Invitación a la matemática discreta Departamento de Matemática Aplicada Universidad Charles, Praga
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Registro bibliográfico (ISBD) Matoušek, JiĜí [Invitation to Discrete Mathematics. Español] Invitación a la matemática discreta / JiĜí Matoušek, Jaroslav NešetĜil ; [versión española traducida por Anna Lladó Sánchez]. – Barcelona : Reverté, [2008] XVII, 442 p. : il. col. ; 24 cm.– Traducción de: Invitation to Discrete Mathematics. –. Índice DL B-24070-08. – ISBN 978-84-291-5180-0 1. Matemáticas. 2. Informática. I. Matoušek, JiĜí. II. NešetĜil, Jaroslav L. III. Lladó Sánchez, Anna, trad. III. Título. 519.1 : 004
Título de la obra original: Invitation to Discrete Mathematics
Versión original publicada en lengua inglesa en 1998 por: Oxford University Press Copyright © JiĜí Matoušek and Jaroslav NešetĜil. All Rights Reserved
Versión española traducida por: Anna Lladó Profesora Titular de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España EL DIBUJO QUE APARECE EN LA CUBIERTA ES DE JIěÍ NAýERADSKÝ Y JAROSLAV NEŠETěIL.
Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89
[email protected] Reservados todos los derechos. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo está permitida con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista en la ley. Diríjase al editor si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2008 ISBN: 978-84-291-5180-0 Impreso en España - Printed in Spain Depósito Legal: B-24070-08 Impreso por Liberdúplex, S.LU.
Pr´ologo a la edici´ on espa˜ nola La presente traducci´on est´a basada en la edici´ on inglesa de nuestro libro publicada por Oxford University Press. Sin embargo, hemos incluido algunas mejoras: hemos cambiado el texto en diversas partes (confiamos que mejorando lo anterior), hemos orregido diversos errores y hemos llenado algunas lagunas. El cap´ıtulo sobre la f´ ormula de Cayley para el n´ umero de ´arboles generadores se ha complementado con una nueva demostraci´ on, relativamente reciente y quiz´as una de las m´as simples. El Ap´endice que contiene nociones algebraicas ha sido complementado con material sobre ´algebra universal. Creemos que nuestra traductora, Prof. Anna Llad´ o, ha hecho un gran trabajo y queremos expresarle nuestro agradecimiento por su excelente cooperaci´on. En el primer cap´ıtulo de Introducci´ on discutimos ampliamente los prop´ ositos y objetivos que nos animaron a escribir este texto. Ahora s´olo nos gustar´ıa a˜ nadir que el libro fue escrito en el marco y en la tradici´ on de la educaci´ on universitaria europea. Por ello nos sentimos muy satisfechos por la publicaci´on de esta traducci´on en espa˜ nol.
Praga Marzo 2008
J. M. J. N.
Prefacio ¿Por qu´e un libro de texto sobre matem´ atica discreta debe tener un prefacio tan largo? ¿Y qu´e queremos decir en ´el? Hay muchas maneras de presentar la matem´atica discreta, y para empezar mencionamos algunas de las l´ıneas generales que intentamos seguir en nuestro texto; el lector podr´ a juzgar despu´es hasta qu´e punto hemos conseguido nuestro prop´ osito. Para un posible curso basado en este libro, a˜ nadimos tambi´en algunas observaciones t´ecnicas, ejercicios, literatura existente y otras cuestiones de inter´es. A continuaci´ on destacamos algunas caracter´ısticas que quiz´as distingan este libro de otros textos con t´ıtulo y temas similares: Desarrollo del pensamiento matem´ atico. Mas all´a de presentar conocimientos nuevos, nuestro primer prop´ osito, y quiz´ as el m´as importante, es guiar al estudiante para que entienda y aprecie ciertas nociones, definiciones y demostraciones matem´aticas con el fin de que aprenda a resolver problemas que requieran algo m´as que las recetas habituales, y que pueda adem´as aprender a expresar pensamientos matem´aticos con precisi´on y rigor. Los h´ abitos matem´aticos pueden proporcionar grandes ventajas en muchas actividades humanas, por ejemplo en programaci´ on o en 1 el dise˜ no de sistemas complejos . Parece que muchas empresas privadas (que ofrecen buenos sueldos) son sensibles a este hecho. No est´an realmente interesadas en si uno sabe de memoria la inducci´ on matem´atica, sino m´as bien en la habilidad para pensar y absorber r´ apidamente conceptos complejos, y al parecer los teoremas matem´aticos proporcionan un buen entrenamiento para desarrollar esa habilidad. La elecci´ on de un tema espec´ıfico para esta formaci´ on no es probablemente esencial: si el lector est´a entusiasmado con el ´algebra, ciertamente no trataremos de convertirle a la combinatoria. Sin embargo, creemos que la matem´atica discreta es particularmente adecuada para una 1
Por otra parte, es preciso tambi´en tener presente que en muchas otras actividades humanas los h´ abitos matem´ aticos m´ as bien deber´ıan evitarse.
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primera inmersi´ on en las matem´aticas, puesto que los problemas y nociones iniciales son m´as elementales que en otras ramas, como por ejemplo en an´ alisis, donde se empieza con ideas bastante profundas desde el principio. M´etodos, t´ecnicas, principios. En los planes de estudio universitarios contempor´aneos, la matem´atica discreta normalmente significa matem´atica de conjuntos finitos, y a menudo incluye temas tan diversos como la l´ogica, aut´omatas finitos, programaci´on lineal o arquitectura de ordenadores. Nuestro texto tiene un marco m´ as limitado; el libro es esencialmente una introducci´on a la combinatoria y a la teor´ıa de grafos, e incluso alguien familiarizado con estas ´areas podr´ıa echar en falta algunos de sus temas favoritos (como emparejamientos y flujos en redes, la teor´ıa de Ramsey o la NP-completitud, por mencionar s´ olo algunos). Nos centraremos en relativamente pocos m´etodos y principios b´ asicos, con el prop´osito de mostrar la gran variedad de t´ecnicas matem´aticas que existen incluso a este nivel b´asico, y la elecci´on del material est´a subordinada a ello. El placer. Este libro est´ a escrito para aquellos lectores que disfrutan con las matem´ aticas, aunque s´olo sea de vez en cuando, y nuestro m´aximo deseo es que pueda ayudarles a desarrollar algunos sentimientos positivos hacia las matem´aticas que pudieran estar latentes hasta el momento. En nuestra opini´ on, este es un prerrequisito clave: un placer est´etico hacia una idea matem´atica elegante, a veces mezclada con un sentimiento de triunfo cuando la idea es dif´ıcil de entender o de descubrir. No todo el mundo parece tener este don, al igual que no todo el mundo disfruta con la m´ usica, pero nos imaginamos que estudiar matem´aticas sin ´el puede ser una cosa m´as que aburrida. Todas las cartas sobre la mesa. Intentamos presentar argumentos completos para ser matem´aticamente honestos con el lector. Cuando decimos que algo es f´ acil de ver, realmente creemos que es as´ı, pero si el lector no puede verlo, esto probablemente significa que algo est´a mal; quiz´ as hemos juzgado mal la situaci´on, pero tambi´en puede indicar un problema del lector en el seguimiento y comprensi´on del texto precedente. Siempre que sea posible, haremos que el texto sea autocontenido (a veces indicaremos las demostraciones de resultados auxiliares con ejercicios guiados), y si la demostraci´on de alg´ un resultado no puede presentarse
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rigurosamente y por completo (como es el caso de algunos resultados sobre grafos planares, por ejemplo), pondremos ´enfasis en ello e indicaremos los pasos que no est´an completamente justificados. Inform´ atica. Hoy en d´ıa un gran n´ umero de estudiantes de matem´atica discreta son inform´aticos. A pesar de ello, creemos que incluso la gente que no sabe nada de ordenadores ni de inform´ atica, o incluso la que considera que estas materias son repulsivas, debe tener libre acceso al conocimiento de la matem´atica discreta, de forma que hemos evitado intencionadamente sobrecargar el texto con terminolog´ıa y ejemplos de inform´ atica. Sin embargo, no hemos olvidado a los inform´ aticos y hemos incluido varios pasajes sobre algoritmos eficientes junto con su an´ alisis, adem´as de un cierto n´ umero de ejercicios concernientes a algoritmos (v´ease m´as adelante). Otras voces, otros lugares. Al exponer los temas de este libro se presentan varias oportunidades para mostrar algunos conceptos de otras ramas actualmente activas de las matem´aticas, y aunque de forma intencionada restringimos el marco conceptual del libro, queremos resaltar estas conexiones. Nuestra experiencia nos dice que los estudiantes aprecian este tipo de aplicaciones, siempre que se hayan tratado suficientemente y no s´olo de modo superficial. Prerrequisitos y lectores. En la mayor parte del libro suponemos que no hay un conocimiento matem´ atico previo superior al que se atribuye a un curso est´ andar de secundaria. En el primer cap´ıtulo se explican varias nociones abstractas muy comunes en todas las matem´aticas y que est´an m´as all´a del nivel usual de secundaria. En varias ocasiones, necesitamos algunos conceptos de ´algebra elemental, y estos est´an resumidos en un ap´endice. Tambi´en hacemos algunas incursiones en el c´alculo (nociones tales como l´ımite, derivada, continuidad, y dem´ as), pero creemos que la mayor´ıa de los estu diantes que quieran seguir un curso relacionado con este libro tienen ya un conocimiento b´ asico de c´alculo. Los lectores de este libro pueden ser estudiantes universitarios no graduados de matem´ aticas o inform´ atica con una preparaci´ on matem´atica b´asica de la escuela secundaria (como es habitual en la mayor parte de Europa), y tambi´en para estudiantes m´as avanzados o reci´en graduados (en los Estados Unidos, por ejemplo). Tam-
