CAPITULO 4 Problema 1. Por el interior de un +ran conducto circular de 0.) m de dimetro fluye a+ua con velocidad que si+uen la distribuci7n se@alada en la fi+ura, se+An la ley '0.022
Sabemos: ν 0.022 r 2, r 0.1 m., m., d- 2 r π dr Di+ura del del problema 1 r
Q
= ∫ ν d A = 0
0.1
m)
∫ ( 0.022 − r )( 2π r dr ) = 0.000(% Seg . 2
0
&ado que la tuber9a tuber9a Problema se bifurca bifurca en el +asto +astodeequivale: 2'- por una boquilla, de 2. cm de 5n corro a+ua es descar+ado 2. dos, dimet dimetro, ro, en direc direcci7 ci7n n vertic vertical al y ascend ascendent ente! e! supone suponemos mos que el corr corro o Ca velocidad en los permanece tubos es: circular y que se desprecian las p8rdidas de ener+9a durante el ascenso. V
Q 1 = 0.2024 m = 2 Seg .en un punto de 4,60 m sobre la boquilla , si la a/ alcular ) dimetro de corro, π ( 0.0el 2 velocidad 4 del a+ua al salir es de 12 m*se+.
d-2πrdr b/ &eterminar la presi7n que debe de leerse en el man7metro ;, si el dimetro en la tube tuber9 r9aa es de 0.10 0.10 m y el desni desnive vell Z 1< Z 2/ es de 0.4 m. onsidere despreciable la p8rdida de ener+9a entre las secciones 0 y 1. c/ Si el corro forma con la ori=ontal un n+ulo de 4> y se desprecia la fricci7n con el aire, determinar la altura m?ima que alcan=ar y la ma+nitud de la velocidad en ese punto.
Di+ura del problema 2
a) Planteamos una Bernoulli entre entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2
P 1
γ
+ Z 1 +
V 12 2 g
=
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22 2 g
+ h12
Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: entonces: P10! "10! P20 Sustituyendo en la #c. de Bernuolli:
V 22 (12) 2 = 4.60 + 2( %.$1) 2( %.$1) &e donde obtenemos: '2 (.)) m*se+ #l +asto en la boquilla esta dado por:
1 '1 -1 12 m*se+/ π 0.02*4/ 0.0$% m )*se+ 3 adems sabemos que 1 2, de donde '2 2 *-2 1 *-1
V 2
0.0$% 0.00( = = (.)) m * s 2 2 = π D * 4 D
&espeEando el dimetro obtenemos: D2 = 0.032 mts. boquilla y 0.40 m por abaEo de ella, puntos 1 y 0 b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla K
1 =
Cv
2
−
1
&onde: P1 0, "1<"0 0.40 Sustituyendo: 2 P 0 V 0 (12 ) 2 0.40 + = + 2( %.$1) γ 2( %.$1)
'0 '1 &1* &0/ 12 0.02 * 0.10/ 0.( m*s Sustituyendo en la ecuaci7n '0
P 0 γ
P 0 γ
(12) 2 ( 0.() 2 = 0.40 + − 2( %.$1) 2( %.$1)
=
(.(1 mts. de columna de agua
c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcan=a la altura m?ima el corro, puntos 1 y 2.
P 1
γ
+ Z 1 +
V 12 2 g
=
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22 2 g
+ h12
donde: P1 0, "1 0, P2 0 Ca velocidad en el punto ms alto se obtiene: ' 2 'cos θ Sustituyendo:
(12) 2 (12Cos 4°) 2 = Z 2 + 2( %.$1) 2( %.$1) &espeEando obtenemos: 2 = 3.!" mts
'#n el punto m?imo 12m*se+/cos 4F/ 8.48 m/seg
tuber9a r9a de de 0.)0 m de dim dimetr etro o Problem Problema a 3. #n una tube escurre a+ua! para medir la velocidad se a instalado un tubo de Pitot
Di+ura del problema )
&espeEando el dimetro obtenemos: D2 = 0.032 mts. boquilla y 0.40 m por abaEo de ella, puntos 1 y 0 b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla K
1 =
Cv
2
−
1
&onde: P1 0, "1<"0 0.40 Sustituyendo: 2 P 0 V 0 (12 ) 2 0.40 + = + 2( %.$1) γ 2( %.$1)
'0 '1 &1* &0/ 12 0.02 * 0.10/ 0.( m*s Sustituyendo en la ecuaci7n '0
P 0 γ
P 0 γ
(12) 2 ( 0.() 2 = 0.40 + − 2( %.$1) 2( %.$1)
=
(.(1 mts. de columna de agua
c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcan=a la altura m?ima el corro, puntos 1 y 2.
P 1
γ
+ Z 1 +
V 12 2 g
=
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22 2 g
+ h12
donde: P1 0, "1 0, P2 0 Ca velocidad en el punto ms alto se obtiene: ' 2 'cos θ Sustituyendo:
(12) 2 (12Cos 4°) 2 = Z 2 + 2( %.$1) 2( %.$1) &espeEando obtenemos: 2 = 3.!" mts
'#n el punto m?imo 12m*se+/cos 4F/ 8.48 m/seg
tuber9a r9a de de 0.)0 m de dim dimetr etro o Problem Problema a 3. #n una tube escurre a+ua! para medir la velocidad se a instalado un tubo de Pitot
Di+ura del problema )
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
&onde: "1 "2! '2 0 ya que es una =ona de estancamiento y las h12 ≅ 0, por lo tanto nos queda la ecuaci7n de la si+uiente manera:
V 1
2
2 g
=
P 2
− P 1 γ
Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la re+la de los man7metros, esto es de la si+uiente manera:
P1 γ 1< γ + +∆ H γ 2 P2 P2 P1 γ 2<1/ <γ + +∆ γ∆ < γ + +∆ P 2
− P 1 γ
=
∆hγ − γ hg / γ
Iesultando:
V 1
2
2 g
=
∆hγ − γ hg / γ
=
∆h 1000 − $0/ 1000
&espeEando '1 nos queda que es .8# m/s y el +asto seria
-' Jπ 0.)0/*4K .$ K $T%bo= 0.0! m3/seg
Problema 4. Para el sif7n
Planteamos una Bernoulli entre el deposito y la salida de sif7n, puntos 1 y ).
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
P ) V )2 = + Z ) + + h1) 2 g γ Di+ura del problema 4
&onde : P1 0! '1 0! =) 0! P) 0! 1) ≈ 0. Sustituyendo: ).60
=
V )2 2 g
⇒ &3 = 8.4 m/seg
alculando el rea del tubo:
A
=
π
0.20 2
= 0.0)1416 m 2
4
#valuando el +asto con los datos anteriores obtenemos que:
$.40.0)1426/ 0.2!3' m3/seg Para conocer la presi7n en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y ).
P 2
+ Z 2 +
γ &onde:
V 22
=
2 g
P )
γ
P) 0! ") 0! h1)
+ Z ) +
V )2 2 g
+ h2)
≅0
Sustituyendo:
P B γ
( $. 4 ) 2 + = 2( %.$1) 2( %.$1) . 4( $. 4 )
2
&e la #c. anterior botemos:
P B γ
= − .4 mts. de columna
de agua
Problema #. Si la bomba
Para dar soluci7n al problema, seria plantear una bernoulli entre los puntos 1 y 2 que estn en la entrada y en la salida del man7metro.
P 1
+ Z 1 +
γ
V 12
2 g
+ Ep =
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22
2 g
+ h12
Di+ura del problema
#n la ecuacion anterior, salvo las cotas que son i+uales " 1"2/, y las perdidas que son despreciables, aparentemente las dems variables son inc7+nitas, quedando nuestra ecuacion de la si+uiente manera:
P 1
γ
+
V 12 2 g
+ Ep =
P 2
γ
+
V 22 2 g
-ora, por otra parte las velocidades se pueden e?presar de la si+uiente manera 2
V 1
2 g
=
0.$26Q 4
D1
2
!
