SI-2201 Metode Numerik Solusi Numerik Persamaan Diferensial Kamis, 3 April 2014 (minggu 13) (Dr. Dhemi arlan, S!, "!, "S#)
1. Metode Euler
Persamaan $ifferensial or$e sa%u $apa% $i%ulis $alam &en%uk eksplisi% se&agai &eriku%
dy dx
(1)
Sua%u permasalahan nilai a'al %er$iri $ari persamaan $ifferensial $an sua%u kon$isi solusi ang harus memenuhi. Ki%a $apa% meninau permasalahan nilai a'al $alam &en%uk
dy dx
= f ( x, y )
= f ( x, y )
,
y ( x0 )
= y0
(2)
"e%o$e ang $igunakan a$alah me%o$e i%erasi. Ki%a mulai $ari 0 * (+0). Pa$a %ahap per%ama ki%a hi%ung nilai perkiraan 1 $ari solusi pa$a persamaan (2) pa$a + * + 1 * +0 h . Pa$a %ahap ke$ua ki%a hi%ung nilai perkiraan 2 $engan solusi pa$a + * +2 * +0 2h, $an se%erusna. Disini h a$alah se&uah &ilangan %e%ap, se&agai #on%oh 0,2 a%au 0,1 a%au 0,01.
Kemiringan f(+1 , 1) Kemiringan f(+0 , 0)
1
2
0 h
+0
h
+1
+2
-am&ar 1 Skema me%o$e /uler
+
Dalam masingmasing %ahap perhi%ungan $ilakukan $engan formula ang sama. ormula seper%i ini $i&erikan oleh $ere% !alor $i&a'ah
y ( x + h )
2 dx
2
+
(3)
= y ( x ) + hf ( x, y ) +
h 2 df ( x, y ) 2
dx
(4)
+
a%au
y ( x + h ) •
dx
+
h 2 d 2 y
Su&s%i%usi persamaan (2) ke $alam persamaan (3), sehingga persamaan mena$i
y ( x + h )
= y ( x ) + h
dy
= y ( x ) + hf ( x, y ) + O( h 2 )
n%uk nilai h ang ke#il, pangka% le&ih %inggi h 2 , h3 , $alam persamaan (4) akan sanga% ke#il, sehingga persamaan (4) mena$i &en%uk pen$eka%an ang le&ih singka%
y ( x + h )
= y ( x ) + hf ( x, y )
()
Dalam %ahap per%ama, un%uk
y1
ki%a hi%ung
= y ( x2 ) = y ( x0 + 2h )
ki%a hi%ung
= y0 + hf ( x0 , y0 )
Dalam %ahap ke$ua, un%uk
y2
= y ( x1 ) = y ( x0 + h )
y1
y2
= y1 + hf ( x1 , y1 )
Dengan #ara ang sama $ilakukan un%uk %ahap &eriku%na, sehingga &en%uk persamaan i%erasi se#ara umum
yi +1
= yi + hf ( xi , yi )
un%uk
i * 0, 1,
(5)
Persamaan (5) $ikenal $engan me%o$e /uler a%au /uler6au#h. Se#ara geome%ri, me%o$e ini a$alah pen$eka%an kur7a (+) $engan poligon ang mempunai garis per%ama a$alah %angen %erha$ap kur7a pa$a + 0 (-am&ar 1).
•
"e%o$e ini $ise&u% me%o$e or$e per%ama, karena $alam persamaan (3) ki%a hana mengam&il suku kons%an $an suku ang mengan$ung pangka% per%ama $ari h. Penghilangan suku &eriku%na $alam persamaan (3) mene&a&kan sua%u error, ang $ise&u% %run#a%ion error $ari me%o$e %erse&u%.
6on%oh 1 Selesaikan persamaan $ifferensial &eriku% un%uk menggunakan h * 0,1
dy
−
dx
1 2
y=0
,
y ( 0)
0 ≤ x ≤1
=1
-unakan me%o$e /uler.