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bi´en algunos graduados no especializados, como bi´ ologos o qu´ımicos, pueden encontrar en el texto una fuente de recursos. Para lectores matem´aticos m´as avanzados, el libro puede servir como una introducci´ on r´apida a la combinatoria. En clase. Este libro est´ a basado en un curso para no graduados que hemos estado impartiendo durante mucho tiempo a estudiantes de matem´aticas e inform´atica en la Universidad Karlova de Praga. El segundo autor tambi´en imparti´ o parte del mismo en la Universidad de Chicago, en la Universidad de Bonn y en la Universidad Simon Fraser en Vancouver. Nuestro curso semestral en Praga (13 semanas, con clases de 90 minutos y unos 90 minutos de tutor´ıa por semana) inclu´ıan t´ıpicamente el material de los Cap´ıtulos 1 a 8, con muchas secciones cubiertas s´olo parcialmente y algunas otras sin cubrir (como por ejemplo 2.6, 3.5, 3.6, 4.5, 7.3–7.5, 8.2). Mientras que en el libro a veces se prueba un resultado de varias maneras, nosotros present´abamos s´olo una demostraci´ on en clase, y las demostraciones alternativas fueron ocasionalmente explicadas en las tutor´ıas. A veces insert´abamos dos clases para funciones generadoras (10.1 a 10.3) o una clase sobre el espacio de ciclos de un grafo (11.4). Hemos a˜ nadido material para nuestro curso b´ asico (y a veces no tan b´ asico), confiando que as´ı el lector podr´ a tambi´en leer algunas otras cosas que vayan m´as all´a de las partes que son necesarias para un examen. Algunos cap´ıtulos, muchos, pueden servir como introducciones para cursos especializados (sobre el m´etodo probabil´ıstico o sobre los m´etodos del ´algebra lineal). Los u ´ltimos tres cap´ıtulos y la u ´ltima secci´on del cap´ıtulo sobre el n´ umero de ´arboles generadores son de este tipo. Este tipo de letra peque˜ na se usa como material de “segundo nivel”, es decir, cosas que consideramos suficientemente interesantes para ser incluidas, pero menos esenciales. Son aclaraciones, comentarios y ejemplos adicionales, a veces a un nivel m´as avanzado que en un texto b´ asico. El texto principal debe, en general, tener sentido incluso si se omite el texto en letra peque˜ na. Intentamos tambi´en incluir alguna informaci´ on avanzada dentro de los ejercicios. As´ı, incluso personas que no intenten resolver los ejercicios pueden leerlos si as´ı lo desean.
Sobre los ejercicios. Al final de la mayor parte de las secciones, el lector encontrar´ a una peque˜ na o gran colecci´on de ejercicios. Algunos de ellos s´olo est´an relacionados vagamente con el tema correspon-
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diente y se incluyen como diversi´ on o como educaci´on matem´atica general. Resolver como m´ınimo algunos ejercicios es una parte esencial del estudio de este libro, aunque sabemos que el ritmo de la vida moderna y la naturaleza humana dif´ıcilmente permiten al lector invertir tiempo y esfuerzo para resolver la mayor parte de los 451 ejercicios propuestos (aunque ´esta pueda ser a la larga la manera m´as r´apida de conocer el material cubierto). En general no hemos incluido ejercicios rutinarios que solamente requieran la aplicaci´ on directa de alguna “receta” dada, como puede ser: “Aplica este algoritmo para este grafo concreto”. Creemos que la mayor´ıa de los lectores pueden comprobar por s´ı mismos su nivel de comprensi´on. Clasificamos los ejercicios en tres grupos de dificultad (sin asterisco, un asterisco y dos asteriscos). Suponemos que un buen estudiante que haya entendido el contenido de una secci´ on debe ser capaz de resolver la mayor´ıa de los ejercicios sin asterisco, aunque no necesariamente sin esfuerzo. Los ejercicios con un asterisco normalmente necesitan alguna idea o un conocimiento matem´atico algo m´as avanzado (de c´alculo, por mencionar alguno) y finalmente, los ejercicios con dos asteriscos requieran probablemente alguna idea brillante. La mayor parte de los ejercicios tienen soluciones cortas; pensamos que los c´alculos largos y tediosos siempre pueden evitarse. Nuestra clasificaci´on sobre la dificultad es subjetiva, y un ejercicio que parece f´acil para alguien puede ser inabordable para otros. Por tanto, si el lector no puede resolver un ejercicio sin asterisco, no debe desesperarse. Algunos de los ejercicios est´an tambi´en indicados con CS , una abreviaci´ on para indicar ciencias de la computaci´ on. Estos son normalmente problemas sobre el dise˜ no de algoritmos eficientes, que a veces requieren un conocimiento elemental sobre estructuras de datos. Los algoritmos dise˜ nados pueden tambi´en ser programados y comprobados, y de esta forma proveemos material para un curso avanzado de programaci´ on. Algunos de los ejercicios CS con asteriscos pueden servir (y han servido) como sugerencias para posibles proyectos, ya que normalmente requieren una combinaci´ on de un cierto ingenio matem´ atico, trucos algor´ıtmicos y cierta habilidad para programar. En un cap´ıtulo aparte se proporcionan indicaciones para muchos de los ejercicios. Son realmente indicaciones, no soluciones completas, y aunque aceptar una ayuda puede deslucir el placer de resolver un
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problema, escribir la soluci´ on completa y detallada puede ser tambi´en un objetivo para muchos estudiantes. Sobre la literatura. En las referencias no mencionamos el origen de todas las ideas y resultados utilizados en este libro. Aqu´ı nos gustar´ıa resaltar, y recomendar, una de estas fuentes, una larga colecci´ on de problemas combinatorios resueltos por Lov´ asz [7]. Este libro es excelente para un estudio avanzado de combinatoria, y tambi´en como enciclopedia para muchos resultados y m´etodos conocidos. Parece imposible ignorarlo al escribir un nuevo libro de combinatoria, y un n´ umero significativo de los ejercicios dif´ıciles propuestos aqu´ı est´an seleccionados de, o inspirados por, los problemas (menos avanzados) de Lov´ asz. El libro de Biggs [1] es una bonita introducci´ on como libro de texto con un punto de vista diferente del nuestro. Ligeramente m´ as avanzados (adecuados como continuaci´ on de nuestro texto, digamos) son los libros de Van Lint y Wilson [6] y de Cameron [3]. El excelente texto introductorio de teor´ıa de grafos de Bollob´ as [2] est´a probablemente escrito con objetivos similares a los nuestros, pero con un ritmo m´as r´apido y cubriendo mucho m´ as la parte correspondiente a teor´ıa de grafos. Un libro de texto sobre teor´ıa de grafos, relativamente reciente, a nivel de licenciatura es el de Diestel [4]. El arte de la combinatoria computacional y an´ alisis asint´ otico est´a perfectamente explicado en un libro bien conocido de Graham, Knuth y Patashnik [5] (y tambi´en en la monograf´ıa de Knuth [38]). Si se busca algo espec´ıfico en combinatoria y no se sabe por d´ onde empezar, sugerimos el Handbook of Combinatorics [35]. Otras recomendaciones para la literatura est´an mencionadas a lo largo de todo el texto. El n´ umero de libros de texto en matem´atica discreta es vasto, y aqu´ı s´olo mencionamos algunos de los m´as estimados por nosotros. Sobre el ´ındice. Para la mayor´ıa de los t´erminos matem´aticos, especialmente los de significado general (como relaci´on, grafo), el ´ındice de t´erminos s´olo hace referencia a su significado. Los s´ımbolos matem´aticos formados por letras latinas (como Cn ) est´an colocados al principio de la secci´ on de s´ımbolos correspondiente. La notaci´ on que incluye s´ımbolos especiales (como X \ Y , G ∼ = H) y las letras griegas se encuentran tambi´en al principio del ´ındice. Agradecimientos. Una versi´ on preliminar checa de este libro fue desarrollada gradualmente en nuestras clases de Praga. Agradecemos a nuestros colegas del Departamento de Matem´atica Aplicada de la