V 2
2
2 g
=
0.$26Q
D2
2
4
y la potencia de la bomba quedar9a de la si+uiente manera
kg m * seg / Pot CV = Pot = Q γ Ep ⇒ Ep = Q γ Q γ y la diferencia de presiones la calculamos con la re+la de los man7metros CV /(
P1H γ 1Hγ N+0.9/ < γ 2 P2 P2 P1 γ 1<2/ γ g " 0.9 " γ g # 0.9 $ γ # 0.9 Por lo tanto nos quedar9a de la si+uiente manera:
P 2
− P 1 γ
P 2
− P 1 γ
P 2
− P 1 γ
=
0.%/ γ g
− γ
γ
1)600 = 0.%0 − 1 1000
= 11.)4 mts. de columna de agua
Sustituyendo todos los t8rminos anteriores en nuestra bernoulli ori+inal nos quedar9a de la si+uiente manera:
11.)4 =
0.$26Q 2 D1
4
−
0.$26Q 2 D2
4
+
.)( Q
quedndonos finalmente un polinomio de tercer +rado en t8rminos del +asto
)04.(%Q )
+ 11.)4Q = .)(
por ultimo dando soluci7n a este polinomio, el +asto seria $=0.032m3/seg.
Problema !. Ca velocidad en el punto 1, de la fi+ura, es de 1$m*se+ Lul es la presi7n en el punto 2, si se desprecia la fricci7nM
&ebido a que la trayectoria del fluido es de tipo parab7lico, la velocidad en el punto ms alto 1/ solo presenta componente en el eEe ( la cul es constante durante el recorrido. #n base a lo anterior y por m8todos tri+onom8tricos, obtenemos la velocidad en la boquilla
V Bo%u&lla
=
1$ Cos 4°
= 2.46 m * seg .
Planteamos una Bernoulli entre 1 y 2, para conocer la presi7n en 2.
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
= P 2 + Z 2 γ
#n donde: P1 0! "2 0! h12
V 22 + + h12 2 g
≅0
'2 'Boquilla &Boquilla* &B/ 2.46 0.10 * 0.2 / 4.0() m*se+ Sustituyendo:
P 2 (1$) 2 ( 4.0()) 2 = + 20 + 2( %.$1) 2( %.$1) γ P 2 γ
= ).6(
mts. de columna de agua
Di+ura del problema 6
Problema ". 5n aceite fluye por el tubo circular de 0.20 m de dimetro, que se muestra en la fi+ura! el fluEo es permanente y el +asto es de 0.114 m)*se+ . #l peso espec9fico del aceite es ((0 G+*m ). Ca presi7n y condiciones de elevaci7n son P 1 0.6 G+*cm ! 1 1. m P 2 0.) G+*cm ! 2 6.10 m. &eterminar la direcci7n del fluEo y la disipaci7n de ener+9a entre los puntos 1 y 2. Cas presiones son manom8tricas/ Di+ura del problema ( )
0.114 m *se+ γ -ceite ((0 G+*m) P1 0.6 G+*cm 600 G+*m P2 0.) G+*cm )00 G+*m Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo '1 '2
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
Sustituyendo valores:
600 ((0
+ 1. =
)00 ((0
+ 6.10 + h
12
$.(( 10.64 H h12 h'( <1.$( → Cas perdidas salen ne+ativas ya que se considero que el fluEo es en sentido contrario, entonces: h21 = 1.8" La *recc*+, el -l%o siempre ser de los puntos de mayor a menor ener+9a. #l prop7sito del problema es maneEar este concepto ya que en redes es indispensable.
#2 #1 H 21 P 2 V 22 P 1 V 12 + Z 2 + = + Z 1 + + h21 γ 2 g γ 2 g Problema 8. #n el sistema mostrado la bomba )<4 debe de producir un caudal de 160 lt*se+. de aceite
Planteamos una #cuaci7n de Bernoulli entre los dos dep7sitos puntos 1 y 2/.
P 1
γ
+ Z 1 +
V 12 2 g
+ Ep =
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22 2 g
+ h12
Di+ura del problema $
&onde: P1 0, " 1 1, '1 0, P2 0, "2 60, '2 0, y 12 es la suma de las perdidas de 1) H )4 2. H 6.. Para este tipo de problemas de cone?iones en serie es muy comAn la suma de perdidas.
Sustituyendo encontramos:
= #4 mts. e col%m,a e ace*te.
Pot γ #p 0.160 m )*se+/(62 G+*m )/4 m/ 6$).6$ G+. m*se+. Pot 6$).6$ * ( $(.($ ' Pot = 8"."8 C&
Problema '. #l a+ua de un +ran dep7sito, como se muestra en la fi+ura, tiene su superficie libre m arriba del tubo de salida. Se+An se muestra es bombeada y e?pulsada en forma de corro libre mediante una boquilla. Para los datos proporcionados, Lul es la potencia en caballos de vapor requerida por la bombaM
&ado que la trayectoria del a+ua es movimiento de tiro parab7lico usamos las componentes de la velocidad y las cuales son e?presadas de la si+uiente manera:
Di+ura del problema %
'? ' cos O 'y ' sen O
=
V
V *2
+ V )2
Planteamos una Bernoulli entre los puntos ) y 2
P 1 V 12 + Z 1 + γ 2 g
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
Sustituyendo los datos y empleando las formulas del tiro parab7lico tenemos: P 10! P20! "10
+ V 1 )2
V 1 *2
2 g
=
6 + V 22 * 2 g
ota: en el tiro parab7lico la componente de la velocidad en Q siempre es constante, por lo tanto! resultando: 2
V 1+ 2 g
=6
&espeEando obtenemos que '1y 2 + 6/1*2 10.$ m*se+ Ca velocidad en la boquilla es i+ual a:
'1y 'Boquilla sen O R 'Boquilla '1y * Sen β
10.$ * Sen 4> 1.)44 m*se+
Planteamos una Bernoulli de la boquilla asta un punto anterior a la bomba codo/.
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ &onde : P1 0! " ) 0!
P ) V )2 = + Z ) + + h1) 2 g γ h1)
≅0
Ca velocidad en la tuber9a es:
') 'Boquilla&Boquilla * &ubo/ 1.)44/ 0.10 * 0.20/ ).$) m*se+
' 1? ' 2?,
(1.)44) 2 P ) ( ).$)) 2 = + 1. + 2( %.%1) 2( %.$1) γ
!
P ) γ
= 12.( mts. de columna de agua
Por Altimo planteamos una Bernoulli entre el dep7sito y un punto posterior a la bomba codo/.
P 4 + Z 4 γ
2
2
+ V 4 + Ep = P ) + Z ) + V ) + h4) γ
2 g
2 g
#n donde: P4 0! '4 0! " ) 0
+ Ep
( ).$)) 2 = 12.( + ! 2( %.$1)
#p $. mts.
Pot 1000 G+*m )/ 0.12 m)/$.m/ 1020 G+
Problema 10. #n la fi+ura del problema se descar+a aceite de una ranura bidimensional en el aire como se indica en 2. #n ) el aceite se descar+a por debaEo de una puerta al piso. &espreciando las perdidas, determ9nese las descar+as en 2 y ) por pie de anco. L Por que difierenM
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre 1 y 2, para conocer el +asto en 2. #l punto 2 esta situado en la mitad del orificio y por fuera de este
P 1 V 12 P 2 V 22 + Z 1 + = + Z 2 + + h12 Di+ura 10 2 g 2 g del problema γ γ
&onde: P1 0, '1 ≅ 0, P2 0, "2 0, 12 ≅ 0
). )
=
V 22 2 g
&espeEando '2 obtenemos: V 2
=
2 g ).)
'2 $.0 m*se+. 1 $.0 m*se+./ 0.2% m 2 / 2.)) m )*se+. Planteamos otra ecuaci7n de Bernoulli entre 1 y ) para conocer el +asto en ). #l punto ) esta situado en el centro del canal y por debaEo de una lamina que le eEerce presi7n. 2 P 1 + Z 1 + V 1 γ 2 g
2
= P ) + Z ) + V ) + h1) γ
2 g
&onde: P1 0, '1 ≅ 0, ") 0, 1) ≅ 0
).) =
P ) γ
+
V )2 2 g
-dems: P3 &) * 2 / γ esto es debido a que el punto se encuentra a la mitad de la altura del canal/. &espeEando '):
=
V )
2 g ).)
') $.4 m*se+. ) $.4 m*se+. / 0.2% m 2 / 2.44 m) * se+. Cas descar+as difieren debido a que en el orificio se descar+a a la atm7sfera por lo cual la presi7n es cero, mientras que en el otro punto, se descar+a sobre un canal donde se presenta una lamina que eEerce presi7n sobre el mismo.
Problema 11. &esprecindose todas las perdidas y los efectos de tensi7n superficial, dedA=case una ecuaci7n para la superficie del a+ua r del corro en t8rminos de /
;ediante el teorema de orricelli encontramos la velocidad en 2.