Solusi8
-unakan persamaan () un%uk i * 0, ki%a $apa%kan
y1
= y0 + hf ( x0 , y0 ) = 1 + 0,1 f ( 0,1)
Nilai fungsi
f ( x0 , y0 )
f ( 0,1) $ie7aluasi se&agai &eriku%
=
1 2
y0
1
1
2
2
= (1) =
Selanu%na nilai fungsi pen$eka%an pa$a + 1 * h * 0,1 $i%en%ukan se&agai
1 y1 = 1 + 0,1 = 1,05 2
9e&ih auh, un%uk i * 1, $i$apa% ,
y2
= y1 + hf ( x1 , y1 ) = 1,05 + 0,1 f ( 0.1,1.05)
$imana
f ( 0.1,1,05) •
=
1 2
y1
1 = (1,05) = 0,525 2
Se&agai konsekuennsi, nilai fungsi pen$eka%an $ihi%ung pa$a + 2 * 2h * 0,2 mena$i
y2
= 1,05 + 0,1( 0,525) = 1,1025
•
Prose$ur $ia%as $i%erapkan un%uk i * 2, , : un%uk mem&erikan nilai pen$eka%an fungsi 3 , , 10 . Selanu%na &an$ingkan $engan solusi anali%ik ang $i&erikan $g persamaan * e +;2
•
n%uk akurasi ang le&ih &aik $apa% $ilakukan $engan mengurangi in%er7al h.
Tabel 1 – Perhitungan dengan Metode Euler untuk h = 01 i
xi
yi
f(xi , yi)
yi+1 (Euler) yi+1 (eksak)
0
0.0
1.0000000 0.5000000 1.0500000 1.0512711
1
0.1
1.0500000 0.5250000 1.1025000 1.1051709
2
0.2
1.1025000 0.5512500 1.1576250 1.1618342
3
0.3
1.1576250 0.5788125 1.2155063 1.2214028
4
0.4
1.2155063 0.6077531 1.2762816 1.2840254
5
0.5
1.2762816 0.6381408 1.3400956 1.3498588
6
0.6
1.3400956 0.6700478 1.4071004 1.4190675
7
0.7
1.4071004 0.7035502 1.4774554 1.4918247
8
0.8
1.4774554 0.7387277 1.5513282 1.5683122
9
0.9
1.5513282 0.7756641 1.6288946 1.6487213
10
1.0
2. Metode Euler Modi!ika"i #Metode $eun%
Dengan menam&ah suku $alam persamaan (3) ke$alam perhi%ungan ki%a menen%ukan me%o$e numerik $engan or$e $an akurasi ang le&ih %inggi.
Dalam me%o$e eun, suku %urunan per%ama $an ke$ua $alam $ere% !alor $iper%ahankan, ang mem&erikan persamaan
yi +1
= yi + hf ( xi , yi ) +
2
(<)
dx
Suku ke$ua pa$a persamaan (<) $apa% menggunakan pen$eka%an %urunan mau &eriku%
df ( xi , yi ) dx •
h 2 df ( xi , yi )
=
f ( xi +1 , yi +1 ) − f ( xi , yi )
(=)
h
Su&si%usi persamaan (=) ke persamaan (<), maka
yi +1
= yi + hf ( xi , yi ) +
h 2 f ( xi +1 , yi +1 ) − f ( xi , yi ) 2
h
a%au $ia%ur kem&ali mena$i
yi +1
h
= yi + ( f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , yi +1 ) ) 2
f ( x , y
(:)
)
•
i i $engan mu$ah $ie7aluasi. Se#ara elas, %urunan pa$a + i , semen%ara %urunan pa$a + i1 , f ( xi +1 , yi +1 ) $apa% $ihi%ung $engan nilai pen$eka%an i1 menggunakan me%o$e /uler ang &erikan pa$a persamaan (5) . Nilai pen$eka%an selanu%na $igunakan un%uk menghi%ung nilai ang $iup$a%e pa$a persamaan (:).