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Universidad Karlova y a nuestros estudiantes su est´ımulo, sus comentarios y sugerencias sobre el texto y los ejercicios. En particular, Pavel Socha, Eva Matouˇskov´ a, Tom´aˇs Holan y Robert Babilon descubrieron cierto n´ umero de errores en la versi´on checa. Martin Klazar y Jiˇr´ı Otta proporcionaron una lista de una docena de problemas y ejercicios; esta lista fue el n´ ucleo inicial de nuestra colecci´on de ejercicios. Nuestro colega Jan Kratochv´ıl nos proporcion´ o inestimables observaciones basadas en su experiencia como profesor del curso. Agradecemos a Tom´aˇs Kaiser su sustancial ayuda en la traducci´ on de un cap´ıtulo al ingl´es. Adam Dingle y Tim Childers nos ayudaron con algunos comentarios en ingl´es en las primeras etapas de la traducci´ on. Jan Nekov´ aˇr fue muy amable al abandonar brevemente las cimas de la teor´ıa de n´ umeros y ofrecernos indicaciones para una adecuada demostraci´on del Hecho 10.7.1. Varias personas leyeron la versi´on inglesa en varias ocasiones y nos proporcionaron una claridad que probablemente nunca se nos hubiera ocurrido a nosotros. Un agradecimiento especial para Jeff Stopple por visitarnos en Praga, leer cuidadosamente todo el manuscrito y compartir con nosotros parte de su sabidur´ıa en cuanto a la ense˜ nanza. Estamos realmente en deuda con Mari Inaba y Helena Neˇsetˇrilov´ a ´tiles y diferentes de casi todos por sus comentarios, que fueron muy u los dem´as lectores. Fueron tambi´en importantes algunos informes obtenidos por Oxford University Press de algunos revisores an´ onimos. La mayor parte del trabajo de pulir y completar el libro se debe al primer autor durante su estancia en el Eidgen¨ ossische Technische Hochschule (ETH) de Zurich. Emo Welzl y los miembros de su equipo proporcionaron un entorno muy agradable y amistoso, incluso despu´es de que se les pidiera a cada uno de ellos la lectura de un cap´ıtulo, y as´ı la ayuda de Hans-Martin Will, Beat Trachsler, Bernhard von Stengel, Lutz Kettner, Joachim Giesen, Bernd G¨ artner, Johannes Bl¨omer y Artur Andrzejak se agradece realmente. Tambi´en agradecemos a Hee-Kap Ahn la lectura de un cap´ıtulo. A continuaci´ on nos gustar´ıa agradecer a Karel Hor´ ak, cuyas sugerencias de experto ayudaron al primer autor en sus dificultades para la presentaci´on final del libro (desafortunadamente, los tiempos en los que los libros eran mecanografiados por tip´ ografos profesionales parecen haberse terminado), y a Jana Chleb´ıkov´ a por una larga lista de correcciones tipogr´aficas menores.
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Casi todas las figuras fueron dibujadas por el primer autor usando el editor gr´ afico Ipe 5.0. En nombre de la humanidad, agradecemos a Otfried Cheong (anteriormente Schwarzkopf) su creaci´ on. Finalmente, no debemos olvidar que S¨ onke Adlung fue extremadamente amable con nosotros y muy u ´ til durante el proceso de edici´ on, y tambi´en fue un placer trabajar con Julia Tompson en las etapas finales de la preparaci´ on del libro. Un ruego final. Un texto largo de matem´aticas normalmente contiene un n´ umero sustancial de errores. Comparado con varias versiones preliminares del libro, hemos corregido un gran n´ umero de ellos, pero seguramente a´ un quedan algunos. Por consiguiente agradeceremos a los lectores que descubran errores, malas formulaciones, falsas ayudas en los ejercicios, etc., que nos lo comuniquen.2 Praga Febrero 1998
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J. M. J. N.
Se pueden enviar los correos electr´ onicos sobre este libro a
[email protected]. Actualmente se puede acceder a la p´ agina de Internet correspondiente al libro con la lista de errores. http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/IDM/.
´Indice 1. Introducci´ on y conceptos b´ asicos 1.1. Un surtido de problemas 1.2. N´ umeros y conjuntos: notaci´ on 1.3. Inducci´ on matem´atica y otras demostraciones 1.4. Funciones 1.5. Relaciones 1.6. Equivalencias 1.7. Conjuntos ordenados
1 2 8 17 27 35 40 43
2. Enumeraci´ on combinatoria 2.1. Aplicaciones y subconjuntos 2.2. Permutaciones y factoriales 2.3. Coeficientes binomiales 2.4. Estimaci´on: una introducci´ on 2.5. Estimaci´on: la funci´ on factorial 2.6. Estimaciones: coeficientes binomiales 2.7. Principio de inclusi´ on–exclusi´ on 2.8. La dama del guardarropa
51 51 57 60 71 80 88 93 99
3. Grafos: una introducci´ on 3.1. La noci´ on de grafo; isomorfismo 3.2. Subgrafos, componentes, adyacencias 3.3. Secuencia de grados de un grafo 3.4. Grafos eulerianos 3.5. Un algoritmo para un recorrido euleriano 3.6. Grafos dirigidos eulerianos 3.7. 2-conectividad
105 105 114 121 127 133 137 142
´ 4. Arboles 4.1. Definici´ on y caracterizaciones de los ´arboles 4.2. Isomorfismo de ´arboles ´ 4.3. Arboles generadores de un grafo 4.4. El problema del a´rbol generador minimal 4.5. Los algoritmos de Jarn´ık y de Bor˚ uvka
150 150 157 164 169 175
xvi ´Indice 5. Dibujar grafos en el plano 5.1. Dibujar en el plano y en otras superficies 5.2. Ciclos en grafos planares 5.3. La f´ ormula de Euler 5.4. Coloraci´on de mapas: el problema de los cuatro colores
181 181 189 196
6. Doble conteo 6.1. Argumentos de paridad 6.2. Teorema de Sperner para anticadenas 6.3. Un resultado de la teor´ıa extremal de grafos
218 218 228 235
7. N´ umero de ´ arboles generadores 7.1. El resultado 7.2. Una demostraci´ on v´ıa secuencia de grados 7.3. Una demostraci´ on con vertebrados 7.4. Una demostraci´ on usando el c´ odigo de Pr¨ ufer 7.5. Una demostraci´ on con determinantes
240 240 241 244 246 249
8. Planos proyectivos finitos 8.1. Definici´ on y propiedades b´ asicas 8.2. Existencia de planos proyectivos finitos 8.3. Cuadrados latinos ortogonales 8.4. Aplicaciones combinatorias
258 258 268 274 278
9. Probabilidad y demostraciones probabil´ısticas 9.1. Demostraciones por conteo 9.2. Espacios de probabilidad finitos 9.3. Variables aleatorias y su esperanza 9.4. Varias aplicaciones
281 281 288 299 306
10. Funciones generadoras 10.1. Aplicaciones combinatorias de polinomios 10.2. C´alculo con series de potencias 10.3. N´ umeros de Fibonacci y la raz´ on ´aurea ´ 10.4. Arboles binarios 10.5. Sobre tirar el dado 10.6. Paseo aleatorio 10.7. Particiones de enteros
316 316 320 332 340 345 347 350
11. Aplicaciones del ´ algebra lineal 11.1. Dise˜ nos de bloques
358 358
206
´Indice
11.2. Desigualdad de Fisher 11.3. Recubrir con grafos completos bipartitos 11.4. Espacio de ciclos de un grafo 11.5. Circulaciones y cortes: espacio de ciclos 11.6. Verificaci´ on probabil´ıstica
xvii 364 367 370 375 380
Ap´ endice: Prerrequisitos de ´ algebra
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Bibliograf´ıa
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Indicaciones para los ejercicios seleccionados
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´ Indice de t´ erminos
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1 Introducci´ on y conceptos b´asicos En este cap´ıtulo de introducci´ on veremos primero algunos ejemplos de los problemas y cuestiones que trataremos en este libro. Despu´es explicaremos algunas nociones y t´ecnicas b´asicas que se aplican en casi todas las ramas de las matem´aticas; la mayor´ıa de ellas fundamentales y sencillas. Supondremos que el lector est´a familiarizado o que, al menos, ha o´ıdo hablar de algunas de ellas. As´ı, nos limitaremos a revisar estas nociones, daremos las definiciones formales y descubriremos varias maneras de captar el significado de estos conceptos mediante diagramas y dibujos. El lector que prefiera una introducci´on m´as detallada de estas cuestiones b´asicas puede consultar, por ejemplo, el texto de Stewart y Tall [8]. En la Secci´ on 1.1 presentamos varios problemas que estudiaremos m´as adelante en este libro, junto con algunas reflexiones sobre la importancia de los problemas matem´aticos y otras cosas por el estilo. En la Secci´ on 1.2, que es un un repaso de la notaci´ on, introduciremos algunos s´ımbolos comunes de operaciones entre conjuntos o n´ umeros, como, por ejemplo, ∪ para la uni´ on de conjuntos o para la suma de una sucesi´on de n´ umeros. La mayor´ıa de estos s´ımbolos son est´andar, y el lector debe ser capaz de pasar r´ apidamente esta secci´on y mirar el ´ındice de vez en cuando para refrescar la memoria. En la Secci´ on 1.3 hablaremos de la inducci´ on matem´atica como m´etodo importante que se utilizan para demostrar afirmaciones en el contexto de la matem´atica discreta. Aqu´ı ser´a suficiente entender este principio b´ asico; en cap´ıtulos posteriores ya habr´ a muchas oportunidades para ver y practicar varias aplicaciones en las que se usa inducci´ on. En esta secci´on tambi´en comentaremos algo sobre las demostraciones matem´aticas en general.