=
V 2
2 g
#l +asto en 2 es: Q
= π r 22
2 g Di+ura del problema 11
-nali=ando el punto ) encontramos que:
=
V )
2 g ( + ) )
,
Q
= π r )2
2 g ( + ) )
T+ualando +astos obtenemos:
π r 22
2 g
= π r )2
2 g ( + ) ) 1
r )2
=
r 22
2 = 2 g ( + ) ) + ) 2 g
r )
1 = r 22 1 + )
r )
=
2
1
2
r 2 1
1 + 4 )
Comrobac*+,
co, = 0 obte,emos r3 = r2
Problema 12. #n la fi+ura N 6 m y .( m. alcAlese la descar+a y las p8rdidas locales.
1/ Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, para encontrar las p8rdidas que se producen en el orificio. Para este motivo se coloco el tubo de pitot.
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
Di+ura del problema 12
&onde: P1 0, '1 ≅ 0, "2 0, '2 0 y P2*γ .(
6 = .( + h12 12 6 .( 0.2 2 cms 2/ omo las perdidas en el orificio ya se conocen planteamos otra ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ), para determinar la velocidad de salida considerando que las perdidas son de 2cm. 2 P 1 + Z 1 + V 1 2 g γ
2
= P ) + Z ) + V ) + h1) γ
2 g
&onde: P1 0, ' 1 ≅ 0, P) 0, ") 0
V )2
= 6 − 0.2
2 g
') 10.62 m*se+. 10.62 m*se+./ 0.00 m 2/ 0.0) m )*se+ $ = 0.0#3 m3/seg Problema 12.1. Para el problema anterior las perdidas se suelen e?presar en t8rminos de un coeficiente G que se utili=a en las perdidas locales. &etermine cual es el valor de este coeficiente.
Para encontrar el valor de G retomamos la ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ).
6
=
V )2 2 g
+ K
V )2 2 g
Pero sabemos que las p8rdidas equivalen a 0.2 por lo que:
K
&espeEando
6
V )2
= 0.2
2 g
V )2 2 g
=
y sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
0.2 K
+ K
0.2 K
5 = 0.0434"
Problema 12.2. Para el caso de orificios la velocidad real se suele e?presar en t8rminos de un coeficiente v:
V real = Cv 2 g . a/ &etermine cual es el valor de v para el problema 12. b/ &emuestre si:
K =
1 Cv 2
− 1
a/ Para encontrar el coeficiente v partimos de la si+uiente #cuaci7n
V real
= Cv
2 g
Sustituyendo
10.62 v
2 g 6
&e donde:
v 0.%($$ b/ Para la determinaci7n y comprobaci7n de los valores de G y de v nos apoyamos en las ecuaciones 6.2, 16.16, 16.1(, del libro Nidrulica Ueneral de Sotelo -vila, y esto nos queda de la si+uiente manera.
K =
1 2
− 1 ⇒ K =
Cv K = 0.04)
1 .0%($2
−1
Problema 13. #n un canal fluye a+ua, como se muestra en la fi+ura. &espreciando las p8rdidas, determ9nese las dos profundidades posibles del fluEo 31 y 32.
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
P 1 V 12 + Z 1 + 2 g γ
= P 2 + Z 2 γ
≅0
&onde: P1 P2 0, h12
+ 1
+ Z 1 +
V 22 + + h12 2 g
2
V 1
2 g
Di+ura del problema 1)
= + 2 +
2
V 2
2 g
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * -, con - b 3! quedando
'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft )*se+ Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:
4+$+
16.0
+ 2)
(16.1) 2 2 g
= + 2 +
= + 2 +
( 644) 2 2 g 10 2 + 22
64.$ 2
+ 2
− 16 .0+ 22 + 64.0$ = 0
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 2.14 -t 62 = 1#."' -t . Problema 14. Dluye a+ua a alta velocidad acia arriba del plano indicado como se muestra en la fi+ura. &espreciando las p8rdidas, calcAlese las dos profundidades posibles del fluEo en la secci7n 2
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
P 1 V 12 Z + 1+ γ 2 g
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
V 22 Q2 = 2 g 2 g , 2 + 22
&onde: P1 P2 0, h12
+ 1
+
2 1
V
2 g
≅0
= Z 2 + + 2 +
V 22 2 g
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por ' 2 * - quedando
V 22 2 g
=
'- %.$06 m*se+. 0. m 2 m / %.$06 m )*se+
Q2 2 g , 2 + 22 Di+ura del problema 14
Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
0 . + .4
+ 2)
( %.$06 ) 2 2 g
= 2. + + 2 +
= 2. + + 2 +
( %.$06 ) 2 2 g 2 2 + 22
1.2) + 22
− 16.0+ 22 + 64.0$ = 0
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 0."! mts. 62 = 2."4 mts.
Problema 1#. &espreciando todas las p8rdidas, determ9nese las dos profundidades posibles del fluEo! cuando el canal se an+osta en la ca9da a 6 ft de anco en la secci7n 2
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
P 1 V 12 + Z 1 + γ 2 g
= P 2 + Z 2 γ
V 22 + + h12 2 g
K =
1
Cv
Di+ura del problema 1
&onde: P1 P2 0, h12
+ 1
+ Z 1 +
V 12
2 g
≅0 = + 2 +
V 22
2 g
omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por ' 2 * - quedando
'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft )*se+ Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:
4+$+
(16.1) 2 2 g
= + 2 +
( 644 ) 2 2 g 6 2 + 22
V 22
2 g
=
Q2
2 g , 2 + 22
− 1 2
16.0
+ 2)
=
+ 2
+
1$0 + 22
− 16.0+ 22 + 1$0 = 0
Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo
62 = 3.84 -t 62 = 1#.28 -t
Problema 1!. #l tirante de un r9o, a+uas arriba de una presa, es de ).(0 m, como se ve en la fi+ura! el +asto es de 1.12 m )*se+. por cada metro de anco de la presa. &eterminar: a/ #l tirante y2 al pie de la presa suponiendo despreciables las perdidas! Ca fuer=a ori=ontal resultante del empuEe dinmico del a+ua, por cada metro de anco, sobre la cara a+uas arriba de la presa.
a/ Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 sobre la superficie del canal
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 γ 2 g γ
V 22 + + h12 2 g
Di+ura del problema 16
&onde: P1 0, P2 0, 12 ≅ 0 Cas presiones presentan valor cero ya que estamos trabaEando con puntos sobre la superficie de un canal/
Pero sabemos que:
) .( + + 2)
V 22
2 g
( 0)02 ) 2 2 g
=
Q2
2 g ,+ 22
y adems 32 "2
(1.12 ) 2 = + 2 + 2 2 g (1) + 2
− ).(046 + 22 + 0.064 = 0
62 = 0.134 m
Ca fuer=a idrulica esta dada por: D γ 3 - Senθ Sobre el muro se aplican dos fuer=as, una por cada cara.
∑D Dp1 H Dp2 H Dmuro Dp1 γ ).(0 * 2/ 1 ).(0/ Sen%0> 6$4 G+. Sobre ( Dp2 γ 0.1)4 * 2/ 1 0.1)4/ Sen%0> $.%($ G+. Sobre ( ∑D ϕ '2 '1/ Dmuro < Dp1 < Dp2 H ϕ '2 '1/ Dmuro <6$4, 0, 0/ H $.%($, 0, 0/ H 1000 * %.$1/1.12/ J 1.12 * 0.1)4, 0,0/ 1.12 * ).(, 0, 0/K 7m%ro = 9 #'1#.4 5g.: 0: 0)
Problema 1". L u8 fuer=a D se requiere para sostener la placa que se muestra en la fi+ura con un fluEo de a+ua a una velocidad '0 20 m*se+. M
Planteamos la ecuaci7n de Tmpulso y antidad de ;ovimiento
∑D ρ'Salida < '#ntrada/ Para este eEemplo contamos con una entrada y dos salidas.
∑D ρ1'1 H p2'2 / < ρ0'0/
Di+ura del problema 1(
Si planteamos una Bernoulli entre 0 y 1 o entre 0 y 2 podemos comprobar que ' 0 '1 '2.