•
Pa$a $asarna, "e%o$e /uler mo$ifikasi a$alah %eknik se$erhana pre$i#%or#orre#%or, karena $i se%iap langkah $i%en%ukan nilai $engan menggunakan persamaan (5) $an selanu%na mengoreksina $engan persamaan (:) ."e%o$e $igam&arkan pa$a -am&ar 2.
•
"e%o$e /uler &iasana $ina%akan le&ih mu$ah se&agai &eriku%
•
yi +1
$imana
k 1 = hf ( xi , yi )
"e%o$e eun
yi +1
= yi + k 1 1
= yi + ( k 1 + k 2 ) 2
$imana
k 1 = hf ( xi , yi )
>
k 2
= hf ( xi +1 , yi +1 ) (10)
1
0 h;2
+0
h;2
+1
-am&ar 2 Skema me%o$e eun
+
6on%oh 2 Selesaikan persamaan $ifferensial &eriku% un%uk menggunakan h * 0,1
dy
−
dx
1 2
y=0
,
y ( 0)
0 ≤ x ≤1
=1
-unakan me%o$e eun.
Solusi8
Dimulai $engan menghi%ung fak%or k 1 menggunakan persamaan (10) un%uk i * 0 -unakan persamaan () un%uk i * 0, ki%a $apa%kan
1 1 k 1 = hf ( x0 , y0 ) = h y0 = 0,1 = 0,05 2 2
-unakan persamaan (10), hi%ung k 2
k 2
y + k 1 + 0,05 = 0,0525 = hf ( x1 , y0 + k 1 ) = h 0 1 = 0 ,1 2 2
Pen$eka%an fungsi pa$a + 1 * 0,1 (i * 1) $i&erikan langsung $engan persamaan (10), ai%u
y1
1
1
2
2
= y0 + ( k 1 + k 2 ) = 1 + ( 0,05 + 0,0525) = 1,05125
Selanu%na pa$a + 2 * 0,2, ki%a $apa%kan
1 1,05125 , k 1 = hf ( x1 , y1 ) = h y1 = 0,1 = 0,0525625 2 2
k 2
y1 + k 1 + 0,0525625 1,05125 = hf ( x2 , y1 + k 1 ) = h = 0 , 1 = 0,0551909 2 2
y2
1 1 = y1 + ( k 1 + k 2 ) = 1,05125 + ( 0,0525625 + 0,0551909 ) = 1,1051267 2
2
Prose$ur $ia%as $i%erapkan un%uk i * 2, , : un%uk mem&erikan nilai pen$eka%an fungsi 3 , , 10 . Selanu%na &an$ingkan $engan solusi anali%ik.
n%uk in%er7al h ang sama me%o$e eun mem&erikan hasil ang le&ih
Tabel 2 – Perhitungan dengan Metode Euler Modi!ika"i #Predi&tor-'orre&tor% untuk h = 01
i
xi
0
0.0
1
0.1
2
0.2
3
0.3
4
0.4
5
0.5
6
0.6
7
0.7
8
08
yi 1.000000 0 1.051250 0 1.105126 6 1.161764 3 1.221304 7 1.283896 6 1.349696 3 1.418868 2 1.491585 2
k1 = hf(xi , yi )
k2 = hf(xi+1 , yi+k1)
yi+1 (!"i#e" Euler)
yi+1 (eksak)
0.0500000
0.0525000
1.0512500
1.0512711
0.0525625
0.0551906
1.1051266
1.1051709
0.0552563
0.0580191
1.1617643
1.1618342
0.0580882
0.0609926
1.2213047
1.2214028
0.0610652
0.0641185
1.2838966
1.2840254
0.0641948
0.0674046
1.3496963
1.3498588
0.0674848
0.0708591
1.4188682
1.4190675
0.0709434
0.0744906
1.4915852
1.4918247
0 0745793
0 0783082
1 5680290
1 5683122
(. Metode )unge *utta
Prose$ur "e%o$e ?ungkeKu%%a $apa% $engan mu$ah $iilus%rasikan $engan meninau me%o$e /uler "o$ifikasi. -unakan kem&ali persamaan euler mo$ifikasi $alam menen%ukan %urunanan ke$ua $alam sukusuku %urunan per%ama +i $an +i1 . Ki%a perlu mem&ua% e7aluasi fungsi in%ernal %am&ahan pa$a +i h;2 . Se&agai konsek'ensi $ari ika suku %urunan le&ih %inggi $iiku%ser%akan.