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Introducci´ on y conceptos b´asicos
En la Secci´ on 1.4 recordaremos la noci´ on de funci´ on y definiremos algunos tipos especiales de funciones: las inyectivas, las suprayectivas y las biyectivas, t´erminos que se usar´an frecuentemente a lo largo de este libro. En las Secciones 1.5 a 1.7 hablaremos de relaciones y de algunos tipos especiales de relaciones, como las de equivalencia y las de orden. Estos u ´ ltimos t´erminos tambi´en pertenecen al conjunto de palabras realmente esenciales en el vocabulario matem´atico. Sin embargo, como son conceptos generales simples que a´ un no hemos revisado con ejemplos particulares interesantes, algunos lectores pueden encontrarlos, en una primera lectura,“demasiado abstractos”, una forma elegante de decir “aburridos”. Estos lectores pueden leer por encima estas secciones y volver a ellas m´as adelante. Por ejemplo, los conjuntos ordenados (Secci´ on 1.7) s´olo son necesarios para una comprensi´ on completa de la Secci´on 6.2 y tambi´en para algunos de los ejercicios de este libro, aunque ciertamente deben formar parte de una educaci´ on matem´atica m´as profunda. (Cuando se aprende una nueva lengua, memorizar las formas gramaticales del verbo “ser”no es precisamente demasiado apasionante, pero despu´es de un cierto tiempo puede llegar a ser realmente dif´ıcil hablar con fluidez sabie n do s´olo el “yo soy” o bien el “´el es”. Bien, esto es lo que tenemos que hacer en este cap´ıtulo: repasar el lenguaje matem´atico.)
1.1 Un surtido de problemas Veamos algunos de los problemas que trataremos en este libro. Aqu´ı presentaremos algunos problemas populares de las matem´aticas recreativas, por lo que es posible que el lector ya conozca algunos de estos rompecabezas”. Un problema bien conocido es el de las tres casas y los tres pozos. Hace ya tiempo, en una pradera de un reino lejano hab´ıa tres hermosas casas blancas, con agua limpia y fresca. Todo iba bien, hasta que un d´ıa los due˜ nos de las casas comenzaron a pelearse entre s´ı y no hab´ıa forma de resolver la disputa. Los habitantes de cada casa quer´ıan tener tres caminos que les llevaran de su puerta a cada uno de los tres pozos, tres caminos que no se cruzaran con ninguno de los caminos de sus vecinos. ¿Es posible encontrar alguna soluci´ on satisfactoria para todos ellos y devolver as´ı la paz al lugar?
1.1 Un surtido de problemas
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Con s´olo dos pozos habr´ıa una posible soluci´ on:
Pero con tres pozos, no hay esperanza (a no ser que aquellos hombres y mujeres tan orgullosos quisieran usar t´ uneles o puentes, lo que parec´ıa m´as bien improbable). ¿Sabr´ıas expresar este problema en lenguaje matem´atico y demostrar que no tiene soluci´ on? Esencialmente, ´este es un problema que implica dibujar en el plano. Muchos otros problemas que veremos en este libro pueden formularse tambi´en con dibujos. Si trazamos cada l´ınea una sola vez, ¿puede dibujarse la figura siguiente sin separar el l´ apiz del papel?
¿Y esta otra?
En caso negativo, ¿por qu´e no? ¿Existe alguna manera f´ acil de distinguir las figuras que pueden dibujarse de esta forma de aquellas que no lo permiten? (¿Podr´ıas encontrar historias bonitas que acompa˜ nen a este problema y tambi´en a los siguientes?) Para los problemas que siguen, dibuja 8 puntos en el plano de manera que ning´ un subconjunto de 3 puntos est´e sobre una misma recta (el n´ umero 8 es bastante arbitrario; en general podr´ıamos considerar n de estos puntos). Uniendo mediante segmentos algunos pares de puntos, obtenemos un dibujo como el que sigue:
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Introducci´ on y conceptos b´asicos
¿Cu´al es el n´ umero m´aximo de segmentos que pueden dibujarse de manera que no aparezca ning´ un tri´ angulo con v´ertices en los puntos? El dibujo siguiente tiene 13 segmentos:
Con estos 8 puntos, ¿se puede trazar alg´ un segmento m´as sin que exista ning´ un tri´ angulo? Seguramente lo conseguir´ as, pero ¿puedes demostrar que tu resultado es el mejor posible? Supongamos ahora que queremos dibujar algunos segmentos de manera que dos puntos cualesquiera puedan unirse mediante el camino formado por los segmentos dibujados. En este camino s´olo est´a permitido cambiar de segmento en los puntos y no en los cruces. En el dibujo de abajo situado a la izquierda tenemos una soluci´ on v´ alida, mientras que en el de la derecha tenemos otra que no lo es:
¿Cu´al es el n´ umero m´ınimo de segmentos que podemos trazar? ¿Y cu´antas soluciones diferentes existen con este n´ umero m´ınimo de segmentos? ¿C´omo podemos encontrar una soluci´ on para que la longitud total de todos los segmentos dibujados sea la menor posible? Todos estos problemas son versiones populares de algunas cuestiones b´asicas y sencillas de la teor´ıa de grafos, que es uno de los principales temas de este libro (tratado en los Cap´ıtulos 3, 4 y 5).
