ = 180 ; c = 30.
3) Reemplazando valores en D6: ( 4 8 -4 4 ^ Dg =180 + 30 — — — = 187,10 dólares v .6 1 -4 4 /
es decir el 60% de los trabajadores tienen sueldos iguales o inferiores a 187,10 dólares. En general una decila cualquiera.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <127
— 10
Dr = Lj +c
nm
J1
con r = 1,9
Ni -N ¡J-1
l ^ jL A S QUINTILAS Kr Las Q uintilas son estadígrafos de posición que dividen al total de las observaciones en 5 partes iguales, es decir que entre dos quintilas consecutivas se encuentre no más del 20% del total de las n observaciones. Existen 4 quintilas:
min
K,
K,
K,
K,
n
2n
3n
4n
5
T
T
T
^máx
Las fórmulas para calcular las quintilas con datos agrupados son similares a las decilas, cuartilas, etc; por ejemplo para K3 se tiene: 3n K,
-N
1-1
N¡ -N H
y para un quintil cualquiera: rn Kr =L¡+c
-N ij-1
Nj-Nj-1
ILOS PERCENTILES o CF M I LAS : Pr Los Percentiles son estadígrafos de posición que dividen a la totalidad de observaciones en 100 partes iguales; es un estadígrafo que da una idea 128> R obER io B.
A v iU A costa
porcentual de la distribución de los datos. Los percentiles se aplican cuando existen numerosos valores de la variable con una alta frecuencia total. Existen 99 percentiles, cuyo cálculo se realiza de igual manera que la mediana, cuartilas, etc. Para calcular P62 se tendría: 62n p 62 = L ¡ + c ¡
Too ní
-N :i-1
- nh
en general un percentil cualquiera es: rn ------- N¡ i 100 J_1 Pr = L j +c
Nj-Nj_i
Un ejemplo es la distribución por edades de la población de un país o departamento, en donde se puede hablar de 99 edades. Ejem plo 4.1 7 Calcular los percentiles P25, P40 y P72 para la población del Perú según edades, para 1995.
Pr
"0 O
P 25
P 72
rn 100
Ní-1
NJ
'Pr
2 5n _ - — = 5882925 100
N2 = 5738036
N3 = 8452708
1 0 -14
— - = 9412680 100
N3 = 8452708
N4 = 11034596
15 - 19
— = 16942825 100
N6 = 15281797
N7 = 16978463
30 - 34
ESTADISTICA ELEMENTAL <129
C uadro N °4.12
POBLACION DEL PERU SEGUN GRUPOS DE EDAD. 1995. Marca de Clase
Población ni
Población Acumulada
0 -4 5-9 10 - 14 15-19 2 0 -2 4 25 - 29 3 0 -3 4 35 - 39 40 - 44 4 5 -4 9 50 - 54 55 - 59 6 0 -6 4 6 5 -6 9 7 0 -7 4 75 - 79 80 y más
2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42.5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5
2902335 2835701 2714672 2581888 2277913 1969288 1696666 1405236 1176631 954472 783348 664829 544009 408244 285627 184745 146097
2902335 5738036 8452708 11034596 13312509 15281797 16978463 18383699 19560330 20514802 21298150 21962979 22506988 22915232 23200859 23385604 23531701
TOTAL
m = 17
Grupos de Edad
F u e n te :
n = 23531701
INEI. U N FPA. P ro ye ccio ne s de -P o bla ció n del Perú. 1995-2025. B o le tín de A n á lisis D e m og rá fico N ° 34
Luego; algunos percentiles : P25 =10 + 5 P40=15 + 5
144889 = P25 =10,27 2714672 959972 2581888 1661028
P72 =
^
1696666/
130 > RobERio B. A ví Ia A co si a
= P40 =16,86
= 34,85 años
La cuarta parte de la población peruana es menor de 11 años de edad.
j j g j j LAS RAN1LAS : Rr Las Ranilas son estadígrafos de posición que dividen al total de observacio nes en m partes iguales, cuya fórmula es:
donde r = 1, 2, 3...... m-1. De este concepto general, se deduce para: m = 2 la mediana ; m = 4 las cuartilas m = 5 las quintilas; m = 8 los octilos m = 6 los sextilas; m = 10 los deciles m = 100 los percentiles
LA MODA o VALOR MODAL : Mo La Moda (Mo), simplemente es el valor más frecuente de una variable. La moda de un conjunto de observaciones es «el valor de la variable que se presenta con más frecuencia en la distribución». Es el valor de la variable que le corresponde la mayor frecuencia absoluta (n¡ o f¡). La moda también se llama Modo, Valor Modal o Promedio Típico, se simboliza con Mo, otros autores usan Md. Ejem plo (4.18 a) El conjunto: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 13 tiene la moda Mo = 9. b) El conjunto: 3, 5, 8, 10, 12, 16, 18 no tiene moda. e) El conjunto: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas, 4 y 7; es una distribución «bimodal». 4.10. 1 CALCULO DE LA MODA a) T a b la s sin In te rv a lo s Una vez agrupados los datos en una tabla de frecuencia, el valor modal será el valor de la variable que más se repite o que tiene la mayor frecuencia. La mayor frecuencia de denotará con nj. ESTADISTICA
ELEMENTAL <131
Calcular*la^moda en la distribución de familias según el número de miem bros indicado en el Cuadro N° 4.13. Se observa que la mayor frecuencia es n4 = 76 que corresponde al cuarto valor de la variable (Y4 = 5), luego el valor modal es 5. Máx n¡ = n¡ = 76 entonces Mo = Y4 = 5 c El resultado significa que es más frecuente hallar familias integradas por 5 miembros o personas cada una. El tamaño más frecuente es 5 personas por familia. N o ta g ] Es importante indicar que el valor de los estadígrafos está expresado en las mismas unidades de la variable y no en las unidades de las frecuencias. N o t a E ] La moda es un esta dígra fo muy útil para variables cualitativas o nominales
. Por ejemplo, en los colores: rojo, verde, rojo, azul, azul, rojo: la moda es color rojo.
DISTRIBUCION DE LAS FAMILIAS SEGUN EL NUME RO DE MIEMBROS, EN EL DISTRITO RENOVACION. 1994 Numero de personas por familia Y¡
Número de familias
=2 Y2= 3 Y3= 4
n 1 = 16
=5 =6 Y 6 = 7 y más
n4
Yi
Mo — ►
Y4 Y5
Total
n¡ n2
=
24
n3 = 52 = 76 n 5 = 40
-4— Oj
n6 = 1 2 n
=
220
F u e n t e : C e n s o d e V iv ie n d a d e l D is trito R e n o v a c ió n . M a y o 1 9 9 4 .
b)
Tablas con In te rva lo s
Cuando se tiene una tabla con intervalos, al igual que la mediana se determi na el Intervalo Modal (IMo), que es el inter valo que corre sponde a la mayor frecuencia (nj). 132 > Rob £ Rio B . A v i U A c o s t a
fórmulas tales como: Para calcular la Moda (Mo) existen diversas Mo = L¡ + C
nj+1 nj-1 + nj+1
donde: tición (n ). = es la mayor frecuencia absoluta o repe nj de (n ). ' ~ frecuencia absoluta inmediata anterior nj-i erior de (n ). ni+i = frecuencia absoluta inmediata post J a (n ). IMo = intervalo modal, que corresponde 1 = extremo inferior del IMo. L¡ = amplitud del IMo. c
Ejem plo |4<20) dro N° 4 3 y calcular el valor modal, frecuencia del Cua m o d a ís n p H tab'a jadores. traba 80 los en ente frecu mas do moda o suel L¡ - L s 90 - 120 120 - 150 IMo -*• 150 - 180 180 -210 210 - 240 240 - 270 270 - 300 TOTAL
nl = f¡ n, = 11 n2 = 13 n3 = 20 n4 = 17 n5 = 15 n6 = 3 n7 = 1
< -n H • * — n, •*-- nj+1
n =80
el siguiente: El procedim iento para calcular la Moda es (n¡), y los valores de n -, ; n- 1 1) Identificar la mayor frecuencia absoluta la frecuencia anterior es n,= 13 y En la tabla corre sponde rr-n 3=20; luego que n^ ,= 1 3 ; nj+1 = 1 7 2 la posteriora n3 es n4-1 7, deduciéndose 2 ) Ubicar el Intervalo Modal (IMo). n, es IMo = 1 5 0 -1 8 0 Aquí el intervalo que corre sponde an¡ = 1 donde L¡= 150; c = 30. ESTADISTICA
ELEMENTAL <133
3)
Reemplazar los valores obtenidos en la fórmula: Vi
Mo = L¡ + C
= 150 + 30
n j - i + n j+ i
17 13 + 17
150 + 7
Luego Mo = 167 dólares. In te rp re ta c ió n de M o: La Moda indica que el sueldo más frecuente en los 80 trabajadores es 167 dólares, o también que la mayoría de los trabajadores tienen sueldos aproximadamente a los 167 dólares. N o ta E Otra de las fórmulas que también se utiliza es: Mo = L + C
_A
.d<+ d2 j
donde: L = Lj = límite inferior del intervalo modal, c = Cj = amplitud del intervalo modal. d i = n j - n j- i
d2
“ n j ' n j+1
de acuerdo a los datos del ejemplo, se tiene: L = 150 c = 30 d1 = nj - n^.., = n3 - n2 = 20 -1 3 = 7 d 2 = n¡ " nj+1 = n 3 - n 4 = 2 0 - 17 = 3
M o= 150 + 3 0 ( 7 ^ 3 } = 150 +21 Mo = 171 dólares, valor que es muy parecido al anteriormente calculado. N o ta B Cuando la distribución es casi simétrica, se puede utilizar la fórmula de la moda empírica, dada por: Moda = 3(Mediana) - 2(Media) Mo = 3Me - 2 X f " Mo = 3(174) -2(175,25) = 171,50 dólares.
1 3 4>RobE RTO
B.
A v í I a A co sta
N o tq B La moda puede no existir. Si existe, no siempre es la única. Cuando en un conjunto de valores o en una distribución existe una sola moda, se trata de una distribución U n ia la d a !; si hay dos modas será B im odal, y si presenta varias modas se llamará P lorim od al. N o ta H En algunas distribuciones, en vez de los máximos relativos, se pueden con siderarlos mínimos relativos y determinar lo que se llama A n tim o d a (AMo), que es el valor de la variable que menos se repite o tiene menor frecuencia. N o ta B Relación Em pinen e n tre M e d ia , M ediana y M oda En distribuciones de frecuencia unimodales, que son moderadamente asimétricas (Gráfico No. 4.3.), la posición relativa de la Media, Mediana y Moda es generalmente como se indica a continuación:
G rá fic o N° 4.03
Y < Me < M0
ESTADISTICA
ELEMENTAL <135
4.11 LA MEDIA GEOMETRICA La Media Geométrica se representa por «G» y se puede considerar: /
a) Media Geométrica Simple. b) Media Geométrica Ponderada.
4.11.1
MEDIA GEOMETRICA SIMPLE
Es la raíz enésima del producto de los n valores de una serie. Esto es, dado los n valores X v X2, X3, ... Xn /
G = ^ . X 2 . X3 ...... x n La media geométrica o promedio geométrico se usa cuando hay que promediar razones, proporcioné^ o tasas de crecimiento. Ejem plo 4.21 La producción anual de baterías de una fábrica, ha tenido el siguiente crecimiento: 1990 a 1991 la producción aumentó 1991 a 1992 « « « 1992 a 1993 « « «
de 800 a 1000 baterías (25%) de 1000 a 1500 baterías (50%) de 1500 a 3300 baterías(120%)
cada año el aumento fue de 25%, 50% y 120% respectivamente. ¿Cuál fue el aumento promedio anual de la producción?. 2 5 , 5 0 + 120 3 que supondría que anualmente la producción se incrementaría en 65%. Por los incrementos se deduce que la producción tiene un comportamiento no lineal, entonces es recomendable hallar el promedio geométrico. G = 3/25x50x120 = ^150000 =53,1 que expresa que la producción tiene un incremento anual promedio de 53%, valor que es más correcto que la simple media.
1 3 6 > R o b E R i o B . A v iU A c o s ta
En general, la solución de la raíz n-ésima se obtiene utilizando logaritmos: g
=^/x 1. X2 . X 3 . ".r” 7 x 7
LogG = — ^o g X i+ lo g X 2 +log X3 + ... +log Xn)
4.11 .2 MED IA GEO MET RICA PONDER ADA
La media geom étrica ponderada es la raíz n-ésima del producto del valor de la varia ble elevada a sus respectivas ponderaciones o frecuencias.
G » W ^ y ? -y !3- m G = ? 1
; , y;
también: Log. G =
frecuencia:
- [ n 1logY1+ n2logY2 + ... nmlogYm]
conjunto de datos distribuidos com o la siguiente tabla de
Por definición:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <137
G = 6^1 5 5 . 2519. 35 24.4513. 55 aplicando logaritmos: 1 „ 4 log55) L° 9 G = 6 5 (5 log 1 5 + 19 lo9 2 5 + 2 4 lQg35 + 13 log45 + 97,9522 = 1,5069 65 G = Antilog (1,5069) = 32.13
4.12 LA MEDIA ARMONICA posición La media armónica se designa por «H». Es un estadígrafo de como: definido el inverso «La media armónica de un conjunto de valores X v X2,..., X es ados». der consi de la media aritmética de los inversos de los valores También se tiene media armónica simple y ponderada. M edia A rm ó n ica Sim ple : 1
X1
1
1 ~ ~ñ
1
X3 + "+ Xn
*2
n
_
i_i __________ n
7
~
¿x7
o también: H
n
n entre La media armónica se aplica cuando se presenta una relació . tiempo variables implícitas. Como por ejemplo productividad y
138> Robenio B.
A v í I a A costa
Ejem plo 4 .2 3
Un equipo de trabajadores textiles tienen que producir 180 metros de casimir; de los cuales elaboran los primeros 90 metros con una productividad de 15 metros diarios, y los 90 metros restantes lo hacen a razón de 20 metros por día. ¿Cuál es la productividad diaria durante todo el trabajo? Se trata de hallar la media armónica. Si se considera la media aritmética, resultaría: 15 + 20 . X = ---------- = 17.5 metros diarios. 2 Por su parte, para elaborar los primeros 90 metros se necesita 6 días, y para los siguientes 90 metros sólo 4,5 días. Si la productividad promedio diaria es de 17,5 metros, en los 10,5 días se fabricarán 10,5 x 15 = 183,75 metros que es superior a los 180 metros considerados, lo que es inconsistente. Sin embargo, cuando se utiliza la media armónica, los resultados son consistentes. H = — ------— = — — - = ----- = 17.14 metros diarios. J_ + J L 4+3 7 15 + 20 entonces trabajando los 10,5 días con una productividad diaria de 17,14 metros, se logra producir 10,5 x 17,14 = 180 metros. M e d ia A rm ó n ic a P o n d e ra d a o de datos agrupados es: H=-
n
m
I —
it íY ¡
N o ta f i n H < G < X
ESTADIGRAFOS Í)E DISPERSION________________ El estadígrafo de posición, es un valor que representa un conjunto de valores de una población o muestra, es un punto de referencia alrededor del cual se distribuyen los valores X¡. Habra valores de X¡ mayores, iguales o menores de un estadígrafo de posición (media, mediana, moda), pero ¿cuál es la distancia, diferencia o dispersión de los valores de Xi respecto a un ESTADISTICA
ELEMENTAL <139
punto de referencia?. Precisamente ese es el problema que se pretende estudiar, definiendo un conjunto de indicadores, llamados los Estadígrafos de Dispersión. En la descripción de un conjunto de datos ordenados no basta conocer sólo sus estadígrafos de posición, para completar el análisis es necesario tener una idea del grado de concentración o dispersión de las observaciones alrededor de un valor central o de posición. Existen distribuciones que siendo diferentes, tienen valores iguales para algunos de sus estadígrafos de posición, por ejemplo: A)
3 ,7 ,4 6 ,6 7 ,8 1
x = 40,8
B) 15,38,46, 52, 53
X = 40,8
.;
Me = 46 ;
Me = 46
los dos conjuntos de valores tienen igual media y mediana; estos resultados pueden conducir a conclusiones equivocadas cuando se está comparando distribuciones o poblaciones. Para superar esta limitación se propone construir otros estadígrafos que permitan analizar otras características, como la dispersión o desviación de los datos respecto a un valor central. Observando los Gráficos N° 4.4. (a), (b), (c) del Ejemplo 4.24, se nota que las tres distribuciones que tienen el mismo promedio, pero es evidente que el Gráfico 4.4. (c) presenta una distribución con datos más «concentrados» alrededor del promedio que los otros dos gráficos. Dicho de otro modo, 4.4. (c) corresponde a una distribución con menos dispersión que las otras dos; de la misma manera se observa que 4.4. (a) es una distribución menos concentrada o más dispersa. Esta característica se mide mediante los Estadígrafos de D ispersión. Los Estadígrafos de Dispersión de mayor uso son: a) b) c) d) e) f)
Recorrido o rango (R) Desviación media (D.M.) Recorrido Semi Intercuartil (Q) Varianza (s2) Desviación Estándar o Típica (s) Coeficiente de Variación (CV)
140'> RobERio B. Aví Ia A costa
GRAFICO N° 4.04
Ejem plo 4.24 Las ventas mensuales de 3 grupos de comerciantes informales de la ciudad de Lima, se indica en el cuadro siguiente :
Cuadro N°4.14 Ventas mensuales (miles de S I . )
Grupos de Comerciantes A
Y¡
B
C
2 -4 4 -6 6 -8 8 -1 0 1 0 -1 2 12 - 14 1 4 -1 6 16 - 18 1 8 -2 0 2 0 -2 2 2 2 -2 4
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
2 4 8 10 15 9 7 6 4 2 1
3 7 10 14 8 6 5 4 1
6 12 15 8 6 5 3 —
—
—
Total
—
68
58
55
11.8 22
11.8 18
11.8 14
Venta Promedio S I . Recorrido (R)
—
—
—
ESTADISTICA ELEMENTAL <141
4.14 RECORRIDO O RANGO El caso más simple para conocer la dispersión entre valores, es determinar la diferencia o distancia entre el mayor y menor valor de una distribución. Esta diferencia es el Recorrido (R) que se define : a) Para datos originales o no agrupados : R = Xmáx - Xmin Considerando los sueldos de 80 trabajadores del ejemplo 4.3 se tiene: R = 288 - 91 = 197 dólares. que es la diferencia entre el sueldo mayor y el sueldo menor. b) Para datos agrupados en tablas con intervalo : R = Lm- L0 , donde Lm = límite superior del último intervalo L0 = límite o extremo inferior del primer intervalo En la tabla con 7 intervalos del ejemplo 4 3 : R = 300 - 90 = 210 dólares. En el Ejemplo 4.24, los recorridos son : R (A) = 22,
R (B) =18,
R (C) = 14,
luego en el Grupo C la distribución de las ventas es menos dispersa que del Grupo A, aunque las ventas promedio son iguales. El recorrido como estadígrafo de dispersión es muy limitado, pues sólo considera los valores extremos de la distribución, y no dice nada de cómo se dispersan o comparten los valores intermedios, es decir no explica la dispersión de los n-2 valores de la variable. N o to m En una distribución existe n valores de X¡, considerando la X puede obte nerse las diferencias X¡ - X y luego obtener el promedio de las n diferencias como medida de dispersión. Pero £(X¡ - X) = 0 para todo valor de X¡, entonces no sirve como indicador. Para asegurar que las X¡ - X > 0, hay dos alternativas:
142> RobERTo B. A v i U A costa
ESE DESVIACION MEDIA
I
a) La desviación media o desviación promedio de un conjunto de observacio nes X v X2, X3, ... , Xn se define por:
Z|x¡-x| D.M.= — --------n donde X es la media aritmética y
|x¡ —xj es
el valor absoluto de las
desviaciones de X¡ respecto a X .
Ejem plo 4.25 Hallarla desviación media del número de personas en 5 viviendas : 2,3,6,8,11. y
D.M.
2 + 3 + 6 + 8 + 11 30 5 ~ 5 “
|2 -6 | + |3 -6 | + |6 -6 | + |8 -6 | + |11-6|
n ,, 4 + 3 + 0 + 2 + 5 D.M. = ------— - — -— = 2,8 personas b) Datos agrupados: Si las Yv Y2, Y3, ... Ym ocurren con frecuencias nt , n2, n3, ... , nm respectivamente, la desviación media se obtiene: ifo - Y n , D.M. i=1 Ejem plo 4.26 Sigamos considerando la tabla del ejemplo 4.3. referente a los sueldos de 80 trabajadores y calcular la desviación media, sabiendo que y - 1 7 4 ,4 0 . Según los cálculos indicados en la tabla siguiente, se tiene que:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <143
D.M.=
90
' - ■ = 36,56 dólares 80 que expresa que el promedio de las desviaciones de los sueldos respecto al sueldo promedio es 36,56 dólares.
N o ta lT I En la fórmula de D.M. se utiliza el valor absoluto a fin de asegurar que las desviaciones siempre sean no negativas. Hay que reconocer que el trabajo con valores absolutos no facilita la operacionalización de otros indica dores estadísticos, razón por la cual se propuso otros estadígrafos de disper sión. La desviación Y ¡-Y puede ser positiva o negativa, entonces para que siempre sea positiva se plantea elevar al cuadrado.
RECORRIDO SEMI INTERCUARTIL*2 El recorrido semi intercuartil o desviación cuartil de un conjunto de datos está definido p o r: Q 3 - Qj 2 donde Q1 y Q3 son el primer y tercer cuartil de los datos. A veces se usa el «Recorrido Intercuartil Q3 - Q.,» . El recorrido semi-intercuartil o desviación cuartil, da una idea de la dispersión del 50% de los datos centrales. Q=
1 4 4 > R o b E R io
B.
A v í I a A costa
Ejem plo |4.27 Considerando los sueldos de los 80 trabajadores, se tiene: Q, = 140.80 Q=
N o ta
IB
208,20-140,80
Q3 = 208,20 33,70 dólares.
También se puede considerar — (Q 1 +Q 3 ) como una medida de
tendencia central, que permitirá obtener un valor aproximado de la media o sueldo promedio: ^(140,80+ 208,20) = 174,50 dólares.
LA VARIANZA En la perspectiva de construir un indicador que dimensione la desviación o distancia promedio de los X¡ respecto a su media X, se propuso elevar al cuadrado la desviación X¡ - X a fin que sea siempre no negativa. De este mo do quedó definida la Varianza de X como : v p Q .a rff. n «La varianza es la media o promedio del cuadrado de las desviaciones de la variable respecto a su media». V(X) = M {[Xj - M(X)]2} También se denota por : s 2 ,a 2 N ota m La varianza es el estadígrafo de dispersión más importante, que asociado a la media aritmética se constituyen en los pilares fundamentales del edificio de la Estadística.
ESTADISTICA ELEMENTAL <145
4.17.1 CALCULO DE LA VARIANZA a) M étodo D irecto, a partir de la definición: a.1) Para datos no a g ru p a d o s (datos originales X¡), se obtiene con la expresión:
2 Y ( x ¡- X ) 2 V ( X ) = s = ^ - ! ---- — E|em plo 14.271 Sean los valores
X1=
10 ; X 2 = 13 ; X 3 = 10 ; X 4 = 14 ; X 5 = 13 las edades de
cinco alumnos. Aquí X = 12. .2
Z (X j-X )2
5 a .2)
(~2)2 +(1)2 + (-2 )2 +(2)2 +(1)2 14.. 5 5
años al cuadrado.
Para datos a g ru p a d o s en tablas de frecuencia: _2
B V Y ) 2»,
Ejem plo 14.28 Calcular la varianza de los sueldos del conjunto de los 80 trabajadores que se viene considerando; donde Y = 174.40
( l ¡- y 90-120 120-150 150-180 180-210 210-240 240 - 270 270 - 300
Y¡
ni
105 135 165 195 225 255 285
11 13 20 17 15 3 1
-69,40 -39,40 -9,40 20,60 50,60 80,60 110,60
80
0
m=7
(y ¡ -
y
( v v ) J 4816,36 1552,36 88,36 424,36 2560,36 6496,36 12232,36
(W
"
52980,0 20181,7 1767,2 7214,1 38405,4 19489,1 12232,4 152269,9
El cuadro anterìor ¡lustra la forma còrno se organizan los datos para obtener los elementos de la fòrmula de la varianza. 146^ R o b e m o B. A v i U A costa
s2 = I ( V ^ ¿ n L= 152269,9 = 1 n 80 s2 = 1903,40 dólares al cuadrado, b)
M étodo Corto o Práctico:
En la práctica no se trabaja con la fórmula de la definición, sino que a partir de esta fórmula se obtiene por transformación otra expresión equivalente para calcular con mayor facilidad la varianza. b . l)
Para Datos no agrup ados, se tiene: donde x J 2 l n n n En el ejemplo 4.27, las edades de 5 alumnos : S2 = Z —X L - Xr2' = —734 - 1 2 ¿ =146.8-144 = 2,8 5 5
b.2)
Para Datos a g ru p a d o s en Tablas de Frecuencia, la fórmula es: , 2 _ I ( Yr Y ) 2ni _ Z Y i2ni _ -2 . - ^ n . n n n como se deducirá con esta fórmula, el cuadro de trabajo es más simple, como se ilustra a continuación: s =-
V(Y) = s =-
I Y i 2 n¡ n
if l Y i r O I2 l n J
2584800 80
|f 13950 ^ l 80
J
s2 = 32310 - 30406 = 1903,4 dólares al cuadrado. valor similar al obtenido anteriormente. Definitivamente el procedi miento es más simplificado y directo que la fórmula de la definición. Ahora con el auxilio de las calculadoras y computadoras es fácil obtener resultados, aún para valores grandes. Cuadro de trabajo para calcular la varianza:
ESTADISTICA ELEMENTAL <147.
105 135 165 195 225 255 285
Y¡2n¡
Y¡ni
n¡
1155 1755 3300 3315 3375 765 285
11 13 20 17 15 3 1 n
IY ñ
80
13950
121275 236925 544500 646425 759375 195075 81225
2584800
N o ta i T l Demostrar que: X ( Y ¡- Y ) 2 ni
I Y , 2 ni
-2
n n Desarrollando el cuadrado del binomio del primer miembro: Z(Y¡ - Y)2 n, n operando las sumatorias. _ £ Y 2 n¡ n
Z(Y¡2 - 2 Y Y¡ + Y 2)n¡ n
2Y£Y¡n¡ t Y 2 S n¡ = D f ü L _ 2Y 2 + y 2 n n n
finalmente:
£(Yj
d ¿3
n o también:
Y2
c.q.d.
n
V(Y) = M {[Yi - M(Y)]2} = M(Y2) - [M(Y)]2 Cuando los intervalos son de igual amplitud, es posible simplificar aún más el procedimiento, facilitando los cálculos aritméticos cuando no se dispone de calculadoras.
148> R obER io
B.
A v iU A costa
4.17.2 PROPIEDADES DE LA VARIANZA Por definición: s2 = V(Y) = M {[Yi - M(Y)]2} de donde se deduce tas siguientes propiedades: a) «Para cualquier distribución la varianza es siempre una cantidad no negativa». s2 > 0 esto es evidente, puesto que todas las desviaciones positivas o negativas, al elevarse al cuadrado se hacen positivas. b) «Si el valor de las observaciones son todas iguales, entonces la varianza es CERO». En este caso, las observaciones se confunden en un punto, la media es el mismo punto y la desviación es cero. n c) «La varianza de una constante es cero». V(K) = 0 K = constante V(K) = M {[K - M(K)]2} = M{[K - K]2} = M(0) = 0 V(K) = 0
c.q.d.
d) «La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al cuadrado de la constante por la varianza de la variable». V(K.Y) = K2 V(Y) V(K.Y)
= M {[K Y - M(K Y)]2} = M{[K Y - K M(Y)]2} = M { K2 [Y - M(Y)]2} = K2 M {[Y - M(Y)]2}
V(K.Y)
= K2 V(Y)
e) «La varianza de la suma de una variable más una constante, es igual a la varianza de la variable». V(Y + K) = V(Y) V(Y + K) = M {[ (Y + K) - M(Y + K)]2}
ESTADISTICA ELEMENTAL <149
= M {[ Y + K - M(Y) - K)]2} = M {[ Y - M(Y)]2} = V(Y) Ejem plo |4.30 Supongamos que se duplica los sueldos de los 80 trabajadores. ¿Cuál es ahora la varlanza y el nuevo sueldo promedio? Sabemos que : M(Y) = 174,40 ; V(Y) = 1903,40 Al duplicarse los sueldos K = 2 V(2 Y) = 22V(Y) = 4(1903,40) = 7613,60 dólares al cuadrado, que es la nueva varianza después del reajuste El nuevo sueldo promedio, al duplicarse los sueldos es: M(2 Y) = 2 M(Y) = 2(174.40) M(2 Y) = 348,80 dólares Ejem plo I4.31 Si a cada uno de los 80 trabajadores, se incrementa su sueldo en 60 dólares mensuales. ¿Cuál será la nueva varianza y el sueldo promedio? Aquí K=60 entonces V(Y + 60) = V(Y) = 1903,40 es decir un incremento constante a cada elemento no altera la dispersión de la distribución. Por su parte el nuevo sueldo promedio quedaría incrementado en 60 dólares. M(Y + 60) = M(Y) + 60 = 174,40 + 60 = 234,40 dólares.
4.18 COMPONENTES DE LA VARIANZA Si un conjunto de datos se divide en subconjuntos, categorías o estratos, es posible descomponer la varianza en dos componentes. Supongamos que un conjunto de datos ha sido dividido en L estratos o subconjuntos, cada estrato tendrá un tamaño (nr), su respectiva media aritmética (Yr ) y varianza (sr2), valores que expresan la importancia de cada uno de los estratos en el total del conjunto.
150/ RobERio B.
A vita A costa
En este caso la dispersión o variabilidad total puede estar afectado por: □ Las variaciones dentro de cada estrato, esta variación interna en cada estrato se llama la In tra v a ria n z a s£). □ Las variaciones entre los diferentes estratos, se llama la In te rv a ria n z a c2 &b De este modo la Varianza Total se expresa como:
a.1) In tra v a ria n z a : s^ = M(s^) Es el estadígrafo que expresa las variaciones dentro de los estratos, y se define como «el prom edio de las varianzas de los estratos» X
s r2 n r
Sw= M(s?)=— ------n donde: sr2 = varianza del estrato r. nr = tamaño de cada estrato. a .2) In te rv a ria n z a :
= V(Yr) Es el estadígrafo que expresa la variación entre los estratos; se define como «la v a ria n z a entre las m edias de los estratos».
I ( Y r - Y ) 2 nr s b = V(Yr ) = — ----- --------donde: y r = media aritmética del estrato r. y = media aritmética total. nr = tamaño del estrato r. También : I----9 I Y r nr V(Yr ) =
(
L S Y r nr r=1
r=1
V
y
ESTADISTICA ELEMENTAL <151
N ota m El caso más simple es cuando se tiene dos estratos, dos subcon juntos o submuestras. Para dos estratos de tamaño n1t n2 con medias Y respectivamente.
2 varianzas s12,s22 nt + n2 = n Y _ Y , n, + Y 2 n2 n
la varianza total es :
s2 = sw2 + sb2
2 2 I > 2 nr
s2 5 >w =-
,
s2 n-| + s2 n2 n
n
Y ( Y r - Y ) 2nr
_ - 2 (Y 1 - Y ) 2n-| + (Y 2 - Y)2n2
Sb = -----------ñ ---------- -- ----------------------ñ
luego: s2 =
s2n-| + s2n2 , ¡Y , - Y ) 2ni +(Y 2 - Y ) 2n2 n
N ota IB Para dos estratos de tamaño n., y n2 que tienen medias iguales y varianzas s.,2, s22 respectivamente, la varianza total está dada por: s
2
s 2 + s 2n2 --------------------n
Ejem plo 4.32 En una Empresa Metal Mecánica, los trabajadores están clasificados en Directivos, Empleados y Obreros, de los cuales se conocen los siguientes indicadores:
152^> RobERto B.
A v í Ia A costa
Categoría s
N° de Trabajadores
Sueldo Promedio
Varianza
nr
Yr
sr2
700 300 250
4900 3600 8100
5 15 25
Directivos Empleados Obreros
¿Cuál es la varianza para la totalidad de trabajadores? Categorías
nr
Directivos Empleados Obreros
5 15 25
Yr
sr2 nr
Sr2
4900 3600 8100
700 300 250
45
la varianza total es :
Yr nr
Y 2 nr
24500 54000 202500
3500 4500 6250
2450000 1350000 1562500
281000
16250
5362500
X sr2 n2
X Yr nr
XY?n
s2 = sw2 + sb2 L sr nr 2, s w =M(s¡r) =
n
281000 45
s2 = 6244,40 2
si
= V(Yr) = —— ■■n-- - í ^ fn r ^ n n
Sb=V(Yf ) = - 3^ 250° - f - - — 45 45
Ì = 119166,7 0- 100277,80
s2 = 18888,90 b
ESTADISTICA ELEMENTAL < 153
La varianza total es: s2 = 6244,40 + 18888,90 s2 = 25133,30 dólares al cuadrado ó S = 158,50 Aquí resultó que:
s b2 > sw2
entonces se puede concluir que la variación o dispersión total se debe principalmente a la variación de los sueldos entre los estratos o categorías de trabajadores.
4.19 LA DESVIACION ESTANDAR O TIPICA «La desviación estándar o típica, se define como la raíz cuadrada de la varianza». s=/
m {{X -M (X )2]}
= +Vv(X)
Es uno de los estadígrafos de dispersión de mayor uso, en el cual las unidades de la variable ya no están elevadas al cuadrado. La desviación estándar, al igual que la varianza, es no negativa (s>0), puesto que es la raíz cuadrada positiva de la varianza. A mayor dispersión le corresponderá una mayor desviación estándar
N ota m En general, los estadígrafos de dispersión se usa para comparar dos o más distribuciones o poblaciones con variables de la misma naturaleza. A mayor dispersión o heterogeneidad entre los valores o elementos de una población, le corresponde un valor mayor para el estadígrafo de dispersión. El cálculo de la desviación estándar es muy simple, si se conoce la varianza. La desviación estándar de los sueldos de los 80 trabajadores es. s = VÌ903.40 = 43,60 dólares. Ejemplo ¡4.33 Considerando los trabajadores de la Empresa Metal Mecánica, para la distribución de sus sueldos se tiene: 1 54>RobE Rio
B.
A v í I a A costa
Media
Varianza
Desviación estándar
Y
s2
s
700 300 250
4900 3600 8100
70 60 90
Categoría
Directivos Empleados Obreros se deduce que.
s(empleados) < s(directivos) < s(obreros) es decir los sueldos de los obreros presentan mayor dispersión que los sueldos de los directivos, y éstos mayor dispersión que los sueldos de los empleados. Encontrar una mayor dispersión también significa que existe una mayor discrepancia entre los sueldos mayores y menores.
4.20 COEFICIENTE DE VARIACION Está definido por la expresión: Coeficiente de Variación = P.^ i ^ i ó n Estándar Media Aritmética CV = ¿ X este estadígrafo de dispersión se expresa en unidades independientes de la naturaleza de la variable. El valor se puede expresar en términos porcentuales. Es un estadígrafo que se utiliza para comparar dos o más distribuciones cuando las unidades de medida de las variables están expresadas en diferentes unidades o escalas de medida. Por ejemplo, comparar sueldos expresados en soles y en dólares; extensiones o superficies medida en metros cuadrados y otro en pies cuadrados, etc.
ESTADISTICA ELEMENTAL <155
Hola f f i Comoarando dos o más distribuciones, es más hom og énea o p re se n ta m enos d iscre p a n cia , a q u e lla d is trib u c ió n que tie n e el m e n o r coeficiente de v a ria c ió n . En otras palabras, los datos son mas heterogéneos cuando tienen mayor coeficiente de variación.
Ejem plo 4.34 Analizar comparativamente la distribución de los sueldos de los 45 trabajadores de la Empresa Metal Mecánica. Se conoce:
Directivos Empleados Obreros
s
Y
C.V.
C.V.(%)
70 60 90
700 300 250
0 ,10 0 ,20
10 % 20%
0,36
36%
CVD < CVE < CV0 según los valores de CV, los directivos tienen sueldos más homogéneos, en tanto que los obreros tienen sueldos más heterogéneos.
4.21 APLICACION DE LA DESVIACION ESTANDAR La varianza y la desviación estándar son estadígrafos muy utilizados, sin embargo no tienen una interpretación muy clara cuando se refiere a una sola distribución; por ejemplo, si la desviación estándar de los presupuestos familiares es 50 soles mensuales, no se puede deducir si este valor significa que la desviación es alta o baja. Estos estadígrafos tienen mayor significación cuando se realiza comparaciones de distribuciones. Pero hay que subrayar, que la media aritmética y la varianza constituyen los pilares que sustentan todo el edificio estadístico. Una de las aplicaciones que supera la limitación anotada, es analizar la dispersión a partir de una distribución teórica, llamada la Curva Normal. Frecuentemente, cuando «n» es grande (n>30), la distribución de las n observaciones es aproximadamente simétrica o tiene la forma de una curva normal (Gráfico N° 4.5.). De acuerdo a las áreas bajo la curva normal, indicados en tablas se puede sostener que: 156i> RobERio B.
A v í Ia A costa
i) El 68.3% de las observaciones estarán comprendidas dentro del intervalo ( Y - s , Y + s) ii) El 95.5% de las observaciones estarán comprendidas dentro del intervalo ( Y - 2 s ; Y + 2s) ¡ii) El 99.7% de las observaciones estarán comprendidas dentro del intervalo (Y - 3s ; Y + 3s)
Gráfico N° 4.05 AREAS BAJO LA CURVA NORMAL
4.22 ESTADIGRAFOS DE DEFORMACION La deformació n consiste en analizar la simetría o asimetría (no simetría) de las distribucion es. Por ejemplo, el Gráfico N° 4.6.(b) representa una distribución SIMETRICA , en tanto que 4.6 .(a) y 4.6.(c) correspond e a distribuciones asimétricas o deformes. El gráfico 4.6.(a) presenta una deformación hacia la izquierda, que corres ponde a la cola o rama más larga de la distribución, es decir tiene asimetría por la izquierda o asimetría negativa. En tanto que 4.6. (c) corresponde a una distribución con asimetría por la derecha o de asimetría positiva.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <157
GRAFICO N° 4.06 a ) A s im e t r ía
c ) A s im e t r ía
b ) S i m é t r ic a
P o s it iv a
N e g a t iv a
i
La deformación o asimetría estadística se deduce comparando la distribu ción con la forma de la «curva normal» que corresponde a una distribución simétrica. En general, toda distribución que tiene Y = Me = Mo se dice que es SIME TRICA, en otro caso será asimétrica. Entre los estadígrafos de asimetría o deformación se tiene, los propuestos por Karl Pearson. AS 1
M edia-M oda Desviación estándar
Y -M o s
AS2 =
3 (Media-Mediana) Desviación estándar
3 (Y -M e ) s
que constituyen respectivamente, el primer y segundo coeficiente de asimetría de Pearson. También existe el estadígrafo propuesto por Arthur Boeley : (Q 3-Q 2M Q 2-Q 1)
Q 3-2Q 2+Q 1
Q3 - Q 1
Q3 - Q 1
que se le llama el «coeficiente cuartil de deformación». De acuerdo al valor de AS, se tiene: a)
Si AS > 0 .
b)
Si AS < 0 .
Tiene asimetría positiva. La distribución extiende la cola hacia los valores grandes de la variable. Tiene asimetría negativa. La distribución extiende la cola hacia los valores pequeños de la variable.
1 5 8 >RobE Rto B. A v í Ia A costa
Por otra parte, también se deduce que hay asimetría cuando: Mo < Me < y
Asimetría Positiva,
y < Me
Asimetría Negativa.
Ejem plo 4.35 En la distribución de los sueldos de los 80 trabajadores, se conoce: Y = 174,40 Q 1 = 140,80
Me = 174
M o=167
Q 3 = 208,20
s = 43,60
¿Cuál es la a sim e tría ? Con fines ilustrativos, vamos a calcular todas las fórmulas de asimetría. Como el resultado será el mismo, entonces trabajar con una sola fórmula será suficiente. AO Y -M o 174,40-167 „ ASi = --------- = ------’------------= 0,170 >0 s 43,60 Ae 3(Y - Me) 3(174,40-174) AS 2 = — --------- - = -4----- :----------- L = 0,028 > 0 s 43,60 AS = Q3 ~ 2Q2 + Q i _ 208,20-2(174)+ 140,80 Q3 - Q , ~ 280,20-140,80 = 0,00015 >0 en cualquiera de las fórmulas AS es positivo, por tanto tiene Asimetría Positiva, es decir hay un ligero predominio de sueldos menores. Frecuentemente, la distribución de los salarios tiene asimetría positiva, porque existen muchos trabajadores que ganan poco y pocos trabajadores que ganan bien.
4.23 ESTADIGRAFOS DE APUNTAMIENTO O KURTOSIS Entendemos como kurtosis al grado de apuntamiento de una distribución. La Kurtosis se analiza comparando la distribución con la forma de una curva normal o simétrica, con igual media aritmética y desviación estándar que la distribución que se estudia.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <159
Si una distribución tienen relativamente un elevado pico o apuntamiento, se llama distribución le p to k u rlic a , mientras si es achata da se denomina p la tiku rtica . La distribución normal constituye una distrib ución m esoku rtica. Los estad ígrafo s para analizar el apuntamiento son: Coeficiente de Kurtosis: a4 -_
m 4 — i
s
donde : s4 = (s2)2
s2 = varianza. X(Y¡ - Y) n, i=1___ ______ m4 = n
que se llama «el cuarto momento respecto a la media», a = 3 Mesokútica (normal) a > 3 Leptokútica (apuntada) a < 3 Platikurtica ( achatada) otro estadígrafo de kurtosis es: K=-
Q
= Coeficiente Percentil de kurtosis.
P 9 0 _ P 10
donde Q es el recorrido semi intercuartil, P10 y p 90 son los percentiles 10 y 90. Para la curva normal resulta K = 0,263.
160> Rob ERi o 0 . A v i U A c os ta
I M T iviedicion p e \ a desig ualdad Los estadígrafos de dispersión permiten conocer el grado de concentración de los elementos de una población respecto a una categoría de la variable. La desviación estándar mide la dispersión de los elementos respecto a la media aritmética, e! coeficiente de variación dimensiona la homogeneidad de una distribución. Es decir, permiten analizar la desigualdad que puede ser de tipo económico, social, poblacional, etc. Además de los indicadores de la dispersión estadística, se han propuesto diversos índices para analizar la concentración de los elementos de una población respecto a una variable. Es lógico considerar que a mayor concentración o ventaja entre algunos elementos, la desigualdad en el conjunto será mayor. Existen diversos indicadores para estudiar la concentración y desigualdad económica y social, asi como otros referidos al desarrollo humano y a los estados de pobreza. En este libro, por ahora se analizarán : * El índice de concentración de Gini. « La curva de Lorenz. • El indice de Marginación Social.
4 .2 4 .1
COEFICIENTE DE CONCENTRACION DE GINI
Las curvas de concentración fueron ideadas por Lorenz, de allí que se denomina Curvas de Lorenz. Independientemente de éste, también fueron propuestas por Chatelain, Seailles y Gini. Conrrado Gini plantea que es posible analizar las discrepancias considerando una medida que reúna en un solo valor las comparaciones entre las frecuencias relativas de la variable y los que corresponde a una población o número de casos, de este modo define un conjunto de pares de observaciones (p, q) ó bien puede ser (X, Y). En vez de representar las diferencias a través de promedios, establece una distribución teórica que debería tener la variable si se repartiese por igual entre todas las unidades o elementos de la población. Para construir el Indice de Gini, se considera un par de valores : ESTADISTiCA ELEMENTAL 061
Pj = frecuencias relativas de las observaciones. (proporción del número de casos). q¡ = frecuencias relativas de la variable. (proporción de la variable). Luego se obtiene las respectivas frecuencias acumuladas P¡ y Q¡, con este par de valores (P¡, Q¡) se construye una linea poligonal, conocida como la Curva Lorenz, que da origen al Diagrama de Concentración, ilustradro en la figura siguiente : Gráfico N° 4.07
Para una proporción acumulada de unidades (para un P¡ dado) menor se rá la concentración en tanto menor sea la distancia entre el punto ubicado so bre la curva de Lorenz y el situado sobre la línea de equidistribución. Al contrario, mayor será la desigualdad en tanto mayor sea la distancia entre ambos puntos. Entonces para el índice de concentración de Gini, se considera la diferen cia P¡ - Q¡, que cuando es menor está más cerca a la línea de equidistribución o de homogeneidad. De este modo, se construye el Indice de G in i:
162> RobERio B.
A v í Ia A costa
m-1
K ñ - Q i) G=—
---- T--------
m-1
I* ,
i=1 m-1
m-1
donde ZP¡ es valor máximo que puede tener:
Z ( ñ _ Q ¡, mientras ma
yor sea este valor, mayor será la concentración del fenómeno estudiado.. Además : 0 < G < 1; m = N° de categorías o intervalos. El valor mínimo de G es cero y se alcanza siempre que P¡ = Qi, que significa rá que la variable se distribuye discretamente entre todas las unidades. N o ta jFli] Cuando G se acerca a 0 la distribución es más homogénea o de
igual distribución. A mayor valor de G, le corresponde una mayor desigualdad o concentración. La desigualdad debe entenderse como la concentración en pocas personas, instituciones, áreas, etc. E je m p lo ¡4.36] Determinar la concentración de los ingresos (en dólares) de los trabajadores de una Empresa Exportadora, en el último trimestre de 1995, los indicadores a continuación : C U A D R O N° 4 .15 DISTRIBUCION DE LOS INGRESOS DE LOS TRABAJADORES DE LA EMPRESA EXPORTADORA RA. S.A. 1995 ingresos
N° de
Monto de
L¡ - Ls
Trabajadores
Ingresos
Hasta 300 301 - 600 601 - 900 901 - 1200 1201 - 1500 1501 - 1800 1801-2100 2101 - 2400 2401 - 2700 2701 y más
54 223 106 85 45 25 7 4 2 1
m =10
552
Pi
q¡
Pi
Q¡
Pi - Q i
14553 100350 79800 89040 60480 41415 14430 8900 5000 3100
0,098 0,404 0,192 0,154 0,081 0,045 0,013 0,007 0,004 0,002
0,035 0,241 0,191 0,213 0,145 0,099 0,035 0,021 0,012 0,008
0,098 0,502 0,694 0,848 0,929 0,974 0,987 0,994 0,998
0,035 0,276 0,467 0,680 0,825 0,924 0,959 0,980 0,992
0,063 0,226 0,227 0,168 0,104 0,050 0,028 0,014 0,006
417068
1,000
7,024
0,886
ESTADISTICA ELEMENTAL <163
En el cuadro anterior está detallado los cálculos y elementos de la fórmula del Indice de Gini. m-1
I( P ¡ - Q i)
G = i=1
Luego :
m-1
0,886
7,024
= 0,1261
IP , i=1 Ai
G = 0,1261 es un valor pequeño y cerca no a la línea de equidistribución por tan to la distribución de los ingresos es rela tivamente homogénea, es decir que no hay desigualdades notorias entre la ma yoría de los ingresos.
Ejem plo 4.37 Analizar el cambio en la concentración poblacional entre 1981 y 1993 de los centros poblados de 2000 y más habitantes, en la Macro Región del Norte del Perú, formada por los departamentos de Tumbes, Piura, Amazonas, Lambayeque, La Libertad, San Martín y Loreto, cuyos datos están en el Cuadro N° 4.08. Solución : Habrá que construir dos cuadros de trabajo que considera las frecuencias relativas y las absolutas (Cuadro N° 4.16), donde . Pj = proporción del número de conglomerados. q¡ = proporción de la población P¡ y Q, las respectivas frecuencias acumuladas. Aplicando el Indice de G in i: m -1
I ( P í - Q í) G = — ---r— m -1
I p¡
i=1 164> RobEiuo B.
A v í Ia A costa
se tiene que : 2,696 — G 1981 )= ?103 = 0,5283
G (1993) = 0,4844
V
Es decir que en 1993 existe una ligera disminución de la concentración poblacional de los centros poblados de 2000 y más habitantes, en ambos años existe una concentración significativa de la población en pocos centros poblado s. Evidentemente entre 1981 y 1993 han surgido 58 centros conglomerados urbanos que tienen 2000 o más habitantes en la Macro Reqión del Norte del Perú.
CUADRO N° 4.16 MAS PERU : MACROREGION NORTE : CENTROS POBLADOS DE 2000 HABITANTES Y 1993. Y 1981 NAL. Y POBLACION, SEGUN TAMAÑO POBLACIO 1993
1981 In te rv a lo s
C onglo
de p o b la c ió n
merado
Población
C onglo
Población
merado
1)
2 000 -
4 999
80
256 701
110
2)
5 000 -
9 999
43
307 366
45
310 363
3)
10 000 -
19 999
16
215 757
35
489 179
4)
20 000 -
49 999
10
302 383
15
461 916
5)
50 000 -
99 999
2
114 542
4
325 074
6) 100 000 - 2 4 9 999
3
488 233
1
149 147
7) 250 000 - 4 9 9 999
2
627 663
3
940 408
1
537 458
214
3 543 242
8) 500 000 - 999 999 TOTAL
156
2 312 645
329 697
en el Peni. 196 1 - 1 9 9 3 . Fuente: INEI. UNFPA. Dimensiones y Características del Crecimiento Urbano
ESTADISTICA ELEMENTAL Ó65
CUADRO N° 4.1 7 PERU : MARGINACION NORTE : FRECUENCIAS RELATIVAS Y ACUMULADAS PARA CALCULAR EL INDICE DE GINI, PARA 1981.
Conglomerado Pi
Población qi
p¡
Qi
P¡
•
Q¡
1
0,513
0,111
0,513
0,111
0,402
2
0,276
0,133
0,789
0,244
0,545
3
0,103
0,093
0,891
0,337
0,554
4
0,064
0,131
0,955
0,468
0,487
5
0,013
0,050
0,968
0,518
0,450
6
0,019
0,211
0,987
0,729
0,258
7
0,013
0,271
5,103
2,696
EP
E ( P' - Q ')
m =7
1,000
1,000
>
4 .2 4 .2 METODO DE LA DISPERSION RELATIVA : MEDIRA 1) Ideas Básicas MEDIRÁ es un método estadístico para dimensionar Niveles de Vida y Desigualdad Social a partir de los llamadas Necesidades Básicas Insatisfechas (NBI). Está diseñado para dimensionar y analizar los problemas de acceso a los servicios básicos y la desigualdad social y económica entre subáreas ge ográficas, especificando la prioridad sectorial en educación, vivienda, salud, etc., Este método fué propuesto por R. B. Avila (1992), para construirel Indice de Marginación RA (IM). En el campo social se llamará el Indice de Marginación Social (IMS) es un indicador que permite dimensionar y describir el nivel de de acceso a los servicios sociales básicos, es decir unida al grado de satisfacción de las necesidades básicas. Es un indicador fundamentalmente de tipo social, y a partir de su valor se determina la desigualdad social entre subáreas de un determinado ámbito geográfico. La naturaleza relativa de MEDIRÁ es que el Indice de Marginación Social se obtiene comparando los indicadores específicos de las subáreas con aquella que presente la mayor ventaja o nivel de satisfacción. Las subáreas pueden ser provincias de un departamento, o los distritos de una provincia, etc. 166> Robeiuo B. A v í I.a
á c o sta
2) Desarrollo M etodológico 2.1)
Determinación de n Indicadores Básicos o Específicos para el análi sis de la desigualdad social en m subáreas. Construir una matriz de m x n (Matriz de Indicadores Básicos).
h
Indicadores lM b I:
In
A,
lu
Il2
Il3
lln
A2
I21
l22
l23
bn
A3
I31
l32
Am
Im1
Im2
Im3
Imn
Sub áreas
Max (1) Min (1) R Para cada indicador identificar el valor máximo Max(l) y el mínimo Mín(l) y el recorrido R = Máx(l) - Mín(l). 2.2)
Estandarización de los Indicadores, que significa transformar los indicadores originales (l¡j) que tienen diferente recorrido en otro (d¡j) que tendrá un recorrido entre 0 y 1. Entonces : ^ _ l¡j-M in (l) 'i r
Relación Directa, cuando el mayor valor de l¡j significa mayor desventaja o marginación
Max(l) - l¡j Relación Inversa, cuando el mayor valor de l¡j sig nifica menor desventaja o marginación R N ota E l i En la Estandarización se asigna el valor dy = 1 a la sub área que presenta al mayor grado relativo de insatisfacción o desventaja, y dy = 0 el de menor desventaja. En ambos casos : 0 < dy < 1 De donde resulta una Matriz de Indicadores Estandarizados.
ESTADISTICA ELEMENTAL <167
3) Para cada sub área (A¡) calcular el Indice de Marginación (IM), mediante la expresión 1 n IM = — y d¡j n j=1
O < IM < 1 N ota ET1 La marginación o desventaja es más grave a medida que el valor de IM se acerca a 1. Definido los IM se ordenan las sub áreas de mayor a menor marginación social, y se agrupan en cuatro estratos. Baja Marginación Mediana Marginación Alta Marginación Muy Alta Marginación
: : : :
0.0 0.26 0.51 0.76
- 0.25 - 0.50 - 0.75 - 1.00
Los IM permiten analizar la desigualdad existente entre las sub áreas o sub poblaciones e identificar las sub áreas que merecen atención prioritaria.
N ota FE1 A partir de los IMS se pueden construir Mapas de Desigualdad Social entre las subáreas de una área o región, asi como gráficar mediante barras horizontales para obtener la "pirámide de la desigualdad" social, econó mica, educativo, etc.
168>
R o Ijerjo
B.
A v í Ia A cosia
E jem plo |4.38| Determinar la Desigualdad Social en Educación entre las provincias del Departamento del Cusco. En primer lugar hay que determinar los indicadores básicos (I) que permitan visualizar el grado de desarrollo educativo de una población. Para el ejemplo, fueron seleccionados 3 indicadores : • Tasa de analfabetismo (de contexto). • Tasa de asistencia escolar de niños y adolescentes de 6 a 17 años de edad (de proceso). • Población de 15 y más años con educación inferior a secundaria (de resultado). A partir de los resultados del Censo de Población de 1993 se obtuvieron el valor de los indicadores del Cuadro N° 4.18 expresado en porcentaje para las 13 provincias del departamento del Cusco. Como todos los indicadores son de relación directa, se aplicó la fórmula :
d¡j =
l¡i — Min (I) p
cuyos resultados estándarizados están en el mismo cuadro con los indicadores básicos.