n%uk menggam&arkan &agaimana me%o$e ?unge Ku%%a $ikem&angkan, penurunan me%o$e or$e ke$ua $i%unukkan. -unakan kem&ali me%o$e /uler mo$ifikasi s&&
yi +1
h
= yi + ( k 1 + k 2 ) 2
(11)
se&agai solusi un%uk persamaan $iferensial &iasa or$e sa%u $engan &en%uk
dy dx •
= f ( x, y )
"e%o$e ?ungeKu%%a mengasumsikan pen$eka%an ang sama $engan persamaan
yi +1
= yi + ak 1 + bk 2
$imana
k 1 = hf ( xi , yi )
k 2
•
(12a)
= hf ( xi + Ah, yi + Bk 1 )
(12&) (12#)
Su&s%i%usi persamaan (12&) ke$alam (12#) menghasilkan ekspresi &eriku% un%uk k2 8
k 2
= hf ( xi + Ah, yi + Bhf ( xi , yi ) )
(13)
Persamaan (13) &isa $iekspresikan $alam suku fungsional ang $i&erikan f(+i , i) $an %urunananna $engan menggunakan $ere% !alor $alam $ua 7aria&el un%uk mem&erikan
k 2
∂ f ( xi , yi ) ∂ f ( xi , yi ) = h f ( xi , yi ) + Ah + Bhf ( xi , yi ) x y ∂ ∂
(14a)
•
•
•
/kspresi $ia%as meli&a%kan hana suku per%ama $ari $ere%. @ika ki%a a$opsi f * f(+i , i), f + * f;+ , $an f * f;, selanu%na persamaan (14) $i&erikan $engan le&ih mu$ah se&agai8
k 2
= hf + Ah 2 f x + Bh 2 ff y
(14&)
Begi%u uga $engan persamaan (12&) mena$i
k 1
= hf
(1)
Su&s%i%usi persamaan (14) $an (1) ke $alam persamaan (12a) menghasilkan formula ?ungeKu%%a or$e $ua s&&8
yi +1
= yi + ( a + b ) hf + Abh 2 f x + bBh 2 ff y
(15)
!er&uk%i &ah'a persamaan (15) meli&a%kan empa% koefisien %i$ak $ike%ahui a, &, A, $an B. Se&agai konsek'ensi, un%uk menen%ukan nilai2na, persamaan (15) harus &erkai%an $engan $ere% !alor or$e ke$ua, ai%u
∂ y h 2 ∂ 2 y yi +1 = yi + h + ∂ x 2 ∂ x 2 i
(1
•
•
•
•
a%au 2 y ∂ 2 y dy ∂ y h 2 ∂ yi +1 = yi + h + 2 + ∂ x 2 ∂ x ∂ y∂ x dx
(1<&)
a%au
yi +1
= yi + hf +
h2 2
f x +
h2 2
(1<#)
ff y
Samakan persamaan (15) $an (1<#) mena$i8
yi
+ ( a + b) hf + Abh 2 f x + bBh2 ff y = yi + hf +
h2 2
f x +
h2 2
ff y
(1=)
sehingga
a +b =1 Ab = 1 / 2 Bb = 1 / 2
(1:a) (1:&) (1:#)
@ika $ipilih fak%or &o&o% a a$alah C , maka $apa% $i%en%ukan & * C , A * 1 , $an B * 1. Si%uasi ini &erkai%an $engan me%o$e /uler mo$ifikasi.