1.1 Un surtido de problemas
5
En los problemas anteriores con los 8 puntos del plano, es f´ acil ver que la posici´ on en que se dibujan los puntos es irrelevante; lo importante es cu´ales son los pares de puntos que se unen mediante un segmento y cu´ales no. La mayor´ıa de las ramas en teor´ıa de grafos tratan con problemas que pueden expresarse en forma geom´etrica pero en los que la geometr´ıa no juega ning´ un papel esencial. Sin embargo, el problema de las casas y los pozos pertenece a una parte “realmente” geom´etrica de la teor´ıa de grafos. All´ı era esencial que los caminos pudieran construirse en el plano. Si las casas y los pozos estuvieran en un planeta con forma de neum´ atico, entonces el problema tendr´ıa soluci´on:
La enumeraci´ on combinatoria, tratada en los Cap´ıtulos 2 y 10, es otro tema importante de este libro. En este caso los problemas normalmente empiezan as´ı “¿Cu´antas maneras hay de . . . ”, o algo similar. Ya se mencion´o una pregunta de este tipo en nuestra serie de problemas de los “8 puntos” (y la totalidad del Cap´ıtulo 7 est´a dedicada a ello). Probablemente ya habr´ as visto montones de problemas de este tipo; pero perm´ıtenos a˜ nadir uno m´ as. ¿De cu´antas maneras se pueden repartir n monedas en grupos? Por ejemplo, 4 monedas se pueden repartir de 5 maneras: 1 + 1 + 1 + 1 (4 grupos de 1 moneda cada uno), 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2 y 4 (todas en un grupo, que no es realmente un “reparto” en el sentido que lo entiende la mayor´ıa de la gente, ¡pero qu´e se puede esperar de los matem´aticos!). Aunque existe una f´ ormula exacta para resolver este problema, nosotros no seremos capaces de darla aqu´ı porque su deducci´ on va m´as all´a del alcance de este libro. No obstante, obtendremos al menos una estimaci´on para este n´ umero, una funci´ on de n, y esta estimaci´on nos
1.2 N´ umeros y conjuntos: notaci´ on
11
elemento es ignorada: ¡el mismo elemento no puede estar contenido dos veces en el mismo conjunto! Con esta notaci´on, {2, 4, 6, 8, . . .} significa el conjunto de todos los n´ umeros naturales pares. El patr´ on apropiado que describe los elementos del conjunto deber´ıa ser evidente a primera vista. En el ejemplo, se entiende f´ acilmente que 1 2 3 {2 , 2 , 2 , . . .} denota el conjunto de todas las potencias de 2, mientras que {2, 4, 8, . . .} es menos claro. Pares ordenados y no ordenados. Como ya sabemos, el s´ımbolo {x, y} denota al conjunto que contiene exactamente los elementos x e y. En este caso particular, al conjunto {x, y} se le llama a veces el par no ordenado de x e y. Recordemos que {x, y} es lo mismo que {y, x}, y si x = y, entonces {x, y} es un conjunto con un u ´nico elemento. Tambi´en introducimos la notaci´ on (x, y) para el par ordenado de x e y. En este caso el orden de los elementos x e y es importante. Tenemos por tanto lo siguiente: (x, y) = (z, t) si y s´olo si x = z e y = t.
(1.1)
Curiosamente, el par ordenado se puede definir usando la noci´ on de par no ordenado, como sigue: (x, y) = {{x}, {x, y}} . Puedes verificar que los pares ordenados definidos de esta manera satisfacen la condici´ on (1.1). Sin embargo, en este texto ser´ a m´as f´acil para nosotros considerar (x, y) como otra noci´on primitiva.
De forma similar, escribimos (x1 , x2 , . . . , xn ) para la n-tupla ordenada formada por los elementos x1 , x2 , . . . , xn . Un caso particular de este convenio es la manera de escribir un punto del plano con coordenadas x e y como (x, y), y de forma an´ aloga para puntos o vectores en espacios de dimensiones superiores. Definir conjuntos. Habitualmente los conjuntos m´ as complicados e interesantes se crean a partir de conjuntos conocidos usando alguna regla. El conjunto de todos los cuadrados de los n´ umeros naturales se puede escribir {i2 : i ∈ N} o tambi´en {n ∈ N: existe k ∈ N tal que k 2 = n} o, usando el s´ımbolo ∃ para “existe”:
12
Introducci´ on y conceptos b´asicos
{n ∈ N: ∃k ∈ N (k 2 = n)}. Otro ejemplo es una definici´ on formal del intervalo abierto (a, b) introducido anteriormente: (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}. Observa que el s´ımbolo (a, b) tanto puede denotar el intervalo abierto como el par ordenado formado por a y b. Estos dos significados deben distinguirse por el contexto (normalmente se puede). Esto es com´ un en todas las matem´aticas: muchos s´ımbolos, como los par´entesis en este caso, se usan de varias maneras distintas. Por ejemplo, (a, b) puede tambi´en denotar el m´aximo com´ un divisor de los n´ umeros naturales a y b (significado que evitaremos en este libro). Con los modernos sistemas de tipograf´ıa, no hay problema en usar cualquier clase de alfabetos y s´ımbolos, incluidos los jerogl´ıficos y por tanto alguien podr´ıa pensar en cambiar la notaci´ on en tales casos. Pero los matem´aticos tienden m´as bien a ser conservadores y la literatura existente es muy vasta, por lo que las nuevas notaciones tienen en general una vida corta.
El conjunto vac´ıo. Un conjunto importante es el que no contiene ning´ un elemento en absoluto. Solamente existe uno de estos conjuntos y normalmente se denota por ∅ y se llama conjunto vac´ıo. Cabe destacar que el conjunto vac´ıo puede ser un elemento de otro conjunto. Por ejemplo, {∅} es el conjunto que contiene el conjunto vac´ıo como un elemento, y por tanto no es el mismo conjunto que ∅. Sistemas de conjuntos. En matem´aticas tratamos a menudo con conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos. Por ejemplo, podemos definir el conjunto M = {{1, 2}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {4}}, cuyos elementos son cuatro conjuntos de n´ umeros naturales, m´as precisamente cuatro subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4}. En la matem´atica discreta se encuentran este tipo de conjuntos muy a menudo. Para evitar decir “conjunto de conjuntos”, usamos el concepto de sistema de conjuntos o de familia de conjuntos. Podr´ıamos as´ı decir que M es una familia de conjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4}. Estas familias de conjuntos se suelen denotar con letras caligr´ aficas may´ usculas, como M. Sin embargo, est´ a claro que una distinci´ on as´ı, usando varios tipos de letras, no puede ser siempre coherente; ¿qu´e hacemos si nos encontramos con un conjunto de conjuntos de conjuntos?
1.2 N´ umeros y conjuntos: notaci´ on
13
La familia formada por todos los posibles subconjuntos de alg´ un 3 X conjunto X se denota con el s´ımbolo 2 y a veces se llama potencia del conjunto X. Otra notaci´ on que aparece frecuentemente en la literatura para este conjunto es P(X), llamado partes de un conjunto. Tama˜ no de un conjunto. Una gran parte de este libro se dedica a contar varias clases de objetos. Por lo tanto es muy importante la notaci´ on que usemos para considerar el n´ umero de elementos de un conjunto finito X. Lo escribimos usando el mismo s´ımbolo que para el valor absoluto de un n´ umero: |X|. Una notaci´ on m´ as general para sumas y productos. A veces resulta ventajoso utilizar una forma m´ as general para escribir una n suma que usar el patr´ on i=1 ai . Por ejemplo,
i2
i∈{1,3,5,7}
significa la suma 12 + 32 + 52 + 72 . Bajo el signo de sumatorio, escribimos primero la variable y a continuaci´ on el conjunto de valores sobre los que se extiende la suma. Tenemos mucha libertad para denotar este conjunto de valores. A veces puede ser descrito en parte con palabras, como en el ejemplo siguiente:
i = 2 + 3 + 5 + 7.
i: 1≤i≤10 i es primo
Si el conjunto de valores para la suma es vac´ıo, el valor de la suma se define como 0, independientemente de lo que aparezca despu´es del signo sumatorio. Por ejemplo : 0 (i + 10) = 0, i=1
i4 = 0.
i∈{2,4,6,8} i impar
Una notaci´ on similar a la del sumatorio tambi´ emplear en se puede j para los productos. Un producto vac´ıo, como j: 2≤j<1 2 , se define siempre como 1 (no 0 como para una suma vac´ıa). 3
Esta notaci´ on puede parecer extra˜ na, pero es tradicional y tiene sus razones. Por ejemplo, ayuda a recordar que un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos; ver la Proposici´ on 2.1.2.
14
Introducci´ on y conceptos b´asicos
Operaciones con conjuntos. Usando la noci´ on primitiva de miembro de un conjunto, ∈, podemos definir nuevas relaciones entre conjuntos y tambi´en otras operaciones con conjuntos. Por ejemplo, dos conjuntos X e Y se consideran id´enticos (iguales) si tienen los mismos elementos. En este caso escribimos X = Y . Otras relaciones entre conjuntos pueden definirse de forma similar. Por ejemplo, si X, Y son conjuntos, X ⊆ Y (en palabras: “X es un subconjunto de Y ”) significa que cada elemento de X pertenece tambi´en a Y . La notaci´on X ⊂ Y denota a veces que X es un subconjunto de Y pero X no es igual a Y . Esta distinci´ on entre ⊆ y ⊂ no est´a muy unificada en la literatura, y algunos autores pueden usar ⊂ como sin´onimo de nuestro ⊆.
