Introdu¸c˜ cao a˜o ao Processamento Digital de Sinais Solu¸c˜ coes ˜ oes dos Exerc Exe rc´ ´ıcios ıcio s Propo Pro posto stoss — Cap´ Cap´ıtulo ıtul o 6 Jos´ e Alexand Alex andre re Nalo Nalon n
1. Dadas Dada s as sequˆencias enci as x x[[n] abaixo com seus respectivos comprimentos, encontre as transformadas discretas de Fourier:
a) x[n] = n, n , para 0 ≤ n < 4
Solu¸ c˜ ao:
X [0] [ 0] = 1
Solu¸ c˜ ao:
X [0] [ 0] = 6
X [1] [ 1] = 1 − 2, 2, 3660 j
X [1] [1] = − 2 + 2 j 2 j
X [2] [ 2] = 1 − 0, 0, 6340 j
X [2] [2] = − 2 X [3] [3] = − 2 − 2 j 2 j
X [3] [ 3] = 1 X [4] [4] = 1 + 0, 0, 6340 j X [5] [5] = 1 + 2, 2, 3660 j
b) x[n] = n, n , para 0 ≤ n < 6
f) x[n] = sen π6 n, para 0 ≤ n < 6
Solu¸ c˜ ao:
Solu¸ c˜ ao:
X [0] [0] = 15
X [0] [ 0] = 3, 3, 7321
X [1] [1] = − 3 + 5, 5 , 1962 j X [2] [2] = − 3 + 1, 1 , 7321 j
X [1] [1] = − 1, 3660
X [3] [3] = − 3
X [2] [2] = − 0, 3660
X [4] [4] = − 3 − 1, 1, 7321 j
X [3] [3] = − 0, 2679
X [5] [5] = − 3 − 5, 5, 1962 j
X [4] [4] = − 0, 3660 X [5] [5] = − 1, 3660
sen πn/4 πn/4 c) x[n] = 4 , para para 0 ≤ n < 4 πn
g) x[n] = cos
Solu¸ c˜ ao:
X [0] [0] = − 1, 9319
X [1] [ 1] = 0, 0, 3634 − 0, 0, 6002 j
d) x[n] =
π π n+ , para 0 ≤ n < 6 6 4
Solu¸ c˜ ao:
X [0] [ 0] = 2, 2, 8370
X [2] [ 2] = 0, 0, 4362
X [1] [ 1] = 1, 1, 6730 − 1, 1, 6730 j
x[3] = 0, 0, 3634 + 0, 0, 6002 j
X [2] [ 2] = 0, 0, 9659 − 0, 0, 4483 j X [3] [ 3] = 0, 0, 8966
1, se 0 ≤ n < 4 0, se 4 ≤ n < 8
X [4] [ 4] = 0, 0, 9659 + 0, 0, 4483 j
para 0 ≤ n < 8.
X [5] [ 5] = 1, 1, 6730 + 1, 1, 6730 j
Solu¸ c˜ ao:
h) x[n] =
X [0] [ 0] = 4
1 , para 0 ≤ n < N 2n
Solu¸ c˜ ao:
X [1] [ 1] = 1 − 2, 2, 4142 j X [2] [ 2] = 0
X [k] =
X [3] [ 3] = 1 − 0, 0, 4142 j X [4] [ 4] = 0
1 − 2−N 1 1 − ej2πk/N 2
i) x[n] = 2n , para 0 ≤ n < N . N .
X [5] [5] = 1 + 0, 0, 4142 j X [6] [ 6] = 0
Solu¸ c˜ ao:
X [7] [7] = 1 + 2, 2, 4142 j X [k] =
π
e) x[n] = cos 6 n, para 0 ≤ n < 6
1
1 − 2N 1 − 2e 2ej2πk/N
2
Calcule a convolu¸c˜ao circular entre as sequˆencias x[n] e h[n]. Se as sequˆencias n˜ao tiverem o mesmo n´ umero de amostras, estenda a de menor comprimento para que a opera¸c˜ao possa ser realizada. 2.