'0 20, 0, 0/ '1 0, 0, 20/ '2 0, 0,<20/
20 m*s/ π 0./*4 0.04 m )*se+
Sustituyendo valores encontramos:
∑D ρ 0.02/0, 0, 20/ H ρ 0.02/0, 0, <20/ < ρ 0.04/20, 0, 0/ ρ J 0.20/0, 0, 20/ H 0.02/0, 0, <20/ < 0.04/20, 0, 0/ K ρ J <0.04/20, 0, 0/ K 1000 * %.$1 / J <0.$, 0, 0/ K <$1., 0, 0 / 7 = 981.## 5gs. sta es la ;,*ca -%er
OTA Si el corro incide en direcci7n normal a la placa, O %0F tambi8n se obtiene la fuer=a de la si+uiente ecuaci7n:
-
= -* =
γ
g
⋅ Q0V 0 = 2γ ⋅ A0
V 02 2 g
on la cul podemos comprobar el resultado
D? 21000/π 0.0 * 4/20 * 2+/ 80.0! 5gs
Problema 18. &eterminar la fuer=a que eEerce un viento de $0 Gm.* sobre cada metro de un cable de transmisi7n de ener+9a el8ctrica, de 2.4 cm de dimetro 1 pul+/, suponiendo que la temperatura del aire es de 10F. ?ol%c*+,. Para l0F la viscosidad cinemtica del aire es v0.1 stoVes 1. ? 10<6 m 2*se+! y la densidad ρ 0.12( G+. se+2*m4. Ca velocidad del fluEo libre es v0 $0 Gm.* 22.2 m*se+. y el nAmero de Ieynolds vale:
Ie
= V 0 D =
22 .2 0.024 1 . *10
v
6
= ).64 *10 4
#l coeficiente de arrastre para este caso es & 1.2
V 02 - = C D ρ A 2 D 1.2/0.12(/J22.2/2 * 2K 0.024/ 0.%4 G+.*m D 0.%4 G+.*m
Problema 1'. #n una cimenea cil9ndrica de 0.%2 m de dimetro, e?puesta a un viento con una velocidad de $ Gm.*, determ9nese el momento fle?ionante en su base <
Ie
= V 0 D = v
16 .1/ 0.%2 / 1 . *10 6
= %.6 *10
#l coeficiente de arrastre para este caso es & 0.)%
V 02 - = C D ρ A 2
#cuaci7n 11.6/ Sotelo -vila
D 0.)%/ 0.12(/J16.1/ 2 * 2K 0.%2/ .%06 G+.*m #l momento fle?ionante en la base de la cimenea, en funci7n de la altura , resulta ser:
; .%06 2 / * 2 2.%) 2 V+. m/ @= 2.'#3 2 Bg. m)
Problema 20. alcular la fuer=a de arrastre de un viento de $0 Gm.*, sobre un anuncio comercial de ) ? 1 m, a una altura suficiente para despreciar los cambios de velocidad por efecto de la capa l9mite. Suponer que la temperatura del aire es de 1F. ?ol%c*+,. omo para el aire a 1F, ϕ 0.12 G+. se+2*se+, el nAmero de Ieynolds vale entonces:
Ie 22.2 ) / * 16?10 6 4.6 ? 106 Para una placa de lon+itud infinita & 2 y para la relaci7n anco*lon+itud )*1 0.2, el coeficiente de correlaci7n vale 0.6. &e lo anterior se deduce que el verdadero coeficiente de arrastre es:
& 0.6/2/ 1.2 Ca fuer=a de arrastre resulta:
V 02 - = C D ρ A 2 D 1.2/0.12/J22.2/2 * 2K )/1/ 166) G+. 7 = 1!!3 5g.
Problema 21. 5na bomba e?trae a+ua de un recipiente como se muestra en la fi+ura. Ca bomba a@ade, al fluEo 12 ', L ul es la fuer=a ori=ontal que desarrolla el fluEo sobre el soporte &M &espreciar las p8rdidas.
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre el recipiente y Boquilla. #ntre los puntos 1 y 2.
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 2 g γ γ
V 22 + + h12 2 g Di+ura del problema 21
&onde: P1 0, "1 0, '1 ≅ 0, P2 0, h12 0
Ep
=
V 22 0.0$26Q 2
2 g
=
D 4
+ Z 2
3 adems:
Ep
=
Pot Qγ
=
(12CV ) ( 1000Q
=
0.% Q
Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:
0. % Q
=
0.0$26Q 2 0.14
+2
$26) H 2 < 0.% 0 Iesolviendo el polinomio obtenemos 0.0%1 m )*se+ Iesolviendo solo para el eEe (
donde '1 ≅ 0 ∑ D ϕ'2 < '1/ ∑ D Dp1 H Dp2 H D& ϕ'2 &onde: Dp1 Dp2 0
D& ϕ*-2/ ϕ2*-2
( 0.0%1) 2 -D = 2 %.$1 π ( 0.1) 1000
4
7D = 11".38 5g. Problema 22. #l a+ua entra en una tuber9a desde un recipiente de +randes dimensiones y despu8s de abandonarla incide sobre un labe deflector que desv9a el corro a %0F, se+An se muestra en la fi+ura. Si sobre el labe deflector se desarrolla un empuEe ori=ontal de 100 G+., L ul es la potencia en caballos de 'apor, desarrollada por la turbina si antes de la misma la presi7n es de ) G+*cm2M
Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 γ 2 g γ
V 22 + + Et + h12 2 g
Di+ura del problema 22
#l t8rmino de ener+9a de la turbina #/, se coloca al lado dereco de la ecuaci7n de Bernoulli, debido a que la turbina le quita la ener+9a al a+ua, la cul se transforma en electricidad a trav8s de un +enerador el8ctrico. &onde: "1 "2, '1 '2, P2 0, h12 ≅ 0 Sustituyendo
)0 # Pot γ # #n este problema se nos da el +asto en forma indirecta para el calculo de la potencia ∑D? 100 G+. 'Sal 0 ∑D? <100 ϕ'Sal < '#nt / <100 < ϕ*-/ < ϕ2*-
Q2 γ * g π ( 0.1 ) 2
+ 100 = 0
4 < (6$.44 2 H 100 0 0.1)2 m)*se+ Pot γ # 0.1)2/1000/)0/ )%60 G+. m*se+. PotT%rb*,a = #2.8 C&
Problema 23. alcular la fuer=a que produce el fluEo de a+ua sobre la curva y la boquilla mostrados en la fi+ura! el a+ua abandona la boquilla como un corro libre. #l volumen interior del conEunto del codo y la boquilla es de 11 lt. y todo el conEunto est contenido en el plano ori=ontal.
Para conocer la respuesta del problema es necesario conocer '1, P1, '2, P2! Sabemos que: '1 1. m*se+.
Q
= V 1 A1
π ( 0.)) 2 = 1. 4
m) = 0.106 seg .
Di+ura del problema 2)
Por lo tanto:
V 2
0.106
=
π ( 0.1 )
2
m
=6
seg .
4 P1 1 G+.*cm2 1?104 G+.*m2 - 1
= P 1 A1 = 1 *10
4
π ( 0.)0) 2 = (06.$Kg . 4
D2 P2.-2 0, esto es debido a que P 2 0, ya que el punto 2 se encuentra baEo la presi7n atmosf8rica.
∑D Dp1 H Dp2 H Dcodo H W Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/ < W Dcodo <(06.$, 0, 0/ H 0, 0, 0/ H γ *+/ 424.11/ J)).(4os4>, 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K 0, 11, 0/ 7coo = 9"8".'5g: 911#5g: 0)
Problema 24. 5na tuber9a ori=ontal de 6 m de dimetro tiene un codo reductor que conduce el a+ua a una tuber9a de 4 m. de dimetro, unida a 4> de la anterior. Ca presi7n a la entrada del codo es de 10 G+.*cm 2 y la velocidad de 1 m*se+. &eterminar las componentes de la fuer=a que an de soportar los anclaEes del codo y el peso del l9quido dentro del mismo.
Para resolver este problema necesitamos conocer '1, P 1, '2, P2, por lo que planteamos una ecuaci7n de Bernoulli para determinar P2:
P 1
γ
+ Z 1 +
V 12 2 g
=
P 2
γ
+ Z 2 +
V 22 2 g
+ h12
&onde: "1 0, "2 0, 12 ≅ 0
P 2
=
γ
1*10 1000
+
(1) 2 1%.6
( )).(4 ) 2
−
1%.6
P2 )410 G+.*m 2 #l +asto esta dado por:
( ) 2 = 1 π 6 4
Q
m) = 424 . 11 seg .