En la última columna está el IME (Indice de Marginación Social en Educación), el valor más alto corresponde a Paucartambo, que se entiende como la provincia cuya población tiene los mayores problemas educativos del departamento del Cusco. La provincia Cusco es la privilegiada porque es la capital del departamento. El IME no siempre es un valor da 1 para el peor (Paucartambo) y 0 para el mejor (Cusco), puede tener otros valores pero siempre entre 0 y 1. El valor de IME permite establecer una clasificación de orden, y agrupar las provincias en 4 estratos, como se ilustra en el gráfico de barras, donde es fácil visualizar las Desigualdades Educativas entre las provincias. La Gráfica N° 4.08 indica que las provincias de Paucartambo, Paruro, Chumbivilcas y Quispicanchis sufren la mayor marginación social en Educación en el departamento del Cusco; además se deduce la desigualdad social educativa afecta a la mayoría de las provincias. También puede construirse un mapa estadístico para ubicar geográfica mente las poblaciones con mayores desventajas educativas. ESTADISTICA ELEMENTAL <169
CUADRO N° 4.18 INDICADORES BASICOS DE EDUCACION Y ESTANDARIZADOS, SEGUN PROVINCIAS. 1993. MATRIZ DE
MATRIZ DE INDICADO-
INDICADORES BASICOS PROVINCIAS
Tasa No
Pob. con
Analfa-
Asistencia
educación
betismo
Escolar de
inferior a
6-17 años
Secundaria
EDUCACION
I2
I3
IME
11 01) Cusco
RES ESTANDARIZADOS
Tasa de
INDICE DE MARGI-
d,
di
d3
NACION EN
8,4
11,2
27,5
0,000
0,000
0,000
0,000
02) Acomayo
38,4
20,8
81,9
0,817
0,430
0,924
0,724
03) Anta
33,4
15,1
70,9
0,681
0,175
0,737
0,531
04) Calca
34,4
21,8
71,3
0,708
0,475
0,744
0,642
05) Canas
32,1
18,9
78,5
0,646
0,345
0,866
0,619
06) Canchis
27,8
14,8
62,8
0,529
0,161
0,599
0,430
07) Chumbivilcas
44,7
25,0
85,1
0,989
0,619
0,978
0,862
08) Espinar
26,4
18,9
72,2
0,490
0,345
0,759
0,532
09) La Convención
24,0
23,5
64,6
0,425
0,552
0,630
0,536
10) Paruro
44,5
26,5
83,9
0,984
0,686
0,958
0,876
11) Paucartambo
45,1
33,5
86,4
1,000
1,000
1,000
1,000
12) Quispicanchis
37,8
27,8
77,5
0,801
0,744
0,849
0,798
13) Urubamba
25,0
17,7
62,9
0,452
0,291
0,601
0,448
Valor Máximo: Imáx
45,1
33,5
86,4
Valor M ínim o: Imin
8,4
11,2
27,5
36,7
22,3
58,9
Recorrido : R
Fuente: INEI. Censos N acionales de 1993. E la b o ración : Estudios y Ediciones RA.
N o ta H 3 Siguiendo el procedimiento del Método de la Dispersión Relativa (MEDIRÁ) puede analizarse la marginación en salud, vivienda, trabajo, etc.
170ó Ro Iierto B. AvíIa A costa
Gráfico N° 4.08 Cusco : Provincias según Indice de Marginación Educativa. 1993.
G ráfico N ° 4.09 Cusco : Mapa de la Marginación Educativa por provincias
Niveles □
Baja
H
Mediana
□
Alta
H
Muy Alta
Eje m p10 Í4.~39] Los 50 alumnos de Estadística, según sus notas centesi males fueron agrupados en una tabla de frecuencia de cuatro intervalos de amplitud Se pide calcular la mediana, la moda y la desviación estándar, sa biendo que : y2 = 50;
n, = 4;
N2 = 20;
n3 = 25;
y = 62,4
Para facilitar la solución, es recomendable indicar en la tabla de frecuencia los valores o datos desconocidos y luego recostruir la tabla completa : n¡
Vi 5 0 -C y2 = 50 50+ C 50 + 2C
N¡
n1 = 4 16 n3 = 25 5
y¡
4 N2 = 20 45 50
(50-c) (4) (50) (16) (50 + c) (25) (50 + 2c) (5)
ni = 2 0 0 -4C = 800 = 1250 + 25C = 250 + 10C
O
II
LO
c
£y¡ ni = 2500 + 31C
Esta tabla se ha construido aplicando las propiedades de frecuencia y la definición de media. Aquí el problema es determinar el valor de "c". A q u í: 62,4 = — - i n‘ 50 -de donde : 31c = 620
luego 62,4 finalmente
2500 + 31c 50 c = 20 amplitud de cada intervalo.
A partir de la tabla de frecuencia reconstruida, calcular cualquiera de los estadígrafos estudiados. (L¡-1-Li) 20- 40 40- 60 60- 80 80-100
y¡
30 50 70 90
4 16 25 5 50
m=7 en este caso
n¡
Me - 64,
Mo = 65
N¡ 4 20 45 50
y ¡ni
ypn¡
120 800 1750 450
3600 40000 122500 40500
3120
206600
S = 15,4
Ejem plo |4.40| En el servicio urbano de pasajeros de la capital el 10% son omnibus grandes, el 30% son medianos y el resto pequeños (combis). El 172> RobtRio B.
A v í Ia A costa
ingreso promedio diario por omnibus es 440 soles, el ingreso promedio diario de los omnibus grandes es 584 soles; por cada 20 soles de ingreso de los medianos, los pequeños tiene 13 soles de ingreso diario. ¿Cuál es el ingreso promedio diario de los omnibuses medianos y pequeños? De acuerdo a los datos, se puede construir la siguiente tabla : Tamaño Omnibus Pequeños Medianos Grandes Total
Ingreso diario promedio y¡
h|
0,65 x X
584 440
y¡
h¡
0,60 0,30 0,10
0,39 x 0,30 x 54,80
1,00
440
0,39x + 0,30x + 54,80 = 440 de donde : 0,69x = 385,2 x = 558,30 soles, ingreso promedio de los ómnibus medianos. 558(0,65) = 362,8 soles, ingreso promedio de los ómnibus pequeños.
Ejem plo ]4.4 l| Calcular el Nivel Educativo Promedio, la Desviación Están dar y el Coeficiente de Variación de la Información del Cuadro NM.19. Es importante indicar que : ÿ - S Vi ni n
= 1
y ¡ h¡
esta fórmula permite obtener la media aritmética directamente, y así se obtuvo el nivel educativo promedio de la PEA de Tacna. Por los resultados, el nivel educativo de la PEA masculina es ligeramente mayor que la PEA femenina en Tacna; además la dispersión del nivel educativo es mayor en las mujeres, y por el coeficiente de variación la distribución del nivel educativo de los hombres es más homogénea que en las mujeres en 1981. ESTADISTICA ELEMENTAL <173
CUADRO N° 4.19. Y TACNA: POBLACION TOTAL ECONOMICAMENTE ACTIVA DE 15 AÑOS 1981. de Censo MAS POR SEXO, SEGUN NIVEL DE EDUCACION ALCANZADO. (distribu ción relativa) N IVEL DE
GRADOS DE
EDUCAC ION
ESTUDIO S
Sin nivel Primar. Incompleta Primaria Completa Secun. Incompleta Secundar. Completa Sup. No Univ.lncomp. Sup. No Univ.Comp. Sup. Univ.lncomp. Sup. Univ.Comp. No Especificado
0 1-5 6 7-10 11 12-14 15 12-15 16 6
TOTAL Grado de Estudios Aprobados Desviación Estándar Coeficiente de Variación
y¡ 0 3 6 8,5 11 13 15 13,5 16 6
HOMBRE S
MUJERES
h¡
h¡
0,0404 0,2222 0,2253 0,2308 0,1545 0,0141 0,0298 0,0264 0,0565 0,0143
0,1181 0,2348 0.1775 0,1177 0.1559 0,0161 0,0814 0,0225 0,0760 0,0300
1,0 7,57 4,07 0,5376
1,0 7,43 5,02 0,6756
Fuente: INEI. Censos Nacionales de 1981
En una empresa, la distribución de salarios tiene una media Ejem plo [4 ^4 2 ] Como aritmética de 300 dólares y una desviación estándar de 30 dólares. : ivas alternat dos en reajuste un solución a un conflicto laboral, se propone a) Un aumento general del 60% de los salarios. b) Un aumento general del 40% de los salarios y una bonificación adicional de 60 dólares a cada trabajador. ¿Cuál de las alternativas propuestas le conviene aceptar al Sindicato? s2 = 2500 s = 50; X = 300; rar Aplicando propiedades de la media y la varianza, el lector puede demost que (b) es una mejor propuesta. 174> R o b tR io B . A v iU A cosia
Capítulo
NUMEROS INDICES GENERALIDADES En los capítulos anteriores se han estudiado, fundamentalmente los estadígrafos de posición y dispersión, que expresados como valores numéricos proporcionan una buena idea del comportamiento de una distribución de datos, sin embargo esta información no permite precisar la variación o cambios que experimenta el valor de las observaciones en relación al tiempo o al espacio. Este problema se supera incorporando otros indicadores como los Números Indices que permiten analizar el comportamiento y evolución de una variable o hecho con relación al tiempo y al lugar. El Número Indice es un indicador que plantea una comparación, y expresa la variación de una variable, hecho o fenómeno, ya sea en el tiempo o en el espacio, respecto de un punto o momento de referencia llamado Base del Indice La base del índice como punto de referencia de la comparación debe presentar un comportamiento regular para la información considerada en el índice, a fin de no llegar a conclusiones equivocadas y alarmantes. Por ejemplo, si en el Perú se estudia la producción de harina de pescado durante el período 1970-1990, no resulta recomendable y significativo elegir como año base 1973 puesto que en este año se produjo una fuerte crisis en la producción de harina de pescado, por el ausentismo de la anchoveta en el mar peruano. Como tampoco comparar precios de la década de los 90 con precios de la década del 80 donde hubo una hiperinflación.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <175
Los Números Indices se expresan frecuentemente en términos porcen tuales y debe advertirse que al igual de los estadígrafos, indican el compor tamiento de las variables en la forma más aproximada.
5.2 CLASES DE NUMEROS INDICES Por su naturaleza se tiene: a) Indice de Precios (I), es el indicador que expresa la variación de los precios de un artículo o un conjunto de artículos en dos momentos en el tiempo o dos puntos en el espacio. Por ejemplo, los Indices de precios al consumidor; Indices de costo de vida; el índice del’precio del azúcar, etc. b ) ¡ Indice de Cantidad (J), es el indicacjor que expresa la variación endas cantidades de un producto o un conjunto de productos en dos momentos en el tiempo o dos puntos en el espacio. Por ejemplo, el índice de exportación del algodón, el índice de la producción industrial, variación de la carga transportada, etc. c) Indice de Valor (V), es el indicador que expresa la variación en el valor de un conjunto de productos en dos momentos en el tiempo o dos puntos en el espacio. Por ejemplo, el índice de ventas comerciales, el índice de contratos de construcción, valor de las exportaciones del Perú, la deuda externa, etc. Como se deduce, en los números índices participan fundamentalmente dos elementos: El precio que llamaremos P la cantidad que llamaremos : Q y el valor será V = P .Q Todo número índice se define con relación a una base, que puede ser un día, mes, año, si se refiere al tiempo; puede ser una ciudad o país, si se refiere a un lugar. Elegido la Base del número índice, se compara todos los valores de la variable en estudio con el valor de la base. El número índice como valor relativo porcentual tiene su base igual a 100%. Por la forma como se construye o calculan, se clasifican en: - Números Indices Simples. - Números Indices Ponderados. 176> R o b E R i o B.
A v i U A c o s ia
5.3 CALCULO DE NUMEROS INDICES 5 .3.1 NUMEROS INDICES SIMPLES a) Para
un solo artículo
Un núm ero índice es simple, si sólo expresa o representa el porcentaje de variación de cada valor observado (precio o cantidad) respecto a la base elegida. Si llam am os x0 el valor de la observación en la base, y xt el valor de los restantes años o períodos, entonces el índice lt para el mom ento o tiem po t queda expresado por el cociente:
lt/0 = ^ 1 x 1 0 0 A0 El índice sim ple de precios será:
I t / o ^ x lO O *0 el índice sim ple de cantidad:
J t/o = ^ L x100 uo donde: Pt = precio de un sólo artículo o producto en el año dado t (u otra unidad de tiem po) P0 = precio de un sólo artículo o producto en el año base. Q t = cantidad de un sólo artículo o producto (producido, consum ido, vendido) en el año dado t. Q 0 = cantidad de un sólo a rtículo o producto (producido, consum ido, vendido) en el año base. Con los datos del C uadro N° 5 01 referido a la Exportación de Harina de Pescado, cuando se tom a 1988 com o año base, se tiene que 1988=100% que corresponde a 798 mil toneladas, obteniendo los núm eros indices sim ples de cantidad.
'89/88 = ^ x 1 0 0 = 140.0%
ESTADISTICA
ELEMENTAL <177
>91/88
1151 =798~x100 = 144.2%
l94/88 = —
x100 = 284.9%
Los números índices facilitan la comparación relativa entre valores, se puede deducir cuál es el aumento o disminución relativa (%) de los valores de una variable respecto a un valor determinado elegido como punto de referencia o base. — Si el índice es mayor que 100% entonces hay aumento, si es menor que 100% hay una disminución. La magnitud del aumento o disminución se puede obtener mediante la expresión: lyo -100 Para la base 1988 todos los números indices aumentan, es decir que la exportación de harina de pescado está incrementándose respecto a 1988, por ejemplo la exportación en 1994 es 3 veces lo que se exportó en 1988, es decir el incremento es : 284.9 - 100 = 184.9%. Cambiando la base 1991 = 100% se deduce que la exportación de harina de pescado en 1992 disminuyo en 5.5%, puesto que : l92/91 - 100 = 94.5 100 = -5.5% En tanto que en 1993 la exportación fué 46.7% más que en 1991. Aqui se está analizando sólo la exportación de harina de pescado, es decir se trata de un indice simple [N ota Q Como se deduce del ejemplo, se puede tomar cualquier año como base, por tanto los indices tandrán valores distintos dependiendo de la base del indice. i N o t a ^ Los números indices puden ser de base fija o de base variable. Los indices de base variable son aquellos que expresan la variación respecto al momento o año inmediato anterior. Es importante tener presente que para una serie de observaciones, cual quier año o momento puede ser elegido como base. No es requisito que la 1 7 8 > R o b E R i o B. A v í I a A c o s i a
base sea una observación anterior, también puede ser una posterior o una intermedia. La elección de la base debe responder al objetivo de los índices. No hay índice sin base, y la interpretación debe estar siempre asociada con la base del índice. Ejem plo [5.1 Determinar los números índices de la exportación de Harina de Pescado en el período 1988 - 1994. En este cuadro, los índices de cada columna resultaron de dividir el volumen exportado cada año entre la exportación del año, tomado como base (100%). En este caso se trata de Indice de Base Fija. C uadro N° 5.01. PERU: EXPORTACION DE HARINA DE PESCADO. Período 1988-1994 (Miles de TM) Años
INDICES (%)
Exportación 1988=100%
1991=100%
1994=100%
1988
798
100,0
69,3
35,1
1989
1117
140,0
97,0
49,1
1990
1114
139,6
96,8
49,0
1991
1151
144,2
100,0
50,6
1992
1088
136,3
94,5
47,8
1993
1689
211,6
146,7
74,3
284,9
197,6
100,0
1994
2274
Fuente: Ministerio de Pesquería Elaboración: Estudios y Ediciones RA
Del cuadro se deduce 3 series de números índices, cada uno con distinta base, 1988, 1991 y 1994.1como se advierte no son iguales y desde luego de diversa interpretación. Ejem plo|5.2 Calcular el indice simple de precios de base fija (1991 = 100%) y la base variable, para los precios del gas doméstico (Balón de 24 Lbs). t/t-1
x100 'ti
ESTADISTICA
ELEMENTAL <179.
Cuadro N°5.02. LIMA METROPOLITANA : PRECIO DEL GAS DOMESTICO (BALON DE 24 LIBRAS). 1991-1995. INDICES (%)
Años (*)
Precio
BASE FIJA
BASE VARIABLE
(soles)
1991=100%
Pi / P m
1991
3,40
100,0
100,0
1992
6,30
185,3
185,3
1993
13,70
402,9
217,5
1994
19,20
564,7
140,1
1995
20,30
597,1.
105,7
(•) Precio al mes de marzo de cada arto.
Fuente: INEI. Boletín Mensual de Precios al Consumidor N° 05-S5-INEI Elaboración: Estudios y Ediciones RA.
El índice de base fija, ilustra que el precio del gas doméstico en 1995 es 6 veces del precio de 1991 (base). P Los índices de base variable son : |t/t+1 = — t-x 1 0 0 Pt-1 I92/91 = — —— x100 = 185,3 % s 3,40
(+85,3% )
I93/92
(+ 117,5%)
~ X 100 = 217,5% 6,30
<94/93 9 4 /9 3 = 1-3^ (7 ^ 0 x100 = 140'1% 2O 30x100 = 1057 o/ o
(+ 4 0 ' 1%) (+5,7%)
19,20
Estos índices de base variable indican la variación anual de los precios.
b) Para varios artículos o ítems : También es posible calcular un número Indice Simple que exprese la variación de un conjunto de artículos. Este tipo de índice se conoce como. Indice Agregativo Simple, el más conocido es 180> R o b E R io
B.
A v í I a A c o s ia
El índice de Carli : que es el índice agregativo simple de precios más importante, propuesto por el economista italiano Gianrinaldo Carli en 1764. Si los precios de un conjunto de artículos o bienes en el período base están dados p o r: P01, P02, P03, P04, P05, etc. y los precios de estos mismos artículos para el período dado t son: Pt1, P(2, Pt3, P,4, Pt5, etc. Entonces el Indice de Carli se define como: x100 C
donde n es el número de artículos y la suma de los artículos.
se extiende a todos \
Ejem plo 5.3 Considerando los precios de 12 artículos alimenticios de la canasta familiar, correspondiente a los años 1992 y 1995 que se indica en el Cuadro N° 5.03 ¿Cuál es el índice precios del conjunto de artículos de 1995 respecto a 1992? Cuadro N° 5.03. LIMA METROPOLITANA : PRECIOS DE ALGUNOS ARTICULOS ALIMENTICIOS DE LA CANASTA FAMILIAR AL MES DE MAYO DE 1992 Y 1995. Artículos
PRECIOS 1992
Arroz Corriente Pan francés Fideos a granel Sancochado Pollo Huevo
Kg. Kg. Kg. Kg. Kg. Kg. Lata Lto.
Leche evaporada Aceite Vegetal Fréjol canario Papa Blanca Azúcar Blanca Papaya
Kg. Kg. Kg. Kg.
n = 12
1995
0,70 1,45 1,03
1,32 2,77 2,23
3,90 2,14 1,70 0,82 1,77 1,50 0,44 0,83
8,22
P95 1P92 1 ,8 8 6
1,10
1,53 1,37
1,910 2,165 2,108 2,402 1,712 1,841 2,260 1,947 1,295 1,843 1,245
17,38
34,49
22,614
£P92
5,14 2,91 1,51 4,00 2,92 0,57
ypss
(P95/P92 )
Fuente: INEI. Boletín Mensual de Precios al Consumidor N°05-95-iNEI Elaboración: Estudios y Ediciones RA.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <181
Como se puede apreciar en el Cuadro los precios en 1995 han variado significativamente respecto a los de 1992. En este ejemplo la base es 1992 = 100% y el año dado o de cálculo es 1995 Aplicando el Indice Agregativo de Carli se tiene: *9 5 •t/o - |9 5 /9 2 =
x100
V P 92
como hay 1 2 artículos n = 1 2 Tal como se presenta en el Cuadro N° 5.03., debemos calcular el índice de precios de cada artículo (P95/P92) luego sumar estos índices y finalmente dividir: •95/92 = — (22,614)x100 = 188,45% Indice que expresa que en conjunto, el precio de los 12 artículos aumentó en 1995 en 88,45% respecto a los precios de 1992. Además del Indice Agregativo Simple de Carli, existe otro Indice agregativo simple, que se calcula considerando la variación del precio total del conjunto de artículos, definido por: lt/o= | f L x 10 0 Tomando los datos de cuadro, se aprecia que para comprar una unidad de cada uno de los 12 artículos se necesitó de 17,32 soles en 1992, en tanto que en 1995 para comprar estos mismos artículos se necesita un total de 34,49 soles, entonces la variación del precio en conjunto con base 1992 sería: '9 5 /9 2 :
^
95- x 100 = -^ 4 ? - x 100 = 198,45%
Z p 92
17,38
este valor es mayor que el Indice de Carli. Este índice de variación del precio total tiene una fuerte limitación, puesto que da un índice distinto si se cambia la unidad de medida sin alterar los precios originales.
1 8 2 > R o b E R i o B . A v 'i I a A co sta
5.3.2
NUMEROS INDICES PONDERADOS
Los índices simples tienen el inconveniente de conceder la misma importan cia a todos los elementos que intervienen en su confección, este supuesto frecuentemente no se da en la realidad. Por ejemplo, al considerar los artículos alimenticios que consume una familia, encontramos que las cantidades consu midas varían una de otra, que depende por una parte del precio y por otra de la necesidad o importancia dentro de una determinada conducta alimenticia. Se consumirá más leche y arroz que sal y aceite, menos carne que papas, etc. Entonces en el precio global tendrán mayor o menor influencia los artículos que se consumen más o consumen menos, es decir estarían ponderados por la cantidad. Es común hallar que, cuando aumentan los precios de ciertos artículos, ocurre generalmente una disminución en el consumo, como lo explicaría la ley de la oferta y demanda; por otra parte, algunas veces se produce la sustitución de un artículo por otro de menor precio, para equilibrar el presupuesto familiar. Esto significa que para obtener un índice de precios (P) más significativo en un conjunto de artículos, será necesario ponderarlos con las respectivas cantidades (Q). Del mismo modo, si se trata de un índice de cantidad se pon deraría con los precios (P). Como respuesta surgen los Indices Ponderados entre los más importantes están los índices propuestos por Laspeyres y Paasche. Si se considera los indices de precios de muebles, no es justo considerar la misma importancia a la madera, que a los clavos, pegamento y pintura, na turalmente se utiliza más madera que los demás elementos, y por lo tanto el precio del mueble dependerá en mayor proporción de la madera utilizada. Según se considere la variación de los precio o cantidad se tendrá: a) Indices Ponderados de Precios. b) Indices Ponderados de Cantidades.
a. Indices P onderados
de
Precios .
El índice ponderado más conocido que cualquier otro, es el «Indice de precios ai consumidor» por ser precisamente aquellos que publican los organismos de gobierno. Este indice medirá los cambios de precios de un ESTADISTICA
ELEMENTAL <183,
período a otro, teniendo en cuenta como ponderación las cantidades consumi das de cada artículo considerado. Denotamos por P0 y Q0 el precio y cantidad comprada respectivamente, de un artículo determinado durante el año base. En forma similar, denotemos por Pt y Qt el precio y cantidad comprada de un artículo durante un año dado t. Tanto Laspeyres como Paasche propusieron índices de precio^ pondera dos por las cantidades consumidas en un período determinado. a.1. Indice de Precios de Layperes Este índice considera que los precios (P) varían de un período a otro, pero que las cantidades (Q) consumidas son las mismas de un período a otro. Laspeyres, economista alemán, en 1871 propone su índice, después de hacer el siguiente análisis. La cantidad total de dinero que gastan los consumidores durante el año o período base para un artículo, es simplemente el producto de su precio P0 por la cantidad comprada Q0, en consecuencia la cantidad total de dinero gastado por el consumidor, para el conjunto de artículos, está dado por la expresión XP 0Qo considerando que esta suma se extiende sobre todos los artículos del grupo. Si los consumidores hubieran comprado exactamente las mismas cantidades de estos artículos, durante un segundo período, el costo total sería Z ptQo debido a que lo único que cambió fue el precio de los artículos. Luego, relacionando estas dos cantidades se define el Número Indice de Precio de Laspeyres, como: ILt/o =
X pt Q o XPo Qo
donde se aprecia que los precios están ponderados por las cantidades correspondientes al período o año base. a.2. Indice de Precios de Paasche Este índice considera que el los precios varían de un período a otro, pero que las ponderaciones están dadas por las cantidades consumidas en el período dado t, es decir que compara los precios sobre la base de las nuevas cantidades consumidas en el momento t. 184/ RobERTO B. A v í Í a A c os ta
Este índice fue propuesto por el economista alemán Hermann Paasche en el año 1874 Según la ley de la oferta y la demanda, cuando los precios aumentan con siderablemente, el consumidor tiende a disminuir las cantidades de algunos artículos que tendría que comprar. Por lo tanto, las cantidades Q0 compra das al primer año no representan ya estimaciones satisfactorias de las cantidades compradas en años posteriores. H. Paasche considera que no es justo calcular lo que costaría a una familia hoy en día, al tomar cantidades que compraban hace unos años; el consu midor probablemente comprará menos artículos que han aumentado de precio, y más de los que han bajado, y aún con la posibilidad de sustituir algunos de estos artículos por otros. En estas condiciones, Paasche propone su Indice de Precio, definido por: iPt/o
y p t Qt
XPoQ t donde la .suma comprende todos los artículos incluidos. En este caso, los precios están ponderados por las cantidades consumidas en el período dado t. Es decir, cuanto hubiera gastado, si el momento o (base) hubiera consumido para cada artículo la misma cantidad del momento t.
Eje m p lo [ 5.4 Para ilustrar el cálculo de los Indices de Precios Ponderados, consideremos los precios y cantidades de un conjunto de artículos alimenticios que consume en un mes una familia compuesta por 6 personas, en los años 1992 y 1995, indicados en el Cuadro N° 5.04. ¿Cuál es el valor del Indice de Precios de Laspeyres y el Paasche, si el año base es 1992? En el cuadro se indican los precios y cantidades, así como el cálculo de las respectivas ponderaciones. Como 1992= 100% se tiene que P0 y Q0 corresponde al año 1992 en tanto que Pt y Qt corresponderá al año 1995. El Indice de Precios de Laspeyres será: IL 9 5 /9 2
~
Z P 9 5 Q 92 x100 X P 9 2 Q 92
reemplazando los valores del cuadro 5.04, resulta: ESTADISTICA
ELEMENTAL <185
O CO
co CD CD
03 O co '
03 CD cd "
04
O
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04 OO LO
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UJ
z
Elabor ación: Estudios y Ediciones RA
g
El Indice de Precios de Paasche será:
=— x 100 = 197,66% 106,64
( + 97,66%)
Según el Indice de Laspeyres, el presupuesto familiar (precios pondera dos) aumentó a 95,71% entre 1992 y 1995, en tanto que según el Indice de Paasche, el presupuesto familiar aumentó en 97,66% de 1992 a 1995, Como se deduce los valores son muy cercanos y poco discrepantes, aun que se puede usar cualquiera de ellos, es más frecuente utilizar el Indice de Precios de Laspeyres, que mensualmente publican como IPC (indicado res de precios al consumidor de distintos países).
a.3, Indice Ideal de Fisher En 1927 el profesor americano Irving Fisher había propuesto ciertos criterios que deberían cumplir los «buenos» números índices. Analizó diversas fórmulas y después de realizar una serie de pruebas llegó a proponer el índice «ideal», que se escribe en la forma: Indice ideal de precios de Fischer
IF,/o = VIL
X
IF
se deduce entonces, que el Indice de Fisher es la media geométrica del Indice de Laspeyres y de Passche. De acuerdo a la fórmula de Fisher, para el ejemplo se tiene: IF = V(195.71)(197.66'x 100 = 196,68% es decir que los precios, según Fisher, aumenta en 96,68% de 1992 a 1995.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <187
a.4. Indice de Precios de Marshal-Edgeworth-Bowley
Es un índice propuesto porMarshal, Edgeworth y Bowley como alternativa a las fórmulas standares de Laspeyres y de Paasche. La fórmula es: I [ P t (Qo * Q t )]
IM
t/0 _ I [ P o ( Q o + Q t)]
Este índice representa un punto de vista intermedio entre los de Laspeyres y de Paasche y, no obstante la ausencia de un sesgo general, soporta las desventajas que se origina en la falta de comparabilidad entre años diferentes debido al modelo variable de ponderaciones
Ejem plo|5.5 Considerando la información del Cuadro N° 5.04 , el valor de este índice se obtiene arreglando los cálculos como se ¡lustra en el Cuadro N° 5.05. Z [ P 95 ( Q 92 + Q 9 5 ) ] 1 M 95/S2 = Z [ P 92 ( Q 92 + Q 9 5 ) ]
Cuadro N° 5.05. PRECIOS Y CANTIDADES DE UN CONJUNTO DE ARTICULOS ALIMENTICIOS DE LA CANASTA FAMILIAR POR 6 PERSONAS, AL MES DE MAYO DE 1992 Y 1995
P92
Q92
0,7
A (kilo)
»
B (kilo)
PONDERACIONES
Año 1995
Año 1992
Artículos
Ps5(Qs2+Q95)
Q92+Qs5
Qs5
Pss
P32(C¡92+Qs5)
20
1,32
22
42
55,44
29,4
22
2,77
24
46
127,42
66,7
5
11,15
5,15
C (kilo)
1,03
2
2,23
3
D (kilo)
2,14
6
5,14
8
14
71,96
29,96
11,64
6,8
83,05
45,1
E (Kilo)
1,7
2
2,91
2
4
F (Lata)
0,82
30
1,51
25
55
G (Litro)
1,77
3
4
3
6
24
10,62
1
3
8,76
4,5
9
5,13
3,96
8
12,24
6,72
410,79
208,91
H (Kilo)
1,5
2
2,92
I (kilo)
0,44
4
0,57
5
1,53
4
J (Kilo)
0,84
n = 10
12,39
4 —
24,9
—
—
yjP95(Q92+Qs5)
!8 8 > R o b E R io
B.
A v í Ia A c o s ia
£P92(Q92+Qs5)
208,91 que es un valor similar a los obtenidos anteriormente. En el Perú para obtener el índice de Costo de Vida se utiliza el Indice Ponderado de Laspeyres.
a.5. Otros Indices Ponderados de Precios |K Indice de Keynes:
£ P t M¡n(Q0,Q t ) t/0
I P 0 M in(Q0,Qt )
Indice de Walsh:
Indice de Sidgwich - Drobisch:
IL + IP ISt/o = — - —
el lector, con los datos del Cuadro N° 5.04, puede realizar el cálculo de estos índices; por el valor obtenido deducirá que estos índices tienen valores muy similares. Recordemos que los indicadores en general son valores aproximados.
b. Indices Ponderados
de
Cantidades
Son índices que miden el cambio o variación de las cantidades consumidas respecto a los precios Ahora las cantidades son ponderadas por los precios. Los índices de cantidad se denotarán por J. En gran parte lo expresado en los índices ponderados de precios se indicará también en los índices ponderados de cantidades. De este modo, también se tiene índice de Cantidad de Laspeyres (JL), de Paasche (JP) y el Ideal de Fisher (JF), expresada por las siguientes fórmulas:
Indice de cantidad de Laspeyres.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <189
JPt/o =
IQtPt I Q0P,
JFl/0 = V J L
X
JP
Indice de cantidad de Paasche. Indice Ideal de Fisher.
Para ilustrar el cálculo de estos índices, consideremos la información del Cuadro N° 5.04. cuyos resultados de las ponderaciones se pueden utilizar directamente. Siempre considerando el año base 1992, se tiene que: El Indice de Cantidad de Laspeyres es JL 95/92
=
Z Q 95P92 Z Q 92P 92
= 106,64 X100 = 104,35% 102,19
( + 4,35% )
significa que las cantidades consumidas aumentó al 4.35% de 1992 a 1995. El Indice de Cantidad de Passche es: J P 95/92 =
Z Q 9 5 P 95 Z Q 9 2P 95
= 210,79 x 100 = 105,40% ( + 5,40%) 200,00
que expresa que las cantidades consumidas aumentó el 5,4% de 1992 a 1995. El Indice Ideal de Fisher es: J p95/92
= V (104,35X105,40
J f“95/92
=104.87%
Para cualquiera de los índices de cantidad, en el ejemplo se obtiene un aumento en las cantidades consumidas. 19 0 >R o b E R TO B . A v U a A co sta
c. Indices
de
Valor
Si un artículo cuesta P soles y se compra Q unidades, el valor total es P.Q. Para varios artículos la suma de los productos de los precios por sus respectivas cantidades será Z p QPara un momento cualquiera t el valor total o agregado será Z ptQt y en otro momento que se tome como base, el valor total será Z poQoEl cociente formado por estos valores: V=X ñQ L
ZPoQo se le llama algunas veces «Indice de Valor». Estrictamente hablando, no es un número índice como ordinariamente se entiende, sino que es una «Relación de Valores». En rigor no es un índice de precios, ni un índice de cantidades, porque las cantidades y ios precios son diferentes en el numerador y en el denominador.
p f ^INDlCES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR
5.4.1
ANTECEDENTES
a) El Indice de Precios al Consumidor (IPC) ocupa un lugar de singular importancia, dentro de las estadísticas nacionales de corto plazo, por su utilización en el análisis económico y la toma de decisiones. La utilización jurídica y laboral de dicho Indice en las relaciones entre los agentes económicos y sociales privilegian, además, su elaboración y la rapidez de su difusión por el Sistema Estadístico Nacional. El conocimiento del comportamiento mensual de los precios, la percepción de las tensiones inflacionistas que caracterizan una coyuntura económica y el movimiento diferencial de los precios relativos, ejercen una fuerte influencia en la estructura consumo de la población y en la determinación del ingreso real. Estos fenómenos son evidentemente más visibles en el mediano y largo plazo y hacen necesaria la ejecución de estudios específicos sobre el sistema de precios al consumidor. En tal sentido, el Instituto Nacional de ESTADISTICA
ELEMENTAL<191
Estadística e Informática del Perú, puso en marcha un amplio programa de investigación, contando para ello con el progreso de la infraestructura estadística logrado en los últimos años, así como un mayor uso de la infor mática que permitirá no sólo la actualización del Sistema de Ponderaciones de la Canasta Familiar sino el perfeccionamiento de los procedimientos de cálculo y la ampliación de la cobertura informativa. b) La primera investigación sobre los Indices de Precios al Consumidor fue realizada por el Dr. Oscar Arrús, quien lo denominó «El Costo de la Vida en Lima y Causas de su Carestía», alcanzó un período de 11 años (19131924), considerando como base el año 1913. A falta de una encuesta sobre los hogares referida a la distribución de los recursos de las familias, estimó un «presupuesto ideal basado en datos de presupuestos análogos de otros países». La repartición de los gastos según la categoría indicada, se efectuó en las proporciones siguientes: Alimentación 55%; Habitación 18%; Indumentaria 12% y Otros Gastos 15%. Luego se cambió de base, por el del trieno 1934-36 que rigió a partir de enero de 1944. Se suprimieron o incluyeron artículos en función de las modalidades y restricciones impuestas como consecuencia de la Segunda Guerra Mundial. Se adoptaron igualmente los 4 grupos de consumo: Alimentación, Habitación, Indumentaria y Diversos. Asimismo, se calcularon otros índices, como el de base 1960 hasta 1966, ponderados mediante una Encuesta de Presupuestos Familiares realizada en los años 1956/1957 y que mantenían los 4 grupos anteriores. Aquí se establecieron dos índices: Uno para Obreros y otro para Empleados El Indice de base 1966 calculado con una «canasta» que provenía de una Encuesta de los años 1964/65, también distribuida en los cuatro grupos de consumo tradicionales estuvo dirigido a calcular un sólo índice, para aquellas familias con ingresos comprendidos entre los 2,000 y 12,000 soles oro anuales per cápita, de aquella época. Posteriormente, el Instituto Nacional de Estadística decidió aprovechar la Encuesta Nacional de Consumo de Alimentos (ENCA) realizada entre agos to de 1971 y agosto de 1972, para reestructurar la «Canasta Familiar» y actualizar la representatividad del Indice de Precios al Consumidor para Lima Metropolitana, tomándose el año 1973 como base o referencial. Este Indice siguió utilizando la clasificación del consumo familiar en los 4 grupos: Alimentación y Bebidas, Vivienda y Mobiliaria y Diversos. El Instituto Nacional de Estadística e Informática llevó a cabo la Encuesta Nacional de Hogares de Propósitos Múltiples -ENAPROM- entre setiembre de 1977 y agosto de 1978, con el propósito fundamental de obtener informa 192> R o b E R i o B . A v í I a A costa
ción para actualizar la estructura de ponderaciones en las diversas ciudades del país donde se elaboran Indices de Precios al Consumidor. En diciembre de 1985 el INEI inició la Encuesta Nacional de Hogares de Proposito Múltiple (ENAPROM II) para Lima Metropolitana, durante 12 meses en una muestra de 2700 viviendas. A partir de enero de 1991, el Indice de Precios al Consumidor (IPC) de Lima Metropolitana se cácula teniendo en consideración una nueva estructura del gasto familiar anual en bienes y servicos de consumo. Esta estructura se obtuvo en base a los resultados de la Encuesta de seguimiento del Consumo de Hogares de Lima Metropolitana (ENSECO) aplicada durante 1990 por el INEI, a un total de 3114 viviendas particulares al año. Estos resultados permitieron que en enero de 1991 se adopte una nueva estructura de ponderación para el cálculo del IPC. Los Indices de Precios al Consumidor de Lima Metropolitana que se publican a partir de 1995, se han elaborado con la nueva estructura de ponderaciones obtenidas a partir de Encuesta Nacional de Propósitos Múltiples (ENAPROM) llevada a cabo entre octubre de 1993 y setiembre de 1994. Durante el año 1995 se ejecutó la Encuesta Nacional de Hogares de cobertura nacional a nivel departamental, de propósitos múltiples.
5.4.2
ASPECTOS CONCEPTUALES
1) Indice de Precios al Consumidor (IPC) Es un indicador económico que muestra la variación en los precios de un conjunto de bienes y servicios (Canasta Familiar) que consume habitualmente un grupo representativo de familias de diversos estratos socio-económicos. 2) Datos Básicos para la obtención del IPC Para obtener el IPC se requiere de la información siguiente: a. La composición de la «Canasta Familiar», es decir conocer los bienes y servicios que consumen hábitualmente las familias en un periodo anual denominado año base (1994), y cual es la ponderación del gasto en dichos productos. La estructura del consumo se obtiene de las Encuestas de Ingresos y Gastos de las familias. b. Los precios promedio de cada bien o servicio del año base, el cual conviene sea el más cercano posible a la oportunidad en que se efectuó la Encuesta de Hogares. Para el caso de Lima Metropolitana, se han considerado los precios promedio de 1994. ESTADISTICA
ELEMENTAL <193
c. Los precios promedio captados mensualmente de todos los bienes y servicios que conforman la Canasta Familiar. Las visitas realizadas a los mismos establecimientos comerciales y mercados de la encuesta
3) Canasta Familiar Es el conjunto de bienes y servicios representativos del Gasto de Consumo de los diferentes estratos socio-económicos de la población. En el caso del actual índice de Precios al Consumidor de Lima Metro politana, la composición de la Canasta Familiar, se determinó mediante la Encuesta Nacional de Hogares de Propósitos Múltiples (ENAPROM) realizada entre octubre de 1993 y setiembre de 1994 tarea que se cumplió durante doce meses consecutivos con el fin de captar los consumos estacionales. Se recopiló información a través de entrevistas directas en 4320 hogares seleccionados mediante el uso de la técnica del muestreo’
4) Estratificación de la Canasta Familiar Un aspecto muy importante es que el actual índice de Precios al Consumidor de Lima Metropolitana es el promedio ponderado de los índices correspondientes a tres estratos de hogares de acuerdo a sus ingresos; familias de bajos, medianos y relativos altos ingresos: que se presentan el 49%, el 35% y el 16%, respectivamente. La estratificación se hizo siguiendo el método del Dalenius, que permite asegurar una homogeneidad interna de las variables bajo estudio al interior de cada estrato, pero a la vez, una gran heterogeneidad entre los tres estratos. En términos estadísticos, la estratificación tiene la ventaja de asegurar una mejor representatividad de la muestra, en el caso del IPC, nos asegura una buena representatividad de los precios de los bienes y servicios que consumen los tres estratos de la población de Lima Metropolitana.
5) Gasto de Consumo de los Hogares Para efectos del IPC, los Gastos de Consumo de los Hogares son aquellos destinados a la adquisición de bienes y servicios para satisfacer las necesi dades de las familias, incluye el valor de los bienes y servicios autoconsumidos, autosuministrados y el valor de los provenientes de la remuneración en especie. Se excluyen los gastos destinados a la formación bruta de capital (adquisi ción de viviendas, terrenos, etc.).
1 9 4 > R o b E R io
B . A v í I a A costa
5.4.3
COMPONENTES Y PONDERACION DE LA CANASTA FAMILIAR
a) E structura
de la
Canasta Familiar
La información obtenida a través de la Encuesta de Hogares, se clasifica en 8 Agrupaciones, 30 Grupos, 53 Subgrupos, 170 Rubros y 532 Variedades, para Lima Metropolitana, estos componentes presentan algunas diferencias para otras ciudades. En efecto, la máxima desagregación de los bienes y servicios es a nivel de variedades. La categoría de variedad comprende a los artículos de definición precisa y son los que conforman el número de productos diferentes de la canasta familiar. La variedad se clasifica en: a. 1. Variedad Homogénea Comprende a los bienes y servicios que por sus características difieren poco uno del otro, el consumidor puede sustituir sin dificultad la compra de un producto por otro abarcado en la misma variedad. Los precios de los artículos correspondientes a la definición de una variedad homogénea son poco dispersos. El precio promedio tiene, por tanto, sentido. Por ejemplo, son variedades homogéneas: Papa blanca, papa huayro; pan francés, pan de labranza, etc. a.2. Variedad Heterogénea Comprende a los bienes y servicos que en su definición difieren sensible mente uno del otro o son totalmente diferentes. La noción de precio prome dio no tiene realmente sentido, por lo menos cuando se trata de medir evoluciones de precios Por ejemplo, dentro la variedad de Cocinas Eléctri cas, existen diversos tipos y modelos cuyos precios son significativamente diferentes. También entre los precios de quesos, pescados corriente y fino, etc.
b) Ponderaciones
de
B ienes
y
Servicios
de la
Canasta Familiar
Las ponderaciones de los bienes y servicios (artículos), que componen la Canasta Familiar, son los pesos relativos medidos en términos de valores de gasto, con relación al gasto total de los hogares. Los Bienes y Servicios de la Canasta Familiar son seleccionados de acuerdo a los criterios:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <195.
a. La mayor importancia relativa dentro de cada subgrupo de consumo.
b. Que sea representativo de la variación de precios de Bienes y Servicios similares. c. La facilidad para realizar el seguimiento de los precios. Es importante señalar que las ponderaciones permanecen fijas hasta un nuevo cambio de base del Indice, que en la actualidad la Base es el año 1994 (1994=100%). Algunos estudios que demuestran que en 1990, aproximadamente el 60% del presupuesto familiar está destinado al grupo de Alimentos. Además de la necesidad de actualizar las ponderaciones de los componentes de la Canasta Familiar, también debe elaborarse Canastas Familiares por áreas profesio nales, específicamente definir la Canasta Familiar del Docente Universitario Peruano, entre otras. C u a d ro
N°
5 .0 6 .
E S T R U C T U R A D E C O N S U M O D E L O S H O G A R E S D E L IM A M E T R O P O L IT A N A EN 1990 Y 1994.
AGRUPACION, GRUPO Y SUB-GRUPO DE CONSUMO
1990
1994
INDICE GENERAL
100,000
100,000
61,695
58,050
1, A L IM E N T O S Y B E B ID A S 1.1. ALIMENTOS Y BEBIDAS DENTRO DEL HOGAR 1.1.1. Pan y C ereales 1.1.2. C arnes y P reparados de Carne
46,852 11,573 9,098
1.1.3. P e scados y M ariscos
2,117
1.1.4. Leche, Q u e s o y H uevos
4,431
1.1.5. G rasas y A c e ite s C om estibles
1,687
1.1.6. H ortalizas y Le g um b res Frescas
4,177
1.1.8. Frutas
3,197
1.1.8. L e g um in o sa s y derivados
0,947
1.1.9. T u b é rc u los y raíces
3,085
1.1.10. A z ú c a r
1,735
1.1.11. C afé, T é y C acao
0,656
1.1.12. O tro s P ro d u cto s A lim enticios
1,644
1.1.13. B ebidas N o A lco h ó lica s
1,066
1.1.14. B ebidas A lco h ó lica s 1.2. ALIMENTOS Y BEBIDAS FUERA DEL HOGAR
2, V E S T ID O Y C A L Z A D O 2.1. TELAS Y PRENDAS DE VESTIR
1,499 14,843
7,574 5,181
2.1.1. T ela s, A rt. de C onfecc., Tej. y V e stid o s
5,041
2.1.2. C o n fe cción y R eparación de R opa
0,140
2.2. CALZADO Y REPARACION DE CALZADO
2,393
2.2.1. C alzado
2,014
2.2.2. R e paración de C alzado
0,379
1 9 6 > R o b E R io
B. A v i U A c o s t a
6,540
3 , A L Q U IL E R D E V IV IE N D A , C O M B U S T IB L E Y E L E C T R IC ID A D 3.1. ALQ., CONSERV. DE LA VIVIENDA Y CONSUMO DE AGUA
6 ,1 2 8
3.1.1. A lq u ile r y C onservación de la V ivienda
3,046
3.1.2. C o n su m o de Agua
0,725
3.2. ENERGIA ELECTRICA Y COMBUSTIBLE
9 ,3 4 0
3,771
2,357
3.2.1. Energía Eléctrica
0,743
3.2.2. C om bustible
1,614
4, M U E B L E S , E N S E R E S Y M A N T E N IM IE N T O D E L A V IV IE N D A 4.1. MUEBLES, ACCESORIOS FIJOS Y REPARACIÓN
4 ,3 9 4
3 ,8 5 0
0,294
4.1.1. M uebles y E quipo del Hogar
0,256
4.1.2. R eparac. de M uebles y Cubierta para pisos
0,038
4.2. TEJIDOS PARA EL HOGAR Y OTROS ACCESORIOS
0,230
4.3. APARATOS DOMÉSTICOS Y REPARACIÓN
0,399
4.3.1. A para to s D om ésticos
0,281
4.3.2. R e paración de A paratos D om ésticos
0,118
4.4. VAJILLA, UTENSILIOS DOMÉSTICOS Y REPARACIÓN
0,289
4.5. MANTENIMIENTO DEL HOGAR
2,659
4.5.1. C u idado del H ogar
2,628
4.5.2. Lavado y M antenim iento
0,031
4.6. SERVICIO DOMÉSTICO
0,523
5, C U ID A D O , C O N S E R V A C . D E L A S A L U D Y S E R V . M E D IC O S
1 ,8 6 0
5.1. PRODUCTOS MEDICINALES Y FARMACÉUTICOS
0,967
5.2. APARATOS Y EQUIPOS TERAPÉUTICOS
0,133
5.3. SERVICIOS MÉDICOS Y SIMILARES
0,579
5.4. GASTOS POR HOSPITALIZACIÓN Y SIMILARES
0,102
5.5. SEGURO CONTRA ACCIDENTES Y ENFERMEDADES.
0,079
6, T R A N S P O R T E Y C O M U N IC A C IO N E S
8 ,9 4 2
6.1. EQUIPO PARA EL TRANSPORTE DE PERSONAL
2 ,1 1 0
8 ,4 8 0
0,032
6.2. GASTO POR UTILIZACIÓN DE VEHÍCULOS
1,371
6.2.1. G asolina y Lubricantes
0,997
6.3. SERVICIO DE TRANSPORTE
6,935
6.3.1. S ervicio U rbano e Interurbano
5,547
6.4. COMUNICACIONES
0,604
6.4.1. S ervicio T elefónico
0,569
7, E S P A R C IM , D IV E R S IO N , S E R V C U L T . Y D E E N S E Ñ A N Z A 7.1. EQUIPOS, ACCESORIOS Y REPARACIÓN
4 ,9 0 6
5 ,7 9 0
1,029
7.1.1. E quipos y A ccesorios
0,921
7.1.2. S ervicio de reparación a R adio y TV.
0,108
7.2. SERVICIO DE ESPARCIMIENTO Y CULTURA
0,296
7.3. LIBROS, PERIÓDICOS Y REVISTAS
0,842
7.4. SERVICIO DE ENSEÑANZA
2,739
ESTADISTICA
ELEMENTAL <197
8 , O T R O S B IE N E S Y S E R V I C I O S
8.1. CUIDADOS Y EFECTOS PERSONALES
8.1.1. Cuidados y Efectos Personales 8.1.2. Servicios de Cuidado personal
5,4 1 1
3,592 0,593
8.2. OTROS ARTÍCULOS NO ESPECIFICADOS
0,197
8.3. ALIMENTOS Y BEBIDAS FUERA DEL HOGAR
0,084
8.3.1. G astos por S e rvicio s en H oteles
5 ,8 5 0
4,185
0,084
8.4. SERVICIOS FINANCIEROS
0,625
8.5. OTROS SERVICIOS NO ESPEIFICADOS
0,320
Fuente: INEI. Metodología de los Indices de Precios. Febrero 1991. Lima, Perú. INEI. Boletín Mensual de Precios al Consumidor. N° 05-95-INEI.
INDICES DE QUANTUM Y DE VALOR UNITARIO El índice de quantum y el de valor unitario son índices que se utilizan fundamentalmente en el Comercio Internacional Metodológicamente, el INDICE DE QUANTUM es un índice de cantidad y algunas veces se le denomina «Indice de Volumen Físico», en tanto que el INDICE DE VALOR UNITARIO es un índice de precios. La diferencia con los índices de cantidades y de precios ya presentados, está en el tipo de información que se utiliza. En las estadísticas del comercio exterior, los datos que se utilizan no consisten en precios y cantidades, sino en valores (soles, pesos, dólares, etc.) y en cantidades y volúmenes (toneladas, unidades, etc.). En el comercio exterior, el término «cantidad» se refiere con frecuencia a un conjunto de unidades que no son homogéneos, como un número de máquinas calculadoras sin distinguir los modelos y tipos, y asociada a esta cantidad de unidades se puede indicar el precio total o valor. También se puede hablar de la exportación de toneladas de telas, petróleo, café. En este sentido, el término cantidad o volúmen se transforma o se expresa como «quantum». Por su parte, el término «precio» se transforma en «valor unitario» al obtener el cociente P = V/Q donde Q representa el quantum y V es el valor total de una cierta cantidad de Q. Al Estadístico o Economista que maneja cifras de comercio internacional y que observa las modificaciones de un año a otro del valor de las importaciones o de las exportaciones, le interesa analizar este cambio como producto de la variación en las cantidades importadas o exportadas y la variación de sus precios, es decir, le interesará analizar índices de «quantum» (cantidades) y de «valores unitarios» (precios) que satisfagan una relación del tipo V = P.Q 1 9 8 > R o b E R io
B.
A v í I a A c os ta
para analizar los cambios del valor a través de las variaciones de estos dos factores. El procedimiento para obtener los índices de «quantum» y de «valor unita rio» es el mismo que se sigue para hallar los índices de cantidades y de pre cio. Realmente en el caso más simple, no se requiere de fórmulas explícitas, un procedimiento recomendable es el que se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejem plo [~5T5~ Las exportaciones de Plata refinada en el período 1985-1994 se indican en el Cuadro N° 5.7. Calcular los Indices de «quantum» y de «valor unitario» tomando como base el año 1985. Cuadro N° 5.07. PERU : EXPORTACION FOB DE PLATA REFINADA ÍNDICES DE QUANTUM Y DE VALOR UNITARIO. 1985-1994.
AÑOS
Millones
Millones
Valor Unitario
Onz. Troy
de US. $
US/Onz. Troy
V
P = V/Q
Q
INDICE (1985=100) Quantum
Valor Unitario
1985
22,3
140
6,3
100,0
1986
19,1
107
5,6
85,6
88,9
1987
13,6
92
6,8
61,0
107,9
1988
8,9
60
6,7
39,9
106,3
1989
17,2
98
5,7
77,1
90,5
1990
15,9
79
5,0
71,3
79,4
1991
16,7
68
4,1
74,9
65,1
1992
20,1
78
3,9
90,1
61,9
1993
18,5
76
4,1
83,0
65,1
1994
18,8
98
5,2
84,3
82,5
100,0
Fuente: INE!. Perú: Compendio Estadístico 1994-95. Lima, Agosto 1995. Elaboración: Estudios y Ediciones RA.
1o) A partir de las primeras columnas (Q y V) se calcula el valor unitario (P) para cada año, mediante la relación P=V/Q obteniéndose los valores unitarios de la tercera columna (US/Onz Troy).
ESTADISTICA
ELEMENTAL <199
2o) El Indice de «Quantum» con base 1985 es un índice simple para los valores deQ. 191 = 2 ^ 3 x 100 = 85,6%
^8 6 /8 5
.
_ 15,9 x 100 = 71,3% 22,3
90/85
1QO J
94/85 = ^ * 1 0 0
= 8 4 ,3 %
3o) Del mismo modo el índice de «valor unitario» se obtiene a partir del valor P. \&
6 I 85
=“
U9/85 -
x 100 = 88,9%
0,0
x 00 - 90,5%
l94/85 = f | x 100 = 82,5%
y así se completa el Cuadro N° 5.07.
^ C A M B IO DE BASE Y EMPALME Después de calcular, durante unos cuantos años, índices respecto a una determinada base, conviene algunas veces hacer un cambio de base en el índice, tomando como base un año o momento más reciente. Esta es una operación usada frecuentem ente para actualizar la variación de precios, cantidades o valores. Entonces resulta que en un período se tendría dos series de índices incompletos, que por tener bases diferentes no facilitan una comparación y un análisis directo de la variación de la variable Frente a esta 2 0 0 / R o b E R io
B.
A v i U A costa
dificultad, es conveniente completar y expresar las dos series respecto a una de las bases consideradas; hay un cambio de base. En otras palabras significa «empalmar» las dos series. Para realizar este empalme de series de índices, se aplica una simple regla de tres, como se ilustra en el ejemplo.
Ejemplo 5.7
Los índices de precios al consumidor de una país, se calculó ¡nidalmente con base 1988 y luego se cambió de base a 1990. Empalmar los índices con base 1988 y con base a 1990. En el cuadro se tiene calculado los índices de precios para el período 19901995 con base en 1990 (índice antiguo), a partir de 1994 se tiene una serie de índices (1994-1995) con base 1994 (índice nuevo). El problema es empalmar estas dos series, y obtener los números índices para todo el período 19901995 con base en el año 1994. C u a d ro N° 5.08. INDICES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR EN LIMA METROPOLITANA. PERIODO:1990-1994. Cambio de Base y Empalme (Por ciento)
Años
Indice
Indice
Indices
antiguo
nuevo
Empalmados
1990 = 100
1994 = 100
1990 = 100
1994 = 100
1990
100,00
x.4
100,00
6,15
1991
509,53
x.3
509,53
31,35
1992
884,18
x.2
884,18
54,40
1993
1 313,71
x.1
1 313,71
80,83
1994
1 625,51
100,00
1 625,51
100,00
y 1
111,13
1 806,43
111,13
1995 1996
Fuente: Boletín Mensual. Indices de Precios al Consumidor N° 02-96-INEI.
Este problema se resuelve por una simple construcción de proporciones o una regla de tres simple: Con base 1994, para 1993 (x.1) : ESTADISTICA
ELEMENTAL<201
X.1 1313,71 100 ~ 1625,51
luego : X.1= 80,83
Para 1992 (x.2 ): X.2 100
884,18 1625,51
se tiene X.2 = 54,39
y así sucesivamente, se obtienen los índices empalmados X.3 y X.4 con base 1994, indicados en la quinta columna (1994=100) del Cuadro N° 5.08. Del mismo modo, se puede empalmar los índices con base 1990: Para 1995: Y'1 = -L11’1A 1625,51 100.00
luego Y.1 = 1806,43
El acelerado incremento del IPC observado entre 1980-1995 en el Perú, aún afecta a una importante proporción de familias en el período 1990-1994, de allí que haya aumentado la pobreza en la útima decada. Es fácil deducir que un artículo de 100 soles en 1990 por efecto de la inflación estaría en 1995 en 1806 soles a precios de 1990. Al cambiar de base, la interpretación cambia, resultando que un artículo que costó 100 soles en 1994 ahora en 1995 costaría 111,13 soles a precios de 1994. En términos muy simples significa que el costo de vida aumentó el 11,13% entre 1994 y 1995. Los índices de precios al consumidor expresan la variación del costo de vida y la inflación. Por tanto, deben servir para tomar decisiones respecto al equilibrio de los ingresos o salarios con la variación de precios, a fin de mantener el poder adquisitivo de las familias.
fí3!tlPEFLACTACI0N Dentro de los sistemas económicos actuales, es muy frecuente alterar los niveles de precios. A nivel salarial para compensar esta variación algunas veces se produce un reajuste o incremento en los ingresos de los trabajadores; sin embargo sucede generalmente que en la mayoría de los casos este reajuste 2 02> R o b E R t o
B.