a) x[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + δ [n − 2] + δ [n − 3] h[n] = δ [n] − δ [n − 1] + δ [n − 4] + δ [n − 5] Solu¸ c˜ ao: Podemos obter a convolu¸ c˜ ao circular a partir da convolu¸ ca ˜o linear. A convolu¸ ca ˜ o de x[n] e h[n] dados neste
exerc´ıcio ´e: x[n] ∗ h[n] = δ[n] + δ[n − 1] − δ[n − 2] + 3δ[n − 5] + 3δ[n − 6] + 2δ[n − 7] + δ[n − 8] Como a maior sequˆ encia cont´ em 6 amostras, no intervalo 0 ≤ n < 5, obtemos a convolu¸ca ˜o circular somando o resultado da convolu¸c˜ ao linear nesse intervalo com o resultado no intervalo 5 ≤ n < 10. Assim, y[n] = 4δ[n] + 3δ[n − 1] + 3δ[n − 5] Os exerc´ıcios seguintes s˜ ao realizados segundo a mesma t´ecnica.
b) x[n] = e −n u[n], para N x = 8 h[n] = e −nu[n], para N h = 4 Solu¸ c˜ ao:
y[n] = 1, 0010δ[n]+0, 7360δ[n−1]+0, 4061δ[n−2]+0, 1991δ[n−3]+0, 0733δ[n−4]+0, 0270δ[n−5]+0, 0099δ[n−6]+0, 0036δ[n−7]
1 , para 0 ≤ n < 4 2n h[n] = δ [n] − δ [n − 1], para 0 ≤ n < 4
c) x[n] =
Solu¸ c˜ ao:
y[n] = 0, 875δ[n] − 0, 5δ[n − 1] − 0, 25δ[n − 2] − 0, 1250δ[n − 3]
d) x[n] = δ [n] + 21 δ [n − 1] + 41 δ [n − 2] + 81 δ [n − 3] h[n] = δ [n] + 0, 5δ [n − 1] − 0, 5δ [n − 2] Solu¸ c˜ ao:
y[n] = 0, 9375δ[n] + 0, 9375δ[n − 1]
e) x[n] = u[n] − u[n − 4], para 0 ≤ n < 8 π h[n] = cos n , para 0 ≤ n < 8 4
Solu¸ c˜ ao:
y[n] = δ[n] + 2, 4142δ[n − 1] + 2, 4142δ[n − 2] + δ[n − 3] − δ[n − 4] − 2, 4142δ[n − 5] − 2, 4142δ[n − 6] − δ[n − 7]
1 f) x[n] = (u[n] − u[n − 2] + u[n − 6]), para 0 ≤ n < 8 2 h[n] = δ [n] + δ [n − 1] + δ [n − 6] + δ [n − 7], para 0 ≤ n < 8 Solu¸ c˜ ao:
y[n] = 1, 5δ[n] + δ[n − 1] + 0, 5δ[n − 2] + 0, 5δ[n − 4] + δ[n − 5] + 1, 5δ[n − 6] + 2δ[n − 7]
Repita o exerc´ıcio anterior, mas agora calculando a convolu¸ca˜o circular a partir da DFT. Utilize para cada item o comprimento necess´ario. 3.
Solu¸ ca ˜o: As respostas de cada item deste exerc´ıcio s˜ ao as mesmas do exerc´ıcio anterior. Os resultados s˜ ao obtidos calculando
as DFTs de cada sequˆ encia, multiplicando coeficiente a coeficiente, e obtendo a DFT inversa do resultado da multiplca¸ ca ˜o.
4. Repita mais uma vez o exerc´ıcio, mas agora calculando a convolu¸ca ˜o linear entre as sequˆencias, e n˜ao sua convolu¸c˜ao
circular. Realize o c´alculo: a) Extendendo as sequˆencias at´e o n´umero de amostras necess´arias para que n˜ao haja superposi¸c˜ao das amostras no dom´ınio do tempo. a) x[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + δ [n − 2] + δ [n − 3] h[n] = δ [n] − δ [n − 1] + δ [n − 4] + δ [n − 5] Jos´ e Alexandre Nalon
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3
Solu¸ c˜ ao: Para a resolu¸ ca ˜o deste item, ambas as sequˆ encias s˜ ao estendidas at´ e o comprimento dado p or N x + N h − 1 (neste
caso, 9 amostras). As DFTs s˜ ao computadas e multiplicadas, e o resultado ´e obtido pela tr ansformada inversa. Para este item, a resposta ´e: y[n] = δ[n] + δ[n − 1] − δ[n − 2] + 3δ[n − 5] + 3δ[n − 6] + 2δ[n − 7] + δ[n − 8] Os itens seguintes s˜ao computados de maneira semelhante.