Las notaciones X ∪ Y (uni´ on de X e Y ) y X ∩ Y (intersecci´on de X e Y ) se pueden definir como sigue: X ∪ Y = {z: z ∈ X ‘´ o’ z ∈ Y },
X ∩ Y = {z: z ∈ X ‘y’ z ∈ Y }.
Si queremos expresar que los conjuntos X e Y de la uni´ on son dis˙ . La expresi´on X \ Y denota juntos, escribimos la uni´ on como X ∪Y la diferencia entre los conjuntos X e Y , es decir, el conjunto de todos los elementos que pertenecen a X pero no a Y . Los s´ımbolos ∪ y ∩ se pueden usar de la misma forma que los s´ımbolos y . Por lo tanto, si X1 , X2 , . . . , Xn son conjuntos, su uni´ on se puede escribir como n
Xi
(1.2)
i=1
y de forma similar para la intersecci´ on. Observa que esta notaci´on s´olo es posible (o correcta) s´olo porque las operaciones de uni´on e intersecci´on son asociativas; esto es, para tres conjuntos cualesquiera X, Y, Z, X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z y X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z. En consecuencia, la manera de “poner par´entesis” en la uni´on de 3 conjuntos cualesquiera, y en general de cualquier n´ umero n de conjuntos, no tiene importancia, y el valor com´ un se puede denotar como en (1.2).
20
Introducci´ on y conceptos b´asicos
razonable, incluso cuando la afirmaci´ on trata con una situaci´ on tan complicada que su verdad no se puede demostrar con pruebas directas. Dif´ıcilmente se puede ver directamente que no existen dos √ m un as´ı podemos creer n´ umeros naturales m, n tales que n = 2, y a´ completamente en este hecho porque se puede probar mediante una cadena de simples pasos l´ogicos. A los estudiantes a menudo no les gustan las demostraciones, incluso a los estudiantes de matem´aticas. Una raz´on puede ser que nunca han sentido la satisfacci´ on que se experimenta al comprender una demostraci´ on elegante e inteligente o nunca han obtenido por s´ı mismos una buena demostraci´ on. Uno de nuestros objetivos m´ as relevantes es el de ayudar al lector a adquirir la habilidad de probar rigurosamente afirmaciones matem´aticas sencillas. Una posible objeci´ on es que la mayor´ıa de los estudiantes nunca necesitar´an tales demostraciones en su futuro profesional. Creemos que aprender a demostrar teoremas matem´aticos ayuda a desarrollar h´ abitos de pensamiento u ´tiles, tales como trabajar con nociones o ideas claras y precisas, formular exactamente pensamientos y afirmaciones, y no pasar por alto las posibilidades que no son tan obvias. Estos h´ abitos tienen un valor incalculable, por ejemplo, a la hora de escribir programas inform´ aticos que no generen un error cada vez que las circunstancias normales de funcionamiento cambien ligeramente.
En general, el arte de encontrar y escribir demostraciones se aprende a partir de ejemplos6 , mostrando al estudiante muchas demostraciones (que creemos) correctas y “buenas”, y se˜ nalando los posibles errores en las demostraciones propuestas por estudiantes. Estos u ´ ltimos ejemplos “negativos”(los errores de los estudiantes) no son muy importantes, y puesto que un libro es un medio de comunicaci´on unidireccional, hemos decidido incluir tambi´en algunos ejemplos negativos, es decir, intentos de demostraciones que son err´oneas y, seg´ un nuestra experiencia, t´ıpicos en estudiantes primerizos. Estas demostraciones intencionadamente err´oneas se presentan en un tipo de letra especial como ´esta. En el resto de esta secci´on veremos algunos errores bastante comunes. (Queremos advertir que los tipos de errores que hay en algunas demostraciones son numeros´ısimos y de ninguna manera tenemos la intenci´ on de clasificarlos.) Una situaci´ on bastante frecuente es que el estudiante no entiende el problema correctamente. En la formulaci´ on de un problema puede 6
!Ni siquiera nosotros intentaremos decir qu´e es una demostraci´ on ni c´ omo se hace una!
42
Introducci´ on y conceptos b´asicos
(i) El conjunto R[x] siempre contiene a x, ya que R es una relaci´on reflexiva. (ii) Sean x, y dos elementos. Distinguimos dos casos: a) Si xRy, primero probamos R[x] ⊆ R[y]. Efectivamente, si z ∈ R[x], entonces sabemos tambi´en que zRx (por la simetr´ıa de R) y por tanto zRy (gracias a la transitividad de R). As´ı tambi´en z ∈ R[y]. Usando la simetr´ıa de nuevo, tenemos que xRy implica que R[x] = R[y]. b) Supongamos que xRy no se cumple. Queremos ver que R[x]∩ R[y] = ∅. Procedemos por contradicci´ on. Supongamos que existe z ∈ R[x] ∩ R[y]. Entonces xRz y zRy (por la simetr´ıa de R), y xRy (por la transitividad de R), lo cual es una contradicci´ on. (iii) Esta parte es obvia, ya que la clase de equivalencia determina R como sigue: xRy si y s´olo si {x, y} ⊆ R[x]. 2 La proposici´ on anterior explica el dibujo anterior. Garantiza que las clases de equivalencia forman una partici´ on del conjunto X; es decir, una familia de subconjuntos de X dos a dos disjuntos cuya uni´ on es todo X. Por otro lado, cualquier partici´ on de X determina exactamente una equivalencia sobre X. Esto es, existe una aplicaci´on biyectiva del conjunto de todas las equivalencias de X sobre el conjunto de todas las particiones de X. Ejercicios 1. Formula las condiciones de reflexividad, simetr´ıa y transitividad de una relaci´ on, usando su matriz de adyacencia. 2. Prueba que una relaci´ on R es transitiva si y s´olo si R ◦ R ⊆ R. 3. (a) Prueba que para cualquier relaci´ on R, la relaci´on T = R ∪ R ◦ R ∪ R ◦ R ◦ R ∪ . . . (la uni´ on de todas las m´ ultiples composiciones de R) es transitiva. (b) Prueba que cualquier relaci´ on transitiva que contenga R como subconjunto tambi´en contiene a T . (c) Prueba que si |X| = n, T = R ∪ (R ◦ R) ∪ · · · ∪ (R ◦ R ◦ · · · ◦ R). (n−1)×
Observaci´ on. La relaci´on T como en (a), (b) es la menor relaci´on transitiva que contiene a R, y se la llama la clausura transitiva de R.
1.7 Conjuntos ordenados
43
4. Sean R y S dos equivalencias arbitrarias sobre un conjunto X. Decide cu´ales de las siguientes relaciones son tambi´en equivalencias (en caso afirmativo, pru´ebalo; en caso contrario da un contraejemplo). (a) R ∩ S (b) R ∪ S (c) R \ S (d) R ◦ S. 5. (a) Supongamos que R es una relaci´on transitiva sobre el conjunto Z de todos los enteros, y sabemos que para cualquier par de enteros a, b ∈ Z, si |a − b| = 2 entonces aRb. Cada R que satisface estas condiciones, ¿es necesariamente una equivalencia? (Observa que un par de elementos puede estar en R incluso si no satisface las condiciones dadas.) (b) Supongamos que R es una relaci´on transitiva sobre Z, y sabemos que para cualquier par de enteros a, b ∈ Z, si |a − b| ∈ {3, 4}, entonces aRb. ¿Es R necesariamente una equivalencia? 6. Una congruencia es una equivalencia ∼ sobre el conjunto Z (los enteros): si se cumple la siguiente condici´on para todos los a, x, y ∈ Z, entonces si x ∼ y, tambi´en se cumple a + x ∼ a + y. (a) Sea q un entero no nulo. Define una relaci´ on ≡q sobre Z permitiendo que x ≡q y si y s´olo si q divide a x − y. Comprueba que ≡q es una congruencia de acuerdo con la definici´ on anterior. (b) ∗ Prueba que cualquier congruencia sobre Z es o bien de la forma un q, o bien la relaci´ on diagonal {(x, x): x ∈ Z}. ≡q para alg´ (c) Supongamos que en la definici´ on de congruencia sustituimos la condici´ on “a + x ∼ a + y” por “ax ∼ ay”. Para esta clase de “congruencia multiplicativa”, ¿contin´ ua siendo cierta la afirmaci´ on de (a)? ∗ ¿Y qu´e hay acerca de la afirmaci´on de (b)?