A v í I a A c os ta
no guarda relación con la elevación de precios, presentándose como consecuencia una frecuente disminución del poder adquisitivo de la población asalariada, situación que influye en los estados de pobreza de las familias. Técnicamente, esto significa que los valores nominales están expresados en unidades monetarias de distinta tendencia a su poder adquisitivo, mienstras que los precios crecen geométricamente los salarios lo hacen aritméticamente. Este hecho que se presenta dentro de la actividad económica, también dificulta realizar correctas comparaciones de valores monetarios que corres ponden a distintos períodos. La inflación y el valor del dinero, es un fenómeno del comercio e intercambio internacional y nacional. Para hacer adecuadas comparaciones se recomienda anualar los factores distorcionantes y lograr que los valores estén expresados en unidades homogéneas o comparables. En el campo de la economía el proceso de eliminar, exclusivamente, los efectos de alteraciones en los precios se llama D e fla c ta ció n . Utilizando la terminología económica, diremos que D e fla c ta c ió n es la metodología de transformación de valores expresados en precios corrientes (valor nominal) a valores en precios constantes (valor real). El proceso de deflactación exige disponer de un «índice deftactor», que es el índice que expresa Iqs alteraciones en los precios relacionados con la variable que se pretende deflactar. Aún cuando puede existir un índice deflactar para cada variable o rubro, en la práctica no sucede así, dado que sólo se dispone de un número reducido de índices de precios, que son utilizados sin mayores observaciones en el proceso de deflactación. La deflactación, como procedimiento, implica dividir los montos o valores monetarios nominales entre el índice de precios elegido como «índice defiactor», que para efectos del cálculo se usa el Indice de Precios al Consumidor (IPC). Si en el año t se tiene un valor nominal V N t y un índice de precios lt, ¿cuál será el valor expresado en unidades monetarias de igual poder adquisitivo que los del año base? En otras palabras, ¿cuál es el valor real si el índice de precios no hubiera cambiado? Planteado como una simple regla de tres, se tiene: I VNt
^00
--------------
v VNt x 100 w , „ X = — -------- = ValorReal
X ESTADISTICA
ELEMENTAL <201
,, , _ , Valor Nominal x 100 Valor Real = ------------ --------- :----Indice de precios Ejem plo 5.8 Los sueldos promedio por mes del Profesor Principal a Dedicación Esclusiv; de las Universidades del Sector Estatal, y los índices de precios al consumido en el período 1994-1995 son los que se indican en la columna (2) y (3) de Cuadro N° 5.09. En este ejemplo, determinar los sueldos reales de lo: profesores a soles constantes de 1994. C u a d ro N° 5.09. SUELDO PROMEDIO DE PROFESOR PRINCIPAL A DEDICACION EXCLUSIVA DE LA UNIVERSIDAD ESTATAL PERUANA, INDICES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR Y SUELDOS PROMEDIO REAL. 1/ Sueldo
IPC
Sueldos Reales
Meses
Promedio (I/.)
1994=100%
(S/. de 1994)
(1) 1994
(2)
(3)
(4) = (2)/(3)
974,50
100,00
974,50 1 327,55
enero-1995
1 400,70
105,51
febrero-1995
1 400,70
106,71
1 312,62
marzo-1995
1 400,70
108,17
1 294,91
abril-1995
1 400,70
109,24
1 282,22
mayo-1995
1 400,70
110,15
1 271,63
junio-1995 julio-1995
1 400,70 1 400,70
111,04
1 261,44
111,67
1 254,32
agosto-1995
1 400,70
112,83
1 241,43
septlembre-1995
1 400,70
113,27
1 236,60
octubre-1995
1 400,70
113,85
1 230,30
noviembre-1995
1 400,70
115,26
1 215,25
dlciembre-1995
1 400,70
115,87
1 208,85
enero-1996 febrero-1996
1 400,70
117,31
1 194,02
1 400,70
1 175,97
marzo-1996
1 400,70
119,11 120,75
1/ Incluye FEDU e Incentivo al Investigador. Fuente: Planilla de Pago de las Universidades. INEI. Boletín Mensual, Indices de Precios al Consumidor. N° 03-96-INEI
Elaboración:
Estudios y Ediciones RA.
2 0 0 R o b E R i o B. A v i U A costa
1 160,00
Aplicando la relación:
Valor Real = —^
•t se obtiene los sueldos reales en soles de 1994 que se indican en la columna (4). La operación consiste en dividir el sueldo mensual entre el índice de precios al consumidor del año (IPC), que generalmente se publica en los Boletines Estadísticos. Por ejemplo para Enero de 1995, el sueldo real (SR) fué : SR =
1400,70x100 105,31
En julio de 1995, se tiene que
1327,5 soles
SR = 1254,32.
Se observa que mientras el sueldo nominal no se incrementó de Enero a Diciembre de 1995, el sueldo real a precios de 1994 disminuyó en 9%; por su parte los precios aumentaron en 15,87%. Claramente, entre Enero y Diciembre de 1995 los profesores universitarios bajaron su poder adquisitivo en 119 soles mensuales.
■
PRINCIPALES USOS DEL INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR________
5.8.1
COMO INDICADOR DE LA INFLACION
Las variaciones del IPC permite mostrar el ritmo de la inflación mensual y la inflación acumulada. aj Nivel de Inflación Mensual Se obtiene relacionando el Número Indice del mes de estudio (t) y el correspondiente mes anterior (t-1), mediante la siguiente fórmula:
Var. % mensual =
IPC, -1 x100 IPC t-1
ESTADISTICA
ELEMENTAL < 2 0 5
donde. IPC, =
Indice de Precios al Consumidor del mes de estudio (t), respecto a una base. IPCM = Indice de Precios al Consumidor del mes anterior (t-1) al mes de estudio.
Ejem plo 5.9 ¿Cuál es el nivel de la inflación del mes de mayo de 1995? Datos, para 1994=100 : IPCt = IPC (Mayo 1995) = 110.15 IPCM = IPC (Abril 1995) = 109.24
Var.% mensual =
110.15 109.24
x100 = 0.008 x 100 = 0.8%
Entonces, el nivel de inflación del mes de mayo de 1995 es de 0,8%. La inflación al mes de febrero de 1996 es 1,5%. b) Nivel de Inflación Acumulada. (A partir de los números índices). Se obtiene relacionando los Números Indices correspondientes a un mes de estudio (t) y un mes de referencia (m) mediante la siguiente fórmula: Var. % Acumulada =
donde: IPCt IPCm .,
IPCt ^C(m —|)
x100
= Indice de Precios al Consumidor del mes de estudio (t). = Indice de Precios al Consumidor del mes inmediato anterior (m-1) al mes de referencia (m).
Ejem plo [5.10 ¿A cuánto asciende la inflación Acumulada entre enero y mayo de 1995? Datos. IPCt = IPC (Mayo 1995) = 110.15 IPCm1 = IPC (Diciembre 1994) = 105.12
206>RobERTO
B.
A v 'i I a A c o s i a
Var. % Acumulada =
110.15 - 1 x100 = 4.8 105.12
Por tanto, la inflación Acumulada entre enero y mayo de 1995, asciende a 4.8%. Asi mismo, la inflación acumulada entre Enero y Diciembre de 1995 fue de 10 ,2 % .
5.8.2
COMO DEFLECTADOR DE SERIES CRONOLOGICAS
Las alteraciones en los sistemas y niveles de precios que se presentan dentro de la actividad económica, originan dificultades en la comparación de valores monetarios que corresponden a períodos diferentes. Para llegar a conclusiones válidas acerca del comportamiento de una variable, especial mente de los ingresos, es necesario expresar los montos nominales o corrientes en unidades homogéneas, esta transformación recibe el nombre de DEFLACTACSON, donde se pretende eliminar el efecto de la alteración en los precios. Aquí se usa como deflactor al Indice de Precios al Consumidor, y el procedimiento de la conversión de valores nominales a valores reales, se realiza tal como se ilustró en el párrafo 5.8. Como se aprecia en el Cuadro N° 5.09 el sueldo nominal promedio permanece invariable, mientras que el sueldo real disminuye permanentemente a lo largo del tiempo.
5.8.3
COMO BASE PARA LA INDEXACION DE VALORES MONETARIOS
El IPC, también se utiliza como factor de actualización de los valores nominales, mediante la aplicación de la siguiente fórmula: Valor Nominal Actual = Valor Nominal Anterior x IPCt = IPCm =
IPCt IPCm
Indice de Precios Promedio al Consumidor del período de estudio (t). Indice de Precios Promedio a! Consumidor del período de referenciao base.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <207
Ejem plo 5.11 ¿Cuál es la remuneración nominal a diciembre de 1995 un profesor que en Enero de 1995 percibía un sueldo de 1400,70 soles mensuales? Datos: Sueldo Nominal a Enero 1995 IPCm = IPC Enero 1995 IPCt = IPC Diciembre 1995
= S/. 1400,70 = 105,51 con 1994 = 100 = 115,87
Sueldo Nominal a Diciembre 1995
1400,70
115,87i = 1538,23 105,51
J
Entonces el sueldo nominal indexado al mes de diciembre de 1995 debería ser de S I . 1538,23 es decir que para mantener el poder adquisitivo de Enero de 1995 tendría que percibir un sueldo nominal de S I . 1538,23. C U A D R O N ° 5 .1 0 .
INDICE DE QUANTUM DE LAS EXPORTACIONES DE BIENES DE LOS PAISES DEL GRUPO ANDINO. 1980-1993. (Año Base 1980 = 100) 1980
PAISES
1985
1990
1991
1992
1993
Bolivia
100,0
83,9
115,1
118,4
115,5
144,4
Colombia
100,0
106,4
185,6
205,0
221,3
236,8
Ecuador
100,0
145,9
183,2
206,3
220,6
221,5
Perú
100,0
103,5
79,2
78,4
83,2
89,9
Venezuela
100,0
80,8
117.1
124,1
125,3
135,8
Fuente: CEPAL. Anuario Estadístico de América Latina y el Canbe. Edición 1S94
C U A D R O N ° 5 .1 1 . INDICES DE VALOR UNITARIO DE LAS EXPORTACIO NES DE BIENES FOB EN LOS PAISES DEL GRUPO ANDINO. 1980-1993. (Año Base 1990= 100)
PAISES
1980
1985
1990
1991
1992
1993
Bolivia
100,0
78,9
76.6
68,2
55,9
52,2
Colombia
100,0
86,1
95.7
91.9
82,3
78,7
Ecuador
100,0
79,0
58.8
54.9
54,1
52.0
Perú
100,0
73,5
104,2
108,4
107,0
98,4
Venezuela
100,0
92.8
78.2
63,3
58,6
55.0
Fuente: CEPAL. Anuano Estadístico de América Latina y el Canbe Edición 1994
208^RobEuïo B.
A v í Ia A c o s ía
Capítulo
D IS T R IB U C IO N E S Bl D IM E N S IO N A LE S DE FREC UENC IA
GENERALIDADES La Estadística Unidimensional estudia los elementos de un conjunto consi derando sólo una variable o característica. Al respecto, ya se sabe presentar datos en tablas unidimensionales de frecuencia y describirlos mediante un conjunto de medidas de resumen o estadígrafos (media, mediana, varianza, etc.). Si ahora incorporamos otra variable y se observa simultáneamente éstas dos variables o característic as en cada elemento, entonces estamos en el campo de las «estadístic as bidimensio nales» cuya agrupación o tabulación da origen a las «distribucio nes bidimensio nales» de frecuencia. No se trata de elegir dos variables cualesquiera, es una observación simultánea de variables que tengan entre sí alguna relación, afinidad o dependencia. Estadísticamente, en el caso bidimensional se puede considerar dos aspectos: a) Las distribucion es bidimensionales de frecuencia, que se refiere a la presentación en tablas bidimensionales de frecuencia, y la reducción de datos bidimensionales, a través del cálculo de estadígrafos o medidas de resumen. b) Determinar o construir modelos para expresar y medir la relación o asociación entre dos variables. En este capítulo, interesará estudiar las distribuciones bidimensionales para datos cuantitativos, y en el siguiente se estudiarán los modelos de regresión y correlación. ESTADISTICA
ELEMENTAL <209
En el caso unidimensional representamos las observaciones porX.,, X2, X3, ... Xn. Ahora, cuando se considera para un mismo elemento dos variables, denotaremos con X la primera variable y con Y la segunda variable. En los datos originales o no agrupados, representaremos por X| e Y¡ a las i-ésimas observaciones de la primera variable (X) y la segunda variable (Y). En este sentido, se escribirá por ejemplo X3 para representar la tercera observación de la primera, así como Y5 es la quinta observación de la segunda variable. Por su parte, la expresión (X2,Y2) representa la segunda observación de ambas variables X e Y. Supongamos que la primera variable (X) es la estatura y la segunda variable (Y) el peso; averiguando la estatura y el peso de n personas, X3 será la estatura de la tercera persona observada, Y5 es el peso de la quinta persona observada. (X8,Y8) corresponde respectivamente a la estatura y peso de la octava persona observada. Para una serie de n observaciones de las dos variables, la notación es :
xv
x 2,
x 3,
... x n
Y„
Y2,
Y3,
... Yn
Al referirse el número de observaciones, se entiende como parejas de observaciones. En general, las dos observaciones qenéricas, se representarán por (X ¡, Y¡ ).
^ T A B I A S B1DIMENSIONALES DE FRECUENCIA En el caso bidimensional, considerando la naturaleza de las variables, puede suceder que: 1) Tener dos variables cualitativas. Ejemplo : - Clase social y simpatía política. - Cargo que ocupa y profesión. 2) Una variable cualitativa y otra cuantitativa. Ejemplo: - Ingreso y profesión. - Número de hijos y nivel de educación.
210>R obE nro
B . A v í I a A costa
3) Dos variables cuantitativas. 3.1) Ambas variables discretas: Número de personas y número de habitaciones por vivienda. 3.2) Una discreta y la otra continua: Precio y número de artículos vendidos 3.3) Ambas variables continuas: Tiempo de servicio a ingresos, Peso y Estatura; etc. Cuando se agrupan las observaciones bidimensionales en tabla de frecuencia, se obtiene las llamadas Tablas Bidimensionales de Frecuencia, que se construye de igual manera que las tablas unidimensionales. Primero se determina las categorías de cada variable X e Y, en segundo lugar se de termina las Frecuencias Bidimensionales (n¡ p que indican la repartición simultánea de un valor X y de un valor Y. En las tablas bidimensionales de frecuencia, también se calculan las Frecuencias Relativas Bidimensionales (h¡ =) y las frecuencias bidimensio nales acumuladas. El procedimiento está ilustrado para el caso de variables discretas y continuas, que sigue a continuación.
6.3 VARIABLES BIDIMENSIONALES DISCRETAS En general, la distribución de frecuencias de estadísticas bidimensionales se presenta en «tablas de doble entrada» o de dos dimensiones. Denotaremos como: X¡ (i = 1, 2, 3, ... p) los distintos valores de X. Yj (j = 1, 2, 3, ... q) los distintos valores de Y. Con p £ n ; q < n. Las tablas bidimensionales de frecuencia se construye colocando en el margen izquierdo los distintos valores de X, y en el margen superior los distintos valores de Y, como se ilustra en la siguiente tabla:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <211
C u a d ro N° 6.01 TABLA DE DISTRIBUCION BIDIMENSIONAL DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
.. ..
Yq
Yi
y2
y3
X, X2 x3
nu
ni2
ni3
niq
fl21
ri22
n2q
n3i
n32
n23 n33
xP
npi
nP2
n,
n.i
n.2
Yj
nl
■
x¡
D:3q
ni. n2. n3.
np3
n pq
np.
n3
n-q
n
es una tabla bidimensional que tiene «p-filas» y «q-columnas», o de orden pxq.
6.3.1
FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Los valores n¡j (¡ = 1,p ; j = 1,q) que aparecen dentro de la tabla son las FRECUENCIAS ABSOLUTAS O REPETICIONES BIDIMENSIONALES que representan el número de veces, que de las n observaciones (X, Y) aparece repetido el valor X¡ de la primera variable junto al valor de Yj de la segunda variable. Las frecuencias bidimensionales n¡j tienen una notación y significado análogo a las frecuencias unidimensionales n¡ En el caso bidimensional: 0
< n¡j
< n
donde los subíndices, «i» corresponde al valor de la primera variable (X), «j» corresponde al valor de la segunda variable (Y). Por ejemplo, n32 son las repeticiones de elementos que tienen simultáneamente el tercer valor de X y el segundo de Y; este valor n32 está ubicado en la tercera fila y segunda co lumna de la tabla bidimensional. La frecuencia bidimensional n15 corresponde simultáneamente a la primera fila y quinta columna.
212>RobERro
B.
A v í I a A costa
6.3.2
FRECUENCIAS MARGINALES
Sumando las frecuencias absolutas que figuran en cada fila (línea horizontal) se obtiene una cifra que indica cuántas veces se repite cada valor de X¡, la que se indica al margen derecho de la tabla, representada por n«. , n2. , n3. , ... , np , como se refiere a la primera variable X sólo se anota el primer subíndice. Estas son las FRECUENCIAS MARGINALES de X¡, definida como: n¡ = Sn,j J=1
que significa : n¡.=
— n-j^ + n-j 2 "^^13 ■ + n iq j=i q n 2 -- Z n2j - n 2i + n 22 + n 23 +... + n2q Í=1 etc. Por otro lado se tiene : p
n= S
i=1
n = n.,. + n2. + n3. +
q p X>,, = Z n , ¡=1 1=1
+ n.
por n.1t n,2, n 3 , ... , n.q. En general, se tiene: P
n j ~ Z nij ¡=1
p n-1 = Z n i1 = n 11 + n 21 + n 31 + •••+ n p1 ¡=1 P
n-2 = Z n i2 = n 12 + n 22 + n 32 + •••+ n p2
etc.
¡=1
Igualmente. q n= X
¡=1
(p
)
q
Z n ¡j = Z n j
v¡=i
y
¡=i
ESTADISTICA
ELEMENTAL <2 13
Las frecuencias marginales o del margen son «frecuencias unidimen sionales», puesto que se refiere a una sola variable. De este modo resulta: X, Xi X2 X3
n¡. m. n2* n3-
n í V, n i y 2 n-2 y 3 n-3
Xp
np. n
Yr n q n
distribución marginal de la primera variable n¡.=frecuencia marginal de x.
distribución marginal de la segunda variable n.j= frecuencia marginal de Yj
Para aclarar conceptos, veamos un ejemplo. Ejemplo [6.1 En una muestra de 50 viviendas familiares de la ciudad del Cusco, se considera como primera variable (X) el número de personas por viviendas, y como segunda variable (Y) el número de habitaciones por vivienda. Los valores observados fueron: X:
6 4 6 5 5 6 5 6 8 7 7 6 9 5 5 5 9 7 2 2 3 4 3 3 3 3 4 4 3 4 5 2 3 3 6 3
Ti
X:
8 4 4 6 5 5 4 9 6 5 8 5 5 9 4 7 7 5 5 2 4 3 3 3 4 5 2 2 6 2 3 6 4 6 4 2
X: Y:
5 4 7 9 6 7 4 7 4 6 6 9 6 5 4 2 5 3 2 4 3 5 3 5 3 4 4 3
Ti
Los distintos valores son de : X : Y :
4, 5, 6, 7, 8, 9 2, 3, 4, 5, 6
p=6 q=5
Tabulando los valores (X,Y) observados, se obtiene la siguiente tabla de frecuencias bidimensionales, de 6 filas y 5 columnas: .214> RobERTO
B. A v í I a A c o s t a
Cuadro N° 6.02
—
Y ,=2
Y2=3—
Y3=4
>< II
TABLA DE FRECUENCIA BIDIMENSIONAL DE 50 VIVIENDAS POR NUMERO DE HABITACIONES (Y), SEGUN NUMERO DE PERSONAS POR VIVIENDA (X)
ñu =3
nu =2
ni3=3
X2=5 X3=6 X4=7
ri2i =4
ri22 = 8
n23-2
ri3i =3
n32=5
ri33 -2
ri42 =2
ri43
—
Y:
Y<=5-
y 5^
~
n,.
X II CO
X,
ri44
-2
Ü45
“1
ri3.=11 n4.=8
ri55=1 ri65 =2
ri5.=3
-2
n.4=6
n.5=4
n=50
n«=1
ns2=i
ri63 =1
ri64
n.2=18
n.3=12
en
n., =10
ri34 =1
=3
ns3=1
Xe=9 n¡
m.=8 n2.=14
ri6.=6
Tomando algunos resultados, de las frecuencias absolutas bidimensionales (n¡ j) se deduce que : n11 = 3, significa que hay 3 viviendas cada una con 4 personas y 2 habitaciones. n62 = 1, significa que hay 1 sola vivienda con 9 personas y 4 habitaciones. Al sumar las filas (líneas horizontales) se obtiene las FRECUENCIAS MARGINALES DE X¡ que se denota por n¡. Análogamente, sumando las columnas (líneas verticales) se obtiene las FRECUENCIAS MARGINALES de Yj, las que se denotan por n.j Por su parte, las distribuciones marginales de X e Y son: x. 4 5 6 7 8 9
n,' 8” 14 11 8 3 6 50
Yj 2 3 4 5 6
n.j 10 18 13 6 4 50
ESTADISTICA
ELEMENTAL<215.
Las frecu e n cia s indican que hay 8 viviendas con 4 personas cada una, pero no se sabe cuántas habitaciones tienen. Además, la mayoría (n2.=14) de las viviendas están habitadas por 5 personas cada una.
6.3.3
A q u í las frecu e n cia s e xpresa n que existen 10 viviendas que tienen cada una 2 habitaciones, no se dice nada del número de personas por vivienda. Así mismo, se deduce que la mayoría de las viviendas tienen 3 habitaciones cada una (n.2 = 10).
FRECUENCIAS RELATIVAS
En la distribución unidimensional, se expresan las frecuencias relativas por hj. En el caso bidimensionai también se consideran ¡as FRECUENCIAS RELATIVAS BIDIMENSIONALES que denotaremos por h¡= y se define como: h h¡i = —n¡¡ en el ejemplo resultará que: h12 = ^1 ¿ = — = 0.04 ; h52 = ^ iL = — = 0;etc. 12 n 50 52 n 50 Las frecuencias hy cumple las siguientes propiedades: 0 < hy < 1 También se tiene las FRECUENCIAS RELATIVAS MARGINALES
h¡.= Z h¡¡ i=l
h.¡ = X h¡ ¡=1 p
q
p
I h ¡.= I h . ¡ = I ¡=1 ¡=1 i=l
q
Z H ;|=1 i=l
Considerando el ejemplo de las 50 viviendas, las frecuencias relativas h¡j serían las indicadas en el Cuadro N° 6.3 : donde h., i = 0,06 ; 032 = 0,10 ; h42 = 0,04 las n¡j también se pueden expresar en términos porcentuales, como: h11 = 6% En el 6% de las viviendas viven cuatro personas en dos habitaciones. h42 = 4% En el 4% de las viviendas viven 7 personas cada una con tres habitaciones. En la tabla de frecuencias relativas (hy) bidimensionales, las frecuencias RELATIVAS MARGINALES (hj.) para X,y (hy) para Y y indicados en la tabla. Además : 216>R o b E R ro
B.
A v í I a A costa
Cuadro N° 6.03
CM II
,>
x t
Y2=3
Y3=4
Y4=5
Y5=6
h ¡.
Xi =4
0,06
0,04
0,06
Xa =5
0,08
0,16
0,04
X3=6
0,06
0,10
0,04
0,02
0,04
0,06
0,04
0,02
h4.=,16
0,02
0,02
h5.=,06
0,02
0,02 0,02
0,04
0,04
ho .=,12
h.2 =,36
h.3 =,24
h.4 =,12
h.5 =,08
1,00
X4=7 X5 =8 Xo=9 h .1 =,20
h.
h1.=,16 h2.=,28 h3.=,22
¿ h i . - S h . j - 100 i=1
6 .3 .4
j =1
FRECUENCIA ABSOLUTAS ACUMULADAS
En este caso, mediante una escudra y siguiendo la diagonal, se suman las N¡| de todos los cuadrados que se encuentran dentro de la escuadra, obte niéndose respectivamente los N¡ j, y como debe suceder las últimas N¡ j de la fila o columna, debe ser igual a la respectiva frecuencia marginal acumulada (N,. ó N j). Cuadro N° 6.04
11
><
Yn-2
Y2=3
Y3=4
3
5
8
•< U II en
Yj x,
Y5=6
n¡.
8
8
N,.= 8
7
17
22
22
22
N2.=22
X3=6
10
25
32
33
33
N3.=33
X4 =7
10
27
37
40
41
N4.=41
1n X
27
38
42
44
N5.=44
28
40
46
50
N6.=50
N.2 =28
N.3 =40
N.4=46
N.5=50
N = 50
10
x 6 =9
10
N,
N.! =10
II
co
X2=5
.
Para el ejemplo, se obtine la siguiente tabla, que el lector puede deducir el prodedimiento. ESTADISTICA
ELEMENTAL <217
6.4 VARIABLES BIDIMENSIONALES CONTINUAS Consideremos ahora dos variables continuas, donde la primera variable puede ser edad (X) en años y la segunda, los ingresos mensuales (Y) en dólares. Para presentar ordenadamente los «n» datos bidimensionales (X¡, Y¡) en una tabla de frecuencias bidimensionales, al igual que en el caso unidimen sional, se tiene que realizar las dos operaciones de clasificación y tabulación. Recordando, la clasificación consiste en establecer las categorías o intervalos correspondientes a cada variable. En cada variable se calcula el recorrido (R) y se define el número de intervalos (m) y luego se calcula la amplitud (c). Definidos los intervalos, el punto medio constituye la respectiva MARCA DE CLASE, tales como X| para la variable X e yj para Y. Por su parte, la tabulación consiste en determinar las frecuencias bidimen sionales (n¡:) que es el número de casos que se encuentran simultáneamente comprendido en un intervalo de la variable X y de Y. Los diversos elementos de la tabla bidimensional de variables continuas son los mismos de toda tabla Nr , N.,). (nij- h ¡r ni n.¡, h,, Ejem plo 6.2 La matriz del Cuadro N° 6.5. considera 4 variables: tres continuas y una discreta (N° de hijos). Para elegir dos variables existen 6 posibilidades: Edad y N° de hijos; edad e ingresos; edad y tiempo de servicios; N° de hijos e ingresos; N° de hijos y tiempo de servicios; ingresos y tiempo de servicios. Aquí; se eligen dos variables continuas: Primera variable = Tiempo de Servicios Segunda variable = Ingresos Mensuales
(en años) =X (en dólares) = Y
Para la primera variable (X) se considera 6 intervalos: (0 - 4) ; (5 - 9) ; (10 - 14) ; (15 - 19) ; (20 - 24); (25 - 29) años de servicios. En la segunda variable (Y) se considera 4 intervalos, que cubre desde el sueldo más bajo (258 dólares) al más alto (442 dólares) (251-300) ; (301-350); (351-400) ; (401-450). Definidos los intervalos se procede a la tabulación, como son pocos los casos puede ser una tabulación manual, obteniéndose la tabla bidimensional. (Cuadro N° 6.6). 2 1 8 > R o b E R io B. A v í Ia A c o s ia
Cuadro N° 6.5 EDAD, NUMERO DE HIJOS Y TIEMPO DE SERVICIOS DE UNA MUESTRA DE 40 TRABAJADORES EDAD
N° DE
INGRE
TIEMPO
HUOS
SOS
SERVICIOS
EDAD
N° DE
INGRE
TIEMPO
HUOS
SOS
SERVICIOS
1.
33
1
357
8
21.
46
6
316
21
2.
32
3
333
8
22.
35
1
326
14
3.
46
7
369
20
23.
31
3
292
10
4
42
6
333
15
24.
33
2
317
11
5.
32
5
364
10
25.
40
3
301
17
6.
48
4
442
28
26.
37
2
293
13
7.
33
4
362
8
27.
51
7
344
29
8.
43
6
404
26
28.
37
3
318
18
9.
37
0
307
14
29.
34
6
296
12
10.
42
6
340
17
30.
37
5
277
11
11.
36
2
358
13
31.
32
4
286
2
12.
37
2
278
10
32.
42
4
304
17
13.
39
7
336
19
33.
27
1
302
5
42
7
307
16
38
4
300
9 24
14.
36
3
328
11
34.
15.
28
0
283
4
35.
48
6
325
34
3
277
11
286
24
16.
27
0
287
1
36.
17.
20
1
301
7
37,
59
4
28
2
312
8
42
1
373
17
18.
44
6
325
18
38.
19.
47
0
432
26
39.
1
40.
20.
34
2
258
Fuente : Encuesta Socio Económica de Trabajadores Municipales. Febrero 1993. Elaboración : Estudios y Ediciones R.A.
Además de las frecuencias absolutas (n¡j = fy), las frecuencias marginales (n¡., n.j), también se incluye las marcas de clase o punto medio de cada intervalo. x ¡: 2.5 ; 7.5 ; 12.5 ; 17.5 ; 22.5 ; 27.5 (años) y; : 275 ; 325; 375 ; 425 (dólares) El lector, por su cuenta, puede calcular las frecuencias relativas (h¡ p dividiendo las respectivas frecuencias absolutas (n¡ p entre n=40.También puede determi nar las frecuencias bidimensionales acumuladas N¡j
ESTADISTICA
ELEMENTAL <219,
C u a d ro N ° 6 .6
TABLA DE FRECUENCIA BIDIMENSIONAL DE 40 TRABAJADORES SEGUN TIEMPO DE SERVICIO (X) E INGRESOS MENSUALES (Y)
T¡
X
n,.
X,.
0- 4
nu=4
n t.= 4
X1.= 2.5
5- 9
n 2 i =1
X2.= 7.5
1 0 -1 4
n 3 i= 6
rt22 =4
ri23 =2
02.= 7
n32 =4
033 =2
03=12
X3.=12.5
ru3=1
n4.= 9
X4.=17.5
053=1
05.= 4
X5.=22.5
062=1
r>64 =3
06 = 4
X6.=27.5
o=40
ru2 =8
1 5 -1 9 2 0 -2 4
ns2 = 2
n5i =1
2 5 -2 9
401450
351-400
301-350
251-300
n.j
n.i =12
0.2=19
0.3=6
n.4=3
y¡
y i =275
y2 =325
Y-3=375
y4 =425
Fuente : Encuesta Socio Económica de Trabajadores Municipales. Febrero 1993. Elaboración : Estudios y Ediciones R.A.
f?frj VARIABLE DISCRETA V VARIABLE CONTINUA_______ Com o ejem plo, considerem os com o prim era variable (X) los ingresos m ensuales (variable continua) y com o segunda variable (Y) el núm ero de hijos (variable discreta) de los 40 trabajadores del Cuadro N° 6 5. Igual que en los casos anteriores, las variables bidim ensionales (X¡, Y,) conservan la m ism a nom enclatura y las tablas de frecuencia bidim ensionales tienen la m ism a form a y cum ple con todas las propiedades. La tabla de frecuencia bidimensionai resultante de la tabulación simultánea de las variables X e Y es: C u a d r o N ° 6 .7
TABLA DE FRECUENCIA BIDIMENSIONAL DE 40 TRABAJADORES SEGUN INGRESOS (X) Y NUEMRO DE HIJOS (Y) ----------------- Y X
0 251 - 300 301 - 350 351 - 400 401 - 450 n.j
220> R o b E iu o
2 1 0 1
4 B.
1 0 3 2 0 5
2 3 ' 2 1 0 6
A v IIa A c o s ia
n i*
X-
4
5
6
7
2
3
1
1
0
12
275
4
1
0
5
3
19
325
0
1
1
0
1
6
375
0
1
0
1
0
3
425
6
6
2
7
4
40
3
6.6 VALORES MEDIOS 6. 6.1
MEDIAS ARITMET ICAS
En el cálculo de las medias para el caso bidimensio nal, se pueden distinguir dos casos:
a) C uando las variables (X,Y) son de distinta naturaleza y están expresada s en distintas unidades. Por ejemplo: X = edad, Y = ingresos ; X = estatura ( c m .) , Y = peso (kg ). En este caso se calculan independi entem ente la media de cada variable X e Y. M(Y) = Y = — y ^n j n
M (X) = X = ^ i ^ n
que son "m edias m arginales" o unidimens ionales. b) C uando las dos variables son dependien tes, de la m ism a naturaleza y expresado s en las m ism as unidades, de manera que permite definir una función: U = f (X,Y) Por ejemplo, en una pareja de esposos: X = ingresos del marido; Y = ingreso de la m u je r; U = función de am bos ingresos luego el ingreso total (m arido y mujer) será: U = X + Y. Entonces: M (U) = M f(X ,Y ) = ^ f ( X i ' Y|) n o tam bién M(U) = M(X + Y) = M(X) + M(Y)
Com o los valores observado s están agrupado s en tablas de frecuencia bidim ensionale s, entonces la media del conjunto es: u = f(x,y)
ó
Uy = fíXj.yp
luego :
ESTADISTICA
ELEMENTAL <221
i M (u ) = M f(x ,y ) = j ^ 2 n
M f(x,y) =
ó
£ f ( X | , y j )n y --------------n
II
^ X j+ y p
M(X) + M(Y) n
6. 6.2 MEDIAS CONDICIONALES En la tabla de frecuencia bidimensional se puede analizar el comportamiento de una variable condicionada a un valor particular de la otra variable. En general cada fila o colum na co n stitu ye una distribución unidim ensional. Entonces, es posible condicionar la m edia aritm ética de una variable respecto a un valor particular de la otra variable, y de este modo definir las M EDIAS CONDICIO NALES:
M (X / y k ) = ----- M edia condicional de X respecto a u n valor de Y. nk M(Y / xk ) = —
Medi a condicional de Y respecto a un valor de X. nk
por ejem plo :
M ( X / y 2) = ^ ni2 *' n -2
ó ó
M(Y/x5) = -^ n5jyj n 5.
¡Nota H E xisten tan ta s m edias co n d ic io n a le s de X com o ca te g o ría s o intervalos tenga Y. Asi mismo tantos m edias condicionales de Y como catego rías tenga X. Del Cuadro N° 6.06 se deduce que hay 4 m edias condicionales de X y 6 m edias condicionales de Y.
Ejem plo 6.3 Calculando los m edias condicionales de X respecto de Y se tiene: M(x/y.,) = 9,6 años de tiem po de servicio. Este valor significa que los 2 2 2 > R o b E R io
B.
A v í I a A c os ta
trabajadores con ingresos entre 250-300 dólares, tienen en promedio 9,6 años de servicio. M(x/y2) = 15.4 años de servicios los que tienen ingresos de 301 a 350. M(x/y3) = 13,3 años de servicios los que tienen ingresos de 351 a 400. M(x/y4) = 27.5 años de servicios los que tienen ingresos de 401 a 450. Del mismo modo, las 6 medias condicionales de Y respecto de X son; M (y/xO = 275 dólares los que tienen de 0 a 4 años de servicios. M(y/x2) = 332 dólares los que tienen de 5 a 9 años de servicios. M(y/x3) = 308 dólares los que tienen de 10a 14 años de servicios. M(y/x4) = 330 dólares los que tienen de 15a 19 años de servicios. M(y/x5) = 325 dólares los que tienen de 20a 24 años de servicios. M(y/x6) = 400 dólares los que tienen de 25a 29 años de servicios.
py ¡ VARIANZA Y COVARIANZA «La varianza de la suma de dos variables es igual a la suma de las varianzas de la variable más el doble de su covarianza». V (X + Y) = V(X) = V(Y) = 2 C ov (X,Y) D e m o s tra c ió n :
V (X+Y) = M { [ (X+Y)- M(X+Y) ]2 } = { [ X - M(X) + Y - M(Y) ]2 } = {[(X- X) + ( Y- V) ]2} = { (X - X )2 + M(Y - Y )2 + 2(X - X ) (Y-Y ) } = M(X -X )2+ M(Y-Y )2 + 2M (X -X ) ( Y -Y ) donde : M(X - X ) (Y - Y ) define la C O V A R IA N Z A de (X,Y) luego V(X + Y) = V(X) = V(Y) +2 Cov (X,Y)
C á lc u lo de la C o v a ria n z a :
Cov (X,Y)
= M ( X - X ) (Y - Y ) = M(XY - X Y - X Y + X Y ) ESTADISTICA
ELEMENTAL <223
= M(XY) - Y M(X) - M(Y) + X Y = M(XY) - Ÿ X - X Ÿ + X Ÿ Cov (X,Y)
= M(XY) - X Ÿ = M(XY) - M( X) . M(Y)
es decir: C o v (X,Y) = £
^
n
Para datos agrupados, a partir de la tabla de frecuencias bidimensional: Cov(X,Y)
5>,j x¡ Yj n
f Z n¡ x l'j p - i V j i V
n
Jl
n
J
R o t a í ] Existen métodos abreviados para calcular la Cov(X,Y), pero ahora ya no son necesarios por que los cálculos se hacen con la computadora. ^ o t t T f il De igual manera que los medios condicionales, también pueden calcularse Varianzas Condicionales : V(X/Yk) ó V(Y/Xk). Ejem plo 6.4 Los siguientes datos corresponden a las edades de los padres de los niños matriculados en el primer grado de Educación Básica en una EscuelaEstatal. Aquí hay 100 parejas: Edad padre : 24 32 23 33 17 31 25 37 22 26 Edad madre : 30 30 27 37 28 26 17 36 17 26 Frecuencia . 1 4 2 1 2 7 4 2 9 8 Edad padre : 33 Edad madre :31 Frecuencia .10
27 36 26 17 38 23 35 39 24 29 22 27 16 21 18 17 23 27 212 2 112 6 210 3
X = edad de la madre;
Y = edad del padre
las variables son continuas y se conoce las frecuencias bidimensionales (n^ = f = f ) que suman 100 parejas de valores o padres que en total hacen 200 personas. 22Í> RobERTO B. A v í Ia A c o s i a
1) La clasificación:
En primer lugar determinar los intervalos de clase para cada variable. Cuando se trata de edades es frecuente utilizar intervalos quinquenales de edad, como los siguientes: 15- 19 , 9; 20 - 2 4 , 9 ; 25 - 2 9 , 9 ; 30 - 3 4 , 9 ; 35 - 39,9; etc. en la práctica se expresan como: (15-19); ( 20- 2 4 ) ; ( 25 - 2 9 ) ; ( 30- 3 4 ) ; (35-39) debido que la edad siempre se registra en «años cumplidos» o en años exactos, sin considerar meses. Así mismo, la marca de clase en cada variable es.
V*. 15-19
X! = 1 7 , 5
x2
=2 2 , 5 x 3 =2 7 , 5
15-19
Vi = 17,5
20-24
y2
25-29
y 3 = 27,5
30 - 34
x 4 = 32,5
30-34
y4
35-39
x 5 = 37,5
35-39
y 5 = 37.5
20-24 25-29
2)
Y r Y s
x¡
=2 2 , 5
=3 2 , 5
La ta b u la c ió n :
Los datos bidimensionales da origen a la siguiente tabla: Yj
15- 19
20 - 2 4
25- 2 9
riu = 1
ni2= 15
ni3= 4
30 - 3 4
35- 39
n¡ •
015= 2
0i. = 22
025 = 34
n2.= 34
2k 15 - 1 9 20-24 25-29
031 - 2
30-34
ri32 = 5
033
= 12
ri42= 1
35-39 n.¡
n34= 7
0 3 .=
n44= 14
04 = 15
054= n .i = 3
n .2 = 21
n .3 =
16
26
1
055= 2
ns.=
n.4 = 22
n.i = 38
o = 100
ESTADISTICA
3
ELEMENTAL <225
3)
Las m e d ia s a ritm é tic a s : Del cuadr o N° 6.8, las m edias aritm éticas son: M(X) = X = 1 *3 0 1 = ^ 4 6 5 100 n M(Y) = Y = ^ ^ i
n
24 6 5 100
24.65 años
= 31 0 5
años
Edad prom edio de las madre s.
Edad prome dio de los padres .
. Adem ás se tiene En el prom edio las m adres son m enore s que los padres que: e d io c o n ju n to de la M(X + Y) - M(X) + M (Y) = 57.70 años E dad p ro m pareja . La edad prom edio del conjun to de las 200 person as:
1
M [f(x,y) ] = -
II
+ Y jA
= T5o [17 5(1)+ 22-5( 2)+20 (15) + 25(5) + 27.5(1 ) + 22.5(2 ) + 20(15 ) + 25(5) + 32.5(1 4) + 35(1) + 27.5(1 2) + 30(7) + 37.5(2 )] años
(2 7 8 5 )= 27.8
M [f(x,y) ] = —
100v
7
Tamb ién: M [ f ( v y ) ] - j i ± I - 2 4 6 5 + 31 0 5
4)
Las m e d ia s c o n d ic io n a le s : Las m edias condic ionale s de X respe cto de Y M ( X /y j ) = ^
1
ñ
nj
= x / yj J
Mí y / . . , ) - ¿ g i t ’1 - K ^ . 5 ) t 2(27.5) n.-i 2 2 6 > R o b E R io
B. A v í I a A costa
3
27.85
M (X / y 2 ) = S e * . = J f f i Z j L t g g l j ) l l ( . 3 2 , 5 ) , 20 6 n.2 21 I . ( X / „ ) S M
4 (17 .5 )^.1 2 (2 7 .5 ) = 2 5 0 16
.
n.3 M ( X / y 4 ) = 31.1
M (X / y 5 ) = 23.0
C u a d ro N° 6.08 TABLA DE FRECUENCIA DE LAS EDADES DE LOS PADRES DE NIÑOS DEL PRIMER GRADO DE EDUCACIÓN BÁSICA. 1992. Y
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
X
X
ni ■
n¡
X
X 1 5 -1 9
1
15
4
0
2
22
18
385,0
6;
2 0 -2 4
0
0
0
0
34
34
23
765,0
17;
2 5 -2 9
2
5
12
7
0
26
28
715,0
19f
) ) )
3 0 -3 4
0
1
0
14
0
15
33
487,5
151
5
3 5 -3 9
0
0
0
1
2
3
38
112,5
4;
5
n.j
3
21
16
22
38
100
2465,0
63Í
)
y¡
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
yin.)
52,5
472,5
400,0
715,0
1425,0
yi2 n.j
918,8 10631,3 12100,0 23237,5 53437,5
-'Y'' 3105 = y
100325 =
X x¡n¡ yj
Z:
Tl
y yjm.j
Por su parte, las m edias condicionales de Y respecto a X: Y n i¡y¡ _ M (Y / x ¡) = — - i i l = Y / x¡ n ¡
M (y / x ) - Z n i j y i
1
1(17.5) + 15(22-.5) + 4(27.5) + 2(37.5)
nv
22
M ( Y ,x2 ) , 5 M 1 = 3 Í < E S „ 3 7 . 5 n2. 34 el lector debe interpretar y com probar que: M (Y / x 3) = 27.1
;
M (Y / x4) = 31.8 ;
M (Y/ x 5) = 35.8 ESTADISTICA
ELEMENTAL <227
5) Las varianzas: Z x p n ¡.
V (X ) = s?
y 2
n
6 3675
100
- ( 2 4 . 6 5 )2 = 6 3 6 .7 5 -7 0 6 .6 2
s21 = 29,13 años a! cuadrado.
-2
V (Y ) = s^2 =_ I v h _ Y ‘ 100325
- ( 3 1 . 0 5 )2 = 1 0 0 3 .2 5 -9 6 4 .
100 s21 = 3 9 .1 5 a ñ o s2.
6) Las d e s v ia c io n e s está n d a r: s1 = ^ 2 9 .1 3 = 5 .3 9 7
7)
;
Las V a ria n z a s C o n d ic io n a le s De X respecto a valores de Y V (x/y.,) = 5.77 V (x /y ¿) = 5.12 V (x/y3) = 4.47 V (x/y4) = 2.75 V (x/y5) = 3.59 De y respecto a valores de x V ( y /x 1) = 4.80 V (y/x2) = 0 V (y/x3) = 4.45 V (y/x4) = 2.58 V (y/x5) = 2.88
RobERTO
B.
A v íIa A cos ia
s2 =-¡39.
= 6.257
8) La Covarianza Cov (X,Y) para datos agrupados: y n ¡ ¡ x ¡ y , -----C ov(X , Y) = — ■ -X . Y n los valores de n¡jX¡y- son: ni i x iy 1 = n 12x i y 2 n 13XlV 3 n 15XlY5 n25X2V5 n31X3Vl n32X3y2 n33x3y3 n34x 3y4 n42x4y 2
= = ~ = ~ = = =
n44x4y4 n54x5y4 = n55X5y5 ~
(1) (15) (4) (2) (34) (2) (5) (12) (7) (1) (14) (1) (2)
(17,5) (17,5) (17,5) (17,5) (22,5) (27,5) (27,5) (27,5) (27,5) (32,5) (32,5) (37,5) (37,5)
(17,5) (22,5) (27,5) (37,5) (37,5) (17,5) (22,5) (27,5) (22,5) (32,5) (32,5) (32,5) (37,5)
I nijx.yj C ov(X,Y) =
77075 100
= 306,5 = 5906,25 = 1025,00 = 1312,50 = 28687,50 = 962,50 = 3093,75 = 9075,00 = 6256,25 = 731,25 = 14787,50 = 1218,75 = 2812,50 = 77075,00
- ( 2 4 ,6 5 ) (31,05) = 5,37
C ov(X,Y) = 5,37
9) Finalm ente la V arianza de la suma de X e Y: V(X + Y) = V(X ) + V(Y) + 2 Cov (X,Y) = 29,13 + 39,15 + 2(5,37) = 79,02 V(X + Y) = 79,02 V(X - V ) = V(X ) + V(Y) - Cov(X,Y) = 29,13 + 39,15 -2 (5 ,3 7 ) = 57,54 V(X - Y ) = 57,54
ESTADISTICA
ELEMENTAL <229
|gjg VARIABLES CUALITATIVAS Com o ejem plo, se puede considerar el nivel educativo y el interés político de los vendedores am bulantes de la ciudad de Lima. Al igual que en casos anteriores, se tiene dos variables X e Y, que tiene alguna relación entre ellos, como se deduce del cuadro. Es fácil advertir que en esta población existe un interés político, que se acnetúa en los am bulantes que tienen niveles aducativos m ayores que la prim aria. Para fa c ilita r la descripción y análisis de estos resultados, es recom endable convertir a valores relativos o porcentuales, tarea que puede realizar el lector.
C uadro N° 6.09 IN TER ES P O LIT IC O SE G U N N IV E L E D U C A T IV O , EN LO S V E N D E D O R E S A M B U L A N T E S DE L IM A . 1992. Nivel
Total
Interés Politico
Educativo Sin N ivel
Alto
Bajo
10
4
6
Prim aria
135
25
110
S ecundaria
125
96
2
S uperior
130
78
52
TOTAL
400
203
170
Fuente : "Encuesta Socio Política al Sector Informal de Lima". Lima 1992. Elaboración : Estudios y Ediciones R.A. 1992.
^ V A R IA B L E CUANTITATIVA Y CUALITATIVA En la investigación es muy frecuente trabajar con tablas bidim ensionales, donde por lo m enos una variable es cualitativa. Con fines ilustrativos, se ha considerado el resultado de la Encuesta Nacional de Hogares sobre Niveles de Vida, realizada por INEI en los años 1985 y 1986, a partir de una m uestra nacional. Los resultados dem uestran que en la C osta la PEA ocupada tiende a concentrarse en los ingresos más altos, en tanto que la PEA ocupada de la 230>RobERTo B. A v í Ia A c o s i a
Sierra y la Selva se ubica en m ayor proporción en los ingresos prom edios más bajos, lo que estaría dem ostrando que los niveles de vida, relativam ente, son m ás altos en la Costa. Este hecho se puede explicar considerando una serie de factores, que no se visualizan en este simple cuadro bidimensional. El lector por su parte puede calcular los ingresos promedios de la PEA ocupada por ingresos.
Cuadro N °6.10 P O B L A C IO N O C U P A D A DE 15 Y M A S A Ñ O S , P O R IN G R ES O P R O M E D IO SE G U N R E G IO N N A T U R A L, EN N IV (1985/1986) (distribución porcentual)
Tamaño
Interés Político Región
Total
Natural
Menos
201 a
801 a
1501 a
Más de
de la
200
800
1500
2500
2501
muestra
100,0
. 100.0
100,0
100,0
100,0
100,0
7 168
C osta
60,0
30,7
59,7
71,1
74,6
78,3
4017
Sierra
28,6
54,3
28,6
19,3
15,7
11,4
2 524
Selva
11,4
15,0
11,7
9,6
9,7
10,3
627
TOTAL
Fuente : INEI. Encuesta Nacional de Hogares sobre Medición de Niveles de Vida. ENNIV. (1985-1986)
ASOCIACION ENTRE VARIABLES________________ Dadas dos variables X e Y observados sim ultáneamente en cada elem ento de una población o muestra, se puede relacionar o asociar, siempre que alguna de ellas pueda explicar de alguna manera el com portam iento de la otra. En este caso habría una variable (Variable D ependiente) que depende o es explicada por otra (Variable Independiente). A quí el problema es analizar y determ inar la dependencia, asociación o correlación entre las variables. La relación entre dos variables o características se puede expresar de tres maneras: a) V e rb a lm e n te , explican do en form a sim ple, lógica e intuitivam ente la relación o asociación entre variables. Por ejemplo: «cuando suben los precios generalm ente baja el consum o».
ESTADISTICA
ELEMENTAL <231
b) D is trib u c ió n B iv a ria n te c o n tin u a ; es una tabla que presenta los valores (datos) de dos variables para cada elem ento de una muestra. Por ejemplo analizar la relación del ingreso y consum o familiar, a partir de una muestre de 6 familias, en dólares se tendría: Ingreso (VI) : 350 400 380 550 420 600 Consum o (VD) : 300 350 300 500 350 500 En este caso se plantea relacionar las variables mediante una funciór m atem ática utilizando el m étodo estadístico de la regresión y correlación c) C o n s tru c c ió n de T a b la s de C o n tin g e n c ia , que son cuadros de doble entrada, generalm ente para variables cualitativas o nominales, donde se presenta los elem entos de la población clasificados sim ultáneam ente er las categorías de cada variable. Por ejem plo, analizar la relación entre categoría de em pleo y simpatía política de los trabajadores de una empresa. La asociación o dependencia entre variables corresponde al análisis de contingencia y el grado de asociación se determ ina m ediante los llamados coeficientes de correlación. Estas tablas se utilizan con frecuencia para le prueba de hipótesis de investigación.
Ejem plo 6.5 El Cuadro N° 6.11. presenta la distribución bidim ensional de 140 trabajadores por sim p a tía p o lític a (VD ) según c a te g o ría de em pleo (VI). Por simple experiencia se puede asum ir que existe una relación directa entre la simpatía política y la categoría de empleo. Esta dependencia o asociación se puede analizar estadísticam ente m ediante las tablas de contingencia y la teoría de la correlación, que es tem a del siguiente capítulo.
N°6.11
C u a d ro
T R A B A J A D O R E S DE U N A E M P R E S A P O R S IM P A T IA P O L IT IC A SEG UN C A T E G O R IA DE E M P LE O , EN L IM A M E T R O P O L IT A N A . 1990. Sim patía Política
Categoría de empleo
Izquierda
Centro
Total Derecha
O breros
26
24
17
67
Em pleados
12
27
13
52
7
10
4
21'
45
61
34
140
Directivos TOTAL
Fuente : Encuesta de Simpatía Política en Lima Metropolitana. 1990. Elaboración : Estudios y Ediciones R.A.
2 3 2 > R o b E R io
B. AviU A c o s t a
Para obtener algunas conclusiones iniciales, se pude expresar porcentual mente las frecuencias bidim encionales, y com o se aprecia en el Cuadro N° 6.12. la m ayoría de los obreros (38.8% ) sim patiza con la izquierda, en tanto que entre los em pleados hay un predominio de una sim patía política de centro, situación que tam bién ocurre en los directivos. Del total de trabajadores sólo el 24.3% sim patizan por los grupos políticos de derecha. Naturalm ente que estos re s u lta d o s se p u e d e n a n a liz a r y e x p lic a r con m a yo r a m plitud y profundidad de acuerdo a los objetivos y el marco teórico de la investigación, aspectos que no corresponden a la Estadística, sino al equipo responsables de la investigación.
Cuadro N°6.12 DISTRIBUCION (%) DE TRABAJADORES POR SIMPATIA POLITICA SEGUN CATEGORIA DE EMPLEO EN LIMA METROPOLITANA Categoría de empleo
Simpatía Política
Total
Izquierda
Centro
Derecha
Obreros
38,8
35,8
25,4
Empleados
23,1
51,9
25,0
Directivos
33,3
46,6
19,1
100,0 100,0
TOTAL
32,1
43,6
24,3
100,0
.
100,0
Fuente : Encuesta de Simpatía Política en Lima Metropolitana. 1990.
N o ta 1 3 Dos o más variables están asociadas cuando una variable puede expresarse o explicarse en función de las otras. Actualm ente la preocupación es dism inuir ios estados de pobreza, así com o la fecundidad y la mortalidad infantil. La realidad y los resultados dem uestran que el hecho social determ i nante es la educación, una comprobación son los datos de los cuadros bidimensionales de la página siguiente. Allí es fácil advertir que cuando mejora el ni vel educativo de la población, especialmente de las mujeres, baja la mortalidad en los niños y también el deseo de tener más hijos.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <233
Cuadro N° 6.13 PE R U : M U JE R E S EN U N IO N Q U E NO D E S E A N TE N E R M A S H IJO S , P O R N U M ER O DE H IJO S S O B R E V IV IE N T E S Y N IV E L E D U C A T IV O . 1991.
(valores porcentuales) Nivel de
Número de Hijos
Educación »
Sin Nivel
1
0
2
3
4
6y +
5
Total
54,9
82,8
82,8
87,9
86,2
86,5
83,3
Primaria
5,1
34,6
34,5
75,0
89,7
91,1
90,2
80,0
Secundaria
4,1
28,4
28,4
70,3
87,9
92,0
97,1
67,7
Superior
3,2
24,8
24,8
75,1
90,8
83,2
93,8
60,8
Total
4,5
29,3
73,3
85,2
89,1
90,3
90,3
72,4
—
-Corresponde a algún grado o año de estudios en el nivel. Fuente : INEI-PRISMA. DHS. Encuesta Demográfica y de Salud Familiar. 1991/1992.
Cuadro N° 6.14 PERU : T A S A DE M O R T A L ID A D IN F A N T IL Y EN LA NIÑEZ SE G U N N IV E L E D U C A T IV O DE L A M A D R E . 1991. (T asas por mil)
Nivel de
Neonatal
Post Neonatal
Infantil
Post Infantil
En la niñez
Educación
MN
MPN
tqo
<9i
592
Sin Nivel
50
52
102
57
153
Primaria
39
44
83
40
120
Secundaria
16
23
39
14
53
Superior
16
6
21.