b) x[n] = e −n u[n], para N x = 8 h[n] = e −nu[n], para N h = 4 Solu¸ c˜ ao:
y[n]
=
δ[n] + 0, 7358δ[n − 1] + 0, 4060δ[n − 2] + 0, 1991δ[n − 3] + 0, 0733δ[n − 4] + 0, 0270δ[n − 5] +0, 0099δ[n − 6] + 0, 0036δ[n − 7] + 0, 0010δ[n − 8] + 0, 0002δ[n − 9]
1 , para 0 ≤ n < 4 2n h[n] = δ [n] − δ [n − 1], para 0 ≤ n < 4
c) x[n] =
Solu¸ c˜ ao:
y[n] = δ[n] − 0, 5δ[n − 1] − 0, 25δ[n − 2] − 0, 125δ[n − 3] − 0, 125δ[n − 4]
d) x[n] = δ [n] + 21 δ [n − 1] + 41 δ [n − 2] + 81 δ [n − 3] h[n] = δ [n] + 0, 5δ [n − 1] − 0, 5δ [n − 2] Solu¸ c˜ ao:
y[n] = δ[n] + δ[n − 1] − 0, 0625δ[n − 4] − 0, 0625δ[n − 5]
e) x[n] = u[n] − u[n − 4], para 0 ≤ n < 8 π h[n] = cos n , para 0 ≤ n < 8 4
Solu¸ c˜ ao:
y[n]
=
δ[n] + 1, 7071δ[n − 1] + 1, 7071δ[n − 2] + δ[n − 3] − δ[n − 4] − 2, 4142δ[n − 5] − 2, 4142δ[n − 6]
−δ[n − 7] + 0, 7071δ[n − 9] + 0, 7071δ[n − 10]
1 f) x[n] = (u[n] − u[n − 2] + u[n − 6]), para 0 ≤ n < 8 2 h[n] = δ [n] + δ [n − 1] + δ [n − 6] + δ [n − 7], para 0 ≤ n < 8 Solu¸ c˜ ao:
y[n] = +0, 5δ[n] + δ[n − 1] + 0, 5δ[n − 2] + δ[n − 6] + 2δ[n − 7] + δ[n − 8] + 0, 5δ[n − 12] + δ[n − 13] + 0, 5δ[n − 14]
b) Utilizando o m´etodo de sobrepor e adicionar. Solu¸ c˜ ao: As respostas para esse item do exerc´ıcio s˜ ao idˆ enticas aos do item anterior, apenas o m´ etodo de resolu¸ ca ˜o ´ e
diferente. Para exemplificar, vamos utilizar o item b). Utilizamos N = 4, mas a resolu¸ca ˜o seria bastante semelhante caso esse valor fosse diferente. Separamos a sequˆ encia x[n] em duas sequˆencias, dadas por x0 [n] = δ[n] + 0, 3679δ[n − 1] + 0, 1353δ[n − 2] + 0, 0498δ[n − 3] e x1 [n] = 0, 0183δ[n − 4] + 0, 0067δ[n − 5] + 0, 0025δ[n − 6] + 0, 0009δ[n − 7] Estendemos ambas as sequˆ encias at´ e 7 amostras, para realizar a convolu¸ c˜ ao com a sequˆencia h[n] (atrav´ es da DFT), e obtemos y0 [n] = δ[n] + 0, 7358δ[n − 1] + 0, 4060δ[n − 2] + 0, 1991δ[n − 3] + 0, 0549δ[n − 4] + 0, 0135δ[n − 5] + 0, 0025δ[n − 6] e y1 [n] = 0, 0183δ[n − 4] + 0, 0135δ[n − 5] + 0, 0074δ[n − 2] + 0, 0036δ[n − 6] + 0, 0010δ[n − 7] + 0, 0002δ[n − 8] O resultado obtido ´e a convolu¸ ca ˜o entre as duas sequˆencias. Os outros exerc´ıcios s˜ ao resolvidos de maneira semelhante.