Solusi Anali%ik
i1 f(+iAh , i Bh)
i
f(+i , i)
ah
+i
&h
+i1
-am&ar 2 Skema me%o$e ?ungeKu%%a or$e $ua
+
•
Salah sa%u me%o$e ang &anak $igunakan un%uk menelesaikan persamaan $iferensial or$inar se#ara numerik a$alah me%o$e ?unge Ku%%a or$e 4. "e%o$e ini meli&a%kan persamaan &eriku%8
yi +1
1
= yi + ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6
$imana
k 1 = hf ( xi , yi )
k 2
h k = hf xi + , yi + 1 2 2
h k 2 k 3 = hf xi + , yi + 2 2 k 4
•
(20a)
= hf ( xi + h, yi + k 3 )
(20&) (20#)
(20$) (20e)
/rror glo&al &erkai%an $engan me%o$e ?ungeKu%%a a$alah or$e ()h 4 . Eni &erar%i, %ingka% akurasi me%o$e ?ungeKu%%a or$e 4 le&ih %inggi (akura%) $an memerlukan langkah &erhi%ungan le&ih se$iki% $i&an$ing me%o$e ?ungeKu%%a or$e 2.
6on%oh 3 Selesaikan persamaan $iferensial &eriku% $engan menggunakan me%o$e ?ungeKu%%a or$e 48
dy dx
=
1 2
y ,
y ( 0 )
=1
•
-unakan h * 1
Solusi8 Pro&lem $isini sama $engan ang $iselesaikan se&elumna $engan me%o$e /uler. @a$i
•
k 1
= hf ( x0 , y0 ) = 1 f ( 0,1) = (1)(1 / 2) = 1 / 2
k 2
h k 1 x y = hf + + , 0 = (1) f (1 / 2 , 5 / 4) = ( 5 / 4) / 2 = 5 / 8 0 2 2
k 3
h k 2 x y = hf + + , 0 = (1) f (1 / 2 , 21 / 16) = ( 21 / 16) / 2 = 21 / 32 0 2 2
k 4
= hf ( x0 + h, y0 + k 3 ) = (1) f (1 , 53 / 32) = ( 53 / 32) / 2 = 53 / 64
Su&s%i%usi nilai k $ia%as ke$alam persamaan (20a) mem&erikan solusi8
y = y (1) y (1)
1
= y0 + ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6
= 1 + (1 / 6){ (1 / 2) + ( 2)( 5 / 8) + ( 2)( 21 / 32) + ( 53 / 64)}
y (1) = 1,6484375
Ban$ingkan $engan solusi eksak
y (1) = 1,6487212 •
6a%a%an8 meskipun h * 1, nilai perhi%ungan me%o$e ?ungeKu%%a or$e 4 le&ih &aik $ari ang $i%en%ukan $engan menggunakan me%o$e /uler $engan h * 0,1.