Por lo tanto:
V 2
=
424.11 π ( 4 )
4
2
= )).(4
m
seg .
Di+ura del problema 24
- 1 - 2
π ( 6 ) 2 = 1 *10 = 2$2(4)).)% Kg . 4 π ( 4 ) 2 = )410 = 6(116% .$ Kg . 4
Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/ Dcodo <2$2(4)).)%, 0, 0/ H 6(116%.$os4>, 0, 6(116%.$Sen4>/ H γ *+/424.11/J)).(4os4>, 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K Dcodo <1%6%%01 G+., 0 G+., 10601$.)4 G+./ 7coo = 91'!'.' To,: 0 To,: 1#0!.02 To,.)
Problema 2#. &eterminar la velocidad media y los coeficientes α y β en un conducto cil9ndrico donde se produce: a/ un escurrimiento laminar cuya distribuci7n de velocidades si+ue la ley
v vma? J1<r*I/K b/ 5n escurrimiento turbulento cuya distribuci7n de velocidades si+ue la ley
v vma? 1
Di+ura del problema 2
?ol%c*+, a) Ca velocidad media es
V
=
π *1
r 2 ∫ 0 v /A0 1 − 1 2π rdr =
1
1 2
v /A0 2
Ca ley de distribuci7n de velocidades se escribe en la forma: v V
r 2 = 2 1 − 1
#l coeficiente α α
=
1
$ π 1
2
2
r ∫0 1 − 1
)
r 2 − 2 rdr 2π rdr = − $ ∫ 1 − = 2 2 1 1 0 1
#l valor apro?imado de β es
β 1 H 2 1/*) 1.)) ?ol%c*+, b) Ca velocidad media ', resulta de su definici7n, a saber: 1
π 1
2
V
= 2π ∫ vrdr 0
donde r I < )2 dr $d ). Naciendo caso omiso del si+no menos, se tiene que: 1* (
1
) π 1 V = 2π v /A0 ∫ ( 1 − ) ) 1 0 2
6 * ( 1 * ( ) $ * ( d) = 2π v /A0 ∫ 1 ) − 11 * ( 0 1
d)
resolviendo la inte+ral resulta as9:
' 4%*60/ vma? Ca ecuaci7n de distribuci7n de velocidades puede e?presarse como
v V
60 )
1* (
= 4% 1
#l coeficiente de oriolis α resulta de
α =
1
π 1 2
)
)*(
60 ) ∫0 4% 1
1
)
60 2π rdr = 2 4%
1 1 2
)*(
) ∫ 0 ( 1 − ) ) 1 1
d)
α 1.06 #sto es, un valor pr7?imo a 1. el valor apro?imado de β es
β 1 H 1.06 1 / * ) 1.02 Problema 2!. #l empuEe & en la direcci7n del fluEo sobre la pila cil9ndrica de dimetro d , construida en un canal de anco a donde el fluEo tiene una velocidad uniforme '0 en la secci7n 1<2, se puede determinar indirectamente midiendo la distribuci7n de velocidades en una secci7n 2<4, a+uas abaEo y pr7?ima a la pila, tal como se muestra en la Di+ura. Ca ener+9a sin considerar p8rdidas/ se supone constante al pasar de la secci7n 1<) a 2<4
a/ &eterminar la ma+nitud de ese empuEe & sobre la pila por unidad de lon+itud de la misma, atendiendo a las modificaciones que sufre la distribuci7n de velocidades. b/ &efinido e coeficiente de arrastre por la ecuaci7n:
& & * X ρ v0 d3
alcular su ma+nitud en t8rminos de d4a y el valor que tendr9a s9 d4a $$5 0.
Di+ura del problema 26
?ol%c*+, a) &e acuerdo con la ecuaci7n de continuidad se debe satisfacer que
v 0 a v 1 a$ 4d / H 2 v 1 d
v1
v0 2d
=
1−
a
Ybviamente, la velocidad media en las secciones 1<) y 2<4 debe ser la misma, es decir:
'vo y el +asto por unidad de profundidad: v0 a Para la secci7n 1<) la presi7n media es p 0 y lo coeficientes α β 1. por tener la distribuci7n uniforme de velocidades. Para la secci7n 2<4 la presi7n media es p y los coeficientes α y β, distintos de uno, por lo cual es necesario calcular el valor. Para la =ona central la velocidad se distribuye se+An la ley lineal si+uiente:
v0
v 0 *
=
2 d 1 −
y para las =onas laterales es constante, es decir, de valor:
v
2 d
=
a
v0
1−
2d . a
Iesulta ms sencillo calcular primero O como veremos: 2 2 2d a*2 v 0 * v0 2 d* + ∫ d* β = ∫ 2 d 2d a 0 2d v 2v 0 d 1 − 0 1 − a a
#fectuada la inte+raci7n con los l9mites se@alados, resulta entonces que
β =
1 2 2 d 4d a 1 − a 2
2
∫
2d
0
* 2 d* +
a*2
∫
2 d
d*
β =
)−$
)1 −
d
a 2 2 d
a
por lo tanto el valor apro?imado de α es: α )β < 2 5sando la ecuaci7n de la ener+9a con la ∑ hr 0/, aplicada entre las dos ecuaciones, se tiene a
p o γ
+
v0
2
2 g
v0
γ
2 g
= + α
p = p0 + ρ
2
p
v0
2
2
(1 − α )
y de aqu9 : Dinalmente, de la ecuaci7n de la cantidad de movimiento, aplicada en la direcci7n del fluEo y al mismo ', se tiene lo si+uiente:
p 0 a pa −
-
−
D
ρ v0 a( β v0 v0 )
=
−
sustituyendo el valor de p, calculado anteriormente, resulta
p0 a − p0 a − ρ
v0
2
2
a(1 − α ) − - D
= ρ v0 2a( β − 1)
o bien
α 1 − - D = ρ v0 2 a β − − 2 2 y con alfa )O < 2, se obtiene
1 1 − - D = ρ v0 2 a − β 2 2 Substituyendo aora O, calculado anteriormente, y aciendo las simplificaciones necesarias, se tiene finalmente el empuEeZ
d 1− ) 2 2 a - D = ) ρ v0 d 2 2d 1 − a ?ol%c*+, b)
&e acuerdo con la definici7n indicada para el coeficiente de arrastre, 8ste vale
1 − ) d 4 a C D = ) 2d 2 1 − a
Si d4a $$5 0, esto es, si el anco a es muy +rande, entonces
4 C → ) D
- D →
2 )
2
ρ v0 d
CAPITULO 8 Problema 1. -+ua a 10> es for=ada a fluir en un tubo capilar &0.$mm y (0m de lon+itud. Ca diferencia de presiones entre los e?tremos del tubo es de 0.02 G+*cm2. &eterminar la velocidad media, el +asto y el numero de Ieynolds para ν 0.01)) cm2*se+.
#n este problema se maneEa un tubo ori=ontal de dimetro constante, implica que " 1"2, por lo tanto ' 1'2.
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 γ 2 g γ
V 22 + + h12 2 g
kg 2 P 1 − P 2 m = h12 = kg γ 1000 m) 200
= 0.2 mts de columna de agua
Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el coeficiente de fricci7n, y como se nos da viscosidad se usara &arcy.
7
6 V 2 D 2 g
= 0.2 mts
aora bien el coeficiente de friccion se calculara con f 64* I debido a que se supone que es un fluEo laminar es decir con numero de Ieynolds menor de 2000. Por otra parte el I se calculara con la formula I '&/ * ν. #ntonces sustituyendo en nuestra ecuaci7n de perdidas lo pasado tenemos que:
64 6 V 2
= 0.2
8r D 2 g 2
64 6 V VD D 2 g
= 0.2 =
64 V 6 v 2 g D 2
ν
sustituyendo valores obtenemos
641.)) *10 −6 /(0/V 0.$ *10 − ) / 2 1%.62/
= 0.2
despeEando la velocidad no queda que es &=4.21094 m/s o bien 0.042 cm/s. Por ultimo el +asto y el numero de Ieynolds se calculan con '0.042 cm*s.