c) Utilizando o m´etodo de sobrepor e salvar. Solu¸ c˜ ao: Assim como no item anterior, as respostas s˜ ao idˆ enticas, apenas o m´ etodo de resolu¸ ca ˜o ´e diferente. Vamos
considerar o mesmo exemplo, novamente com N x = 6 e N h = 4, o que significa um espa¸camento de N y = 3 amostras entre cada bloco. Isso significa que apenas as trˆes ´ ultimas amostras da convolu¸ca ˜o circular s˜ ao v´ alidas. Assim, temos x0 [n] = δ[n] + 0, 3679δ[n − 1] + 0, 1353δ[n − 2] + 0, 0498δ[n − 3] + 0, 0183δ[n − 4] + 0, 0067δ[n − 5] x1 [n] = 0, 0498δ[n − 3] + 0, 0183δ[n − 4] + 0, 0067δ[n − 5] + 0, 0025δ[n − 6] + 0, 0009δ[n − 7] x2 [n] = 0, 0067δ[n − 5] + 0, 0025δ[n − 6] + 0, 0009δ[n − 7]
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e x3 [n] = 0, 0009δ[n − 7] As convolu¸co ˜es circulares s˜ ao calculadas atrav´es das DFTs, lembrando que to das as sequˆ encias devem ser estendidas para 6 amostras, atrav´ es do preenchimento com zeros. Os resultados obtidos s˜ao, respectivamente, y0 [n] = 1, 0074δ[n] + 0, 7376δ[n − 1] + 0, 4063δ[n − 2] + 0, 1991δ[n − 3] + 0, 0733δ[n − 4] + 0, 0270δ[n − 5] y1 [n] = 0, 0500δ[n − 3] + 0, 0367δ[n − 3] + 0, 0202δ[n − 4] + 0, 0099δ[n − 5] + 0, 0036δ[n − 6] + 0, 0010δ[n − 7] y2 [n] = 0, 0067δ[n − 5] + 0, 0050δ[n − 6] + 0, 0027δ[n − 7] + 0, 0010δ[n − 8] + 0, 0002δ[n − 9] + 0, 0000δ[n − 10] e y3 [n] = 0, 0009δ[n − 8] + 0, 0003δ[n − 9] + 0, 0001δ[n − 10] + 0, 0000δ[n − 11] + 0, 0000δ[n − 12] − 0, 0000δ[n − 13] O resultado final po de ser obtido selecionando as trˆ es ´ ultimas amostras de cada uma das sequˆ encias resultantes. Note que aqui, representamos as amostras com amplitude nula, para que n˜ ao consideremos resultados que n˜a o s˜ ao relevantes. Note tamb´ em que as primeiras amotras do resultado final est˜ ao erradas, mas elas podem ser obtidas fazendo o preenchimento por zeros ` a esquerda e repetindo o procedimento, ou seja, x−1 [n] = δ[n] + 0, 3679δ[n − 2] + 0, 1353δ[n − 3] e y−1 [n] = 0, 1494δ[n + 3] + 0, 0366δ[n + 2] + 0, 0067δ[n + 1] + δ[n] + 0, 7358δ[n − 2] + 0, 4060δ[n − 3]
5. Seja x[n] = δ [n] − 3δ [n − 1 ] + 2δ [n − 2] − δ [n − 3] uma sequˆencia de comprimento N = 4. Encontre a sequˆ encia y[n]
tal que Y [k] = ℜ{ X [k]}. Repita o procedimento para N = 6. Solu¸ c˜ ao: A transformada discreta de x[n] ´e dada por
X [0] = − 1 X [1] = − 1 + 2 j X [ 2] = 7 X [3] = − 1 − 2 j Deseja-se que Y [k] = R e {X [k]}. Assim, ´e poss´ıvel formar Y [k] fazendo Y [0] = −1 Y [1] = −1 Y [2] = 7 Y [3] = −1 Com a transformada inversa, y[n] = δ[n] − 2δ[n − 1] + 2δ[n − 2] − 2δ[n − 3] Para N = 6, estendemos x[n] com zeros, e, pelo mesmo racio c´ıno, temos y[n] = δ[n] − 1, 5δ[n − 1] + δ[n − 2] − δ[n − 3] + δ[n − 4] − 1, 5δ[n − 5]
6. Seja uma sequˆ encia x[n] de N amostras que tem a seguinte propriedade:
x[n] = x n +
N 2
Mostre que os coeficientes ´ımpares da transformada s˜ao nulos, ou seja, X [k] = 0, se k ´e ´ımpar. Solu¸ c˜ ao: A demonstra¸ ca ˜o dessa propriedade difere se N ´e par ou ´ımpar. No entanto, o racioc´ınio ´e basicamente o mesmo.