Tabel ( – Perhitungan dengan Metode )unge *utta orde + untuk h = 01 i
xi
0
0.0
1
0.1
2
0.2
3
0.3
4
0.4
5
0.5
6
0.6
7
0.7
8
0.8
9 10
0.9 1.0
yi 1.00000 00 1.05127 11 1.10517 09 1.16183 42 1.22140 27 1.28402 54 1.34985 88 1.41906 75 1.49182 47 1.56831 22
k1 = hf(xi , yi)
k2 = hf(xi+1+h$2 , yi+k1$2)
k3 = hf(xi+1+h$2 , yi+k2$2)
0.0500000
0.0512500
0.0512813
0.0525641
1.0512711
0.0525636
0.0538776
0.0539105
0.0552591
1.1051709
0.0552585
0.0566400
0.0566745
0.0580923
1.1618342
0.0580917
0.0595440
0.0595803
0.0610707
1.2214027
0.0610701
0.0625969
0.0626351
0.0642019
1.2840254
0.0642013
0.0658063
0.0658464
0.0674936
1.3498588
0.0674929
0.0691803
0.0692224
0.0709541
1.4190675
0.0709534
0.0727272
0.0727716
0.0745920
1.4918247
0.0745912
0.0764560
0.0765026
0.0784164
1.5683122
0.0784156
0.0803760
0.0804250
0.0824369
1.6487212
k4 = hf(xi+1+h , yi+k3) yi+1 (ru%&e ku''a)
yi+1 (eksak) 1.051271 1 1.105170 9 1.161834 2 1.221402 8 1.284025 4 1.349858 8 1.419067 5 1.491824 7 1.568312 2 1.648721 3
Tabel + – Perbandingan Per"enta"e Error Metode Numerik Euler Predi&tor 'orre&tor dan )unge *utta terhada, Solu"i Ek"ak
yi (Euler) "a% err!r
yi (re"i*'!r *!rre*'!r) "a% err!r
i
xi
yi (eksak
yi (ru%&e ku''a) "a% err!r
0
0.0
1.0000000
1.0000000
0.000000
1.0000000
0.000000
1.0000000
0.000000
1
0.1
1.0512711
1.0500000
0.120910
1.0512500
0.002007
1.0512711
0.000000
2
0.2
1.1051709
1.1025000
0.241675
1.1051266
0.004013
1.1051709
0.000000
3
0.3
1.1618342
1.1576250
0.362293
1.1617643
0.006020
1.1618342
0.000001
4
0.4
1.2214028
1.2155063
0.482765
1.2213047
0.008027
1.2214027
0.000001
5
0.5
1.2840254
1.2762816
0.603092
1.2838966
0.010033
1.2840254
0.000001
6
0.6
1.3498588
1.3400956
0.723273
1.3496963
0.012040
1.3498588
0.000001
7
0.7
1.4190675
1.4071004
0.843309
1.4188682
0.014046
1.4190675
0.000002
8
0.8
1.4918247
1.4774554
0.963200
1.4915852
0.016053
1.4918247
0.000002
9
0.9
1.5683122
1.5513282
1.082946
1.5680290
0.018059
1.5683122
0.000002
10
1.0
1.6487213
1.6288946
1.202547
1.6483904
0.020066
1.6487212
0.000002
Perbandingan Metode numerik vs Eksak 1.:0
1.<0
1.0
1.30
1.10
0.:0
0.<0
0.0 0.0
0.1 eksak
0.2
0.3 /uler
0.4
0.
0.5
0.<
Pre$i#%or 6orre#%or
0.=
0.:
1.0
?unge Ku%%a
ambar 1 – Perbandingan Metode Numerik dan Ek"ak
Tuga" 1 • •
Soal 1 Selesaikan sis%em persamaan &eriku% $engan /liminasi -auss, -auss @or$an, $an ma%riks En7ers $g menggunakan program for%ran8 +1 10+2 2+3 * 0,30 2+1
+2 +3 * 1,:1
3+1 4+2 • •
* 1,15
Soal 2 Selesaikan $engan me%o$e Dooli%%le $an me%o$e 6rou% un%uk sis%em persamaan linier &eriku% $g menggunakan program for%ran8 +1 4+2 +3 * 3,4 10+1 :+2 4+2 * =,= 10+1 13+2 1 +3 * 1:,2
• •
Soal 3 -unakan me%o$e 6holeskh $an me%o$e ak%orisasi un%uk menelesaikan sis%em persamaan linier &eriku% $g menggunakan program for%ran8 4+1 5+2 =+3 * 0 5+1 34+2 2+3 * 150 =+1 2+2 12:+3 * 42
• •
Soal 4 !erapkan me%o$e /uler, Pre$i#%or 6orre#%or, $an ?ungke Ku%%a un%uk persamaan (0 F + F 1) $engan menggunakan program for%ran8 a) G *2+ , (0) * 1 , h * 0,1 &) G * 2 2 , (0) * 0 , h * 0,1 #) G * 1 2 , (0) * 0 , h * 0,1