0.0$2 π ) Q = A V = 4 0.042 = 0.0002cm * s . 8r =
VD υ
=
0.042/0.0$/ 0.01))
= 0.226
Problema 2. 5n enfriador de aceite consiste de tubos de 1.2 cm de dimetro interior y ).6 m de lon+itud. #l aceite, con un peso espec9fico de %00 G+*m ), es for=ado a una velocidad de 1.$) m*se+. #l coeficiente de
viscosidad a la entrada es 0.2$ poises y, a la salida, de 1 poise! puede considerarse que dico coeficiente var9a como una funci7n lineal de la lon+itud. &eterminar la potencia requerida para for=ar el aceite a trav8s de un +rupo de 200 tubos semeEantes en paralelo. Para empe=ar debemos convertir las unidades al sistema t8cnico:
µ = 0 .2$ po&ses
=
µ = 1 po&se =
1
0.2$ %$ .1
%$.1
. = 0.002$4 Kg seg 2 m
= 0.0101%)
Kg . seg . m
2
#stimaci7n de la densidad:
γ
ρ =
=
g
%00 Kg . * m) %.$1 m * seg 2
= %1.(4)
Kg . seg 2 . m4
ν =
alculamos las viscosidades cinemticas de entrada y salida
ν Entrada =
ν Sal&da =
0.002$4 %1.(4)
0.0101%) %1.(4)
m
= ).110$ * 10−
= 1.111 * 10− 4
µ ρ
2
seg .
m
2
seg .
Ybtenemos el coeficiente de fricci7n de entrada y de salida
7 =
64 8r
=
64 V D
=
64ν V D
ν −
=
7 Entrada 7 Sal&da
=
64 ).110$ * 10 1.$) 0.012 −4
64 1.111 * 10
1.$) 0.012
= 0.0$(0) = .)10$4
f + C/ 7 #ntrada H J 7 Salida < 7 #ntrada/ * ).6 K C um8ricamente resulta: f + C/ 0.0$(0) H 0.061)2 C
&ebido a que la viscosidad va cambiando Eunto con la trayectoria, nos vemos obli+ados a usar diferenciales para obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que h ).6
h
=
∫
).6
dh 7
=
0
).6
h
=
∫
∫ 0
g 6 /
d6 V
= 7
6 V 2 D 2 g
2
D 2 g
0.0$(0) + 0.061)2 6/ 1.$)/ 2
0
h %.%1) mts
0.012/ 1%.62/
d6
:
- ' 1.22(2 ? 10<4 / 1.$)/ 2.24(?10<4 m)*se+. #p Pot = 200 Q γ Ep
=
−4
200 2.24( * 10
/ %00/ %.%1)/
=
400.$022
Kg . m seg
Pot = #.23' . P.
Problema 3. -+ua a > es bombeada a un tubo de cobre, liso, a una velocidad de 1.) m*se+. Si el tubo tiene 2. cm. &e dimetro y 46 m. de lon+itud, calcular la diferencia de presiones requeridas entre los e?tremos del tubo! use la f7rmula de iVuradse, para tubos lisos.
Primero calculamos el nAmero de Ieynolds y posteriormente el coeficiente de fricci7n:
8r =
7 =
V D υ
=
(1.) m * seg .)( 0.02m) 0.000001)m 2 * seg .
= 2%42).0(
1.)2
.(4 − ln 8r 0.%
2
7 = 0.02) &e donde f 0.02)6, sustituyendo en &arcy:
h
=
46 m (1.)m * seg .) 0.02)6 0.02 m 2 g
2
= .1$m
h = #.18 mts.
Problema 4. -ceite, con peso especifico de $00 G+*m ) y con una viscosidad cinemtica de 0.1$$ cm 2*se+., se bombea a un tubo de 0.1 m de dimetro y )00 m de lon+itud. a/ #ncontrar la potencia requerida para bombear 12( m)* . b/ si el aceite se calienta asta que su viscosidad cinemtica sea de 0.01$$ cm 2*se+, determinar la potencia aora requerida< para bombear la misma cantidad de aceite que antes.
Para resolver este problema es necesario determinar primero el nAmero de Ieynolds, mediante el +asto podemos determinar la velocidad:
' * - J12( m )*/1 * )600se+./K * 0.01$ 1.%% m *se+.
8r =
V D υ
=
(1.%% m * seg .)( 0.1m ) 0.00001$$m 2 * seg .
= 1606.66
&ado la ma+nitud del nAmero de Ieynolds utili=amos la formula de S[amme para encontrar 7 : 8r 7 1 = 2 lo+ 2.1 7 sustituyendo valores: 1 7
= 2 lo+
(1606.66 ) 2.1
7
&e donde f 0.02() Sustituyendo en &arcy:
h
)00 m (1.%% m * seg .)
= 0.02()
0.1 m
2
= 112.04 m
2 g
Pot γ 0.0)) m )*se+./$00 G+*m )/112.04 m/ )164.01 G+ . m*se+.
Pot )164.01 G+. m*se+./1 Np * (6. G+. m *se+./ 41.)6 Np Pot = 41.3! Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:
8r = 1 7
v D υ
=
= 2 lo+
(1.%% m * seg .)( 0.1m ) 2
0.000001$$m * seg .
(16066.6 )
= 16066.6
7
2.1
&e donde f 0.016) h
= 0.016)
)00m (1.%%m * seg .) 0.1m
2 g
2
= 6(.0$ m
Pot γ 0.0)) m )*se+./$00 G+*m )/6(.0$ m/ 1$%4.)4 G+.m*se+. Pot = 24."! .
Problema #. &eterminar el dimetro de la tuber9a vertical necesaria para que fluya un l9quido, de viscosidad cinemtica v 1. ? 10<6 m2*se+, con nAmero de Ieynolds de 1$00.
Planteando una Bernoulli obtenemos que las p8rdidas son:
h
=
64 6 V 2 V D D 2 g ν
omando en cuenta que h C y simplificando todo lo anterior resulta: h 64 ν V =1= 6 2 g D 2 en donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que r 1$00 y por lo tanto la velocidad la deEamos en t8rminos del r.
8r =
V D
ν
!
V =
8r ν D
= 1$00
ν
D
Sustituyendo la velocidad en la ecuacion anterior tenemos:
1 11200 v / * 2 + &)/ &espeEando el dimetro tenemos
& 2.)6 ? 10<) m D = 0.23! cm
Problema !. alcular el +asto que fluye en el sistema indicado en la fi+ura, despreciando todas las p8rdidas e?cepto las de fricci7n
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 . γ 2 g γ
V 22 + + h12 2 g
#n donde: P1 P2 0, '1 '2 0, "2 0 Por lo que: 12 6
h
5sando la ecuaci7n de &arcy: Sabemos que: f 64 * r
y
= 7
6 V
2
D 2 g
adems r '.& * v
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy obtenemos:
h
=
64 v 6V 2 g D 2
Di+ura del problema 6
=6
#s necesario determinar el valor de v para poder obtener el valor de la ', y para ello conocemos lo si+uiente:
v µ*ϕ
y que ϕ γ *+
Sustituyendo valores:
ϕ $00*%.$1 $1.
y adems
µ 0.1 * %$.1 0.001
Por lo que:
v 0.001*$1. 0.0000122 Sustituyendo en la ecuaci7n de p8rdidas:
h =
( 64 )( 0.000012 )( 4.$ )V (1% .62 )( 0.006 ) 2
&espeEando: ' 1.1)2 m*se+. Por lo que el +asto:
$ = 0.032 ls
Problema ". uando el +asto de a+ua en un tubo liso dado es de 114 lt*se+., el factor de fricci7n es 7 0.06 L u8 factor de fricci7n se esperar9a si el +asto aumenta a 6$4 lt*se+.
7 64 * r R I 64 * 7 64 * 0.06 106( \ 2000 ∴fluEo laminar Si el +asto es seis veces mayor: 114 ? 6 6$4 lps Podemos esperar que: r 6400 , es decir, seis veces mayor que el ori+inal. on el dia+rama de ;oody para tubos lisos:
f = 0.03#
Ytra manera de calcularlo es utili=ando la formula de Blasiss:
0.)164
7 =
0.2
8r
=
0.)164 6400
= 0.0)
0.2
Problema 8. -+ua sale de un tubo ori=ontal nuevo fierro fundido/ de 0.)0m de diametro. Para determinar la ma+nitud del +asto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141 V+*cm2. #stimar el +asto.
Para poder estimar el +asto, se tiene que las perdidas serian las si+uientes:
h
=
P 1 − P 2
γ
P 1410 kg * m 2 ∆ = = )
γ
1000 kg * m
h 1.41m -ora planteando la ecuacion de perdidas por Na=en Williams, se tiene el +asto si+uiente:
h
10 .64 . = 1.$2 64.$( Q1.$2 C . D
Q
h.C 1.$2 . D 4.$( 1.$2 = 10.64. 6
1
#n donde 1.41m, N1)0, &0.)0 y C610, por lo tanto el +asto seria $ = 0.0!02 m3/s.