Mostramos aqui a resolu¸ ca ˜o para quando N ´e par. A defini¸ca ˜o da DFT ´e N −1
X [k] =
x[n]e−jω0 kn
n=0
Podemos dividir essa soma em duas partes N/2−1
X [k] =
x[n]e−jω0 kn +
n=0
N −1
x[n]e−jω0 kn
n=N/2
Com uma mudan¸ca de vari´ avel no segundo somat´ orio, chegamos a N/2−1
X [k] =
n=0
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N/2−1
x[n]e−jω0 kn +
x[n]e−jω0 k(n+N/2)
n=0
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e assim N/2−1
X [k]
=
x[n] + e −jω0 kN/2x[n] e−jω0 kn
n=0
N/2−1
=
1 + e−jω0 kN/2 x[n]e−jω0 k(n+N/2)
n=0
Como ω 0 = 2π/N , N/2−1
1 + e−jkπ x[n]e−jω0 k(n+N/2)
X [k] =
n=0
Quando k ´e ´ımpar, e −jkπ = − 1, e portanto o resultado do somat´ orio ´ e nulo.
7. Seja uma sequˆ encia x[n] de N amostras que tem a seguinte propriedade:
x[n] = − x n +
N 2
Mostre que os coeficientes pares da transformada s˜ao nulos, ou seja, X [k] = 0, se k ´e par. Solu¸ c˜ ao: A demonstra¸ ca ˜o dessa propriedade segue virtualmente os mesmos passos que a do exerc´ıcio anterior. A diferen¸ca ´e
que o termo entre parˆenteses n˜ ao ´e uma soma, e sim uma subtra¸ca ˜o, o que faz com que coeficientes pares sejam anulados.
8. Seja x[n] um sinal finito cuja energia ´e E x , e y[n] a resposta de um sistema linear e invariante com o tempo se a
entrada ´e x[n]. Considere a resposta ao impulso do sistema como sendo h[n]. Demonstre que a energia E y do sinal de sa´ıda ´e N −1
E y = E x
|H [k]|2
k=0
Solu¸ c˜ ao: Esse resultado pode ser obtido diretamente pelo teorema de Parseval.
Encontre a matriz que ´e o n´ucleo da transformada de Fourier de uma sequˆencia de 6 amostras, e o n´ucleo da transformada inversa. Utilize as matrizes para calcular as transformadas discretas de Fourier das sequˆencias abaixo, considerando N = 6: 9.
Solu¸ c˜ ao: O n´ ucleo da transformada ´e dado por
F =
1
1
1
1
1
1
1
0, 5 − 0, 866 j
−0, 5 − 0, 866 j
−1
−0, 5 + 0, 866 j
0, 5 + 0, 866 j
1
−0, 5 + 0, 866 j
1
−0, 5 − 0, 866 j
1
−0, 5 − 0, 866 j −1
1
1
1
−0, 5 + 0, 866 j
−0, 5 − 0, 866 j
−1 1
−0, 5 + 0, 866 j −1
−0, 5 + 0, 866 j
−0, 5 − 0, 866 j
1
0, 5 + 0, 866 j
−0, 5 + 0, 866 j
−1
−0, 5 − 0, 866 j
0, 5 − 0, 866 j
a) x[n] = δ [n] + δ [n − 1] + δ [n − 4] + δ [n − 5] Solu¸ c˜ ao:
X =
b) x[n] = n
Solu¸ c˜ ao:
4 1, 5 + 0, 866 j −0, 5 − 0, 866 j 0
−0, 5 + 0, 866 j 1, 5 − 0, 866 j
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X =
15
−3 + 5, 1962 j −3 + 1, 7321 j −3 −3 − 1, 7321 j −3 − 5, 1962 j
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6
π c) x[n] = sen n 6
d) x[n] = sen
Solu¸ c˜ ao:
X =
π n 3
Solu¸ c˜ ao:
3, 7321
−1, 366 −0, 366 −0, 2679 −0, 366 −1, 366
X =
0
−3 j 0 0 0 3 j
10. Mostre que a convolu¸ c˜ao circular entre duas sequˆencias pode ser escrita na forma vetorial, y = hx , se definirmos h como
h =
h[0]
h[N − 1]
h[N − 2]
···
h[1]
h[1]
h[0]
h[N − 1]
···
h[2]
h[2] .. .
h[1] .. .
h[0] .. .