4
25
Total
30
34
64
30
92
Fuente : INEI-PRISMA. DHS. Encuesta Demográfica y de Salud Familiar 1991/1992
234>RobERío B. A v í I a A co s t a
Capítulo
7
REGRESION Y CORRELACION
NOCIONES BASICAS En la investigación estadística es muy frecuente encontrar variables que están relacionadas o asociadas entre sí de alguna manera por ejemplo, el gasto fam iliar depende del ingreso. Existen m uchas variables, en especial cuantitativas, que dependen en algún grado de otras, entonces es posible que una de las variables pueda ser relacionada m atem áticam ente en función de la otra. Por ejemplo, el peso de las personas depende en general de la estatura; el tiem po de servicio de trabajo activo tiene relación con la edad, un trabajador que ha acum ulado por ejem plo 30 años de servicios tendrá m ayor edad que otro con sólo 14 años de servicios; el ingreso, o salario depende frecuentem ente del nivel educativo; el ahorro fam iliar tiene relación con los ingresos; la dem anda dependerá de los precios,etc. Los ejem plos anteriores consideran variables cuya relación o dependencia es indiscutibles o por lo menos clara; sin embargo, puede elegirse dos varialbles cuya relación sea dudosa o simplemente absurda, por ejemplo; existirá relación entre la soltería y el cáncer al estóm ago?, ¿entre la exportación de harina de pescado y la im portación de frutas?, ¿entre nivel educativo y el lugar de naci miento?, etc. E stadísticam ente interesa analizar la relación entre dos o más variables, siem pre que se tenga un indicio que entre ellas existe por lo menos cierto grado de dependencia o asociación. Lo im portante es medir y expresar funcionalm ente esta relación m ediante una función o modelo matemático. A quí se trata de predecir o explicar el com portam iento o resultado de una variable (VD) en función de otras variables (VI), así com o investigar si ellas están asociadas o correlacionadas entre si. ESTADISTICA ELEMENTAL <235
El próposito de este capítulo es proporcionar los procedim ientos y las técni cas para e xpresar y m edir la relación o afinidad entre dos variables X e Y para n observaciones. No se pretenderá definir relaciones de causa y efecto, aún cuando se puede obtener algunos resultados para su análisis. Dado "n" observaciones bidim ensionales, cada par de valores (X.Y) en el plano cartesiano o rectangular está representado por un punto, y habrá tantos puntos com o parejas de observaciones se tenga. Esta representación da origen a una NUBE DE PUNTO S que se denom ina D IA G R A M A DE ESPAR C IM IEN TO ; este diagram a puede tom ar diferentes form as, com o se observa por ejem plo en el G ráfico N° 7.1. La construcción del diagram a de esparcim iento constituye el prim er paso para investigar la relación existente entre dos variables, la posición y forma de esta nube proporciona una ¡dea del tipo de relación existente entre ambas variables, de este modo se facilita la elección de la correspondiente función matemática. En el G ráfico N° 7.1. se observa que los diagram as A y B tienen una for ma alargada, que está indicando que hay una re la c ió n lin e a l y por tanto re presentarse por una linea recta; en cam bio el diagram a C insinúa una re la c ió n no lin e a l o curvilínea, que podría expresarse a través de una cu rva parabólica o una exponencial. Por su parte el diagram a D presenta puntos muy dispersos, que no pueden expresarse por una recta o una curva, es decir que corresponde a variables no relacionadas. La form a y posición del d ia g ra m a de e s p a rc im ie n to también indica si existe una relación positiva (A) o directa, o si la relación es negativa (B) o inversa. Una relación es directa o "p o s itiv a " cuando el increm ento en el valor de una variables significa increm ento en el valor de la otra; y es "n e g a tiva " o inversa cu a n d o en increm ento en el va lo r de una varia b le genera una dism inución en la otra variable. A hora bien, graficada y visualizada la form a del diagram a de esparci miento, interesa analizar y expresar m atem áticam ente la relación entre la variables. Para expresar analíticam ente la relación entre 2 o más variables se elige una función matem ática que m ejor represente o se ajuste al diagrama de esparcim iento. El método estadístico que investiga y define la relación funcional entre dos o más variables se llama R EG R ESIO N , y la ecuación de la función m atem ática constituye la FUNCION DE REG RESIO N o MODELO DE R EG RESIO N. Dada las variables (X,Y), se puede expresar com o Y = f(X) 2362 RobERio B. AviU Acosta
o X = g(Y), lo que significa que la relación funcional permitiría estimar, explicar o predecir el valor de una variable, dado el valor de la otra variable. El hecha de tener una buena estim ación dependerá del grado de asociación entre las variables, y que la función elegida se ajuste lo mejor posible a la nube de puntos. El análisis del grado de asociación o modelo e regresión, constituye la C O R R E L A C IO N A S im portante destacar que para que exista correlación es necesario dos variables, dos m edidas que vayan cam biado sus valores.
Gráfico N° 7.01 E je m p lo s d e D ia g ra m a s d e E s p a rc im ie n to p a ra d a to s b id im e n s io n a le s
Y
C. R e la c ió n No L in e a l
D. S in re la c ió n d e fin id a , In c o rre la c ió n
ESTADISTICA ELEMENTAL <237
tam iento Determ inada la función de regresió n, es posible estimar el compor D IEN DEPEN LE VARIAB inará de la variable objeto del estudio, que se denom os arem llam que otra de TE o PREDIC TANDO , en función a las variacio nes apli es n regresió VARIAB LE INDEPE NDIENT E o PREDIC TOR. Por lógica, la relación o cable a variable s en las que se reconoc erá la existen cia de alguna depend encia. S IM C uando se relacion an d o s v a ria b le s , hablare mos de REGRE SION la relación PLE y C O R R E LA C IO N SIMPLE , en tanto, cuando se conside ra CORRE y E ULTIPL M SION REGRE de hablará se s variable entre tres o más onde a LAC IO N M U LTIP LE Por su parte, si la función de regresió n corresp la, (parábo curva una es si y EAL, LIN SION una línea recta se trata de REGRE EAL. LIN NO N RESIO REG na exponie ncial, etc.) se donomi de Es im portant e subraya r que le propós ito fundam ental del análisis De s variable más o dos entre regresió n es estim ar la relación que existe : acuerdo a la nom enclatu ra matemá tica, la relación funcion al sería para 2 variable s Y = f(X) para 4 variable s W = g(x, y, z)
REGRESION SIMPLE
....................
|
entre El propósito de la regresió n sim ple es estim ar la relación que existe dos variable s X e Y, que se expresa n como: Y = f(X ) que se lee "Y depend e de X” de X", que esto expresa que "Y es un valor estim ado a partir de va o res reales donde: X", sobre Y de n regresió de sería una "Linea Y = Variable depend iente, predicta ndo o explicad a. X = Variable indepen diente, predicto r o explicativa. variable Tambié n se puede expresa r com o X = g(Y), donde X es ahora la de "Línea una es g(Y) = X depend iente e Y es la indepen diente, en este caso Regres ión de X sobre Y". de En general, la función de regresió n de Y sobre X es distinta a la función ilidad reversib se regresió n de X sobre Y, por lo tanto debe tenerse cuidado para y su interpre tación.
Antes de definir cuál sería la función m atem ática o m odelo de regresió n que exprese adecua dam ente la relación entre las variable s, es indispen sable com probar por un análisis lógico la existenc ia de una relación de depend encia o causalid ad directa o indirecta entre la variable s, por ejemplo , es lógico aceptar que las utilioda des o gananc ias depend erá del volúme n de ventas; la capacid ad de ahorro es función del ingreso , etc. En este análisis es muy útil la nube de puntos, cuya form a insinúa la forma de la función de regresió n. Para determ inar o constru ir MODELOS o FUNCIONES DE REGRE SION es indispe nsable dispone r informa ción acerca de los valores cada una de las variable s en distinto s m om entos o lugar. En general, la función de regresió n como m odelo estadís tico se constru ye a partir de una m uestra represe ntativa de valores (X¡,Y¡).
17.¿T| AJUSTE DE UNA FUNCION DE REGRESION______________ _ Ajustar una función de regresió n significa buscar o definir la función que exprese con m ayor precisió n la relación entre variable s. Gráfica m ente será aquella función que m ejor se adecúe a la nube de puntos. En este sentido, es recom endable com o prim er paso constru ir el "diagram a o nube de puntos" , luego analiza r su form a y decidir el tipo de función m atem ática para la linea de regresió n. Analític am ente, la relación Y* = f(X) permite obtener valores estim ados Y* a partir de los valores reales de X, entonce s el problem a del ajuste de una función es que la diferenc ia o sesgo (e¡) entre los valores reales de Y los estim ados Y* sea m ínim o, para cada valor se tendría: Y - Y* = e Entonc es se trata de un problem a de m inim ización, el mismo que se resuelv e con el Método de los Mínimo Cuadra dos, que se.verá luego. Por ahora, tratarem os de fam iliarizar nos con la nube de puntos com o referenc ia para definir la ecuació n de la función de regresió n.
Ejem plo |7.1 Analiza r la relación entre la edad y el tiempo efectivo de servicio s de los tra bajador es, para el efecto se conside ró una m uestra de 15 trabajad ores, obte niéndos e los siguien tes valores :
ESTADISTICA ELEMENTAL <239
Edad • Tiem po de Servicios :
48 40 30 39 46 42 27 36 34 46 32 42 40 32 27 24 18
9
14 22 22
4
13 10 20 12 18 16
8
6
En todos los casos, definir en prim er lugar, cuál será la variable dependiente (Y) y cuál la independiente (X). Toda relación tiene un sentido o dirección, es decir, que una variable siempre resultará m ejor explicada por la otra. En el ejem plo, el tiem po de servicios e s ta ría m ejor explicado por la edad del trabajador, antes que la edad dependa del tiem po de servicios del trabajador. Luego: Tiem po de servicios = f(Edad) o sea Y = F(X) donde X = edad (variable independiente) Y = Tiem po de servicios (variable dependiente) De este m odo se definen 15 puntos (X.Y), com o son (48,24); (4 0 ,1 8 ); (30,9); (39,14); (4 6 ,2 2 ); (42 ,2 2 ); (27,4); (3 6 ,1 3 ); (34,1 0); (46,20); (3 2 ,1 2 ); (42,18); (40,16); (32,8) ; (27,6). Estos puntos están ubicados en el G ráfico N° 7.2., y se aprecia que la nube de puntos resultanete tiene una form a alargada, con una relación positiva en donde es posible ajustar o representar por una línea recta.
GRAFICO N° 7.2 DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO DE LA EDAD Y TIEMPO DE SERVICIOS DE 15 TRABAJADORES. 25 -
«
a •
30
35 Edad (años)
2402 RobERio
B.
Av/¡U A costa
40
•
45
50
E je m p lo [7.2 Los precios (P ) y ias cantidades (Q ) transadas en una mercado están represen tados por (p,q) cuyos valores son (6,22) ; (8,20) ; (1 0 ,1 6 ); (1 3,15); (16,12) ; (1 8 ,1 0 ); (2 4 ,7 ); (3 0 ,5 ); (3 6 ;4 ); (40,3); el precio (P) está expresado en soles y la cantidad (Q) en miles de unidades. Aquí "la cantidad (VD) depende del precio (V!)". Los valores (P,Q) dan origen a la nube de puntos del G ráfico N° 7.3., como se observa esta nube se asem eja a una curva, que estaría indicando que las variables tienen una relación no lineal, en consecuencia es posible ajustar una curva. G R AFIC O N° 7.3. D IA G R A M A DE E SPAR C IM IEN TO DE PRECIOS Y C A N T ID AD E S T R A N S A D A S EN UN M ER CADO
20 o> -o ro •o =3 03
-a
-
15 ■
10
«
5 -
0 ----------------------------------------------------------- ,----------- -- -------------------0
5
10
15
20
25
30
35
40
Precio
En el ajuste de funciones de regresión simple, se pueden utilizar diversas funciones m atem áticas conocidas, tales como: a) La Línea Recta
:
Y* = a + bX
b) La Parábola
Y* = a + bX + cX
c) La Curva Potencial
Y *= b X a
d) La Curva Exponencial
Y *= a b x
e) La H ipérbola Equilátera
Y* = a / X ESTADISTICA ELEMENTAL <311
f) La Curva Logística
— =a+bcx Y
g) La Curva Gom pertz
Y * = a b cX
Cada una de estas funciones tiene una forma particular para un conjunto determ inado de valores (X,Y), y definido por el valor de los parám etros o coeficientes de respectiva ecuación. Por una nube de puntos pueden pesar una infinidad de líneas o funciones, de esta fam ilia habrá una que es la función que mejor se ajusta a la nube de puntos. La operación para determ inar la función de regresión óptima, se conoce com o "Ajuste de una función de regresión" El problem a de ajuste de una función de regresión a un conjunto de n valores (X,Y), com prende tres pasos :
i) G raficar el diagram a de esparcim iento o una nube de puntos (X,Y). ii) D efinir la forma de la función de regresión (recta, parábola, exponencial, etc.).
iii) D eterm inar el valor num érico de los parám etros de la función elegida. Los parámetros de la función de regresión se obtienen a partir de las Ecuaciones N orm ales obtenidas por el M étodo de los M ínimos Cuadrados.
^ ío t a ü Generalm ente, com o se puede observar en los G ráficos N° 7.2 y N° 7.3., es casi imposible que una línea o curva pase exactam ente por el lugar geom étrico de los puntos (X,Y).
7.2.2
EL METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Dado un conjunto de valores bidim ensionales (X,Y) se co nstruye la correspondiente nube de puntos, de acuerdo a su forma, se puede construir rectas, parábolas u otras curvas que se ajustan aproxim adam ente a la nube de puntos. Lo importante desde el punto de vista estadístico, es definir la "función que m ejor exprese la relación estadística entre variables o que mejor se ajuste a su nube de puntos". M etodológicam ente consiste en definir la función que tenga menor sesgo o desviación respecto a los valores observados (X,Y), se trata de un problema de "m inim ización del error o desviación" entre los valores observados o reales Y¡ con los valores calculados o estim ados Y* a partir de una función o línea de regresión. 242 > R o S e r io B. A v í I a A costa
Uno
de los criterio s para lograr esta m inim ización es el M étodo de los M ín im o s C ua d ra d os, que estable ce "que la m ejor curva posible es aquella
que m inim iza la suma de los cuadra dos de las desvia ciones entre los puntos dados Y¡ y los corres pondie ntes a dicha curva Y*' La idea se aclara con el gráfico siguien te :
S im bólicam ente signific a m inim izar la expres ión : = Ie ? = I(Y ¡-Y ¡* )2 = M ínima h=1 Donde Y* = f(X) es la ecuación elegida para la función de regresión, cuyos p a rá m e tro s o co e fic ie n te s son d e te rm in a d o s a p a rtir de las llam adas E c u a c i o n e s N o r m a l e s obtenid as al M inim izar <í>, como se verá en las diversa s funcion es de regres ión que presen tam os en este libro. 0
f ^R E G R E S IO N SIMP LELIN EAL 7.3.1
LA LÍNEA RECTA DE REGRESION
C onside rem os la ecuación de la recta: Y* = a + b X que tiene dos parám etros " a " y " b " Estos parám etros son determ inados al ESTADISTICA ELEMENTAL <243
aplicar el M étodo de los M ínim os C uadrados, que significa m inim izar la expresión : ^ = S ( Y i - Y j* )2 M donde : Y ¡: es un valor observado o dato (nube de puntos) Y*¡: es un valor calculado por la ecuación de regresión Y * = a+ bX, en este caso. n : es el núm ero de observaciones (X,Y) Reem plazam os la sum atoria Y* por a + bX se tiene : 0 = Z (Y ¡-a -b X )2 m inim izar significa derivar $> respecto a cada uno de los parám etros "a" y "b"; este es un caso de derivación parcial. O btenidas de las derivadas parciales se igual a cero, es d e c ir :
M in O = X ( Y j - a - b X ) 2 ^
Ga
=0
y
^
=0
cb
significa entonces : (1) —
a
= 2 I(Y -a -b X )(-1 ) = 0 1
(2) —
= 2 Z (Y -a -b X )(-X ) = 0 0 b
de donde : (1)
X( Y - a - b X )
=0
(2) X ( Y - a - b X ) ( X ) = 0 aplicando propiedades de sum atoria y transponiendo térm inos : X Y = an + b ] T X X X Y =aXX +bXX2
244> RobtRio B. A ví Ia A cosi a
que constituyen las dos E C U AC IO N ES N O R M A LE S con dos incógnitas "a " y " b " que son los dos parám etros o coeficientes de la línea de regresión Y* = a + bX Estas ecuaciones norm ales son 2 ecuaciones sim ultáneas con dos incóg nitas (a y b), donde las sum atorias (Y ) se obtienen de los n valores (X,Y). Una vez calculado a y b se reem plazan en la ecuación Y* = a + bX, resultando finalm ente la " Línea Recta de Regresión Y sobre X ", C A L C U L O DE LO S PA R Á M E TR O S : a y b Dada la ecuación de la recta : Y* = a + bX los parám etros a y b se calculan a partir de las Ecuaciones Normales X Y = an + b X X X X Y = aXX +bX X 2 donde las sum atorias se obtienen a partir de los datos (X,Y). N o ta Q Escribir y* = a + bx significa que y* es un valor estim ado de Y El error e estaría dado p o r : e = y - y*, entonces el valor reaf de Y es : Y = a + bx + e
Ejem plo |7.3[ Supongam os que se quiere estim ar la relación entre ingreso y consumo, para el efecto se eligió un m uestra de 6 familias. Dados los datos, se define la variable dependiente (Y= Consumo) y la variable independiente (X= Ingreso), luego se construye el Cuadro N° 7.01, donde están los valores que participan en las ecuaciones normales. Los valores de a y b se pueden calcular utilizando cualquiera de los tres siguientes métodos. i.
R e so lve r las e cuacion es norm ales com o un sistem a de ecuaciones sim ultáneas, por el método de sum as y restas.
ESTADISTICA ELEMENTAL <245
£ Y = an+bXX I X Y = a I X + b2]X2
C u a d ro N° 7.01 INGRESO Y CONSUMO DE UNA MUESTRA DE 6 FAMILIAS INGRESO X
CONSUMO Y
XY
X2
35
30
1 050
1 225
900
40
35
38
30
1 400
1600
1 225
1 140
1444
55
50
2 750
900
3 025
2 500
42
35
1 470
1 764
1 225
60
50
3 000
3 600
2 500
270
230
10810
12 658
9 250
EX
IY
EX2
7 Y2
IX Y
Y2
reem plazando el valor de las sum atorias, se tiene : 230 = 10810=
6 a + 270 b 270 a + 12658 b
b = 0,9055 a = -2 .4 1 4 2
Entonces, la recta de regresión es :
y* = -2.4142 + 0,9055x
ii. Tam bién la aplicación directa de fórm ulas para a y b deducidas de las ecuaciones normales. X X 2 . X Y - X X . £ X Y
3=
n £ X
n I X 2 - ( Z X )2
Y - ^ X . X
n l X 2 - ( Z X )2
reem plazando valores de las sum atorias: 3
(1 2 6 5 8 )(2 3 0 )- (270)(10810) _ -7 3 6 0 6 (1 2 6 5 8 )-(2 7 0 )2
u
6(10810) -(2 7 0 )(2 3 0 ) “
6 (1 2 6 5 8 )-(2 7 0 )2
246 > RobERto B. Av/iU A costa
Y
3048 2760
= 3 0 4 8 '0 9056
= _2 4 1 4 ?
iii. ! por el Método de la Varianza y Covarianza. Dada la recta de regresión Y sobre X : Y* = a + bX ( 1 ) X Y = an + b £ X (2) X X Y = a X X + b X X 2 dividiendo (1) entre n resulta : Y = a + bX
-»
a =Y-bX
reem plazando "a" en (2) : X X Y =(Y-bX ) V X +b X X 2
X X Y = Y X X +b ( X X 2- X X X ) dividiendo por n
I ^
= Y X +b ^
XXY
l - x
2
= X Y +b ^ - - x 2
Cov (X,Y) = b V(X) C ov(X ,Y ) V(X ) Con los resultados del ejem plo 7.3. se tiene :
V (X )-
I\Xx -2 fi I>Xx^ \| 2 l
n
n
J
t12658
6
if y270 ni
', 6
Y2
J
V(X) = 84,67 y v Y
___ 1 RI 0
C o v(X ,Y )= J= — — — X Y n
6
-— (45) (38,33)
Cov (X,Y) = 76,67 C ov(X ,Y ) b=V (X )
76,67 _ = 0,9055 84,67 ESTADISTICA ELEMENTAL <247
a = Y - b X = 38,333 - (0.9055) (45) = - 2.4145 Aplicando cualquiera de los tres m étodos, se obtiene que : a = -2,4147 b = 0,9055 luego la recta de regresión es Y* = -2,4147 + 0,9055 X.
N ota E En la ecuación de la recta Y * = a + bX el coeficiente "b"de la variable X, se llam a el "C oeficiente angular o p e n d ie n te " de la recta. Considerando el signo de este coeficiente se tiene :
i) Si b es positivo (b>0), entonces existe una relación lineal positiva o directa, es decir que ante increm entos en la variable independiente o predictor co rresponde increm entos en la variable dependiente o predictando. ii) Si b es negativo (b<0), se tiene una relación lineal negativa o inversa, es decir, que increm entos en la variable independiente origina decrem entos o dism inuciones en la variables dependiente.
RECTA DE REGRESION X SOBRE Y : De la m ism a form a que hablam os de la linea de regresión de " Y sobre X " es decir Y = f(X), tam bién hablarem os de la Línea de Regresión d e " X sobre Y " es decir x = g(Y). En el caso de la línea recta será : X* = p + q Y donde los parám etros o coeficientes son "p" y "q". Para la línea de regresión " X sobre Y " se tendrá que : D = I(X ¡-X * )2 reem plazando : D=I(X i-p -q Y )2 X* = p + q Y que aplicando el m étodo de los m ínim os cuadrados se obtiene las acciones norm ales . £ X = np + q £ Y I X Y =p I Y +q I Y ? 248> RobtRTo B. Avila A costa
¡Nota □ En general, los parám etros de la recta de regresión de "Y sobre X" serán distintos del valor de los parám etros de la recta de regresión de "X sobre Y " ; algunas veces se distinguen de "b" como: byx : coeficiente angular de regresión de Y sobre X. bxy : coeficiente angular de regresión de X sobre Y.
Ejem plo |7.4 Para los datos bidim ensionales de las variables: edad (X) y tiempo de servicios (Y) de los 15 trabajadores del ejemplo 7.1., determ inar la recta de regresión" Y sobre X" y g ra fica r sobre la respectiva "nube de puntos" la recta obtenida. Las variables bidim ensionales (X,Y) ya conocidas, dieron origen a la nube de puntos del G ráfico N° 7.2., por su form a alargada es posible ajustar una recta como función de regresión. La recta Y ’ = a + bX tiene una posición determ inada dada por los valores de los parám etros "a" y "b" que se obtienen resolviendo las ecuaciones normales: Y Y = na + bV X V X Y = a £ X + b y X *1 2 Para obtener el va lo r de las sum atorias de las ecuaciones, con los datos se construye la tabla de trabajo del Cuadro N° 7.2. Reem plazando los valores del Cuadro N° 7.2. en las Ecuaciones Normales, resulta el siguiente sistem a de ecuaciones : 1) 216 = 2) 8658 =
15 a + 561 b 561 a + 21643 b
multiplicando la prim era ecuación por 561 y la segunda por 15 se tiene : 121,176
= 8 4 1 5 a + 314,721b
(-)
129,870 = 8415a + 324,646 b 8,696 luego;
=
+
9,925 b
b = 0,876
De la ecuación (1) se deduce que : _ 2 1 6 -5 6 1 b _ 216 — 561 (0.876) a~
15
"
15 ESTADISTICA ELEMENTAL <249
e n to n c e s : a = -18,363 Finalm ente, la linea de regresión de " Y sobre X " es :
Y* = -18,363 + 0,876 X Cuadro N° 7.02 EDAD Y TIEMPO DE SERVICIOS DE 15 TRABAJADORES DETERMINACION DE LA LINEA DE REGRESION EDAD
TIEMPO
METODO MINIMO
VALOR
SERVICIOS
CUADRADO
ESTIMADO
Y
X 48
24
40
18
XY
Y1
X’
Y*
1 152
2 304
576
23,7
720
1 600
324
16,7
81
7,9
30
9
270
900
39
14
546
1 521
196
15,8
46
22
1 012
2116
484
21,9
924
1 764
484
18,4
108
729
16
5,3
1 296
169
13,2
42 27
22 4
36
13
468
34
10
340
1 156
100
11,4
46
20
920
2116
400
21,9
32
12
384
1 024
144
9,7
42
18
756
1 764
324
18,4
40
16
640
1600
256
16,7
8
256
1 024
64
9,7
27
6
162
729
36
5,3
561
216
8 658
21 643
3 654
216,0
XY2
XY*
32
X *
XY
XXY
XX2
Tam bién se puede aplicar las aplicar las fórm ulas que permiten obtener directam ente los valores de los parám etros "a" y "b", donde se reem plaza las sum atorias con valores del C uadro N° 7.2. ^ X 2X Y -Z X ]T X Y n I X 2 - ( I X ) 2~ ~
(21643) (2 1 6 )-(5 6 1 ) (8658 15(21643) — (561)2 -18 2 2 5 0 9924
25(T> RobERto B. A v í Ia A costa
-1.8.364
n X X Y -IX IY
nI x 2 - ( i x ) 2
1 5 (8 6 5 8 )-(5 6 1 ) (216) 1 5 (2 1 6 4 3 )-(5 6 1 )2 8694 9924
0.87 6
valores similares a los obtenidos anteriorm ente, por tanto la recta de regresión Y sobre X es : Y* = -18,364 + 0,876 X La recta obtenida expresa la regresión lineal entre las variables tiempo de servicios (Y) y edad (X) deducida de una m uestra de 15 trabajadores; es un M odelo Lineal que permite obtener valores estim ados o teóricos de Y (variable dependiente) a partir de valores reales X (variable independiente). Por ejem plo, el tiempo de servicios estim ado Y* para un trabajador de 35 años de edad, se obtendría sustituyendo X = 35. Y* = -18,363 + 0,876 (35) = 12,3 años es decir, aproxim adam ente tendría 12 años de servicio efectivo; para X = 46 resulta Y* = 22 años de servicios. En la última colum na del Cuadro N° 7.2. están los valores estim ados Y * , en la m ayoría de los casos se aprecia una pequeña discrepancia entre Y y Y*, es decir existe un sesgo, diferencia o error de estimación, que también se puede calcular o determinar. Es im portante reiterar que se utiliza el asterisco (*) para indicar valores estim ados o teóricos.
GRAFICACION DE LA RECTA DE REGRESION Dada la ecuación Y* = -18.363 + 0.876 X ; para graficar una recta es suficiente definir dos puntos, tales como: S i:
X 1 = 30 X 2 = 40
entonces entonces
Y *1 = 7,92 Y* 2 = 16,68
P, (30; 7,9) P2 (40; 16,7)
luego se grafican estos dos puntos, en el m ism o plano de la "nube de puntos" y por ellos se traza una recta que constituye la gráfica de la recta de regresión, com o se aprecia en el G ráfico N° 7.5. ESTADISTICA ELEMENTAL <251
De la misma m anera como se determ inó la recta de regresión "Y sobre X", también se determ ina la recta de regresión " X sobre Y La ecuación de la recta será : Y* = p + q Y donde los p a rá m e tro s "p" y "q" se obtienen resolviendo las ecuaciones normales: £X=np+q£Y X X Y = p IY + qY Y 2 reem plazando los valores correspond ientes de las sum atorias se tiene : (1) 5 6 1 = 15 p + 216 q (2) 8 6 5 8 = 216 p + 3654 q resolviendo por cualquiera de los métodos o fórm ulas, se obtiene q = 1,066, p=22,049; reem plazando la ecuación X* = p +q Y se obtiene la recta de regresión X sobre Y. X* = 22,049 + 1,066 Y
GRAFICO N° 7.5.
E d a d (a ñ o s )
252> R o b tiu o B . A v iU A costa
7.3.2 ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN El error estándar de estim ación llamado también desviación estándar de regresión, es una m edida de e sparcim ien to a lre d e d o r de una línea de regresión. Es la desviación estándar de los valores observado Y con respecto a los valores Y* estim ados por la línea de regresión. En general, entre el valor Y y el estim ado Y* existe una diferencia o sesgo, que puede ser m enor o m ayor en el medida que los "n" puntos del diagram a de esparcim iento estén m ás o menos cerca de la linea de regresión. Para la recta de regresión Y* = a + bX el ERROR ESTÁNDAR de Y sobre X será : (Definición)
En tanto, para la recta de regresión X* =p +qX el E rror E stándar de X sobre Y es :
En general, resulta que :
Calcular el error estándar S yx a partir de la definición resulta muy laboriosa, puesto que se requiere conocer los valores estim ados Y*, estos en la práctica no se calculan. Existe una fórm ula alternativa a partir de la definición, donde se sustituye el valor Y* = a +bX; después de realizar las operaciones indicadas, sim plificaciones y factorizaciones, resulta :
expresión que se utiliza para calcular Suv. Elevando al cuadrado se tiene : y* X Y 2 - a l Y - b X XY n que se denom ina la VARIANZA RESIDUAL DE Y SOBRE X. ESTADISTICA ELEMENTAL <253
misma s propie El error estánd ar de estima ción o de regresión cum ple las el error estánd ar dades de la desvia ción estánd ar, la diferen cia está en que la linea de regresión de regresión mide la dispers ión de los valores alreded or de Ahora, suponiendo y la desvia ción estánd ar alrede dor de la media aritmét ica. as a ambos lados que Y se distribu ye norm alm ente, al constru ir rectas paralel definen franjas se Svx a cional propor ia de la linea de regres ión a una distanc : te siguien gráfico el en o interva los, com o se aprecia
±
Syx ,se encuen tra el 68.3% de los valores reales Y
Y * Y* ±
2Syx ,se encuen tra al 95.5% de los valores reales Y 3Syx ,se encuen tra al 99,7% de los valores reales Y
Y
Ejem plo 7.5 referid o a los 15 Calcul ar el error estánd ar de estim ación, en el ejem plo ademá s se conoce trabaja dores. Aquí ya se ha constru ido la recta de regresión, los valores de : £ Y 2 = 3654
;
£ Y = 216
£ X Y = 8658
a = -18.36 3
b = 0.876
sustitu yendo los valores en :
S2 = lY ^ - a £ Y - b IX Y ^
n
„ , 7 6 )(8658 ) 6 3 )(2 1 6 )-(0 .8 --------C2 _ 36 5 4 ~ (-1 8 .3--------— = 2.4 — --------15
vjyx
2 5 4 / R obeRro B. A v iU A costa
;
n = 15
Syx = ,/^ 4
luego
Syx=1,55 años
Con este valor se puede construir intervalos de confianza para Y dado un valor de X. Por ejem plo el intervalo y* + Syx = y* + 1,55 donde los extremos son ( Y * - 1.55; Y* + 1.55). De acuerdo a la función Y* = -18,363 + 0.876X significaría, por ejemplo, que en la población el 68.3% de los trabajadores de 40 años de edad tendría un tiem po de servicios com prendido entre 15,15 y 18,25 años. C onsiderando que las funciones de regresión son modelos que se obtienen a partir de una m uestra representativa, entonces la función de regresión no es única para una determ inada población. En el caso de Y* = a + bX así com o Y* está condicionado a valores X, se advierte también que los parám etros a y b estarán condicionados a los valores m uéstrales (X, Y); entonces como valores estim ados, tienen un error estándar de estim ación que se puede calcular por las expresiones :
COniiELACiON LINEAL La correlación expresa el grado de asociación o afinidad entre las variables consideradas; la correlación también explica el grado de la bondad del ajuste de las líneas de regresión. En su acepción más general, correlación denota la interdependencia entre datos cuantitativos o cualitativos. En este sentido inclui ría la asociación de atributos clasificados dicotòm icam ente y la contingencia de atributos clasificados conform e a múltiples características. Cuando se determ ina que las variables están íntim am ente asociadas, la ecuación de la función de regresión se utiliza para estim ar o explicar el com por tamiento de la variable dependiente (explicada) en términos de las variaciones que experim entan las variables independientes (explicativas). La interdepen dencia, además de los ejemplos anteriores, también se observa en el comporta miento de las ventas de artículos para el hogar, que puede ser explicado por el aum ento de los niveles de ingresos, o por variación de los precios, o por m odificaciones técnicas en el artículo, etc. ESTADISTICA ELEMENTAL
Recordando, llam arem os C O R R E LA C IÓ N SIMPLE cuando se trata de analizar la relación entre dos variables. H ablarem os de C O R R E LA C IO N R EC TILIN E A O LINEAL si la función es una recta, y de C O R R ELAC IO N NO LINEAL cuando la función es una curva o una función de grado superior. Por ahora estudiarem os la correlación sim ple rectilínea.
7.4.1
COEFICIENTE DE CORREUVCION RECTILINEA
El C oeficiente de correlación, es el estadígrafo que expresa o mide el grado de asociación o afinidad entre las variables relacionadas, se denota por "r" y se define como:
donde: S2y* = varianza explicada, o sea aquella parte de la varianza total de Y explicada por la línea de regresión. S2y = varianza total, o sea aquella que corresponde a los valores observados de Y. definidos como: o2
I(Y * -Y )^
o2
Oy* = -------------n
Z (Y -Y )^
y
n
luego:
r=
Y (Y *-Y )2
o sim plem ente
(Y -Y r
2 Y (Y *-Y ) r = — ------- — I(Y -Y )
así m ism o se sabe que: Varianza Total = Variación explicada + V ariación no explicada X (Y -Y )2 =
Y (Y * - Y ) 2 +
n S2 , 256> R obER io B . A v í Ia A c o s ía
X (Y -Y *)2
n S2/
n +
S2
y*
En térm inos generales, el coeficiente de correlación mide el grado de afinidad entre dos o m m ás variables. En tanto que el CO EFIC IEN TE DE C O R R ELAC IO N R E C T ILIN E A (r), es el estadígrafo que expresa el grado de afinidad o asociación entre dos variables cuando ellas están relacionads m ediante una línea recta Y* = a + bX. C onsiderando la definición de C oeficiente de Correlación: r=
s 2.
c2 _ c2 _ c 2
com o
°y
°y °yx
reem plazando : g2 2 Oy _ cOyx
r=
1-
yx
■y que define la expresión para calcular el "coeficiente de correlación", en la fórmula se sabe que : o2 I Y 2-a £ Y -b IX Y b yx~ 2
Sí =
i y
2
rs v y
que pueden calcularse de forma separada y luego reemplazarse en la fórmula.
7.4.2 PROPIEDADES DE r : Com o r es siem pre positivo, resulta que la propiedad fundam ental del coeficiente de correlación es :
-1
< r < +1
de donde se deduce que : a) Si r > 0 , entonces existe "correlación directa positiva". b) Si r < 0 , se trata de una "correlación inversa negativa". c) Si r2 = 1, los datos form an una línea recta, en el caso de correlación rectilínea. ESTADISTICA ELEMENTAL <257
d) Si r = +1, hay una correlación perfecta positiva. e) Si r = - 1 , hay una correlación perfecta negativa. f) Si r = 0, los datos son "incorrelacionados".
N o ta 5 El signo de "r" es el m ism o que el signo de "b" (coeficiente angular) de la ecuación de regresión Y*= a+bX. N o ta n que si : a) b) c) d)
En la interpretación clásica del coeficiente de correlación, se sostiene
0.00 0.20 0.40 0.70
0.20 0.40 0.70 1.00
existe existe existe existe
correlación no significativa. una correlación baja. una significativa correlación. alto grado de asociación.
Sin em bargo, estos valores resultan arbitrarios, puesto que dependerá de la naturaleza del problema que se investiga, asi com o el tamaño de la muestra.
Ejem plo 7.6 Continuando con el ejemplo de los 15 trabajadores, ahora calcular el coeficiente de correlación (r) rectilínea. Se sabe por cálculos anteriores que : LY S ^ -2 .4
y
n
S2 3654 ( 216V ;í —
1-
_
1-
2.4 36.2
ÍS— 1 -1 5 -J
' 3 w
= 7 0-934 = ±0,9663
luego:
r = +0,9963
en la correspondiente línea de regresión Y* = -18,363 + 0,876 X el "c o e ficie n te a n g u la r (b = 0,876)" es positivo, por tanto "r" será positiva (r>0), luego se trata de una correlación directa o positiva. Adem ás com o r= + 0,966 es muy cercano a 1, entonces existe una buena afinidad o relación entre las variables X e Y: es decir que la recta de regresión Y* = -18,363 + 0,876 X estima o 2587 R o b cR io B. A v í Ia A costa
explica bastante bien el com portam iento del tiem po de servicios (Y) conocido valores de la edad (X). ¿Cuál es el tiem po de servicios estim ado de una persona que tiene 50 años de edad?. Aqui x = 50. Y* = -18,363 + 0,876 (50) = 25,4 años de servicio
N ota y
C uando m enor sea el error estándar de estim ación, m ayor será el coeficiente de correlación, y desde luego el error en las estimaciones es menor.
7.4.3 OTRAS FORMOLAS PARA CALCOLAR r : En general, por definición :
r2 S?x E(Y -Y) S2
I(Y -Y )2
donde desarrollando num erador y denom inador : £ (Y * J y )2
Y * 2 _2 Y X Y *+ n Y 2 = X Y * 2 -n Y 2
X ( Y - Y ) 2 = I Y 2 - 2 Y I Y + n Y 2 = = IY 2 - n Y 2
r2
ZY »2- n Y 2
entonces : X Y 2-n Y 2
i)
Para el caso rectilíneo, se sustituye Y* con la ecuación de la recta Y* = a + bX, obteniéndose : r2 =
X (a + b X )2 - n Y 2 X Y 2-n Y 2
operando el num erador: X (a + b X )2 - n Y 2 = X (a 2 + 2 a b X + b 2 X 2 ) - n Y 2 = n a 2 +2ab]T X + b ]? X 2 - n Y ESTADISTICA ELEMENTAL<259
= a ( n a + b ]T X ) + b ( a X X + b X X 2 ) - n Y 2 = a X Y + b £ X Y -n Y 2 resulta que : a lY + b Y X Y - n Y 2 ~ i — I Y 2-n Y V
C oeficiente de Correlación R ectilínea
Aplicando al ejem plo se tiene : )H V
18 .3 6 3 )(21 6)-(0 .876)(8658 )-15(207 A ) 3654-15(20 7.4)
r = +0,9663 que es el m ism o valor obtenido por la fórm ula anterior. ii) Tam bién se puede calcular a partir de la fórm ula propuesta por Pearson: n Z X Y - ( Y X ) ( Y Y ) *i)
r= -
n lX 2- ( £ x )
n Z Y 2-(X Y )2
iii) Otra fórm ula propuesta es :
r Cov(X,Y) S XSy donde : V XY C o v (X ,Y )= n X Y2
en el ejem plo se puede com probar que :
260> RobERio B. Aví La A costa
Cov (X,Y) = 577.20 - (37.4) (14.4) = 38.64 S2X = 1 4 4 2 .8 7 - 1398.76 = 44
Sx = 6,64
S2y = 243.60 -2 0 7 .3 6 = 44.11
Sy = 6,02
C o v (X ,Y )= _ Sx Sy
38.64
„
(6.64)(6.02)
iv) Tam bién se puede a p lica r la fórm ula propuesta por Thurstone, com o sim plificación de la fórm ula (i¡) X XY-n.X.Y.
r=
I X 2-nX
S Y 2-nY i
Ejemplo 7.7 En el curso de E stadística de la Universidad Nacional M ayor de San Marcos, se seleccionó una m uestra representativa de 12 alumnos varones y se registró sus estaturas (X) en m etros y sus pesos (Y) en kilos, que se indican en el Cuadro N° 7.3. a) C onstruir el diagram a de esparcimiento. b ) Determ inar la línea de regresión "Y sobre X". c) Calcular el error estándar de estimación. d) Calcular el C oeficiente de correlación rectilínea. e) G raficar la línea de regresión obtenida Y* = a + bX. f) Estim ar el peso de n alum nos con estatura 1.75 m.
Solución : a) El diagram a de esparcim iento se construye en el plano rectangular, el eje horizontal corresponde a la estatura (X) y el eje vertical al peso (Y). Los 12 valores bidim ensionales están dibujados en el G ráfico N 7.6., esta "nube de puntos" por su form a alargada puede ser ajustada a una linea recta. b) La expresión "Y sobre X " significa Y = f ( X ) , para la recta: Y* = a + bX se utilizan las Ecuaciones Normales: £ Y = an + b £ X XXY=aVx+bVx2 ESTADISTICA ELEMENTAL <261
cuyos valores se determina n en el cuadro N° 7.3. que luego se reem plazan en las ecuacione s normales : 800 = 12 a + 20,10 b 1346,59 = 20,10 a + 33,76 b b = 71,24
resolviend o el sistema resulta
: a = -5 2 ,6 0 ;
y la recta de regresión es
: Y * = -52,60 + 71,24 X
C uadro N° 7.03 R E G R E S IO N Y C O R R E L A C IO N L IN E A L E S T A T U R A (X ) Y P E S O (Y ) D E 12 A L U M N O S D E L C U R S O D E E S T A D IS T IC A . U N M S M . 1992.
X
Y
XY
X1
r
Y*
1,70
72
122,40
2,89
5184
68,51
1,68
65
109,20
2,82
4 225
67,08
1,86
82
152,52
3,46
6 724
79,91
1,60
58
92,80
2,56
3 364
61,38
1,68
63
105,84
2,82
3 969
67,08
1,55
65
100,75
2,40
4 225
57,82
1,62
58
93,96
2,62
3 364
62,81
1,68
70
117,60
2,82
4 900
67,08
1,70
69
117,30
2,89
4 761
68,51
1,65
62
102,30
2,72
3 844
64,95
1,82
76
138,32
3,31
5 776
77,06
1,56
60
93,60
2,43
3 600
58,53
20,10
800
1 346,59
33,76
53 936
800,72
IX
IY
LXY
><
IY 2
IY *
Fuente : Encuesta a los alumnos del I Ciclo de Economía. UNMSM 1992
c)
de Y sobre X ■ El error estándar de estimación o regresión Suv yx C
O
vy
y*
Y _ Í I Y 2 - a I Y - b X X-------— Aí
— --------------------
= I 5 3 9 3 6 -(-5 2 ,6 0 )(8 0 0 )-(7 1,24)(1346 ,59
S ^
V
12
84,93 S yx~
2 6 2 / RobER to B. A vila A costa
12
=
2,66
d) El coeficiente de correlación rectilínea (r), se puede calcular por cualquiera de las fórm ulas indicadas en este texto, com o por ejem plo :
r=
1
V
-^ |. =
s*
v
50.23
= JÓ 8591 V
r = 0.9269
El resultado r = 0.9269 expresa una alta correlación entre la estatura y el peso, es decir que se acepta que el peso esta influenciando en la estatura. e) Para graficar la recta Y* = -52,60 + 71.24 X sólo basta definir dos puntos en la ecuación, como: P 1 (1,50; 54), P2 (1,80; 76) por estos dos puntos se traza una recta, que correspondería a la ecuación dada (ver G ráfico N° 7.6.).
f) El peso estim ado para alumnos de 1.75 m. de estatura sería : Y* = -5 2 ,6 0 + 71,24 (1,75)
Y* = 7 1 ,2K g.
N o ta E Conocido el error estándar de estimación se puede definir un interva lo de confianza para el peso de alum nos 1,75 m. de estatura. Dado el intervalo de confianza Y *±2,66 = 71,2 ± 2,66 se deduce que el 68,3% de alum nos con 1,75 m. de estatura tendrían pesos com prendidos entre 68,54 y 73,86 kilos. P (68,54 < Y < 7 3 ,8 6 ) = 0,683 £|
Para realizar una Correlación le recomendamos el uso de Quaítro Pro. Deberá digitar sus datos en columnas consecutivas de la hoja de cálculo, luego seleccione el Me nú Tools, opción Advanced Math, seguidamente Regression y apare cerá esta ventana donde deberá indicar los datos de la siguiente manera: las variables X se ingresan en Independenty la variable Yse ubica en Dependent; luego indique la salida de los resultados con Output y ejecute el programa con Go. Este programa dá como resultado los siguientes datos : Constant, Std Err o f Y Est, R Squared, N° de Observations, Degrees of Freedom.X ^mmCoefficient(s) and Std Err of Coef. ESTADISTICA ELEMENTAL <263
GRAFICO N° 7.6. 85
80 75 _
D)
70 -
65 o w
o
Q-
60 r 55 +
50 T 45 -- ------------------------ f------------------------------------------------------------------------------------------------------- : 140
150
160
170
180
190
Estatura (cm.)
7.4.4 COEFICIENTE DE CORRELACION PARA DATOS AGRUPADOS Cuando los datos son num erosos es necesario agruparlos en una tabla bidim ensional de correlación, que se puede construir sin o con intervalos Para calcular V a partir de una tabla bidim ensional de correlación, se recom ienda la siguiente fórm ula : _
H ^ ^ x y ^ x dy — ( X ^ x
H/L^y ^ y )
J [ n E n x d 2 - ( X n x d x )2 ] [ n X n y d 2 - ( X n y d y )2 ]
que corresponde a un m étodo abreviado, basado en las desviaciones (d) respecto a un nuevo origen (O t); en esta fórm ula se tiene : n nx ny dx dy
= = = = =
núm ero de observaciones bidim ensionales. n¡ =frecuencias m arginales de la variable X. m = frecuencias m arginales de la variables Y. desviaciones respecto a un valor de X. desviaciones respecto a un valor de Y.
Cuando se tiene una tabla de bidim ensionales con intervalos, se d eterm i nan las respectivas marcas de clase de cada variable : X¡, Y( 264>Rob£RTO B. A v iU A costa
Dado los datos agrupados en una tabla bidim ensional, se procede de la siguiente manera: 1) Elegir para cada variable X e Y un origen de trabajo arbitrario y calcular las desviaciones : d » a i c = am plitud del intervalo u 'y c c 2) M ultiplicar las frecuencias m arginales por sus respectivas desviaciones (nxdx; nydy), luego sum ar obteniéndose : d UX
X nydy
X " xd x
3) O btener los productos nxd2x ; nyd2y , luego s u m a r: X nxd2x
X nyd2y
4) M ultiplicar las frecuencias bidim ensionales (nxy=n¡j) por el producto de sus desviaciones correspondientes a su fila y colum na (dxdy), obteniéndose los productos nxy dx d y cuya suma es : X n xyd xd y
Los valores de nxy dx dy se acostum bran anotarlos en un sem icírculo del correspondiente casillero de nyu Ay = n¡¡. ij
5) Finalm ente se reem plaza los valores en la fórm ula de " r " .
Ejem plo |7.8 En una m uestra de 400 profesores de Lima M etropolitana, fue clasificada bidim ensionalm ente de acuerdo a la edad (X) y el tiem po de servicios en la docencia (Y), com o se identifica en el Cuadro N° 7.4. A partir de estos datos analizar la correlación rectilínea correspondiente. a)
la tabla bidim ensional (Cuadro N° 7.4.) está construida con intervalos quinquenales de igual longitud (c = 5 años), y para cada variable se ha tom ado las desviaciones respecto a un valor arbitrario (Origen de trabajo) de cada variable X e Y, resultando : Intervalo de X : Marca de clase : dx :
25-29 27.5 -3
30-34 32.5 -2
35-39 40-44 37.5 42.5 -1 0X=0
45-49 50-54 55-59 60-54 47.5 52.5 57.5 62.4 1 2 3 4 ESTADISTICA ELEMENTAL <265
b)
A quí
0-4 2,5 -3
10-14 12,5 -1
5-9 7,5 -2
15-19 17,5 XO II O
Intervalo de V : Marca de clase : dy
20-24 22,5 1
25-29 27,5 2
30-34 32,5 3
nx = frecuencias m arginales de X = n¡ ny = frecuencias m arginales de Y = n^
estas frecuencias se m ultiplican por sus respectivas desviaciones. En la colum na (vertical) están los valores de nxd x con £ n xdx = -274. En la fila (horizontal) están los valores de nydy con £ n yd y = -363.
c) Los productos respectivos tam bién se ilustran en el Cuadro N° 7.4., donde. £ nxd2x = 1402 £ n yd2y = 1735 d)
Los productos se indican en los sem icírculos del cuadro, es importante com prender q u e : i= V8 £ n xyd xd y £ Hjjd.dj j= 1 ,7 y los cálculos se realizan com o sigue : n 11d 1d 1 = n 12d 1d2 ~ n21d 2d 1 = n22d2d 2 -
(71) (-3) (-3) (1) (-3) (-2) (70) (-2) (-3) (17) (-2) (-2)
= = = =
639 6 420 68
n 32d 3d 2
=
(8) (-1) (-2)
=
16
n 76d 7d 6
=
(6) (3) (2)
=
36 , etc.
en total son 18 productos luego sum ando (últim a colum na), resulta . E n ijd jd j
=
L nxydxdy
=
1481
e) R eem plazando los valores en la fórmula: n v n xyd xd y - ( l n xd x ) ( l n yd y )
^(nln^^-íX nxdxí^nlnyd^-íX nydy)2]
266> RobERTo B. Aví Ia Acomia
__________ 400(1481 )-(-2 7 4 )(-3 6 3 ) V [4 0 0 (1 4 0 2 H -2 7 4 )2 ](4 0 0 (1 7 3 5 )-(-3 6 3 )2 ] r = 0,9433 el valor de "r" está muy cercano +1, que expresa una alta correlación entre la edad y el tiem po de servicios de los profesores de Lima Metropolitan a.
N o ta |T] En los datos agrupados también se puede calcular el coeficiente de correlación rectilínea, mediante la expresión : C ov(X ,Y )
3.0809
S xS y
(1.7242) (1.874)
°'
donde : y n vud vd„ C ov(X ,Y )=— y * y- M (dx )M (d y ) n
= Hil_(_0.68 5)(-0.9075 ) = 3.0809
M ^ = ^ f - 0'685 M(dy )= *
n
= 400
= -0,9075
ESTADISTICA ELEMENTAL <267
o
r-’
o
2
T í
O u
O
CO
268^> RobERîo B. A v iU A costa
PERSONAL DOCENTE POR AÑOS DE SERVICIOS SEGUN EDAD. 1992.
Elaboración : Estudios y Ediciones RA.
^r <
e OJ 2 (0 E
'.5 CORRELACION DE RANGOS : COEFICIENTE DE CORRELACION POR RANGOS p______________
f
La correlación por rangos o de ordenam iento es un caso particular de la correlación rectilínea simple. El coeficiente de CORRELACION POR RANGOS (p) se aplica para analizar la relación o afinidad de dos variables cuando sus valores están e xp re sa d o s en núm eros ordinales, representados por los núm eros naturales 1,2,3,..., n. Frecuentem ente, se representan por tres tipos de problem as en los cuales es recom endable aplicar la correlación por rangos : i)
C u a n d o es im p o s ib le e s ta b le c e r una c a lific a c ió n m e diante va lo re s num éricos objetivos. Por ejem plo, en la calificación de una entrevista personal o un exam en oral, donde la calificación varía según quien sea el exam inador; si el m ism o exam inador hace dos pruebas o existen dos exam inadores, es probable observar variaciones en los resultados. Otros ejem plos serían las calificaciones o puntajes otorgados por los jueces en un concurso de belleza; los puntajes obtenidos en una dem ostración de gim nasia, o de un concurso de baile, etc. En la com paración de los rangos u ordenam ientos establecidos por dos personas o jueces diferentes, encargados de ordenar o clasificar individuos o objetos según alguna característica, se trata de establecer en qué medida dos ordenaciones son parecidas, concordantes o contradictorias. i)
ii) C uando se tiene datos observados en dos características que se pueden contar o m edir objetivam ente, cuyos valores se expresan en núm eros naturales racionales y en sus propias unidades, pero se advierte o se deduce que entre las dos variables hay una relación de orden. Entonces, de acuerdo a la m agnitud o valor es posible pasar de los datos origínales (núm eros cardinales) a valores ordinales o rangos 1 , 2 , 3 ..... n. Por ejemplo, si los datos observados para 5 regiones son el porcentaje de población rural (X) y el nivel de educativo prom edio (Y) que se expresan en núm eros cardinales, entonces según sus valores es posible ordenarlos, com o se indica a continuación:
ESTADISTICA ELEMENTAL <269
Valores Ordinales
Valores Originales X, 35.1
Y, 5.1
ul 4
V,
68.1
3.5
2
4
4 7 .6
4.0
3
3
75.2
2.6
1
5
16.9
6.1
5
1
2
aquí interesa analizar si existe relación entre la proporció n de població n rural y el nivel educativ o; por lógica se esperarí a una relación inversa, com o p o d ría com probarse cuando el lector calcule el coeficien te de correlac ión por rangos, puesto que los niveles educativ os son más bajos en poblacio nes rurales.
iii) Para analizar el grado de habilidad de una persona, para determ inar la ordenac ión correcta de "n" individuo s u objetos de acuerdo a la intensida d de una caracter ística. Por ejemplo, presenta r 6 objetos de la misma forma y de pesos ligerame nte diferente s, luego someter a una persona a la prueba de ordenar en dos oportuni dades los objetos según sus pesos, de m ayor a m enor peso, al final es probable que las dos ordenac iones tengan alguna variación , que se analiza por el Coeficie nte de correlación por rangos (p), cuyo v a lo r indicará la habilidad de la persona para este tra b a jo de ordenac ión.
A. FORMU LA PARA CALCUL AR
p :
El análisis de la correlación por rangos determ ina si dos ordenam ientos guardan relación o son coincide ntes, o sim plem ente son discrepa ntes. Para DE determ inar la m agnitud de esta relación, se utiliza el COEFIC IENTE 6 : r o p definido ) (p S CORRE LACION POR RANGO
6Id f P=1- i=l n(n2-1) fórmula deducida por C. Spearma n (1904), donde : d¡ Uj v¡ n
= = = =
u¡ - v¡; la diferenc ia entre los rangos u ordenes de las variables X e Y. orden asignado a la primera variable X. orden asignado a la segunda variable Y. núm ero de pares de valores ordenad os.
270j) RobtRTo B. A v iU A costa
El coeficie n te por rangos (p ) es una m edida de la asociación de dos variables expresa das en escala de tipo ordinal, de modo que entre los objetos o individuo s estudiad os puede establec erse un orden jerárquic o para la series. Por ejem plo podem os ordenar n individuo s según sus prejuicio s de clase social (X) y según una escala de ingresos (Y), en este caso se ordenarí an los valores de 1 a n.
B. PROPIE DADES DE p : 1) Com o los ordenam ientos u¡, v¡ son núm eros enteros y positivos (número s naturale s), distintos , cuyos valores están com prendido s desde 1 a "n", ordenad os de dos maneras , se tiene que : M(u¡) = M (v¡);
V (U j) = V(v¡)
2) El coeficien te de correlación por rangos, tam bién cum ple la condició n: -1 á de donde : Si p = +1, Si p = -1, Si p = 0 ,
p
s
+1
entonce s ambas ordenac iones o calificaciones son coincide ntes. entonce s ambas ordenac iones o calificaci ones son perfecta m ente contraria s, discrepa ntes o de ordenac ión inversa. significa que ambas ordenaci ones no tienen ninguna relación.
3) i.a relación o validez de las calificaciones u ordenac iones realizada s por dos jurados, en dos pruebas, etc., será más significa tiva en la medida que p se acerca a 1.