1.7 Conjuntos ordenados El lector est´a ciertamente familiarizado con el orden de los n´ umeros naturales, y de otros conjuntos de n´ umeros, por magnitud (el orden “habitual” de los n´ umeros). En matem´aticas, un orden as´ı se considera como un tipo especial de relaci´ on, es decir, un conjunto de pares de n´ umeros. En el caso que acabamos de mencionar, esta relaci´on se denota normalmente por el s´ımbolo “≤” (“menor o igual que”). Tambi´en se pueden definir o´rdenes sobre otros conjuntos, tales como el conjunto de todas las palabras en alg´ un lenguaje, y un conjunto se puede ordenar de muchas maneras diferentes, incluso ex´ oticas. Antes de introducir la noci´on general de conjunto ordenado definiremos una noci´ on auxiliar. Una relaci´ on R sobre un conjunto X se
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Introducci´ on y conceptos b´asicos
llama antisim´etrica13 si, para todo x, y ∈ X, xRy e yRx implica x = y. Cuando describimos una relaci´ on por flechas, en una relaci´ on antisim´etrica la siguiente situaci´on est´a prohibida: x
y
1.7.1 Definici´ on. Un orden en un conjunto X es cualquier relaci´on sobre X que sea reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Un conjunto ordenado es un par (X, R), donde X es un conjunto y R es un orden sobre X. Observa la similitud formal de esta definici´ on con la definici´ on de equivalencia. Las definiciones son casi id´enticas: “solamente”se ha cambiado la palabra sim´etrica por la palabra antisim´etrica. Aun as´ı, los conceptos de equivalencias y ´ordenes son muy diferentes.
Los s´ımbolos o ≤ se usan habitualmente para designar o´rdenes. El primero de ellos es u ´til, por ejemplo, cuando queremos hablar de alg´ un otro orden diferente del usual para el conjunto de n´ umeros naturales o, en general, si consideramos alg´ un orden arbitrario sobre un conjunto. Si tenemos alg´ un orden , definimos una relaci´ on a partir de la “desigualdad estricta”, ≺, como sigue: a ≺ b si y s´olo si a b y a = b. Tambi´en podemos introducir la “desigualdad inversa” , aceptando a b si y s´olo si b a. Ejemplos. Hemos mencionado ya varios ejemplos de conjuntos ordenados ; ´estos eran (N, ≤), (R, ≤), y otros similares, donde ≤ por supuesto denota el orden usual, entendido formalmente como una relaci´on. Es f´ acil comprobar que si R es un orden sobre un conjunto X, y Y ⊆ X es alg´ un subconjunto de X, la relaci´on R∩Y 2 (la restricci´on de R sobre Y ) es un orden sobre Y . Intuitivamente, ordenamos los elementos de Y de igual forma que antes pero olvidando los dem´ as elementos. Esto produce nuevos ejemplos de conjuntos ordenados, como por ejemplo los subconjuntos de n´ umeros reales con el orden usual. 13
A veces se le llama d´ ebilmente antisim´etrica, mientras que en una relaci´ on fuertemente antisim´etrica nunca aparecen a la vez xRy e yRx, es decir, xRx est´ a tambi´en excluido.
1.7 Conjuntos ordenados
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´ Ordenes lineales. Los ejemplos expuestos hasta ahora tienen un hecho significativo en com´ un: dos elementos cualesquiera del conjunto implicado se pueden comparar; en otras palabras, para dos elementos distintos cualesquiera x e y se cumple o bien x ≤ y o bien y ≤ x. Esta propiedad no forma parte de la definici´ on de orden, y los ´ordenes que la poseen se llaman ´ordenes lineales (a veces se usa el t´ermino orden total con el mismo significado). Otros ejemplos de ´ ordenes. ¿Qu´e aspecto tienen los ´ordenes que no son lineales? Por ejemplo, sobre cualquier conjunto X, podemos definir una relaci´ on ∆ en la que cada elemento x est´a en relaci´on s´olo consigo mismo, es decir, ∆ = {(x, x): x ∈ X}. Se comprueba f´ acilmente que esta relaci´on satisface la definici´ on de orden, pero este es un ejemplo m´as bien tonto. Antes de dar m´ as ejemplos, haremos una observaci´ on sobre la terminolog´ıa. Para enfatizar que estamos hablando de un orden no necesariamente lineal, usamos a veces el t´ermino m´as largo: el de orden parcial. un orden parcial significa exactamente lo mismo que orden (sin m´ as adjetivos), de modo que un orden parcial tambi´en puede ser lineal. Del mismo modo, en lugar de un conjunto ordenado, se habla a veces de conjunto parcialmente ordenado . Para abreviar este t´ermino tan largo, se usa con frecuencia la palabra artificial poset.14 Describamos ejemplos m´as interesantes de conjuntos parcialmente ordenados. 1.7.2 Ejemplo. Imaginemos que queremos comprar, por ejemplo, una nevera. Intentemos simplificar la complicada situaci´ on real con una abstracci´ on matem´atica, y supongamos que s´olo tenemos en cuenta tres par´ametros num´ericos sobre neveras: su coste, el consumo de electricidad y el volumen del espacio interior. Si consideramos dos tipos de neveras, el primero de los cu´ales es m´as caro, consume m´as energ´ıa y tiene una menor cabida para la comida, entonces el segundo tipo se puede considerar mejor; la mayor´ıa de la gente que compra neveras estar´ıa de acuerdo en esto. Por otro lado, alguien puede preferir una nevera m´ as peque˜ na y m´as barata, otro puede preferir una nevera m´ as grande aunque sea m´as cara, y un cliente preocupado por el medio ambiente puede incluso comprar una nevera cara si ahorra energ´ıa. 14
Especie de acr´ onimo del ingl´es partially ordered set, pero de uso tan com´ un que introducimos tambi´en su uso en castellano (N.T.)
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Introducci´ on y conceptos b´asicos
En este sentido, la relaci´ on “ser claramente peor” (denotada por
) es un orden parcial sobre el conjunto de las neveras, o reformulado matem´aticamente, sobre el conjunto de triples (c, p, v) de n´ umeros reales (donde c representa el coste, p la potencia que consume y v el volumen), definido como sigue: (c1 , p1 , v1 ) (c2 , p2 , v2 ) si y s´olo si c1 ≥ c2 , p1 ≥ p2 y v1 ≤ v2 .
(1.3)
1.7.3 Ejemplo. Para n´ umeros naturales a, b, el s´ımbolo a|b significa “a divide a b”. En otras palabras, existe un n´ umero natural c tal que b = ac. La relaci´on “|” es un orden sobre N. Dejamos esta verificaci´on para el lector. 1.7.4 Ejemplo. Sea X un conjunto. Recuerda que el s´ımbolo 2X denota el familia de todos los subconjuntos del conjunto X. La relaci´on “⊆” (un subconjunto) define un orden parcial sobre 2X. Representaciones gr´ aficas de conjuntos parcialmente ordenados. Los ´ordenes finitos se pueden dibujar usando flechas, como en cualquier otra relaci´ on. En general tales dibujos contienen muchas flechas. Por ejemplo, para un conjunto de 10 elementos linealmente ordenados podr´ıamos tener que dibujar 10 + 9 + · · · + 1 = 55 flechas y lazos. Sin embargo, varias flechas se pueden reconstruir por transitividad: si sabemos que x y y y z, entonces tambi´en x z, as´ı podemos omitir la flecha de x a z. De forma an´ aloga, no necesitamos dibujar los lazos, puesto que ya sabemos que ´estos est´an siempre all´ı. Para conjuntos ordenados finitos, toda la informaci´ on se obtiene a partir de la relaci´ on de “inmediato predecesor” que ahora vamos a definir. Sea (X, ) un conjunto ordenado. Decimos que un elemento x ∈ X es un inmediato predecesor del elemento y ∈ X si x ≺ y, y no existe t ∈ X tal que x ≺ t ≺ y. Denotamos la relaci´on de inmediato predecesor por . La afirmaci´on que dice que el orden puede reconstruirse a partir de la relaci´on , se puede formular de forma precisa como sigue: 1.7.5 Proposici´ on. Sea (X, ) un conjunto finito ordenado, y sea el correspondiente inmediato predecesor de la relaci´on. Entonces, para dos elementos cualesquiera x, y ∈ X, se cumple x ≺ y si y s´olo si existen elementos x1 , x2 , . . . , xk ∈ X tales que xx1 · · ·xk y (posiblemente con k = 0, es decir, tambi´en podemos tener x y).