··· .. .
h[3] ...
h[N − 2]
h[N − 3]
h[N − 3]
···
h[N − 1]
h[N − 1]
h[N − 2]
h[N − 3]
···
h[0]
Este tipo de matriz ´e chamado matriz circulante , pelas suas caracter´ısticas peri´odicas. Investigue as suas propriedades. Solu¸ c˜ ao: Para um n qualquer entre 0 e N , o resultado da convolu¸ ca ˜o circular pode ser escrito assim: N −1
y[n]
=
x[m]h[n − m]
m=0 N −1
n
=
x[m]h[n − m] +
m=0
x[m]h[n − m]
m=n+1
O segundo somat´ orio representa amostras de h[n] fora do intervalo 0 ≤ n < N . Como a convolu¸ ca ˜o circular pressup˜ oe a extens˜ao peri´ odica das sequˆ encias, o segundo somat´ orio pode ser escrito, resultando em N −1
n
y[n] =
x[m]h[n − m] +
m=0
x[m]h[n − m + N ]
m=n+1
Assim, a n-´ esima linha da matriz que representa a aplica¸ c˜ ao do filtro h[n] ´e dada por hnm =
h[n − m],
se m ≤ n
h[n − m + N ],
se n + 1 ≤ m < N
Sejam as sequˆencias abaixo todas com comprimento N = 8. Calcule as transformadas de Fourier atrav´ es do algoritmo r´ apido, utilizando a decima¸ca˜o no tempo ou decima¸c˜ao em frequˆencia: 11.
a) x[n] = u[n] − u[n − 4] Solu¸ c˜ ao:
X [ 0] = 4 X [ 1] = 1 − 2, 4142 j X [ 2] = 0 X [ 3] = 1 − 0, 4142 j X [ 4] = 0 X [5] = 1 + 0, 4142 j X [ 6] = 0 X [7] = 1 + 2, 4142 j
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b) x[n] = cos
π n 4
Solu¸ c˜ ao:
X [0] = 0 X [1] = 4 X [2] = 0 X [3] = 0 X [4] = 0 X [5] = 0 X [6] = 0 X [7] = 4
Processamento Digital de Sinais
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c) x[n] =
1 2n
X [ 3] = 0, 7905 − 0, 1508 j X [ 4] = 0, 7407
Solu¸ c˜ ao:
X [ 5] = 0, 7905 + 0, 1508 j
X [ 0] = 1, 9922
X [ 6] = 0, 8889 + 0, 2963 j
X [ 1] = 1, 1861 − 0, 6487 j
X [ 7] = 1, 2095 + 0, 3730 j
X [ 2] = 0, 7969 − 0, 3984 j X [ 3] = 0, 6889 − 0, 1799 j X [ 4] = 0, 6641 X [ 5] = 0, 6889 + 0, 1799 j X [ 6] = 0, 7969 + 0, 3984 j X [ 7] = 1, 1861 + 0, 6487 j
1 d) x[n] = n (u[n] − u[n − 4]) 3 Solu¸ c˜ ao:
e) x[n] =
1 4|n−4|
Solu¸ c˜ ao:
X [ 0] = 1, 6602 X [1] = − 1, 3276 X [ 2] = 0, 8789 X [3] = − 0, 6646 X [ 4] = 0, 5977
X [ 0] = 1, 4815
X [5] = − 0, 6646
X [ 1] = 1, 2095 − 0, 3730 j X [ 2] = 0, 8889 − 0, 2963 j
X [ 6] = 0, 8789 X [7] = − 1, 3276
Deve-se calcular a transformada discreta de Fourier de uma sequˆencia de 512 amostras. Encontre o n´umero de opera¸c˜oes complexas (multiplica¸c˜oes e adi¸c˜oes) e de opera¸c˜oes reais que devem ser realizadas caso o c´alculo seja feito segundo a defini¸ca˜o e utilizando um algoritmo r´apido. Suponha que uma adi¸ c˜ao real ´e feita em 0, 5 s e uma multiplica¸c˜ao real ´e feita em 1 s. Qual o ganho de tempo no uso da transformada r´apida? Repita o procedimento para uma transformada de 4096 amostras. 12.