Ejem plo [7.9 En un concurs o para seleccio nar personal, dos supervis ores califican a 10 postulan tes, consider ando los respectiv os puntajes , se obtiene los siguiente s resultad os ordinale s : POSTULANTE
A
B
C
0
E
F
G
H
I
J
Supervisor 1 (u¡)
4o
2o
7o
6’
10°
3°
8o
9P
1o
5o
Supervisor 2 (v¡)
4o
3o
9P
5°
8o
1o
1°
10°
2o
6o
ESTADISTICA ELEMENTAL<271
De acuerdo a estos resultados, antes de tom ar una decisión se debe medir los niveles de concordancia de las calificaciones dictam inadas por los supervi sores, para el efecto se calcula el coeficiente de correlación por rangos. Del cu a d ro N° 7.5., a p lica n d o la fo rm ula de S pearm en, se obtiene r = 0.891 valor cercano a 1, que expresa que las calificaciones están bastante asociadas o muy afines, por tanto es aceptable la escala de méritos propuesta por los supervisores. Al igual que la correlación lineal, si p = +1, entonces las ordenaciones son coincidentes, si r = -1 significa que las ordenaciones son contradictorias. C u a d ro N° 7.05 PUNTAJES ORDINALES DE 10 CONCURSANTES U¡
v¡
4 2 7 6 10 3 8 9 1 5 n = 10
a ,= u i - v ¡
4 3 9 5 8 1 7 10 2 6
0 -1 -2 1 2 2 1 -1 -1 -1
6 Id ,2 P = 1~
n(n2 -1 )
—
0
6(18)
p=1—
1
10( 102 - 1)
4 1 4 4 1 1 1 1 F.d2i = 18
108 P=1-
990
r = 1 -0 .1 0 9 r = 0.891
Ejem plo |7.10 En un conjunto de 12 estudiantes de la Universidad Nacional M ayor de San Marcos, fueron exam inados en las asignaturas de Estadística y Economía, obteniendo los puntajes indicados en el Cuadro N° 7.6. Ahora interesa analizar si existe alguna relación entre la aptitud o rendim iento entre Estadística y Economía. En este caso de acuerdo a los puntajes (números cardinales) se puede transform ar en una escala de m éritos o en valores o rd in a le s, a s ig n a n d o al v a lo r 1 al m a yo r p untaje , 2 al sig u ie n te y a sí sucesivam en te para cada asignatura, de m odo que al m enor puntaje le corresponda el núm ero 12, puesto que n = 12. Los valores ordinales se indican a continuación el cuadro de valores cardinales o puntajes. p=1 -
6(134) 12(12 2 -1 )
2 7 2 >R o b E R T O
B. A v í I a A c o s ta
de
donde
p = 0,532
valor muy lejano de 1, estaría dem ostrando una correlación relativam ente débil, es decir, no existe una relación muy significativa entre el rendim iento en la asignatura de Estadística y Econom ía, deducido a partir de los resultados ya indicados. C u a d ro N° 7 .06 PUNTAJES OBTENIDOS EN LAS ASIGNATURAS DE ESTADISTICA Y ECONOMIA, Y VALORES ORDINALES. Estu-
Valores
PUNTAJES
dian
Estadística
Economía
tes
x¡
Yi
A
76,0
d’ T
Ordinales
U¡
= ( Ui - Vi )2
V¡
76,2
9
5
16
7
25
B
48,0
72,4
12
C
90,4
80,0
3
4
1
3
4
D
92,4
81,4
1
E
82,2
85,8
6
1
25
54,0
8
10
4
62,0
11
9
4
6
16
11
1
F G
80,8 53,6
H
91,2
75,8
2
I
68,6
56,6
10
J
85,6
68,6
5
8
9
K
81,0
50,8
7
12
25
L
86,0
85,0
4
2
4
134 = y,d2i E la b o ra ció n : Estudios y Ediciones R.A.
Ejem plo 17.11 Correlación entre ruralización y analfabetism o. Los hechos socio educativos dem uestran que la población analfabeta reside en su m ayoría en el área rural, donde e vidente m ente son m ayores las dificultades para las acciones educativas. En este contexto, convendría analizar qué relación existe entre el analfabetism o y la proporción de población rural? Como dato consideram os los resultados censales de 1981 del Perú; en el Cuadro N° 7.7 se indican la proporción de población rural y las tasas de analfabetism o por departam entos. 1o) Transform ar los valores porcentuales (núm eros cardinales) en valores ordinales (núm eros naturales) del 1 al 25, porque existen 25 departamentos en el Perú. En el ejemplo, en la variables (X) porcentaje de la población rural, a C ajam arca le correspondería 1 por que tiene la proporción rural más alta (78 8% ) y al Callao el valor 25 por ser la más baja (0.7%), en los E S T A D IS T IC A
E LE M E N TA L <273
dem ás departam entos se asigna un va lor ordinal según el valor de X. En el caso del analfabetism o, variable (Y), al departam ento de A purím ac le corresponderá 1 por tener la tasa de analfabetism o más alta (51.2% ), a A yacucho el valor 2 donde el analfabetism o es 43.3% y al Callao el valor 25 por tener la tasa más baja (2.9% ).
2o) En las siguientes columnas del Cuadro N 7.7. se indica los valores ordinales (u¡,Vj) para cada variable en cada uno de los 25 departam entos del Perú.
Se observa que am bas variables no guardan el mismo orden, es decir no hay una co rre la c ió n perfecta. M ie n tra s C ajam arca tiene la más alta proporción de población rural (78.8% ) no le corresponde la más alta tasa de analfabetism o, sino que ocupa el quinto lugar; el departam ento de Piura sólo ocupa el 16 lugar por su población rural (39 0% ) sin em bargo le corresponde el sexto lugar de analfabetism o (32.2% ). Por otra parte, los departam entos de Callao, Junín, Tacna y Tum bes ocupan el mismo orden para las dos variables. Los departam entos de Lam bayeque y Moquegua tienen tasas de analfabetismo iguales (12.4%) que ordinalmente correspon dería los lugares u ordenes 16 y 17, que puede asignarse indistintam ente sin em bargo es recom endable asignar a los departam entos el prom edio de 16 y 17, es decir asignar el valor 16.5 tanto a Lam bayeque com o a M oquegua. 3o) Una vez asignados los valores ordinales a cada departamento, se procede a calcular el Coeficiente de Correlación por Rangos (p) o de Spearman: p -1
6 Id ? n(n2 -1 )
= 1
6(384,5) 2 5 (2 5 2 -1 )
0,8521
El valor p = 0,8521 equivale a una correlación o asociación muy aceptable, que perm ite sostener que "existe una relación directa y significativa, pero no determ inante, entre el analfabetism o y la proporción de población rural por área, regiones o departam entos del Perú". En térm inos generales, a m ayor ruralización 'mayores estados de analfabetism o.
2 7 0 RobeRio B. Aví Ia A costa
C uadro N° 7.07 PERU : PROPORCION DE POBLACION RURAL Y TASAS DE ANALFABETISMO, POR DEPARTAMENTOS, 1981. (porcentajes) P O B L A C IO N
TA SA DE
VALORES
RURAL
ANALFA
O R D IN A L E S
<%)
B E T IS M O
1. AMAZONAS
68,1
25,7
2. ANCASH
47,6
3. APURIMAC
DEPARTAM ENTOS
v¡
= ( u ¡ - V i)2
6
9
9
27,0
10
8
4
75,2
51,2
3
1
4
4. AREQUIPA
16,9
9,7
23
20
9
5. AYACUCHO
63,2
43,6
7
2
25
6. CAJAMARCA
78,8
33,8
1
5
16
7. PROV. C. CALLAO
0,7
2,9
25
25
0
8. CUSCO
59,2
36,0
8
4
16
9. HUANCAVELICA
75,3
u¡
42,5
2
3
1
10. HUANUCO
69,6
31,1
5
7
4
11. ICA
22,3
6,2
20
23
9
12. JUNIN
43,0
17,8
12
12
0
13. LA LIBERTAD
34,9
16,4
17
13
16
14. LAMBAYEQUE
23,0
12,4
18
16,5
2,25
15. LIMA
4,3
4,5
24
24
0
16. LORETO
45,8
14,6
11
15
16
17. MADRE DE DIOS
57,1
11,6
9
18
81 6,25
18. MOQUEGUA
22,9
12,4
19
16,5
19. PASCO
42,4
20,9
13
11
4
20. PIURA
39,0
32,2
16
6
100
21. PUNO
70,7
21,5
4
10
36
22. SAN MARTIN
40,4
15,4
15
14
1
23. TACNA
14,6
8,4
22
22
0
24. TUMBES
21,2
8,8
21
21
0
25. UCAYALI
41,4
10,4
14
19
25
y d 2=384,5 Fuente : INE. Censo Nacional de Población. 12 de Julio de 1981. Elaboración : Actualidad Estadística. Estudios y Ediciones R.A.
E S T A D IS T IC A
ELEM ENTAL <275
fcg r|OTRÁS MEDIDAS
de
CORRELACION SIMPLE
Com o se entiende, los coeficientes de correlación son indicadores que ex presan m atem áticam ente el grado de asociación entre variables, se usa con frecuencia para probar hipótesis de asociación o dependencia entre variables. Los coeficientes de asociación por sí solos no indican influencia o causalidad, una alta correlación no es determ inante para sostener una dependencia rígida entre variables, sin em bargo constituye una de las condiciones para que se pueda establecer una relación de causalidad o de explicación entre las varia bles relacionadas. La asociación entre variables nom inales se denom ina tradicionalm ente análisis de contingencia o asociación. A s í com o el coeficiente r de Pearson y el p de Spearm an, existe una variedad de coeficientes, que entre los más sim ples se tiene el Coeficiente de Y ule (Q ) y el coeficiente de Phi (tp).
7.6.1
COEFICIENTE DE YULE:
Q
Mide la asociación de dos variables nom inales o de atributo dicotóm ico, es decir dos variables con dos categorías excluyentes : Sexo (mujer y hombre); estudia, no estudia; si - no trabaja; tiene y no tiene; etc. Es aplicable para tablas de 2 x 2 (dos filas y dos columnas).
s¡(+)
No(-) Total
•f
-
SI
NO
a c a +c
b d b +d
a+b c +d
Q =
ad - be ad + be
El coeficiente Q no es aplicable cuando uno de los casilleros está vacío o es cero. Si algún casillero es cero, resulta falsam ente Q = 1. Este coeficiente no está afectado por las frecuencias marginales, por lo tanto no variará cuando cam bien las proporciones de los dos atributos que interesa asociar en la muestra.
2 7 6 > R o b E iu o
B.
A v í I a A costa
Ejem plo |7.12 Analizar la asociación entre la práctica del deporte y el sexo, indica una asociación o dependencia relativam ente alta entre la práctica del deporte y el sexo, para esta población de 170 personas. Es fácil advertir que los hom bres practican más deporte que las mujeres.
PRACTICA
SEXO
DEPORTE
HOMBRE
MUJER
Si
70
30
100
No
20
50
70
T otal
90
80
170
Q _ 7 0 x 5 0 - 2 0 x 3 0 _ 2900 ~ 7 0 x 5 0 + 2 0 x 3 0 " 4100 Q = 0,707
Ejem plo |7.13 Relación entre el éxito-fracaso en los estudios profesionales y el haber recibido o no orientación vocacional.
ORIENTACION RECIBIDA
EXITO
FRACASO
TOTAL
Si
20
12
32
No Total
10
15
25
30
27
57
7.6.2
20x15-10x12
Q
20x15 + 10x12 180
Q
420
= 0,428
EL COEFICIENTE PHI: 0>
Es un coeficiente apropiado para m edir el grado de asociación de dos variables de escala ordinal o nominal, pero que sean realm ente dicotómicas. Los datos se ordenan en una tabla 2 x 2 y su fórm ula es :
_________a .d - b .c ________ 7 (a + b)(a + c)(b + d)(c + d)
a
b
a +b
c
d
c + d
a +c
b + d
El coeficiente í> no siem pre varía de +1 a -1. El a valor máxim o que puede alcanzar O viene dado por la fórm ula : ESTADISTICA ELEMENTAL <277
Max<&=
3
b
C
d
P q
P'
q1
1.00
Interesa analizar la relación entre analfabetism o y la fecun didad. El siguiente cuadro correspond e a los datos obtenidos en 400 mujeres de una ciudad de la costa. A quí la hipótesis es : "La fecundidad disminuye con el aum ento del nivel educativo". En este caso, las alfabetizada s tienden é tener m enos hijos que las analfabetas .
Ejem plo |7.14j
ALFABETI-
FECUNDIDAD
_____ i
A lfa b e tiz a d o s
A lta (más de
Baja (menos
4 hijos)
de 3 hijos)
o oo
ZACION
140
TOTAL
170
(a+b)
(b)
A n a lfa b e to s
160
T o ta l
190
70
(0
230
(a+c)
__3 0 x 7 0 -1 4 0 x 1 6 0
(c+d)
(d)
210
400 (b+d)
_ 2 1 0 0 -2 2 4 0 0
90x210 x170x230 ~
3 9498
O = -0,514 por el signo negativo se deduce una relación inversa, entre el nivel educativo y fecundidad. E ntonces se com prueba que a m ayor nivel de educativo (alfabetizad o) m enor nivel de fecundidad. Para la interpretació n es im portante conservar el mismo orden en ambas variables, aquí de más a menos (alfabetoanalfabeto y alta-baja). H Tanto en los coeficientes Q de Yule, com o en , si en las categorías de las variables hay un criterio de orden, es im portante considerar el signo. En caso contrario, si no es posible ordenar las categorías se puede prescindir del signo.
278/ RobERfo B. A v í Ia A costa
F líllDEGRESION Y CORRELACION SIMPLE NO LINEAL Es muy frecuente expresar la relación entre dos variables mediante una línea recta; sin em bargo, existen algunas variables, com o aquellas relaciona das con las actividade s de los negocios y de la econom ía, que por su por com portam iento resulta más convenien te expresar su relación mediante una curva o función no lineal. Esto significa que para los "n" pares de valores (X,Y) es posible ajustar una curva o función tales com o : la curva parabólica , la potencial, la exponenc ial, hipérbola equilátera , etc. Por su parte, a cada curva la correspon de un "Coeficie nte de Correlación No Rectilínea "
7.7.1
LA PARABO LA DE SEGUNDO GRADO
La curva o función de regresión parabólica se construye a partir de la ecuación polinomia l de segundo grado: Y* = a + bX + cX2 que tiene tres parám etros o coeficiente s desconoc idos a,b,c. Para determina r el valor de estos tres parám etros se requiere tres ecuacione s. Precisame nte aplicando el método de los M ínimos Cuadrado s se obtiene las tres Ecuacione s Norm ales siguientes : 1)
£ Y = n a + bX x + c £ x 2
2)
x xY = a X x + b i ; x 2 + c X x3
3)
L X 2Y = a £ X 2 + b £ X 3 + c £ X 4
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES NORMALES : Por el m étodo de los m ínim os cuadrados se parte de la expresión : M in o = £ ( Y - Y *)2 Y * = a + bX + c X 2
donde reem plazando : se tie n e :
MinO = £ ( Y - a - bX - c X 2 )2 derivando parcialm ente, respecto a los parám etros a,b,c resulta E S T A D IS T IC A
E LE M E N TA L< 279
d e s a rro lla n d o su m ato ria s y tra s p o n ie n d o té rm inos, se o b tie n e las tres ecuaciones normales anotadas anteriorm en te. En este sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas (a,b,c) se reem plaza el valor de las sum atorias que se obtiene de los datos y luego se resuelve.
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN: Para determ inar el "Error estándar de estimación" de la parábola se parte de la definición :
donde se sustituye Y* = a + bX + cX 2 para o b te n e r:
desarrollando el cuadrado, factorizando y sim plificando térm inos resulta :
que finalm ente es la fórmula para calcular el Error Estándar de Estimación.
Aquí
= Sg, constituye la V arianza Residual.
EL COEFICIENTE DE CORRELACION PARABOLICA Por otra parte, para deducir la fórm ula del C oeficiente de Correlación Parabólica se considera la definición de coeficiente de correlación, dado por:
de donde : l Y * 2 -nY 2
2
1
_
0
sustituyendo Y* se tiene :
— 2
£ Y 2 -nY 2 Y ( a + b X + c X 2 )2 - n Y r = — ------- --------- ------------£ Y 2 -nY
e je c u ta n d o o p e ra c io n e s , fa c to riz a n d o y s u s titu y e n d o e x p re s io n e s por ecuaciones norm ales, se obtiene finalm ente : 2
a Y Y + b X X Y + c Y X 2Y - n Y I V 2-nY 2
cuya raíz cuadrada (r) constituye la fórm ula del Coeficiente de Correlación Parabólica. Tam bién se puede aplicar la fórm ula :
donde S 2yx (varianza residual) y S2y (varianza de Y) se pueden calcular fácilm ente por las form ulas ya conocidas.
Ejem plo 7.15 En las prim eras colum nas del Cuadro N° 7.8., están el volum en mensual de ventas (Y) en m illones de soles y los años de experiencia en ventas (X) de 10 vendedores profesionales de una fabrica productora de alimentos. a) C onstruir el diagram a de esparcim iento. b) D eterm inar la Curva de Regresión Parabólica. E S T A D IS T IC A
E LE M E N TA L <28 1
c) Calcular el E rror E stándar de Estimación. d) Calcular el C oeficiente de Correlación. e) G raficar la curva de regresión obtenida. S o lu c ió n : a) El diagram a de esparcim iento de los puntos (X,Y) se pueden apreciar en
el G ráfico N° 7.7. cuya form a insinúa el ajuste de una curva, com o una parábola; esto no anula la posibilidad de ajustar también una línea recta C u a d ro N° 7.08 DETERMINACION DE LA CURVA DE REGRESION PARABOLICA DE LAS VENTAS MENSUALES (Y) Y EXPERIENCIA (%) EN VENTAS DE 10 VENDEDORES PROFESIONALES ----- Y—
X
XY
5
4 5
6
30
2
8
5
25 42 70 3
4 5 7
6
10
7
3
11
1 8
4 9 64
3 7 48
LY
20
IX
X2 16 25 4 25 36 49
X2 64 125 125 216 343
X4 256 625 16 625 1 296 2 401
1
1
1
88 12 63 361
64 9 49 278
LXY
IX 2
8
512 27 343 1 764 . IX 3
Y2 25 36 16 25 49
4 096 81 2 401 11798
X2Y 80 150 16 125 252 490 3 704 36 441 2 297
IX 4
I X 2Y
IY 2
100 9
121 16 81 478
Fuente : Record Individual de Ventas. Departamento de Ventas. Fábrica de Alimentos 2002. S A . 198 Elaboración : Actualidad Estadística. Estudios y Ediciones RA.
b) Para la curva de regresión parabólica :
Y* = a + bX + cX 2 las Ecuaciones N orm ales son : £ Y = na + b £ X + c £ X 2
£ X Y = a]r;X + b £ X 2 +C£ X 3 I x2Y = aX X 2 + b £ X 3 + cX X 4
282> RobERio B. A víIa A co s ia
sustituyendo el valor de las sum atorias calculadas en el Cuadro N° 7.8., resulta : 64 = 10a + 48b + 278c 361 = 48a + 2 7 8 b + 1764c 2297 = 278a + 1764b + 11798c resolviendo el sistem a se obtiene : a = 3.5762;
b = -0 .3 8 2 4 ;
c = 0.1676
luego la ecuación de regresión parabólica es : Y* = 3.5762 - 0.3824 X + 0.1676 X 2 c)
En la fórm ula del error estándar de estim ación :
I Z Y 2 - a X Y - b I X Y - c X X 2Y se reem plaza las sum atorias y parám etros : „ 14 7 8 -(3 .5 7 6 2 )(6 4 )-(-0 .3 8 2 4 )(3 6 1 )-(0 .1 6 7 6 )(2 2 9 7 ) Syx-d ^ Syx = ^ 0 2 1 9 2 =0.4682
d)
Para calcular el C oeficiente de correlación parabólica podem os u s a r : 0.2192
0.9680
6.84 r = 0.9838 sabiendo que : IY 2
Z Y ]2 n
J
478 " 10
f 64 Nj2
110 J
= 6,84
Tam bién se puede aplicar la fórmula:
ESTADISTICA ELEMENTAL <283
C 2
aXY +b£XY +ci;X 2Y-nY 2 £Y
,
2
- 2
-n Y ¿
reem plazando los valores : r2
_ (3 .5 7 6 2 )(6 4 )+ (-0 .3 8 2 4 )(3 6 1 )+ (0 .1 6 7 6 )(2 2 9 7 )-1 0 (6 .4 )2 4 7 8 -1 0 (6 .4 )2
r2 = 0.9679
luego r = 0.9838
el valor de r = 0,9838, indicaría que la correlación es muy significativa, es decir que la curva parabólica expresa adecuadam ente la relación entre las variables consideradas.
e) Para graficar la ecuación : Y* = 3.5762 - 0.3824 X + 0.1676 X 2 tenem os que determ inar algunos "puntos aislados" asignando valores a X, así tenem os : Si
X = 0, X=1, X = 5, X =8,
Y = 3.6 Y = 3.4 Y = 5.8 Y = 11.2
P 1 ( 0 ; 3,6) P 2 (1 :3 .4 ) P 3 (5; 5,8) p 4 (8; 1 1 ,2 )
estos 4 puntos se ubican en el plano y por ellos aproxim adam ente construi mos la parábola. Com o se observa en el G ráfico N° 7.7., la parábola pasa a lo largo del diagram a de esparcim iento. Los valores observados Y están ubicados alrededor de la parábola, en tanto que los valores teóricos o estim ados Y* están ubicados en el lugar geom étrico de la parábola.
284> R o b e u io
B.
A v iU A costa
GRAFICO N° 7.7 DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO Y CURVA DE REGRESION PARABOLICA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A ñ o s d e E x p e r ie n c ia
7.7.2
LA FUNCION POTENCIAL
La curva de re g re sió n potencial se cons truye a partir de la función potencial cuya ecua ción es :
Y* = b X a que tiene dos parám etros desconocidos a,b. En este caso se trata de ajustar una curva po tencial a la nube de puntos (X,Y). R ecordem os que por una nube de puntos (X,Y) pueden pasar m uchas funciones poten ciales, de esta fam ilia de curvas se elige la que mejor se ajuste a los valores de (X,Y), es decir que las diferencias o residuo (Y - Y*) sean m ínimos. Tal como se ha establecido, el método de los m ínim o cuadrados permite determ i nar la m ejor curva. Com o hay dos parám etros (a,b) se necesita dos ecuaciones normales. Para facilitar la determ inación de las dos ecuaciones norm ales conviene expresar la función original en térm inos logarítm icos. ESTADISTICA ELEMENTAL <285
Si Y * = b X a entonces Lg Y* = log b + a.log X ahora los parám etros son log.b; a.
LAS ECUACIONES NORMALES : A plicando el m étodo de los m ínim o cuadrados, la expresión por minimiza! es: MinO = £ ( lo g .Y - log. Y * ) 2
sustituyendo log Y* :
= X ( ! o g . Y - lo g . b - a
log.X ) 2
derivando parcialm ente, respecto a los parám etros log.b : a : — = 2 £ ( lo g . Y - lo g . b - a d(log.b) = X ( lo g . Y - lo g . b - a
CB
=
2
]T(log. Y - log.b - a
lo g .X )(-1 ) = 0 log.X ) = 0 lo g .X )(-lo g .X ) = 0
= £ (lo g . X.log Y - log. b. iogX - a. log 2 X) = 0 resultando las ecuaciones norm ales siguientes : X Io g .Y = n lo g b + a Y IogX ]T lo g X lo g Y = log b £ lo g X = a £ (IogX ) 2 en este par de ecuaciones reem plazar el valor de las.sum atorias obtenidas en el cuadro de trabajo a partir de los datos bidim ensionales (X,Y), luego se resuelve sim ultáneam ente para obtener el valor de los parám etros : a ; lo g b.
286> R obERto
B.
A v í I a A c o v ia
COEFICIENTE DE CORRELACION La dete rm inac ión dei coef icien te de corr elac ión pote ncia l, se realiza a part ir de la defin ición gene ral, dada por la expr esió n.
r=
VY
*2
-n Y ~
Y y -n Y elev ando al cuad rado y sustituye ndo la func ión en térm inos loga rítmicos, resu lta , y . (log Y*) -n (lo g Y )‘ r = f (log Y ) 2 - n (log Y )' dond e log Y _
Aho ra reem plaz ando log Y* resu lta :
r2 =
y (logb + a lo g X ) 2 - n ( lo g Y ) ¿ E ( lo g Y ) - n ( lo' g Y ) 2 '
desa rroll and o el b,no mio( log b + a log X ?. facto rlzan do , sim plific ando , se obtie ne :
,
a Y lo g X Io g Y + lo g b y lo g Y -n (lo g Y )2
r "
£ (lo g Y )2 -n (ío g Y )2
dond e la raíz cuad rada (r) cons tituy e la fórmula del Coe ficie nte de Corr elac ión Pote ncia l, cuyo valo r debe satis face r la prop ieda d fu n d a m e n ta l. -1
< r <
+ 1
I j l i w é s o ^ cons umc ) prom edio men sual (en mile s de peso s) de una mue stra de 1 2 fam ilias de distintos estra tos sociales , fue el sigu iente Ingr eso
13
15 17 18 20 21 22 24
24 26 28 30
Con sum o
12 14 16 15 18 18 17 19
21 20 21 22
ESTADISTICA ELEMENTAL<287
a) C onstruir la nube de puntos o diagram a de esparcim iento. b) A justar los datos a una curva de regresión potencial. c) C alcular el coeficiente de correlación potencial. e) Estim ar el valor del consum o de una familia con un ingreso m ensual de 25,000 pesos.
Solución : a) Los puntos (X,Y) se grafican en un plano rectangular y resulta el diagram a de esparcim iento o nube de puntos del G ráfica N° 7.8, com o se observa, la nube de puntos sugiere una curva
b) Trabajam os con la curva de regresión potencial en su form a logarítm ica: Log Y* = Log b + a Log X cuyas E cuaciones Norm ales son : £ lo g Y = n log b + a £ lo g X X lo g X log Y = log b Y lo g X + a £ (lo g X ) 2 sustituyendo valores de las sumatorras calculadas en el Cuadro N° 7.9., se obtiene : 1 4 .9 1 3 0 = 12 log b + 15.8410 a 19.7794 = 15.8410 log b + 21.0450 a de donde : a = 0.698
log b = 0.3213
ó
b = 2.096
lu e g o : log Y* = 0.3213 + 0.698 X o
tam bién : Y* = 2.096 X o 6 9 8
c) El coeficiente de correlación potencial se obtiene sustituyendo valores en la fórm ula :
288/ RobEmo B. A ví Ia A costa
2
a X Io g X Io g Y + lo g b X Io g Y - n ( lo g Y ) 2 S ( l° g Y ) 2 -n ( lo g Y ) 2
2
(0.698)(19.7794)+(0.3213)(14.913)-12(1.2427)2 18.6030-12(1.2427)2 r 2 =0.9166
r = 0.9574
El valor de r es bastante cercano a + 1, lo cual indica que la curva potencial se ajuste muy bien a los datos (X,Y) del ejemplo, y por tanto es un buen modelo para estim ar el consum o fam iliar en función de sus ingresos, en la ciudad de Libertad, siem pre que no hayan cam biado sustantivam ente los patrones de consum o. d) Para graficar la ecuación : Y* = 2.096 X 0
698
el m étodo m ás sencillo es determ inar algunos puntos aislados (X,Y) para el efecto se asigna valores a X de donde resulta el valor de Y. resulta resulta resulta resulta resulta
II N> O
X
X = 10, X = 15, X = 25, X = 30,
Y Y Y Y Y
= = = = =
10.5 13.9 17.0 19.8 22.5
estos 5 puntos se grafican en el mismo plano de la nube de puntos (Gráfico N° 7.8 ), luego por estos puntos trazar a "m ano alzada" la curva potencial obtenida. Se observa que los puntos del diagrama de esparcim iento están muy cerca a la curva; entonces puede afirm arse que el error estándar de estim ación es m uy pequeño, es decir que la curva obtenida se ajuste muy bien a los datos bidim ensionales Consum o (Y) e Ingreso (X). e) Para un ingreso de 25000 pesos mensuales, significa reem plazar en la función potencial X = 25; luego: Y* = 2.096 (25)°
698
Y* = 19.82 miles de pesos
aproxim adam ente una familia que tiene un ingreso de 25,000 pesos gastaría o consum e alrededor de 19,820 pesos mensuales.
ESTADISTICA ELEMENTAL
C uadro N° 7.09 INGRESO (X) Y CONSUMO (Y) PROMEDIO MENSUAL DE UNA MUESTRA DE 12 FAMILIAS, EN LA CIUDAD LIBERTAD, 1992. X -------
Y
lo g X
lo g Y
lo g X lo g Y
(lo g X p
( lo g Y)2
13
12
1,1139
1,0792
1,2021
1,2409
1,1646
15
14
1,1761
1,1461
1,3480
1,3832
1,3136
17
16
1,2304
1,2041
1,4816
1,5140
1,4499
18
15
1,2553
1,1761
1,4763
1,5757
1,3832
20
18
1,3010
1,2553
1,6331
1,6927
1,5757
21
18
1,3222
1,2553
1,6597
1,7483
1,5757
22
17
1,3424
1,2304
1,6518
1,8021
1,5140
24
19
1,3802
1,2788
1,7650
1,9050
1,6352
24
21
1,3802
1,3222
1,8249
1,9050
1,7483
26
20
1,4150
1,3010
1,8409
2,0021
1,6927
28
21
1,4472
1.3222
1,9135
2,0943
1,7483
30
22
1,4771
1,3424
1,9829
2,1819
1,8021
258
213
15,8411
14,9132
19,7799
21,0451
18,6033
IX
IY
I l o g X lo g Y
I d o g X )2
I ( io g Y ) 2
Ilo g X
D ogY
F uente : CONADEP. Encuesta de Hogares. Junio 1992. E la b o ra ció n : Actualidad Estadística. Estudios y Ediciones R A .
G R A F IC O N° 7.8 D IA G R A M A DE E S P A R C IM IE N T O Y C U R VA P O T E N C IA L DEL ING RESO (X) Y C O N SU M O (Y) DE UNA M U ESTR A DE F A M IL IA S . 1987.
290/ RobíRTO B. AviU A costa
7.7.3
FUNCION EXPONENCIAL
La curva de regresión exponencial se determ ina a partir de la función exponencial de la form a :
Y* = a bx que tam bién tiene dos parám etros (a,b). Esta función se utiliza cuando interesa cal cular tasas de increm entos considerando to dos los puntos observados durante un período, aquí se supone que existe un crecim iento no lineal de tipo geom étrico. La ecuación Y* = a bx , es sem ejante a la fórm ula del interés com puesto donde b = 1 + i y X = tiempo, es d e c ir :
Y = a (1+ i)x
ó
C n = C 0 (1 + i)n
aquí "i" es la tasa de crecim iento prom edio del período. El Problem a es ajustar líneas a nubes de puntos (X,Y) de com portam iento no lineal, en esta oportunidad interesa determ inar la función exponencial que m ejor se ajuste a la nube de puntos (X,Y). De la m ism a m anera que la función potencial, transform ar la función exponencial original en form a logarítm ica. Entonces aplicando el operador log. a la expresión: Y* = a bx se transform a en :
log Y* = log a + X log b en donde los parám etros son : log a, log b.
ESTADISTICA ELEMENTAL <291
LAS ECUACIONES NORMALES De acuerdo a lo sostenido en páginas anteriores, para determ inar la m ejor curva exponencial de un conjunto de puntos se aplica el método de m ínim os cuadrados, que significa m inim izar la expresión : M inO = X (log Y - lo g Y * ) 2 sustituyendo log Y ’ se tiene :
M in o = X (log Y - log a - X log b ) 2 derivando parcialm ente respecto a los parám etros log a, log b se obtienen las ecuaciones norm ales para el caso exponencial. ffá) — ------- = <3log a
clog b
2
£ ( lo g Y - lo g a - X lo g b ) ( - 1 ) =
0
= 2 E (log Y - log a - X log b ) ( - X ) = 0
efectuando las operaciones indicadas en las derivadas, resultan las siguientes Ecuaciones N orm ales : X log Y = n log a + log b X X X X log Y = log a X X + log b X X
2
donde las incógnitas son (log a, log b), cuyos valores se obtienen reem plazan do las sum atorias.
COEFICIENTE DE CORRELACION EXPONENCIAL La fórm ula del C oeficiente de Correlación Exponencial, se deduce de la definición, donde es suficiente reem plazar log Y*, resultando que : r2
= X ( lo9 Y * -|o9 Y)2 = X ( |09 Y*)2 -n(log Y)2 X (log Y-log Y)2 X (lo9 Y )2 - n (log Y)2
292> RobERTo
B. A ví Ia A costa
r2
= Z(log a + x jog b)2 — n (log Y)2 Z (log Y)2 - n (log Y)2
desarrollando el binomio, factorizando y sim plificando : 2
_ log b]TX logY + log a ^ lo g Y -n (lo g Y )2 Z ( |o 9 Y)2 -n (ío g Y )2
de esta expresión, la raíz cuadrada (r) es el valor del Coeficiente de correlación exponencial.
Ejem plo 7.17 Para estim ar la función de Costo Total (C m edida en m illones de pesos) con respecto a la producción total (Q m edida en miles de unidades), un fabricante ha obtenido el siguiente conjunto de datos m uéstrales : Producción (Q) : Costo Total (C) :
10 30
20 36
30 40
40 48
50 50
60 70 54 6 6
80 68
Con estos datos : a) Construir el diagram a de esparcim iento. b) Determ inar la función de C osto Total, a través de una curva de regresión exponencial. c) Calcular el coeficiente de correlación exponencial. d) G raficar la curva de regresión o función de costo total. e) Estim ar el costo total, si se produce 42,000.
Solución : En este caso, es claro que : Costo Total = f (producción) o sea C = f (Q) donde los puntos bidim ensionales serían (Q,C), equivalente a (X,Y).
a) Los puntos (Q ,C) constituyen el diagram a de esparcim iento o nube de puntos, que se presentan en el G ráfico N° 7.9.
b) La curva de regresión exponencial (función costo total) es : Y* = a bx
log Y* = log a + X log b
C* = a bQ
log C* = log a + Q log b ESTADISTICA ELEMENTAL <293
luego las Ecuaciones Norm ales son : L lo g C = nlog a+log b £ Q £Q
log C = log a ^ X + log b £ Q
2
el cuadro de trabajo para obtener el valor de los parám etros log a, log b, el siguiente : C u a d r o N ° 7 .1 0 FUNCION DE REGRESION EXPONENCIA L DE LA PRODUCCION Y COSTO TOTAL u¡
log C
Q2
Q log C
(log C)2
10
30
1,4771
100
14,77
2,1819
20
36
1,5563
400
31,13
2,4221
30
40
1,6021
900
48,06
2,5666
40
48
1,6812
1600
67,25
2,8266
50
50
1,6990
2 500
84,95
2,8865
60
54
1,7324
3 600
103,94
3,0012
70
66
1,8195
4 900
127,37
3,3107
80
88
1,9445
6 400
155,56
3,7810
360
412
20 400
633,03
22,9766
1 °'
Ec,
I ° J
Z ° log c
Edog C)2
13,5121
Ilo g C
reem plazando los valores en las ecuaciones norm ales : 13,512 = 8 log a + 360 log b 633,00 = 360 log a + 20400 log b resolviendo se obtiene : log b = 0,0059 log a = 1,4235
b = antlog 0,0059 = 1,0138 a = antlog 1,4235 = 26,5155
luego la función costo estim ado :
C* = 26,516 (1,0138)° c)
El coeficiente de correlación exponencia l, de la función : C*= a b ° es
294/ RobERTO B. A v í Ia A co si a
2
log b£Q log C+log a]Tlog C-a(log C)2
Z ( l° g C ) 2 -n (lo g C ) 2 reem plazando valores : (0.0059)(63 3)+(1.4235) (13.512)-8( 1.689)2 _ ogg>|ft r ~ 22.9760-22 .8217 2
r = 0,9770
luego :
el valor de (r) indica que existe una alta correlación o afinidad entre las variables C = costo total, Q = producción.
d)
Para graficar la función exponencia l o la función de costo to ta l: C* = 26,516 (1,0138)° se calcula algunos puntos aislados (Q,C) a partir de la ecuación dando valores a Q, donde : Si :
Q Q Q Q Q
= = = = =
20 40 60 80 90
entonces :
C C C C C
= = = = =
34,9 45,9 60,3 79,4 91,0
los cinco puntos se grafican en el mismo plano del diagrama de esparcimien to (Gráfico N° 7.9.), y por estos puntos trazar a "m ano alzada" la curva exponencia l correspondiente. Com o es de esperar los datos observados (Q .C) están ubicados muy cerca al lugar geom étrico de la curva que reafirm a el elevado valor de r = 0.9770.
e) El costo total, para una producción de 42000 unidades significa que Q = 42, luego reem plazando en: C* = 26,516 (1 ,0 1 3 8 )° se tiene C* = 26,5 16 (1.0 138)42 = 47,152 millones de pesos C* = 47 152 000 pesos
ESTADISTICA ELEMENTAL
qq
_
GRAFICO N° 7.9 DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO Y CURVA EXPONENCIAL DE PRODUCCIÓN (Q) Y COSTO TOTAL (C)
80 70 60 I
50
°
40
o
30
20
-
10
-
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Producción
fr^ota m Debe tenerse cuidado al interpretar los resultados de la correla ción. El coeficiente de correlación r solam ente mide el grado de relación o afinidad entre variables, que ayuda a explicar el com partim ientos de la variable dependiente dado algunos valores para la variable independiente. Es peligroso sostener que un alto coeficiente de correlación establece una relación de causa efecto entre las variables. Es fundam ental elegir convenientem ente la m uestra a identificar con claridad la validez de la relación entre las variables consideradas, antes que proceder a los cálculos estadísticos.
7.7.4
LA HIPERBOLA EQUILATERA
Es un caso especial de la función potencial. Esta curva se usa con frecuencia para el ajuste de curvas de dem anda. Es una función asintótica con los ejes coordenados. La form a más simple de su ecuación es :
es una función con un sólo parám etro "a". 29b > RobeRio
B. Avila
A costa
ECUACIONES NORMALES Com o tiene un sólo parám etro será necesario disponer de una ecuación normal. A hora la expresión que m inim izar es : MinO> = £ ( Y - Y * ) 2 = X [ Y - J derivando respecto el parám etro " a " se tiene : —
=2 X [Y -da H X
1 X
=
0
luego :
esta Ecuación Norm al perm ite obtener el valor "a".
COEFICIENTE DE CORRELACION Com o se ha ilustrado para otras curvas, el Coeficiente de Correlación de la hipérbola equilátera también se obtiene de la expresión :
r2
= S Y *2 -n Y IY
2
-n Y
2 2
-nY Z Y2 -n Y '
S Y2 - n Y donde la raíz cuadrada (r) constituye el valor del Coeficiente de Correlación Hiperbólica.
Ejem plo |7.18 C onsiderar las cantidades vendidas (miles de unidades) de un artículo según la variación de su precio (en soles), observados en un período de 9 meses, cuyos datos se indican en el Cuadro N° 7.11. ESTADISTICA ELEMENTAL <297
a) b) c) d)
C onstruir el diagram a de esparcim iento. D eterm inar la curva de regresión hiperbólica equilátera. C alcular el coeficiente de correlación. G raficar la curva de regresión obtenida.
S o lu c ió n : a) El diagram a de esparcim iento se aprecia en el Gráfico N° 7.10, donde ha^ nueve puntos (X,Y). b) La ecuación de la hipérbola equilátera de nuestro análisis y la correspon diente ecuación normal son : Y* = —
o
tam bién
Y* = a x~ 1
rem plazando valores : 143,88 = 0,1414 a a = 1017,5 luego la ecuación es : y v , 1017-5 X C u a d ro N° 7.11 PRECIOS (X) Y CANTIDADES (Y) TRANSADAS EN EL MERCADO DE UN ARTICULO EN 9 MESES. X
Y
Y
1
X
x;
1 Y2
4
240
60,00
0,250
0,0625
57 600
5
200
40,00
0,200
0,0400
40 000
8
150
18,75
0,125
0,0156
22 500
10
100
10,00
0,100
0,0100
10 000
14
80
5,71
0,071
0,0051
6 400
18
70
3,89
0,056
0,0031
4 900
21
60
2,86
0,048
0,0023
3 600
25
40
1,60
0,040
0,0016
1 600
28
30
1,07
0,036
0,0013
900
133
970
143,88
0,925
0,1415
147 500
IX
LY
L (Y /X )
I(1 /X )
E ( i / x 2)
IY 2
Fuente : Boletín de Estadísticas del Comercio 1993
298> Robemo B. AviU A costa
c) Para obtener el valor del Coeficiente de correlación se reemplaza valores en :
r2_
aY
—
VXJ
-n Y
£ Y 2 -n Y r 2 =0,9743
2
? 1 0 1 7 .5 (1 43.88)-9(107.78)2 1 4 7 .5 0 0 -9 (1 07.78)2
entonces
r = 0,9871
com o r es num éricam ente alto, la curva de regresión obtenida se puede utilizar com o un m odelo de regresión no lineal para explicar el com porta miento de la variable dependiente (Y) dado valores de (X). Por ejemplo, ¿cuál sería la cantidad de dem anda si el precio del artículo se establece en 30 soles?; en este caso X = 30 es reem plazado en la ecuación, resultando : 1017.5 Y = ---------- = 34 30 d)
miles
de
, unidades.
Nuevamente, para graficar la hipérbola equilátera será necesario determinar algunos puntos, como: Si : X = 4 ; C = 254 X = 10 C = 102 X = 16 C = 63 X = 26 C = 39 los puntos se grafican en el plano rectangular elegido y por ellos se traza a m ano alzada la curva correspondiente, resultando la curva del Gráfico N° 7.10.
En todos los casos, las funciones de regresión (linea recta o curva), siem pre estarán atravesando la nube de puntos correspondiente; si esto no ocurre la ecuación determ inada no es correcta.
ESTADISTICA ELEMENTAL <299
GRAFICO N° 7.10 DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO Y CURVA DE REGRESION HIPERBOLA EQUILATERA PARA PRECIOS (X) Y CANTIDADES VENDIDAS (Y) DE UN ARTICULO. 1993.
ftñREGRESION Y CORRELACION LINEAL MULTIPLE___ Consiste en los métodos estadísticos para expresar u m edir la relación lineal entre tres o más variables. En este caso una variable dependiente está relacionada a dos o más variables independientes Interesa expresar la relación a través de una L ín e a de R e g re s ió n M ú ltip le y analizar la asociación que si multáneamente tiene la variable dependiente con las variables independientes, medido a través del C o e fic ie n te de C o rre la c ió n Lin e a l M ú ltip le A fin de sim plificar la notación, se considera Y como la "Variable depen diente", en tanto que las variables independientes serán X 2 ,X 3 ,X4,..., luego ¡a relación funcional s e r ía : Y = f(X 2 ,X 3 ,X4„..) En general, para estudiar la relación entre variables se tiene que com probar por lógica y experiencia, que entre ellas existe algún grado de asociación, explicación o dependencia. A c o n tin u a ció n se indican alguno s ejem plo de tres o m ás va ria b le s relacionadas : 300> RobEiuo B. AvíIa Acosta
VARIABLE DEPENDIENTE (Y)
1) Volumen de ventas, en unidades 2) Peso de los estudiantes. 3) Producción anual de papas por hectárea.
4) Consumo de bienes industriales por año. 5) Unidades cosumidas de un bien por familia
VARIABLES INDEPENDIENTES (X2, X j,...)
Precio unitario (X2 ) Gasto de propaganda (X3 ) Estatura (X2 ) Edad (Xa) Cantidad de lluvia (X2 ) Cantidad de fertilizantes (X3 ) Temperatura Promedio ( X a ) Ingreso disponible (X2 ) Importación de bienes de consumo (X3 ) Precio unitario del bien (X2 ) Ingreso (X3 ) Número de miembros por familia (X4 )
Con el propósito de facilitar la com presión de estos m odelos de regresión múltiple, vam os a considerar por ahora la relación y asociación entre tres variables. Entonces, observando un conjunto de valores tridim ensionales (Y,X 2 ,X3), la Línea Recta de Regresión de Y sobre X 2 ,X 3 se puede e s c rib ir: Y* = b ,+ b2 X 2 + b 3 X 3 que es una recta que tiene tres parámetros: b., ,b2,b3; los m ism o que se obtie nen de las Ecuaciones Norm ales que proporciona el M étodo M ínimo C uadra dos: (1) Z Y = b1n + b 2 V X 2 + b 3 y j X 3 (2) y Y X 2 = b! V X 2 + b 2 J j X 2 + b 3 J ] X 2 X 3
(3) y
= b 1.v
y x 3
x 3 + b 2 y x 2 x 3 + b 3 y x 3'
la solución de este sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas permite obtener el valor de los parám etros b 1 ,b 2 ,b3. Sin em bargo, los parámetros también se pueden obtenerse a partir de las siguientes expresiones : Dividiendo la Ecuación (1) entre "n" se obtiene b 1 : Y = b-| + b 2 X 2 + 0 b-j = Y - b
2
3
X3
X 2 — b3 X 3
ESTADISTICA ELEMENTAL <301
y los parám etros b , y b-, serán :
_ m 1 2 ni 3 3 - m 1 3 m2 3 2
2 m 22 m 3 3 _ m 23
_ m 13m 2 2 -m 12m23 3
2 m 22 m 3 3 _ m 23
donde : m i i = I Y2 -nŸ 2
m12 = Z Y X
m2
m i3=Z Y X
2
= I
* 2
-nXj
-nYX2
3
-nŸX3
m 2 3 = X Y2 X 3 — n X 2 X 3
m3 3 = Z X | - n X 3
A d e m á s:
2
X 2 = M ( X 2)
X 3 = M ( X 3)
Y = M (Y )
De la misma m anera que la regresión y correlación simple, en el caso múltiple tam bién se calcula la D E S V IA C IÓ N O ERRO R E S TÁ N D A R de valor Y (valor real) respecto a Y* (valor teórico), denotado por S, 2 3 con :
II ( Y
C
-Y
S , 2 3 ^ ~ n
*)2
donde al reem plazar Y* = b ^ b jX j+ b -jX -j; efectuando operaciones, factorización y sim plificando resulta :
02
Z Y 2- b , XY - b 2I Y X 2 - b 3 l y X 3
SU3
ñ----------------------------
Por su parte, el Coeficiente de C orrelación Lineal Múltiple (R) al igual que el caso lineal simple es :
R1
Tam bién se puede obtener R 1
3027 RobEmo
B. AviU A costa
1
23
23
-
S ?23
a partir de la relación
X Y2 -n Y
efectuando operaciones, resulta :
b i I Y + b2 X X 2Y + b3 X X 3Y - n Y IY
2
-n Y
2
2
com o siem pre :
-1 < R < +1 N o ta X H
Una función de regresión múltiple no lineal puede ser la función potencial de la form a : Y * = b 1 X b2 2 X b3 3 aplicando logaritm os : Log Y* = log b., + b 2 log X 2 + b 3 log X 3 el lector puede deducir las fórm ulas para obtener los parám etros lo g b 1 ,b 2 ,b 3, adem ás deducir el Coeficiente de correlación múltiple potencial.
Ejem plo |7.19 Supongam os que el ingreso fam iliar de un artículo depende de sus ingresos y del precio. A fin de determ inar una función de dem anda para este artículo, se encuesto a 10 familia, obteniendo los datos indicados en el Cuadro N° 7.12. Con estos datos tridim ensionales, determ inar la Línea de Regresión Múltiple Y sobre X 2, X 3; y el Coeficiente de Correlación Múltiple. S o lu c ió n : En Y* = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3, para calcular los parám etros b ^ b ^ b -j se requiere c o n o c e r: ESTADISTICA ELEMENTAL
mi i = I
Y 2 - n Y 2 = 557 - 1 0(7,1 ) 2 = 52,9
m22 = 1 Xj -n X m 33
= Z X3 -
ml2 = I
0
= 1 8 0 - 1 0 ( 4 ,0 )2 = 2 0
2
X 3 = 2 3 7 0 0 -1 0 (4 7 ,0 )2 =1 6 10
Y X 2 - n Y X 2 = 276 - 1 0(7,1)(4,0) =
ml3 = 1 Y X
3
-nY X
m2 3 = Z X 2 X 3 - n X
3
2
-8
= 3 5 7 0 - 1 0 ( 7 ,1)(47,0) = 233 X 3 = 1 9 2 0 -1 0 ( 4 ,0)(47,0) = 40
luego : K d 2
m 1 2 m3 3 - m 1 3 m2 3 (-8 )(1 6 1 0 )-(2 3 3 )(4 0 ) = ---------------------- 5----- = ---------------------------- 5----m 22m 33- m 23 (20)(16 10 ) - 4 0
b 2 = -0 .7 2 5 b
_ m13 m22 -m m 22
m3
3
12
-m
m 2 3 _ (2 3 3 )( 2 0 ) - ( - 8 ) ( 4 0 ) 23
(20)(16 10 ) - 4 0
2
b 3 =0.163 b1 = Y - b
2
X2 -b
3
X3
b 1 = 7.1 — (—0.725)(4.0) — (0.163)(47,0) ^ =2.339 entonces la ecuación de la recta de regresión múltiple es Y * = 2.339 - 0.725 X 2 + 0.163 X 3
3 0 0 RobEiuo B. AviU A cosia
C u a d ro N° 7.12 DETERMINACION DE LA RECTA DE REGRESION MULTIPLE DEL CONSUMO (Y), PRECIOS (X2) E INGRESOS (Xj) DE 10 FAMILIAS. 1990. v
■
X2
X2
X22
X23
YX2
YX3
X2X3
4
5
40
16
25
125
20
160
200
3
6
30
9
36
216
18
90
180
0
2
30
25
4
8
10
150
60
2
40
64
9
27
24
320
120
8
V
9
¿1
50
81
16
64
36
450
200
3
5
60
64
25
125
40
480
300
6
3
40
36
9
27
18
240
120
10
2
60
100
4
8
20
600
120
9
4
50
81
16
64
36
450
200
9
6
70
81
36
71
40
470
557
180
VX2
IX i
y Y2
y
Y
TX 22
54
630
420
880
276
3 570
1920
YX23
IY X 2
YYX3
r x 2X3
216
Fuente : ncuesta ae Hogares y Consume. 1S90 c ¡adoración : Actualidad Estadística. Estudios y Ediciones R.A.
Por su parte e! Coeficiente de Correlación Múltiple : o bt y Y + b2 X Y X 2 + b 3 ^ Y X 3 - n Y K t23 = — :--------------------- — 2 I Y ¿-nY d 2
(2.339)(71) + (-0 .725)(276 ) + (0.1 6 3 )(357 0)-10(7.1)^
*'1.23 = -------------------------------------------------------------- -------- 5-----------------------------------------
557 - 1 0 (7,1) 2
R?23 1.23 = - —5 —2 g — = 0 .8 2 7 6 R-j 2 3 = 0 .9 0 9 7
Noíci ÍF1 Las ideas básicas de la regresión múltiple son relativamente sim ples. Sin em bargo, el cálculo de los coeficientes de regresión son aritm ética mente laboriosos, que ahora se supera con la ayuda del computador. En el trabajo de la regresión múltiple es frecuente utilizar la notación matricial, que por la naturaleza de este libro no se ha in corporad o, sin em bargo, es ESTADISTICA ELEMENTAL <305
recom enda ble e studiar algebra m atricial para avanzar en le cam po de la investigación y la estadística aplicada.
Ejem plo \7.20 A partir de un estudio experim ental acerca de la estabilidad de arcilla muy plástica, se observo que el contenido de agua para m oldeo con densidad óptima dependía linealm ente de los porcentajes de cal y puzolana, mezclados con a rc illa . De la o b s e rv a c ió n se o b tu v o los re s u lta d o s in d ic a d o s a continuación: Contenido de Porcentaje de Porcentaje de agua(%) Cal Puzolana X3 Y Xj 27,5
2,0
Dada la ecuación : Y - b 1 + b2 X 2 + b3 X 3
18,0
28,0
3,5
16,5
28,8
4,5
10,5
29,1
2,5
2,5
30,0
8,5
9,0
31,0
10,5
4.5
32,0
13,5
1,5
de acuerdo a las ecuaciones normales se obtiene que: b 1 = 28.691 b 2 = 0.257 b 3 = -0,096
De m odo que la ecuación de regresión múltiple es Y* = 28,691 + 0,257 X 2 - 0,096 X 3 El lector debe com probar estos resultados y además puede calcular e! Coeficiente de C orrelación Lineal Múltiple (R 1 23).
CORRELACION PARCIAL La c o rre la c ió n p a rcia l e xiste so lo cu a n d o hay dos o m ás va riables independientes. Teóricam ente se trata de m edir la covariabilidad entre la variable dependiente y una variable independiente particular manteniendo constante todas las dem ás variables, es decir elim inar los efectos de otras variables. En la regresión múltiple, sólo las variables explícitam ente consideradas en los cálculos pueden ser m antenidas iguales o constantes. 306> RobERio B. Avita Acosta
El C oeficiente de Correlación Parcial ayuda a contestar preguntas como estas : ¿Se debe la correlación entre, por ejemplos Y y X 2 m eram ente al he cho de que am bas son afectadas por X 3 o hay una covarianza neta Y y X 2 por encim a de la asociación debida a la influencia com ún de X 3? Así, para determ inar un coeficiente de correlación parcial entre Y y X 2 tratam os de elim inar la influencia de cada una de las dos variables en X 3, y averiguar que relación neta existe entre los residuales que quedan "inexplicada s". Los coeficiente de correlación parcial están estrecham ente relacionado s con los coeficientes de correlación simples. De este se tiene : a. C o rre la c io n e s S im p le s : r 12=
r
Correlación sim ple entre Y y X 2 :
m12 ■y/m 11 m 22
r 13=
Correlación simple entre Y y X 3 :
r 13
m 13
/--------
V m 11 m 33
r2 3 =
. Correlación sim ple entre X 2 y X 3 •. r23
m 23
/-------
V m 22 m 33
De las corre la cio n e s sim ples se definen las siguientes correlacion es parciales :
112,3
Correlación parcial entre Y y X 2 cuando X 3 se mantiene constante _
r12 ~ r 13
r 23
V e * - r 123 )■ <1 - r 23 > '1 3 ,2
Correlación parcial entre Y y X 3 cuando X 2 se mantiene constante r 13.2 :
r13 ~ r 12 ,r23
J ( 1 - r i 22 ) ( 1 - r 223 ) '2 3 ,3
Correlación parcial entre X 2 y X 3 cuando Y se mantiene constante r 23,1 —
r23 ~
r12
r13
0 ~ r123)
ESTADISTICA ELEMENTAL <307
Ejem plo |7.21| Para los datos del C uadro N° 7.12 donde Y = C onsum o;
X 2 = Precios;
X 3 = Ingresos.
aplicando las fórm ulas anteriores, se tiene com o resultados : - C orrelación sim ple entre consum o y precio - C orrelación sim ple entre consum o e ingreso - C orrelación sim ple entre precio e ingreso
: r 1 2 = -0,2459 : r 1 3 = 0,7984 : r2 3 = 0,2229
En este caso la correlación o asociación más significativa existe entre el consum o (Y) y los ingresos (X2). A partir de estos resultados se obtiene las siguientes correlación parciales: r1 2
3
= 0,7221;
r1 3
2
= 0,9029;
r2 3
1
= 0,7182
Ejem plo 7.22 T i m ortalidad infantil es un hecho que depende de varios factores. En el siguiente cuadro están indicadas cuatro variables o hechos que pudieran explicar los niveles de la mortalidad infantil, en este sentido puede construirse una relación lineal o no lineal entre dos o más variables. C onsiderando a la m ortalidad infantil (y) com o una va ria b le dependiente, se pide construir funciones lineales com o :
a) Y = ^ (X 2) Y = g i (X 2, X 3)
Y = f 2 (X 3)
Y = f 3 (X4)
Y = g 2 (X2, X 4)
Y = g 3 (X 3 X4)
Y = h (X 2, X 3, X 4)
b) C alcular los respectivos coeficientes de correlación e indicar cual o cuales son las variables que mejor explicarían el com portam iento de la mortalidad infantil. Para el efecto se tiene que : £Y
=
807
£X2
=
305
£X3
=
623
=
34155 43936
£Y2
=
58151
YX|
=
10491
£X|
YY2
=
58336
£YX2 =
23493
£YX3 =
308> RobERio
B.