Problema '. #l fluEo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61 m*se+. &eterminar la velocidad m?ima al centro del tubo con: a/ I1000. b/ I 10
a/
&ebido a que en este inciso nos encontramos con un fluEo laminar usaremos la si+uiente ecuacion e?puesta con anterioridad:
V
=
v /A0 2
Por lo tanto:
v /A0
= 2V = 2 0.61m * seg . = 1.22m * seg .
b/ Para este caso, dado el nAmero de Ieynolds, es necesario recurrir a la si+uiente formula:
v /A0 V
= 1 + ).(
7 + 2. 7 6n 1 − r 1 $ $
y I
v /A0 V Si r I:
= 1 + ).(
7 $
+ 2 .
7 1 − 0 6n 1 $
v /A0 V
7 $
= 1 + ).(
+ 2 .
7 1 − 1 6n 1 $
I 0, lo cual nos indica el lu+ar donde se presenta la velocidad m?ima ' v ;-Q /, por lo que obtenemos finalmente:
v /A0 V
7 = donde:
= 1 + ).(
7 $
1.)2
∈ .(4 − 6n ).( D + 8r 0.%
2
#l valor de ∈ se tom7 como cero, debido a que se esta trabaEando con un tubo liso.
7 0.0116 Sustituyendo:
v /A0
= 1 + ).(
0.61
0.0116 $
&ma = 0.!'" m/seg
Problema 10. #n una prueba reali=ada con una tuber9a de 1cm de dimetro se a medido una diferencia manometrica de )0mm, en un man7metro de mercurio conectado a dos anillos pie=ometricos, separados 0m. #l +asto era de )000 lt*min, esto equivale a 0.0 m )*s. Lul es el factor de fricci7n 7 M
Para dar soluci7n a este problema se tiene que la ecuaci7n de perdidas es la si+uiente: h
= 7
6 V 2
D 2 g
donde C0m, &.1m, y la velocidad y las perdidas se calcular9an de la si+uiente manera: omo el +asto es de 0.0 m )*s y el &.1m, se tiene que la velocidad seria '*- y esto seria i+ual a 2.$2m*s. -ora, si sabemos que el peso especifico es i+ual a 1)600 V+*m ), la presi7n del mercurio seria la si+uiente:
P 1)600 V+*m )/.)0m/ 4(60 V+*m 2 por lo que se tiene que P*γ 4.(6m estas serian las perdidas. sustituyendo y despeEando la ecuaci7n de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que
7 =
hD.2 g 6V 2
=
4.(6/0.1/1%.62/ 0/2.$2/ 2
= 0.0)
Problema 11. &eterminar la p8rdida de ener+9a que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una velocidad de m*se+ en una tuber9a de 12 mm de dimetro, v 4 ? 10<6 m2*se+.
#l nAmero de Ieynolds esta dado por:
I ' & / * v m*se+ 0.012 m/ * 4 ? 10<6 1000 alculo del factor de fricci7n:
7 =
1.)2
∈ .(4 − + 6n ).( D 8r 0.%
2
Para la obtenci7n del valor del factor de fricci7n, con la anterior ecuacion, se tom7 la si+uiente consideraci7n: ∈ 0, ya que se trataba de un tubo liso.
7 =
1.)2
.(4 − 6n 8r 0.%
2
7 0.02$ Sustituyendo en la ecuacion de p8rdidas de &arcy:
6 V 2 h = 7 D 2 g
=
1000 2 0.02$ 0.012 1%.62
= 2%().16 m
h = 2'"3.1! m
Problema 12. L u8 dimetro de tuber9a de fierro +alvani=ado para que sea idraulicamente lisa para un nAmero de Ieynolds de ). ? 10 , la tuber9a de fierro +alvani=ado tiene una ru+osidad absoluta de ∈ 0.1 mmM
#n el &ia+rama de ;oody para un r ). ? 10, y para un tubo liso obtenemos:
∈
D
= 0.0002
Sustituyendo y despeEando:
D
=
0.1mm 0.0002
= (0 mm
D = "#0 mm Problema 13. L ul ser el dimetro de una tuber9a nueva de fierro +alvani=ado, para que ten+a el mismo factor de fricci7n para I e 10 , que una tuber9a de fierro fundido de )0cm. de dimetroM
Para una tuber9a nueva de fierro fundido: ∈ 0.2 mm! con los datos anteriores calcularemos el factor de fricci7n: 1 7
1 7
∈ 2.1 = − 2 lo+ + ) . (1 D 8r 7
0.0002 2.1 = − 2 lo+ + ( ) ) . (1 0 . ) 10 7
f = 0.01'
on el valor obtenido y la ru+osidad absoluta 0.1 mm/ del fierro +alvani=ado obtenemos el tama@o del dimetro:
1 0.01%
0.0001 2.1 = − 2 lo+ + ).(1 D 10 0.01%
D = 0.18# m.
Problema 14. alcular el factor de fricci7n para el aire, a presi7n atmosf8rica y a 1 > , que fluye por una tuber9a +alvani=ada de 1.2 m de dimetro, a velocidad de 2 m*se+. Ca viscosidad cinemtica del a+ua a 1 > es 16 ? 10 6, la cual, es necesaria para la estimaci7n del nAmero de Ieynolds.
8r =
V D v
=
( 2. m * seg .)(1.2m) 0.000016 m 2 * seg .
= 1$(000
Ca ru+osidad absoluta presenta una ma+nitud de 0.1 mm, sustituyendo: 1 7
1 7
= − 2 lo+ ∈ + 2.1 ).(1 D 8r 7
0.0001 2.1 = − 2 lo+ + ).(1(1.2) 1$(00
7
f = 0.013"
Problema 1#. alcular el dimetro de una tuber9a nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar )00 lt*se+. de a+ua a 2 > , a un Vm. de lon+itud y con una perdida de ener+9a de 1.20 m. Para este problema utili=aremos la ecuaci7n de Na=en<[illiams
h =
10.6( Ch
1.$2
6 D
4.$(
Q1.$2
#l coeficiente para una tuber9a nueva de fierro fundido es de 1)0, sustituyendo encontramos:
1.2 =
10.6( 1000 1)0
1.$2
D
4.$(
( 0.)00)
1.$2
&espeEando: D = 0.!4 m.
Problema 1!. -ceite, de viscosidad cinemtica v 2.(% cm 2*se+, fluye en un ducto cuadrado de ? cm. con una velocidad media de ).66 m*se+. a/ &eterminar la ca9da de presi7n por cada 100 m de lon+itud del conducto. b/ &eterminar la ca9da de presi7n por cada 100 m de lon+itud, si las dimensiones del ducto cambian a 2. ? 10 cm. c/ &eterminar la misma ca9da de presi7n, si el ducto tiene una secci7n trian+ular equiltera de 2. cm. de lado. Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre un punto a la entrada y otro a la salida:
P 1 V 12 P 2 + Z 1 + = + Z 2 γ 2 g γ &onde: "1 "2 y '1 '2
V 22 + + h12 2 g
Sustituyendo:
12 P1 P2/ * γ Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el dimetro y el radio idrulico: & 4 IN &onde:
=
1
Aducto P mo9ado
a/ Para solucionar este inciso calcularemos el rea y per9metro con los datos proporcionados.
-ducto 0.0m/ 0.0m/ 0.002 m 2 PmoEado 4 0.0/ 0.2 m Sustituyendo:
1 =
0.002m 2 0.2 m
= 0.012m
y & 4 0.012m/ 0.0 m
#stimaci7n del nAmero de Ieynolds:
8r =
V D
=
v
( ).66 m * seg .)( 0.0m) 0.0002(% m 2 * seg .
= 6.%1
alculo del factor de fricci7n:
7 =
64 8r
=
64 6.%1
= 0.0%(6
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para p8rdidas: h12
= 0.0%(6
100
( ).66) 2
0.0
2 g
h12
= 7
6 V
2
D 2 g
= 1)).2)m
12 = 123.23 b/ Para este inciso s7lo cambiamos las ma+nitudes de los lados
-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.002 m 2 PmoEado 2 0.02 H 0.1/ 0.2 m Sustituyendo:
1
=
0.002m 2 0.2m
= 0.01m
y & 4 0.01m/ 0.04 m
#l nAmero de Ieynolds:
8r =
V D v
=
( ).66 m * seg .)( 0.04m ) 0.0002(% m 2 * seg .