1.7 Conjuntos ordenados
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Demostraci´ on Una implicaci´on es f´acil de ver: si tenemos x x1 · · · xk y, entonces tambi´en x x1 · · · xk y (ya que el predecesor inmediato est´a contenido en la relaci´ on de orden), y por la transitividad de , tenemos que x y. La implicaci´on contraria tampoco es dif´ıcil, y la probaremos por inducci´ on. Probamos primero la siguiente afirmaci´ on: Lema. Sean x, y ∈ X, x ≺ y, dos elementos tales que existen como m´aximo n elementos t ∈ X que satisfacen x ≺ t ≺ y (es decir, “entre” x y y). Entonces existen x1 , x2 , . . . , xk ∈ X tales que x x1 · · · xk y. Para n = 0, la hip´ otesis asegura que no existe t con x ≺ t ≺ y, y as´ı x y, lo cual significa que la afirmaci´ on se cumple (elegimos k = 0). Supongamos que el lema se cumple para todo n hasta alg´ u n n0 , y elegimos x ≺ y tal que el conjunto Mxy = {t ∈ X: x ≺ t ≺ y} tiene n = n0 + 1 elementos. Elegimos un elemento u ∈ Mxy , y consideramos los conjuntos Mxu = {t ∈ X: x ≺ t ≺ u} y Muy definidos de forma similar. Por la transitividad de ≺ deducimos que Mxu ⊂ Mxy y Muy ⊂ Mxy . Ambos, Mxu y Muy tienen como m´ınimo un elemento menos que otesis de inducci´on, Mxy (ya que u ∈ Mxu , u ∈ Muy ) y, por la hip´ encontramos elementos x1 , . . . , xk e y1 , . . . , y de modo que x x1 · · · xk u y u y1 · · · y y. Combinando estas dos “cadenas” obtenemos la secuencia deseada que conecta x con y. 2
Por la Proposici´ on anterior, es suficiente dibujar las flechas de la relaci´on “inmediato predecesor”. Si aceptamos el convenio que todas las flechas del dibujo est´an dirigidas hacia arriba (esto significa que si x ≺ y entonces y est´a dibujado m´ as arriba que x), no necesitamos ni siquiera dibujar la direcci´ on de las flechas: es suficiente dibujar segmentos que conecten los puntos. Este dibujo que corresponde a un conjunto parcialmente ordenado se llama diagrama de Hasse. La figura siguiente muestra un conjunto de siete elementos ordenado linealmente como ({1, 2, . . . , 7}, ≤):
La figura siguiente muestra el conjunto {1, 2, . . . , 10} ordenado por la relaci´on de divisibilidad (ver Ejemplo 1.7.3):
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Introducci´ on y conceptos b´asicos 8
10
4
9 6
2
7
5 3 1
La siguiente figura es un diagrama de Hasse del conjunto {1, 2, 3} × {1, 2, 3} con el orden dado por la regla (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) si y s´olo si a1 ≤ a2 y b1 ≤ b2 : (3, 3) (3, 2)
(2, 3)
(2, 2)
(1, 3)
(3, 1)
(2, 1)
(1, 2) (1, 1)
Finalmente, aqu´ı tenemos un diagrama de Hasse del conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, 3} ordenados por inclusi´ on: {1, 2, 3} {1, 3}
{1, 2} {1}
{2}
{2, 3} {3}
∅
Otros ejemplos y nociones relativas a posets se dejan para los ejercicios. La teor´ıa de posets finitos es una importante y floreciente rama de la combinatoria. El lector puede aprender sobre esta rama en Trotter [28]. Ejercicios 1. Dado un conjunto X, describe todas las relaciones que sean equivalencias y ´ordenes (parciales) al mismo tiempo. 2. Sean R y S ´ordenes parciales arbitrarios sobre un conjunto X. Decide cu´ales de las siguientes relaciones son necesariamente ´ordenes parciales: (a) R ∩ S (b) R ∪ S
1.7 Conjuntos ordenados
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(c) R \ S (d) R ◦ S. 3. Verifica que la relaci´ on (1.3) en el Ejemplo 1.7.2 define realmente un orden parcial. on sobre un conjunto X tal que no existe ninguna 4. ∗ Sea R una relaci´ sucesi´on finita de elementos x1 , x2 , . . . , xk de X que satisfagan x1 Rx2 , x2 Rx3 ,. . . , xk−1 Rxk , xk Rx1 (decimos que R es ac´ıclico). Prueba que existe un orden sobre X tal que R ⊆ . Puedes suponer que X es finito. 5. (a) Considera el conjunto {1, 2, . . . , n} ordenado por la relaci´ on de divisibilidad | (ver Ejemplo 1.7.3). ¿Cu´ al es el m´aximo n´ umero posible de elementos de un conjunto X ⊆ {1, 2, . . . , n} que est´e ordenado linealmente por la relaci´ on | (un conjunto X as´ı se llama cadena)? (b) Responde a la misma cuesti´on para el conjunto 2{1,2,...,n} ordenado por la relaci´ on ⊆ (ver Ejemplo 1.7.4). 6. Muestra que la proposici´ on 1.7.5 puede ser falsa para conjuntos infinitos. 7. Sea (X, ) un poset. Un elemento a ∈ X se llama un elemento m´ aximo de X si para cada x ∈ X, se cumple x a, y un elemento maximal de X si no existe y ∈ X tal que a ≺ y. De forma similar se definen un elemento m´ınimo y un elemento minimal. (a) Muestra que los elementos m´aximos son siempre maximales, y encuentra un ejemplo de un poset con un elemento maximal pero que no tenga m´aximos. (b) Encuentra un poset que no tenga elemento m´ınimo y tampoco tenga elemento minimal, pero que posea un elemento m´aximo. on 8. ∗ Sea cualquier orden (parcial) sobre un conjunto X. Una extensi´ lineal de es cualquier orden lineal ≤ sobre X tal que x y implica x ≤ y para cada x, y ∈ X. (Si no pareciera tan extra˜ no, podr´ıamos escribir esta condici´on de forma compacta como ⊆ ≤.) Prueba que cualquier orden parcial sobre un conjunto finito X tiene como m´ınimo una extensi´ on lineal. 9. Sean (X, ≤) e (Y, ) dos conjuntos ordenados. Decimos que son isomorfos (esto es, que “parecen ser iguales” desde el punto de vista del orden) si existe una biyecci´ on f : X → Y tal que para cada x, y ∈ X, tenemos x ≤ y si y s´olo si f (x) f (y). (a) Dibuja los diagramas de Hasse para todos los posets de 3 elementos que no sean isomorfos.
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Introducci´ on y conceptos b´asicos (b) Prueba que cualquier par de conjuntos de n elementos linealmente ordenados son isomorfos. (c) Encuentra dos o´rdenes no lineales isomorfos del conjunto de todos los n´ umeros naturales. (d) ¿Puedes encontrar una cantidad infinita de o´rdenes lineales no isomorfos en N? ¿Una cantidad no numerable (para los lectores que saben algo sobre cardinales de conjuntos infinitos)?
10.
∗
Prueba que para cada poset finito (X, ) existe un conjunto finito A y una familia M de subconjuntos de A tal que el conjunto ordenado (M, ⊆) es isomorfo a (X, ). (En el Ejercicio 9 definimos el isomorfismo de un poset.)
11. Sea (X, ) un poset y sea A ⊆ X un subconjunto. Un elemento s ∈ X se llama supremo del conjunto A si se cumple lo siguiente: a s para cada a ∈ A, si a s para todo a ∈ A, donde s es alg´ un elemento de X, entonces s s . El ´ınfimo de un subconjunto A ⊆ X se define de forma an´ aloga, pero con todas las desigualdades en sentido contrario. (a) Comprueba que cada subconjunto A ⊆ X tiene como m´aximo un supremo y un ´ınfimo. (El supremo de A, si existe, se denota por sup A. De forma similar ´ınf A denota el ´ınfimo.) (b) ¿Cu´ al es el elemento supremo del conjunto vac´ıo (de acuerdo con la definici´ on que acabamos de dar)? (c) Encuentra un ejemplo de un conjunto en el que cada subconjunto no vac´ıo tenga un ´ınfimo, pero que contenga subconjuntos no vac´ıos sin supremo. (d) ∗ Sea (X, ) un poset en el que cada subconjunto (incluido el conjunto vac´ıo) tiene un supremo. Prueba que cada subconjunto tiene tambi´en un ´ınfimo. 12. Considera el poset (N, |) (ordenado por divisibilidad). (a) Decide si cada subconjunto no vac´ıo de N tiene un supremo. (b) Decide si cada subconjunto finito no vac´ıo de N tiene un supremo. (c) Decide si cada subconjunto no vac´ıo tiene un ´ınfimo.