A v/Üa A costa
C u a d ro N ° 7 .1 3
PERU : CONJUNTO DE INDICADORES SOCIO-DEMOGRAFICOS PARA UNA MUESTRA DE 13 DEPARTAMENTOS PARA EXPLICAR LA MORTALIDAD INFANTIL, Y CALCULOS PARA DETERMINAR LAS FUNCIONES DE REGRESION SIMPLE Y MULTIPLE. 1993. Departamentos
Mortalidad
Madres Analfa
Desnutrición
Viviendas sin
Infantil x 1000
betas (%)
Crónica en niños
instalac. de agua
Y
Xr
Xa
Xa
68
29
64
81
Apurímac
85
52
69
82
Ayacucho
85
46
64
73
Callao
23
5
20
28
107
48
Huancavelica
72
O C co
Amazonas
29
41
48
50
6
24
29
13
54
78
8
lea
39
La L ib e rta d
46
Lima
26
M a d re d e D io s
63
Pasco
66
23
57
74
Puno
90
33
52
84
T acna
40
11
18
34
U ca ya li
69
13
52
80
807
305
623
822
Total n = 13
18
Fuente : ihEl. Censes Nacionales de Potación 1SS3 MED. Censo de Talla de Escolares
VYX4 =
I X 2 X 3=
57634
17787
Y X 2 X4= 22639
V X 3 X 4= 44265 Las funciones de regresión serían : 1)
Y* =
a 1
2) Y* =
a 1
3) Y* =
a 1
Y* =
b 1
4)
5) Y* =
b1
+ + +
a2 X 2 a 3X 3
+
a4X4 b2 X 2 +
+
b2
X2
+
b 3X 3 b 4* 4
ESTADISTICA ELEMENTAL <309
6
) Y* =
b, + b 3 X 3 + b4 X 4 + b 3 X 3 + b4 X 4
7) Y* = b 1 + b2 X 2 También :
X 2 =23,5
Y =62,1
X ^ = 550,4
Y 2 = 3853,5
X 3 =47,9 X 3 = 2296,6
Veam os la ecuación lin e a l: Y* = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 Mortalidad Infantil = f (M adres analfabetas , Desnutrició n Crónica) =
m 22
m3 3 = Z
- n X 2 = 10491 - 13(550,4) = 3335,8 x 3 -
n X 3
= 34155 - 13(2296 ,6) = 4299,2
m i 2 = Z y X 2 - n Y X 2 = 23493 - 13(62,1) (23,5) = 4521,5 m l 3 = Z y X 3 - n Y X 3 = 43986 - 13(62,1) (47,9) = 5266,3 m 23
= X x 2 X 3 -n X
2
X 3 = 17787 - 13(23,5) (47,9) = 3153,6
2
(4 521,5) (4299,2) - (5266,3) (3153,6) (3335,8) (4299,2) - (3153,6)
3
.. (5266,3) (3335,8) - (4521,5) (3153,6) 4396078,4
b
b
bi = y - b 2 X 2 - b 3 X 3 = 62,1 - (0,6440) (23,5) - (0,7526) (47,29) = 10,92
Y* = 10,92 + 0,6440 X2 + 0,7526 X3
3103 Robenio B. AviU A costa
2
R 1.23
bi X y
+ b2 l y x 2 + b 3 l y x 3 - n y 2 ^ 2 - 2 X y -ny
(10,92) (807) + (0,644) (23493) + (0,7526) (43936) - 13 (3853,5) 5 8 1 5 1 -1 3 (3 8 5 3 ,5 )
R?
23
= 0,8581
R1
23
= 0,9263
La correlación lineal múltiple es muy significativa, que conduce a sostener que los niveles de m ortalidad infantil tienen una obvia relación directa con el nivel educativo (analfabetism o) y los estados de nutrición infantil. Entonces a partir de la línea de regresión m últiple puede obtene rse o estim arse la m ortalidad infantil conociendo las tasas de analfabetism o y la proporción de niños desnutridos, evidentem ente que existirá un error de estimación que por ahora no hem os m encionado. Para el lector queda planteado la construcción de las otras lineas de regresión, y los respectivos coeficientes de correlación parcial y total.
ESTADISTICA ELEMENTAL <311
CANASTA MINIMA ALIMENTARIA EN LIMA METROPOLITANA (uni alternativa) F A M IL IA / D IA
G R A M O S / F A M IL IA / D IA A L IM E N T O S
G R A M O S / F A M IL IA
PESO
PESO
C A L O R IA S
P R O T E IN A S
BRUTO
NETO
K cal
lo ) 1663
1. A c a t o s y G r a s a s A c e ite V e g e ta l ( b o te lla )
D IA R IO
MENSUAL
0 ,0 6
13 5
135
11 9 3
0 ,0 0
M a r g a r in a E n v a s a d a
35
35
251
0 ,0 0
35
M a n te q u illa a G r a n e l
30
30
219
0 ,0 6
30
900
1110
0 ,0 0 289
8670
4932
2. A z u c a re s A z ú c a r B la n c a
289
289
3. C a rn e s
1110
0 ,0 0
642
1 0 7 ,6 5
13 5
C o r te U n ic o d e R e s
164
120
12 6
2 5 ,5 6
164
P o llo e v is c e ra d o
253
190
217
3 4 ,5 8
253
7600
P e s c a d o ju re l
146
95
12 9
2 0 ,5 2
146
4385
H íg a d o d e R e s
80
80
10 2
1 6 ,0 0
80
2400
M on d o n g o de R es
35
65
68
1 0 .9 9
65
1950
182
1 4 .5 2 146
4390
4. H u e v o s H u e v o s a G ra n e l
120
14 5
5 . L e c h e y D e r iv a d o s
182
1 4 .5 2
670
-3 6 ,4 4
80
80
184
1 2 ,6 4
80
2400
340
340
486
2 3 ,8 0
340
10200
825
5 2 ,4 7
L e n te ja s
80
80
255
1 9 ,0 4
80
2400
F rijo l C a n a r io
95
95
309
1 9 ,4 7
95
2850
H a n n a d e A rv e ja s
40
40
138
8 ,6 4
40
1200
23
113
5 ,3 2
28
840
4087
8 8 ,3 5
2262
3843
630
18900
Q u e s o fr e s c o d e v a c a L e c h e E v a p o ra d a 6. L e g u m i n o s a s y D e r iv a d o s
23
C ocoa 7 . C e r e a le s y D e r iv a d o s A r r o z C o m e n te A v e n a a G ra n e l
630
630
55
55
218
5 .4 5
55
3 2 .3 4
355
P a n F ra n c é s
385
385
11 2 0
F id e o s G ra n e l
100
100
360
9 ,4 0
100
3C 00
35
35
127
273
35
1050
S é m o ia e n v a s a d a
1 4 ,3 0
1041
8. T u b é r c u l o s y R a íc e s P a p a B la n c a
610
500
630
1 0 .5 0
610
18293
C a m o te a m a n llo
165
130
151
1 ,5 6
165
4937
Y u c a b la n c a
14 0
115
186
0 ,9 2
140
4207
O llu c o y s im ila re s
121
120
74
1 ,3 2
121
3636
553
7 ,2 8 5294
9 . F ru ta s L im ó n
17 6
90
27
045
176
P lá ta n o d e s e d a
316
215
178
3 ,2 3
316
M a n z a n a D e iic ia
28 1
225
122
0 ,6 8
281
8438
1 ,3 0
382
11471
14 4
4381
9485
Papaya
332
325
102
P a lta (C r io lla o c o m e n te )
14 4
95
124
1 ,6 2
500
1 8 ,0 3
C e b o lla c a b e z a ro ja
235
219
107
3 ,0 7
235
7065
T o m a te ita lia n o
222
220
35
1 ,7 6
222
6667
A r v e ja s v e rd e
109
70
74
4 ,9 7
109
3281
Z a n a h o r ia
161
140
57
0 ,8 4
161
4828
Z a p a llo m a c re
173
140
36
0 ,9 8
173
5185
A p io
95
71
15
0 ,5 0
95
2840
A jo s
16
15
19
0 ,8 4
16
469
2 ,3 1
175
5250
120
3600
30
900
900
1 0 . H o r ta . y L e g u m . F r e s c a s )
C h o c lo
175
70
90
V e r d u r a P ic a d a
120
120
67
2 ,7 6
0
0 ,0 0
30
30
11. S al S a l Y o d a d a d e C o c in a 1 2 . O t r o s a lim e n t o s
0 ,0 0
54
1 ,0 5
T é a g ra n e l
30
30
0
0 ,0 0
30
C a fé to s ta d o m o lid o a g r a n e l
20
20
0
0 ,0 0
20
600
B e b id a G a s e o s a s e rv id a
55
55
24
0 ,0 0
55
1650
30
1 ,05
12
360
1130
3 4 0 ,1 2
12
S a n d w ic h d e P o llo TOTAL
312>
0
RobtRio B.
A v iU A costa
12
Capítulo
SERIES CRONOLOGICAS
¡pjjjfGEÑERALI PAPES a)
b)
Una serie cronológica o serie de tiempo, es un conjunto de datos estadís ticos observados, recopilados y registrados sistemáticamente en un cierto período de tiempo. La serie cronológica es un registro de las variaciones cuantitativas de una variable o un fenómeno a lo largo del tiempo. Algunos ejemplos de series cronológicas, son : la producción de algodón en los 10 últimos años; las exportaciones anuales entre los países de la Región Andina desde 1970 a la fecha; las ventas mensuales en los supermercados; la matrícula anual de niños en Educación Inicial en el período 1988-1996; los cambios de temperatura diaria de la ciudad de Trujillo, el monto total de la inversión trimestral en la pequeña industria.; el número semanal de accidentes de tránsito; el registro de nacimientos, etc. Las series cronológicas constituyen un elemento de análisis estadístico de los hombres de negocio, economistas, planificadores, políticos, etc., es de suma importancia para los especialistas que sé dedican al análisis del desarrollo actual y futuro de las actividades económicas, sociales, políticas y educativas de un país o región. Ninguna planificación de necesidades futuras de materia prima, de inversión, de atención educativa, de servicios de salud, de producción, etc, por ejemplo puede hacerse sin el análisis y predicción del comportamiento de las variables fundamentales, como la demanda de bienes, de producción, de consumo, de crecimiento poblacional, etc. Como método de análisis, en la serie cronológica se comienza por mirar fundamentalmente el pasado, para luego ayudar a definir el probable comportamiento de los datos o variable en el futuro. ESTADISTICA
ELEMENTAL<313
son las proyec Las aplicac iones más im portan tes de la serie cronoló gica determ inantes valores son ciones ; debe advertirse que las proyec ciones no estim ados valores son que tienen que ocurrir necesa riam ente en el futuro, diverso s de diendo o espera dos; estos resulta dos pueden variar depen dos de resulta los en factore s que en forma directa o indirec ta particip an de iento portam una serie cronoló gica. Por ejemplo, para analiza r el com que gicas, los indicad ores de la econom ía nacion al se usan series cronoló nivel de inflació n, ayudan a proyec tar o estim ar para los próxim os años el dos ayudan produc ción, desocu pación , pobrez a, etc. del país, estos resulta o y larqo median de ollo Desarr de as m a la elabor ación de Planes y Progra s plazo. técnica s y m étodos c) El propós ito, por ahora, de este libro es estudia r las gicas, históric as básico s para analiza r los compo nentes de las series cronoló ía, desarr ollo o de tiempo , ilustran do alguna s aplicac iones en la econom social, investigación , etc. a por un par de M atem áticam ente, una Serie C ronoló gica está definid en el tiempo t valores ( t ^ ) , donde Y es el valor de la variabl e observ ada los tiem pos o Esto signific a que Y puede tom ar valores : y¡, y2, y3, ... en m om entos t¡, t2, t3..., respec tivame nte. donde resulta Para un momen to «t» queda definid o un valor de «Y», de como: arse expres do pudien t, de función es que Y depen de o Y = f (t)
ó
Y = f (tiempo )
un Línea d) Las serie cronoló gicas se repres entan gráfica m ente m ediante
sistem a de ejes P o lig o n a l, que se constru ye sobre un plano cartesiano o (años, meses , tiempo coorde nados. En el eje horizon tal (abcisa s) se ubica el observ acio las sem anas, etc.), en el eje vertica l (orden adas) los valores de ciones , etc ). nes corres pondie ntes de Y (produ cción, ventas , exporta la poligon al de la A m anera de ejemplo, en el Gráfico N° 8,1. se presen ta Café Peruan o serie cronoló gica corres pondie nte a la Export ación del N° 8.1. Esta Cuadro el en indican se durant e 1975-1 994, cuyos valores entado s repres están que Y, para serie tiene 20 observ acione s o valores ente los utivam consec unen se gráfica m ente por 2 0 puntos (t¡, y¡); cuando serie. la de l a n o lig o puntos , resulta la línea p la evoluc ión y La poligon al como todo gráfico , facilita la com prensió n de el volum en años; 0 2 tenden cia de la exporta ción del café en los últimos ción ■ exporta la que export ado ha variado en todos los años, deduci éndose año ejor que el m más baja ocurrió en el año 1975 (42 200 TM), en tanto más detalla do corres ponde a 1989 con 8 6 000 TM de café. En un estudio
puede analiza rse las causas y consec uencia s de la evoluc ión históric a de la serie cronoló gica, diseña r estrate gias y política s para planific ar la produc ción, exporta ción, etc. en un futuro de median o o largo plazo Gráfico N° 8.1. EXPORTACION DE CAFE PERUANO 1975-1994
e) Es interes ante pensar en el gráfico de una serie cronoló gica, tal como el
Gráfico N° 8 .1. u otros, y observ ar cómo está descrit a por puntos (obser va ción) que se mueve o cambia de posició n de acuerd o al tiempo ; este m ovim iento o variación se debe a la particip ación com binada de diverso s factore s que pueden ser de carácte r económ ico, social, político , geográ fico, económ ico, educac ional, psicoló gico, etc., o tambié n a hechos accide ntales o aleator ios. Frecue ntem ente es necesa rio explica r estos factore s para respon der a las preocu pacion es del futuro com portam iento de la variable En este esquem a o modelo , existe una variable depen diente (Y) con varias indepe ndiente s, así como variables intervin ientes. La experie ncia con mucho s ejemplos de series cronoló gicas,h a revelad o ciertos « m ovim ientos caracte rísticos o variacionales «, que se presen tan en grado variado y se constit uyen en las «comp onente s de la serie cronológicas », estos movim ientos se pueden estudia r analític amente . P recisam ente el objetiv o del análisi s de las series cronol ógicas es determ inar y cuantif icar estas variaciones o com ponent es, que son de gran de valor en mucha s relacio nes y conclu siones , especi alment e en el ESTADISTICA
ELEMENTAL <315
problem a del «pronóstico» o predicción de los m ovim ientos y del valor de la variable. El a sp e cto fundam en tal es responde r cuál será el valor esperado de Y para un m om ento futuro.
8.2 COMPONENTES DE IA SERIE CRONOLOGICA Las variaciones o m ovim ientos característicos de una serie cronológica, en un enfoque univariado puede dividirse en cuatro com ponentes diferencia dos:
a) b) c) d)
8 .2.1
Tendencia o M ovim iento Secular (T). Variaciones Estacionales (E). Variaciones C íclicas (C). Variaciones Irregulares (I).
TENDENCIAS O MOVIMIENTO SECULAR
La te n d e n cia se re fie re a la dire cció n g eneral que sigue una serie cronológica; expresa un m ovim iento uniforme o regular que sigue la serie durante un largo período de tiempo. La dirección de este m ovim iento puede ser ascendente, descendente o sim plem ente constante. Estadísticam ente se puede presentar por una función m atem ática (recta, parábola, etc ), que constituye el m odelo de tendencia.
8. 2.2
VARIACIONES O MOVIMIENTOS ESTACIONALES
Las variaciones estacionales son m ovim ientos o fluctuaciones que se repiten a intervalos regulares durante subperíodos de tiem po especificado. Pueden ser fluctuaciones periódicas que se presentan trim estralm ente, m en sual, etc. Com o por ejemplo, la tem peratura que aum enta en verano y baja en invierno; las ventas aum entan generalm ente a fin de mes; los accidentes de tránsito, la producción de alimentos, etc.
3 1 6 >Ro b ERTO
B.
A v í I a A cos t a
8.2.3
VARIACIONES O MOVIMIENTOS CICLICOS
Las variacione s c íc lic a s o ciclos son fluctuaciones que se presentan alrededor de la tendencia en forma más o menos regular cada cierto período de tiempo en un largo plazo Resulta difícil elaborar premisas sobre la extensión y forma del m ovim iento cíclico de una serie cronológica.
8.2.4
VARIACIONES IRREGULARES O ALEATORIAS
Son fluctuaciones que se presentan en forma esporádica de un período a otro, son variaciones accidentales que no se pueden determ inar en térm inos de tendencia, variaciones estacionales o cíclicas. Las variaciones irregulares pueden ser de dos tipos : i) variaciones causadas por sequías, guerras, inundaciones, terrem otos, huelgas, etc., y ii) variaciones aleatorias o al azar, cuyas causas no pueden definirse, son sim plem ente factores no conocidos. El análisis de una serie cronológica consiste en la descripción, generalmente matemática, del com portam iento de sus componentes. Por lo común se supone que las com ponentes de una serie pueden considerarse com o independientes entre si, lo cual im plica que su estim ación sería sucesiva más bien que simultánea. M uchas series frecuentem ente presentan una tendencia fácil de definir, alrededor de la cual se puede explicar los dem ás com ponentes. Por ejemplo, la variación de los precios tiene una tendencia ascendente; el analfabetism o tiende a dism inuir; la población es creciente; la tem peratura es estacional; etc. Por su parte, la variación cíclica se analiza como un residuo que se estima después que las com ponentes de tendencia y variación estacional fueron identificadas y algunas veces después de haber elim inado los m ovim ientos irregulares. El valor real de Y se puede considerar con un com portam iento específico, que se puede obedecer a un modelo aditivo o uno m ultiplicativo, entonces es posible establecer las siguientes relaciones :
ó
Y=T+E+C+I Y = T x Ex C x I
con T (tendencia); E (variación estacional); C (curva cíclica) e I (variación irregular).
ESTADISTICA
ELEMENT.AL<317
8.3 ESTUDIO DE LA TENDENCIA La tendencia es la dirección que en general sigue la serie cronológica, que se puede visualizar con facilidad a partir de la gráfica de la poligonal de la serie. Hay series cuyos valores crecen con cierta frecuencia, entonces se trata de una serie de «tendencia a scende nte o creciente»; en tanto hay otros valores que en su m ayoría decrecen, se trata de una serie con «tendencias descendentes»; por último existen series que no es fácil advertir su tendencia El estudio de la tendencia es de sum a im portancia para determ inar el probable com portam iento de los datos en el futuro. Las proyecciones de la tendencia, concretam ente la proyección de la serie cronológica, constituye el aspecto m ás im portante de la planificación social, económica, educacional de m ediano y largo plazo. Un em presario que program a la instalación de una fábrica necesita saber cuál será la dem anda de su producto dentro de cinco, diez o m ás años El planificador de la educación, para program ar la expansión de la atención educativa y las m etas de form ación de maestros, tiene que conocer cuál será la población en « edad escolar « en los diez siguientes años. Expresada la tendencia por una función matemática, es relativam ente fácil proyectar la serie y obtener valores estim ados para Y, evidentem ente que los futuros valores tienen un error o sesgo, cuya dimensión depende de la validez y significación de los datos de la serie, periodo elegido y del m étodo utilizado para analizar la tendencia. El m étodo estadístico elegido, dependerá de una parte, del com portam iento de la variable en el tiempo, que se deduce de la forma de la poligonal y, de otra parte, del objetivo de la estim ación. La tendencia de una serie se puede determ inar y estimar por dos m étodos generales, uno gráfico y otro analítico, el segundo es más utilizado. A si se tiene :
a) M étodo de los Prom edios M óviles b) M étodo del Ajuste de una Línea o función
8 .3 . 1
(Método gráfico) (Método analítico)
METODO DE LOS PROMEDIOS MOVILES
Es un método de apreciación gráfica, cuyo objetivo es simplemente suavizar la línea poligonal que representa la serie cronológica. Este método requiere de cálculos muy simple y no está forzado a adaptarse a ninguna función 318)>RobeRTO B. A v í I a A c o s t*
m atem ática; aquí la poligonal original se transform a en otro poligonal más suave, y por tanto debe ayudar a definir la tendencia de la serie. Veam os en que consiste el m étodo : Dado un conjunto de «n» valores de la serie : y,, y 2, y3, •■■yh' se agrupan en subconjuntos de «m» valores (m < n); se suman (suma Móvil) cada conjunto de m valores; y luego se obtiene el « p ro m e d io m ó vil» de orden m, dado por las m edias aritm éticas :
yi +y2+... +ym
.
y2+Y3 +--- +ym+l
m
'
m
Y 3 + Y 4 + ■ ■ + Ym+2
m
•
Yn+1-m + Yn+2-m +
’
+ Yn
m
El va lo r de «m» debe ser un núm ero im par (3,5 ó 7), de modo que subconjunto tendrá un punto medio que coincide con un momento (t¡) de la serie, este punto se hace coincidir con el prom edio móvil obtenido. Los prom edios m óviles calculados constituyen una nueva serie que se gráfica junto con la serie original. En general, la nueva poligonal siempre es más suave que la poligonal original y com o tal ayuda a definir gráficam ente la tendencia de la serie. El m étodo de los prom edios móviles sólo sirve para conocer aproxim ada mente la tendencia de la serie, y no permite realizar proyecciones y estimación de valores de Y¡.
E j e m p l o 8.1 Considerar la serie correspondiente a la Exportación de Café Peruano. Período 1975-1994, del Cuadro N °8.1. Si m = 3 significa tom ar subconjuntos de 3 valores de Y¡, sumar estas valores y obtener los «prom edios móviles de orden 3 (zp.» Debemos advertir que en cada subconjunto se sustituye el prim er valor de y¡ p o ry ¡+1, así sucesivam ente hasta obtene r el último subconjunto y 18, y 19, y 20. Luego, el primer promedio móvil serla : y1+y2 + y 3
42.2 + 46.9 + 44.5
133.6
^
ESTADISTICA
ELEMENTAL <319.
valor que se ubica a la altura de y 2 (año 1976); el segundo prom edio móvil e: y 1+ y 2 + y 3 22=
¡
46.9 + 44.5 + 53.5 _ 144.9 _ ^ =
3
‘
^
3
valor que se ubica a la altura de y 3 (año 1977) y así sucesivam ente, donde el último prom edio móvil es :
y i 8 + yi9+y2o 19 = ----------- 1
610+49.0+680 _178 "
3
■
3
que se ubica a la altura de y 19 (año 1993). De este modo, los valores y, de la serie cronológica original, se han transfor mado en una nueva serie de valores Zj (prom edios móviles), con n-2 valores u observaciones, es decir, hay n-2 prom edios móviles cuando m =3. Finalmente se grafican los «prom edios móviles» (z¡) ubicando en el año central de cada subconjunto de 3 observaciones, com o se aprecia en el Gráfico N°
8.2.
G rá fic o N° 8.2. E X P O R T A C IO N DE C A F E P E R U A N O 1975-1994 (M ile s d e T o n e la d a s ) 90,0 -
30,0 1975
1930
320> RobeRio B. A v í I a A costa
1985
1990
1995
En el C uadro N° 8.1. se indica las sumas y prom edios móviles para m = 3 y m = 5. O bservando el G ráfico N° 8.2. se aprecia que la tendencia no esta bien definida, es una serie cronológica que presenta cada ciertos períodos aum entos y dism inución, pareciera una serie cíclica. C uando se gráfica los prom edios móviles, se obtiene una nueva poligonal que es más suave, y se deduce que la serie es levem ente ascendente. El m é to d o de los p ro m e d io s m óviles tiene lim ita c io n e s para h acer pronósticos o estim aciones, sin embargo estas dificultades se superan cuando a la gráfica de una serie cronológica se ajusta su tendencia por una función m atem ática conocida, com o se explicará luego.
C u a d ro N° 8.01 METODO DE LOS PROMEDIOS MOVILES EXPORTACION DE CAFE PERUANO. 1975-1994. (Miles de T.M.) Años t
X
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Exportación Yi 42,2 46,9 44,5 53,5 69,5 44,2 45,3 43,3 55,4 52,0 60,0 75,0 70,0 49,0 86,0 66,0 75,0 61,0 49,0 68,0
Suma móvil
m=3 Promedio móvil a
133,6 144,9 167,5 167,2 159,0 132,8 144,0 150,7 167,4 187,0 205,0 194,0 205,0 201,0 227,0 202,0 185,0 178,0
44,5 48,3 55,8 55,7 53,0 44,3 48,0 50,2 55,8 62,3 68,3 64,7 68,3 67,0 75,7 67,3 61,7 59,3
Suma móvil
m=5 Promedio móvil a
256,6 258,6 257,0 255,8 257,7 240,2 256,0 285,7 312,4 306,0 340,0 346,0 346,0 337,0 337,0 319,0
51,3 51,7 51,4 51,2 51,5 48,0 51,2 57,1 62,5 61,2 68,0 69,2 69,2 67,4 67,4 63,8
Fuente : INEI-Perú : C ompendio Estadístico 1994-95. E la b o ración . Estudios y Ediciones R.A.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <321
8.3.2
AJUSTE DE UNA FUNCION DE TENDENCIA
El ajuste de una fu n d ó n a una serie cronológica consiste en elegir una función m atem ática que m ejor represente la tendencia de la serie. Se trata de sustituir la linea poligonal por una función m atem ática conocida y que facilite analizar la tendencia y perspectiva de la serie cronológica; esta función proporcionará una idea del com portam iento histórico de la variables' y los más im portante es que perm ite estim ar los valores futuros de la variable. Para ajustar una función (lineal o no lineal) a una serie cronológica se sigue el m ism o procedim iento y m étodo de trabajo indicado en el capítulo de regresión o correlación. En general, para definir la función de ajuste, es re c o m e n d a b le : • • •
G raficar la línea poligonal de la serie; A nalizar gráficam ente la tendencia y form a de la poligonal; D efinir la función de ajuste, calcular los parám etros y la ecuación respectiva.
Las funciones de tendencia más conocidas son : la línea recta, la parábola, la curva exponencial y la función logística. Las series cronológicas tienen dos variables(t,Y), entonces son funciones de la form a Y = f (tiem po) o Y = f (t), o tam bién Y = f (X) donde X representaría al tiempo.
8.4 TENDENCIA LINEAL: AJUSTE DE UNA LINEA RECTA La ecuación más sencilla de una línea recta es Y =a + bX; función de prim er grado en X cuyos parám etros son «a» y «b». Con esta ecuación hallar la línea de tendencia, que permita estim ar Y (producción, consumo, población, etc.) en función del tiempo. El método de los m ínim os cuadrados (MMC) es el más utilizado para ajustar o determ inar líneas de tendencia; por su precisión, las desviaciones o sesgos de los valores originales de la serie respecto a la línea ajustada son m ínimos. Tal com o ha sido estudiado, este m étodo perm ite un elegante tratam iento m atem ático de los datos de la serie cronológica, obtener buenas estim aciones con m enor sesgo y error estadístico. El procedim iento para determ inar la líneas rectas de tendencia es sim ilar al seguido en el caso de las líneas de regresión, aquí la variables X representará ,322>
RobERTO
B. A vi' I a A co sta
el tiem po. Com o se recordará para obtener la Y* = a + bX que tiene dos parám etros «a» y «b» se requiere de las ecuaciones normales : X Y = an + b X X £ X Y =a IX +b X X 2 donde las sum atorias se obtienen de los datos de la serie cronológica.
C O N VE R S IO N DEL TIEM PO C A L E N D A R IO EN ES C A LA DE X : a)
En toda serie cronológica, cuando se trabaja con una función : y = f(x )
x = tiempo
el tiem po calendario, que puede ser meses, trim estres, años, etc, debe convertirse en una escala o valor de x, que generalmente es un número entero. Por ejem plo, la serie de los años calendarios : 1990,
1991,
1992,
1993,
1994
puede expresarse com o : X : 1 2 3
4
5
6
7
1988,
donde
1989,
£ X = 28
o también puede elegirse cualquier año como origen de la serie; por ejemplo 1991 (x = 0), entonces : X : - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 entonces Y X = 0 Puede elegirse cualquier escala, lo fundamental es que el tiempo calendario quede expresado en valores de X. b)
Según los valores que se elijan para X, es posible abreviar los cálculos en las Ecuaciones Normales. La recom endación general, es asignar valores de X de modo que Y i)
X
= 0 . Al respecto, se presentan dos casos :
Cuando la serie tiene un núm ero im p a r de observaciones consecutivas, se elige el punto m edio com o nuevo origen de la serie, en el ejemplo correspondería al año 1991, al cual se asigna el valor 0. ESTÀDIS1ICA
ELEMENTAL <323.
1988 X ii)
:
-3
1989 1990 1991 -2
-1
1992 1993 1994 0
1
2
3
donde: £ X = 0
C uando la serie cronológica tiene un núm ero «par» de observaciones, por ejemplo 8 años consecutivos. El punto medio de la serie está ubicado entre dos años centrales; en este caso se considera una escala de 2 unidades entre dos años consecutivos, tal com o se ilustra : 1987 1988 1989 1990 X : -7 -5 -3 -1 donde : £ X = 0
0
1991 1992 1993 1994 1 3 5 7
c) El artificio de conseguir que X x = ° , facilita el cálculo de los parám etros a,b en las ecuaciones norm ales; en caso de la recta, estas ecuaciones se transform an y sim plifican com o : X Y = a n
X X Y = b X2 de donde fácilm ente despejando se obtiene que : a = ( X Y ) /n
b=(X X Y )/X X 2
f l Este a rtificio es a plicab le sin dificultad cuando se tiene series cronológicas con datos para años (o períodos) consecutivos o equidistantes.
^4o ta
fr\lota H C uando la serie tiene datos para años (o períodos) no consecutivos, no es muy fácil hallar X X = 0 ; entonces para evitar confusiones es preferible usar una escala de núm eros enteros positivos. Por ejem plo, para una serie de tiem po con los años:
x
:
1982 0
1985 3
1989 7
1991 9
1994 12
1995 13
Ejemplo| 8.2 Considerando la Serie Cronológica de la Deuda Externa Total del Perú para el período 1982-1994 (Cuadro N° 8.2 ), d e te rm in a r: i) La gráfica de la serie; ii) La línea recta de tendencia; iii) G raficar la recta de tendencia; iv) La deuda estim ada para los años 1996,1997 y 1998; v) El error estándar de estimación. 324> Robtiuo B.
A v í I a A costa
Solución : i) La serie tiene 13 datos cuya poligonal está en el G ráfico N° 8.3 íi) C om o se trata de una serie de 13 años (núm ero im par de observaciones), elegim os com o punto medio el año 1988 de donde X=0, luego la escala para X es . X : -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, de donde X X=0 En estas condiciones se usan las ecuaciones norm ales sim plificadas :
X
y = an
223 225 = 13a.
X
x y = b X x2
204 839 = 182b.
resolviendo, se obtiene que : a = 17 171,15 b = 1 125,49 sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta, se tiene : y*=17171,15 + 1125,49 X que constituyen la recta de tendencia de la evolución de la deuda externa total del Perú.i)
iii) Para graficar la recta de tendencia obtenida es suficiente determ inar dos puntos, reem plazando X es la ecuación, por ejemplo X 1=-3, X2=5 se obtiene los puntos P ^ -3 ; 8678) y P2(5; 14450), los m ism os que se gráfica y por ellos se traza la gráfica de la recta y*= 10842,69 + 721,52 X indicado en el G ráfico N° 8.3.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <325
Cuadro N°8.02 DETERMINACION DE LA TENDENCIA LINEAL DEUDA EXTERNA TOTAL DEL PERU. PERIODO 1982-1994. (Millones de dólares) Años
X
Deuda Total Y
XY
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
-6
10619
-63 714
36
112 763 161
-5
11 131
-55 655
25
123 899 161 140 398 801
n=13
X2
Y2
4
11 849
4 7 396
16
-3
12 877
-38 631
9
165 817 129
-2
14 904
-29 808
4
222 129 216
-1
17 634
-17 634
1
310 957 956
0
17 964
0
0
322 705 296
1
18 609
18 609
1
346 294 881
2
19856
39 712
4
394 260 736
3
20 787
62 361
9
432 099 369
4
21 409
85 636
16
458 345 281
5
22157
110 785
25
490 932 649
6
23 429
140 574
36
548 918 041
0
223 225
204 839
182
4 069 521 677
IX
LY
IX Y
IX 2
LYJ
Fuente : INEl-Perú : Compendio Estadístico 1995. E la b o ración . Estudios y Ediciones R.A.
iv ) La recta de tendencia obtenida es un modelo que ayuda a hacer algunas
proyeccione s o estim aciones de la deuda futura. En este sentido, para e stim a r la deuda de 1996 b a sta rá re e m p la za r en la e cu a ció n X=7, o b te n ie n d o : y96* = 17 171,15 + 1 125,49 (8) y96* = 26 175 millones de dólares. De igual manera, para 1997 (X = 9) y para 1998 (X = 10), estim ándose co mo deuda : y97* = 27 300 millones de dólares, y 9 8 * = 28 4 2 5 millones de dólares. y así sucesivam en te se puede e stim a r la deuda total para los años siguientes. Estos valores estim ados no tienen necesariam ente que ocurrir exactament e en el futuro; como estimación tienen un error o sesgo probable, el m ism o que se puede d e te rm in a r m ed ia n te el e rro r e s tá n d a r de estimación. 326> RobcRio B. Aví I a Acosia
v)
El error está definido por las desviacione s de los valores de y respecto a la función de la tendencia, al igual que en el caso de la regresión y correlación, el error estándar de estimación se calcula por la fórmula.
c2
I y 2 - a l y - bl x y
byx ~
n donde reem plazando valores, se obtiene que S = 676,40 m illones de dólares. Es decir, que el error promedio en las estim aciones sería 676,40 m illones de dólares; luego se puede definir intervalos con distintos niveles de probabilidad , com o : p
( y * - s yx < y < y * + s y x ) = o , 683.
que para el caso del ejemplo, seria : P ( y* - 676,40 < y , y* + 676,40 ) = 0,683 y concretam ente para 1996, asum iendo que la tendencia observada conti nuará en 1988, existe una probabilidad del 63.3% que la deuda total del país estaría com prendida entre 25499 y 26851 millones de dólares.
G rá fic o N° 8.3. D EU D A E XTE R N A T O T A L DEL PERU. 1982-1994.
6 000 -------------------------------:--------------------------------------1982 1983 1984
—
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
1992 1993 1994
Años
ESTADISTICA
ELEMENTAL <327
^ o t a B Componentes de una Proyección. Definido el modelo de tendencia de una serie cronológica, la aplicación m ás im portante son las proyecciones y estim aciones de y en el futuro. Sin em bargo, es im portante destacar que en toda proyección debe tenerse en cuenta dos com ponentes : 1) Un m odelo estadístico de proyección o estim ación. 2) Una hipótesis de tendencia o proyección. En el ejem plo, el modelo de proyección es la líneas recta, com o puede ser otra función. En tanto que la hipótesis es que, en los tres años futuros, continúa la tendencia observada en el período 1982-1994, es decir, que hasta 1998 se supone que estarían presentes, de alguna m anera, los factores que determ ina ron la tendencia observada.
8.5 LA TENDENCIA PARABOLICA A lgunas veces, de acuerdo a la form a de la gráfica dé la serie o de la naturaleza de los datos, no es significativo describir la tendencia de una serie cronológica m ediante una recta; conviene utilizar funciones no lineales para ajustar la tendencia, tales como la parábola, la función exponencial, etc. V eam os ahora el caso de la TENDENCIA PARABÓLICA, que significa utilizar la ecuación de la parábola de la form a :
Y‘ = a + b X + c X 2 que tiene 3 parám etros: a, b, c. De acuerdo al M étodo de los M ínim os Cuadra dos, las ecuaciones normales para obtener (a,b,c) son ahora : Z Y = a n + b Z X + c Z X2
Z
XY = a
Z X +b Z X 2+ c Z X 3
Z X2Y = a X X2 + b X X 3 + c X X4 Si se elige para X una escala, de m odo que X X = 0 también resulta que
X X 3 = 0, luego las tres ecuaciones norm ales son ahora :
*328> R o b c m o B. A v í Ia A c o s t a
(1)
X Y = an + c E x 2
(2) X XY = b X X 2 (3)
X X 2Y = a X X 2 + c X X 4
de la ecuación (2) se despeja fácilmente b, resultando : b = ( X X Y )/ X X 2
resolviendo las ecuaciones (1) y (3) se obtiene los parámetros : a y c.
Ejem plo 8.3 D eterm inar la tendencia parabólica de la serie cronológica de la evolución del núm ero de ingresados anuales a las universidades estatales del Perú, en el Periodo 1985-1994. (C uadro N° 8.3 ). En prim er lugar, conviene construir la poligonal de la serie y observar si efectivam ente se ajusta una función parabólica En el Gráfico N° 8 4. presenta la poligonal de la serie, y hay evidencias de su form a parabólica. En el C uadro N° 8.3. se presenta la serie de los ingresados (1985-1994), así como los cálculos necesarios para construir las ecuaciones normales de la parábola. De acuerdo a las recom endaciones, com o la serie tiene 10 años consecutivos (caso par), para asignar valores a X, se ubicará el origen de la serie entre los años 1989 y 1990, entonces la escala para X (tiem po) es : A ños : 1985 X -9 de este m odo
86 -7
87 -5
88 -3
89 -1
0
90 1
91 3
92 5
93 1994 7 9
X X = 0 y tam bién X X 3 = 0.
La ecuación de la parábola Y* = a + bX + c X 2 tiene como ecuaciones normales sim plificadas a : (1) X Y = a n + c X X (2) X XY = b X X 2 (3) X X 2Y = a X X 2 + c X X 4
ESTADISTICA
ELEMENTAL <329
donde reem plazando los respectivo s valores de las sum atorias del Cuadro N° 8.3. se tiene : ( 1 ) 393 = 10a + 330c ( 2 ) 297 = 330b (3) 12657= 330a + 19388c resolviend o el sistem a de 3 ecuacione s, resulta : c = -0,0367
b = 0,90 ;
a = 40,52;
luego la ecuación de la tendencia parabólica es : Y* = 40,52 + 0,90X - 0.0367X 2 ¿Cuál será el núm ero estim ado de ingresado s en 1996? Aquí se tiene X = 13 para 1996, entonces : Y *96
= 4 0 ,5 2 + 0,90 ( 13) - 0,0367 (13)2
Y*96
= 46,02 m iles de ingresado s.
Y*
= 46 020 ingresado s.
Para calcular el error estim ación, se aplica la fórm ula propuesta para el caso de la regresión parabólica
X Y 2- a X Y - b y ; X Y - c X X 2 10 reem plazando valores y ejecutand o operacion es, se obtiene que el error de estimación es SYx = 3 980 ingresado s. Veam os ahora la graficació n de la parábola. A partir de la ecuación de la parábola de tendencia , se definen alguno «puntos aislados» dando valores para X, asi se tiene los puntos P, (-7; 32), P2 (-5; 35), P3 (1; 41), y P4 (7; 45) que sirven para trazar a «m ano alzada» el gráfico de la parábola obtenida.
k33Ò> Robcmo B. A v í Ia A c o s t a
C u a d ro N° 8 .0 3 DETERMINACION DE LA TENDENCIA PARABOLICA : NUMERO DE INGRESADOS A LAS UNIVERSIDADES ESTATALES DEL PERU. 1985-1994. (miles de personas) Años
Tiempo X
Ingre sados Y
X2
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
28 33 35 40 41 40 41 43 45 47
81 49 25 9 1 1 9 25 49 81
n=10
0
393
330
IY
IX 2
IX
X3
X4
XY
-729 -343 -125 -27 -1 1 27 125 343 729
6 561 2 401 625 81 1 1 81 625 2401 6 561
-252 -231 -175 -120 -41 40 123 215 315 423
2 268 1 617 875 360 41 40 369 1075 2 205 3 807
784 1 089 1225 1 600 1 681 1600 1 681 1 849 2 025 2 209
0
19 338
297
12 657
15 743
IX 3
IX Y
IX 4
X2Y
Y2
I X 2Y
IY 2
Fuente : ANR. Departamento de Informática y Documentación. Elaboración : Estudios y Ediciones R.A.
Gráfico N° 8.4. NUMERO DE INGRESANTES A LAS UNIVERSIDADES ESTATALES DEL PERÚ : 1985 -1994. 50,0 .
♦
25,0 ---------------------- ;---------- •--------- * --------- t---------- t--------- i------------------- 1985
1986
1987
1988
1989
1990
Años
1991
1992
ESTADISTICA
1993
1994
ELEMENTAL <331
N o ta B Toda estimación tiene un error o sesgo, que define un intervalo dentro del cual estaría el futuro valor de Y. En el ejem plo com o S yx = 3980 ingresados, en los térm inos más simples el valor de Y estaría entre (Y *-S yx, Y *+ S yx) es decir que los ingresados en 1996 estaría entre 42 040 y 50 600 ingresados.
8.6 LA TENDENCIA EXPONENCIAL Existen m uchas series cronológicas que tienden a variar (ascender o des cender) en form a geom étrica, cuya tendencia se puede expresar muy bien mediante una curva exponencial. C om o ejem plos, se puede mencionar el crecim iento de la población dem ográfica, la evolución del ingreso nacional, los depósitos de ahorro, etc. La te n d e n c ia e xp o n e n c ia l de una serie, se describe por la función exponencial de la form a : Y* = a .b x
donde a, b son los parám etros y la variable X (tiem po) está como exponente. Tal com o se indicó en el capítulo anterior, conviene expresar esta función en su form a algorítm ica, a saber: log Y* = log a + X log b con ecuaciones n o rm a le s :
Z log Y = n log a + log b Z X Z X log Y = log a Z X + log b Z X 2 de donde se obtiene el valor de los parám etros lo g a, lo g b; de los cuales tom ando los antilog. se obtienen a, b. A sí m ism o, cuando Z X=0, las ecuaciones norm ales se reducen a : Z log Y = n log a
Z X log Y = log b Z X 2 con : log a = ( Z log Y) / n
log b = Z X log Y / Z X 2
valores que se sustituyen en la ecuación logarítm ica de la exponencial. 332^ RobeRio B. A v í I a A c o s i a .
La ecuación exponencial también se utiliza cuando se tiene series cronológi cas en las cuales interesa calcular las tasas de crecim iento prom edio (i) de la variable, en un p e río d o determ inado. En la ecuación Y *= a se tiene que b = 1 + i donde «i» es la tasa de crecim iento, ahora la ecuación será: Y* = a (1 + i )x que corresponde a la fórm ula del interés com puesto cuya expresión más conocida es : M =C ( 1 + i ) donde M es el m onto resultante al final de t períodos, sobre un capital original C invertidos a una tasa de interés i con capitalización en cada período. Por otra parte, aún cuando existen m étodos dem ográficos adecuados, es muy frecuente utilizar la ecuación exponencial para hallar la tendencia y tasa de crecim iento de la población dem ográfica, y luego realizar proyecciones de población; realm ente constituye un m étodo alternativo y de fácil aplicación frente a las fórm ulas que usa la Dem ografía.
Ejem plo 8.'4 Determinar la tendencia exponencial de la evolución del Producto Bruto Interno, del Paraguay, observado en el Período 1985-1993. El monto del PBI expresado en millones de dólares se presenta en la columna Y del Cuadro N° 8.4.; adem ás puede apreciarse en el Gráfico N° 8.5. que la poligonal de la serie tiene un evidente crecim iento no lineal, mas bien es de ti po geométrico, cuya tendencia puede expresarse m ediante una función expo nencial. La serie tiene un núm ero im par de observaciones (n=9 años) entonces el origen X = 0 se ubicará en el año 1989 con una escala X de : Años : 1 9 8 5 X -4 resultando que
86 -3
87 -2
88 -1
89 0
90 1
91 2
92 1993 3 4
Z X = 0. Con estas condiciones se utilizan las ecuaciones
normales sim plificadas :
Z
Log Y = n Log a
Z X Log Y = Log b Z X2
ESTADISTICA
ELEMENTAL <333
que corresponde a la ecuación Log Y* = Log a + X Log b de donde Loga = Log b = entonces la ecuación exponencial es . Log Y* = 3,7207 + 0,01571 X Para obtener la ecuación original de la e xp o n e n c ia l: Y* = a.bx se halla los antilogaritm os: a = antilog 3,7207 = 5 256,5 b = antilog 0.01571= 1,0368 luego : Y* = 5256,5 (1.0368)x C om o b = 1 + i = 1,0368 resulta que la tasa de crecim iento del PBI es i = 0,0368 o tam bién i = 3,68% anual. Este valor indice que durante el período 1985-1993 el PBI del Paraguay creció a un ritmo prom edio de 3,68% anual. Asum iendo que ésta tendencia continuara en los próximos años, entonces el PBI para 1996 (x = 7) sería aproxim adam ente : Y *96 Y*g6
= 52 56,5 (1.0368)7 = 6 529 m illones de dólares
fc o íg E Aplicando las series de tiem po esxin ejercicio muy. ilustrativo com pa rar la evolución y tendencia de la Deuda Externa y el Producto Bruto Interno, en el periodo 1980-1995 y luego analizar el com portam iento para el quinquenio 1995-2000.
C u a d ro N° 8 .0 4 DETERMINACION DE LA TENDENCIA EXPONENCIAL PARAGUAY : PRODUCTO BRUTO INTERNO A PRECIOS CONSTANTES DE MERCADO. 1985-1993. (Millones de dólares a precios de 1980) X2
X log Y
Años
Tiempo X
PBI Yi
Log Y
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4 575 4 671 4 768 5 087 5 387 5 554 5 683 5 783 6 009
3,6604 3,6694 3,6783 3,7065 3,7313 3,7446 3,7546 3,7622 3,7788
16 9 4 1 0 1 4 9 16
-14,6416 -11,0082 -7,3567 -3,7065 0,0000 3,7446 7,5092 11,2865 15,1152
n=10
0
47 517
33,4861
60
0,9425
I x
IY
IL o g Y 2
IX 2
I X Log Y
Fuente : C E P A l. Anuario Estadístico de América Latina y el Caribe. Edición 1994. E la b o ración : Estudios y Ediciones R.A.
Gráfico N° 8.5. PARAGUAY : Producto Bruto Interno. 1985-1993 (Millones de dólares a precios de 1980)
6 500-
Millones US. $
6 000 -i
5 500 :
5 000 -j
I 4
500 -
4
000 84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
ESTADISTICA
94
95
96
ELEMENTAL <335,
Ejem plo 18.5 Veam os ahora cóm o se determ ina la tendencia exponencial del crecim iento de la población. Considerem os los resultados de los Censos de Población del Perú realizado en los años 1940, 1 9 6 1 ,1 9 7 2 , 1981 y 1993. La población total según los censos, así com o los cálculos necesarios para construir la función exponencial se presenta en el Cuadro N° 8.5. En este ejemplo, los años de la serie no son equidistantes por tanto no es fácil hacer que X X=0, en consecuencia utilizarem os para la ecuación : Log Y* = log a + x log b Las ecuaciones norm ales no reducidas :
X Log Y = n log a + log b X X X X Log Y = log a X X + log b X X 2
C u a d ro N° 8 .0 5 POBLACION DEL PERU SEGUN LOS CENSOS DE 1940,1961,1972,1981 Y 1993 (Miles de habitantes) Años
Tiempo X
Población Y
Log Y
1940 1961 1972 1981 1993
0 21 32 41 53
7 023,1 10 420,4 14121,6 17 762,2 22 639,4
3,8465 4,0179 4,1499 4,2495 4,3549
0 441 1 024 1681 2 809
0,0000 84,3759 132,7968 174,2295 230,8097
n=10
0
' 71 966,7
20,6187
5 955
622,2119
IX
•
£Y
YLog Y
X2
IX 2
Fuente : INEI. Censos Nacionales 1993. Ren!): Resultados Definitivos. Perfil Socio Demográfico.
Reem plazando valores en las ecuaciones norm ales : 20,6187 = 5 log a + 147 log b 622,2119 = 147 log a + 5955 log b
3 3 6 )> R o b E R r o
B. A v í Ia A c o s t a
X log Y
I X Log Y
log b = 0,00981 log a = 3,83533
lu e g o : lu e g o :
b = 1.0228 a = 6844.3
luego la exponencial es : log Y* = 3.83533 + 0.00981 X o ta m b ié n :
Y* = 6844.3 (1.0228)x
por el valor de «b» se deduce que i = 2.28%, que indica la tasa de crecim iento prom edio anual de la población peruana en el período 1940-1993; en otras palabras en los últim os 53 años la población peruana presentó crecim iento dem ográfico prom edio de 2.28 por ciento anual. En el período 1972- 1981 el crecim iento dem ográfico fue 2,56% y para 1981-1993 de 2,0% anual. ¿Cuál será la población en el año 1996 y en el año 2000? C onsiderando la e x p o n e n c ia l: Para 1996 (X = 56) : Y * 19 9 6
= 6844.3 (1.0228)56 = 24 1 88 500 habitantes .
En el año 2000 (X = 60) : Y * 2 ooo = 6844 3 (1 022 8)60 = 26 471 100 habitantes. Estas estim aciones suponen que el ritmo del crecimiento sería de 2,28% anual. Recientes estudios están dem ostrando que la Fecundidad está disminuyendo, por tanto la población tendrá un ritmo anual menor, y se estim a que sería de 1,8% entre 1995 y 2000.
R o ta H D em ográficam ente la proyección de la población se realiza por el M étodo de lo s C o m p o n e n te s, que considera el efecto que tiene los nacimien tos, las defunciones y las m igraciones en el crecim iento de la población. La estim ación oficial de INEI para 1985 es 23 531 700 habitantes y de 25 661 690 para el año 2000.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <337
G rá fic o N° 8.6. P O B L A C IÓ N D EL PERÚ S EG U N LO S CEN SO S DE 1940,1961, 1972,1981 Y 1993.
24 000 y 22 000
g 20 000
|
|
I
18 000 L
1
16 000 4
x
.*
'
-§ 14 ooo | I
y
12000 4
10 000 -i8 000
...®'
-
6 000 ----------- •---------- ------------ ------------------------i----------- T______ _______ 1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
á
2000
Años
8.7 ESTUDIOS DE LAS VARIACIONES ESTACIONALES Las variaciones estacionales de una serie cronológica son las oscilaciones que se repiten casi sistem áticam ente en los subperíodos de tiempo (trimestre, meses, semanas, etc.). Por ejemplo, si analizamos para varios años las ventas m ensuales en las librerías encontrarem os que los meses de m arzo y abril presentan m ayores ventas, en tanto que en el mes de agosto son menores; por su parte, los superm ercados experim entan las mayores ventas en la última sem ana de cada mes; el m ayor consum o de energía dom éstica ocurre en los meses de invierno; posiblemente el m ayor número de horas-hombres perdidas por paralizaciones laborales se presenta en el prim er trim estre de cada año. Las siem bras y las cosechas son de tipo estacional. El análisis de las variaciones estacionales suele facilitar la explicación e interpretación de algunos acontecim ientos económ icos, sociales y políticos. Tener una idea de las variaciones estacionales, ayuda a tomar algunas decisio nes y program ar actividades; por ejem plo, si un em presario advierte que frecuentem ente en el m es de agosto ocurre una reducción de sus ventas, es posible que para ese mes no com prom eta fuertes pagos o inversiones.
338>
RobtRio B.
A v i l a A c os ta
Existen diversos m étodos para medir y explicar las variaciones estacionales de una serie El objetivo fundam ental de la mayoría de los métodos es obtener INDICES E S TA C IO N A LE S . Una serie cronológica puede o no tener variación estacional; por lo tanto, antes de decidir el cálculo de los indices estacionale s debe exam inarse cuidadosam ente las variaciones con el auxilio de la gráfica de la serie. Por ejemplo, la serie referente a la venta trimestral de pares de zapatos, indicados en el Cuadro N° 8.6. y en el G ráfico N° 8.7., presenta una clara variación estacional. Se observa que en los 3 años considerado s, las m ayores ventas se producen en el II y IV trim estre, con una dism inución significativa en el I trimestre. Entre los diversos m étodos para obtener Indices Estacionale s, los más sencillos son: a) M étodo del porcentaje promedio.
b) M étodo de las m edias simples.
C u a d ro N ° 8 .0 6 V E N T A T R IM E S T R A L D E Z A P A T O S D E U N A R E D D E Z A P A T E R ÍA S E N L O S A Ñ O S 1 9 9 3 ,1 9 9 4 y 19 9 5 .
T r im e s tr e
1993
1994
1995
I
5 443
5 881
6 253
II
7 142
7 906
8424
III
6 781
7 423
7 928
IV
7 658
8110
8 907
27 024
2 9 32 0
31512
T o ta l A n u a l
Fuente : Estadísticas de ventas de Zapaterías Don Pie. 1993-1995. E la b o ración : Estudios y Ediciones R A
ESTADISTICA
ELEMENTAL <339>
Gráfico N° 8.7. VENTA TRIMESTRAL DE ZAPATOS DE UNA RED DE ZAPATERIAS, EN LOS AÑOS 1993-1995. 9 000 8 500 8 000
•§ 7 500 o .
■
« 7 000 » I 6 500
o.
6 000 5 500 5 000
I
II
III 1993
8.7.1
IV
I
II
III
IV
1994
I
II
III
IV
1995
METODO DEL PORCENTAJE PROMEDIO *•
Es uno de los m étodos más simples y rápidos para determ inar los « in d ic e s e s ta c io n a le s » . El m étodo plantea lo siguiente : • • •
S um ar los datos de cada año y obtener el valor prom edio de cada subperíodo (meses, trim estres, etc.). Expresar los datos originales (Y) de cada año en térm inos porcentuales respecto al prom edio anual. Hallar el prom edio de los porcentajes de cada mes o trim estre de los distintos años, este valor constituye el Indice Estacional.
frjo tg H Para analizar las variaciones estacionales, es recom endable tener inform ación por lo menos para tres años divido en subperíodos (m eses, trimestres, etc.).
34K>RobERi o
B. A v í I a A c o s t a
Ejem plo 8.6 P ara d e ta lla r el p ro c e d im ie n to del M é to d o del P o rc e n ta je P rom edio, considerando el núm ero m ensual de accidentes de trabajo en un fábrica durante 5 años (1991 al 1995), indicados en el C uadro N° 8.7. 1) Sum ar el número de accidentes de cada año (columna) y calcular el número prom edio de accidentes por mes. Com o se aprecia en el Cuadro N° 8.7., el núm ero anual de accidentes están en la fila 1, luego dividiendo entre 12 meses, se obtiene el prom edio m ensual de accidentes de la fila 2 (donde están 12,6 ; 18,2 ; ...). 2) E xpresar en porcentaje el núm ero de accidentes m ensuales respecto a su prom edio anual; para el efecto se divide cada valor m ensual entre el prom edio m ensual de cada año, este resultado se m ultiplica por 100, los resultados están en el C uadro N° 8.8. Hagam os algunos cálculos : Para enero de 1991
^ ^ - = 95%
12.6
Para m arzo de 1992
18(100) 18.8 9(100)
Para julio de 1993
21.6
Para diciem bre de 1994
= 42%
30(100) 26.4
= 114% , etc.