Solu¸ c˜ ao: O n´ umero de multiplica¸co ˜es e adi¸co ˜es complexas pode ser encontrado inspecionando em detalhes o algoritmo. No
c´ alculo direto, o comando nos la¸cos do Algoritmo 6.1 ´e executado N 2 vezes, e cont´em uma adi¸ca ˜o complexa e uma multiplica¸ca ˜o complexa. Como uma adi¸ ca ˜o complexa corresponde a duas adi¸co ˜es reais e uma multiplica¸ca ˜o complexa a duas adi¸co ˜es e quatro multiplica¸ co ˜es reais, cada atualiza¸ca ˜o de um coeficiente corresponde a quatro adi¸c˜ oes e quatro multiplica¸c˜ oes reais. Portanto, para N = 512, temos 1048576 adi¸ co ˜es e multiplica¸co ˜es. Com os tempos dados no enunciado do problema, uma DFT direta de 512 amostras levaria 1,572864 spara ser completada. Pelo mesmo racioc´ınio, uma DFT direta de 4096 amostras levaria 100,663296 spara ser completada. No caso da transformada r´ apida pela decima¸c˜ ao no tempo, a atualiza¸ca ˜o de um coeficiente ´e executada N log 2 N vezes, tamb´em correspondendo a uma soma e um produto complexos, e portanto, 4 adi¸ co ˜es e multiplica¸co ˜es reais. Assim, uma FFT de 512 amostras seria completada em 0,027648 s, o que corresponde a p ouco menos de 1,76% do tempo original. Para uma FFT de 4096 amostras, o tempo para o c´ alculo ´e de 0,294912 s, o que corresponde a ap enas 0,3% do tempo original.
13. Seria poss´ıvel desenvolver um algoritmo r´apido para a transformada de Fourier caso o n´umero de amostras N seja
uma potˆencia de 3, ou seja, N = 3 r ? Se sua resposta ´e negativa, justifique. Caso contr´ario, desenvolva o algoritmo. Solu¸ c˜ ao: O algoritmo da FFT ´ e baseado nas caracter´ısticas de periodicidade da exponencial complexa, que independe do
intervalo em que o per´ıodo ´e dividido. Assim, um racioc´ınio muito semelhante ao realizado na Se¸ c˜ ao 6.4 pode ser executado, mas como ´e relativamente complexo, ´e deixado como exerc´ıcio para o leitor. Particularmente, um algoritmo r´ apido baseado em r = 3 teria como complexidade Nlog3 N . O mesmo seria v´alido para r = 5, 7, 11 ou qualquer outro fator primo.
14. Uma sequˆencia de N amostras ´ e convolu´ıda com uma sequˆencia de M amostras utilizando o m´etodo de sobrepor e
adicionar. Considere N > M . Quantas DFTs devem ser calculadas para que a opera¸c˜ao seja realizada? E se o m´etodo utilizado fosse o de sobrepor e salvar? Solu¸ c˜ ao: Pelo m´ etodo sobrepor e adicionar, a sequˆ encia resultante ´e obtida em blocos de tamanho N x + N h − 1, espa¸cados
N x amostras entre eles. Isso significa que um bloco ´e formado a cada N x amostras e, como N h = M , a sequˆencia resultante da convolu¸c˜ ao tem comprimento N + M − 1, a quantidade de blo cos ´e dada por ⌈ (N + M − 1)/N x ⌉ (ou seja, arredondado para cima). Por outro lado, o m´ etodo sobrepor e salvar prop˜ oe que a sequˆ encia resultante seja obtida em blo cos de tamanho N x − N h + 1. Pelo mesmo r acioc´ınio, a quantidade de blocos ´e dada por ⌈ (N + M − 1)/(N x − N h + 1)⌉, eventualmente, com um bloco a mais ´ interessante notar que, supondo N x > N h , isso resulta em um n´ para a obten¸ca ˜o das primeiras amostras do resultado. E umero maior de blocos e, portanto, de DFTs a serem executadas. Compare esses resultados com os obtidos no Exerc´ıcio 4.
Processamento Digital de Sinais
Jos´ e Alexandre Nalon