= 24.()
alculo del factor de fricci7n:
7 =
64 8r
=
64 24.()
= 0.122
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas:
h12
= 7
6 V 2 D 2 g
h12
= 0.122
100
( ).66) 2
0.04
2 g
= 20$.1$m
12 = 208.18 m
c/ #n este caso varia la forma en que se calcula el rea y per9metro, ya que se trata de un trin+ulo equiltero
-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.000)( m 2 PmoEado ) 0.02/ 0.0( m 0.000)(m 2 = 0.00m y & 4 0.00m/ 0.02 m 1 = 0.0(m #l nAmero de Ieynolds esta dado por:
8r =
V D
=
v
( ).66 m * seg .)( 0.02m) 0.0002(% m 2 * seg .
= 262.)(
alculo del factor de fricci7n:
7 =
64 8r
=
64 262.)(
= 0.244
Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas: h12
= 0.244
100
( ).66) 2
0.02
2 g
h12
= 7
6 V 2 D 2 g
= $)2.()m
12 = 832."3 m
Problema 1". 5tili=ando el dia+rama universal de ;oody dar respuesta a las si+uientes pre+untas: a/ L Para que tipo de fluEo la p8rdida de fricci7n varia con el cuadrado de la velocidadM b/ L ul es el factor de fricci7n para I e 10 en un tubo liso< para ∈*& 0.001 y para ∈*& 0.0001M c/ L Para qu8 ran+o del nAmero de Ieynolds, es constante el factor de fricci7n, en un tubo de fierro fundido y de 12 mm de dimetroM d/ Suponiendo que la ru+osidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de ) a@os, a tres veces su valor inicial, L tendr9a ello mayor efecto en la p8rdida en fluEo turbulento, para nAmeros de Ieynolds altos o baEosM e/ L Para qu8 tipo de fluEo 7 depende Anicamente de I eM f/ L Para qu8 tipo de fluEo 7 depende Anicamente de I e y ∈*&M +/ Si el factor de fricci7n es 0.06, para un tubo liso, L ul ser9a el factor de fricci7n para un tubo de ru+osidad relativa ∈*& 0.001, con el mismo nAmero de IeynoldsM / Co mismo para f 0.01.
a) b) c) ) e) -) g) )
T%rb%le,to T%bo l*so co, /D = 0.001 - = 0.018# co, /D = 0.0001 - = 0.022 e !.8 10 # >o te,rEa ,*,g;, e-ecto: or tratarse e %, -l%o t%rb%le,to Para -l%o lam*,ar t%rb%le,to ara t%bos l*sos Para el -l%o e, o e*ste - = 0.02 seg;, el *agrama e @oo
Problema 18. -ire a 1F fluye en un conducto rectan+ular de 61? 122 cm, fabricado con una lamina de aluminio liso a un +asto de 2(4 m)*min a/ &eterminar la ca9da de presi7n en 100 mts.
b/
&eterminar el dimetro necesario de un conducto cil9ndrico del mismo material para transportar este +asto con las mismas perdidas.
Para la soluci7n se supone que el tubo es colocado ori=ontalmente, entonces se procede a plantear una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales ay 100mts de lon+itud. 2 P 1 + Z 1 + V 1 = P 2 + Z 2 2 g γ γ
2
+ V 2 + h12 2 g
donde: "1 "2, '1 '2
=
h12
p1
− p 2
γ
#n este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la Anica ecuaci7n de p8rdidas que podemos utili=ar es la de &arcy 2 2 p1 − p2 6 V 6 V h12 = = 7 = 7 γ D 2 g 4 1 2 g &onde debemos reempla=ar el dimetro por el radio idrulico IN/, & 4 IN.
-&ucto 1.22/ 0.61/ 0.(44 m 2
Per9metro 2 1.22 H 0.61 / ).66 m
#l radio idrulico est definido como el cociente del rea y el per9metro moEado.
1
=
AD=C;<
PE1:/E;1<
=
0.(44 m 2 ).66 m
= 0.21)m
4IN 0.$2
V
=
Q A
=
( 2(4m
)
* m&n.)
2
0.(44m /60 seg /
= 6.1)m * seg .
Ca viscosidad cinemtica del aire a 1F es v 16 ? 10<6
r '& * v ' 4IN / * v J6.1)/ 0.$2/K * 16 ? 10 6 )26,422. Ybtenemos el coeficiente de fricci7n usando el valor de - para tubo liso
7 =
0 .)164 8r 0.2
=
0 .)164 )26422. 0.2
= 0.01)2
- continuaci7n calculamos las p8rdidas:
h12
= 0.01)2
100
( 6.14 ) 2
0.$2
2 g
= 2.%$ mts
P1 < P2 / * γ -TI# 2.%$ mts aora bien, como el aire se encuentra a 1>, se+An la tabla de la pa+ina 2) del Sotelo, el peso especifico del aire a esa temperatura es de 1.22 G+*m), lo que nos quedar9a de la si+uiente manera,
P1 < P2 1.22 G+*m)/2.%$mts/ ).6 G+*m 2 P1 9 P2 = 3.!# 5g/m2
Para poder dar soluci7n al inciso b, se tiene lo si+uiente, el tubo esta ori=ontal, por lo tanto la diferencia de presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por &arcy nos queda la si+uiente ecuaci7n,
h12
=
P 1 − P 2
= 7
6 V
2
D 2 g omo se debe de tener el mismo +asto y las mismas perdidas tenemos que
h12
=
γ
0.0$26 / 7 6Q 2 D
&onde se conoce, el +asto, las perdidas, la lon+itud y el coeficiente de fricci7n seria, 7 =
7 =
0.)164 81
⇒ 81 =
0.2
VD
υ
=
4Q
π υ D
0.)164 0.2
4Q D π υ
0.)164 / 0.)164 0.22 100/4.6/ 2 0.0$26 0.0$26/ 44.6 / 6 Q 0.2 4 Q 6 ) D π (16 *10 π D υ 2.%$ = h = 12
D
D
Por ultimo sustituyendo y resolviendo para & obtenemos que,
D = 0.'4 mts
Problema 1'. -+ua fluye con un +asto de 1(.1 lps en un tubo ori=ontal de 10mm de dimetro, el cual se ensanca asta un dimetro de )00mm. a/ #stimar la perdida la perdida de ener+ia entre dos tubos en el caso de ampliaci7n brusca.
Para la soluci7n del inciso - de este problema, de la ecuaci7n de continuidad se despeEa la velocidad para encontrarla.
V
=Q= A
4Q
π D
2
=
40.01(1/
π 0.)/
2
= 0.242 m seg
por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliaci7n seria la si+uiente: 2
D2 2 V 22 h = 2 − 1 D 1 2 g esta sur+e de la ecuaci7n $.1( de la pa+ina 2%% del Sotelo -vila. Por lo tanto nuestras perdidas serian:
0.)1/ 2 h= − 1 2 0 . 1 /
2
0.242/ 2 1%.62
= 0.026% m
CUACIO> D F>OULLI Ca ecuaci7n de Bernoulli se desarrolla como una aplicaci7n particular de la tercera ley de e[ton sobre una tuber9a cil9ndrica, anali=ando las fuer=as que intervienen en el desli=amiento de a+ua en este se+mento del tubo. -l acer un corte del tubo en la secci7n 1 y 2 debemos considerar las fuer=as de presi7n que actAan en las tapas del cilindro adems, tenemos el peso del a+ua, en particular la componente del peso paralela al eEe del cilindro! y por Altimo la fuer=a de ro=amiento del a+ua contra las paredes del cilindro, esto se muestra en la si+uiente fi+ura:
#l anlisis dinmico de las fuer=as nos indican:
D1 D2 H Wsin θ < Df m a D1 P1 - , D2 P2 Wsinθ 'ol. γ Sinθ - d6 γ Sinθ dC Sinθ "1 "2 WSinθ - γ "1 "2/ Df τ -c τ : esfuer=o de ro=amiento -c : es la rea donde el a+ua contacta con la pared del tubo
-c Per d6 Per Per9metro π & Df τ Per d6 m W * + masa del a+ua Sustituyendo en 1/
P1 - P2 - H - γ "1 "2/ < τ Per d6 W*+ a