3) O btener finalm ente los Indices Estacionales. Se sum an los 5 porcentajes mensuales de cada mes (filas) las sumas están en la colum na 1 del Cuadro N° 8.8, este valor se divide entre 5 (años) y resulta el Indice Estacional de cada m es (colum na 2). El indice estacional de enero es :
Si =
95+99+93+90+91 5
468 “
5
93.6%
este resultado significa que el núm ero de accidentes de enero ha estado, por lo general, en un 6.4% por debajo del núm ero prom edio año. Para ESTADISTICA
ELEMENTAL <34 1
diciem bre será : e 119 + 132 + 130 + 123 + 114 618 S 12 = ---------------------------------------= - — =123.6%
en el m es de diciem bre los accidentes superan en 23.6% el promedio m ensual año. La sum a de indices estacionales m ensuales (S¡) será igual a 1200, en el caso de Indices estacionales trim estrales la sum a será 400. El G ráfico N° 8.8. m uestra la poligonal de la serie cronológica y el Gráfico N° 8.9. presenta los indices estacionales. Finalm ente, se puede sostener que esta serie de 60 m eses, tiene una tendencia ascendente, puesto que le prom edio m ensual de accidentes de cada año es creciente (12.6; 18.2; 21.6; 24.4; 26.4). Este m étodo no considera en ningún m om ento la tendencia de la serie, por tanto en los Indices Estacionales no se ha elim inado el efecto de la tendencia de la serie cronológica.
C uadro N ° 8 .0 7 NUMERO MENSUAL DE ACCIDENTES DE TRABAJO EN UNA FABRICA TEXTIL. 1991-1995. MESES
1991
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
1992
12 18 18 19 18 12 3 6 4 12 14
20 28 24 30 30 28 9 11 13
15
18 24 18 24 29 25 6 9 7 16 18 24
(1) Total Anual
151
(2) Promedio Mensual
12,6
F uente ; Departamento de Seguridad Industrial. E la b o ra ció n ; Estudios y Ediciones R A
3 4 Z>
AÑOS 1993
Robemo B.
A v í I a A c os ta
1994
1995
18 20 28
22 26 23 36 35 31 12 17 15 22 24 30
24 26 24 36 40 37 15 18 18 23 26
218
259
293
317
18,2
21,6
24,4
26,4
30
C u a d ro N °8 .0 8 PORCENTAJES MENSUALES E INDICES ESTACIONALES DE ACCIDENTES DE TRABAJO EN FABRICA TEXTIL. 1991-1995. MESES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
1991 %
1992 %
AÑOS 1993 %
1994 %
1995 %
95 143 143 151 143 95 24 48 32 95 111 119
99 132 99 132 159 137 33 50 39 88 99 132
93 130 111 139 139 130 42 51 60 83 93 130
90 107 94 147 143 127 49 70 61 90 98 123
91 98 91 136 152 140 57 68 68 87 98 114
(2) (D Indice Totales de cada mes Estacional (S) 93,6 122,0 107,6 141,0 147,2 125,8 41,0 57,4 52,0 88,6 99,8 123,6 1199,6
468 610 538 705 736 629 205 287 260 443 499 618
Fuente : Departamento de Seguridad Industrial. E la b o ra c ió n ; Estudios y Ediciones R.A.
Gráfico N° 8.8. NUMERO MENSUAL DE ACCIDENTES DE TRABAJO EN UNA FABRICA TEXTIL. 1991-1995.
0
dic-91
dic-92
dic-93
dic-94
ESTADISTICA
dic-95
ELEMENTAL <343
G ráfico N° 8.9. INDICES ESTACIONALES DE LOS ACCIDENTES MENSU ALES DE TRABAJ O DE UNA FABRICA.
8.7.2 1 METODO DE LAS MEDIA S SIMPLE S________________ __ Llam ado frecuen tem ente el M étodo de los P ro m e d io s S im p le s ajustad os por la tendenc ia. Este m étodo elim ina los efectos de los m ovim ientos cíclicos (C) e irregula res (I) que se present an en algunas series, conside rando la media o prom edio de los datos para cada mes (trim estre u otra unidad de tiempo) . A diferenc ia del m étodo del porcent aje promed io, aquí se tiene en cuenta el efecto de la tendenc ia en el Indice Estacio nal. Se supone que los efectos de las distintas com ponente s de una serie, están basado s en un modelo aditivo: Y = T+ E + C + I. C uando se elimina las variacio nes cíclicas (C) y las irregula res (I) m ediante el cálculo de promed ios, el m odelo se reduce a : Y ¡ = T¡ + E|
es decir
E ¡ = Y i - Ti
donde: y
3 4 4>R ot>£R io
B.
=
prom edio sim ple de los valores de Y para el mes i (i=1, 2 ......12) o trim estre (i = 1, 2, 3, 4)
A v í I a A c o s ia
Tj =
d e svia cio n e s prom edios co rre sp o n d ie n te s para cada mes o trim estre, debido a la tendencia. Este v a lo r co n stitu ye un té rm ino de corrección, que puede ser positivo o negativo.
El resultado E¡ = Y . - T¡ es un estacional típico o un prom edio ajustado por la tendencia. Finalm ente los valores se usan para calcular el Indice Estacional. La desviación prom edio se calcula de una ecuación de tendencia. En nuestro caso, con el propósito de simplificar, sólo utilizarem os la ecuación de tendencia lineal m ínim o cuadrado; esto significa que la desviación promedio para cada mes o trim estre se calculará a partir de valor de « b « en la ecuación de la recta : Y* = a + bX entonces, la desviació n prom edio m ensual será trim estres será b/4.
b/12. Si se trabaja con
El procedim iento para calcular los índices de variación estacional por este Método de las M edias Sim ples, lo vam os a ilustrar con un ejemplo.
Ejemplo | 8.7 Consideramos las ventas mensuales del Superm ercado ABC durante los años de 1991 a 1995. Los datos se presentan en el C uadro N° 8.9. con un total de 60 observaciones ( 5 x 1 2 meses), cuya poligonal está en el Gráfico N° 8.10. De la poligonal se deduce que la serie presenta variaciones estacionales, observándose que las m ayores ventas se producen en los m eses de julio y diciembre, en tanto las m enores ventas corresponden a los m eses de febrero y octubre, en cada uno de los cinco años. En un análisis más riguroso convendría explicar las causas de estas varia ciones, así com o las consecuencias en el program a financiero de la empresa. El procedim iento de cálculo de los In d ic e s E s ta c io n a le s (S) es como sigue:
1) Encontrar el prom edio de las ventas (media aritm ética) para cada mes, entonces sum ar horizontalm ente las ventas del m ism o mes (columna 1) y dividir entre 5 años (Enero: 187/5 = 37.4; Febrero 176/5 = 35.2; etc.) para obtener el prom edio de ventas mensual Y¡ (colum na 2). Con el cálculo de las m edias ( Y . ) se ha elim inado el efecto de las variaciones cíclicas y de las irregularidades. Estos promedios viene a form ar el patrón estacional antes de corregir el efecto de la tendencia.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <345
2) H allar el prom edio m ensual de ventas en cada uno de los 5 años; sum ar verticalm ente las ventas de los 12 m eses (fila 3) y dividir entre 12 (fila 4). Estas ventas m ensuales definen la tendencia de la serie, que se estima m ediante una linea recta. Del C uadro N° 8.10. se obtiene que . Y* = 47.14 + 2.68 X En donde el valor de b = 2.68 m uestra el increm ento o efecto anual de la tendencia. En consecuencia, el increm ento m ensual será 2.68 /1 2 = 0.223 (efecto de la tendencia). Los increm entos m ensuales acum ulados (T¡) debido a la tendencia, está indicada en la colum na 5. Las ventas prom edio para el prim er m es (enero) constituyen la base, por lo que no tienen increm ento. Para los m eses sucesivos, las ventas prom e dios están afectadas o increm entadas en 0.223 por cada mes que avanza, así se tiene para el quinto m es (m ayo) las ventas están increm entadas en 4 (0.223) = 0.892. Los valores de la colum na 5 constituyen el término de corrección ( T j ) m ensual de tendencia.
Gráfico N° 8.10.
70
VENTAS MENSUALES DEL SUPERMERCADO A.B.C. PERÍODO. 1991-1995. (Miles de Dólares)
30
1991
3 4 6 > R o b E R io
1992
B. A v i U A c o s i a
1993
1994
1995
52 57 57 60 53 50 47 53 68 633 52,8
49,9
1993 S l O O t D T - O C M C O t f O C O C N
1992 L n C M i n C M ' T N O N ' t O C O t D r O C O ^ ^ ’ d ' d - ' ^ ' r i ’T ^ ^ l D
34 33 41
ESTADISTICA OO CM
co LO
O-
E la b o ración : Estudios y Ediciones R.A.
45,92
47,2
05 CM
Fuente : Registro de Ventas
43,7
42,4
Promedio Mensual
235,8
58,95
106,50 108,18 112,49 102,87 94,11 87,51 97,49 128,37
100,89 46,33 48,91 49,69 51,66 47,24 43,22 40,19 44,77
76,17 103,98
551,08
r-. ( û r - m o i ' î i n ' ^ i D ' r - i n s CO S t T C O T f t n O - d - C N ’ - C O O T— T— CM CM CM CM CM CM CM CM CM CO
565,8
"
524
OO CO 0 _ CO O CM O co" lo" cm" ro - '^ ro -o -c D
509
0,892 1,115 1,338 1,561 1,784 2,007 2,230 2,453
CM CM O
Total Anual
0,223 0,446 0,669
34,98 47,75
(7) (6) (5) (2) Indice Patrón Promedio Inc. Promedio de ventas de tendencias Estacional Estacional Corregido S(%) por mes Yt 0.223 mes Et = Yi - Tt Ti 81,44 37,40 0,0 h-T io co" r-" crT o " co" c o - ^ r o - 'M - L o io
47,0
42 40 54
05 05 un
46 45 46 48 44 41 37 40 54
1995
1994 C T ) ( D ( M O C M i n ( O C N t D 3 ’- S CO CO LO O" LO LO LO LO O' LO CO
1991
(D Suma de cada mes Tf
Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
Enero Febrero
MESES
SONV
DETERMINACION DE INDICES ESTACIONALES VENTAS MENSUALES DEL SUPERMERCADO A.B.C. 1991-1995 (Miles de dólares)
co
S Cfj £
ELEMENTAL <347
3) Eliminar el efecto de la tendencia en el promedio de ventas (columna 2 En este caso calcular Y¡ - y para obtener E¡ (columna 6) que es la «medí corregida» o el patrón de variación estacional después de eliminado e efecto de las variaciones cíclicas y de las variaciones irregulares. E promedio de las variaciones estacionales corregidas ( E) es 551.08 /1 2 • 45.92 por mes . 4) Determinar los Indices Estacionales (S¡), para lo cual se divide cad; promedio corregido (E¡) entre E (=45.92). De esta manera se obtiene los Indices Estacionales, porcentualmente indicados en la columna 7 de Cuadro N° 8.9. Finalmente se construye la respectiva gráfica para S¡ (Gráfica N° 8.11.). Cuadro N° 8.10 DETERMINACION DE LA TENDENCIA LINEAL VENTAS EN EL SUPERMERCADO A.B.C. 1991-1995. Años
Tiempo X
Población Y
X2
XY
1991 1992 1993 1994 1995
-2 -1 0 1 2
42,4 43,7 47,0 49,9 52,7
4 1 0 1 4
-84,8 -43,7 0 49,9 105,4
0
235,7
10
26,8
Dado y* = a + bx con I
X
II
=
*<
y
M
l
luego:
x=0
na b
l
235,7 = X2
a = 47,14
26,8 b
= 2 ,6 8
y* =? 47,14 + 2 ,68X como b
b 2,68 entonces — = 0,223.
34s>RobERTo B.
A v íIa A c o s ia
=
Gráfico N° 8.11. INDICES ESTACIONALES VENTAS MENSUALES DEL SUPERMERCADO
70 ---------- ------------------------------------------------------------------------------------------ ---1
2
3
4
5
6
7
8
S
10
11
12
8.8 LAS VARIACIONES CICLICAS Las variaciones cíclicas son aquellas fluctuaciones que se presentan alrededor de la tendencia, generalmente cada cierto periodo largo tiempo. Son generalmente variaciones de períodos poco regulares, y por tanto resulta difícil precisar cada cuánto tiempo se presentaría un movimiento cíclico. Como no son fáciles de controlar, éstas se analizan como un residuo que se estima una vez que se conoce la tendencia y las variaciones estacionales y que las variaciones irregulares hayan sido eliminadas. Las variaciones cíclicas pueden ser medidas a partir de datos anuales o de datos que se presentan en unidades de tiempo menores de un año (trimestres, meses, etc.). Esta vez nos vamos a referir sólo a las series anuales; en estas series la variación estacional se considerada eliminada, así como las variaciones irregulares. El método más simple para analizar las fluctuaciones cíclicas es el de Datos Ajustados por Tendencia. Considerando el modelo multiplicativo de las ESTADISTICA
ELEMENTAL <349
componentes de la serie de datos anuales, y asumiendo que E y T se eliminan, resulta que : Y =Tx C
ó
C =T Aquí el efecto de la variación cíclica se mide por las razones de Y (datos originales) con respecto a T (valores de tendencia Y*), la tendencia se puede obtener por diversos métodos y funciones, sin embargo aquí usaremos la recta mínimo cuadrada.
E ¡em plo|8.8 Observando en el Cuadro N° 8.11 la serie cronológica de la exportación de plomo durante el periodo 1976-1994 se aprecia en el Gráfico N° 8.12 que cada cierto número de años (4 ó 5) la exportación disminuye significativamente y luego aumenta; es-tas oscilaciones insinúan que la serie presenta ciertas fluctuaciones que pudie-ran considerarse como variaciones cíclicas, que ahora vamos a estudiarlas. El procedimiento para ajustar los datos de esta serie por la tendencia es la siguiente (Ver Cuadro N° 8.11.). 1) Determinar la tendencia de la serie, con la recta ; Y* = a + bX
Z Z
con I
Y = n.a XY = b
X=0
se tiene :
3093 = 19a
Z
X2
a =162,8
44 = 570b
b = 0,077
Y* = 162,8+ 0.077X la tendencia de la serie es de tipo ascendente, puesto que el coeficiente de X es positivo (b= 0,077), recta que está en el Gráfico. 2) Calcular los valores de Y* (exportación según la tendencia); para el efecto se utiliza la ecuación de los valores de X (tiempo) de la columna 2, y se obtiene los valores de la columna 6. Así se tiene: Para :
3 5 0 > R o b E R io
1976; 1982; 1987; 1994; B.
X = -9 X = -3 X= 2 X= 9
A v í I a A costa
Y*76 = Y*82 = Y*87 = Y*94 =
162,1 162,6 163,0 163,5
3)
Obtener los valores ajustados de Y respecto de la tendencia en este caso se divide Y entre Y* que se multiplica por 100 para obtener los valores de la columna 7. Así tenemos : Para:
Y Y*
172 = - x 100 = 106,1% 162.1
1976
C=
1987
Y 149 C = _ = _LIY_ x 100 = 91,4% Y* 163.0
1994
C = 108,9%
—
= —
4) Como las variaciones cíclicas se presentan alrededor de la tendencia, entonces esta tendencia se considera como la base o 100% para la desviación de cada año; luego la desviación porcentual respecto a la tendencia es la diferencia de C -100% que se indica en la columna 8 del Cuadro N° 8.11. e ilustrado en el Gráfico N° 8.12. ¡Nota lO Las variaciones cíclicas también se puede estimarse en base al modelo aditivo: Y = T + C de donde C =Y - T = Y - Y* que proporciona los mismo resultados. Esto significa que las desviaciones porcentuales respecto al valor de tendencia Y* son iguales a los valores de la columna 8 En 1976 Y -Y * Y*
172-1621 x 100= x 100 = 61 % 162.1
En 1990 Y Y * x 100 = 158--16- - 2 x 100 = -3.2% 163.2 Y* R o ta B Los valores porcentuales obtenidos sólo se limitan a describir los movimientos cíclicos pasados de la serie cronológica, da una idea de lo que ocurrió, por tanto se puede explicar. Este comportamiento observado no son hechos determinantes para anticipar el comportamiento futuro de la serie, es decir no se puede utilizar con éxito para proyectar variaciones cíclicas. Sin embargo, aún cuando existen estas limitaciones, los valores constituyen elementos referenciales en la futura programación.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <351
Cuadro N°8.11 DETERMINACIÓN DE LA TENDENCIA Y AJUSTE DE DATOS VARIACIONES CÍCLICAS PERU : EXPORTACIÓN DE PLOMO. 1976-1994 (Miles deT.M.) Años t
Expor tación Y
X
0) .... (2) 1976 -9 1977 -8 1978 -7 1979 -6 1980 -5 1981 -4 1982 -3 1983 -2 1984 -1 1985 0 1986 1 1987 2 1988 3 1989 4 1990 5 1991 6 1992 7 1993 8 1994 9 n=19 0 IX
(3) 172 166 165 ' 156 152 146 177 191 181 174 136 149 107 170 158 158 182 175 178 3093 IV
X2
XY
(4) 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 570 yx2
(5) (2)(3) -1548 -1328 -1155 -936 -760 -584 -531 -382 -181 0 136 298 321 680 790 948 1274 1400 1602 44 yxY
Fuente : INEI-Perú : Compendio Estadístico 1994-95. E la b o ración : Estudios y Ediciones R.A.
.3 5 2 /Robem o
B.
A v í I a A c os ta
Exportación Exportación Desviación de Tendencia Ajustada respecto a la Y*=T C=Y/Y* Tendencia (7)=(3)/(6) (6) (8) 162,1 106,1 6,1 162,2 102,3 2,3 162,2 101,7 1,7 162,3 96,1 -3,9 162,4 93,6 -6,4 162,5 89,8 -10,2 162,6 108,9 8,9 162,6 117,5 17,5 162,7 111,2 11,2 162,8 106,9 6,9 162,9 83,5 -16,5 163,0 91,4 -8,6 163,0 65,6 -34,4 163,1 104,2 4,2 163,2 96,8 -3,2 163,3 96,8 -3,2 163,3 111,5 11,5 163,4 107,1 7,1 163,5 108,9 8,9 3093,1 100 0 I.Y*
Gráfico N°8.12 EXPORTACIÓN DE PLOMO PERUANO
Miles deT.M.
200 T
1976
1978
1982
1980
1994
1992
1990
1988
1986
1984
Años
Gráfico N° 8.13. DESVIACIONES (%) RESPECTO A LA TEDENCIA
120
©
110
o'
©
---1_---© - -o
100 ©. -
80
1
©.
/
© o;
90
.©
¿
! 60 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
E S T A D I S T IC A
6
7
8
9
E L E M E N T A L <353
^ A J U S T E PE POLINOMIOS El Método de Ajuste de Polinom ios consiste en considerar como modelo matemático para el ajuste, una función de la forma : m Ym = Z a rX r r= 0
donde ar son parámetros en «X» en el polinomio de grado m con (r = 0,1,2, Para los polinomios de grado 2, 3 y 4 se tiene : Y *2 = a0 + + a2X2 Y *3 = a0 + a.,X + a2X2 + a3X3 Y*4 = a0 + a ^ + a2X2 + a3X3 + a4X4 estos polinomios tienen m + 1 parámetros.
AJUSTE DE UN POLINOMIO DE GRADO 3 : Y * = a 0 + a1X + a2X2 + a3X3 que tiene cuatro parámetros (a0;a1;a2,a3) cuyos valores se obtienen de las cuatro Ecuaciones Normales deducidas de aplicar el Método de los Mínimo Cuadrados :
I Z Z Z
Y = a0n + a1Z X
+ a2 Z X2 + a3 Z X3 XY = a0Z X + a1Z X2 + a2Z X3 + a3Z X4 X2Y = a0 Z X2 + a1Z X3 + a2 Z X4 + a3 Z X5 X3Y = a0Z X3 + a, Z X4 + a2Z X5 + a3Z X6
El método de los polinomios se simplifica cuando las observaciones corresponden a tiempos o momentos igualmente espaciados qué pueden ser años consecutivos; trimestres o semestres consecutivos, etc. Con esta condición, las ecuaciones normales se puede simplificar haciendo que
Z
X = 0 donde X es la escala (discreta) para le tiempo.
,3 5 4 > R o b E R io
B. A v í I a A c o s í a
Luego, si Z X =0, entonces Z X3 = 0 y Z X5 = 0 resultando las Ecuaciones Normales simplificadas :
Z 2) I 3) I 4) Z 1)
Y = a0 n +
a2Z
X2
XY = a1Z X2 +
a3Z X4 X2Y = a0 Z X2 + a2 Z X4 X3Y = a, Z X4 + a3 Z X6
de donde:
g
^ X ^ X 2y ) C
y)
^ X 4)
( Z X 2j - n ( j ; X 4)
(Í
x 4 )( i x
3y ) - ( x x y )( z
x
6)
( í x 4 | - ( i x 2) ( v x 6 ) los parámetros a2 y a3 se obtienen fácilmente reemplazando respectivamente en (3) y (4) los valores de a0 y a v
E jem plo¡8 .9 Considerando la producción anual de Libros de la Editorial Textos S A Período 1981-1995 se pide : a) b) c) d)
Graficar la serie cronológica o serie de tiempo. Ajustar un polinomio de tercer grado. Graficar la función obtenida. Estimar la producción para los tres siguientes años (explicitar la hipótesis y el modelo de proyección). e) Cuál es el error estándar de estimación.
SOLUCIÓN (Sugerencias): a) El lector puede construir la poligonal de la serie, en una hoja de papel milimetrado. b) Construir el cuadro de trabajo, reemplazando valores en las fórmulas y calcular parámetros. ESTADISTICA
ELEMENTAL <355.
c) Para graficar el polinomio se tiene que calcular por lo menos 4 puntos aislados, y a mano alzada trazar la curva del polinomio obtenido d) Definida la función de ajuste o proyección reemplazar valores de X para 1989 (X=8), 1990 (X=9) y 1991 (X=10). e) Utilizar la definición . I(Y -Y * )2 n
donde reemplazar el valor de Y’ : Y* = a0 + a.|X + a2X2 + a3X3
Cuadro N°8.12 PRODUCCIÓN ANUAL DE LIBROS DE LA EDITORA TEXTOS SA PERÍODO 1981-1995. (miles de libros) Años 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Tiempo Producción X Y 23,4
-7
-6
21,2
.
-5
36,6
-4
43,0
-3
48,3
-2 -1 0 1 2
46,7
119,4
3
154,5
4
190,1
5
194,0
6
191,5
7
230,0
De este cuadro se deduce que n = 15
X
X
lY =
=0
; X
1524,6
X3 = X X5 = 0
X X2 = 280
51,6 84,3 90,4
Fuente : Registro de Producción
X X4 = 9352 X X6 = 369640 X XY = 4346,2 X X2Y = 32200 X X3Y = 139462,6 de donde: Y*3 = 84,71 + 18,94 + 0,91X2 - 0,10X3 Y* (1990) = 256,000 libros.
Reemplazando valores en las Ecuaciones Normales y utilizando las fórmulas para los parámetros a ^ a ^ y a3 se tiene que : a0 = 84,71
a1 = 18,94
a2 = 0,91
a3 = -0,10
luego el polinomio es : Y*3 = 84,71 + 18,94 + 0,91X2 - 0,10X3 35(í>
RobtRio B.
A v í Ia A c o s ia
Capítulo
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
Frecuentemente se usa el término probabilidad para sugerir que existe duda o incertidumbre sobre la que ocurrió, lo que ocurre o ocurrirá. La expe riencia humana demuestra que existe una serie de hechas, acontecimientos, experimentos cuyos resultados no se pueden determinar anticipadamente; sin embargo si es posible definir, estimar o predecir el probable resultado. Po demos conocer el pasado, pero nunca el futuro, pero existe un permanente interés por despejar las incertidumbres. Estadísticamente, es posible ayudar a las decisiones de actitudes o acciones futuras, este es un objetivo de la Estadística. Las situaciones que implican incertidumbre varían desde simples juegos de azar, como la ruleta, los dados, los naipes, la lotería, etc. a otros experi mentos y acontecimientos tan variados, complejos e importantes dentro de las ciencias médicas, ciencias sociales, la economía, las industrias, los nego cios, los seguros, etc. Permanentemente Interesa predecir o estimar lo que sucederá en ciertas circunstancias. Un empresario puede decidir la comerciali zación de un producto si conoce que la "probabilidad" de éxito es muy alta. El aficionado de fútbol, puede apostar contra su equipo favorito si sabe que la probabilidad de que gane es muy pequeña. El agricultor no sembrará demasiadas hectáreas de café si la probabilidad de que baje el precio es muy elevada. Es posible que ninguno de ellos sepa definir o medir la probabi lidad, pero si encontrará útil la idea de estimar intuitivamente; así como ellos, nosotros también elaboramos supuestos en relación a la ocurrencia de un hecho, es decir, estamos preocupados en aspectos que pertenecen al cam po de la "probabilidad", la expectativa y los supuestos.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <357
Pero, ¿qué es PROBABILIDAD?, ¿cómo se puede medir?, ¿cómo se usa? Las respuestas a estas preguntas son la preocupación de este capítulo. Mientras que la Estadística se puede describir como la ciencia y el arte de recopilar, resumir y analizar datos e inferir, estimar y proyectar valores y con secuencias a partir estos elementos, la probabilidad se puede definir como el estudio de fenómenos o experimentos puramente "aleatorios" o libres de determinación. En el estudio de la probabilidad interesa deducir las leyes del azar y los resultados que estos determinan. Históricamente, la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como los dados, las cartas, la ruleta, etc. A Girolamo Cardano (1501-1576) médico, matemático y jugador italiano, se atribuye la primera discusión sobre probabilidades y presentó sus ideas en su libro "Liber Ludo Aleae" (El Libro de los Juegos de Azar). Aproximadamente cien años más tarde, los matemáticos franceses Blaise Pascal (1623-1647) y Pierre de Fermat (1601-1665) retoman los planteamientos de Cardano, elaboran una serie de leyes y principios que enriquecieron la Teoría de la Probabilidad y en año 1812, Laplace (1749-1827) con la publicación de su libro "Theorie Analytique des Probabilités" se fijan los fundamentos de la Teoría de las Pro babilidades.
NOCION PE PROBABILIDAD a)
Si se hace rodar un dado correcto (experimento) se puede obtener como resultado cualquiera de las seis caras o lados (1, 2, 3, 4, 5, 6) que tiene un dado (casos posibles), esto significaría que la suerte o "pro babilidad" que tiene cada cara es 1/6. Si ahora se espera obtener un número par, tenemos que pensar que hay tres caras (2, 4, 6) que cumplen la condición de ser número par (casos favorables), luego la "probabilidad" de obtener número par será 3/6 es decir 1/2. De este ejemplo se deduce.
P(obtenerpar) = —
6
1 _ casos favorables 2 casos posibles
En términos de conjunto, sería : S = { 1,2,3,4,6} 358/ RobERio B. A v í Ia A costa
A = {2,4,6 }
el conjunto S tiene 6 elementos n(S) = 6, y el conjunto A tiene 3 elementos n(A) = 3. P (A ) =
n(A) n(S)
1 = 1 6 2
b) Supongamos que en una urna hay 9 bolitas, de las cuales 3 son rojas,4 blancas y 2 verdes; al extraer una bolita de la urna, ésta puede ser roja, blanca o verde. Si se quiere que la bolita sea verde, ¿ cuál sería la "pro babilidad" de extraer una bolita verde ?. En total hay 9 bolitas (casos posibles) de los cuales 2 son verde (casos favorables), entonces la probabilidad de obtener "una bola verde" será :
P(bola verde) = — también: S = { R,R,R,B,B,B,B,V,V} n(S) = 9
A = { V,V] n(A) = 2
es decir, se compara o divide el número de bolitas que tiene la propie dad (verde), n(A), con el número total de bolitas n(S). Una primer idea de probabilidad estaría asociada a la comparación de una parte (subconjunto) con el conjunto total del que forma parte (pobla ción). En este contexto, la probabilidad de la ocurrencia de un suceso, está dado por:
P(X)=
Numero de casos favorables Numero de casos positivos
n(A) n(S)
c) veamos otros ejemplos : Ejem plo 9.1 Al rodar un dado correcto, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 ? P (X = 4 ) ^ porque de las seis caras (casos posibles) sólo una es 4 (caso favorable). ESTADISTICA
ELEMENTAL <359
Ejemplo 19.2 En una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un AS, al extraer una carta? P (AS) =
_1_ 13
A_
52
porque la baraja de 52 cartas hay 4 ases.
Ejem plo! 9.3 En una lista de alumnos de Estadística hay 17 mujeres y 56 hombres, si se elige al azar un alumno para dar un examen, ¿ cuál es la probabilidad de elegir a un alumno hombre ? P(Hombre) =
56 17 + 56
56 73
En todos los casos se deduce que : 0 < P(X) < 1 d) La palabra "probabilidad" se usa para indicar la posibilidad de que ocurra
un resultado o suceso. La definición clásica y en efecto la más simple, se usa cuando un experimento puede tomar ciertos resultados defini dos, cada uno de los cuales tiene la misma posibilidad (equiprobables); esto significa que si hay N elementos en el conjunto de resultados posi bles, la probabilidad para cualquiera de-ellos será 1/N. Si en un "espacio equiprobable" se elige un subconjunto de "n" elemenn
tos, entonces la probabilidad de este conjunto sera ^ . Por ejemplo, supongamos que se tiene un conjunto de N estudiantes de los cuales n son mujeres (n
R o b E R i o B. A v i U A c os ta
DEFINICION : Si A es un subconjunto de S, donde el suceso A puede ocurrir de "n" maneras y S de N maneras igualmente posibles, entonces la probabi lidad de A será : n Numero de elementos de A P(A) = — = -------------------------------------N Numero de elementos de S Es una definición que corresponde a la teoría clásica de la probabilidad, que se preocupa fundamentalmente de los espacios équiprobables, en tanto que el tratamiento moderno de la teoría de probabilidad es puramente axiomática.
9.2 ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 9.2.1
ESPACIO MUESTRAL
Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado. Usualmente se designa a este conjunto con S. En la teoría de conjuntos S representa el Conjunto Universal. Un resultado particular, o sea, un elemento de S se llama PUNTO MUES TRAL. Para describir correctamente un espacio muestral asociado con un experiemento, se debe tener una idea muy clara de lo que se mide y observa. Todo espacio muestral siempre está asociado a un experimento, por tanto debe hablarse de UN espacio muestral asociado con un experimento, en vez de EL espacio muestral. En relación al número de resultados posibles de un experimento o al nú mero de elementos de un espacio muestral, existen tres posibilidades : pue de ser finito , infinito numerable, infinito no númerable.
9.2.2
SUCESO O EVENTO
Suceso es simplemente un subconjunto de resultados posibles, en otras palabras, suceso es un subconjunto del espacio muestral S. Es decir, si A es un suceso, entonces A c S . ESTADISTICA
ELEMENTAL <361
Los sucesos se denotan con letras mayúsculas, sean los sucesos A, B, C, D, R, Q, etc.. El suceso {a} que consta de un sólo elemento a S se llama SUCESO ELE MENTAL. El conjunto vacio 0 y S de por sí son sucesos o eventos. El conjunto vacío 0 se le denomina SUCESO IMPOSIBLE y S es el SU CESO SEGURO o CIERTO.
Ejem plo 9.4 Experimento : Se hace rodar un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento : A : obtener número p a r:
A = {2, 4, 6,}
Ejem plo] 9.5 Experimento : Arrojar una moneda y observar el resultado. Espacio muestral: S = {C, S} Suceso o evento B : obtener "cara". B = {una cara}
C = cara ;
S = sello.
Ejem plo 9.6 Experimento : Arrojar dos monedas y observar el resultado. Espacio m uestral: S = {CC, CS, SC, SS} Suceso o evento D : obtener dos caras D = {C C}
Ejem plo 9.7 Experimento : Arrojar una moneda cuatro veces y contar el número total de sellos obtenidos.
362> R o b E R i o B. A v i l f l A costa
Espacio m uestral: S = {0, 1, 2, 3, 4} Suceso : obtener más de dos sellos. C = {3, 4}
Ejemplo 9.8 Experimento : Se fabrica un conjunto de artículos hasta producir 10 no defec tuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. S = {10, 11, 12, 13, ...} Suceso R : producir no más de 2 sucesos defectuosos. R = {10, 11, 12}
Ejem plo 9.9 Experimento : Lanzar dos dados y se observa los puntos obtenidos. Espacio muestral : S = {(1,1), (2.1) (3.1) (4.1) (5.1) (6.1)
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) , (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), , (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), , (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), , (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), , (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Suceso o evento : obtener la suma de puntos igual o mayor de 10, A = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} Ejem plo 9.10 Experimento : Se lanza dos monedas y un dado. Se observa los resultados obtenidos. Espacio m uestral: S = { CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CC6, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, ESTADISTICA
ELEMENTAL <363
SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SS6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6} Seceso : Que apararezcan dos caras y un número par. M = {CC2, CC4, CC6} N : Que aparezca un dos N = {CC2, CS2, SC2, SS2}
9.2.3
OPERACIONES CON SUCESOS
Los eventos o sucesos son conjuntos, en consecuencia se puede combi nar sucesos para formar nuevos sucesos, para el efecto se realizan diferen tes operaciones con conjuntos. i)
MJB
(A unión B), es el suceso que ocurre si y sólo si A o B o ambos ocurren.
i i ) A[~|B
(A intersección B), es el suceso que ocurre si y sólo si A y B suceden simultáneamente.
iii)
(Complemento de A o también no A), es el suceso que ocurre
¿
si y sólo si A no ocurre.
364/RobeRio B. A v í Ia A cosi a
Sean los sucesos : S = {Población de 10 a 19 años de edad} A = {Población de 10 a 19 años que estudian} B = {Población de 10 a 19 años que trabajan} AUB : Población de 10 a 19 años que estudian o que trabajan, o que estudian y trabajan. AHB : Población de 10 a 19 años que estudian y trabajan. Población de 10 a 19 años que no estudian. A : Población de 10 a 19 años que no trabajan. B AflB :
Población de 10 a 19 años que no estudian ni trabajan. P(A) = n(A) n (S)
P (B),=
P (AH B) =
n(B) n(S)
n(ArlB ) n(S)
Ejem plo 9.12 En el experimento de lanzar dos monedas y un dado, del ejemplo 9.10., se define los siguientes sucesos o eventos : A = {que aparezca dos caras y un número par} B = {que aparezca un dos} C = {que aparezca una cara y un número primo} Es d e c ir: A = {CC2, CC4, CC6} B = {CC2, CS2, SC2, SS2} C = {CS2, SC2, CS3, SC3, CS5, SC5} Ahora podemos definir que : a) A y B sucedan, es decir b) Sucede B o C
a AB
= {CC2}
BUC = {CC2, CS2, SC2, SS2, CS3, SC3, CS5, SC5} ESTADISTICA
ELEMENTAL <365
c) Que NO ocurra C, es decir c (elementos que no pertenecen a C) c = {CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CG6, CS1, CS4, CS6, SC1, SC4, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}
Ejem plo |9.13 De cinco dirigentes a, b, c, d, e se elige una comisión de tres miembros : i) Detallar el espacio muestral asociado al experimento. ii) En base al espacio muestral S, determinar los sucesos : "a "a "a "a
sea integrante de la comisión" o b sean seleccionados" y b sean seleccionados" no sea seleccionado"
Así mismo, hallar el número de elementos y sus respectivas probabili dades Solución i)
El espacio muestral asociado al experimento, de entre 5 miembros ele gir tres : S = {abe, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bce, bde, ede} n (S) = 10
ii)
M = {a sea elegido} M = {abe, abd, abe, acd, ace, ade} n (M) = 6,
luego :
366/RobERto B. A v í Ia A costa
n(S)
10
5
R = {a o b seleccionados} R = {abe, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bce, bde} n (R) = 9,
luego : P(R) = i ^ = — y n(S) 10 Q = {a yb son seleccionados} Q = {abe, abd, abe} n(Q ) = 3.
luego: a
P(Q) = H M = A n(S) 10
V = {a no sea seleccionado} V = {bed, bce, bde, ede} P(V) =
9.2.4
_4_
10
2 5
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos sucesos cualesquiera A y B se dice que son MUTUAMENTE EXCLUYENTES si sólo si A R B = 0 ■ Es decir, son sucesos que no tienen elementos comunes. Son conjuntos disjuntos. Por ejemplo, si en la población mayor de 15 años de edad, se definenlos sucesos: A = {población analfabeta} B = {Ingenieros} entonces ARB = 0
por que no hay Ingenieros que sean analfabetos.
ARB = 0 Son mutuamente excluyentes
ESTADIST ICA
ELEMENTAL <367
AXIOMAS DE PROBABILIDAD Los espacios muéstrales pueden ser finitos o infinitos, sin embargo aquí sólo nos ocuparemos de espacios muéstrales finitos. Todo el campo de la teoría de probabilidades para espacios muéstrales finitos, se basa en los tres axiomas o postulados siguientes : AXIOMA 1 : Principio Fundamental de Probabilidad. Para todo suceso A. 0 < P(A) < 1 es decir no hay probabilidad negativa, como tampoco pude ser mayor que 1. Además cuando más se acerca a 1, mayor es la probabilidad. AXIOMA 2 : La probabilidad del suceso seguro o del espacio muestral S es igual a la unidad. P (S ) = 1
AXIOMA 3 : Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces : P(AUB) = P(A) + P(B
En base a este axioma, se establece que : a)
Si A 1,A2,A3, ... es una serie de sucesos mutuamente excluyentes, en tonces: P (A 1U A2UA3...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...
n
U Aj
i=1
= S P (A ,) ¡=1
b) Asi mismo, si el espacio muestral S se divide en r sucesos mutuamente excluyentes, se tiene que la suma de las probabilidades de los r suce sos es igual a la unidad. S = {A v A2,A3, ... Ar} 368>RobEiuo B. Avi U A cosja
A, mutuamente excluyentes
P (A 1U A 2U A 3 U ...U A r ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+...+P(Ar ) = 1 Ejem plo [9.14 Una caja contiene 220 tornillos iguales, de los cuales 80 son producidos por la máquina A, 60 por la máquina B, 50 por la máquina C y 30 por la máquina D. Si se elige un tornillo al azar de la caja, ¿ cuál es la probabilidad que el tornillo elegido haya sid o producido por las máquinas A o C ? Es claro que A, B, C y D son sucesos mutuamente excluyentes, porque cada tornillo es producido por una y sólo una máquina.
P(AUC) = P(A) + P(C) =
80 220
50 220
0.591
Además: S = {A,B,C,D} P (A U B U C U D ) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) 80 | 60 | 50 | 30 220 220 220 220 +
+
+
~
c) Si en S se define el suceso A, entonces su complemento es A , donde: AUA = S P(AUA) = P(S) = 1 P(A) + P(A) = 1 P(Á) = 1-P(A)
Ejem plo |9.15 De un Comité de 20 estudiantes pertenecientes a Estadística, Economía y Agronomía, se va a elegir al azar al Presidente del Comité; se sabe que la ESTADISTICA
ELEMENTAL <369
probabilidad de elgir un estudiante de Economía es — , ¿ cuál es la probabili5 dad que el Presidente no sea de Economía ? A = Economía
A = No Economía
P(A) = 1-P (A ) = 1 - | = |
E l PROBABILIDAD DE LA ADICION DF_ SUCESOS TEOREMA : Si A y B son dos sucesos que se definen en el mismo espacio muestral, y A U B * 0 , entonces la probabilidad de que A ó B o ambos ocu rran, es la suma de sus probabilidades menos la probablidad de su ocurren cia conjunta. Es decir: P (AUB) = P( A) + P(B) - P( AflB) El Gráfico adjunto ayuda a comprender la lógica de la expresión, de donde se deduce A y B no son mutuamente exciuyentes, porque tienen una parte común. Sabemos que P(AIJB) es la suma de pro babilidades de todos los puntos individuales de los puntos de A y B. Específicamente P(A)+P(B) es el total de la suma de las proba bilidades de los puntos de A y la suma de las probabilidades de los puntos de B. Como A flB * 0 entonces P(A) + P(B) incluye las probabilidades de todos los puntos de la intersección AflBdos veces. Ahora si deducimos de esta suma P(AUB) una vez, se obtiene que el resultado es el total de probabilidades de todos los puntos de AUB cada uno de los cuales se toma sólo una vez.
37CT> R o b E R t o B.
A v í I a A costa
Ejem plo |9.16 Si A es el suceso de "extraer un AS" de una baraja y B es el suceso de "extraer un CORAZON" de la baraja, entonces A y B no son mutuamente excluyentes, puesto que se puede extraer el "as de corazones". Luego la probabilidad de extraer una carta que "sea un As ó un Corazón" ó ambos casos e s : P (AUB) = P(A) + P(B) -P (AHB)
5 2
5 2
\ 5 2 )
V52y
52
13
Ejem plo [9.17 En una empresa comercial trabajan 8 hombres y 18 mujeres, de las cua les le mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han nacido en Lima. Hallar la probabilidad de que un trabajador elegido al azar sea hombre o que haya nacido en Lima. Hallar la probabilidad de que un trabajador elegido sea hombre o que haya nacido en Lima. Solución : Sea :
A = {el trabajador sea hombre} B = {trabajador nacido en Lima}
Entonces ser hombre o nacido en Lima será AU B . P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AflB) P (A) =
_8_ 26 '
P(B) =
4+9 26
11 26
P(AÍ1B) = ^ P(AUB)
8 + 13 26 26
_4_
26
17 26
ESTADISTICA
ELEMENTAL <371
[j% | PROBABILIDAD CONDICIONAL Consideremos el siguiente experimento : Hacer rodar dos dados correc tos, y plantear lo siguiente; "si el resultado de la suma de puntos de los dados es PAR", ¿ cuál es la probabilidad de que la suma sea menor de 7 ? Como puede deducirse, los resultados deben satisfacer dos requesitos o condiciones, donde la segunda (sea menor de 7) tendría que ocurrir habiendo ocurrido la primera (suma par). Al rodar los dados, el número de resultados posibles es 36, a saber: (1.1) (2.1) (3.1) (4.1) (5.1) (6.1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4.3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
aquí el resultado es un par ordenado (X,Y) donde se tiene valores que satisfacen: X + Y = PAR X + Y <7 De acuerdo a las condiciones dadas , se puede definir dos sucesos : E = (Suma de puntos sea PAR} A = (Suma de puntos sea menor que 7} y un tercer suceso: E f|A = {Suma PAR menor de 7} entonces, el espacio muestral se reduce a 18 resultados que es el número de elementos del suceso E; en este conjunto de resultados existen 9 elementos que son menores de 7 (Suceso EDA ). Aquí se ha establecido la condición que la suma X + Y sea PAR (Suceso E) y luego se requiere la probabilidad de X + Y sea menor que 7 (Suceso A), es decir, calcular la PROBABILIDAD CONDICIONAL de A dado que E ha ocurrido, que se expresa como P ( A J E ) . Calculando esta probabilidad, se ob 372>Rob£RTO B. A ví I a A costa
tendría que es igual definición.
a f ñ
8, analizando esta relación se puede dar la siguiente
DEFINICION : Sea E un suceso arbitrario de un espacio muestral S con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A sucede una vez que E haya ocurrido, es decir la "PROBABILIDAD CONDICIONAL de A dado que E ha ocurrido", se define como :
P (A /E ) =
P(AflE) P(E)
Si s es un espacio finito equiprobable, y n (A) denota el número de elementos de un suceso A, entonces : P(ADE) =
n(AflE) n(S)
P (E ) =
n(E) n(S)
luego reemplazando :
P ( A /E ) _ P(AnE) - n(AnE) P(E) n(E) P(A / E) =
n(AQE) n(E)
Ejem plo |9.18 Se lanza un par de dados correctos. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de dados sea 2. Identificando los sucesos E y A tenemos . E = {suma de puntos sea 6} A = {2 aparece por lo menos en un dado} A flE = {Suma sea 6 y un lado sea 2} hagamos un listado de los elementos de cada suceso : E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)};
n(E) = 5 ESTADISTICA
ELEMENTAL <373
EDA = {(2,4),(4,2)}
n(EDA) = 2
entonces :
P(A / E) = n(EnA) = n(E) 5 Ejem plo [9.19 En la Facultad de Economía, el 25% de los estudiantes desaprobaron matemáticas, el 15% desaprobaron Estadística y el 10% desaprobaron las dos asignaturas. Se seleciona un estudiante al azar i)
Si desaprobó Estadística, ¿cuál es la probabilidad de que desaprobara Matemáticas? ii) Si desaprobó Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que desaproba ra Estadística? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que desaprobara Matemáticas o Estadísti ca? SOLUCIÓN Sean los sucesos : M = {estudiantes que desaprobaron Matemáticas} E = {estudiantes que desaprobaron Estadística} entonces: P (M) = 0.25 ; i)
P
(E) = 0.15 ;
P ( M n C )
= 0.10
La probabilidad que el estudiante deaprobara Matemáticas dado que de-saprobó Estadística será : P (M /E ) = S M n a , £ ! i = 2=0.667 P(E) 0.15 3
ii)
La probabilidad que ei estudiante elegido desaprobara Estadística, dado que haya desaprobado Matemáticas, es : P(M / E) = P(EniV?) = = 1 = 04 P(M) 0.25 5
374>RobERTO
B.
A v í Ia A c o s i a
iii)
Que desaprobara Matemáticas o Estadística, será : P( MUE) = P (M) + P (E) - P ( MRE) P( MUE) = 0.25 + 0.15 - 0.10 P( M UE) = 0.30
gp ] TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Generalmente en la expresión :
P(A / E) = H
P(E)
P( A flE ) = P(EDA) generalmente es difícil calcular, sin embargo al elimi nar la fracción, se tiene : P (EDA) = P(E) P(A/E) expresión que constituyen el "teorema de la multiplicación" de probabilida des, cuyo enunciado sería : TEOREMA: La probalidad de la ocurrencia simultanea para los sucesos E y A es igaul a la probabilidad de ocurrencia de E multiplicado por la probalidad de ocurrecia de A, dado que E ha tenido que ocurrir. P(E(TA) = P(E) P(A/E También: P (A 1n A 2) = P(A1)P (A 2 / A 1) Para sucesos: A1,A2 y A3 se tendría: P (A 1n A 2n A 3) = P (A1n A 2) n A 3 = P (A 1n A 2)P(A3 / A 1A2) P (A 1f1A2n A 3)= P(A^ P ^ / A , ) P(A3/A1,A2) Luego para n sucesos A1,A2,A3, ... , An ESTADISTICA
ELEMENTAL <375
P(A1n A 2n A 3...riAn = P ^ )
P ( A 2I A , )
p (a 3/a 1,a 2)
....
= P (An/A1tA2, ... An1) Ejem plo [9^20] Supongamos que en una urna hay 7 bolitas del mismo tamaño, de los cuales 4 son blancas y 3 son rojas. Se extraen sucesivamente dos bolitas al azar SIN REEMPLAZO ¿Cuál es la probalidad de que la primera bolita extraí da sea blanca y la segunda roja? Sean los sucesos:
® = R = {segunda bolita sea roja}
entonces: P(B nR) = P(B).P(R/B) = í l V - 1 K 7 J K 6 J
=
-
7
Ejemplo |9.21 En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Si se toma al azar tres artí culos uno tras otro. ¿Cuál es la probalidad de que los tres sean buenos? P ^ n B2 n B 3) = P ^ ) P jB ^B ,) P(B3/B1,B2)
.IO A 9 A 7 ;
24
EEj SUCESOS INDEPENDIENTES Sean los sucesos A y B. Se dice que B es independiente de A, si la ocu rrencia del suceso B no es influenciado o condicionado por la ocurrencia de A, de modo que: P(B/A) = P(B) de una manera similar: P(A/B) = P(A)
376/ Robeiuo B. A ví I a A cos i a
sustituyendo en las relaciones: P(AnB) = P(A) P(B/A)
ó
P(Bf)A) = P(B) P(A/B)
donde P(A) y P(B) son diferentes de cero; se tiene: P(A flB ) = P(A) P(B).
DEFINICION: Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si: P(AflB) = P(A) P(B)
con
P (A )*0
y P (B )*0
Para el caso de tres sucesos, debe anotarse que: DEFINICION: Tres sucesos A,B y C se dice que son "mutuamente indepen dientes" si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones P(Af!B) = P(A).P(B) P(AíTC) = P(A).P(C) P(BíTC) = P(B).P(C) P(AíTBflC) = P(A).P(B).P(C) Generalizando esta definición para n sucesos: se dice que n sucesos A1,A2,A3, ... An son mutuamente excluyentes si y sólo si, la regla de la multi plicación: p(A1n A 2riA3n ... n A k) =
p ía
^
p (a
2) p (a 3) ... p(Ak)
es válida para cualquiera pareja de eventos k = 2,3, ... n.
Ejemplo 9.22 La probabilidad de que un comerciante, venda dentro de un mes, un lote de refrigeradoras es 1/4 y la probalidad de vender un lote de cocinas dentro de un mes de 1/3.
ESTADISTICA
ELEMENTAL <377
Hallar la probabilidad de que: i) ¡i) iii) iv)
Vende los dos lotes de artículos dentro de un mes. Vende "al menos uno" de los lotes dentro de un mes Vende "ninguno" de los lotes dentro de un mes. Solamente vende el lote de refrigeradoras dentro de un mes.
SOLUCION: Sea: A, suceso de vender las refrigeradoras dentro de un mes. B, suceso de vender las cocinas dentro de un mes. entonces:
=^
;
=
luego calculamos: ¡)P(ADB)
= P (A )P (B )= ~ = ^
dado que A y B son independientes. ¡i)P (A U B )
= P(A) + P(B) - P(AnB) = P(A)+ P(B) - P(A) P(B)
A+A A__A
4 + 3 ~ 12 ~ 2
iii)
No vende la refrigeradoras ( A ) y no vende las cocinas ( B ), es decir buscamos: P( A flB ) Como A y B son independientes (la venta de cocinas no influye en la venta de refrigeradoras y viceversa), entonces:
P(ÁDB) = P(Á)P(B) = | . | = A puesto que: P (Á) = 1 - P( A) = 1-
4
-j 4
P (B ) = 1 -P (B ) = 1 ~ 1 = |
378>RobEiuo B. Avila A costa
iv)
Sólo vende las refrigeradoras (A) y no se vende las cocinas (B) : P (AflB) = P(A) P(B)= 4 ' r = 44 3 6
9.8 TEOREMA DE BAVES Si A 1,A2, An son sucesos n mutuamente excluyentes, de los cuales al menos uno de los A¡ = (¡=1,2, ... n) debe ocurrir, y sea B un suceso cuales quiera en S, la probabilidad condicional de la ocurrencia de A¡ cuando el evento B ha ocurrido es:
P(A¡ / B) =
________________ P(A¡) P(B / A¡)________________ P(A1)P (B /A l ) + P(A2)P (B /A 2) + ... + P(An)P (B /A n)
o sea: P(A¡ / B) = £
p (A ¡)P (B /A ,)
Ejem plo |9.23 En una empresa del total de trabajadores, se tiene que el 50% son Técni cos Profesionales, el 30% son Oficinistas y el 20% Personal de Servicio; ade más se tiene que el 8% de los Profesionales, el 9% de los Oficinistas y el 10% del personal de servicio son "provincianos" (nacidos fuera de la Capital). Su pongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser "provinciano" (B). Hallar la probabilidad de que el trabajador sea Técnico Profesional (A l). Entonces significa hallar: P ^ / B ) , de acuerdo al Teorema de Bayes: P(A / B) = --------------------- P (A j)P (B / A 1)---------------------_ P(A1)P (B /A 1) + P(A2)P (B /A 2) + P(A3)P(B/A3) veamos ahora el valor de cada componente de la fórmula ESTADISTICA
ELEMENTAL<379
P(A,) = 0.50
P(A2) = 0 30
P(A3) = 0.20
donde A, = técnico profesional; A2 = oficinista ; A3 = servicio Asi mismo: P(B/A,) = 0.08 (Técnico Profesional Provinciano) P(B/A2) = 0.09 (Oficinista Provinciano) P(B/A3) = 0.10 (Personal de Servicio Provinciano) luego sustiyuyendo en la fórmula de Bayes:
P(A,
___________ (0.50)(0.08)___________ (0.50)(0.08) + (0.30)(0.09) + (0.20)(0.10)
P(A, /B ) = - 5 ^ - = — = 0.46 1 ’ 0.087 87
Ejem plo [9.24 En la empresa Editora RA. el 25% de los trabajadores y el 10% de las trabajadoras mujeres tienen sueldos superiores a los 1000 soles. Además, el 60% de los trabajdores son mujeres. Si se selecciona el azar un trabajador y gana más de 1000 soles mensuales, ¿cuál es la probabilidad de que el traba jador elegido sea mujer? Sea
A, = suceso que el trabajador sea mujer. A2 = suceso que el trabajdor sea hombre. P(A,) = 0.60
P(A2) = 0.40
B = suceso, trabajadores con sueldos mayores de 1000 soles. Entonces se trata de hallar: P(A,/B) que significa la probabilidad de que el trabajador elegido sea mujer, dado que es un trabajador con un sueldo mayor de 1000 soles. Por el Teorema de Bayes: 380>RobERTO B. A v í I a A c o s t a
PÍA í / B H
P(A1) P (B /A 1) P(A1)P (B /A 1) + P(A2)P (B /A 2) _____________________ = — = 0 375 (0.60)(0.10) + (0.40)(0.25) 8
Utilizando el Diagrama del Arbol, se tendría: P(A1)
P ( B I A ^ )
=
0.06
P ^ I B) = 0.06 —
0.16
P(A2) P(B/A2) = 0 .1 0 - j P(A2I B) = 0.10
Ejemplo
9.25
En una Universidad, el 60% de los estudiantes son del grupo estudiantil ALFA y el 40% del grupo BETA. En las elecciones para Presidente de la Asociación de Estudiantes de presentaron dos candidatos, Luis y Enrique. Realizadas las elecciones, el 80% del grupo ALFA y el 10% del grupo BETA votaron por Luis. El 20% de ALFA y el 90% de BETA votaron por Enrique. Si se selecciona un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por Enrique? Solución: Sea
= A1 A2 B
= suceso que el votante sea de ALFA. = suceso que el votante sea de BETA. = suceso que el votante dió su voto por Enrique.
P(B) = P (A 1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) = (0.60) (0.20) + (0.40) (0.90) = 0.12 + 0.36 P(B) = 0.48
ESTADISTICA
ELEMENTAL <381
P(A.|) PíB /A ^ = 0.12 P(A11 B) = 0.12— P(A ,I B) = 0 48 0.48 P(A2) P(B/A2) = 0 36— I P(A2I B) = 0.36
P(A2I B) = 0.04 aplicando la fórmula se tendría.
P(A, / B) =
N ota
P(A1)P (B /A 1) P (A ,)P (B /A 1) + P(A2)P (B /A 2) 0.12
12
0.12 + 0.36
48
P(A-, I B)
P(B)
0.25
El lector puede resolver el problema 9.22 por el método del árbol.
DISTRIB UCIONE S DE PROBA BILIDAD En los ejemplos de distribuciones de frecuencia estudiados en los prime ros capítulos, así como en las probabilidades se ha tenido cuidado de trabajar con datos basados en la observación o en la experiencia. Sin embargo es posible, que partiendo de ciertas hipótesis o condiciones de carácter general, deducir matemáticamente cómo puede ser las distribuciones de frecuencia de ciertos colectivos o de las distribuciones de probabilidad del espacio muestral, o de la variable aleatoria. A estas distribuciones por sus características tan especiales se les llama DISTRIBUCIONES TEORICAS
3 8 2 / R o b c R io
B . A v í I a A costa
Descifrando su utilidad, sirven como puntos de referencia para comparar distribuciones observadas, y pueden sustituir a distribuciones reales cuando éstas son difíciles o imposibles de obtener. Asimismo, proporciona un funda mento lógico para tomar decisiones, y permite realizar algunas predicciones o estimaciones sobre la base de información limitada, de muestras represen tativas o consideraciones teóricas. Tanto por su importancia intrínseca, como por su interés histórico, hay tres distribuciones teóricas que ocupan una posición fundamental en la Esadística, como son: ■ ■ ■
La BINOMIAL, propuesta por Jakob Bernoulli alrededor del año 1700. La NORMAL, analizada inicialmente por De Moivre y puesta posterior mente por los matemáticos Laplace y Gauss a fines del Siglo XVIII; y la De POISSON, propuesta por S.D. Poisson alrededor del año de 1837.
Posteriormente a estas tres distribuciones teóricas clásicas, fueron des cubiertas otras, tales como: la distribución Chi Cuadrado, la "t de Student", la "F de Snedecor", por mencionar las más utilizadas. En todos los casos de distribuciones se require hacer uso de tablas de probabilidad, como verán en diversos ejemplos.
LA DISTRIBUCION BINOMIAL En una serie de hechos de la vida real es frecuente encontrarse frente a simples dicotomías, como por ejemplo, si un individuo posee o no un determi nado atributo o característica, o cuando se considera que un experimento ha tenido éxito o ha fallado. En estas situaciones, es posible formular una hipóte sis acerca de cierta probabilidad de éxito, siempre que las pruebas u obser vaciones sean independientes unas de otras, y que el número de estos sea relativamente pequeños. Con estas condiciones es posible aplicar una ex presión matemática que en Estadística se conoce como una distribución teó rica de probabilidad que se llama DISTRIBUCION BINOMIAL o de Bernoulli (Jakob Bernoulli 1654-1705). Para aclarar ideas, analicemos el siguiente ejemplo: Supongamos que un inspector de control de calidad quiere saber cúal es la probabilidad de obte ner cuatro tubos de luz defectuosos al tomar una muestra al azar de quince, sabiendo que el 8% de ellos son defectuosos. Los datos son; número de pruebas u observaciones N = 15, se espera tener 4 tubos (x = 4) de luz defec ESTADISTICA
ELEMENTAL <383
tuosos, sabiendo que la probabilidad de éxito para obtener un defectuoso es p=0.08; con estos elementos se puede calcular la probabilidad correspon diente. La distribución Binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad. Y se dice que un experimento es "binomial" si reúne los siguien tes requisitos: i) El número de pruebas o ensayos es fijo y no muy grande (N). ii) Cada prueba tiene sólo dos posibles resultados, a los que suele lla
marse "éxito" o "fracaso" (x). iii) En cada una de las pruebas la probabilidad de éxito es la misma (p). iv) Las pruebas son estadísticamente independientes.
Por ahora no se pretende demostrar los argumentos teóricos, ni hacer la deducción de la distribución, sólo interesa analizar la forma y la aplicación de esta distribución.
Definición : Si "p" es la probabilidad de "éxito" de un suceso en un ensayo o prueba y q = 1-p es la probabilidad de "fallo" o fracaso en un sólo ensayo, entonces la probabilidad de obtener X éxitos en N pruebas independientes, está dado p o r:
NipX qN-X
P(x)=Ncx px qNX
P(X) =
N! px qN- x X !(N -X )!
N! X I(N -X )!
aqui
detallando: N!
P(X) = X I(N -X )! Probabilidad
,px qN~x
Numero
Probabilidad
de obtener
de maneras
de una
X éxitos
de obtener
sucesión
exactamente
X éxitos
cualquiera
3 8 4 > R o b E R i o B. A v i U A c o s i a
E jem plo|9.26
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras exactamente al lanzar 6 ve ces una moneda correcta? N = 6 lanzamineto o pruebas
;
p = 1 (probabilidad de obtener cara) 2
P(X = 2) =
N! X I(N -X )!
X = 2 caras (éxitos)
q=
6! 21(6 - 2 )
px qN- X
6 x 5 í 1 < _ 15 2 I 2 J “ 64 E jem plol9.27 La probabilidad de una estudiante que ingresa a la Universidad y logre graduarse es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad que de 5 estudiantes nuevos, se gradúen 3 estudiantes? N=5 ;
X = 3 graduados
;
p = 0.04 (graduarse) q = 0.06 (no graduarse)
P(X = 3) ~ 3!(5 - 2 ) (0,4)3 (0'6)5" 3 = 3 T2 Í (0 4)3 (0 6)2 P(X = 3) = 10 (0.064) (0.36) = 0.2304 Ejem plo[9.28 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 4 caras al lanzar 6 veces una moneda? Al menos 4 caras significa obtener 4, 5 ó 6 caras. P ( x 2 4 ) = ¿ ñ px q6 x x=4 ESTADISTICA
ELEMENTAL <385
15_ _6_ 64 + 64
P(X > 4) =
__1_
64
11 32
Ejem plo [9.29 Un recipiente contiene 5 bolitas; una blanca y cuatro negras. Se extrae una bolita y se reemplaza después de cada extración. Si se extraen 3 veces al azar una bola, con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad que las estracciones tengan: i) exactam ente 3 bolitas blancas. ii) exactamente una bola blanca. Solución: i) N = 3 ;
P(X - 3) =
ir) N = 3 ;
P(X - 3) =
X=3 ;
3! 3!0!
3! 31(3-3)1
X =1 ;
p= l
; q=l
o
3!
5
f l V f 4 x2
3!(3 — 3)! \ 5 J \5
0.008
= 3' i h
i =0384
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Media = p = Np
386/ Robenro 8 . A v H a A c os ta
Varianza = a = Npq
Ejemplo |9.30
En 50 lanzamientos de una moneda, el número medio de caras es:
La desviación típica:
a
=
^
12.5 = 3.53
Ejem plo 9 .3 l| *2 La probabilidad de que un artículo producido por una máquina sea defec tuoso es 0.02. Un cargamento de 10 mil artículos se envía a sus almacenes. Hallar el número esperado E de artículos defectuosos y la desviación estándar. (El valor esperado es la media aritmética). E = m = N p = (10000) (0.02) = 200 artículos defectuosos a = / Ñ p q = J 10000(0.02)(0.98) = 14 artículos
C O M P R O B A R LO S SIGUIENT ES PR O B LE M A S :
Ejem plo |9.32 2
Un equipo A tiene -
de probabilidad de ganar cuando juega. Si tiene 4
partidos, hallar la probabilidad de que A gane. i) Dos partidos ii) Por lo menos un partido iii) Más de la mitad de los partidos
P(X=2) = 0,3456 P(X >1) = 0,8704 P(X = 3) + P(X = 4) = 0,1792
ESTADISTICA
ELEMENTAL
Ejemplo |9.33
Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 personas, todas de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con tablas actuariales, la probabilidad de que una persona de ésta viva 30 años más es 2/3. Hallar la probabilidad de que al cabo de 30 años vivan: i) ii) ii¡) iv)
P(X = 5)= P(X >3) = P(X = 2) = P(X< 1)=
las 5 personas al menos 3 personas solamente 2 personas al menos una persona
32/243 192/243 40/243 242/243
Ejem plo |9.34 Un banco tiene 3 sistemas de alarmas independientes, cada uno tiene un 0,90 de probabilidad de funcionar. Cuando el sistema es puesto en funciona miento. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una funcione ? P(X >1) = 0,999
9.11 Í A DISTRIBUCION NORMAL 9.11.1 GENERALIDADES La distribución normal es el modelo de probabilidad de mayor uso, es una distribución teórica de variable aleatoria continua, que puede expresarse en la forma general o estandarizada. Tiene simetría perfecta, en forma de una campana unimodal, la media y la moda son iguales. En la práctica, es fre cuente que la mayoría de las distribuciones, para un número grande de casos se distribuyen como una "curva normal" o curva de Gauss; precisamente este comportamiento permitió incorporar esta función a la Estadística como la Distribución Normal cuya función de densidad o de distribución está dada por la expresión:
N(n,a)
donde: -0 0 < X < +00 388> R o b E R t o
B. A v i U A costa
1 0 V 2 ÎÏ"
e-(x~n)1 2*/2a2
Como función de probabilidad, se asume que el área encerrada por la curva y el eje X, es igual a uno. Además se puede determinar áreas bajo la curva, comprendida entre dos ordenadas levantadas por ejemplo en los pun tos a y b. Esta área estaría definiendo la probabilidad de la variable compren dida entre los extremos a y b; es decir: P( a < X < b ) = Area entre a y b. No se requiere hacer ningún esfuerzo extraordinario para calcular estas áreas en la curva normal, puesto que para valores determinados y con ayu da del Cálculo Integral se han calculado diversas áreas y construido Tablas de Areas bajo la Curva Normal (Tabla II) que vamos a utilizar permanente mente.
9.11.2 CURVA NORMAL ESTANDARIZADA La forma general de la distribución normal:
ov27t se puede simplificar cuando se hace un cambio de variable, es decir, trans formar la variable original X en una nueva variable z, mediante la relación:
z¡ =
X -n
en estas condiciones:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <389
N(n,a)
->N(0,1)
X
Z
O
p* O
P= 0
o >O
a=1
esta transformación constituye la Estandarización de la Curva Normal, por tanto da origen a lo que se denomina la CURVA NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICADA, cuya expresión ahora es:
en esta curva, las áreas comprendidas entre dos puntos cualesquiera ( z v z 2 ) también se encuentran tabulados en las Tablas de Areas bajo la Curva Nor mal Tipificada o Estándar de 0 a z (Tabla II). Por ejemplo, considerando los valores de z (-1,1), (-2, 2), (-3, 3) se tiene las siguientes áreas:
P(-1 < z < 1) = 0.6827 P(-2 < z < 2) = 0.9545 P (-3 < z < 3) = 0.9973
-3
-2
-1
o
2
3
95,45% 99,73% ESTANDARIZACION DE X: Para utilizar las Tablas de la Curva Normal Estandarizada o Tipificada (Tabla II) se requiere transformar o estandarizar los valores originales de X en valores de Z donde : z = puntaje estandarizado X¡ = valor de la variable p = media de los valores de X¡ (media poblacional) o = desviación estándar de X¡ (desviación estándar)
390/RobeRTO B. A v í I a A c o s i a
Nota : Cuando se trabaja con muestras, la relación de estandarización será:
z=
x = media muestral.
x -X
donde s = desviación estándar muestral
En el siguiente ejemplo, vamos a ilustrar cómo se estandariza los valores de X: Ejemplo 9.35
X, 1
o
_ 10,5 - 12,4 2,6
X 2 -M J 3 - 1 2 . 4 = 2
a
x3- m. i6
3
9.11.3
<3
2,6
-iw 2,6
II
aiX
M A
a
II
p = 12,4
■i»A
además
X en
X3 = 16
II
X2 = 13
0 00
X 1 = 10,5
X
La media de las notas de los alumnos de Estadística es 12,4 puntos y la desviación estándar es 2,6; ¿Cuál es el valor estándar (z) de los siguientes puntajes: 10,5 ; 13 ; 16 ; 08 ; 12,4 ; 17 ?
= 2,6 8-12,4 .. = ------- — = -1,6 4 2,6
Z a
12,4-12,4 25 ~ 2,6
z6 = 1,769
USO DE LA TABLA DE AREAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDARIZADA
La Tabla II que corresponde a las áreas bajo la curva normal tipificada o estandarizada, presenta áreas correspondientes de 0 a Z, es decir son áreas para la mitad positiva de la curva entre 0 y un valor dado de Z. Como es una curva simétrica, fácilmente se puede obtener áreas o probabilidades para valores negativos de Z, tomando el valor simétrico positivo de Z, las áreas ESTADISTICA
ELEMENTAL <391
como la probabilidad siempre es positiva. La tabla considera para Z dos deci males y para las probabilidades (áreas) cuatro decimales. En la primera co lumna está Z con un decimal, el segundo decimal se indica en la primera fila, por ejemplo para Z = 2,76 le corresponde 0,4971, para Z = 1,08 le correspon de 0,3599 ; a Z = -0,85 por simetría será el valor de Z = 0,85 que es 0,3023. Trate de ubicar estos valores en la Tabla II En el trabajo de probabilidades con la curva normal, es recomendable graficar en la curva el área que interesa determinar. A continuación vamos a ilustrar los diversos casos que se presentan:
Ejem plo 9.36 A partir de la Distribución Normal, calcular la probabilidad de un suceso, cuya variable estandarizada (z) está comprendida entre los siguientes valo res: (En todos los casos se ha sombreado el área que corresponde a la proba bilidad que se desea determinar). PRIMER CASO: Entre z = 0 y z = 1,3 P (0 < z < 1,3) = 0,4032 Este valor se busca en la Tabla II para el valor de z = 1,3 SEGUNDO CASO: Entre z = -0,72 y z = 0 z está a la izquierda de 0 y su área o probabilidad se halla por simetría. P (-0,7 2< z< 0 ) = P(0
= =
392j> R o b E i u o B . A v i U A c os ta
TERCER CASO:
Entre z = -0,48 y z = 2,15 Como se aprecia en la figura, se trata de la suma de dos áreas A(0; 0,8) y A(0; 2,15) P (-0 ,4 8 < z< 2 ,1 5 )= =!— = P(-0,48
0,80
1,94
QUINTO CASO: Entre z = -2,30 y z =-0,82 Es un caso similar al interior, se calcula las áreas por simeti P (-2,30
ELEMENTAL <393
SETIMO CASO:
A la derecha o mayor de z = 1,72 P(1,72 < Z < +00 ) = P(z>1,72) = 0,5000 - P(0
1,72
OCTAVO CASO: A la derecha de z = -1,25 ó mayor de z = -1,25 P(z>-1,25) = = 0,5000 + P(z > 1,25) = = 0,5000 + 0,3044 = 0,8944 NOVENO CASO: Que z sea menor que -1,96 o mayor que 1,96 P(z < -1,96 ó z > 1,96) = P(z < -1,96) = 0,5 - P (0 < z < 1,96) = 0,5000 - 0,4750 = 0,0250 P(z> 1,96) = 0,5 - P(0 < z < 1,96) = 0,5000-0,4750 = 0,0250 P(z < -1,96 ó z > 1,96) = Pz < -1,96) + P(z > 1,96) = 0,0250 + 0,0250 = 0,050 También puede resolverse así: P(z < -1,96 ó z > 1,96) = 1 - [P(z > 1,96) + P(z > 1,96)] = 1 -(0,4750 + 0,4750) = 0,05
3 9 0 R o b E iu o
B. A v í I a A costa
- 1,96
1,96
DECIMO CASO:
A la derecha de z = 2,06 y a la izquierda de z = -1,48 También significa que: z > 2,06 ó z <-1,48 P (z> 2,06 ó z < -1,48) = P (z > 2,06 ó z > 1,48) = 1 - [P(z > 1,48) + P(z > 2,06)] = 1 -(0,4306 + 0,4803) = 1 -0,9109 = 0,0891 P (z > 2.06 ó z < - 1,48) = 0,0891 E je m p lo 9 .3 7
En una muestra de estudiantes de Ingeniería, se encuentra que la nota promedie en Economía fue 12 puntos, con una desviación estándar igual a 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga nota entre 11 y 14? Supongamos que las notas se distribuyen como una normal. Datos: X =12
s=2
X , =11
X 2 = 14
estandarizando X
P(11
ESTADISTICA
ELEMENTAL <395
Ejemplo |9.38
La media de los sueldos de 600 empleados de una empresa es de 430 dó lares y la desviación estándar o típica 40 dólares. Suponiendo que los suel dos se distribuyen normalmente, hallar cuántos empleados tienen sueldos: a) Entre 350 y 450 dólares. b) De 500 y más dólares.
P(350
= 0,4772 + 0,1915 = 0,6687
Número de empleados con sueldos entre 350 y 450 dólares es: N° empleados = 600 (0,6687) = 401 empleados.
Luego el Número de empleados con 500 dólares y más: N° empleados = 600 (0,0401) = 24 empleados.
c) Con más de 500 dólares, se puede representar con X = 501 dólares 501-430 =1,77 4 (X > 500)= P(X>501) = P(z> 1,77) = 0,5000 - P(0>z> 1,77) = 0,5000-0,4616 = 0,0384 z=
Número de empleados con más de 500 dólares N° de empleados = 600 (0,0384) = 23 empleados. 3 9 6 /R o b E R io
B. A v í I a A costa
Ejemplo |9 .39
En la fabricación de cierto tipo de navajas se ha encontrado un espesor medio de 2.20 milímetros y una desviación estándar de 0.15 milímetros. Se decide que todas las navajas exceden un espesor de 2.5 milímetros sean rechazados. ¿Qué porcentaje se espera que sean rechazados? a = 0,15
|i = 2,20
X = 2,5
Z 5 0 -2 2 0 0,15 P(X>2,5) = P(z>2,00) = 0,5000- P ( 0 < z <2,00) = 0,5000-0,4772 = 0,0228 entonces, deben ser rechazados, apro ximadamente el 2.3% de la producción. Eje m p lo 9.40 Los puntajes en un examen de selección para seguir estudios superiores están distribuidos normalmente con media 76 y desviación estándar 15 Se ha establecido que el 15% de los concursantes, que son los mejores recibirán una beca integral de estudios, en tanto el 10% que se supone que son los peores, definitivamente no podrán seguir estudios superiores. Hallar:
a) El puntaje mínimo para ganar la beca. b) El puntaje mínimo para seguir estudios superiores. Sean:
Utilizando la tabla de área en la curva normal estándar, se busca para qué valor de z¡ le corresponde las áreas de 0,4000 como complemento del 10% para no seguir estudios, y de 0,3500 como complemento del 15% para obte ner la beca, entonces: P(0
donde z1 = 1,04 donde z2 = -1,28
Tomando la relación : Z1 =
X i- p o
com o:
de donde : x ^ z -ic r + p X! -7 6 1,04=— !-----15 X t = 15(1,04)+76 = 91,60 X1 = 92 puntos
En consecuencia, se requiere como mínimo obtener 92 puntos para tener derecho a ganar la beca integral de estudios. b) - 1,28 = - 2- - 7615
X2 = 15(-1,28) + 76 = 91,60 X2 = 57 puntos.
es decir, que todos aquellos concursantes que tienen menos de 57 puntos, no podrán seguir estudios superiores.
9.12 LA DISTRIBUCION DE POISSON Si en la distribución binomial el parámetro N (número de ensayos) es muy grande y "p" es muy pequeño, de modo que N p permanece casi constante, entonces las probabilidades correspondientes para X éxitos, se puede obte ner mediante la DISTRIBUCION DE POISSON cuya forma es: x P(X) = - ~ donde : 3 98>R obE R to
B. A v í I a A c os ta
para X = 0,1,2,3,...
e = 2,71828 X = es una constante positiva igual a la media de la distribución. X = es cualquier número entero positivo. Es una distribución de variable discreta con un único parámetro X; si se conoce N entonces \x = Np. Es una distribución infinita contable. La distribución de Poisson tiene las siguientes propiedades: Media
¡ . i - X ,
Varianza a 2 = X ,
Desviación estandár a = Vx
Resumiendo algunas de sus aplicaciones, la distribución de Poisson pue de servir como la distribución esperada de: a. b. c. d.
La distribución del número de llamadas telefónicas por minutos en un tablero; La distribución del número de errores tipográficos por página en textos grandes; La distribución del número de partículas ALFA emitidas por una sustan cia radioactiva; La distribución del número diario de accidentes automovilísticos en una gran ciudad; y así sucesivamente
Es una distribución muy fácil de aplicar, puesto que tiene una tabla (Tabla III) para valores de X, desde X= 0,01 hasta X= 10.
Ejem plo [9Í41 Una compañía de seguros de autos, asegura contra robos a 10,000 autos en todo el Perú, si en un mes la probabilidad de que un auto cualquiera sea 3 robado e s ------- . ¿Cuál es la probabilidad que durante un mes determinado 3400 se roben 2 autos?
Luego.
X=9
X=2
p(X = 2) = e f 9 i = 0*^00123x83- = 0.004981 V 2! 2 ESTADISTICA
ELEMENTAL
Ejem plo |9.42
Si el 3% de las llantas fabricadas por una compañía son defectuosos, ha llar la probabilidad de que una muestra de 100 llantas, se tenga 3 defectuosas Probabilidad de llantas defectuosas = p = 0.03 X =
Np = 100 (0.03) = 3
X=3
P(3 defectuosos) _ e 3 33 _ 0,04979(27) 3! 6 P (X= 3) = 0,224 Ejemplo 9.43 En una fábrica, en promedio el 4% de las pilas de 1.5 voltios que elabora son defectuosas. La empresa que vende las las pilas en cajas de 50 unidades recibe quejas de que a menudo sólo 44 ó 45 de las pilas son buenas. La empresa plantea la posibilidad de poner en cada caja varias adicionales, a fin de asegurarse que sus clientes reciban por lo menos 50 pilas buenas. En estas condiciones, ¿Cuántas pilas deberán agregarse en cada caja si la em presa quiere tener la seguridad de que por lo menos el 90% de estas contie nen 50 pilas en buen estado? A quí:
aplicando : P(X) =
X
P(X)
Probabilidad Acumulada
0 1 2 3 4 5
0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361
0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9834
N = 50 p = 0,04 X = Np = 2,0
e~22x X!
con X = 0,1,2,3,4 defectuosos.
De las probabilidades acumuladas, para 4 o menos defectuosas se tienen 0,9473. Entonces, la empresa tendrá que agregar cuatro pilas buenas para asegurar que por lo menos el 90% de las cajas contendrán un mínimo de 50 pilas buenas, o sea distribuir cajas con 54 pilas. Supongamos; que el costo promedio de reemplazar las pilas devueltas es de 9 soles, y el costo de agregar pilas en las cajas es de 2 soles, ¿Cuál de los dos sistemas resultaría más ventajoso?
4 0 0 > R o b E R 7 o B. A v í I a A costa
ANEXO UNO SUMATORIAS SIMPLES 1. DEFINICION Supongamos que la variable X toma los valores X v X2, X3, X4, X5, X6, luego la suma se puede expresar como: 6
X1 + X2 + X3 + X4 + x 5 + X6 = X Xi ¡=1
donde X es la letra griega slgma mayúscula que se lee como Sumatoria de X¡ desde i = 1 hasta i = 6; es decir X expresa una suma. Cuando se tiene una suma de n términos, tal como: X 1 + X2 + X3 + X4 +.... + Xn designemos porX¡ al término general, considerando que en ella figuran térmi nos con un subíndice "i" que varía desde i = 1 hasta i = n , luego se genera la siguiente Definición de Sumatoria Simple. n
X x ¡ =x< + x , + x , + .... + x n donde "i" es el índice de la sumatoria (pudiendo emplearse cualquier otra letra) y tiene como principal característica la de variar adoptando sólo valores enteros consecutivos y comprendidos entre los que se indican debajo (límite inferior) y encima (límite superior) del signo X de sumatoria. Se hablará así de una sumatoria de "X sub i" (o sigma X sub i) desde i = 1 hasta i = n. Aplicando la definición al ejemplo inicial, se tendrá:
ESTADISTICA
ELEMENTAL <401
Ejem plo 1.
Si X 1 = 2 ; X2 = 7 ; X3 = 6 ; X4 = 4 ; X5 = 12 ; X6 = 4 6
Z X j = X 1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 2 + 7 + 6 + 4 + 12+4
Z x i= 35 i=1 aquí "i" varía desde i = 1 hasta i = 6, es decir n = 6 Del mismo ejemplo, obtenemos adicionalmente que: 3
a) Z x i = X 1 + X , + X , = 2 + 7 + 6 = 13 i=1 1 0 5
b) Z x i = X3 + X4 + X5 = 6 + 4 + 12 = 22 6
c) Z x i = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + Xg = 7 + 6 + 4 + 12 +4 = 33 6
d) Z x i = X 1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 6 + 4 + 12 +4 = 26
2. NUMERO DE TERMINOS DE UNA SUMATORIA Considerando los límites inferior y superior se puede determinar el núme ro de términos que tendrá el desarrollo de una sumatoria simple finita. Si "a" es el límite inferior y "b" el límite superior, el número "N" de términos estará dado por: N=b-a+ 1 relación fácil de comprobar en los ejemplos anteriores.
402/ RobeRTO B. A v í I a A c o s i a
V
3. PROPIEDADES OPERATIVAS DE LA SUMATORIA De acuerdo con la definición de sumatoria, se pueden deducir muchas propiedades que sim plificarán las operaciones con ellas; aquí sólo m enciona remos las m ás im portantes.
3.1.
Primera Propiedad n
1 1 «n
i=1
3.2.
Segunda Propiedad n
= k.n.
i= 1
donde k es constante
Ejem plo: 5
S 7 i= 1
3.3.
= (7 ) ( 5 ) =
35
aquí n = 5 ; k = 7
Tercera Propiedad n
I
i= 1
n
k.X:
kl X:
( K es constante
¡=1
Ejemplo: Si X 1 = 5 ; X 2 = 0 ; X 3 = 1 ; X 4 = -3 Calcular:
I 2 X¡ = 2 X 1 + 2 X 2 + 2 X 3 + 2 X 4 i= 1
ESTADISTICA
ELEMENTAL <403
4 = 2 (X 1 + X 2 + X 3 + X 4) = 2
£
X,
i= 1 = 2 (5 + 0 +
1 - 3 ) = 2 (3 ) = 6
finalmente: 4 I
4 2 X¡
=
2 X
i=1
X, = 6
¡=1
3.4.Cuarta Propiedad: (Propiedad Distributiva) n
n
£ (x¡ + y ¡ ) = 1=1 í , x¡ +
1=1
Ejem plo: Dos variables "x" e "y" están relacionadas entre sí como se indica en el cuadro: xi y¡
1
3
-2
6
-3
0
1
7
Calcular: 4
£ (x¡ + y ¡)
i=1
X
(x ¡ + y ¡) =
i=l
(1 -
3) +
(3 + 0 ) + (-2 +
1) + (6 + 7 ) = 8 + 5 =
13
o también.
I x i + I y ¡=(1 ¡=1 i=l
+ 3 - 2 + 6 ) +
404)>RobERio B . A v í I a A c os ta
( - 3
+ 0 + 1 + 7 )
= 8 + 5 =
13
3.5. Quinta Propiedad n
I
1=1
n+1
(i + 1) =
X
i=2
=i
Ejemplo. Calcular: 6
X (i + 1) = (1 + 2) + (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) + (6 + 1) ¡=1 =2+3+4+5+6+7=27 6
X (i + 1) = 27 i=1
Esta suma es la misma que: 6
X ¡=2+3+4+5+6+7=27 ¡=1
Por lo tanto: 6 7 X (i +1) = X i
i=1
¡=1
3.6. Sexta Propiedad: (Propiedad Disociativa) "Dada una suma de n términos, podemos descomponer esta suma en dos o más sumas parciales, iguales en lo total".
n
S
¡=1
q
X: = I X= + ' ¡=1 '
n
x x. I = q+1
1
si q < n
ESTADISTICA
ELEMENTAL <405
Ejemplo.
Si:
X1 = 2;
X2 = 1; X3 = 0; X4 = 4;
X5 = 2;
X6 = 1 ; X 7 = 3
7
Descomponer en dos sumas la sumatoria:
Z
X¡
¡=1
7
4
7
Z x¡ = Z x¡ + z Xj
i=1
i=1
¡=5
= (X, + x2 + x3 + X4) + (X5 + X6 + X7) = (2 + 3 + 0 + 4 ) + (2 + 1 +3) = 7 + 6 = 13 3.7. Sétima Propiedad n
n
n
I X¡ = I X¡ = I Xk = I X ¡=1 1 j=l > k=1 K La supresión del índice, indica que la sumatoria incluye la totalidad de los valores de X. Por ejemplo es el caso de las fórmulas que se emplean en Estadística. La supresión del índice sobreentiende el número de términos que tendrá una sumatoria. 4. EJEMPLO Dos variables ”x" e "y" están relacionadas entre sí, como se indica en la siguiente tabla: xi
3
-5
4
-8
y¡
-3
-8
10
6
Calcular:
a) Z x
b) Zy
d) Z x 2
e) Z y 2
g)
Zx y2
ICtá') Róbeme) B . A v iU A costa
h) Z(x + y) (x - y)
c) Zx y f) (Zx) (Zy)
Es recomendable, para facilitar la solución del ejercicio, presentar los va lores de las variables en un cuadro o una tabla como el siguiente:
xi
y¡
x¡y¡
x¡2
yi2
x¡y2
2 -5 4 -8
-3 -8 10 6
-6 40 40 -48
4 25 16 64
9 64 100 36
18 -320 400 288
-7
5
26
109
209
-190
Zx
Zy
Zxy
Zx2 Zy2
Zxy2
Del cuadro se deduce que: a) c)
Zx = - 7 Zxy = 26
b) Z y = 5 d) Z x 2 = 109 f)
e) Z y 2 = 209
(Zx) (Zy) = (-7) (5) = -35
Zx y2 = - 190 h) Z(x + y) (x - y) = Z(x2 - y2) = Zx2 - Z y2 =
g)
109-209 = - 100 N ota : Téngase presente que:
Z X.Y * (ZX)(ZY)
y
Z x 2 * (Z x )2
ESTADISTICA
ELEMENTAL <407
RobtRi o B. A v Ü a A c o s i a
ANEXO DOS PROBLEMAS
A . V A R IA B L E S Y R E C O L E C C IO N D E D A T O S
01) Anotar 5 ejemplos de variables : a) Cualitativos b) Discreta
c) Continua.
02) Proponga cinco variables y en cada una especifique sus elementos. 03) Explicar la diferencia entre : Censo, Encuesta, Cuestionario y Formula rio o Cédula. 04) Cuáles son las clases de pregunta que se incluyen en el formulario o Cédula? 05) Defina una población, especifique sus unidades de análisis, allí defina 6 variables indicando el tipo de variables y dos categorías que Ud. defina. Diseñar la Matriz Tripartita de Datos. B.
R E D U C C IO N D E D A T O S : C A L C U L O D E E S T A D IF R A F O S
06) Demostrar si los siguientes datos son correctos o consistentes. Funda mente su respuesta : m = 6; h1 = 0,2; h4 = 0,2; H2 = 0,6; H3 + H4 = 1,9 07) La distribución de los alumnos de dos secciones según el puntaje en un exámen de Estadística, fué :
Puntaje
35 45 55 65 75 85
-
45 55 65 75 85 95
Alumnos por Secciones A B 4 12 20 15 9 2
3 14 18 18 10 2
Calcular: a) Puntajes promedios. b) Puntajes medianos. c) Puntaje modal. d) Desviación Estándar. e) Analizar comparativamente, y determinar que sección presenta mejores rendimientos y es más homogénea. f) Qué puntaje tienen el 25% de los mejores alumnos. ESTADISTICA
ELEMENTAL <409
08) En una industria con 80 trabajadores, el sueldo promedio alcanzó 240 dólares y una desviación estándar de 100 dólares. Qué sucede con el promedio y la dispersión, si : a) Se aumenta a cada trabajador 60 dólares b) Se aumenta a cada trabajador el 25% de su sueldo c) Se aumenta a cada trabajador el 15% y más 40 dólares d) Cuál de las condiciones es más ventajosa. 09) En una empresa el sueldo promedio por trabajador es de 360 dólares mensuales, los trabajadores manuales constituyen el 40 por ciento del total y reciben el 1/4 del monto de la planilla, ¿cuánto recibe en prome dio cada trabajador manual? 10) Las ventas diarias de 100 vendedores ambulantes se clasificaron en una tabla de frecuencia de cuatro intervalos de igual amplitud. Se pide calcular la venta mediana y la desviación estándar, sabiendo que : Y2 = 50;
n, = 14;
N2 = 30;
n3 = 25;
M(Y) = 70,2
11) Demostrar que : M (2X + 5) = 2 M(x) + 5 12) Dados los siguientes datos : h2 = 0,4; h1 = 0,2; H3 = 0,8; n = 50 n4 = 5; Mo = 30; Y5 - Y 4 =10; Calcular los estadígrafos que Ud. conoce 13) Para una muestra de 50 catedráticos de una Universidad Nacional y 40 de una Particular, se obtuvo la siguiente distribución de sueldos : a) Analizar comparativamente los nive Sueldo Univ. Univ. les de los sueldos (US $) Nac. Part. b) En qué universidad los sueldos son más homogéneos 101 - 150 5 151 - 200 3 c) Cuál es el sueldo promedio y me 10 diano de los 90 catedráticos 201 - 300 16 5 301 - 400 17 8 d) Calcular la desviación estándar para 401 - 600 7 10 los 90 catedráticos 601 - 800 6 5 e) En un aumento de sueldos, se plan 801 - 1000 5 tea que la cuartila inferior sea el suel 1001 - 1500 3 do mínimo. Si todos reciben el mis mo aumento, cuál es la nueva distri bución de los sueldos, el sueldo promedio, mediano y modal. -
4 1 0 2 R o b e r u o B . A v 'i I a A c o s i a
f)
Qué reajustes propondría Ud. para que todos tengan sueldos equi valentes o iguales.
14) Se toman las medidas de 80 personas, las que tienen una estructura media de 1,68 m y una varianza de 7,2 cm2. Posteriormente se verificó que la huincha usada en la medición tenia 2 cm. de menos. ¿Cuáles son los estadígrafos corregidos? 15) Con la base de datos del Cuadro N° 01 Matriz Tripartita de Datos de los ingresados a la Universidad Nacional - 1993. a) Construir las respectivas tablas de frecuencia y calcular: - El tamaño promedio de las familias - Edad promedio de los miembros de las familias. - Nivel educativo promedio - Número de pesonas que trabajan - Número promedio de personas que estudian - Ingreso familiar promedio - Valor promedio de la Canasta Familiar. b) Para cada caso determinar la dispersión c) Calcular otros indicadores que considere necesario para describir las características socio-económicas y educativas de los ingresados en 1993. d) Redactar las conclusiones y resultados más importantes de los in gresados en 1993.
C. NUMEROS INDICES 16) La Deuda Externa Total del Perú, de 1985-1991 en millones de dólares es : Año Deuda a) b) c) d)
1988
1989 |
1990
1991
1992 || 1993 | 1994
17964 ||
18609 |
19856
20787 ||
21409 ¡I
22157
23429
Calcular Indice de Base Fija para 1988 = 100 y 1993 = 100 Calcular los Indices de Base Variable. Utilizando Indices. ¿Cuál sería la deuda para 1996 y 2000? ¿Cuál es la hipótesis?
17) Las cantidades y precios de algunos componentes de la Canasta fami liar para 5 personas en los meses de Enero y Julio de 1992 en Lima Metropolitana fueron : ESTADISTICA
ELEMENTAL <411
Calcular: E n e ro J u n io a) Indices Simples de A r t íc u lo s P Q P Q Precios. 0,04 300 320 0,06 Pan (Kg) b) Indice Agregativo 24 Leche (tarro) 25 0,75 0,81 Simple de Precios. 4 A z ú c a r(K g ) 0,58 4 0,84 c) Indices Ponderados H uevos (Kg) 6 0,78 5 1,72 A rroz (Kg) 16 0,82 15 0,89 de Precios. Papa B. (Kg) 0,45 12 0,45 12 d) Indices de Pondera 4 0,97 Fideos (Kg) 4 1,13 dos de Cantidad. 1,94 5 6 P ollo (Kg) 1,95 e) Cuánto costó esta T o m a te (Kg) 4 0,51 3 0,78 Canasta de Enero y 3 1,60 3 1,65 A ceite (Kg) Junio de 1992? f) Actualizando valores en 1996. considere que no han variado las can tidades consumidas, pero si los precios. ¿Cuál es el Indice de Pre cios en Junio de 1996? g ) Qué relación tiene el Indice Ponderado de precios con la evolución del Sueldo Mínimo Vital. 18) El sueldo promedio de los Profesores Principales de las Universidades Estatales desde Junio a Diciembre de 1995 fueron en soles : M eses
SI.
|| J u n io
J u lio || A g o s (
|
1 146
1145
1 148
Set 1 150
|[
O c t || 1 158
N ov 1 163
I
D ic
|
1 171
a) Con el IPC del Cuadro N° estimar el sueldo Real y determinar la pérdida del poder adquisitivo mensual en 1995. b) Cuál debería ser el sueldo mensual en diciembre de 1995 y junio de 1996, para mantener el poder adquisitivo de junio de 1995 D.
ESTADISTICA BIDIMENSIONAL
19) Proponer ejemplos de : a) Dos variables asociadas con relación directa. Cuál es la VD? b) Dos variables asociadas con relación inversa. Cuál es la VI? c) Tres variables asociadas con relación directa. Cuál es la VD? 20) Con los datos en las variables de la Matriz Tripartita de Ingresantes (Cuadro N° 01), construir tablas bidimensionales de frecuencia : a) Para dos variables discretas. b) Para dos variables continuas c) Para una variable discreta y una continua. d) En las tablas bidimensionales determinar las frecuencias y las fre cuencias condicionales 4 1 2 /R obeuio B. A v í I a A c o s i a
21) La Tabla Bidimensional adjunta, corresponde a una población de 40 fami lias, donde :
Y X
50 a
100 a
150 a
100
150
200
100 - 160 160 - 220 220 - 280 280 - 340 340 - 400
4 6 2
2 6 10 2 -
4 2 2
12 16 4 2
20
8
40
50a
70 a
90 a
110a
70
90
100
130
X = Ingreso Y = Ahorro C alcular: a) El Ingreso, ahorro y 12 _____ Ü J _____ gasto promedio. b) Las medias condicionales. c) Qué signfican los resultados obtenidos? 22) Una empresa vende ra dios de diferente poten X cia. La distribución de las ventas por Costo de Fá brica (X) y Precio de Ven ta (Y) en dólares, duran te un mes es : a) Cuál es el costo de fá brica si el precio de venta fue 120? b) Cuál es el precio de venta entre 110-130 dólares? E.
Y
100 120 140 160 180
n .¡
-
4
2 -
7 1
-
-
•-
-
-
-
8 5
-
2 6 5
de los radios si el costo de fábrica está
REGRESION Y CORRELACION
23) a) Cuál es la utilidad de los Modelos de Regresión? Ejemplo. b) Qué criterios se utilizan para determinar la función de regresión. c) Qué interpretación merece el Coeficiente de Correlación? d) Cuándo se utiliza el Coeficiente de Correlación de Rangos? Ejemplo e) De cuántas maneras o formas se pueden relacionar dos variables. 24) El Ingreso y Ahorro semanal en dólares en una muestra de 12 familias
son : Ingresos: (x) 52 Ahorros : (y) II 6
60 “ 681 72
7
8 || 8
80
n n n r
% n
9 il 9 II 10 II 11
r [-Te" I t T i r e T
8
7 L i_
7
a) Graficar la Nube de Puntos. b) Determinar la recta de regresión. ESTADISTICA
ELEMENTAL <413
c) Determinar una función de regresión no lineal. Graficar la función. d) Cuáles de las dos funciones es más recomendable para estimar el
ahorro. e) Cuánto ahorraría una familia de ingresos de 100 dólares. f) Cuánto debería tener de ingreso una familia para ahorrar 10 dólares. 25) Para 10 países de América del Sur en 1991, se tienen los indicadores C r e c im ie n to m e d io
A ‘
B
c :
D
E
F
G
H
l
J
d e p o b la c ió n {% )
1,2
2,8
1,9
1,6
1,9
2,4
2,7
2,0
0,6
2,4
86
51
75
86
70
56
47
70
85
90
2160
1510
1180
1120
1180
1280
2470
3250
P o rc e n ta je d e P o b la c ió n U rb a n a P N B p e r C á p ita (US $)
2520
570
a) Analizar la relación que pueda existir entre dos o más variables. b) Cuál dé los países estaría en mejores condiciones.
26) En una evaluación de personal, dos supervisores evaluaron a 12 em pleados obteniéndose los siguientes resultados o puntaje : E m p le a d o
A
B
D
E
F
G
H
1
K
L
Sup. 1
95
51
49
27
42
52
67
48
46
I
53
50
48
Sup. 2
88
70
) 65
50
60
O QO
68
49
40
|
63
60
50
r e "
r ~
r
Analizar el grado de afinidad o correlación que existe entre las califica ciones de los dos supervisores. Seleccionar a los 3 mejores. 27) La variación del precio y la cantidad de-
mandada de un artículo en el período 1 9 8 8 - 1 9 9 5 fué el siguiente : a) b) c) d)
La función demanda. Graficar la ecuación. Calcular el coeficiente de correlación. Para qué precio es probable que no exista demanda.
Años
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
P recio
C a n tid ad
(U S $)
(to n )
5 6
8 9 10 13 15 16
20 16 15 12 10 8 5 5
28) Dada la ecuación : Y* = aX. Determinar las expresiones de : Ecuación Normal, Ecuación Estándar de Estimación y coeficiente de correlación. 414>Ro be RT o B.
A v í Ia A c o s t a
29) Demostrar si los siguientes datos son consistentes o correctos : a) Y* = 0,2X - 4; b) V(X) = 16;
V(X) = 50; r = 0,3;
M(X) = 30; Sy. = 6;
]TXY = 50 n. Y* = 2X + 5
30) Con ei objeto de estudiar la relación entre las variables de Consumo de Energía Eléctrica (X) y volumen de Producción de las Empresas Indus triales (Y) se tomó una muestra de 20 empresas, para las cuales se computaron los siguientes valores : Se pide calcular: a) La línea de regresión "Y en X" £ X = 11,34 £ Y =20,72 b) El coeficiente de correlación X X 2 =12,16 £ Y2 = 84,96 múltiple c) Cuál es el error de estimación Y , X.Y = 22,13
31) A partir de los datos del Cuadro N° 7.13 : a) Expresar el pasaje adulto (Y) en relación al precio de la gasolina (X2)
y el sueldo promedio (X3). b) Estimar el precio del pasaje para los 12 meses siguientes. Cuál es la
hipótesis/ c) Calcular el coeficiente de correlación. d) Para qué precio es probable que no exista demanda. 32) Del C u a d ro N° 01 (Matriz Tripartita), elegir una muestra aleatoria de 20
familias y determinar: a) Valor de la canasta sobre los Ingresos, y estimar el ahorro de una familia que tiene un ingreso de 500 soles. b) Valor de la canasta en función del ingreso y el número de personas por familia.
F.
SER IES C R O N O LO G IC A S .
33) Anotar un ejemplo de Serie de Tiempo : a) Con tendencia ascendente.
b) Con tendencia descendente. c) Con variaciones estacionales. 34) a) Es una recta con tendencia, cómo se determina si la Serie es ascen
dente o descendente. Ejemplo. ESTADISTICA
ELEMENTAL
- 1 1982 || 1983 || 1984 || 1985 ||1986 | 1987 lí 1988 || 1989 || 1990 ( ( Titulados | 11,1 || 10,8 || 11,4 | 8,6 || 10,8 | 11,3 || 11,6 || 13,2 || 14,7
{
M
15,6
b) Qué diferencia encuentra Ud. entre función de regresión y función de
tendencia ? c) Qué diferencia hay entre Variación Estacional y Variación Cíclica.
35) El número total de titulados en la Universidades del Perú, durante en período : 1982 - 1991 es en miles : a) Graficar la Serie. T rim e s tre s b) Construir la función lineal de tenden Año 1 III IV II cia. c) Determinar el Error Estándar 60 1989 40 30 50 d) Estimar el número de titulados para 60 80 100 1990 50 el período 1992-1995. 90 1991 70 110 130 e) En qué año el número de Titulados 1992 80 70 110 140 se duplicaría respecto a 1982. 36) La evaluación trimestral de una Empresa de Transportes, se obtienen los siguientes datos sobre infracciones cometidas en los 4 últimos años. T ra b a U tili Años
dades
ja d o re s
a) Identificar el tipo de variación y anali
zarla.
1985
5125
45
b) Construya las gráficas correspondien
1986
4730
45
tes. c) Estimar el número de infracciones tri mestrales para 1993 y 1994.
1987
6760
52
1988
5700
50
1989
5940
53
1990
8800
53
1991
8120
58
1992
8200
53
37) La empresa ABC distribuye por igual las utilidades entre todos sus trabajadores. Adjunto se indican las utilidades (US $) y número de trabajadores. 1985-1992.
a) Cuál es la tasa de crecimiento anual de las utilidades ? b) Proyectar y estimar la utilidad anual por trabajador en el siguiente
quinquenio. 38) A partir de los datos del Cuadro N° 7.13 estimar el valor de cada una de las variables para los 6 meses siguientes. Cuál es la tasa mensual de crecimiento de cada variable ? 416/ R o b E R T O B. AviU
A costa
Tabla I. Coeficientes Binom iales N'j
N!
xJ
x !(N -x ) !
ESTADISTICA
ELEMENTAL <417
Tabla II
AREAS BAJO LA CORVA NORMAL TIPIFICADA DEOa: 0
2
1
5
6
7
8
0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664
0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.1700
0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736
0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772
0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808
0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844
0.0359 0.0754 0.1141 0.1517 0.1879
0.3159
0.1950 0.2291 0.2612 0.2910 0.3186
0.1985 0.2019 0.2324 0.2357 0.2642 . 0.2673 0.293« 0.2967 0.3212 0.3238
0.2054 0.2389 0.2704 0.2996 0.3264
0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289
0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315
0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340
0.2190 0.2518 0.2823 0.3106 0.3365
0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389
1.0 l.l 1.2 1.3 1.4
0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4197
0.3438 0.3665 0.3869 0.41)49 0.4207
0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222
0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236
0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251
0.3531 o..r49 0.3944 0.4115 0.4265
0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279
0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292
0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306
0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.4332 0.4452 0.4554 0.1641 0.4713
0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719
0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4 726
0.4370 0.4384 0.4582 0.4664 0.4732
0.4382 0.449* 0.4591 0.4671 0.4738
0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744
0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750
0.-MI8 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756
0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761
0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918
0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920
0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922
0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925
0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927
0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929
0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931
0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932
0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934
0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936
2.5 5.6 2.7 2.8 2.9
0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981
0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982
0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982
0.4943 0.4957 0.4968 0.49'7 0.4983
0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984
0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984
0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985
0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985
0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986
0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
0.4987 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997
0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997
0.4987 0.4991 0.4994 0.4995 0.4997
0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997
0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
0.4989 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997
0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997
0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0.4998 0.49«X 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4909 0.4909 0.4999 0.5000
0.4998 0.4«99 0.4999 0.4999 0.51X8)
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000
z
1
0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554
0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0,1591
0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.1915 0.2258 0.2580 0J0C
0.0 0.1 0.2 0.3 04
4 1 8 / R o b E R i o B. A v í I a A costa
3
_____
9
Tabla III
VALORES DE e ' 1 < (0
<
A <
1)
0
1
2
5
6
7
8
9
0,0 0,1 0.2 0.3 0.4
1,0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703
0.9900 0.8958 0.8106 0,7334 0.6636
0.9802 0.8869 0,8025 0.7261 0.6570
0,9704 0,8781 0.7945 0.7189 0,6505
0.9608 0.8694 0.7866 0,7118 0.6440
0.9512 0.8607 0,7788 0,7047 0,6376
0.9418 0.8521 0.7711 0.6977 0,6313
0.9324 0.8437 0,7634 0,6907 0,6250
0.9231 0.8353 0,7558 0.6839 0.6188
0.9139 0.8270 0.7483 0.6771 0,6126
0.5 0.6 0,7 0,8 0.9
0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066
0.6005 0.5434 0.4916 0.4449 0.4025
0,5945 0.5379 0.4868 0.4404 0.3985
0.5886 0.5326 0.4819 0,4360 0.3946
0.5827 0.5273 0.4771 0.4317 0.3906
0.5770 0.5220 0.4724 0.4274 0.3867
0.5712 0.5169 0,4677 0,4232 0,3829
0.5655 0.5117 0,4630 0.4190 0.3791
0,5599 0.5066 0,4584 0.4148 0,3753
0.5543 0.5016 0.4538 0.4107 0.3716
X
4
3
(A = 1 , 2 , 3 ..............1 0 )
X e~K
1
2
3
4
5
í
7
S
»
1
*
0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,000045
Ñola : Para obtener los valores de e ~1para otros valores de V emplear las leyes de los exponentes. Ejem plo:
e - 14* = ( « - • • '• X r '0-4* ) =
(0,04979«0,6188)
=
0,03081.
ESTADISTICA
ELEMENTAL<419
Tabla IV PERCENTILES ((,) DE LA DISTRIBUCION / DE STUDENT CON v GRADOS DE LIBERTAD (AREA SOMBREADA - p)
*
*0,»«»J
*0.99
*0.97 J
*0.9S
*0.90
1 2 3 4
63,66 9,92 5,84 4.60
31,82 6,96 4.54 3.75
12,71 4,30 3,18 2,78
6.31 2.92 2,35 2.13
5 6 7 8 9
4.03 3.71 3,50 3.36 3.25
3.36 3.14 3,00 2.90 2.82
2.57 2.45 2.36 2.31 2.26
10 11 12 13 14
3.17 3,11 3.06 3.01 2,98
2.76 2.72 2,68 2,65 2,62
13 16 17 18 19
2.95 2.92 2.90 2.88 2.86
20 21 22 23 24
*0 .»0
*0 .'S
* 0 .'(l
*0.40
*0 .ÍJ
3.08 1.89 1,64 1,53
1,376 1,061 0.978 0.941
1.000 0.816 0,765 0,741
0.727 0.617 0.584 0.569
0.325 0.289 0,277 0.271
0,158 0,142 0.137 0.134
2.02 1.94 1.90 1,86 1.83
1.48 1.44 1,42 1.40 1.38
0.920 0.906 0,896 0.889 0,883
0,727 0,718 0.711 0.706 0,703
0.559 0.553 0,549 0.546 0.543
0.267 0.265 0.263 0,262 0.261
0.132 0,131 0.130 0.130 0,129
2.23 2.20 2.18 2,16 2,14
1.81 1,80 1,78 1.77 1.76
1.37 1,36 1.36 1.35 1,34
0,879 0.876 0.873 0,870 0.868
0.700 0,697 0.695 0,694 0.692
0.542 0,540 0.539 0,538 0,537
0.260 0.260 0.259 0.259 0.258
0.129 0.129 0,128 0,128 0,128
2,60 2.58 2.57 2.55 2,54
2,13 2.12 2.11 2.10 2.09
1.75 1,75 1.74 1.73 1.73
1.34 1.34 1.33 1.33 1.33
0.866 0.865 0.863 0.862 0.861
0.691 0,690 0.689 0.688 0.688
0,536 0,535 0.534 0.534 0.533
0.258 0.258 0.257 0.257 0.257
0,128 0,128 0.128 0.127 0,127
2.84 2.83 2.82 2.81 2.80
2.53 2.52 2.51 2,50 2,49
2.09 2.08 2.07 2.07 2,06
1.72 1.72 1.72 1.71 1.71
1.32 1.32 1.32 1.32 1.32
0.860 0.859 0,858 0.858 0.857
0.687 0.686 0.686 0.685 0.685
0.533 0.532 0.532 0,532 0,531
0.257 0,257 0.256 0.256 0,256
0.127 0.127 0.127 0.127 0.127
25 26 27 28 29
2,79 2,78 2.77 2,76 2.76
2.48 2.48 2.47 2.47 2,46
2,06 2.06 2,05 2.05 2.04
1.71 1.71 1.70 1,70 1.70
1,32 1.32 1.31 1.31 1.31
0,856 0.856 0.855 0,855 0.854
0.684 0.684 0.684 0.683 0,683
0,531 0,531 0.531 0,530 0.530
0.256 0.256 0.256 0.256 0,256
0.127 0.127 0.127 0.127 0.127
30 40 60 120 *
2.75 2.70 2.66 2.62 2.58
2.46 2.42 2,39 2.36 2,33
2.04 2.02 2.00 1.98 1.96
1.70 1.68 1.67 1.66 1.645
1,31 1,30 1.30 1,29 U8
0,854 0.851 0.848 0.845 0.842
0.683 0,681 0,679 0.677 0,674
0,530 0.529 0.527 0.526 0.524
0.256 0.255 0.254 0.254 0.253
0.127 0.126 0.126 0,126 0.126
P r o c e d e n c ia :
R. A. Fisher y F. Yales. S t a t i s t i c a l T a b le s f o r B i o l o g i c a l , A g r i c u l t u r a l a n d M e (5.a edición!. Tabla 111. Oliver and Boyd Ltd.. Edimburgo, con permiso de los autores y editores.
d ic a l R e s e a r c h
42(V> RobERi o B. A v í I a A c o s i a
Tabla V PERCENTUES (/;) DE t.A DISTRIBl CION C M -C l ADRADO CON v GRADOS DE LIBERTAD ( \REA SOMBREADA = p) /«.»•»
y .o .^ i
/.').•* i
Z o .* o
/Ó.*i
/o .s o
/ .o .u
/o .io
X ó .o i
X o.oos
X o .o s
X o .o is
0.0039 0.103 0.352 0.711
0.0010 0.0506 0.216 0.484
0.0002 0.0201 0,115 0.297
0.0000 0.0100 0.072 0.207
1 2 3 4
7.88 10.6 12.X 14.9
6.63 9.21 11.3 13.3
5.02 7.38 9.35 II.1
3.84 5.99 7.81 9.49
2.71 4 ól 6.25 7.78
1.32 0.455 0.102 0.0158 2.77 1.39 0.575 0.211 4.11 2.37 1.21 0.584 5.39 3.36 1.92 1,065
5 K 7 . 8 ‘J
16.7 18.5 20.3 22.0 23.6
15.1 16.8 18.5 20.1 21.7
12.8 14.4 16.0 17.5 19.0
II. 1 12.6 14.1 15.5 16.9
9.24 10,6 12.0 13.4 14.7
6.63 7.84 9,04 10.2 11.4
4.35 5.35 6.35 7.34 8.34
2,67 3.45 4.25 5,07 5,90
1.610 2,204 2.83 3.49 4.17
1,15 1,64 2.17 2.73 3.33
0.831 1.24 1.69 2.18 2.70
0.554 0.872 1.24 1.65 2,09
0.412 0,676 0,989 1.34 1.73
10 11 12 13 14
25.2 26.8 28.3 29.8 31.3
23.2 24.7 26.2 27.7 29.1
20.5 21.9 23.3 24.7 26.1
18.3 19.7 21.0 22.4 23.7
16.0 17.3 18.5 19.8 21.1
12.5 9.34 13.7 10.3 14.8 11.3 16.0 12.3 17.1 13.3
6.74 7.58 8.44 9.30 10.2
4.87 5.58 6.30 7.04 7.79
3.94 4.57 5.23 5.89 6.57
3.25 3.82 4,40 5.01 5.63
2.56 3.05 3.57 4.11 4.66
2.16 2,60 3.07 3.57 4,07
15 16 17 18 10
32.8 34.3 35.7 37.2 38.6
30.6 32.0 33.4 34.8 36.2
27.5 28.8 30.2 31.5 32.9
25.0 26.3 27.6 28.9 30.1
22.3 23.5 24.8 26.0 27.2
18,2 14.3 19.4 15,3 20.5 16,3 21.6 17.3 22.7 18.3
11.0 11.9 12.8 13.7 14.6
8.55 9.31 10.1 10.9 11.7
7.26 7.96 8,67 9.39 10.1
6,26 6.91 7.56 8.23 8,91
5,23 5.81 6.41 7.01 7.63
4.60 5.14 5.70 6.26 6,84
20 21 22 23 24
40.0 41.4 42.8 44.2 45.6
37.6 38.9 40.3 41.6 43.0
34.2 35.5 36.8 38.1 39.4
31.4 32.7 33.9 35.2 36.4
28.4 29.6 30.8 32.0 33.2
23.8 24.9 26.0 27.1 28,2
19.3 20.3 21.3 22,3 23.3
15.5 16.3 17,2 18.1 19,0
12.4 13.2 14.0 14.8 15.7
10.9 11.6 12.3 13.1 13.8
9.59 10,3 11,0 11,7 12.4
8,26 8,90 9.54 10.2 10,9
7.43 8.03 8,64 9.26 9.89
25 26 27 28 20
46.9 48.3 49.6 51.0 52.3
44.3 45.6 47.0 48.3 49.6
40. ó 41.9 43.2 44.5 45.7
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Prm cJcm
iu
: Cut herirte M Thompson. TohU ,>f' pen-eniage poims o f tlie Jisirihuiion. Biomciriku. Vol. 32 t!94l i. con permiso de los autores y editores.
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B.
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A v í I a A costa
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